Online orientation distribution function reconstruction

in constant solid angle and its application to motion

detection in high angular resolution diffusion imaging

Emmanuel Caruyer, Iman Aganj, Christophe Lenglet, Guillermo Sapiro,

Rachid Deriche

To cite this version:

Emmanuel Caruyer, Iman Aganj, Christophe Lenglet, Guillermo Sapiro, Rachid Deriche. On-line orientation distribution function reconstruction in constant solid angle and its applicationto motion detection in high angular resolution diffusion imaging. [Research Report] RR-7102,INRIA. 2009, pp.12. <inria-00432959>

HAL Id: inria-00432959

https://hal.inria.fr/inria-00432959

Submitted on 17 Nov 2009

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INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Online orientation distribution function

reconstruction in constant solid angle and its

application to motion detection in high angular

resolution diffusion imaging

Emmanuel Caruyer — Iman Aganj — Christophe Lenglet — Guillermo Sapiro — Rachid

Deriche

N° 7102

Novembre 2009

Centre de recherche INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex

Téléphone : +33 4 92 38 77 77 — Télécopie : +33 4 92 38 77 65

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b ♦♣❡r❛t♦rs❛r❡ ❛❢t❡r✇❛r❞s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧②✳ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧❧②✱ ❬✷❪ ✐♥tr♦❞✉❝❡s ❛ r❡❣✉❧❛r✐③❛✲t✐♦♥ t❡r♠ ♣r♦✈❡♥ t♦ ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✇❤❡♥ ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ♥♦✐s② ❞❛t❛✳

❲❤✐❧❡ t❤✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r② ❡✣❝✐❡♥t ❢♦r ♦✤✐♥❡ ❝♦♠♣✉t❛✲t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❖❉❋s✱ t❤❡ r❡q✉✐r❡❞ ♣s❡✉❞♦✲✐♥✈❡rs✐♦♥ ♠❛② ❜❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② t♦♦ ❡①✲♣❡♥s✐✈❡ ❢♦r r❡❛❧✲t✐♠❡ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❛❧♠♦st ❛ ♠✐❧❧✐♦♥ ❖❉❋s ✐♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ❍❆❘❉■s❝❛♥✳ ❇❡s✐❞❡s✱ ✐♥ ♦♥❧✐♥❡ ❖❉❋ ❡st✐♠❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❡①♣❡❝t ✐♥t✉✐t✐✈❡❧② t❤❛t t❤❡♥❡✇ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❛t ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❜r✐♥❣ s✉❝❤ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛s t♦♥❡❝❡ss✐t❛t❡ r❡✲s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ❡♥t✐r❡ s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✐♥❣ ❬✶✷❪✱ ✐s❣❡♥❡r❛❧❧② t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s✐♠♣❧❡st ❛♥s✇❡r ✐♥ s✉❝❤ ❝❛s❡s ✇❤❡r❡ ✇❡ ❞❡s✐r❡ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ♦❢ t❤❡ r❡❛❧✲t✐♠❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❛ ❣r♦✇✐♥❣ ❧✐♥❡❛r ♣r♦❜❧❡♠ ❜②♠❛❦✐♥❣ ♦♣t✐♠✉♠ ✉s❡ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛t ❡❛❝❤ st❡♣ t♦ ✉♣❞❛t❡ ✐t ♦♥ t❤❡ ✢②✳ ❆ ♣❛r✲t✐❝✉❧❛r ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✐♥❣ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❤❛s ❜❡❡♥ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ ❬✻❪ t♦ ✐♥❝r❡♠❡♥t❛❧❧②❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ◗❇■ ❖❉❋s t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✐♥❬✷❪✳ ❘❡❝❡♥t❧②✱ t❤❡ ❛✉t❤♦rs ♦❢ ❬✼❪ s❤♦✇❡❞ t❤❡ s✉❜✲♦♣t✐♠❛❧✐t② ♦❢ ❬✻❪ ❛♥❞ s✉❣❣❡st❡❞❛ ♥❡✇ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♠♣r♦♠✐s❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧✐t②♦❢ t❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✳

