parte ii-2b differenze finite...
TRANSCRIPT
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Lucidi del corso di
Fluidodinamica delle Macchine
Capitolo II-2b: Differenze Finite
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina2
• Hoffmann,K.A.,eChiang,S.T.,1993,ComputationalFluidDynamicsforEngineers,Vol.1eVol.2,EngineeringEducationSystem
• Hirsch,C.,2007,NumericalComputationofInternalandExternalFlows:FundamentalsofComputationalFluidDynamics,2ndEdition,Butterworth-Heinemann,ISBN978-0-7506-6594-0
• DifferenzeFinite• MetodiEspliciti• MetodiImpliciti
TestieProgramma
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina3
DiscretizzazionedelleEquazioni
• L’obiettivoèquelloditrasformareunproblemacontinuo inunodiscreto sostituendoallederivatedeglioperatoridiscreti.
• Sonopossibilitrediversiapprocci:§ DifferenzeFinite(FiniteDifference)
Siapplicaalleequazioniinformadifferenziale (didivergenza)§ VolumiFiniti(FiniteVolume)
Siapplicaalleequazioniinformaintegrale (coniflussi)§ ElementiFiniti(FiniteElements)
Siapplicaalleequazioniinformadifferenzialemacontecnichechelericonduconoallaricercadiminimi(formadifunzionale oresiduipesati)
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina4
• Questometodosibasasullasostituzionedellederivateconrapportiincrementali chepossonoesseredefinitiattraversol’espansioneinseriediTaylordiunaqualunquefunzione,purchésiacontinuaconlesuederivatediordinen.
• Daquestaespressionegeneralepossiamodedurreapprossimazionidellederivatedellafunzionef inx,attraversolaconoscenzadellastessainpuntidistantiΔx.
( ) ( ) ( )å¥
=
D¶¶
+=D+1 !n
n
n
n
nx
xfxfxxf
Metododelledifferenzefinite(1)
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina5
• Dataunafunzioneanaliticaf(x),lafunzionef(x+Δx) puòquindiesserescrittacome:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )xOx
xfxxfxf
xxfx
xf
xxfxxf
xf
xxfx
xfx
xfxfxxf
nx
xfxfxxf
n
n
n
n
D+D
-D+=
¶¶
Þ+D
¶¶
-D
¶¶
-D
-D+=
¶¶
Þ+D
¶¶
+D
¶¶
+D¶¶
+=D+
ÞD
¶¶
+=D+ å¥
=
...!32
...!32
!
2
3
3
2
2
3
3
32
2
2
1
• Questaespressionerappresentaunaapprossimazionedelladerivataprimadellafunzionef indirezionex.
Metododelledifferenzefinite(2)
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina6
MetododelleDifferenzeFinite(3)
• Questaapprossimazionepuòessereanchevistacomel’inclinazionediunacurvainunpuntocalcolataconsiderandounacordadefinitadaipuntii ei+1 ordinatisullacurvastessa:
• Seavessimoconsideratoilvaloredif(x-Δx) avremmo:
• Questedueespressionivengonochiamatefirstforwarddifference efirstbackwarddifferenceapproximation diordine(Δx) .
( )xOxff
xf ii
i
D+D-
=¶¶ +1
( ) ( ) ( ) ( )xOxff
xfxO
xxxfxf
xf ii
i
D+D-
=¶¶
ÞD+D
D--=
¶¶ -1
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina7
MetododelleDifferenzeFinite(4)• Considerandoiduesviluppiinserieappenavistisiha:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )211
2
3
3
3
3
3
32
2
2
3
3
32
2
2
2
2
...!3
22
...!32
...!32
xOxff
xf
xOx
xxfxxfxf
xxfx
xfxxfxxf
xxfx
xfx
xfxfxxf
xxfx
xfx
xfxfxxf
ii
i
D+D-
=¶¶
ÞD+D
D--D+=
¶¶
Þ+D
¶¶
+D¶¶
=D--D+
Þ
ïïþ
ïïý
ü
+D
¶¶
-D
¶¶
+D¶¶
-=D-
+D
¶¶
+D
¶¶
+D¶¶
+=D+
-+
• Centraldifferenceapproximation diordine(Δx)2 .
