OPTIMIZACIÓN EN GRAFOS Y EL PROBLEMA P=NP

David Pérez-García

Universidad Complutense de Madrid

EL PROBLEMA P=NP

P VS. NP

1.  Esunodelos“problemasdelmilenio”.Unmillóndedólares.2.  LaclasePesladeaquellosproblemasdedecisiónquesepuedenresolver

“eficientemente”enunordenador,enelsen<dodequeelcosteen<empocrecedeformapolinomialconlosparámetrosdelproblema.

3.  LaclaseNPesladeaquellosproblemasdedecisiónquesepuedenverificar

en<empopolinomialsiaunoledanel“witness”adecuado.

P VS. NP

Ejemplo:Dadostresnúmeroenterosk>n>m(eltamañodelproblemaeselnúmerodebitsdek),decidirsinm=kestáenP.

Ejemplo:Dadosdosnúmeroenterosn>m(eltamañodelproblemaesel

númerodebitsden),decidirsin<eneunfactorprimomenorquemestáenNPperosecreequenoestáenP(seguridaddeRSA).

Muchosproblemascombinatorios(degrafos)sonNP-hard,esdecir,sise

resuelvenen<empopolinomialesqueP=NP.Ejemplos:CHROMATICNUMBER,MAXCUT,MAXCLIQUE,etc.

JUEGOS NO LOCALES

(INTERACTIVE PROOF SYSTEMS)

x y

a b

Preguntas x,y con probabilidad π (x, y)Respuestas a,bV (a,b, x, y)∈ ganar,perder{ }

valor(G)=mayorprobabilidaddeganarop<mizandoentrelasestrategias.

JUEGO: G = π,V{ }Tamaño(G)=nº preguntas posibles + nº respuestas posibles

INAPROXIMABILIDAD EN JUEGOS NO LOCALES

TEOREMA PCP (ARORA ET AL. J. ACM 1998)

SalvoqueP=NP,noexisteningúnalgoritmopolinomialeneltamañodeljuegonquepermitadecidirsielvalordeunjuegoes=1o(dadalapromesadequeseverificaunodelosdoscasos).

0 1

≤1− 1poly(n)

TEOREMA DE REPETICIÓN PARALELA (RAZ, SIAM J. COMP 1998)

DadounjuegoG,supongamosqueAliceyBobjueganmvecesdeformasimultánea(enparalelo)yseconsideraqueganansiysólosiganantodaslasveces.Seesperaríaqueelvalordedicharepe<ciónparalelasea.FALSO,perocasicierto:

AmbosTeoremas(PCPyRepe<ciónParalela)estánconsideradosdosdelosprincipalesresultadosenteoríadelacomplejidadmoderna.

valor(G)m

Teoremaderepe;ciónparalela:Elvalordelarepe<ciónparaleladeGesparaciertasconstantes

≤ 1− c1 1− valor(G)( )3( )c2m

c1,c2 <1

COROLARIO (PCP + REPETICIÓN PARALELA)

SalvoqueP=NP,noexisteningúnalgoritmopolinomialeneltamañodeljuegonquepermitadecidirsielvalordeunjuegoes=1o(dadalapromesadequeseverificaunodelosdoscasos).

0 1

≤1

poly(n)

Deestecorolariosededucentodoslosresultadosdeinaproximabilidadengrafos.

UNIQUE GAME CONJECTURE (KHOT 2002)

SalvoqueP=NP,dadosr,s>0,noexisteningúnalgoritmopolinomialeneltamañodeljuegoquepermitadecidirsielvalordeunjuegouniquees>so<r(dadalapromesadequeseverificaunodelosdoscasos).

0 1

r

Ha pasado a ser una conjetura central en Teoría de la Complejidad (Khot recibió el Nevalinna Prize en 2014 por esta conjetura).

s

INAPROXIMABILIDAD EN GRAFOS

INAPROXIMABILIDAD DE MAX-CLIQUE

Teorema(Hastad,ActaMath.1999):SalvoqueP=NP,dadoe>0yunalgoritmopolinomialparadeterminarelMAX-CLIQUEdeungrafo,entoncesexistengrafosdenvér<cestalesque:

MAX-CLIQUEoutput del algoritmo

≥ n1−e

NótesequeMAX-CLIQUEessiempremenoroigualquen(!!)

INAPROXIMABILIDAD DE COLOREAR UN GRAFO

Teorema(Lund-Yannakakis,JournalofACM,1994):Existeune>0talque,salvoqueP=NP,dadounalgoritmopolinomialparadeterminarelCHROMATICNUMBERdeungrafo,entoncesexistengrafosdenvér<cestalesque:

output del algoritmoCHROMATIC NUMBER

≥ ne

Teorema(Khanna,Linial,Safra,1994):SalvoqueP=NPhaygrafosqueson3coloreablespero que no se pueden colorear (en <empopolinomial)nisiquieracon4colores.

EL PROBLEMA DE LOS CUATRO COLORES

Problema(1852):Dadoungrafoplanar(unmapa),¿sepuedecolorearconcuatrocolores?

Solución(Apple,Hakken,Bull.AMS1976):SIDemostraciónu<lizandounordenador.CONTROVERSIA.

MAX-CUT =máximo,entretodaslasformasdebicolorearungrafo,delnúmerodearistasentredis<ntoscolores.

Teorema(Hastad,J.ACM2001):SalvoqueP=NP,noexisteningúnalgoritmopolinomialquegaran<cesiempreunvalortalque

MAXCUT ≤α ≤ 1312MAXCUT

CONEXIÓN ENTRE JUEGOS Y GRAFOS:

LABEL COVER

LABEL COVER

Dado un grafo bipartito Un conjunto de colores Y un conjunto de configuraciones válidas para cada arista Encontrar una coloración del grafo que maximice el número

de aristas con una configuración válida

),( EWUV ∪=

Σ

}invalid valid,{: ,),( →Σ×Σ∈=∀ eCEwue

LABEL-COVER

Colores

Número de aristas válidas = 4 Solución a LABEL-COVER = 5

LABEL COVER – JUEGOS NO LOCALES

Dada una instancia de LABEL-COVER, definimos un juego no local como sigue: Preguntas = vértices (de U a Alice y de W a Bob) con probabilidad uniforme entre los pares que forman una arista (y 0 en el resto). Respuestas = colores. Ganan el juego si dan una coloración válida para la arista que se les pregunta.

Valor del juego = Solución LABEL COVERnúmero de aristas