periods zagier

38

Upload: luis-miguel-solarte

Post on 12-Mar-2015

66 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Periods by don zagier

TRANSCRIPT

Page 1: Periods Zagier

�������

�� �������� �� �� �����

�

�������� ��� ���� ������� �����������

��� ����� �� �������

����� � ����������� ���� !"����#

$� %���

�� &$&��&%%

Page 2: Periods Zagier

�������

�� �������� �� �� � ���

��������� �������� �� �� �� ���� ��� ���� � ����� �� �� ������ ����� � �� � ��

����� �� ��������� �� ��� � ���� ����� � ��������� �� ��������� ������ � �� � ���������

��� ������ � � �� ���� ����� �� ������� ��� ������ � � ���� ��������� �� ��

�� � �� ��������� ������� �� ���������� ���������� � �� �� �� �� �� ����� � ���

�� �������� � � �� � � � ���� �� ��������� ��� � ��� � ������ �� ������� �� � �

�� ������ ����� ���� ��� ��������� �� �������� �� �� �� ������ �� �� � ��

��������� ���� � � �� ����� �� �������� � � ���� ������ ���� � ������� ���� � ��

����� �� ��!��� ��� ������ �� � �� ��� �� �� ������ � � � �� � �� �� �� ��� �� �

������� �� ����� ���������� ��������� �������� ��� ����� ����� � ������ �� ���� ��

���� �� ���� �� ��� � �������� � ������� �������� � � � ��� ������ ��

�����������

� �� � ������� �� ������� ��� ������� �� ����� ��� ������� ������� �����

�� ����� ��� ��������� ������� ��� ������� � ����� �� ������ ����� ���� ������� �� !���"������� ������� ��#� ������� #� ������� ���� ��$� ������� $� % � &�'��! ��������� ���������(� &� ���������

#� ����� ��� )*������� #�� �*������� #��� +����� ����� � � � ���,������ �� ���"�� ��� -��� ��#�#� ������� ����" ���� ��"����� ������ � ���!#�$� ������� ����" ���� ������� ���� #�(� % � ���,������ �� -�� ��� +��������*�!��#�.� +�������" ������� � � � /����0 ���,������

$� ����� ��� 1���� $�� % � ��"���� �� �� ����� ����� $��� 1���� 2��� "����$�#� ���������� �����

-���"��� !

"

Page 3: Periods Zagier

�����������

& ��"���" ������ �� ��� ����� 3 �� ����� ���� ���! ����� ����� 4�� �������� � �� � ���� � � ��� ��������

� 5 �� �� #� � � �� �

&���" 0��� ��� ��"���� ������ 3 �� "�� � � ��������

� 5 �� � � � ��� �� 6� � �� � � �� �

% �� ����" �������� ���� ������� "�� � � ���� ��������

� 5� �

�

�� � � �� � � � � "�����7�� �8 5 ��

%�4�" ��� �� ������� �� ������� ������ 3 �� "�� � � �� �������� �����!3 �������� � � ��� �� ���� ������ ����" �������! � !���� 9�: � � � ����� � �� "��� � ���� �� ��������

� 5 ��; � � � � �� � � �� �&���" � � ���! �����4���� �������"� ����" ���� � � ���������� �� ������� ���*��� 2�� : ����������� % ����� �� &�"����� ��� ��������� �� ���

� ; ��; � � �; ������� ; �� 5 6� � 6

�� � ������ ����� � �� ���� ��� � � � � �� ���������3 �� ��� ��� ��� � � �� ����� � � � �� � �� � �� �� �� ��"����� ������� �� �������� ������� � �� � ��! �� ����� � � �� �� ������ �������3 � ����! ������� �! � � � � % � ���� ��������� ���� ��"����� ������

�� 5 �$$�#( � � � 3 � � � ���������! ������

� �����: ������ %�"�������� ������� �� ��! ������� ��"�� ��� �� � ��"�����

������ 3 ��"� �7.6Æ8 5�#�$ � ���7<Æ8 5

�� ��

�( �

%���������!3 ������ ��� ��� ��� �������" �� � �� �� ��� � � � ����� !

� � � � � � �

�� � �

768

=����� � � ��� ��� ��"����� ��� ������ ��������� � % ��� � �"� ��������� 0� ������� ��"����� ��� ���� ��������� ������ 7/�����3 <>#8� � � �� � ����"����� ������ �� ����� ��� � � �� �� ���� ��������� ������ ��� ������% ���� � �� ��� ������ �����! �� ���� � 9"�����? ���� ��������� ������ � �" ����� ������ �� ���� � & ���� ��������� ������ � ����! ������ �� ����� �������� ���������� &� �3 � �� ���� � ������ ��� � � � ��� �� �������� ��� �� �� ����"�����3 � �� � �� � ������� �� � ��� � �� � ������ ���� ����������

% ��� 3 ������3 ��� ���� �� �������� ��� �� ������ 3 �!�" ������� � ��� � 3� � � �" � � � ����� ��� ������� % 9���? ��� �� ������ 3 � � �������3 ��� �� �� � � ���� �� � �������� ��� � � � ����� ! �� ������ �������" ��

#

Page 4: Periods Zagier

� �� ��� ���� �������� � % � ����� ���� � ��������� ��� ��� � ��� �� ���������� � � ����� 9"�����? �������� ����� ��� � ����! ���� ��������� ������ 3��� � �! ��� �� ����� �!3 ��� ������3 ���! � ���� ������ �� ���������3 ��� 7����� � ���,��������!8 ��� �� ������� � �� ��"��� �� ��!� ����� ������ ���� �"�!����� � ����� ������� ��� ���,������ � ��� ����� 3 ��� ����� ������ � ���"�������� ������� ����" ���� ������� � ����� � �� � ����! ������ �� ��! �������� � ����� � �� ����� ��� ��� �� �� ���� ��� �� � � ���! ����� � ��� � �!������

������ % ������ �� �������� ��� �� �� � ���4 �� � � ��� ���� "��� �! � ��� � ��� �� �� � � @@@ A����'�� &������� �� � � +��'��'� 1�� '������� �� ������ ���� ������� �� � �� ���� �� � ���� �� � ���� ��� ������� 91�� '������� �� � ! ���?�% � ����� �� ��� � � � � ���� �� �� ���! ���� ������� 3 � � ������ �� � � ������� � � ������� �� ��������� ������� 3 ��� � ���� ������� � �� �� �� � � ���,�������� -�� ��� +��������*�!��� % � �� � � �����3 � � �� � ���� �������� ����� ����� � ���� ��������� � �� � � �� � �� � � ����3 �! � � �� � ��� �� ���!�

�� ���� �� ���� ��������

���� �������� �� ��� ���� ���

B��� �� ���������! ������� �� � ������

��������� & ����� � ������� ������ � � � ���� ��� ��"���! ���� ��� ����� �� �� ������! ������"��� ���"��� �� ������� ������� �� ������� ������� 3 ��������� � �� "��� �! ���!����� �������� �� ������� ������� �

C� ��� ������ � � �� �� ����� �! � �� ����� �! ���������� �� � � ������������ ��� ��� ������� � � ���� 9������� �������? ��� 9������� ������� ? �!9��"����� �������? ��� 9��"����� ������� ? �� ��� � ��"�" � � �� �� ������ � � ��� ����� � ��� �������3 � � �������� ��"����� ������

�� ��� �� ����� �����

�! �� 5

������

� �

��� �����! ��"����� ������� �������" � � � ���"���� ��� �� �������� �! �������������� �! ��������" ���� ������� � ������3 � �" � � ���� � �� � � ���"��� �� ��!����*������ ������� ����� �� � � ���� ����� � "��� ��� ��� ���� �� �������! ������ � � ������ �� � ����� ������ �! ���!����� ������� �� ������� ������� 3 ��� ����� ���� �� ���"���� ��! ������� ���� ���������� � �� � � ��� ���� ������� ��� �������3 ������3 �� ����� ������ �� ����� ��� ���� ���� ������� ��� �� � �� �� 3� ������ � )�� � �� � ���� ��� ���,����� �����!3 � � � � �������!3 ��� � ���� �� ��"����� *���� �� � ��� �" �� � 3 ��� ������ ���� � 3 ��� ��� � �� � �"����*� �� �� �7� 8 �� �������! �������� � � 7� 8D � �� � � ���"���

��� � ������

7E��" �! ���4�"3 � � ��� �� � �� � ���������! ���� "������ ������� ����������� � � ���� ��� "��� ������ � �� �� ��� ������ � �� � ��*��"����� � �� ���� �� ����4 � �� ��� ���� ���� � � ��� �� ���,����� �,������! ���� ���� ����� � �� �� ��"����� �������!�8

$

Page 5: Periods Zagier

% � ���� � ���*��"����� ������� �� � ����� � � ������ �3 � � �������������� � � ����� �� ��� ��������

� 5 #�$(@�. � � � �

% ������3 � � �� � ����� ��� ���� �� ��� ����� 3 ������� � ��� �������3

� � ������ �� � � #*���� ���� ��� ���� $

#� 7&�� ���� 8� &� � � ������ � ���*

���� ��� ������ �� " ��*���� ���� ���� 3 � ��� 3 ���� 3 �!����� 3 ���� �� ����%�"�������� ������� ��� ������ �� ����� ��� C� ��� ����� � � � ����� �!��! �� � � �������" ���"��� �

� 5

���������

� � 5 �

� �

��

�� �� � 5

� �

��

��� ��

5

� �

��

�

; ��78

�� �� �3 ����� ����������� �! � � ��"����� ������ ��3 �! � � ������� ���"���

��� 5

� �

�

� � � ������� ����� ������ � � ���� � 5 6� % � ���� �������� �� � � ������ � �� ������ �! �� )������� � <<��

%�� �� �� ����� ������ � � ��� ����� ������� ���

� 5 �����

;

�5 ��><�<< � � � �

� � �� �� � � ������� ��"��� � 3 ��� �����: ��� ����3

� 5 �����

;

�; � � �;

� ��"

5 6�(>>�(. � � � �

��� � � � ��� ������ 7���,��������!8 ��� ��� ����� � 7B������3 �� �$�#�8 �� 4�������! � �� � ���� ��������� 7/ � B�����3 <>#8�

B������3 � ��� ��� ���! ������� �� ����� �� �� � ��� � � ��"����� ������ ���� �������3 ��������� �� �������� � ��� ��� ����� 3 ��"�

��"7�8 5

� �

�

�

��

+�����!3 � � �������� �� �� ���� � �� ��� ��� � � � ������� �������

�

� �

��

� ;

���

�� � ���� �

��� � ������ �� ����� �� ��"��������! � �" � ��� �5 �� � � � ��� � 1��! ����� �� �� ���������! ����� �� ��� ����� � ��� �������3

�7#8 5 ;

��;

#�; � � � 5 ��6�6(.@ � � �

%

Page 6: Periods Zagier

� � � �������" ����� ������� � �� ���"����

�7#8 5

������������

� � �

7� �8��� 7�8

��� ���� "�������!3 ��� ����� �� � � ����� ��� � ������

�7�8 �5����

�� ���"�� � � ��� ����� 3 � ��� � � 9 ����� ��� ��� �?

�7��� � � � � �8 �5�

�����������

�� � � ��7�� � � � � �8 7#8

7��� F#�G8 � � ��� ���� ����! ����� � ������ !��� � +����� ����� �� ��"�������"����� �� ���������� � ������� ��� �� ������ �� ���! �� �� ��������� ����*��� ��� ����� 7��� ����8� +� ��� ����� ����� �� �� ��� ���� �� ������������"����� 7��� ���#8 ��� �� ����� 4�� �� ��� ������� ����� �� �� � �� 7/ ����� #8�% � 7��"��� ��8 ����� �� �

�7� 8 5

�� � ��

���������������

��" �� 7��� � � � � ��8� ����

� � � ����

7$8

�� � )������ ���!����� � 7��� � � � � ��8 � � F���� � � � � � ���� G � ������ &� �3 ����� ���� �� ��"����3 � �� "�� ��� ����� �! ��4�" �� ��� ������� �� 4���� ��� �

�� ��� �� � ����� � �� � � ���"��� �� � ���� ��������� ������� � ����� 9�!�������?� & �� �������3 � � ������ ��� ����! � ��� �

�

�

��" ����

� 5 ��" � � 7(8

7B��� ��4� � � �� ������ � �� ��� �� �� ������7��"7� �88�� ��8 +�����!3 �����

�� � � ��� � ������

H7�8 5

� �

�

��� �� �

�� ������� ����� �� � � ��"����� � ��� ��� ��! ������� �� ����� �

H���

� � 7�� � � �8 � 7.8

7% ������ ���� � � ����� ������� �� H7���8� � � ���� ���"����8 ��� � �����3

H7��8� 5 � ��� H7�#8� 5 ����#����

� �

�

��� ��

� �� "������3 � ��� ��� �� ��

�� ����� �� ���� �������" � ! ������ ����� �� �� ���"��� �� ���� ���������������� ��� ����� � ��� ��� ��� � �� ����� � ��� ���4 �� ����� � �� � "������� ��������� ����� �� � ������

�� ��� �� �� �� ��� ��� ���� ����� �" � �� � ���"� ���� �� ��"����� "������! 7� � ���� ����8 � � ���! �� ���"��� �� ������� ������� �� ������ ������� � C�� ������� ����� � � � �������" ������� ��� ��� ������� ��������

������� � �� ����� �� � � �� � ��� ��� ��� ����� ��� �������� �� ������ ���� �� �� ������������� ��� �� �� � � � ����� �� �� � �����

&

Page 7: Periods Zagier

���� �������� ������ �������� �� � � ����������3 �� � ��� ��� �� � � �� ������� ��� � �� ������ 3 �����0�� � � � ��"��� 7683 ��� ��� � 0�� � ��,���������� ������� � � ��� ��� �� � ��"���� � � �� � � � �� � ��� ��� ������������ ��� �� � �� ������� ��� �� �� ����� �! ����!�" � ���� ������ �� ���������3� ���� � � ������� ������� �� � � �� � � � ����� ��� �� ��� � "������ ��� �� � �� ������� ������3 ����� � �� � ��� ��� ������� F�>G ����� ��� � ������ � �� �� ��� �� �" � �� ���4 �� � � � �� �� ���I ��� ����� � � ������ ���������� ��� ��� ������! ������ J� � � ��� ��� � � �� ��������� ��� ��� ������� �� � ��� �� �� ����� �! � ���� ������ �� ��������� 7�����!3 � � ���"������� ����� �� ���"����� �����" � � �����8� J� � � �� �� ���3 � ������ � ��� ������! ��! �� ���� � ������� ������ � �� ���"���3 ��� � ��� ����� �� �� � ��4� �� ��� ����� "��� �! ������ ���"��� ��� ����� �� �������� % � ������� ����������� �! � � ���� � �� ��� ������� ����� ��! �� ���������! ���! ��� � ���!�� �� � ����3 ������� ���"

��.#

#��� ��"7.$6#�68�

��� �� � � ��� ������ ����� �� ��"���" #�#.@>�###6#>>(6 � � � 3 ��3 ���� �������0�"�!3 � � ��� ����� F�#G

�

.

