phƯƠng trÌnh lƯỢng giÁc · 2018. 7. 17. · 4. phương trình cos(3x 1) sin( 2x 1) cos 2x 1...

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình: sin x m (1)=

* Nếu: m 1 Phương trình vô nghiệm

* Nếu: m 1 ; sin m2 2

− =

(1) sinx sin = x k2

x k2

= +

= − + ( k ).

Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2sin m

− =

thì ta viết arcsin m = .

*Các trường hợp đặc biệt:

1. sinx 1 x k22

= = +

2 sinx 1 x k22

= − = − +

3. sin x 0 x k= =

2. Phương trình: cosx m (2)=

* Nếu: m 1 phương trình vô nghiệm

* Nếu: m 1 [0; ] : cos m =

(2) cosx cos = x k2

x k2

= +

= − + ( k Z ).

Chú ý : * Nếu thỏa mãn 0

cos m

−

= thì ta viết arccosm = .

* Các trường hợp đặc biệt:

1. cosx 1 x k2= =

2. cosx 1 x k2= − = +

3. cosx 0 x k2

= = +

3. Phương trình : tan x m (3)=

Với m ; :2 2

−

tan m =

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



(3) tanx tan x k = =+ .

Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2tan m

− =

thì ta viết arctanm = .


1. tanx 1 x k4

= = +

2. tanx 1 x k4

= − = − +

3. tan x 0 x k= =

4. Phương trình: cot x m (4)=

Với m ( ; ) :2 2

− cot m =

(4) cot x cot x k = =+ .

Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2cot m

− =

thì ta viết arccotm = .


1. cot x 1 x k4

= = +

2. cot x 1 x k4

= − = − +

3. cot x 0 x k2

= = +

Ghi chú:

* u v k2

sin u sin v u v k2

= + =

= − + (k ) *

cosu cosv u v k2= = + (k )

*

u v k

tanu tanvu,v n

2

= +

= +

(k,n )

*u v k

cot u cot vu,v n

= + =

(k,n )

Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: asinx bcosx c (1)+ = ; với a,b,c và

2 2a b 0+ .




Cách giải: Chia hai vế cho 2 2a b+ và đặt

2 2 2 2

a bcos ;sin

a b a b = =

+ +.

2 2

c(1) sinx.cos cosx.sin

a b + =

+ 2 2

csin(x )

a b + =

+

(2).

Chú ý:

• (1) có nghiệm (2) có nghiệm 2 2 2a b c + .

• 1 3

sin x 3 cosx 2 sin x cosx 2sin(x )2 2 3

= − = −

• 3 1

3 sin x cosx 2 sin x cosx 2sin(x )2 2 6

= =

• 1 1

sin x cosx 2 sin x cosx 2 sin(x )42 2

= =

.

Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác

Là phương trình có dạng :

2sin u(x) sin u(x)

cosu(x) cosu(x)a b c 0

tan u(x) tan u(x)

cot u(x) cot u(x)

+ + =

Cách giải: Đặt

sin u(x)

cosu(x)t

tan u(x)

cot u(x)

=

ta có phương trình : 2at bt c 0+ + =

Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x

Khi đặt sin u(x)

tcosu(x)

=

, ta co điều kiện: t 1;1−

Dạng 4. Phương trình đẳng cấp

Là phương trình có dạng f(sinx,cosx) 0= trong đó luỹ thừa của sinx và cosx

cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho kcos x 0 (k là số mũ cao nhất) ta

được phương trình ẩn là tanx .

Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: a(sinx cosx) bsinxcosx c 0+ + + = (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ




2t 1sin xcosx

2t sin x cosx 2 sin x4

t 2; 2

−=

= + = + −

Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng

a(sinx cosx) bsinxcosx c 0− + + = (3’)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

2

t 2; 2

t sin x cosx 2 sin x1 t4 sin xcosx

2

−

= − = − − =

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

1. sinx cos2x 0− = 2. 2cos x sin2x 0− =

3. 02sin(2x 35 ) 3− = 4. sin(2x 1) cos(3x 1) 0+ + − =

Lời giải.

1. Phương trình cos2x sinx cos( x)2

= = −

2x k2x x k2

6 32

2x x k2 x k22 2

= += − +

= − + + = − +

, k .

2. Phương trình 2cos x 2sinxcosx 0− =

cosx 0cosx 0

cosx(cosx 2sinx) 0 12sinx cosx tanx

2

= = − = = =

x k2 ,k

1x arctan k

2

= +

= +

.




3. Phương trình 0 03sin(2x 35 ) sin 60

2 − = =

0 0 0

0 0 0 0

2x 35 60 k360

2x 35 180 60 k360

− = + − = − +

00

00

95x k.180

2

155x k.180

2

= +

= +

.

4. Phương trình cos(3x 1) sin( 2x 1) cos 2x 12

− = − − = + +

x 2 k23x 1 2x 1 k222

2x k3x 1 2x 1 k2

10 52

= + + − = + + +

= − +− = − − − +

.


1. cosx 2sin 2x 0− = 2. 3 3 5sin xsin3x cos xcos3x

2− = −

3. 2 2sin 2x cos 2x cos3x= + 4. sin2x.cos3x sin5x.cos6x=

5. sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x+ + = + +

6. 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − 7. 2 2cos 3xcos2x cos x 0− =

Lời giải.

1. Phương trình cosx 4sinxcosx 0 cosx(1 4sinx) 0 − = − =

cosx 0 x k2

11 1sin x

x arcsin k2 ,x arcsin k244 4

= = + = = + = − +

2. Ta có 3 33sinx sin3x cos3x 3cosxsin x ;cos x

4 4

− += =

Nên phương trình đã cho tương đương với

( ) ( )5

sin3x 3sinx sin3x cos3x cos3x 3cosx2

− − + = −

( )5

3 sin3xsinx cos3xcosx 12

− − = −

3 13cos4x cos4x x k , k

2 2 12 2

− = − = = + .

