利潤最大化：1変数

経済数学

神戸大学　経済学部

2016年　後期

目次

▶ 利潤最大化問題 (1)：完全競争市場▶ 限界生産力原理▶ 生産技術の推計▶ 利潤最大化の検証

▶ 利潤最大化問題 (2)：独占市場▶ 独占企業

利潤最大化：完全競争市場

▶ 生産関数：y = f(x)

▶ y：生産量▶ x：要素投入量

▶ 価格体系▶ 生産物価格：p

▶ 生産要素価格：w

▶ 利潤：π = py − wx = pf(x)− wx

▶ πは xの関数 ⇒ π(x)と表記

▶ 利潤最大化問題max π(x)

▶ 1階条件

π′(x∗) = pf ′(x∗)− w = 0 ⇐⇒ f ′(x∗) =w

p

限界生産力原理� �利潤が最大化されているとき，生産者の限界生産性は実質要素価格と等しい．� �

▶ π′′(x) = pf ′′(x)より

π(x)が凹関数 ⇐⇒ f(x)が凹関数▶ f(x)が凹関数 ⇐⇒ f ′(x)は非増加関数

⇐⇒ 「限界生産性非逓増」▶ 限界生産性が逓減するとき，限界生産力原理は利潤最大化のための必要十分条件

Example

生産関数が y =√xのとき

y′ =1

2√x, y′′ = − 1

4x√x< 0

限界生産力原理（1階条件）より

1

2√x=

w

p⇐⇒ x =

( p

2w

)2

これを生産関数に代入すると

y =p

2w

発展問題f ′(x) > 0, f ′′(x) < 0であるとき，供給関数は pに関して増加関数であることを示せ．

理論とデータの整合性

▶ 価格と行動：{(p, w), (x, y)} =⇒ 観察可能▶ 生産技術：y = f(x) =⇒ 観察不可能▶ 観察可能なものから，観察不可能なものを推計

問題価格と生産者行動のデータ（の一部）

{(p(1), w(1)), (x(1), y(1))}, . . . , {(p(n), w(n)), (x(n), y(n))}

から，生産者の生産技術

y = f(x)

を推計せよ

パラメトリックな方法

� �1. 関数形を仮定

y = Axα (A > 0, 0 < α < 1)

2. データからA,αを推計� �

xと yが観察可能な場合

▶ 生産関数の両辺の対数をとる

log y = logA+ α log x

▶ X = log x, Y = log y, β0 = logA, β1 = αとおく．

Y = β0 + β1X + ϵ (ϵ :誤差項)

=⇒ 回帰分析

xが観察不可能な場合

▶ 供給関数を推計する

y =

(w

pαA

) αα−1

▶ 両辺の対数をとって整理する

log y = log

(1

αA

) αα−1

+α

α− 1log

(w

p

)▶ 回帰式

Y = β0 + β1X + ϵ (ϵ :誤差項)

ノンパラメトリックな方法

▶ 関数形を限定しない▶ 生産関数の推計（復元）

▶ （データ）＋（利潤最大化行動）

▶ 利潤最大化行動の検証▶ データと理論の整合性

利潤最大化テスト（WARP）

データ

{(p(1), w(1)), (x(1), y(1))}, . . . , {(p(n), w(n)), (x(n), y(n))}

が利潤最大化行動と整合的であるとは，どんな i, jについても

p(i)y(i) − w(i)x(i) ≧ p(i)y(j) − w(i)x(j)

が成り立つ場合をいう．

WARPを満たす

WARPを満たさない (1)

WARPを満たさない (2)

Varian(1984)

観察データ

{(p(1), w(1)), (x(1), y(1))}, . . . , {(p(n), w(n)), (x(n), y(n))} (＊)

を所与としたとき，以下は同値．

1. （＊）はWARPを満たす．

2. （＊）と整合的な生産技術（生産関数）が存在する．

利潤最大化：独占市場

▶ 市場需要曲線：p = F (x)

▶ p：市場価格▶ x：総需要量

▶ c(y)：独占企業の費用関数▶ y：生産量（=供給量）

▶ 独占企業の利潤

π(y) = py − c(y) = F (y)y − c(y)

▶ 利潤最大化問題max π(y)

▶ 1階条件

π′(y) = F ′(y)y + F (y)− c′(y) = 0

⇐⇒ F ′(y)y + F (y) = c′(y)

独占利潤最大化� �独占企業の利潤が最大化されているとき，限界収入と限界費用と等しい．� �

Example

▶ 市場需要曲線：p = −ax+ b (a, b > 0)

▶ 費用関数：c(y) = cy2 (c > 0)

▶ 独占企業の利潤

π(y) = (−ay + b)y − cy2 = −(a+ c)y2 + by

▶ 1階条件

π′(y) = 0 ⇐⇒ y =b

2(a+ c)

練習問題ある市場の需要曲線が p = 20− 2

√xであるとする．この市

場は独占市場で，独占企業の費用関数を c = 5yとする．

1. 独占企業の利潤 π(y)は凹関数であることを示せ．

2. π(y)を最大にする yの値を求めよ．