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Office National d’Étudeset de Recherches Aérospatiales

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AAAéééroacoustique numroacoustique numroacoustique numééériqueriquerique

Florian Longueteau

Stage FMAE – Octobre 2007

De l’air, du bruit… des nombres

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PlanPlan

Introduction

Quelques modèles en aéroacoustique

Discrétisation et simulation des modèles

Exemples de CAA

Conclusion

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PlanPlan

Introduction

Quelques modèles en aéroacoustique


Exemples de CAA

Conclusion

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IntroductionIntroduction

Aéroacoustique numérique CAA : Computational Aeroacoustics3 « mots » , 3 « idées » :

« Acoustique » :Science qui a pour but d’étudier la création, le propagation et la

perception des bruits et des sons

Contexte :Réglementation et certification en aéronautique« Confort de vie » des citoyens

Problématiques :Bruit autour des aéroportsBruit des transport urbainsBruit des machines en milieu industriel

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« Aéro-acoustique»Étude des phénomènes acoustique en présence d’un écoulement

Exemples :Bruit de sillageBruit de jetBruit de voilure

Phénomènes qui donnent lieu à un rayonnement vers l’extérieur

Bruit de soufflanteVibroacoustique

Bruit interne

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« Numérique »Transformation et résolution d’un problème mathématique continu

en un problème discret

Avantages par rapport aux méthodes expérimentales• Souvent peu onéreuse et rapide• Moins de données empiriques• Pas d’effets d’échelles• Simulation de phénomène non « expérimentables »

Limitations par rapport aux méthodes expérimentales• Résultats sensibles aux modèles et aux méthodes numériques choisis• Précision des résultats dépend de paramètres parfois difficiles à contrôler

Approches complémentaires

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IntroductionIntroductionTrois étapes :

Modélisation• Choix du phénomène physique à analyser• Introduction d’hypothèses simplificatrices• Choix des équations

Discrétisation• Discrétisation du domaine d’étude (temps et espace)• Discrétisation des équations

Simulation• Résolution du système discret• Vérification de la convergence de la solution• Interprétation

Phénomène physique

ModèleContinu

Modèlediscret

Solutionapprochée

Modélisation Discrétisation Simulation

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L’aéroacoustique numérique est à la croisée des chemins

De l’acoustiqueDe l’aérodynamiqueDe la simulation numérique

Discipline complexe qui nécessite une triple compétence

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PlanPlan

Introduction

Modèles et équations


Exemples

Conclusion

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Modèles et équationsModèles et équationsÉquations de conservation de la mécanique des fluides (Modèle de Navier-Stokes)

+ équation d’état+ lois de comportement

Non linéaires Très peu de solutions analytiques7 équations, 7 inconnues, 2 jeux de conditions aux limitesAdimensionnalisation 2 paramètres de similitude :

• Reynolds : rapport des effets convectif sur effets visqueux• Mach : rapport des effets convectifs sur la célérité du son

0

:

d udt

du fdtde u q rdt

ρ ρ

ρ σ ρ

ρ σ

⎧ + ∇ ⋅ =⎪⎪⎪ = ∇ ⋅ +⎨⎪⎪ = −∇ ⋅ +⎪⎩

: , : , :

: :

: :

masse volumique u vitesse tenseur des contraintes,

f forces volumiques, e énergie interne spécifique,

q flux de chaleur, r rayonnement

ρ σ

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Modèles et équationsModèles et équations

Équations d’EulerNégligence des termes visqueux et de la conduction thermique

• Tenseur des contraintes se réduit à la pression• Équation de l’énergie se réduit à une relation d’isentropie

Équations du premier ordre 1 seul jeu de conditions limitesÉquations non linéaires

0

0

d udt

du p fdt

dsdt

ρ ρ

ρ ρ

⎧ + ∇⋅ =⎪⎪⎪ +∇⋅ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

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Équations d’Euler linéariséesLinéarisation : le champ total est la somme d’un champ stationnaire et d’un champ de perturbation très petit devant le champ de base

Système d’EDP linéaires valables en milieu non homogèneLe plus couramment utilisé en acoustique

0

0

2

0

0

2

' ' 0

' ' 0

( )

( '

'

)

'

'

s

ut

u pt

pp c avec c

U

U u

ρ ρ

ρ

ρρ

ρ⎧∂⎪ + + ∇⋅ =∂⎪

⎪ ∂⎪ + +∇ ⋅

⋅∇

⋅∇ =⎨ ∂⎪⎪ ⎛ ⎞∂

= =⎪ ⎜ ⎟∂⎪ ⎝ ⎠⎩StationnaireEt uniforme

Perturbations(x,y,z,t)

