МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

“ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторным работам

«Решение систем линейных и нелинейных уравнений установившего-

ся режима электроэнергетической системы средствами MS EXCEL»

по курсу «Математические задачи энергетики»

для студентов специальностей

6.05070101 – «Электрические станции»,

6.05070108 – «Энергетический менеджмент»

Утверждено

редакционно-издательским

советом университета,

протокол № 1 от 03.02.16 г.

Харьков

НТУ «ХПИ»

2016

Методические указания к лабораторному практикуму «Решение систем

линейных и нелинейных уравнений установившегося режима электро-

энергетической системы средствами MS EXCEL» по курсу «Математиче-

ские задачи энергетики» для студентов специальностей 6.05070101 –

«Электрические станции» и 6.05070108 – «Энергетический менеджмент»

электроэнергетического факультета / сост. Л. И. Лысенко. – Х. : НТУ

«ХПИ», 2016. - 112 с.

Составитель Л. И. Лысенко

Рецензент К. В. Махотило

Кафедра электрических станций

3

ВВЕДЕНИЕ

Установившиеся режимы работы электроэнергетической системы

описываются линейными и нелинейными алгебраическими уравнениями

и, следовательно, задачи расчета параметров этих режимов сводятся к ре-

шению систем линейных и нелинейными уравнений.

При вычислениях используются методы, в которых применяются

элементы матричной алгебры и теории графов. Электронные таблицы

Microsoft Excel предоставляют большие возможности для проведения до-

вольно точных расчетов установившихся режимов сложных систем. До-

ступность этого программного продукта определяет его широкое приме-

нение в инженерной практике.

Будущий специалист должен уметь пользоваться программным

обеспечением современных персональных компьютеров для решения

профессиональных задач.

В данных методических указаниях рассмотрены основные методы

решения систем линейных и нелинейных уравнений, описывающих уста-

новившийся режим работы электроэнергетической системы, и рассмотре-

ны приемы их решения средствами табличного редактора MS Excel.

4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL

1.1. Представление системы линейных уравнений в матрич-

ном виде

Система (1.1) вида

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

, (1.1)

называется системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n

неизвестными. Коэффициенты при неизвестных, числа aij (i = 1, 2,…, n;

j = 1, 2,…, n), называются коэффициентами системы, числа bi (i = 1, 2,…,

n) в правой части уравнений – свободными членами. Целое число n назы-

вается размерностью системы. Форма записи (1.1) алгебраической линей-

ной системы называется нормальной. Решением СЛАУ (1.1) называется

совокупность чисел xi (i = 1, 2,…, n), при подстановке которых в систему

каждое из ее уравнений обращается в тождество.

Систему (1.1) можно записать в матричной форме

A X = B, (1.2)

где A – матрица коэффициентов при неизвестных (матрица системы):

1111

22221

11211

nnnn

n

n

aaaa

aaa

aaa

A

; (1.3)

X - вектор-столбец неизвестных:

5

nx

x

x

X

2

1

; (1.4)

или X = (x1, x2, …, xn)T

;

B - вектор-столбец свободных членов:

nb

b

b

B

2

1

, (1.5)

или B = (b1, b2,..., bn)T.

В развернутом виде система (1.2) записывается в виде матриц:

.2

1

2

1

21

22221

11211

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

(1.6)

Система уравнений (1.6) называется совместной, если она имеет

хотя бы одно решение, и несовместной, если решения нет. Совместная

система (1.6) называется определенной, если она имеет единственное ре-

шение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

1.2. Табличные формулы и операции с матрицами

Табличные формулы или формулы массива – вычислительное

средство MS Excel, позволяющее работать с блоками рабочего листа как с

отдельными ячейками. Табличные формулы в качестве результата воз-

вращают массив значений. Перед вводом такой формулы необходимо вы-

делить диапазон ячеек, куда будут помещены результаты. После этого

набирается сама формула. Ввод ее в выделенный диапазон ячеек осу-

ществляется одновременным нажатием трех клавиш: Ctrl + Shift + Enter.

6

Формула вводится во все ячейки выделенного интервала. При ак-

тивизации любой ячейки из интервала, содержащего формулу массива, в

строке формул отображается введенная формула, заключенная в фигурные

скобки, которые являются признаком табличной формулы. Для выделения

всего блока, содержащего табличную формулу, необходимо выделить од-

ну из его ячеек, после чего нажать комбинацию клавиш Ctrl+/. Содержи-

мое одной ячейки из интервала с табличной формулой изменить невоз-

можно. Редактируется целиком весь блок, при этом он должен быть пред-

варительно выделен.

Простейшими операциями с матрицами (массивами данных) яв-

ляются следующие:

– сложение и вычитание матриц;

– умножение и деление матрицы на число;

– перемножение матриц;

– транспонирование;

– вычисление обратной матрицы.

В MS Excel арифметические операции: умножение и деление мат-

рицы на число, сложение и вычитание матриц, – могут выполняться с по-

мощью обычных формул, записанных в строке формул. Элементами этих

формул являются выделенные группы ячеек, а результат вводится в выде-

ленный диапазон с помощью комбинации клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Для остальных матричных операций в MS Excel предусмотрены

табличные функции:

– МОПРЕД(матрица) – вычисление определителя матрицы;

– МОБР(матрица) – вычисление обратной матрицы;

– МУМНОЖ(матрица1;матрица2) – произведение матриц;

– ТРАНСП(матрица) – транспонирование матрицы.

Эти функции задаются в MS Excel с помощью режима «Вставка

функций», который вызывается из меню «Формулы» или нажатии кноп-

ки «fx» на стандартной панели инструментов.

Функция МОПРЕД в качестве результата возвращает число

(определитель матрицы), поэтому вводится как формула с обычными чис-

лами (клавишей Enter).

7

Функции МОБР, МУМНОЖ и ТРАНСП возвращают блок яче-

ек, поэтому должны вводиться как табличные формулы (сочетанием кла-

виш Ctrl + Shift + Enter).

1.2.1. Сложение матриц

Рассмотрим сложение двух матриц размером 3 3:

914

723

851

1M ,

183

205

346

2M ,

183

205

346

914

723

851

M

Для выполнения сложения:

– разместите в ячейках A1:C3 элементы матрицы M1 (9 элемен-

тов), в ячейках E1:G3 – элементы матрицы M2;

– выделите ячейки A5:C7, в которые будет записываться резуль-

тат (рис. 1.1);

Рисунок 1.1 - Выделение ячеек для ввода матрицы суммы M

– введите в ячейки A5:C7 формулу = A1:C3 + E1:G3, не снимая

выделения, и нажмите комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter (рис. 1.2).

Рисунок 1.2 – Ввод формулы = A1:C3 + E1:G3 в выделенные ячейки

8

В ячейках A5:C7 отобразится результат – сумма соответствую-

щих элементов матриц, а в строке формул появится выражение

{=A1:C3+E1:G3} (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 – Результат сложения двух матриц

Символ двоеточия : означает, что в формуле будут использованы

все ячейки, расположенные между ячейками, указанными слева и справа

от двоеточия (например, запись А1:С3 указывает на ячейки А1, А2, А3,

В1, В2, В3, С1, С2, С3).