■♥ t❤✐s ✇♦r❦ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛s ✐♥ ❬✼❪✱ ②❡t t❤✐s t✐♠❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡❈❙❆ ❖❉❋s ❬✸❪ ♦♥✲❧✐♥❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛❣❛✐♥ ❞♦♥❡ ❜② ❙❍ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ✐ts❡❧❢✿

ln(− lnE(u)) ≈

R∑

j=1

cjYj(u),

✇❤❡r❡ {Yj , j = 1, . . . , R} ✐s t❤❡ l✲t❤ ♦r❞❡r ❙❍ ❜❛s✐s ❢♦r r❡❛❧ ❛♥❞ s②♠♠❡tr✐❝❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡ ❬✷❪✱ R = (l+1)(l+2)/2 ✐s t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❜❛s✐s✱❛♥❞ c = (cj)j=1, ..., R t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❆♥ ✐♥❝r❡♠❡♥t❛❧❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts c ❧❡ts ✉s r❡❝♦♥str✉❝t t❤❡ ❈❙❆ ❖❉❋ ❛t ❡❛❝❤ st❡♣✱✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛② ❛s ❞♦♥❡ ♦✤✐♥❡ ✐♥ ❬✸❪✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r ❡q✉❛t✐♦♥s❛r❡✿

c0 = E[c0]

P0 = E[(c − c0)(c − c0)T ]

P0 = (P−10 + λL)−1

gk = Pk−1XTk (XkPk−1X

Tk + σ2

k)−1

Pk = (I − gkXk)Pk−1

ck = ck−1 + gk(yk − Xkck−1)■◆❘■❆

❖♥❧✐♥❡ ❈❙❆ ❖❉❋ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ♠♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ✐♥ ❍❆❘❉■ ✺

✇❤❡r❡ yk = ln(− lnE(uk)) ✐s t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ♠❡❛s✉r❡❞ ✐♥ t❤❡❞✐r❡❝t✐♦♥ uk✱ Xk ✐s t❤❡ k✲t❤ r♦✇ ♦❢ t❤❡ ❙❍ ♠❛tr✐① X✱ ✇❤❡r❡ Xk,j = Yj(uk)✳ Pk

❛♥❞ gk ❛r❡ st❛♥❞❛r❞ ♥♦t❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐① ❛♥❞ ❣❛✐♥✱ ❛♥❞σ2

k ✐s t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ♠❡❛s✉r❡❞ ❛t ✐t❡r❛t✐♦♥ k✳ ❋♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ♦♥t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ✈❡❝t♦rs ❛♥❞ ♠❛tr✐❝❡s✱ ✇❡ ❦✐♥❞❧② r❡❢❡r t❤❡ r❡❛❞❡r t♦ ❬✼❪✳

❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ❙❍ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❈❙❆ ❖❉❋ ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛s✿

c′j =

12√

πj = 1

− 18π

(−1)lj

21×3×...×(lj+1)2×4×...×(lj−2) cj j > 1

✇❤❡r❡ lj ✐s t❤❡ ♦r❞❡r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ j✲t❤ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✐✜❡❞ ❙❍ ❜❛s✐s✭s❡❡ ❬✷✱ ✸❪ ❢♦r ❞❡t❛✐❧s✮✳ ❲❡ ❡♠♣❤❛s✐③❡ t❤❛t ❛t ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡s❛♠❡ ❖❉❋ ❛s ✇❡ ✇♦✉❧❞ ♦❜t❛✐♥ ❜② ♦✛✲❧✐♥❡ ♣r♦❝❡ss✐♥❣✳

✷✳✷ ▼♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥

❚❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✶ r❡❝♦♥str✉❝ts t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❤❛r♠♦♥✐❝s❝♦❡✣❝✐❡♥ts c t♦ ❜❡st ✜t t❤❡ s✐❣♥❛❧ ln(− ln(E))✱ ❢♦r t❤❡ ℓ2 ♥♦r♠✳ ❆❢t❡r ❛ ❢❡✇✐t❡r❛t✐♦♥s✱ t❤❡ ❡st✐♠❛t❡ ck−1 ✐s st❛❜❧❡ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ♣r❡❞✐❝t ✇✐t❤ ❣♦♦❞ ❛❝❝✉r❛❝② t❤❡♥❡①t s✐❣♥❛❧ ♦✉t❝♦♠❡ yk✳

