paul tannery memo i 022133 mbp
TRANSCRIPT
PAUL TANNERY
PUBLISPAR
J.-L.
ECEIBERaIV
SCIENCES EXACTES CHEZ LES BYZANTINS1884-1919
TOULOUSE EDOUARD PRIVATUBBAIRE-DITEUB
PARISGAUTHIER-VILLARSLIBBAIRE-IDITEUR
l4,
RUE DES ARTS
55, QU DES GRANDS -AUGUSTINS
1920
CARNEGIE INSTITOTE
MMOIRESCONTENUS DANS LE TOMEIV
N"
I. ~~-
1884
(p. -19).et
Manuel MoschopouosN3.
Nicolas Rhabdas.
1885
(p. 20-26).les chiffres
Le Scholie da moine Nophytos surN"3.
Hindous.
1886
(p. 37-60).
LeN"II.
trait de
Manuel Moschopouos sur
les
carrs magiques.
1886
(p. 61-198).les
Notice sur
deux
lettres
arithmtiques de Nicolas
Rhabdas
(texte grec et traduction).Introduction (61 -85).
Texte grec.
Traduction (86-187).la
Exposition abrge
Byzance de Consitaniin^
Rhabdas, surExposition des
de la science da calcul, improvise par Nicolas Artavasde de Smyrne^ le demande de M" George le Khatzyce (86).et trs claire
lettres (88).les doigts (90).
Expos de
la
numration sur
De V addition (96). De la soustraction ou relranchement
(96).
^l
MMOIRES CONTENUS DANS LB TOME
IV.
De la multiplication (98). De la division (98), De la racine carre (100). Sur la progression et l'ordre des nombres (102;. Limites des nombres monadiqaes (106). Limites des nombres dcadiqaes (108). Limites des nombres hcalontadiqaes (loB), Limites des nombres chiliontadiques (108).Note de Tannery
(m).Smyrne1
Lettre de Nicolas Ariavasde de
(le
Rhabdm) h Th^ndorrnon raiijnnes /laB).
Tsavoukhe de Clazomne
(
n 8-
87)
De
l'invention de la racine carre des carrsla vie civile (t^o).
Mthode des calculs deIndex spcial (iSS'igS).
N*
5.
^
1886
(p. i99-2o5).les
Les chiffres arabes dans N6.
manascriLs grecs
.
1887
(p. 207-322).le
Thodore Prodrome surgrec indit et notice).
Grand
et le Petit (
inHn>Si (U^\\f
N"
7-
-
1887
(p. 223-239). les
Les noms des mois attiques chez
Byzantins.h'
Mthode pour calculer sar quel degr du zodiaque se (nvivr.
mleil
1
i.i-i
,
N^
8.
~
1888
(p. 241-260).le
Notes critiques sur
trait de l'astrolabe de Philjriri.
Trait de Philopon (348). Scholie de Macarios (aS).
Trait du PseudO'Mgyplius (256).
N'
9.-
1892
(p. 261-268).
Psellus sur la grande anne.
N"
10. -.
1892
(p. 269.374).
Psellus sur les nombres.N'
u.
-
1892
(p. 275-282).
Psellus sur Diophante.
MKMOmES CONTENUSN*la.
OA.NS
LE TOME
V.
tll
-
1894
(p. 283-287).les
Le calcul dea parties proportionnelles chezNi3.
Byzantins.
"- 1906 (p. 289-393).
Les phnirides chezrs'"
les
Byzantins (uvre posthume).(p. 295-411).
i4.
Le Rabolion (uvre poslluime)Avant-Propos, 297.I.
La
fjomancie chez les arabes,
par
il.
nirodiictlon de
Paid Tannery.
mancie en Occident.-"
le B"""
C. de
Vaux
(a 99).
U iniroduction// ars
de la go-
.
Pour
l'histoireIII.
U.
Hugo
Sanccelliensis..
la
geomantia novales
V.
da mot gomancie. geomanii et
La
technique de la go-
uancie (3 18).
UI.
La gomancie chezParis. 22.(354).
IV.les
Byzantins. - I-HL
Le manuscrit grec(grec)
Fragments du manuscritLatins.
2^19
IN'.
La gomancie chez'
1.
Le manuscrit (de
latin 73SU.
U. Le Liber geomantie novele
Hugo
Sanccelliensis)
d'aprhN'i.j.
manuscrit de
la
Laurentienne (373).
~
Articles de la grande encyclopdie (p. 4i3-42i).chiffres
([).
Histoire.4:i2-V^i).li^!).
Additions
Sur
le
projet d'an Coi'piis des humanistes byzantins (p.//'
Discours prononc an banqaet de clture da
Congrs interna-
tional de f^hilosophie Genve, 8 septembre i90^i (p. /pg).
Note
(p. /i3uj.
IndexEn^ata
([).
/|3:)-.'i,V>j.
(p. /i/ujq.>.'\!\'i).
Corrections
.
PLANCHES.
Manuscrit grec 1928 deF^
la
BibL Nat de
Paris.
i5. Chiffres indiens.
H.
Manuscril arabe 2697 deF**
la
BibL Nat. de Paris.el-
16.
Talisman de Tomtom
hindi
pour
la dcouverte
de l'eau.
m
et IV.
--.
Manuscrit arabe 63i deF* 65r".
la
BibL Nat. de
Paris.
Talisman pour
la dcouverte des trsors enfouis.les
F" 6A V".
Talisman contre
maladies qui peuvent atteindre
les diffrentes
parties du corps de l'homme.
V
et
VL
-^ Manuscrit grec ^434 de la BibL Nat. de Paris. F" 189r" (ti V".
Figures astrologiques.Signes des plantes,etc.
VII et VIIL
ManuscritI''^
latin
7354 de
la
Laurentienne.
XXV. Les figures gomantlques.
Fac-siinil('
du dvelopiximcnt des figures gomantiques du
Lauronlianns, par Tannery.1\. "
iManuscrit franais 14778 de{Dictionnaire, de
la
BibL Nat. de
Paris.
gomancie de illS, prtendument traduitr i
de r hbreu)
f"
Dans
le pelit
cartouche
(jni
prckleet
la liste q\qs
Mmoires place entrois aspects
ttela
dit (:liar|upcarri(''r('
volimu*, les deux:
r])(''es
un sabre rai)pcllent
de
dr PanI Tannmhv
Sergent l'Ecole Polytechnique, Ingnieur des
Manufactun^s df F Fiat,
L'-(ioi()nel d'artillerie.
Sur
luieet
banderole,
sa
devise
u
en
temps et lieu
rsume sa
vie
d'homme
de sa van L
1884.
MANUEL MOSCilOPOULOS ET NICOLAS RHABDAS
Dans
ses VennisclUe Unlersuchangen zur Geschichte der matlteWisscisctu(Jen\iriaiiisrjil
malisclien
M.
SiegmuiKl(le
Gunther
a
publi
crapros un
do
la
biblk)lhqae
Municli (p. igB-aoS),
le lexle grcu; (Fini
\h)1\1il
li'aiie
de Manuel Moscliopoulos sur lesellbrce d'en
carrs inayicuuis, ci
s'esL
delerminer Tpoque.
(lonmuMU^,
traite est
adress un Nicolas Artavasde Hliabdas| |,eL(|uin/inie sicle(U)nti(snt
qu'unnales
niauiscrit
du
de
la
Bibliothque natiolaite pai"
(Tonds yrec n"pers()inia^-(s,
'>yi>,8)
une rdition,
ce der-
nhvcrifsJ-n
du
(intiul
aUcal
siiivanl les Iluidous
de Maxime
Planude, tandis
(pril (existe
de ce ninie ouvrage d'autres manus(|uinziine sicle, e.venipts des
du
(|uat()rziin(Mt
du
chancru
j;enients introduits par Hhaixias, iotre savant collaborateur a
|)ouvoi'
considrer connut^|)lus
|)i-ol)able
que Moscliopoulos a apparsavie,
tenu,(p.
|)ou' la
grande partie de
au quinzime
sicle
i>.()7).
i/tude que
j'ai
faite
dula
manusc'it prcit n"vie
^/|^8
m'a permisreporter un
de
|)'ciser
une date de
de Rhabdas
et
de
la
sicle plus tt.
I.
I.eipzig, TeubiKM-, 187G-
V.I
Li Gnmde Encyclopdie,l'ALL
t.
XXVII,
p. 560.]
TANNERl
MM. SCIENT.
IV.
2
MEMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAl
L
T\NM:H\.
Ce manuscrit renferme enmtiqueintitul:
effet (fol 225-t>.4r)|
un
fratr arilln
Tw
uTTsplcocv sx6u[/.o)(; o:).ou[JiV(p,
tw zloc^opvs? Ty^Wff/,
Hs^iV^^^ro,
o
A
son trs cher ami de cur, Thodore Tzaviuikhule
i\v
Cla
zomne, Nicolas Artavasde de SmyrneByzantide.
Hliabcias vvv'
vvv'i
de
Or
ce trait contient (foh a3i)
un
calcul
de
la
\mi\\ie
imur
la
prsente anne^ l'an 6800, 17et la
dule
cycle solaire, 9
du
cycle lunaire,
pque
est
donne pour
8 avril.fauiivt, et l'oinis
La date de
l're
byzantine est certainement
sion des lettres numrales indiquant les dizaines et les unh's se
souponne
la seule
inspection
du manuscrit; mais
tcaih^
les
autres donnes concordentpossible, l'an
pour dsigner, sans^^'''^'^'**
(uiciine
a//i///f//i/f'
i34i aprs J.-C, ou 68/19
byzantine.
Le manuscrit n' 2428 contient d'ailleurspoules avectrait (fol.
le tiaite (^elui
de Mu-^cleiMuniel,
un
texte
en meilleur tat que
de*
Cedu
i8i~i85)
commence un
recueil d'ouvraf^vs luattH'*
matiques, essentiellement distinct des parties pree( lentes
manuscrit
:
Le((
titre
peut se traduire ainsi
:
Du trs
savant et bien heureux matre iManiiel Moselu
jp,8j>.),
ce fut le prdcesseur
imm-
diat (TAndi-onic \c Vieeux.
l^]n
tcMiant
compte des recherches desensiblement plusarith-
Titze et
(l(^.
la
donncM^(l(\s
(l(^.
