performance analysis of a digital phase-locked loop with a hyperbolic non linearity (2)

8/3/2019 Performance Analysis of a Digital Phase-Locked Loop With a Hyperbolic Non Linearity (2)

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F l D . 1Performance analysis of a D i g i t a l Phase-Locked

Loop w i t h a Hyperbolic NonlinearityS i t h a m p a r a n a t h a n K a n d e e p a nW i r e l e s s S i g n a l P r o c e s s i n g G r o u pN a t i o n a l ICT A u s t r a l i aR S I S E , A u s t r a l i a n N a t i o n a l U n i v e r s i t y

A b s t r a c t-h e t r e a t m e n t o f p h a s e l o c k e d l o o p s ( P L L ) h a sb e e n h e a v i l y l o o k e d i n t o o v e r t h e p a s t s e v e r a l d e c a d e s o n i t sp e r f o r m a n c e s a n d a n a l y s i s , a n d i s a v e r y o l d t o p i c . Howevert h e u s a g e o f i t h a s n e v e r b ee n r e d u c e d w i t h t h e r a p i de v o l v e m e n t o f v a r i o u s o p e n l o o p a n d c l o s e d l o o p s y s t e m s . I nt h i s p a p e r we a n a l y s e t h e p e r f o r m a n c e o f a n a r c t a n b a s e dd i g i t a l p h a s e l o c k e d l o o p ( D P L L ) w i t h a h y p e r b o l i cn o n l i n e a r i t y f o r s i n g l e - t o n e c a r r i e r t r a c k i n g . We p u r p o s e l yi n t r o d u c e t h e n o n l i n e a r i t y f o r i m p r o v e d p e r f o r m a n c e o f t h ec l o s e d l o o p s y s t e m . We l o o k a t t h e a c q u i s i t i o n p e r f o r m a n c e o ft h e DPLL b y c o n s i d e r i n g t h e p h a s e p l a n e p o r t r a i t a n d t h e l o c k -i n r a n g e o f t h e l o o p . The s t e a d y s t a t e ( S S ) p e r f o r m a n c e o f t h el o o p i s a n a l y s e d b y c o n s i d e r i n g t h e o p e n l o o p S S s t a t i s t i c a ld i s t r i b u t i o n o f t he p h a s e n o i s e .

I n d e x Terms- D i g i t a l p h a s e - l o c k e d l o o p ( D P L L ) , P L L ,a r c t a n , h y p e r b o l i c , p h a s e p l a n e ( P P ) p o r t r a i t , s t e a d y s t a t e ( S S )I . I N T R O D U C T I O N

phase l o c k e d l o o p s a r e w i d el y u s ed i n many a p p l i c a t i o n ss u c h a s c o m m u n i c a t i o n s , c o n t r o l s , r a d a r , s o n a r a n de l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g s y s t e m s . I n c o m m u n i c a t i o n s , r a d a ra n d s o n a r , c a r r i e r t r a c k i n g i s a common p r o b l e m a n d p h a s el o c k e d l o o p s a r e t h e s i m p l e s t s o l u t i o n . T h e a d v a n t a g e o f i t i st h a t i t d o e s n o t r e q u i r e a t u n a b l e b a n d p a s s f i l t e r t o t r a c kh i g h f r e q u e n c y c a r r i e r s i g n a l s . T h e t r e a t m e n t o f t h e a n a l y s i so f a PLL b e g a n i n t h e m i d 2 0 t h c e n t u r y . V i t e r b i [ 4 ] a n dG a r d n e r [ 1 ] l o o k e d i n t o t h e p e r f o r m a n c e a n a l y s i s o f a na n a l o g p h a s e l o c k e d l o o p f o r c a r r i e r t r a c k i n g . T h ea c q u i s i t i o n p e r f o r m a n c e i s w e l l t r e a t e d b y V i t e r b i i n [ 4 ] ,w h e r e a s t h e S S p e r f o r m a n c e i s w e l l t r e a t e d b y G a r d n e r i n[ 1 ] . D u r i n g t h e e v o l u t i o n o f t h e d i g i t a l e r a c a m e t h e c o n c e p to f d i g i t a l p h a s e l o c k e d l o o p s . A s i m i l a r p e r f o r m a n c ea n a l y s i s o f t h e DPLL t o t h e a n a l o g PLL w a s p e r f o r m e d b yL i n d s e y a n d C h i e [ 2 ] a n d s u b s e q u e n t l y b y many o t h e r s [ 5 -8 ] . C u r r e n t l y , w i t h t h e a d v a n c e m e n t i n d i g i t a l s i g n a lp r o c e s s i n g t e c h n i q u e s a n d a d v a n c e d d i g i t a l s i g n a lp r o c e s s i n g h a r d w a r e , s o f t w a r e i m p l e m e n t e d PLL a r ecommon i n u s e . S i m i l a r t o t h e a n a l o g a n d t h e d i g i t a l P L L ,s o f t w a r e i m p l e m e n t e d PLL a r e a n a l y s e d o n i t s a c q u i s i t i o na n d S S p e r f o r m a n c e s a n d a p p e a r s t o b e t h e s a m e . T h es o f t w a r e i m p l e m e n t e d PLL a r e b a s i c a l l y c a r r i e r - l o c k i n gl o o p s r u n n i n g o n d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s o r s w h e r e t h ep r o c e s s i n g i s d o n e o n s a m p l e d s i g n a l s . T h e y h a v e t h e

