partie 2 - the financial engineer · 2.2 le modèle à trois facteurs de fama et french fama et...

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2010-2011

M1 IEF

PROJET D’ECONOMETRIE

Partie 2

LE MODELE DE RENTABILITE

A TROIS FACTEURS

DE

FAMA ET FRENCH(1993)

KUNAL TAYLAN

Sommaire

Seconde partie du projet :

1. EXPLICATION DE LA RENTABILITE DES TITRES AVEC UN MODELE MULTIFACTORIEL

2.

2.1. Ratio valeur comptable/valeur de marché et rentabilité des titres, capitalisation boursière

2.1.1. L’effet taille et la rentabilité des titres

2.1.2. L’effet ratio VC/VM et la rentabilité des titres

2.2. Le modèle Fama et French

3. PRESENTATION DES DONNEES ET CONSTRUCTION DES VARIABLES

3.1. Le méthode de calcul des données financières

3.2. Le méthode de calcul des données comptables

3.3. Les variables explicatives: Rm-Rf, SMB et HML

3.4. Les variables expliquées: Six portefeuilles de titres classés par taille et ratioVC/VM

3.5. Le choix de la variable expliquée pour la Partie 1 du projet

4. LE MODELE DE RENTABILITE A TROIS FACTEURS DE FAMA ET FRENCH

4.1. Données statistiques des variables explicatives

4.2. Données statistiques des variables expliquées

5. Etude de la Stationnarité de VAR

6. Modélisation VAR

7. Test de causalité de Granger

8. Analyse de la dynamique de VAR

9. Prévisions

10. Le modèle à correction d’erreur VAR

11. Cointégration des variables

12. Estimation du modèle VECM

2. EXPLICATION DE LA RENTABILITE DES TITRES AVEC UN MODELE MULTIFACTORIEL

2 .1 Ratio valeur comptable/valeur de marché et rentabilité des titres, capitalisation boursière

2.1.1 L’effet taille et la rentabilité des titres

En 1981, Selon BANZ, la taille de l’entreprise, mesurée par sa capitalisation boursière renforce le Beta

pour expliquer les rentabilités des titres. En effet, par rapport à l’estimation de leur Beta, les rentabilités

moyennes des petites capitalisations sont trop élevées par rapport aux celles des grandes capitalisations qui

sont trop faibles.

Chan et Chen (1988) montrent une très forte corrélation entre la taille moyenne des titres de chaque

portefeuille et les estimations des coefficients de Beta de ces mêmes portefeuilles.

En France, Hamon (1986) observe une rentabilité des titres de faible capitalisation plus importante. Cette

anomalie serait liée à un effet liquidité du marché.

En 1992 Girerd Potin confire une plus forte rentabilité de pf de petites firmes.

La mesure de la taille par la capitalisation boursière repose sur le cours. L’évaluation du cours d’un titre reposant

sur l’actualisation de ces flux futurs et le taux d’actualisation étant lié au risque, il est logique d'observer une plus

grande rentabilité des titres sous-évalués. Berk met en évidence l'une des difficultés des recherches empiriques sur la

rentabilité des titres. La rentabilité des titres dépend directement de leur prix et de son évolution sur une période de

référence : Ri(t-1:t) = , avec Ri(t-1; t) , rentabilité arithmétique du titre i sur la périodes (t-1,t) et

P it, cours du titre i à l’instant t.

2.1.2 L’effet ratio valeur comptable/valeur de marché et la rentabilité des titres

Fama et French (1991), sur le marché américain identifient le ratio VC/VM comme facteur explicatif

important des rentabilités: Les entreprises avec un ratio VC/VM élevée sont associées des rentabilités

espérées élevées. Ils démontrent que le ratio VC/VM est une variable explicative plus significative que la

variable taille.

Pour Daniel et Titman (1997), la rentabilité attendue d'un titre est déterminée par les caractéristiques de la

firme et non par des primes de risque.

On calcule le ratio VC/VM de la façon suivante:

VM= Il existe une relation inverse entre rentabilité attendue et valeur de marché.

VM/VC = Relation négative entre la rentabilité et le ratio VM/VC.Inversement

une relation positive doit être observée entre le ratio VC/VM, et la rentabilité espérée des titres.

2.2 Le modèle à trois facteurs de Fama et French

Fama et French (1992, 1993), propose un modèle à trois facteurs qui corrige les défaillances du modèle

d’évaluation des actifs financiers Medaf. Le modèle à trois facteurs inclut le risque du marché (le bêta

utilisé dans le MÉDAF), et utilise également le risque relié à la taille et celui attribué au ratio VC / VM

pour mieux expliquer la variabilité des rendements des actions cotée sur le NYSE, l’AMEX et le

NASDAQ.

Selon ces auteurs, on aurait tendance à observer un risque plus élevé dans le cas des petites entreprises et

des entreprises de valeur (ratio VC / VM élevé) comparativement aux grandes entreprises et aux

entreprises de croissance (ratio VC / VM faible), ce qui amènerait les marchés financiers à requérir un

plus fort rendement en compensation.

L’équation du modèle à trois facteurs de Fama et French est la suivante :

: Rendement excédentaire du portefeuille d’entreprise observées par rapport

au rendement sans risque Rft : Un mois de Bon du Trésor des Etats-Unis.