3. Phương trình 2 2sin 2x cos 2x cos3x − =

( )cos4x cos3x cos 3x =− = −




24x 3x k2 x k

7 74x 3x k2

x k2

= − + = + = −+ + = − +

4. Phương trình 1 1

sin5x sinx sin11x sinx2 2

− = −

sin5x sin11x x k6

= = hoặc x k

16 8

= +

5. Phương trình (sinx sin3x) sin2x (cosx cos3x) cos2x + + = + +

2sin2xcosx sin2x 2cos2xcosx cos2x + = +

(2cosx 1)(sin2x cos2x) 0 + − =

21 x k2

cos x 32

sin 2x cos 2x x k8 2

= + = − = = +

.

6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:

Phương trình 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x

2 2 2 2

− + − + − = −

cos6x cos8x cos10x cos12x + = +

cosx 02cos7xcosx 2cos11xcosx

cos11x cos7x

= =

=

x k2

x k ; x k2 9

= +

= =

.

7. Phương trình (1 cos6x)cos2x 1 cos2x 0 + − − =

cos6x.cos2x 1 0 − = cos8x cos4x 2 0 + − =

22cos 4x cos4x 3 0 cos4x 1 x k2

+ − = = = .

Nhận xét:

* Ở cos6x.cos2x 1 0− = ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay 3cos6x 4cos 2x 3cos2x= − và chuyển về phương trình trùng phương đối với

hàm số lượng giác cos2x .

* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương

trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt 2t cos x=

Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng

công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

1. 3sinx 4cosx 0+ = 2. sin2x 3 cos2x 1+ =

3. 2sin3x 5 cos3x 5+ = 4. 3cosx 3 sinx 1+ =

5. sin7x cos2x 3(sin2x cos7x)− = − 6. sin3x 3 cos3x 2sin2x− =




7. 3sinx cosxsin2x 3 cos3x 2(cos4x sin x)+ + = +

Lời giải.

1. Phương trình 4

3sinx 4cosx tanx3

= − = −4

x arctan k3

= − +

.


2sin(2x ) 1 sin(2x ) sin3 3 2 6

+ = + = =

2x k2 x k3 6 12 , k

52x k2 x k

3 6 4

+ = + = − +

+ = + = +

.

3. Ta có ( )2

2 22 5 9 5+ = phương trình vô nghiệm.


3 cos x sin x cos(x )63 2 3

+ = − =

1x arccos k2

6 2 3

= + , k .

5. Phương trình sin7x 3 cos7x 3 sin2x cos2x + = +

7x x k26 3cos(7x ) cos(x )

6 37x x k2

6 3

− = − +

− = − − = − + +

x k36 3 , k

x k16 4

= − +

= +

.

6. Phương trình 3x 2x k2

3sin(3x ) sin 2x3

3x 2x k23

− = +

− = − = − +

x k234 2

x k15 5

= +

= +

, k .


sinx sin3x 3 cos3x2 2

+ + =3 1

2cos4x sinx sin3x2 2

+ −

sin3x 3 cos3x 2cos4x + = x k2

6cos(3x ) cos 4x23

x k42 7

= − +

− = = +

.





1. cos( sinx) cos(3 sinx) = 2. ( )tan sin x 1 14

+ =

Lời giải.

1. Phương trình 3 sin x sin x k2

3 sin x sin x n2

= +

= − +

sinx k

nsinx

2

= =

• Xét phương trình sinx k= . Do k và 1 sin x 1− nên ta có các giá trị

của k : 1,0,1−

Từ đó ta có các nghiệm: x m ,x m , m2

= = +

• Xét phương trình n

sinx2

= . Ta có các giá trị của n là: n 2,n 1,n 0= = =

Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x l ,x l ,x l , l2 6

= + = = +

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

x m ,x m ,x m m2 6

= = + = + .

2. Phương trình ( )sinx 1 k4 4

+ = +

sin x 1 1 4k sin x 4k + = + = sinx 0 x m = = , m .


1. ( ) ( )3 1 sin x 3 1 cosx 2 2 sin 2x− + + =

2. 2 23sin x 5cos x 2cos2x 4sin2x+ − =

3. ( ) 25sin x 2 3 1 sin x tan x− = − 4.

2 2 2x xsin tan x cos 0

2 4 2

− − =

Lời giải.

1. Phương trình 3 sinx cosx 3 cosx sinx 2 2 sin2x + + − =

7sin(x ) cos(x ) 2 sin2x sin(x ) sin2x

6 6 12

+ + + = + =

72x x k2

127

2x x k212

= + +

= − − +

7x k2

125 2

x k36 3

= +

= +

.

2. Phương trình đã cho tương đương với

2 2 2 23sin x 5cos x 2(cos x sin x) 8sinxcosx+ − − =




2 25sin x 8sinxcosx 3cos x 0 − + =

25tan x 8tanx 3 0 tanx 1 − + = = hoặc 3

tanx5

=

x k4

= + hoặc

3x arctan k

5= +

3. Điều kiện : cosx 0 x k2

+

Phương trình 2

2

sin x5sinx 2 3(1 sinx)

cos x − = −

2

2

sin x5sinx 2 3(1 sinx)

1 sin x − = −

−

22sin x

5sinx 2 3 (5sinx 2)(1 sinx) 3sin x1 sinx

− = − + =+

22sin x 3sinx 2 0 + − =

x k21 6sin x sin

52 6x k2

6

= +

= = = +

.

4. Điều kiện : cosx 0 x k2

+ .

Phương trình 2

2

sin x1 cos(x ) (1 cosx) 0

2 cos x

− − − + =

2

2

sin x(1 sinx) (1 cosx) 0

1 sin x − − + =

−

2sin x(1 cosx) 0

1 sin x − + =

+

2(1 cos x) (1 cosx)(1 sinx) 0 − − + + =

x k2cosx 1

(1 cosx)(cosx sinx) 0tanx 1 x k

4

= = − − = = = +

.


1. 3 3sin x cos x sinx cosx+ = − 2. 32cos x sin3x=

3. ( )2sin x 3tan x cos x 4sin x cos x+ = −

Lời giải.

