Pierre COLMEZLMENTSDANALYSEETDALGBREPierre COLMEZC.M.L.S., cole Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France.LMENTSDANALYSEETDALGBREPierre COLMEZTABLEDESMATIRESIntroduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Notations standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Bibliographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.1. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Espaces de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Compltion despaces vectoriels norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. Applications linaires continues entre espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. Le dual dun espace de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.2. Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141. Espaces prhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153. Le thorme de projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154. Le dual dun espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165. Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186. Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202. Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213. Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II. Intgration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.1. Intgrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25vi TABLEDESMATIRES1. Dallages et fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Ensembles de mesure nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273. Dnition de lintgrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294. Intgration sur un sous-ensemble mesurable deRm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315. Les thormes de convergence monotone et de convergence domine . . . . . . . . 326. Existence de lintgrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.1. Le thorme de convergence domine pour les fonctions en escalier bornes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2. Mesure et mesure extrieure des ensembles mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3. Le thorme de convergence monotone pour les fonctions mesurables bornes support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4. Limites simples p.p. de fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.5. Le thorme de convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40II.2. Applications de lintgrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401. Intgrales dpendant dun paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402. Intgrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433. La formule du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47III. Transforme de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III.1. Quelques espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491. LespaceL1(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492. LespaceL2(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503. Comparaison entre la convergence dansL1et dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514. EspacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.2. Transforme de Fourier dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541. Dnition et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542. Le thorme de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553. Formules dinversion dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554. Transforme de Fourier et drivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565. La formule de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.3. Transforme de Fourier dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581. Transforme de Fourier des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592. Dnition de la transforme de Fourier dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603. Comparaison des transformes de Fourier dansL1etL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614. Drivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TABLEDESMATIRES viiIV. Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65IV.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 651. Sries entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652. Rayon de convergence dune srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663. Premires proprits des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1. Dnition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2. Thorme des zros isols et unicit du prolongement analytique . . . . . . 703.3. Principe du maximum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71IV.2. La formule intgrale de Cauchy et ses consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721. Gnralits sur les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722. Intgration le long dun chemin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733. Holomorphie des fonctions drivables au sens complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754. Construction de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1. Sries et produits innis de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2. Fonctions holomorphes dnies par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79IV.3. Structure locale des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801. Le thorme dinversion locale holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802. Logarithme et fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82V. La formule de Cauchy et celle des rsidus (de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . 85V.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851. Vocabulaire de topologie algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852. Un cas particulier de la formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863. Dmonstration de la formule de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904. Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91V.2. La formule des rsidus de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921. Fonctions holomorphes sur une couronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922. Fonctions holomorphes sur un disque point ; rsidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953. Indice dun lacet par rapport un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.1. Dnition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2. Dtermination visuelle de lindice dun lacet par rapport un point . . . . 984. La formule des rsidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101VI. Sries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105VI.1. Sries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105viii TABLEDESMATIRES2. Demi-plan de convergence dune srie de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063. Sries de Dirichlet coecients positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108VI.2. Sries de Dirichlet et transforme de Mellin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091. La fonction dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092. Une formule intgrale pour les sries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111VI.3. La fonction zta de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141. Sries de Dirichlet attaches des fonctions multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . 1142. Prolongement analytique de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153. quation fonctionnelle de la fonction zta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164. Les zros de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119VI.4. FonctionsL de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201. Caractres de Dirichlet et FonctionsL de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202. Conducteur et sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213. quation fonctionnelle des fonctionsL de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122VI.5. Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241. La fonction de Moebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242. La fonctionde Ramanujan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126VII. Reprsentations des groupes nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133VII.1. Reprsentations et caractres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341. Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342. Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.1. Caractres linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.2. Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.3. Reprsentations de permutation, reprsentation rgulire . . . . . . . . . . . . . . 1363. Morphismes de reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137VII.2. Dcomposition des reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381. Dcomposition en somme directe de reprsentations irrductibles . . . . . . . . . . 1382. Le lemme de Schur et ses consquences immdiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403. Orthogonalit des caractres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414. Applications du thorme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.1. Nombre des reprsentations irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.2. La dcomposition canonique dune reprsentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3. Un critre dirrductibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.4. La dcomposition de la reprsentation rgulire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445. Le cas des groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145TABLEDESMATIRES ixVII.3. Construction de reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461. Reprsentations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461.1. Caractre dune reprsentation induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461.2. La formule de rciprocit de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471.3. Transitivit des inductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1491.4. Les thormes dArtin et de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492. Constructions tensorielles de reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.1. Produit tensoriel despaces vectoriels de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.2. Produit tensoriel de reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.3. Carr symtrique et carr extrieur dune reprsentation. . . . . . . . . . . . . . 1523. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153A. Le thorme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157A.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157A.2. Les fonctions et1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1601. Thorme des nombres premiers et comportement de1 en+. . . . . . . . . . . . 1602. Une formule intgrale pour1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161A.3. Formules explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1621. nonc du rsultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632. Les fonctionsL etL

Len dehors de la bande critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653. La fonctionL dans la bande critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664. La fonctionL

Ldans la bande critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168A.4. Dmonstration du thorme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1701. Non annulation sur la droiteRe(s) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172A.5. Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721. Lhypothse de Riemann et ses consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1722. Lhypothse de Riemann et la fonctionM de Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733. Lhypothse de Lindelf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174B. Groupes nis et reprsentations : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175B.1. p-Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751. Gnralits sur lesp-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752. Reprsentations desp-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763. Le thorme de Sylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177B.2. Reprsentations du groupe symtriqueSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178x TABLEDESMATIRES1. Partitions den et reprsentations deSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782. Diagrammes de Young et reprsentations deSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803. Caractres deSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181B.3. Reprsentations deGL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1821. Le groupeGL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822. Construction de reprsentations deGL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823. Les classes de conjugaison deGL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844. La table des caractres deGL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855. Dmonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186C. Introduction au programme de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191C.1. La conjecture dArtin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1931. Le groupe GQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1932. Reprsentations de GQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943. FonctionsL dArtin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964. FonctionsL de degr2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974.1. Reprsentations impaires et formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974.2. Reprsentations paires et formes de Maass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995. La thorie du corps de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200C.2. Le thorme de Kronecker-Weber revisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021. Adles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031.1. Le thorme dOstrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031.2. Lanneau des adles deQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2041.3. Le groupe des idles deQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052. La formule de Poisson adlique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2062.1. Transforme de Fourier surQp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2062.2. Transforme de Fourier adlique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083. Transforme de Mellin adlique et fonctionsL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.1. Intgration surQp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.2. Intgration sur le groupe des idles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.3. Transforme de Mellin surQp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2103.4. La transforme de Mellin adlique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.5. Le thorme de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124. Application aux fonctionsL de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.1. La fonction zta de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.2. FonctionsL de caractres deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.3. Caractres de Dirichlet et caractres linaires continus des idles . . . . . . 215TABLEDESMATIRES xiC.3. Le programme de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2161. Reprsentations automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2162. Des formes modulaires aux reprsentations automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2182.1. Prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2182.2. La forme automorphe associe une forme modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2192.3. La dcomposition deGL2(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203. Quelques autres aspects du programme de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220D. Vocabulaire Mathmatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223D.1. Thorie des ensembles et algbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231. Logique lmentaire et thorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231.1. Ensembles dnombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231.2. Paralllisme entre logique lmentaire et langage ensembliste . . . . . . . . . . 2232. Relations dquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2242.1. Relations dquivalence et partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2242.2. Quotients despaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252.3. Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.4. Groupe oprant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.5. Quotients de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273. Construction de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2283.1. Nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2283.2. Nombresp-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2293.3. LanneauZp des entiersp-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304. Groupes nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.1. Le thorme de Lagrange et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.2. Groupes abliens nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.3. Groupe symtrique, groupe altern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232D.2. Algbre linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2331. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2341.1. Endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2341.2. Le thorme de Cayley-Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2341.3. Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2341.4. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2341.5. Espaces propres, espaces caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2351.6. Mise sous forme de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2352. Modules de torsion surK[T] et rduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . 2363. Modules de torsion sur les anneaux principaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238xii TABLEDESMATIRESD.3. Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2401. Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2401.1. Ouverts, ferms, voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2401.2. Comparaison de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411.3. Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411.4. Intrieur, adhrence, densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2421.5. Construction despaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2421.6. R/Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2422. Espaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2432.1. Topologie dnie par une distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2432.2. Semi-distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2442.3. Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2443. Compacit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2443.1. Dnition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2443.2. Proprits de base des compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2453.3.R etR+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464. Connexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2475. Compltude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485.1. Espaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485.2. Compltion dun espace mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2506. Espaces vectoriels norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.1. Normes et applications linaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.2. Applications bilinaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255INTRODUCTIONLesmathmatiquessontlafoisunoutil dunepuissancesurprenante, utilisdesdegrs divers par les autres sciences, et une des plus incroyables constructions collectivesdelhumanit, sappuyant sur desbasesconsolidesgnrationaprsgnrationpourpermettre ldice de monter toujours plus haut.Ce cours est une introduction trois des thories qui servent de socle aux mathma-tiques.Lapremire(chap.I,IIetIII)estlanalysefonctionnelledesannes1900-1930(espacesdeBanach,intgrationdeLebesgue,transformedeFourier),danslaquellesesont illustrs R. Baire, S. Banach, M. Frchet, H. Hahn, D. Hilbert, H. Lebesgue, M. Plan-cherel, F. Riesz, H. Steinhaus... Cette thorie, ne des proccupations du sicle prcdentconcernantlesquationsdirentielles,lesquationsauxdrivespartielles...,formelabase de lanalyse relle moderne. La seconde (chap IV, V et VI) est la thorie des fonctionsanalytiques dune variable complexe, qui sest dveloppe entre les mains de A. Cauchydans les annes 1820-1840, mais a t revisite rgulirement depuis ; la prsentation suiviedans ce cours doit beaucoup aux apports de K. Weierstrass et de H. Poincar datant dela seconde moiti du XIXesicle. Cette thorie est probablement, avec la thorie gnraledes groupes, celle qui est utilise dans le plus grand nombre des autres branches des ma-thmatiques ou de la physique thorique. Enn, la partie algbrique du cours (chap. VII)est consacre la thorie des reprsentations des groupes nis et de leurs caractres, d-veloppe dans les annes 1895-1905 par F. Frobenius, W. Burnside et I. Schur. Elle peuttreconsidrecommeunepetiteextensiondelalgbrelinaire, maiselleforme, avecla transforme de Fourier, deux des piliers de lanalyse harmonique dont les applicationssont multiples.Leproblmemajeurduncoursdecetypeestquelonestconduitprivilgierlesrsultats qui ont le plus dapplications futures et relguer en exercice tout ce qui faitle sel des mathmatiques, ce qui revient un peu visiter une cathdrale en ne sintres-santquauxconsolidationssuccessivesdelabasedesespiliers. Pouressayerdeluttercontrecettetendance, nousavonsprivilgidesobjetsanalytiques, issusdelathoriedes nombres, ayant la facult tonnante dinteragir avec quasiment tous les domaines des2 INTRODUCTIONmathmatiques (voire de la physique thorique) et, ce faisant, de contribuer fortement audveloppement de ces domaines. Il sagit des fonctions L, dont la fonction zta de Riemann(dnie par(s)=