0

0

0

'''

p p pu U u

ρ ρ ρ= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩

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Modèles et équationsModèles et équationsSources aéroacoustiques

Équations d’Euler linéarisées + milieu au repos Équation d’onde

Introduction de sources au second membre

Fonction de Green : solution pour pression = convolution de la fonction de Green avec la source

2

2 2

1 0ppc t

∂Δ − =

∂

2

2 2

1 Sppc t

∂Δ − =

∂

p G S= ∗

0S δ=

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Sources aéroacoustiquesSources monopolaires

• Sphère pulsante dont le rayon tends vers 0• Fluctuation de débit de masse

Sources dipolaires• Composées de deux monopoles en opposition de phase• Correspond à une fluctuation d’effort

(interaction écoulement - obstacle)

Sources quadripolaires• Composées de deux dipôles en opposition de phase• Correspond aux sources créées par la turbulence (bruit de jet)

Importance relative des sources :• A faible vitesse (10 – 50 m/s) : monopôle > dipôle > quadripôle• A haute vitesse (200 – 300 m/s) : quadripôle > dipôle > monopôle

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Sources aéroacoustiquesAnalogie Acoustique de Lighthill• Réarrangement des équations de Navier Stokes• Les sources sont confinées dans une zone donnée• Propagation en milieu au repos

• Tenseur de Lighthill

• Effets visqueux négligés en acoustique :

• Incompressible :

Sources déterminées calcul du rayonnement acoustique

ji

ij

xxT

tp

cp

∂∂

∂=

∂∂

−Δ2

2

2

2

1

ijijjiij cpUUT τδρρ −−+= )(2

ijjiij cpUUT δρρ )(2−+=

jiij UUT ρ=

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Propagation des perturbationsMéthode de Kirchhoff :

• Remplacement des sources réelles par des sources virtuellesplacées sur une surface fermée

• Valable sans parois dans le domaine d’étude• Calcul du rayonnement réduit à une intégration surfacique• Uniquement des dérivées premières• Tient compte de l’ensemble des sources

( , ) ( , ; , )( , ) ( , ; , ) ( , ) ( )

KKS

p y G x t yp x t G x t y p y d dS y

n nττ τ

τ τ τ∂ ∂⎡ ⎤

= −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∫∫ ∫

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Propagation des perturbationsEquation de Ffowcs Williams & Hawkings (FW-H)

• Généralisation de l’équation d’onde en prenant en compte toutes les sources aéroacoustiques (y compris les parois)

• Expression de la solution :

22

2 2

1 ijii i j

Tfp qpc t t x x y

∂∂∂ ∂Δ − = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

0( , ) n i ijS S Vi i i

Monopôle Dipôle Quadripôle

G G Gp x t U d dS f d dS T d dVy y yτ τ τ

ρ τ τ ττ

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫144424443 1442443 144424443

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Propagation des perturbations

Lighthill, Kirchhoff ou FW-H calcul des sourcesExemple : terme quadripolaire

Avant : méthodes empiriques ou semi-empiriquesAujourd’hui : calcul CFD

ijijjiij cpUUT τδρρ −−+= )(2

Sourcessonores

Observateur( , )x t

Surface decontrôle

( , )y τ

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PlanPlan

Introduction



Exemples de CAA

Conclusion

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Discrétisation et simulationDiscrétisation et simulation

Principe général de la CAA : ComputationalAeroAcoustics

1. Discrétisation du problèmeDéfinition du maillageDéfinition des conditions aux limites

2. Calcul du champ de perturbation à l’aide d’un calcul CFDChoix de la méthode de discrétisationChoix de la méthode de résolution du problème discret

3. Propagation des perturbationsCalcul des sources aéroacoustiquesCalcul du bruit rayonné

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Nature mathématique des équations

A étudier avant la discrétisationSystèmes quasi-linéairesNature dépend des opérateurs de dérivation présents dans les équations

Hyperbolique (équation des ondes)Parabolique (équation de la chaleur)Elliptique (équation de Laplace, Euler ou NS)

Conséquences :• Choix de la méthode numérique• Choix des conditions aux limites

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DiscrétisationMaillage = découpage du domaine d’étude en petits « morceaux finis ».Maillage fin gain de précision mais problèmes « numériques »

Conditions aux limitesCondition de Dirichlet ou NeumannEn acoustique problèmes de réflexion des ondes sur les frontières

Conditions de non réflexion, condition absorbanteParois « molles » ou « rigides »