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina8
MetododelleDifferenzeFinite(5)• Abbiamovistotretipiapprossimazionidelladerivataprima
dellafunzionef(x).Sidevonoperòconsiderareancheapprossimazionidiordinesuperiore.Dallosviluppodif(x+Δx)ef(x+2Δx) siottiene:
• Questaequazionerappresentalaforwarddifferenceapproximation delladerivatasecondadif diordine(Δx) .Analogamentesipossonoottenere:
( )( )xO
xfff
xf iii
i
D+D
+-=
¶¶ ++
212
2
2 2
( )( )
( )( )22
112
2
212
2
2 2 e 2 xOx
fffxfxO
xfff
xf iii
i
iii
i
D+D
+-=
¶¶
D+D
+-=
¶¶ -+--
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina9
MetododelleDifferenzeFinite(6)• Abbiamovistol’espressioneperderivateprimeeseconde
considerandodifferenzeinavantioindietrodiordine(Δx) edifferenzecentratediordine(Δx)2 .
• Utilizzandopiùterminidellaespansionesipossonoottenereespressionidiordinepiùelevato:
• Sostituendol’espressionedelladerivatasecondainavantisiottieneun’espressionealsecondoordineperladerivataprimadellafunzionef:
( ) ( ) ( ) ...!32
2
3
3
2
2
+D
¶¶
-D
¶¶
-D
-D+=
¶¶ x
xfx
xf
xxfxxf
xf
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2122
234
2342 xO
xfffxO
xxfxxfxxf
xf ii D+
D-+-
=D+D
-D++D+-=
¶¶ ++
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina10
MetododelleDifferenzeFinite(7)- Polinomi
• Unapossibilealternativaall’usodellaseriediTaylorèscriverelefunzioniinformapolinomialeeeffettuarelederivatedellafunzioneperviaanalitica.
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( )212
2
2
2
2
1212
212
22
21
2
12
22 teAnalogamen
2342 ma
234
22
222
0
xfff
xfA
xf
xfff
xfBAx
xf
fCx
fffB
xfffA
CxBxAfCxBxAf
Cf
xxxx
xCBxAxxf
iii
i
iii
i
i
iii
iii
i
i
i
i
i
i
D+-
=¶¶
Þ=¶¶
D-+-
=¶¶
Þ+=¶¶
=D
-+-=
D+-
=
ïî
ïí
ì
+D+D=+D+D=
=Þ
ïþ
ïý
ü
ïî
ïí
ì
D=D=
=«++=
++
++++
++
+
+
+
+
0=ix
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina11
• Supponiamodiavereun’equazioneditipoparabolico:
• Vogliamochel’equazionesiaaccurataalprimoordineneltempoealsecondoordinecentratanellospazio,quindi:
Esempidiapplicazionedelledifferenzefinite
÷÷ø
öççè
涶
+¶¶
=¶¶
2
2
2
2
yf
xf
tf a
( )
( )( )
( )( )22
1,,1,2
22
2,1,,1
2
2
,1
,
2 e
2yO
yfff
yfxO
xfff
xf
tOtff
tf
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
D+D
+-=
¶¶
D+D
+-=
¶¶
D+D
-=
¶¶
-+-+
+
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina12
PDEsParabolicheeDifferenzeFinite(1)
• Supponiamodiaverel’equazione:
• Siconsideraunadiscretizzazioneinavantialprimoordineneltempoealsecondoordinecentratanellospazio:
• E’ chiarocheconquestaformulazionel’unicaincognita,unavoltanotalasoluzionealtempon,èui altempon+1.
