SVEUILITE U ZAGREBU - GEODETSKI FAKULTET UNIVERSITY OF ZAGREB - FACULTY OF GEODESYZavod za inenjersku geodeziju i upravljanje prostornim informacijama Institute of Engineering Geodesy and Spatial Information ManagementKaieva 26; HR-10000 Zagreb, CROATIA Web: www.igupi.geof.hr; Tel.: (+385 1) 46 39 222; Fax.: (+385 1) 48 28 081

Usmjerenje: Inenjerska geodezija i upravljanje prostornim informacijama

DIPLOMSKI RAD Analiza pouzdanosti nadzemne horizontalne geodetske osnove tunela ''Mala Kapela''

Izradio: Petar Garmaz Vjekoslava Paraa 102 Split pgarmaz@geof.hr

Mentor: prof. dr. sc. Gorana Novakovi

Zagreb, srpanj 2005.

2

Zahvala: Zahvaljujem se mentorici prof. dr. sc. Gorani Novakovi, asistentima Rinaldu Paaru, dipl. ing. i Mladenu Zrinjskom, dipl. ing. na pruenoj pomoi, potpori i utroenom vremenu tijekom izrade ovog diplomskog rada. Zahvaljujem se obitelji na potpori tijekom studija. Hvala mojoj VEDRANI!

3

I. Autor Ime i prezime: Datum i mjesto roenja: Petar Garmaz 13.8.1981., Split, Hrvatska

II. Diplomski rad Predmet: Naslov: Geodetske mree posebnih namjena Analiza pouzdanosti nadzemne horizontalne geodetske osnove tunela ''Mala Kapela'' prof. dr. sc. Gorana Novakovi

Mentor i voditelj:

III. Ocjena i obrana Datum izdavanja zadatka: Datum obrane: Sastav povjerenstva pred kojim je branjen diplomski rad: studeni 2004. 1.7.2005.

4

Analiza pouzdanosti nadzemne horizontalne geodetske osnove tunela "Mala Kapela"

Petar Garmaz

Saetak: Cilj ovog diplomskog rada je izjednaenje nadzemnehorizontalne geodetske osnove tunela "Mala Kapela", trenutano najdueg tunela u Hrvatskoj, i ispitivanje pouzdanosti dobivenih rezultata. Prikazan je tijek radova od prorauna potrebne tonosti geodetskih mjerenja u tunelogradnji, uspostave mree, analize mree te izjednaenja. Nakon izjednaenja ispitana je pouzdanost obavljenih mjerenja, u smislu otkrivanja eventualne prisutnosti grubih pogreaka, kao i njihovog lociranja. Obrada podataka i izjednaenje mree provedeni su u modulu Trimnet Plus programskog paketa GPSurvey v.2.35.

Kljune rijei: tunel, nadzemna geodetska osnova, pouzdanost

Master's Thesis Template Abstract: The goal of this diploma thesis is the adjustment of thesurface reference network of the tunnel "Mala Kapela", currently the longest of its kind in Croatia, and the testing of reliability of the obtained results. The course of action is described in detail, starting with an estimate of necessary accuracy of geodetic surveys in tunneling, and followed by the setting up and analysis of the network, as well as the final adjustment. After the adjustment the reliability of the performed surveys is examined in order to discover and locate the potential presence of outliers. Data processing and network adjustment were carried out in Trimnet Plus module of the programme package GPSurvey v.2.35.

Keywords: tunnel, surface reference network, reliability

5

S A D R A J1. 2. UVOD .............................................................................................................. 7 TUNELI ........................................................................................................... 8 OSNOVNI POJMOVI O IZGRADNJI TUNELA ....................................................... 8 OSNOVNI POJMOVI O PROFILIMA TUNELA I GABARITU .................................... 10 GEODETSKA OSNOVA ZA POLOAJNO ODREIVANJE TRASE TUNELA .............. 11 PRORAUN NEOPHODNE TONOSTI GEODETSKE OSNOVE ZA ISKOLENJE TUNELA .............................................................................................................. 13 2.4.1. Proraun tonosti geodetske osnove na povrini ............................ 15 2.4.2. Proraun tonosti orijentacije geodetske osnove u tunelu .............. 19 2.4.3. Proraun tonosti mjerenja kutova u podzemnoj poligonometriji .... 19 3. USPOSTAVA MREE .................................................................................. 21 3.1. PROJEKT MREE ....................................................................................... 21 3.1.1. Osnovni oblici mrea referentnih toaka ......................................... 22 3.2. IZVEDBA MREE ........................................................................................ 24 3.2.1. Horizontalne mree ......................................................................... 24 3.2.2. Visinske mree................................................................................ 25 4. ANALIZA MREE ......................................................................................... 27 4.1. ANALIZA TONOSTI MJERENJA.................................................................... 27 4.1.1. Procjena tonosti a mjerenja a priori ............................................... 28 4.1.2. Korekcije i redukcije mjerenja ......................................................... 32 4.1.3. Procjena tonosti izmjerenih veliina a posteriori......................... 32 5. IZJEDNAENJE GEODETSKIH MREA..................................................... 34 5.1. OSNOVNE DEFINICIJE ................................................................................ 34 5.2. MODELI I METODE IZJEDNAENJA ............................................................... 34 5.2.1. Izjednaenje po posrednim mjerenjima Gauss-Markovljev model 35 5.3. RANG I DEFEKT GEODETSKE MREE ............................................................ 38 5.4. DATUM GEODETSKE MREE ....................................................................... 39 5.4.1. Defekt datuma geodetske mree .................................................... 39 5.4.2. Definiranje datumskih parametara mree ....................................... 40 5.5. RAZLIITI PRISTUPI IZJEDNAENJU ............................................................. 44 6. KRITERIJI POUZDANOSTI GEODETSKIH MREA.................................... 46 6.1. UNUTARNJA I VANJSKA POUZDANOST GEODETSKIH MREA............................ 46 6.1.1. Unutarnja pouzdanost ..................................................................... 47 6.1.2. Vanjska pouzdanost........................................................................ 52 6.1.3. Globalna i lokalna unutarnja i vanjska pouzdanost ......................... 54 6.2. GLOBALNI TEST I DATA SNOOPING METODA ................................................. 57 6.2.1. Globalni test .................................................................................... 58 6.2.2. Data snooping metoda .................................................................... 59 6.3. TAU - TEST ............................................................................................... 60 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

6 6.4. 7. 7.1. 7.2. 8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 9. 10. PREDLOENA STRATEGIJA OTKRIVANJA I UKLANJANJA GRUBIH POGREAKA .... 60 TERRESTRIAL OBSERVATION MODULE (TOM)............................................. 62 NETWORK ADJUSTMENT MODULE (NAM) ................................................... 68 NADZEMNA GEODETSKA OSNOVA TUNELA "MALA KAPELA" ........................... 71 REZULTATI IZJEDNAENJA ......................................................................... 72 ANALIZA POUZDANOSTI REZULTATA ............................................................ 73 SADRAJ PRILOENOG MEDIJA (CDA) ....................................................... 77 GPSURVEY- TRIMNET PLUS ...................................................................... 62

OPI PODACI O TUNELU "MALA KAPELA" ............................................. 71

ZAKLJUAK ................................................................................................ 78 PRILOZI .................................................................................................... 79

Literatura ivotopis

7

1. UvodTuneli su graevine u obliku cijevi koje slue za savladavanje prirodnih prepreka (brda, planine i neke umjetne prepreke). Geodetska osnova svakog tunela se sastoji od nadzemne i podzemne geodetske osnove. Podzemna osnova se sastoji od poligonskih vlakova koji su u blizini ulaza odnosno izlaza iz tunela prikljueni i orijentirani na toke nadzemne geodetske osnove. S toaka podzemne geodetske osnove se daje smjer kopanja tunela. Potrebno je da nadzemna geodetska osnova bude ne samo precizna, ve i pouzdana u smislu otkrivanja i lociranja grubih pogreaka u mjerenjima koje bi se u sluaju njihovog postojanja negativno odrazile na tonost koordinata toaka nadzemne osnove. Budui da su podzemni poligonski vlakovi prikljueni i orijentirani na toke nadzemne geodetske osnove to bi se odrazilo i na tonost koordinata poligonskih toaka u tunelu, a samim time i na krivo odreen smjer kopanja. U ovom diplomskom radu je obraena nadzemna horizontalna geodetska osnova tunela ''Mala Kapela''. Nadzemna geodetska osnova tunela ''Mala Kapela'' se sastoji od dva geodetska etverokuta (jedan u blizini sjevernog i drugi u blizini junog portala) i preciznog poligonskog vlaka koji ih povezuje. Najprije su u programskom paketu GPSurvey 2.35, u modulu TRIMNET Plus izjednaeni geodetski etverokuti uz uvjet minimalne prisile. To znai da je u oba geodetska etverokuta bila samo po jedna fiksna toka ije koordinate su nakon izjednaenja ostale nepromijenjene. Nakon toga je izjednaen poligonski vlak koji je na sjevernoj strani orijentiran na dvije toke, a na junoj strani na tri toke prije izjednaenih geodetskih etverokuta. Takoer je nakon izjednaenja analizirana pouzdanost obavljenih mjerenja.

8

2. TuneliTunel je podzemna graevina u obliku cijevi otvorene na oba kraja, koja je postavljena horizontalno ili u blagom nagibu, a kroz nju se provodi prometni put eljeznica, cesta, kanal ili vodni tok (Jankovi 1982). Tunelom se dakle spajaju dva dijela puta razdvojena preprekom, koja se ne moe na drugi nain savladati. Prema vrsti prepreke razlikuju se: Brdski tuneli prepreka je planinski vijenac ili brdo kroz koji neka prometnica mora proi. Ako se tunelom savladava prepreka paralelno ili skoro paralelno padini brda, onda se on naziva padinski tunel. Podvodni tuneli prepreka je rijeka ili more. Tunel se postavlja ispod vodne zapreke, ako je to iz bilo kojeg razloga rentabilnije od mosta, ili e tunel sluiti za neke druge svrhe (npr. cjevovod). Metro izgrauju se u velikim gradovima ispod gradskih ulica i blokova radi regulacije intenzivnog gradskog prometa. Tuneli se prema namjeni razlikuju: Prometni: eljezniki, metro, cestovni, plovni. Hidrotehniki tuneli: dovodni i odvodni tuneli hidrocentrala, tuneli za vodoopskrbu. Komunalni tuneli: kanalizacijski, kolektori, pokrivene galerije i tuneli za postavljanje komunalnih vodova. Rudarski tuneli. 2.1. Osnovni pojmovi o izgradnji tunela Nain izgradnje znatno utjee na organizaciju geodetskih radova pri prijenosu osi tunela i projekta graevine. Zato se potrebno upoznati s metodama izgradnje tunela. Postoji nekoliko metoda graenja tunela, s nazivima zemalja u kojima su se prvi put primjenile. To su: belgijska, austrijska , engleska, njemaka, talijanska metoda itd. Klasine metode sastoje se u tome da kopanje poinje uvijek kopanjem jednog potkopa. Te se metode meusobno razlikuju prema redoslijedu kopanja potkopa u tunelskom profilu, koji se jedan za drugim nastavljaju. Svaki dio u tunelskom profilu ima svoje ime. Prema donjoj slici (Slika 1) ti nazivi su sljedei:

9

Slika 1. Tunelski profil

Slika 2. Nain kopanja sustavom jezgre 1 donji potkop, 2 gornji potkop, 3 bona proirenja, 4 i 5 prvi i drugi sloj otkopa prema dolje, 4 mala kalota, 5 velika kalota, 6 trocet, 7 troc, VIII upornjak (lijevi i desni), IX mureta (lijeva i desna), X tjemeni svod, XI podnoni svod, XII odvodnja. Klasine metode graenja tunela mogu se prema nainu rada razvrstati u tri grupe: 1. Nain kopanja tzv. sustavom jezgre. Ovdje se tunel ne gradi u punom profilu, nego postepeno. Najprije se kopaju potkopi 1 paralelno sa osi tunela (Slika 2). U sredini ostaje centralna jezgra (5) na koju se oslanja podgrada bonih potkopa. To je njemaka i talijanska metoda. 2. Nain rada sustavom podziivanja. Najprije se proiruje kalota, pa kad se ozida tjemeni svod, onda se raskopava donji dio tunelskog profila i podziuju upornjaci ispod oslonaca svoda. To je belgijska metoda.