1. Phương trình 3 3 2 2sin x cos x (sinx cosx)(sin x cos x) + = − +




3 2 22cos x sinxcos x cosx.sin x 0 − + =

( )2 2cosx sin x sin xcosx 2cos x 0 − + =

cosx 0 x k2

= = + (Do 2 2sin x sinxcosx 2cos x 0 x− + )

2. Phương trình 3 32cos x 3sinx 4sin x = − 3 3 2 24sin x 2cos x 3sinx(sin x cos x) 0 + − + =

3 2 3sin x 3sinxcos x 2cos x 0 − + = 3tan x 3tanx 2 0 − + = (do cosx 0= không là nghiệm của hệ)

2(tanx 1)(tan x tanx 2) 0 − + − =

tan x 1 x k4

tan x 2x arctan( 2) k

= = + = − = − +

3. Điều kiện: cosx 0

Phương trình 2 2tan x 3tanx(1 tan x) 4tanx 1 + + = −

3 23tan x tan x tanx 1 0 + − + = 2(tanx 1)(3tan x 2tanx 1) 0 + − + =

tanx 1 x k4

= − = − + .


1. 2 2sin x 5sinxcosx 6cos x 0− − = 2. 2sin x 3sinx.cosx 1 − =−

3. 2 23sin x 5cos x 2cos2x 4sin2x+ − = 4. 3 3sin x cos x sinx cosx+ = −

Lời giải.

1. Nhận thấy cosx 0= không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế

của phương trình cho 2cos x ta được:

t tan x2 tanx 1 x k

tan x 5tanx 6 0 4tanx 6

x arctan6 k

= = − = − + − − = = = +

.

2. Phương trình 2 2 2sin x 3sinx.cosx (sin x cos x) − = − +

2 22sin x 3cosxsinx cos x 0 − + =

Do cosx 0= không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình

cho 2cos x ta được:




t tan x2

tan x 1 x k42 tan x 3tan x 1 0 1

1tan xx arctan k2

2

=

= = + − + = = = +

.

3. Phương trình đã cho tương đương với

2 2 2 23sin x 5cos x 2(cos x sin x) 8sinxcosx+ − − =

2 25sin x 8sinxcosx 3cos x 0 − + =

t tan x2

tan x 1

5tan x 8tan x 3 0 3tan x

5

= = − + = =

x k4

3x arctan k

5

= +

= +

.

4. Phương trình 3 3 2 2sin x cos x (sinx cosx)(sin x cos x) + = − +

3 2 22cos x sinxcos x cosx.sin x 0 − + =

( )2 2cosx sin x sin xcosx 2cos x 0 − + =

cosx 0 x k2

= = +

(Do 2

2 2 21 7sin x sinxcosx 2cos x sinx cosx cos x 0

2 4

− + = − +

).


1. cos3x cos2x cosx 1 0 + − − = 2. 6 23cos4x 8cos x 2cos x 3 0− + + =

3.1 1 7

4sin( x)3sin x 4

sin(x )2

+ = −

−

4. 2sinx(1 cos2x) sin2x 1 2cosx+ + = +

Lời giải.

1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x,2x,3x nên ta tìm cách đưa về

cùng một cung x .

Phương trình 3 24cos x 3cosx (2cos x 1) cosx 1 0 − + − − − =

3 22cos x cos x 2cosx 1 0 + − − = .

Đặt t cosx, t 1= .

Ta có: 3 2 2 12t t 2t 1 0 (t 1)(2t 1) 0 t 1,t

2+ − − = − + = = = − .

* t 1 cosx 1 sin x 0 x k= = = =

* 1 1 2 2

t cosx cos x k22 2 3 3

= − = − = = + .

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau




phương trình cos3x cosx (1 cos2x) 0 − − − =

2 22sin2xsinx 2sin x 0 sin x(2cosx 1) 0− − = + =

x ksin x 0

21x k2cosx

32

= = = + = −

.

2. Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa còn chứa hàm số côsin

lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x .

Phương trình 2 33(2cos 2x 1) (1 cos2x) 1 cos2x 3 − − + + + +

2cos2x(cos 2x 3cos2x 2) 0 − + =cos2x 0 x k

4 2cos2x 1

x k

= = + = =

.

3. Trong phương trình có ba cung 3 7

x;x ; x2 4

− − nên ta tìm cách chuyển ba

cung này về cùng một cung x

Ta có: 3

sin(x ) sin (x ) 2 sin(x ) cosx2 2 2

− = + − = + =

( )7 1

sin( x) sin 2 (x ) sin(x ) sin x cosx4 4 4 2

− = − + = − + = − +

Phương trình 1 1

2 2(sinx cosx)sinx cosx

+ = − +

(sinx cosx)( 2 sin2x 1) 0 + + = .

sin x cos x 0 x k4

1sin 2x 5

x k ; x k28 8

+ = = − + = − = − + = − +

.

4. Ta chuyển cung 2x về cung x.

Phương trình 24sinxcos x 2sinxcosx 1 2cosx + = + 2sinxcosx(2cosx 1) 2cosx 1 + = +

x k4(2cos x 1)(sin 2x 1) 0

2x k2

3

= +

+ − = = +

.


1. ( ) ( )3 3 4 44 cos3xcos x sin3xsin x 3 sin6x 1 3 cos x sin x+ + = + −

2. ( ) ( )4 44 sin x cos x sin 4x 3 1 tan 2xtan x 3+ + − − =




3.

4.

Lời giải.

1. Ta có: ( )3 34 cos3xcos x sin3xsin x 3cos2x cos6x+ = + và

4 4cos x sin x cos2x− = nên

Phương trình 3cos2x cos6x 3 sin6x 1 3cos2x + + = +

23 sin6x 1 cos6x 2 3 sin3xcos3x 2sin 3x = − =

( )2sin 3x 3 cos3x sin 3x 0 − = .

Suy ra nghiệm cần tìm là x k ;x k3 9 3

= = + .

2. Điều kiện x kcos 2x 0 4 2

cos x 0x k

2

+

+

.

