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Paysages de Fitness
Philippe Collard, Sébastien [email protected], [email protected]
Projet TEALaboratoire I3S
Université de NiceSophia Antipolis/CNRS
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Paysage de Fitness Plan
3. Paysage de Fitness et Rugosité4. Fitness Cloud5. Paysage de Fitness et Neutralité
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Paysage de Fitness
Définition : (Wrigth 1932)(S,f,V) est un paysage de fitness où :
S Ensemble des solutions f : S > R fonction à optimiser V Relation de voisinage
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Paysage de Fitness
Problème d’optimisation:Trouver Sopt, f(sopt) = max f(s) | s in S
Maximum local: Sloc
Pour tout s in V(sloc), f(s) <= f(sloc)
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Exemples
Représentation binaire : mutation 1 bit
Représentation permutation (T.S.P.):2Opt
Représentation Arbre (Prog.Gen): Insertio, délétion….
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Paysage de Fitness et Rugosité
Présence optima locaux Continuité du paysage (smooth)
Difficulté d’optimisation
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Mesures de Rugosité
Nombre d’optima locaux Distribution des optima locaux Distances entre optima
Par marche adaptative ou analytiquement
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Micro exemples
OneMax : S = 0,1^N f(s) = #1
Fonction « trap »: …voir tableau
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Autocorrélation
Autocorrélation (Weinberger) : (s0, s1, s2, s3, ….) marche aléatoireRho(l) = cov(f(sn), f(sn+l))
/ (sig[f(sn)]sig[f(sn+l)])
Longueur de corrélation : 1 / ln(Rho(1))
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Cause de la rugosité
Epistasie : lien entre les gènes ou variables, degré de
non linéarité
Epistasie équivalent à rugosité NKFitness landscapes
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Rugosité conclusion
Rugosité : vision d’un grimpeur
Rugosité : notion d’information locale
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Paysages de Fitness et Neutralité
1. Origine Biologique du concept de neutralité2. Neutralité = ?3. Comment mesurer la neutralité ?4. Les paysages de fitness sontils neutres ?5. Des modèles pour étudier la neutralité6. Comment exploiter le concept de neutralité?
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Origines Biologiques Théorie neutraliste de l’évolution
Kimura 1983
Evolution moléculaireCorrespondance génotype/phénotype très
redondanteLarge proportion de mutations sélectivement
neutresMoteur principal de l'évolution ?
sélection adaptative rôle des forces stochastiques (dérive génétique)
Dans la nature les populations ne sont pas fixées sur un optimum local
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Neutralité =Redondance + Opérateur neutre
Ensemble de neutralité (ES)– Ensemble de génotypes d’isofitness
Réseau de neutralité (RN)– Connections intra ES par opérateur neutre
RN de taille suffisamment importante∃ «Portes» entre les RNUne large proportion du paysage peut être
approchée par exploration d’un réseauAugmente la probabilité d’atteindre un niveau
de fitness donnée à partir d’une pop aléatoire
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Du Grimpeur au Nageur …
Ou comment s’échapper d’un optimum local grâce aux mutations ?
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Marche adaptative sur un paysage de fitness avec neutralité
Succession de phases1. Gain de fitness
3. Dérive aléatoire
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Neutralité et dynamique évolutionniste
Longues périodes de stabilité (phénotypique)– Dérive dans un réseau de neutralité– Effet d’un opérateur neutre (mutation)
Ponctuées par de rapide augmentation de fitness – Découverte inopinée d’un meilleur mutant– Effet de mutation adaptative rare
Mutation = opérateur neutre ?Rôle du croisement ?Convergence prématurée !
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Intérêt de la neutralité pour la recherche ou l’optimisation
Donne un moyen de maintenir une certaine diversité génotypique sans risque de perdre les fitness
Potentialité pour s’échapper de certains optima locaux
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Comment mesurer la neutralité ?