Sam R e i s e n f e l dC RC f o r S a t e l l i t e S y s t e m sF a c u l t y o f E n g i n e e r i n gU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y S y d n e ys a m r g a u t s . e d u l . a u lf l e x i b i l i t y t o i n c o r p o r a t e b a s i c a l l y a n y t y p e o f s i g n a lp r o c e s s i n g f u n c t i o n a l i t i e s w i t h i n t h e l o o p d u e t o i t s r e -p r o g r a m m a b l e n a t u r e . I n o u r r e s e a r c h we i m p l e m e n t as o f t w a r e b a s e d DPLL w i t h a n a r c t a n b a s e d p h a s e d e t e c t o r( P D ) u s i n g d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s o r s . T h e e q u i v a l e n t m o d e lo f t h i s d u r i n g t h e a n a l o g e r a w a s t h e t a n - l o c k e d l o o p [ 9 , 1 0 ] .I n o u r l o o p m o d e l we a l s o i n c o r p o r a t e a n o n l i n e a r s i g n a lp r o c e s s i n g e l e m e n t , w h i c h i s a h y p o b i l c f u n c t i o n , i na d d i t i o n t o t h e a r c t a n PD t o i m p r o v e t h e p e r f o r m a n c e . Wei n t r o d u c e t o t h e l o o p m o d e l o f t h e DPLL i n i t i a l l y a n d t h e na n a l y s e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e l o o p d u r i n g t h e a c q u i s i t i o nm o d e a n d t h e S S m o d e .

I I . L o o P MODELT h e l o o p m o d e l c o n s i d e r e d i s g i v e n i n F i g u r e - 1 . I t c o n s i s t so f a n e r r o r d e t e c t o r o r a P D , a l o o p f i l t e r a n d a n u m e r i c a l l yc o n t r o l l e d o s c i l l a t o r ( N C O ) . T h e NCO i s e q u i v a l e n t t o t h ev o l t a g e c o n t r o l l e d o s c i l l a t o r ( V C O ) o f i t s a n a l o gc o u n t e r p a r t .

I / P s i g n a l PD F i l t e r

F i g u r e - 1 , D i g i t a l p h a s e l o c k e d l o o p m o d e lD e p e n d i n g o n t h e t y p e o f f i l t e r , w h e t h e r i t ' s a p e r f e c ti n t e g r a t o r o r a n i m p e r f e c t i n t e g r a t o r , t h e l o o p i s s a i d t o b e ap e r f e c t l o o p o r a n i m p e r f e c t l o o p . F u r t h e r , i f t h e l o o p f i l t e r i sa s i n g l e p o l e f i l t e r t h e n t h e l o o p i s s a i d t o b e a 2 n d o r d e rl o o p , i n g e n e r a l i f t h e l o o p f i l t e r h a s g o t N p o l e s t h e n t h el o o p i s s a i d t o b e a n ( N + 1 ) t o r d e r l o o p . T h e i n p u t t o t h eDPLL i s a c o m p l e x s i g n a l , w h i c h h a s t h e I n p h a s e a n d t h eQ u a d r a t u r e i n p u t s . T h e PD i s a f o u r - q u a d r a n t a r c t a n PD t h a tmaps t h e i n p u t a r g u m e n t s t o i t s c o r r e s p o n d i n g f o u r q u a d r a n tp h a s e p l a n e , w h i c h i s f o l l o w e d b y a h y p e r b o l i c f u n c t i o n .T h e b l o c k d i a g r a m o f t h e PD m o d e l i s s h o w n i n F i g u r e - 2 .T h e i n p u t s i g n a l r , w h i c h i s a c o m p l e x s i n g l e - s i n u s o i d s i g n a lc o r r u p t e d w i t h AWGN i s g i v e n b y ,

r [ n ] = A e x p { 2 z j f T f n - j f } - q0 - 7 8 0 3 - 9 2 8 2 - 5 / 0 5 / $ 2 0 . 0 0 2 0 0 5 I E E E 1 0 3 5

( 1 )