+n=11nspourRe(s)>1) est le prototype. Lun des premiers rsul-tats remarquables concernant ces objets est probablement la clbre formule(2)=26de L. Euler (1734). Le mme Euler a mis au jour un lien heuristique entre la fonctionet la rpartition des nombres premiers qui ne fut rigoureusement tabli quen 1896 parJ. Hadamard et C. de la Valle Poussin en suivant une stratgie suggre par B. Riemannen 1858. Entre-temps, G. Dirichlet avait introduit en 1837 les premires fonctions L pourdmontrer lexistence dune innit de nombres premiers dans les progressions arithm-tiques. Lannexe A, consacre ces rsultats, fournit une illustration frappante de lutilitdes fonctions holomorphes pour attaquer des problmes qui en semblent fort loigns. De-puis, le monde des fonctionsL sest enrichi au point de former un dice imposant dontlannexe C essaie de donner une ide en partant de la constatation que, pour apprcierllganceetlamajestdelavotedeNotre-Dame, il nestnul besoindecomprendrepourquoi ellenescroulepasni, afortiori, commentonafaitpourlaconstruiresansque tout tombe au fur et mesure. Nous nous sommes restreint laspect analytique desfonctionsL;celui-cifaitintervenirdautresobjetsmathmatiquesayantundondubi-quit assez poustouant, savoir les formes modulaires que nous avons relgues dansune srie dexercices en vertu du principe nonc plus haut. Nous avons rsist la tenta-tion dexplorer les proprits arithmtiques de ces fonctionsL : leurs valeurs aux entierscachent des trsors qui font lobjet de conjectures gnrales de P. Deligne (1977, dont laconjecture met en perspective le 2de la formule dEuler, et la non apparition de 3pour(3)), de A. Beilinson (1985, qui vise, en particulier, expliquer quels objets interviennentdans(3)) et de S. Bloch et K. Kato (1989, dont la conjecture donne une formule tota-lement gnrale fournissant, par exemple, une signication lapparition de691 dans laformule(12) =691 123653721113).Notations standardOn note Nlensemble des entiers naturels, Z lanneau des entiers relatifs, Q le corps desnombres rationnels, R le corps des nombres rels etC le corps des nombres complexes.On noteQ,R etC les groupes multiplicatifs deQ,R etC.On note R+ (resp. R+) lensemble des nombres rels positifs (resp. strictement positifs)etR (resp.R) lensemble des nombres rels ngatifs (resp. strictement ngatifs).On noteR = R la droite relle acheve, etR+= R+ + la demi-droiterelle acheve.Sit R, on note[t] sa partie relle, et t = t [t], sa partie fractionnaire.SiX est un ensemble, on note [X[ son cardinal.SiA est un anneau, et sin N 0, on noteMn(A) lanneau des matricesnn coecients dansA, GLn(A) Mn(A) le groupe des matrices inversibles (celles dont leINTRODUCTION 3dterminant est inversible dans A), et SLn(A) le sous-groupe de GLn(A) des matrices dedterminant1.Bibliographie sommaireLe lecteur dsirant approfondir(1)certains des thmes dvelopps dans ce cours est invit consulter les ouvrages ci-dessous. Ces ouvrages partent peu prs au mme niveau quele prsent cours, mais sont plus spcialiss, ce qui leur permet daller plus loin.P. Biane, J-B. Bost et P. Colmez, La fonction zta, Presses de lcole Polytechnique.Lelecteurytrouveradiversaspectsdelafonctionztaenlienaveclarithmtiqueoulesprobabilits(2)J-B. Bost, Fonctions analytiques dune variable complexe, cole Polytechnique.CouvreleschapitresIVVI, etunepartiedelannexeAducours, ensuivantunrythmemoins ern, et propose des prolongements en direction de lanalyse.D. Bump, Automorphic forms and representations, Cambridge University Press.Version dveloppe de lannexe C; sa lecture demande un investissement non ngligeable.H. Cartan, Thorielmentairedesfonctionsanalytiquesduneouplusieursvariablescomplexes, Hermann.Couvre les chapitres IV et V du cours, et poursuit en direction de la gomtrie (surfaces deRiemann, et fonctions de plusieurs variables).W. Ellison, Les nombres premiers, Hermann.Couvre lannexe A, et bien plus.W. Fulton et J. Harris, Representation theory. A rst course, GTM 129, Springer-Verlag.Dbute par le chapitre VII et lannexe B du cours, et poursuit en direction des reprsentationsdes groupes de Lie.R. Godement, Analyse mathmatique II, III et IV, Springer-Verlag.Couvrelessentielducours,etdecequejauraisvouluymettre,enprenantsontemps,ceque son nombre de pages permet. Les formes modulaires y sont traites avec le respect quellesmritent.N. Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, GTM 97, Springer-Verlag.Ore un voyage travers la thorie des nombres en prenant comme l conducteur le problmedes nombres congruents.S. Patterson, Anintroductiontothetheoryof theRiemannZeta-function, CambridgeUniversity Press.Couvre lannexe A, et poursuit en direction des hypothses de Riemann et Lindelf.W. Rudin, Real and complex Analysis, Mc Graw-Hill(1)Lamanirestandardpourfabriquerdesexercicesestdeprendredesrsultatsdmontrsdansdesouvrages plus spcialiss et de les dcouper en questions. Le lecteur trouvera donc dans ces ouvrages lasolution de la plupart des exercices de ce cours...(2)Lesecondtextedecevolumeestloindtreexemptdefautesdefrappes ;admirerlepouvoirdeladouble ngation...4 INTRODUCTIONUn cours danalyse qui couvre en particulier la partie analyse du cours (chapitres I V), maisne sarrte pas l, loin sen faut.J-P. Serre, Cours darithmtique, Presses Universitaires de France.Un fort joli livre pour en apprendre plus sur les formes quadratiques coecients rationnelset les formes modulaires.J-P. Serre, Reprsentations linaires des groupes nis, HermannCouvrelechapitreVIIetunepartiedelannexeB,etcontinuesurdessujetspluspointusconcernant les reprsentations des groupes nis.A. Weil, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, Springer-Verlag.Un livre semi-historique trs agrable lire, illustrant un niveau lmentaire les liens entreles fonctions holomorphes et la thorie des nombres.CHAPITREIESPACESDEBANACHLa thorie des espaces vectoriels norms complets (appels espaces de Banach enraison du rle jou par ce dernier dans sa mise en forme) est issue des travaux du 19-imesicle sur les quations direntielles, les quations aux drives partielles ou les quationsintgralesdutypeu(x) +_baK(x, y)u(y) dy=f(x), ouestunefonctioninconnue. IlsestcoulunevingtainedannesentrelintroductionparD. Hilbertdelespacequiporte son nom (lespace2des suites de carr sommable), la ralisation lanne suivante,par E. Fischer et F. Riesz, de ce que lespace des fonctions de carr sommable lui taitisomorphe, et la forme dnitive de la thorie par lcole polonaise (S. Banach, H. Hahn,H. Steinhaus). En retour, cette thorie a permis de nombreuses avances sur les problmesqui lontmotive. LeproblmedelaclassicationdesespacesdeBanachesttoujoursdactualit(1).I.1. Espaces de BanachDans tout ce qui suit,K dsigne soit le corpsR des nombres rels, soit le corpsC desnombrescomplexes. Lelecteurestrenvoyauno6duD.3pourlevocabulaireetlesproprits lmentaires des espaces vectoriels norms.1. Premires propritsUnespacevectoriel norm (E, | |), qui estcomplet(pourladistanceassocielanorme), est appel un espace de Banach. Autrement dit (cf. rem. D.3.2),(E, | |) est unespacedeBanachsi etseulementsi toutesrienormalement convergenteaunelimitedansE (i.e. si nN|un| 0, i 1, . . . , n et une sous-suite innietelle que lon ait [x(k)i[ C, et donc la suite de terme gnral vk=x(k)1x(k)ie1 ++x(k)nx(k)ientendencorevers0pour | |. OnendduitlefaitqueeiestdansladhrencedeW=Vect(e1, . . . , ei1, ei+1, . . . , en), qui est complet daprs lhypothse de rcurrence, ce quiimpliqueei W et est absurde puisque lesei forment une base deV.Remarque I.1.3. Lnonc de la prop. I.1.2 devient totalement faux en dimension in-nie : les normes sur un espaceE de dimension innie ne sont pas toutes quivalentes,etE peut tre complet pour certaines dentre elles, mais il y en a beaucoup pluspourlesquelles ce nest pas le cas.Thorme I.1.4. (Riesz, 1918) SoitE un espace de Banach. Si la boule unit fermeB(0, 1) est compacte, alorsE est de dimension nie.Dmonstration. Si B(0, 1)estcompacte, onpeutextraireunrecouvrementni durecouvrementdeB(0, 1)parles B(x, (12)), pour x B(0, 1). Autrementdit, onpeuttrouver un sous-ensemble ni {ei,i I} dlments deE tels queB(0, 1) iIB(ei,12).Nousallonsmontrerquelesous-espaceEtengendrparles(ei)iIestgal E, cequipermettradeconclure. Comme Etestferm, puisquecomplet, cardedimensionnie(2)LaplupartdesespacesdeBanachdelanalysefonctionnellesontsparables ; uneexceptionnotabletantlespace Cb(R)desfonctionscontinuesbornessur R(cf. Ex. I.1.7)oulespace dessuitesbornes.I.1. ESPACESDEBANACH 7(prop. I.1.2), il sut de montrer que Et est dense dans E. Soit donc x E, et soient a Zety Ettels que |x y| 2a(un tel couple existe : il sut de prendrey=0 etaassez petit pour que |x|2a). On a2a(x y) B(0, 1) et, par dnition de la famille(ei)iI, il existei Itel que |2a(x y) ei| 12. Maisalorsyt=y+ 2aei Etet|xyt|2a1. Ceci permet de construire, par rcurrence, une suite (yn)nN dlmentsde Et vriant |xyn|2na, ce qui prouve que x est dans ladhrence de Et, et permetde conclure.2. Espaces de suitesExemple I.1.5. (i) On note lensemble des suites bornes (xn)nN. Muni de la norme| | dnie par |(xn)nN|= supnN[xn[, lespace est un espace de Banach. Lespace