Ta có : ( )4 4 24 sin x cos x 4 2 sin 2x 3 cos4x+ = − = +

sin2x sinx cos2xcosx sin2xsinx1 tan2xtanx 1 .

cos2x cosx cos2xcosx

++ = + =

( )cos 2x x 1

cos2xcosx cos2x

−= = .

Phương trình đã cho sin4x

3 cos4x 3 sin4x 3cos2x

+ + − =

cos4x 3 sin4x 2sin2x sin(4x ) sin2x6

+ = + = .

Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là:

5 kx k ; x

12 36 3

= − + = + .

Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : 2 2 3y sin x 14sinx.cosx 5cos x 3. 33= − − +

Lời giải.

• Nếu 3cosx 0 y 1 3. 33 0= = +

• Với cosx 0 ta có: 23 3

2

(1 3 33)tan x 14tanx 3 33 5y

cos x

+ − + −=




Vì 2 3 37 (1 3. 33)(3. 33 5) 0 = − + −

Suy ra 23 3(1 3 33)tan x 14tanx 3 33 5 0 x+ − + − .

Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 11.

1. Cho tan ,tan là hai nghiệm của phương trình 2x 6x 2 0− − = . Tính giá

trị của biểu thức sau 2 2P sin ( ) 5sin(2 2 ) 2.cos ( )= + − + − +

2. Cho tan ,tan là hai nghiệm của phương trình 2x bx c 0+ + = ( c 1 ).

Tính giá trị của biểu thức 2 2P a.sin ( ) bsin(2 2 ) c.cos ( )= + + + + + theo

a,b,c

Lời giải.

1. Theo định lí Viét ta có: tan tan 6, tan .tan 2+ = = −

Suy ra tan tan

tan( ) 21 tan .tan

+ + = =

− .

Ta có: 2

2

PP(1 tan ( ))

cos ( )+ + =

+

2tan ( ) 10tan( ) 2= + − + −

2

2

tan ( ) 10tan( ) 2 4 20 2 18P

1 4 51 tan ( )

+ − + − − − = = = −

++ +

2. Theo định lí Viét ta có: tan tan b,tan .tan c+ = − =

Suy ra tan tan b

tan( )1 tan .tan 1 c

+ − + = =

− −.

Ta có: 2

2

PP(1 tan ( ))

cos ( )+ + =

+

2atan ( ) 2btan( ) c= + + + +

2 2

2 2

2 2

2

b 2ba. c

1 ca tan ( ) 2btan( ) c (1 c)P

1 tan ( ) b1

(1 c)

− +− + + + + −

= =+ +

+−

2 2 2

2 2

ab 2b (1 c) c(1 c)

(1 c) b

− − + −=

− +.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giải các phương trình sau:




1. 1

sin 2x3 2

+ = −

3. 1 1

sin(4x )2 3

+ =

5. 2cosx 2 0− =

2. ( )0 3cos 3x 15

2+ =

4. sin(2x 1) cos(2 x)+ = −

6. 2x

2 cot 33=


1. 1

sin(4x )3 2

− =

3. 1

tan(2x 1)4

− =

5. sin3x sin5x=

7. sin(4x ) sin(2x ) 04 3

− + − =

9. 2 2sin 2x cos (x )4

= −

11. sin2x 3sin4x 0+ =

2. 0 3cos(15 3x)

2− = −

4. 3x

cot( ) 32 3

− = −

6. sin(4x ) cosx8

− =

8. cos7x sin(2x ) 05

+ − =

10. 2 2sin x cos 4x 2+ =

12. 6sin4x 5sin8x 0+ =


1. tan(3x ) 33

− = −

3. sin 2x 2cos2x 0− =

2. 0 1cot(4x 20 )

3− =

4. tan 2x tan x=


1. 3 tan2x 3 0− =

3. sin(2x 1) cos(3x 1) 0+ + − =

5. cos7x sin(2x ) 05

+ − =

7. 2 2sin x cos 4x 1+ =

9. 6sin4x 5sin8x 0+ =

2. 2cos x sin2x 0− =

4. sin(4x ) sin(2x ) 04 3

− + − =

6. 2 2sin 2x cos (x )4

= −

8. sin2x 3sin4x 0+ =


1. cos2x

01 sin2x

=−

3. tan 3x tan 4x=

5. 24 x sin2x 0− =

2. cot 2x.sin 3x 0=

4. cot 5x.cot 8x 1=

6. ( )1 x 1 x cosx 0− + + =

7. 2 2 2tan x cot x 1 cos (3x )4

+ = + +


1. 2 2

cos( sinx ) 13 3

− = 2. ( )cot cos x 1 1

4

− = −





1. 3 sin2x cos2x 1 0− + =

3. sin3x 3 cos3x 2cos5x− =

5.

3(sin2x cos7x) sin7x cos2x+ = −

7. sin x 2 sin x 14

+ − =

9. 2

cos x 2sin x.cos x3

2cos x sin x 1

−=

+ −

2. 3sin4x 4cos4x 1+ =

4. sinx(sinx 2cosx) 2+ =

6. ( )4 44 sin x cos x 3 sin4x 2+ + =

8. 2

1 cos x cos 2x cos 3x 2(3 3 sin x)