Montlaucon, on peut donc penser queniagicpic^s tait
Tautcur dui^c.
trait
cai-rs
(\ue Nicolas Hhalxlas et qu'il a
compos son opuscule
niticpH^sicles
dans
sa vieilk^ssci, vers le
premier quart du quatorzime
TAM^'ERY. MMOIRES SCIENTIFIQUES DE FAtIL
II
Dans
le
manuscrit n^
2/128,
Fopuscule de Moschojioulc^H v^i
suivi (fol.
n\et 186-193) de la '/]909opix zxt^ 'hhv de l^lanudcNde Rhabdas.
les additions
Le
calcul suivant les
Hindous, dit
le
grand
:
mm minmlhmetle*
par
le trs
philosophe parmi les philosophes
et trs vinr*rahlillhiiliclas
parmi
les
moines matre' Maxime
le
Planude
Nicolas.
La notice donne sur ce manuscrit pardition
(lerharcit,
dmis sonl'ta
du
trait
de Planude {Das Rechenbuch des Maxim usxii),
mdes, Halle, Schmidt, i865, p.((
est passaliknneiii iinnacii,iiaiiife
C'est,
dit-il,
une revision de l'ouvrage de Planut!**;
chose a t laisse de ct, d'autres ont tautre crit de Nicolas Rhabdas.
(rn|)riiiti*^
M.
-
3. t^v) tcl^fxtceo
(l
sur grattage d'un
5.
J'ai
ajout toO
E...
-
FXF^ BM, eorr. G. -- 8. -,r^.a. M. cm. M --- .a: ^c6.u..liTJO.V)r^p.ttu
^-
^pou;...)
v])
si
6.
S'
9.
8
pvSs;
xal -^.co
om. M.14. StSco^i
^
M.
-
v)
Se
M.
M.
B.
10. ..ovo^oor
G
i.. ^oAXa.rXa.to.
:
abr.
mal rsolue.
cm. B.
LES CARRS MAGIQUES.
37
cherch et trouv une mthode pour obtenir facilement la quotit de la somme des nombres partir de Funit jusqu'tel
voudra voici cette mthode Nous prenons le nombre jusqu'o va
que
l'on
;
:
l'addition, et
nous
le
multiplions par lui-mme; puis nous partageons en deux parties gales la quotit
provenant de cette multiplication l'une;
des parties nous ajoutonspli parla
la
moiti du
nombre
qui a t multila
lui-mme;dela
il
arrive ncessairement
que
quotit de
somme
moiti de la quotit provenant de la multipli-
cation et de la moiti du
nombre qu'ondela
multiplie par lui-mme
est identique la quotit
somme
des nombres partir de
l'unit jusqu' celui qu'on a multipli
par lui-mme.
Ceci peut tre rendu plus clair sur des nombres dtermins,
comme suitPrenonscherchela
:
encore
9,
commeil
le
nombre jusqu'auquel onle
somme
des nombres partir de l'unit. Nous
multiplions par lui-mme;
devient 8 r que nous divisons en
deux parties gales;4o1/2;
il
revient chacune des deux parties
maintenant nous divisons aussi 9 en deux parties gales; il revient chacune des deux parties 4 1/2, que nousajoutons la
moiti de[\o
la
quotit provenant de la multipliIl
cation, c'est--dire la
1/2.
vient
comme somme
45.
Or
quotit de la
somme de
tous les nombres partir de l'unit
jusqu' 9 tait galement de 45, et cela arrive galement pourtous les autres nombres.
Ceci pos,
il
convient maintenant d'aborder
la disposition.
Nous commenons par le premier nombre qui en est susceptible ce premier nombre qui puisse tre dispos ainsi en carr est celui form de 3 (fig. 2), dont nous allons donc parler en premier lieu mais la mthode qui va tre expose pour ce nombre pourra s'appliquer tous ceux de mme espce {les;
;
38
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
mm-^i.mp%vt^^s^^^m'.
Kal ik
jxv T(5v
So xal -rptwv,
o\jz('
avayypa[Ap.V(ov
twv
totucov toG
^4^(0uoviSa
OUTW Suvajxvou TetpaywvtdS'/ivai, viyouv^ tou 6, oS-cto- Tt.9a|^ev rr.v
em
Toi uiuv. Xx6xvovte; b. -~ i^.i3.lire.
M.
-
-
M. om. M. vaYx(70-/J|..V M.3.
xaTcorpou
eeTav
av)
G
n'a
pu
lire,
1,4% G
-
-
14. Vvx'sco
18.
LES CARRS MAGIQUES.impairs).
39
Or on peutles
obtenir la disposition qui donne Fgalit3, soit
dans tous
sens soit par 2 et
par 3 et
5.
[Mthode pour
les
carrs de nombres impairs].3.
Voici d'abord le procd par 2 etl'unit
Nous mettons d'abord
dans
la
case au milieu des trois du bas et nous comptons
deux cases, l'une celle qui a cette unit, l'autre nous la cherchons en dessous de la premire en ligne directe, car il faut toujours aller de haut en bas; comme nous n'en trouvons pas,nous remontons tout en haut, toujours en ligne directe, comme en revenant en cercle (vaxux)vovT), et nous comptonscette
seconde case; puis nous plaons 2 dans
la case droite
de
celle-ci
en ligne directe,
et
nous comptons de nouveau
deux cases, Tune celle qui a 2, la seconde au-dessous, et nous cherchons une case droite en ligne directe pour y mettre 3;
ne la trouvant pas, nous nous reportons gauche en lignedirecte; car lorqu'une range de cases est termine,il
faut
toujours revenir son commencement. Nous plaons donc 3sur la case qui estla
dernire pour notre marche en sens
inverse, mais la premire dans la-dire celle
marche versle
la droite, c'est-
que nous devons suivre ds
principe en
comp-
tant les cases
comme
en cercle. tant
ainsi arrivs 3, qui
multipli par lui-mme donne le carr, c'est--dire qui est le ct de 9, nous ne comptons plus deux cases pour placer ensuite 4 droite; mais nous comptons trois, comme suit:
une, celle qui a
3,
deux, celle au-dessous, trois, nous cher-
chons en dessous, mais ne trouvant plus de cases, nous remontons tout en haut en ligne directe; nous y comptons la case comme troisime et nous y plaons 4 sans nous carter de la ligne directe puis repartant de l comme d'un nouveau com:
40
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.toStov yip xXtvcpiyjJi^voi, [xstpofxev
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5
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Seo-co tti [AOvSo-
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xaTCOTEpo) xax*
EuSeIOV
TOJ IxeO-aLiaTOU irvxWV tcov TOTUWV TO TCpOXEipiEVOa TOt.OUTOU*7i:p(TT.
TTpayc)vou
Se zcluzol Tcvra o-acpECTspov opav ettI ttJ
vaypafj.
{fig.3,4,5.)
i.
ufj
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-
. ToTo)
5.
xx-m B.
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M
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6. euTfo.) p
M.
-
B.
3. e^Ti
7. rbv
-
M.
M.
8. vicrei
-
4.
ilV)
sl
9. toutou
M. M.
LES CARRS MAGIQUES.
41
mencement, nous comptons par 2 et nous plaons le nombre suivant droite suivant la marche indique; nous continuons ainsi jusqu' ce que nous retombions sur le ct de 9, c'est-dire sur 6, double
de
3. Arrivs
ce nombre, nous
recommenonsla troi-
compter par
trois et placer le
nombre suivant surla ligne directe;
puis nous comptons par deux et mettons droite, et ainsi de suite jusqu^ la fin, en comptant encore toujours par deux, pour tous les nombres, sauf quand nous venons de passer d'un ct
sime case sans nous carter de
un autre ct [dhin multiple de la racine au multiple suivant)^ alors nous comptons par trois. Nous faisons de mme pour tous les nombres de mme espce, en comptant suivant la rgle nonce; par deux, jusqu'au cot {racine) du nombre des cases du carr propos; puis par trois, pour le nombre conscutif; et ainsi de suite jusqu'lafin,
en reprenant circulairement
les
cases
comme dansles
l'exemple;
en
somme,
nous
observerons
exactement
mmes
rgles sauf pour la position de l'unit; car celle-ci ne
doit pas tre toujours place sur la
mmePour
case, mais elle
change de position
chaque
carr.
le
premier carr
form d'un nombre impair, on le place au milieu des cases infrieures pour le second carr, au milieu de la range imm;
diatement suprieure; pour
le
troisime, au milieu
de
la
range immdiatement suprieure la prcdente; en rgle gnrale, chaque passage un nombre suprieur, elle monte
elle-mme d'une case, en sorte qu'elle se trouve toujours place sur la case situe immdiatement et directement audessous de celle qui est prcisment au milieu de toutes les on verra tout cela cases du carr propos de cette espce:
plus clairement sur les figures
(fig. 3,
4, 5).
k
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
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TpOV*'* Xal
TOUTO^
[X')^pt
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LES CARRS MAGIQUES.les;
47
nombres correspondants l o il n'y a pas de points, nous passons les cases et les nombres correspondants; nous conti-
nuons ainsi jusqu' la dernire case de tout le carr; puis nous recommenons compter les nombres conscutifs partir der unit et les cases partir de la premire du rang infrieur dedroite gauche,et l
o
les cases sont vides,;
nous mettons
celles qui contiennent dj des les nombres correspondants nombres, nous les passons avec les nombres correspondants,et
nous continuons ainsi en remontant jusqu'
la
premire case
du haut d' o nous sommes partis en descendant. Pour rendre ceci plus clair, traitons un des carrs de l'espcesoit le
;
premier, c'est--dire celui qui a 4 pour ct; nous le traons et nous mettons des points sur les cases des diago-
nales
comme
ci-contre
(fig. 9, 12)
:
nous commenons ensuitenous mettons
par
la
premire case du haut
et par l'unit, et
tout d'abord l'unit sur cette premire case, puisqu'elle porte
un point; nous passons la seconde case o il n'y a pas de point, et en mme temps le nombre 2 qui lui correspond nous pas;
sons
de
mme
la
troisime case
et le
nombre
3
;
sur la
quatrime case qui porte un point, nous mettons 4; nous passons la cinquime case et le nombre 5 sur la sixime;
case,
nous mettons 68, la
et sur la septime 7.et 9; sur lala
Nous passonset 12
la
huitime et10 et sur la
neuvime1 1;
dixime nous mettons
onzime
nous passons
douzime
;
sur la
treizime nous mettons i3; nous passons la quatorzime et i4,la
quinzime et i5; sur
la seizime
nous mettons
16.