« Eviews : LB(lowbig) »

: Rentabilité du portefeuille de marché. « Eviews : MKT »

: Rentabilité du portefeuille basé sur la différence entre la rentabilité des titres de petite

capitalisation boursière et la rentabilité des titres de capitalisation boursière importante (SMB,

small minus big).

: Rentabilité du portefeuille basé sur la différence entre la rentabilité des titres avec un

ratio valeur comptable sur valeur de marché élevé et la rentabilité des titres avec un ratio valeur

comptable sur valeur de marché faible (HML, high minus low).

, , : Coefficients des primes de risque , et .

3. Présentation des données et construction des variables

La méthodologie de cette étude est adaptée de Fama et French (1993). Elle repose sur la construction de

portefeuilles de titres tant pour les variables expliquées que pour les variables explicatives fondamentales

(SMB, HML) et de marché (RM - Rf).

3.1. Les données financières

6 portefeuilles formés de taille et Book to market ratio:VC/VM

Rendements mensuels: Juillet 1980-Juin 2010 ( 360 obs)

Les données sont prises sur le site d’internet de Kenneth R. French. Les portefeuilles construits sont

l’intersection de 2 portefeuilles classée par leurs tailles (Small Capi, Big Capi) et 3 portefeuilles classés

par leur ratio de valeur comptable / valeur de marché (High,Neutral,Low).

Les portefeuilles construits de juillet de l’année t à Juin de l’année t+1 inclue tous les titres de NYSE,

d’AMEX et de NASDAQ.

Le placement à taux sans risque utilisé dans le modèle à trois facteurs, Rf, est le placement sur le marché

monétaire à 1 mois. Le taux sans risque retenu dans l'équation est donc le taux moyen mensuel de Bon du

Trésor.

3.2. Les données comptables

La taille de l'entreprise est représentée par sa capitalisation boursière (nombre de titres multiplié par le

cours de bourse). Le classement suivant la taille repose sur la capitalisation boursière des titres en juin t.

La capitalisation boursière de l'entreprise fin décembre t-1 est utilisée pour calculer le ratio valeur

comptable/valeur de marché (VC/VM). Le ratio VC/VM est égal à la valeur comptable des titres en

décembre t-1, divisé par la dernière cotation de décembre t-1. La capitalisation boursière correspond ici,

au nombre de titres multiplié par le dernier cours de décembre t-1.

3.3. Les variables SMB et HML

A la fin du mois de juin de l'année t, les titres de l’échantillon sont répartis en deux groupes (S

pour small et B pour big) suivant que leur valeur de marché en juin t est inférieure ou supérieure

à la valeur de marché médiane de l’échantillon. Indépendamment, les titres sont classés suivant

leur ratio VC/VM en décembre t-1, et répartis en trois groupes correspondant respectivement aux

trois premiers déciles (L pour low,), aux quatre déciles médians (M pour medium) et aux trois

derniers déciles (H pour high). Six portefeuilles (S/L, S/M, S/H, B/L, B/M, B/H) sont constitués

à l'intersection des deux répartitions précédentes. Les rentabilités sont calculées chaque mois de

juillet t à juin t+1.

a) Le portefeuille SMB construit pour reproduire le facteur de risque associé à la taille

correspond à la différence, calculée mensuellement, entre la rentabilité moyenne des trois

portefeuilles de valeur de marché faible (S/L, S/M, S/H) et la rentabilité moyenne des

trois portefeuilles de valeur de marché élevée (B/L, B/M, B/H).

SMB =1/3 (Small Value + Small Neutral + Small Growth) - 1/3 (Big Value + Big Neutral

+ Big Growth).

b) HML correspond à la différence, calculée mensuellement, entre la rentabilité moyenne

des deux portefeuilles de ratio VC/VM élevé (S/H, B/H) et la rentabilité moyenne des

deux portefeuilles de ratio VC/VM faible (S/L, B/L).

HML =1/2 (Small Value + Big Value) - 1/2 (Small Growth + Big Growth).

3.4. Les variables expliquées: Six portefeuilles de titres classés par taille et ratio VC/VM

Six portefeuille sont construits à l’intersection de deux répartitions ( taille et ratio VC/VM )

Nous avons six portefeuilles à expliquer, ce sont : SmallHigh,SmallMedium,SmallLow

BigHigh,BigMedium,BigLow

4. LE MODELE DE RENTABILITE A TROIS FACTEURS DE FAMA ET FRENCH

Nous allons utiliser le modèle de régression multiple pour tester le modèle de rentabilité de Fama

et French (1993).

4.1 Données statistiques des variables explicatives

Tableau 1 :

Données statistiques des rentabilités mensuelles des variables Rm-Rf, SMB et HML de

07/1926 à 01/2009, 991 mois

Commentaire :

Le portefeuille de marché enregistre une rentabilité moyenne annuelle de 59% qui est supérieure

à celle des autres variables explicatives. Le portefeuille SMB a une rentabilité moyenne de 19% ,

qui est inférieure à celle de HML 48%: De plus, cette rentabilité moyenne élevée est associée à

un écart type des rentabilités plus élevé.

Rm-Rf SMB HML

Moyenne 0.582 0.182 0.475

Ecart-type 5.45 3.34 3.575

4.2. Donnée statistiques des variables expliquées

Les portefeuilles de titres de petite capitalisation présentent une rentabilité plus élevée donc cela nous

confirme l’existance d’un effet taille.