Ce choix détermine l’existence et l’unicité de la solutionProblème critique

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Méthodes de discrétisationÉléments finis(FEM : Finite Element Method)

• Maillage triangulaire : les éléments finis• Base fonctionnelle de projection• Reformulation variationnelle du problème sur chaque élément• Utilisé en mécanique des solides

– Calcul de contraintes et déformations

• Adaptable à des géométries quelconqueset complexes

• Ordre de précision arbitraire

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Méthodes de discrétisationDifférences finies (FDM : Finite Difference Method)

• Approximation des opérateurs de dérivation par des développements de Taylor

• Exemple : résolution du problème

hxuhxuxu

hoxhuxuhxuhoxhuxuhxu

)()()('

)()(')()()()(')()(

−+=⇒

⎩⎨⎧

+−=−++=+

0)0(,0)()('],1,0[ uuxuxux ==−∈∀ τ

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Méthodes de discrétisationDifférences finies

• Maillage de [0,1] en M points avec • M inconnues :• Équation discrète :

• Avantages :– Facile à implémenter– Adapté aux problèmes d’évolution

• Inconvénients :– Difficultés « numériques »

ihxi =)()( ihuxuu ii ==

{ }

ii

iiiii

AXX

huuuh

uuMi

=⇒

+=⇔=−−

−∈∀

+

++

1

11 )1(0,1..0 ττ

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Méthodes de discrétisationVolumes finis (FVM : Finite Volume Method)

• Approximation d’intégrales• Adaptée aux lois conservatives• Méthode conservative : les flux sont préservés entre chaque

éléments du maillage• Adaptable sur n’importe quel maillage

Très utilisé en mécanique des fluides

Méthodes spectrales• Projection de la solution sur une base polynomiales (série de

Fourrier, polynômes de Tchebychev)• Pas d’approximation dans la discrétisation• Très efficace pour la résolution de problèmes aux valeurs propres

Utilisé en calcul de stabilité

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Méthodes de discrétisationMéthodes des éléments frontières (BEM : Boundary Element Method)

• Discrétisation uniquement sur les frontières du domaine

• Systèmes linéaires plus petit• Moins de ressources informatiques• Calculs plus efficients• Maillage plus facile

• Méthode en essor en CAA

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Méthodes de résolutionBut : inversion de matrice, calcul d’éléments propres, calcul optimisé de produits matrices-vecteurs

• Factorisation (LU, QZ,…)• Projection (Krilov, Arnoldi,...)• Itérative (Newton,…)

Solution obtenue : valeur des inconnues en chaque point du maillage

En aéroacoustique on ne s’arrête pas là…… il faut encore calculer le bruit rayonné

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Calcul des perturbations aéroacoustiquesApproche directe (DNS)Approche hybride/couplée

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Simulation Numérique Directe(DNS : Direct Numerical Simulation)

Résolution directe des équations de Navier-StokesToutes les échelles sont résolues numériquement

Problèmes posés :• Précision numérique• Conditions initiales et aux limites• Coût de calcul exorbitant

Exemples : canal plan de hauteur H, de nombre de Reynolds ~ 230 000• 2,1.109 points de maillage• 114 000 pas de temps• Kim et al. (1987) : Re ~ 6 000 250 heures de calcul (Cray X/MP)

Conséquences :• Nombreuses configurations incalculables

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Simulation des Grandes Echelles(LES : Large Eddy Simulation)

Simulation des grands tourbillons et modélisation des petites échellesCalcul instationnaireUtilisation d’un modèle de sous maille (SGS, Smagorinski)

Avantages :• Résolution spatiale nécessaire moindre• Temps de calcul accessibles par rapport aux DNS• Plus grand nombre de cas de calculs accessibles

Utilisation fréquente en aéroacoustique

Exemple : Re ~ 230 000• 1,0.108 points de maillage• 3 heures de calcul sur un PC (1998)

Inconvénients :• Pas de modèles vraiment satisfaisants• Pas adapté près des parois DES

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Equations de Navier Stokes Moyennées(RANS : Reynolds Averaged Navier Stokes)

Équations de Navier Stokes moyennéesSimplification des équations

Modélisation de la turbulence dans son intégralité

Avantages :• Coût de calcul très réduit• Pas de limitations sur le nombre de Reynolds

Inconvénients :• Introduction d’un tenseur des contraintes visqueuses

(tenseur de Reynolds)• Nécessité de rajouter un modèle pour fermer le système

(spalart-almaras, k-epsilon k-omega)• Calcul instationnaire URANS

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Discrétisation et simulationDiscrétisation et simulationÉquations d’Euler Linéarisées (LEE : Linearized Euler Equations)