Redondance– Distribution des génotypes selon la fitness (DOS)
Connectivité– intra RN
• Nombre et Taille des RN• nombre de mutations neutres par génotype (neutral
degree) (Barnett)– inter RN
• Percolation (théorie des graphes)• Taux d’innovation (neutral random walks, Schuster)• Evolvability (Smith 2002)
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Densité d’Etats
Distribution des configurations selon les valeurs de fitness
Représente la taille des ensembles d’isofitness
Indique la probabilité d’atteindre un niveau de fitness donné
Distribution Normale (binomiale)– Unitation, Paysage NK– SAT, maxCSP, TSP
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DOS : Paysage NKN=16 K=12
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Intérêts et Limites du D.O.S
Mesure indépendante du voisinagecodage, voisinage, opérateur
Permet de « situer » une population initiale aléatoire
La « queue » de la distribution est un indice de difficulté
Extension : prise en compte le dynamique – Distribution des Coûts de Processus (Hao &
Belaidouni)
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Innovation le long d’un RNHuynen 1996, Barnett 1998
On comptabilise le nombre de phénotypes « innovants » rencontrés dans le voisinage du chemin aléatoire neutre (neutral walks) sur le RN
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Les paysages académiquessontils neutres ?
Fonctions de De Jong– Redondance induite par la modalité
Redondance– Unitation : redondance– NK : redondance
Redondance + Mutation neutre– Royal Road
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Fonction Royal Road(Holland, Forrest, Mitchell 95)
N = 3 blocs * 10 bitssopt=111111111111111111111111111111 3s3 =********************1111111111 +1s2 =**********1111111111********** +1s1 =1111111111******************** +1
4 réseaux de neutralité– fitness 3 : 1– fitness 2 : ~ 3.103
– fitness 1 : ~ 3.106
– fitness 0 : ~ 109
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Fonction Royal Road Crutchfield & al. 99
MutationPositive (adaptative) : rare
1111101111********************Négative (délétère) : rare
1111111111********************Neutre : les plus fréquentes
1000000001********************Pop 250Probabilité de mutation 0.005
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Fonction Royal Roadfitness vs. générations
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Fonction Royal RoadPopulation vs. générations
Population=(P0,P1,P2,P3)
Pi = proportion de chaînes de fitness i
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Les paysages « réels » sontils neutres ?
Evolution of neural network controllers in robotic
Silicon chip electronic circuit evolution (FPGA) (Harvey ICES96)
Circuit de reconnaissance de la parole (Thompson 2001)
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Des modèles pour étudier la Neutralité
Modèle basé sur les fonctions Royal Road– Labyrinthe en Terrasses
Modèle basé sur les paysages NK (random)– NKp ‘probabilistic NK’– NKq ‘quantised NK’
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Terraced Labyrinth fitness function Crutchfield & al. 99
Fitness déterminée par un arbreNœud : réseau de neutralité
– Schéma– Fitness associée
Constellation : zone de transition– mutuellement exclusives sur un même nœud
Branche : portail entre réseaux adjacents– instanciation d’une constellation
Sousnœud : réseau de meilleure fitness– spécialisation de schéma
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Labyrinthe en terrasses
*************** 1
00000**********
2
00000**111*****
4
00000**111**110
6
000001011100110
8
11111**********
3
11111***0101101
4
11111***1100010
5
111110000101101
7
111110011100010
6
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Labyrinthe en terrasseset mutations
Mutation adaptative– rare– Contrôlée par la taille des constellations
Mutation neutre– Fréquente (muter sur une constellation)– diminue quand la fitness augmente
Mutation délétère– augmente avec la fitness– 1 seule mutation peut « ramener » à la racine
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Des modèles pour étudier la Neutralité
Modèle basé sur les fonctions Royal Road– Labyrinthe en Terrasses
Modèle basé sur les paysages NK (random)– NKp ‘probabilistic NK’– NKq ‘quantised NK’
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Paysages NKKauffman 1993
N = longueur du chromosomeK = degré d’épistasieFitness additive
– Σ des contributions de chaque gène– Contribution d’un gène dépend
• Allèle du gène• Allèles de K autres gènes
– K=0 : fitness linéaire (smooth landscape)– K=N1 : fitness aléatoire (rugged landscape)