1.2.2. Умножение матриц на число

Умножим первую матрицу на число 2. Для выполнения умноже-

ния необходимо:

– поместите курсор в диапазон A5:C7 и выделите его нажатием

комбинации Ctrl+/;

– измените появившуюся в строке формул введенную ранее фор-

мулу (см. рис. 1.3) на выражение =A1:C3*2 и введите его одновременным

нажатием клавиш Ctrl+Shift+Enter (рис. 1.4).

Рисунок 1.4 – Выполнение операции умножения матрицы М1 на число 2

В ячейках A5:C7 появится результат умножения, а в строке фор-

мул – табличная формула {=A1:C3*2} (рис. 1.5).

9

Рисунок 1.5 - Результат умножения матрицы М1 на число 2

1.2.3. Нахождение определителя матрицы

Вычислим определитель матрицы М1. Для этого необходимо вос-

пользоваться функцией МОПРЕД. Процедура вычисления следующая:

– поместите курсор в ячейку D4, в которую будет записываться

результат;

– вызовите окно «Мастер функций – шаг 1 из 2» нажатием

кнопки «xf»;

– выберите категорию «Математические» в окне «Категория»;

– выберите функцию МОПРЕД в окне «Функция» (рис. 1.6);

Рисунок 1.6 - Окно «Мастер функций – шаг 1 из 2»

10

– введите выражение А1:С3 в строку «Массив» в появившемся

окне «Аргументы функции МОПРЕД» и нажмите клавишу ОК

(рис. 1.7). Адреса ячеек во все диалоговые окна удобно вводить не с кла-

виатуры, а протаскивая мышь по ячейкам, чьи адреса следует ввести.

Рисунок 1.7 – Ввод выражения А1:С3 в окно «Аргументы функции

МОПРЕД»

В ячейке D4 появится значение определителя матрицы M1, вы-

численное с помощью функции МОПРЕД, то есть –24 (рис. 1.8)

Рисунок 1.8 – Результат нахождения определителя матрицы М1

1.3. Группировка рабочих листов

Если возникает необходимость использовать исходные данные

системы алгебраических уравнений неоднократно, можно воспользоваться

11

инструментом MS Excel, который называется «Группировка рабочих

листов».

Для того, чтобы применить средство «Группа», необходимо вы-

делить группируемые рабочие листы, щелкнув первый рабочий лист

(Лист1), на котором будут вводиться данные, а затем, удерживая клавишу

Ctrl, щелкнуть ярлычок следующего листа (Лист2), куда одновременно

должны вводиться те же самые данные. Если необходимо сгруппировать

несколько листов и группируемые рабочие листы расположены подряд,

нужно при выделенном первом листе (Лист1) щелкнуть, удерживая нажа-

той клавишу Shift, на ярлычке последнего листа.

После этого можно вводить данные на текущем рабочем листе,

при этом они автоматически появятся в одноименных ячейках на всех

остальных сгруппированных листах.

После ввода данных группировку необходимо отменить, для чего

нужно щелкнуть правой кнопкой мыши на любом ярлычке листа из груп-

пы и выполнить команду «Разгруппировать листы».

1.4. Матричный способ решения СЛАУ

Матричный способ решения СЛАУ (1.1) относится к точным ме-

тодам нахождения неизвестных системы уравнений.

Суть метода заключается в следующем. Обе части матричного ра-

венства (1.2) умножаются слева на обратную матрицу А–1

:

A–1

A X = A–1

B. (1.7)

Т.к. A–1

A = 1, где 1 – единичная матрица (диагональная матри-

ца, у которой по главной диагонали расположены единицы), решение си-

стемы (1.2) запишется в следующем виде:

X = A–1

B. (1.8)

Таким образом, для решения системы (1.2) (вычисления вектора-

столбца X (1.4)) необходимо найти для матрицы системы A (1.3) обратную

12

матрицу A–1

и умножить ее слева на вектор-столбец свободных членов B

(1.5).

Самой трудоемкой операцией в этом методе является нахождение

обратной матрицы, однако возможности электронных таблиц MS Excel

сделали матричный способ решения СЛАУ простым и быстрым.

1.5. Пример решения СЛАУ матричным способом

Рассмотрим задачу решения СЛАУ методом обратной матрицы на

следующем примере:

.18842

,481022

,24828

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(1.9)

Рассматриваемая СЛАУ состоит из трех алгебраических уравне-

ний с тремя неизвестными. Следовательно, размерность системы (1.9)

n = 3.

Матрица системы A (1.3) размерностью 3 3 имеет вид

,

842

1022

828

A (1.10)

вектор-столбец свободных членов (1.5) B = (–24, –48, 18)T.

СЛАУ (1.9) будет рассматриваться в качестве примера при изуче-

нии различных методов решения систем линейных уравнений в среде MS

Excel, поэтому следует создать рабочую книгу из нескольких листов. Для

рассматриваемой СЛАУ сгруппируем листы (Лист1:Лист3) и создадим

экранную форму, разместив поясняющие тексты и введя исходные данные

(рис. 1.9).

После группировки все рабочие листы принимают одинаковый

вид. Затем их необходимо разгруппировать, чтобы можно было на каждом

листе применять свой метод решения.

13

Рисунок 1.9 –Экранная форма записи СЛАУ (1.9) на трех листах

Для решения рассматриваемой СЛАУ матричным способом при-

меняются функции МОБР и МУМНОЖ. Для этого:

– введите в ячейки D8:F10 табличную формулу =МОБР(C3:E5) и

найдите обратную матрицу А–1

, используя для ввода комбинацию

Ctrl + Shift + Enter (рис. 1.10);

– введите в ячейки B8:B10 формулу =МУМНОЖ(D8:F10;G3:G5)

и получите значения искомых неизвестных (рис. 1.11).

Рисунок 1.10 – Нахождение обратной матрицы

14

Рисунок 1.11 – Найденное решение СЛАУ (1.9)

1.6. Задание

В соответствии с номером варианта выберите систему линейных

алгебраических уравнений четвертого (n = 4) порядка (табл. 1.1).

Приведите выбранную СЛАУ к виду (1.1) и решите ее матричным

способом.

