oxford calculatores

Irene Binini Scuola Normale Superiore 3 marzo 2013

I Calculatores di Oxford

• 1325-1350

• Merton College (Oxford)

• Comune interesse in questioni di logica - matematica - fisica

I Calculatores di Oxford

Richard Kilvington

Thomas Bradwardine

William Heytesbury

Richard Swineshead

before 1325 Sophismata

Quaestiones super De

generatione et corruptione

1328 De continuoDe proportionibus

1335 Regulae solvendi sophismata

Sophismata asinina

1350 Liber calculationum


Richard KilvingtonSOPHISMATA

ca. 1320-1325

1-11: mutamento di alterazione “Socrates est in infinitum albior quam Plato incipit esse albus” (S2)

12-28: attraversare uno spazio“A spatium incipit esse pertransitum” (S15)

29-44: moto locale, velocità“Plato potest moveri uniformiter per aliquod tempus et aeque

velociter sicut nunc movetur Socrates” (S34)

44-48: paradossi del verbo “conoscere”“Tu scis hoc esse Socratem” (S46)Irene Binini Scuola Normale Superiore 3

marzo 2013

Thomas BradwadineDE PROPORTIONIBUS

ca. 1328Analisi della proporzione, nel movimento, tra forza, resistenza e velocità

“Circa proportionem velocitatum in motibus in comparatione ad spatium, diversi diversa videntur”

“Sulla proporzione delle velocità nei movimenti rispetto allo spazio ci sono diverse opinioni”

(incipit del capitolo quarto, parte seconda)


BRADWARDINE, Thomas, Archbishop of Canterbury Geometria Speculativa. Edited by P. Sanchez Ciruelo (1470-1554). Paris: Guy Marchant, 20 May 1495

William HeytesburyREGULAE SOLVENDI SOPHISMATA

ca. 1335“You young men in your first year of logical studies. I would deliver into your care, to the extent that the barreness of my ability would manage, a brief compendium of the rules for solving sophisms” (Prologo dell’opera, trad. Spade 1979)

1) De insolubilibus2) De scire et dubitare3) De relativis4) De incipit et desinit5) De maximo et minimo6) De tribus predicamentis


Heytesbury, De sunsu composito et diviso, Venice: Boneto Locatelli, 1494.

Richard SwinesheadLIBER CALCULATIONUM

ca. 1350“Scaligero e Cardano ammirano Suisset

il calcolatore, il cui talento è al di sopra dell’intelligenza umana (qui pene modum excessit humani ingenii)”Robert Burton, The anatomy of Melancholy, 1621

"Il y a eu autrefois un Suisse, qui avoit mathématisé dans la Scholastique: ses ouvrages sont peu connus; mais ce que j'en ai vu m'a paru profond et considérable." Leibniz, Letter to M.M. Remond de Montmorency

L’inizio delLiber calculationumDi Richard Swineshead

(Padua 1477,fol. 2r).


I Sophismata e la didattica della logica nel Medioevo

Un sophisma è un enunciato (con un contesto dato)

es: “L’attuale re di Francia è calvo”

• strano, bizzarro “tu est asinus”;

• ambiguo “Ogni uomo è necessariamente un

animale”;• paradossale

“Questo enunciato è falso”.

Disputatio:

1. Questio

2. Opponens

3. Respondens


Sophismata:• Logici

• “Fisici”

Principali temi:• proprietà sintattiche e

semantiche dei termini;• Termini sincategorematici• quantificazione;• negazione;• universali;• ambiguità enunciato.

