on the linear description of the 3-cycle polytope

16
On the linear description of the 3-cycle polytope Viet Hung Nguyen, Jean-Franc ßois Maurras * Laboratoire d'Informatique de Marseille LIM), Facult e des Sciences de Luminy, Universit e de la M editerran ee, 163 avenue de Luminy, 13288, Marseille Cedex, France Abstract Let K n be the complete undirected graph with n vertices. A 3-cycle is a simple cycle consisting of exactly 3-edges in K n . The 3-cycle polytope, PC 3 n is de®ned as the convex hull of the incidence vectors of all 3-cycles in K n . This polytope is proved to be a facet of the dominant of all cycles in K n [Math. Oper. Res. 22 1997) 110]. In this paper, we design some sequential lifting procedures for facet-de®ning inequalities of PC 3 n . Using these lifting procedures, we show that the number of distinct coecients in facet-de®ning inequalities of PC 3 n increases strictly when n grows and the maximum dierence between the greatest coecient and the smallest coecient in some facet-de®ning inequalities is exponential in n. We also discuss relationships between PC 3 n and other ``cycle'' polytopes. Finally in Appendix A we give a complete description of PC 3 8 and show that all of its facets except one can be lifted from the facets of PC 3 5 , of PC 3 6 and PC 3 7 . Ó 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved. Keywords: Polyhedral combinatorics; Polytope; Cycle; 3-cycle; k-cycle; Lifting; Facet 1. Introduction Given a weighted undirected graph G, the weighted girth problem is to ®nd a cycle having minimal weight. This problem is in general NP-hard but it can be solved in polynomial time when G does not contain any cycle of negative weight. Let us de®ne the circuit polytope, PC G as the convex hull of the incidence vectors of all simple cycles in G. We can thus solve the weighted girth problem by optimizing on PC G. Since this problem is NP-hard, there is no hope to have a complete description of PC G. But if we consider the dominant of the circuit polytope DPC G PC G R E which corresponds to the case in which all edges of G have positive weights, we can have some hope to ®nd a complete description of DPC G since the weighted girth problem in this case is solvable in polynomial time. If we force the length of the cycle in the weighted girth problem to be less than some value k, we obtain the cardinality constrained circuit problem CCCP). The polytope PC 6 k G associated with this problem is European Journal of Operational Research 137 2002) 310±325 www.elsevier.com/locate/dsw * Corresponding author. E-mail address: [email protected] J.-F. Maurras). 0377-2217/02/$ - see front matter Ó 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII:S0377-221701)00212-0

Upload: viet-hung-nguyen

Post on 04-Jul-2016

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: On the linear description of the 3-cycle polytope

�� ��� ����� ���� ���� �� ��� ������� ����� �

���� ���� ������� ������������� ����� ������������ �� ��������� � ��������� ������ �������� �� �������� � ������� ����������� � �� ��������������

��� ������ � ������� �� !!� ��������� "��#� ������

��������

��� �� �� ��� ��� ���� ������� �� � ��� � !������" # ������� �� � ��� �� ����� ���������� �� �$����� ������ �� ��"

%�� ������� ����� �� ���� �� �&�� �� ��� ���!�$ ���� �� ��� �������� !����� �� ��� �������� �� ��" %��� ����� � ��

�!� �� �� � ����� �� ��� ������� �� ��� ������ �� �� '����" � �" (��" )) *+,,-. ++/0" 1� ���� � �� � ����� ����

��2������� ������� ������ �� �������&���� ���2�������� �� ���� " 3���� ����� ������� ������� � ��� ���� ���

����� �� ������� ���4������ �� �������&���� ���2�������� �� ���� �������� ������� ��� � �� � �� ��� ��$����

�5����� ��� ��� ��� ������� ���4����� �� ��� �������� ���4����� �� ���� �������&���� ���2�������� �� �$ �������� ��

�" 6� ���� ������ ���������� � ��� ��� ���� �� ���� 77�����88 ����� ��" ������� �� # ���$ # � ��!� � ��� ����

���� ���� �� ���9 �� ��� ���� ��� �� ��� ������ �$�� � ��� ��� �� ����� ��� ��� ������ �� ���

: � �� ���; ��

���- " � )//) <���!�� =������ >"�" #�� ����� ���!�"

$��%���& ?������� ������������@ ?����� �@ A����@ �������@ '������@ �������@ �����

� ���� ������

B�!�� � ������ ������� �� � (� ��� %��)*�� )���* +������ �� �� &� � ����� ��!��� ������� �����" %��� ����� �� �� ������ �?��� ��� �� ��� �� ���!� �� ��������� ���� ��� ( ��� ���������� ��� ����� �� ������!� �����" ��� �� �&�� ��� ������� +�����+�� ������ �� ��� ���!�$ ���� �� ����������� !����� �� ��� ��� �� ������ �� (" 6� ��� ���� ���!� ��� ������ ���� ����� �� � ����C��� ��������" =���� ���� ����� �� �?���� ���� �� �� �� � �� ��!� � ��� ���� ���� ���� �� ������" >�� �� ������� ��� ������� � �*� ������� +�����+� ��������� � ������ � ��

� ���� ���� ��� �� ��� ���� �� ���� ��� ���� �� ( ��!� �����!� ������� � ��� ��!� ���� �� � �� &� � ��� ���� ���� ���� ����������� ����� ��� ������ ���� ����� �� ���� ���� �� ���!���� �� ��������� ����"1� � ���� ��� ������ �� ��� ����� �� ��� ������ ���� ����� �� �� ���� ���� ���� !���� '� � ������

��� ���������� ���������� ������� +������ *AAA?." %�� ����� � �� � ��� ��������� ��� ���� ����� ��

<�� ��� ������ �� � �������� (������ +�- *)//). �+/D�): "����!��"���E������E�

�A��� ����� �����"

,-���� �����& �����F���"���!���"� *�"��" �����."

/�--�))+-E/)EG � ��� ���� ����� � )//) <���!�� =������ >"�" #�� ����� ���!�"

?11H =/�--�))+- */+ .//)+)�/

Page 2: On the linear description of the 3-cycle polytope

��� ���!�$ ���� �� ��� �������� !����� �� ��� ��� �� ������ �� ������ ������ ���� � �2��� �� ' �� (" 1� �������� �� ������ ���� ����� �� ���� �� �� ������ ��� !������ �� ���� � ������ ��� ����I�� ���������) �������� +������" ���� ���� ��� ��!����� �������� ����� � ���� ��� �� � ���� �� ������ '+0"1� ���� � �� � ������ �����!�� �� ��� ��� ���� ������� �� � �� � ������ �� � !������" � �� ���

!���$ ��� �� �� �� ��� ��� ���" %�� ���� ���!� ����� �� �&�� �� �� ��� �� ����!���� ����� �� ���� �

��� � � �����" # ����� ���� ���� �� ���

� ��� ���� ��!�� �� >��� '+0" =�� ���� ����� � �������������������� �� ���!� ��� ������ ���� ����� ���� �� ���� ����� ���� ����" >��� �� ��" ')0 ���� ��!� � ����� ���� ���� �� �� �

� �� � ������������ �������� �� ��� AAA?"��� �� � �� �*� '-����� +�����+� ��

� �� �&�� �� ��� ���!�$ ���� �� ��� �������� !����� �� ��� '�������*��� �� ������ �� ������ '." 1� ���� � �� � ���� ���

� � ��� ������� ����� � � ��� �������� ����� �" %��� ����� � �� ��������� ����� �� J�!���! �� ��" 'K0" %��� ��!� ��� ���� ���� ����� �� ���

� �� �� - �� � ����� ���� ���� �� ���

� �� ��� ������ ����" %��� ���� ��!� � ����� �� ������ �� ���� ��� �� ������ ����� �� �?���" %�� ����� � ���

� �� ��� � �� �� � ����� �� ������� �� >��� '+0" #�� ������ �� ���

� ����� ���� �������� ���� ���� �� �����

��" %������ ������ �� ���� �� ���� !��� �� �����

��"6� ��� ��� ���� � ����C��� � ����� �������� �� ���

� �� ���� ����� ���� �� ���� � ��

� � �� ����� �� ����

��� �� ��� ��!����� �� ��������� ����" %���� � ��� �� � ���� ��� ������ ������� �� ���� ����� � �� ������ ��� ��$" >�� �� �������� ��� � ��� ��� ���� �� �� ��I�� '�0 �� &� ��� ���� ���� ���� �����

� �� � � 9� �� ���� ��� ��� ��� ������ �� ���: � ��

�; �� ���

- �� 'K0 ���� ��� ����� �� �������&�������2�������� �� ���

� �� 2���� ���� �� �� � � ��� ��� � �� �" ��� �������� �� � � :� ���� �� ������� ����� �� �������&���� ���2�������� ��� +/ ���2�������� 'K0" �� � � ;� ���� �� � ������� �� �������&�������2�������� ��� -/ ���2�������� 'K0" �� � � -� ���� �� ��$ ������� �� �������&���� ���2�������� ��� 9,;���2�������� 'K0" �������� �� � � 9� � ��� ���� ���� ���� �� ���

9 ��� :)��;- ���2�������� �������� ���� +-�������" 6� �$ ���� ���� ��� ��$��� �� ��� ������ ������� �� ���

� �� ��� ��� ���� ��� ����� �� ����������4������ �� ���� �������&���� ���2�������� �������� ������� ��� � �� �" ����!�� � ��� ���� ������4������ �������!�� �� ��� �������&���� ���2�������� �� ���

� �� �$ ���������� �� � *�� ���� �� ��� �����

����������� � ������ ��� ���� � ��� ��!� ���4������ ���� �� �$ �������� �� �." %��� ����� �� �������� �����

�� ��� ��!� ���4������ ���� �� �$ �������� �� �" %���� ������ �� ������� �� ����� ������� ������ ���� ������� ��� �������&���� ���2�������� �� ���

� ���� ���� �� ����� � ��� �� � �"

6� ���� ���� ���������� � ��� ��� ���� ��� �� ����!���� ��

�� � ��

� � � ��

� ��� �� � � �� � :" #����

� �� � ����� �� ���� �� �� ��

� � ')0� ��� ��� ������ �������&���� ���2�������� �� ����� ����� �� ��� ���

���� �� ���� " ���� �� I�� � �������&���� ���2�������� �� ��

�� � ��� �&�� ������ �� ��

� ��� � K ��

!��� !��� ������� ������ �� ���� �� ����� �� ��

�� ����� ���� �� ��� ��� �� ������ �� ��

� ��� � K" 6�

���� ��� ������ ������� �� ��� ��� � K �� '-0" 1� ���� � �� � �!�� � ��� �� ����������� ����

�������� ��� ����� �� ���� ���� ���� �� ��

�� ��� �� � � �� � :"��� �� �&�� ��� ������������ �� ���!������� ���� ��� �� ��� �� ��� � �" �� � ����� � �� ��� �

�&�� ��� �������� !���� �� � �����+��) �� �������

��� � + �� � � ��

/ ���� ����

�������� ���� � �� � ��� ������� � ����� � ��� ��� �������� !����� �"�" � ��� ��� ���� � ����� ������&�� �� ���2������"�� �� ������� *�� ����!���� �����. �� � �� ��� ��� �� ��� !���$ ��� �� � �� ���� *�� ����!����

����. �� ��� ��� *�� ����!���� ��. ��� �� �" %�� ���!�$ ���� �� ��� �������� �� � ��� �� ����� ��������" �� ��� � � !������ �� � �� �� ������� �� � �� ��� �� ����� ��� ��� ��� ��� � �� �" # ������ �� � ��� �� ������� �� � ��� �� ���� �� ����� �� �� ��� ���� �� !������ �� ���������@ �"�"��+�)���K� ������ ��� ����� ���������� ��� ���� �+�)� �)��� ���K �� �+�K" # ������ �� � ��� �� ����� �� ������

./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9 �++

Page 3: On the linear description of the 3-cycle polytope

" =�������� � ��� �� � ��� �� ������� �� � ��� �� ���� �� �� ����� �� �� ��� ���� �� !��������"�" �+�)�� ������ ��� ��� ���������� ��� ���� �+�) �� �)��" # �� ��� ������ � ��� �� ��� �� ������ �"�� � � ��L���� ������� � �� � �� ���� ���

�� � � � � �� � ���� � � � �� � � � ���� ������ � �� !������� ��� ��� � �� ��� ��� �� ���� �� ��� �� � � � " �� � ������ � �� ����� ��� �� � ����� ��� �� ���!������ �� ��� ���� �� � " �� � !���$ �� ���� ������ ��� ��� ��� � ��� � � � ���"��� ����� �� ��� <������� � ��� ���$� �� ����" ��� �� ������ � !���� � � ������ �� ��� ������

� ����� ��� ��� � � ���� ��" ��� �� ���� ���� ��� ��%��)*� �� � " ��� � �� � ��� �� ������ �� �� ��� ���

*�� ����!���� ����. ����� ��� ����� �� ��� !���$ ���� *�� ����!���� ��� ����. �� ��� ������ �� �" ���� ����" %��� ���� ������ ��� ����$ ���� � � �� ��� �������� !����� �� ��� ������ �� � �� ����������� �� ���$� �� ��� ���� �� � "1� � �� � ����� �� �� �� ��� � � !������ �� � � ���� ��� ��� �� ����� ��� �� ��� � �� �" ��� �����

����� ��� ��� �� ��� ���� ���� �� � �� ����� ����� ��� ��� �� ��� ���� ��� �� �"%�� � � �� �����C� �� ����� �" =������ +� � ��� ��!� ���� ����� ����� ����� ��� ����� �� ��

� "=������ )� � ��� ������ ���� ��2������� ������� ������ �� ��� �������&���� ���2�������� �� ���

� "3���� ����� ������� ������� � ��� ���� ��� ����� �� ������� ���4������ �� �������&���� ����2�������� �� ���

� �������� ������� ��� � �� � �� ��� ��$���� �5����� ��� ��� ��� ����������4����� �� ��� �������� ���4����� �� ���� �������&���� ���2�������� �� �$ �������� �� �" =������ �� � ������ ���������� � ��� ��� ���

� �� ���� 77�����88 ����� ��" 1� �������� � ��!� � ��� ������������� ���� �������� ��� ����� �� ���

� �� ������ �� ���� ��� �� � �" ������� �� # ���$ # �

��!� � ��� ���� ���� ���� �� ���9 �� ��� ���� �� ��� ������ �$�� � ��� ��� �� ����� ��� ��� ������

�� ���: � �� ���

; �� ���- "

� �����������

1� '+�K0� ��� ������ ��� ���� ��� �2�������

������ � � �&��� ��� ����� !����� �� ���

� " %��� ����������� �� ���

� �� �2��� �� �� � + � ��� � +��)� +" 1� '-0� � ��� ��� ���� ����� �� ��� ��� � K�

�"�" ��� �2�������

������ � �&��� ��� ����� !����� �� ��

� �� ��� �������� �� ��� �� �2��� ��

�� � + � ��� � +��)� +"B�!�� �� ������� �� � � �� �� ���2������ � � �%�� �/� ��� � � ������ � ����� � �� ����� ��)*�

��� �� ��� �� � �� ���� � �/" %�� ����� ��� ����� ��� �� � ��� �� ��� � ��� � �"