I C I C S 2 0 0 5

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w h er e, A , f a n d a r e a l l d e t e r m i n i s t i c c o n s t a n t s , T s i s t h es a m p l i n g p e r i o d o f t h e d i s c r e t e s i g n a l , a n d r i i s t h e c o m p l e xG a u s s i a n n o i s e p r o c e s s g i v e n b y ,q=n - j nc s ( 2 )w h e r e , n c a n d n , a r e t w o i n d e p e n d e n t z e r o mean G a u s s i a nr a n d o m p r o c e s s e s o f 2 v a r i a n c e w i t h a d o u b l e s i d e d p o w e r

s p e c t r a l d e n s i t y o f N o W / H z . T h e o u t p u t s i g n a l x f r o m t h eNC O i s g i v e n b y , x [ n ] = e x p { - j 6 [ n ] } ( 3 )T h e m u l t i p l i e r i n F i g u r e - 2 i s a c o m p l e x m u l t i p l i e r . T h eo u t p u t o f t h e m u l t i p l i e r i s f e d i n t o t h e a r c t a n f u n c t i o n , a n dt h e r e s u l t i n g p h a s e i s p a s s e d t h r o u g h a h y p e r b o l i c f u n c t i o n

I I I . PERFORMANCE ANALYSIS FOR T HE NOISELESS CASEL e t u s c o n s i d e r t h e i n p u t s i g n a l r w i t h o u t t h e a d d i t i v e n o i s ec o m p o n e n t . T h e i n p u t - o u t p u t c h a r a c t e r i s t i c s c u r v e o f t h e PDm o d e l f o r t h e n o i s e l e s s c a s e i s s h o w n i n F i g u r e - 3 . T h ec h a r a c t e r i s t i c c u r v e s h o w s t h e n o n l i n e a r n a t u r e o f t h e P D .F o r t h e l i n e r l o o p ( e q u a t i o n ( 6 ) ) , t h e e x p e c t e d c h a r a c t e r i s t i cc u r v e i s a s t r a i g h t l i n e w i t h a u n i t y g r a d i e n t p a s s i n g t h r o u g ht h e o r i g i n .

w h e r e , 6 n c a n d n . a r e . t w o . i n d e p e n d e n t . z e r o . m e a n . G a u s s i a n4 / . o . /.T h e 2 u l t i p l i e r F i g u r e - i s c o m p l e x . . . . . . . T h e

( p e = g ( - ) = s i n h ( F - )I n ( 4 ) , i s g i v e n b y , = a r c t a n { u , v }w h e r e , u a n d v are t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s o f t h eo u t p u t o f t h e c o m p l e x m u l t i p l i e r .

PDr e arctan g ( . ) Pe

xF i g u r e - 2 , N o n l i n e a r p h a s e d e t e c t o r m o d e l

T h e m a t h e m a t i c a l m o d e l o f t h e l o o p w i t h o u t t h e n o n l i n e a rh y p e r b o l i c g ( . ) f u n c t i o n i s g i v e n b y ,( 6 )H ( z ) D ( z ) V ( z )

1 + D (z)V ( z )w he r e , D (z ) a n d V ( z ) are t h e d i s c r e t e t r a n s f e r f u n c t i o n s o ft h e l o o p f i l t e r a n d t h e NCO r e s p e c t i v e l y , g i v e n b y ,

D ( z ) = - az[z- (1- a ) ]

a n d V (z) kz - I

( 7 )( 8 )

I n e q u a t i o n s ( 7 ) a n d ( 8 ) , a i s t h e f i l t e r c o - e f f i c i e n t a n d k i st h e NCO p a r a m e t e r t h a t c o n t r o l s t h e l o o p . We n o t e h e r e t h a tt h e l o o p f i l t e r i s an i m p e r f e c t s i n g l e p o l e f i l t e r , a n d h e n c et h e c o r r e s p o n d i n g l o o p g i v e n b y ( 6 ) i s a s e c o n d o r d e ri m p e r f e c t l o o p . We a l s o d e f i n e t h e c l o s e d l o o p b a n d w i d t hf o r t h e d i s c r e t e l i n e a r s y s t e m d e f i n e d i n ( 6 ) as [ 2 ] ,B. -1

2BL = H(z)H(1 l z * ) z d z2 c ( 9 )w h e r e , B , i s t h e i n p u t s i g n a l b a n d w i d t h t o t h e DPLL. I ts h o u l d b e n o t e d h e r e t h a t t h e a b o v e l i n e a r s y s t e m a n a l y s i s i sno l o n g e r v a l i d when t h e n o n li n e a r f un c t i o n g ( . ) i sc o n s i d e r e d w i t h i n t h e l o o p , h o w e v e r t h e l i n e a r s y s t e mp e r f o r m a n c e i s u s e d as a r e f e r e n c e t o compare t h ep e r f o r m a n c e o f t h e n o n l i n e a r l o o p .