Nous
recommenons maintenant par l'unit et par la premire case du carr au rang du bas en allant vers la gauche nous passons cette premire case qui contient un nombre, et en mme temps;
nous passons l'unit qui
lui
correspond sur;
la
deuxime case
o
il
n'y a pas de nombre, nous mettons 2; sur la troisime 3;
48
PAUL TANNERY. MMOIRES SCIENTIFIQUES DE
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M.G.
3.
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B]
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5-
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Tpa ora.
A;
BM,
en marge;
jjil&oo;.
7. vaffTp(p(D
voccTpecpa)
M
dans
le texte.
pu
4-
T B.
6. rspa)lire.
8. vjyouv)
B.
10. TOV
B; une seconde main a corrig.
G
M
aj.
9. /^ov
11, tou TeTpaycjSvou
om. M.
12. ^oVAaTrXajia et -jioa'-tirXacta interv.14. TOV
B.
i5. xa:
om. G.
M.
~
i3. TcoUaTuXocffccjavTo pi6{jLou
M.
16. -KoXka.Ta.aiaXiv
M.
LES CARRS MAGIQUES.
49
nous passons la quatrime et 4; sur la cinquime nous mettons 5; nous passons la sixime et 6, la septime et 7, nous mettons 8 sur la huitime, 9 sur la neuvime; nous passons la diximeet10, la
onzimela
et
11,
nous mettons 12 sur
la
douzime;la la
nous passons
treizime et i3, nous mettons i4 sur quatorzime, i5 sur la quinzime; nous passons enfin
peut suivre clairement l'opration sur la agirons suivant le mme procd pour les carrs figure. Nousseizime et 16.
On
de
mme nature.[Autre mthode,]
Voil donc la premire mthode la seconde procde;
comme
suit
du premier nombre qui puisse tre ainsi carr, c'est--dire de celui qui a 4 pour ct; je remplis ces cases de nombres comme ci-contre (fig. i3) puis je me:
je dcris les cases
:
comme archtype et comme modle pour les carrs suivants de mme espce car tous les carrs suivants l'admettent comme partie d'eux-mmes; tout d'abord celui quisers de ce carr;
vient
immdiatement aprsle
lui a
son ct doubla du sien; or
tout carr d'un ct double sera quadruple de celui
du ct
dont
sien est double
;
donc
le carr qui suit le le
premier se
divise
en quatre gaux au premier;le
suivant a son ctil
double du ct du prcdent, quadruple de celui du premier;serail
donc de quatre fois
prcdent et de seize
fois le
premier
;
se divise
donc
en seize carrs gaux au premier.le
Nous
trou-
vons donc facilementd'aprs leurs cts;
rapport de multiplicit des carrsfois le ct
nous examinons combien de
est multiple du ct, et nous prenons le nombre suivant lequel il est multiple; nous multiplions ce nombre par lui-mme, le
produit de cette multiplication sera le rapport des deux carrs.Ainsi le ct est quadruple du ct; je prends 4 et je le mulPAUL TANNERY. MEM. SCIENT.IV.
4
50
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.IttUTa, xal yiVETai
mutotl^'
i' cLTio^cLiyo^au>cal
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LES CARRS MAGIQUES.tiplie
51
par lui-mme,
il
vient i6; je dis donc que le rapport de
multiplicitIl
du carrsuit
est i6; et de
mme
pour
les autres.
fera
la position des nombres qui se aprs le premier nombre qui se carre ainsi et que nous avons dj donn, nous dcrivons les cases d'un
faut maintenant passer:
comme
marques de carrs gaux au premier que cela peut se faire en autant puis nous remplissons la moiti des cases des carrs en commenant par le haut et en suivant; pour cela nous regardons sur le premier carr et nous plaons les nombres suivant la;
autre carr de Fespce, et nous les divisons par des
place qu'ils y occupent
;
ensuite recommenant par le bas, nousl'autre moiti des
remontons jusqu'en haut, en remplissantcases qui a t laisse sur chaque carr.
[Exemple.]
Pour plus de
clart, dcrivons:
un carr denousle
l'espce et
mon-
trons la position sur ce carr
soit celui qui vient;
immdiate-
ment aprscarrs
le
premier
(fig.
i4)
traons
commeenci-
ci-contre et nous le divisons par des
marques en autant deil
gaux au premier que cela se peut;
se divise
quatre.contre,
Nous remplissonsla
lala
moiti des
cases
commeet
en commenant par
premire en haut
en desla
cendant jusqu'dernire
dernire en bas; puis recommenant par
en
bas
nous remontons jusqu'
celle d'o
nous
sommes
partis, la
premire en haut, en remplissant
les cases
vides, suivant la position sur le premier carr; et nous avonsainsi le tout
rempli ayant
les cts
donnant des sommes gales
dans tous les sens. Le procd est le
mme pour
les autres.
52
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.Itrdov 8 kl evTati-np
t^ U^ra, v6a av )v6oi TecTcrapa tottou Terpa*
rcovou*, Tyjv TcXeupocv TtotTidsi; tou Trptl)TOU TTpayei)VOU
OTuep ImTrJ*; Trpotpa
ou avyioLivBrcojOTTjTa
U(T(i)'
xal 8iat.pou[jLva)V sic aa Siioey^sr touto 8aru|j.6atvt.,r\
twv
TtXeupcov, ttjv lotjv
exspov
jjipo
7c}^7]v
tou TrptoTou,
ev
timo-f xal aXXa syti
-fkoL^fufa.
xal crcela, iiep
pTiGeTcra^
ox eI5^v^
[TXo TOU auTOU.]*
I. TExpaftiJvot
M.
a.
yipirjetcTa
M.
3. sT^^e ys
M.
4. d'aprs B.
LES CARRS MAGIQUES.Il
53
que dans cette position en prenant quatre cases quelconques en carr, on aura le ct du premier carr, ce qui n'avait pas lieu pour la premire disposition. D'autrefaut savoirpart, sid'elles
Tonle
divise les cts en deux parties gales, chacune
donnera la
mme somme
;
cela a lieu dans tous les carrs,
sauf
pour
premier. Cette disposition jouit encore d'autreset intressantes
proprits remarquablesla
que ne prsente pas
prcdente.[Fin]
54
TANNERY. MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL
Fig. 1.
1
LES CARRS MAGIQUES.
55
Fig. 4.7
22
56
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
Fig. 5.S
369
37
LES CARRS MAGIQUES.
57
Fig. 7.
10
58
PAUL TANNERY, MMOIRES SCIENTIFIQUES DE
Fig. 9.
Fig. 10.
LES CARRS MAGIQUES.
59
Fig. 11.
Fiff. 12.
Fig. 13.
3't
34
34
34
1
60
TANNERY. MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL
1
4.
i886
NOTICESUR
LES DEUX LETTRES ARITHMTIQUESDE NICOLAS RHABDAS(texte grec et traduction)
I
.
C'est Pythagore qu'une tradition plausible fait remonter
la fois et le
concept
mme
de Science, avec Tadoption duprofonde distinction recon-
terme technique de
[xaSyifxaTc,
et la
nue, dans toute l'antiquit classique, entre l'Arithmtique, savoir la science des proprits des nombres, et la Logistique,c'est--dire Part
du
calcul.
Cette distinction,
que nous ne
faisons plus, apparat djelle n'y esta,
dans les dialogues de Platon.
A la vrit,
pas abso-
lument prcise;
car, si le disciple
de Socrate
sans aucunil
doute, le sentiment trs net de ce qu'elle devrait tre,
se
conforme aux habitudes du langage de son poque, o unecertaine confusion
semble rgner encore entrela
l'objet
de
l'Arithmtique et celui de
Logistique; nous n'avons pas
nous en tonner,(p.
si
l'on peut conclure
de YHippias minor
366-368) que le double enseignement tait alors donnles
simultanment et paraujourd'hui.
mmes
professeurs,
comme
il
l'est
60
TANNERY. MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL
1
4.
i886
NOTICESUR
LES DEUX LETTRES ARITHMTIQUESDE NICOLAS RHABDAS(texte grec et traduction)
I
.
C'est Pythagore qu'une tradition plausible fait remonter
la fois et le
concept
mme
de Science, avec radoption du
terme technique de
[jt.a97ifi.aTx,
et la
profonde distinction recon-
nue, dans toute l'antiquit classique, entre l'Arithmtique, savoir la science des proprits des nombres, et la Logistique,c'est--dire Fart
du
calcul.
Cette distinction,
que nous ne faisons
plus, apparat dj
dans les dialogues de Platon.