10 3. Nain rada kopanjem punog profila. U vrstoj i postojanoj stijeni tunel se prokopava odmah u punom profilu. Vanost naina izgradnje tunela za geodetske radove je u tome, to o njemu ovise metode rada, nain stabilizacije toaka i tonost mjerenja odnosno iskolenja. Moe se uoiti da pri izgradnji metodom potkopa moe tonost mjerenja biti mnogo manja, nego u sluaju kopanja u punom profilu. U prvom sluaju se nakon proboja moe korigirati iskolenje projektirane trase, dok se u drugom sluaju proboj tunela mora ostvariti odreenom tonou, pogotovo ako se odmah podziuje, pa je trasa definitivna. 2.2. Osnovni pojmovi o profilima tunela i gabaritu Kontura poprenog profila bilo koje graevine naziva se gabarit. Kod prometnih tunela postoje tri vida gabarita koje uvjetuju: vrsta vozila, unutarnji ureaj i sama graevina. Gabarit vozila predstavlja model vozila sa svim dijelovima koji se na njemu nalaze, uzimajui u obzir pri tome poloaj vozila u pravolinijskom kretanju i u luku kad se nagne. Gabarit graevine (slobodni profil tunela) u pravcu ili luku odreuje se spajanjem najistaknutijih toaka poprenog profila. Gabarit unutarnjih ureaja odreuje se spajanjem svih toaka unutarnjih ureaja koji najvie stre. Na slici 3 predstavljen je slobodni profil tunela i pruge pri vonji u pravcu. Tunel nema unutarnjih ureaja, dok na slici 4 postoje ureaji i vozilo se kree u luku. Na slici su brojevima oznaeni: 1 gabarit vozila, 2 gabarit tunela (graevine), 3 gabarit ureaja. Prostor 4 izmeu gabarita vozila i gabarita ureaja, odnosno graevine naziva se gabaritna rezerva.

Slika 3

Slika 4

11 Ova rezerva koja se odreuje projektom, ima za geodete veliko znaenje. Ona predstavlja polaznu veliinu u proraunu potrebne tonosti geodetskih radova za iskolenje i izgradnju tunela. Oblik poprenog presjeka tunela ovisi od minimalnih dimenzija slobodnog profila, vrste zemljita, naina graenja, te od veliine, intenziteta i smjera pritiska zemlje. Najekonominiji profil tunela u vrstoj stijeni je onaj sa plitkim svodom i vertikalnim upornjacima (Slika 5). Pri slabijem vertikalnom pritisku tunelski profil ima oblik parabole ili izduene elipse (Slika 6), dok je pri uzajamnom vertikalnom i bonom pritisku oblik potkoviast (Slika 7). U slabim terenima oblik profila je krug.

Slika 5

Slika 6

Slika 7

2.3. Geodetska osnova za poloajno odreivanje trase tunela Glavna geodetska osnova je triangulacija. U ovisnosti o duljini projektiranog tunela i vrsti tunela, te o terenskim uvjetima, oblik triangulacijskih mrea e biti centralni sustav ili lanac trokuta. Bilo bi najpovoljnije da se osnovne toke tunelske trase koje na terenu obiljeavaju os trase, tj. ulazne toke za izgradnju, portali, vertikalna okna, potkopi, niskopi itd., obuhvate osnovnom mreom. Meutim to e se rijetko ostvariti, osim moda u sluaju manjih padinskih tunela, jer se ulazne toke za izgradnju nalaze redovito na mjestima teko pristupanim razvijanju triangulacije. Zato se na osnovnu triangulacijsku mreu nadovezuje mrea triangulacijskih toaka nieg reda, ili toke osnovne poligonske mree. Ove e toke omoguiti odreivanje koordinata spomenutih toaka tunelske trase i ostalih graevina. Prijenos koordinata i smjera unutar tunela obavlja se sada sa toaka geodetske osnove, koja se nadzemno stabilizirala, signalizirala i odredila. Triangulacija. Osnovni nain odreivanja geodetske osnove za izgradnju tunela je triangulacija. Tunelska triangulacija postavlja se u obliku centralnog sustava sa centralnom tokom u blizini osi tunela, ili lanca trokutova. Kako je tunel izduen objekt, tunelska triangulacija e imati redovito oblik jednostavnog lanca trokuta, lanca geodetskih etverokuta ili lanca centralnih sustava (Slika 8).

12

Slika 8. Tunelska triangulacija Osnovnu triangulacijsku mreu treba projektirati tako da se ona moe koristiti za neposredan prijenos elemenata iskolenja pod zemlju. Ukoliko to nije mogue, onda se razvija triangulacijska mrea drugog reda (Slika 9) ili se to rjeava pomou poligonometrije.

Slika 9. Uvrtena mrea Uvrtena mrea moe biti u obliku posebnog sustava unutar mree prvog reda, ili se toke umetnute mree mogu odreivati presjekom pravaca sa toaka vieg reda. U tom sluaju trebaju se toke odreivati sa najmanje 3 pravilno rasporeena obostrana pravca (Slika 9). Projekt triangulacije sastavlja se, u ovisnosti o duljini tunela, na preglednoj karti mjerila 1 : 100 000, 1 : 50 000 ili 1 : 25 000, na kojoj je priblino ucrtana trasa tunela. Ako takva karta ne postoji, onda se projekt razrauje uz rekognosciranje terena. Pri tome je potrebno pridravati se sljedeih uputstava: Toke tunelske triangulacije ne treba postavljati iznad same trase, jer tokom izgradnje moe doi do deformacije terena i prema tome i do pomaka toaka. To dakako ovisi o dubini u kojoj e se tunel graditi i o kvaliteti tla kroz kojeg tunel prolazi.

13 S toaka geodetske osnove u blizini portala, vertikalnih okana ili niskopa s kojih e se prenositi smjer u podzemlje, potrebno je ostvariti vizure na najmanje dvije toke geodetske osnove, na udaljenosti od najmanje 200 m. Duljine strana triangulacijske mree ovisiti e o mjesnim uvjetima (konfiguracija terena), broju i razmaku ulaznih toaka. to je vie ulaznih toaka i to je vea nepravilnost u udaljenosti izmeu njih, to e mrea biti sloenija. Prema tome, ako se tunel izgrauje samo kroz ulazni i izlazni portal, onda e tunelska triangulacija imati jedan red mree, pri emu e se ulazna i izlazna toka odrediti neposrednim ukljuenjem u osnovnu triangulaciju, odnosno pomou umetnute mree ili poligonometrijski. 2.4. Proraun neophodne tonosti geodetske osnove za iskolenje tunela Za proraun neophodne tonosti geodetske osnove u iskolenju tunela, polazi se od konkretnih podataka koje daje projekt, tj. od duljine tunela, vrste tunela, naina gradnje i broja napadnih toaka. Tonost proboja ovisiti e o tonosti geodetske osnove na povrini, o metodama mjerenja, nainu prijenosa elemenata u tunel (kroz portal, niskop), vrsti i obliku tunela, o tome da li je tunel u pravcu ili u luku, nainu gradnje (potkop, puni profil) i o pogrekama pri graenju. U toki proboja tunela mogu nastati odstupanja od projektiranog poloaja trase: a) po smjeru; b) po duini; c) u visinskom smislu.

Slika 10. Odstupanja u toki proboja Toke OA i OB (Slika 10) trebale bi, prema projektu pasti na isto mjesto. Utjecajem pogreaka geodetske osnove, iskolenja i deformacija terena i graevine, nastala je u trenutku proboja u toki O pogreka razmimoilaenja osi tunela u uzdunom ql, poprenom qp i visinskom smislu qh. Uzduna pogreka ql za tunele u pravcu nema veliko znaenje. Mnogo je vanije popreno i visinsko odstupanje. Veliina doputenog odstupanja uvjetovana je veliinom gabaritne rezerve, koju daje projekt. Ovaj podatak nam omoguuje proraunati kojom tonou treba izvesti nadzemna i podzemna mjerenja, da bi se proboj tunela izveo s doputenom tolerancijom. Za potrebe iskolenja i izgradnje tunela u svim fazama rada obavljaju se kontrolna mjerenja ponovnim opaanjima, iz kojih se uzimaju srednje vrijednosti. U takvim okolnostima moemo uzeti da doputeno odstupanje bude jednako dvostrukom

14 standardnom odstupanju mjerenja. Drugim rijeima, za razmatranje potrebne tonosti geodetskih mjerenja pri iskolenju tunelske osi uzeti e se da je doputeno odstupanje jednako dvostrukom standardnom odstupanju (za razliku od klasine teorije pogreaka gdje se uzima da je doputeno odstupanje jednako trostrukom standardnom odstupanju).

Slika 11. Razmimoilaenje radnih osi AE i BF predstavljaju radne osi tokom kopanja tunela (Slika 11). Nakon proboja nastaje izjednaenje podzemnih geodetskih mjerenja, pa e konana os trase pasti u CC'. Prema tome ako je projektom predvieno granino odstupanje od konane osi u veliini , onda e meusobno odstupanje (razmimoilaenje) radnih osi biti 2, pa e proraun tonosti u proboju tunela polaziti od ove veliine kao date tolerancije:

sq =

2 = . 2

Na razmimoilaenje osi tunela u trenutku proboja utjeu: 1. popreno standardno odstupanje geodetske osnove na povrini koja vee napadne toke q1; 2. standardna odstupanja orijentacije na obje strane q2 i q3, ako se orijentacija prenosi kroz vertikalno okno ili kosi rov; 3. poprena standardna odstupanja zadnje toke podzemnih poligonskih vlakova na obje strane q4 i q5. Radi analize teoretske tonosti smatrati emo da je utjecaj ovih pogreaka meusobno jednak. Ukupno standardno odstupanje e biti2 2 2 2 Q = q12 + q 2 + q 3 + q 4 + q5

Za q1 = q2 = q3 = q4 = q5 = q imamo

Q=q 5.

15 Ako je doputeno razmimoilaenje oznaeno sa 2, ukupno popreno standardno odstupanje e biti

Q==q 5ili q=

5

0.45 .

Ovdje je q veliina dijela poprenog standardnog odstupanja u proboju koji otpada na pojedine geodetske radove na povrini i u tunelu. Na osnovu zadnje formule moe se proraunati potrebna tonost mjerenja u svakoj od navedenih geodetskih operacija. Prijenosom smjera neposredno kroz portale ili bone tolne otpadaju iz razmatranja pogreke q2 i q3. Tada e biti Q = = q 3, odnosno q=

3

0.58 .

2.4.1.

Proraun tonosti geodetske osnove na povrini

Tuneli se mogu graditi iz nekoliko napadnih toaka istovremeno. Na taj nain je tunel podijeljen na nekoliko dionica duljine l. Prema formulama popreno odstupanje, uvjetovano tonou geodetske osnove za pojedine dionice, e biti 0.45 ili 0.58 . Popreno standardno odstupanje na kraju tunela podijeljenog na nekoliko dionica, u odnosu na poetak, rasti e po zakonu o prirastu pogreaka, u ovisnosti o broju dionica. Neka je duljina tunela L, a prosjena duljina dionice l, pa je L = n l . Budui da popreno standardno odstupanje geodetske osnove za svaku dionicu ne smije prijei granicu od 0.45 , ukupno e popreno standardno odstupanje zadnje toke geodetske osnove za cijeli tunel od n dionica biti s q = 0.45 n Za n =

L biti e ls q = 0.45 L . l

16 Iz ovoga proizlazi, da e utjecaj standardnog odstupanja u mjerenju geodetske osnove na popreno razmimoilaenje osi pri proboju tunela biti manji, to je vei l. To znai, to je vei l, odnosno manji broj dionica, to treba na povrini tonije mjeriti. Maksimalna tonost mjerenja na povrini e biti potrebna ako je l = L. Za iskrivljene tunele, uz pretpostavku jednakog djelovanja uzdune i poprene pogreke imamo:

s q = sl =odnosno

0.45 2

L , l

s q = s l = 0.32

L . l

Iskolenjem tunela kroz portale orijentacija se neposredno prenosi na poligonski vlak u tunelu. Tu ne dolazi u obzir pogreka prijenosa smjera, pa e biti

s q = sl =

0.58 2

L L = 0.41 . l l

Pomou ovih formula moe se proraunati udio tonosti mjerenja pojedinih dijelova geodetske osnove na tonost proboja tunela. Proraun tonosti tunelske triangulacije. Oblik tunelske triangulacije moe biti centralni sustav, lanac trokutova, lanac etverokuta, te lanac centralnih sustava. Proraun tonosti tunelske triangulacije provodi se u dvije faze: 1. u fazi projektiranja, u kojoj su glavni elementi (poloaj trase tunela, raspored napadnih toaka) dati projektom graevine, 2. nakon rekognosciranja mree, kada se odreuje konani oblik tunelske triangulacije, i kada se moe prouiti utjecaj geometrijskog oblika na najslabije elemente u mrei. Tonost u tunelskim triangulacijama u obliku lanca razmatra se na osnovu poznatih formula koje daju uvid u uzduno i popreno odstupanje zadnje toke lanca u odnosu na prvu toku prema tome uzduno i popreno standardno odstupanje na kraju dijagonale lanca. 1. Za lanac trokuta, izjednaen za uvjet figura, bit e popreno standardno odstupanje zadnje toke lanca dato priblinom formulom: za lanac sa neparnim brojem trokuta

