piboon chomsombat · 2002. 2. 26. · piboon chomsombat (22) a n = 3 2n 8n2 5n 2 4....
TRANSCRIPT
pIbo
on ch
omso
mbatแบบฝึกหัด 1.1 ข
1. จงเขียนกราฟเพ่ือตรวจสอบดูว่าล าดับใดเป็นล าดับลู่เข้า หรือลู่ออก
(1) an = 2
nsin π
(2) an = 2
nsinn1 π
(3) an = 1n
5
(4) an = n2n
(5) an = n(1 + (–1)n)
(6) an = n214
(7) an = 4(0.5)n–1
(8) an = n1
32
(9) an = n
34
(10) an = 22
nn
2. ก าหนดล าดับ an = 24
24
133nn2n
ให้อธิบายเหตุผลว่า นักเรียนเห็นด้วยหรือไม่กับวิธีการหาลิมิตของ
ล าดับ anที่แสดงไว้ในกรอบต่อไปนี้ 3. จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของล าดับเพ่ือตรวจสอบว่าล าดับในแต่ละข้อเป็นล าดับลู่เข้าหรือลู่ออก
(1) an = 3n
8
โดยทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิต จะได้ 13)(3nlim
)n (2nlim133nn 2n
lim 4n
2 4n
4
2 4
n
แต่เนื่องจาก )n (2nlim 2 4n
หาค่าไม่ได้ และ 13)(3nlim 4n
ก็หาค่าไม่ได้
ดังนั้น 133nn 2n
lim 4
2 4
n
จึงหาค่าไม่ได้
pIbo
on ch
omso
mbat (2) an =
n
n
78
(3) an = (–1)n
(4) an =
n
213
(5) an = n
14
(6) an = 6n
4 6n
(7) an = 6
5 3n
(8) an = 1 n
n
(9) an =
2n5n 4
(10) an = 1 3n
12n
(11) an = 17n
5n 3n2
(12) an = 35n
7n2
2
(13) an = 2
2
n32n4n
(14) an = 2
2
5n10n13n
(15) an = 1n
1n1
(16) an = 2n
1n
53
(17) an = 2n
1n
332
(18) an = 1n1n
(19) an = 4n
1n2
(20) an = 3 3
2
2n2n
14n
(21) an = n1)( n
pIbo
on ch
omso
mbat (22) an =
2n325n8n2
4. ประโยคต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ จงให้เหตุผล (1) ถ้า an และ bn เป็นล าดับลู่ออกแล้ว (an + bn) เป็นล าดับลู่ออก (2) ถ้า an เป็นล าดับลู่เข้า และ bn เป็นล าดับลู่ออก แล้ว (an + bn) เป็นล าดับลู่ออก
5. ก าหนดล าดับ an = n)12rP(1 โดยที่
an คือ เงินทบต้นเมื่อเวลาผ่านไป n เดือน P คือ เงินต้น r คือ อัตราดอกเบี้ยต่อปี (1) จงหาว่า ล าดับ an เป็นล าดับลู่เข้าหรือไม่ (2) จงหา 10 พจน์แรกของล าดับ ถ้าเงินต้นเป็น 9,000 บาท และอัตราดอกเบี้ยเป็น 1.5% ต่อปี 6. บริษัทแห่งหนึ่งมีงบรายจ่ายปกติของปีแรกอยู่ที่ 2.5 พนล้านบาท แต่เนื่องจากราคาน้ ามันที่สูงขึ้น บริษัทจึงวางแผนที่จะประหยัดงบประมาณ โดยตัดรายจ่ายลดลง 20% ในแต่ละปี (1) จงเขียนงบรายจ่ายเมื่อเวลาผ่านไป n ปี (2) ค านวณงบรายจ่ายของสี่ปีแรกหลังจากถูกตัดงบ (3) ล าดับของงบรายจ่ายนี้เป็นล าดับลู่เข้าหรือไม่ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด 1.1 ข 1. (1) ลู่ออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 1 0 –1 0 1 0 –1 0 1 0
pIbo
on ch
omso
mbat
(2) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 1 0 –0.333 0 0.2 0 –0.142 0 –0.111 0
(3) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 2.5 1.666 1.25 1 0.833 0.714 0.625 0.555 0.5 0.454