A la vrit,
elle n'y est
pas abso-
lument prcise;
car, si le disciple de Socrate a, sans
aucunil
doute, le sentiment trs net de ce qu'elle devrait tre,
se
conforme aux habitudes du langage de son poque, o unecertaine confusion
semble rgner encore entrela
l'objet
de
l'Arithmtique et celui de
Logistique; nous n'avons pas
nous en tonner,(p.
si
l'on peut conclure
de VHippias miiior
366-368) que le double enseignement tait alors donnles
simultanment et paraujourd'hui.
mmes
professeurs,
comme
il
l'est
SI
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
mathmaticiens admirent Mas aprs l'ge des sophistes, les tmanimement les principes d'ducation scientifique dveloppspar Platon dansla
Rpublique et dans les Lois\ les
Xoyiry(Aoi,
les
procds de calcul, sont exclus du corps mme de la science; leur jeune ge, et font partie ils sont appris aux enfants dans
de renseignement primaire,
si
l'on
peut employer
ici
ce terme
moderne. L'Arithmtique vritable, avec les trois autres \i.cl%potm reconnus par les Pythagoriens, se trouve professe undegr plus lev \Cette circonstance est une des causes qui font
que nous ne
savons, pour ainsi dire, rien de ce qu'a t la Logistique desGrecs, tandis que nous pouvons facilement ide assez prcise de leur Arithmtique.
nous former une
Cette dernire se trouve, en effet, expose scientifiquement,
avec un appareil de dmonstrations tout fait semblables celles
de
la
gomtrie, dans les livres VII, VIII et
IX des l-
ments d'Euclide, ct desquels on peut placer le petit trait
de Diophante Sur
les
nombres polygones. Elle
est,
d'autre part,
rduite un enseignement sans preuves, destin
aux tudiants
en philosophie, dans des manuels
comme
les crits
de Nico-
maque, de Thon de Smyrne
et
de Domninos, ainsi que les
commentaires rdigs par Jambliqae, par Asclpios (encore indit) et par Jean d'Alexandrie (Philoponos) sur V Introductionarithmtique du premier de ces auteurs.
nous rencontrons dans ces divers ouvrages l'ensemble des connaissances que l'on doit regarder comme prlisi
Mais,
minaires la thorie des nombres, nous n'y trouvons rien surle calcul;
aucun empitement n'ysoit
est faitlecteur
sur ce qui tait consimes deux premiers articles novembre 1880
I
.
Qu il me
permis de renvoyer
le
sart
U Education
platonicienne dans la Revue philosophique de
mars i88.
[Y. le VII^ volume].
NOTICE SUR LES LETTRES DE RHABDAS.dr
63
domaine de la Logistique, et aucun crit ancien ne vient combler la lacune singulire que prsente ds lors l'histoire des mathmatiques anciennes.le
comme
peine avons-nous quelques tmoignages sur l'existence dans l'antiquit de traits spcialement consacrs la Logistique ^ cependant ces traits ne devaient pas manquer, et Fart
A
du calcul ne fut pas nglig, puisque nous apprenons par Geminus, dans Proclus*, que, dans le courant du premiersicle
avant Fre chrtienne, cet art se trouvait lev au rang
de science secondaire, auet la
mme titre que la godsie,
l'optique
mcanique.
que nous pouvons constater par le fragment de Speusippe Sur les nombres pythagoriques^\ que le cadre de l'Arithmtique thorique n'a pas t sensiblementD'ailleurs, tandis
modifi depuis le v sicle avant l're chrtienne, la Logistique
dut au contraire subir, vers le
commencement du
iif sicle,
une profonde rvolution,
si c'est
cette poque* seulement que
1.
Un
Apollodore
, il est permis de croire qu'ici nous nous trouvons effectivement en prsence de tables telles qu'elles taient en usage dans
c'est l'antique tradition
sur l'origine phnicienne de l'arithmtique (IV, 278-
^79)
Xeipb ludTpocpXiYYO OfxoTCAoxa oxTuXa xxunla''AdTttTa
xuxXa
VOTIFS TiaXivvoffToio ceXt^vtj.
figures
Dans son article ci-dessus mentionn, M. Froehner du calcul sur les doigts.
a indiqu des
preuves
78
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAQL TANNERY.
Faddition et la multiplication, figure Fantiquit pour apprendrepar figure.
semble prouver que les La disposition qu'elles affectent table de multiplication double Grecs n'ont jamais employ laentre, vulgairement diteJ'ajoute
de Pythagore.parat indiquer que, lors
que
le
nom de Palamde
numration, pour de Finvention du systme alphabtique de attribue au hros que la tre rendue plus respectable, elle futtradition faisait dj inventeur des
nombres. Cette lgende
doit sans doute se rattacher celle qui faitlui diverses lettres
remonter jusqu'
de l'alphabet, et elle a d tre forge par
les
grammairiens alexandrins qui auront t les vritables
auteurs du systme.
9.
Pour
le calcul
approch d'une racine carre incommensu-
rable,
Rhabdas donne une mthode toute particulire dont Femploi dans Fantiquit n'a pu tre constat. Cette mthode,assez importante au point de vue thorique, se retrouve dj
gnralise dans Barlaam, mais elle doit tre plus ancienne,et
Rhabdas ne Fa pas emprunte son contemporain.
En
tout
cas, c'est la seule
que donne un texte grec pour l'expres-
sion de la racine carre approche avec des fractions ordinaires.
Pour
la
multiphcation et
la division
des nombres fraction-
naires exprims avec des suites de quantimes,
Rhabdas donneil
des exemples, o
il
procde en rduisant au dnominateur
commun;nest pas
c'est, dit-il,
une mthode gnralement inconnue;il
douteux cependant qu'ici encore,
ne reproduise
la
tradition antrieure Il
Geminus.
nous donne ensuite une mthode de
prsente
comme tant de son
invention
;
il
comput pascal, qu'il est remarquer que.
^OTIGE
SUR LES LETTRES DE RHABDAS.
79
sauf
un trs lger perfectionnement, cette mthode mme que celle qu'Isaac Argyre s'attribue dans sonle P.
est latrait
publi par
Petau^ttoIi-
L'exposition de la rgle de trois, que Rhabdas appelleTuoct,"XoyocpLocfjp,
est
un morceau unique en grec; d'un autreles applications,il
pour en expliquerles dix-huit
donne quelques
dtails intressants sur la mtrologie de son temps.
Enfin,lettre
problmes indits qui terminent la Tzavoukhe n'offrent gure d'intrt au point de vuesiils
mathmatique,
n'en reprsentent pas moins, parainsi
la
forme
en historiettes de leurs noncs,
que par
le
mode
synth-
tique de leurs solutions sans raisonnement, ce que devaienttre les
problmes de
mme
ordre dans les logistiques an-
ciennes.
Rhabdas nous a donc conserv
l'antique tradition aussi bien
qu'on pouvait l'attendre d'un auteur aussi rcent; je devais
mefait
demander
s'il
n'avait pas subi quelque influence de l'arithmattentif
tique hindoue-arabe; l'examen le plus
ne m'a
reconnatre rien de semblable, ou, pour mieux dire,influence n'est accuse que par une lacune regrettableles oprations:
cette
pour
de multiplication
et
de division avec desle
nombres de plusieurs
figures, au lieu d'exposer la vritable
mthode grecque,les avait
il
renvoie au trait surla
Calcul hindou^
preuve qu' cette poque,
commodit des
chiffres
modernes
dj fait adopter pour les calculs tant soit peu com-
pliqus.
10.
Il
me
reste dire quelques mots des manuscrits de la
Bibliothque nationale o se trouvent, en totalit ou en partie,
I.
Uranoogion (i63o), p. Sdq-BSS.
80les
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
deux
lettres
arithmtiques de Rhabdas, et
que:
j'ai
repr-
sents, dans les
variantes, par les lettres suivantes
A = fonds
grec n^ 2428, in-4^ sur papier, du xv^ sicle, provenant de
Trichet-Dufresne.
Premire
lettre,
fol.
194-202.
- Seconde
lettre,
premire partie du texte, aux leons fol. 225-245. [On Vatic. Gr. 1411, que Fauteur a reconnu comme l'origmal du de A celles dua substitu, dans la
ms. A,
V. plus
haut
t. II,
p.
3io
et ss.].
sur papier, du xvi = fonds grec 2535, Fragment de premire dbut, 47. sur papier, du xv^ 652, C = supplment grec i54 verso-i6(. Dbut deMynas. Premire
B
n^
in-8,
sicle,
provenant de
Baluze.
la
lettre,
fol.
n"
in-8,
sicle,
provenantla
lettre, fol.
de
seconde
lettre,
foL
1
65- 166.
D = fondsMeaB&
grecn 2107, in-8, sur papier, du xiv^ sicleet Reg. 3 102*.XoyapKxajjLSv et
rmno^Remensis ^5'^to^.iTixv
Partie denomPque,
(?),
marqusous
Telle-
la
seconde
lettre,
le titre
sans
d'auteur, fol. ii5 verso- 122.
E
= supplment grecj'ai
npva[oL> 'Ap-ca-
gauSou piSpTixou
xal yswjjLeTpou
xo5 TaS,Toij
alT7iv,
Toiv
VcTE
Tol
ptOpLoT
s'^TTiji-Tcov,
Tcavo-eao-TsTYiv
em
tcv
I,
Yivworxwv
(TTouaLw
Ijovicf.
p.a9lv,
opyav(I)(7at.
[aIGoSov
ETweipTiV, apipiEVO cp'Tf|V V Toi piSpLoT
c5v cjuvoTTixe toc
TxpyfxaTa rejAeXLwv, UTroo-r/jcrai[^V
O0-I.V
T xal Svap-iv. "Idw
ouv Soxsl TO TCpyp.a
10
Su5YS^^3^2po^Eiffiv
IiielStj pL7]7ra) yva)pi.[JL6v Igii, 8u(tXtcitoi.'{^U'j(_aL,
yp
sic xaTopScocLv
al
Twv
ap'y(^opLvtov
ojjlw S' xaT:X7i7:T6v croi yV7]GrTai. 8f. tp.97ia"t.v 7rt.9up.[ao-O!.