Sq =

L 2 2 n2 + n + 3 s2 + s 0 n 15

17 za lanac sa parnim brojem trokuta

Sq =gdje je:

L 1 2 2n 2 + 5n + 5 s2 + s 0 , n 15

L duljina dijagonale lanca, s0 - standardno odstupanje mjerenog kuta izraunato po Ferrerovoj formuli,

s - standardno odstupanje smjera poetne stranice.Ukoliko se radi o samostalnoj tunelskoj triangulaciji, lan s u gornjim formulama otpada, jer pogreka u poetnom smjeru ne postoji. 2. Za lanac geodetskih etverokuta, izjednaen za figurne i sinusne uvjete, biti e popreno standardno odstupanje zadnje toke lanca: za lanac sa neparnim brojem trokuta

S q = 0.8L-

s0

2 n2 + n + 3 15 n

za lanac sa parnim brojem trokuta

1 2n 2 + 5n + 5 . S q = 0.8L 15 n s0U gornjim formulama je n broj stranica duljine s koje ine dijagonalu lanca, tj. L = n s . Iz gornjih formula se moe izraunati standardno odstupanje mjerenja L kuta, ako se postavi da je S q = 0.45 . Uz pretpostavku da je duljina tunela l jednaka duljini lanca, biti e

0.45

s L 2 n2 + n + 3 =L 0 . l 15 n

Iz ove formule se izrauna s 0 , a to predstavlja potrebnu tonost mjerenja kuteva u tunelskoj triangulaciji:

15 n . s o = 0.45 2 lL 2 n + n + 3Iz gornje formule se vidi o kojim sve veliinama ovisi tonost tunelske triangulacije. Duljina tunela utjee na tonost geodetskih radova; to je tunel krai, to se moe dopustiti manja tonost tih radova. Ako je duljina tunela velika, a tunel se gradi

18 kroz portale, moe se dogoditi da za danu toleranciju tonost mjerenja bude tolika, da se nee moi praktino ostvariti. Proraun tonosti u sluaju triangulacije i osnovne poligonometrije. Neka se iskolenje tunelske osi izvodi sa geodetske osnove, koja se sastoji od triangulacije i osnovne poligonometrije, koja je prikljuena na triangulaciju. U ovom sluaju potrebno je razmotriti njihovo pojedinano uee u konanom poprenom odstupanju, u razmimoilaenju osi trase tunela Q. Ako je veliina ukupnog uea u ovom poprenom odstupanju za geodetsku osnovu na povrini q, onda e prema upotrijebljenom principu jednakih utjecaja, njihov pojedinani utjecaj biti:

q =

q 2

=

0.45 2

= 0.32 .

Prema tome dio koji otpada na triangulaciju biti e:s q ,t = 0.32 L . l

Drugi dio na osnovu kojega e se proraunavati tonost mjerenja u poligonometriji u pojedinim vlakovima e biti:

s q , p = 0.32 .Proraun tonosti osnovne poligonometrije. Geodetska osnova za iskolenje tunela moe biti postavljena u obliku samostalne poligonometrije, bez triangulacije (Slika 12). Ako se kontrola prorauna elemenata iskolenja osigurala postavljanjem zatvorenog poligonskog vlaka s dugakim stranama, tada se za razmatranje poprenog standardnog odstupanja na kraju vlaka moe koristiti formula za istostranini isprueni obostrano prikljueni poligonski vlak, koja glasi:Sq = s L n(n + 1) , 12(n 1)

gdje je: s standardno odstupanje mjerenja prijelomnih kutova, L duina dijagonale vlaka, n broj prijelomnih i veznih kutova.

Slika 12. Samostalna poligonometrija

19 U ovom sluaju na poligonometriju otpada ukupni iznos poprenog odstupanja koje se odnosi na nadzemne geodetske radove, tj. q = 0.58 pa e bitis L n(n + 1) = 0.58 . 12(n 1)

Odavde je potrebna tonost mjerenja kuteva u samostalnoj poligonometriji:

0.58 12(n 1) . s = L n(n + 1)2.4.2. Proraun tonosti orijentacije geodetske osnove u tunelu

Na tonost orijentacije geodetske osnove u tunelu utjee pogreka u orijentaciji prve strane podzemne poligonometrije. Tonost orijentacije oznaava standardno odstupanje s0 . Ako je duljina podzemnog vlaka L1 od ulaza do mjesta proboja, onda e poprena pogreka uslijed pogreaka orijentacije podzemnog vlaka biti predstavljena formulom

sq 2 =

s0

L1 .

Ovo popreno odstupanje za tunel u pravcu ne bi smjelo biti vee od ranije postavljene veliine od 0.45 , gdje je doputeno odstupanje u proboju. Prema tome

0.45 =

s0

L1 ,

s0 =2.4.3.

0.45 . L1

Proraun tonosti mjerenja kutova u podzemnoj poligonometriji

Popreno standardno odstupanje za isprueni slijepi poligonski vlak, pri iskolenju tunela u pravcu, dano je formulomSq = s

L

n(2n 1) , 6(n 1)

gdje je: L duljina vlaka, n broj prijelomnih kutova, s - standardno odstupanje mjerenja prijelomnih kutova.

20 I to standardno odstupanje mora biti u granicama postavljene tolerancije:0.45 =

s

L

n(2n 1) . 6(n 1)

Zakljuak iz dosadanjih razmatranja. Iz navedene analize tonosti moe se zakljuiti da e biti potrebna to manja tonost mjerenja u triangulaciji, to je projektom predvieno vie napadnih toaka. Smanjenje tonosti mjerenja moe se postii jedino izmjenom projekta, tj. poveanjem broja dionica, odnosno poveanjem broja napadnih toaka, to bi izazvalo smanjenje duine dionice l. Maksimalni zahtjevi tonosti za geodetsku osnovu na povrini nastupiti e ako je l = L, tj. ako se tunel izgrauje samo kroz portale. Meutim tada redovito ne dolaze do izraaja pogreke u prijenosu smjera, tj. orijentacije na podzemnu poligonometriju, pa se koeficijent uz dozvoljeno odstupanje poveava. To ne znai da projekt tunela mora biti prilagoen potrebama mjerenja postavljanjem veeg broja vertikalnih okana ili niskopa, koji bi olakali samo geodetska mjerenja. Prijenos smjera kroz vertikalna okna je veoma teka operacija, koja unosi u podzemna mjerenja znatne pogreke sustavnog karaktera.

21

3. Uspostava mreePostupci uspostave geodetskih mrea posebnih namjena moraju zadovoljiti sve kriterije kvalitete kao i ostale geodetske mree za koje se trai visoka tonost. Openito, uspostava geodetske mree ukljuuje sljedee faze (Novakovi 2004): 1. Projekt mree (ovisi o namjeni i karakteristikama objekta), 2. Izvedba mree (rekognosciranje, stabilizacija, izmjera), 3. Analiza mree (procjena kvalitete podataka mjerenja prije i nakon izvedbe mree). U prvoj fazi koja se provodi prije izlaska na teren, projektom mree odreuje se takav smjetaj toaka mree konfiguracija mree i takva vrsta mjerenja planiranje opaanja, da bi se postigla zahtjevana kvaliteta mree uz to manje trokova . U drugoj fazi projektirana mrea se realizira na terenu. To ukljuuje rekognosciranje, zatim stabilizaciju i signalizaciju toaka i samu izmjeru. U treoj fazi, nakon izmjere mree, uvode se korekcije i redukcije mjernih podataka, zatim se provodi njihova analiza (uklanjanje eventualnih grubih pogreaka) da bi sa pouzdanim podacima, izjednaenjem, dobili najbolju procjenu traenih veliina (koordinate toaka mree) uz ocjenu njihove kvalitete. 3.1. Projekt mree Oblik mree, dimenzije, poloaj i broj toaka mree ovisi o karakteristikama budueg objekta i okolnog terena (reljef, vegetacija, izgraenost, geoloki sastav tlai sl.). Da bi mrea mogla posluiti za posebne namjene, moraju biti ispunjene sljedee pretpostavke:

optimalna geometrija mree, optimalna preciznost mree, optimalna pouzdanost mree, pravilan izbor poloaja toaka u geolokom smislu, pravilna stabilizacija, pravilan izbor veliina za testiranje kvalitete rezultata izmjere.

U projektu mree, izmeu ostalog, definira se i konfiguracija tj. oblik mree. Projektiranje i realizacija optimalnog oblika mree je vrlo kompleksan zadatak. U nastavku prikazat e se neki osnovni oblici mrea koje se uspostavljaju klasinim geodetskim metodama.

22 3.1.1. Osnovni oblici mrea referentnih toaka

Kao to je reeno, oblik referentne mree prilagoava se obliku objekta i reljefu terena na kojem je smjetena. 1. Horizontalne mree

Geodetski etverokut (Slika 13), kao najjednostavniji oblik koristi se na manjim povrinama i dobro je prilagoen objektima kao to su mostovi, brane i drugi samostalni objekti.

Slika 13. Geodetski etverokut

Dvostruki geodetski etverokut ili lanac geodetskih etverokuta (Slika 14)

Slika 14. Lanac geodetskih etverokuta

Lanac trokuta (Slika 15) koristi se pri izgradnji izduenih objekata ceste, eljeznike pruge, tuneli i sl.

Slika 15. Lanac trokuta

23

Mrea trokuta (Slika 16) koristi se na veim gradilitima ili u gradovima.

Slika 16. Mrea trokuta

Centralni sustav (Slika 17) je kao vrsta mrea trokuta pogodan za primjenu kod objekata koji se prostiru na veem podruju. S obzirom na reljef, ako toke terena oko sredine imaju vie kote nego na krajevima, onda se u sredini geodetskog etverokuta dodaje dopunska toka i dobije se centralni sustav.

Slika 17. Centralni sustavi

Dvostruki centralni sustav ili lanac centralnih sustava (Slika 18):

Slika 18. Lanac centralnih sustava

Kombinacija npr. geodetski etverokut i centralni sustav (Slika 19):

Slika 19. Kombinacija geodetskog etverokuta i centralnog sustava

24 2. Visinske mree Bez obzira na vrstu i veliinu objekta, visinske mree imaju oblik zatvorenih poligona (Slika 20). Po potrebi, moe se izvan mree izbaciti pojedina visinska toka, ali se mora vezati direktno na reper, a ne na veznu toku.

Slika 20. Visinska mrea 3.2. Izvedba mree Izvedba mree ukljuuje: rekognosciranje, stabilizaciju i signalizaciju toaka i izmjeru. Postupci su razliiti za horizontalnu, vertikalnu ili prostornu mreu. U nastavku prikazat e se izvedba 2D i 1D mrea, uspostavljenih klasinom izmjerom. 3.2.1. Horizontalne mree

3.2.1.1 Rekognosciranje Rekognosciranje se sastoji od odabiranja najpovoljnijeg poloaja toke na terenu, a da pri tom budu zadovoljeni neki uvjeti. Uvjeti se razlikuju obzirom na metodu izmjere: terestriku ili satelitsku. Pri terestrikim mjerenjima horizontalne mree, najvanije je dogledanje izmeu susjednih toaka i trajnost poloaja toke. Pri definitivnom izboru mjesta za toke, treba voditi rauna o tome da one ne budu kasnije oteene i i unitene pa treba izbjegavati: klizita, sredine parcela, obale rijeka ili potoka, rub puta a takoer i blizinu predmeta (zgrade, ograde, zidovi) ili terena koji bi mogli djelovati na otklon vizurnih pravaca (refrakcija). 3.2.1.2 Stabilizacija toaka Toke se mogu nalaziti ili na elinoj cijevi ili na okruglim betonskim stupovima iji promjer nije manji od 20 cm. Stupovi koji se stabiliziraju na zemljanom terenu temelje se najmanje na dubini jednakoj dvostrukoj dubini smrzavanja okolnog podruja. Toka nalazi se iznad tla na uobiajenoj visini od 1.5 m. Na vrh stupa postavlja se ploa od nehrajueg elika debljine ne manje od 2 cm u ijem se centru postavlja ureaj za prisilno centriranje (Slika 21).