Les portefeuilles de titres avec une ratio de VC/VM élevé ont une rentabilité également plus élevé.

Tableau 3:

Données statistiques de portefeuilles classés par taille et ratio VC/VM

Commentaire :

Les écarts-types les plus élevés montrent la plus forte volatilité.

Nous allons examiner les effets de ratio VC/VM et de la taille des entreprises sur les écarts-types

des six portefeuilles.

Elevé Med Faible

Taille Ecart-type

Grande 7.294189 5.8258258 5.412988

Petite 8.355718 7.1238315 7.845203

Elevé Med Faible

Taille Moyenne

Grande 0.856125 0.6256004 0.560091

Petite 1.144329 0.9458628 0.642805

Graphique 1:

Projection des portefeuilles dans l’espace espérance de rentabilité mensuelle en excès

(Rm-Rf) /écart type des rentabilités en excès ( Rp-Rf )

Commentaire:

Le portefeuille SMB associe une rentabilité moyenne avec une variabilité faible. Les deux

portefeuilles (SH et SN ) de petits capitalisations ont des rentabilités plus important que les

entreprises avec la grande capitalisation. La ligne bleu signifie “ la Droite de Marché ”, au

dessus de cette droite nous avons des portefeuilles avec fortes rentabilités moyennes et au

dessous il se trouve des portefeuilles avec faible rentabilité moyennes.

Nous pouvons constater un effet lié au ratio VC/VM , les portefeuilles avec un ratio VC/VM

élevé ont également une rentabilités plus élevés et plus ils ont des ratios élevés plus ils sont

risqués.

4.3. Choix de la variable à expliquée pour la partie 2 du projet :

Durant cette partie 1 du projet, Nous allons travailler sur le portefeuille classé des titres de

grande capitalisation et une ratio VC/VM faible pour les raisons suivantes :

Le portefeuille LB se trouve sur la Droite de Marché, les portefeuilles qui sont en dessus

de cette droite ont des rentabilités moyennes plus élevés que les portefeuilles qui se

trouve au dessous de cette droite.

Le portefeuille (LB) a un écart-type moins élevé que les autres, cela signifie qu’il est le

moins volatile.

Le coefficient de détermination du portefeuille LB représente 97,7% . Le modèle de

régression de Fama et French explique 97 ,7% de la rentabilité du portefeuille classé

LB. C’est le portefeuille mieux expliqué entre ces 6 portefeuilles. (Selon la régression

que j’ai faite pour le projet d’économétrie 2009.)

5. ETUDE DE LA STATIONNARITÉ DES VARIABLES

L’estimation d’un modèle Var se fait sur des données stationnaires. Nous allons vérifier la

stationnarité des variables.

5.1. Etude des graphiques :

Les séries de ces quatre variables semblent stationnaires. Les moments d’ordre 1 et 2 semblent

stationnaires dans le temps donc les moyennes et les variances de ces quatre variables sont constantes au

cours du temps.

Les processus ne semblent ni des processus DS ni des TS, mais un bruit blanc. Dans cette étape on n’a

pas pouvoir de dire qu’ils sont des bruit blanc car un processus stationnaire n’est pas forcement un bruit

blanc.

-30

-20

-10

0

10

20

1985 1990 1995 2000 2005 2010

LB

-15

-10

-5

0

5

10

15

1985 1990 1995 2000 2005 2010

HML

-30

-20

-10

0

10

20

1985 1990 1995 2000 2005 2010

MKT

-20

-10

0

10

20

30

1985 1990 1995 2000 2005 2010

SMB

5.2. Etude des corrélogrammes :

Commentaire :

Les p-value associées aux statistiques de Ljung (Q-Stat) sont supérieures à 5%.

Le portefeuille classé ( Low Big ) par taille et ratio VC/VM est donc stationnaire.

Commentaire :

La première probabilité critique est inférieure à 5%, Il ne s’agit que d’une seule probabilité

critique qui est inférieure à 5%. Nous allons quand même vérifier la stationnarité de la rentabilité

du portefeuille de marché avec le Test de Phillips Perron.

Commentaire :

Les cinq premières p-value sont inférieurs à 5%, le corrélogramme ne me permet pas de conclure

qu’il s’agit d’un processus stationnaire. Nous allons vérifier la stationnarité par la suite.

Commentaire : Le corrélogramme à une forme d’un bruit blanc car rien qui dépasse.

Ceci est aussi caractéristique d’une série stationnaire. Nous vérifions par la suite cette

affirmation par l’application de test de stationnarité.

5.3. Test de Stationnarité

Nous avons mis en évidence la stationnarité des séries LB et SMB, les séries MKT et HML peuvent etre

stationnaires mais l’analyse de corrélogramme de ces deux series n’était pas claire.

Nous allons vérifier la stationnarité de ces quatre séries par les test de DF ( ou ADF). On pense que les

processus sont des processus stationnaires sans constates I(0).

Null Hypothesis: LB has a unit root

Exogenous: Constant, Linear Trend

Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=16) t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -17.37894 0.0000

Test critical values: 1% level -3.983828

5% level -3.422391

10% level -3.134057

Null Hypothesis: MKT has a unit root





5% level -3.422391

10% level -3.134057

Null Hypothesis: SMB has a unit root





5% level -3.422391

10% level -3.134057

Null Hypothesis: HML has a unit root





5% level -3.422391

10% level -3.134057

Commentaire :

On rejet l’hypothèse nulle de Racine Unitaire pour quatre séries (t-Statistique des séries sont

inférieures à leurs valeurs critiques.)

