A-pprofondissements Chaires de Mahousimulation de variables ale'stires

pre'requis

(spoiler du Cours ) :

convergencevers la mesure stationnai re

DE espaced'e'tats

P matric stochastic ve irreduciblet

. It exist une unique mesurede probsbilife invariate IT

telle queTP =T

.

Notonsque

si ( Xn) new est une CN de loi P⇐,p ) ,

stars

PC Xn = x ] = It Cx ) =#PT (x ) =#x ) th EIN

→ station norite.

s. Supposons de plus qu

' il exist x E* I pcx,x ) > O .

Akers, pour

toute mesure initiate To,

Tn = To Pn → IT ( en tant querector de IR

* )n → to

objectify. supposons donne'

une mesure de probBi lite'

IT sur

un espace fini * .

On esouhoite similar Carec un ordinator)one variable X de loi IT

.

methode naive : - On liste les elements x., ¥ .

. . .

,xn de Q .

-

On calcite les probabilities that .. . tan) .

- On tire a hoard In Uco ,

I ]),

et on

choi sit xk tel que

§!-

Haji s-

V s §! TG's ) X. xk.

Cette method est soovent inapplicable :

n ) L'

ensemble K peut etre gigantesque , mime larsque"objet X

est de petite taille fair examples plus loin )→ impossible de lister to us as elements , et de stocker toots

les probBil ite's Tex ,I . . .

Tak ).

2) II estfrequent que la probobitite't soit connee si un

coefficient multiplied-if press .

example : mesure uniform TG ) = In sur un ensemble decardinal N tres grand , par

lequel il n'

ga pas definite .

simulation grace six chainsde Markov :

n ) on construct one matrice P tellequeTP = IT

.I irreducible( on peut dos suppose sans perk de g

e'nets ite' PG,x ) > O

portout xEB

,en re implant P par Q = Id£_tP . )

2) on simile to chain de Markov (xn ) new de motrice P

Pour n asses grand ,Xn est presque

de loi IT.

Spoiler : on poursmime modifier cette methode pour avoir une

variable X de loi exactment Eg Re IT .

I.

les deux modeles : modik d'

Isinget partitions planes

•modele d

'

Ising* = An a f ± I GET '

NT' ensemble des configurationsde spins sur unegrille

par example ,si N = 4

,

une configuration est1- - t t

- - t -

I I II

On attribve s chaque configuration o = (OG)) ,wya

une Energie H lo) :

H lol = -⇐gocxlocy )H augment torque la configuration a des sites Va'sins Needs signs =/ .

example : N - Q,

les Energies sont :

to tot. ÷:fess;tries ist:*.sat equivalentes ohnede as 4 configurations)

Definition :he modeled '

Ising surlagrille de title N est la

mesure de probtbilitepn.gs"

T donnee'par :

pntpsing [of ⇐ Iq expC- f HH)

Cp promote > o)area 2N

, p=↳nexp

( p €5414)) .

↳ method naive ne permet mime pas

de sinew to une grille entitle 90,car : t) 2n

, pn'a pas de ferrule close .

2) card IN = IN'

s Toopoor

N -.

NO.

• partitions planes / surfaces histoires .

* = An = ensemble des empilemerits de cubes de talk andinserts dans en cube Nx Nx N et tasse's dans un coin

example area N=5 :

( equivalents on ← empilementde volume15+92+51.4+2

PETRIFIES = 38.

hexagon decette n ) . poppete' partition planeOnsouhsitetirerwhasardunempikmentwc-3-cnnecprobshilitep.iqCuss §

,

gud 'm, qER* .

N

(g=1 mesne uniform)

C' est encore plus difficile que pour he modeled

'

Ising : it nlys pas

de fomule pourcord ANPP

,

ou defogon simple d 'e'nometer

sees'elements

.

remarque important :les Trois types de lo

sage parentEta remplace's par des

aretes sur le re'

sea hexagonal :

← • •¥ e s •

•

•

⇐ s >•

On old- iest une configuration de dineres sur ne partie du e'seahexagond :

⇐

2.

Construction des Chaires de Markov

Etat donnie une mesore de probBilite'IT sur m ensemble fini Tf,

exist des techniques ge'ne'rites de construction de CM deMes

we invariant it→ algorithm de Metropolis ( ra.. Dm).

Ici,on is defin ir P en utit isnt des modifications loathes des

anfigvrAias → dgnanique de Glauber.

• modele d'

Ising .

Soit C )new

onesuite de sites de bgntk Ed ,

N 132*inde'pendants , cha'sis uniform'ement .

( Un ) new one suite dervishes i ID uniforms sur CoA] .