- 10 0- r a d i a n s 10

F i g u r e - 3 , I d e a l c h a r a c t e r i s t i c curves o f t h e n o n l i ne a r h y p e rb o l i c PD m o d e lA n a l y s i s s h o w , f r o m s e c t i o n s t o f o l l o w , t h a t t h ec h a r a c t e r i s t i c curve o f t h e h y p e r b o l i c PD m o d e l c h a n g e swhen t h e i n p u t n o i s e i s c o n s i d e r e d . We see t h a t t h e a c t u a lc h a r a c t e r i s t i c s d e p e n d upon t h e i n p u t s i g n a l t o n o i s e r a t i o( S N R ) f o r t h e h y p e r b o l i c PD m o d e l .A . S t e a d y - S t a t e P h a s e E r r o rT h e S S p h a s e error i s t h e v a l u e o f t h e p h a s e error s i g n a l a tt h e o u t p u t o f t h e PD d u r i n g S S . F o r a l i n e a r s y s t e m t h e S Sp h a s e error may b e f o u n d b y u s i n g t h e f i n a l v a l ue t h eo r e m .T h e f i n a l v a l u e t h e o r e m f o r t h e d i s c r e t e s y s t e m i s g i v e n b y ,

l s = l im 1 ) [ I j - H ( z ) ] O i ( z ) ( 1 0 )z_*1 zw h e r e , O 0 ( z ) i s t h e Z - t r a n s f o r m o f t h e i n p u t p h a s e , g i v e n b y ,f9(7=? Z + Z (11)S[ 1]2 Z 1

T h e S S p h a s e error o f t h e l i n e a r s y s t e m s i n ( 6 ) i s f o u n du s i n g ( 1 1 ) , a n d i s g i v e n b y ,( I , s s = 27ff,/k ( 1 2 )

T h e n , t h e S S p h a s e error o f t h e h y p e r b o l i c n o n l i n e a r l o o p i sf o u n d u s i n g ( 1 2 ) a n d ( 4 ) , w h i c h i s g i v e n b y ,( h - s s l n { ( 2 i C f T s / k ) + I ( ( 2 i r f T s / k ) 2 + 1 ) } ( 1 3 )

T h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e S S p h a s e e r r o r s f o r t h e l i n e a rcase a n d t he n o n li n e a r case are d e p i c t e d i n F i g u r e - 4 . Fromt h e f i g u r e , we see t h a t d u e t o t h e n o n l i n e a r c h a r a c t e r i s t i c s o ft h e h y p e r b o l i c P D , t h e S S p h a s e e r r o r i s r e d u c e d d e p e n d i n gon t h e v a l u e o f k f o r a g i v e n f a n d T s .

1 0 3 6

( 4 )( 5 ) - 6- 8

U i k -,- ) / - , I L J I



3/5

f r e q u e n c i e s .H y p e r b o l i cL i n e a r

5 0 _40 -30 -

i20 -;. 1 0 _

w 30 -- 4 0 _

- 5 - 8 0

5 54. ) 5 0'o 455

4 0 )C Z 35

30

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8T i m e s a m p l e

F i g u r e - 4 , S S - p h a s e e r r o r , i m p e r f e c t 2 n d o r d e r l o o p ,k= 1 , f = 5 6 0 H z , f = 5 k H zT h i s i n p a r t i c u l a r h a s a n a d v a n t a g e i n t e r m s o f t h e l o c k - i nr a n g e o f t h e l o o p , w h i c h w e d i s c u s s i n t h e n e x t s e c t i o n .B . L o c k - i n R a n g eT h e l o c k - i n r a n g e o f t h e l o o p i s t h e a m o u n t o f f r e q u e n c yd r i f t , o f f s e t f r o m t h e c e n t e r f r e q u e n c y ( i n o u r c a s e z e r of r e q u e n c y ) , t h a t t h e l o o p c a n p u l l - i n . F o r a g i v e n l o o p , t h ep u l l - i n p r o c e s s , w h i c h i s t h e s a m e a s t h e a c q u i s i t i o n p r o c e s s ,d e p e n d s o n t h e f r e q u e n c y o f f s e t t o b e p u l l e d - i n a n d t h e l o o pt r a n s f e r f u n c t i o n . F o r t h e c a s e o f a n i m p e r f e c t l o o p , t h e p u l l -i n p r o c e s s i s s u c c e s s f u l u p t o a S S p h a s e e r r o r o f 1 8 0d e g r e e s , a n d f o r h i g h e r f r e q u e n c y o f f s e t s t h e p u l l - i n i su n s u c c e s s f u l a s t h e l o o p s t a r t s t o c y c l e - s l i p a n d k e e p s o ns l i p p i n g f o r e v e r . On t h e o t h e r h a n d , p e r f e c t l o o p s e v e n t u a l l yl o c k i n e v e n a f t e r c y c l e - s l i p s , a n d t h e o r e t i c a l l y p e r f e c t l o o p sa r e s a i d t o h a v e a n i n f i n i t e l o c k - i n r a n g e . F r o m ( 1 3 ) , we c a nd e t e r m i n e t h e p u l l - i n r a n g e o f t h e h y p e r b o l i c l o o p m o d e l ,w h i c h i s g i v e n b y ,