• Mutamento e movimento;• velocità;• continuo e infinito;• intensio et remissio formarum• Incipit et desinit• Maximo et minimo


La teoria aristotelica del movimento- La Fisica è la scienza degli enti

mutabili;- mutamento è un passaggio, per

un ente, dall’essere al non essere secondo una certa categoria;

- C’è mutamento (metabole) secondo la categoria della sostanza;

- C’è movimento (kinesis) secondo 3 categorie: 1. Qualità (alterazione)2. Quantità (aumentazione,

diminuzione)3. Luogo (spostamento)

Manoscritto latino della Fisica di Aristotele.Bibliotheca Apostolica Vaticana


Problemi e risultati dei Calculatores sul movimento

Motus localis

Mutamenti qualitativi

• Proporzioni tra grandezze del moto: forza, resistenza, velocità, distanza;

• misurazione del moto difforme;

• misurazione della intensificazione o diminuzione di una qualità in un corpo;

• inizio e fine di un processo di alterazione;

• qual è il grado massimo/minimo per cui si dice che un corpo ha una certa qualità


Analogia moto locale/mutamento qualitativo

Ogni moto è misurabile secondo la sua “estensione”: quantità estensiva o dimensiva secondo la sua “intensità”: quantità virtualis

Rappresentazione geometrica di moti uniformi e difformi (ca. 1350): le altezze rappresentano la “qualità” del moto, mentre le basi la “quantità”.

Analogamente, una qualità può essere calcolata secondo la sua “estensione” in un corpo sia secondo la sua “intensità”, cioè il grado in cui è presente in quel corpo.


• Sfera sublunare: 4 tipi di mutamento

• Moto locale naturale/violento

• Quattro elementi naturali, ognuno con il suo luogo naturale

• Ogni cosa è in moto a causa di una forza motrice

(dunamis – vis)• In ogni moto a questa forza

si contrappone una resistenza

La teoria aristotelica del moto locale


“Se A è il motore, B il mosso, C la distanza percorsa e D il tempo impiegato, allora nello stesso tempo [D] una forza A uguale muoverà ½ B per una distanza 2C, e, in ½ D, A muoverà ½ B per una distanza C; così infatti verrà mantenuta la debita proporzione. E se la stessa forza [A] muove lo stesso peso [B] per una certa distanza [C] in tale e tanto tempo [D] e per metà della distanza in metà tempo, allora metà di tale forza muoverà di tale peso per una distanza uguale in un tempo uguale [cioè ½ A muoverà ½ B per una distanza C nel tempo D] …”

[Phys. VIII 5]


Con tempo e forza costanti, la distanza percorsa è inversamente proporzionale alla resistenza

Con distanza e forza costanti, il tempo è direttamente proporzionale alla resistenza – con la condizione che la forza sia sufficiente a produrre il movimento

Con tempo e resistenza costanti la distanza percorsa è direttamente proporzionale alla grandezza della forza motrice

Proporzionalità diretta stabilita anche tra velocità e peso e velocità e volume [De Caelo I 6 273b30-274a2; Phys. IV 8.216a11-16]

Con uguale peso, la velocità è inversamente proporzionale alla resistenza

Esprimendo in una singola formula moderna:

V S/T F/R∝ ∝La velocità è proporzionale al rapporto della forza motrice

alla resistenza, con la condizione che F > R

• Se V ∝ F/R allora il vuoto non esiste. “Ma per il vuoto non esiste alcuna proporzione secondo cui

esso venga superato dal corpo, come non c’è proporzione tra lo zero e il numero”(Phys. IV 8.215a25 ss.)

Se infatti la resistenza è zero (poiché la densità del vuoto è zero), il movimento dovrebbe aver luogo istantaneamente, il che è contraddittoria.


Bradwardine VS AristoteleAccetta i due principi aristotelici:1) non c’è moto se F ≤ R;2) la V è funzionale al rapporto tra F e R;ma come conciliarli?

Se V ∝ F/R e F=R, allora V = k > 0;se F<R, allora V = k > 0.

“La proporzione delle velocità nei moti segue la proporzione della potenza del motore alla potenza della cosa mossa” [Bradwardine, Tractatus, cap.3]

Cioè la velocità cresce aritmeticamente in corrispondenza all’accrescimento geometrico del rapporto della forza alla resistenza


Tra F e R non può esserci proporzionalità semplice. Bradwardine trova che si ha invece una relazione esponenziale, per cui