�#(6� ��� ��"

�

�����

�� ;

���� �

�

�� 5

6>

�;@�

�#$ � �� 5

((#

�;##

�#$ � �� 5 $�@;#6$

�� � �� 5

.�>

�;��

��

��

� � �"��� ���������! �� ���� � �� <6 ������ �"� ��� ������ ��� ��� �������I

��� ��"����� ������ � ��� ��!3 �� ���� �3 �� � �� ���������! ������� ����� �� ��� � � ��� ������3 �� �

� ; �

��@ ;

�.� �

��@ ; �

�((� 6

��@ 5

�( ;

��� ; �

�(

7F��G83 ��� �� ��� � ��4 � �� ������! �� �!3 �� �� �! ����" ��� ���!����� �� ����! ��� ������ ��� �������" � � "����� �� � � � ���!����� �� �� � �! ���������"��� ������ ���������! �� ������! " ���� �� ��� � �" � � ���� � �� ���������� ������ �� ��"����� ������� �� ���"�� ������� �� "��� ��"��� ��� �" � ������ �� ��� ��� � �� ��� �� ���

/�� �� �� ���� �" ���� ��� ����� K ���� ���������! ������� �� ��� ���������� �������� ���� 3 ���3 ��! �� ����� ������ ������� ���"��� � ��� ���"��� ��������� � ��� ������� � � � ���� ��� � ������ �

�� ����!�" 7� � � ���"���� ��� � � � ����� �� ���"�����8�

� �

�

7�7�8 ; �7�88 � 5

� �

�

�7�8 � ;

� �

�

�7�8 � �

'

Page 8: Periods Zagier

� �

�

�7�8 � 5

� �

�

�7�8 �;

� �

�

�7�8 � �

�� #$��� �% !��� ��� � � 5 �7�8 �� �������� � ��"� �� ������� 3 � ��

� ���

���

� 7�8 � 5

� �

�

� 7�7�88 � 7�8 � �

&� '����()�����* %���� �

� �

�

� 7�8 � 5 �7�8� �78 �

�� � � �� � �� ����*���� ���� ���"��� ��� ��� � � A������ �� �� ��������� ��"� �� ��������� � ���� �� ��� ������� � � =�����*)���0 ������� �! +��4� : ������� � ���� &��

& ����!* ��� �����3 �� �� �� � ,����� ��������� �� ���������3 �����"!3 ���� ��� � �4�"3 � � �������"

#��+����� �� !� � ����� ��� ��� ������� ������������� ��� �� ��� ���� ��� ����� �� �� ������ ���� ���� � �� ��� ��� &� �� ����� ��� � ������� ��� ������ ������������ �� �������� ���� ������� �� �

�� �� �� ���� 3 �� �� ��� ������ ��! �������� ��������� �� ��� ���"��� ����"����� ������� � � ��� �� ��� �� ��� �� ����� � �" � ��� ���� ���� � % ���,������3 � � ���� � ��� �� � � B��"� ���,������3 ��� �� � � ����������,������ ����� ��"����� ����������� ��� ���� ��������� ������ ��� ������� �����! �� � � �� ��� ��� ��� �� ������ ��� ���� ��"����� "������! ��� � � � ���!�� ����� �

/��,������ �""� � � � ���� ��,���� �� � � ������� ����� �� � � ��� �� ��������� � �� ��� �� ���� �� ���� � ���"�� �� ������� ���� ��� � ���� ������� �� #���� ���� ���� �� ������ �$������� %� ��� ��� ��� �� �������� �� �� ���������� ���� �� ���� �� ��� �� �� � �� �� , &�

C ������ � � �� � ���� �� � ������� ����� 3 ���3 � �� �� ��� ������! ����� ��� � �����! �� �� ������ � �� ������! ������� ��� ����� ��� 9�����!? ��� ������! � �� /��,������ ���4 3 �� ��� ���4 �� �� ������� � �����"� C� ��� "��� ���� ������� �� � � ��� �� � � �����3 ��� ������ �� �� ����� � � � ������

E������" �� � � ��� ��� � �� �� �� � � ��"���" �� � � �����3 �� ��� �����

���� �� �� &��� �� �������� �� ����� ����� �� ��� ��� ���� � ��� �� �� ' ��

=��� � �� ���� � ����� �� /��,������ ����� ��� �����������! ���� � �������3 ��� � ����� ���! �! � �� ��! ������! ������� ����� �� � � �� ���������!�����3 ��� �" � ��� "�� ��! ������� �� �� �� ��� �� ������� � ������� ���4 ���������! ���������� ��� ��� ��! ����� � ��� ���! !��� � =����� ��� 3 �� ���� 4 ��� ����� ��� � � ��� �� ������� �� ��"����� ������ 3 ��� ������ ���! �� � � �������! �� ��� "��� ������� �� � � ��� 3 � ������! ��������3 ��� ��� ���� �� �

(

Page 9: Periods Zagier

��"��� �����! � �� �� � "��� ������3 4���� ���! ���������!3 �����" �� � � ��� �7%� ����"�0� � �� �� � ���������! "��� ���� ������ � �������3 ��� ������� � �������� ������� ����� �� ��� � ��4 � �� �� � ��� � ���! ���"� ������ ��������%� � ��4 � �� �� � � � ���� �� � ���!����� ������� �� ��"��� �� ���*���*���"����"��� ������� 3 ��� � � � ������ �������� ��"��� � �4� 9)))? �� ��������� �� �� � ��� � ������ 7�� � � � � �8 � ���� � �6� ��� � � � � �������� ����7��

�; � � �; ��; �8�; 7��; � � �; ��8 ���! ����3 � ��� � ���! ���� �� ���

�������8 -! �����"! �� � 3 �� ��� �� � � ��� �����! ��� ��! ����

���� �� �� &��� �� �������� �� ����� ����� � ���� ��� � ��� (���� � �������� �� ���� ��� ����� �� ' �� ������� ���� ��� ����� �� �� ���� �����

B��� � � 9 �����!?L� � �����"�� �� � � �" � � � � �� � �� ��"����� ������ L ���� �� ��� ���� � ���� �� � � ���� �� �� � � ���"��� �����" � � ����� ���� � ��������! �� � � ���!����� �������" � � � �� ������ �� � � ���"���� �������� �� ���"����� 7��3 � ��� � � 3 ���! �! � � ������ �� �4 �� � � ������ ��%�M 4�! ���4� ������� �� ���� ���� � � ���"���8�

�����!3 �� ���� � ������� � � � ��� �� � � � ������ � �� ������� ��

���� �� &� �#����� �� ���� �� � �� ����� ��� ��� ����� ��

J� ���� � �� ������ �� �3 ��� ���������� +����" ������� # ����� �� � ������"�� �� )������: �� ������� � � � @� ������! � �� � ��� ������� � � �� ������� ������� �� � ������ � � ����� �� ������ �� �� ���� ���������� ���� ������ �����3 �� ���� �3 ����� �� �� ������� � � �� ������� �� B����� ��� )���������� ����� � �� ��� ����� ������ �� ����� �3 �4� � �� ��3 �� ��� �����" �� �

��� �� � � � ������� ���4 ���! ��� ��� �4��! �� ����� ���� � ���" ���� C���� � � ����� �� � ���� ���� �� ���� �! "��" � � ���� �� ���� ������� �� � ������ � ��� ������� � ���� �� ���� 3 �����! � � ������� �7�8 5 ���. �������! ����� � >#$� +��� ��� �7�8 7��� ��� 7�88 ��� � ��� ����� 3 � �� 9���� ��������!�? B��� �� �� �� �� ����� � 7 �����" �� � �" ��! ������� ���"��� ���*�� �������8 � �" ���! � � ���� ��,&�3 �! �����! ������" � ����� ��"����! ��� ��/���� ��� ���������� � � � ����� F(G� +��

! 5

� �

�

� �

�

� ��

� ����

�

�������" �7� ��8 � � "������� ��� ��� ���"����" ����*�!*����3 �� ��� � ��! 5

�����7 ; �

� 8�� 5 7$ � 8�7�83 ������" ���� �� 9�����? ����� ������� �� �7�8�

=�� ��4�" � � � ��"� �� �������

� 5 �� ; "�

; ��� � 5 "�

; ��

; "�

�� A������

���� 7�� �8 7�� "8

���� 5$�"7� ��"�8

7 ; ��87 ; "�85 $

7� ��8���

7 ; ��87 ; "�8� �� ���

! 5 $

���� ���� � ���

�

; �� "

; "�5 �

� �

�

�

; ��

� �

�

"

; "��

)

Page 10: Periods Zagier

� � �� � ������! ���" ������� �! ��� ����" � � �������� 7�� "8 �� 7���� "��8D ����������" � �� � � �� � ���"��� � 78 �� ����� ! 5 �����

& ���� �� �������3 � � ������ ��! �4� �� ��! �����" � � ���� ��� �����!

��; � ; . ; ��; ��8 5

.��; � ; ( ; ��; ��

�

� ��� �7� 8 ������ � � 1� ��� ��� ��� � ������ � ��3 � �" ���! � � ���� ��,&��

�� ���� �� ������ �� �������� � ��� ����

-! �������3 ����� ��� � � ����� �� ���"��� �� ��"��������! ������ ������������� ���� ������ � �� � ��"����� ������ � �� � � � ���� ��� � �� ������ ����������� 3 � �� � � ���"��� 3 ��� ����� � ������� �� � � ��������� 3 �!�����! �� �! ����� ��������� ������� �� ��"����� ������� � % � ����� � �� ������� ����� ����� �� � � ������ �� � � � ��������� ������� �� ��"����� ��"����� �% ���� �� � �� �����" ��� ���! ��������� �������! ������� � � ���! �� ����� ��� � � � ���! �� ����� ��������� ������� � C� ������ ��"� �� �� ,� ��� �� � �"� � ��� ���3 ��� ��� ������� ��� ���� �� "��" � ��� "������ �������� ���������� 3 �������" � � ������ �� � � ����� �� ���������3 ��"� FG3 ��� ���� ����� �

% � ��������� ������� �������" � � � ��! ,� � ������� ��� ������ 7"������0��8$������& ��� ��)������ ' ������ �� 7������ ��8 *� �������� ������ % � �� ����� �� �� ��� � 0�� � �� � � � ��������� ������� ��� �� � ���! ����� �!��3��� � �� � ��� 4���� � "������ �� �� �������� � �� �� � "��� ����� ���������������� 7 �!3 �� ������� � � F�G8 �� �����*��� �!��� % ��� ��� ������ ���*,������� ������� C� ������ � ��� �� � �� ���N!3 ��� �� ��� �����" ��� �� � � ���� �������� J��3 ��� �� -����� ��� ����43 �! � �� � � � ��� ���� ��! � � ������� ��� � � � � ����� ��� ����� �� �� ����! ������ �� � � � �� 7�������8 �� � ������ � ������� � � � ��������� ��� ���������� "��� �� �� � �����������! 7 �*������ 9#*������� ?8� &��� �� 7+�"��3 -�����3 ����48 "�� � � ���� ��! ��� ����� ������� � �� � � ��������� �������� � �������� �*��������� ��� ���� �����! ���� �� & � �� �! � �� � � ��������� ������� ���� ��� ���! ��"���� �"���� ���� ��� � ��������! "���� �������� � $�7�� 83 � ��� � � ����� ��� � �������� =���3 ������3 � �� � � � ������ ��� ��� ���! ��� ������3 ��� � �� � �� � ��� ����� � �� �� � ��� ��! "������ ��"��� � �� �������� � �� �� � �! ������ � "��� ��������� ��������

C� ��� �� ���� ��� ������� �� �����*��� ������� ��� � �� ������� ������� �

���� ���� � �- .�� ��� �% � ���� ���!��� % � � ���� � ��� �� � ��� ���������� �� � � ������ �� ��� �� ������ �� % �� ������ ����� ���� � 3 �! "����! �� ������� �� � � ���� �� 5 �7�8 �� �7�8 � ���� ���!�����3 � �� � � ���"��� ��� � ������� � *���� ��� ���� � ��� �� ��� � %7� 8 ������ ���! �� � � �����"!��� �� � � ��� 3 � �! ��4�" � �� �� &�7%7� 8D�8 �5 �� �� ����� ��� �� � ��������"��� � �� �7�8 ������ ��������! �� � ��������� �3 � � � ��� �� � � ������ �� �

*

Page 11: Periods Zagier

�����*����� ��������� ������� �� ��������! "���� �������� � $�7���8� ���� �����3 ��� � � C��� ��� ����!

%� � �� 5 �� � #��; �� 7� � � 8 �

� � ����� ���"��� �� �! � � ��������� �������

��7�� 8' 7�8 ; �7��� 8' 7�8 ; #�.

;

#.

' 7�8 5 6 �

&��� �� ���������! ����������� ����! "��� �! � � )�"����� �������

%� � �� 5 �7�� 87�� �8 7� � � 8 � 7>8

� � � ����� ���"���

O�7�8 5

� �

���7�� 87�� �8

� O�7�8 5

� �

�

���7�� 87�� �8

7<8

��� ������ �� � � ��������� �������

�7�� 8O7�8 ; 7��� 8O7�8 ;

$O7�8 5 6 �

& � �� ������� � � ����! �� ������ ����� �� � � ��"� �� �*��� �� ����

%� � �� 5 �� � ��� ; 7� �8� 7� � � 8 �

� � � ����� ���"��� ��� �� "��� �!

��7�8 5

� ��

�

���� � ��� ; 7� �8�

� ��7�8 5

� �

��

���� � ��� ; 7� �8�

��� �� �! � � ��������� �������

�7�� 8� 7�8 ; 7��� 8� 7�8 ;#

.� 7�8 5 6 �

���� ���� � �- /"����������� %�������� % � ��������� ������� �� ����! � � �����*2�� !���"������� �������

� 7� �D (D �8 5�����

78� 7�8�7(8� I

�� ��� ) � 7*8� �5 *7*; 8 � � � 7*; � 8

�� �����*��� �!�� � ������ � � ��������� 3 �3 ( ��� �������� % � �� � ��� ��� � � ��� ��������� ������� ,� � "��� ��� �� � �!��� ��� � �����3 �� �����"� 5 � ���� + ��� � � ������� �� ��7�8 ��� �������" �! � � ������ � ����� "��

��7�8 5 ��

� ���

�

+�� � �� +

5 �������

�

���

$�

� ���

�

��� + +

5 �������

�

� $

�

���

.$�5 �� �

�� �

�� D D �

��� ) �

"+

Page 12: Periods Zagier

��� � ���� ���������� "�� O�7�8 5 �� 7�� ��� D D �8�

=��� � �� � � � � ������� 3 � � ����� �� � � !���"������� ������� �� �� ��"���������� �� � ��"����� �� ��� � ������ % � ��� ��� ��� � 7� �D (D�8 ��� ��!������� ����� �� 3 �3 (� %� �� � 3 ��� ��� ���� �� �����: ���"��� ����� �������

� 7� �D (D �8 5H7(8

H78 H7(� 8

� �

�

���� 7� �8����� 7� ��8�� �

��� � �� � � � � ��N����� ������� H7�8H7 � �8 5 �� ��� ��� � � ���� ���"��� ������

H7(8

H78 H7(� 85

�� �7�8 �7�7� (88

�7�(8�� �

�

����� 7� �8��� � �

� �

7&� ���������� ����� ������� �! ����" � 7� �D (D�8 � � � �� ��� �� � 5 6 �� � �

������� 7(� 87� ��8��� ��7� ���8��7� �8��� � ��� � �� ����� ����" � �� ���

�! � /��� ! ���"���3 �� ���������� ����8 &� �3 � � ������ �� �����! ������3 � �� �� �! �� ����" � �� � 7�� �

�� D �D 8 5 $���3 � � �����" �� ��� ��� 7��� �����!8

��� �� � +���� �����4 ��� �� � ��� "������0�� !���"������� ������� � ��� ���!����� � � ��������� �� ���� ��� ������ ������� ��� ��� ��� �� � ������� ��

� � ������� ������ ���� � 5 F��G 75 F����G8� ���� � ����� ���� �� ���

7��� / ����� $83 � ���� ������� ��!��! �� ��� ��� � � �� 3 ����� � ������!�"�! � ����� �� ��� ����� ���� �� ��������" � 9%��� �� �? �� � � ����� �����" �������� �� �� � ��� ��� ����� � ���������! �� ����" �������� �

% � ����� ����� �� !���"������� ������� �� ��"����� ��"����� ��� � ����!���� ���������3 ��� ������ ��� � ��� ���������� ��"����� ����� 3 �� ����������" � � ��������� F>G

� �

�(

�D

�D#�#

##

5

#

$�� �

C �� ��4� � ������� ���� ���� ���� �" � �� � � ��� !���"������� ��� �� � ������"� � � � ���� �� >*��� ������ 7 ��� #�# 5 #�>�8 ��� � �� � ����� � ��� �

��� F$G I 7& ����� ������� �� � � ��� �� ���� "��� �! � � !���"�����*

�� �������

I� #�

7�; 8I3 � � ������"� ��

$�

#�#� � ��� �� 6 � �� F#G�8 +�����!3

� � !���"������� ������� � �� ���� ��� � ����! ���� ��������� ������� 3 ��� ������� �����! �� ��"������ % � �� � � ��� � ����� ��� � � ��� ��� 2�� !���"�*������ ������� � 5 ��� ���� ��������� �! +� ���0 � <>#3 ��� � � ����� �����"����� ��� "������0�� 7��������8 !���"������� ������� ����� ���� ��������� �!-��4�� ��� B��4��� F.G� ������� ��� � � � ��� �������

, 5�����

7.8II

7#8I7�8I��� � - 5

�����

768II

7(8I7$8I7�8I�� � � 5

�����

7�68II

768I7>8I7$8I�� �

��� �� � � ��"�����3 ��� � � ��� �� ���������� ��!D ��� � �����3 � � ������� �� ��� �! - � � � ���� P7 � #�(�� -�8 5 6 � ��� P7��� 8 � ���!�������"���" ���� � ; �

� ���� �� ; ����7(�

�� ; �..���8� �� ; � � � �""