f h = ( e -e ) f kL 4 n s ( 1 4 )w h e r e a s , f o r t h e l i n e a r c a s e t h e l o c k - i n r a n g e i s g i v e n b y ,f L = f s k / 2 . T h e r e f o r e , w e s e e t h a t t h e h y p e r b o l i c l o o p m o d e lg i v e s a p u l l - i n r a n g e t h a t i s 3 . 6 7 6 1 t i m e s g r e a t e r t h a n t h el i n e a r m o d e l . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n we s e e how t h ef r e q u e n c y i s p u l l e d - i n b y l o o k i n g a t t h e p h a s e p l a n e ( P P )t r a j e c t o r i e s o f t h e l o o p .C . P h a s e P l a n e P o r t r a i tT h e d y n a m i c a l n a t u r e o f t h e s y s t e m , d u r i n g t h e a c q u i s i t i o np r o c e s s , i s b e s t d e s c r i b e d b y t h e PP a n a l y s i s . T h e PP p o r t r a i ti s t h e p l o t o f t r a j e c t o r i e s o f t h e d i f f e r e n c e e q u a t i o nd e s c r i b i n g t h e l o o p f o r v a r i o u s i n i t i a l c o n d i t i o n s . T h e x - a x i so f t h e p l o t r e p r e s e n t s t h e p h a s e d i f f e r e n c e a n d t h e y - a x i sr e p r e s e n t s t h e f r e q u e n c y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e r e c e i v e da n d t h e l o c a l l y g e n e r a t e d s i g n a l s . F i r g u e - 5 a n d F i g u r e - 6s h o w t h e PP p o r t r a i t s o f t h e l i n e a r l o o p a n d t h e h y p e r b o l i cl o o p r e s p e c t i v e l y . F r o m t h e f i g u r e s we s e e how t h eh y p e r b o l i c l o o p a c h i e v e s a w i d e r l o c k - i n r a n g e c o m p a r e d t ot h e l i n e a r l o o p . T h e h y p e r b o l i c l o o p c o m p r e s s e s t h e p h a s ee r r o r s i g n a l , w h i c h a l l o w s i t t o a c q u i r e a w i d e r r a n g e o f

-6 0 - 4 0 -2 0 0P h a s e E r r o r - d e g r e e

F i g u r e - 5 , PP p o r t r a i t o f t h e l i n e a r l o o p d e s c r i b e d i n e q u a t i o n ( 6 ) , B L2 2 . 5 H z1 5 0 0

1 0 0 0

i 5 0 0

= - 5 0 0

- 1 0 0 0

- 1 5 0 0 - 1 0 0 - 8 0 - 6 0 - 40 - 2 0 0 2 0P h a s e e r r o r - d e g r e e s

4 0 6 0 8 0 1 0 0

F i g u r e - 6 , PP p o r t r a i t o f t h e h y p e r b o l i c n o n l i n e a r l o o pI V . P E R F O R M A N C E A N A L Y S I S WITH N O I S E

T h e n o i s e l e s s a n a l y s i s p e r f o r m e d s o f a r w a s m a i n l y f o r t h ea c q u i s i t i o n o f t h e D P L L . T h o u g h a c q u i s i t i o n a n a l y s i s o f t h el o o p f o r t h e n o i s y c o n d i t i o n s i s n o t t r e a t e d , i t i s g e n e r a l l yk n o w n t h a t a PLL o r a DPLL p u l l s - i n t h e s i g n a l f r e q u e n c ya l m o s t e q u i v a l e n t l y t o t h e n o i s e l e s s c a s e f o r i n t e r m e d i a t ea n d h i g h l e v e l s o f S N R . H o w e v e r , t h e S S t r a c k i n gp e r f o r m a n c e o f t h e l o o p i s n o l o n g e r t h e s a m e e v e n a t h i g hS N R . D u e t o t h e i n p u t n o i s e , t h e l o o p w i l l e x p e r i e n c e j i t t e ri n i t s S S o p e r a t i o n , a n d s u c h j i t t e r i s k n o w n a s t h e p h a s en o i s e . We now c o n s i d e r t h e l o o p ' s S S p e r f o r m a n c e w h e nt h e i n p u t s i g n a l i s c o r r u p t e d b y AWGN a s g i v e n i n ( 1 ) .A . S t a t i s t i c a l D i s t r i b u t i o n o f t h e S S O p e n L o o p P h a s eN o i s eT h e S S o p e n l o o p p h a s e n o i s e d i s t r i b u t i o n i s t h e s t a t i s t i c a ld i s t r i b u t i o n o f t h e n o i s e w i t h i n t h e l o o p d u r i n g S S a s s u m i n gt h e l o o p i s o p e n . I n t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s , t w o m a i na s s u m p t i o n s a r e m a d e , w h i c h a r e v a l i d f o r i n t e r m e d i a t e a n dh i g h l e v e l s o f S N R . T h e f i r s t a s s u m p t i o n i s t h a t t h e l o o p h a sa t t a i n e d l o c k , a n d t h e s e c o n d a s s u m p t i o n i s t h a t t h e l o o pSNR i s h i g h . T h e l o o p SNR i s d e f i n e d b y ,

SNRL= P , / N O B L ( 1 5 )w h e r e , P , i s t h e i n p u t s i g n a l p o w e r . T h e l o o p SNR c a n b ei n c r e a s e d e i t h e r b y i n c r e a s i n g t h e i n p u t SNR o r b yn a r r o w i n g B L . When t h e a b o v e t w o a s s u m p t i o n s a r es a t i s f i e d , t h e l o o p i s s u c c e s s f u l l y o p e n e d f o r a n a l y s i s ,1 0 3 7