Таблица 1.1 – Варианты систем линейных алгебраических

уравнений

№ варианта Система линейных алгебраических уравнений

1 2

1

.068864

,0146446

,02642

,018648

4321

4321

431

321

xxxx

xxxx

xxx

xxx

2

.0364862

,0684210

,0242246

,034228

4321

421

4321

421

xxxx

xxx

xxxx

xxx

15

Продолжение таблицы 1.1

1 2

3

.0246102

,044248

,0201010

,034446

4321

421

31

431

xxxx

xxx

xx

xxx

4

.024210410

,06882

,014242

,032228

4321

321

431

321

xxxx

xxx

xxx

xxx

5

.078812106

,0601062

,0342486

,016462

4321

432

4321

321

xxxx

xxx

xxxx

xxx

6

.0601048

,0194

,036101046

,04641026

432

43

4321

4321

xxx

xx

xxxx

xxxx

7

.04224

,01210224

,042821010

,02686

321

4321

4321

431

xxx

xxxx

xxxx

xxx

8

.0222

,0662

,01828104

,0186464

43

432

4321

4321

xx

xxx

xxxx

xxxx

16


1 2

9

.022628

,08822

,026628

,0128444

432

4321

432

4321

xxx

xxxx

xxx

xxxx

10

.042426

,0201048

,06864

,028682

4321

421

432

321

xxxx

xxx

xxx

xxx

11

.030868

,028824

,0186626

,04484

432

4321

4321

431

xxx

xxxx

xxxx

xxx

12

.0644410

,0361010104

,030868

,04222

4321

4321

432

421

xxxx

xxxx

xxx

xxx

13

.0164464

,02810262

,0242626

,0201010

4321

4321

4321

41

xxxx

xxxx

xxxx

xx

14

.03221311

,0759

,014574

,03110599

432

321

321

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

17


1 2

15

.0104117

,013573

,06439

,033875

432

321

432

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

16

.0123116

,0753

,02810358

,0545113

321

321

4321

4321

xxx

xxx

xxxx

xxxx

17

.0384135

,056553

,062396

,05181175

432

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

18

.01467710

,0518999

,06495

,07437

4321

4321

432

4321

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

19

.0101035

,0159

,06653

,011437

432

321

432

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

20

.01421112

,0151035

,06697

,091213113

4321

4321

432

4321

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

18


1 2

21

.04354

,012137

,04334

,014113

4321

4321

321

4321

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

22

.014211512

,091273

,075

,016575

4321

4321

32

4321

xxxx

xxxx

xx

xxxx

23

.0443

,07611

,0128374

,072535

432

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

24

.01623314

,01233

,02392

,09559

4321

4321

4321

321

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

25

.012493

,06633

,014859

,02233

432

4321

432

4321

xxx

xxxx

xxx

xxxx

26

.087

,0164797

,048956

,0164793

32

4321

4321

4321

xx

xxxx

xxxx

xxxx

19


1 2

27

.0810354

,0212537

,0627

,06259

4321

4321

432

4321

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

28

.012875

,08277

,028572

,02833

432

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

29

.02119

,06121153

,081132

,0445

32

4321

321

4321

xx

xxxx

xxx

xxxx

30

.01045512

,02535

,0894

,016879

4321

321

321

4321

xxxx

xxx

xxx

xxxx

20


РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ГАУССА С ОБРАТНЫМ ХОДОМ

2.1. Метод Гаусса с обратным ходом

Метод Гаусса является одним из наиболее распространенных ме-

тодов решения системы линейных алгебраических уравнений (2.1):

.

,

,

,

332211

22323222121

11313212111

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

(2.1)

В его основе лежит идея последовательного исключения неиз-

вестных. При этом важно, чтобы в матрице системы А (см. формулу (1.3))

не было нулевых диагональных элементов. Если нулевые диагональные

элементы имеются, то производится соответствующая перестановка урав-

нений системы и, соответственно, проводятся изменения в матрице А.

Метод Гаусса заключается в следующем.

2.1.1. Прямой ход

Шаг 1. Из всех уравнений, кроме первого, исключаются члены,

содержащие х1. Для этого из второго, третьего, …, n-го уравнений систе-

мы (2.1) почленно, включая правые части, вычитается первое уравнение,

деленное на а11 и умноженное, соответственно, на а21, а31, …, аn1. В ре-

зультате порядок всех уравнений, кроме первого, снижается на единицу:

.0

,

,0

,

)1()1(3

)1(32

)1(2

)1(2

)1(23

)1(232

)1(22

)1(1

)1(13

)1(132

)1(121

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxax

, (2.2)

21

где 11

1)1(1

a

aa

j

j , j = 2, …, n, – коэффициенты первого уравнения систе-

мы (2.2);

111

1)1(i

j

ijij aa

aaa , i, j = 2, …, n, – коэффициенты второго и после-

дующих уравнений системы (2.2);

11

1)1(1

a

bb - свободный член первого уравнения системы (2.2);

111

1)1(iii a

a

bbb , i = 2, …, n, – свободные члены второго и после-

дующих уравнений системы (2.2).

Шаг 2. Вновь полученное второе уравнение делится на )1(

22a и ана-

логичным способом из всех уравнений, начиная с третьего уравнения, ис-

ключаются все элементы, содержащие х2:

.00

,

00

,0

,

)2()2(3

)2(3

)2(2

)2(23

)2(23

)2(2

)2(23

)2(232

)1(1

)1(13

)1(132

)1(121

nnnnn

nn

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxax

bxaxaxax

, (2.3)

где )1(

22

)1(2)2(

2a

aa

j

j , j = 3, …, n, – коэффициенты второго уравнения системы

(2.3);

)1(2)1(

22

)1(2)1()2(

i

j

ijij aa

aaa , i, j = 3, …, n, – коэффициенты третьего и по-

следующих уравнений системы (2.3);

22

)1(22

)1(2)2(

2a

bb – свободный член второго уравнения системы (2.3);

)1(2)1(

22

)1(2)1()2(

iii aa

bbb , i = 3, …, n, – свободные члены третьего и

последующих уравнений системы (2.3).

Шаг n. Эту процедура повторяется n шагов, каждый раз исключая

неизвестные из нижерасположенных уравнений. В результате получается

ступенчатая треугольная система уравнений (2.4), эквивалентная первона-

чальной (2.1), последнее уравнение которой содержит только одну неиз-

вестную:

....000

........,..................................................

00

,0

,

)(

)3(3

)3(33

)2(2

)2(23

)2(232

)1(1

)1(13

)1(132

)1(121

nnn

nn

nn

nn

bx

bxax

bxaxax

bxaxaxax

(2.4)

2.1.2. Обратный ход

Решение ступенчатой системы уравнений (2.4) осуществляется

путем последовательного вычисления неизвестных, начиная с последнего

уравнения:

).(

.......,..............................

),...(

........,..........

,

)1(11

)1(113

)1(132

)1(12

)1(11

)3(31

)3(134

)3(34

)3(33

)(

nnnn

nnnn

nnn

xaxaxaxabx

xaxaxabx

bx

(2.5)

23

2.2. Пример решения СЛАУ методом Гаусса с обратным ходом

Решим систему уравнений (1.9) (см лаб. 1) методом Гаусса. Для

удобства работы с этой системой запишем ее еще раз:

.18842

,481022

,24828

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(2.6)

Экранная форма записи этой СЛАУ показана на рис. 2.1

Рисунок 2.1 – Экранная форма записи СЛАУ (2.6)

Вычисления выполняются в следующей последовательности.

На первом шаге в исходной системе уравнений первое уравнение

делиться на коэффициент при первом неизвестном (а11 = 8) и далее первое

неизвестное х1 исключается из второго и последующих уравнений. Это

осуществляется путем последовательного умножения полученного перво-

го уравнения на соответствующие коэффициенты при первом неизвестном

в остальных уравнениях системы (а21 = –2 и а31 = –2) и вычитания его из

этих уравнений.

