optimisation des formes: introductionla normale n de c vaut r (terme hyperbolique). et de c vaut div...

Introduction Functional Evolution Conclusion

Laboratoire de MathématiquesUniversité de Savoie UMR 5127

Optimisation des formes: introduction

Tristan Roussillon12

1LIRIS, Université de Lyon 2LAMA, Université de Savoie

Digital Snow

T. Roussillon Optimisation des formes 1/21


Contexte

Post-doc projet ANR DigitalSnow

Etude à échelle microscopique la méthamorphose de la neige(air/glace/eau)

Simulation de méthamorphoses :

métamorphose d'isothermie : phénomène de diusion devapeur (mouvement par courbure moyenne avec conservationde volume)

métamorphose sous champs de gradients de températures :phénomène de condensation/sublimation (facettage/arrondi)

F. Flin (CEN)



Key-words

E. Oudet (LJK)

phase elds, variational approach, functional, snake, deformablemodel level sets, langragian/eulerian approach, geodesic activecontour, implicit function, distance function, numerical method ofdiscretisation, Upwind scheme, ENO/WENO scheme, TVD RangeKutta scheme, CFL time step restriction,implicit/semi-implicit/explicit method, convection, diusion, meancurvature motion, Hamilton-Jacobi equation, hyperbolic term,parabolic term, EDP, EDO.



Objectifs de la présentation

mots-clefs

références

principe :

1. fonctionnelle à minimiser

2. première variation donnant une EDP d'évolution

3. résolution numérique de l'EDP



Plan

1 Introduction

2 Functional

3 Evolution

4 Conclusion



Introduction

Données, notations, vocabulaire

Ω ⊆ R2 support, x ∈ Ω un point du support, D ⊆ Ω region,

Φ : Ω→ R fonction (implicite), D = x |Φ(x) ≤ 0),

∂D = C interface, C : [0, l ]→ Ω fonction (paramétrique),s ∈ [0, l ] abscisse curviligne, C (s) un point sur l'interface,N(s) sa normale, κ(s) sa courbure,

E : . . .→ R fonctionelle



Exemples de fonctionnelles simples

1. aire (pondérée) d'une région :∫Df (x)dx

2. somme des variances intra-classes :∫D

(f (x)− µ1)2dx +∫

Ω\D(f (x)− µ2)2dx

3. longueur (pondérée) de l'interface :∫Cf (C (s))ds

4. alignement des normales aux gradients d'une fonction :∫C∇f (C (s)).N(s)ds



Exemples de fonctionnelles en analyse d'images

.[Kass,Witkin,Terzopoulos 89] snake : critères abandonnés + 3

.[Cohen 91] snake + force ballon : 1

.[Kichenassamy 95], [Caselles 97] contour actif : 3 (+ 1)

.[Shan et Vese 02] : 2 + 3

.[Kimmel et Bruckstein 02], [Vasilevkyi et Siddiqi 02] : 4

Retour d'expérience

1 permet de goner ou dégoner la région2 est un bon terme d'attache aux données,permet de déplacer une région3 est un bon terme de régularisation (que 4 peut améliorer)



Optimisation des formes

Problème à résoudre

arg minC E (C )

Calcul de la première variation

Soit V : [0, l ]→ Ω et ε ∈ R.δE(C)δV = d

dεE (C + εV )|ε=0 =∫Cγ(s,C , . . .)N(s).V (s)ds

Etat d'équilibre

C est un optimum pour E (C ) si :∫Cγ(s,C , . . .)N(s).V (s)ds = 0



Descente de gradients

EDP d'évolution

Comme on ne sait pas résoudre l'équation ci-dessus, on part d'unesolution C quelconque qu'on modie en enlevant itérativementγ(s,C , . . .)N(s) pour chaque point C (s) :

∀s ∈ [0, l ], ∂C(s)∂t = −γ(s,C , . . . ; t)N(s)

Avec une notation plus concise :∂C∂t = −γ(C , . . . ; t)N



Exemples d'EDP d'évolution

1. aire (pondérée) d'une région :∂C∂t = −f (C ).N

2. somme des variances intra-classes :∂C∂t = (µ2 − µ1)(f (C )− (µ2 + µ1)/2).N

3. longueur (pondérée) de l'interface :∂C∂t = (−κf (C ) +∇f .N).N

4. alignement des normales aux gradients d'une fonction :∂C∂t = −4f .N



Plan

1 Introduction

2 Functional

3 Evolution

4 Conclusion



Discrétisation spatiale

Interface (approche lagrangienne, fonction paramétrique)

dicilement extensible en dimension supérieure

dépendant de la paramétrisation

mauvaise adéquation aux données de l'image

gestion de la topologie dicile

Domaine (approche eulérienne, fonction implicite)

coût algorithmique important (qui peut être réduit)



Equations Level-Sets

Soit Φ : Ω→ R une fonction (au moins Lipschitz continue), telleque D = x |Φ(x) ≤ 0 et C = x |Φ(x) = 0.La normale N de C vaut ∇Φ

|∇Φ| (terme hyperbolique).

