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INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEAL

Shader Electronics. La Shader Electronic Company produce dos productos: (1) elWalkman Shader, un toca cassettes con AM/FM porttil, y (2) la watch-TV Shader, untelevisor blanco y negro del tamao de un reloj de pulsera. El proceso de produccin essimilar para cada uno, ambos necesitan un cierto nmero de horas de trabajo electrnicoy un nmero de horas en el departamento de ensamble. Cada walkman lleva cuatro ho-ras de trabajo electrnico y dos horas en el taller de ensamble. Cada watch-TV requierede tres horas de electrnica y una hora de ensamble. Durante el presente periodo deproduccin, estn disponibles 240 horas de tiempo de electrnica y 100 horas del depar-tamento de ensamble. Cada walkman aporta una utilidad de 7 dlares; cada watch-TVproducida puede ser vendida para obtener una utilidad de 5 dlares.

El problema de Shader es determinar la mejor combinacin posible de walkmans ywatch-TV, para fabricarlos de manera que se obtenga la mxima utilidad: Esta situacinde mezcla de produccin puede ser formulada como un problema de programacin li-neal.

Se empieza reuniendo la informacin necesaria para poder formular y resolver ade-cuadamente este problema (vase la tabla S4.1). Despus, se presenta alguna notacinsimple para utilizarla en la funcin objetivo y las restricciones. Por ejemplo:

Xr = Nmero de walkmans que se producirn

Xz = Nmero de watch-TV que se producirn

Ahora se puede crear Iafuncin objetiao en trminos de X, y Xr:Maximizar la uti l idad =$7X1+ $5X,

El siguiente paso es desarrollar las relaciones matemticas para describir las dos restric-ciones en este problema. Una relacin general es que la cantidad de recursos usados debeser menor o igual a (

SUPLEMENTO CAPTULO 4 " PROGRAMACIOhJ LINEAL

PROBLEMAS RESUETTOS

E--

Smitty's, un fabricante que produce camisas y pijamas para caballero, tiene dos."ro.o" primarios disponibles: tiempo de rnquina de coser (en el departamentode costu) y tiernpo e mquina .oitudo.u (en et departamnto de corte)' En elfrximo *"r, S*itty puede p.ogru*ur hasta 280 horas de trabajo en las mquinasi" .""". y hasta +5b ioras ." iut mquinas cortadoras. Cada camisa producida,uq.-,iur" e t hora de tiempo rie costuia y 1.5 horas de tiempo de corte' Elaborar.uu pu. de pilamas requieie de 0.75 horas de tiempo de costura y 2 horas de tiem-po de corte.

Al expresar 1.1s restricciones de programacin lineal para este problema en for-

ma matemtica, suPonga:

X, = Nmero de camisas producidas

X, = Nmero de pijamas producidas

SolucinPrimera restriccin: 1Xr + 0'75X, S 280

Segunda restriccin: 1.5X, l@x, < +so

Voto sipfr i f ica que cada par de pi jamas toma 2 horas del recurso de corte'El depaitament de contabilidad de Smitty analiza datos de i"tltt y,Yl-1,tT',1

"rru"."'ol".uJu .u61i* producida de generr una contribucin de 4 dlares de

ffiili;&;;;";; ;; iu*ur le senJrar una contribucin de 3 dlares de uriti-dad.

Esta informacin puede ser utilizada Para crear lafuncinobjetkto de Programa-cin l ineal Para este Problema:

Funcin objefivc: Maximizar la conkibucin tctal a ta utilidad = fi4x1+ $3Xt

horas disponibles en tiernpo de mquinade coseq nuestro primer recurso escasohoras disponibles de tiempo de mquinacortadora, nuestro segundo recurso escas

Desearnos resolver el siguiente problema de programacinComputers uti l izando el mtodo del punto de la esquina'

Maximizar la uti l idad = $9X1 +$7X,2X, + Xr< 40X, + 3Xr< 30

SolucinLa figura S4.9 ilustra estas restricciones'

Punto de la esquina a: (Xr = 0, Xz= O) Unidad = 0Punto de Ia esquina b: (Xr = 0, Xz = 10) Unidad = 9(0) + 7(10) = $70Punto de la esquina dr (X, = 20, Xz = 0) Unidad = 9(20) + 7(0) = $180EI ounto de la esquinac se obtene mediante la resolucin del sistema de ecuacionessir,ltneas 2X

, i txr= 40 y Xr + 3X, = 30. M,rltiPlique la segunda ecuacin por -2 y

smela a la prirnera.

para Failsafe

PR0BLEMAS R=SUELTOS

Por lo tanto Xz= 4.

X, + 3(X,

Punto de la esquina c:

+lXr= 4g- lXr= -69- 5Xr = -ZO

an X,+12=30 o Xlo

18,4

185

ene dosamento') . En eiiquinasrducidaIaborare tiem-

en for-

lqulnaSCasorquinaescaso

e.

rtas, y:es de: ul i-

'ama-

Unidad :9(18) + 7(4) = 9190Entonces la solucin ptima es:

Xr=19 Unidad = $190

20 30

FIGURA S4.9 Regin tactble de Failsafe Computer Computers.

Composicin de cada libra de nlimentoReq.unimiento

mlnlftnmensual

El Holiday MealTurkey Ranch est considerado a compra de dos diferentes aii-mentos para pavo. Cada alimento contiene, en proporciones variables, algunos otodos de los tres ingredientes nutricionales esenciales paia la ensorda de pvos. Elalimento marca X cuesta al rancho 0.02 dlares po, i ib.u. L, m"u.ca z.,i*rt" o.osdlares por l ibra. El ranchero desea determinar la dieta de menor costo gue cumplael requerimiento mnimo mensual cie alimentacin de cada ingrediente nutr-icional.