0, sous-espace de des suites tendant vers 0 quand n tend vers + est un sous-espaceferm de, et donc aussi un Banach.(ii) On note1lensemble des suites(xn)nN, telles que

nN[xn[ < +. Muni de lanorme | |1 dnie par |(xn)nN|1=

nN[xn[, lespace1est un espace de Banach.(iii) On note2lensemble des suites(xn)nN, telles que nN[xn[2 0, un lment g de AR vriant |g h|, cequi prouve que h est dans ladhrence de AR, et donc dans AR. Ceci permet de conclure.Exemple I.1.10. (i) Si I est un intervalle compact de R, alors les polynmes sont densesdans C(I) (Weierstrass 1885).(ii) Plus gnralement, si K est un compact de Rm, les polynmes (en x1, . . . xm)(3)sontdenses dans C(K).(iii)Lespolynmestrigonomtriques(i.e. lesfonctionsdelaforme kI ake2i kt, oIdcritlessous-ensemblesnisdeZ)sontdensesdanslespaceC(R/Z)desfonctionscontinues, priodiques de priode 1 (Weierstrass). Ils ne sont pas denses dans C([0, 1]) carun lment de ladhrence doit vrierf(0)=f(1), les point0 et1 ntant pas sparspar les polynmes trigonomtriques.Exercice I.1.11. Soith : R R la fonction indicatrice de Q.(i) Construire une suite double fn,k de fonctions continues de R dans R telle que, si n est x, alors lasuite fn,k tend simplement (i.e.fn,k(x) gn(x), quel que soit x R) vers une fonction gn quand k tendvers +, et la suitegn tend simplement versh quandn tend vers +. (En bref,h est limite simple delimites simples de fonctions continues).(3)Attention au fait que, si D est le disque unit de C, les polynmes en z ne sont pas denses dans C(D) ;eneet,unlmentdeladhrenceestunefonctionholomorphe,commenousleverrons.Leproblmevient de ce que les polynmes enz ne sont pas stables parf f.10 CHAPITREI. ESPACESDEBANACH(ii) Montrer que h nest pas une limite simple de fonctions continues. (Sihn est une suite de fonctionscontinues tendant simplement vers h, construire une suite extraite h(n) et une suite de segments emboits[an, bn] tels que limage de [an, bn] parh(n) soit incluse dans [14,34] et en tirer une contradiction.)4. Compltion despaces vectoriels normsLa manire la plus standard pour construire des espaces de Banach est de partir des-pacesvectorielsnormsetdelescomplter(4). Onrenvoielalina5.2duD.3pourdes considrations gnrales au sujet de la compltion dun espace mtrique. De maniregnrale, on a le rsultat suivant.Proposition I.1.12. (i) Si (E, | |) est un espace vectoriel norm, alors le compltE deE (pour la distance associe | |) est un espace vectoriel. De plus, | | stend parcontinuit en une norme sur E, et(E, | |) est un espace de Banach.(ii) SiF est un espace de Banach, et siu : E F est linaire continue, alorsu admetun unique prolongement continu E, et ce prolongement est linaire.Dmonstration. Le (i) est un petit exercice utilisant de manire rpte la prop. D.3.8.Par exemple, pour montrer que ladditions: EE E stend par continuit en uneaddition s :EE E, on peut munir EE de la norme |(x, y)| = sup(|x|, |y|). Alorss : EE E E est lipschitzienne de rapport 2, et donc stend par continuit EE.Le (ii) est le cor. D.3.11.Exemple I.1.13. Soit un ouvert deRm.(i) LespaceL1() dni au no1 du III.1 est un espace de Banach dans lequel Cc()est dense ; on peut donc aussi le dnir comme le complt de Cc() pour la norme | |1dnie par ||1=_[(x)[ dx.(ii) De mme, lespaceL2() dni au no2 du III.1 peut aussi tre dni comme lecomplt de Cc() pour la norme | |2 dnie par ||2=_ _[(x)[2dx_1/2.(iii)Si k1, ondnitlespacedeSobolevHk(Rm)commelecompltdelespaceCkc (Rm)desfonctions de classe Cksur Rm, nulles en dehors dun compact, pour la norme | |Hkdnie par||Hk=_ ||k(|

|2)2_1/2=_ ||k_Rm[

(x)[2dx_1/2,(4)Pour beaucoup de questions cest trs utile, car on obtient un espace dans lequel lanalyse devient plusfacile ; enparticulier, il estnettementplusaisdedmontrerdesrsultatsdexistencedansunespacecomplet. videmment, leproblmeestquil estdicilederetrouversespetitsaprscompltion. Parexemple, il est impossible de montrer que deux nombres rels sont gaux (R est obtenu en compltantQ)sauf si onsaitparailleursqueleurdirenceestunentier(multiplicationprsparunnombrerelexplicite).Demme,ilestnettementplusfacilededmontrerlexistencedesolutionsdquationsdirentielles dans un espace de Sobolev Hk, mais si ce qui nous intresse sont des solutions de classe Ck,il y a un travail supplmentaire pour vrier que les solutions obtenues conviennent.I.1. ESPACESDEBANACH 11o, si = (1, . . . , m) Nm, on a pos [[ =

mj=1 j, et not

loprateur direntiel

=_x1_

1

_xm_

m.Par dnition, si = (1, . . . , m) Nmvrie [[k, lapplication linaire

= (x1)

1 (xm)

m: Ckc (Rm) Ck||c(Rm)est continue (et mme 1-lipschitzienne) si on munit Ckc (Rm) de la norme | |Hk et Ck||c(Rm) de la norme| |Hk|| . Elle stend donc, par continuit, en une application linaire, encore note

, de Hk(Rm) dansHk||(Rm).PropositionI.1.14. Si k N, si Nmvrie [[k, si Ckc (Rm), et si f Hk(Rm), alors(5)_Rm(

) f= (1)||_Rm(

f) .Dmonstration. Les deux membres sont bien dnis car

,f,

fet sont de carr sommable. Onen dduit quef L(f) =_Rm(

) f (1)||_Rm(

f) est une forme linaire sur Hk(Rm), qui est continue car[L(f)[|f|2|

|2 +|

f|2||2(|

|2 +||2)|f|Hk.Parailleurs, une(suited)intgrationparpartiemontrequeL(f) =0si fCkc (Rm), etcommeCkc (Rm) est dense dans Hk(Rm), cela implique que L est identiquement nulle sur Hk(Rm). Ceci permetde conclure.5. Applications linaires continues entre espaces de BanachThorme I.1.15. (Banach-Steinhaus, 1927) Soient E un espace de Banach, F un es-pace vectoriel norm, et(un)nN une suite dapplications linaires continues deE dansF.Alors, de deux choses lune : soit la suite (|un|)nN est borne(6), et donc un(x) est bornepour toutx E, soit x E, supnN|un(x)|F= + est dense dansE.Dmonstration. Il sagit de prouver que, si (|un|)nN nest pas borne, et si on dnit: E R+ + par(x)=supnN|un(x)|F, alors x E, (x)=+ est unGdense. Pour cela, considrons, si N N, lensembleUN= x E, (x)>N. OnaUN= nNx E, |un(x)|F>N, etcommechaqueunestcontinue, UNestuneruniondouvertsetdoncestouvert. Si UNnestpasdense, il existex0 Eetr>0tel que |un(x + x0)|F N, quel que soientx E, avec |x|E0, telsque, si |y|F0, il existe x BE(0, n), avec |u(x) (u(x0)+y)|F0 tel que, quel que soity BF(0, ) et quel que soit > 0, il existex BE(0, (12)) avec |y u(x)|F< .Cenestpastoutfaitlersultatcherch,maispresque.Si y BF(0, ),onpeutconstruire par rcurrence, en utilisant ce qui prcde, une suite(xm)mNdlments deBE(0, (12)), et une suite(ym)mN dlments deBF(0, ) vriant :y0= y, |ymu(xm)|F0, alors BE(x, r) =x+rBE(0, 1) et doncu(BE(x, r)) =u(x) + ru(BE(0, 1)). Lethormeci-dessusmontredoncque, si uestsurjective, alorsu(BE(x, r)) contient un voisinage ouvert deu(x). On en dduit le faitque, si U est un ouvert de E, alors u(U) est voisinage ouvert de u(x), quel que soit x U;autrementdit u(U)estouvert. Lethormeci-dessuspeutdoncsereformulersouslaforme limagedunouvertparuneapplicationlinairecontinuesurjectiveentredeuxespaces de Banach est un ouvert ; cest ce qui explique son nom.Corollaire I.1.20. SiE etF sont deux espaces de Banach, et siu : E F est uneapplication linaire continue bijective, alorsu1: F E est aussi continue.Dmonstration. Si U est un ouvert deE, alors(u1)1(U)=u(U) est ouvert daprsla remarque ci-dessus. Ceci permet de conclure.Exercice I.1.21. (Thorme du graphe ferm)Soient Eet FdeuxespacesdeBanach, et u: E Funeapplicationlinaire. SoitG E F le graphe deu (i.e. lensemble des couples(x, u(x)), pourx E).(i) Montrer queEF muni de la norme |(x, y)|=sup(|x|E, |y|F) est un espace deBanach et que les deux projectionspE: E F E etpF: E F F sont continues.(ii) Montrer queG est un sous-espace vectoriel deEF et que, si G est ferm dansE F, alorsu est continue.(iii) Construiref: R R non continue dont le graphe est ferm.6. Le dual dun espace de BanachSiE est un espace vectoriel norm, on noteE le dual deE, cest--dire lensemble desformes linaires continues sur E. Si : E K est une forme linaire continue, on rappelleque lon dnit sa norme || comme la borne infrieure de lensemble desC R+telsque [(x)[C|x| quel que soitx E.14 CHAPITREI. ESPACESDEBANACHThorme I.1.22. Si E est un espace vectoriel norm, alors(E, | |) est un espacede Banach.Dmonstration. Lefait que | |est unenormedespacevectoriel est unexercice.Maintenant, soit nunesuitedlmentsdeEtelleque nN|n|=C0, il existe, par dnition deL2(R/Z), une fonction continuegsurR/Z avec|fg|20, cequi permetdeconclure.On dit que A est de mesure nulle si +(A) = 0. En revenant la dnition, on voit queA est de mesure nulle si et seulement si, quel que soit> 0, il existe une suite(Dn)nNde dallages deRmtels queA nNDn et