Процедура первого шага прямого хода следующая:

– поместите курсор в ячейку С8 и в строке формул запишите

формулу =С$3/$С$3;

– скопируйте содержимое ячейки С8 в ячейки D8-F8, в которые

переносится первое уравнение (в полученном первом уравнении коэффи-

циент при первом неизвестном равен 1);

– перейдите в ячейку C9 и запишите выражение

=C4–ПРОИЗВЕД(C$8;$C4);

24

– скопируйте содержимое ячейки C9 в ячейки D9-F9, C10-F10, в

которые переносятся, соответственно, второе и третье уравнения исход-

ной системы с исключенным первым неизвестным (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 – Вид системы (2.6) после первого шага вычислений

Функция ПРОИЗВЕД задается с помощью режима «Вставка

функций». В появившемся окне «Мастер функций – шаг 1 из 2» необхо-

димо в поле «Категория» выбрать категорию «Математические», а в

поле «Функция» – функцию ПРОИЗВЕД. Адреса ячеек во все диалого-

вые окна удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по ячей-

кам, чьи адреса следует ввести.

В зависимости от выполняемых задач в MS Excel можно исполь-

зовать относительные ссылки, определяющие положение ячейки относи-

тельно положения ячейки формулы, или абсолютные ссылки, которые

всегда указывают на конкретные ячейки. Относительные ссылки автома-

тически корректируются при их копировании, а абсолютные ссылки - нет.

Если перед буквой или номером стоит знак доллара $, например,

$C$3, то ссылка на столбец или строку является абсолютной. Т.е. символ $

перед номером строки 3 означает, что при копировании формулы

=С$3/$С$3 в другие места листа MS Excel номер строки 3 не изменится.

Чтобы поставить символ $ перед буквой или номером (например, C$3),

нужно поставить курсор перед соответствующим символом в названии

ячейки (цифрой 3) и нажать комбинацию клавиш Shift + 4. Чтобы ввести

25

абсолютную ссылку, т.е. поставить символ $ перед буквой и номером

(например, $C$3), достаточно нажать клавишу F4.

На втором шаге процедура повторяется для исключения второго

неизвестного из третьего и последующих уравнений. Для этого:

– поместите курсор в ячейку D13 и в строке формул запишите вы-

ражение =D$9/$D$9;

– скопируйте содержимое ячейки D13 в ячейки E13:F13, в кото-

рые переносится второе уравнение;

– перейдите в ячейку D14 и запишите выражение

=D10-ПРОИЗВЕД(D$13;$D10);

– скопируйте содержимое ячейки D14 в ячейки E14:F14, в кото-

рые переносится третье уравнение системы с исключенным первым и вто-

рым неизвестными (рис. 2.3).

Рисунок 2.3 – Вид системы (2.6) после второго шага вычислений

Третий шаг выполняется аналогично. Количество шагов равно

числу неизвестных, в случае системы (2.6) – три неизвестных, следова-

тельно, три шага. В результате на последнем шаге полученное уравнение

определяет последнее неизвестное (рис. 2.4).

На этапе обратного хода определяются искомые неизвестные в

обратном порядке (от последнего к первому). Для этого:

26

Рисунок 2.4 – Система уравнений (2.6) после выполнения третьего шага

– поместите курсор в ячейку E20 и в строке формул запишите

формулу =$F$17;

– перейдите в ячейку D20 и в строке формул запишите выражение

=$F$13–$E$13*$E$20 или =$F$13–СУММПРОИЗВ($E$13;$E$20);

– перейдите в ячейку C20 и в строке формул запишите выражение

=$F$8–$D$8*$D$20-$E$8*$E$20 или

=$F$8–СУММПРОИЗВ($D$8:$E$8;$D$20:$E$20).

Функция СУММПРОИЗВ задается с помощью режима «Вставка

функций», категория «Математические». Для формулы в ячейке C20 в

окне «СУММПРОИЗВ» в строку «Массив 1» вводятся ячейки

$D$8:$E$8, а в строку «Массив 2» – ячейки $D$20:$E$20.

На рис. 2.5 представлена экранная форма решения системы ли-

нейных уравнений (2.6) методом Гаусса.

Как видно из рисунка, решение СЛАУ (2.6), полученное методом

Гаусса, совпадает с решением, найденным матричным способом (см.

рис. 1.11).

27

Рисунок 2.5 – Ход решения системы линейных уравнений (2.6)

методом Гаусса

Можно защитить ячейки созданных таблиц от несанкционирован-

ного изменения и скрыть используемые формулы. Для этого на названии

рабочего листа (Лист 2) щелкнуть правой клавишей мыши и выбрать ко-

манду Защитить лист. Перед этим необходимо снять защиту с ячеек, со-

держащих исходные данные (С3:E5 – элементы матрицы A и F3:F5 – эле-

менты вектора B): выделить эти ячейки, щелкнуть правой клавишей и вы-

брать из раскрывающегося списка команду Формат ячеек, вкладку За-

щита и сбросить флажок Защищаемая ячейка. Для ячеек, содержащих

формулы, на этой вкладке нужно установить флажок Скрыть формулы.

2.3. Задание

В соответствии с номером варианта выберите из табл. 1.1 (см.

лаб. 1) систему линейных алгебраических уравнений. Разработайте табли-

цы MS Excel для решения выбранной СЛАУ методом Гаусса.

28


РЕШЕНИЕ СЛАУ С ПОМОЩЬЮ НАДСТРОЙКИ «ПОИСК

РЕШЕНИЯ» MS EXCEL

3.1. Порядок использования надстройки «Поиск решения» для

решения системы линейных алгебраических уравнений

Задачу решения СЛАУ можно выполнить с помощью надстройки

MS Excel, которая называется «Поиск решения (Solver)»:

Надстройка «Поиск решения» устанавливается через меню

«Файл Параметры Надстройки Перейти». В окне «Доступные

надстройки» необходимо установить флажок в поле Поиск решения

(рис. 3.1). Далее Поиск решения доступен через меню «Данные».

Рисунок 3.1 – Установка надстройки «Поиск решения»

Задачи, которые можно решать с помощью надстройки «Поиск

решения», называются оптимизационными и в общей постановке форму-

лируются следующим образом:

Найти значения аргументов х1, х2, …, хn, доставляющих функции

F(х1, х2, …, хn), которую называют целевой, минимальное, максимальное

29

или фиксированное значение (F(х1, х2, …, хn) → {Max; Min; = Value}) при

наличии каких-либо дополнительных ограничений G(х1, х2, …, хn), задан-

ных как в виде равенств, так и неравенств (G(х1, х2, …, хn) → {≤ Value; ≥

Value; = Value}).

Под эту постановку попадает широкий круг задач оптимизации, в

том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи ли-

нейного и нелинейного программирования. Для решения оптимизацион-

ных задач в надстройке «Поиск решения» имеется мощный инструмента-

рий: симплекс–метод, метод Ньютона, метод обобщенного градиента и др.

Искомые переменные – ячейки рабочего листа MS Excel – назы-

ваются регулируемыми ячейками. Целевая функция Z(х1, х2, …, хn) задает-

ся в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула может содер-

жать функции, определенные пользователем, и должна зависеть от регу-

лируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется, что ищется:

максимум или минимум целевой функцией или ее фиксированное значе-

ние.