32cos x cos x 1

+ + += −

+ −

10. ( )2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x+ = +


1. 23cos4x sin 2x cos2x 2 0− + − =

3. 3 tanx cot x 3 1 0+ − − =

5. ( )( )1 sinx 1 cosx 2+ + =

6. ( )sin2x 4 sinx cosx 4+ − =

8. 3 3cos x sin x 1− = −

2. 2

13cot x 1 0

sin x+ + =

4. 2 xcos2x 3cosx 4cos

2− =

7. ( )2 sin x cos x tan x cot x+ = +


1. 22sin x 5sinx 3 0+ + =

3. 2

2 tan x5

1 tan x=

−

5. 2 32tan x 3

cosx+ =

7. ( ) 4 45 1 cos x 2 sin x cos x+ = + −

9. 37cosx 4cos x 4sin2x= +

2. ( )22cos 2x 2 3 1 cos2x 3 0− + + =

4. cos2x 5sin x 3 0− − =

6. 2

49 13cosx 0

1 tan x− + =

+

8. 5 7

sin 2x 3cos x 1 2sin x2 2

+ − − = +

10. 2cos4x cos 3x=


1. 2 22cos x 6sinxcosx 6sin x 1+ + =

3. 2 2cos x sinxcosx 2sin x 1 0− − − =

5. ( ) 22 2 sin x cos x cos x 3 2cos x+ = +

2. 2 2cos x 3 sin2x 1 sin x− = +

4. 2cos x 3 sinxcosx 1 0+ − =

6. ( )tanx cotx 2 sin2x cos2x+ = +

7. 32cos x sin3x=

8. 3 3 24sin x 3cos x 3sinx sin xcosx 0+ − − =


1. 3 sin2x cos2x 2+ =

3. 2

cos x 2sin x.cos x3

2cos x sin x 1

−=

+ −

2. 6

4sinx 3cosx 64sinx 3cosx 1

+ + =+ +

4. ( )4 44 sin x cos x 3 sin4x 2+ + =





1. ( )2sin2x sinx cosx 1 0− + + =

3. sin 2x 2 sin x 14

+ − =

5. cosx sinx 2sin2x 1− + =

2. ( )sin2x 12 sinx cosx 12 0− − + =

4. 1 tanx 2 2 sinx+ =

6. 3 3cos x sin x cos2x+ =

7. 3 3cos x sin x 2sin2x sinx cosx+ = + +

8.1 1 10

cosx sinxcosx sinx 3

+ + + =


1. 2 22cos x 6sinxcosx 6sin x 1+ + =

3. ( ) 22 2 sin x cos x cos x 3 2cos x+ = +

5. 32cos x sin3x=

2. 2 2cos x 3 sin2x 1 sin x− = +

4. ( )tanx cotx 2 sin2x cos2x+ = +

6. 3 3 24sin x 3cos x 3sinx sin xcosx 0+ − − =

7. ( ) ( )2sin x tan x 1 3sin x cos x sin x 3+ = − +

8. ( )3 3 5 5cos x sin x 2 cos x sin x+ = +

9. ( )2sin x 3tan x cos x 4sin x cos x+ = −

10. 32 2 cos (x ) 3cosx sinx 04

− − − =


1. 22sin x 3sinx 1 0− + =

3. 2cos2x 3sin x 1 0+ − =

2. 2sin x cosx 1 0− + =

4. 23cos4x sin 2x cos2x 2 0− + − =


1. 4cosx.cos2x 1 0+ =

3. 4 6cos x cos2x 2sin x 0− + =

2. 8 8 216(sin x cos x) 17cos 2x+ =


1. cos2x cosx 1 0+ + =

3. 2 26sin x 2sin 2x 5+ =

5. ( )22cos 2x 2 3 1 cos2x 3 0− + + =

7. 2

49 13cos x 0

1 tan x− + =

+

9. 5 7

sin 2x 3cos x 1 2sinx2 2

+ − − = +

11. 2cos4x cos 3x=

2. 2 xcos2x 3cosx 4cos

2− =

4. 4 42sin x 2cos x 2sin2x 1+ = −

6. 2 32tan x 3

cosx+ =

8. ( ) 4 45 1 cos x 2 sin x cos x+ = + −

10. 37cosx 4cos x 4sin2x= +




13. 6 4sin x cos x cos2x+ = 12. 2 3x 4x2cos 1 3cos

5 5+ =

14. 4 4sin x cos x cot x cot x sin 2x3 6

+ = + − +


1. 1 3tan x 2sin2x+ =

3. 6 6sin x cos x sin2x+ = 2.

2cot x tanx 4sin2x

sin2x− + =

4. 4 4 3cos x sin x cos(x )sin(3x ) 0

4 4 2

+ + − − − =


1. 2 2 1 11x 9xsin 2x.cos6x sin 3x sin .sin

2 2 2+ =

2. ( ) 21 2 2 sin 2x cos 2x

6 tan (x )sin 4x 8

− + = −

3. 1+sinx cosx sin2x cos2x 0+ + + =

4. 2cos x(cosx 1)

2(1 sin x)sinx cosx

−= +

+

5. 2 23cot x 2 2 sin x (2 3 2)cosx+ = +

6. 2sin2x cos2x 7 sinx 2cosx 4− = + −


1. 4 4sin x cos x 1 1

cot 2x5sin2x 2 8sin2x

+= − ( A1 – 2002 )

2. ( )( )2cosx 1 2sinx cosx sin2x sinx− + = − ( D – 2004 )

3. 6 62(sin x cos x) sinxcosx

02 2sinx

+ −=

− ( A – 2006 ).

4. x

cot x sinx(1 tanxtan ) 42

+ + = (B – 2006 )

5. 2 2 2x xsin tan x cos 0

2 4 2

− − =

( D – 2003 )

6. cotx tanx sinx cosx− = +

7. sinx.sin4x 2cos( x) 3cosx.sin4x6

= − −

8. 2

4

4

(2 sin x)sin3xtan x 1

cos x

−+ =

9.

2 x(2 3)cosx 2sin ( )

2 4 12cosx 1

− − −

=−




10. 2 2x 34sin 3 cos2x 1 2cos (x )

2 4

− = + −

11. 3sinx 2cosx 2 3tanx+ = +

12. 2

2

22 tan x 5tan x 5cot x 4 0

sin x+ + + + =

13. 2 2 2x sin 3x 3cos 2x 0sin + − =

14. 3 x 1 3x

sin sin10 2 2 10 2

− = +

15. (1 sin x cos2x)sin(x )

14 cosx1 tan x 2

+ + +

=+

16. (sin2x cos2x)cosx 2cos2x sinx 0+ + − =

17. sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0− + − − =

18. (1 2sin x)cos x

3(1 2sin x)(1 sin x)

−=

+ −

19. 3sinx cosxsin2x 3 cos3x 2(cos4x sin x)+ + = +

20. 3 cos5x 2sin3xcos2x sinx 0− − = .

