PAUL MALLIAVIN: UN MATEMÁTICO

EXTRAORDINARIOLiliana Blanco Castañeda.

Neully-sur-Seine (1925)-Paris(2010)

Francia ha sido cuna de grandes probabilistas entre los que podemos destacar a: Laplace (1749-1827), Borel (1871-1956), Lebesgue (1875-1941), Poincaré (1854-1912), Levy (1886-1971), Neveu, Choquet (1915-2006).

Yitzhak Katznelson (1886-1944)

Szolem Mandelbrojt (1899-1983)

Jean Pierre Kahane (1926-)

Su tesis de doctorado, sustentada en el año 1954, trataba acerca de una clase de funciones complejas introducidas por Mandelbrojt y Wiener en relación con la transformada de Laplace. Aún cuando había varios grupos de investigación en el área de probabilidad, Malliavin no ingresa a ninguno de ellos sino que crea su propio grupo.

Su amplia visión de las matemáticas, su conocimiento por así decirlo enciclopédico de éstas y su amplio rango de intereses le permitió hacer grandes contribuciones a diferentes áreas de las matemáticas entre las que se destacan el análisis armónico, la teoría de variable a compleja, análisis de Fourier, análisis funcional, geometría diferencial y teoría de probabilidad.

En su trabajo "Impossibilité de la synthése spectrale sur les groupes abélians non compacts", publicado en el año 1959, Malliavin resuelve un problema muy importante del análisis armónico, planteado a finales de los años treinta del siglo pasado por Beurling y Gelfand, demostrando la imposibilidad de la sintésis espectral sobre grupos abelianos no compactos.

Durante los siguientes diez años su investigación se centró básicamente en el análisis funcional, la cual desarrolló en compañía de su esposa Marie Paule Malliavin y de su colega Arne Beurling.

Marie Paule Malliavin

Arne Beurling

En este período de tiempo hace importantes contribuciones al área del análisis funcional, entre las que se destaca la demostración, dada en el año 1977, del llamado teorema de Lusin-Calderón, cuyo enunciado había sido formulado 10 años atrás.

Luego de estudiar a profundidad el cálculo de Ito, Malliavin observa que las ecuaciones diferenciales estocásticas de Ito pueden ser vistas como una fórmula para definir transformaciones no lineales sobre espacios de Wiener. Esta observación dió origen a lo que él llamó cálculo de variaciones, el cual se conoce hoy en día como cálculo de Malliavin.

En el área de finanzas Malliavin hizo importantes contribuciones, muchas de las cuales pueden ser consultadas en el libro "Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance“, que Malliavin escribió junto con su yerno Anton Thalmaier en el año 2000.

Para contextualizar la contribución de Malliavin al área de las finanzas, vamos a introducir a continuación algunas notaciones y conceptos: Las opciones financieras son un tipo especial de activos financieros conocidos como derivados, es decir, un activo cuyo valor depende o se deriva de otro, llamado activo subyacente, este último puede ser una acción, una divisa o una materia prima, entre otras posibilidades.

Una opción otorga el derecho, más no la obligación de comprar (opciones de compra) o vender (opciones de venta) una cantidad determinada del activo subyacente a un precio preestablecido ( precio de ejercicio) y dentro de un periodo de tiempo determinado ( tiempo de ejercicio).

Consideremos la siguiente notación:

Wt t 0 representa el movimiento browniano estándar

S t denota el precio del activo subyacente al instante de tiempo t

S0 precio inicial del activo subyacente

T tiempo de maduración de la opción

K precio de ejercicio

En el modelo clásico de Black-Scholes se asume que el precio del activo subyacente se comporta como un movimiento browniano con tendencia μ y con un parámetro σ que se usa para controlar su nivel de varianza o incertidumbre. Más precisamente en este modelo se supone que:

dS t St dt dWt

donde μ y σ>0 son constantes.

Si se asume que el mercado es libre de arbitraje, se tiene que el precio de un derivado, en particular el precio de una opción, sobre dicho activo está dado por:

donde H es la función de pago en el momento de vencimiento del contrato y Q representa la medida de riesgo neutral.

Por ejemplo, para el caso de una opción put

con tiempo de maduración de un año se tiene que:

V0 EQHST

precio de una opción put EQK ST

¿Cómo podemos hacer este cálculo si sólo conocemos la forma cómo se comporta St pero no tenemos ninguna información acerca de su distribución?

dSt at,S t dt bt,St dWt

y se define un nuevo proceso:

Yt ft,St

La forma como se resuelve este problema es haciendo uso del lema de Ito: se supone que St es un proceso de Ito, es decir, se asume que:

Este nuevo proceso resulta ser un proceso de Ito. Haciendo uso del lema de Ito y escogiendo adecuadamente la función f se obtiene que

St S0 exp 22

t t

donde t d N0,1

Con esta información se puede ya obtener el valor del derivado financiero en cuestión.