Задачу решения СЛАУ (1.1) можно свести к виду оптимизацион-

ной задаче. Для этого одно из уравнений (например, первое) берется в ка-

честве целевой функции Z(X), а оставшиеся (n – 1) уравнения рассматри-

ваются в качестве ограничений.

Тогда задача оптимизации для применения надстройки «Поиск

решения» будет звучать следующим образом:

Найти значения X = (x1, x2, …, xn)T, доставляющие функции Z(X),

стоящей в левой части первого уравнения системы (3.1), значение b1 при

(n – 1) ограничениях, представленных оставшимися уравнениями:

.

,

,

)(

332211

22323222121

11313212111

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxaXZ

. (3.1)

30

3.2. Пример решения СЛАУ с помощью надстройки

«Поиск решения»

Решим систему уравнений (1.9) (см. лаб. 1) с помощью надстрой-

ки «Поиск решения». Для удобства работы с этой системой запишем ее

еще раз:

.18842

,481022

,24828

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(3.2)

Экранная форма для записи этой СЛАУ вместе с введенными в

нее исходными данными представлена на рис. 3.2.

Рисунок 3.2 – Экранная форма системы (3.2) после ввода

всех необходимых формул

При создании экранной формы:

– отведите ячейки B3:D3 для переменных х1, х2, х3;

– запишите в ячейки B5:D5 коэффициенты первого уравнения си-

стемы (3.2), которое выбрано в качестве целевой функции;

– запишите в ячейки B8:D8 и B9:D9 коэффициенты, соответ-

ственно, второго и третьего уравнений системы (3.2), которые трактуются

как ограничения.

Для решения СЛАУ необходимо записать выражения (формулы)

для вычисления значений функций, стоящих слева в уравнениях системы

(3.2). Под эти формулы отводятся ячейки Е5, Е8 и Е9. Формула для вы-

числения значения b1 записывается в ячейку Е5 как сумма произведений

31

каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B3:D3), на

соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов первого урав-

нения (B5:D5). Таким образом:

– запишите в ячейку Е5 выражение

=СУММПРОИЗВ($B$3:$D$3;B5:D5);

– скопируйте эту формулу в ячейки Е8 и Е9, чтобы получить вы-

ражения для левых частей второго и третьего уравнений; при этом в ячей-

ке Е8 появится формула =СУММПРОИЗВ($B$3:$D$3;B8:D8), в ячейке

Е9 – формула =СУММПРОИЗВ($B$3:$D$3;B9:D9);

– запишите в ячейках G8 и G9 значения правых частей второго и

третьего уравнений: b2 и b3, соответственно, при этом в ячейки F8 и F9

можно записать знак = для визуализации типа ограничений (равенство).

Далее в диалоговом окне «Поиск решения» (меню «Дан-

ные Поиск решения») нужно задать параметры поиска (рис. 3.3).

Процедура задания параметров поиска следующая:

– в поле Оптимизировать целевую ячейку введите адрес ячейки,

содержащей формулу для вычисления значений оптимизируемой функ-

ции, в нашем примере целевая ячейка – Е5;

– в поле До установите переключатель в положение Значения и

ввести значение b1, т.е. –24;

– в поле Изменяя ячейки переменных введите адреса изменяе-

мых ячеек, т.е. аргументов целевой функции (первого уравнения системы

(3.2)), разделяя их знаком «;» или протаскивая мышь по соответствующим

ячейкам, в нашем примере это ячейки $B$3:$D$3;

– в поле В соответствии с ограничениями с помощью кнопки

Добавить введите все ограничения, которым должен отвечать результат

поиска: ячейка, в которой записана формула ограничения, соотносится

заданным образом ( , =, ) с ячейкой, в которой записана величина огра-

ничения; в нашем примере (рис. 3.4): ячейка Е8, в которой записана фор-

мула левой части второго уравнения, равна ячейке G8, в которой записано

значение правой части второго уравнения, и ячейка Е9, в которой записа-

на формула левой части третьего уравнения, равна ячейке G9, в которой

записано значение правой части этого уравнения;

32

Рисунок 3.3 – Окно «Поиск решения» задачи (3.2) с введенными

параметрами поиска

Рисунок 3.4 – Окно для ввода ограничений

33

– уберите флажок в поле Сделать переменные без ограничений

неотрицательными и выберите метод решения – Поиск решения ли-

нейных задач симплекс-методом;

– для запуска процесса поиска нажмите кнопку Найти решение.

– для сохранения полученного решения используйте переключа-

тель Сохранить найденное решение в открывшемся окне Результаты

поиска решения (рис. 3.5).

Рисунок 3.5 – Окно Результаты поиска решения

После этого рабочий лист принимает вид, представленный на

рис. 3.6: в ячейках B3:D3 находится результат решения: значения неиз-

вестных рассматриваемой СЛАУ (3.2).

34

Рисунок 3.6 – Экранная форма СЛАУ (3.2) после нахождения решения

3.3. Задание


лаб. 1) систему линейных алгебраических уравнений.

Разработайте таблицы MS Excel для решения выбранной СЛАУ с

помощью надстройки «Поиск решения».

35


РЕШЕНИЕ СЛАУ ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ

4.1. Преобразование СЛАУ для применения итерационных

методов

При большом количестве неизвестных системы линейных алгеб-

раических уравнений для нахождения корней системы используют итера-

ционные методы, которые дают приближенное решение.

Матричная форма СЛАУ записывается в виде уравнения

A X = B, (4.1)

где A – матрица системы (выражение (1.3)); X – вектор-столбец неизвест-

ных (выражение (1.4)); B – вектор-столбец свободных членов (выражение

(1.5)):

Чтобы применить итерационный метод, исходную СЛАУ необхо-

димо привести к виду

X = C X + D, (4.2)

где C и D – соответственно, преобразованные матрица коэффициентов с

нулевой главной диагональю и столбец свободных членов:

,

0

0

0

21

221

112

nn

n

n

cc

cc

cc

C (4.3)

где ii

ij

ija

ac , i, j = 2, …, n, – недиагональные элементы, которые полу-

чаются делением недиагональных коэффициентов исходной матрицы си-

стемы А (1.3), взятых с обратным знаком, на соответствующие диагональ-

ные коэффициенты;

36

,2

1

nd

d

d

D

(4.4)

где ii

ii

a

bd , i = 2, …, n, – свободные члены уравнений преобразованной

системы, которые получаются делением коэффициентов матрицы свобод-

ных членов В (1.5) исходной СЛАУ на соответствующие диагональные

коэффициенты исходной матрицы системы А (1.3).

Итерационный процесс для начала вычисления требует задания

начальных условий. Вид начального вектора искомых неизвестных:

,

)0(

)0(2

)0(1

)0(

nx

x

x

X

(4.5)

где верхний индекс, данный в скобках, показывает номер итерации: (0) –

нулевая (или начальная) итерация, (1) – первая итерация и т.д.

Для успешного применения итерационных методов модули диа-

гональных элементов исходной матрицы системы А (1.3) должны быть

больше суммы модулей остальных коэффициентов в соответствующих

строках матрицы:

n

jiji

ijii aa1,

. (4.6)

Это выражение определяет условие сходимости итерационного

процесса к решению.