Page 13: Periods Zagier

��&� ���� � &- 0��� � %����� 1������ ���� ��� ���! �� �������� ���� ����! �� � � ������" ������� � � ������ C� ������ � �� �������� ��� . � �3� �� ��� ��� �� ����� . � ������� � ������ � � � ������� ����� ���*������ 5 �� � � � �7�8 � 6� � � ���� ���� ����� � � ����� �� ��� ������

� �

� �

� $�7���8 �� � � ��"���� H �� ���� ���� � $�7���8 �������" �� � � ��������77�;�8�7(�; 88 5 7(�; 8�7�83 ��� �� � �� �� ������ ������� �� ������� !�� �������� ! ��� "���� ������� �� ����!� & �� ��� � ������ � ������� ������ ��" � 63 ���3 � ������� � �� �������� � ������� �� � � � ������� ������ � ����� �� H� & �� � ������� � � �������� �� � ���� �" ������ ���� �������� � � � ����3 ��� ��" � � ���� 4���� ��� � � ��� �� � � @� ������!3 � � �������"�

.� �� +� �7�8 � � ����������� �� ��������� �� ��� ��� �� ����� . � 6 ����7�8 � �� ��� � ������ ,�� �� ������� � � ������ � 7�8 ���� �� � 7�7�88 5 �7�8������� � ����� ��)������ ' ����� �� ���� . ; ���� �������� �������

B��� � ���� ������� �� � � ������ J�� � ��4 �� �! �! ������� �� � � �� � �

����� 7� ��" � 68 �� �� ������� � � H �� /� 0�7�8 ��� ��! � 63 � ��� / 5 �7�8�� � �795 � �?8 ��� 0� � � � � �� � � ������*������ ������� �� ��������� ���7�87 5 .� . � � � � � � 683 "��� �! � � ��� ���� ����� +!�7�8� �� ������ � �� � �

������� �� � � ����� ������� ����" � � .;� ������ /� 0� 7� 5 6� � � � � � .;8 ��� H*������� ������� �� � ��� ���� ��"����� ������� �� � 5 �7�83 ��� � � � �� ������������ �������� C� �� �� � � �� � � ���� �� �� ������ �� � � ��������� ������� � � ���� ������ �! � � ������� ���7�8 76 � � .8 ��� � �� � � ��������!"���� � � ��"� �� H � $�7���8 ����� � � .� !������ ����� ����� �������$�7���8 � $�7. ; ��8�

C� "�� � ��� ������� ��� �����" � ��� � �� �� ���� � � ����� �����" ����*���� ��� ����� ����� ��� � � ������� � �� � � ������ ���"��� � �� �� � ����

% � ���� � ������� ���� �� � � ���� ������� "���� $�7���8 ��� � � ������������

%7�8 5

�

������

�� � ������

71� ; 8

�� ��" � . ��� ��� ���"�� . 5 $3 .3 � � � 7�� ���� . � � �� ��4� � � ��� ������"� ���. ���� �� ��4� � ���*0���8� +��� � � ��������� ������� �����" ��������! ������ � � �������! �������� �7�8 5 �7� ; 83 ��! ������� ���� � � ������ ����� ��� � ����� ��� � � 5 ������ ��� � � �� � ��� � �� ��� ��� � � � ����� �� ���

%�7�8 5 ; �$6�����

2�78 �� � %�7�8 5 � (6$

�����

278 �� �

� ��� 2�78 ������ � � �� �� � � 3� ����� �� � � �� ��� �� �� �� � 7% ��� ��� ���� ������� ��� ��� %�8 &��� �� ����� ������� ���� � � � ������� �������

Q7�8 5

>�<

%�7�8

� � %�7�8�5 �

�����

7� ��8�� 5 � � �$�� ; �(��� � � � �"#

Page 14: Periods Zagier

�� ��" � �3 � � � � ������ ����� ���

478�� �� � � �����4���� �������! � ��� � ������ ������� ��� ����������� � 7��� � �����3 47.8 5 �.6$< 5 47�847#88D���� �� � �������!3 � � �*������ -�( �������3 ��� 4���� �� ��� � � ���� ����� ������� ���� ��� ��� �� �������� � � � ���,������ ����� �*������� � �� ��� / ����� #� �����!3 � � ���� � ��� �� � 4���� ������� �� � ������� ������� � � 5*������� 57�8 5 %�7�8

��Q7�8 5 ��� ; >$$ ; @.<<$� ; � � � � �� �� ��� ��4�

�7�8 5 �

�%�7�8 7� � ���������� ��� ���� ��� � ���� ������� ����3 ��� ����

��� ����� 8 ��� �7�8 5 >�<�57�83 � �� � � � 7�8 ������ � ���� � !���"���������������

�

�%�7�8 5 �

�

�(

�D D

>�<

57�8

�

� ������� ������! "��� �! ���4� ��� R��� �� � � ���� �� � � �� � ������!�

& � ����� �������3 �� ��� ��� � � ��"���� H7�8 �� ������ � �

� �

� $�7���8

���"����� �� � � �����! ����� ������ �� B��� �� ��� ��4� ��� �7�8 � � ������� ����+7�8� �� ��" � 3 � ���

+7�8 5����

������ 5 ; ����� ; ��� ; ����� ; � � �

� � ��� ��� � ��� ������� 7� � � ��������! � ��� ������� �� � � �� �� ��*����� �������8 ��� ��� �7�8 � � 6�� ������3 ������ �!

67�8 5 ."7���8�"7��8��

"7�8��5 � "7���8��"7��8�

"7�8��5 .���� � �<� ; >6$���� � � � � �

� ��� "7�8 5 Q7�8���� 5 ������7� ��8 � � ����4�� ���*�������� % �� ��� ���

� �� �7�8 5 � 7�� ��� D D67�883 "��" ���� �� ��� ������ �� ���� �

% � �� ������ ������ ��� ��� ������ � �� � � !���"������� ������� � 7 �� ��� D D �8

������" +7�8� �� 67�8 � � ��� � � � ��� � � �� �������� � ���� � "��"� � ����� ��� ����� �� ���� � 5 6 �� ���O�7�83 � ��� O�7�8 � � ������ ���"��������� � 7<8� % ��� � ���������� C� ��� � ����� �� ��! � � � � � ����������� � �7�� ; �8� %�� ����� �� � ��������� ����� $�7���8 "�� ����� � ����������� 3 � � �� ��! ������� �� �� ������ ����� �����������! � ������� ��������% � 9�? �� � � ������ ����� "��� �! 7>8 ��� ���� �� ������� �� � � ������ �����3 ��� �! ����" � � ������� � � ��! �� ��� � � �� � �������" �� � � � ������� �� � � ���� ���!����� �������" � � � C��� ��� ������� ��� � � �����3 ���� ��� � ������� ������� ��� � � ��"���� H7�8 �� ���� . � $�7���83 ��� � ������� ������� ,� � 67�8� % ���� � �� � � ������ "�������� �! O�7�8 ���O�7�8 ���� ��� 7���3 ����� �� �� ����� �����������8 �� � � ������ "�������� �!� ��� � C� � � � � � �� �� � � ������ � �� � ��! � �� � 5 O�7�8�O�7�83 ���� � ���� �������� �������� ����� � � ������� "���� ��� ���� � � �� O�767�88 �������� ���� �� ��" � 3 � � � ���� ,� � �+7�8�� % � ��� ����� �� ��! �� ������! �� ������ ����� 3 ��"� � � ����! %�

�� ��� � � ������� ��������0���� �!� 5 .$Q7��8�7Q7�8 ; .$Q7��88 ��� ��7�8 � � ����� ���� �� �� � �� ��� ��� ��

��" � � �� � � ��"���� H�7�8 ��� ��" �� ������ � �

� �

� $�7���8 �� ( �����

% � ������ ��� ��� � � ������� ��������0���� �� � � ����! %� � �� ����� ��

"$

Page 15: Periods Zagier

���� �� ����� �� � � ����� �� ������� � % ��� �� �����"�� ���� �� � � ����� �� ����� ����� � %� ���� �3 �� ���� ��� ���� �� �������� C� ��� �! � �� � ����������� �� ������� ������� ���� ��� � ������ 7 �� � � ��� �� � ������ ������� �����" �� 7� % �� �� ����

.� �� +� �7�8 � � �� ��� ��� �� ����� . � 6 ��� �7�8 � �� ��� � ������� ����

���� ��� � ,�� ��� ��� �� � � ��� ����� �7��8 �� ��������� �7��8 ������ �� �

�� ����3 �� ��� � �� ��7��8 �����" �� � % � ����� �� � ��"� ������ ����4 ��� ������� ���� ��7�8 �� ��" � 3 �! +7�8�3 ��� ��� ������� ������� ��7�83 �!67�83 ��� � � �� ������! 4��� � �� � � � ����� ��� 7� � � �� � "���3 ����� � ��� 5 67��8 ��"�����3 � �� ���7��8 ����� � � O�7��83 � �����8� +��� ��! ��� �������������� ��� ��"��������! ���������3 ��� �7�8���7�8

��� ��7�8 ��� ��"����� ������� �� �7�83 ��� � � ���� � �� � 3 �3 �� ��� �� ��� ��� ������ ���� � ���� � �� � � ������� �� � � � ��"����� ���������� �� � �����" �� � � �� ������ � �� �7��8���7��8

��� ��7��8�����" �� � 3 ��� � ���� � ���� � �� ���7��8 ��� ��7��8 ��� � � =���� � �� � � ��� ��"����� ��� �� � �� �� "�� � ������� ����� �� ���� � ����� ���" ������� ��� ��� ��� 7��3 ��83 � �� �� � ���� � � � �� � �� +� ��� 63 �� ������ � � "�������� � �! �� ����" � �� � ��7�8 �� �� � ����� ����� ����� ��������� ������� �� ��"����� ������� 3 � �� ��7�8

�� �� � ��������� ������� �� ����� . ; �� ��"����� ������� 3 ��� � �� � ������ �������! ��� ������� � �� ������� � �! ����"����� ������� �� � �� ������! � � ������� ��7�8

�! �� ��"����� ������� �� ��

& ����� �� � �� ���� � ���� �������" ��������!� & ���� �� � � ������ �.� ����� � � � � ������ �� � �������� ������� �� ������� � � � 7% ����� � � � ����� �����" ������ ����� � �7��;�8 � �� � ���*����� �������� � "��� �! ����������� �� ������ .������ ������ 3 �����!3 ������� �� �� ����� �� � ��"���! �������� ���� �7��8�8 �� � �� � � 4���� �! � � � ���! �� ������������������ � �� 57��83 ��� ���� �� � �7��8 ��� ��! ������� ������� � ������ ����� 3 �� ��"����� ������3 � ���� � ���� � � �� ��7��8 � ����� ��� ��! ����������� � �� 7�� ���8 ��" � . ������ ���� � � �� � �� � � ��� �� ������ ������� 7� � �*������ .������/���� ��� ��D ��� FCG83 ��� � � ����� �� � �����3 �� �� ��"����������� ��� � ����� �� �3 � � ������� �� ������� ����� �� ����� �� � � "����������� �� ������� ��"����� � & �� �������3 Q7�8 5 ���� ���� H7�$8���

��1� ���� � 1- �2��"3� ��4����� �5����� �� @<.3 E�"�� &�'��! ������� � �� ���� �! �����" � � ���������! �� � � ������ �7#8 5 ; ��� ; #�� ; � � � � 1������� ��!3 � �� � �� �� �� ��� ����� ��� �������

� 5 � � 5 (� � 5 >#� � 5 $$(� � 5 ##66� � � �

�� 5 6� �� 5 .� �� 5#(

$� �� 5

.�(#

#.� �� 5

$�$.@(

�<<� � � �

� � ��� � � �������" �������� �78 � � �3 8�

� �� � � ��� ��� 63 � ��� 8� 5 �������� �� � � � � � D78 6 ) � �7#8� �� ) ,*�� ��� ��� , � 6 ��� ��� 63 � ��� * 5 >;�

���

+��� 8�� "��� �4� ��� 7�! � � ���� ������ � �����8 ��� * � ��3 � � � ��� ����*

���� ��"�� �� ��������! ���! � �� �7#8 ������ �� � ������� ������� &�'��!"��� � � ������ � ��� �� �! ������ ������� � ���� �� ������ ������� 7��"�

"%

Page 16: Periods Zagier

� 5�

�

���

�D � � ������� ��� �� ���� ��� ���� ����������8 � � ����

�������� 78 ����� � B� � �� ������ � �� ��� ������� �� ��� � � ����������

7; 8�9��� 5 7#$� ; (� ; �>; (89� � � 9��� 7 8 � 7@8

+�������� 78 ������ �� �! ���� � � 7&�! ������ �� 7@8 �� � �� �� "��� �� ����!�����������! �4� �*������3 ��� � � ������ ������� ���� � �� ���� � �7#8�8B������3 � � ����� � �� � � ������� ������ �! � � ������ ������� �� ��� � ����������� 7@8 �� ���������� ��� ����������"� ����! ��� ��������� 3 -��4�� ����� ��� �� �� ��� ���� ���" ����" ����� � � ��� ��� ������� �� � � ����� ����� �� ��� � �� �"�

% � �� � �� � � � ����� ������! �� �� �� � � � � �� ����� ���"��� ��� � �������� ����� � ���� ��� 6 �����

!� 5

�

���

���

���

��7�8��7�8

� �; ��� � � � �

� ��� ��7�8 5 7 � �8�7��7� �8�8�I 7� ������! � � � )�"����� ���!�����8� ������"�� . ��� : ������� 6 ��� ��� ��� �! � ����� 7��� �"���� 8 ����������� �� �

�

������7 � � ; ���8�� � � � � � �� �� ���7#8 ��� � ������� ������

�� ���������� ����" 8��3 �3 ��� �� � ���"��� ������� 3 !� � � � ����

��7#8� �� �� � ��� �� �� �!�" �������! 78� J� � � �� �� ���3 �! ����!�" � ����� �� ������� � � ��� 7 ��������!3 �! ���"����" �! ���� ��� �� �� ���� ��� ��� � ��3 ����� � ������ � ��"� �� ������� 3 ��� �� �� ���� �� �83 ��� �����

�!� 5

���

���

���

����7� �87� �87� �8

� 7� ��8�

�� � � �

� 7� ��8��

��� � � � ����� !� 5 J7*��8 � 78 ��� ������ ����� � � � ������ �� � � ����� ��� ����� ����4�� �*�

% � �����3 ���� ����3 ����� �� �� �� "��" ������� ������������ �� � � �*������ ��� ��� ����� C� ������ ���! � �� ����� ��� ���3 ��� � � �������������� �� 9���� ? ���� ���#� �� �� �����

�7�8 5

"7�8 "7.�8

"7��8 "7#�8

���5 � � ��� ; ..�� � ��6�� ; � � �

7"7�8 5 ����4�� ���*�������8 ���

�7�8 5

"7��8 "7#�8

�"7�8 "7.�8

5 ; (� ; #�� ; �#�� ; �@�� ; � � � �

� � ���3 �� �������!3 � ������� ������� ��� � ������� ���� �� ��" � � �� � � "����H�7.8 �� ��� ������

� �

� �

� $�7���8 �� ( �� ��� �! . 7��� � ���� �� � � �" ��!

