8/16/2019 Pauta 1 PS FMMP 101 2015 - 10

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ELEM.DE ALG.Y CALCULO - FMMP 101

1er Semestre, 2015

PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNEJueves 16 de Abril de 2015

1. Utilizando operatoria en Z, Q y propiedades de potencias y ráıces, demuestre que:

4√ 5 −1 −

13

− 4 − 1

+18

− 1

: 23

3− 2 +

7181

= √ 5

Sol:

4√ 5 −1 −

3− 4 + 19

+ 7181

= 4√ 5 −1 − 181

+ 19

+ 7181

= 4√ 5 −1 −

8181

= 4√ 5 −1 −

1

pero:

4√ 5 −1

= 4√ 5 −1 ·

√ 5 + 1√ 5 + 1 =

4(√ 5 + 1)4

= √ 5 + 1Por tanto:

4√ 5 −1 −

13

− 4 − 1

+18

− 1

: 23

3− 2 +

7181

= √ 5 + 1 −1 = √ 5

2. Simplique al m áximo la siguiente expresi´on:

1 + a2

1 −a 2 − 1 −a

2

1 + a2 :

1 + a1 −a −

1 −a1 + a

Sol:Aplicando operatoria en Q, productos notables y factorizaciones, se tiene:

(1 + a2 )2 −(1 −a2 )2

(1 −a)(1 + a)(1 + a2 ) :

(1 + a)2 −(1 −a)2

(1 −a)(1 + a) =

1 + 2a 2 + a4 −1 + 2 a −a4

(1 −a)(1 + a)(1 + a2 ) · (1 −a)(1 + a)

1 + 2 a + a2 −a + 2 a −a 2

= 4a 2

(1 −a)(1 + a)(1 + a2 ) ·

(1 −a)(1 + a)

4a =

a1 + a2

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3. Utilizando propiedades de los logaritmos, simplique al m´ aximo la expresi ón:

loga 1x + 1 − 1x + 1x2 + log a x + 12 ·loga (x + 1)Sol:

loga 1

x + 1 − 1x +

1x2 + log a x +

12 ·log

a (x + 1) ⇔

12 loga

x2

−x2

−x + x + 1

x2 (x + 1) + log a x + 12 ·log

a (x + 1)

= 12

loga 1

x2 (x + 1)+ log a x +

12 ·loga (x + 1) =

12

loga 1

0−

12

loga (x2 (x + 1)) + log a x +

12 ·loga (x + 1)

= −12

loga x2

− 12

loga (x + 1) + log a x + 12 ·loga (x + 1) = −loga x −

12

loga (x + 1) + log a x + 12 ·loga (x + 1) = 0

4. Encontrar la soluci´on de la siguiente ecuaci´on para x:

1 + 12x2

−4

= 3x

−2

Sol:

1 + 12x2 −4

= 3x −2

/ ·(x2

−4)⇔x2

−4 + 12 = 3( x + 2)

⇔x2

−3x + 2 = 0 ⇔(x −2)(x −1) = 0 ⇒x = 2∨x = 15. Considere las funciones f (x) =

x + 3x2 −1

; g(x) = x −1

x2 + 5 x + 6.

(a) Encuentre el dominio de f y g.Sol:Observe que:

f (x) = x + 3x2 −1

= x + 3

(x + 1)( x −1) →Domf = R − {1, −1}

g(x) = x −1

x2 + 5 x + 6 =

x −1(x + 3)( x + 2) →Domf = R − {−3, −2}

(b) Encuentre x tal que:

[f (x) ·g(x)]− 1

= 0Sol:Observe que:

f (x)

·g(x) =

x + 3

(x + 1)( x −1) · x −1

(x + 3)( x + 2) =

1

(x + 1)( x + 2)

⇒[f (x) ·g(x)]− 1

= ( x + 1)( x + 2)Por tanto, ( x + 1)( x + 2) = 0 ⇔x = −1∨x = −2.

(c) Calcule f (g(−4)).Sol:

Observe que g(−4) = −52

. Por tanto:

f (g(−4)) = f −5

2 =

−52

+ 3

−52 −1 −

52

+ 1 =

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