❍♦✇❡✈❡r✱ ✐❢ t❤❡ s✉❜❥❡❝t ♠♦✈❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ s❝❛♥♥❡r✱ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✇❡✐❣❤t❡❞✐♠❛❣❡s ✇✐❧❧ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❜❡ r❡❣✐st❡r❡❞ t♦ t❤❡ ❜❛s❡❧✐♥❡ ✐♠❛❣❡✱ ❛♥❞ ♣✐①❡❧s ✇✐❧❧ ♥♦t♠❛t❝❤ ❢r♦♠ ♦♥❡ ✈♦❧✉♠❡ t♦ ❛♥♦t❤❡r✳ ❆♥ ❛❜♥♦r♠❛❧ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r♦❢ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ s✐❣♥❛❧ ❞✉r✐♥❣ ♦♥✲❧✐♥❡ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❞✐r❡❝t ❛♥❞ ❡①♣❡❝t❡❞❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♣❛t✐❡♥t ♠♦t✐♦♥✳ ❲❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ✉s❡ t❤✐s q✉❛♥t✐t② ❛s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦rt♦ ✇❛r♥ t❤❡ s❝❛♥♥❡r ♦♣❡r❛t♦r t♦ st♦♣ t❤❡ s❝❛♥ ✐♥ s✉❝❤ ❛ s✐t✉❛t✐♦♥✱ ❛s t❤❡ ♥❡①t❛❝q✉✐s✐t✐♦♥s ✇♦✉❧❞ ❤❛r❞❧② ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ❢♦r ❖❉❋ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥✱✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ǫk = yk −Xkck−1 ❛t ❡❛❝❤ ✈♦①❡❧✱ ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ sq✉❛r❡❞ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ♦♥ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ♠❛s❦❡❞ ✈♦❧✉♠❡✳

◆❡①t✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t r❡s✉❧ts ♦❢ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❛♥❞ ✐♥ ✈✐✈♦ ✜❜❡r ❝r♦ss✐♥❣ ❞❡t❡❝t✐♦♥✱ ❛s✇❡❧❧ ❛s ♠♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥✳

✸ ❊①♣❡r✐♠❡♥ts ❛♥❞ r❡s✉❧ts

✸✳✶ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❛rt✐✜❝✐❛❧ ❞❛t❛

❲❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✜❜❡r ❝r♦ss✐♥❣ ❜② ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✐♠❛❣❡s ❢r♦♠ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t✇♦❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧s✿

E(u) =1

2

(

e−uTD1u + e−uT

D2u)

✭✷✮

✇❤❡r❡ D1 ✐s ❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡♥tr✐❡s (9, 2, 2) ❛♥❞ D2 ✐s D1

r♦t❛t❡❞ ❛❜♦✉t t❤❡ y✲❛①✐s✱ ♦♥❝❡ ❜② 60◦ ❛♥❞ ❛♥♦t❤❡r t✐♠❡ ❜② 90◦✳ ❆ss✉♠✐♥❣ ❛♥❛♣♣❛r❡♥t ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✭❆❉❈✮ ♦❢ 0.7×10−3 ♠♠2✴s ✭t❤❡ ♠❡❛♥ ❞✐✛✉s✐✈✐t② ✐♥❜r❛✐♥ ♣❛r❡♥❝❤②♠❛✮✱ t❤❡s❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❛ b✲✈❛❧✉❡ ♦❢ ✹✽✵✵ s✴♠♠2✳❚❤❡ ❖❉❋s ✇❡r❡ r❡❝♦♥str✉❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦✉rt❤ ♦r❞❡r ❙❍ ❜❛s✐s ✉s✐♥❣ ✸✵ ✐t❡r❛t✐♦♥s✳❚❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✶ ❢♦r ❈❙❆ ◗❇■✱ ❛♥❞ ❛❧s♦ ❢♦r ♦r✐❣✐♥❛❧ ◗❇■ ❢♦❧❧♦✇❡❞❜② ▲❛♣❧❛❝❡✲❇❡❧tr❛♠✐ s❤❛r♣❡♥✐♥❣ ✭I − α∇2

b ♦♣❡r❛t♦r✱ s❡❡ ❬✶✸❪✮✱ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rα = 0.15 ❝❤♦s❡♥ t♦ ♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❈❙❆ ◗❇■ ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✸❪ t♦

❘❘ ♥➦ ✼✶✵✷

✻ ❊✳ ❈❛r✉②❡r✱ ■✳ ❆❣❛♥❥✱ ❈✳ ▲❡♥❣❧❡t✱ ●✳ ❙❛♣✐r♦✱ ❘✳ ❉❡r✐❝❤❡

(a)

(b)