Donc les processus sont stationnaires. Nous allons faire le test de Dickey Fuller simple par la

suite comme le nombre de retards optimal est zéro.

La procédure de test : On part du modèle le plus général (le modèle 3) (Trend and intercept). On y teste

la racine unitaire puis on vérifie par un test approprié que le modèle retenu est le bon, si on n’est pas dans

le bon modèle, on recommence dans un modèle contraint (le modèle 2), puis avec le model 1.

Modèle 3 : Trend and Intercept

On a rejeté l’hypothèse nulle de racine unitaire pour les quatre séries par le test de DF.

Voici un test de Student sur la tendance pour vérifier si le modèle 3 est bon ?

Commentaire:

On rejette l’hypothèse H0 de la nullité de b, donc les séries n’ont pas de tendance. On n’est pas dans le

bon modèle, nous allons continuer de faire le test DF avec le modèle plus contraint (modèle 2).

Modèle 2 : Intercept

On rejette l’hypothèse nulle de racine unitaire des quatre séries par le test de DF.

Voici un test de Student sur la constante pour vérifier si le modèle 2 est le bon modèle ?

Commentaire:

On ne rejette pas l’hypothèse H0 de la nullité de c, pour les séries LB, MKT et SMB donc ces séries n’ont

pas de constante. On n’est pas dans le bon modèle pour ces trois séries, nous allons continuer de faire le

test DF avec le modèle plus contraint (modèle 1).

Par contre, on rejette l’hypothèse nulle de la nullité de constate pour la série HML comme p-value de la

statistique de Student est inférieure à 5%. Il s’agit d’un Processus stationnaire avec la constante.

Modèle 1: None

On rejette l’hypothèse nulle de racine unitaire pour ces trois séries par le test de DF.

Commentaire:

Les séries LB, MKT et SMB sont des Processus stationnaires sans constats.

6. Modélisation VAR

6.1. Détermination du nombre de retards optimal :

VAR Lag Order Selection Criteria

Endogenous variables: LB MKT SMB HML

Exogenous variables: C

Date: 01/05/11 Time: 21:08

Sample: 1980M07 2010M03

Included observations: 345

Lag LogL LR FPE AIC SC HQ 0 -3142.974 NA 984.1901 18.24333 18.28789* 18.26107

1 -3109.628 65.72437 890.0465* 18.14277* 18.36559 18.23151*

2 -3098.115 22.42628 913.5350 18.16878 18.56985 18.32851

3 -3079.998 34.86940 902.4763 18.15651 18.73582 18.38722

4 -3068.238 22.36007 925.1000 18.18109 18.93866 18.48279

5 -3052.872 28.86083 928.7709 18.18477 19.12059 18.55745

6 -3041.052 21.92756 951.9450 18.20900 19.32307 18.65267

7 -3031.806 16.93812 990.5218 18.24815 19.54047 18.76281

8 -3018.453 24.15087 1006.601 18.26350 19.73407 18.84915

9 -3011.366 12.65447 1061.001 18.31516 19.96399 18.97180

10 -3004.460 12.16953 1119.785 18.36789 20.19496 19.09551

11 -2993.393 19.24823 1153.954 18.39648 20.40181 19.19509

12 -2965.220 48.34229* 1077.221 18.32591 20.50949 19.19552

Nous allons choisir le modèle qui minimise les critères d’informations. On hésite entre p=1 (AIC) et

p=0(SC).

Le modèle VAR que nous allons estimer pour la suite est VAR(1) avec retard 1 1.

Par la suite nous allons comparer les prévisions par un retard 0 0 et 1 1 pour voir lequel donne les

meilleures prévisions.

6.2. Estimation du VAR :

Vector Autoregression Estimates

Date: 01/05/11 Time: 21:17

Sample (adjusted): 1980M08 2010M03

Included observations: 356 after adjustments

Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ] LB MKT SMB HML

LB(-1) 0.019772 0.050669 -0.068430 0.460369

(0.32134) (0.30499) (0.20973) (0.20819)

[ 0.06153] [ 0.16613] [-0.32628] [ 2.21133]

MKT(-1) 0.023020 0.048140 0.219276 -0.348479

(0.31689) (0.30077) (0.20683) (0.20530)

[ 0.07264] [ 0.16006] [ 1.06019] [-1.69738]

SMB(-1) 0.065695 0.092510 -0.069188 0.193127

(0.10629) (0.10088) (0.06937) (0.06886)

[ 0.61808] [ 0.91703] [-0.99736] [ 2.80462]

HML(-1) -0.106575 -0.018936 0.013478 0.372848

(0.13204) (0.12533) (0.08618) (0.08555)

[-0.80711] [-0.15109] [ 0.15638] [ 4.35839]

C 0.552111 0.470811 0.066056 0.161021

(0.26669) (0.25312) (0.17406) (0.17278)

[ 2.07023] [ 1.86001] [ 0.37950] [ 0.93194]

R-squared 0.014020 0.018421 0.043438 0.062875

Adj. R-squared 0.002784 0.007235 0.032537 0.052195

Sum sq. resids 8049.016 7250.865 3428.778 3378.458

S.E. equation 4.788702 4.545078 3.125476 3.102457

F-statistic 1.247749 1.646793 3.984810 5.887414

Log likelihood -1060.213 -1041.624 -908.3172 -905.6855

Akaike AIC 5.984341 5.879912 5.130995 5.116211

Schwarz SC 6.038764 5.934335 5.185419 5.170634

Mean dependent 0.544775 0.530927 0.139410 0.400365

S.D. dependent 4.795382 4.561610 3.177599 3.186737

Determinant resid covariance (dof adj.) 873.3108

Determinant resid covariance 825.2724

Log likelihood -3215.965

Akaike information criterion 18.17958

Schwarz criterion 18.39727

Sous forme matricielle le VAR est le suivant :

6.3. Etude de la Stationnarité de VAR :

Un processus VAR(1,1) est stationnaire si les racines de det(Φ(L)) sont strictement supérieures à 1 en

module.