����� � ����� � ����� �������� � � �%�� �/ � ��� �

+" ��� �� ���� ��� ����� �������� ���� ������� � � ��� ������� �%� � �/� �� �� �� �������� � ���������� �+��� �) ����� ��� �� � � �� ���� � ��� ���� � � � ��� ���������� ���� �/� ��� �������� � ������� � ����� ���

� �� �� ������ �+ ��� �) �� ! �� ���� ���� �� � / � � ��� � � ���)" ��� �� ���� � ������� � ����� � ��

� � "�� � �� � ��� � �� � + �������� ����������� �������� ����� �������� ���� ������� � �� ��� �� ���� ��� �������� �� � ������� ��� ������ �%� � �/� "�� �+ � �� ��� ������ �� �/� ��� ��� �� � �� � �+�� ���� �� ������ ��+ ��� �/ �� ! �� ��� �� � ���� �� � / � � ��� � � ��! ������� ���� ������ ����� �� � ����������

�����

+" ��� � �� ��� ��� �� ��� ����� ������� ��� �� ��� �� � " #��� �� ��� ����$ ����� � ������ ���� �� ���!���� �� � ������ ��� ����$ ��� ������ " 6� ��!� ��� ����� ��� �2������ ������H

�+) ./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9

Page 4: On the linear description of the 3-cycle polytope

��� ������ �

��/

� �� /�

��$��� � � ���4������ �� / �� ��� ��� ���� �� � / �� ��� � � �� �� ���� ���� ��� ��I �� ��� ������

�2���� �� ��� � +��)� +" %��� ����� ���� ��� �4�� ��I �� ����� �� �2��� �� ��� � +��)� +� �"�" ���� �� ���� �� ��� � +��)� + ����� ������� ��� �� ��� �� � �4���� ��� �����" %���� � �&��� � ����� �� ���

� ")" =���� � �&��� � ����� �� ��

�� ����� ��� ������ �� � � ���� �� ���� �� ��!� ���� �� � �+�� � �) �� ���� � �� �� �/ � �+�/ � �)� ��� �+� �) �� /" #� ��+ �� �/�� � ��� ���� ����

�+ ��/ � ��+

�/ � ��+

�� �) ��/��+ � ��+�/�/ � ��+

1� �� ��!���� ���� �� � &$ ��+ �� �/ �� /� ���� �+ � �) � / �� �� � / �� ��� � � ��� �"�" ��� �2��� ����$����� �� �����������" �

� ���������� ������� �� ����� ����������

6� ����� �� ���� ������� ��!��� ��2������� ������� ������ ���� ���� �� ��!� �������&���� ����2�������� �� ���

�� ��� ��� ���� �� ���� ��� �� � �"

B�!�� � �������&���� ���2������ � � �%�� �/ �� ���� � ��� ������� ������ �� ���� ������� ������� �� � �

���" %��� &�� ��!� ��� � � �������&���� ���2������ �� �� ������� ��� � �� � ����� � �� ��� ���������&�� ���� ��������� ���� ��� �� ����� ����" 1� ��� ����� ��� ���� � �� ��� ����I�� � ���2������� ������� ���� �� *��� '9�;0. �� �� �� �� �� ������ � �������&���� ���2������ � � �� ���

�� "6� &�� ��!� � ���&� ���� �I �� ��� ����� �� �� �� ������� ������" ��� �� ����� ��� ��2�������

������� ���� �� �� ��� ����� ��� �����H

����� � *=�2������� ������� ';0." "�� � ��� ��� # �� ��� ������� ��� ���� ���� � ��� � �� "���� � �%�� �/ �� � �������������� �������� �

������ � � � ���� ��� � / ��� � �� � ���

"�� � � �� � �! ��� ������ �� � ���� ��

���� ���� �� �� � ��� � ��/ �� �� � � � ����/ ���$�%� � � � � ��� � +� ��� � / ��� � �� � � � ����

��� �+�

���� ��� �������� ��%�� �/ ������� � ����� � ��� � ��� ��

������ � � � ���� ��� � / ��� � �� � � � ����

%�� ����� �� �� �� ������ �������� �� � ����� � ������ ����� ) ����� � � �� �"�" � ������ � �������&���� ���2������ �� ���

�� ��� �� " # ����� ����� ) �� ������ �� ���!� ��� ��$���C����� ����� �� *+. ���� ��� � �� ��� ��� ��� ���4����� ����" 1� ������� ���� ����� �� �4���� ��� �� ��� ���� �� ������� ����� � ���� ����� �� ���� ������� �� ��� �� !�� � ��

./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9 �+�

Page 5: On the linear description of the 3-cycle polytope

��$��� � ��� ����� � ������

%�� ����������� �� ���� ����� ����� ��� �� � � �� ��!� �� ����� ��� )� ��� ���� ��� �� � �� �" %����� ��� ����� �� � ������ ���� � �����&�� ��� ����� ��� ��������H ��� � �� �� �� ��� � � !������ ��� ! �� � ���� �� �� ����� � )� ��� ���� ��� �� � �� !" ��� �� ���� ���� � �� � � � ��������� ��������� ��� " %��� �� �� ���� �� ��� ���� ��� ����������� �� *+. ��� �� �� ��� �������� ��� � � �� ����� )� ������ ����� � � �"6� �� ������ ��� &�� �� �� �� ������� ������" 1� ���� ��� � ��!� ��� � �������&���� ���

�2������ � � �%�� �/ �� ���� � �������&���� ���2������ �� � �

�%�� �/ �� ������� ��� � �� � ������������� � �� ��� ��!��� �� �� � ����� �" %�� ����� ��� �1�% ����� �$������ ��� &�� �� �� �������� ��� ��� �H

���+ �H A������� � �������� ����� � � �� ��� ��!��� �� �� � ����� �" =�� " �� ���� � ��"���+ H =�� ��� � �� �� ��� � � �� �� ��!� � ��� �� �� " �������� �� � ���� ���� ���� ��� �������� �� �������� !���$ �� ��� � �� �"�" �� �������� �� ����� � � ���� �� " � �� ��� �2��� ����$ � ���" �� ������������" 1� ����� ��� �������� �� �� �� �� ����� ��� �� ��� �� �� � � ������ ��� �2������ ������ �%��������

� � �/"=��!� ���� �2������ ������ �� ������ ��� ���4������ ��� �� ��� � � " " #�� ��� ������ �� ��� !���� �� ����� ��� ���� ���� ��� "���+ �H =�� ���� ��� �������� �� � ������� �� " #�� �������� �� �� ������� � � �� ���� ���� ������� �� " %��������� ���� ��� � � ��!� ���� �� !���� ���� ��� �� �������� �� � � �"�" ��� �������� �������� �� ����� ��� !���$�� ��� � �� ������� �� "

����� � ��� �������� �� ������� � ����� � �������

����� %� ��� ���� �� �&��� � ����� �� ������� � ��� �� ��� ���� �� �� � !��� ���2������ �� �������� ���� �$���� � ��� �� �� ���� � + ����� �������� ��� �� ��� �� �� �4���� ��� �����"%�� !������ �� �� �� ��� � �� ��� ��� �"=���� � �&��� � ����� �� ���

� � ���� �$���� � ��� � �� �� � + ����� �������� ��� �� ��� �� � �4������� �����" #� ��� � �� �� ��� � � ��� ��� ����� �������� ��� �� ��� �� � �� ���� ����� ��� �� ��� �� �� "A����2������� � �� ���� � ��� �� �� � + ����� �������� ��� �� ��� �� �� �4���� ��� �����" ��� �������� ��� ��� �� �� " ����� �������� ��� �� ��� �� �� ��!�� �� ��� ��� ) �� ��� &�� ��" 6� ��� ��� ����� � �� � �" ��� �� � � � ��� � ��!� �� � ���� � +" #� ��� ����$ � ���" �� ������������ ��� �������� �� ��

