LABORATORIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR M.C. Said ZamoraPráctica No. 4: Sistemas de Materiales CompuestosAlejandra Dimas Obeso 1691565 N2-1,3,5

Marco teórico Conducción de calor en estado estacionario en paredes planas Considere la conducción estacionaria de calor a través de las paredes de una casa durante un día de invierno. Se sabe que se pierde calor en forma continua hacia el exterior a través de la pared. Intuitivamente se siente que la transferencia de calor a través de la pared es en la dirección normal a la superficie de ésta y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones (figura 1).

Recuerde que la transferencia de calor en cierta dirección es impulsada por el gradiente de temperatura en esa dirección. No habrá transferencia de calor en una dirección en la cual no hay cambio en la temperatura. Las mediciones de la temperatura en varios lugares sobre la superficie interior o exterior de la pared confirmarán que la superficie de una pared es prácticamente isotérmica. Es decir, las temperaturas en la parte superior e inferior de la superficie de una pared, así como en los extremos derecho e izquierdo, son semejantes. Por lo tanto, no hay transferencia de calor a través de la pared de la parte superior hacia abajo, o de izquierda a derecha, pero se tiene una diferencia considerable en las temperaturas entre las superficies interior y exterior de dicha pared y, por lo tanto, transferencia de calor significativa en la dirección de la superficie interior hacia la exterior. El espesor pequeño de la pared hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si las temperaturas del aire dentro y fuera de la casa permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared de una casa se puede considerar como estacionaria y unidimensional. En este caso, la temperatura de la pared presentará dependencia sólo en una dirección (es decir, la dirección x) y se puede expresar como T(x). Nótese que la transferencia de calor es la única interacción de energía que interviene en este caso y no se tiene generación de calor; por lo tanto, el balance de calor para la pared se puede expresar como

Pero dEpared/dt=0 para la operación estacionaria, puesto que no hay cambio en la temperatura de la pared con el tiempo en ningún punto. Por lo tanto, la razón de la transferencia de calor hacia la pared debe ser igual a la razón de la transferencia hacia afuera de ella. En otras palabras, la razón de la transferencia de calor a través de la pared debe ser constante. Considere una pared plana de espesor L y conductividad térmica promedio k. Las dos superficies de la pared se mantienen a temperaturas constantes de T1 y

Figura 1. La transferencia de calor a través de una pared es unidimensional cuando la temperatura de ésta varía sólo en una dirección.

T2. Para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la pared, tenemos T(x). Entonces, la ley de Fourier de la conducción de calor para la pared se puede expresar como

Qcond , pared=−kAdTdr

(W )

donde la razón de la transferencia de calor por conducción Qcond , pared y el área A de la pared serán constantes. Por lo tanto, dT/dx=constante, lo cual significa que la temperatura a través de la pared varía linealmente con x. Es decir, la distribución de temperatura en la pared, en condiciones estacionarias, es una línea recta. Al separar la variable en la ecuación anterior e integrar desde x=0, donde T(0)=T1, hasta x=L, donde T(L)=T2, se obtiene

∫x−0

L

Q cond , pared dx=−¿ ∫T−T 1

T2

kAdT ¿

Al realizar las integraciones y reacomodar da

Qcond , pared=kAT 1−T2

L(W )

Que es idéntica a la primera ecuación. Por lo que la razón de la conducción de calor a través de una pared plana es proporcional a la conductividad térmica promedio, al área de la pared y a la diferencia de temperatura, pero es inversamente proporcional al espesor de la pared.

Concepto de resistencia térmicaLa ecuación anterior para la conducción de calor a través de una pared plana se puede reacomodar para tener

Qcond , pared=T 1−T 2

Rpared

donde Rpared=L

KA(°C /W ) es la resistencia térmica de la pared en contra de la conducción

de calor o simplemente la resistencia a la conducción de la pared. Note que la resistencia térmica de un medio depende de la configuración geométrica y de las propiedades térmicas del medio. Observe que la resistencia térmica también se puede expresar como

Rpared=∆ T

Qcond , pared que es la razón del potencial de arrastre ∆T con respecto a la tasa de

transferencia correspondiente Qcond , pared. La ecuación antes dada para la transferencia de calor es análoga a la relación para el flujo de corriente eléctrica I,

expresada como I=V 1−V 2

Re donde Re=L/σ e A es la

resistencia eléctrica y V1-V2 es la caída de voltaje a lo largo de la resistencia (σ e es la conductividad eléctrica). Por lo tanto, la razón de la transferencia de calor a través de una capa corresponde a la corriente eléctrica, la resistencia térmica a la resistencia eléctrica y la diferencia de temperatura a la caída de voltaje en la capa (figura 2). Considere la transferencia de calor por convección de una superficie sólida de área As y temperatura Ts hacia un

Figura 2. Analogía entre los conceptos de resistencia térmica y eléctrica.

fluido cuya temperatura en un punto suficientemente lejos de la superficie es T ∞, con un coeficiente de transferencia de calor por convección h. La ley de Newton del enfriamiento para la razón de transferencia de calor por convección, Qconv=h A s(T s−T ∞) se puede reacomodar para obtener

Qconv=T s−T ∞

Rconv

(W )

donde Rconv=1

h A s

(° C /W ) es la resistencia térmica de la superficie contra la convección de

calor o, simplemente, la resistencia a la convección de la superficie.

