polyiugajskhshlkqsjopancertitudeschiffressignificatifseleves

8/20/2019 PolyIugajskhshlkQSJOPAncertitudesChiffresSignificatifsEleves

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Précision d’un résultat et calculs

d’incertitudes

PSI* 2012-2013

Lycée Chaptal


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3 Table des matìeres

Table des matières

1. Présentation d’un résultat numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

a) Notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4b) Notation ingénieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Chiffres significatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4a) Nombre de chiffres significatif d’un résultat numérique . . . . . . . . . . . . . . . 4b) Précision d’un résultat numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Chiffres significatifs et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Présentation d’un résultat expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1 Résultat d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Chiffres significatifs du résultat d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Incertitudes des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1 Erreur systématique et erreur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Calculs classiques d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

a) Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7b) Incertitude liée à un appareil de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8c) Critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8d) Int́erêts des calculs d’incertitudes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

e) Exemple de calcul : célérité d’une onde ultrasonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Analyse statistique d’une série de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1 Mesures indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Exploitation statistique d’une série de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

a) Estimations de la valeur exacte et de l’écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12b) Intervalle de confiance (méthode de Student) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4 Intérêt de choisir la moyenne comme estimateur de la grandeur mesurée . . . 134.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


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1. Pŕesentation d’un résultat numérique 4

1. Présentation d’un résultat numérique

1.1 Notations

a) Notation scientifique

La notation (ou écriture) scientifique est une représentation d’un nombre réel sous laforme d’un produit de deux facteurs. Le premier facteur est un nombre décimal dont lavaleur absolue de la partie entière est un chiffre comprise entre 1 et 9. Le second facteurest une puissance entìere de 10. Exemple : T = 298 K s’écrit en notation scientifiqueT = 2, 98.102 K.

b) Notation ingénieur

La notation ingénieur consiste à exprimer un nombre réel sous la forme x · 10n, où x estun nombre compris entre 1 et 999 et n est un entier multiple de 3. Exemple : U = 0, 045 Vs’écrit en notation ingénieur U = 45.10−3 V = 45 mV.

1.2 Chiffres significatifs

a) Nombre de chiffres significatif d’un résultat numérique

Dans un résultat numérique, tous les chiffres autre que zéro sont significatifs. Les zéros

sont significatifs lorsqu’ils se trouvent entre d’autres chiffres ou à leur droite ; ils ne lesont pas lorsqu’ils se trouvent à leur gauche. Exemples :

• 3, 2 contient 2 chiffres significatifs ;• 3, 20 contient 3 chiffres significatifs ;• 0, 32 contient 2 chiffres significatifs ;• 3200 contient 4 chiffres significatifs.Signalons qu’un nombre entier naturel est considéré comme possédant un nombre illimitéde chiffres significatifs ; il en est de même de son inverse.

b) Précision d’un résultat numérique

La précision d’un résultat numérique augmente avec le nombre de chiffres significatifsexprimé. Le dernier chiffre est alors incertain. Exemples :

• L = 12, 597 km = 12, 597.103 m (5 chiffres significatifs) signifie que12596, 5 m < L


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5 2. Présentation d’un résultat expérimental

1.3 Chiffres significatifs et opérations

Il faut toujours arrondir le résultat final fourni par la calculatrice afin de l’exprimer avec

une précision égale à celle de la donnée utilisée la moins précise. Par exemple, le résultatde la multiplication

36, 54 · 58, 4 = 2133, 936 doit être arrondi à 2, 13.103 ,car la données la moins précise (58, 4) contient 3 chiffres significatifs. De même, après uneaddition ou une soustraction, le résultat ne doit pas avoir plus de décimales que le nombrequi en comporte le moins :

220, 2 + 968, 114 − 12, 51 = 1175, 804 doit être arrondi à 1175, 8 .