�� �4���� ��� �����" �

��� � � �� ��� � �� �� � � � � � �� ����� ��� �1�% ����� �� �5���� !����� �� � �� �5�������� �� � "

"��� � � /H 1� ���� ����� � � �� �"�" ��� �������� �� �� ������� ���� �� ���� �� " �� �� ��� � " " 6� ��!���� ����� ��� ����� ��� '+�K0H

����� � �� ��� $������� � � � ������ ����� �: ������� ��� �������

���:��#� � �/! ���� �� � �/�� �� � �:�

��� ����� K� � ��!� ��� ����� ��� �� ����������� �� ��� �1�% �����"���+ �H ��� � � � �� ��� �� ������ � �� � �: � �:��:� ���� ���� : � � � ��" 6� ��� � �� �: � ���

������ ��� � � � K �� " � �:"

����� ����� � %�� �� � � �� � �������� ����� � �� ��� "

�+K ./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9

Page 6: On the linear description of the 3-cycle polytope

���+ H 6� ��� �� �2��� �� ��� ��� �� ��� +/ �������� �� �:" #������ �� ����� K� ��� �2��� ����$ � ���"

�� �����������" =��!��� ��� �2������ ������ �%��������� � �/� � ��!� �

�� � �/�� �� ��� � � " "

���+ �H #�� ��� �� �������� �� ����� ��� �� ��� �� �� � �� ���� ������� �� "%��� ���� ��� �� !�� � �� � ��� ������� �� � ����� �� � ���2��"

"��� � � +H 1� ���� ���� � � �+�� ��� �+ � ��" ��� ����� +� � ��!� ��� ����� ��� �� ������������ �� ��� �1�% �����"

���+ �H ��� �+ � �� ���� ���� ��+ �� �/��" ��� �� ������ � �� � ��+ ���� ���� ��+ � �� � �+�" 6� ���� �� �� � ��+ � ������ ��� � � � �+ � ) �� " � ��+� �+�"

����� ����� � %�� �� � � �� � �������� ����� � �� ��� "

���+ H %�I� � �������&���� ���2������ �+ � �%�� �/ �� ����+���� ���� �/ � �/ �� ��+ � ��+ " ��� �+ �� �

��� �� ��+ � + ����� �������� ��� �� ��� �� �+ �4���� ��� �����" =�� �� �� �+ �� ������� �� �����+")� ��� �2��� ����$ � ���" �� �����������" =��!��� ��� �2������ ������ �%��������

� � �/� � ��!� ��� � �� ��

��� � � " "���+ �H #�� ��� �� �������� ������� �+ �� ���� ���� ������� �� "%��� ���� ��� �� !�� � �� � ��� ������� �� � � ������"

"��� �� )H������� �H � �� �� � �����"6� �� �������� �� �� ���� �� �������� ���������� � ���� !���$ �" ��� �� �� ���� � ��� �� ��� "�

*�� ����!���� ��. �� ��� ��� �� ��� ���� �� ����� ���� �� *�� ����!��� �� ���. ������� ��� �"

����� ! �� �� �� �� �� �����! ���� ��� ������ ����"� �� ���� ��� � ����������

����� 6� ��� ��!� ���� ����� �� ����!��� ���� ����"� �� ���� �� ��� �������� ����$ �� ��� ����� � ���� ��� ��� �� ��" 6� ��� &� �� ':0 � ������ �����" �

��� ����� :� � ��!� ��� ����� ��� �� ����������� �� ��� �1�% �����"���+ �H ��� � �� � �� !���$ ���� ��� ��� ������ �� �" ��� � � ��+�) � � � �� �� � ����� �� ��� �"�" ��

�" ��� " �� ��� ��� �� ���� ��� ��� � � +� )� � � � � " 6� ��� � �� ��� �� � ��� ��� �� � � �� ������ �� �� � " "

����� ����� � %�� �� � � �� � �������� ����� � �� ��� "

���+ H =�� �� �2��� �� ��� ��� �� �������� �������+� �� � � +� � � � � * ��� ��+ � �+." >� ����� :� ����2��� ����$ � ���" �� �����������"

���+ �H �� � �� ��� �� �������� �� ����� �� ���� ������� �� " �� � :� � ���� !���� ���� ��� �� �������� ������� �� � ���� ��� �1�% ����� ��� � ��� �I �� ���� � ����� �� �� ������ ����� ���� :"

������� H % �� � )� ���"6� ��!� ��� ����� ��� ����� ��� 'K0"

����� " 'K0" �� ��� $������� � � � ������ ����� �K ���� K � +� )� �� K� ������� ��� �������

���K��#� � �/!

����

./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9 �+:

Page 7: On the linear description of the 3-cycle polytope

�+) � ��K � �+�

�)� � �+K � �)�

�+� � �)K � ���

�+ � �) � �� � �/�

����� ; ���� ���� ��� ��� �������� �� � �K �� ������� ��� �����" ��� ����� � ��!� ��� ����� ����� ����������� �� ��� �1�% �����"

���+ �H ��� !+� !) �� !� �� ���� �� !������ ���� � ��� ������ �� �" ��� �+� �) �� �� �� ��� ����!������ �� �" ���

" � !+!)� !+!�� !)!�� !+�+� !+�)� !+��� !)�+� !)�)� !��+� !�����6� ��� � �� ��� �� � ��� ��� �� � � !+� !)� !�� �� ���� �� �� � " "

����� ����� � %�� �� � � �� � �������� ����� � �� ��� "

���+ H 6� ��� �� �2��� �� ��� ��� �� �������� �� ��� ���� ����� ��� �KH �+� �)� !+� !)�� �+� ��� !+� !����+� !+� !)� !��" 6� ��� ��� ���� � �� ��� )� ��� �)�+�� *��� ���" +."

����������� � ��� ������ � ���" �� ���� ��� � ����������

����� 6� ����!� ���� " � �� � +/� ����� ��� ����$ � ���" �� �2���" # ����� ����� ; �� ��� ���!����� �K� � ���� ����

��!+!) � ��!+�� � ��!��+ � ��+�) � ��!+!� � ��!+�) � ��!)�+ � ��+�� ��

��!+�+ � ��!)�) � ��!��� � ��!)!� � �/ � ��+�) � ��+�� �

%��� �!�� ���� ��� ����$ � ���" �� �����������" �

���+ �H %�� ���� �� ������� ���� ��� ��� ������ �� �� �� �!+�)���" %��� ������� �����&�� �� ���������!+�) � ��+�� � �

�!+��

� ��+�) �� ���)�� � ��)�� �� ��� ������� ��+�)��� �����&�� �� "

"��� �H � �� � ��������"��� �� ������ &�� ��� ���� ��� � � )" =� ��� ���� � � �+�)� ���K�� ��� �� � � �� � � +� � � � � K"

�� �1�% ����� �� ���� ���� �� ���� ���� �� ����� ;"���+ �H ��� #+� #)� � � � � #; �� ��$ �� !������ ���� � ��� ������ �� �" ��� " �� ��� ��� �� ��� �� ����

*����� ���� � ��� ������ �� ��. ��������� �� ��� ����� ��� �KH #+� #)� �+� �)�� #+� #)� #�� #K�� #)� #K� #:� #;��� #:� #;� ��� �K� ��� ��� ���� ���� �)#�� #+#: �� ��#K" 6� ��� ��� ���� " � )) *��� ���" )."6� ��� � �� ��� �� � ���� ���� ��� � � � #+� #)� � � � � #;� �� ���� � �� � " "