L’inverse des racines de det(Φ(L)) doivent etre à l’intérieur du disque unité.

Commentaire: No root lies outside the unit circle.

L’inverse des racines associées à la partie AR appartient au cercle unité du plan complexe. La

condition de stationnarité est vérifiée. Le modèle VAR est bien stationnaire.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial

Roots of Characteristic Polynomial Endogenous variables: LB MKT SMB HML Exogenous variables: C Lag specification: 1 1 Date: 01/05/11 Time: 22:08

Root Modulus 0.200688 - 0.044705i 0.205607

0.200688 + 0.044705i 0.205607 -0.123762 0.123762 0.093958 0.093958

No root lies outside the unit circle.

VAR satisfies the stability condition.

6.4. Test sur les résidus :

Voici, les corrélogrammes croisés ; ce sont des corrélogrammes des erreurs d’une variable par

rapport à un autre.

On voit bien que les corrélations des erreurs, elles sont globalement à l'intérieur des bornes. Nous

allons vérifier par les tests de Ljung-Box (VAR Residual Portmanteau Tests for Autocorrelations et VAR

Residual Serial Correlation LM Tests)

Commentaire : VAR Residual Portmanteau Tests

Selon ce test; on rejette l’hypothèse nulle de non-auto-corrélation des erreurs car p-value

des Q-Stat et Q-Stat ajusté sont inférieurs à 0.05 à partir de lag=3

Pour le test de VAR Residual Serial Correlation LM Tests on accepte l’hypothèse nul de

non-serial corrélation à 5% comme globalement les p-value dépassent 5%.

VAR Residual Portmanteau Tests for Autocorrelations

H0: no residual autocorrelations up to lag h

Date: 01/05/11 Time: 22:31

Sample: 1980M07 2010M03

Included observations: 356 Lags Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df 1 0.925913 NA* 0.928521 NA* NA*

2 17.86589 0.3318 17.96420 0.3260 16

3 51.21949 0.0169 51.60126 0.0155 32

4 73.53973 0.0103 74.17514 0.0090 48

5 102.2562 0.0017 103.3006 0.0014 64

6 125.5347 0.0009 126.9783 0.0007 80

7 135.6205 0.0048 137.2664 0.0037 96

8 160.0233 0.0020 162.2301 0.0014 112

9 179.8962 0.0017 182.6184 0.0011 128

10 197.3878 0.0021 200.6156 0.0013 144

11 209.3204 0.0054 212.9287 0.0033 160

12 246.3317 0.0004 251.2310 0.0002 176 *The test is valid only for lags larger than the VAR lag order.

df is degrees of freedom for (approximate) chi-square distribution

VAR Residual Serial Correlation LM Tests

H0: no serial correlation at lag order h

Date: 01/05/11 Time: 22:37

Sample: 1980M07 2010M03


Lags LM-Stat Prob 1 19.72130 0.2330

2 17.43388 0.3581

3 33.62570 0.0061

4 22.67485 0.1227

5 29.59906 0.0202

6 24.26422 0.0839

7 10.12127 0.8602

8 25.15842 0.0671

9 20.22151 0.2104

10 18.18682 0.3131

11 13.04127 0.6697

12 39.20184 0.0010

Probs from chi-square with 16 df.

7. Test de Causalité de Granger :

Pairwise Granger Causality Tests

Date: 01/05/11 Time: 23:04

Sample: 1980M07 2010M06

Lags: 1

Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability

MKT does not Granger Cause LB 359 0.06012 0.80645

LB does not Granger Cause MKT 0.01094 0.91677

SMB does not Granger Cause LB 359 1.16695 0.28076

LB does not Granger Cause SMB 14.1237 0.00020

HML does not Granger Cause LB 359 1.84444 0.17529

LB does not Granger Cause HML 8.35803 0.00408

SMB does not Granger Cause MKT 359 1.03605 0.30943

MKT does not Granger Cause SMB 16.5774 5.8E-05

HML does not Granger Cause MKT 359 0.53680 0.46425

MKT does not Granger Cause HML 7.85155 0.00536

HML does not Granger Cause SMB 359 0.41838 0.51816

SMB does not Granger Cause HML 3.94652 0.04773

Commentaire :

1. On ne rejette pas l’hypothèse nulle (p-value > 5%) : La rentabilité du portefeuille de

marché MKT ne cause pas la rentabilité de portefeuille des entreprises observées LB.

Donc il n’ y a pas de causalité au sens de Granger entre ces deux variables.`

2. On rejette l’hypothèse nulle (LB does not Granger Cause SMB) à 5% . Il y a donc

causalité au sens de Granger de LB vers SMB.