Red de resistencias térmicas

Considere ahora la transferencia de calor unidimensional en estado estacionario a través de una pared plana de espesor L, área A y conductividad térmica k que está expuesta a la convección sobre ambos lados hacia fluidos a las temperaturas T ∞1 y T ∞2, con coeficientes de transferencia de calor h1 y h2, respectivamente, como se muestra en la figura 3. Si se supone que T ∞2< T ∞1, la variación de la temperatura será como se muestra en la figura. Note que la temperatura varía en forma lineal en la pared y tiende asintóticamente aT ∞1 y T ∞2 en los fluidos, a medida que se aleja de la pared. En condiciones estacionarias se tiene

Q=h1 A (T ∞1−T 1 )=kAT1−T 2

L=h2 A (T2−T ∞2 )

la cual se puede reacomodar como

Q=T ∞1−T 1

1h1 A

=T 1−T2

LkA

=T2−T∞2

1h2 A

¿T∞1−T1

Rconv, 1

=T 1−T 2

Rpared

=T 2−T ∞2

Rconv ,2

Figura 3. Red de resistencias térmicas para la transferencia de calor a través de una pared plana sujeta a convección sobre ambos lados, y la analogía eléctrica.

Una vez que se calcula la tasa de transferencia de calor, también se puede usar la ecuación anterior para determinar las temperaturas intermedias T1 o T2. Al sumar los numeradores y los denominadores, da

Q=T ∞1−T ∞2

Rtotal

(W )

donde

Rtotal=Rconv, 1+R pared+Rconv, 2=1

h1 A+ L

kA+ 1

h2 A(°C /W )

Note que el área A de la transferencia de calor es constante para una pared plana y la razón de esa transferencia a través de una pared que separa dos medios es igual a la diferencia de temperatura (T∞1-T∞2) dividida entre la resistencia térmica total entre los medios. Note también que las resistencias térmicas están en serie y la resistencia térmica equivalente se determina simplemente al sumar cada una de las resistencias, precisamente como en las resistencias eléctricas conectadas en serie. Por lo tanto, todavía se aplica la analogía eléctrica. Se resume esto al expresar: la rapidez de la transferencia de calor estacionaria entre dos superficies es igual a la diferencia de temperatura dividida entre la resistencia térmica total entre esas dos superficies.

Otra observación que se puede hacer a partir de la ecuación Q=T ∞1−T ∞2

Rtotal es que la razón

de la caída de temperatura con respecto a la resistencia térmica a través de cualquier capa es constante y, de este modo, la caída de temperatura a través de cualquier capa es proporcional a la resistencia térmica de ésta. Entre mayor sea la resistencia, mayor es la caída de temperatura. De hecho, la ecuación Q=∆ T /Rse puede reacomodar para obtener

∆ T=Q R(° C)la cual indica que la caída de temperatura a través de cualquier capa es igual a la razón de la transferencia de calor multiplicada por la resistencia térmica de esa capa.

Paredes planas de capas múltiples En la práctica, a menudo se encuentran paredes planas que constan de varias capas de materiales diferentes. Todavía se puede usar el concepto de resistencia térmica con el fin de determinar la razón de la transferencia de calor estacionaria a través de esas paredes compuestas. Como es posible que el lector ya haya conjeturado, esto se hace simplemente al darse cuenta de que la resistencia a la conducción de cada pared es L/kA conectada en serie y aplicando la analogía eléctrica. Es decir, al dividir la

Figura 4. Red de resistencias térmicas para la transferencia de calor a través de una pared plana de dos capas sujeta a convección sobre ambos lados..

diferencia de temperatura que existe entre las dos superficies a las temperaturas conocidas entre la resistencia térmica total que presentan ambas. Considere una pared plana que consta de dos capas (como un muro de ladrillos con una capa de aislamiento). La razón de la transferencia de calor estacionaria a través de esta pared compuesta de dos capas se puede expresar como (figura 4)