Para algunos tipos de derivados como, por ejemplo, las opciones put down and out es necesario conocer la probabilidad de que el browniano alcance una cierta barrera M antes de un determinado tiempo T, es decir, se busca calcular:

P0 t Tmax Wt M

Este problema se resuelve haciendo uso del llamado principio de reflexión del m.B el cual indica que:

P0 t Tmax Wt M 2PWt M

Desafortunadamente lo que se debe calcular no es (∗),sino

P0 t Tmax St M

Para resolver este problema se hace uso del teorema de Girsanov el cual permite, mediante un cambio de medida, transformar un movimiento browniano con deriva en un movimiento browniano sin deriva. Esto es, si nuestro mB con deriva original, está definido sobre entonces el teorema de Girsanov afirma que existe una medida de probabilidad tal que es un mB sin deriva en y a partir de ahí se obtiene que:

Wt t 0 , , ,P

Q Wt t 0 , ,Q

P0 t Tmax St M ST x exp 2

2Tlog MS0

log STM

Con el fin de valorar el riesgo de un portafolio se usan las llamadas "griegas" . Éstas son cantidades que representan cómo varia el precio de las opciones en función de diferentes factores e indica el riesgo en que puede encontrarse nuestro portafolio en cada momento.

Las griegas más usadas son: Delta (Δ): mide la sensibilidad del precio de la

opción según los cambios del precio del subyacente.

Gamma(γ): mide la sensibilidad de delta según los cambios en el precio del subyacente.

Theta (θ):representa la pérdida de valor de una opción con el paso del tiempo.

Formalmente, se tiene que una griega es una derivada del precio de una opción con respecto a un parámetro.

Supóngase que expresamos el precio del subyacente en términos de un parámetro α con respecto al cual deseamos derivar. El precio de una opción es calculado a partir de una función de pago f en la siguiente forma:

V EfST

Al calcular la derivada se obtiene:

V EfST

Si la regla de Leibnitz de intercambio entre el valor esperado y la derivada fuera válida se tendría que:

V E fST

f

ST ,x gx dx

donde g(x) es la función de densidad de la distribución de la variable aleatoria ST

El objetivo, por lo tanto, es transformar

f ,x

en algo de la forma

f ,x x

h ,x

Al hacerlo, y utilizando integración por partes, se obtiene una expresión de la forma:

V fST ,x h ,x

x h ,x g

x gx

gx dx

La herramienta que se utiliza para lograr las anteriores transformaciones es el cálculo de Malliavin. Especificamente se hace uso de la siguiente relación entre el operador de derivada D y su operador adjunto D* (el cual se conoce también como integral de Skorohod):

E 0

TDtFu tdt EFD u

donde f es una función "adecuada", F es una variable aleatoria de la forma es un movimiento browniano estándar definido sobre un espacio filtrado (Ω,ℑ,P) donde es la filtración generada por W.

F fWt1 , ,Wtn yW Wt t0,T

t t0,T

En el artículo "Malliavin Calculus applied to Finance" de Montero & Kohatsu-Higa aparecen calculadas,entre otras,usando este método, las griegas de opciones tipo europeo, opciones vainilla, opciones asiáticas y opciones exóticas.

Por ejemplo, ellos obtienen para el caso del modelo de Black-Scholes de valoración de opciones europeas,haciendo uso de la metodología antes descrita, las siguientes expresiones para la delta, gamma y vega:

y

e rTS0 T

EQHST WT

e rT

S02 T

EQ HST WT2

T 1 WT

e rTEQ HST WT2

T 1 WT

Malliavin fue un investigador incansable que realizó su labor hasta el final de su vida. Su colaboradora por largo tiempo Hélene Airault, quien lo acompañó en su lecho de muerte, comentó que el estuvo discutiendo con ella temas matemáticos hasta el último momento.

BIBLIOGRAFÍA Stroock, D. et al. (2011) Remembering

Paul Malliavin Notices of the AMS. Vol.58, Number 4.

Menéndez, M (2010) Aplicaciones del Cálculo Estocástico en la gestión de productos financieros. Notas de clase. Universidad de Murcia.

Montero, M & Kohatsu-Higa,A. (2003) Malliavin Calculus applied to Finance, Physica A, 320, 548-570.

Nualart, E (2011) Lectures on Malliavin Calculus and its Applications. Preprint.