nN (Dn) < .Proposition II.1.4. (i)Tout sous-ensembledunensembledemesurenulleest demesure nulle.(ii) Une runion dnombrable densembles de mesure nulle est de mesure nulle.Dmonstration. Cest une consquence immdiate de la prop. II.1.3.Exercice II.1.5. Montrer que, siA est de mesure nulle dansRn, alorsARmest demesure nulle dansRn+m.Exercice II.1.6. (i) Montrer que la diagonale dansR2est de mesure nulle.(ii) Montrer, plus gnralement, quelegraphedans R2duneapplicationcontinuef: R R est de mesure nulle, et quun hyperplan est de mesure nulle dansRm.(iii) Limage dansR2de[0, 1] par une application continue est-elle ncessairement demesure nulle ?28 CHAPITREII. INTGRATIONOn dit quune proprit est vraie presque partout, ou bien est vraie pour presque toutx Rm, ou encore est vraie p.p., si lensemble des points ne la vriant pas est de mesurenulle. Parexemple, lensembledesrationnelstantdnombrable, presquetoutrel estirrationnel.Exercice II.1.7. Montrer que presque tout(5)nombre complexe est transcendant. (Unnombre complexe est algbrique sil est racine dun polynme unitaire coecients dans Q.Un nombre complexe non algbrique est un nombre transcendant.)Remarque II.1.8. Il ne faudrait pas croire quun sous-ensemble deR de mesure nulleest forcment dnombrable. Par exemple, xons une bijection n rn de Nsur Q, et soientUk= nN]rn2nk, rn+2nk[, si k N, et A = kNUk. Alors A est de mesure nullepuisquil est inclus dansUk, pour toutk, et que+(Uk)

+n=021nk= 22kpeut trerendu arbitrairement petit. Dun autre ct, Uk est un ouvert dense pour tout k, et donc Aest dense et non dnombrable daprs le lemme de Baire (cf. th. D.3.5). En particulier, Acontient bien dautres lments que les rationnels, ce qui nest pas totalement transparentsur sa construction.Exercice II.1.9. Montrer quune fonction continue, qui est nulle p.p., est identiquementnulle.Thorme II.1.10. (Borel-Cantelli)Si (An)nNestunesuitedesous-ensemblesdeRmtelleque nN +(An) 0 et C > 0, alors pour presque tout(6)nombrerelx, lensemble des couples dentiers(p, q), tels que [x pq[Cq2, est ni.(5)Au vu de ce rsultat, il est raisonnable de penser quun nombre nayant pas de bonnes raisons dtrealgbrique est transcendant. Dmontrer quun nombre donn est transcendant ou mme irrationnel est,en gnral, trs dicile. Par exemple, il a fallu attendre 1979 pour que R. Apery dmontre que(3) estirrationnel, et il ny a aucun entiern impair5, pour lequel on sache prouver que(n) est irrationnel.Leseul rsultatdanscettedirectionestunrsultatdeT. Rivoal (2000)qui admontrque(n)estirrationnel pour une innit de n impairs, et quau moins un des 9 nombres (5), , (21) est irrationnel(amlior depuis par W. Zudilin : au moins un des 4 nombres(5), (7), (9), (11) est irrationnel).(6)K. Roth a obtenu la mdaille Fields en 1958 pour avoir dmontr que les nombres algbriques ont cetteproprit(cestvidentpourlesrationnelsoulesnombresalgbriquesdedegr2(si estunnombrealgbrique, le degr de est le minimum des degrs des polynmes P Q[X] non nuls, avec P() = 0),mais le cas gnral reprsente un tour de force). On ne sait pas dmontrer que vrie cette proprit.II.1. INTGRALEDELEBESGUE 29(ii) Montrer que lensemble des nombres de Liouville est de mesure nulle, non dnom-brable, et dense dans R. (Un rel x est de Liouville si ce nest pas un nombre rationnel etsi, quel que soitn N, il existe un couple dentiers(p, q),q2, tels que [x pq[qn.)3. Dnition de lintgrale de LebesgueUnefonctionf : RmCestditemesurablesi elleestlimitep.p. dunesuitedefonctions en escalier. Autrement dit,fest mesurable sil existeA Rmde mesure nulle,et une suite (fn)nN dlments de Esc(Rm) tels que limn+ fn(x) = f(x), quel que soitx / A. Unsous-ensembleAdeRmestmesurablesi safonctioncaractristique1Aestune fonction mesurable. Si A est mesurable, et si (fk)kNest une suite de fonctions enescalier tendant simplement vers1A en dehors deB, oB est de mesure nulle, on a aussi1Xk 1AendehorsdeB, si Xkestledallagedesx Rmvriant [fk(x) 1[ 12.Autrement dit,A est mesurable si et seulement si il existe une suite de dallages(Xk)kNtelle que1Xktende vers1A p.p.Exercice II.1.12. (i)Montrerquelesfonctionsmesurablesformentunealgbre(i.e.quef,f+ g etfg sont mesurables si C,f, g mesurables).(ii) Montrer que, sifest mesurable surRnetg est mesurable surRm, alorsh(x, y) =f(x)g(y) est mesurable surRn+m.(iii) Montrer que, si fet g sont mesurables, alors inf(f, g) et sup(f, g) sont mesurables.(iv) Montrer quune fonction continue est mesurable.On note Mes(Rm) le C-espace vectoriel des fonctions mesurables sur Rm. Plus gnra-lement, si D RmetF C (ouF R+), on noteMes(D, F) lensemble des fonctionsmesurables surRm, qui sont nulles en dehors deD et qui prennent leurs valeurs dansF.Proposition II.1.13. Une limite simple p.p. de fonctions mesurables est mesurable.Dmonstration. Cette proposition est moins vidente quil ny parat comme le suggrelexercice I.1.11. La dmonstration sera faite lalina 6.4.Lexistence de lintgrale de Lebesgue repose sur la rsultat suivant que lon peut voircomme un embryon de thorme de convergence domine.Dans le mme genre dides, six est un nombre rel non rationnel, on peut prendre son dveloppementen fractions continues (il sagit de la suite dentiers (an)nNdnie par lalgorithmex0 =x,an = [xn],xn+1=1xnan; lesnombresrationnelsunvn, obtenusencrivantxentermesdea0, , an1etxn, etenremplaant xnpar andanslexpression, sontlesmeilleuresapproximationsdexpardesnombresrationnels). On montre facilement que, pour presque tout nombre relx, la suitean nest pas borne, cequi quivaut la nullit de la borne infrieure de lensemble desq[qx p[, pourp, q Z,q1. Six estalgbrique de degr 2, la suiteandevient priodique partir dun certain rang et donc est borne. Onest persuad que si x est algbrique de degr3, alors la suiteannest pas borne, mais on ne sait ledmontrer dans aucun cas.30 CHAPITREII. INTGRATIONProposition II.1.14. SoitD Rmun dallage, soitM0, soitf Mes(D, [0, M]),et soit(fn)nN une suite dlments deEsc(D, [0, M]) qui converge versfp.p. Alors_fna une limite _fqui ne dpend que def, et _f= 0 si et seulement sif= 0 p.p.Dmonstration. La dmonstration de cette proposition est assez dlicate (en tout casplus que la dmonstration de lexistence de la limite pour les sommes de Riemann associes une fonction continue) ; nous la ferons plus loin (cf. alina 6.1).Dnition II.1.15. (Intgrale de Lebesgue(7))(i) Sif Mes(D, [0, M]), on dnit_f R+ comme la limite, quandn tend vers+de _fn, o(fn)nNest nimporte quelle suite dlments deEsc(D, [0, M]) qui convergeversfp.p.(ii) Si f Mes(Rm, R+), on dnit_f R+ comme la limite, quand N tend vers +,delasuitecroissantedetermegnral _DNinf(f, N), oDNestladalle(8)desommets(N, . . . , N).(iii) On dit quef Mes(Rm, C) est sommable, si _ [f[ 0, etsi n N, soitXn,= x D, hn(x) . Alors(Xn,)nNestunesuite dcroissante de dallages, et nNXn, est de mesure nulle puisquehn tend vers 0 presque partout.DaprslelemmeII.1.33,ceciimpliquequelimn+ (Xn,)=0 ;etdoncquilexisten Ntelque(Xn+p,) , si p N. Commehn+p(x) M, si x Xn+p,, ethn+p(x) , si x / Xn+p,, ona_hn+p((D) + M), quel que soitp N. Ceci permet de conclure.LemmeII.1.35. Si (hn)nN est une suite dlments de Esc(D, [0, M]), tendant vers 0 presque partout,telle que nN_ [hn+1 hn[ < +, alors limn+_hn = 0.Dmonstration. Supposons lecontraire. Il existealors C>0et uneinnitde n Ntels que_hnC. Quitte extraire une sous-suite de la suitehn, on peut donc supposer que_hnC quel quesoit n N (cela ne change pas la condition