pIbo
on ch
omso
mbat
(4) ลู่ออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 2 2 2.666 4 6.4 10.666 18.285 32 56.888 102.4
(5) ลู่ออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0 4 0 8 0 12 0 16 0 20
pIbo
on ch
omso
mbat
(6) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 3.5 3.75 3.875 3.937 3.968 3.984 3.992 3.996 3.998 3.999
(7) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125
pIbo
on ch
omso
mbat
(8) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0.666 0.816 0.873 0.903 0.922 0.934 0.943 0.950 0.955 0.960
(9) ลู่ออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an –1.333 1.777 –2.370 3.160 –4.213 5.618 –7.491 9.988 –13.318 17.757
pIbo
on ch
omso
mbat
(10) ลู่เข้า
.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0.25 0.333 0.3 0.222 0.147 0.090 0.053 0.031 0.017 0.009
2. ไม่เห็นด้วย เพราะเป็นการสรุปที่ไม่ถูกต้อง ถ้า xn และ yn เป็นล าดับ การที่จะกล่าวว่า
nn
nn
n
nn ylim
xlimyx
lim
ได้นั้น ข้อตกลงเบื้องต้นเกี่ยวกับ nn
xlim
และ nnylim
ต้องเป็นจริง
ก่อน ข้อก าหนดเบื้องต้นนั้นคือ nnxlim
และ nn
ylim
ต้องหาค่าได้
ในกรณีนี้ ต้องจัดรูป an และ bn ก่อนการใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิต ดังนี้
pIbo
on ch
omso
mbatจาก
133nn2n
4
24
= )
n13(3n
)n1(2n
44
24
= 4
2
n133n12
และเนื่องจาก )n1(2lim 2n
= 2 และ )n13(3lim 4n
= 3
ดังนั้น 133nn2n
lim 4
24
n
=
4n133n12
lim2
n
= )
n13(3lim
)n1(2lim
4n
2n
=
32
3. (1) 3n8
limn
= n1
lim38
n = (0)
38 = 0
ดังนั้น ล าดับ an = 3n8 เป็นล าดับลู่เข้า
(2) จาก n
n
78 =
n
78
จะได้ n
n
n 78
lim
= n
n 78
lim
n
n 78
lim
หาค่าไม่ได้ เพราะ
78 1
ดังนั้น ล าดับ an = n
n
78 เป็นล าดับลู่ออก
(3) (−1)n = 1 เมื่อ n เป็นจ านวนคู่ และ (−1)n = –1 เมื่อ n เป็นจ านวนคี่ ดังนั้น ล าดับ an = (–1)n ไม่มีลิมิต และเป็นล าดับลู่ออก
(4) n
n 21
lim3
=
n
n 21
3lim
= 3(0) = 0
ดังนั้น ล าดับ an = n
213
เป็นล าดับลู่เข้า
(5) เนื่องจาก 4limn
= 4 และ n1
limn
จะได้
n14lim
n =
n1
lim4limnn
= 4 + 0 = 4
ดังนั้น ล าดับ an = n14 ป็นล าดับลู่เข้า
pIbo
on ch
omso
mbat(6) จาก
6n4 6n =
6n4
6n6n
= 3n2 1
และเนื่องจาก 1limn
= 1 และ
3n2
limn
= 0
จะได้
6n4 6n
limn
=
3n2 1lim
n
= 3n2
lim1limnn
= 1 – 0 = 1
ดังนั้น ล าดับ an = 6n
4 6n เป็นล าดับลู่เข้า
(7) เมื่อ n มีค่าเพ่ิมข้ึน ค่าของพจน์ที่ n ของล าดับนี้จะเพ่ิมข้ึน และไม่เข้าใกล้จ านวนใด จ านวนหนึ่ง
ดังนั้น ล าดับ an = 6
5 3n เป็นล าดับลู่ออก
(8) จาก 1 n
n
=
n1 1n
n =
n1 1
1
และเนื่องจาก 1limn
= 1 และ n1
limn
= 0
จะได้
1 nn
limn
=
n1 1
1lim
n
=
n1