25

Slika 21. Stabilizacija toaka 3.2.1.3 Izmjera mree Kod horizontalnih mrea mjerenjem se odreuju elementi za izraunavanje koordinata toaka samo u ravnini ili na referentnoj plohi. S obzirom na mjerene veliine rezlikuju se trigonometrijske (pravci, kutevi), trilateracijske (duine) mree ili njihova kombinacije. Za mjerenje pravaca odnosno kutova, upotrebljavaju se precizni teodoliti, a za mjerenje duljina elektrooptiki daljinomjer. Obje ove operacije danas se izvode pomou mjernih stanica. Tono centriranje instrumenta i vizurne marke jedan je od najvanijih uvijeta. Ureajem za prisilno centiranje postie se tonost centriranja od 0.1 mm. Nakon izmjere potrebno je provjeriti centriranje i horizontiranje instrumenta. 3.2.2. Visinske mree

Kada se radi o visinskoj predstavi podruja gdje postoje specifine potrebe s obzirom na tonost tada je neophodno postaviti specijalnu nivelmansku mreu. 3.2.2.1 Rekognosciranje i stabilizacija Izbor mjesta za postavljanje repera je vrlo sloen zadatak jer tokom vremena moe doi do njihovog pomaka. Gdje e se postaviti reperi ovisi kako od geomehanikih osobina tla tako i od obujma zone deformacije tla koja nastaje uslijed optereenja objekta i vanjskih sila koje djeluju na njega. Na stabilnost utjecat e vremenske prilike vlanost, temperatura, dubina smrzavanja tla i dr. Kada se zahtjeva visoka tonost, repere treba postavljati to blie objektu idealno bi bilo kada bi se visinska razlika mogla odrediti samo sa jednog stajalita. Suprotno ovom zahtjevu je potreba da se osigura stabilnost repera, to znai da ih treba postavljati izvan zone deformacija, dakle to dalje od objekta tako da budu osigurani od oteenja koje bi moglo nastati u toku izvoenja graevinskih radova. Zbog toga se na gradilitu postavljaju dvije vrste repera: 1. Osnovni reperi postavljaju se izvan zone deformacija, na stabilnom tlu. Njihova konstrukcija ovisi o vrsti tla gdje se postavljaju pa se razlikuju:

Fundamentalni reperi u stijeni postavljaju se oko 500 do 1000 m od objekta

26

Ako je tlo zemljano reperi se postavljaju na armirano betonske stupove jedan reper je na vrhu stupa, a jedan pomoni je sa strane Dubinski reperi podzemni: u rudnicima, buotinama i ostalim podzemnim objektima.Pri izboru temelja za repere najvea prednost daje se stijeni. 2. Radni reperi nalaze se u neposrednoj blizini objekta, a prikljuuju se na osnovne repere radi kontrole stabilnosti. Na ovaj nain osnovni i radni reperi formiraju prikljuene ili zatvorene nivelmanske vlakove. Pri postavljanju geodetske osnove za potrebe tunelogradnje, reperi su ugraeni u betonske stupove (horizontalno ili vertikalno) u kojima su ujedno stabilizirane toke geodetske osnove s odreenim poloajnim koordinatama. 3.2.2.2 Izmjera mree Tonost mjerenja u visinskoj mrei proraunava se na osnovi potrebne tonosti visinskih elemenata koji ulaze u proraune pri projektiranju. Kako se openito radi o vrlo visokoj tonosti, visinske razlike odreuju se uglavnom preciznim nivelmanom visoke tonosti. Za izmjeru visinskih mrea posebnih namjena koristi se geometrijski i trigonometrijski nivelman. Obje metode su podlone utjecaju sustavnih i sluajnih pogreaka. Sustavne pogreke prvenstveno ukljuuju: zakrivljenost Zemlje, atmosfersku refrakciju i dejustiranost instrumenta. Sustavne pogreke se mogu modelirati i uvesti kao korekcije mjerenja. Sluajne pogreke nastaju: zbog pogreke horizontiranja instrumenta, pri mjerenju duljina (trigonometrijski nivelman), oitanju i nevertikalnosti letve.

27

4. Analiza mreeZa uspjeno projektiranje mree i njenu izvedbu potrebno poznavanje raznih metoda analize mree. Dva usko povezana postupka za obradu podataka su prethodna analiza i izjednaenje geodetskih mrea. Prethodnom analizom utvruje se oekivana poloajna nesigurnost toaka mree tj. svakom mjerenju dodjeljuje se teina raunata na osnovu predvienog standardnog odstupanja koje se odreuje a priori pomou poznatih formula. Nakon izmjere i obrade podataka (korekcije, redukcije) provodi se analiza tonosti a posteriori. Provjerava se eventualna prisutnost grubih i sustavnih pogreaka zadovoljenjem nekih uvjeta, a zatim se provodi izjednaenje mree ime se dobivaju najbolje procjene traenih koordinata toaka sa ocjenom njihove kvalitete. Analiza mree sastoji se od sljedeih koraka (Novakovi 2004):

analiza tonosti mjerenih veliina (analiza tonosti a priori), uvoenje korekcija i redukcija mjerenih veliina, otkrivanje i uklanjanje grubih i sustavnih pogreaka (testiranjem zadovoljenja nekih uvjeta npr. zatvaranje figura, horizonta i sl.), izjednaenje mree metodom najmanjih kvadrata, otkrivanje i uklanjanje grubih pogreaka (onih koje su manje vrijednosti pa nisu otkrivene prije izjednaenja) statistikim testiranjem procijenjenih popravaka mjerenja, analiza kvalitete dobivenih rezultata (analiza tonosti a posteriori).4.1. Analiza tonosti mjerenja Kada postoji malo neslaganje izmeu ponovljenih mjerenja, smatra se da su mjerenja precizna. Precizne vrijednosti nisu automatski nuno i tone vrijednosti. Tonost predstavlja stupanj podudaranja ili bliskosti nekog mjerenja prema istinitoj vrijednosti mjerene veliine, a preciznost predstavlja stupanj meusobne bliskosti pnovljenih mjerenja iste veliine u propisanim uvjetima. esto se ovi pojmovi poistovjeuju, to se moe dozvoliti jedino u sluaju kad su mjerenja osloboena grubih i sustavnih pogreaka. Ako su mjerne vrijednosti pod utjecajem samo sluajnih pogreaka, tj. grube i sustavne pogreke uklonjene su ili metodom mjerenja ili matematiki (uvoenjem korekcija) ili njihovom kombinacijom, odnosno kada su mjerenja ne samo precizna (male sluajne pogreke), nego i pouzdana (uklonjene grube i sustavne pogreke), tada se termin ''preciznost'' moe zamijeniti sa terminom ''tonost''. Mjerna tonost je izraz kvalitete mjerenja. Kvantitativno se mjeri mjernom nesigurnosti uz primjenu osnovnog parametra, a to je standardno odstupanje.

28 Kod analize tonosti mjerenja mogu se odvojiti dva razliita postupka: analiza tonosti a priori i analiza tonosti a posteriori. A priori analiza se provodi prije mjerenja, a razmatra sve mogue izvore pogreaka koji mogu djelovati pri mjerenju, dok se a posteriori analiza provodi:

nakon mjerenja na temelju ponovljenih mjerenja iste veliine ili ispitivanjem zadovoljenja nekih uvjete (zatvaranje figura, zatvoreni nivelmanski vlak i sl.), a ukazuje na postignutu preciznost mjerenja koja ovisi samo o mjernim vrijednostima izmjerenih veliina i geometriji mree, nakon izjednaenja ukazuje na postignutu preciznost kako mjerenja tako i dobivenih poloaja toaka mree.Poznavanje tonosti a priori predvienih mjerenja potrebno je u fazi projektiranja mree da bi se prouilo kako na mreu odnosno konani rezultat utjeu odabrani instrumentarij, metoda rada, okolini uvjeti i dr., dok je svrha analize tonosti a posteriori dobivanje potpune informacije o varijancama (i kovarijancama) svih razliitih vrsta mjerenja, a u svrhu dobivanja pouzdane procjene nepoznatih parametara i analize kvalitete realizirane mree. 4.1.1. Procjena tonosti mjerenja a priori

Postupak za procjenu tonosti a priori: 1. Odrediti vrstu mjerenja to se mjeri (pravci, kutovi, duine, vis. razlike ili dr.), 2. Ustanoviti sve izvore pogreaka, 3. Analizirati utjecaj svake od njih na ukupnu tonost mjerene veliine, 4. Izraunati ukupni uinak svih pogreaka pomou zakona o prirastu pogreaka. Openito, izvori pogreaka mogu se podijeliti na vanjske i unutarnje. Unutarnji se odnose na instrumentarij i osobnu pogreku opaaa, a vanjski na nepredviene utjecaje okolia u kojem se izvode mjerenja. Pogreke mjerenja dijele se na: sluajne (uzroci nepoznati), grube (nepanja u radu) i sustavne iji se utjecaj moe otkloniti npr.: dobrom kalibracijom instrumenta, razliitim metodama rada (npr. opaanje u 2 poloaja durbina). A priori tonost predvienih mjerenja uzima u obzir i unutarnje i vanjske pogreke i rauna se kao zbroj njihovih kvadrata. 4.1.1.1 Pogreke pri mjerenju horizontalnih kutova Izvori pogreaka pri mjerenju horizontalnih kutova su:

pogreke instrumenta i pogreke ispitivanja instrumenta, pogreke pri mjerenju (npr. loe centriranje instrumenta i signala),

29

pogreke mjerenja (npr. sluajne i sustavne pogreke viziranja), vanjski uvjeti (refrakcija, titranje zraka), osobna pogreka opaaa (fizioloke osobine oka).Varijanca srednje vrijednosti horizontalnog kuta , izraunatog horizontalnih pravaca izmjerenih u n ponavljanja, rauna se po formuli: pomou

=2

2 v2 + o .

n

+ 2

2 hor .

4 c2 cos s 2 ctg Z + ( ' ' ) 1 + 2 kh , 2 2R s2 2 2 2

gdje je: v pogreka viziranja,

o. pogreka oitanja, c pogreka centriranja instrumenta i vizurne marke,

hor. pogreka horizontiranja instrumenta, kh s Z kh R pogreka odreivanja koeficijenta bone refrakcije, duljina vizurne linije, zenitna udaljenost vizurne linije, koeficijent bone refrakcije, srednji radijus Zemlje.

4.1.1.2 Pogreke pri mjerenju zenitnih udaljenosti Varijanca srednje vrijednosti zenitne udaljenosti izmjerene u n ponavljanja, rauna se po formuli:

z2 =gdje je: v

2 v2 + o . + i2

2n

s 2 + kv , 2R

pogreka viziranja,

o. pogreka oitanja, i kv R pogreka indeksa vertikalnog kruga (ili kompenzatora), pogreka odreivanja koeficijenta vertikalne refrakcije, srednji radijus Zemlje,

30 s duljina vizure.

Jedan od glavnih izvora sustavnih pogreaka, pri mjerenju zenitnih udaljenosti, vezan je uz atmosfersku refrakciju. 4.1.1.3 Pogreke pri elektrooptikom mjerenju duljina Pogreke koje utjeu na mjerenje duljina mogu se podijeliti na unutarnje i vanjske. Kod elektrooptikih daljinomjera unutarnje pogreke su: adicijska korekcija (pogreka nule), periodika pogreka i pogreka faznog inhomogeniteta, dok su vanjske pogreke uglavnom uzrokovane atmosferskom refrakcijom. Pogreka nule, periodika pogreka i atmosferska refrakcija su sustavne pogreke, pa se mjerene duljine moraju korigirati. Varijanca mjerene duljine se rauna po formuli:

sgdje je:

2

n 2 2 2 2 = + z + c + 2 s , n 2 2 2

standardno odstupanje odreivanja faznog inhomogeniteta , z c n standardno odstupanje odreivanja pogreke nule z0, standardno odstupanje periodike pogreke, standardno odstupanje odreivanja indeksa refrakcije n.

Gornja formula pokazuje zato se tonost duina mjerenih elektrooptikim daljinomjerima izraava pomou 2 dijela: konstantnog i ovisnog o duljini:

s2 = a2 + b2 s2 ,gdje je u konstantnom dijelu a prikazan utjecaj pogreke nule, periodike pogreke i fazne pogreke, dok parametar b koji ovisi o duljini s, a naziva se pogreka mjerila, predstavlja nesigurnost odreivanja indeksa atmosferske refrakcije i kalibracije frekvencije. Ukupno standardno odstupanje mjerene duljine je:2 s = i 2 + m + a 2 + ( s bppm) 2 ,

gdje su: i i m standardna odstupanja centriranja instrumenta i vizurne marke. 4.1.1.4 Pogreke mjerenja u geometrijskom nivelmanu Geometrijskim nivelmanom odreuju se visinske razlike horizontalnim vizurama.

31 Sustavne pogreke su: pogreka vizurne osi, zakrivljenost Zemlje, atmosferska vertikalna refrakcija, sputanje instrumenta i letve. Pogreke mjerne letve su: pogreka mjerila letve i pogreka indeksa letve (pogreka nule letve). Sluajne pogreke su: pogreka oitanja instrumenta i pogreka nevertikalnosti letve. letve, pogreka horizontiranja

Standardno odstupanje visinske razlike dobivene geometrijskim nivelmanom (ako se zanemari pogreka zakrivljenosti Zemlje, refrakcija i pogreka vizurne osi jer su po iznosu male), rauna se po formuli:2 h = D 2 N ( r2/ d + ) ,

gdje je: D N duljina vizure od instrumenta do letve, broj stajalita,

r/d procjena pogreke u oitanju letve na jedinicu duljine vizure, procjena pogreke horizontiranja instrumenta.