6560

2 0 4 0 6 0 8 0



4/5

a s s u m i n g t h e r e i s n e g l i g i b l e c o r r e l a t i o n i n t h e l o o p n o i s e d u et o i t s f e e d b a c k p a t h .H y p - o f f s e t = O\ l i n e a r - o f f s e t = O d e g s n r = 10dB

H y p - o f f s e t = 4 6 d e gl i n e a r - o f f s e t = 4 0 d e g

0 .6 H y p - o f f s e t = 1 1 5 d e gl i n e a r - o f f s e t = 8 0 d e g0 . 4 { { \H y p - o f f s e t =2 0 2 d e gl i n e a r o f f s e t = 1 1 0 d e g

- 1 0 0 -5 0 0 50 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 40 0 45 0( P e - d e g r e e sF i g u r e - 7 , O p e n L o o p S S P h a s e E r r o r d i s t r i b u t i o n f o r t h e h y p e r b o l i c PDm o d e l

When t h e i n p u t n o i s e i s c o n s i d e r e d , t h e l o o p g i v e n i ne q u a t i o n ( 6 ) i s n o l o n g e r l i n e a r . T h i s i s d u e t o t h e n o n l i n e a ro p e r a t i o n o f t h e a r c t a n f u n c t i o n i n t h e P D . F o r t h eh y p e r b o l i c PD w e c a n d e t e r m i n e t h e o p e n l o o p S S p h a s ee r r o r d i s t r i b u t i o n u s i n g t r a n s f o r m a t i o n o f r a n d o m v a r i a b l e s ,w h i c h i s g i v e n b y ,

f e ( ( q e ) = c o s h ( V e ) Z 0 ( a ) ( 1 6 )w h e r e , a = s i n h - ' ( P e ) a n d Z , ( u ) i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 7 ) .T h e f u n c t i o n i n ( 1 7 ) i s t h e r e s u l t o f t h e e x i s t e n c e o f t h ea r c t a n f u n c t i o n w i t h i n t h e PD [ 1 1 , 1 2 ] . T h e p r o b a b i l i t yd e n s i t y f u n c t i o n o f t h e p h a s e e r r o r p r o c e s s f o r t h eh y p e r b o l i c PD m o d e l i s s h o w n i n F i g u r e - 7 f o r d i f f e r e n t S Sp h a s e o f f s e t s . T h e p h a s e n o i s e d i s t r i b u t i o n s h o w s a n o n -

s y m m e t r i c a l n a t u r e f o r n o n - z e r o S S p h a s e o f f s e t s a n d t h es k e w - i n d e x o f t h e c u r v e i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g p h a s ee r r o r o f f s e t s a t S S .B . N o i s y C h a r a c t e r i s t i c sI n s e c t i o n I I I , t h e c h a r a c t e r i s t i c s c u r v e o f t h e h y p e r b o l i c PDw a s g i v e n f o r t h e c a s e w i t h o u t n o i s e . H e r e , we s t u d y t h en a t u r e o f t h e s a m e , w h e n t h e r e i s a d d i t i v e n o i s e a t t h e i n p u t .

s n r 3 0 d B s n r = 0 O d Bsnr = - 5 d BInrOd Bsnr - - 2 0 d B

- 6 0 0 t- 2 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 50 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0

C - r a d i a n sF i g u r e - 8 , N o i s y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e h y p e r b o l i c PDT h e c h a r a c t e r i s t i c s c u r v e o f t h e h y p e r b o l i c PD i s t h ee x p e c t e d v a l u e o f i t s o u t p u t f o r d i f f e r e n t i n p u t s a t ap a r t i c u l a r S N R . T r a j e c t o r i e s o f s u c h c u r v e s a r e s h o w n i nF i g u e - 8 f o r d i f f e r e n t i n p u t S N R . We s e e t h a t t h e PDp e r f o r m a n c e d e g r a d e s w i t h d e c r e a s i n g S N R , w h i c h i s n o tt h e r e s u l t t h a t we r a t h e r p r e f e r .

Z ( a ) ) =

wh

F F1e x p ( - p / 2 ) - e x p ( ( ) ( I ) 1 / 2 Q( ) 12 ) L T + F 2 12- ))]F F 1/2xp(-p e x ] F)i-2{ ; e T 2 2z r T 2

A 2 p [ t a n ( f z + a ) y 1 + y 2 1 2C 2 i+a 2 1 0 7 2 [ I + t a n 2 ( ( z + a ) ]

I 2Q ( x ) f e x p ( - u / 2 ) . d u w i t h , u I = s i n ((h- x 2 f f X -

f o r i T 2 < a.