La courbure moyenne κ de C vaut −div( ∇Φ|∇Φ|) (terme parabolique).

a Déplacement selon un champs de vecteurs vitesses externe(convection) : ∂Φ

∂t = −V .∇Φ = −VN |∇Φ|b Déplacement en direction de la normale et à une vitessedonnée (convection) : ∂Φ

∂t = −α|∇Φ|c Déplacement en direction de la normale et à une vitesseproportionnelle à la courbure (MCM) (diusion) :∂Φ∂t = div( ∇Φ

|∇Φ|)|∇Φ|d On peut aussi combiner a et c (convection-diusion)



Fonction distance

Si Φ est une fonction distance signée Φ(x) = dist(x ,C ), alors ∀xsur C, |∇Φ(x)| = 1.La normale N de C vaut ∇Φ (terme hyperbolique).Et κ de C vaut −div(∇Φ) = −4Φ (terme parabolique).

Avantages

Simplie les formules (théorique)Résolution numérique plus stable et plus précise (pratique)

Inconvénients

Initialisation de la fonction distance.Recalcul de la fonction au cours des déformations.Fast marching method ou narrow-band level-set [Sethian 99]



Discrétisation du terme hyperbolique

Forward/Backward dierence scheme

Pour chaque axe xi ,∂Φ∂xi≈ Φ(xi +∆x )−Φ(xi )

∆x= D+

i( ∂Φ∂xi

).

Pour chaque axe xi ,∂Φ∂xi≈ Φ(xi )−Φ(xi−∆x )

∆x= D−

i( ∂Φ∂xi

).

Upwind/Godunov scheme

Pour chaque axe xi , si on se déplace dans le sens de la normale,Di (

∂Φ∂xi

) = D−i

( ∂Φ∂xi

), sinon Di (∂Φ∂xi

) = D+i

( ∂Φ∂xi

).Erreur en O(∆x).

(W)ENO scheme [Shu et Osher 88]

Erreur en O((∆x)α) où α vaut 3-5.



Discrétisation du terme parabolique

Central dierencing

Pour chaque axe xi ,∂Φ∂xi≈ Φ(xi +∆x )−Φ(xi−∆x )

2∆x= D0

i( ∂Φ∂xi

).

Pour chaque axe xi ,∂2Φ∂x2

i

≈ Φ(xi +∆x )−2Φ(xi )+Φ(xi−∆x )∆2

x

= D+−i

(∂2Φ∂x2

i

).

Exemple simple : 4Φ (fonction distance)

4Φ ≈∑

i(D+−

i(∂

2Φ∂x2

i

))



Discrétisation du terme parabolique

Central dierencing

Pour chaque axe xi ,∂Φ∂xi≈ Φ(xi +∆x )−Φ(xi−∆x )

2∆x= D0

i( ∂Φ∂xi

).

Pour chaque axe xi ,∂2Φ∂x2

i

≈ Φ(xi +∆x )−2Φ(xi )+Φ(xi−∆x )∆2

x

= D+−i

(∂2Φ∂x2

i

).

Plus complexe : div( ∇Φ|∇Φ|) (fonction quelconque)

div( ∇Φ|∇Φ|) ≈

D01 ( ∂Φ

∂x1)2D+−

2 ( ∂2Φ

∂x22

)−2D01 ( ∂Φ

∂x1)D0

2 ( ∂Φ∂x2

)D0012 ( ∂2Φ

∂x1∂x2)+D0

2 ( ∂Φ∂x2

)2D+−1 ( ∂2Φ

∂x21

)

(∑

iD0

i( ∂Φ∂xi

)2)32



Discrétisation temporelle explicite

Forward Euler scheme (explicite)

∂Φ∂t ≈

Φ(t+∆t)−Φ(t)∆t

.Erreur en O(∆t).

Exemple simple : force ballon (1, b)

équation : ∂Φ∂t = −α|∇Φ|

discrétisée : Φ(t + ∆t) = Φ(t) + ∆tα(∑

iDi (

∂Φ∂xi

)2)12

Sommes et mutliplications terme à terme de vecteurs : facile àimplémenter.



Extension

TVD Runge-Kutta scheme [Shu et Osher 88]

Combinaison convexe de plusieurs solutions :

Calculer Φ(t + ∆t), puis Φ(t + 2∆t)

Déduire Φ(t + 1

2∆t) = 3

4Φ(t + ∆t) + 1

4Φ(t + 2∆t)

Calculer Φ(t + 3

2∆t)

Déduire Φ(t + ∆t) = 1

3Φ(t) + 2

3Φ(t + 3

2∆t)

Erreur en O((∆t)3).



Qualité d'un schéma numérique de discrétisation

Convergent scheme

consistent : error tends to 0 as ∆t and ∆x tend to 0.

stable (CFL condition) : ∆x/∆t > max |V |

In the explicite case,If forward/backward dierences : ∆t est en O(∆x).But if central dierences : ∆t est en O((∆x)2).

Backward Euler scheme ((semi-)implicite)

Φ(t + ∆t) = Φ(t) + ∆tA.Φ(t + ∆t) (A matrice tridiagonale).Φ(t + ∆t) = Φ(t).(I −∆tA)−1.

Erreur en O(∆t) mais ∆t en O(∆x).



Conclusion

Optimisation des formes

Formulation en une fonctionnelle à minimiser.Résolution par transformation en une EDP d'évolution.

Level sets

Utilisation d'une fonction implicite.Schémas numériques de discrétisation donnant la solutionphysiquement la plus pertinente (la solution de viscosité).


optimisation des formes: introductionla normale n de c vaut r (terme hyperbolique). et de c vaut div...

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