TTiV
irfjV
TTpoS'JpLiav
xal rriv
EfXYjv aTcoSEi^LV, 'zcuyela yotp el
7OGrXa6o(ja oioLyjiV,ttpiSjjLO'J
'AXl xal
Tpo toTctSe yivwo-xovTL
Tuvxa To
o-uyxEipiivoj; x
piovStov ttXtiSou ti^vo,Sti
cpaveoov
xaGcTXVixEV l
5
aTTEipov lyEiv t/^v
G^apiv. TUy^avovTWvTO'JTWV
ouv V toutola-
twv
pi.6[J.(i)v
Six^opwv xalap^acrSai
'z\q
7ii*^ipria-a)s outco
SeI to
pyou TipOTSpov
xa'l ff
xal tov ^ou6[jlVov [jleteXGeIv ty^v TivaaETv,cTjiJia'lvEJ.
pi.9[Ji(i)v Tr!.c7T7][jLYiv.
npWTOvTiis-ov
pLV
TTOo-a 0T0i.^'i
la-i.
Ta
c7U[jL6aXX6[Jiva
i
auTriv xal
2
ipiSaov'jcrl
xaa-TOV
aUTWV, lTatcc
tco
SeT to? pLpioc xpaTE^vaT'/j
20
cv Tai;
'//ptri,
[jLTa
touto
7uap76[JLva
St.oa^^Gr|Crcr9a!.,
lTa
Tau-.ov lpovTa So'Jva,
tw
tti U7:o9a"(i); olovl (jdikOLii.
MANUSCRITS Y=:Vatic. Gr. 141
B^
= PREMIRE
MAi^'
DE B,
G
A = Paris. = Paris. Gr.1,
Gr. 12428,
suppL. 652,4).
M = l'dition princepsV,B.ttj
B
= Paris.
Gr. 2535,
DE L 'Ex^pidi; tgO oaxTUAtXD asTpou (F. Morel, 161I.
u-fix-^hl^jx... 4. XotT^uxT,
om. B*.toutov
\-iTioiciGou VppvsciVj
G.
4.
^aGT^ B.
2. TT,] e
corr.oDi.
6-^7
(j
B.
AC,
to
B. -
17. xal (alt.)l
a. D.
E-iffrTiaYjVj e^ncrTTifXTjV
tov xpoTiov Trpo/^wpTJai
i8.
TTOcra
B.
21. TJTbv B.
NOTICE SUR LES LETTRES DE RHABDAS.
87
EXPOSITION ABRGE ET TRS CLAIRE DE LA
SCIEKCE DU CALCUL, IMPROVISE A BYZANCE DE CONSTANTIN, PAR NICOLAS ARTAVASDE DE SMYRNE, ARITHMTICIEN ET GOMTRE, LE RHABDAS, SUR LA DE-
MANDE DU TRS HONOR MATRE DES REQUTES,
M'' GEORGE LE KHATZYCE, TRS FACILE POUR CEUX QUI VEULENT l'TUDIER, ET QUE VOICI:
1, 1
L'claircissement des questions sur les nombres, trs honor
matre des requtes, est,
comme je
le vois,
chose
qu'il te tient
cur de connatre; j'ai donc essay d'en traiter mthodiquement, en commenant par les fondements sur lesquels ilrepose, l'expos de la nature et de la puissance des nombres.
quand il n'est pas encore famicommenants est prompt se dcourager; cependant tu parviendras vite le saisir, grce ta bonne volont et mon enseignement, car, avec un matre, on apprend rapidement ce que l'on dsire savoir. Tu ne l'ignores pas et tu sais du reste que tout nombre est compos d'une certaine quotit d'units; il est donc clair que sa valeur peut aller l'infini. Mais les nombres se trouvant ainsi diffrents, pour aborder leur tude, voici comment il faut procder au dbut;difficile,lier,
Ce sujet peut paratrecar l'esprit des
je le dis et
pour
toi et
pour quiconque veut s'initier
la
science
des nombres.*
En premier
lieu,
il
faut savoir quelles sont les lettres qu'on
y emploie, et quel nombre dsigne chacune d'elles; puis comment on doit prendre les nombres sur les deux mains aprs;
celadire,
apprendreau corps
les
parpomnesdusujet.
et enfin s'attaquer,
pour
ainsi
mme
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
a
.
Efepl -ni
wv
o-TOi^eicov excrew.
II
IxQiXtlaixxTOU Twv
piV
ouv
elffi
Tct
YiXoOvTa T71V iroffOTYiTa xal to
p.Tpov Ivo
I
ipijJLtSv
TauTa
^
Y
S^
e_
-
NOTICE SUR LES LETTRES DE RHABDAS.
89
EXPOSITION DES LETTRES.
Les lettres qui dsignentdes
la quotit et la:
mesure de chacun
nombres sont
les suivantes
a
90
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.^Emt68ct(xcov Se auTol,tov
M.
4. xat
tou
7rapapt,crou
M.
iannery.-fWTO'Jfiivou]
optwv
M.
16.
M.
M. TOU -Ki^LlZ-ZCu] Y, yevojtevou G, opiw Ytvo|ivou M. 20. xat tou 16. yeipl om. M. c7j[jLaivi oxa] y{ko M.17. xat TOU TTCCpTOU
M.
jrpoaEYyidTj]
'n:poYYi^l^^'
M. cm. M.
23. - 26.
20.VM,
lpYixtp.v
V. -- 21
UTTOXAlVOpSVOv]XEtpvOo]
lC7Ta[JLV03V
M.
24AC
xoo'vuxov
OC vTt/etpO
XiplvU TOU
NOTICE SUR LES LETTRES DE RHABDAS.15
95
En tendant en ligne
droite et debout le quatrime doigt ou
index de faon figurer la lettre
I, les trois premiers restant mais un peu inclins et formant un angle avec la paume, unis, enfin le pouce dpassant ces derniers et touchant l'index, tu
marques 20 et 200.i3
L'index et le pouce tendus et inclins de faon se toucher par leurs extrmits, tandis que les trois autres doigts sontunis et tendus suivant leur position naturelle, signifient 3oet 3oo.
i4
Les quatre premiers doigts tendus directement, tandis quele
pouce figure
la lettre
r en dpassant l'index du ct ext4o, droite 4oo.
rieur, signifient
gauche
i5
Les quatre premiers doigts tant de
mme
ouverts directe-
ment
et runis, tandis
que
le
pouce
figure la lettre r
du ct
intrieur sur la base de l'index, signifient 5o et 5oo.16
En partant de la mme figure et en pliant en cercle Findex autour du pouce de faon lui faire toucher la phalange intermdiaire entre la premire et la seconde jointure, tandis quel'extrmit
de l'index va toucher
la
base du pouce, on marque
60 et 600.17
Les trois premiers doigts tant ouverts de
la
faon que nous
avons indique plusieurs reprises,l'index,
le
pouce appliqu contre
et
ce dernier embrassant en hlice l'extrmit du
pouce, signifient 70 et 700.18
Les trois premiers runis et inclins en angle du ct de
la
paume,
le
pouce dpassantappliqu surla
le
doigt du milieu ou troisime,la racine)
touchantdoigt, et
la
troisime phalange (celle contre
de ce
paume, tandis que Findex, dispos
96ItoIvo)Toi
MMOIRES SCIENTIFIQUES DEvri^e^po xetfxlvouo^J^ie'-
PAUL TANNERY.p9p(i>^Toa, ^pi o3TU
ItcI
t^
Tcpa)T(>
to
TOUTOU xpov eul T(p
Gru[ATcl.a,
opOiou ovto tou vTi^eipo,j
xaUoTpa;
extelva; SaxT).ou, tov 8 Xt.)(^avov cpel tb aTio tyI
cru(rco),-^
07^T.[xa Iv [asv Tou ypovQou lyevsTO, to toioutov
t^
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ST^Ssit-aT^.
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\y" pi" xal tX"
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pv^ TcoXXaTtlaaiao-VTtov, vp m?^'AaX^ outo.|jlv
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xal ,pfoS".6p.v
01 TToXXaTuXao-iao-jjLol eTcLiuESot.[JLSt'
XyovTai, xal(TOI.
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5
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6 Ss
a'JTOV TpO[JL7]X7]*
UTCoSeLcO
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30 x'jov 7:oXAa7:Xacrt.o"at, touteo-ti. a-Tp0v7:oAaTC)aTio"3ri, eIzcljj-EVo;
ocpcSjJiov.
["Tav yocp piSpio lauTOv
TXw 6 auTO tov ycvopievov ^ auTOU, tote 6 ysvo-
api9p,o; OTEpEO XyETaL]. oov etcI ixapaSElyjjLaTo*[JCV
EupsTi X160 TETpytovo ou TOff7r'Jap.)v
TuXaTO o-TTiGapLWv e", to Se pcrixo
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arTtLGajjiwv
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xal ir/^ TcoXXairXafno) ouv topt.9[JL0V7cot.(i)
^5
TTiTOs
':1
to a7\xo xal tov ycvojJiVOV au9i.
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TOV UTTEpov aTTovTa SX To 7coXAa7uXa(jiao-|jLo pi9[JL0V exeIvov Xeyto slvac
TOU A'JOU TO GTTEpEOV.
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EUpCCXOVTOel-j^ov
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rapaxEiuEvcov auToi p.op[o)v, suxoXco avTTAacria^uov*
tov toutcov iroXXa-
ih.
o Ta TuapaxL[i.va
[jiEp-/)
xal
[xopt-a
Suu'^EpYi Tivu ycvETac,
^. ....2.voxaTo:]V,
om. C.
o.yp^
'jte'1
om. V.
y
Y.
_
11, Tptdxato^caTa] des.
G.
14."^]
"V.V.
17.
:roXXa7rXaffta(76VTcov]
A,
TroXXairXaataffvTa
^x6'']
om. V.
NOTICE SUR LES LETTRES DE RHABDAS.10 11"'% car 3o 330*'^ font
123
un
11"^%
en sorte
qu'il est clair
que
3oofont 10 II"^^Je rduis de
mme
les plus fortes fractions qui sont avec 8J'ai:
au dernier quantime qui les suit, c'est--dire au I56"^
pour le.
i;
pour^, Sg; pour|-,si
J'examine encore
en tout 144. je puis ramener cette quotit une autreio4, ce qui fait156"""'
moindre et je trouve que i44J'aijjmes.
font
1:2
iS"^^.1
donc trouv que je dois multiplier 5 et 10 1 1"*^ par 8 et j rduis maintenant les nombres aux quantimes trouen1 1"^^%
vs, 5
ce qui
fait
avec les 10fait
1
1""^",
65
1
1""^';
de
mmeil
8
en
13""^%
ce qui, avec les 12,
1161
i3"^'.