La siguiente tabla contiene informacin relevante sobrela composicin de Iamarca X y iu murcu Z, ai como los requerimientos mnimoi *ur,r,rlus para cadaingrediente nutricional por pavo.

Iigrediente Alimento msrcaX Alimeito marcq ZAB

,ii,;

,'5 oz, I : , , :

't' -4

2"u.5 0z

$0,02'.'

L0,o2'3 oi.0, , ,$0,03

'90,a248-o1.5'oz

SUPLEMENTO CAPTULO 4 -

PROGRAMACION LINEAU

a) Resuelva el problema grficamente'b) Hay ms de una solucin ptima? Explique'. S4.5 Suponga que un problema de programacin lineal (maximizacin) se ha resuelto yque la funci.,U"tino

"r " gOO dlaes. Suponga q"." :^u restriccin

adicional se aade a

.rt" probiema, Explique cmo afecta esto a cada uno de los siguientes:

a) la regin factibleb) el vaior ptimo de la funcin objetivo

g . . 54.6 La Dog Food Company de Steve Gold desea introducir una nueva marca de bisquets

para perro. El nuevo produito, con sabo a hgado y pollo, cumplecon ciertos requerimientosnutricionales. Los bisquets con sabor a hgado contienen 1 unidad de nutriente A y 2 unida-

des de nutriente B, mntras que los de sabor a pollo contienen 1 unidad de nutriente A y 4

unidades de nutriente B. De acuerdo a los requerimientos federales cada paquete de la nueva

mezcla debe contener, por lo menos 40 unidades de nutriente A y 60 unidades de nutriente B'

Adicionalmente, la compaa ha decidido que no puede haber ms de 15 libras de bisquets

con sabor a hgado u.t.udu paquete. Si cuesta 1 centavo hacer un bisquet con sabor a hgado

y 2 centavos h"acer un bisqult ion sabor a pollo, cul es la mezcla ptima de producto para

un paquete de los bisquets con el fin de minimtzar el costo de la empresa?

a) Formule esto como un problema de programacin lineal'b) Resuelva este problema grficamente, dando los valores ptimos para todas las variables.c) Cul es el coslo total del paquete de bisquets para perro utilizando la mezcla ptima?

E . S.2 The Electrocomp Corporation manufactura dos productos elctricos: acondicionado-res de aire y grandes vlntilaores. El proceso de ensamble para cada uno es similar en que

ambos ."q..i""r"n de una cierta cantidd de cabieado y barrenado. Cada acondicionador de

. aire lleva tres horas de cableado y dos horas de barrenado. Cada ventilador debe pasar a

travs de dos horas de cableado y una ho.a de barrenado. Durante el siguiente periodo de

produccin, estn disponibles 240 horas de_tiempo de cableado y se pueden utilizar hasta-140

irorus du tiempo de barrenado. Cada acondicionador de aire vendido gelera ula -tilidad

de

25 dlares. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una utilidad de 15 dlares'

Formule y resuelva esta situacin de mezcla de produccin Por Programacin lineal, y

encuentre la mejor combinacin de acondicionadores de aire y ventiladores que genere la,, utilidad ms alta. utilice el sistema grfico del punto de la esquina.

E . S.A The MarriottTub Company manufactura dos tipos de tinas debao, llamadas ModeloA-

y Modelo B. Cada baera requiere de la mezcla de ciertas cantidades de acero y cinc; la compaa

, ii"n" disponibles un total ds25 000 libras de acero y 6000 libras de cinc. Cada baera del Modelo,' Arequieie de,rna mezcla de 125 libras de acero y 20 libras de cinc, y_cada una genera una utilidad

a la compaa de 90 dlares. Cada baera producida del Modelo B puede ser vendida con una

utilidad ie 70 dlares; a su vez requiere de 100 libras de acero y 30 libras de cinc'Encuentre, por medio de la programacin lineal grfica,la mejor mezcla de produccin

de baeras.

E . S.s The Outdoor Furniture Corporation produce dos produitos, bancas y mesas para das

de campo, para ser utilizadas en pulios y Parques. La empresa tiene dos recursos principales:..,..urpi.,furos (fuerza laboral) y .rn ft" de pino para utilizar en los muebles. Durante elprximt ciclo de produccin,

"ri., dirponibles 120b horas laborales bajo un acuedo sindi-

cal. La empresa tambin tiene un inventario de 3500 pies de tablas de pino de calidad. Cada

banca que produce Outdoor Furniture requiere de cuatro, horas laborales y 10 pies de pino;

cada mesa para da de campo lleva seis horas de trabajo y 35 pies de tabla de pino. Las bancascompletas generarn.rn" rrtilldud de 9 dlares cada una, y las mesas tendrn una utilidad de

20 dlares cada una. Cuntas bancas y mesas dbe producir Outdoor Furniture con el fin de

..-"

'' obtener la mayor utilidad posible? Utilice el sistema grfico de programacin lineal-

E . 54.10 MSAComputer Corporation manufactura dos modelos de minicomputadoras, laAlpha4 y la Beta 5. La empresa emplea cinco tcnicos, que trabajan 160 horas por mescada uno;eflsulnea desamble. La administracin insiste que el total empleo (es decir, todaslas 160 horas detiempo) se mantenga para cada trabajador durante las operaciones del prximo mes' Se- requie-,"., i0 hor", tabortei para ensamblar cada coniputadora Alpha 4, y 25 horag laborales para

ensamblar cada modelo Beta 5. MSA desea tenei por lo mens 10 unidades de Alpha 4' y 15

unidades Beta 5 producidas durante el periodo deproduccin. Las Alpha 4 generan una utili'dad de 1200 dlares por unidad, y las Beta 5 generan 1800 dlares cada una.

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