СЛАУ (4.1) можно привести к виду (4.2) с помощью элементар-

ных преобразований.

К элементарным преобразованиям матриц относятся следующие:

37

– перемена строк (столбцов) местами;

– умножение всех элементов какой-нибудь строки на один и тот

же коэффициент;

– сложение всех элементов какой-либо строки с соответствующи-

ми элементами другой строки, умноженной на один и тот же коэффици-

ент.

При этом необходимо, чтобы были использованы все уравнения

исходной системы.

На практике поступают следующим образом:

– в исходной системе уравнений выделяют уравнения с коэффи-

циентами, модули которых больше суммы модулей остальных коэффици-

ентов уравнения;

– каждое выделенное уравнение записывают в такую строку но-

вой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент стал диагональ-

ным;

– далее применяют элементарные преобразования и составляют

остальные уравнения новой системы.

4.2. Метод простой итерации

Итерационный процесс по методу простой итерации строится

следующим образом:

DXCX)()1( kk , (4.7)

где k – номер итерации, k = 0, 1, 2, ….

Для вычисления i-й переменной на (k + 1) шаге используются

приближения, найденные на k-м шаге:

nidxcx i

n

j

kjij

ki .,..,1,

1

)()1( (4.8)

Начальный вектор X(0)

выбирается произвольно. Его можно задать

нулевым, а можно - равным вектору D.

38

Значения вектора X(0)

подставляются в (4.7) и тем самым опреде-

ляются следующие приближения. В результате получается последова-

тельность векторов X(1)

, X(2)

, X(3)

, …, X(k + 1)

.

Если последовательность приближения имеет предел, то этот пре-

дел является решением системы (4.1):

DXCX)()1(lim kk (4.9)

Процесс итерации заканчивается, когда выполняется условие:

)()1( kkXX (4.10)

где – заданная точность решения.

Процесс итерации (4.7) хорошо сходится, если элементы матрицы

С малы по абсолютной величине.

4.3. Метод Зейделя

Метод Зейделя – итерационный метод, который обеспечивает бо-

лее быструю сходимость к решению СЛАУ за счет другой формулы ите-

рационного процесса, в которой для вычисления i-й переменной на (k + 1)

шаге используются приближения, найденные как на k-м шаге, так и на

(k + 1) шаге:

nidxcxcx i

n

ij

kjij

i

l

klil

ki ,...,1,

1

)(1

1

)1()1( (4.11)

Если представить матрицу С (4.3) в виде суммы верхней СВ и

нижней СН треугольных матриц, можно записать итерационный процесс

по методу Зейделя в матричной форме:

DXCXCX)(

B)1(

H)1( kkk , k = 0, 1, 2, … (4.12)

Условие сходимости (4.6) и условие окончания счета (4.10) такие

же, как и в методе простой итерации.

39

4.4. Пример решения СЛАУ итерационными методами

Решим СЛАУ (1.9) (см лаб. 1) методами простой итерации и Зей-

деля. Для удобства работы запишем эту систему еще раз:

.18842

,481022

,24828

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(4.13)

Экранная форма с введенными уравнениями представлена на

рис. 4.1. В ячейках В3:D5 расположены элементы матрицы системы (ко-

эффициенты при искомых неизвестных), ячейки F3:F5 содержат элементы

матрицы свободных членов (значения правой части СЛАУ).

Рисунок 4.1 – Экранная форма СЛАУ (4.13)

Перед применением итерационного метода исходную систему

уравнений необходимо привести в соответствие с условием сходимости:

элементы на главной диагонали матрицы коэффициентов должны быть

больше, чем сумма недиагональных элементов по всем строкам матрицы.

Для этого сначала нужно проанализировать коэффициенты урав-

нений. Во втором уравнении коэффициент при третьем неизвестном x3

больше, чем сумма модулей первых двух коэффициентов, следовательно,

это уравнение будет третьим уравнением преобразованной системы.

Других подобных уравнений нет, следовательно, нужно прово-

дить элементарные преобразования:

– в уравнении, полученном вычитанием второго исходного урав-

нения из первого уравнения, коэффициент при первом неизвестном x1

40

больше, чем сумма модулей второго и третьего коэффициентов, следова-

тельно, это будет первым уравнением преобразованной системы;

– в уравнении, полученном сложением первого и третьего исход-

ных уравнений, коэффициент при втором неизвестном x2 равен сумме мо-

дулей первого и третьего коэффициентов, следовательно, это будет вто-

рым уравнением преобразованной системы.

В полученной СЛАУ, преобразованной в соответствии с условием

сходимости, задействованы все уравнения исходной системы.

Преобразованная система имеет окончательный вид:

.481022

,6066

,242410

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(4.14)

Экранная форма СЛАУ (4.14) показана на рис. 4.2.

Рисунок 4.2 – Преобразование СЛАУ (4.15) для выполнения

условия сходимости

Далее выполняется преобразование матрицы коэффициентов и

столбца свободных членов к виду (4.3) и (4.4), соответственно.

Процедура преобразования матриц следующая:

– введите нули в ячейки В11, С12, D13, которые будут содержать

диагональные элементы преобразованной матрицы коэффициентов С;

41

– поместите курсор в ячейку С11 и в строке формул запишите вы-

ражение =-С7/$В$7;

– скопируйте содержимое ячейки С11 в ячейки D11 и F11, в кото-

рые переносятся, соответственно, коэффициент при третьем неизвестном

и свободный член первого уравнения, при этом в формуле в ячейке F11

уберите знак «–»: выражение принимает вид =F7/$B$7;

– поместите курсор в ячейку В12 и в строке формул запишите вы-

ражение =-В8/$С$8;

– скопируйте содержимое ячейки В12 в ячейки D12 и F12, в кото-

рые переносятся, соответственно, коэффициент при третьем неизвестном

и свободный член второго уравнения, при этом в формуле в ячейке F12

уберите знак «–»: выражение принимает вид =F8/$C$8;


ражение =-В9/$D$9»;

– скопируйте содержимое ячейки B13 в ячейки C13 и F13, в кото-

рые переносятся, соответственно, коэффициент при втором неизвестном и

свободный член третьего уравнения, при этом в формуле в ячейке F13

уберите знак «–»: выражение принимает вид =F9/$D$9 (рис. 4.3).

Рисунок 4.3 – Матрицы С и D преобразованной системы уравнений

42

4.4.1. Решение СЛАУ методом простой итерации

Процедура задания итерационного процесса следующая:

– запишите в ячейках В16:В18 начальные значения (приближе-

ния) неизвестных хi(0)

= 0 (в последующие столбцы будете записывать зна-

чения неизвестных, полученные в дальнейших итерациях);

– поместите курсор в ячейку С16 и запишите формулу

=МУМНОЖ($B11:$D11;B$16:B$18)+$F11;

– скопируйте содержимое ячейки С16 в ячейки С17 и С18;

– копируйте содержимое ячеек С16:С18 в ячейки D16:D18,

E16:E18 и т.д., пока не получите решение системы (4.13) с заданной точ-

ностью (рис. 4.4, 4.5).