2. Présentation d’un résultat expérimental

2.1 Résultat d’une mesure

Considérons une grandeur physique A dont la valeur exacte est notée ae. Une mesuren’étant jamais parfaite, la valeur ae n’est pas accessible par l’expérience, il s’agit d’unevaleur inconnue pour l’expérimentateur. Une mesure est en effet toujours entachéed’erreurs dont les causes sont multiples : matériel employé, qualification de l’expérimen-

tateur effectuant la mesure, méthode utilisée, influence de l’environnement de la grandeurmesurée...Pour chaque mesure d’une grandeur physique A, il faut idéalement présenter le résultat

de la mesure sous la forme d’un intervalle :

A = â ± ∆aoù

• â est l’estimateur de la valeur exacte ae ; εa = a − ae représente alors l’erreur commisesur la mesure de A ;

• ∆a est l’incertitude sur la mesure de A telle que la probabilité p pour que l’intervalle

numérique [â−∆A ; â+∆A] contienne la valeur exacte ae soit assez élevée (par exemple p = 95%).

Exemple : U = 2, 48±0, 02 V signifie que la valeur exacte de la tension U a une probabilitéélevée d’appartenir à l’intervalle [2, 46 V ; 2, 50 V].

2.2 Chiffres significatifs du résultat d’une mesure

On expliquera dans les prochains chapitres la manière d’évaluer l’incertitude d’une mesure.Mais retenons d’ores et déjà les règles d’écriture du résultat d’une mesure, règles qui

découlent des conséquences des arrondis de â et ∆a sur les variations tolérables del’intervalle de mesure.


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3. Incertitudes des mesures 6

On exprimera l’incertitude ∆a avec au plus 2 chiffres significatifs.

On conservera pour l’estimateur â les chiffres significatifs qui interviennent dans ∆a.

Exemple : le résultat U = 2, 5785 ± 0, 0127 V devra être mis sous la forme finaleU = 2, 578 ± 0, 013 V.

En l’absence de calcul d’incertitude, le résultat d’une mesure sera écrit avec au plus3 chiffres significatifs.

En effet, avec le matériel utilisé au lycée, la précision est en général de l’ordre de 1%, ce

qui conduit à écrire les résultats des mesures avec 2 ou 3 chiffres significatifs.

3. Incertitudes des mesures

3.1 Erreur systématique et erreur aléatoire

Une erreur systématique affecte le résultat constamment et toujours dans le mêmesens, elle contribue à toujours surévaluer, ou toujours sous-évaluer, la valeur mesurée.

Exemples de causes d’erreurs systématiques

• Mauvais étalonnage d’un appareil.• Mauvais réglage du zéro d’un appareil (balance par exemple).• Vieillissement des composants.• Le protocole expérimental peut introduire une erreur systématique. Par exemple, si l’on

desire mesurer à la fois la tension aux bornes d’un dipôle et le courant qui le traverse,on peut réaliser deux montages possibles :

V

E

Montage longue dérivation :

A dipôle dipôle

V

A

E

Montage courte dérivation :


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3. Incertitudes des mesures 8

∆A =

∂f

∂x

∆x +

∂f

∂y

∆y +

∂f

∂z

∆z

donne une estimation de l’incertitude de mesure sur la grandeur A.• Règles de calcul classiques :A = x + y + z =⇒ ∆A = ∆x + ∆y + ∆z ;

A = xmyn =⇒ ∆A|A| = |m|∆x

|x| + |n|∆y

|y| .

b) Incertitude liée à un appareil de mesure

Afin d’évaluer l’incertitude liée à un appareil de mesure, on peut utiliser les indications

du constructeurs (notice). Cette procédure demeure valable si l’appareil est régulièrementré-étalonné.