Valable pour un écoulement faiblement turbulentEn acoustique les effets visqueux peuvent être négligésUtilisation fréquente en acoustique pour le calcul de la propagation des perturbations acoustiques

Avantages :• Système linéaire meilleur conditionnement des matrices• Calcul instationnaire• Pas de modèle à ajouter• Coût calcul faible

Comparaison des coûts calculDNS > LES > URANS > RANS > LEE

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Calcul CFD Sources aéroacoustiques

Rayonnement acoustiqueChamp proche : LEEChamp lointain : BEM, Méthodes intégrales

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PlanPlan

Introduction



Exemples

Conclusion

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ExemplesExemples

Mailleurs :GambitGridgen

Code de calculsFluent (ANSYS)ACTRAN (FFT)elsA, sAbrinA (ONERA)

LangagesFortran 77/90 (BLAS et LAPACK)C/C++PythonMPI (parallélisation)

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Bruit de jet (Vuillot et al. 2004 ICSV 11)Calcul du bruit d’un jet supersonique (Seiner & Ponton DGLR/AIAA 92-02-046)

• D ~ 92 mm, Vitesse du jet ~ 1120 m/s, Température ~ 1370 K

Maillage

• Raffinement dans le sillage et juste derrière le jet• ~ 2 millions de points après rotation sur 61 plans azimutaux• Surfaces d’intégration (en rouge et jaune)

ExemplesExemples

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Bruit de jet (Vuillot et al. 2004, ICSV 11)Calcul LES

• Distribution du calcul sur 5 domaines (parallélisation)• Calcul sur quelques centaines de pas de temps (D/U)

20 heures de calcul sur NEC SX5• Champ moyen de température

ExemplesExemples

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Bruit de jet (Vuillot et al. 2004, ICSV 11)Champ de vitesse

Champ de pression

ExemplesExemples

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Bruit de jet (Vuillot et al. 2004, ICSV 11)Directivité

• Calcul par FW-H (ONERA KIM)• Légers écarts entre XP et calcul• Tendances en accord

ExemplesExemples

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ExemplesExemples

Bruit de bec

Calcul RANS Mesures

500 000 points, 3h30 sur le calculateur NEC SX5Lâcher de tourbillons dans le sillagedu bord de fuiteTourbillon central instationnaire

Bruit large bandeBruit de raie

(Source :Khorrami2003)

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Bruit de bec

ExemplesExemples

(Source :Khorrami2003)

(Source :DSN

A)

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PlanPlan

Introduction



Exemples

Conclusion

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ConclusionConclusion

Discipline au carrefour de plusieurs domaines :AérodynamiqueAcoustiqueAnalyse numérique

Progrès importants réalisés ces dernières années grâce aux avancées en calcul CFD

Développement d’approches ouvrant de nouveaux champs de recherches inaccessibles auparavant

Conjointement à l’expérimentation et à la théoriemeilleure compréhension des phénomènes aéroacoustiques

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PerspectivesPerspectives

Acoustique de GalbrunReprésentation mixte Eulérien-Lagrangien des perturbations aéroacoustiquesElimination des grandeurs de pression et de masse volumique au profit d’une seule variable : le déplacementAvantages :

• Définition exacte d’un flux d’énergie valable en écoulement quelconqueInconvénients :

• Échec au niveau numérique

Méthode « Galerkin discontinu »Hérite des avantages des méthodes « éléments finis »Fournit des résultats mathématiques extrêmement intéressants (convergence, ordre, stabilité, etc)Donne de bons résultats

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RéférencesRéférences

AéracoustiqueMarvin E. Goldstein, « Aeroacoutics », McGraw-Hill International Book Company, New York (1976).S. Lewy : Fondements de l’acoustique et de l’aéroacoustique, Hermes (2000)M.J. Lighthill, « On Sound Generated aerodynamically », Proceedings of the Royal Society, London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. Vol. 211, n° 1148 (20 mars 1952), pp. 564-587.J.E. Ffowcs Williams, D.L. Hawkings, « Sound generated by turbulence and surface in arbitrary motion », Philisopical Transactions of the Royal Society of London. Series A, vol. 264, n° 1151 (8 mai 1969), pp. 321-342.

Analyse numériqueAnderson D.A., Tannehill J.C., Pletcher R.H., « Computational fluid mechanics and heat transfer », McGraw-Hill (1984)Ferziger J.H., Peric M., «Computational methods for fluid dynamics », SPRINGER VERLAG (1996)

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