nN_ [hn+1hn[ < + car, si : N N est strictementcroissante, on a [h(n+1)h(n)[

(n+1)1k=(n)[hk+1hk[). Comme la srie

nN_ [hn+1hn[ converge,onpeut, quitterempacer npar n + n0, supposerdeplusque kN_ [hk+1 hk[ C2 . Soitalorsgn=infkn hk. Parconstruction, gnestunesuitedcroissantedlmentsdeEsc(D, [0, M]), qui tendvers0presquepartoutcar gnhn. DaprslelemmeII.1.34, celaimpliquelimn+_gn=0. Parailleurs, on a gn(x)h0(x)

n1k=0 [hk+1(x) hk(x)[ (avec galit si et seulement si la suite (hn(x))nNest dcroissante). On en dduit que _gn _h0

n1k=0_ [hk+1 hk[C C2 , quel que soitn N.Do une contradiction qui permet de conclure.Passons la dmonstration de la prop. II.1.31. Sinp, soientfn,p = infnkphket gn,p = supnkphk.Alors, quandnest x, fn,p(resp. gn,p) est unesuitedcroissante(resp. croissante) dlments deEsc(D, [0, M]), alorsquequandpestxfn,p(resp. gn,p)estcroissante(resp. dcroissante). Enpar-ticulier, sin est x, la suite_fn,p (resp._gn,p) est une suite dcroissante (resp. croissante) dlmentsde[0, M(D)] ;elleadmetdoncunelimiteetestdeCauchy.Onpeutdonctrouver0(n) ntelque,quels que soientp1, p20(n), on ait_fn,p1 _fn,p2 2net _gn,p1 _gn,p2 2n.36 CHAPITREII. INTGRATIONOn note an la limite, quand p tend vers + de la suite croissante_gn,pfn,p, et on choisit : N N,avec(n) 0(n), et _un 12an, oun=gn,(n) fn,(n). Par construction, un Esc(D, [0, M]), etun 0 p.p. carhn a une limite p.p.Sin N, et sip(n),_[gn+1,(n+1) gn,(n)[ _[gn+1,(n+1) gn+1,p[ +_[gn+1,p gn,p[ +_[gn,p gn,(n)[.Maintenant, par hypothse, on a_[gn+1,(n+1) gn+1,p[ +_[gn,p gn,(n)[2n1+ 2n 21n,et comme la suite (gn,p)np est dcroissante, on a [gn+1,pgn,p[ = gn,pgn+1,p. On en dduit, quel quesoitpmaxnN (n), la majorationN1

n=0_[gn+1,(n+1) gn,(n)[ N1

n=0_21n+_gn,p gn+1,p_ 4 +_g0,p gN,p4 + M(D),la dernire ingalit venant de ce queg0,p gN,p Esc(D, [0, M]). On montre de mme queN1

n=0_[fn+1,(n+1) fn,(n)[4 + M(D).On en dduit que+

n=0_[un un+1[ +

n=0__[fn+1,(n+1) fn,(n)[ +[gn+1,(n+1) gn,(n)[_ 8 + 2M(D) < +,ce qui permet dutiliser le lemme II.1.35 pour montrer que_un 0 et donc quean 0. Or on aan = suppn___supnkphk___infnkphk__

_supkn_hk__infkn_hk_.Onendduit queles limites infrieureet suprieuredelasuite(_hn)nNsont gales et doncque(_hn)nN a une limite.Maintenant, si on part de suites (hn)nNet (h

n)nNdlments de Esc(D, [0, M]) convergeant vershp.p., on peut fabriquer une troisime suite (h

n)nN dlments de Esc(D, [0, M]) convergeant versh p.p.,en posanth

2n=hneth

2n+1=h

n, si n N. Lexistence de la limite de _h

nquandn tend vers+implique lgalit de limn+_hn et limn+_h

n, ce qui prouve que la limite ne dpend que deh etpas de la suite (hn)nN.Finalement, on peut appliquer ce qui prcde fn = infkn hk = limp+ fn,petgn = supkn hk =limp+ gn,pqui sontdeslmentsdeMes(D, [0, M])parconstruction. Daprscequi prcde, ona_gn fn = limp+_gn,p fn,p = an, etan 0. Comme par ailleurs,fnhngn, etfnhgnp.p, ce qui implique [h hn[gn fn p.p., on a_ [h hn[an, et donc_ [h hn[ 0.Ceci termine la dmonstration de la proposition.Remarque II.1.36. Si h = 0 p.p., on peut prendrehn= 0, quel que soitn N pour calculer _h, etdonc_h = 0, sih = 0 p.p..II.1. INTGRALEDELEBESGUE 376.2. Mesure et mesure extrieure des ensembles mesurablesCet alina est consacr la dmonstration de la prop. II.1.17, selon laquelle(A) = +(A) pour toutensemble mesurable A. Si A est mesurable, et si AN = A [N, N[m, alors(A) = limn+ (AN) pardnition. Par ailleurs, on dduit des (i) et (ii) de la prop. II.1.3, que+(A) = supNN+(AN). Il sutdonc de prouver que(AN) = +(AN) pour tout N pour prouver que(A) = +(A). Autrement dit, onpeut supposer que A est born.Dans le reste de cet alina, on xe un dallage D de Rm, et tous les ensembles considrs sont inclusdans D. On dit que A D est dallable sil existe une suite (Dn)nN de dalles lmentaires disjointes tellesque A =

nNDn ; une telle dcomposition de A est une dcomposition en dalles lmentaires.LemmeII.1.37. (i)SiA Dest dallable,alorsA est mesurableet+(A) =(A) =

nN(Dn),pour toute dcomposition A =

nNDnde A en dalles lmentaires.(ii) Si A D, alors +(A) = inf (B), o B dcrit lensemble des ensembles dallables, avec A B D.(iii) Si A et B sont mesurables, alors AB et AB sont mesurables et (AB)+(AB) = (A)+(B).Dmonstration. Si n N, soit fn =

in1Di. Alors (fn)nN est une suite dlments de Esc(D, [0, 1])tendant vers 1A en tout point, et donc_fn =

in (Di) tend vers_ 1D = (D), daprs la prop. II.1.31.OnendduitqueAestmesurableetque(A)= nN(Dn). Le(ii)sendduitenrevenantladnitionde +(A), et lgalit +(A) =(A) du(i) est alors uneconsquenceimmdiatedu(ii).Finalement, le (iii) suit de ce que 1AB = sup(1A, 1B) et 1AB = inf(1A, 1B) sont mesurables, et de ceque 1AB +1AB = 1A +1B.LemmeII.1.38. (i) Si (An)nNest une suite croissante de sous-ensembles dallables de D, alors A =nNAnest dallable, et(A) = supnN(An).(ii) Si(An)nNest une suite croissante de sous-ensembles deD, et siA = nNAn, alors+(A) =supnN+(An).Dmonstration. (i) crivons chaque Ancomme une runion disjointe dnombrable de dalles lmen-taires Dn,i, pouri In. Si x A, soit Dxla plus grande dalle lmentaire contenantx parmi les Dn,i,pourn N eti In (lexistence de Dx vient de ce que les dalles lmentaires se comportent comme desbilles de mercure). Soit J nN_n In_lensemble des (n, i) tels quil existex A avec Dx = Dn,i.Alors A est la runion disjointe des Dn,i, pour (n, i) J, et donc A est dallable. (On remarquera que lonna pas utilis le fait que la suite (An)nN est croissante dans cette partie de la dmonstration.)Maintenant, lingalit(A)supnN(An) est immdiate puisque A contient chacun des An. Rci-proquement, si J

est un sous-ensemble ni de J, alors

(n,i)J

Dn,iest inclus dans un des Am, et on a

(n,i)J

(Dn,i)supnN(An), quel que soit J

J ni. En passant la limite, on obtient lingalit(A)supnN(An) qui termine la dmonstration du (i).(ii) Lingalit +(A)supnN+(An) est immdiate. Montrons lingalit dans lautre sens. Si > 0,on peut, quel que soitn N, trouver Dndallable tel que(Dn) +(An) +2n+1. Soit D

n= inDi.Alors D

n est un ensemble dallable (comme runion nie densembles dallables), contenant An, et la suiteD

n est croissante par construction. De plus, on a(D

n+1) +(An+1) = (D

n) + (Dn+1) (D

n Dn+1) +(An+1)(D

n) +(An) +2n+1,carD

n Dn+1contientAn. Onendduit, parrcurrence, que(D

n+1) +(An+1)(1 12n+1).Maintenant, daprs le(i), D= nND

n, qui contient A, est dallable, et (D) =supnN(D

n) + supnN+(An). Onadonc +(A) + supnN+(An), quel quesoit >0. Ceci permetdeconclure.38 CHAPITREII. INTGRATIONRevenons la dmonstration de la proposition II.1.17. Si B est un ensemble dallable contenant A, ona(A)(B) puisque 1A1B. En prenant la borne infrieure sur tous les B dallables contenant A, onobtient(A)+(A), daprs le (ii) du lemme II.1.37.Pour prouver lautre ingalit, considrons une suite(Xk)kNde dallages contenus dansD, tels que1Xk 1A p.p. Alors, par dnition,(A) = limk+ (Xk). Soit A

= kNk X

. Par construction,on a 1A= liminf 1Xk, et donc 1A= 1A p.p. On en dduit les galits (A) = (A