• Pour un appareil à aiguille, il est préférable de l’utiliser, si possible, pas trop loin dela pleine échelle afin d’obtenir une incertitude relative faible. Un appareil à aiguille declasse p signifie qu’il introduit une incertitude relative de p % sur une mesure égaleau calibre. Exemple : un appareil de classe 2 comportant 150 divisions introduira une

incertitude absolue de 2

100 · 150 soit 3 divisions et ceci quelle que soit l’amplitude de

la déviation.• Pour les appareils numériques, l’incertitude absolue comprend souvent un pourcentage

de la valeur mesurée plus un terme constant. Par exemple, la notice d’un voltmètredonne comme information sur l’incertitude : 0, 5% +1 digit (c’est-à-dire 1 unité surle dernier chiffre). Mesurons une même tension U en utilisant deux calibres différents.⋄ Affichage du voltmètre sur le calibre 200 mV : 150,0. L’incertitude de mesure vaut

alors :

∆U = 0, 5

100 · 150, 0 + 0, 1 soit ∆U = 0, 85 mV ;

⋄ Affichage du voltmètre sur le calibre 20 V : 00,15. L’incertitude de mesure vautalors :

∆U = 0, 5

100 ·0, 15 + 0, 01 = 1, 075.10−2 V soit ∆U = 10, 75 mV ;

On pourra retenir qu’il faut utiliser le plus petit calibre possible (ici 200 mV) pourbénéficier du maximum de précision lors de la mesure.

c) Critiques

• Cette étude ne prend pas en compte toutes les causes d’erreur. Par exemple, lors del’étude de la résonance d’un circuit RLC , il faut apprécier la fréquence pour laquellele courant passe par un maximum. Cette imprécision est, en général, très supérieureà celle déduite de l’indication d’un fréquencemètre.

• Les incertitudes sur les mesures primaires sont souvent estimées de manière empirique,à moins de disposer de la notice des appareils de mesure.


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9 3. Incertitudes des mesures

• Le niveau de confiance qu’on peut accorder aux diverses incertitudes n’est pas précisé.On suppose qu’il est proche de 100%. Pour garder un tel niveau de confiance, le calculconsidère que toutes les erreurs vont dans le mauvais sens (d’où les valeurs absoluesdans les calculs) et cela conduit à des incertitudes assez grandes.

d) Intérêts des calculs d’incertitudes classiques

Les calculs d’incertitudes classiques ont tout de même des qualités.

• Ils permettent de voir les grandeurs sur lesquelles devra porter l’amélioration de laprécision. Exemple : la loi pour la chute libre g = 2h/t2 montre qu’une erreur sur lamesure du temps t aura plus de répercussion qu’une erreur sur la hauteur h.

• Ils fournissent un ordre de grandeur correct. En particulier, s’il s’agit de mesurer unemême grandeur par plusieurs méthodes, il est utile de pouvoir dire quelle est la plusprécise.

Au final, il est nécessaire d’adapter le nombre de chiffres significatifs d’une mesure à sonincertitude (cf. chapitre 2).

e) Exemple de calcul : célérité d’une onde ultrasonore

• La mesure de la longueur d’onde λ d’une onde ultrasonore fournit le résultat :

λ = 8, 630 ± 0, 018 mm .

D’où l’incertitude relative sur λ :

∆λ

λ =

0, 018

8, 630 = 2, 1.10−3 .

• La notice de l’émetteur de l’onde ultrasonore fournit comme valeur de la fréquencef 0 = 40, 0 kHz, par conséquent 39950 Hz < f 0 < 40050 Hz. L’incertitude relative surla fréquence a donc pour valeur :

∆f 0f 0

= 50

40, 0.103 = 1, 2.10−3 .

• Valeur de la célérité de l’onde : c = λf 0 = 345, 24 m·s−1 . En différentiant de façonlogarithmique la relation c = λf 0, on obtient l’incertitude relative puis absolue sur c :

∆c

c =

∆λ

λ +

∆f 0f 0

= 3, 3.10−3 soit ∆c = 1, 1 m·s−1 .

D’où la valeur expérimentale de la mesure de la célérité : c = 345, 2 ± 1, 1 m·s−1 .


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4. Analyse statistique d’une série de mesures 10

4. Analyse statistique d’une série de mesures

L’analyse statistique représente une autre alternative pour les calculs d’incertitudes. Cettedémarche s’applique aux erreurs aléatoires.