Q=T ∞1−T ∞2

Rtotal

donde Rtotal es la resistencia térmica total, expresada comoRtotal=Rconv, 1+R pared. 1+R pared. 2+Rconv, 2

¿ 1h1 A

+ Lk1 A

+ Lk 2 A

+ 1h2 A

También se pudo obtener este resultado al seguir el procedimiento utilizado antes para el caso de una sola capa, al notar que la razón de la transferencia de calor estacionaria , a través de un medio de capas múltiples es constante y, por consiguiente, debe ser la misma a través de cada una de las capas. Note, a partir de la red de resistencias térmicas, que dichas resistencias están en serie y, por lo tanto, la resistencia térmica total es simplemente la suma aritmética de cada una de las resistencias térmicas que se encuentran en la trayectoria de la transferencia de calor. Este resultado para el caso de dos capas es análogo al de una sola capa, excepto en que se suma una resistencia adicional por la capa adicional. Este resultado se puede extender para paredes planas que constan de tres o más capas, al sumar una resistencia adicional por cada capa adicional. Una vez que se conoce Q , se puede determinar una temperatura superficial desconocida Tj en cualquier superficie o interfase j, a partir de

Q=T i−T j

Rtotal , i− j

donde Ti es una temperatura conocida en el lugar i y Rtotal , i− j es la resistencia térmica total entre los lugares i y j.

Balance de energía para sistemas de flujo estacionario Un gran número de aparatos de ingeniería, como los calentadores de agua y los radiadores de los automóviles, implica flujo de masa, hacia adentro y hacia afuera de un sistema, y se consideran como volúmenes de control. La mayor parte de los volúmenes de control se analizan en condiciones estacionarias de operación. El término estacionario significa ningún cambio con el tiempo en una ubicación específica. Lo opuesto a estacionario es no estacionario o transitorio. Asimismo, el término uniforme implica ningún cambio con la posición en toda una superficie o región en un tiempo específico. Estos significados son coherentes con su uso cotidiano [novia estable (estacionaria), distribución uniforme, etc.]. El contenido total de energía de un volumen de control durante un proceso de flujo estacionario permanece constante (EVC=¿ constante). Es decir, el cambio en la energía total del volumen de control durante un proceso de este tipo es cero ((∆ EVC=¿ 0). Por lo tanto, la cantidad de energía que entra en un volumen de control en todas las formas (calor, trabajo, transferencia de masa) para un proceso de flujo estacionario debe ser igual a la cantidad de energía que sale de él.

La cantidad de masa que fluye a través de una sección transversal de un aparato de flujo, por unidad de tiempo, se llama gasto de masa o razón de transferencia de masa y se denota por m. Un fluido puede fluir hacia adentro o hacia afuera de un volumen de control a través de tubos o ductos. El gasto de masa de un fluido que fluye en un tubo o ducto es proporcional al área de la sección transversal Ac* de ese tubo o ducto, la densidad r y la velocidad V del fluido. A menudo se puede considerar, en forma aproximada, que el flujo de un fluido por un tubo o ducto es unidimensional. Es decir, se puede suponer que las propiedades varían sólo en una dirección (la del flujo). Como resultado, se supone que todas las propiedades son uniformes en la sección transversal perpendicular a la dirección del flujo y también se supone que las propiedades tienen valores promedio en masa sobre toda la sección transversal. En la aproximación de flujo unidimensional, el gasto de masa de un fluido que fluye en un tubo o ducto se puede expresar como

m=ρV Ac (Kg / s)donde ρes la densidad del fluido, V es la velocidad promedio del mismo en la dirección del flujo y Ac es el área de la sección transversal del tubo o ducto. El volumen de un fluido que fluye por un tubo o ducto por unidad de tiempo se llama gasto volumétricoV , y se expresa como

V=V Ac=mρ

(m3/s )

Note que el gasto de masa de un fluido por un tubo o ducto permanece constante durante el flujo estacionario. Sin embargo, éste no es el caso para el gasto volumétrico, a menos que la densidad del fluido permanezca constante. Para un sistema de flujo estacionario con una entrada y una salida, la razón de transferencia de masa hacia adentro del volumen de control debe ser igual a la velocidad del flujo de masa hacia afuera de él; es decir ment=msal=m. Cuando los cambios en las energías cinética y potencial son despreciables, que es el caso más común, y no se tiene interacción de trabajo, el balance de energía para tal sistema de flujo estacionario se reduce a

Q=m∆ h=m Cp ∆ T (kJ /s )donde Qes la razón de la transferencia neta de calor hacia adentro o hacia afuera del volumen de control. La anterior es la forma de relación de balance de energía que se usará con la mayor frecuencia para los sistemas de flujo estacionario.