Bài 19 Giải các phương trình sau

1. 2cosx tanx 1 2sin2x+ = +

2.8

3cotx tanx 8sin(x )3

− = −

3. 2sin3x cosx.cos2x(tan2x tan x)= +

4.22(sinx cosx) (1 2sin2x)

1 tanxsin3x sin5x

− += −

+

5. sin(2x )cos2x 2 2 sin(x ) 04 4

− − − =

6. 2 3cos 2x cos4x(tan2x.cotx 1)

4+ − = −

7. cosx 2cos3x 1 3.sinx− = +

8. sin x sin x sin 4x sin 2x3 3

+ + + = −

9. 21 11 cos 2x 2sin x 3

2sin x sin x

− = − +

10.cos2x

(sinx 2cosx)cos2x sinx (cos4x 1)cosx2sinx

− + = − +




11. 2

cos4x sin2x2 2 sin x 3

cos3x sin3x 4

+ = + +

+

12. 4 4 23 3 2 3 3sin x cos x sin 2x.cos 2x cos 2x

2 2

+ −+ = +

13. sin3x 2cos3x cos2x 2sin2x 2sinx 1 0+ + − − − =

14. 2sin xsin 4x 2 2 cos x 4 3 cos xsin xcos2x6

= − −

15. ( ) ( )2cos 2x 1 cos x sin x 2 sin x cos x sin 3x− − = +

16. 2tan x 3 (1 2 sinx)(tanx 2 cosx)+ = + +

17. 21 cosx.cos2x 14sin x sinx 1

sin2x cosx

−− = − − .


1. sinx.sin4x 2cos( x) 3cosx.sin4x6

= − −

2. cosx 2cos3x 1 3.sinx− = +

3. 3 3 3sin x.cos3x cos xsin3x

4

−+ =

4. 2sin2x (2 3 3)sinx (2 3 3)cosx 6 3+ − + − = −

5. 2 2 2xsin x 4sin sin 3x

2 4

+ − =

6. 2 2sinx 2 sin x sinx 2 sin x 3+ − + − =

7. 10 10 6 6

2 2

sin x cos x sin x cos x

4 4cos 2x sin 2x

+ +=

+

8. ( )2 2cos 3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x + − = +

9. ( )2 2 2 9sin x sin y sin x y

4+ + + =


1. 3 3 2 2sin x 3 cos x sinxcos x 3 sin xcosx− = −

2. ( ) ( )2 21 sin x cosx 1 cos x sin x 1 sin 2x+ + + = +

3. 22sin 2x sin7x 1 sinx+ − =

4. 2

x xsin cos 3 cosx 2

x 2

+ + =




5. 2

1 sin2x cos2x2sinxsin2x

1 cot x

+ +=

+

6. sin 2xcosx sin xcosx cos2x sin x cosx+ = + +

7. sin 2x 2cos x sin x 1

0tan x 3

+ − −=

+

8.

sin 3x4

2 cot xsin x cosx 4

+

= +

+ .


1. ( ) 11 cosx cosx cos2x sin4x

2− + =

2. 1 cos x 1 cos x

4sin xcos x

+ + −=

3. 2sinx sinx sin x cosx 1+ + + =

4. 1 sinx 1 sinx 2cosx− + + =

5. 2 2 21cos 2x sin 4x 1 sin4xcos2x sin x

4+ + = +

6. 14 13sin x cos x 1+ =

7. ( )2 2 2tan x tan y cot x y 1+ + + =

8. 2 2 21sin x sin 3x sinxsin 3x

4+ =

9. 4

4 41tanx cot x sin x cos x

4

+ = +

10.

2 22 2

2 2

1 1 1cos x sin x 12 sin y

2cos x sin x

+ + + = +

.

Vấn đề 2. Tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm tổng các nghiệm trong khoảng ( ; )− của phương trình:

1. sin(3x ) cos(2x )3 4

+ = − 2. 2 2sin 2x cos (3x )

8

= −

Lời giải.


sin 3x sin 2x3 4

+ = −




3 k23x 2x k2 x

3 4 12 5

3x 2x k2 x k23 4 12

+ = − + = +

+ = + + = − +

Do ( )x ; − nên ta có:

43 19 29 53x ,x ,x ,x ,x ,x

60 60 12 60 60 12

= − = − = = = = −

Vậy tổng các nghiệm trong ( );− bằng3

.

2. Phương trình ( )cos 6x cos 4x cos 4x4

− = − = +

5x k6x 4x k2

843 k

6x 4x k2 x4 40 5

= + − = + +

− = − − + = − +

Các nghiệm nằm trong ( ; )− của phương trình là:

5 7 27 19 11 3x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,

8 8 40 40 40 40 8

= = − = − = − = − = − =

13 21 29 37x ,x ,x ,x

40 40 40 40

= = = =

Vậy tổng các nghiệm thuộc ( ; )− là: 7

8

.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các

phương trình sau:

1. 2 2sin 2x cos 5x 1+ = 2. 2 2(sinx cosx) 2cos 3x+ =

Lời giải.

1. Phương trình 1 cos4x 1 cos10x

12 2

− + + =

kx10x 4x k2 3cos10x cos 4x

10x 4x k2 kx

7

= = +

= = − + =

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là:

x ,x7 7

= = − .

2. Phương trình 1 sin 2x 1 cos6x + = +




6x 2x k22cos6x sin 2x cos 2x

26x 2x k2

2

= − +

= = − = − + +

kx

16 4k

x8 2

= +

= − +

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã

cho là: x ,x16 8

= = − .

Ví dụ 3 Tìm số dương nhỏ nhất của phương trình :

1. ( )2 21cos x 2x sin x

2

+ − =

2. ( ) ( )22sin x sin x 1 = +

Lời giải.

1. Phương trình ( )2 2sin (x 2x) sin x + =

2 2

22 2

x k(x 2x) x k2

2x 2x 2k 1 0 (1)(x 2x) x k2

= + = +

+ − − = + = − +

Từ đó ta tìm được 1 3

x2

− += .


2 22

2k 1xx (x 1) k2

2x (x 1) k2 x x k 0

+ = − = + + = − + + + − =

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2k 1

x ,k2

+= − là

1x

2=

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2x x k 0+ − = là: 1 5 1

x2 2

− +=

Vậy 1

x2

= là nghiệm cần tìm.

