題目 : yux-xuy=3x ucauchy data:{u(x,0)=x2} u(x,o)=x2

Solve u(x,y)=? y

xSol:

t

u

y

u

dt

dy

x

u

dt

dx

x3xuyuyx

)3....(x3dt

du

)2....(xdt

dy

)1....(ydt

dx

設 p=c1 q=c2

1

22

22

Cyx

Cy2

1x

2

1

ydyxdx

y

x

dx

dt

dt

dy

)1(

)2(

py-x 22 故

2Cy3u

Cy3u

dy3du

3dy

du

dy

dt

dt

du

)2(

)3(

q3yu 故

PDE的通解為 q=f(p)

q 為有 (u) 的函數 p 為無 (u) 的函數

22

22

22

2

22

yx-3yu

yx3yu :Ans

x0)f(x0u

xu(x,0)

)yx(fy3u

代入

0cossin)(

sincos)(

)0,(

0

0)(''

21

21

2

2

2

tctcty

stctctx

ssu

t

xtx

xdt

dy

dt

xdy

dt

dx

代入

時當

tsty

tstx

c

sc

sin)(

cos)(

02

1

故

tctcxdt

dusin3cos33 21

ts cos3

2sin3)( ststu

參數解為 :

將 x 平方 +y平方減掉 3 倍 y 會得到 :

此為顯示解

2sin3)(

sin)(

cos)(

ststu

tsty

tstx

yyxyxu 3),( 22