❋✐❣✉r❡ ✶✿ ■♥❝r❡♠❡♥t❛❧❧② r❡❝♦♥str✉❝t❡❞ ❖❉❋s ❢r♦♠ s②♥t❤❡t✐❝ ❞❛t❛ ✇✐t❤ ✜❜❡r ❝r♦ss✐♥❣s♦❢ ✭❛✮ 60

◦ ❛♥❞ ✭❜✮ 90◦✱ ❢♦r ✐t❡r❛t✐♦♥s ✶ t♦ ✸✵ ✭❧❡❢t t♦ r✐❣❤t✮✱ ✉s✐♥❣ ✭t♦♣✮ ❈❙❆ ◗❇■✱ ❛♥❞

✭❜♦tt♦♠✮ ♦r✐❣✐♥❛❧ ◗❇■ ✇✐t❤ ▲❛♣❧❛❝❡✲❇❡❧tr❛♠✐ s❤❛r♣❡♥✐♥❣✳

❋✐❣✉r❡ ✷✿ ❈♦r♦♥❛❧ s❧✐❝❡✿ ❈❙❆ ❖❉❋✱ ❛❢t❡r ✐t❡r❛t✐♦♥ ✶✵✵ ♦❢ t❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✳ ❚❤❡❖❉❋s ❛r❡ s❤♦✇♥ ♦♥ t❤❡ t❡♥s♦r ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❆♥✐s♦tr♦♣② ♠❛♣✳

r❡s♦❧✈❡ t❤❡ ✜❜❡r ❝r♦ss✐♥❣s st❛rt✐♥❣ ❛t ❛ s♠❛❧❧❡r ❛♥❣❧❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧◗❇■✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ ✐♥ ❋✐❣✳ ✶ t❤❛t t❤❡ 60◦ ❝r♦ss✐♥❣ ✐s ❜❡tt❡r r❡s♦❧✈❡❞❜② t❤❡ ❈❙❆ ❖❉❋ ❛t ♠♦st ✐t❡r❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ t❤❡ 90◦ ❝r♦ss✐♥❣ ✐s r❡❝♦♥str✉❝t❡❞❡q✉❛❧❧② ✇❡❧❧ ❜② ❜♦t❤ ♠❡t❤♦❞s✳ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧❧②✱ ❢✉rt❤❡r ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❞❡♠♦♥str❛t❡❞t❤❛t ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✐♥❣ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s s❧✐❣❤t❧② ❢❛st❡r ✇❤❡♥ ✉s❡❞ ✇✐t❤ t❤❡❈❙❆ ❖❉❋ t❤❛♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❖❉❋ ✭r❛t❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✇❛s s♠❛❧❧❡r ❜② ✵✳✵✵✶ ❢♦r❝r♦ss✐♥❣ ❛♥❣❧❡s ❧❡ss t❤❛♥ 50◦✱ ❛♥❞ ❛❜♦✉t t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❧❛r❣❡r ❛♥❣❧❡s✮✳

✸✳✷ ■♥ ✈✐✈♦ ♠♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥

❆ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✷✵✵ ❞✐r❡❝t✐♦♥s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ s❛♠♣❧✐♥❣ s❝❤❡♠❡♦❢ ❬✼❪ ✇❛s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ♦♥ ❛ ❙✐❡♠❡♥s ✸❚ s❝❛♥♥❡r ❛t t❤❡ ❈❡♥t❡r ❢♦r ▼❛❣♥❡t✐❝ ❘❡s✲♦♥❛♥❝❡ ❘❡s❡❛r❝❤✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ▼✐♥♥❡s♦t❛✱ t♦ s❝❛♥ ❛ ❤❡❛❧t❤② ✈♦❧✉♥t❡❡r✳ ❉✉r✐♥❣t❤❡ ❛❝q✉✐s✐t✐♦♥✱ t❤❡ s✉❜❥❡❝t ✇❛s ❛s❦❡❞ t♦ t✐❧t ❤✐s ❤❡❛❞ ❛❢t❡r ❛❜♦✉t ✽✵ ❞✐✛✉s✐♦♥✇❡✐❣❤t❡❞ ✐♠❛❣❡s ✇❡r❡ ❛❝q✉✐r❡❞✳ ❆ ♣✐❧♦t s❡q✉❡♥❝❡ ✇✐t❤♦✉t ♠♦t✐♦♥ ✇❛s ❛❧s♦ ❛❝✲q✉✐r❡❞ ❢♦r ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✷✮✳