3. Il y a causalité au sens de Granger de LB vers HML.

4. Il y a causalité au sens de Granger de MKT vers SMB.

5. Il y a causalité au sens de Granger de MKT vers HML.

6. Il y a causalité au sens de Granger de SMB vers HML.

8. Analyse de la dynamique du VAR

8.1. Choix d’un ordre de variables et justification économique et statique :

Économiquement le modèle de trois facteurs Fama et French :

La méthodologie de cette étude est adaptée de Fama et French. Elle repose sur la construction de

portefeuilles de titres tant pour les variables expliquées (LB) que pour les variables explicatives

fondamentales (SMB, HML) et de marché (MKT).

Selon l’Etude la variable endogène est la rentabilité de portefeuille des entreprises classées

LB(grande capitalisation et avec un ratio VC/VM petite) et cette variable est expliquée par les variables

MKT(pf de marché), SMB( pf construit par la différence des rentabilités des petite capi et grande capi) et

HML(pf construit par la différence des rentabilités des entreprises avec le ratio VC/VM élevé et faible).

Les résultats de la régression du modèle Fama French :

La régression du modèle à trois facteurs de Fama et French sur le portefeuille construit par

la taille grande capitalisation et le ratio VC/VM élevé (LB) nous montre que l’explication de

la rentabilité des portefeuilles dépend essentiellement de la variable de marché Rm-Rf

(MKT) et les deux autres variables rendent le modèle plus fort (SMB et HML) .

La variable de Marché explique LB 75% selon la régression du modèle. En revanche, le test

de Granger ne nous montre pas un lien de causalité entre ces deux variables. Cela est contre

le modèle de Fama French.

Je garde quand même LB dans le modèle pour faire l’analyse des fonctions de réponse.

Selon le test de Granger LB est la variable plus exogène que HML et SMB.

Nous allons supposer que la variable du marché (MKT) est plus exogène que le rendement de pf

LB car le pf LB se trouve sur la droite de marché comme on avait montré précédemment sur le

graphique 1.

L’ordre de variable, de plus exogène vers le moins exogène selon le test de Granger et le

raisonnement économique est le suivant : « MKT > LB > SMB > HML »

8.2. Etude des fonctions de réponse du modèle Fama et French :

Commentaires :

Un choc sur MKT a un impact instantané positif sur lui-même, sur LB et SMB. La réponse de la

variable HML à un choc positif sur le marché est négative. Je pense que c’est normal, car la

hausse du pf de marché peut être expliquée par une hausse de la valeur de marché d’un titre donc

une baisse du ratio VC/VM. (une baisse de HML)

C’est normal que la réponse du pf classé Small Minus Big et LB soit positive à la hausse du pf de

marché. Car la rentabilité des titres bouge avec la rentabilité du marché.

Un choc sur LB n’a pas d’impact sur le pf du marché, ce qui vérifie notre hypothèse : la

rentabilité du pf de marché est plus exogène que le pf classé par l’effet de la taille et l’effet de

ratio VC/VM.

o Les réponses des variables SMB et HML à un choc positif sur LB sont négatives. Cela

provient de la construction de ces deux variables.

Le coefficient “s” est corrélé négativement avec la taille de l’entreprise.

Le coefficient h est en relation positive avec le ratio VC/VM.

o Donc la hausse des rentabilités d’un pf classé LB (Faible ratio et Grande Capitalisation)

provoque une baisse de SMB et HML comme ils sont corrélés négativements avec le

portefeuille LB. ( Si on faisait cet étude avec le pf classé SmallHigh on aurait forcement

des réponses positives de ces deux variables. )

Voici, les corrélations entre 6 pf classés et les coefficients “s” et “h”:

Graphique 1: Coefficients “s” et de la régression

Graphique 2: Coefficients “h” et de la régression

Un choc sur les variables SMB et HML n’a que des impacts sur elles-mêmes comme elles sont

les variables moins exogènes, elles n’ont aucun impact sur les variables exogènes LB et MKT.

Un choc positif sur le pf SMB a un impact négatif sur le pf HML, ce qui est normal comme la

corrélation de ces deux variables est négative (-0,08) selon l’étude de Fama et French.

8.3. Analyse de la décomposition de la variance :

Commentaires :

A la période 1, la variance de l’erreur de prévision du MKT est due à 100% à ses propres

innovations et 0% celles des autres varibles

o A la période 10, 99% de la variance de MKT provient du choc sur lui-même. Le

pf du marché est vraiment exogène.

A la période 1, la variance de l’erreur de prévision de LB est due à 94% aux innovations

du pf de marché et 6% a ses propres innovations. Cela également confirme que la

variable LB est moins exogène que MKT.

A la période 1, 88% de la variance de SMB provient du choc sur lui-même et 40% de la

variance de HML provient du choc sur lui-même .

o Comme un choc sur HML n’affecte pas la variance de SMB (0%). Nous

pouvons conclure que SMB est plus exogène que HML

9. Prévisions : 2010M03-2010M06

Résultats : VAR(1)

MKT LB SMB HML

Voici les calculs sous Excel :

Les Intervalles de prévisions :

1.410000

0.566932

0.208135

0.155021

0.142882

2010M02 3.540000

2010M03 0.878695

2010M04 0.559018

2010M05 0.523903

2010M06 0.526009

3.140000

0.495236

0.441331

0.500502

0.529523

2.75

1.670604

0.8151769

0.5135234

0.4302721

Comparaison des prévisions obtenues :

Commentaire :

La ligne verte signifie les prévisions faites avec un VAR de retard 1 1 et la ligne rouge de retard 0 0.