4.1 Mesures indépendantes

Des mesures sont considérées comme indépendantes si elles sont effectuées par des ma-nipulateurs différents sur des appareillages différents (mais du même type) en suivantle même protocole. Exemple : mesure d’une grandeur physique d’un même objet pardifférents groupes de TP équipés du même type de matériel.

Dans le cas contraire (manipulateurs utilisant successivement le même matériel oumanipulateur unique utilisant successivement plusieurs appareils), les mesures sont ditescorréĺees.

4.2 Loi gaussienne

Supposons que nous disposions d’un grand nombre n de mesures indépendantes xi d’unemême grandeur X . On note x, la moyenne arithmétique de ces mesures :

x = ∑n

i=1xi

n .

En l’absence d’erreur systématique, on estime que la moyenne x des mesures tendvers la valeur exacte xe lorsque n tend vers l’infini :

limn−→∞

x = xe .

On note P (x) la distribution de probabilité associée à la variable aléatoire x : la quantitéP (x)dx représente alors la probabilité de trouver la valeur de la mesure dans l’intervalle[x; x + dx].

Dans un grand nombre de situations, la probabilité de trouver une valeur x en mesurant

la grandeur X , obéit à une loi de Gauss :

P (x) = 1

σ√

2πexp

−(x − xe)

2

2σ2

(expression non exigible)

où

• la quantité σ est appelé écart-type quadratique moyen ;• la constante 1/σ√ 2π permet de normaliser la loi de probabilité :

∫ ∞

−∞

P (x)dx = 1 .

Cette loi est très répandue car il suffit que les causes des erreurs aléatoires soient mul-

tiples et d’importance comparable pour qu’elle soit vérifiée.


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11 4. Analyse statistique d’une série de mesures

La valeur exacte de X représente la moyenne de cette distribution de probabilité :

xe =

⟨x

⟩= ∫

∞

−∞

xP (x)dx .

L’écart-type quadratique moyen vérifie la relation

σ =√ ⟨(x − xe)2⟩ =

∫ ∞

−∞

(x − xe)2P (x)dx .

La probabilité qu’une mesure xi tombe dans l’intervalle [xe − 2σ, xe + 2σ] est∫ xe+2σxe−2σ

P (x)dx = 0, 954 .

Le tableau suivant donne la probabilité qu’une mesure xi tombe dans un intervalle

centré sur la valeur exacte xe :

Intervalle de confiance Probabilit́e

[xe − σ, xe + σ] 68%

[xe − 1, 96σ, xe + 1, 96σ] 95%

[xe − 2σ, xe + 2σ] 95, 4%

[xe − 2, 58σ, xe + 2, 58σ] 99%

[xe − 3σ, xe + 3σ] 99, 7%

2

2σ

σ

3σ x

P(x)

xe


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4.3 Exploitation statistique d’une série de mesures

Comme expérimentalement, on n’a souvent qu’un petit nombre n de mesures indépendantes(n variant de 5 à 20 par exemple), on n’a accès ni à xe, ni à σ mais seulement à une esti-mation de ces grandeurs.

a) Estimations de la valeur exacte et de l’écart-type

Les mathématiques permettent de montrer que le meilleur estimateur x de la valeur exactexe (valeur moyenne de la distribution P (x)) est la moyenne arithmétique des n mesuresindépendantes, de qualité comparable (donc après avoir écarté les mesures manifestementaberrantes, signes d’un incident de manipulation) :

x = x = ∑ni=1 xin .On admettra également que le meilleur estimateur de σ est donné par l’écart-typeexpérimental de la série de mesure :

σn−1 =

∑ni=1

(xi − x)2n − 1 .

Propríet́e :lim

n−→∞

σn−1 = σ .

Remarque : repérer σn−1 dans la liste des fonctions pré-programmées de vos calculatrices1.

b) Intervalle de confiance (méthode de Student)

Dans l’hypothèse où toute erreur systématique a été écartée et où les mesures individuellesxi sont réparties selon une loi gaussienne, il est possible d’approcher la valeur exacte xede la grandeur X avec une certaine probabilité.