Ví dụ 4

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2cos 3x 9x 160x 800 18

− + + =

Lời giải.

Phương trình 23x 9x 160x 800 16k− + + =

2

16k 16kx x

3 3258k 25

9x 24k 40x3k 53k 5

− = − −=

++




Theo bài toán suy ra: 25

k 0, 2, 103k 5

− −+

Thử lại ta có các nghiệm nguyên của phương trình :

x 7( k 2), x 31 (k 10)= − = − = − = − .

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0;2 ) của phương trình

sau:

( ) ( )3 1 sin x 3 1 cosx 2 2 sin 2x− + + =

Lời giải.

Ta có 7 6 2 7 6 2

sin ; cos12 4 12 4

+ −= =

Nên phương trình đã cho tương đương với: 3 1 3 1

sin x cosx sin 2x2 2 2 2

− ++ =

7 7sinx.cos cosx.sin sin2x

12 12

+ =

72x x k2

7 12sin(x ) sin 2x712

2x x k212

= + +

+ = = − − +

7x k2

125 2

x k36 3

= +

= +

.

Do ( )x 0;2 nên phương trình có các nghiệm là:

7 5 29 53; ; ;

12 36 36 36

.

Vậy tổng các nghiệm cần tính là: 3 .

Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau

Phương trình 3 sinx cosx 3 cosx sinx 2 2 sin2x + + − =

7sin(x ) cos(x ) 2 sin2x sin(x ) sin2x

6 6 12

+ + + = + =

Tiếp tục giải ta được kết quả như trên.


Bài 1 Tìm tổng các nghiệm của phương trình:

1. 2cos(x ) 13

− = trên ( ; )− 2. sin(5x ) cos(2x )

3 3

+ = − trên

[0; ]

Bài 2 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau




2sin 3x 9x 16x 80 04

− − − =

.

Bài 3 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2cos (3 3 2x x ) 1 − + − = − .

Bài 4 Tìm x 0;14 nghiệm đung phương trình :

cos3x 4cos2x 3cosx 4 0− + − =

Bài 5 Tìm nghiệm trên khoảng ( ; )− của phương trình :

22(sinx 1)(sin 2x 3sinx 1) sin4x.cosx+ − + =

Bài 6 Tìm nghiệm ( )x 0;2 của phương trình :

sin 3x sin xsin 2x cos2x

1 cos2x

−= +

−

Vấn đề 3 . Phương pháp loại nghiệm khi giải phương

trình lượng giác có điều kiện Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng

giác. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu

diễn của điều kiện.

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

• Điểm biểu diễn cung và k2 + , k trùng nhau

• Để biểu diễn cung 2k

n

+ lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n

giá trị (thường chọn k 0,1,2,...,n 1= − ) nên ta có được n điểm phân biệt cách

đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường

tròn.

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm k

n

+ và

l

m

+ , trong đó m,n

đã biết, còn k,l là các chỉ số chạy.

Ta xét phương trình : k l

ak bl cn m

+ =+ + = (*)

Với a,b,c là các số nguyên.

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên

ax by c+ = (1).

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

• Phương trình (1) có nghiệm d (a,b) = là ước của c

• Nếu phương trình (1) có nghiệm 0 0(x ; y ) thì (1) có vô số nghiệm




0

0

bx x t

d ,ta

y yt

= +

= −

.

Phương pháp 3: Thử trực tiếp

Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào

điều kiện để kiểm tra.

Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng

giác:

Giả sử ta có điều kiện là u(x) 0 ( u(x) 0,u(x) 0 ), ta biến đổi phương

trình đã cho về phương trình chứa u(x) và giải phương trình để tìm u(x) .

Các ví dụ


1. cot 3x cot x= 2. cot 4x.cot7x 1=

Lời giải.

1. Điều kiện: x k3

Phương trình n

3x x n x ,n2

= + =

Loại nghiệm: Để loại nghiệm của phương trình ta có các cách sau

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung k3

ta có các điểm

1 2 3 4 5 6A ,A ,A ,A ,A ,A .

Biểu diễn các điểm cuối của cung n

2

ta có các điểm 1 2B ,B , 3B , 4B .




Ta thấy 1 1 4 3A B , A B .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x m ,m2

= + .

Cách 2: Ta có k 3tn k 2k

nn 2t2 3 3

= = =

=

Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn.

Vậy nghiệm của phương trình là: x m ,m2

= + .

2. Điều kiện:

kx

4n

x7

.

Phương trình cot7x tan4x cot( 4x)2

= = −

7x 4x m x m2 22 11

= − + = + .

• Ta có: k k 2

m 2 4m 11k m 3k22 11 4 4

++ = + = = −

Vì k 2

m,k t k 4t 2 m 11t 64

+ = = − = −

• Ta có: m n

7 14m 22n 22n 14m 722 11 7

+ = + = − =

Vì 22n 14m− là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

B3

B1

y

x

B4

B2

A4

A5

A3

A6

A2

O

A1




mx

22 11

= + với m 11t 6 − , t .

Ví dụ 2. Giải phương trình sau:sinxcot 5x

1cos9x

=

Lời giải.

Điều kiện:

mxsin 5x 0 5

cos9x 0 mx

18 9

+

Phương trình sinxcos5x cos9xsin5x =

sin6x sin4x sin14x sin4x sin14x sin6x − = − =

kx14x 6x k2 4

k14x 6x k2x

20 10

= = +

= − + = +

• Nghiệm k

x4

= bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau có

nghiệm nguyên m,k

m 5tk mk 4t5k 4m4 5 k

k m 9k 4m 2 k 2 4t

4 18 9 m 4 9t

= = = = − = = + = + = +

(chẵn)

• Nghiệm k

x20 10

= + bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau

có nghiệm nguyên m,k

k m4m 2k 120 10 5

k m 18k 10m 1

20 10 18 9

+ = − =

− = + = +

ta thấy cả hai phương trình này vô

nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: k

x20 10

= + ,

kx

4 2

= + .