"&

Page 17: Periods Zagier

���"�� "���� H��7.8 ������� �! ��,���" � � ������ ����� �

�� H�7.883 � �� ����

���� � � �� � � ����� ��� � 7�8 5 ;(�;>#��; � � � ����� �" �7�8 7���� � 5 ��8 ����� �� �7�8 �� �� � ����� ��������� ������� �� ����� �; 5 # �� 7� � �� �8���!����� ������� � /��������" � ��������� ������� �������!3 ��� ��� � ��� � ������� �� � 7�8 �� �! � � ����� �� 7@83 ��� � �� ���"����! ����� ������ �7�8 ��� �7�8 ��� �*����� �� �� ���"��� ������� �

% ����� ����� " �" � �� � ���� �� �����*��� ������� � � �� ���*����� �� � � ��"���" �� � � ����� � ��� �� � � 7���,�������8 � �������0���� ��� ��� �� ��������� ������� 3 �����! � � 9#*�������? �������! �� ���" %�!���������� �� 7��������� ���8 ���������� �� �� �� � ���!����� "���� � % ����������� 7@8 �����! � ��� ������! ���������� ������ ���� � 7��4� ��! ��������� �� 9� ��� 9� � � ��� ������� ���� � ���83 ��� ��� � �������" 9��� ����� ��� ������� �� ��� � �� ���� �! 7; 8�3 ��� ����� � ������ ������ � �� ��� �� � � � � ���������� 7��� ���� �� � ��������� 8 "����" ���" �! �4� I�3 ���3���� � �� �����������!� % � �������! ����� �! &�'��! � �� � ���� ��� ������ ������������� �� �� � 8�

� 7�� ���! ���������� "���� 8 ��� � �� � ��� ���� ��� ���*��� ��� �� �� ���������� �� ���3 ���� �" ���3 �����3 � � ���� �� &�'��!: ������ % �!�� �� �������! ���! ����� ��� �� �������3 ��� �� � � ��� �� � ����� ���� ���� 6� ��������� ����� 7,�-� 68 7-7,� � $-8 �5 68 �� � � ����� ��

9� 5 � 7; 8�9��� �,7; 89� ; -�9��� 5 69� 7 68

7� � ��� 7,�-� 68 5 7��� #8 � � ����� �� �������" � � ����� �� � � ���������!�� �7�8 ������! �������� �� � � �7#8 �����8 ��� ����� ���! . �� � � � � � � 9�: ������"���� �� ���������� �� � � ���,������� � �������0����3 ��� � ���� ����� �������*��� �!��3 � ���� � ������ �� ����� �� ������ ����� � � ����

& � ���� �����4 � ��������� �� &�'��!: ����� �� ������ � �� ���!3 � ������� � ��� ����� �� ���������! ��� ���� �������� �� ��� � � ����� ��� � �� � �*����� ��������� ������� � ��� ���� �� ���� ��� & ����� ������� �� ������CS� � ��0: @<# � ����� 7������" ������ ������ �� ��� �� ���� �������� � ���! � ����� �� � 8 � �� � � ���"��� �� ��! �������� � *���� �� � E����� ������ 7��� ������ ���� � 8 ���� ��! ��� �� �!��� �� �� 6 �� �� � ���� ���������3 ��� =� �����4�: ���� ������ � ����� � �� �3 �� ��� H7�$8 ��� ��"��������! ����������3 � � � �������4� � ����� � � �� � � ����� ������� �� ����� ����� �� ������� ���� � ��������"��� �

��6� � �� ������ C� ��� � � ����� �! � ���� ��������� ����� �����" � ��� � ������� ���������� � ��� 7����� �� �����! �! �� � ���� ��" � � �� 9���� ���?���� � �� ������! ������� ����� ���"��� ��� � �� ����!�" � � ���� �������� ���� ��� �� ���"��� 8 ��� �� � �� ������ �� � � ����� �� ������� �� �!�" �����*��� *�!�� ������� 7����� �� �����! �! �� � ����" � � �� ������! ������� ����� ��������� �� �!�" ��������� ������� ��� � �� ���" � �� ��� �� �! � � ���������� �� � � ��� �������! �������8� �� ��������� �� � � � ������� ����"���� � � ����� ������� ��4� � � ����� �� �� � �� � �� ,� � ���4�� �� ���� ����� ��

"'

Page 18: Periods Zagier

� � ������� � % � ������� �� ��� ��� � � �������

�7� #� � #� � � � � � #� �� ��� �����

8 5����

7$1; �8I71 8

��� ������ ����� ����� �� � � �� 7#8� % �����!3 � � �� ���,������� � F#�G3 ���� ���3 ��� ��� ������� 0��� ����� ��� ����� �� � ��� ����� 3 ��� � ������� ����� �� �� ����� � �! ����!�" � � ���� �������� ���� "��� � ���3 ��� �������� �� ����� ��� ������ !��� � �� �� � �� ������ �! -���� �� � �! �� ��"������ � 3 � � ��������� ����3 � ������ � ��� ��� � ��� ��! � �� ���

;�����

������������������

7�$��8� ���

���� � � �����

5 � 7����D D�8� 7������D D�8

����� � ��� �� ��� ����� ��� � � �����" ; J7��8 ��� ��� ��� ����� �! � �

��������� ��������7� �8

�

��

�

�; $�� � =�� ����" � 5 "��

;�����

�7� #� � #� � � � � � #� �� ��� �����

8 7�$��8� 5 ���

��

� ��

��5

�����

����

7$1; �8I7�$��8� �

�� ���� �� ������ �� !��������

% � �� � ��4�" ��! � �� ����� ������ � ��� ���� � ��������� �� � � ����� ����� �� �*������� � % ���������3 ��� ���,������� � �� � �� � 3 � ������� �� � � ��� ���!�" � ��� �� ������ � ���! ��� ��� ���� ��"����� "������! ������� ������ ��� ��� �� ���� �� ������� �� �� � ��� � ���" ���� C� ��� � �� � � ��� ����� � � � ������ % � �� � ��� ����� �� � � � ����� "�� � ����! �� � ��*������� �� �" � ������ � ���! ��� �� � � ���,������� ������� � ������� � �� ����� ����� �� ������ ����� �� � � ��"����� ��� ����� � % � ���� � ��� ����� �� ���� � ������ �� ������� ����" ���� ��"����� ������ � ���! ��� � � � ���!�� ������� ���� � �� �#�. �� � �� � � ���,������ �� -�� ��� +��������*�!�� � ��� ����� ��� ������ �� � � 9�" �* ��� ��? �� � � ���,������� ������� � "�� ��� � �������� �� � � �* ��� �� �� ������ ����� ���� � ��� �� ������ � ���� ������� ���"��� �� � ������ % � ���� ����� �� ���� � ���,������ ��� �� /����0� � ������ � � ���,������ ����� �����" %�!��� ������� �� �� �*������� �� � �������� ����� � � ����� ���� � � %�!��� ����� �� �� � ����� �����

&��� �(%�������� J�� �� � � �� � �������� ��� �� � �! ����� � ������ �� � ��� � ������! � �� ��� ��� � ����� �� ���! �� � � �� � ��,��� �� ��� ����L������ ���� 3 2��� ����� ������� 3 ��"����� ������ 3 ��� ������� ���� L����������!�� ������� ������ ��� ������� � � ������ � ��� ���� ��! � � ��������

"(

Page 19: Periods Zagier

�� � � � ��,��� ��� � � ������� ������� � ��� % � � ������� ��� ��� ��� ��� �7�8 5

��

� 7������"��� ��� �7�8� 68 �� � � �������" � ������� �� �������� �

78 % �! ��� � �� ���� ��� �� � � ��������7�

�8 � ��� � � ������� ��� ����

��� ���� ������ � ��� � � ��7; 8 ��� ���!����� �� 7��"�����8 ���"��������� ��� ���� ��"��� 7������ ��� � ���� ������ �� � � ��� � ���� 8� � �� ���� � ��� ��! � � �� ����� �� � � ��� ���� ��,��� ���� �������� �� � ������� �� ��

78 % �! ��� �� ��� ���,������� �� ��� �������� ������ ������ 7�� ���!�����! ���! ���� 3 �� ���"��� ����� �� �8 ��� � �������� ' ������ �� � � ������7�8 5 ���7. � �8 ��� ��� �� ��� ���"�� .3 � ��� ��7�8 5 �7�8�7�8 ��� ��� 9"���� ������? �7�8 �� � � ���� ,

����� H7

��7�; *�88 7, � 63 *� � �8�

71��� "�������!3 � � ��������� ������� ��! ��� � � ���� ���7�8 5 <���7.� �8� ��� �� ��� �� ��� � � �*������� � ������ �� ���� ��� ���� ��,��� �4�� 2��� ����� ������� ��� � ������"������ ��� < �� ��"����� ������ ���� ����� ����� 3 ��� � ��� ������� �� ��� �� ��� ����! �������8

78 % �! �� �! �� ��� ���,������� �� �� �! � � ����� ����� ���������3 �!�"� �� � � 0��� �� ��7�

�8 �� �� � � ��� �7�8 5 7. � 8���7�8 % �! ��� ���,������� �� �� �! � � ������ ����� ���������3 �!�" � �� � �

0��� �� �7�8 ��� �� �� ���"�� �� �� �� � � ��� �7�8 5 .���7�8 % �! ��� ����� ��" ������ ��� �3 ������� �� ����� 3 �� ���"��� ����� �� ��

% � �� � � ���� � � ��� �� ��� ����� ��� � ��� ��� �� � �� �� � � � �� � �� � � ������ �� �3 ������3 �� �� ���� ��� ������� �� �*������� ��� � �� �������� �

% � �� � �������3 �� ���� �3 � � 9E�����? 7�������! �����8 0��� ������� �7�8��� � �� � 78 ��� �� 5 ��� ��7; 8 5 � ; ��� ��� � 7�����8D 78 ��� ��

. 5 ��� �7�8 5 ����H7���8 7E�����8D � � ����� E����� !��� � 78 �����3� �� � � "����� ��� 7�8 � �����*������ ��� ���D ��� � � ����� ����� ��������� 7�8 ��� � � ���������

�7�8 5��

.� �7$8 5

��

@6� �7.8 5

��

@$(� �7<8 5

��

@$(6� � � � 768

��� 7����� ����!�� ���������� �� �7�88

�768 5 �

�� �7�8 5 �

�� �7�#8 5

�6� �7�(8 5 �

�(�� � � � 78

����� �! ����� � >#$ ��� >$@3 �� �������!� T���� "������0���� �� � � E�����0��� ������� ����" ���� ��"����� ������ � ���! ���� � ������� ��� ����� � � �@� ��� ����! �6� ������� 3 ������" � ��������� 7� ����� �" ����� �� "�������!8� � �*������� �7�� =8 � ������ �� � ��� ��� � ������� = 7 ��� 5 ��� . 5 83 � �����4�� 0��� ������� � 7�8 �� � ������ ���� � 7�� 5 F� � � G3 . 5 83 ��� � �&��� �*������� �7�� >8 � ������ �� � ����� ������� > �� 2��7� ��8 7�� 5 �� >��� . 5 8� C� ��� � �� ��� �� � � �� ��� ��� ���,������ ��������" � � ���������� �� � � � ������� � �#�#�

& ��,�� ����������� � �6� ������! ��� ���� �� � � ����0���� � �� � � �������*� �������� �*������� ��� �����! � � 0���*���� ���� �� � �� ��� ���� "��*���� ��� ��� ��� � ������ �� ��"����� ������ 3 � ������ � )�� � �� � ����

")

Page 20: Periods Zagier

���,����� �����! ������ ���� � 3 "��� � � � �� �� ������ �� � ���� ��������� ������������ ���!����� �� ������� � � � C� ����� �� � � 0��� ������� �! ����"

�!7�8 �5 ���

�� �����

�"��

87�"8��"

?

�7�8

� ��� 87�"8 ������ ��� ���� � ��� ���� � ��� ��� ? �! ������" � � �������� ������ �� � � ������� �����" � ���� � � ���� ���� �� �" ������� � �� � � �6*���� ���� �����! ������ �! �7�8 5 63 � ��� � �� ��������� ���!����� �� ������� ������� 3 � �� �!7�8 ������ �� � � ����4�� 0��� ������� �� � � ����������� �! ��,���" �� � � ���� �� � � �� � � *���� ���� �����! 7�����83 � ��� 4���� 7�! �� ��� �� B� � � � �� ������ ����� ��� �� C�� ��� � �� �������!"��� �8 � �� �!7�8 � � � ���� �7�8�7�� 8��7�� �83 � ��� �7�� �83 � � -���������� ������ �� �3 � �� ����� ������� �� � � ���� �� ����� � 78 7�� . 5 � ��� 5 ��8 ��� �� �� � � ����� E����� !��� � 78� �� � � �������! ���� �� 3� �� �! � � ���4 �� C��3 2��� �����43 ����43 ���"�� ��� �� �� �� 4��� � �� �!7�8 � � �������� ����� ������� � �� ���������" �������

�!7�8 5 ��7�8��7�8�� � � ������7�8�����7�8

� ��� ��� ��7�8 � ��� ��� ��� � � � �� ����� ������� ���" � � �������� � 78 ��� 78 �����3 �� . 5 5 ; ��� ����� �� � � 5� -��� ������ �� �� 1���"�������!3 � �����"! �� � � ��! � �� &��� �*������� �� � � � � ������ ���� ��� � � � � ����4�� 0��� ������� �� ������ ���� ���3 ��� ��� ����� � ��������� ������ �7@� �8 ���" �� ����� ������� �� � � �������� 78 ��� 78 ��� ��!������� ������ @ 79�����?8 �� � � �� �����"! �� ��

% � �������� ,� � "��� ,� ��! � � ������� �� � � ������� ������ 3 ���3 � � ������� ���� ? � 7�8� J� � � �� �� ���3 � � ,� ������� ��� ������!�" � � ������ ������ ��"�� ��3 ���3 ��� � � ������� ���� � � 7�83 ���� � ������! ���,��*�����3 ��� ���� �� � � �� ��� �������� 7����!�� ����������3 ��������� �������3E����� !��� � 3 �� ����� ����� 8 ��� �� ������ � "������ ��� ������ �� �*��� �� �""�� � �� 6� % ��� 3 ������3 � ����� ��� �� �*������� ��� � � "����� �������� ��� ������ �� � ���� ��3 �����! � � � �������� ��� ��������% � ������!�� � ��� � � ��� ��� ���

����� 47181� � ������ �� � � ���*

���� ���� Q7�8 5��

��� 4718�� ������ � ���#� % ������� � �� ����� ����*��� � � 78 �� 5 � ��� ��7; 8 5 � 47�8; ; ���; � 7� �� ���,������� �!E�����,�� ��� ������ �! 1������83 �� �� � ��������� ������� � � 78 �� . 5 � ��� �7�8 5 7��8�H7�8 7B��4�83 ��� �� �� � � ����� E����� !��� � 78 7���"��8� +���� �������� ��� ��� � � B��4� �* ��� �7�� �8 5

����� �1�

�� ��! B��4� �"������ �7�8 5��

��� ��� 7�� 5 �3 . ����� �� � � ��" � �� � 3��� ��7; 8 5 � �; ; ���; �8� J�� ��� �� � � ����� �� � �� �� �*������� �4�� � ������ �' �� ��� ������ �7+!���� �8 7� � � �� ����� ������ �� 5 #��� ��7; 8 5 7 � ���; 87 � 7�� � ���8; ; ����; �8 8 �� " �� !������ ������*������� � % � � ��� ����� ���� �� � � ����� �� � # 5 #�7�8 �� � � "������ )��"*���� �*������� � ������ �� �������� � ����� ������� �� ��"����� "���� # ����� � ����� � % � ������� ���,������ �� � � � ��� ���� � � +�������� ������3 � � �

"*

Page 21: Periods Zagier

� ����� � ���� � � �������� � �� � � ��� �� ����� �*������� ���� ���������� ��! �� �� ���������� ��� �� � � � �������� � �*������� � % � ��������!��� 4���� �� � �� � ������ ��� �� � � ����� � �� ��� �� ������� ������! ���*��� � ���!� ��� ���� � ���!3 � � � ����� 7������ �! �� ��� ��� + ���� ��� . 5 �3�! ���"�� ��� . � �3 ��� �! ���"�� ��� +���� ��� . 5 8 � �� � � B��4� �* ��� �7�� .8 �� � ��" � . B��4� �"������ � �����3 ��� � � � ����� ������ �! C�� ��� ������������ 7������ �! � � %��!���*C�� ���,������8 � �� � � �* ��� ����! ������ ����� ���� � ����� �� � � B��4� �* ��� �� � ������� ���� �� ��" � ��% � )��"���� ���"��� ��� ���! ������ � "���� �������� �� ��� � � ��� ����� �� ������ � ���!3 ��� �� � ����� � �� ����! ��� �� � � �������� 78U7�8 ��� �*������� � ��� � �! ������ �� ������ ������!� �� ���������3 � � ���! 4���� ������� � � ����� E����� !��� � 78 ��� B��4� �* ��� 79E�����,��*����� �� ���*,������?8 ���� ���� �����!�" � �� �� ����� �*������� 3 ��� � � ���! ������*������� ��� � � ��� ��� ����� � � ����!�� ���������� ��� ��������� ��������� ����� �*������� ��� � � � � � ��� 4���� �� �� �������� ��

&��� ����� ! ���- $� ���+������ �% �� ���� �� 7�� ������ % � ������� ����� �! ����� ��� ����� ����� �� �7�8 ���� ������! ����� � ������� 768 ��� 78�&����"�� �� ��� ��� ��� ��� ��� �7�� =8 ���� ������ � � � @� ������! ��� ���� � ����4�� 0��� ������� �� ������! ���� ���� � � � @.6: 7R��"��*+�"�� � �����8��� � ������� �������3 �� ��� �� �� ���3 + ����3 ��� 1���3 �� � � � � @.6: 3 ����� ������� �� ����" � � ����� �� � � B��4� �*������� �7�� �8 �� � ������� ������ ��" � . ��� � 5 � �� � � � � . � 3 ��� � � � �� ������ !��� �����"�� �� ��� ��������� ����� ����� �� � � !������ ����� �*������� �7+!���� �8 ��� �� ��� " �� !������ ����� �*������� ���� �� �� ������ �� �� � ������� ������������!��� @>@3 ���"�� F#G ���� � ���! "������ ���,������ � � �������� ��� �� � � � � ����� �� � � B� ��"�� �! � 4�" � ��� ����� ����� �� � �!�� ���� �� ���������% � ��"����� �������" � 768 ��� 78 ��� 7����� ���� � 5 63 � � ����� ���� ����� � � ��������� ������� �� �7�8 �� � � ���� �� � 5 ��� ���� ����������8� � �� ��� ���� ���"�� ��� � � ��"���� ��� ���"�� � �� �� �� ���� 3 � � ����� ���� � ��� ��� ��� ��� � ��� ������� �� � ��� ��� � � ��"���� ���� ���"�� ���� � �� ��� ��� ���"�� � �� �� ������ � �� � � ��������� ������� �� �7�8 � � � ������7�8 5 ��7 � �83 � ��� ��7�8 � � ������� �� �7�8 �� �7�8 5 ����H7���83 � ���� �� � �� � � � �������� ���"�� ��� ���� ��! � � ��� � ��� �� �� �7�8 �� �7� �8 � � ����� -� �� �� � ��� � � �� �� ������� 3 ���"�� ������ � � ����� ! ����� � 7�����8 �*������� �7�8 �� �� � � ���"�� ��"����� �� � �� � � ��� �� �7�8��� �7. � �8 � � ����3 � ��� ��� �7�8 ��� . ��� ������ � � 78 �� � � �� � �����3��� ���������� � ���,������ �!�" � �� � � ����� �� �7�8 7�� ��7�88 �� ��! �� ����������� � ���*0��� ��"����� ������� �� � � ���������� �� � ������ ����� � � ������ ��� ����� � % � ������ �������� �� � � ���,������ ��� ���� ���� � ������ ���! �� ���� � � ����� ����� ������! 7� ���� �� � � B��"� �������� �� � ��� �����"! "���� �� ���� �� � �� �����"! "���� �����" � � �*�������83 ��� �� � ����� � � �� ������ ���� � � ��4���� ��"����� ������ �� ��� �� � ���� ���� ����� � � ����� �� � � 2��� "���� �� � ���� � �

���"��: ���,������ � ���� ������ �� ������������! ������ � ���! �� � 3 ����� � � ��� �� ������� � � � ���� ��� ����� � =����� ��� 3 � ��� ���� ������ �� ��

#+

Page 22: Periods Zagier

�� ��� ����� ����� ����� �� �*������� � � ���� ��� �� ���� � � ������3 �� �������! ��� ���: ��� ������ �������3 � � �� ���� � � �� ��� �� � 5 �� � �����4�� 0��� ������� �� � ������ ����3 ��� � � ���,������ �� -�� ��� +��������*�!��3 � � �� ���� � � �� � ���*��� �" �������� �� � 5 �� � � �* ��� �� �������� ����� ���� � � �� ��� �� � � �3 � � 4���� �� ���,������� ������� ��� � � ����� ���� ��� ������ � ������! ������ � � 9��"������? � � ������ � � � ������������ � ������ ����� ����� 7�� ��"��� � �� ��� � � � �� � �� �3 ��� �� �" � ��������� ���� � � � ������8� �� � � ����! @<6: 3 -��� �� ���� � �"� "������0������ ���"��: ���,������ � � ������� ��� ���! � � � ��� ����� �� � 3 ��� ��� ����� ������� �*������� ��� � �� �����" ���*0��� �������� �� ��� ���"��� ����� �� � ���"�����3 "��" � � � ����� 7�"�� �� �� � ���*0��� ��"����� ������ �� 4������ ���� ����� � � 2��� "����8 � ���� �� ����� �� � � �����! �����" � � �*������� ��� �� � ��"������ "������0�" � � ��� � � � ��� ��� ��� ������ ���������� � � -�� U+��������*�!�� ���,������� & ��� !��� �����3 +� ��� F�G �� ������ �� � ��"������ ��� � ��� �� ����� �� � ���� �� ����� 7 ��� ���� �� � ����� � �� ����� � ������ ���4 �� -��� ��� �� -��� ��8� % ��� �� � ������������ ��-��� ��: ���,������ � � �"�� ��� ��� ��� ���� �� ���� ���3 ��� � � � � ���� �������� �! � � �������" �������� 7���,�������8 ��������3 � � � ���� � ��������� ��� �� ��� ��� �������� ��� ����" � � ��� ��� ������

#��+����� 8�� ����,7�� �����,��$� �� +� �7�8 � � ������ ��� ������� 1 ��

��������� ������ ��� ? �� ���� �� ��������� �� �7�8 �� � 5 1 ,�� ��"718 � �

�� � � ���� ��� ����� �� "�� � ������ �� ��� ������ �� � � ���"�� ��� -��� �����,������ 3 � �� � �#�( �� ��� ����� +� ���: ������������ �� � � ������ � ��� ������ � � �� � �� � � -�� U+��������*�!�� ���,�������

&�& ���� �� ������ %��� ������ ������ $���"� C� ������! "��� �����: ������� ��� � � ����� ����� �� � � E����� 0��� ������� � ������� 768 ���78� % � �� � �� ��� ��� �*������� �7�� =8 ���� ������ � �� � � ������ ����� ��� �� �� ��� ��� ��� ��"���� ���� ���"�� � �� = �� ��� � ������� 7��� � ��=7�8 5 �8 ��� �� � �� �� �� ��� ���� ��� ��"���� ��� ���"�� � ����� ����7�8 �� ��� ���� � ������� 3 ����� � � � "���� ������ �7�8 � � �� � � � � ����,H77�; 8��8 ��� �� � �� ,H7���8�

% � ���� �� � � � ����4�� 0��� ������� � 7�8 �� � ������ ���� � 3 �! � 5 � 7*8� ��� * � � ���� �� �� ��������� ���!����� �7�8 � �F�G� % 0��� ��������� ������ � �#�� �! ������� 7�8 �� 87�"8 7��� � ��� ����" � � � ������� ���8 ����� �� � � ������ �� ���� �� � � ������� �7�8 5 6 � � � ���� �� �" ������� �&� �� ! ���������� �� � �� � ��������� �� �!�" � �� � 7�8 � �� ������������ �� � � ���� "��� � 78 �� �#� �� ��7; 8 5 7 � ;��8 � � � 7 � ;�� 8 � � ���"����� ������ � �� � � ������� �� ��������� ���!����� �� ��"��� �� � � � � "� ��7�8� ����������!3 � � �� ����� ������ �� � 7�8 �� ���� � � �����" �� � ����� � � � 3 � � ������ � � ����� � ����� �� �� � � � ������� � % � ���������������� �� � 7�8 �� ������ �! B��4� 7�������" E�����: ������� �� ����" � � �������� � � � 1���� ���� ���� �� � � ��� �������3 � ���������� �� � � �������� �� � � ��� �� �#� � �� ��� 4���� ��������� ������� �� ����� �*������� ����� �� �� ������� ���� �� � �� "������0���� 8 ��� � . 5 ��� � "���� ������

#"

Page 23: Periods Zagier

�� � � ���� ,H7���8"�H7�8"� � ��� ?� ��� �?� ������ � � ������ �� ���� ��� ���*�������� 3 �� �������!3 �� � � ���!����� � � C� � ������� ��� � � ��� ������ ����� 7�0�3�� ��� ���� ��� ��"���� ��� ���"�� 8 � ��� � � E����� 0��� ������� � � ������!���� 7?� 5 683 ��� �� ������ ����� �� ��� �� �� � � ������ �� � 7� ������! ����8 � �� ����� �� R��"�� ��� +�"�� �������� � � � �� � ����� ������ � � �����"�� ��������� 768 ��� 78� �� ���������3 � � ����� �� � 7�8 �� ��"���� ��� ����� �� ���� ���*0��� ������� ������ �

% � �� � ���*������ �� � � 5 � B��� � � ��� ��� ��� ������ ������� ��������� � � �� � ����� ����� � � � �� ��� �� � 7�8 � �� ��"����� ������ 7� ����3 � � ����� ���� �� � ������� ������8 ��� � � ������� �� �"� �� � ��"������ � � � ����������� �� �� 7?� ; ?� � 8� 7?� ; ?� � 8 ����� � � � ����� ��� ��"��� � ����� �� � � % � ��"����� ������ �� � 4���� ���� ��! ��� ������ � � ��� �������� � 3 � ���� � � ���� �� � � � �����3 ��� ��� �������� �� � � ����� �� � � � �� �� ����

��� ���: � ����� �� ������ � � � ��*@� ������!� �� � ��� "������0���� 3��� ���,������� ������ � ����� �� � � J� � � ��� ��� ��� ��� ������� � 7�8 �!�� &��� �* ��� �7�� >83 � ��� > �� ��������� ����� ������� �� � � 2��� "������ � � 7% ���� ������ � �� ���4�" �� � 7�8 ��� ����! ����4�� 0��� ������������� ��� �����! ���! &��� �* ��� ��� ������ ��! ����! &��� �* ��� �7�� >8 ������� �� ��� ����4�� 0��� �������� % � �������� � ���������� ��� ���������������� �� �7�� >8 ��� 4����3 � �� � ������� ! � "������ ���! ���,��������8% � "������0���� �� ��� ���: ������� � �� � � /���( ���"�� �3 � � �! � ���7� >8 ��� ����! �� ������ � � � ������� �� �� ��"����� ������3 � ������ ������� �3 ��� � � ���������� �� � ����� � � � ����� ��� ��"��� � �� ��� � 7��� ��������� 3 ��� F�$G ��� F�(G�8 % ���,������ � ���� ������ � ��� �� � ��� ���������������! � ���! �� �� 3 ��� �� ��� ��� ���� � ����� � "������3 � � ��� �� � 4�������" � � R�����4�� ��� ������� � � � � ��� �� ���� � � � ���! �� ������� ���� �� ����� � � � ����� � ��� ��� ��� ������ ���*���� ���� ����� ������� � �������� ��"���! �������� ���� �

�� � ������� �������3 �� ��� ���4 �"�� �� � 7�83 ��� ��� �� �� �� ���*����������� � 5 1 7 �! �� ��� ��� ���"�� � �� � ������! ����3 �� �������! �� ��������� � �� � ���8� B��� �� ����� �� ��� � 718 � � ��"������ ����" ������"����� 7*� ���! �� ����� �! -���� � @>( F6G� % ����� �� � �����3 ����������� �� � � "������ ��*�� �������� � � � �� � �����3 ��� � ��� ���! ������ ��� � � " �� 7*"���� �� � ���� �� ��� ��� � 4���� ��"��� �� �� ������� &���� ����������3 ��� ���,�������3 ������� ��� � � ����� ����� � 718 �� "��� �! ����� � � ��� �� F#6G � ���� �� ����� ����� �� ��"����� ��"����� 7���� ���� ��!3 ����"����� �����"�" �� � 8 �� � � 1� ���!��"��� � ������� ���7�8 5

����� �

����=��� � �� � ���,������ � ��! �������� �� � 9���� ���? � � � �� � �� ���3 ������ -����: ��"������ ��� � � ����� �� � � ���!��"��� � ������� �����" �� � � ��" �% � ���,������ � ���� ������ ��� 1 5 � ��� # 7� � ������3 ��� �����3 �� ��� ����� &� 2��� ����8 ��� � ��4�� ���������! �� " ���� �� � ���! ������� �

J�� ��� �� � ������ � � � ��� "������0���� �� � � ��� ������ ������� �! ���4�"�� � � ����� �� &��� �*������� �� ���"��� ����� � 5 1 � 3 � � ��� �"�����,������� �� �� ����� ��� � ���� �� ���������� �� ������ �� ���!��"��� � �

##

Page 24: Periods Zagier

��� � � ��� ����� ������� � � � � R�����4�� ��� ������� � �������� ��� ������ ��� ���� ���� � ��� ������ � �� � � ����� �� � 5 1 �� � � ������ ���� ������

�#7�8 5�

�� � ��

A7�� �87#8

� ������ �� � �� ��� ������ ����! �������� ����A �� ���"�� ������� �����7�� �� �� ��"����� ������ ��� � ����� �� �8 �� � ����� ��������� �� ����� �� � �1� ���!��"��� � ��������� �� ������ ��"����� ��"����� 7� �� ������ ����� �� ��� � ��"���! �������� ���� ������ �! A8� & � �!���� �������3 �� ���

�

�� � ��

7��� ; �� ; #��8�5

.$��

�#�����7*8�

#���7*

�8 ;#

����7�*�8 ; ���7*

8� 7$8

� ��� * 5 6�>($<> � � � � � ���� ���� �� *�;*� 5 � % � ���,������ � ���� � ��4��� ���! �� � ��� � ���� ������ ��� 1 5 � �! &� )���� 7��� ����� 3 �� F##G�8

&�1� ���� �� ������ %��� ���� � %����� &"�� �� ����� ������ ����� �� ��& �� ������! �������� � �#��3 � � � ���� ����" � � ��� �������" ������� ��� � � ���,������ � F#G� /�� ��� � ������� ���� �7�8 5

���

� 7 �!3 �� � � ����������� "���� $�7���88 �� ��" � .� C� ���� � � �� � � B��4� �"������3 � � ��� �* ��� �7�� �8 5

����� �

� � �� ����� ������� � �� ����� � �#�� 7% ������� ��� � �4 �� � � �� � � 5 Q3 . 5 ��8 % � ��������� ������� � � � ������7�� �8 5 ���7�� .��83 � ��� ��7�� �8 5 7��8�H7�8�7�� �83 � � � ������ ����� � � � �� � �� ���"�� ��� � 5 � �� � � � � .�� J�� ��� �� 7� �" �� �� � � � ���! �� ��������!����� � ��������� �! �� ���3 + ���� ��� 1��� �� �� � E��4�: ��� ��8 � ��� ��� ��� ��� ���� ������ �� ��� ��3 �������" �� � 3 �� � �� � � ����� �� ��7�� �8�� ���� 7�� �� ���8 ����� �� � ��� ��"��������! ����������� �� �� 7�� �� ��8 ��� �� � �� � � ������� ���� �� ��"����� ������� �� 7�� �8 5

����

��7�; ��8����� � �3� � ����� �� � � ����� �� ���� �� � � ��� � �����3 ��� � 5 Q �� ���

� . > < @ 6

��7Q� �8 �����

�����

�����

�����

����

�������

��� ��� ��� ���� �� 5 6�6$.#$. � � � 3 �� 5 6�6$(>( � � � �� ���� 5 ���7Q�Q8� ��F#G3 ���"�� ���� � �� ���,������ ��� ���! ����������� � � � �� ��� 3 �� �����" ������ ����� ���"��� ����� �� �� Q3 ��� � �� � �� � ������ � �� � � ���������� �� �7+!�"Q� �83 ��� ��! ? ��� ��� � �����"�" �� � ������ ���� �� ������� �������" �� ?3 ��� �� ������� ������� �� ��� �������! "��� ������� � �3 �� ��� ��� % � � �� ��� ���� 4���� ��� ? 5 �3 � ��� � � ������ ����� ���� 5 �� $� � � � � �� ��� � � ������ �7+!��Q� �8 ��� ������� ������� �� ���������3��� �� ������� ��� " �� ? �� ���� ��������D � � �� ������ �������� ���������� ��� ? 5 # 7� ��� � � ������ ����� ��� � 5 <� @� � � � � �� ��� � � ����� ����� �������������� �� ��������� 8 ��� ? 5 $ 7� ��� � 5 ��� �$� � � � � #� ��� � � �*����� ��� ����������� �� ���������

��8 �������� ���"��: �������� �� " ���� �� ���

������� �������" ������� ��� � � �����! �� ���,�������#$

Page 25: Periods Zagier

���"��: ������ ����� � �� � � �* ��� �7Q� �8 ����� �� ������� � �� � ��*������� �� � ������ �*���� ���� ���� �� � � � �� �����"! "���� �� � ������7�������8 *���� ���� ��"����� �����! ������ � � R�"� �����!3 ������ � � � 6� ���� ����� �� � � ����� �� ������ ����� ���� � � ������� ����� �� ����� � �� ������������ "������ ���,������3 � � ����� �� ��� � � ������ �� ���� � ������� �����"��� �� ��"����� *���� ���� ���������� 7����8 *���� ���� �!��� �� � �����!� % ���� ����������3 ��� � ���� ��� �� ������ � ���� �� ���������!��!� %� �� � 3 �� ���� �� � � ���"��� ������� ��7Q� �8 5