Maintenant je multiplie7,540II""''
les
65
1""'"
par les
1
16 13"^^%
vientet je
de
13^''
ou
i43"''; je divise
donc 7,540 par i43,J'ai
trouve par
la division
52 units et io4 i43"^t qui, en quan-
times de Funit,
font^^^^^^^-
donc trouv, comme
produit de5|-|-4S3par8|xB6i leC'est l cecarr^ le
nombre
52|4^le
qu'on appelle
les produits
plans\
premier est
second htromque\fait
je vais
maintenant te montrer
un produit cube, c'est--dire un nombre solide. [Lorsqu'un nombre est multipli par lui-mme, puis le premier nombre par le produit, le rsultat final est appel nombre solide.] Comme par exemple Une pierre carre a t trouve de 5 spithames i de largeur,
comment on
:
7
spithamesy de longueur, de 9 spithames^^ de hauteur. Je
multiplierai la largeur par la longueur, puis le produit par la
hauteur, et le
nombre que donnede
cette multiplication, je dis
que c'est
le solide
la pierre. Si l'on avait
trouv les nombres
sans les fractions y ajoutes, l'opration serait facile, mais par suite de ces fractions et quantimes, elle devient plus complexe;il
nous faut donc un procd qui nousVoici
la
rende
commode
effectuer.
comment
je ferai
:
je rduis
chaque nombre
124
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
ox; v si ecpoSou eu;)(pri Tipv tj toutou xal Si TOUTO opi9a pieSoSou nvo tcoiw outco- valtito exaarrov twv pi9p.wv ylvTiTat xaTaT^ii. 'CoCvuv xalEi To acpaxsliJLevov
auTe''",
piepo, Y^youvTcpiTrra
tov
eU
irsvTe Sia-ro e", xal yivovTai
piS
Ta oXa
(jteT
Tou
x-
Ofxotco!;",
xal tov
^
Siot
to C' ei
iz^,"S"
ml
yivovrxieirei57i
xotl
auTct
[jieTiTi''
tou evo
eSofAa v
a)(raT(o xal tov
ei
ewa,ULB'tk
to
"
xal
IvvaTa ylvovTai p, xal yivovTai ojxou xal TaTa-Jiy.
Twv
"5
swaTtov evvaTaTct v
apTt ouv TcoWaTiXaa-t.co!^",
Ta tou
TuXTOu
EupeSIvral e* e^lTauTalo-XLV toc
tou pivixous
xal ylvovTai aT [TpiaxoaTOTuepLirra].Tcy evvaTa,6''
^",
Tco).U7Xacji.a)
m
Ta tou uAou
xal yivovTai
xal TaTOc
p^ -^diSe xal ?" [Tpiaxoan.oruoiievTexaiSIxaTaTpLaxoo-ioirevTexai.SxaTOvojjlovujjlou piGjJio
ypouv
7:1
Xe"
TColXalatjiaopiEVOVicXatjio) xal To
tioisI].
apTt.St.'15"
TCo'XXat,toi
t(5v
fxopicoveiil
XXr.Xou,
TOV
im
TOV
xal yivoruai TI, xal tov le
tov
xal yCvovTai.
tu
oxwvuua uopia yev6[jLva toI up9'i
TOU
[Aepou>pcr[ou Tcoia Yipipa
TYi lSofjiSo Tuy;)(vt.
xal Eupi^xto auTTiV outwu^p;)(;t.
'Otou YiXwua'jTo) ro tou8y)|JLt.
xux).o
1^'* 'ro^T: Tcpoa-T^QyifAL
xal r Tr^6XXovTaTcpoorTi-
pia^TOU TTapTa, auEp eIcI ^, xal yivovTai xa* ojxotcoTot
TauTaL xalM-Ypi.'TOU
sicaxTa
twv
'n:apl96vT(ovt.a,
^
[j.r)V(ov
u'
p;)(_j
'Oxtco-
pbu10
$6pouapiou a xat eIo-w
xal yLvovTai. JE-
a-uvTLvifjit.15",
TaTaL coo-auTox; xal toc tou pouap[ou, xal yLvovTat. Kaaai 6[aou(Sv cpaipo) So[jL3a va7rXtcp97ia'av
eri
xal r\iipaiy\
S",
xal Xyco oti ItIv
TETapTY] rii^pa tyi 6So[jL8o tJ 'ATCxpto, xalri
p;)(^op.vri
xupi.ax7i 'iiyouv
ioC^
TOU auTOU pouap[ouUoLplarxb) rip.pa x,
xal XyoJ lvat. xal Ta ri|jLpa r^ v
tw
S'pei
NriCTTeEa tcov
'Aylwv
'Attoo-toXcov, xe.
TorauTa
o-ot.
xal Tcepl toutcov.
2. aj
E, a A.
9.
X^xal]
E, Xa A.
i3.
aTuoxpeo)7|[jLpai]
E.
14. t]
17. xb]
om. A.
20.
om. E. - 23.
E,
rjjjipa
A.
om. A.
28. touto>v]
des. E.
NOTICE SUR LES LETTRES DE RHABDAS.ainsi lela5o"^^
139
jour tombe surViriK^ention
le 7 fvrier et j'ai la
chercher par
mthode de
du jour quel jour desuit:
semaine est
cette date; je le trouve
comme
Le cyclenent pour
solaire est 17le bissexte,
;
j'y
ajoute les quarts qui lui revien-
ce qui
me
fait 4,
en tout 21; j'ajoute
aussi les pactes des quatre mois couls depuis le commencement d'octobre jusqu' fvrier, soit ii il vient 32. J'ajoute;
enfin les 7 jours de fvrier, et
il
vient en tout 89, dont je:
retranche 5 semaines
;
il
reste 4 jours
je dis
donc que
le
jour
en question est le quatrime de la semaine de Carnaval, et que le dimanche suivant, c'est--dire, le 11 fvrier, est le Carnaval. Je veux maintenant trouver la Pque je retranche 3 du:
1 1
de fvrier,effet
il
reste
8, et je dis
que Pques tombefvrier,
le 8 avril.
En
lorsque le Carnaval tombe enbien autrementles
Pques
est est
en en
avi^il;
lorsque le Carnaval tombe en janvier, Pques
mars.
Ou
:
je
compte
partir du
dimanche dele
Carnaval
jours suivants jusqu' ce que j'arrive 56;;
jour
ainsi obtenu, je dis que c'est celui de Pquesa t trouve lei
ainsi le Carnaval
fvrier;il
il
reste sur ce mois 17 jours; j'y;il
ajoute les 3 de mars,
vient 48
me manque, pour
atteindre
56, 8 jours que je prends sur avril, et je trouve aussi par cette
mthode Pques au 8 avril. Je compte maintenant les;
jours suivants en avril et jusqu'aula
3 mai, et je trouve 2^ jours je dis donc que
dure du Jene
des saints Aptres en t Voil pour ce sujet.
est de 25 jours.
140
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
MSoSo;'Eirel Sa L|jLeip6p.v6v
TcoXi.Tt.xo>v
Xoyapi.ac[jL(j)v.
are
lyvwvBy\
eSvia't.v
e^eiv xal Tiepl
twv
ev ^pT^cet. TtoAi-
i4
Twwv5
}vOYapt.ao-[jL)v,
kWk
xal TcspL
tlvwv vayxaLwv
xal yXa^pupcovS'.aSf.Spo'X'^
7tpoX7][jLTOJv
pi9[JLY)Tt.xjv,
cb
v oSv ce xal to iro toutcovo*o(.
'^p7](r(.[jL0V, vojxcj)
piA^a TTst.GojjLevo, ISoii);|(t)v epy^ofxat.,
m
irpo ty^v[jlol
(TYiv
ecpea-Lv eaTco-
SexTa xal o-i^vTsLvovTa[jisvov
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Siavoia tov syxsL-
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TLoLOL
v^TYic-t 'iro);tTt.xo
Xoyapi.ao'jjLO
ev Tpto-l S'stopeTTat. xecpaXaiot- xal
Si Tpiwv107)
Xoywv6P
TcspalvsTat.*y''
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Tov
Xoyov
xatajjieTpe xal tov yivofxevov o a
Xoyo Staipel,
xal yivETai to tou Xoyou
0"U[jL7rpa(7jjLa,
7]
6
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xal TOV
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TrepaLvsTat.,Y)
6 a^ uo).U7c)vaari.!^i. tov 8'% xal 6 S tovaTco toutcov yevvriOel eI
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tov ro tou a" xal toutout(jti. [jLp[!^Tau
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xal Tcapa};ATat.,
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axrjV 6prja". TiocroxrjXa.
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Tco.ouo'i.v
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Toc aypucivou, xalyivovTaiAo'"eyet.:;
xv].
toutcov Xa.e to XS" orcEp ecttIv riaXtTrocroTTiTa,Aot.7:a ".
ouv Tr]V tou TupwTOU EpiTtopou tou ypucriout,
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TOV 0Tpov* acpl ^o tou
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,
xal ytvovTaf, A,
zctj'zcf.
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tou
)i9ou
2.
'y>va(v
A.
10. y^pucriou
A.
4-
'^/c-i
Iv
A.
A.
7.
auTOv
11. 6 osuTEpo] ora.
A.
Tvj ostvoTriTO
A.
22.
pLOVcoa (xt'av
2.3.
AD.e^'] tf'
AD.
9.
y^puGiou
I2.
A.
vjyouv]
om. A.
17. osivottitoJ
26. yoifytov A.
NOTICE SUR LES LETTRES DE RHABDAS.