Bài 1: Giải phương trình : sinx cos2x=

Bài 2: Giải phương trình : cos3xtan4x sin5x=

Bài 3: Giải phương trình ( )2 sin 3x cos 3x 1 2sin 6x 2sin 2x+ = + +




Bài 4: Giải phương trình : tan 2xtan 3xtan7x tan 2x tan 3x tan7x= + + .

Bài 5: Giải phương trình : 24cos2x xtan x tan x.tan

sin 2x 2cosx 2 4

− = −

+ .

Bài 6: Giải phương trình : 3

sin x8cosx

=

Bài 7: Giải phương trình : cos2x(2cos2x 1)

cot xsin3x

+=


1. sinx sin2x sin3x

3cosx cos2x cos3x

+ +=

+ + 2.

2 32

2

cos x cos x 1cos2x tan x

cos x

− −− =

3. 1 1 2

cosx sin2x sin4x+ = 4.

24

4

(2 sin 2x)sin3xtan x 1

cos x

−+ =

5. cos3xtan5x sin7x= 6. 1 2(sin x cos x)

tan x cot 2x cot x 1

−=

+ −

Bài 9. Giải các phương trình sau

1. 1 1

2tanx cot 2x 2sin2x2 2sin2x

+ = +

2. tan 2x tan 3x tan 5x tan 2xtan 3xtan 5x= + +

3. 2 2cosx cos5x8sin 2 x 8cos x

cos3x cosx 4

− + + =

4. cos2x 1 sin2x 2 sinx cosx+ − = −

Vấn đề 4 . Phương trình lượng giác chứa tham số Các ví dụ

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình: 2sin(x ) 2m 110

+ = +

Lời giải.

Phương trình 2m 1

sin x10 2

+ + =

• Nếu 2m 1 3 1

1 1 m2 2 2

+− − thì phương trình có nghiệm

2m 1x arcsin k2

10 29 2m 1

x arcsin k210 2

+= − + +

+ = − +




• Nếu

3m

21

m2

−

phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình: mcos2x m 1= −

Lời giải.

• Nếu 1 m 1

m 12 m

− phương trình có nghiệm

1 m 1x arccos k2

2 m

−= +

• Nếu 1

m2

thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Cho phương trình : (m 1)cosx 2sinx m 3− + = +

1. Giải phương trình khi m 2= − 2. Tìm m để phương trình có

nghiệm

Lời giải.

1. Với m 2= ta có phương trình : 3cosx 2sinx 1− = −

3 2 1 1cos x sin x cos(x )

13 13 13 13 − = − + = −

Với 2 3

sin ,cos ; 0;213 13

= =

.

1 1x arccos k2 x arccos k2

13 13

− − + = + = − + .

2. Phương trình đã cho có nghiệm 2 2(m 1) 4 (m 3) − + +1

m2

− .

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình: ( ) ( )m 1 cosx m 1 sinx 2m 3+ + − = + có 2

nghiệm 1 2x ,x thoả mãn: 1 2x x3

− =

Lời giải.

Ta có phương trình đã cho tương đương với

2 2 2

m 1 m 1 2m 3cosx sinx

2m 2 2m 2 2m 2

+ − ++ =

+ + +

( )cos x cos + = (với đk 2

2m+31 1

2m 2−

+

(*) )




(Trong đó 2 2

m 1 2m+3cos ;cos

2m 2 2m 2

+ = =

+ +

) x k2 = +

Do đó 1 2x ,x có dạng 1 1 2 2x k 2 ; x k 2=++ =−+

(Vì nếu x1,x2 cùng thuộc một họ nghiệm thì 1 2x x l2 , l Z − = )

Do đ ó: 1 21 2x x 2 (k k )233

− = + − =

1 21

cos (k k ) cos cos23 2

2 2

− = =+ .

Mặt khác 2cos2 2cos 1 = − nên ta có:

( )2 2

22

m 11 m 1 32 1

2 4 2m 22m 2

++ = − = ++

2m 4m 1 0 m 2 3 − + = = (ko thoả mãn (*))

Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán .


Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau:

1. 4sin 2x 2m 1= +

3. tan(2x ) m 16

− = +

2. 2(m 1)cos (4x ) 2m3

− + =

4. 2mcot (2x ) 2m 18

− = +

Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau:

1. 2msin 2x m 1 0+ − = 2. 2(2m 1)tan 3x m 2− = +

Bài 3 Cho phương trình (m 1)sinx mcosx 2m 1− + = − (1)

1. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm x3

= , giải phương trình với

giá trị m vừa tìm được.

2. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

1. 2cos2x cos x 3sinx 2m 0+ + + = có nghiệm

2. cos2x (2m 1)cosx m 1 0− + + + = có nghiệm trên ;2

Bài 5: Giải và biện luận phương trình :

1. ( ) ( )2 3 2 38m 1 sin x 4m 1 sinx 2mcos x 0+ − + + =

2. ( )2msinxcosx sinx cosx 1 0− + + = .




3. 2 2

6 6

cos x sin xmcot 2x

cos x sin x

−=

+

Bài 6: Tìm m để phương trình :

1. mcos2x sinx cosxcot x+ = có đung 4 nghiệm thuộc ( )0;2

2. 2 2(1 m)tan x 1 3m 0

cosx− − + + = có nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng

0;2

.

3. 2

2

1m tan x 2 tan x 1

cos x+ − = có nghiệm.

4. 2 2cos4x cos 3x msin x= + có nghiệm x 0;12

Bài 7: Cho phương trình : 4 4 21sin x cos x – cos2x sin 2x a 0

4+ + + =

1. Giải a 2= −

2. Tìm a để phương trình có nghiệm

Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4 4 21sin x cos x – cos2x sin 2x m 0

4+ + + =

Bài 9: Chứng minh phương trình cosx mcos2x 0+ = luôn có nghiệm với mọi

m.


phƯƠng trÌnh lƯỢng giÁc · 2018. 7. 17. · 4. phương trình cos(3x 1) sin( 2x 1) cos 2x 1...

Documents