Si of#"

sing,

× C-Eh,

NIT :

u Eco,I]

Ion definite

→ o

"

= ( mime configuration queo

, safe'ventuellementenx ,Nec

0*6 ) = t A

→ o

"

=

(mime configuration que o, safe've

ntuellementenx,

Nec

o

- x

Cx ) = - A '

→f-fo, x. u ) , fo"

si us exp( p§n×dy) )

( o- × sinon

dash §g⇒) )'

↳ suite define par recurrence paront' = f- Con , Xn ,

Un)est une chain de Markov sur HN .

matrice de transition ?

x. on . f: :::÷÷÷¥:c: ::*::::&..- uniquement en x2 cosh Cp §,"D )

le rester si o= o'

.

↳so

.

.

observation : la matrice P est irreducible .

En e flat , etat donne'

es deux configurations g et og arbitrates ,on peut modifier un E un les sites de q area probBil ite

'

positive ,pour se romero

J og en au plus N'

pas .

theorem :I'

unique mesure de probabil ite invariant

parP est

b mesure d'

Ising Pn, pissing .

consequence : parsimoler on Pn

, pets''

Y,

il soffit de partied' one configuration

orbits ire Oo,

et desvivre la dy namiqueAddaire de Glauber

; onNec n

"

grand" soit

presqueb loi Pn

,pj .

Lemme ( meares reversibles)Saith une mesure vehfimt TE ) PG ,g) =Tty ) Ply , x )portoute

pre d ' e' lots x.got .

Alas,

TP -T (mesne invariant).

En effet ,en fsismtb somme swxf# :

⇐Bcg) = §*TG ) PG,g) ⇐ §*TCy ) Ply , x )

= Tcg) {Ply , x ) = Tty ) .

xf*

-

I I

Prove du theorem : on ra matron que

Pnp Co) Pco, o' )

= Pmp (o' ) Plo:o) to

,o'

configurationsde spins .

It soffit de trailer le as ooo et o'

different en un seed site xesf ,Nec discs o(x ) = - I

o' Cx) = +I

'

Alas,Pn

, plot Plo,o

' )

=n÷,

"P 4%5,9!kDexp¥EdykCx))

sash (

ftp.f?)=mzn.p2cFshcpfoiy))"P (k¥5!!; × )

d- onobtientbmemequmtiteerremplagmto pro'

,cark

vdwrdeocx ) n'apparent pas dans kfcrmok . B.

Simulation :A

-Tete'd

anger: faille delay

http www.imo .

universite- paris - saday.fr/nmeliotlmarkou/ metropolis . pdf

et l metropolis . pgscript PythonSaget

2.

Ouvrir Sage -s survote machine s

' il est instills

→ sur sagemd-h.org ,Cocak Instant SageWorksheet .

3- Copier dans une cellule llintdgrslite descript Python , lkxdater .

Faire les questions I . I - 1.3 .

Commentate des simulations : en faction de promote p ,

an observe :

- par p petit Cepar o - ah ),

des Hots de petite talk positfsetnigdafs .

- pour p > Pe , I ' un des signsI'em porte et reoeuvre l 'essential de

la grille ⇒ ingratiation spantone .

I phdnomine de transition de phase ( niecessite plus de travail pourIke render rigour

ax )

• partitions planesobservation : sj

outer ou retire on cube txt x k est equivalent sinerotation des diners entourant on hexgone

du re'sear

⇐I %⇐⇐⇐

• ⑧→

• ⑧

• • c- • •

Boo ⑧ Boo •

On consfruit les transitions d 'me chain de ha-ha sur DENN comme

suit:

- (Hn )new

suite d'

hexagons i i D uniformment cha'sis dans lapartie de talk N de risea hexagonal

PC Hn = h) =I3N'- 3Nta

'

-

( Bn)new suite de variables i iD de Bernoulli

PC Bn = I] = Fg ,

PCBn = O ) = p¥q .

Write = f-( un ,Hn

.

Bn),

oo :

Simms . fw: . :i."

.hi;Einheit:times :%÷fmw

(w sans obeah) si h est pas modifiable et b --O .

↳ chain C Wn )new sur ANPP est une CM irreducible,

Nec

mstria.detransition

Pcw,w

' ) = f gsi w etw

' different en plusdtnhexyone-n.sn. ÷

si w'

= Cut in abeer

unmhgxgg.agyzt-n.mgsi w'

= (w - on cube es in hexagon( le este si w's w .

modifiable )

theorem : I ' unique mesure invariant de cette chained Markov

est b mesure Pn!Pg .

Pray : similar re a as Ising ,

b re'

rosi bi lite' est encore plussimple s e'tstdir

.

consequence : porsimeter w - Pmg ,

a part utilise meCn fun ? de notice P

,

etpre ndawn

area n

"

grand"

.

Simulation : faire les questions 2 .

I et 2.2.

Commentsires : theorem du Cercle antique torque q = I .

3.Simulation exact : b methde de coup lage

difauts de l'

algorithm de Metropolis :

A) on n

'

a pasexactement to ki IT

,mais une approximation In .

21 comment choisir n pour quel 'approximation soit bonne ?