165
vendre une pierre d'meraude,exactement quel prixleur rpond:
et lui
demandent de leurils
direIl
il
veut au juste de cette meraude.
10,000 pices d'or. Aussitt,
ouvrent leurs
bourses et comptent trs exactement ce
qu'ils ont,
chacun
pour voirqu'ils
s'il
peut payerla
la pierre;
trouvant l'un et l'autreils
ne peuventdit
solder entirement,:
sont fchs, et le
premieras, et le
son compagnonle
Prte-moi
le
^ de
l'or
que tuavecle
mettant avec:
mien, j'achterai l'meraude. L'autretoi, le
rpond
Non
pas; prte-moi,
y de ton
or, et,
mien, je payerai l'meraude. Je dsire savoir combien depices d'or a le premier et combien le second.Solution. Le premier, celui quid'or ^; le second, celui qui
demande y, a 8,235 pices demande y, a 8,8:23 ^. Si donc tu
prends ^ de ce nombre, soit 1,764 i, et que tu l'ajoutes aux 8,235 55 du premier, tu trouveras exactement 10,000. De
mme,
si
tu prends y
tu l'ajoutes
du premier, c'est--dire 1,176 II, aux 8,823 gf du second, tu trouveras de
et
que
mme
10,000, rien de plus ni de moins.
Cette solution est trs ingnieuse et rclame une grandesubtilit; voici
comment on
l'obtient
:
Prendset
les
nombresl'un
dnominateurs des5 fois 7, 35.
quantimes
et^,
multiplie-les5,
par:
l'autre; c'est--dire prends pour
pour
y,
7; dis
Retranche de 35 une unit, reste 34; ce serafaisla
le:
diviseur.
Maintenant
multiplication-g-,
commedey,5,
suit
retranche une unit du dnominateur demultiplie ce nombre parle
soit
reste 4;il
dnominateur de
soit 7;
vient 28; multiplie ces 28 par le prix de la pierre, soit les
10,000 pices d'or,
il
vient 280,000; prends-en le
j^
qui est
8,235
g?
;
tu as ainsi la quantit d'or
que possde:
le
premier
marchand. Passe maintenant au second
retranche une unit
de
7, reste 6; multiplie
par
5,
il
vient 3o; multiplie par le prix
166
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.X8", supicrxeTatr\(jyxy
vivoyzoLi X, TOUTtov xb
xal
it)
X5*. el youv Xoi
,
i5,
164, 2r.TcoXXaTcX GuvTispievot, io4,1
25.
8, multi-
plis.
TrapaXXstv, diviser."jrpo,
el,
4o, 16;
TroaoTTj
(tj),
88, 2, etc.total,
148, 6.86, 20; 96, 8, les six
TuocoudOat,
former unIl 8,
i36, 12;
7rape7ro[jLvc (Ta),
166, i5.T:p6X-/){i.(x
chapitres lmentaires7capwvu[xo,
104,
1
4,
dit
du du
calcul.|XXto
(t),
i5;
i4o, 4,
18,
22; i54, 25.TipoaTiEvai, 100,
d'une lettre numrale.'n:a7U[xep*/^c;,
22; 128, 8; i36, 9;
i32, 12;
34, 4
;
"^^X^lJ-e-
i38, 6; i54, 22, etc., ajouter.irpoTiviv,
psaTspo,
100, 6; 128, 22, 25, dit
180,
17,
proposer
(un
du calcul d'extraction de la racinecarre au premier degr d'approxi-
nombre).TupoTiGIvoci.
Ta
'jTpoT6VTa y, le
nom-
mation.TCSvtairXoj(7coXXa7rXavu [Lovl'^^-^^^
cTYip-sTov
122,
6;
126, 4;
CTspso (pi6(xo), 122, 20; 162, 19.GzoiyjXov['^o], ^6,
transformer
(une
fraction,
un
i8; 88,
i, 2,
23; 90,
nombre).TOpiTTEUeiV, l32, 17;TuOi;,T'hS,I.^.
6, 9; 96, 8, II, lettre
numrale.86,
TUep'.T-
Y|^ tcc h\LikicLi^
to
7)80;;
eTrayo)-
nemtes
reste dcrire les trois manuscrits de la Biblio-
nationale:
que
j'ai
utiliss
et
dont
j'ai
donn
les
A = fonds grecB=fonds4-43).
ig:i8,in-Zi^ sur papier,
du
xv*"
siclexv""
(fol. 6-7).(fol.
grec 1932, in-4^ sur papier, du
sicle
G
= fonds
grec 235o, in-4% sur papier, du xv' sicle
(fol.
89-93).
Le dernier, qui
est de la
main d'Ange Vergce, est
trs cer-
I
-
Je crois devoir signaler galement
de Prodrome dansnotice de
la Bibliothque d'Engelhardt, et
une autre erreur commise au sujet qui a son origine dans la
La Porte du
Theil-
Engelhardt indique,aurait publi sous le
comme tant de Prodrome, un petit trait que riarte nom de Gemistus, pages 429-431 du catalogue desle
Mss. grecs de Madrid.
EnLa
fait riarte l'a
publi sous:
nom
de Geminus, d'aprstov
le titre inscrit
par Constantin Lascaris
Katcapa ^ uTuep Trpacrtvcv. C'est Porte du Theil qui, d'une part, a suppos que Lascaris avait mal lu lePepLivouotfjLai Tipb;
nom nom
de Gemistus (Pletho), qui, d'un autre ct, retrouvant ce trait sousde Prodrome, danstrait estle
le
ms. 3o5 du Vatican, a cru devoir
le lui restituer.
tions ou couleurs
videmment de l'poque des luttes entre les quatre facdu cirque de Constantinople, par consquent bien antrieur soit Gemistus, soit Prodrome. S'il se retrouve parmi les crits de ce dernier, ce ne peut tre que parce qu'il en aura fait une copie titre decuriosit.
Mais ce
SUR LE GRAN) ET LE PETIT,
211
tainement une copie du premier, non seulement* pour
le trait
de Prodrome, mais pourretrouvent dansI**
les cinq pices qui
suivent et qui se:
A avec le mme ordre,-^tsjjltwTOV
savoir
nposcopia dq to8,
tv EuxIelSou
tyi yecofiLeTpta GToij^iwv.
A fol.2**
G'^0
fol.
94.''
''Opbt To TirapovTO
ctoi)(^lou.''
3"*
EU
Y'
o>pY)[j!.oc
Toij
GToi;(_!;'ou.
A G 94 verso. AS verso, G 96 verso.8,
4^ El;
TOC
EuyAtSou gtoijzXcc
7:po7.oc[7-av6p.va /-
tv IIoo/Aou
xal y^aT* 7rtToar;v.5^
'Apt6[JL0i Iv^iy^OL
A
cxopaWIII.
9,
G
97.[;.ova)(^ou
Neoutou
g'j(o\iov,
A
l5,
G
Les trois premiers de ces morceaux font partie d'une deschanes de scholies sur les lments, que Hiberg doit publier
dans son dition d'Euclide.
Le quatrime reprsente, quelques divergences prs, les extraits de Proclus compris dans les Anonyrni Variae CollectionesJ'ai
de l'dition de Hron, par Hultschpubli le scliolie dun*"
( i5-68).
n**
5
dans
la
Revve archologique dele
i885 [voir ci-dessus
2].
Les
n""'
I
et 2 ci-dessus suivent
galement, dans
manuscrit
B
(fol.
44-45), le trait
de Prodrome Italicos; et ceci nous
indique bien qu'il y a aussi une certaine parent entre les
manuscrits
A
et B, dont le
premier est d'ailleurs un ancien
Codex
llegius,le
tandis que le second a t acquis en Orientsicle.
pendant
xviii'^
Gette parent peut se limiter d'aprs les remarques suivantes. Les huit premiers feuillets dediffrente de celle
A;
sont d'une critureet aprs
du reste du manuscritIls
eux recom-
menait une ancienne pagination.
ont donc form un cahier
1. Le contenu qui prcde dans G, Catoptriqucs, Phnomnes^ Optiques, Donnes d'Euclide, Prface de Marinos sur les Donnes, a t lire, par Ange
Vergce, d'autres manuscrits.
212
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNEIIY.n''
spcial, et, sauf le trs court scholiequ'il contient se retrouve
3 ci-dessus, tout ce
dans B, seulement dans un ordre unl, il
peu
diffrent.
En dehors de
n'y a plus rien de
commun
entre les deux manuscrits.J'ai
dj indiqu la composition
du manuscrit B jusqu'aule trait
folio
46. L nous retrouvons ce qui, dans A, prcde
Italicos,a.
sous les deux
titres
:
Ataip(7t; TTi 'koyv/.ri Tucrv); T^fOLyif.ccTda
tou 'Api(7TOT7;orj;
v.od olov
h.
'OpiG[;.ol Tojv ovTcov
(ju'XXsysvT
iy.
ttgSs
Tr,v
UoliTLZoJv 'AptaTOTAou;dx.
or.7COGriiJ.zio)^ii Tivi;;.
suivies d'un
trs court extraite.
twv
oLx.ovo[j.i.y-cov
(fol. 63).iizi
Une pitapheij.a.y,apiO'j
:
^y^ly.i^iryj
a'zi'/oi
t(o
Taw
tou Max-ocp^ov
toi
rjyouiy.evou rri [xovTi;
tou TTavToy-paTopo, tou Lpo[7.ovayou zal
rpO.O'^oa^ou /-yJ
ovToj;f.
(fol. 66).
Un commentaire anonyme
sur le trait d Wristotc
iispl
ku/rr
SUR LE GRAND ET LE PETIT.vsta (fol.
213le
67), qui diffre d'ailleurs
des commentaires sur
mme trait du
manuscrit A.je
remarque que le folio 9, o commenait l'ancienne pagination de la seconde partie, porteQuant au manuscrit A,MaTaioul'inscriptionX0pT(XTCvi.:
p.ovajrou
sTraAou
TauTa
ypoc[;.j/.aTa,
cou
xal
vu que cette seconde partie commence par des ceaux mathmatiques elle continue d'abord de mme (foa;
On
verso)
:
ToD utuztou
t5v fiocptov xa.l U7CpTL[y.ou
y-upoo
MijciriX too WX7
Mais viennent ensuite quelques pagessent provenir de la
(fol.