5/5

C . P h a s e D e t e c t o r G a i nT h e PD g a i n i s u n i t y w h e n t h e r e i s n o n o i s e a t t h e i n p u t .T h i s c a n b e p r o v e d b y c o n s i d e r i n g t h e T a y l o r s e r i e se x p a n s i o n o f t h e h y p e r b o l i c f u n c t i o n i n ( 4 ) . H o w e v e r , w h e nt h e r e i s n o i s e a t t h e i n p u t , t h e PD g a i n i s n o l o n g e r u n i t yr a t h e r d e p e n d s o n t h e i n p u t S N R . T h e PD g a i n i s g i v e n b yt h e f i r s t d e r i v a t i v e o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s c u r v e a t t h e o r i g i n .S i n c e t h e c h a r a c t e r i s t i c s c u r v e c h a n g e s w i t h t h e i n p u t SNRt h e PD g a i n a l s o c h a n g e s . M a t h e m a t i c a l l y , PD g a i n i se x p r e s s e d a s ,

K = V ( ) d [ v jp d v d(O)Q = 0w h e r e , v ( . ) i s t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e P D .

1. 4

0. 4

( 1 8 )

- 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0S N R i . - d BF i g u r e - 9 , PD g a i n v a r i a t i o n w i t h i n p u t s i g n a l t o n o i s e r a t i oT h e PD g a i n a s a v a r i a t i o n o f t h e i n p u t SNR i s s h o w n i nF i g u r e - 9 . T h e PD g a i n i s n o t u n i t y f o r SNR l e v e l s b e l o w1 2 d B . I t i s i m p o r t a n t f o r t h e d e s i g n e r t o n o t e t h e v a r i a t i o n o ft h e PD g a i n a t d i f f e r e n t S N R , w h i c h c h a n g e s t h e l o o pc h a r a c t e r i s t i c s b y c h a n g i n g t h e o v e r a l l l o o p g a i n . T h i s m i g h te v e n d r i v e t h e l o o p o u t o f a s t a b l e p o s i t i o n i n s o m e c a s e s .D . S t e a d y S t a t e P h a s e J i t t e rT h e S S p h a s e j i t t e r ( P J ) i s c a u s e d d u e t o t h e a d d i t i v e n o i s e a tt h e i n p u t . I t i s i m p o r t a n t f o r u s t o k n o w how m u c h j i t t e r i se x p e c t e d f o r a g i v e n l o o p d e s i g n a t a p a r t i c u l a r SNR l e v e l .

a r c t a n .10.

3 5 4 0 4 5 5 0 5 5 6 0 6 5 7 0P / N nF i g u r e - 1 O , S t e a d y s t a t e p h a s e j i t t e r o f t h e h y p er b o l ic l o o pF o r t h e t r a d i t i o n a l a n a l o g a n d d i g i t a l P L L s , w i t h m u l t i p l i e rb a s e d P D , t h e P J i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e l o o p S N R .S i m i l a r t h e o r y a p p l i e s h e r e a s w e l l . We c a n r e d u c e t h e P Je i t h e r b y i n c r e a s i n g t h e i n p u t SNR o r b y n a r r o w i n g B L .

F i g u r e - i 0 d e p i c t s t h e P J e x p e r i e n c e d b y t h e h y p e r b o l i c l o o pm o d e l i n l o g - s c a l e . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e h y p e r b o l i c l o o pi s a b i t p o o r e r t h a n t h e a r c t a n m o d e l i n t e r m s o f t h e S S p h a s en o i s e , a n d g e t s w o r s e a t v e r y l o w SNR l e v e l s . I t a l s o r e a c h e st h e t h r e s h o l d p o i n t , w h e r e t h e j i t t e r i n c r e a s e s r a p i d l y , w e l lb e f o r e t h e a r c t a n r e a c h e s i t s t h r e s h o l d [ 1 1 , 1 2 ] . T h e r e f o r e ,t h e o v e r a l l S S j i t t e r p e r f o r m a n c e i s n o t a p p r e c i a b l e f o r t h eh y p e r b o l i c m o d e l w h e n c o m p a r e d t o t h e a r c t a n m o d e l .V. CONCLUSION

A h y p e r b o l i c PD b a s e d DPLL w a s t r e a t e d i n t h i s p a p e r . T h eh y p e r b o l i c l o o p w a s a n l y s e d i n t e r m s o f b o t h a c q u i s i t i o n a n dt r a c k i n g p e r f o r m a n c e s f o r a s i n g l e - t o n e c o m p l e x i n p u ts i g n a l . We c o m p a r e d t h e p e r f o r m a n c e o f t h e n o n l i n e a rh y p e r b o l i c l o o p w i t h t h e l i n e a r l o o p f o r t h e n o i s e l e s s c a s ea n d w i t h t h e a r c t a n b a s e d l o o p f o r t h e n o i s y c a s e . T h eh y p e r b o l i c l o o p s h o w s i m p r o v e d a c q u i s i t i o n p e r f o r m a n c e ,w h e r e t h e l o c k - i n r a n g e o f t h e l o o p i s w i d e n e d , b u t o n t h eo t h e r h a n d t h e t r a c k i n g p e r f o r m a n c e i n t e r m s o f S S p h a s ej i t t e r s h o w s p o o r e r p e r f o r m a n c e t h a n t h e a r c t a n m o d e l . T h ePD w a s a l s o a n a l y s e d i n t e r m s o f i t s g a i n , c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n , a n d t h e o p e n l o o p S S p h a s e n o i s e d i s t r i b u t i o n .