On constate que les prévisions faites avec un VAR(1) approximent mieux les variables. La spécification

la plus parcimonieuse est bien p=1.

-12

-8

-4

0

4

8

2010M01 2010M02 2010M03 2010M04 2010M05 2010M06

MKT MKT (Baseline) MKT (Baseline)

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

2010M01 2010M02 2010M03 2010M04 2010M05 2010M06

SMB SMB (Baseline) SMB (Baseline)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2010M01 2010M02 2010M03 2010M04 2010M05 2010M06

HML HML (Baseline) HML (Baseline)

10. Le modèle à correction d’erreur VECM

Un VECM se fait sur des séries possédant une racine unitaire. Afin de procéder un VECM, nous

avons déstationnarisé nos séries avec la fonction de cumulatif sum sous Eviews.

Voici les tests des hypothèses jointes afin de vérifier le type de non-stationnarité de nos séries : n_lb,

n_mkt, n_smb, n_hml

Commentaire :

Suite à des stratégies des tests DF simples (n_lb,n_smb) et DFA (n_mkt, n_hml) appliquées sur

nos séries déstationnarisées, nous pouvons conclure que toutes nos séries sont des DS(marché aléatoire)

sans dérive.

10.1. Analyse descriptive des séries :

Précédemment nous avons conclu que le pf des rendements du marché (MKT) et le pf de la

rentabilité des entreprises classé (LB) par le facteur de taille et le ratio ne sont pas causés l’un à l’autre au

sens de Granger.

Le portefeuille LB étant sur la droite de marché, Il doit suivre de la même tendance que le

portefeuille de marché, cela nous fait penser l’existence d’un potentiel comportement de cointégration

entre ces deux séries.

Voici l’évolution de ces deux séries :

Commentaire :

Les deux séries ont une évolution constante sur toute la période, nous pouvons supposer que ces

deux séries sont cointégrées. Il existe une évolution de long terme constante entre les chroniques. Par la

suite nous allons vérifier cette hypothèse par le test de cointégration.

-50

0

50

100

150

200

250

1985 1990 1995 2000 2005 2010

N_MKT N_LB

11. Cointégration des variables :

Le traitement des séries chronologiques longues impose de tester une éventuelle

cointégration entre les variables. Nous allons tout d’abord faire le test de cointegration et puis

estimer le modèle à correction d’erreur.

Nos séries ont satisfait les deux conditions de cointégration :

1. Toutes nos séries sont intégrées de même ordre : I(1) sans dérive

2. Il existe une relation de long terme entre les variables.

11.1. Choix du nombre de retards :

Nous déterminons le nombre de retards en utilisant Lag length criteria : Le retard retenu selon le

critère d’information AIC étant 2, nous allons estimer un modèle à correction d’erreur à 1 retard (2-1).

Les données étant mensuelles, nous balayons des retards allant de 1 à 12.

VAR Lag Order Selection Criteria

Endogenous variables: N_LB N_MKT N_SMB N_HML

Exogenous variables: C

Date: 01/10/11 Time: 22:16

Sample: 1980M07 2010M03


Lag LogL LR FPE AIC SC HQ 0 -5851.492 NA 6.49e+09 33.94488 33.98944 33.96263

1 -3113.211 5397.190 908.7262 18.16354 18.38636* 18.25228

2 -3081.744 61.29249 830.8245* 18.07388* 18.47494 18.23360*

3 -3072.127 18.50891 862.2264 18.11088 18.69020 18.34159

4 -3054.345 33.81284 853.5126 18.10055 18.85812 18.40225

5 -3038.459 29.83660 854.3226 18.10121 19.03703 18.47390

6 -3023.895 27.01819* 861.8195 18.10954 19.22361 18.55321

7 -3011.367 22.95048 879.8435 18.12966 19.42198 18.64432

8 -2998.094 24.00536 894.5434 18.14548 19.61605 18.73112

9 -2986.550 20.61300 918.8358 18.17130 19.82013 18.82794

10 -2978.831 13.60273 965.1823 18.21931 20.04639 18.94694

11 -2969.213 16.72720 1003.027 18.25631 20.26164 19.05492

12 -2956.945 21.05088 1026.766 18.27794 20.46152 19.14754

* indicates lag order selected by the criterion

11.2. La spécification retenue du modèle :

Les séries initiales sont I(0) sans constant sauf HML ( I(0)+C ) donc on a estimé VAR

sur les variables X et Y. Suite à la déstationnarisation, on a conclu que tous nous séries sont DS

sans dérives.

En effet nous choisissons la spécification 2 ( Pas de dérive dans les données, une

constante dans la ou les relations de cointégration ) avec 1 retard. Il s’agit des DS sans dérive

dont au moins une de moyenne non nulle(HML).

Vérification de la spécification n°2 :

Voici les résultats de test de cointégration en mode « summary » :

Date: 01/10/11 Time: 22:46

Sample: 1980M07 2010M06


Series: N_LB N_MKT N_SMB N_HML

Lags interval: 1 to 1

Data Trend: None None Linear Linear Quadratic

Test Type No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept

No Trend No Trend No Trend Trend Trend

Trace 2 2 1 1 1

Max-Eig 1 1 1 1 1

*Critical values based on MacKinnon-Haug-Michelis (1999)

Suite à la stratégie séquentielle de r=0 à r=N-1, on s’arrête à partir du modèle 2 en acceptant

l’hypothèse nulle de l’existence de 2 relations de cointégration.