17-24) qui paraisle
mme
source originaire que
dbut de
la:
premire partie;
elles n'ont
pour
titre
que cette inscription
AtatpTi 7rQu/V auTY)
y.ccXkia'vri
cruvTayfzcc 'zoLyoL [xovoty^ou
Nsoutou.
moine Nophytes est d'ailleurs l'auteur du scholie sur les nombres hindous, on ne peut malheureusement tirer de tout cela aucune conclusion prcise relati^'-e l'poque o ilSi cevivait.I.e1"2*^
reste
du manuscrit
estTV]'!;
occup par
:
'ilvAXlo'j As'jzavo'j TTEpL'Aj;-[^-o)vtou
TQi T-y.vTO rp\i(>0);
(loi. 2-5).(piXoGO^ptavTaorav
TO'j
'Kfu.'cio'j
7:polYO[/,va,
sic
xr^v
(fol.3*^
28 verso).nopc'Jt'ou
Tou
*I>oi.'vLKo;
stGocyo^y/]
t(ov
tIvts
(pvcov,
entour
du commentaire d'Ammonius,Psellus et4"
et
de scholies de Photius, deles
du Magentne
(fol. 33).
Les Catgories d'Aristote, avec
commentaires d'Am-
monius, de Jean Philopone, et des scholies de Photius, dePsellus et du moine Nophytos(fol. 66).
__
CARNEGIE mSTmjj
2145*"
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
trait Jept IpfA-^v^a, avec les cammentaires d'iVmmodu Magentne, et, en scholies (e ce dernier, quelques extraits de Thon de Smyrne et de saint Basile (fol. 1 3 1-224).
Le
nius et
J'ai pris
comme
base de
mon te:?:te;
le
manuscrit A, qui m'a
paruetil
le
plus ancien et
le plus fidle
mais
B en
diffre trs
peu
m'a fourni quelques bonnes leons.
ToG cocpojTaTOU xal loyiwTaTou xupoG BsoSdbpou tou npo8p6[Jiou^eyXoD xal toOzlelo't.v,
Tcepl
to
[xtxpou, xal tou ttoXXou* xaltcoctou,
toG oT^iyou
oTt.
ou
wv 7:p6
aAXoc tou
xal eyyyxl.
T[vt. o^ a)Cki^TOC
7\
Aoytj), toc XoyC(^6^ey,.
>/^97, A409, '2490,
En dehors des manuscrits
du Vatican, 184, 9.9.3, ioa6, signals par Hase, je l'ai encore retrouv Saint-Marc, n" 3o8 et App. cl. XI cod. ^3, sous le titre 'E^TjYTjffi p-spixT) irsplTou cTpoXou GatpeffTaTT) xai*tuvtojjlo.
230
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.et qu'enfin elle n'a,
de Palocappa;
avec ce qui prcde, qu'un\
rapport trs loign, tandis que la moiti isole forme un tout
complet qui n'appelle pas d'autres dveloppements.Cet ensemble de circonstances, joint aususpect d'JEgyptius^ m'avait djfait
nom
passablement
^
souponner une fraude
\
de Palocappa, lorsque
mon
attention fut attire sur le con-
tenu du premier chapitre de la seconde moiti du trait enquestion:
Mlo^o
i\,
to
^r\(i^i()CLi
tov ti^iov
Iv izoloc p.otpa
tou (^wSiou*
g*t{^
(Hase, p. i6o).
On y
parle prcisment de la conversion en
dates de l'anne gyptienne vague de dates en mois attiques;j'y
|
reconnus assez facilement que ces mois taient enla
ralit
des mois romains, et
concordance m'apparaissait
comme
une discordance particulire qu'il tait difficile d'expliquer; une certaine donne me conduisait, d'autre part, assigner hypothtiquement le x^ sicle comme poque de la rdaction primitive de ce mortant celle de Thodore Gaza, saufceau'.Il
me
parut donc intressant de chercher en contrler
l'authenticit.
Dans
la
persuasion o
son trait
j'tais que Palocappa avait compil du pseudo-JEgyptius, en ajoutant rklpa s^vjyT^ryilui
anonyme trouve parceaux tirs de droite
dans un des Codices Regii des morde gauche, j'avais tout d'abord il
et
examiner
les
manuscrits ole
avait
pu copier
les autres traits
que renferme
Suppl. gr. 55. Je n'ai pas eu besoin dele
longues recherches; du premier coup, en demandant
plus
I. Ce nom fictif, dans la pense du faussaire, signifiait sans doute seulement un Egyptien, AlyuTCTto Tt, expliquant aux Byzantins les pratiques de
l'astronomie alexandrine.les deux mots to3 coBiou, ajouts par Palocappa. que dans le reste du trait, les noms de mois attiques ne reparaissent pas; ainsi, p. 167, 1. 6, nous lisons cpepouapiou.'2.
Supprimez
3.
J'ajoute
LES NOMS DE MOIS ATTIQUES CHEZ LES BYZANTINS.
23
ancien manuscrit qui contienne Philopon sur l'astrolabe etTEioyin^t
anonyme
(Bibl. Nat. gr.
2%i)\
je trouvai,
au verso
du
folio 12, la suite
de figures astronomiques,
la MsqSo
je cherchais, et, la suite, quatre autres chapitres
que du pseudo-
JEgjptius^.
Or le texte de la Meoo dans le manuscrit 2491 donn noms de mois romains, et non pas attiques; bien phi.discordance quedore Gaza s'est
remarquer avec la liste de vanouie, ou, pour parler plus exacteme.j'avais cru
constat une erreur qui, mal corrige par Palocappa, m'avaitfait
croire cette discordance, mais qui peut donner unele
preuve palpable que
copiste a rellement utiHs notreles
manuscrit 2491, en substituant aux noms romains attiques d'aprs Thodore Gaza.
noms
numrant partir de septembre mois qui ont trente et un jours, le n** 2491 disaitVoici le fait:
les:
premiersoxToSptou
y-al
Ci
xod
oxTa>piou
a xal
^ey-sfxptou
oc
(les
noms des mois sontquefois
d'ailleurs critsle
en abrg par leursa
initiales). Il est clair
mois d'octobrexal
t rptp. 161,1.
deux:
par inadvertance.oc
Palocappa dit (Hase,puovooc
8)
xal
Tcuocvsij^tcovo
xa vSsaTT)-
TL-ofisL^svo
oc.
Comme
ces mois doivent,la
ainf^i
que
je
l'ai dit,
avoir trente et un jours, j'en concluais:
correspon-
dance
pyanepsion
poseidon
=
=
octobre, anthestrionsi
=
dcembre,l'o,
janvier. Mais
nous remarquons que
initiale
I.
Ils
sont
la fin
du manuscrit, qui
d'ailleurs
ne contient pas
ie trait
de
Nicphore Grgoras. Ce manuscrit, du xiy^ sicle, provient de Fontainebleau. Au reste, le trait de Philopon existe dans quinze manuscrits de laNationale;'1.
Hase n'en
a utilis que trois qui sont loin d'tre les plus anciens.ils
Quant aux phore Grgoras surpar Palocappa.
trois derniers,l'astrolabe,
se trouvent, la suitele
du
trait
de Nic-
dans
manuscrit a4io, qui a t collationn
232
MMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.oxTcogptou,
du secondpar unv,
a t surcharge*,voep-otou, il
dans
le
manuscrit 2491,
que cette correction, aussi naturelle que malencontreuse, est intimement lie au texte de Palocappa, et ds lors nous retrouvons la concordance avec la liste de Thodore Gaza. D'aprs l'ensemble duinitiale
de
est clair
morceau, cette concordance est tablie pour sept mois,lors aussi3.
et
ds
complte qu'on peut
le dsirer.il
Je crois que la dmonstration est suffisante, maisici
ne
une traduction sera peut-tre pas sans intrt d'ajouter du morceau en question, avec les commentaires qu'il appelle.Mthode pour calculer sur qu^l degr du zodiaquese trouve le soleil,
((
Prends
les5
annes partir de184(i);(2),
la
cration du
monde
^
et
retranches-en
cherche leet l
i^este
dans
la
table des
priodes de 25 ans
o
tu le
trouveras
la
premire.le
colonne, prends les degrs et fractions en regard. Si
reste
obtenu prsente un excs par rapport une priode de 25 ans,regarde cet excs
comme
des annes simples et cherche-le
dans
la table
des annes simples, o tu prendras de
mme
le
nombre correspondant (degrs et fractions) que tu criras au-dessous de celui donn par la table des priodes de23 ansI.Il
(3).
est vident
que
l'on
ne peut se prononcer sur une seule(tette
lettre, si
facile
reconnatre que soit l'criture de Palocappa; maislui tre attribue.
surcharoc
semble bien devoir'1.
C'est--dire l'anne de l're byzantine; on la transforme,
comme ou
sait,
en anne de l're chrtienne en retranchant 5'jo8. Mais il faut observer, ce qu'on oublie souvent, que les quatre mois de septembre dcembre de
Tanne byzantine appartiennent Tanne de Tre chrtienne prcdente, que par consquent, pour ces quatre mois, il faut retrancher 55o().
LES NOMS DE MOIS ATTIQUES CHEZ LES BY:ZANTINS.(c
233le
II:
faut ensuite calculer
comme
suit lela
mois gyptien et
jour
prends
les
annes partir de
cration du
monde
et
5484 (4); divise le reste par 4? puisque tous les quatre ans les gyptiens avancent d'un jour sur lesHellnes, et prends le quotient sur tes doigts(5).
retranches-en de
mme
Ajoutes-y
successivement les trois jours avant septembre (maimactrion),
un jour pour octobre (pyanepsion) (6), un jour pour dcembre (poseidon), et, en g