4.1.1.5 Pogreke mjerenja u trigonometrijskom nivelmanu Za odreivanje visinskih razlika trigonometrijskim nivelmanom potrebno je mjeriti zenitne udaljenosti i duljine. Kod ovog postupka, zbog toga to duljine vizura nisu jednake, znaajno je da se mjerenja moraju korigirati za sustavne utjecaje: zakrivljenost Zemlje C i refrakciju R (CR=0.0675) i pogreku vizurne osi. Standardno odstupanje visinske razlike odreene trigonometrijskim nivelmanom rauna se:

h

CR S sin 2 2 2 = hi + hr + cos z + 500

CR S sin z cos z z s + S sin z z 500

2

2

1/ 2

gdje su: hi S z visina instrumenta, kosa duljina izmeu dviju toaka, zenitni kut,

CR korekcija za Zemljinu zakrivljenost i refrakciju (CR=0.0675), hr oitanje na letvi.

32 4.1.2. Korekcije i redukcije mjerenja

Na geodetska mjerenja provedena na terenu djeluju instrumentalni i okolini faktori pa je potrebno izvriti odgovarajue meteoroloke i instrumentalne korekcije, a takoer i redukcije na referentnu plohu u odnosu na koju se raunaju koordinate toaka mree. Redukcija kutova. Kutovi mjereni u vie ponavljanja reduciraju se na njihovu srednju vrijednost. Redukcija duljina. Horizontalne udaljenosti se raunaju koritenjem sljedeih korekcija i redukcija: 1. Instrument/Prizma adicijska korekcija, 2. Horizontalni i vertikalni ekscentricitet, 3. Faktor mjerila korekcija za pogreku frekvencije, 4. Korekcija za refrakciju, 5. Redukcija kose duljine na horizont, 6. Redukcija duine na nivo plohu mora. Redukcija duine na nivo plohu mora nije potrebna za duljine krae od 1000 m ili ako je projekt u blizini nivo plohe mora. 4.1.3. Procjena tonosti izmjerenih veliina a posteriori

Nakon izmjere mree i provedenih korekcija i redukcija potrebno je prije izjednaenja, izvriti analizu tonosti dobivenih rezultata mjerenja i provjeriti da li ona odgovara zadanoj tonosti. Postoji nekoliko metoda za a posteriori procjenu tonosti mjerenja. Najee se upotrebljava metoda procjene varijance iz pravih pogreaka i iz odstupanja ponovljenih mjerenja. Ako su odstupanja vea od dozvoljenih to moe znaiti da su u mjerenjima prisutne grube ili sustavne pogreke. Na taj nain mogu se otkriti mjerenja optereena grubim pogrekama velikim po iznosu, dok se nakon izjednaenja otkrivaju grube pogreke manjeg iznosa.

1. Procjena varijance iz pravih pogreaka Procjena tonosti provedenih mjerenja moe se izvriti provjerom zadovoljenja nekih uvjeta. Tipian primjer je procjena varijance kutnih mjerenja u trokutu. Razlika zbroja izmjerenih kutova od teorijske vrijednosti (nezatvaranje trokuta), predstavlja pravu pogreku mjerenog trokuta: i = ( i1 + i 2 + i 3 ) 180 . Varijanca mjerenog kuta se rauna:

332 = i =1 n

i23 n

,

gdje je n ukupni broj nezavisno mjerenih trokuta u mrei. Ovaj izraz je poznat kao Ferrerova formula. Drugi primjer je zatvoreni poligon kod visinske mree. Teorijski, zbroj visinskih razlika u zatvorenom nivelmanskom vlaku jednak je nuli. Ako su svi vlakovi u nivelmanskoj mrei nezavisno mjereni, varijanca mjerene visinske razlike bit e:2 h = i =1 n

( i / s i ) n

,

gdje je si duljina vlaka, i je nezatvaranje vlaka, a n je ukupni broj zatvorenih nivelmanskih vlakova u mrei. Ako je pogreka zatvaranja (trokuta ili zatvorenog vlaka) vea od dozvoljene, to moe biti znak da su u mjerenjima prisutne grube ili sustavne pogreke. 2. Procjena varijance iz izraunatih popravaka mjerenja Kod geodetskih mjerenja u najveem broju sluajeva prava vrijednost mjerene veliine l nije poznata, nego se izrauna njena procjena. Procjena varijance niza ponovljenih mjerenja iste veliine rauna se po formuli:

l2 = i =1

n

(l i l ) 2 , n 1

gdje je li vrijednost pojedinog mjerenja, l je najbolja procjena vrijednosti mjerene veliine (aritmetika sredina), a n je ukupan broj mjerenja. Ako je standardno odstupanje vee od oekivanog za tu vrstu mjerenja, tada postoji mogunost prisutnosti grubih ili sustavnih pogreaka u mjerenjima.

34

5. Izjednaenje geodetskih mrea5.1. Osnovne definicije Kada se govori o izjednaenju mree potrebno je definirati geodetsku mreu i sa aspekta algebarskog povezivanja pojmova traenih i mjerenih veliina. Potrebno je odrediti brojne vrijednosti nekih veliina: X1, X2, ... Xu traene veliine (nepoznanice). Mogu biti zadane neke ranije odreene veliine date veliine. Teorija izjednaenja mjerenja odnosi se samo na sluaj kada su date veliine nedovoljne za odreivanje traenih veliina i zato je mjerenjem neophodno odrediti jo skup veliina: L1, L2, ... Ln mjerene veliine pri emu za izjednaenje mora biti n > u (broj neovisno mjerenih veliina > broja traenih veliina). Broj mjerenih veliina u je broj neophodnih veliina. Bilo koja od ostalih neovisnih veliina Lu+1, ... Ln, njih f = n - u su prekobrojne veliine, a u izjednaenju se iskazuju kao broj stupnjeva slobode. Algebarska definicija geodetske mree: Skup geodetskih toaka sa skupom L1, L2, ... Ln mjerenih veliina (koje mogu biti i raznovrsne kutovi, duine) naziva se geodetskom mreom, ako se izmeu tih n mjerenih veliina moe nai u (u < n) neovisnih veliina takvih da se bilo koji element (ija vrsta pripada vrsti mjerenih veliina) moe izraziti pomou tih u neophodnih veliina. 5.2. Modeli i metode izjednaenja Nakon provedenih korekcija i redukcija te uklanjanja grubih i sustavnih pogreaka iz rezultata mjerenja, pristupa se izjednaenju mree po metodi najmanjih kvadrata u svrhu odreivanja najbolje procjene traenih veliina (koordinata toaka), mjerenih veliina i pripadajue ocjene tonosti. Model izjednaenja se sastoji od:

broja mjerenja koja se trebaju izjednaiti n, odreivanja minimalnog broja mjerenja odreivanje nepoznanica modela u,potrebnih za jednoznano

broja prekobrojnih mjerenja (broj stupnjeva slobode) f.

35 Izjednaene vrijednosti mjerenja jednake su mjerenim vrijednostima plus njihove popravke koje se dobiju izjednaenjem:l = l + v ,

gdje je:l vektor izjednaenih vrijednosti mjerenih veliina,

l vektor mjerenih veliina, v vektor popravaka mjerenja. Vektor popravaka mjerenja je nepoznat i treba ga odrediti izjednaenjem. U geodeziji se kao postupak za izbor optimalnog raunanja vektora popravaka primjenjuje princip najmanjih kvadrata po kojem se izjednaene vrijednosti mjerenja i nepoznanica odreuju uz uvjet da je teinska suma kvadrata popravaka mjerenja minimalna: vTPv = minimum, gdje je P dijagonalna matrica teina mjerenja. Pri uspostavi geodetskih mrea razlikuju se dvije vrste veliina:

relativne neposredna mjerenja ( pravci, duljine, visinske razlike), apsolutne koordinate u odabranom (referentnom) koordinatnom sustavu.Prema potrebi odreivanja izjednaenih vrijednosti samo relativnih veliina (mjerenja) ili relativnih i apsolutnih veliina (mjerenja i koordinata), razlikuju se:

izjednaenja po uvjetnim mjerenjima, izjednaenja po posrednim mjerenjima, kombinirani oblici izjednaenja.Izjednaenje po uvjetnim mjerenjima Ovo izjednaenje se primjenjuje kada su same traene veliine neposredno mjerene, ali njihove procijenjene vrijednosti moraju zadovoljiti odreene matematike uvjete. Izjednaenjem geodetske mree po uvjetnim mjerenjima odreuju se samo popravci mjerenih veliina bez uvoenja nepoznanica, tako da nakon primjene tih popravaka svi matematiki uvjeti budu zadovoljeni. 5.2.1. Izjednaenje po posrednim mjerenjima Gauss-Markovljev model

Ova vrsta izjednaenja se primjenjuje kada se traene veliine (nepoznanice) ne mogu neposredno izmjeriti, nego se odreuju pomou mjerenih veliina, sa kojima su funkcijski povezane.

36 Openito, izjednaenjem po posrednim mjerenjima odreuje se najbolja procjena u nepoznanica xj (j = 1, 2 , ..., u), pomou n mjerenja li (i=1, 2, ..., n) sa a priori poznatim teinama pi (i = 1, 2, ..., n) i daje se ocjena tonosti svih mjerenih i traenih veliina. Izjednaenje je mogue samo kada je n > u. Osnovni model koji povezuje provedena mjerenja te njihove korelacije i traene nepoznanice, a bazira se na matematikom i statistikom izjednaenju po metodi najmanjih kvadrata je Gauss - Markovljev model. On se sastoji od: 1. Funkcionalnog dijela: 2. Stohastikog dijela: gdje je: A x l + v = Ax i2 2 K ll = 0 Qll = 0 P 1 ,

matrica jednadbi popravaka (konfiguracijska matrica), vektor procijenjenih vrijednosti nepoznanica, kovarijacijska matrica mjerenja, a priori faktor varijance.

Kll

02

Funkcionalni dio modela ukljuuje:

odreivanje svih nepoznanica,

matematikih

veza

izmeu

mjerenih

veliina

i

odreivanje broja neophodno mjerenih veliina, izbor datuma mree.Stohastiki (teinski) dio modela obuhvaa:

sva saznanja o varijancama, odnosno teinama i korelacijama koje se a priori pripisuju mjerenim veliinama, kao i utvrivanje naina njihove numerike obrade. Stohastiki model je najvea prednost metode najmanjih kvadrata, jer se kod ostalih metoda izjednaenja ne vodi rauna o teinama pojedinih mjerenja.

Dakle, funkcionalni model mree predstavlja linearni sustav jednadbi: l = l + v = Ax . Primjenom metode najmanjih kvadrata formiraju se normalne jednadbe ijim se rjeenjem dobiju najbolje procjene traenih nepoznanica:

x = ( AT PA) 1 AT PL = Q xx AT PL , gdje je L vektor prikraenih mjerenja.

37 Ocjena tonosti a posteriori Za ocjenu tonosti nepoznanica i mjerenih veliina, a takoer i popravaka koriste se elementi kovarijacijskih matrica, koje se dobiju nakon izjednaenja:

2 2 K xx = 0 Q xx = 0 ( AT PA) 1 kovarijacijska matrica nepoznanica, 2 2 K ll = 0 Qll = 0 A( AT PA) 1 AT

kovarijacijska matrica izjednaenih mjerenja,

2 2 K vv = 0 Qvv = 0 P 1 A( AT PA) 1 AT

[

]

kovarijacijska matrica popravaka,

2 gdje je 0 faktor varijance a posteriori, a njegova empirijska vrijednost se rauna kao: v T Pv . s = nu2 0

1. Empirijska standardna odstupanja koordinata toaka (2D) raunaju se:

s x = s0 qxxi ; s yi = s 0 q yyi , gdje su lanovi ispod korijena dijagonalni elementi korelacijske matrice nepoznanica Q xx . Ovim izrazima dana je preciznost poloaja toke samo uzdu osi y i x. Potpunu informaciju o preciznosti poloaja toke dat e elipsa pogreaka (Slika 22) iji se elementi raunaju:

Slika 22. Standardna elipsa pogreaka

38tg 2 = 2q xyi q xxi q yyi

,

A2 =

2 s0 2 (q xxi + q yyi + k ) = s 0 1 , 2 2 s0 2 (q xxi + q yyi k ) = s 0 2 , 2

B2 =

k = (q xxi q yyi ) 2 + 4q xyi , 2

gdje je:

kut nagiba velike polu-osi elipse pogreaka,A, B qii velika i mala polu-os elipse pogreaka, elementi korelacijske matrice Qxx ,

1, 2 svojstvene vrijednosti matrice Qxx . 2. Empirijska standardna odstupanja izjednaenih mjerenih veliina raunaju se:

sl = s0 qll ,gdje su lanovi ispod korijena dijagonalni elementi matrice Qll . 5.3. Rang i defekt geodetske mree Sama geodetska mjerenja, npr. duine, pravci, kutovi, visinske razlike, definiraju samo relativni poloaj toaka mree. Za dobivanje apsolutnih koordinata toaka potrebne su neke dodatne informacije. Matematiki gledano postoji defekt funkcionalnog dijela Gauss Markovljevog modela. Tek uklanjanjem defekta tog modela mogue je odreivanje vektora nepoznanica apsolutnih koordinata toaka mree. Bez dodatnih parametara matrica A je singularna to ima za posljedicu i singularnost matrice N (det N = 0). To pokazuje prisutnost izvjesnog defekta tzv. defekt ranga (defekt ranga je razlika izmeu dimenzije i ranga matrice). U tom sluaju raunanje matrice Qxx = N 1 nije mogue obinom inverzijom. Uzrok singularnosti matrice N moe biti zbog: 1. Defekta datuma dD izazvan je neodreenou referentnog koordinatnog sustava u kojem se odreuju izjednaene vrijednosti nepoznanica, tj. koordinate toaka mree.