lim 1lim
1lim
nn
n
= 0 1
1
= 1
ดังนั้น ล าดับ an = 1 n
n
เป็นล าดับลู่เข้า
(9) เนื่องจาก 2n n4
lim
= 0 และ 2n n5n
lim
= 0
จะได้
2n n
5n4lim = 2n2n n
5nlimn
4lim
= 0 + 0 = 0
ดังนั้น ล าดับ an = 2n5n4 เป็นล าดับลู่เข้า
pIbo
on ch
omso
mbat(10) จาก
13n12n
=
n1 3n
n12n
=
n1 3n12
และเนื่องจาก
n12lim
n = 2 และ
n13lim
n = 3
จะได้ 13n12n
limn
=
n13lim
n12lim
n
n
= 32
ดังนั้น ล าดับ an = 13n12n
เป็นล าดับลู่เข้า
(11) an = 17n5n3n2
เป็นล าดับลู่ออก
(12) จาก 35n
7n2
2
=
22
2
n35n
7n
และเนื่องจาก 7limn
= 7 และ
2n n35lim = 5
จะได้ 35n
7nlim 2
2
n =
2n
n
n35lim
7lim
= 57
ดังนั้น ล าดับ an = 35n
7n2
2
เป็นล าดับลู่เข้า
(13) จาก 2
2
n32n4n = 2n
3n24
และเนื่องจาก 4limn
= 4 และ n2
limn
= 0 และ 2n n3
lim
= 0
จะได้
2
2
n n
32n4nlim = 2n n
3n24lim
= 2nnn n3
limn2
lim4lim
= 4 + 0 + 0 = 4
pIbo
on ch
omso
mbatดังนั้น ล าดับ an = 2
2
n32n4n เป็นล าดับลู่เข้า
(14) จาก 2
2
5n 10n13n
=
5n10n
n13n
2
22
= 5
n10
n13 2
และเนื่องจาก
2n n13lim = 3 และ
5
n10
limn
= –5
จะได้
510n13n
lim2
n =
5n10
lim
n13lim
n
2n =
53
ดังนั้น ล าดับ an = 2
2
5n 10n13n
เป็นล าดับลู่เข้า
(15) เนื่องจาก n1
limn
= 0 และ 1n
1lim
n = 0
จะได้
1n1
n1
limn
= 1n
1limn
1lim
nn
= 0 – 0 = 0
ดังนั้น ล าดับ an = 1n
1
n
1
เป็นล าดับลู่เข้า
(16) จาก 2n
1n
53
= 1n
1n
553
=
1n
53
51
จะได้ 2n
1n
n 53
lim
=
1n
n 53
51
lim
= 1n
n 53
lim51
= (0)
51 = 0
ดังนั้น ล าดับ an = 2n
1n
53
เป็นล าดับลู่เข้า
(17) จาก 2n
1n
332
= 2n2n
1n
33
3272
= 1n
1n
31
32
271
และเนื่องจาก
1n
n 32
271
lim = 271 และ
1nn 31
lim = 0
จะได้ 2n
1n
n 332
lim
=
1n
1n
n 31
32
271
lim
= 1nn
1n
n 31
lim32
lim271
pIbo
on ch
omso
mbat = 0(0)
271
= 0
ดังนั้น ล าดับ an = 2n
1n
332
เป็นล าดับลู่เข้า
(18) จาก 1n1n
=
n11n
n11n
=
n11n
11
และเนื่องจาก )n
1(1limn
= 1 และ )n
1(1limn
= 1
จะได้ 1n1n
limn
=
n11lim
n11lim
n
n
ดังนั้น ล าดับ an = 1n1n
เป็นล าดับลู่เข้า
(19) จาก 4n
1n2 = 4n
n11n 2
= 4
n11 2
และเนื่องจาก 2n n11lim
= 1 และ 4lim
n = 4
จะได้ 4n
1nlim
2
n
=
4n11
lim2
n
=
2n n11lim4
1
= 141 =
41
ดังนั้น ล าดับ an = 4n
1n2 เป็นล าดับลู่เข้า
(20) จาก 3 3
2
2n2n14n
=
33
2
n212n
n14n
= 3
3
2
n212
n14
และเนื่องจาก
2n n14lim = 2 และ
3
3n n212lim = 3
pIbo
on ch
omso
mbatจะได้
3 3
2
n 2n2n14n
lim
=
33
2
n
n212
n14
lim
=
33n
2n
n212lim
n14lim
= 32
ดังนั้น ล าดับ an = 3 3
2
2n2n14n
เป็นล าดับลู่เข้า
(21) an = n1)( n เป็นล าดับลู่เข้า
(22) an = 2n3
25n8n2
เป็นล าดับลู่ออก
4. (1) ไม่จริง เช่น ล าดับ an = n และ ล าดับ bn = –n เป็นล าดับลู่ออก แต่ล าดับ (an + bn) = n – n = 0 เป็นล าดับลู่เข้า