V I . ACKNOWLEDGMENTT h e a u t h o r s w o u l d l i k e t o t h a n k t h e R e s e a r c h S c h o o l o fI n f o r m a t i o n S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g ( R S I S E ) a t t h e A u s t r a l i a nN a t i o n a l U n i v e r s i t y ( A N U ) . D r . K a n d e e a p n i s a n a d j u n c ta c a d e m i c w i t h t h e R S I S E a t ANU. N a t i o n a l I C T A u s t r a l i a i sf u n d e d t h r o u g h t h e A u s t r a l i a n G o v e r n m e n t ' s b a c k i n gA u s t r a l i a ' s a b i l i t y i n i t i a t i v e , i n p a r t t h r o u g h t h e A u s t r a l i a nR e s e a r c h C o u n c i l .

REFERENCES[ 1 ] F . M . G a r d n e r , " P h a s e L o c k T e c h n i q u e s " , NY , W i l l e y , 1 9 7 9 .[ 2 ] W . C . L i n d s e y a n d C . M . C h i e , " A S u r v e y o f DPLL " , P r o c e e d i n g s o f t h eI E E E , p p 2 9 6 - 3 1 7 A p r i l 1 9 8 1 .[ 3 ] H . M e y e r , G A s c h e i d , " S y n c h r o n i s a t i o n i n D i g i t a l C o m m u n i c a t i o n s " ,v o l - 1 , J o h n W i l l e y & S o n s , 1 9 9 0[ 4 ] A . J . V i t e r b i , " P r i n c i p l e s o f C o h e r en t Comms" M c G r a w - H i l l , 1 9 6 6[ 5 ] M . P . F i t z a n d W . C . L i n d s e y , " D e c i s i o n - D i r e c t e d B u r s t - M o d e C a r r i e rS y n c h r o n i s a t i o n T e c h n i q u e s , " IEEE T r a n s o n C o m m s , v o l . 4 0 N o . 1 0 , p p .1 6 4 4 - 1 6 5 3 , O c t 1 9 9 2[ 6 ] M . P . F i t z a n d R . J . - M . C r a m e r , "A P e r f o r m a n c e A n a l y s i s o f a D i g i t a lPLL B a s e d MPSK D e m o d u l a t o r , " IEEE T r a n s o n C o m m s , v o l . 4 3 N o . 2 / 3 / 4 ,p p . 1 1 9 2 - 1 2 0 1 , F e b / M a r / A p r 1 9 9 5 .[ 7 ] J . V . L o r e n z o - G i n o r i a n d J . A . N a r a n j o - B o u z a s , " A l l - D i g i t a l PLL w i t hE x t e n d e d T r a c k i n g C a p a b i l i t i e s , " i n E l e c t r o n i c s L e t t e r s , v o l . 3 3 N o . 1 8 , Aug1 9 9 7 , p p . 1 5 1 9 - 1 5 2 1 .[ 8 ] R . C . T a u s w o r t h e , " A S e c o n d / T h i r d - O r d e r H y b r i d P h a s e L o c k e d r e c e i v e rf o r T r a c k i n g D o p p l e r R a t e s " , J P L T e c h R e p 3 2 - 1 5 2 6 , v o l . 1 , p p 4 2 - 4 5[ 9 ] J . C . L e e a n d C . K . U n , " P e r f o r m a n c e A n a l y s i s o f D i g i t a l T a n l o c k L o o p , "IEEE T r a n s o n C o m m s , v o l . 3 0 , p p . 2 3 9 8 - 2 4 1 1 , 1 9 8 2 .[ 1 0 ] C . A . P o m a l a z a - R a e z , " N o i s e A n a l y s i s o f a D i g i t a l T a n l o c k L o o p , "IEEE T r a n s o n A e r o s p a c e a n d E l e c t S y s , v o l . 2 4 , p p . 7 1 3 - 7 1 8 , 1 9 8 8 .[ 1 1 ] S . K a n d e e p a n , S . R e i s e n f e l d , " F r e q ue n c y T ra c k i ng a n d A c q u i s i t i o nw i t h a F o u r - Q u a d r a n t a r c t a n - B a s e d D i g i t a l P h a s e - L o c k e d L o o p " , I C I C S -PC M 2 0 0 3 p r o c e e d i n g s o f , V o l . l , p p 4 0 1 - 4 0 5 , 1 5 - 1 8 D e c 2 0 0 3 , S i n g a p o r e .[ 1 2 ] S . K a n d e e p a n , " S y n c h r o n i s a t i o n T ec h n i q ue s f o r D i g i t a l R e c e i v e r s " ,PhD T h e s i s , U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y S y d n e y , 2 0 0 3

1 0 3 9

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performance analysis of a digital phase-locked loop with a hyperbolic non linearity (2)

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