���

Q7��8 ��� � � C�� �� � �� � ��� �� � � ����� �� ������ ����� � �� �� � ��� 7��� �������� 3 �!� � ����� ���3 "��� �! ������� 7>88 ��� � � � �� ����������0� ��� ������� ������& �� �� � ���#3 � �� �� ����� � � ������� ������� 67�8 7� � �8 ��� � � 7<83 ������� O�7�8 5 �+7�8� ��� O�7�8 5 �O�7�83 � ��� +7�8� � ������ ������� ��������� ��" � � % � ������� Q7�83 ���" � ������� ���� �� ��" � �3 ��� �� ������ � � � ������� �� � � �� ����� �� +7�8� ��� � ������� ������� 7� � ���� ��� �� ����7�� 8�8 �� 67�8 75 �8� +�����!3 � � ��" � � ������� ���� �� � � � ������� ��7+7�8�8� �� ���� �� ������� ������� �� �3 ��� � �" � ��� ���

��7Q� 8 5

�������

� �

�

O�7�8���O�7�8���� �7� �8 � 7 5 � �� � � � � 8 �

% � ��� �� ������ �� � "��

7Q�Q8�5

��

��

�7�8

��7�� 87�� �8����

���� �� ��� �7�8 �

� ��� �7�8 75 �� �� � � 5 ��; ���8 ������ )��� "�� ��� ��� � � ����5 ������

������! �� �� � ���������� ������ � ����� % �� �������! � �� 7Q�Q8 � ��C� ��� ���� �� ���*������ ����� � % � �������" ����� �� � �� � � ���,������

����� � �#�� ��� ��� �� �� ����! 4����3 ���� �� ����� � � � � �����

9$������ +� � � � �� ��� ��� �� ����� . �� ���� ��� � ,�� �7��18 � ���� ��� 1 . 7�� ��� �� ��� �� �������� ��� � 6 ) 1 ) .8

% �� ������ �! -��� �� F�G ��� 1 5 . 5 � �! � ��������� �� E��4�: ��� ����� �� �����"��� ���������� ��� � � � "������ �� � �! ����"�� ��� +� ��� F$G�! �� ����� �� �� � � ��� ��� ��� �� ��� ������� -��� ��: ����� 7��� �� ������!����� ����� �83 ��� ��� � �� �7�� �8 ����� ��3 �� �� � ����� �� �3 � � �������

����� ��������� �� ���"��� �� � � ����� ����" �,7�8�-7�8 � �� ,7�8� -7�8 � �7�8

��� � � � � � J� � � �� �� ���3 � � 1� ��� ��� ��� �7� 8 7��� 7$88 �� � ���*�������)������ ���!����� � 7�� �8 �� � ����� �� �� ���"��� �� � ���� 7�7� 8 ������� � ������ ���"���3 ��� ��� �� � � ��� ���"����� ��� �� ������ ��� � �" A�� ��: �������8� �� ���! �� � 3 ������" � � ��� ������� "��� �� � � ��� �� ���3 � ���� ��� � �� � � 1� ��� ��� ��� �� � ���!����� � � � ��� �" ����� �� ������ ��������� � �����3 �� �� � ����� �� �3 �� � ������� ������� �� � � ����� �� � 5 � �� � ��* ��� �� � ������ C� ����� � � ������ �� FG ��� F�6G ��� ���� ����� ��� ���!������� �� � �������� ����������

#%

Page 26: Periods Zagier

��� . 5 3 -��� ��: ��� �� �� ���"�� ����� 3 ��� � ��"� �! � �" E��4�: ��� �� �� "�� �� ���"��� ����� ������� �� �7��18�7�� 83 � ��� ������ ��� � 3 ���� ��" � � ��� ��� �� ������ ����� � �� � �� �"������ �� ��" � 3 � � ����� �����"�� ��� +���� ���� � � �� �7�� �8 ����� �� � � &��� �* ��� �� � �*���� ����2��� ����� ������� >3 � �� ��� ���4 � � � ������ �� �#�# ��� � � ���,������ � �� �� � ��� �! � �� �7��18 ���� �� ����� ��� � ���� �� ����� �� � � 1� ���!��"��� � ������� �� ��"����� ��"����� � ������� 7$8 �� � ����� �� � 3 ��� � � ������ �������" �� � � ���� ,� � �7�� #8 ��� � � ��" � � ���* ���

�7�8 5�

��� ����������� � �� "������3 � ������ � � ������� ���� � � � � ��� ���

� ������ �� � ����! �������� ���� A3 � � �� �7�� �8 5 �#7�8 7� � � ��� � � �*������/1 ���� 3 ��� ����� ���� �� �*���� ���� ����� ������� > � � � ��"� � #�7�� � 8 � � ����� "����83 � �� � ���������� � � �� ����� � �> �� F##G ��� ��� ����

�7��18 � � �� �� ���"��� �� � � ����� $%%��7�8A7�8

��� �3 � ��� * ��� B ��� /1���� 7��� ���#8 ��� %��7�8 � � ������� � � �� ��� ��� �� ��" � �1� % � ��� ��� �� � � �� ����� ��� �7Q� 8 � �� ��� � ������ � � � ���"��� �������! � ����� � % ����� � � ����� � ����� ��� ���� �� � �!��3 ��� �� � � ��� ������� � �� � � " �� R�����4�� ��� ������� � �� �� � � � �� � �����3 � ��" ��� ���,�������3 ��� �� ��� � 9���� ��� ������ ? � � � �� � �� ����

&���!�" � � ����� � ����� 7�� � � ����� � �� �� � . 5 8 �� � � �� � � �� �7�8 � � � ���* ��� ����� �� �� � �������� ���� � �. ������� 3 �� ����� � � �������"

#��� �"� +� A7��� � � � � ��8 � � ������� ����� ' ������� ��� �� �� �� � ���� �������� ���� ������� �� � ,�� �� ��� � �� �� ������ ��� � ������

�#7�8 5�

���&&& ��� ��

A7��� � � � � ��8

�� ��� ������ � � �� ����� �� �

:������� ��� � ��� �� � ��� ���� � �� ��� ������ �� ������� K �� ���������3��� � � �������

�� �� � ��

7�� ; �� ; ��8�5 .�(#�#(@(@>...@.$#<@�>6$(@�<<><(>$#<#$�@ � � �

�����" �� �K& ��� ���� �������3 �� ��� ��� � � �� � � �� � � �* ��� �7�� �8 �� � B��4�

�"������ �� ���� ��" � . ��� � �� � � ������� ���� � 5 .�� �� � � ��������� ����*���� % �� ��������� ����� � � � � �� � �� � � -�� U+��������*�!�� ���,������7��� �#�(83 � ��� . 5 � ��� � � ����� �� ��� �" ���,������� �� �� ����� �� � � ���4�� � � 1������*C�� "���� �� � � ����� ����� ��� �������3 ��� ��� ����� � �������!��" � � � � ��������� ������� �� �7�� �8 � � "� �� �� � ������ �� ����

9$������ +� � � � -�( ������ �� �� ����� .� ���� ��7�� �8 5 ���7�� .��8

,�� �7�� .��8 � �

% � ����� ������ ���� � � �� ��� �� F(G3 � ��" � ��� �������! ����� � ����% � ��� ��,��� �� F(G �� �� ����� � � -�� U+��������*�!�� ���,������� ������� ��

#&

Page 27: Periods Zagier

�� � ������� ������ ��� ������ ����� � ��� ��� � � ����� �� ��� �" �� � � �* ��� ��� � � 1������*C�� ���4 ��� ����� �� 3 ��� � � ����!�� ���� �� � � ����� �������� ���� �� �������! ���� ��" � . ��� "��� �� ����� �� ��� �7�� .��8 � � ���� �� �� ��"��� � �� ��"����� ����� ��� ����� ����� �� /1 ���� �� ������ " ��*��" � 2����: ������� #��7��� ��8� % � � ����� ����� ��� � ���� �� ����� ��� ����� � -� �� � � � ����� ,� � �����3 � � ���� �� ��� �������� �� F(G��� F.G � ���,������ �� ���������� �!�" � �� � �� � � ��� � ��� ��� �� �� ����� �� ��" � .3 � � ����� �� � � 2����: ������� �� �������! /1 ���� ���� ����"����� ������� �� ��"��� � �� ��"����� ������ � % � ���� � �� � � � ����� ����� ����� �� � ����� ��� ��4� � ���,������ 9���� ����? &� ������� �� � 7�� � � � ����* ��� �" �* ��� �� ����� ��� � � �������� ��� � � �������� ����� ���#�7�� �

��8��� ��� � � ���� ������� "����8 � � ���,������� �����!

�6#

�; >�<��

� ��

%�7��8Q7��8

%�7��8�7�� � �8 �

�5 ��"

�> ; @��

�>� @���

� ��� # 5 � #�� ; (�� � � � � /������: ��� ���� 7� ��� � �����8� % � ������� �������� � 5 67��8 � �� � �� ��� � � ������ ����� �� �7Q� 8 ��� � ���� � ����"��� �� � � ����* ��� �� �� � ������� � � ���� ������� �� � � ����� ���"���� ���

�

��7�� 8�7�� � �; 8

7�; 8�7�� �8�7��� 8�O�7�8

� ; �O�7�8� � �

�� O�7�8 � � 7<83 ����� � � ��� ����� �� ��� � ������� �� "�� �� ���������! ������� � � �����! � �" ���! � � ���� �� ������� 3 � � �� �� � / ����� �

&�6� 9$� ���+����� �% 7���$ �� ���������(�"��� % � -�� U+��������*�!��7-+�8 ���,������3 ��"����! ���������� � � � ��*@.6: �� � � �� �� ����������������� 3 ��� �� � � �� � �������� ��� �� � ���"��" ���� ��� ��� � ������� ���! ���3 � ������! �������� � �#��3 �� � � �����" ���� ��� �������" ���������� -��� ��: "������ ���,������ ����� �* ��� �� ���*������ ��"����� � �� � �����L� � ���"� � � � ����� ��� � � ���! ��� �� ������ � �������� �����L�� ��� ������ � �������� ��� �� �� � ��� �� �������� � � ���� ������" ���!����� 3 � ����! ��� �����" � � �������� �� � � � "������ ������������ �� -��� ��: ���,������ ��� �� +� ��� � � �� �������� � �#��� % � ���������� �� � �������� �� � �� ��� � �� ���������! ��� ������ ����0���� �� � � ��� �� �� � � -+����,������ "��� �! -��� � F<G� C� ����� �4� �� � ��4 &� 2��� ���� ��� �����" ���� � �� ���! �� � ���������! ���������

C� �� � ������ � � -+� ���,������ � � ��� ��� ����� )�� % �� �� ������ ����������� ���� � 3 "��� �! � C��� ��� ������� �� 5 ��;,�;- �� ,� - � �� �� �*������� �7%� �8 ������ ��� �7�8 � �

� �! �� ����� ������� �� � � ������ ��7�

�8��

� ��� ��7�8 7��� ��� ��� �����! ���! �8 ����� � 78� � �8� ; ���3 � ��� 8� � � ������ �� ������ �� �� 5 �� ; ,� ; - ������ �� �� ? ������ � � ���4 �� � �1������*C�� "���� %7�8 74���� �� �� �����! "�������� �! 1������: � �����83 � ��� � ���,������ � �� � � ������� �7%� �8 ��� � �� ����� ���� ��! ? �� � 5 ���� ��

��"7%� 8�5 ( � O �C � 7(8#'

Page 28: Periods Zagier

� ��� O 5�'��

��� � � ���� �����3 C 7� � �� �����8 � � ���������� �� � �

�" � ����" 7 � 8 ������ ����� �� �� ���� �� � �*�� �� %7�8�7��� ��83 ��� ( � ������ ���*0��� ������� ������ � � � ���� � ���� ������ �! � � ���,��������� ��� �� �� �� ������� �� � � J� ���� �3 �� ��4� �� � �� � 3 �� �� � �� � 4���� �� �7%� �83 ������ �����! ��� �7�8 � �

� 3 ������ ������� ����! �� ��� � 7�� �� ��� ��� � 5 8� % "��������� � � � ������ ����� % �������3 � � ��� �� � ��4��� �� ���������! ��! ��� ��! "��� ����� ��� ��� 4���� ������������! � ��4 ��� � � ����� �� C�� �� ���

% � �������� �� ���� �� ����� �

9$������ ,� ���������� ��� �� 7(8 ������ ��

C �� ����� � � ����* ��� ��K C� ��������� � � �������"

���� �� 1� /��� ���� �� � �� � -�( ������ �� �� ����� .� ��� ? �� �� ������ ��������� �� �7�� �8 �� � 5 .��� ��� ��"7�� .��8 � �

% � �� ��� ����� � � � �� � ����� �� � ��� � � �� � ? 5 6 �� ? 5 � �� ��� ���������� � � "������L� � ��! ��� �� ��� �� ���� L� �� ������" � �� � � � ���������� ����� ���� � � ������! �� � � -+� ���,������ ��� �� 9���� ��� �����!? � � � �� � �� / ����� ��� ����� � � "�� ���3 � ��� � �����3 � �� �� ��� � � ��! �� ������ � ���� �� � � ���,������� ������! ��� ��! "��� ������ ������ C� ��� � 0� � �� � ��� � ��� ��� � ����� ������� � �� �� ���4 ? � ��� � � 7(8 4���� ������!3� ��" ���! �� � ��� ���� � ��4�� ���������! �� " ���� ���

-����� �����" � � � �����3 �� ��� ����� � �������� �� � �������� ��������)�� % �� � � ������ ����� �� 5 $�� � $� ; �� ��������� #>3 � � ����� �� ����� ���������� �� ����� 1������*C�� "����� +��������!3 %7�8 ����� �!���3 �� "�������� � 5 76� 8 ��� �������" � � ���� ��� ������� � � ����

� # $ ( . >

� 7� 8 7���8 7���(8 7�� ���� 8 7.� �@8 7�

� �����8

% � ��"������ ����� 7�� � 8 5 �D7� 83 � ��� D7� 83 � � �������� �" �3 ��� �� ������� �����7��"8�8�

�3 � ��� 8� � � ������ �� � � �� ����� ����� �� � � �����*���� ��� ���������� �� � � �*��������� �� � � 7& ���� � ���� ������� �� � � �" �����" ��� �� "��� ����� � �� �� ����� � � � ������8 =��������! �� ���

O 5

�'��

��$�� � $�;

5 (�@<.@>�@ � � � � C 5 7�� � 8 5 6�6($6<� � � �

��� � � -�� *+��������*�!�� ������� 7������ � � �� �8 �! � ��

�7%� 8 5 OC 5 6�#6(@@@>># � � � �

% � ���� �� ����� ������� �� � � �" �* ��� �� �� 7(8 � � ����� "��� ��� �!

OC 5

��������

����

��$�� � $�;

����

� �

$�� � $�;

� �

�����

��$�� � $�;

���

� �

$�� � $�;

� �

��

�������� � 7.8

#(

Page 29: Periods Zagier

C� ��� ���� �� � � ������ % � ��"������ � 7(8 ������ � � � ���������� ��� � ? � ? ����� 7��� ��83 � ��� ���� � �� �� � � ���� �*������ %7�8V7��� ��8�C� ���� �� ������ ��! ������ � ������ �! ��� � � ������ � ��� � 7��� ��"������+����� �� �" � ��� +���8 ��� ��� ��� � � �" � ����" 7 � 83 ��� ��" � !������3� � ����" ���� � � � �� �� % � ��� �� ��� ��������" � � !�����! � �� ��

��� "��" �� ������ � ��� � �� ���"�� ������ �� ��� ��3 ������� �� � ��� � �!