Рисунок 4.4 – Начальные итерации

Рисунок 4.5 – Схождение итерационного процесса к решению

СЛАУ (4.13) по методу простой итерации

43

Решение СЛАУ (4.13) T

X 543 методом простой итерации

получено за 21 итерацию.

4.4.2. Решение СЛАУ методом Зейделя

Процедура задания итерационного процесса по методу Зейделя

следующая:

– запишите в ячейках В21:В23 начальные приближения неизвест-

ных хi(0)

= 0;


=$B11*B$21+$C11*B$22+$D11*B$23+$F11;


=$B12*C$21+$C12*B$22+$D12*B$23+$F12;


=$B13*C$21+$C13*C$22+$D13*B$23+$F13 (рис. 4.6).

Рисунок 4.6 – Запись формулы итерационного процесса

по методу Зейделя

44

– копируйте содержимое ячеек С21:С23 в ячейки D21:D23,

E21:E23 и т.д., пока не получите решение системы (4.13) с заданной точ-

ностью (рис. 4.7).

Рисунок 4.7 – Схождение итерационного процесса к решению

по методу Зейделя

Решение СЛАУ (4.13) T

X 543 по методу Зейделя получе-

но за 9 итераций.

4.5. Задание


лаб. 1) систему линейных алгебраических уравнений.

Разработайте таблицы MS Excel для решения выбранной СЛАУ

методом простой итерации и методом Зейделя.

45


РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL.

ОПЕРАЦИИ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

5.1. Линейные узловые уравнения для сети переменного тока

Для трехфазной сети переменного тока матричное узловое урав-

нение, связывающее линейные напряжения в узлах и задающие токи в

узлах, представляющие активные элементы схемы замещения электриче-

ской системы (источники питания и нагрузку), имеет вид

ббy 3 UYJUY , (5.1)

где Yу – комплексная матрица узловых проводимостей порядка (n – 1)

(n – 1), где n - количество узлов схемы замещения;

U – матрица-столбец искомых напряжений в узлах, U = (Ui), i = 1,

2, …, n – 1;

J – матрица-столбец задающих токов, J = (Ji), i = 1, 2, …, n – 1;

Yб Uб – столбец произведений базового напряжения (в узле n,

Un = Uб) на взаимные проводимости между базовым узлом и другими уз-

лами (матрица Yб).

Проводимости, узловые напряжения и задающие токи – это ком-

плексные величины, имеющие активные и реактивные составляющие.

Узловые проводимости:

yyy BGY j (5.2)

где Gу и Ву – матрицы активных и реактивных составляющих узловых

проводимостей, соответственно:

)1)(1(2)1(1)1(

)1(22221

)1(11211

y

...

.................................

...

...

nnnn

n

n

ggg

ggg

ggg

G (5.3)

46

)1)(1(2)1(1)1(

)1(22221

)1(11211

...

.................................

...

...

nnnn

n

n

y

bbb

bbb

bbb

B (5.4)

Напряжение в узлах схемы замещения электрической системы:

ra jUUU , (5.5)

где Ua и Ur – матрицы-столбцы активных и реактивных составляю-

щих узловых напряжений, соответственно.

Напряжение в базовом узле обычно задается действительным

числом, т.е. Uбr = 0.

Задающие токи в узлах схемы замещения:

ra jJJJ , (5.6)

где Ja и Jr – матрицы-столбцы активных и реактивных составляющих

задающих токов, соответственно.

Для генераторного узла активная составляющая задающего тока

является положительной, а реактивная – отрицательной величиной, т.е.

ra jJJJген . Для нагрузочного узла, наоборот, активная составляющая

имеет знак «–», реактивная составляющая – знак «+», т.е.

ra jJJJнагр .

После подстановки (5.2), (5.5) и (5.6) в (5.1) получаем матричное

узловое уравнение с комплексными коэффициентами и комплексными

искомыми переменными:

бббyy 3 Ujjjj rara BGJJUUBG . (5.7)

Раскрыв скобки в уравнении (5.7) и разделив действительные и

мнимые составляющие, получаем систему линейных узловых уравнений

удвоенного порядка с действительными элементами:

47

.3

,3

ббyy

ббyy

U

U

rra

ara

BJUGUB

GJUBUG (5.8)

Система узловых уравнений (5.8) представляет собой систему ли-

нейных уравнений порядка 2 (n – 1) с 2 (n – 1) искомыми неизвестны-

ми Uаi и Uri , i = 1, 2, …, n – 1.

Матричная запись системы (5.8) имеет вид

б1)б-()1(

б2б2

б1б1

б1)б-()1(

б2б2

б1б1

)1(

2

1

)1(

2

1

)1)(1(2)1(1)1()1)(1(2)1(1)1(

)1(22221)1(22221

)1(11211)1(11211

)1)(1(2)1(1)1()1)(1(2)1(1)1(

)1(22221)1(22221

)1(11211)1(11211

3

...............................

3

3

3

.............................

3

3

......

......

......

.............................................................................

......

......

......

............................................................................

......

......

UbJ

UbJ

UbJ

UgJ

UgJ

UgJ

U

U

U

U

U

U

gggbbb

gggbbb

gggbbb

bbbggg

bbbggg

bbbggg

nnr

r

r

nna

a

a

nr

r

r

na

a

a

nnnnnnnn

nn

nn

nnnnnnnn

nn

nn

(5.9)

Матрица коэффициентов системы узловых уравнений записыва-

ется в виде:

)1)(1(2)1(1)1()1)(1(2)1(1)1(

)1(22221)1(22221

)1(11211)1(11211

)1)(1(2)1(1)1()1)(1(2)1(1)1(

)1(22221)1(22221

)1(11211)1(11211

......

.............................................................................

......

......

......

............................................................................

......

......

nnnnnnnn

nn

nn

nnnnnnnn

nn

nn

gggbbb

gggbbb

gggbbb

bbbggg

bbbggg

bbbggg

(5.10)

48

Столбец свободных членов:

б1)б-()1(

б2б2

б1б1

б1)б-()1(

б2б2

б1б1

3

...............................

3

3

3

.............................

3

3

UbJ

UbJ

UbJ

UgJ

UgJ

UgJ

nnr

r

r

nna

a

a

(5.11)

Узловые проводимости являются параметрами системы, задаю-

щие токи – исходными параметрами режима.

Составление системы узловых уравнений сводится к составлению

матрицы узловых проводимостей. Для определения значения элементов

этой матрицы необходимо составить полную матрицу узловых проводи-

мостей Y , воспользовавшись ее свойствами:

1) матрица Y – это симметричная квадратная матрица размером

n n, где n – количество узлов схемы замещения;

2) диагональные элементы iiY матрицы Y равны сумме прово-

димостей ветвей схемы замещения, соединенных с i-м узлом;

3) недиагональные элементы ijY матрицы Y равны взятой с об-

ратным знаком проводимости ветви, соединяющей узлы i и j, или нулю,

если между узлами i и j связи нет.

Матрица yY получается вычеркиванием в матрице Y строки и

столбца, соответствующих базовому узлу.

В результате решения системы линейных узловых уравнений (5.9)

определяются напряжения в узлах схемы замещения электрической си-

стемы.