39 2. Defekta konfiguracije dK nastaje uslijed nedovoljnog broja potrebnih mjerenja za odreivanje svih nepoznanica u mrei. Ovaj defekt nastaje ili nepanjom prilikom planiranja mjerenja ili eliminacijom grubo pogrenih mjerenja. Ukupni defekt mree d je: d = dD + dK. Ukoliko postoji defekt u odnosu na stupce to je defekt datuma (vanjski defekt): dD = u - rD. Ukoliko postoji defekt u odnosu na redove to je defekt konfiguracije (unutarnji defekt): dK = n - rK. Veliina r = u-d naziva se rang mree i jednak je rangu konfiguracijske matrice A. 5.4. Datum geodetske mree Datum geodetske mree se definira kao minimum parametara potrebnih za definiranje mree u prostoru ili poloaja mree relativno u odnosu na neki prije definirani koordnatni sustav. Sama geodetska mjerenja su mjerenja provedena izmeu toaka mree i prema tome mogu definirati samo relativni ploaj toaka mree, dok su apsolutne koordinate toaka vanjske veliine, tj. one su odreene u odnosu na neki prije definiran koordinatni sustav. Ako takvi podaci nedostaju, govori se o defektu datuma mree. Kako datum definira koordinatni sustav, a koji je odreen prostornim poloajem:

-

ishodita, orijentacijom koordinatnih osi, mjerilom,

to su osnovni datumski parametri:

5.4.1.

translacija, rotacija (tj. orijentacija), mjerilo. Defekt datuma geodetske mree

Ukupan broj defekta datuma, za odreenu vrstu mree jednak je broju parametara datuma. U donjoj tablici (Tablica 1) prikazani su datumski parametri i pripadajui defekt datuma za razliite vrste geodetskih mrea.

40 Tablica 1. Datumski parametri i defekt datuma geodetskih mrea DIMENZIJA MREE 1D 2D VRSTA MREE nivelmanska mrea MJERENE VELIINE visinske razlike STUPNJEVI SLOBODE translacija - h 2 translacije 1 rotacija 1 mjerilo pravci i najmanje jedna duina trilateracijska mrea 3D prostorna mrea duljine 2 translacije 1 rotacija 2 translacije 1 rotacija dx, dy, dz 3 translacije 3 rotacije 1 mjerilo Za geodetske mree posebnih namjena postoje razliiti pristupi definiranja datumskih parametara mree. 5.4.2. Definiranje datumskih parametara mree 7 3 3 DEFEKT DATUMA 1 4

trigonometrijska pravci mrea

Jedan od naina definiranja datuma nove mree je klasini prikljuak na postojeu dravnu geodetsku osnovu pa te dane veliine definiraju datumske parametre. U postupku izjednaenja koordinate danih toaka uzimaju se kao fiksne. Meutim, preciznost novo uspostavljene u pravilu je mnogo vea od preciznosti dravne geodetske osnove, pa se na taj nain mogu visoko precizna mjerenja u samostalnoj mrei degradirati. Jedan vaan uvjet, pri definiranju datuma samostalne mree, je taj da ne smije utjecati na geometriju mree, tj. relativni poloaj toaka mora biti uspostavljen iskljuivo mjerenjem. Stoga je pri odabiru parametara datuma, potrebno znati koje su veliine ovisne, a koje neovisne o izboru datuma. O datumu mree je:

neovisno: - popravke mjerenja v,

- referentno standardno odstupanje a posteriori - 0 ,

41

- ocjena tonosti mjerenja - K ll , - unutarnja geometrija mree.

ovisno:

- vektor nepoznanica x ,

- kovarijacijska matrica nepoznanica K xx , - standardne elipse pogreaka.Moe se vidjeti da su veliine vezane uz sama mjerenja neovisne o datumu, dok su nepoznanice i pripadne ocjene tonosti ovisne o datumu. Prema nainu definiranja datuma razlikuju se: 1. Konvencionalni (klasini) datum definira se na dva naina: a) Prikljukom mree na postojeu geodetsku osnovu tzv. ''vanjska prisila'' Kao to je reeno, definiranje datuma mree koja slui kao osnova za visoko precizne inenjerske radove, ne smije deformirati mreu, tj. ne treba uzimati vie datumskih parametara nego to je potrebno. To je tzv. definicija datuma s ''minimalnom prisilom''. U prikazanoj tablici (Tablica 2) dani su neki primjeri kako se moe definirati datum uz minimalan broj parametara datuma. Tablica 2. Minimalni broj parametara za odreivanje datuma minimalna prisila Tip mree Minimalni broj datumskih parametara mree 1D (H) 2D (y, x) (sa duinama) 2D (y, x) (bez duina) 3D (y, x, H) (sa duinama) y, x i H od jedne toke fiksni, azimut i zenitna udaljenost prema drugoj toki fiksni, zenitna udaljenost prema treoj toki fiksna y, x i H od tri toke fiksni H od jedne toke fiksna y i x od jedne toke fiksni, azimut prema drugoj toki fiksan y i x od dviju toaka fiksni

3D (y, x, H) (bez duina)

42 Kao to se iz tablice 2 vidi, ako se pri izmjeri same mree mjere neki elementi koji mogu posluiti kao datumski parametri, onda te veliine nije potrebno dodatno mjeriti. U prikazanoj tablici (Tablica 3) dat je prikaz nekih od tih elemenata. Tablica 3. Datumski parametri dobiveni mjerenjem (2D mrea) Mjerenja Datumski parametri translacija rotacija mjerilo tx duine horizontalni kutovi azimut (astr., gyro.) pozicioniranje (astro., GPS) poloajne razlike (GPS, inerc.) + ty + rz + + + s + + +

b) U postupku izjednaenja nove mree, moe se fiksirati neophodni (minimalni) broj koordinata toaka mree koje se uzimaju kao bezpogrene (ne dobiju popravke). Te se koordinate nazivaju parametri datuma, a toke iji prostorni poloaj odreuju datumskim tokama (Slika 23). Matrica D koja sadri parametre za odreivanje datuma, a oblik joj ovisi o dimenzijama mree i vrsti mjerenja u njoj, ima sljedee karakteristike: DTx = 0, AD = 0, r (D) = d. Geodetske mree kod kojih je definiran konvencionalni datum nazivaju se neslobodne mree.

43

Datum definiran tokama 1 i 2

Datum definiran tokama 1 i 4

Slika 23. Poloajna nesigurnost toaka mree uz proizvoljno odabran koordinatni sustav O izboru toaka koje definiraju lokalni koordinatni sustav ovise standardna odstupanja poloaja toaka mree i elipse pogreaka. Toke blie izabranom ishoditu koordinatnog sustava imat e manja poloajna odstupanja, a one koje su udaljenije imat e vea, to nije realna ocjena tonosti odreivanja tih toaka (Slika 23). Da bi se izbjegla nerealnost u ocjeni tonosti izraunatih toaka u mrei, prilo se izjednaenju na taj nain da se sve toke uzimaju kao nepoznate (u postupku izjednaenja sve toke dobivaju popravke). Na taj nain definiran je: 2. Optimalni datum definiranje datuma pomou ''unutarnjih prisila'', tzv. izjednaenje slobodne mree, provodi se bez uvoenja bespogrenih koordinata toaka (Slika 24). Umjesto fiksiranja nekih toaka, datum se definira uvoenjem ''unutarnjih uvjeta''. Sve toke podjednako doprinose definiciji datuma. U ovom sluaju, osim uvjeta minimalne norme vektora popravaka mjerenja, uvodi se dodatni zahtjev minimalna norma vektora nepoznanica:

xT x = min .Uzimajui u obzir ''unutarnje uvjete'' pod kojima se odreuje datum, dobije se matrica H matrica koja sadri parametre za odreivanje datuma uz ''unutarnju prisilu''. Karakteristike matrice H: HTx = 0, AH = 0, r (H) = d. ''Unutarnji uvjeti'' zahtijevaju da prije i poslije izjednaenja mree bude zadovoljeno:

44 1D mrea srednja vrijednost visine svih toaka mree mora ostati nepromijenjena, 2D mrea koordinate centra mree, srednja vrijednost azimuta i srednja vrijednost udaljenosti od centra do pojedine toke moraju ostati nepromijenjeni, 3D mrea koordinate centra mree moraju ostati nepromijenjene, mrea ne smije rotirati u odnosu na centar oko x, y i z osi i srednja udaljenost od centra do svake pojedine toke mree mora ostati ista. Na slici 24 prikazana je ista mrea kao i na slici 23, ali uz definiciju optimalnog datuma.

Slika 24. Poloajna nesigurnost toaka mree uz definiciju optimalnog datuma 5.5. Razliiti pristupi izjednaenju Osnovni problem prilikom izjednaenja geodetskih mrea posebnih namjena je defekt funkcionalnog dijela Gauss Markovljevog modela. Prema nainu rjeavanja i uklanjanja tog defekta razlikuju se razliiti postupci izjednaenja mrea. Pri tome je najjednostavnije kada se defekt datuma uklanja definicijom konvencionalnog datuma (neslobodne mree). Openito moemo razlikovati dva pristupa: 1. Razliiti naini i postupci u okviru kojih se provodi regularizacija sustava singularnih normalnih jednadbi, kako bi se mogli primjeniti standardni postupci rjeavanja tih jednadbi,

45 2. Mogunost rjeavanja sustava singularnih primjenom postupka ope inverzije. normalnih jednadbi

Dakle, postupci izjednaenja geodetskih mrea posebnih namjena mogu se razvrstati, neovisno o nainu definicije datuma, na regularna i singularna. Kod regularnih izjednaenja defekt datuma je na prikladan nain uklonjen i sustav normalnih jednadbi regulariziran, bez obzira na definiciju datuma. Kod singularnih izjednaenja problem je rijeen bez primjene postupka regularizacije, ali uz primjenu ope inverzije. Pri singularnim izjednaenjima provedena je definicija optimalnog datuma.

46

6. Kriteriji pouzdanosti geodetskih mreaOpenito, kvalitetu geodetskih mrea posebnih namjena karakterizira:

Preciznost izjednaenih nepoznanica (koordinate toaka mree), Pouzdanost mree u smislu:mogunosti otkrivanja grubih pogreaka pomou statistikih testova (unutarnja pouzdanost), utjecaja moguih neotkrivenih grubih pogreaka na rezultate izjednaenja (vanjska pouzdanost),

Osjetljivost mree mogunost otkrivanja pomaka ili deformacija odreene veliine, Ekonominost zadovoljenje kriterija kvalitete mree uz minimalne trokove.Projektom mree nastoji se pronai najoptimalnije rjeenje koje e zadovoljiti unaprijed postavljene kriterije. Dakle, dobro projektirana mrea znai da je precizna, pouzdana i osjetljiva, a uz to i ekonomino realizirana. Koji e od ovih ciljeva prevagnuti, ovisi o namjeni za koju se mrea osniva. Sam postupak ostvarivanja ovih ciljeva, koji se moe provoditi u svim fazama osnivanja geodetskih mrea, naziva se optimiranje geodetskih mrea. 6.1. Unutarnja i vanjska pouzdanost geodetskih mrea Teorija pouzdanosti geodetskih mrea daje mogunost otkrivanja grubih pogreaka koritenjem statistikih testova kao i osjetljivosti rezultata sa aspekta neotkrivenih grubih pogreaka. Koncept unutarnje i vanjske pouzdanosti geodetske mree definirao je Baard, W. (1967. i 1968.), a teorijska i praktina razmatranja obogaena su radovima Kok, J. (1982., 1983. i 1984.), De Heus, H. (1982.), Pelzer, H. (1977. i 1985.), Forstner, W. (1985.), Van Mierlo, J (1987. i 1990.), Caspary, W. (1987.), Niemeier, W. (1989.) i drugi. I unutarnja i vanjska pouzdanost se dijele na globalnu i lokalnu (Slika 25). Lokalne mjere pouzdanosti slue za otkrivanje grubih pogreaka u pojedinim opaanjima, a globalne za utvrivanje utjecaja grubih pogreaka na cijelu mreu ili njene pojedine dijelove.