6� �� �� � � � 6 � 6� �� �� � �� 6 7>8

��� �� ��� �� �� �! � � �� ����� �� �� �������� �" � ����" �� � �� � �3 ��� � �

��� ������ �� ��� �� ��� ��� 7� ��! �������� ��!8 ����� � �� ��� ���� ��� J��"���3 ���� ���� � � �� � � �������� �� � � � ����� � "��� �����3 �� �� � ��

� � ������� OC � 7(8 ����� �� � � �������� ��"������ �C ������ � � � ����������

�� � � �������� �" � ����" �� �� ���� �� �*�� � �� �� ��� ����� � �� ������ � � ������� �� � � � ��� �" � ����"� �"����" ��� �� ���� ���

��3 �� ��� ���� � 5 � � � � ������� �� ���7%��83 � � "���� �� �� �� �� %�� ��"��� 6 ������ ���� � 3 �! � � ��"���� ���7%��8 �5 �7%8���� �� ��������� �� � �� / 5

�� �7��8 7� � �3 �� � %7� 83 /( 5 / ��� ��� 2 � 2��7� �� 88 ���

/ 5�

� �7�

�8 ��� ��� �� �� �� ��"��� 63 � ���� ��� �����! �� ��� � ,���

������3 � �� � � 7"�����8 �" � ����" 7/�/8 ����� �� � � �� �� � � ����� ������������� 7/�/8) � ��� E ��� ���� � � ����� �� � 3 ���3 � � ���� ���� ��� � � 9������� ����!�? % � ����� �" � ����" ������ �! � � ���������� � �� � !�������/ ���/3 ������ �� � �������� ������� �� � � �� � � � �*��� �� ������� ������"!�� %3 ��� "��� �! � � ������� 7/�/8) 5

�� � ��" ��7��8�) � / 5 7�8 � �������

�� ��� % � ������ ������� �� � �� � � �� 7/�/8 ��� � � ��� �� � � �� �� ������� 7����� � �� � � ������� �������

�) � � �) 5 8 ��� � ������� ���� ������

�� � � ��"������ ������ � 5 �3 ��� �� � � ��� ��� � �� � � ����� ����" 7 � 8)��� ����� 7����� � � � �������� �� ��! ��� � ��� ����� �� � �������� ������������� ���� � � �*��� �� ������� ���� �� � � A������3 � ������� "����3 ��� �

��� ���� ��� 8� ��� � � �� �����3 ��� � �� ��� � ����� ������� �� �!�" � �������� � % ���� ��� ���� ���� �! ����" 7/�/8� 5 7/ �/8� ��" � � � ��"�7 ��� 7/ �/8�3 � � ����� ���� ����� ������3 �� ���"�� ��� ���" �� � �� ������ � ����� �� / ��� / ��� ���"����� �� ��� ���� �� ������ � �� ����� �� �3 ��� ��� � ��� ��� ��� �����! ���! �83 ��� �� ����! �! ����" 7/�/8� 5

��

� #*7�

�8� B���

#*7�8 � � *��0� � ������ ����� �� �� /3 ������ � � � ����� 7�� �� �� ��������� ���� � � ���� ��� ����� � � ����" �� /8 ������ ������� �� %7� 8 � �/�� � �� �� #*7�8 5 � ��" �� � ��� ; J78 � ����� ��������� ���� ��� C� ������ ����� #*7�8 � �

� ���*3 � ��� � �7�8 �� �������! �� ����� ��� �* �

�������� � *���� 7���������8 �� � �� �!�"

78 �* � � ���� ���� �� �� ��� � �� �� ��� �� �� �� ���� D78 �* ������ ���� �D78 ��

'���*5 6 �

% � �� � �������3 � � �� ��� ����� � ������� 78 ��� 78 �� �* ���! �� ��� � ������ �� � ���� ������� �� �� 5 ��� ��� ��

'�� ��5 O �5 63 ��� ���� ��!

����� � � � ���"���� ���* ������ ���! �� �� � ���*���"��� ������� ��

�'��

�*#)

Page 30: Periods Zagier

7�! 78 ��� ����� � � � �����"! ��� �� %7�8 �� � ��� � � "�������� �� � ����� �� &�7%7� 8��8 ���� �! ������� ���,�"����83 � � ������ ��� ��� � � �� ���� � �� #*7�8 ��� � � %7�8 �����" �� O��� ������3 ��� ��* �� � ����� �������� �*���� �� �!�" ������� 78 ��� ������� 78 �� 9�? �������� �! 9� 3? � � �� ��� ����� � � � �� �� / ������ ���� � � 7�� �� ���� �� "�� � ������ ��� �� � ��

�����! � � *������ ���� � �� �� ����� �� �����3 �� � ���� ��� �� ������ �* �� �������� ���� � � � ='���� �����3 ��� � � ���� ���� ��� ��� �� "������8 % ���* 5 ��*;6�� ��� ��� 6 � � �! � �� �� �� ������� % � ������� 6 �����������! ��

'����*; 6O 5 ��

'���*5 63 �

#*7�8 5

O

�������

'���� �� �

���

��'�� �

�*

�� ����*����� �

O � � � %7� 8 7<8

� ������� % �� �� � � �� 7/�/83 � � � � �� �� �����! ���! ���� #*7�8��� ��" �3 �����" �� O���

C� ��� ��� ��� ����� � � ������ �� ��� �� ��� � � ����" ������� � ��� ��� ���� ��4� � � "���� �� ��� �������� � *���� �� %3 ������ ���� � 7�� ��� �� �8 ��� ���" ���! ���� ���� �� ���"��� �� ��� 3 ����� �! � � ��"���� �� *����

��� �� � � � 7%8� � % � ��� �� � � � 7>8 "��� �! � �����" �� � *���� �� � �� �� E� 7�8 5

�� �7��8 � ���7%��83 � ��� ���� ��� � � ���� �� � ��� ���

� � ����� �����" �� ��� 3 � �� � � ��� � � �� ��� �� ��� % � �� �� ������ �� ������ � � � "���� �� �����"! ��� � �� 7�������8 *� �� � �� %7� 8 ���������� � 7���3 ������� �� �� �����"! ����� ������� ���,�"����8 � � � �������! ������ ���� � 3 ����� �! � � ��"���� �� ��� � B��� � ������ � 9���? � �� ��� ���� ������� � ������� F �� %7� 8 � ��� � � � ����� ,��� �! 1 � �� ��� 7�������� �� �" �3 ����!� �" ���" �������8 � ��������� �� � �� ��������! 13 ��� �� � �� � 5 ����+ �������� � �� %D � �� � � �� �� G�3 � G� �������3 ��������� ��! ��! � � �7%8���� � �� � ������ ��� � � ����� �� �� �����"!3 �

� � �������! ��� � �� G� ����� "�� � ����*������ ��� �� � %7�8�7��� ��8 5 � �% � ������" ��� �� �� ������ �! �� %7�83 ��� � � ����" �� � �� � � �!

7�� �8 5 ����;E� 7�8� G�

�� 7@8

� ��� 7/�/8� 5�

�7/�/8� � ��"7���8 ������ � � ���� ���� �� � � �" � ����"

�� ��� �� �� / ��� /� C� ����� �� � � ������ � � �� 4 �� � ��4�" � �� � ����" ����*������ 7���3 � �� � ��� � � � 5 ��� �� � � � ���8 ���3 � �" 7<83 � ��

� ���������� �� �� ���� �� �� � �� �� ��� �� 7�� ��! �� �� � ���� �������������� ����" ���� � � ������0���� 8 ����� �� � � ������� �� O ��� C� % ���

� � ����� �� � � � ������ % � ����� � 7.8 � ����� �� � �� � � 7 �� � ��8*����"3�� � � �� � �� 5 ��� ��� �� 5 77�� 8���8�� �� �� ��� F�#�� � G ��� F����$� G ���� ��������! � � �� �� ��4� � � ���� �" � ���������� � 7@8 ��� �

C� ��4� ��� ���� �����4 � % � �� � � �� ����!� �" �� ����� ����� "� � ���" ��� ��"�� � % ���� �������� �! � ����� �� �������! "��� �3 ��� �� ��� �: � 7>8�������� �! �,3 � � �� � � �������� ��"������ � � �� � ����� �� � � ����������

#*

Page 31: Periods Zagier

�� �� 7? ; �8� 7? ; �8 ������ % � ����� � �� � � ������ O 5�'��

��3 ��� ����

"�������! � � ����� � � � ����� ������ ������" ��� ���"��: ���,������� ���������� �*����� �� ������ ����� 3 � 9���� �����3? � �� � � ����� ������� � 7.83��� ���� "�������! � � ����� � � � ����� ������ ������" ��� � � -��� ��*+� ������,������� ������� ��� ���*������ �*����� 3 ��� 9���� ����� �? % � ���� 9����?��� 9����? ��� ��� ����� �� �""� � � �� � � ������ � ��� ��� ��� � � ����� �� ���� ��� ���� ����� 3 �� �������! 7��� � � �����4 �� � � ��� �� �$��8� % �! ���� ����� ��� �� ����� ���� ��! � �� ���������! ��!� &���" � � ������� � ��3� � ������ �3 � � ������ ���"��� ��� H7���8� ��� ���� ����� 3 � �� ��"��� � ����"����� ������ 3 ������� 0��� ����� ��� 1� ��� ��� ��� ��� 7� "������8 ����� &���� ��! ��� ��� ����� ������� ��� � ����� �� �� ���� � �� ��� ��� ����� ���� � �� ���"��� ���� � ��� �� �!��� 7��� � �� �� ��� �������!8 �� � ��� �� ��"�������������� ���� �� � ���� ��"����� �����! ������ ���� � �

&�; ��� ����� ��������- $� #� ��* ���+������ % � -��� �� ���,������ ������� ���! � � �����" ������� � � � )������ ����� �� �� �7�8 �� ���"�� ����� � 5 1 � �� �� "������3 ��� ��� ��� ������ ��! ����� ��" ������*� ������ �������!��� �������" ������� � +���3 � ��� ��� ��� �����4���� �������� � ��� �������3

�7�8 5 �

�; ��"

���

�� �; H7��8� ��6

��3 � � ���� �""� ��� ����3

��" �7�8 5 ��"7���8 ; ��"7��8 � �;H7��8 �

#��+����� <��=� +�> � 2��7� ��8 � #�7�� 8

� � ����������� �� �� ����� � *����� ��� � � �� ����

>7����# ���" ������8 5 ����� �

,�� �� ���������� �������� �� �� 1���� ��� ������ �7>� �8 �� � 5 6 �� � ��������� ���������� ���� ������� �� � �� ��������� �� ������ �� ������ ����������� ����# ������������

�� 7� � ������! ��"���! �������� ����� �� �� � ������! ���� ������ ���� 7�

7���3 7� 5 � 7*8 ��� 7� 5 �7�*8 ��� ��� ��"����� ������ * ��� �� � � � ���,�"���

��� ��"����83 � �� � � ���� �� ����4�� 0���*������� �-�7�8��-�

7�8 �� �*��������� � � �!�� ��� ����� � � � ����� ���,������� �� � �� � � � ��"��� �� ���������� � 5 6 � � ��"��� � �� � �"�� ������ ��� 7� 5 � � � ��� ������� �� � �/ ����*+�����" ������� �������� �� � � ��� �� ���#�

/����0 � ��� ������ ���,������ � � � �� � �� ������ ����� ������� 7� ����� ���� ������" � � "��� ��� �!������� ���� 8� �� � ����3 � ������ �� 4���������� ������� ����� �� � � "���� ������� �� ������� ���� ��� ����� � �� ��� � �� ����! �����! � ��! ��� �� �� ����� � � �����! �������� �! � �/����0 ���,������ ��� ��! ��������� ����� �������� W��� �������! B� X� �� � ���������� ��������� �� /����0: ���,������ ��� ������ ��� ��� " �! ���*������������� ��������� � ����� ��������� �� � F�<3 �@G�

$+

Page 32: Periods Zagier

�� ���� "� ������ �� �����

1��� 9$� ���� �% ���� �������� �� � � ���� ����� �� � ����� �� ��� ����� ���������! ������� �� ����� � ���� �� ����� � �� ����� �� �� � 3 �� ���� ����� 9 ������? ������� �� ����� � �� � � ��� "��� � / ����� �

)�� � �� � ���� ��"����� �����! �� ���� �� ������ ���� � 3 / � � � �� ���� ������ ��� �" 7��� ������! / ���4 �4� � ��������� �� ��������� !��� ������ 83� � O�7�8 �� ��"����� ��������� ���� �� � �� ��� ��"��� 7 � � �����������!��� ��83 ��� � � &�7�7� 8� /7� 8D� 8 � 7 �����"! ��� �� �8 �"���� � �� �� � �������� ������� �7� 8 �� �������! �� � � �� �� /7� 8� C� �! � �� � � ���"����.� � � � � ����� �� � � ��������� 7��/� �� �8� J�� ��� ����! ������ ������"���

���"��� �� ��"����� ���� ���� ��*��"����� �� ������ ���� � � ���� �� ��"����������� � �� � � ���� � �����3 � �" � � ������� �� �� ������ �� ����� �� � ��� � ��� ������ �� �"������ � � ������� �� 0����

��������� % � ���� � �� )���� ������ ������ � � ������ ���� ���� � "��*������ �! � � !���� F7��/� �� �8G ����� ����" ���������� ��� � �� ��������� � �����3 ������ � � �������" ������� �

78 7������!8 F7��/� �� �8G ����� � ��� � ��� � �7�8 7� ��"� �� ������� 8 �� � � 7��� /�8�7��� /�8 � ���� � �� ��� ������

���� � 3 �� � &�7��7� 8� /�7� 8D� 8 ��� �� � O�7��8 � ��

F7��� /�� ����� ��8G 5 F7��� /�� ��� ��7��88G �

7#8 7+��4� �������8 ������ �! Y/ � � ������0���� �� / 7��� ������! � � �

� ,��� ���� �� ��������� ��������� ��/83 � � �����! Y/ �������" � �� ��

�� ������ ��� �" Y/� ����" ���� ������ ���� � /� �� B � O���7�8 ���� � &�7�7� 8� /7� 8D� 8 � ��

F7��/� B� �8G 5 F7 Y/� Y/�� B� �*� G�8G

� ��� G � &�7�7� 8� /7� 8D� 8�&���7 Y/7� 8� Y/�7� 8D� 8 � � �������! �����*����

% �� � � ��"� �� � � ��������� ������� � F7��/� �� �8G �� �.� ���� � �� �

���� ��! � � �� �� �������� ����� 3 ��� /��,������ ���� ��� ��������� ��

#��+������ ,� ��� ����� ��������� �� �� �� ���������

��� �������3 � � 74����8 ���� � �� � � ������ � ���� ��������� ������ ���� � ���,������ ��� ���"��: � ���! �� ��" � �

% � ���� �� ������� ����� ���� �� ��"���� ����� � � � ������� �� ���"��� �"�� �� ���"��� 7���� �������8� �� ��������� �� ������ � � ��"���� �� �������

����� �� � ���"�� ��"���� �� �! ������" �������! � � ������� � � � ��������� � �

���� ���������!3 �� ��� �! � �� � � � ��� ��"���� �� �� ����� ����� �� �F7���8��G�% � ����� � � � ��"��� � ������ � � � /����0 ���,������ ��� �������� �������

� � � �������� ��"���� ���$"

Page 33: Periods Zagier

1��� 9$� ���!�� > ��� ������ % � ��"���� �� �� ������! "�������� ��"�������� � 3 ��� �4� ��! ��"���� � �� ������� ��� �� �����! "�������� ����"���� �

% ���� � �� $��(7��8 � ���,����� ��� �� ����*���� ���� ��� � ��� ����

� � C� ���� � �� $��(7��8 ����� � ������� �������� �� � ���*��"����� ��� �� ���� � �

& �������� �� � ��*� ������ ��� �� 7��� � ������� ���"����� ���� �� � "���� #8�� � "��� �� $ ��� �� ������� � � ���3 $��$3 � � ����� ��! ���������� �� $�� � � #* �� # ���4 �4�

7�� �� �8 �� � � ��� � � �

��� � ���*��"����� ��� ��3 � �� � � ����� ������� ��� "�� � � �� � ����� ����������� � � ��"���� �� ������� �7�8�

C� ��� �� ���� � � ����� ��������� �� � � ��"���� �� �� �� ����� ����� � )��7��/8 �� � ��� ��� ��" �� � ���� ��"����� �����! ��� � �� �� �� ��������� �" � �3 ��� ������ ���� � 3 � ������ )�� � � ��� ��� �����! � �� � ���� 7Z �" � ����*4���� ���4 �� A�������� F@3 )���� �(G3 �� ��� ����! �������� � �� ��8 % � �������� � ��� ��������� "���� &�

�� ����7��/8 ��� � ���� ������ � � � �� �����"! "���� �� � � ������� O�7��/8 ��� ��" �� ��"�������������� ���� �� � ��� �" �� /� % � ����� ����# 7���8 �� � � ��� 7��/8��� � �� ����" ������� ��� � �����" � ���" � �� 7��8 � &�7�7� 8� /7� 8D� 8��� � �� 7��8 � &�

�� ����7��/8� �� ��� �� ��� � �" ������ �� ��� ���� ��"�����"������! � �� � � ����� ����� � ����� ����� �� ����� � �3 ��� �������������� � 7���8���� % ���� � �� � � ���� � ����� � ������� � � � ��������

��"���� �� 5 �F7���8��G�C� ��� ����� � � ����� ��������� � �� �! � � �������

Q7���8 �5���

�� � 7���8� � ���

��� ��! ����� ����� 7���8�

& �� �������3 ��� ��� � � ��� � 5 � �� � �6� ��� / �5 �� �� � �� % � �� �� &�7�7� 8� /7� 8D� 8 ��� � �� � � �����"! ��� � �� � �������*����4� � ��� ���� ���� ���� ������ 0���3 ��� � � ������� �� �5 F� �G� % � �� �� &�

�� ����7��/8��� � �� �� �����"! ��� � �� ���� �� 5 ��� � ��� �� 5 � � ��� � � � �������

��������� �� � 5 � � � % � ����� �����

��� 6

��"7�8

�� ���� � ��� ��� � ��

������ � � �������" ������� ��� � � ����� ��������� �

Q7���8 5 ����

���� ��� �

Q7��"7�88 5��"7�8�

���� ���

� � ��"7�8

���� ���

;� � ��"7�8

�

�� ��� ����� � ! � � ������� �� ����� ��������� "��� ����� ��� ����3 ��*��� � � ��� ����� � ! � � ����� ��������� ��� ���� � � �����" ������� � � �

��"���� ��� % ������ ���� �� �� �����������! ���� � � �������" �� ��� � � �� �������! ������ �! 1� =���

$#

Page 34: Periods Zagier

9$������ ,� ������ �� ��� � �� �� ������ �� � ������� �� �� ������������ ������� �� ���������� ���� ��� ��������� ������� �� � �� ����������� ��������������

&� ���� � � �� &�7�7� 8�� 8

��� �� �������� � ��� ��������� �����

&������� � � �� /�7��O�!8 �

% � ����� 2��� "���� � � � -��� ����0���� #/� ���� ������ � � � ���*

��"����� "���� ����" �� $��(7��8 ���� � � �� �� -��� �� �����"!� &����"�� �!3��� ����� � � �� E �� ��� �� #/�������� % � ����"��! �� ����� ������ � � � ����"��! �� ����� ������� �� � � ����� 2��� "����� �� ��� ��� ������ � � ����0���� ��� � �� � ����� � � � ����"��� ��� ��� ����0���� ��� �� ���������!������� �� ��� �� ��� % � �������" ���������! ������� �� � "�� � ����"��!���������! ��������� �� � � ����"��! �� ����� �

��������� & ���� ���� �� ���4 ? 6 �� �������� 7?� ?8*����� 7���8�������"�� ������� � � � ��"���� ��3 �� �!�" � � �������

Q7���8 5���

�� � 7���8� � ��� 7�68

��� ��! �� 5� % � ���� �� ���� � ���� ��� ������ ����� �� ���� ��3 ����� �����"�� ������

� �� � #�7?�� ��8� � �� � #�7?�� ��8� ������ � �

; � 1��7?� � ?���8 � ;� �� 5 � ��;��

% � �� �����"! "���� �� ������ ���� � ��� �� ��� ����� � ��,��� �� � � ���*�"��! �� ����� � ���� ������ �� ����� � � ��"����� "������! � ������ � ��� ��� ��� �� � :*��� ����0���� �� ����� 3 �� � � � � 2��� "���� 2��7� ��8 ��� �

J�� ��� ����� � 7������8 ����� �� ������� � � � � ������ �� � � ����*

��� 7�68 � � � ��"���� �� � � ���� � � % � ��������� �� ��� �*������� � ������� ���! ��� �� ��� ����� � � ������� � ���� � � 2��� �����4 "���� 7� �� � �����"��! �� ����� �� ������� � � �� � � ����������� "���� �� �������� �������� �� � �

J�"����!3 &� 2��� �����4 ��������� � � �*������ 9���� ����� 3? � � ������� ������ �� �� �����"! ���� �� ���� ���,����� ������ � ����! ���� ����� � � ������ ��" � 5 � � 7� � ��"��� �� � � ����� �����" �� �����"! "����8� % � ����������� �� � � )*������� � ������ �� � ���� ����� �� ��" � 5 ��� 0���� �� � ���� �7�8 5 5��� /��,��������!3 � � ����"��! �� ���� ����� ��* ���� ��� � ��������� �� � � ����"��! �� ����� ������� �� � �������� ���*��"����� "���� #�!��/

7 �� � � ����! ������ � F<G8�

-! ������ �3 � � �� �����"! ���� �� ���*������� �� �� �"���� ������ 3 �� ����� �� ������ 3 ���� �� 9����? ����� 3 �� � ������� ��" � �������� ��

$$

Page 35: Periods Zagier

� �� � � � ������ "����� ���� ��� ���� ����� � ��� ���� ����� � ��� �� ���������� [� �� 2��� �����43 ��� ��� ��� ������ � �� � �! ��� "��� �! ����� ������� �� � ���*��"����� "����3 ��� �� � � ���,������� �� ������ �� � � �� "��� ������% � ����� 2��� "���� #/ ��� ���� ����� �������� �� �� �� ����� �� �� � ��������� ����� 2��� "���� #�!��/ �� ���� ����� �! � ���*�������� "�����

&� � � ��� �� �#�( �� �������� � �� ����� �� ���� ����� ��� �� ������ � ���"��� �� ��� �� ���� ���� ��� �� �!��� � % ���� �� ������� ��������! ��� � A�������� ���43 ��� � �� � ��4� �� � � � � ��������4 �� �� ����� ����� � ��"������3 ��� � ����� ����� ����� � �� ����� ����� ����� �����" �� ���"��� ������� �� �!��� � �� �� ! �� �� � �� � � � ��� ������! � � ����� �� ����� �� ���� ���*������� ������ � ���� ����� ��� ��� ��3 ��� ��� ����! ��� �� ����� ����3 ���3� ���� � "������� B������3 � ��� � �� ��� ������ �� �� � � � ��������� �� ������� ����� �! ��� ����" ���! ��� �� ��� � �� �� �� ���� 3 � ��� ��� ���� ����� � � ������ �� ����0�� � ��������� �� ����� �� ���� ���*������� ������ ��� ���������3 � � � ��� ��� � � � ��� ��� �� �� � ���3 �� �� ������ �� 6� +� � ��� .��"�� � %� ��� ' ��������� �� � ���( ������ �� �������( �� �������� ������ /��� ���� �� ��������� ����� ������������� ��� �� � ����" � �� �� �� ��" � ��� � �� ������ � ������� �� �� ������� �� � ����� ����������� ��� � ����� ����

% ��� ��� � ����*� ���� �� � ���! �� T����� 4! � � "�� ��� �� ����������"��! ��� �����! � ����"������ ����"��! �� 9�������� �� ���� ����� �? �� �������� � �� �� T����� 4!: ����"��! 7�� ������� ������� 8 ���� �� ��������� ��� � ������ ����"��! �� ����� ������� �� � � ����� 2��� "���� ��������� � � � �����3 ��� �� ��� � � ���� ��� � �* �������� � � � ���� ��������� �� � � ����"��!�� ����� ������� �� #/ �

1�&� �������� �������� J�� ��� ����� � � ������� �� � � ����� 2��� "������� ����� �! ��� ����" � ���"�� ��� �� ���� ��������� ������ 3 � � �� ����#�������� ������� % � � ������ ��� �� � ��� ����� � � � ������� F@G �! +� -��� ��� B� � ������

��������� &� #�������� ����� �� �� ������! ������"��� ���"��� �� � � ��������� �� ��"����� ������� �� � � �������� �� �� ��"����� �������3 ���� � ���� ����*"����� ��3 � ��� ��� ���!����� ������" � � ������� ��� ��"����� ������� �

��� � ����� 7��/� �8 � ��� 7��/8 � ����� ��� � � �7�8 � ��"���� ����*��� �� �3 ��� ��� ����� ����� ������ ��� ��" �� ���������� ����� � % �-��� �����"! ���� ��� ������ ��� 7��/� �8 � � � �"���� �����"! �� � � ���7�7� 8� /7� 8 � ���7�� � � � �7�8 � ��88 � ��� � � � ������! ���"�� % � ��E �� �� �����"! ������ � � � �� �����"! �� � � ������� O�7��/8 ������� �� � � ��������� � 7�8 �5 � � � � �� % � ������� �� � � ����� ����� ��� � � �����7��/� �8 ��� � � ���"���

�.����7��8��3 � ��� � � �� ��� ���� ����!�� � �� �����*

����" � � ������� �� � �� �� -��� �����"! ��� � � �� ����� ��� � �� �� ��E �� �� �����"!� J�� ��� �� � �� � � � ����� ������ ��� ����� ������ ���� �� � �� ���������� �����" ��

��� � 7��8��� � ���7�8�

& � ���� �������3 � � 5 � � 3 / 5 � ��� �7�8 5 ��3 � �� � � ����� ����� � $%

Page 36: Periods Zagier

0� � ��� � ���! �������

�� 5

� ��

�����7���8 � �

�� � � ��"���� �� ���������� ����� � ��� ��� ���! ��� ������ 3 ������" � ������� �3 ��� ��"����� ����� �� �3 ����� �� � � "���� ������� �� ������� ��"����� 3����� �� -� �� ������� 3 ���� % � ������ ���� �� � � ��������� ��������� �� ���! �� � ���������� 2��� "���� ��� ��! ������� �� � � �*������ %��!��� "����3 ����� � ����� �� ��� ����� �! 2� &���� ��� /��,������ �� ��� ��� �� ��������� �� ���������� ��! �� � � �� � �� ���������� ����� �

% ��� ��� ���� ��� ������ ������� � �� ��� ��� ������ � � ���������� ��*��� 2��� "���� ��� ���� ��3 ����" � � ��� ����� � � ����� ��� ���� �3 � � 3���������!3 � � ��� ���� ���� �� �7�8 �� � 5 � % �� ��� ��� ��� ��� ���� ��� ����� � �� ���������� �� ��

#$���� ��%

FG X� &���'�3 #�& ������� ��� *����� & ���� �� 1�� ����� �&3 T���"3 -����* � ��" 7@<@8�

F�G &� -��� ��3 B" �� ��"������ �� ������� ����� � ��� 1����������� �� 1�������2������ �� 1������� *���� ��� 3 �� ,����3 /������� 1�� � 663 &���� 1�� �+���3 ��������� 7@<.83 U#$�

F#G �� -��4�� 3 & ���� �� � � ���������! �� �7�8 ��� �7#8� 4 �� +����� ���� /�� �� 7@>@83 �.<U�>��

F$G �� -��4�� 3 &�"����� ����� �� #*������� � 5 ��� 1��� ���� 1&1 7@@#83$(U.(�

F(G �� -��4�� 3 �� /���� ��� A� R��43 +�� �� "������0�� ������ ��� ��� ���*��� � 3� � 1��� ���( �� 7@@#83 �>U��$�

F.G �� -��4�� ��� 2� B��4���3 1�������! ��� � � !���"������� ������� ������!�� ��� ?6 7@<@83 #�(U#($�

F>G �� -��4�� ��� A� C������3 &�"����� ����� �� !���"������� ������� � ��� 3�1������ �� ,��������� ,���� 7&� -�4�� ���83 /�����"� Z���� �! ��� 7@<<83.<U<�

F<G +� -��� 3 & ���� �� �" � ����" 3 %���"��� ������ 3 ��� � � -�� ���+��������*�!�� ���,������� !�� ��� 6@ 7@<683 .(U>.�

F@G +� -��� ��� B� � �����3 2�� *1��� ���������� ��������� ��� ����� ������"���� ��������� � �������3 � �� 7@@@8�

F6G &� -����3 /� �����"� �� +)� �� ������ �� ������� 0\��� ��� ���� ����� �1�� /� ��� 3�� / � $��� 1 7@>>83 .#U.#.�

FG ��C� -�!�3 1� ���: ��� ��� ��� ����� ����� �� �*������� � �#����� ���� A 7@@<83 #>U<��

$&

Page 37: Periods Zagier

F�G �� /����03 �'����� �� ���'��'� ��'������ [� ����������� ��������� 1�� ������ �&@ 7@@#83 .�(U.<#�

F#G �� ���"��3 T����� �� ������� � �� �'����� �:��'�"���� � ��� 1 ������������� ������������� ��� ��� �������3 ����� +!��� ���� 1�� � &&3 &1+ 7@>@83##U#$.�

F$G /� ����"�� ��� &� +� ���3 % � -��� �� ���,������ � ��� ��� ������� ��� 1��������3 )����� 1�� � +��� )������ =��� �6& 7�� � A� /���� ��� 1�A� %�!���83 /��*���"� Z��� ��� 3 /�����"� 7@@83 >#U�6@�

F(G -� 2�� ��� �� ]�"��3 B��"��� ���� ��� �������� �� �* ��� � !�� ���� @6 7@<.83 ��(U#�6�

F.G -� 2�� 3 C� R� ��� ��� �� ]�"��3 B��"��� ���� ��� �������� �� �* ��� � ������� 1����� �A@ 7@<>83 $@>U(.��

F>G C� B�� ���"��3 .��"�� �� �� 1������� 1������� *����� & ���� �� 1�� *����� �@3 T���"3 -���� � ��" 7@@�8�

F<G Z� A��� ��3 +� R�����3 A�*�� +���� 7�� �83 ������� ����� +!��� ���� 1�� � 663&1+3 ��������� 7@@$8�

F@G A�*�� A��������3 Z�� ��� ������ �� 1�!��*T���� �� R*� ���� ��"������� ���1������� 2������ !3 )������ =��� � 1�� � &1�3 +���"��3 7@>#83 �@#U#.�

F�6G �� E���"��0 T���"� 3 1������ 1� ��� 1�� ��� �� ��� ,����� �� 3 �� ,�����6�������� $��(� $1� %778�3 1�� � &���� 1;A3 R�����3 ������� � 7@@@83 >U$<�

F�G &� +� ���3 E����4 �� ����� ����� �� �*������� � ��� ��� ������� ��� 1��������3 )����� 1�� � +��� )������ =��� �6&3 7�� � A� /���� ��� 1�A� %�!���8 /��*���"� Z��� ��� 3 /�����"� 7@@83 #>#U#@��

F��G �� + ��4 3 ��������� ������ � &�������� 9 ��� �� 7@>$83 �>3 �<6�

F�#G �� + ��4 3 � ����� ������ ����������� ��� ��� ��� �� 5 3 � ,� �17@<�83 #@>U$�#�

F�$G B� +���43 T���� �� �*������� �� � 5 3 �*�T� 1�� �� ���� A 7@>83 #6U#$#3�A 7@>(83 .6U@�3 �� 7@>.83 .$U<$3 &6 7@<683 @>U�#(�

F�(G A� %���3 +� ���"�� �� � /���( � � �� ��������� � �01���� � � 5 6� ���"� �1�� � 1A3 -�4 S�� ��3 -� ��� 7@<$8�

F�.G &� C��3 ������ ������� ��������" �� � �� ��� ��� R�����4��� ��"��� ���� 1�� � @@3 +���"��3 -���� @>.�

F�>G =�A� C�����"��3 E��� � 3 ���� ������ 3 ���� ,�� � ,� ���������� !���������� �� 7@@@83 $U>�

F�<G B� X� ��3 J� �� ����� /1*����� � ��� 1 �������� &���� 1 �������������������� ��� 1������� �&��� ������ ,:� %77;�3 ����� +!��� � ���� 1�� �;;3 &���� 1�� � +���3 ��������� 7@@@83 ��U�><�

F�@G B� X� ��3 J� �� ����� /1*����� � ��� 1� 5 ���� ��B 7@@<83 @@U�#.�

F#6G �� ]�"��3 ���!��"��� � 3 ����4�� 0��� ������� ��� � � ��"����� 7*� ���!�� ���� � ��� 1������� 1������� *����3 ���"�� 1�� � @?3 -�4 S�� ��3 -� ���7@@83 #@U$#6�

$'

Page 38: Periods Zagier

F#G �� ]�"��3 +��� ����"� #*��� ������ 7+������ �� ������� ..�(8� 1� ���� ������� ?? 7@@�83 ..U.@�

F#�G �� ]�"��3 T���� �� 0��� ������� ��� � �� ��������� � ��� &���� � �����.������ �� ���������3 T����� ��3 ���"�� � 1�� � ��B3 -�4 S�� ��3 -� �� 7@@$83$@>U(��

F##G �� ]�"�� ��� B� 2��"�3 /�� ��� ��� ������ ���!��"��� � ��� ����� ����� �� �* ��� � ��� ,� 1������� ��� *���� �� 1������� .����3 =��� +����� +��� / 61@3 R�����3 ������� � 7�66683 (.U.(�

$(