) et +(A) = +(A

).Maintenant, +(kX

)infk (X

), puisque X

est un dallage contenant kX

, si k ; comme lasuite kX

est croissante, on a +(A

) = supkN+(kX

)supkNinfk (X

) = liminf (Xk) =(A). Ceci permet de conclure.6.3. Le thorme de convergence monotone pour les fonctions mesurables bornes support compactLemmeII.1.39. Sif Mes(Rm, R+), et sia R+, il existe Y mesurable tel quex, f(x) > a Y x, f(x)a.Dmonstration.Soit(fk)kNunesuitedlmentsdeEsc(Rm, R+)tendantversfendehorsdeB,avec B de mesure nulle. Soit Xk = x Rm, fk(x) > a. Alors Xkest un dallage, quel que soitk N,et il existe X tel que, six/ B, alors 1Xk(x) 1X(x), et donc 1Xk 1Xp.p., ce qui prouve que X estmesurable. Or X contient x, f(x) > a B et est contenu dans x, f(x)a B, et il sut de poserY = (X (X B)) (x, f(x) a B) pour obtenir un ensemble mesurable (Ydire de X par unensemble de mesure nulle) ayant les proprits requises.LemmeII.1.40. Si (hn)nNest unesuitedlmentsdeMes(Rm, R+)tendant simplement vers hp.p., et si _hn 0, alorsh = 0 p.p.Dmonstration. h est la limite p.p. de toute suite extraite de la suite (hn)nN, ce qui permet, quitte extraire une sous-suite, de supposer que lon a_hn2nquel que soitn N. Pour montrer queh = 0p.p., il sut de montrer que, quel que soitj N, lensemble Xjdesx tels queh(x) > 2jest de mesurenulle. Si n N, soit Xj,n un ensemble mesurable vriant xhn(x) > 2j Xn,j xhn(x)2j (lelemme II.1.39 assure lexistence dun tel Xn,j). Comme 2j1Xj,n hn, on a(Xj,n)2j_hn2jn.Comme

2jn< +, lensemble desx tels quehn(x) > 2jpour une innit den N est de mesurenulle daprs le thorme de Borel-Cantelli, et comme Xjest inclus dans cet ensemble ( lensemble prsdesx tels quehn(x) , h(x), qui est de mesure nulle), cela permet de conclure.LemmeII.1.41. Si (gn)nN est une suite dlments de Esc(Rm), telle que

nN_ [gn[ < +, alorsla srie nNgn(x) converge absolument p.p.Dmonstration. Soit C= nN_ [gn[. Si MR+, soit XM,nlensembledes xRmtel que

kn[gk(x)[M. Alors XM,n est une suite croissante de dallages, et on aM(XM,n) _XM,n

kn[gk[ _ kn[gk[ =

kn_[gk[C,quel que soit n N. On en dduit que +(nNXM,n)M1C, et comme lensemble A des x Rmtelsque nN[gn(x)[ = + est lintersection des XM,n, pour M R+, on a+(A)M1C quel que soitM R+. Ceci implique que A est de mesure nulle, et permet de conclure.LemmeII.1.42. Si(hk)kNestunesuitecroissantedlmentsdeMes(D, [0, M]),alorslalimitehde la suite (hk)kNest mesurable, et _h = lim_hk = sup_hk.II.1. INTGRALEDELEBESGUE 39Dmonstration. La suite_hk est croissante et majore par M(D) ; elle admet donc une limitenie,et, quitte extraire une sous-suite, on peut supposer que _hk2k, quel que soitk N.Maintenant, comme hk est suppose mesurable, il existe une suite de fonctions en escalier fk, tendantvers hk p.p. Comme hk est support dans D et valeurs dans [0, M], on peut, quitte remplacer fk, parla fonction valant 0 si x/ D, ou si Re(fk,(x))0, valant Re(fk,(x)) si Re(fk,(x)) [0, M] etx D,etvalantMsiRe(fk,(x)) Metx D,supposerquefk, Esc(D, [0, M]).Daprslaprop.II.1.31,lim+_ [hkfk,[ = 0 ; il existe donc(k) tel que, si on posefk = fk,(k), alors_ [fkhk[2k. Ona donc_[fk+1 fk[ _[fk+1 hk+1[ +_[hk+1 hk[ +_[hk fk[32k,etcomme kN32k h(t), qui est un ensemblede mesure nulle comme runion dnombrable densembles de mesure nulle.Onestdoncdanslesconditionsdapplicationduthormedeconvergencedomine,etlimn+_Rm gn(t) dt =_Rm g(t) dt, ce qui permet de conclure.Thorme II.2.2. (de drivation sous le signe somme) SoientI un intervalle deR etf: I RmC vriant :t f(x, t) est sommable, quel que soitx I ; il existe un ensemble de mesure nulleA Rmeth:RmR+sommable, tels quefx(x, t) existe en tout point deRmA et [fx(x, t)[h(t), quels que soient(13)x I ett/ A.Alors la fonctionF dnie surI parF(x) =_Rm f(x, t) dt est drivable et, quel que soitx I, on aFt(x) =_Rmfx(x, t) dt.Dmonstration. Quitte remplacer f par la fonction valant f(x, t), si t/ A, et valant 0,sit A, ce qui ne change pas la valeur des intgrales, on peut supposer queA = .Fixons x I. Soit (xn)nN une suite dlments de I x tendant vers x quand n tendvers+. Soitg(t) =fx(x, t), et sin N, soitgn(t) =f(xn,t)f(x,t)xnx. Alorsgn tend versgsimplement, et daprs le thorme des accroissement nis, on a[gn(t)[ sup01fx(x + (xnx), t) h(t),quel quesoit t Rm. Onestdoncdanslesconditionsdapplicationduthormedeconvergence domine, etlimn+_Rm gn=_Rm g. Autrement dit, on alimn+F(xn) F(x)xnx=_Rmfx(x, t) dt,(13)La drivabilit tant une proprit locale, pour dmontrer la drivabilit sur un intervalle I, il sutde la dmontrer sur une suite dintervalles dont la runion est I. En dautre termes, on na pas vraimentbesoindunemajorationsurItoutentier,maissurunesuitedintervallesdontlarunionestI.Cetteremarque sapplique aussi au cor. II.2.3 pour lequel on peut aussi commencer par diminuer .42 CHAPITREII. INTGRATIONpour toute suite(xn)nNdlments deI x tendant versx quandn tend vers+.On en dduit le rsultat.Si = (1, . . . , n) Nn, on pose [[ = 1 + + n, et

= (x1)k1 (xn)kn.Corollaire II.2.3. Soient un ouvert deRn,k N etf: RmC vriant :t f(x, t) est sommable, quel que soitx ; il existe un ensemble de mesure nulleA Rmeth : Rm R+sommable, tels que,sit RmA, la fonctionx f(x, t) est de classe Cksur, et [

f(x, t)[h(t), quelsque soientx , Nn, avec [[k, ett/ A.AlorslafonctionFdniesurparF(x)=_Rm f(x, t) dtestdeclasseCket,quelsque soient Nn, avec [[k, etx , on a

F(x) =_Rm

f(x, t) dt.Dmonstration. Cela se dduit du thorme de drivation sous le signe somme par unercurrence immdiate.Exercice II.2.4. SoitI =]0, 1[, et soitf: I R R dnie parf(x, t) = 0 sit0 ousitx, etf(x, t) = 1 si0 < t < x. Calculer explicitementF(x) =_R f(x, t) dt etFt(x).Expliquerpourquoi lethormededrivationsouslesignesommenepermetpasdendduire1 = 0. A quel endroit cela intervient-il dans la dmonstration du dit thorme ?Exercice II.2.5. (Fonction dEuler)(i) Montrer que lintgrale(s) =_+0etts dttest bien dnie sis R+.(ii) Montrer que est de classe C surR+ et tend vers+ ens = 0.(iii) Montrer que(s + 1) = s(s) sis > 0 ; en dduire que(n + 1) = n!, sin N.(iv) Formule de Stirling : montrer que(s + 1) (se)s2s au voisinage de+. Onfera le changement de variablet = s + us, et on montrera queus + s log(1 +us) _u22si s < u0,u + log(1 + u) siu0 ets1.(v) En dduire la formule de Gauss :1(s)= limn+s(s+1)(s+n)n!ns, sis R+.Exercice II.2.6. (i)Montrerquelintgrale _+0sin ttdtestsemi-convergente(cest--dire quesin ttest sommable sur[0, T], pour toutT, et que _T0sin ttdt a une limite quandT +).(ii) On dnitF() pour R+, parF()=_+0et sin ttdt. Montrer queF est declasse C1surR+ et calculerFt().(iii) Montrer queF tend vers0 en+; en dduireF(), pour > 0.(iv) Montrer queF est continue en0 ; en dduire la valeur de_+0sin ttdt.II.2. APPLICATIONSDELINTGRALEDELEBESGUE 432. Intgrales multiplesSi on a une somme nie

j,k aj,k, on peut calculer la somme en commenant par sommersur j puis sur k ou bien on peut commencer par sommer sur k puis sur j. Le thorme deFubini ci-dessous dit quil en est de mme pour des intgrales ( condition que tout soitsommable).Lemme II.2.7. (Fubini pour les fonctions en escalier) Lapplicationf _Rn f(resp.f _Rm f) est une application linaire deEsc(Rn+m) dansEsc(Rm) (resp.Esc(Rn)), eton a_Rm_Rnf

_Rn+m[f[ et_Rn_Rmf

_Rn+m[f[_Rm__Rnf_=_Rn+mf=_Rn__Rmf_.Dmonstration. La linarit est une consquence de la linarit de lintgrale. Mainte-nant, soitr N, et soientj = (j1, . . . , jn) Znetk = (k1, . . . , km) Zm. On note(j, k)llment(j1, . . . , jn, k1, . . . , km) deZn+m. Un calcul immdiat montre alors que_Rner,(j,k)= 2rner,k,_Rmer,(j,k)= 2rmer,j,_Rm__Rner,(j,k)) = 2rn_Rmer,k= 2r(n+m)=_Rn+mer,(j,k)=_Rn__Rmer,(j,k)).Il nestpastrsdiciledendduirelersultatendcomposant fsouslaformef =