Datos experimentales Unidad 1

Termopar T (°C)T 1 125

T 2 *

T 3 67

T 4 *

T 5 *

T 6 56

T 7 48

T 8 43

T 9 37

T 10 34

T entrada(agua)) 28

T salida(agua ) 29

Unidad 2Termopar T (°C)

T 1 *

T 2 117

T 3 60

T 4 59

T 5 57

T 6 56

T 7 48

T 8 42

T 9 34

T 10 32

T entrada(agua)) 27

T salida(agua) 31

Las lecturas marcadas con * no fueron tomadas en cuenta debido a una falla en el equipo de medición.

Conductividades térmicas: Acero inoxidable (AISI 302): k=15.1 W/mKCobre puro: k=381 W/m°C

Cálculos y ResultadosUnidad 1

V t V=V

t0.001 m3 69 s

V=0.001 m3

69 s=1.45× 10−5 m3/s

V ρ m=V ρ

1.45 ×10−5m3/s 1000kg /m3m=(1.45 × 10−5 m3 /s ) (1000 kg/m3 )=0.0145 kg/ s

C p Q=mC p(T S−T E)

4220 J /kgK Q=(0.0145kg /s )(4220 J /kgK )(302 K−301 K )=61.15W

Unidad 2

V t V=V

t0.001 m3 165 s

V=0.001 m3

165 s=6.06 ×10−6m3/ s

Unidad 1V t

1000 ml 1 min 9 s

Unidad 2V t

1000 ml 2 min 45 s

V ρ m=V ρ

6.06 ×10−6 m3 /s 1000kg /m3m=( 6.06× 10−6 m3/s ) (1000 kg /m3 )=6.06 ×10−3kg /s

C p Q=mC p(T S−T E)

4220 J /kgK Q=(6.06 ×10−3 kg/ s)(4220 J /kgK )(304 K−300 K )=102.30 W

Para encontrar las temperaturas faltantes:

A=π D2

4=π ¿¿¿

De la unidad 1:

Q=kAT1−T2

L

∴T 2=−Q L

kA+T 1=

− (61.15W ) ( 8.87 ×10−4 m)

( 15.1 WmK ) (7.87 × 10−4 m2 )

+398 K=393.43 K=120.43 °C

T 4=−Q L

kA+T 3=

−(61.15 W ) (1.12× 10−3 m )

( 381 Wm° C ) (7.87 ×10−4 m2 )

+67 °C=66.77 ° C

T 5=Q LkA

+T6=(61.15 W ) (1.12 ×10−3m )

( 381Wm °C )( 7.87 ×10−4 m2 )

+56 °C=56.22 ° C

De la unidad 2:

T 1=Q LkA

+T2=(120.30 W ) (8.87 ×10−4 m )

( 15.1Wm K ) (7.87×10−4 m2 )

+390 K=397 . 6 3 K=124 . 63 °C

Nos queda:

Distancia (m)

Temperatura (°C) Termopar

-0.0153 34 10 Unidad 1-0.0141 37 9

-0.013 43 8-0.0119 48 7-0.0103 56 6-0.00919 56.22 5-0.00806 66.77 4-0.00693 67 3-0.00564 120.43 2-0.00475 125 10.00475 124.63 1 Unidad

20.00564 117 2

0.00693 60 30.00806 59 40.00919 57 50.0103 56 60.0119 48 70.013 42 80.0141 34 90.0153 32 10

-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.020

20

40

60

80

100

120

140

Gráfica temperatura vs distancia

Distancia (m)

Tem

pera

tura

(°C

)

Conclusiones Se puede ver que en el centro de la unidad la temperatura es mayor y conforme se avanza hacia los extremos la temperatura disminuye considerablemente, obteniendo temperaturas muy similares entre ambas unidades, por lo que podemos confirmar que para esta practica, la La transferencia de calor para ambas unidades fue muy diferente debido a que en cada una de ellas se tienen diferentes materiales con conductividades de calor diferentes, o sea con capacidad variable para poder conducir el calor, sin embargo son muy parecidas ya que ambas presentan casi las mismas variaciones de temperatura con respecto a la distancia, razón por la cual las graficas anteriores siguen casi la misma trayectoria. Mas no obstante, eso es en cuanto a la conducción, porque dichas temperaturas corresponden a las temperaturas del solido en la superficie del mismo, sin embargo al tener un flujo de fluido en el sistema, la transferencia de calor calculada corresponde a la transferencia de calor por convección de cada unidad, y como los gastos volumétricos y másicos fueron muy distintos en cada una, el resultado obtenido de la misma en los cálculos varia considerablemente.

Bibliografía

Yunus A. Cengel, Afshin J. Ghajar. (2004). Transferencia de calor. México, D.F.: Mc Graw Hill.