↳ problem de la vitesse de convergence ,voir se

'

axes 5 et6 .

miracle : on peut pl lie k premier def.su/-enretournant le temps . ..

Les ch ont Ete defines par des e'goAias de recurrence

ont , = f-Con, f) Sn = ( Xn,Un )

una = flwn , fn ) fn = ( Hn ,Bn)

Posons fn = fl . , § ) ; asont des transformations Histoires iib

de l 'espace des e'lots *n .

On wat on = f-n . . ofn. . o . . .o fo Coo)

Wn = f-n- , ofn- z o - - -o f-o (Wo) .

Cadre general :- un espace

d'

e' lots *,

one probtbi life'T

- one suite de transformationsi iD (f-n = f- C . . §))n

telle que ,

si Xrt,

Nos £ Cx) n t .

E-tendons la suite 4)new en (f)*z Ci i D)

Onpose

:

Yn Cw) -- f. . of. so . - - of- n (w) .

→ on compose les factions dans l 'autre Sens .

On ro mantra que Y,Cw) rt pour

uncertain temps Netta?preliminary :

monotonic des transformA-ions fn .

les deux ensembles In''

sing et ANPP sat mum's d 'me

relation d 'ordre partie l s :

•mobile d

'

Ising :o s o

'si olx ) so'G )

pourtout site x

.

• partitions planes : w s w'si w

' peut Ete obtenuesi partie de w en ragoutont descubes .

lemme :

les transformations f- C. , g) sent croissants par rapports asrelations d' ordre

, fog .

Drewe : . modeled ' Ising .

Par transitivity il soffit detrailer k cos or o et o' different en on site xo

.

olxo) = - I,

0%1=+1

Ky) = oily ) 0yd xo⇒ oso!

f- Cx,

u ).

-Si x a x.

,

Hors f-Co, f) et f- Co! f) sat obtenues encompar

ont u s m sevil de'pendant de fdg) , y nx.g

= fo'

cyl , y n xo)⇒ f- fo, f) ⇐ f-Co; g) et Pine

'

gate est onseria .

- Six ¢ Iva'sins de xdg, f- Co, f) et f-Co'

, g) sat dderwesen modefiant dx) et o

' Cx ) et en comparont u si unsevil dependant

de f acyl , y n x g = folly ) , y n xo )⇒ f-Co, g) (x) = f- Co

'

, g)Cx) et les images vRent tjs ± A er xo

⇒ fire'sNite' est anserved .

- Si x Elvisins de xo) :

#dy)s {oily) car le site x. interment .

ynx⇒ expcpfg.ly)) exp CPE )

D⇐ 2ashYpg!p)

done,on change plus facilement le site x en + it tons

f-Co:p quedans f-Gg) ⇒ f- Co , f) s f-Cdf) .

• partitions planes : bop plus simple .

@.

On a dans chaquecas un e'b'ment minimal et on thement maximal :

om in a - I partout ,om* = + I patout

Wm in a empikment vide , Wm* = empile ment plein NxNx N .

Parsons T = inf f nEIN I Yn Cumin) = Yn (wmax )} .

theorem : I .

Te t - p- s

.

2 . 4- Cw. ) a 4- Cumin ) = 4- Cwm* ) two E *.

3 .

La variable ¥ Cw.) suis la loi IT invariate

.

Prove: r

.

Comme b Cn est irreducible,7N > o l

PC Yn Cwm in) = Wmax ) s PN Cumin,wmsx) =p >

0.

Consideras les e'vehement

Ak: f.den .. .,

° - - - of-den+ n) (wmint = Wmax .

Its sent independents de mine probBil ite p .

⇒ the infinite de Ak se e'dise area probs 1 ( Boel . Castelli)Si Ak se re' dise ,

dos, par ooissana

des transformations :

Ykn+N

(wmax) ⇐ Ykn+ nCwm in) - Yen Cwmax )

Z Ykn ( £-Chen+ . )o - - - o f. Knin ) (wmk))

> Ykntwcwmax ) done on n 'squedes ignite's

⇒ Yknin ( Wma ) = Yemen (Wmin ),

Ts kNt N .

Dae,

Tato p. s .

2 . C'

est evident parcroissma des transformations .

3 .Notas X = YT two) .

Ceci ne depend pasde Wo .

⇒ phdnomine de odesonce

Remarguans que ,

si n >T,

Nos

Yn two) = 4- ( f.*no . . . of.

Iwo )) s Ytl . .) = X .

A hors,PC X s w] a PC X = wet ns.T]

+ Pals w et neT )

b tend vers O

= PC Yn Cwo ) , w et n >T] + di )

= PC Yn Cw.) = w ] toCI )

,n -s to

Conclusion :

PC X. w) = him, +•

PC Yn two) = w]

= him, +as

Pu.

Cwn = w] = Tfw)(convergence vers

lo la'sthinna're ! )D

.