���" +" %�� ���� ��� � �� � )� ���"

�+; ./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9

Page 8: On the linear description of the 3-cycle polytope

����� ����� ! %�� �� � � �� � �������� ����� � �� ��� "

���+ H 6� ��� �� �2��� �� ��� ��� �� �������� �� ��� ��!�� ����� ��� �KH �+� �)� #+� #)�� #+� �)� #)� #���#+� #)� #�� #K�� #+� #)� #K� #:�� #)� #K� #:� #;�� #K� #:� #;� ��� �� ��� �K� #:� #;�"

����������� � ��� ������ � ���" �� ���� ��� � ����������

�����6� ��� ����I ���� �� � ))� ����� ��� ����$ � ���" �� �2���" # ����� ����� ; �� ��� ���!� ��!���K� � ��!�

��#+#) � ���)#� � ��#�#K � ��#K#: � ��#)#; � ��#;�� � ��#:�K � ��+�)

��

��#:#; � ��#K�� � ��#K#) � ��#+#: � ��#+#� � ���)#) � ���+#+ � ����K �

%�� �������� �� ���� ��!� ���4����� ���� �2��� �/ � ��+�) � ����K " %��� �!�� ���� ��� ����$ � ���" �������������" �

���+ �H #�� �� �������� �� ����� �� ���� ������� �� "��� �� �� ������� ��� ���� ��� � � )" 1� ��� �!���� ����� ��� �� ���� ��+�) ��� ��� �� � ����� �K

�+� �)� #+� #)�� #+� �)� #)� #��� #+� #)� #�� #K�" =�������� � ���� ����K ��� ��� �� � ����� �K��� �K� #:� #;�� #:� ��� #K� #;�� #:� #;� #)� #K�" 1� � ���!� ��� ��� #+#: ��� � *�"�" ��� �K #+� #)� #K� #:���� ���.� � ��� ��� �� ���� �� ��� ��� ��� ���4������ �� ��� ���� �� ����K �$�� � �

�#:#;

�� ��#)#K���� �2��� ����K " >�� � ��� �� ���� �� ��!� ��� ���4������ �� ��� ���� �� ��+�) *��� ���" )." 6� ������� �� ���� ���� ��+�) � ��� �� ����K " %���� �� ��� ���� ��� � �� � �������� �� $ ���� �+� �)� � � � � �$

��� $� �� � ��� �������� � ��� ��� �� ���� ��� �� � � ���� ���� ���� �$���� ���� ��� ��� ��� �� ���� ��� � ���" ����� � ��� ��!� ��� ���4������ �� ��� ���� �� ��� ��� ��� ��� � � +� )� � � � � $�� � ���" �� �2��� �� ����������� ��� ��� ��� �� �������� ��� ����� �������� �� ��� ���� ��� ���� � +� � � � � $" 6� ��� ����� ��� � ������ ��� ��� ��� ���� ��� �� � ����� ����� �+� ��� ��+� � +� )� � � � � $�H ��� �� ��� �� ����� ���� ��� � ��� �� ��� " ������ � ��� ��� ��� �$����� ��� ��� ���

�� ���� �� � ��� �� ��� ��� �� � ��� �� ��" 6� ���� ���� � ��!� � � �$ !������ �� ����!������� ��� �� ��� ��� � � ������ !������ �� ��� � ��� �� ��� " #�� �� �������� �� ����� ����� ��� �������� �� � ������� � �"6� �� ��� ����� ������� ������ �� ��� ��� ����� ��� ������"

���" )" %�� ���� ��� � �� � ��������"

./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9 �+-

Page 9: On the linear description of the 3-cycle polytope

#$����� � ��� ����� � �������� � ���������� �� ��� �������������� ���������� � ���� �� �� �������� �� �

�� ���

����� ��� � � �%�� �/� ��� �/ � / �� � �������&���� ���2������ �� ���� " ��� #% � �� ���� ���� � � �#% ��

��$����" 6� ������ ���� � �����&�� � � ����� ��� ���������H+" �� ���� ��� � � ��� ���� �� � ����� ������� ��� �� ��� �� � ���� �������� �")" %��� �� � !���$ & � � � #� %� ���� ���� ��� ������� �#%&� �� ��� ����� ��� �� ��� �� � � �"�"

�� �#& � �%& � � � �/� ��� � � /"%��� �� �������&���� ���2�������� �� ��

� ���� ������� ����� ���������� �"�" �� ��� ���2������ +/*���" �. �� ���

9 � ��� ��� -9 ��� ��� ��$���� ���4����� * ��� ��� ��!���� ��� ���� �� ��� ���2������. ����� ������� *:-9. �� ��� �����" ��� � �� ��� ������� !���� �� ��� ���4������ �� �� ��� � � ��� � ��� ��� ������ �/ � )�"# ����� �� ������� ����� �� ��� ���� ��� � �� ��� ������� �#%&� �� � � � ������ � �������&����

���2������ � � � ��%�� �/ �� �����+" ��� � �� ��� �� �� !���$ �� ���� ������� � ������" %�� &�� �� ��

���� � ������ ��������� ��� �������� ����� � � ��� ��� � � � �� �� ���� � �� � �#� �%� �&�"��� �� �� ��� ��� ���������� ��� ���� ����� ��� �������� ��#%�� ��#&�� ��%&�" >� ���!��� ��� �2������ �������������� � �/� � ��� �

��& � ��� �/ � �#& � �%&��)" #� �/ � �#& � �%& � �� �� � ���� ���� ���& � �� ��) � �"

%��� ���4����� �� ������� ����� ���� ��� ���4����� �� � � ����� ��� ���2������ � � ��� ��� ��� ����������4����� ���� � "1� ������� � ��� ��� ���� ���& �� ��� ���� ��$���� ���4����� �� �

�" =� ��� ���� �� ��� ���� �"�" ���� ��� !���$ &� � � � &� ���� ���� ���&� � ���&" #� ��� ������� ��&&�� �����&�� � �� � ��!�

��&�& � �&�& � �/ � ���&� � ���& � �/ � )��� ��)� � �/ � )�� ��

%��� �� ���� ���� �&�& � �/ � )�� �" A����������"��� �� �� �� ��� �� ����!���� ��� ��$���� �� ������� !����� �� ��� ���4������ �� � �" 6� ��!�

�� � �� ��) �� �� � �/ � )�� �" # ����� �� ������� ����� �� ��� ���� ��� � �� ��� )� ��� #&% �� � �� ������� � �������&���� ���2������ � �� � ���%�� �/ �� ���

��K" ��� !+� !) �� !� �� ���� �� !������ �� ������ ������� � ������" =� ��� ������ ���� �� ��������� ���� ���!+& � ���!)# � ���!�% � �/ � ��&# � ��&% � �� �"%���� ���4������ �� ������� ����� ���� ��" %�� ���4����� ����!+ �� ��� ��� �� ��� ����� �� �� ��� �������� ������� � ��!�

����!+ � �/ ���$��� � ��!+ ����!+ � ����� � �/ � ����& � ���!+& � �/ � )�� ���) � ���

=�������� � ��� ������

���!)% � �/ � ���!�% � ���!)!� � �/ � )��� �� � ����!+ � ���

%������� � ��!� ��� � ���� � �� ��� �� ����� ���� ��� ������� ���4������ ���� � �"6� ����!� ���� ��� ������� �!)#%� �� ��� ����� ��� �� ��� �� � �� �� ���!)# �� ��$����" %��� � ��� � ���

�� ��� �� � ��" �

6� ��� ��� �� ��� �5����� ��� ��� ��� ������� ���4����� �� ��� �������� ���4����� �� �����������&���� ���2�������� �� ���

� �� �$ �������� �� �"

#$����� � ��� ���������� ������� ��� �������� � ��������� ��� ��� �������� � ��������� �� � �� ������������������������ � ���

� �� ��� ������� �� ��

�+9 ./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9

Page 10: On the linear description of the 3-cycle polytope

����� ��� ' �� ��� ��$���� �5����� ��� ��� ��� ������� ���4����� �� ��� �������� ���4����� �� ����������&���� ���2�������� �� ���

� " ��� � �� � �������&���� ���2������ �� ���� � ���'� �� ��� �5����� ��� ���

��� ������� ���4����� �� ��� �������� ���4����� �� � � �� ������ ' �'� " ��� �� ���� � ��%����� �� � � � )� ��� �� �� ���� ���� ��� ���4������ �� ��� � � ���� �� �2��� �� �"6� ��� ��� ���� ' � )�����)��;��" 6� ��� !���� �� # ���$ # ���� ��������� �������&���� ���

�2�������� �� ���� *� � :� ;� -� 9. ���� ���� �� ��� �� � � :� ;� -� 9" ��� �� ������ ��� !����� �� � ��� ���

��� � � ;� � )� � ��� ��� ���� �� ' � )�����)��;�� �� � � ;�� � +� � ) ���� ���� �� ��� ��;�� � +� � )� � � ;� � ) ������� �� ������� ������ �� ��� �!���� ������� ���!� ��� ���4������ ��������� ���2��������" %������� � ��� ��� ����' � )�����)��;�� �� �������� �� �" 1� ����� � ��� ��� �������� �� � �������&���� ���2������ � �� ���

� ���� �������� ��� �2���� �� / �� ���� �$���� � ��)� ��� ��� (�)� ��� ��� � � �)�����)��;���+ �� ( � )�����)��;���+" 6� ��� ��� ���� '� � �� � (� � )�����)��;��"��� �� ������ ��� ���� ��� � � +� �"�" � � 9� � ��� !���� ���� ��� �������&���� ���2������ � �� ���

9

���� �� ��� ���2������ ; �� ���" � �� # ���$ #� ��� ��� )� ��� ;+9 �� � *�+.�)� ��� �� ��� )� ��� �-K �� �+�)� ��� �� '� � +� ��+� � )�����)��;��" %������� ���� �� ��� �� � � +"=� ��� ���� ���� �� ��� �� � � �� � ��� ��� ���� ���� �� ���� ��� �� � � � � +" %��� ���� �$���� �

�������&���� ���2������ � �� ���� � ��� � � ;� � ) ���� ���� ��� �������� ��� �� � �� / �� ���� �$���� �

��)� ��� �� � (�)� ��� ��� � � �)�����)��;���+ �� ( � )�����)��;���+" =� ��� ���� �+�)�� �� ���� ��)� ����� �+�)�� �� ���� (�)� ���" # ����� ������� ������ �� ��� �!���� ������� �� � ��������!��� �� ��� ���� ��� � �� ��� )� ��� �+�)�� �� � �� ��� )� ��� �+�)��� � ������ � �������&���� ���2������ � � �� ��

�� ����� � ;�� � +� � )" ��� �� � �)������)��;���+ �� (� � )����

��)��;���+" #����� ���� !+� !)� !� �� ��� �� !�������� �� ��� ������� � ������� ��� � � �+�)��� � ��� ��� ���� ��� ���� !)!� �� !��� ��!� ���4������ �� � �

�2��� /� )� � (� �� !)!��� �� � (��)� ���" #����� ���� !�+� !�)� !

�� �� ��� �� !������ �� �� ��� �������

� ������� ��� � � �+�)��� ��� ���� !�)!�� �� !���� ��!� ���4������ �� � � �2��� /� )( � �� �� !�)!

���� �� �

���)� ���" ������ ���� �� ��� �� � � � � +" �

� %��������$��� ���&��� ���� �� ��$�� ���������

6� �� ������ ���������� � ��� ��� ���� �� ��� ����� �� ��

�� ��� �� � �� ���� �� ���

� "��� �� ������ &�� ��� ������ ����� � ��

�� " 6� ��� ������ � �� ���� �������� ��� ��������&���� ���2������ �� ���

� ���� �������&���� ���2�������� �� ���� ��� � :" ��� � � �%�� �/ �� � ������

�&���� ���2������ �� ���� � ��� �/ � /" ��� #% � �� ���� ���� �#% �� ��$����" ��!������� �#% � �/��" 6�

��� ��� ���� � ��� ��I� �#% � �/�) �� �/ � /" =� ��� �#% �� �/�)� ���� �� � ��� ����� ��� �2������H

�)�#% � �/������

�� � ��)�#% � �/��

� ������ ��� ���2������ ��%�� ��/� ��� ��� � �� � )�#% � �/ �� ��/ � �/ � ���/ � )��/ � �#%�� � ;�#% � )�/"

=���� �#% � �/��� � ��!� ��/ � /� �� ������� ��#% � �#% � )�#% � �/ � ��#% � �/ � ��/�)" ������ � ��� �� �

��� "�"�"�" ���� �/ � / �� �#% � �/�)"6� �� ��� ���� ��� ��� �� ������ �� �� ������� � " #� �#% � �/�) �� ��$���� �� ��� �������� �� �� �������

� � ��� )� ��� �� �� ��� �� ����� ����� ���� � �2��� �� �/�)" ����!� ���� ��� ����� �� ������ ����� ����� �2��� �� K �� ��� ��� �� �� ����� � � )� ����" %��� �� ���� ���� ���� ����� ��� �� ����� ����� ���� ��2��� �� �/" %��� ��� ������ ������� � "��� �� ������� ���� ������� ���� �� ������ �� ��� ����� �� ��

� ��� � �" B�!�� � ��������&���� ���2������ �+ �� ��

� � ��� � � ��� � +��)� +@ ����� �+ �&��� � ����� �� ��� � ���� �� � ����� �������

��� �� ��� �� �+ �4���� ��� �����" ��� �� ���� '����� �� �+ � ��� �� ����� ������� ��� �� ��� �� �+ ����

./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9 �+,

Page 11: On the linear description of the 3-cycle polytope

�������� � ����� ������� �4���� ��� �����" ��� �� �&�� ����� �����# ��� �� �+ � ������ � �� � ���� �������� �� � I���� � �� �+ �� ���� ��� ������ �������� �� ����� ��� !���$ �� �" 6� ��� ���� � ��!�� �"6� ��� ��� ���� �� ��� ���� �� ���

� � ��� ������ � � ���� ���� �� � � )� �� � ��!� !���$ ��� �� � "A����� ��� ��� #% � �� ��� �#% � �/�) �� � �� ��� �#%&� � ����� ������� ��� �� ��� �� � ���� �������� #%"B�!�� � ��!� !���$ ��� � ���� �������� ��� !���$ & �� ���� �������� � ����� �� �� ����� ������������ � ���� ��� ����� ��� �������&���� ���2������ � � �� ��

�� ��� � : �� �� � �� � �� � �H

� � ������

����� ��

����� ���

����� � �/�

�� ��� � � ��� � ��� ��� �� ��"6� ��� ��!� !����� �� ��� ���4������ ��� �� ��� � � ��� � ��" ��� � � �� � �� � ������� ��� ��� � � �

���� � ��L���� ���� �� � ) !������ ���� ���� ���� �� ����� ���� �������� �$����� ��� !���$ �� �" ��� �� �����#���� ������� ����� ���� �� ��� �� ���� )� ��� ���� ����� �$���� ���2�� �� � !���$ � � �" 6� ��!�!����� �� ��� ���4������ ��� �� ��� � � ��� � �� �� ��� ����� ��� ��H� ��� �� / �� ��� � � � �� � � ��)��"� ���� �� ���� �� ��� � � � � �� � � � �� � � )� � ��"� %� ��!� !����� �� ��� ���4������ ��� �� � � �)� � )�� �� ��� �� � � �� � ������ ��� ��� ���� ��������� � �� ���� !���$ ��� �� � �� � ��!� �� ���������� �� ��� ���� �� �� ���� �����&�� ��� � � ������ ��� ���������H+" 1� # � �� ���� � � ���� ��� ��� &# �� ��� �� �&� #� �� �����" =�������� �� % � � ���� � � ���� ���

��� &% �� ��� �� �&� %� �� �����")" �� ��� � � �� ����� �� �"

%��� �� ���� ����������� ���� ������� ����� ���!� � � ���������� �"�" ��� ���������� ���������� ��� &���������� �� ��I��� ��� �� � �� �� � ����������� ������ �� �" �� ��� �� ��� ��� � ������ � ������ �� ���� �� ��� � � �)� � �� � ���� �� ��� �� �/ � ���� �� ��� � � �)� � )� � ��� �� � ��� ���� )�

�������� )�� " �� ��� !���$ � � �� )� �������� �� ����� ��� ���� �$���� ���2�� ����� ����� �� �"

����������� � ��� �������� � � ������� � ����� � ���� �

�����

+" %�� ������� �� ��H ���� ������� � � �� ���� ���� ������� � �")" %�� ������� ��� �� ��H 6� ��!� ��� � � ����� ��� ������� �����H� %�� ������� ���������� �� ���� !������ �� )� � )� ��� )��)� �� ��� � � �$���� ���2���" =� ��� "�"�"�" ���� )� �������� )�" =���� )� � )� � � ) �� ���)����� � ��� �� �

��)��)���� � �/ � ���� �����

������� ������� �� ����� � � ���� �� ( � �)� � )�� ���� ���� ��� � ��( � �/" %��� ����� ������� ������� � �"� %�� ������� ���� ������� �� ����� ��� !���$ �� � � !������ �� �� ����� ���� �$���� ���2���" 6� ����I ���� �� ��� � � ��� �/ � �� � ��" %������ �� ��� ����� �� ���� ������� �� ���� ����� �� ����

�)/ ./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9

Page 12: On the linear description of the 3-cycle polytope

������� �!�� ��� �� �� ���� �� �� �)� � )�� ��� ��� ��� ��� � ������ &� � ����� � �� �� ���� ����������� ����� � ����� �/ � � �� ��� � �� �� ���� ���� �� ) �� ������� )� ����� � )� ��� �� �/"

=� ��� ���� ��� ����� ������� �� ��� ��� �� ��� �� � � ���� �������

�%� � �/� �)��� ��� � � �� ��� )� � �� �+� � � � � ����"?��I ��� � � �$���� ���2��� )� �� )� �� �� ��� "�"�"�" ���� )� �������� )�" %�� ������� ����

!������ �� �� )� � )� ���� ������� ���� ��� ��� �� �)� � �� �� ��� ��� �� �)� � )� � �� �� ����� ����� ��� �� � �" 1� ���� � ������� ��� !������ �� )� �� �������� �� ��� ����� ���� � ��� ����� ��� � �!������ �� )� �� ���� ����� �� ������ ��� ������ ����� ������" 6� ��!� ��� ���� ����� �� ��� !������ ��)� � �"A����� � � ����� ������� ��+���+�)�� �� ��)���+�)��� ��� � �� ��� ��������� �� ��� !������ ��

)� � �� �+� �)�" ��� ����� � � �������� � ���� ����

��� ��+� � ��+� � ��)� � ��)��

��� ��� ����� ������� ��)�+���+�� �� ��+�)���+�� � ��!� �������� ��+� � ��)� � ��)� � ��+��

��� *�.� *��. � ��!� ���� ��)� � ��+� �� ��+� � ��)�" M�� �� ��� ������� ����� ��� !������ �� )�� �������� ���� �� � ��� �� ��� �� �� � ��)�� �� ���� ���� � ���� �� ��� ��� �� � )�"��� ��� ����� ������� ��+��+�)��� �� ��)��+�)���� � ������

����� ��+� � ��+� � ��)� � ��)��

��� ��� ����� ������� ���+�)��+�� �� ���)�+��+�� � ��!� ������!� ��+� � ��)� � ��)� � ��+��

��� *���.� *�!. � ���� ���� ��)� � ��+� �� ��)� � ��+�" 3���� ��� ������� ����� ��� !������ �� )� ����� ������� ����� ��� !������ �� )� � �� � ������� ���� �� ��� �� �� � �)� � )� � �� �� ���� �� � ��� "=���� ��� �$���� ���2�� �������� �� ����� ������ ���� � ������� ���� �� � ��� �� ��� � � � �� ��

��� �� �� � ��)��" >� ��������� ��� ����� ������� ���������� ���� !������ �� � � �$���� ���2���� �� �� ������ ���� ���� �� � ��� �� ��� �� �� �

��� ��)��" ��� �� ���� �+ ���� ������ ���4�����" 6� ���� ��!� ����

�� ��� �� � � � ���� ���� )� �������� )�� �� � ��� �� ��� �� �� � �)� � ���"�� ��� � � !������ � � � � � �� � � �� ��� ����� �� � ����� ������� ��� �� ��� �� � ���� �������� ���

��� ��" 6� ��� ��� ���� ��� ������ ���+��� ��� �+ �� ��� ��������� �� ��� !������ �� )� � ��� ������� ��� �� ��� �� � �" =���� ��� !������ �� )� �� ��������� � ���� ���� �� � ��� �� ����� �� � �)� � ���"��� � �� � I���� �� � ���� �� ��!�� �� � �� ��� � � ��!*� �� ��� ������� �� �" 1� �� !� *� � �� )� ����

� �� ��� "�"�"�" ���� !� * � � �� )! �������� )*" 1� �� !� *� � � � +� ���� � �� ��� "�"�"�" ����! � �" 6� ��� ��� ���� ��� ������ �� � ��!�)*� ��� �) �� ��� ��������� �� ��� !������ �� )! � !�� ������� ��� �� ��� �� � �" %���� ����� � �/ �� � ��!� ���� ���� � �/ � � � ���+" %������� ��� �������� ��� ������� �%� � �/ � � � ���+" ��� �+ � �� ���� ���� ��+ �� �/��� ����� � �&��� � ����� �� ���

� � ����� +"+�� ���� ���� �� ������� ��+ �� / �� �/ � � � ���+� � ��� ��!� ���� �� � / �� ��� � � �� ���/ � � � ���+"A����� ��� !���$ &� �� ������������ & � � �� �� ��� &� � )&� ��#&� � �#& �� ��%&� � �%&" =����

�#& � �%& � �/�)� ��� ������ �#&%��� ����� �� ��� ��������� �� )& � &�� �� ����� ��� �� ��� �� � �" =�����#&� � �#& � / �� �%&� � �%& � / �� ��� &� � )& � &�� � ���� ���� �/ � � � K��+" >�� ����� �/ � � � ���+

./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9 �)+

Page 13: On the linear description of the 3-cycle polytope

�� �!� ���!�� � ��!� ���� �/ � �+ � /" A����2������� � ���� ������ ���� �� � / �� ��� � � ��� "%������� �� ����� +") � � �&��� � ����� �� ��

�� " �

6� ��������� �� ���������� � ��� ��� ������ �� ���� �� ��� ���� �� ��

�� �� �� ��

� � " 1� �� I�� � ����

��� ���2�������

������ � � �&��� � ����� �� ���

� '+0 �� �� �� � � ')0" 6� ���� ���� ���

� �� � ����� �� ���

�� �� ��� � " A����2������� � ��� ��!� ������ �� ���

� �� �� ��� � ��� ������ �� ���

� " %�� ����� ��������� ������ ���� ��� �������H

#$����� � "���

�������� � �/ �� � �������������� �������� � ���

� ��� � ������� � ��� ����&� �*� �����������

����

���� � ������

�� � �/ � ��� ���

�� ���� �� ��� ������ ����+�������� ��� ������ � ���)�* ���� �*�� � � ���� �*��� �#���� �� ����� ��� ����� � � ���)�* � � � ����+�������� � � �� �� �*�� ����:�� *�. �� ����������*�� *�. �:��� � ���� � ���

� ����+�������� ��� � �/

����� M�&��

� � �� � ��������

��

� � �������

���� � �/

��

%��� ����� � ���� � +��)� � )� ����� �����

��#� � �/ �&��� � ����� �� ���� " A������ � ��� ��� !�����

����#� � �� ����� ���� � �� � ���� � +��)� � + *���� ���� � �� ���� �$ ������ ������ ��� ��������

!���� �� ��� ����� �." #�� !����� � �� � � � !���� *�. �� �2������ �� *�. �� !��� �� ��� ��� ������ *��� ����!��� ��� ������ �� ������ ���� ���� . �� ��� ����� *�. �&��� � ����� �� ���

� *�� ����!��� ��� � ." �

��� %������ ) �� �� � ���� ��� ����� ��� �������"

'�������� � � �� �������������� �������� � ������� ��� ���� ��� � ���������� ����� ��� ��� ������� �� ��

��(��&�� �������

6� ��� ��I� �� ����I ��� ��������� ������ �� ���� ��� ��� ��������"

����� �� �

#�� ��� ���� ���� ����� ���� � ��� ���� �� ���� # ���$ # ��!� ���� ������� �� ��� ���" 1� �������� � ��!� ��� ��� ���� �� ����� �� ��I�� '�0 �� ������ � ��� ���� ���� ���� �� ���

9 "=��� ���2�������� �� ����� ���� ����� ��!� ���� ���� �!������ �� >��� '+0" 6� ����� ��� ���� ����� ����� �� ���

: � ���; �� ���

- �!�� �� 'K0" %�� ����� ��� ���2������ �&��� ��� ��+������ ���+����������� �� ���

� H������ �

#� ��

������� �#� � + ��� � �� )� � � ��)�

�)) ./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9

Page 14: On the linear description of the 3-cycle polytope

%�� ��+������ ���+������ ������ ��������C� ��� ������ ���: 'K0"

�� �� ;� ��� ��� � � ��� ����� �������" %�� ������� �����

#� � /� � � ��

�� ��� ���� �����������+��)�

#�+� � #�+�) � /� �+� �) � ��

%�� ����� � ���- ��� ��� ������ ���� �� �� ����� ��� ��+������ ���+������ ������� ������� ������� ���� ������

�� ���: �� �� ��

�; �� �� ������� ������ �$�� � ��� ��+����� ������" ��� � �� � :������ ���������� �� ���

!������ �� - � �+� �)�� ��� ����� ��� ���2������ �&��� ��� ��+����� ����� �� ���- H

)�

������#� �

��� ���

�#�+� � #�)��� )�

%�� ���4����� �� �� * ������ ���� �� ���4����� /. �� ��+������ ������ ���� ����� �� ��+����� ������ ���I����� ���� H

#�� ����� ������� �� ���9 �$�� � ��� �� ��+������ ���+������ ������� ������� ������� ���� ������� ��� ������

���� �� ����� ��� ��+������ ���+������ ������ *���" �.� ��� ���� ������ *���" :. �� ��� ��+����� ������*���" K. �� ���

: � �� ���; �� �� ���

- " 1� ����" �D: ��� ����� � ����� �� � ����� ��!� ������ ��� ����4����� �� � �� ��� ����� ���� � ���� ���" �� ���� ����� ������ � ��� ����� ��� ��� � �� �� ������� �����" 6� ��� ����� ��� �� �� ���� �� ���� � � �� � ������ ��� ��2������� ������� ����� )�� ���� �� �� �� �����"+" � �� *)�-. �� ������ !���$ 9")" � �� *-+;. �� ������ !���$ 9"�" � �� *;)�. �� ������ !������ - �� 9"K" � �� *+)�. �� ������ !���$ -" �� �� ��2������� ������� -;� -K" � �� *+;-. �� ������ !���$ 9" �� ����2������� ������� 9)� 9�� 9K� 9: �� -:"

:" � �� *+;). �� ������ !���$ - �� ���� *+;:. �� ������ !���$ 9";" � �� *+;). �� ������ !���$ - �� ���� *+-). �� ������ !���$ 9"-" � �� *;)�. �� ������ !���$ - �� ���� *+;-. �� ������ !���$ 9"9" � �� *;K:. �� ������ !���$ - �� ���� *+)�. �� ������ !���$ 9"," � �� *:�K. �� ������ !���$ - �� ���� *:+). �� ������ !���$ 9" �� �� ��2������� ������� -;� 9;� -9� -+�-)� 9�� 9K"

+/" � �� )� ��� ���������� +) �� +�"

./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9 �)�

Page 15: On the linear description of the 3-cycle polytope

���" K" ����� ������ �� ���9 ��� ��+������ ���+������ ������ �� ���

: �� �� ���; "

���" �" ����� ������ �� ���9 ��� ���� ������ �� ���

; �� �� ���- "

�)K ./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9

Page 16: On the linear description of the 3-cycle polytope

++" � �� *+K-. �� ������ !���$ 9"+)" � �� *:K+. �� ������ !���$ 9"+�" � �� *:;-. �� ������ !���$ 9"

%���������

'+0 ?" >���� %�� ������ ����� �H ������� ����������� �� � ������� (������ )) *+,,-. ++/D+K:"

')0 ?" >���� �" �������� �" =�!�������� # ����� �� ��� � ���� �� ��� ��������� ��������� ������ ����� *AAA?.�

%�������� (� ��� =����� �� 1������� �� =������ <���������� B����� 1�������� �� %���������� ���� +,,9"

'�0 J" ��I��� �E�N(������� ������� %�������� (� ��� 1�������� �� � ������� (������� <%��O������ A��9/,) O�����

= ��C���� ��� HEE "���"����"���C"��E���E���5E��I��E����E����"����� M������ +,,-"

'K0 �" J�!���!� �"��" ������ P" ��$���� �� ��� ���!�$ ���� �� ��� ������� �� ��� ��� ��� �� �� %�������� (� �� ):+� ���������

8 1�������2�� � ��������� �������� �� �������� � ������� +,,-"

':0 �"��" ������ � ����C����� �� ��� Q� ������ ��� �I� ��� ������ ������������ ?�������� � *). *+,-). +�:D+KK"

';0 B"� ��������� �"#" 6������ 1����� �� A����������� � ����C������ 6����� �� P�I� +,99"

'-0 �"�" ������ �� �"��" ������ �� ��� ����� ���� ���� �� ��� '������ ����� �� 1����������� %���������� �� � ��������

(������ ����������"

'90 �"# 6������ ������ �� � ����� ���2������ �� /D+ !�������� ������������ ?�������� 9 *+,-:. +;:D+-9"

���" :" ����� ������ �� ���9 ��� ��+����� ������ �� ���

- �� ��� ���� ��� ����� ����� �� ���9 ��� ��� �������� ��� �� � /"

./0/ 1)����� 2/-�/ ������� 3 ,���+��� 2������ � 4+��������� 5������* ��6 � 77 � ��78� 9 �):