On a bien vérifié la spécification n°2 retenue.



Trend assumption: No deterministic trend (restricted constant)

Series: N_LB N_MKT N_SMB N_HML

Lags interval (in first differences): 1 to 1

Unrestricted Cointegration Rank Test (Trace) Hypothesized Trace 0.05

No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Prob.**

None * 0.086881 69.80448 54.07904 0.0011

At most 1 * 0.053296 37.26632 35.19275 0.0295

At most 2 0.040741 17.65898 20.26184 0.1098

At most 3 0.007703 2.768454 9.164546 0.6248 Trace test indicates 2 cointegrating eqn(s) at the 0.05 level

* denotes rejection of the hypothesis at the 0.05 level

**MacKinnon-Haug-Michelis (1999) p-values

1. H0: r = 0 vc H1: r > 0 Trace Stat = 69.8 > 54.07 On rejette l’hypothèse nulle donc on a au moins une relation de

cointegration et on continue.

2. H0: r = 1 vs H1: r > 1

Trace Stat = 37.26 > 35.19 On rejette H0 et on continue.

3. H0 : r = 2 vs H1 : r > 2

Trace Stat = 17.65 < 20.26 On accepte H0, donc il s’agit d’un VECM avec 2 relations de

cointération.

12. Estimation du modèle VECM

Un VECM a pour but de corriger les éventuelles cointégrations obtenu.

Vector Error Correction Estimates

Date: 01/10/11 Time: 23:42



Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ]

Cointegrating Eq: CointEq1 CointEq2

N_LB(-1) 1.000000 0.000000

N_MKT(-1) 0.000000 1.000000

N_SMB(-1) 3.522813 3.074768

(1.03655) (1.12845)

[ 3.39861] [ 2.72477]

N_HML(-1) -1.862732 -1.600263

(0.46164) (0.50257)

[-4.03507] [-3.18418]

C -105.1270 -119.0506

(34.4500) (37.5044)

[-3.05158] [-3.17431]

Error Correction: D(N_LB) D(N_MKT) D(N_SMB) D(N_HML)

CointEq1 -0.044971 -0.025140 0.011314 0.078220

(0.02523) (0.02413) (0.01661) (0.01599)

[-1.78264] [-1.04205] [ 0.68110] [ 4.89064]

CointEq2 0.030115 0.013975 -0.012092 -0.068662

(0.02327) (0.02225) (0.01532) (0.01475)

[ 1.29418] [ 0.62799] [-0.78913] [-4.65420]

D(N_LB(-1)) 0.034216 0.033052 -0.134097 0.398535

(0.32194) (0.30788) (0.21199) (0.20410)

[ 0.10628] [ 0.10735] [-0.63256] [ 1.95260]

D(N_MKT(-1)) 0.025322 0.076942 0.283344 -0.292690

(0.31721) (0.30335) (0.20888) (0.20110)

[ 0.07983] [ 0.25364] [ 1.35652] [-1.45542]

D(N_SMB(-1)) 0.136781 0.129339 -0.088865 0.093306

(0.10945) (0.10467) (0.07207) (0.06939)

[ 1.24966] [ 1.23563] [-1.23297] [ 1.34462]

D(N_HML(-1)) -0.076633 -0.010426 -0.002468 0.321366

(0.13063) (0.12492) (0.08602) (0.08282)

[-0.58665] [-0.08346] [-0.02869] [ 3.88049]

R-squared 0.043590 0.036398 0.048801 0.126538

Adj. R-squared 0.030004 0.022710 0.035289 0.114130

Sum sq. resids 7894.713 7220.210 3423.161 3173.156

S.E. equation 4.735838 4.529013 3.118475 3.002440

F-statistic 3.208577 2.659175 3.611814 10.19878

Log likelihood -1061.701 -1045.715 -912.1238 -898.5488

Akaike AIC 5.964812 5.875503 5.129183 5.053346

Schwarz SC 6.029849 5.940540 5.194220 5.118382

Mean dependent 0.505866 0.491899 0.135894 0.395754

S.D. dependent 4.808526 4.581333 3.175000 3.189991

Determinant resid covariance (dof adj.) 827.8304

Determinant resid covariance 773.7131

Log likelihood -3222.485

Akaike information criterion 18.19265

Schwarz criterion 18.56120

Commentaires :

Les derniers coefficient ( D(N_HML) des terme de rappel (noté CointEq1 et CointEq2

das le tableau) sont significatifs à 5% ( )

Il n’existe aucune relation proportionnelle entre les variables, sauf le portefeuille HML ne

dépend que ses propres variations retardées. Les variations à CT sur HML permettent de

revenir vers l’équilibre de LT.

En revanche les variations des autres variables MKT, LB et SMB sont totalement

exogènes.

Le VECM vérifie les résultats obtenus par le test de Granger. La variable HML est la

variable le moins exogène du modèle.

d’une relation de cointegration entre

MKT et LB. Ces deux portefeuilles de rentabilité sont totalement exogènes.

partie 2 - the financial engineer · 2.2 le modèle à trois facteurs de fama et french fama et...

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