Soit tn,p un coefficient, appelé coefficient de Student, dépendant du nombre n demesures et du degré de probabilité souhaité ( p %). La valeur exacte xe a alors une proba-

bilité de p % de se trouver dans l’intervalle défini ci-dessous, appelé intervalle de confiance :x − tn,pσn−1√

n ; x + tn,p

σn−1√ n

.

Par conséquent :

X = x̂ ± ∆x avec x = x = ∑ni=1 xin

et ∆x = tn,pσn−1√

n .

1 la notation de cette fonction peut changer d’une calculatrice à l’autre, σn−1 est parfois noté S n ou S x


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13 4. Analyse statistique d’une série de mesures

Le coefficient tn,p est tabulé en fonction du nombre de mesures n pour différents niveauxde confiance p. Par exemple, pour p = 95% et p = 99%, on a

n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

tn,95% 4, 30 3, 18 2, 78 2, 57 2, 45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20

tn,99% 9, 93 5, 84 4, 60 4, 03 3, 71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11

n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

tn,95% 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08

tn,99% 3, 05 3, 01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83

Limites des coefficients de Student pour les niveaux de confiance p = 95% et p = 99% :

limn→+∞

tn,95% = 1, 96 et limn→+∞

tn,99% = 2, 58 .

Commentaires

• Pour un même nombre n de mesures indépendantes, le coefficient de Student tn,p aug-mente avec le niveau de confiance p souhaité.

• Pour un même niveau de confiance p donné, tn,p décroı̂t lorsque n augmente. Mais lesvariations de tn,p avec n sont assez faibles. Par exemple, pour n

≥10, on a :

1, 96 ≤ tn,95% ≤ 2, 26 et 2, 58 ≤ tn,99% ≤ 3, 25 .• Le coefficient de Student tn,p variant assez faiblement avec n, la largeur de l’intervalle

de confiance, liée à la précision de la mesure,

∆x = tn,pσn−1√

n

dépend donc essentiellement du facteur √

n qui divise σn−1.

4.4 Intérêt de choisir la moyenne comme estimateur de la

grandeur mesurée

Cas d’une mesure unique. Nous avons établis que la probabilité pour qu’une mesureunique xi appartienne à l’intervalle [xe − 1, 96σ, xe + 1, 96σ] est de 95%.Cas d’une série de mesure. Pour n ≥ 20, la valeur exacte xe a une probabilité de95% d’appartenir à l’intervalle

x − tn,95σn−1√ n

; x + tn,95σn−1√

n

avec tn,95% ≃ 2 .

σn−1 étant un bon estimateur de σ , le fait de choisir la moyenne arithmétique x comme

estimateur de la grandeur mesurée permet donc de diminuer l’incertitude sur la mesured’un facteur √ n par rapport à une mesure unique.


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Dans le cas où les coefficients de Student ne sont pas fournis, on pourra écrire le résultatd’une série de mesures sous la forme (valable pour n ≥ 10) :

X = x̂ ± ∆x avec x = x = ∑ni=1 xin

et ∆x ≃ 2σn−1√ n

pour p ≃ 95% .

4.5 Exemple

• Série de mesures (n = 6) de l’intensité du champ de pesanteur g (m·s−2) :9, 68 ; 9, 85 ; 9, 85 ; 9, 77 ; 9, 87 ; 9, 79.

• Valeur moyenne de g : g = 9, 80167 m·s−2.• Méthode de Student :

σn−1 = 7, 11.10−2 ; tn,95% = 2, 57 pour n = 6 mesures.

Incertitude sur la moyenne :

∆g = 2, 57 · 7, 11.10−2

√ 6

= 0, 075 m·s−2 .

Résultat de la série de mesures :

g = 9, 802 ± 0, 075 m·s−2.

Intervalle de confiance à 95% :

[9, 802 − 0, 075 ; 9, 802 + 0, 075] = [9, 727 ; 9, 877] .

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