47Pouzdanost geodetskih mrea

Unutarnja

Vanjska

Globalna

Lokalna

Globalna

Lokalna

Slika 25. Pouzdanost geodetskih mrea 6.1.1. Unutarnja pouzdanost

Unutarnja pouzdanost se odnosi na mogunost otkrivanja i lociranja grubih i sustavnih pogreaka iz rezultata mjerenja bez prikupljanja dodatnih informacija na terenu. Ovo je vrlo sloen problem jer popravke v sadre pogreke svih mjerenih veliina koje su sudjelovale u izjednaenju. Jednostavno je utvrditi koje popravke v ne zadovoljavaju eljenu preciznost, ali je vrlo teko, a u nekim sluajevima i nemogue pronai mjerenu veliinu ija je gruba pogreka izazvala veliku vrijednost popravke. 6.1.1.1 Utjecaj grubih pogreaka na popravke Otkrivanje grubih pogreaka na osnovu popravaka rezultata mjerenih veliina je vrlo sloen problem koji jo uvijek nije rijeen na zadovoljavajui nain. Tekoe nastaju zato to popravke rezultata mjerenih veliina sadre pogreke svih mjerenih veliina koje sudjeluju u izjednaenju. Naalost, ako ima vie grubih pogreaka, one se teko mogu otkriti. Ukoliko postoji samo jedna gruba pogreka onda se ona eventualno moe otkriti i to ne uvijek. Preciznije, u nekim sluajevima nije mogue otkriti grubu pogreku pa makar ona bila jedina. Naime, veoma je teko a nekada i nemogue utvrditi mjerenu veliinu ija je gruba pogreka izazvala veliku vrijednost popravke vi, odnosno veliku vrijednost njene standardizirane veliine. Najvea vrijednost popravke vi ili njene standardizirane vrijednosti v ne znai uvijek da je grubom pogrekom optereen rezultat mjerene veliine li na koju se odnosi popravka vi. Utjecaj rezultata mjerenih veliina pa time i njihovih pogreaka na vektor popravaka v ostvaruje se preko matrice koeficijenata R:

v = ( I AN 1 AT Ql1 )l = Qv Ql1l = Rl ,gdje je:

(6.1)

R = I AN 1 AT Ql1 ,A - matrica koeficijenata jednadbi popravaka, N matrica koeficijenata normalnih jednadbi,

48 Ql korelacijska matrica mjerenja. Iz izraza (6.1) slijedi formula za korelacijsku matricu popravaka:

Qv = RQl ,odnosno

R = Qv Ql1 .Ako su mjerenja neovisna i iste teine tada je:

(6.2)

R = Qv = I AN 1 AT .Budui je

Qv = Ql Ql ' ,tada neposredno iz izraza (6.2) slijedi

R = Qv Ql1 = (Ql Ql ' )Ql1 = I Ql ' Ql1 ,tj. za i-ti dijagonalni element matrice Rrii = 1 p li p l 'i

,

gdje su pli i pl 'i teine mjerenih li i izjednaenih l'i veliina. Budui je uvijek

pl 'i > pli slijedi da je rii < 1 . U prethodnim izrazima Qv, Ql i Ql' su redomkorelacijske matrice popravaka, mjerenja i izjednaenih mjerenja. Matrica R ima sljedea svojstva: - matrica R je nesimetrina i singularna, detR=0 - matrica R je nepotpunog ranga r(R)=n-u=r - matrica je idempotentna R=RR=R2 - trag matrice je tr ( R) = rii = n u = r Brojevi rii su dijagonalni lanovi matrice R i zovu se brojevi prekobrojnih mjerenja. Svaki rii ima vrijednost izmeu 0 i 1 i njihova suma je jednaka ukupnom broju prekobrojnih mjerenja u mrei. Broj rii moe biti shvaen kao doprinos i-tog opaanja ukupnom broju prekobrojnih mjerenja r. Vea vrijednost koeficijenta rii omoguava bolju kontrolu opaanja li. Postoje dvije ekstremne vrijednosti za rii. Prvi idealni sluaj je kad je rii=1. To se dogaa kad mjerimo duljinu izmeu dvije toke poznatih koordinata, tada tu mjerenu vrijednost moemo usporediti s duljinom iz koordinata i lako uoiti grubu pogreku, tj. imamo dobru kontrolu za to

49 mjerenje. U drugom sluaju kad je rii=0 grubu pogreku neemo moi otkriti i ona e se direktno prenijeti na nepoznanice (npr. u sluaju presjeka naprijed kad nemamo prekobrojna mjerenja, nema kontrole za dobivene koordinate toke). Srednji broj prekobrojnih mjerenja za itavu mreu se rauna kao:

r=

r . n

Ako mrea nije ispravno projektirana, vrijednosti rii e se znaajno razlikovati, tj. kontrola pojedinih opaanja nee biti ista. Ako u izraz (6.1) umjesto li uvrstimo rezultat mjerenja li koji je optereen grubom grekom i ( li =li + i ), promijeniti e se vrijednost popravke vi u

vi = vi + rii i ,gdje vi oznaava popravku koja je optereena grubom pogrekom i . Odavde se dobije izraz za grubu pogreku: i =

vi v i . rii

Budui nisu poznate vrijednosti popravaka vi, ova formula nema praktinog znaaja, jer na osnovu nje ne moemo izraunati grubu pogreku i. Moe se odrediti njena priblina vrijednost 0i 0i =

vi . rii

Ako je vi=0, onda je 0i=i, u svakom drugom sluaju je 0ii. Standardno odstupanje pribline vrijednosti grube pogreke 0i e biti

=0i

vrii

i

,

jer je vi = vi . Nije mogue unaprijed provjeriti da li je vrijednost neke popravke vi=0, pa zbog toga proizlazi da umjesto grube pogreke i moemo odrediti samo njenu priblinu vrijednost 0i. Ukoliko je vrijednost popravke vi blia nuli utoliko e priblina vrijednost grube pogreke 0i biti blia stvarnoj vrijednosti i. Ako se vi znatno razlikuje od nule onda je vrlo nesigurno odreivanje grubih pogreaka i. Kada je vi=0 tada se sigurno moe odrediti vrijednost grube pogreke i :

50i =

vi , rii

gdje su vi popravke koje su optereene grubim pogrekama. Grube pogreke e biti prisutne u svim popravkama vi i prenose se preko i-tog stupca matrice R v = v + R .

Odavde se vidi da e gruba pogreka i biti prisutna u svim popravkama vi . Normalno je oekivati da e gruba pogreka i izazvati najveu popravku vi one mjerene veliine kod koje je koeficijent rij najvei, ako je zanemariva vrijednost popravaka vi koje sadre samo sluajne pogreke vi=0. Ako na osnovu popravaka vi elimo provjeriti da li opaanje li sadri pogreku iznad dozvoljene tolerancije, postavljamo hipoteze: nultu Ho: E [v ] = 0 , alternativnu Ha: E [v ] 0 , i formiramo test statistiku

t i = vi / vi .Ako je ti < t/2 test statistika ti se distribuira po centralnoj normalnoj razdiobi i zakljuujemo da mjerenje li ne sadri grubu pogreku. Ako je ti > t/2 test statistika ti se distribuira po necentralnoj normalnoj razdiobi i zakljuujemo da mjerenje li sadri grubu pogreku. Kada nije poznata vrijednost standardnog odstupanja vi koristi se empirijsko standardno odstupanje s vi

t i = vi / s vii ti se distribuira po studentovoj razdiobi. Prihvaa se: nulta hipoteza za t i < t r , / 2 alternativna hipoteza za t i > t r , / 2 .

51 6.1.1.2 Donja granica grube pogreke Opa formula za donju granicu grube pogreke koju je mogue otkriti sa odgovarajuom vjerojatnosti glasi

0li = (t / 2 + t ) li ,gdje su: t/2, t fraktile studentove razdiobe,

l - standardno odstupanje mjerenja li.i

Ako se gruba pogreka odnosi na popravke vi (popravke optereene grubom pogrekom), onda umjesto prijanjeg izraza imamo

0vi = (t / 2 + t ) vi .Za = 0.05 imamo 0 l i = 3 .6

l

i

rii

,

gdje je li standardno odstupanje mjerenja li . Ako se donja granica grube pogreke definira pomou prethodnog izraza onda moemo otkriti 5% grubih pogreaka. Ovom graninom vrijednou definira se unutarnja pouzdanost. Unutarnja pouzdanost znai mogunost otkrivanja grubih pogreaka na osnovu popravaka vi . Ukoliko je bolja geometrija mree, utoliko e se lake otkriti grube pogreke, a time se poveava unutarnja pouzdanost otkrivanja grubih pogreaka, na osnovu popravaka rezultata mjerenih veliina vi . Donja granica grube pogreke predstavlja pokazatelj o unutarnjoj pouzdanosti i na njenu vrijednost utjeu:

preciznost mjerenih veliina, geometrija mree, razina signifikantnosti , poveanje broja prekobrojno mjerenih veliina.Na osnovu izloenog je lako zapaziti da za otkrivanje grubih pogreaka znaajnu ulogu imaju koeficijenti rii koji ovise o geometriji mree. Meutim otkrivanje pogreaka u velikoj mjeri ovisi i o strukturi sluajnih pogreaka ili preciznije o vrijednosti popravaka vi, koje ne sadre utjecaj grube pogreke. Zato se moe dogoditi da nije mogue otkriti grube pogreke iako je geometrija mree sasvim

52 dobra. Grube pogreke mogu se najuspjenije otkriti ako su ispunjeni sljedei uvjeti:

dobra geometrija mree, popravke vi i utjecaj grube pogreke rii imaju isti predznak, pogreke mjerenja su distribuirane po normalnoj razdiobi, popravke vi se v i = t / 2 v .nalaze u granicama dozvoljenog odstupanja

Treba uoiti razliku izmeu otkrivanja prisutnosti grube pogreke i otkrivanja onog mjerenja koje sadri grubu pogreku. Ako je isti predznak popravke vi i utjecaja grube pogreke riii onda se mogu otkriti grube pogreke koje su neznatno vee od nule i 0 . Za odreenu razinu signifikantnosti i odreenu preciznost mjerenih veliina li vrijednost donje granice grube pogreke 0i ovisi iskljuivo o geometriji mree. to je geometrija mree povoljnija, to je manja vrijednost donje granice grube pogreke koju je mogue otkriti i obratno. Zato treba teiti da mrea ima to bolju geometriju. 6.1.2. Vanjska pouzdanost

Vanjska pouzdanost bavi se analizom utjecaja neotkrivenih grubih pogreaka na konane rezultate dobivene izjednaenjem. Matematiki model ima visok stupanj vanjske pouzdanosti ako neotkrivene grube pogreke nemaju utjecaja na parametre modela. 6.1.2.1 Utjecaj grube pogreke na izjednaene vrijednosti mjerenih veliina Do sada je razmatrana unutarnja pouzdanost, iji je cilj odstranjivanje grubih pogreaka iz rezultata mjerenja. Neotkrivene grube pogreke odraziti e se na konane rezultate izjednaenja. Teorija koja se bavi ovim problemom naziva se vanjska pouzdanost. Utjecaj rezultata mjerenih veliina, pa time i njihovih pogreaka na izjednaene vrijednosti, ostvaruje se preko matrice Ul ' = l + v = AN 1 AT Ql1l = Ql ' Ql1l = Ul , U = Ql ' Ql1 .

Matrica U ima sljedea svojstva: - matrica U je nesimetrina i singularna (detU=0) - trag matrice U je tragU = u ii = u - rang matrice U je rangU = u < n

53 - matrica U je idempotentna ako je U=U2 Poznato je da vrijedi jednakost

Ql = Ql ' + Qv ,odnosnoI = Ql ' Ql1 + Qv Ql1 = U + R ,

tj. veliine uii i rii se nadopunjuju do jedinice rii + u ii = 1 . Poto se vrijednosti rii nalaze u intervalu 0 rii 1 u istom intervalu nalaziti e se i vrijednosti uii tj. 0 u ii 1 . to su vrijednosti uii blie nuli (u ii 0, rii 1) , lake je otkrivanje grubih pogreaka i manji je utjecaj neotkrivenih grubih pogreaka na izjednaene vrijednosti mjerenja. Veliina 0l ' predstavlja utjecaj donje granine vrijednosti grube pogreke na izjednaene vrijednosti mjerenih veliina li.'i

0l ' = (t / 2 + t ) l 'i i

u ii u = 3,6 l ' ii i rii rii

( = 0.05),

gdje je l ' standardno odstupanje izjednaenog mjerenja.i

6.1.2.2 Utjecaj grube pogreke na nepoznanice Vektor nepoznatih veliina odreuje se po formuli

x = N 1 AT Ql1l = Cl ,gdje je C = N 1 AT Ql1 . Ako je i-ta mjerena veliina optereena grubom pogrekom i, onda e ona imati utjecaj na sve nepoznanice

x = C (l + ) = Cl + C = x + C ,gdje je:

x - vektor nepoznanica optereen grubom pogrekom, x - vektor nepoznanica neoptereen grubom pogrekom, - vektor grubih pogreaka.