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•DOS binomiale•Mutations neutres très rares
Paysages NK : K=2Kauffman 1993
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Paysages NKp Barnett 1998
Paysages NK + neutralitép=probabilité qu’une contribution soit nulle
• p=0 : paysage NK (pas de neutralité)• P=1 : paysage plat
La probabilité qu’une mutation soit neutre augmente avec p
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Paysages NKp : K=2Barnett 1998
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DOS : N=16 K=12 p=0.8
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NKp : proportions des mutations neutresN. Geard & al. (CEC 2002)
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N=20 K=4 pop=1000 mutation=0.001
p=0
p=0.99
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Paysages NKq Newman & Engelhardt 1997
Les contributions à la fitness sont des entiers dans [0..q] (quantised NK)
Intuitivement on construit un paysage NK en « terrasses »
La probabilité qu’une mutation soit neutre diminue avec q
Le nombre de réseaux de neutralité augmente exponentielle avec N
Percolation dans les plus grands réseaux de neutralité
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Paysages NKq : K=2 q=2Newman & Engelhardt 1997
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DOS : N=16 K=12 q=2
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NKq : proportion des mutations neutresN. Geard & al. (CEC 2002)
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Comparaisons : NKp, NKqN. Geard & al. (CEC 2002)
Distribution des mutations neutres– Quand la fitness augmente :
• Le nombre de mutations négatives augmente• Le nombre de mutations positives diminue
– NKp• Le nombre de mutations neutres diminue avec la fitness
– NKq• Le nombre de mutations neutres est maximum pour la
fitness moyenne
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Comment exploiter le concept de neutralité en Evolution artificielle ?
Etudier la neutralité intrinsèque– Redondance (DOS)– Connectivité (intra/inter)
Neutralité synthétique– Introduire de la redondance
• codage• bruit dans le calcul de la fitness• Méta codage (stratégies d’évolution)
– Concevoir des opérateurs neutres• Exploiter les symétries
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Neutralité synthétique
Spécifique– Choix du codage– Choix des opérateurs
• Neutre• Recombinaison
Indépendante du problème– Neutralité synthétique minimale
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Voyageur de commerce24 villes concentriques
Concevoir un Opérateur neutre – Exploiter les symétries du
problème
– « Compatible » avec le croisement (PMX)
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Voyageur de commerceOpérateur neutre et Symétrie
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Voyageur de commercesolution optimale
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1
Neutralité synthétique
Spécifique– Choix du codage– Choix des opérateurs
• Neutre• recombinaison
Indépendante du problème– Neutralité synthétique minimale
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Neutralité synthétique minimale P. Collard & al. (EA 99)
Dualité : neutralité synthétique minimale
Mapping génotype/phénotypef : Ω R
Mapping étenduF : 0,1x Ω RF(0x) = f(x)F(1x) = f(x)
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Neutralité synthétique minimale
Redondance F : 0,1 * Ω R F(x)=F(x)
Invariance de la Densité d’Etats
Contraction de la distance Hammingd(0000,1111)=λ d(00000,10000)=1
d(0000,0011)= λ/2 d(00000,11100)= λ/2
Opérateur neutre : mirroringx x
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Neutralité synthétique minimale Etude expérimentale
200 bits100 chromosomes1000 générationsMutation 0.5 par chromosomeMirroring 0.02Croisement 0.7Tournoi
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Trajectoire du centroïdesans neutralité
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Neutralité synthétique d’ordre 1Trajectoire du centroïde
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Neutralité synthétique d’ordre 1Mean/max fitness
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Neutralité synthétique d’ordre 1Proportion cumulée des génotypes
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Neutralité et Conclusion
Peu de résultats théoriques ou empiriques sur la structure des paysages neutres
Résultats sur des paysages simples ou idéalisés
Etudier la neutralité intrinsèqueConcevoir des opérateurs neutres
Neutralité et difficulté ??…
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Distributions des mutations neutresN. Geard & al. (CEC 2002)