(j,k) a(j,k)er,(j,k), pourr assez grand (la somme tant une somme nie).Thorme II.2.8. (Fubini)(i)Si fL1(Rn+m), alors f(, y) L1(Rm)p.p(resp. f(x, ) L1(Rn)p.p)ety _Rn f(x, y)dx L1(Rm) (resp.x _Rm f(x, y)dy L1(Rn)). De plus,_Rm__Rnf(x, y) dx_dy=_Rn+mf(x, y)dx dy=_Rn__Rmf(x, y) dy_dx.(ii) Sif: Rn+mR+ est mesurable, alors les fonctionsy _Rnf(x, y)dx et x _Rmf(x, y)dy, valeurs dansR+, sont mesurables, et_Rm__Rnf(x, y) dx_dy=_Rn+mf(x, y)dx dy=_Rn__Rmf(x, y) dy_dx.Remarque II.2.9. SiX RnetY Rmsont mesurables, alorsXY est mesurabledansRn+m, et on a un nonc analogue celui ci-dessus, en remplaantRnparX, RmparY etRn+mparXY. Il se dduit de celui surRn+men crivant une intgrale surX Y sous la forme_Rn+m1XY.44 CHAPITREII. INTGRATIONDmonstration. Soit (fk)kN une suite dlments de Esc(Rn+m), tendant vers f dans L1(Rn+m),ettelleque kN|fk+1 fk|10. CommeAestdemesurenulle, onpeuttrouverunesuite(Dk)kNdedallesdeRn, etunesuite(Ek)kNdedalles deRm, telles queA kNDkEk, et kN(Dk)(Ek) . Si r N etj N, soitB,r,jlensemble desx Rntels que

kj, xDk(Ek) > 2r; cest un dallage de Rn, et on a 2r(B,r,j)

kj (Dk)(Ek). De plus, la suite des (B,r,j)jN est une suite croissante de dallages nis, et donc+(jNB,r,j) = limj+ (B,r,j)2r. Or lensemble Br desx Rntel que+(A(x Rm)) >2rest inclus dans jNB,r,j, quel que soit> 0 ; cest donc un ensemble de mesure nulle puisque demesure extrieure2r quel que soit > 0. Finalement, A1 = rNBrest de mesure nulle, en tant querunion dnombrable densembles de mesures nulles.Revenons la dmonstration du thorme de Fubini. Comme

kN|fk+1fk|1< +, il rsulte ducor II.1.21, que la srie

kNfk+1(x, y) fk(x, y) converge absolument versf(x, y) pour tout (x, y) endehors dun ensemble de mesure nulle A. Par ailleurs, daprs le lemme II.2.10, il existe un sous-ensemblede mesure nulle B1 de Rmtel que, si y/ B1, alors A(Rny) est de mesure nulle dans Rn. Si y/ B1,on a doncfk(x, y) f(x, y) pourx en dehors dun ensemble de mesure nulle.Demme, comme kN_Rn(fk+1 fk) dxconvergenormalementdans L1(Rm)vers g, il existeB2 Rmtel que, siy/ B2, alors_Rn fk(x, y) dx g(y).Maintenant, en appliquant Fubini pour les fonctions en escalier uk = [fk+1 fk[, puis deux fois desuite le thorme de convergence monotone, on obtient :

kN_Rn+m[uk(x, y)[ dxdy =

kN_Rm__Rn[uk(x, y)[ dx_dy=_Rm_

kN_Rn[uk(x, y)[ dx_dy=_Rm__Rn

kN[uk(x, y)[ dx_dy.Comme on a fait lhypothse que

kN_Rn+m [uk(x, y)[ dxdy< +, lensemble B3 des y Rmtels que_Rn

kN[uk(x, y)[ dx=+estdemesurenulle.Si y / B3,lafonctionhy(x)= kN[uk(x, y)[estdonc sommable, et commefk =

k1j=0 uk, on a [fk(x, y)[hy(x) quel que soitk N.Si B = B1 B2 B3, et siy/ B, on est dans les conditions dapplication du thorme de convergencedomine, et doncg(y) = limk+_Rnfk(x, y) dx =_Rn_limk+fk(x, y)_dx =_Rnf(x, y) dx.Ceci permet de terminer la dmonstration du (i).II.2. APPLICATIONSDELINTGRALEDELEBESGUE 45Le(ii)estuneconsquencedu(i)sauf si _Rn+m f(x, y) dxdy =+. Mais, danscecas, il sutde prendre une suite(fk)kNdlments deL1tendant versfen croissant, de constater que les troismembresdelidentitdpendentdemanirecroissantedef, etdutiliserlethormedeconvergencemonotone pour montrer que limk+_Rn+m fk(x, y)dxdy = +, et en dduire que les trois membressont gaux +. Ceci permet de conclure.Exercice II.2.11. Soit f : R+ R+Rdniepar f(x, y) =exysi xy, etf(x, y) = eyx, siy< x. Calculer_+0__+0f(x, y) dx_dy et_+0__+0f(x, y) dy_dx.Peut-on en dduire que 1 = 1 ?3. La formule du changement de variableSoit un ouvert deRm, et soit : () un diomorphisme de sur un ouvert() de Rm, cest--dire une application bijective de classe C1dont linverse est aussi declasse C1. Lapplication scrit, en coordonnes(x) =_1(x1, . . . , xm), . . . , m(x1, . . . , xm)_,et la condition est de classe C1 se traduit par le fait que les drives partiellesixjsontcontinues sur. On dnit la matrice jacobienneJac(x) defau pointx parJac(x) =(ixj(x))1i,jm.OndnitlejacobienJ(x)deaupointxcommeledterminantdeJac(x) ; le fait que soit un diomorphisme implique que Jac(x) est inversible, et doncqueJ(x) ,= 0, pour toutx .Thorme II.2.12. Sifest une fonction mesurable sur(), alorsfest sommablesi et seulement si la fonctionx f((x))J(x) est sommable sur, et on a_()f(y) dy=_f((x))[J(x)[ dx.Remarque II.2.13. En dimension 1, la matrice jacobienne de nest autre que la dri-vet de, et on tombe sur la formule_(]a,b[) f(y) dy=_]a,b[ f((x))[t(x)[ dx. Commet ne sannule pas sur ]a, b[, il y a deux cas : soit t> 0 sur ]a, b[ et (]a, b[) =](a), (b)[,soit t0, soith(t)=h(t). Soit(x)=h(x).a) Calculer(x) et vrier que_R = 1 et queh(x) = (x), avec(x) =1(x/).b) Soitf L1(R). Montrer que |f f|L1 00. (Commencer par une fonctionen escalier.)c) En dduire quil existe une suite n n+0, telle que f n(x) n+f(x) pourpresque toutx R.d) Montrer que(f )(x) =_R h(t)f(t)e2i txdt.2) On suppose de plus quef L1(R). On poseg(x) =_Rf(t)e2i txdt. Vrier queg estcontinue, borne, que_R h(t)f(t)e2i txdt g(x), quand 0, quel que soit x R. Endduire quef(x) = g(x), pour presque toutx R.4. Transforme de Fourier et drivationUne des proprits fondamentales de la transforme de Fourier est dchanger la rgu-larit et la dcroissance linni (i.e. plus une fonction est rgulire, plus sa transformede Fourier est petite linni, et rciproquement, plus une fonction est petite linnieet plus sa transforme de Fourier est rgulire). On a en particulier le rsultat suivant.Thorme III.2.10. (i) Si f Ck(Rm) a toutes ses drives partielles dordre ksommables, alors (1+|x|2)k/2 f(x) tend vers 0 linni, et F(

f) = (2ix)

fsi Nmvrie(5)[[k.(5)On rappelle que (2i x)

=

mj=1(2i xj)

j, six = (x1, . . . , xm) et = (1, . . . , m).III.2. TRANSFORMEDEFOURIERDANSL157(ii) Si (1+ |t|2)k/2f(t) est sommable, alorsf est declasse Ck, et ona

f(x) =(2i)[[F(t

f), si [[k.Dmonstration. Sif Ckc (Rm), la formule F(

f) = (2ix)

fsobtient en intgrantpar partie (on intgre

fet on drivee2i xt). Pour traiter le casfgnral, choisissons Ckc (Rm) valant1 sur[1, 1]m, et dnissonsfjparfj(x)=f(x)(2jx), si j N.Alors fj Ckc (Rm)etunpetitcalcul utilisantlaformuledeLeibnitzpourladrivedun produit montre que

fjtend simplement vers

fet que

fjest majore par unesomme de drivesk-imes def, avec [k[[[, ce qui implique que

fjtend vers

fdans L1(Rm). Ceci permet de dduire lidentit F(

f) = (2ix)

f par passage la limite(en utilisant la continuit de (x) qui dcoule de la continuit de deL1(Rm)dans C0(Rm)). Onendduitle(i)car F(

f)tendantvers 0linni quel quesoit Nmvriant [[k, il en est de mme de [x[

f, et donc aussi de [(1 +|x|2)k/2 f(x)[car(1 +|x|2)k/2 (1 +

mj=1[xj[)k.Le (ii) est, quant lui, une simple application du thorme de drivation sous le signesomme.5. La formule de PoissonOn noteS(Rm) lespace (de Schwartz) des fonctions de classeCsurRm, qui sont dcroissance rapide linni ainsi que toutes leur drives. (g est dcroissance rapidelinni si, (1 + |t|2)Ng(t)estbornesur Rm, quel quesoit N N.)Ondduitduth. III.2.10 et de la prop. III.2.8 le rsultat suivant(6).Corollaire III.2.11. La transforme de Fourierf finduit un isomorphisme deS(Rm) surS(Rm).Thorme III.2.12. (Formule de Poisson) Sif S(R), alors

nZf(n) =

nZf(n).Dmonstration. Soit F(t) =

nZ f(n + t). Lasrieconvergepourtout t grcelhypothsededcroissancerapidede f linni, et lafonctionFest priodiquedepriode1. Deplus, sur [0, 1], lasriedes f(k)(n + t)convergenormalementpourtoutk, ce qui implique queF C(R/Z). On en dduit, en utilisant la prop. I.2.9, queF estsomme de sa srie de Fourier en tout point. Or, si k Z, on a (linterversion de lintgrale(6)Ce rsultat, combin avec la formule de la prop. III.2.7, est la base de la dnition de la transformede Fourier dune distribution (cf. cours de F. Golse en seconde anne)58 CHAPITREIII. TRANSFORMEDEFOURIERet de la srie ci-dessous est justie par la convergence uniforme sur[0, 1])ck(F) =_10e2i ktF(t) dt =_10e2i kt_