(2) จริง การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง (proof by contradiction) ท าได้ดังนี้ สิ่งที่ก าหนดให้คือ ล าดับ an เป็นล าดับลู่เข้า และ ล าดับ bn เป็นล าดับลู่ออก สมมติว่า “(an + bn) เป็นล าดับลู่เข้า” เนื่องจากล าดับ an และล าดับ (an + bn) เป็นล าดับลู่เข้า จึงได้ว่า nn
alim
และ
)b(alim nnn
หาค่าได้ ให้ nn
alim
= A และ )b(alim nnn
= B
พิจารณา )ab(alim nnnn
= nn
blim
และ )ab(alim nnnn
= nnnnn
alim)b(alim
= B – A ดังนั้น nn
blim
หาค่าได้ ซึ่งท าให้ ล าดับ bn เป็นล าดับลู่เข้า
เกิดข้อขัดแย้งกับสิ่งที่ก าหนดให้ จึงสรุปว่า ข้อความที่สมมติว่า “(an + bn) เป็นล าดับลู่เข้า” เป็นเท็จ นั่นคือ (an + bn) ต้องเป็นล าดับลู่ออก
5. (1) nn
)12rP(1lim
= n
n)
12r(1limP
เนื่องจาก 12r1 1 ดังนั้น
n
n 12r1lim
หาค่าไม่ได ้
ดังนั้น an = n
12r1P
ไม่เป็นล าดับลู่เข้า
pIbo
on ch
omso
mbat(2) จาก an =
n
12r1P
ก าหนด r = 1001.5 = 0.015
สิ้นเดือนที่ 1 จะได 1 =
120.01519000 = 9011.25
สิ้นเดือนที่ 2 จะได 2 = 2
120.01519000
= 9022.51
สิ้นเดือนที่ 3 จะได 3 = 3
120.01519000
= 9033.79
สิ้นเดือนที่ 4 จะได 4 = 4
120.01519000
= 9045.08
สิ้นเดือนที่ 5 จะได 5 = 5
120.01519000
= 9056.39
สิ้นเดือนที่ 6 จะได 6 = 6
120.01519000
= 9067.71
สิ้นเดือนที่ 7 จะได 7 = 7
120.01519000
= 9079.05
สิ้นเดือนที่ 8 จะได 8 = 8
120.01519000
= 9090.39
สิ้นเดือนที่ 9 จะได 9 = 9
120.01519000
= 9101.76
สิ้นเดือนที่ 10 จะได 10 = 10
120.01519000
= 9113.13
ดั งนั้ น สิบ พจน์ แรกของล าดั บ คื อ 9011.25, 9022.51, 9033.79, 9045.08, 9056.39, 9067.71, 9079.05, 9090.39, 9101.76, 9113.13 6. (1) ให้ an เป็นงบรายจ่ายปกติที่ถูกตัดลงเมื่อเวลาผ่านไป n ปี
A แทนงบรายจ่ายปกติเป็น 2.5 พันล้านบาท
สิ้นปีที ่1 จะได้ a1 = (A)10020A = A
54
สิ้นปีที ่2 จะได้ a2 =
A
54
10020A
54 = A
54 2
สิ้นปีที ่3 จะได้ a3 = A54
10020A
54 22
= A54 3
สิ้นปีที ่n จะได้ an = A54 n
pIbo
on ch
omso
mbatดังนั้น เมื่อเวลาผ่านไป n ปี งบรายจ่ายเป็น
n
542.5
พันล้านบาท
(2) งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 1 เป็น (2.5)54 = 2 พันล้านบาท
งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 2 เป็น (2.5)54 2
= 1.6 พันล้านบาท
งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 3 เป็น (2.5)54 3
= 1.28 พันล้านบาท
งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 4 เป็น (2.5)54 4
= 1.024 พันล้านบาท
ดังนั้น งบรายจ่ายในสี่ปีแรก หลังถูกตัดงบเป็น 2, 1.6, 1.28 และ 1.024 พันล้านบาท ตามล าดับ
(3) เนื่องจาก 54 1 จะได้
n
n 542.5lim
= 0
ดังนั้น ล าดับของงบรายจ่ายนี้เป็นล าดับลู่เข้า --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------