• Pervalutarelasoluzioneèsufficienteindicarelacondizioneiniziale(altempot0)eduecondizionialcontorno(sistemadiequazioniparabolico).
2
2
xu
tu
¶¶
=¶¶ a
( ) ( )( )n
ini
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni uuu
xtuu
xuuu
tuu
1121
211
1
22-+
+-++
+-DD
+=ÞD
+-=
D- aa
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina13
PDEsParabolicheeDifferenzeFinite(2)• Quandolasoluzionealtempon+1 dipendesolodavariabili
notesiparladimetodoESPLICITO.• Seconsideriamol’avanzamentoneltempo,sivedecheal
tempon+4 lasoluzionenondipendedallecondizionialcontornoaltempon+4,equestoèfisicamentenonaccettabile.
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina14
PDEsParabolicheeDifferenzeFinite(3)• Seconsideriamoinvececheledifferenzecentratealsecondo
ordinevalutatealtempon+1 siha:
( )
( ) ( ) ( )ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
uuxtu
xtu
xt
xuuu
tuu
-=DD
+×úû
ùêë
é
DD
+-DD
ÞD
+-=
D-
++
++-
+-
+++
+
112
12
112
2
11
111
1
21
2
aaa
a
( )( )n
ini
ni
ni
ni uuu
xtuu 112
1 2 -++ +-
DD
+=a
• Consideriamoledifferenzecentratealsecondoordinevalutatealtempon siaveva:
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina15
PDEsParabolicheeDifferenzeFinite(4)• Inquestomodoleincognitesonotre(itrenodialtempo
n+1)percuiènecessarioscriverel’equazioneinformadiscretapertuttiinodierisolveretuttalagrigliadicalcoloinunavoltasola.QuestoapprocciosichiamaIMPLICITO.
• Perilmetodoimplicitoovviamentelecondizionialcontornodeltempon+1 influenzanolasoluzionealtempon+1,comesivededallaformadiscreta.Conl’approccioesplicitoleequazionisipossonorisolvereinmanieradisaccoppiataneltempo.Unadelledomandecherimangonoè:cisonolimitinellasceltadeivaloridiΔx eΔt?
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina16
Formematricialiperiduemetodi(1)
• Sedefiniamoθ ilcoefficientedellevariabilisiha:
• Sesiconsideranotuttiglielementidellagrigliaesiscrivonoleequazioniinformamatricialesipuòintuiremeglioladifferenzatraiduemetodi.
( )( )
( ) ( ) ( )implicito 21
esplicito 2
112
12
112
1121
++
++-
-++
DD
-×úû
ùêë
é
DD
++DD
-=
+-DD
+=
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
uxtu
xtu
xtu
uuuxtuu
aaa
a
( )( ) implicito 2
esplicito 21
111
11
111
+-
+++
+
-++
+-×-=
+-×+=ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
uuuuuuuuuu
q
q
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina17
Formematricialiperiduemetodi(2)
• Neimetodiimpliciti,ilcalcolodelvettorealtempon+1richiedel’inversionedellamatricedeicoefficienti.
implicito ...
...120
12...012
...
esplicito ...
...210
21...021
...
2
11
1
2
1
2
1
1
2
1
nmnm
nmnm
u
uu
u
uu
u
uu
u
uu
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
------
--
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-
+
+
qqqqqq
qqqqqq
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina18
CondizionediCFL(1)• Consideriamol’equazioned’ondamonodimensionale:
implicito 22
esplicito 22
implicito 2
esplicito 2
11
111
111
11
11
1
111
+-
+++
-++
+-
++
+
-++
DD
-+DD
=
DD
++DD
-=
ïïî
ïïí
ì
D-
-=D-
D-
-=D-
Þ¶¶
-=¶¶
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
uxtauu
xtau
uxtauu
xtau
xuua
tuu
xuua
tuu
xua
tu
• Inognicasosiapprossimailvaloredia tran en+1.