F2/R2 = (F1/R1) V2/V1

dove (F1/R1) > 1 e n = V2/V1

V = logn (F/R) dove n = F1/R1


“La quinta opinione, che è vera, pone che la velocità del moto segua la proporzione geometrica della potenza del motore sulla potenza della cosa mossa. Il significato di tale opinione è il seguente: date due potenze e due resistenze, e supponendo che la proporzione tra la prima potenza e la sua resistenza sia maggiore di quella tra la seconda potenza e la sua resistenza, la prima potenza con la sua resistenza si muoverà più velocemente della seconda con la sua, nella stessa misura in cui una proporzione è maggiore dell’altra. Per esempio, sia a una potenza come 8, b la sua resistenza come 2, e sia c un’altra potenza come 6 e d la sua resistenza come 3. Si muovano a con b e c con d. Allora a con b si muoverà due volte più velocemente che c con d, poiché la proporzione tra a e b è il doppio di quella tra c e d. Quest’opinione è chiara dal VII libro della Fisica di Aristotele, dov’egli dice che la velocità del movimento segue la proporzione della potenza del motore sulla resistenza”

Trattato breve sulle proporzioni, abbreviato dal libro sulle proporzioni di Bradwardine, Vienna 1515


Risultati sul motus localis1. Chiara distinzione tra dinamica e cinematica

espressa come distinzione tra cause del moto e gli effetti spazio-temporali

2. Sviluppo del concetto di velocità istantanea

Distinzione tra qualità o intensità della velocità e velocità totale

3. Definizione del moto uniformemente acceleratocome quel moto in cui incrementi uguali di velocità sono acquisiti in intervalli di tempo uguali

4. Teorema della velocità mediache stabilisce l’uguaglianza, rispetto allo spazio percorso in un tempo dato, di un moto uniformemente accelerato e di un moto uniforme in cui la velocità è uguale alla velocità del moto accelerato nell’istante di mezzo del tempo di accelerazione


1. “Proporzione tra le velocità nei moti in relazione alle forze (potentias) dei motori e delle cose mosse” (3° capitolo)

Calcolo della velocità “in relazione alla grandezza delle cose mosse e dello spazio percorso” [Bradwardine, Tractatus]

“Bisogna investigare con diligenza in che modo venga misurata la velocità in qualsiasi moto, sia per quanto concerne la causa sia per quanto concerne l’effetto” [Swineshead, De Motu]


2. Distinzione tra qualità o intensità della velocità e quantità di moto o velocità totale

Qualità di moto = velocità senza considerazione della sua continuazione o durata nel tempo. Nel caso di un moto non uniforme, velocità istantanea

Quantità di moto = la velocità su un periodo di tempo definito, misurata dalla distanza percorsa in quel periodo

“una siffatta velocità difforme o istantanea [velocitas instantanea] non viene misurata dalla linea persorsa, ma

dalla linea che un tale punto descriverebbe se si muovesse per tanto o tanto tempo di moto uniforme, con quel grado di velocità con cui si muove in quell’istante dato”

[Heytesbury, Regulae, parte 4.2]


3. Moto uniformemente difforme: definito come l’acquisizione di incrementi di velocità uguali in periodi di tempo uguali presi a piacere

“Un moto è uniformemente accelerato [uniformiter intenditur] quando in una qualsiasi frazione di tempo uguale acquista un uguale incremento [latitudo] di velocità”

[Heytesbury, Regulae, VI.3]

“Dovunque c’è accrescimento [intensio] uniforme del moto locale ivi è un moto locale uniformemente difforme. E poiché il moto locale uniformemente difforme corrisponde per quanto concerne l’effetto al suo grado medio, è chiaro che nello stesso tempo un’ugual distanza sarà percorsa da un mobile che si muova di moto uniforme con la velocità del suo grado di mezzo e da quel moto locale uniformemente difforme”

[Swineshead ?, De motu, frammento]


4. Teorema della velocità media

o teorema mertoniano dell’accelerazione uniformeche stabilisce l’uguaglianza, rispetto allo spazio percorso in un tempo

dato, di un moto uniformemente accelerato e di un moto uniforme in cui la velocità è uguale alla velocità del moto accelerato nell’istante di mezzo del tempo di accelerazione

S = ½ Vf t

S = V0 + [(Vf - V0)/2] t

dove S è la distanza, Vf è la velocità finale e t il tempo dell’accelerazione


Il disegno originale di Oresme a dimostrazione del teorema

Formulazione più antica del teorema:

“Infatti ogni latitudine [ossia incremento o differenza di velocità], sia che cominci dal grado 0, sia da un qualche grado, purché pervenga a un qualche grado finito e venga acquistata o perduta uniformemente, corrisponderà ugualmente al suo grado medio; quel mobile, la acquisti o perda uniformemente in un tempo dato, percorrerà quindi una grandezza del tutto uguale che se si muovesse di moto continuo per un tempo uguale con quel grado medio [di velocità] … Infatti, l’intero moto, compiuto nell’intero tempo, corrisponderà al suo grado medio, ossia a quello che avrà nell’istante di mezzo di tale tempo”

[Heytesbury, Regulae, VI]

“Poiché il moto locale uniformemente difforme corrisponde per quanto concerne l’effetto al suo grado medio, è chiaro che nello stesso tempo un’ugual distanza sarà percorsa da un mobile che si muova di moto uniforme con la velocità del suo grado di mezzo e da quel moto locale uniformemente difforme” [Swineshead, De Motu, frammento]


Il “calcolo” delle qualità

Un processo di alterazione, per Aristotele, è il mutamento di una sostanza dall’essere secondo una qualità (es: dall’essere bianco”) all’essere secondo la qualità contraria (es: essere nero).


Ma alcune qualità ammettono che si parli di gradi di qualità (di gradi o intensità di colore o calore)Il problema del crescere e decrescere di qualità inizia a porsi dal 1200. Il principale background dei Calculatores sono le teorie di

1. Burley: teoria della successione2. Scotus: teoria dell’addizione

La posizione dei Calculatores sul problema di intensio e remissio formarum

• Descrizione quantitativa di un mutamento qualitativo. Teoria dell’addizione e idea di diversi gradi di qualità

• L’intensità di una qualità è la qualitas virtualis di un corpo (≠ qualitas estensiva)

• Il grado di qualità è calcolato come proportio (rapporto) tra una qualità e la qualità contraria in un certo punto del corpo

Problemi:

Misurare il grado complessivo di una qualità in un corpo non uniformemente qualificato.

Qual è il grado minimo e massimo per cui una cosa si dice avere un certa qualità?

Quando una cosa comincia e smette di avere una certa qualità?


Heytesbury - De Incipit et desinit (Regulae, 4° capitolo)

“Socrate inizia a essere bianco”

“Socrate non era bianco immediatamente prima di adesso, e adesso è bianco” oppure

“Socrate non è bianco adesso, e è bianco immediatamente dopo adesso”

“Per ogni momento dopo adesso, c’è un momento prima di quel momento e dopo adesso in cui Socrate è bianco”

∀x [x è un momento dopo adesso → ∃y ((y è prima di x e dopo adesso) & (Socrate è bianco a y))]


expositio

expositio

Il contributo dei Calculatores1. In generale- Inserimento di questioni di filosofia naturale in sophismata logici- “Matematizzazione” del movimentoù

2. RisultatiSul moto locale: - Distinzione moto secondo le cause e secondo gli effetti- Analisi del moto “uniformemente difforme”- Teoremi di proporzionalità di Bradwardine (dinamica) e dell’accelerazione

(cinematica)

Sul moto qualitativo:- Idea di trattare come quantificabili i gradi di qualità- Questioni sul continuo e l’infinito

3. Anche un contributo metodologico?


Esperimenti “secundum imaginationem”

Considerazione di casi fisici impossibili secondo natura, ma possibili “secundum imaginationem”

- Metodo per testare la veridicità, i limiti e la coerenza di una teoria

- Processo di astrazione dall’esperienza quotidiana e dall’intuizione (≠ fisica aristotelica)


“In a good mistery story the most obvious clues often lead to the wrong suspects. In our attempts to understand the laws of nature we find, similarly, that the most obvious intuitive explanation is often the wrong one. […] Galileo’s contribution was to destroy the intuitive view and replace it with a new one. This is the significance of Galileo’s discovery”

Einstein, The rise of the mechanical view, in The evolution of Physics

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Education

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