■◆❘■❆

❖♥❧✐♥❡ ❈❙❆ ❖❉❋ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ♠♦t✐♦♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ✐♥ ❍❆❘❉■ ✼

❋✐❣✉r❡ ✸✿ ❆①✐❛❧ s❧✐❝❡s ♦❢ t✇♦ ❜❛s❡❧✐♥❡ ✐♠❛❣❡s✿ ✭❧❡❢t✮ ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ✭r✐❣❤t✮ ❛❢t❡r t❤❡ ♠♦t✐♦♥♦❝❝✉rr❡❞✳

50 100 1500.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4Average Squared Prediction Error

200 dirs, Regular200 dirs, With motion

❋✐❣✉r❡ ✹✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ sq✉❛r❡❞ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ✇✐t❤ ❛♥❞ ✇✐t❤♦✉t ♠♦✲t✐♦♥✳

❚❤❡ ♠♦t✐♦♥ ✇❛s q✉❛♥t✐t❛t✐✈❡❧② ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ ✭❜✉t ♥♦t ❝♦rr❡❝t❡❞✮ t❤r♦✉❣❤ r✐❣✐❞r❡❣✐str❛t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ❜❛s❡❧✐♥❡ ✐♠❛❣❡s ❛❝q✉✐r❡❞ ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ♦❝❝✉r❡❞✳❲❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❙❧✐❝❡r✸ r✐❣✐❞ r❡❣✐str❛t✐♦♥ ♠♦❞✉❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❡st✐♠❛t❡❞ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛✲t✐♦♥ t♦ ❜❡ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❜♦✉t 20◦ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ③ ✲❛①✐s✱ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇✐t❤ ❛ s♠❛❧❧tr❛♥s❧❛t✐♦♥✳ ❆①✐❛❧ ✈✐❡✇s ♦❢ ❜♦t❤ ♣♦s✐t✐♦♥s ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳

❚❤❡ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✶ ✇❛s ✉s❡❞ t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ❙❍ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧✱ ✇✐t❤ ❛ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡r λ = 0.006✳❚❤❡ ✈♦①❡❧✲✇✐s❡ sq✉❛r❡❞ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ✇❛s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛t ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r✱ ❛♥❞ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣✐♥❣ ✈♦❧✉♠❡✳ ❚❤✐sr❡❣✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✇❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ s✐♠♣❧❡ t❤r❡s❤♦❧❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❜❛s❡❧✐♥❡ ✐♠❛❣❡✳

■♥ ❋✐❣✳ ✹✱ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❡rr♦r ❞✉r✐♥❣ ❜♦t❤❛❝q✉✐s✐t✐♦♥ s❡q✉❡♥❝❡s✳ ❋♦r t❤❡ ♣✐❧♦t ❛❝q✉✐s✐t✐♦♥✱ t❤❡ ✜t ❣❡ts ❜❡tt❡r ❛s ♥❡✇ ♠❡❛✲s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ❛❝q✉✐r❡❞✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ❞❡❝r❡❛s❡s✱ ❛s ❡①♣❡❝t❡❞✳ ❖♥ t❤❡❝♦♥tr❛r②✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❞❞❡♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❡rr♦r ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡①♣❡r✐✲♠❡♥t✱ ❛t ❛ ♣♦✐♥t ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡①❛❝t❧② t♦ t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ✭✐t❡r❛t✐♦♥ ✽✵✮✳

❘❘ ♥➦ ✼✶✵✷

✽ ❊✳ ❈❛r✉②❡r✱ ■✳ ❆❣❛♥❥✱ ❈✳ ▲❡♥❣❧❡t✱ ●✳ ❙❛♣✐r♦✱ ❘✳ ❉❡r✐❝❤❡

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Centre de recherche INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Centre de recherche INRIA Bordeaux – Sud Ouest : Domaine Universitaire - 351, cours de la Libération - 33405 Talence CedexCentre de recherche INRIA Grenoble – Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier

Centre de recherche INRIA Lille – Nord Europe : Parc Scientifique de la Haute Borne - 40, avenue Halley - 59650 Villeneuve d’AscqCentre de recherche INRIA Nancy – Grand Est : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique

615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy CedexCentre de recherche INRIA Paris – Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay CedexCentre de recherche INRIA Rennes – Bretagne Atlantique : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex

Centre de recherche INRIA Saclay – Île-de-France : Parc Orsay Université - ZAC des Vignes : 4, rue Jacques Monod - 91893 Orsay Cedex

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

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ISSN 0249-6399