54 Odavde se vidi da e gruba pogreka biti prisutna u svim nepoznatim veliinama. 0 xi = (t / 2 + t ) xi u ii u ii = 3,6 xi rii rii

(=0.05).

Veliina 0 xi predstavlja utjecaj donje granice grube pogreke na nepoznanice (koordinate toaka u geodetskim mreama) i na ovu veliinu utjeu :

preciznost nepoznatih veliina x , koeficijenti rii i uii (geometrija mree), fraktila tr koja je funkcija vjerojatnosti p. Iz prijanjih izraza slijedi da e utjecaj grube pogreke na nepoznanice x odnosno ' na izjednaene vrijednosti mjerenih veliina li , biti najmanji ako rii ima to veu

vrijednost (rii1), odnosno uii to manju (uii 0). U ovakvim sluajevima najlake je otkriti grubu pogreku. Ovaj uvjet u najveoj mjeri ispunjavaju homogeno izotropne mree. Zato pri projektiranju geodetskih mrea treba teiti da njihov oblik u to veoj mjeri zadovoljava uvjete homogeno izotropnih mrea. Kada su ispunjeni navedeni uvjeti grube pogreke imaju najmanji utjecaj na nepoznanice. 6.1.3. Globalna i lokalna unutarnja i vanjska pouzdanost

Kada su mjerenja neovisna i nisu optereena grubim pogrekama, funkcionalni i stohastiki modeli imaju od prije poznate oblike. Ako rezultati mjerenja imaju normalnu centriranu razdiobul ~ N (Ax,Kl),

onda e istu razdiobu imati nepoznanice i popravke x ~N (x, Kx)

v~N (0, Kv), a

v T Pv

02ima 2 razdiobu.

~ r2

Ako su mjerenja neovisna i sadre sustavne pogreke, onda umjesto centralnih imamo necentralne razdiobe. Funkcionalni model tada glasi:

l = l + , E l = l + ,

[]

55

x = N 1 AT P(l + ) = x + N 1 AT P ,

v = v + Qv P ,gdje su:

l - vektor mjerenja koji sadri sustavne pogreke mjerenja,l - vektor mjerenja neoptereenih sustavnim pogrekama, - vektor sustavnih pogreaka,

x - vektor nepoznanica optereen sustavnim pogrekama, x - vektor nepoznanica neoptereen sustavnim pogrekama,

v - vektor popravaka optereen sustavnim pogrekama,v - vektor popravaka neoptereen sustavnim pogrekama,

Qv - korelacijska matrica popravaka.Parametar necentralnosti za 2 razdiobu e biti

=

T PQv P

02

,

2 gdje je 0 a priori faktor varijance.

Znai da veliina necentralnosti .

2 v T Pv / 0

ima 2 necentralnu razdiobu s parametrom

6.1.3.1 Kriteriji za unutarnju i vanjsku pouzdanost U literaturi je poznata nejednakost

min

T PQv P max , T

gdje su min i max ekstremne svojstvene vrijednosti matrinog produkta PQvP, P je matrica teina i Qv korelacijska matrica popravaka. Uzimajui u obzir prethodne izraze dobije se

1

2 0

T max .

Time je parametar necentralnosti izraen u funkciji maksimalne svojstvene vrijednosti max matrinog produkta PQvP. Ukoliko je vrijednost max vea, poveava se i pouzdanost, pa se kao kriterij globalne pouzdanosti moe prihvatiti

56 najboljom, jer e tada postojati najvei stupanj pouzdanosti sa aspekta mogunosti otkrivanja grubih pogreaka. Treba istaknuti da za mjerenja iste preciznosti P = p I vai trag PQvP = p tragQvP = p r . to je broj prekobrojnih mjerenja r vei, vea je pouzdanost. Zato je najbolja varijanta projekta geodetskih mrea ona kod koje je trag PQvP = max, jer emo tada imati najpovoljnije mogunosti za otkrivanje grubih pogreaka. Na osnovu izloenog mogu se definirati sljedei kriteriji za unutarnju pouzdanost globalni max(PQvP)=max trag PQvP=maxr = r / n = max

max max. Varijanta projekta mree koja zadovoljava ovaj uvjet smatra se

lokalni gdje je:

rii=(QvP)i =max,

r - srednja mjera pouzdanosti (srednji broj prekobrojnih mjerenja),r broj prekobrojnih mjerenja, n broj svih mjerenja. Mrea koja zadovoljava ove kriterije omoguava najveu pouzdanost otkrivanja grubih pogreaka. Vanjska pouzdanost razmatra utjecaj neotkrivenih nepoznanice (gdje je vektor grubih pogreaka) grubih pogreaka na

x = x + N 1 AT P ,odnosno

x = x x = N 1 AT P .Kriteriji vanjske pouzdanosti su globalni tragP Ql P = min

MAX ( P Ql P) = min

57 lokalni

pi2 aiT Q X ai = min

1 1 2 T pi ai Qx ai = n tragPQl ' P , ngdje je: P matrica teina mjerenja, Ql' korelacijska matrica izjednaenih mjerenja, Qx korelacijska matrica nepoznanica. Na osnovu izloenog, jo jednom istaknimo, da veu unutarnju pouzdanost imaju mree koje najlake omoguuju otkrivanje grubih pogreaka, a vanjsku pouzdanost one mree kod kojih neotkrivene grube pogreke imaju najmanji utjecaj na nepoznanice. Kod obje pouzdanosti presudnu ulogu ima geometrija mree. 6.2. Globalni test i data snooping metoda Globalni test i data snooping metoda su najee koritene metode otkrivanja grubih pogreaka nakon izjednaenja. Baarda je predloio globalni test za otkrivanje grubih pogreaka i data snooping metodu za lociranje grubih pogreaka. Poslije izjednaenja mree prvo se primjenjuje globalni test koji ispituje 2 podudaranje faktora varijance a posteriori s 0 s odabranim faktorom varijance a2 priori 0 .

Svrha statistikog testiranja modela globalnim testom je da se s odreenom vjerojatnosti ustanovi da: - funkcionalni model opaanja predstavlja realnu vezu izmeu mjerenih veliina i nepoznanica (uzete u obzir korekcije i redukcije mjerenih veliina) - pretpostavljeni stohastiki model odgovara stvarnom modelu, tj. da kovarijacijska matrica opaanja predstavlja stvarnu preciznost opaanja i njihovu stohastiku ovisnost (ispravne teine mjerenja) mjerenja nisu optereena grubim pogrekama.

Formira se nulta hipoteza kojom se tvrdi da se faktor varijance a posteriori ne razlikuje signifikantno od faktora varijance a priori tj.2 2 H 0 : E (s0 ) = 0 ,

i nasuprot nultoj formira se alternativna hipoteza koja tvrdi da se faktor varijance a posteriori razlikuje signifikantno od faktora varijance a priori2 2 H a : E (s0 ) 0 .

58 Nakon toga se testira nulta hipoteza nasuprot alternativnoj i ukoliko testiranjem utvrdimo da nulta hipoteza ne vrijedi moramo prihvatiti alternativnu tj. globalni test ne prolazi. Ako globalni test ne proe, znai da nije neto u redu s nultom hipotezom i pristupa se daljnjem ispitivanju popravaka pomou data snooping metode. Oigledno, ovaj pristup zahtjeva poznavanje postignute preciznosti opaanja tj. faktora varijance a priori. 6.2.1. Globalni test

Faktor varijance a posteriori je dan formulom

v T Pv s = . r2 0

Globalni test slui da bi ispitali da li se faktor varijance a posteriori signifikantno razlikuje od faktora varijance a priori. Formira se sljedea test statistika

y=

2 rs 0

02

.

Ova test statistika je distribuirana po chi-kvadrat razdiobi s r stupnjeva slobodey H 0 2 (r ) ,

dok je oekivanje od 2(r) jednako rE{ y H 0 } = r ,

to prelazi u s2 E 02 H 0 = 1 0

ili2 2 E s0 H 0 = 0 .

{

}

2 Iz ovog vidimo da bi oekivana vrijednost faktora varijance a posteriori s 0 trebala2 biti jednaka vrijednosti faktora varijance a priori 0 .

Ako imamo zadanu razinu signifikantnosti , i primjenimo li dvostrani test, nulta hipoteza e biti odbaena ako je

y > 21 / 2 (r )ili

59

y < 2 / 2 (r ) ,odnosno H0 e biti prihvaena ako je

2 / 2 (r ) y 21 / 2 (r ) .Poznato nam je da je matrica teina definirana kao2 P = 0 Ql1 .

U praksi faktor varijance a priori (takoer zvan varijanca jedinine teine) se uzima da je jednak 1, a tada je matrica teina inverz od matrice varijance-kovarijance opaanja:

P = Ql1 .Kao to je navedeno prije, kad je hipoteza H0 odbaena, postoji neogranien broj alternativnih hipoteza, a najea su dva sluaja: - Ha1 (neispravno dodjeljene teine mjerenjima), - Ha2 (prisutne grube pogreke u mjerenjima). Upotreba samo globalnog testa nije dovoljna iz dva razloga. Ako varijance i prou test to ne garantira odsutnost grubih pogreaka u mjerenjima. Osim toga ako globalni test ne proe, samo se ustanovila mogua prisutnost grubo pogrenih mjerenja, ali se tim testom ne moe utvrditi koje je to mjerenje. Zato se nakon globalnog testa koristi data snooping metoda. 6.2.2. Data snooping metoda

Ovom metodom postupno se testira svaka standardizirana popravka mjerenja i odreuje se da li ona prelazi maksimalno dozvoljenu vrijednost tj. definiranu granicu odbacivanja. Ako postoji razlog sumnjati da je nulta hipoteza odbaena zbog prisutnosti grubih pogreaka u opaanjima, tada je iznimno vano locirati i eliminirati grube pogreke iz opaanja. Alternativna hipoteza je preopenita, jer ona ne daje nikakvu informaciju o pojedinanim elementima vektora pogreaka l. Baardina data snooping metoda pretpostavlja da je samo jedno mjerenje grubo pogreno, i nakon to se to mjerenje izbaci metoda se iterativno ponavlja. Standardizirana popravka se rauna tako da se svaka popravka podijeli s njenim standardnim odstupanjem sv. Granica odbacivanja se rauna uz danu razinu signifikantnosti koritenjem Fisherove razdiobe. Standardizirana popravka se rauna po formuli:

vi =gdje je:

vi vi = , s vi 0 q vvi

60

vi - standardizirana popravka,

0 - a priori referentno standardno odstupanje,q vvii ti dijagonalni element korelacijske matrice popravaka

Qvv = P 1 A( AT PA) 1 AT .Standardizirane popravke se zatim usporeuju s kritinom vrijednosti z normalne razdiobe. Openito se uzima da je uz nivo signifikantnosti = 0.001 granica odbacivanja 3.29. Prema tome sva opaanja ija apsolutna vrijednost standardizirane popravke vi prelazi 3.29 potencijalno su grubo pogrena. Meutim, iz mjernih podataka se izbacuje samo jedno mjerenje i to ono ija standardizirana popravka najvie odstupa od granine vrijednosti. Izjednaenje se ponavlja bez tog mjerenja, a postupak data snooping se nastavlja dok sva mjerenja ija je standardizirana popravka vea od granine vrijednosti ne budu izbaena iz podataka. 6.3. Tau - test2 U praksi se esto dogodi da nije poznata vrijednost faktora varijance a priori 0 .

2 Tada se za testiranje koristi faktor varijance a posteriori s 0 , globalni test se ne izvodi, a data snooping se modificira usvajanjem nove test statistike

Ti =

vi s2 vi

=

vi2 s 0 qvv

( f ).

Testna statistika Ti se rasporeuje po razdiobi s f = n - r stupnjeva slobode. Kako tablice razdiobe nisu tako dostupne kao one t - razdiobe, izraunati Ti usporeujemo s kritinom vrijednosti f ,1 koja se izrauna iz Studentove trazdiobe po slijedeoj formuli

f ,1 =

f t f 1,1 f 1 + t 2 1,1 f

,

gdje je f - broj stupnjeva slobode, t - kritina vrijednost t razdiobe koja se bazira na nivou signifikantnosti . Ako je Ti > f ,1 zakljuuje se da su ta mjerenja mogue grubo pogrena. Izbaci se opaan