nZf(n + t)_dt =

nZ_10e2i ktf(n + t) dt=

nZ_n+1ne2i ktf(t) dt =_+e2i ktf(t) dt =f(k).On en dduit la formule du thorme en comparant la srie donnant F(0) avec la srie deFourier deF en0.Remarque III.2.13. La formule de Poisson se gnralise en dimension suprieure (avecla mme dmonstration), sous la forme

f() =1Vol()

f(),o les objets apparaissant dans cette formule sont : une fonctionfdans lespace de Schwartz S(Rm), un rseau deRm(cest--dire un sous-groupe deRmde la formeZv1 + +Zvm,o(v1, . . . , vm) est une base deRm), le volumeVol() de dni parVol() = [ det(v1, . . . , vm)[ (qui est aussi le volumedeRm/), le rseau dual de , ensemble des x Rmtels que x, ) Z, quel que soit (cest le rseau Zv1+ +Zvm, o (v1, . . . , vm) est la base de Rmduale de (v1, . . . , vm) ;elle est caractrise par le fait que vi , vj) = 1 sii = j et vi , vj) = 0 sii ,= j).Exercice III.2.14. Soit (v1, . . . , vm) une base de Rm, et soit (v1, . . . , vm) sa base duale.Soit A (resp. B) la matrice dont la j-ime colonne est le vecteur vj (resp vj ) dans la basecanonique. Montrer queB =tA1.Exercice III.2.15. Comparercequedonnentlaformuleduth.III.2.12etcelledelarem. III.2.13 pour valuer

nZ f(n), avec R.III.3. Transforme de Fourier dansL2Si L2(Rm)nestpassommable, lintgrale _Rm e2i xt(t) dtneconvergepouraucunevaleur de x. Malgr ce petit problme, on peut dnir la transforme de Fourier dun lment deL2(Rm), par un passage la limite, et ce quon obtient fournit une thorie ayant des propritsnettement plus agrables que dans L1(Rm). Il y a des tas de manires darriver au rsultat. Nousavons choisi de privilgier les fonctions en escalier jusquau bout. On trouvera dautres approchesdans les exercices.III.3. TRANSFORMEDEFOURIERDANSL2591. Transforme de Fourier des fonctions en escalierCommenons par quelques calculs en dimension 1.LemmeIII.3.1. (i) Si > 0, la transforme de Fourier dee[t[ sin ttest1_arctg(2x + 1) arctg(2x 1)_.(ii) La transforme de Fourier desin2t(t)2est12([x + 1[ +[x 1[ 2[x[).Dmonstration. (i) On cherche calculer_Re2i xte[t[ sin ttdt. Orsin ttest la transformede Fourier de 1[12,12[, alors que la transforme de Fourier dee2i xte[t[ esty _Re2i (x+y)te[t[ dt =_+0et(+2i(x+y))+ et(2i(x+y))dt=1_1 + 2i(x + y) +1 2i(x + y)_=2(2+ 4(x + y)2).Il rsulte donc de la prop. III.2.7 que _Re2i xte[t[ sin tt= _12122(2+4(x+y)2) dy. On concluten utilisant le fait que la primitive de2(2+4(x+y)2)est1arctg(2(x+y)).(ii) Nous allons plutt calculer la transforme de Fourier dee[t[ sin2t(t)2, pour> 0, et endduire le rsultat en faisant tendre vers 0. Six R, et0, soitGx() =_Rgx(, t) dt, avecgx(, t) = e2i xte[t[sin2t(t)2.Commelafonctionsin2t(t)2estunmajorantsommabledegx(, t)pourtout 0, etcomme gx(, t)estcontinusurR+, pourtout t 0, lethormedecontinuitduneintgraledpendant dun paramtre montre que Gxest continue sur R+. La quantit qui nous intresseGx(0) est donc la limite, quand 0, de Gx().On va utiliser la prop. III.2.7, avecf= 1[12,12[etg=e2i xte[t[ sin tt, puisqueGx() =_Rfg. En utilisant le (i), on obtient Gx() =_Rf g =1_1/21/2 hx(, y) dy, avechx(, y) =_arctg(2(x + y) + 1) arctg(2(x + y) 1)_.Maintenant, [hx(, y)[ est majorpar quel quesoit >0, et commearctg(a) tendverssign(a)2, quand 0+, onobtient, enutilisant lethormedecontinuitduneintgraledpendant dun paramtre,Gx(0) =12_1/21/2(sign(2(x + y) + 1) sign(2(x + y) 1)) dy.On conclut en utilisant la formule_1/21/2sign(2y + a) dy = [a+12[ [a12[.PropositionIII.3.2. Soitm1.(i) Sir N, et si k Zm, alors er,k L2(Rm).60 CHAPITREIII. TRANSFORMEDEFOURIER(ii) Si k, kt Zm, alors er,k, er,k ) =_0 si k ,= kt2rmsi k = kt= er,k, er,k ).(iii)Lapplication induituneisomtriedeEsc(Rm),munidelanorme | |2,surunsous-espace de L2(Rm).Dmonstration.Le(i)estuneconsquencedufaitque(t)=sin ttestdecarrsommabledans R, et de la formule de la prop. III.2.5 exprimant er,k en terme de.Uncalcul immdiatmontreque er,k, er,k )estnul si k ,=kt, etvaut2rmsi k=kt. Parailleurs, en partant de la formule er,k(x) =m

j=1_2re21ri(kj+12)xj(2rxj)_de la prop. III.2.5, on obtient (aprs une application immdiate du thorme de Fubini), er,k, er,k ) =22rmm

j=1__Re21ri(k

jkj)xj(2rxj)2dxj_=2rmm

j=1__Re2i(k

jkj)uj(uj)2duj_.OnreconnatdanslaparenthselatransformedeFourierde2(t) =sin2t(t)2, cequi permetdutiliser le (ii) du lemme III.3.1 pour montrer que_Re2i(k

jkj)uj(uj)2duj est nul si kj ,= ktj,et vaut 1 sikj = ktj. On en dduit le (ii).Finalement, le(iii)suit(enutilisantlefaitqueles er,k, pour k Zm, formentunebaseorthogonaledeEscr(Rm))du(ii)etdecequeEsc(Rm)estlaruniondesEscr(Rm), pourr N.2. Dnition de la transforme de Fourier dansL2ThormeIII.3.3. LatransformedeFourier F: Esc(Rm) L2(Rm)seprolongeparcontinuit en une isomtrie de L2(Rm) sur L2(Rm) dont linverse est F, avecF(x) =F(x). Autrement dit, on a(i) F1, F2) = 1, 2), si1, 2 L2(Rm) (Fest une isomtrie),(ii)F(F)(x) = (x), si L2(Rm) (formule dinversion de Fourier dans L2).De plus, les formules du noIII.2.1, pour les dilatations, translations et multiplications par uncaractre, sont encore valables dans L2(Rm), et si L1(Rm) L2(Rm), les deux dnitions deF concident.Dmonstration. Il rsulte du (iii) de la prop. III.3.2 et de la densit de Esc(Rm) dans L2(Rm),que Fpeut se prolonger par continuit, de manire unique, en une isomtrie de L2(Rm) sur unsous-espace(7)de L2(Rm). De plus, les formules pour les dilatations, translations et multiplica-tions par un caractre stendent L2(Rm) par continuit.(7)Comme on est en dimension innie, linjectivit nimplique pas, a priori, la surjectivit.III.3. TRANSFORMEDEFOURIERDANSL261Maintenant, si L1(Rm)L2(Rm), notons (provisoirement), F1 (resp. F2) la transformedeFourierdedansL1(Rm)(resp. L2(Rm)). Soit(fj)jNunesuitedlmentsdeEsc(Rm)convergeant vers la fois dans L1(Rm) et dans L2(Rm) (cf. th. III.1.9). Alors F1fj = F2fj tenduniformment vers la fonction continue F1 et en norme | |2 vers F2. Daprs le lemme III.1.8,cela implique F1 L2(Rm) et F1 = F2 p.p.Pourconclure, il sutdoncdeprouverlonaF F=s, os: L2(Rm) L2(Rm)estlapplicationdduitedecellesurL2(Rm)etenvoyantsurs(),avecs()(x)=(x).Eneet ceci prouve la fois la surjectivit et le fait queFest linverse deF. Par continuit desapplicationsF Fets,ilsutdevrierquellesconcidentsurEsc(Rm),quiestunsous-espace dense, et par linarit, il sut de le prouver pour une famille gnratrice de Esc(Rm), parexemple la famille des er,k, pourr N, et k Zm. Finalement, comme les er,ksont obtenuespar translation et dilatation partir de la fonction m(t) =

mj=11[12,12[(tj), il sut de prouverque F(Fm)(t) = m(t) dans L2(Rm). Or on a (Fm)(x) =

mj=1sin xjxj, et on est ramen calculer la transforme de Fourier de mj=1sin xjxj. Les arguments tant les mmes pourm = 1que pour m quelconque, nous ne traiterons que le cas m = 1, ce qui a pour avantage de raccourcirun peu les expressions.On doit donc calculer la transforme de Fourier de (t) =sin tt. Comme nest pas sommable,on ne peut pas utiliser lexpression (x) =_Re2i xt(t) dt pour faire le calcul. Pour contournerle problme, constatons que(t) = e[t[(t) tend vers dans L2(Rm), quand tend vers 0,carest major, pour tout0, par qui est de carr sommable, et(t) tend vers(t)quand tend vers0, pour toutt R. Par continuit deF, on en dduit queFtend versFdansL2quandtendvers0.OronacalculF(cf.III.3.1),etilestapparentsurlaformule que F(x) tend vers 1[12,12[(x), quand tend vers 0, pour toutx ,= 12. Ceci montreque F = 1[12,12[, ce qui permet de conclure.Remarque III.3.4. On a t confront, au cours de la dmonstration, au problme du calculde la transforme de Fourier dune fonction, de carr sommable, mais non somma