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina19
CondizionediCFL(2)• Supponiamodiconsiderareilvaloredia (mapotrebbeessere
unqualunqueparametro).• AsecondadeivaloridiΔx eΔt l’approssimazioneconcui
valutoilparametropuòmigliorareopeggiorare.
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina20
CondizionediCFL(3)• Sipuòancheosservareun’altracosarelativaalledirezioni
caratteristichesulpiano(x,t) .Siconsideril’elementoi-esimoaltempon ealtempon+1.
• Sidefinisconoidominidiinfluenzaedipendenzarelativiallelineecaratteristiche,esipossonoconsideraredalpuntoaltempon (blu)ealtempon+1(rosso).
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina21
CondizionediCFL(4)• Affinchéilvalorediunavariabilevengadecisoinbaseallo
sviluppodellasoluzione(neltempo)ènecessariocheilpuntositrovinelgiustodominiodiinfluenza.
• Perquestoènecessariochesiverifichilaseguenterelazionetralavelocitàdell’informazionedipressioneeledimensionispazialietemporalidellagriglia:
max
max1
ttCFL
tacxt
acxt
DD
=
D=+D
£DÞ+
£DD
• IlnumerodiCFL(Courant-Frederichs-Levy)ciindicailrapportotraledimensionitemporalidellagrigliaeiltempodipropagazionedell’informazioneperunnodo.
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina22
CondizionediCFL(5)• LacondizionediCFLharipercussionidiversetraimetodi
implicitieimetodiespliciti.Perquestiultimiassumeun’importanzafondamentale.
esplicito 21
21
111 n
ini
ni
ni u
xtauu
xtau -+
+ ÷øö
çèæDD
++÷øö
çèæDD
-=
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina23
Metodiespliciti
• Forwardtime/centralspace (FTCS),èdiordine[Δt,(Δx)2]:
• Richardsonmethod:siottienecondifferenzecentrateinspazioetempo,maèincondizionatamenteinstabile.
• DuFort-Frankelmethod, ordine[(Δt)2,(Δx)2,(Δt/Δx)2]:èunosviluppodelmetododiRichardsonmailterminediffusivoi-esimoaltempon-simoèsostituitodallamediadellostessotermineneitempin-1 en+1:
( )( )
( ) 21per stabile 2 2112
1 £DD
+-DD
+= -++
xtuuu
xtuu n
ini
ni
ni
ni
aa
( )( ) stabile sempre 2
111
1211 n
ini
ni
ni
ni
ni uuuu
xtuu -
-++
-+ +--DD
+=a
2
2
xu
tu
¶¶
=¶¶ a Lineardiffusion
equation
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina24
Metodiimpliciti
• Laasonenmethod:
• Cranck-Nicholsonmethod:ilterminediffusivoèottenutodallamediadeiterminicalcolatialtempon+1 ealtempon.Èunamediatraunmetodoesplicitoeunoimplicito.
( )211
111
1 2x
uuutuu n
ini
ni
ni
ni
D+-
=D- +
-++
++
a
( )
( )211
111
211
211
21
22
22
xuuu
tuu
xuuu
tuu
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
D+-
=D-
D+-
=D-
+-
+++
++
-++
a
a
2
2
xu
tu
¶¶
=¶¶ a Lineardiffusion
equation
CorsodiFluidodinamicadelleMacchine– A.A.2016-2017– Prof.S.Salvadori,Prof.F.Martelli
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Pagina25
Considerazionigenerali• Imetodiesplicitisonospessoinstabili ostabilisolopercerti
valoredelCFL.
• Imetodiimplicitisonoquasisemprestabili epermettonolasceltadiΔt piùaltirispettoaimetodiespliciti.
• L’aumentodiΔt portaperòadunadiminuzionedell’accuratezzanumerica eall’aumentodierroreditroncamento.