49

Ток в ветвях схемы замещения находится по закону Ома, матрич-

ное уравнение которого имеет вид

ввв UYI , (5.12)

где Iв – матрица-столбец токов в ветвях схемы; вY - диагональная

матрица проводимостей ветвей; Uв – матрица-столбец падений напряже-

ний в ветвях схемы замещения, которые рассчитываются по матричному

уравнению

UMUT

в , (5.13)

где U - столбец напряжений во всех n узлах схемы замещения; TM

- транспонированная полная первая матрица инциденций.

Элементы первой матрицы инциденций M (матрицы соедине-

ний ветвей графа схемы замещения в узлы) имеют следующие значения:

0 – если ветвь i не соединена с узлом j;

1 – если ветвь i соединена с узлом j и этот узел является ее

начальной вершиной;

–1 – если ветвь соединена с узлом и этот узел является ее конеч-

ной вершиной.

5.2. Пример расчета параметров установившегося режима

трехфазной электрической сети методом узловых уравнений

5.2.1. Исходные данные для расчета

Рассчитаем с помощью MS Excel параметры установившегося ре-

жима: напряжения в узлах и токи в ветвях схемы замещения – электриче-

ской системы, принципиальная схема которой представлена на рис. 5.1.

Исходные данные для расчета: значения сопротивлений ветвей Z

(исходных параметров системы) и задающих токов в узлах (J), а также

напряжения в базовом узле Uб (исходных параметров режима) – приведе-

ны в табл. 5.1 и 5.2.

50

Рисунок 5.1 – Схема рассматриваемой электрической системы

Таблица 5.1 - Исходные параметры системы

Z1,Ом Z2,Ом Z3,Ом Z4,Ом Z5,Ом

15 + j25 20 + j30 16 + j25 10 + j15 12 + j20

Таблица 5.2 - Исходные параметры режима

Uб, кВ J1, кА J2, кА J3, кА

110 –0,2522 + j0,1261 –0,4277 + j0,2138 –0,3352 + j0,1676

Присвоим нагрузочным узлам А, В, С, соответственно, номера 1, 2

и 3, генераторному узлу D – номер 4. Узел D является базовым по напря-

жению и балансирующим по току.

Для составления системы линейных узловых уравнений определя-

ем полную матрицу узловых проводимостей Y , которая для рассматри-

ваемой системы с четырьмя узлами имеет четвертый порядок:

321321

3535

2424

154541

0

0

YYYYYY

YYYY

YYYY

YYYYYY

Y , (5.14)

51

где Yi – проводимость i-й ветви, равная

iiiii

i jbgjxrZ

Y11

. (5.15)

Матричное узловое уравнение для данной схемы имеет вид:

б343

б242

б141

б343

б242

б141

3

2

1

3

2

1

333231333231

232221232221

131211131211

333231333231

232221232221

131211131211

3

3

3

3

3

3

UbJ

UbJ

UbJ

UgJ

UgJ

UgJ

U

U

U

U

U

U

gggbbb

gggbbb

gggbbb

bbbggg

bbbggg

bbbggg

r

r

r

a

a

a

r

r

r

a

a

a

(5.16)

Связный направленный граф, описывающий рассматриваемую си-

стему, представлен на рис. 5.2.

A (1)

C (3)

D (4)1

2

5 3

4

B (2)

Рисунок 5.2 – Граф рассматриваемой электрической системы

Полная матрица M соединений ветвей в узлы для этого графа:

00111

10100

01010

11001

M (5.17)

52

5.2.2. Ввод исходных данных

Экранная форма для ввода условий задачи вместе с введенными в

нее исходными данными представлена на рис. 5.3.

Рисунок 5.3 – Экранная форма задачи (курсор в ячейке В4, в которой

записана формула =КОМПЛЕКСН(15;25))

В экранной форме каждому параметру (сопротивлениям линий,

задающим токам, базовому напряжению) поставлена в соответствие кон-

кретная ячейка в таблице Excel. Так, например, сопротивлениям линий Zi

соответствуют ячейки B4 (Z1), C4 (Z2), D4 (Z3), E4 (Z4), F4 (Z5), задающим

токам в узлах Ji – ячейки H4 (J1), I4 (J2) J4 (J3), напряжению в базовом

узле Uб – ячейка L4.

До ввода значений параметров необходимо установить формат

ячеек: числовой. Для этого необходимо выделить эти ячейки (удерживая

клавишу Shift нажатой, щелкнуть левой клавишей мыши по первой и по-

следней задействованной ячейке строки), нажать правую клавишу мыши и

выбрать команду «Формат ячеек». В окне «Числовые форматы» вы-

брать «Числовой», в окне «Число десятичных знаков» задать «4»

(рис. 5.4).

53

Рисунок 5.4 – Окно «Формат ячеек» для изменения формата ячеек

5.2.3. Операции с комплексными числами

В рассматриваемой задаче исходные данные представляют собой

комплексные числа. Все операции с комплексными числами осуществля-

ются в режиме «Вставка функции», который вызывается из меню «Фор-

мулы» или при нажатии кнопки «fx» на панели инструментов.

Ввод комплексных чисел осуществляется посредством функции

КОМПЛЕКСН следующим образом:

– поместите курсор в ячейку (например, в ячейку В4), куда будете

вводить комплексное число (сопротивление первой линии Z1 = 15 + j25);

– вызовите окно «Мастер функций – шаг 1 из 2» нажатием

кнопки «fx»,;

– в окне «Категория» выберите категорию «Инженерные»;

– в окне «Функция» выберите функцию КОМПЛЕКСН

(рис. 5.5);

54

Рисунок 5.5 – Окно «Мастер функций – шаг 1 из 2»

– в появившемся окне «Аргументы функции» введите в строку

«Действительная_часть» число 15, соответствующее коэффициенту при

вещественной части, а в строку «Мнимая_часть» – число 25, соответ-

ствующее коэффициенту при мнимой части комплексного числа (рис. 5.6).

Рисунок 5.6 – Окно «Аргументы функции» функции КОМПЛЕКСН

55

После ввода чисел в окне «Аргументы функции» внизу слева

появится вид введенного комплексного числа, а в экранной форме в вы-

бранной ячейке (В4) появится введенное комплексное число, при этом в

строке формул появится название функции с введенным числом

(КОМПЛЕКСН (15;25)) (см. рис. 5.3).

Так вводятся все исходные данные.

Значения проводимости линий вводятся в ячейки B6 (Y1), C6 (Y2),

D6 (Y3), E6 (Y4) и E6 (Y4).

Расчет проводимости ветвей осуществляется с помощью функции

МНИМ_ДЕЛ, которая возвращает частное от деления двух комплексных

чисел. Для осуществления этого деления в ячейку G4 вводится вспомога-

тельная величина: комплексная единица 1+j0.

Для расчета проводимости ветвей:

– поместите курсор в ячейку, отведенную для значения проводи-

мости линии 1 (В6), вызовите окно «Мастер функций – шаг 1 из 2» и

выберите категорию «Инженерные»;

– после выбора функции МНИМ_ДЕЛ в появившемся окне «Ар-

гументы функции» в строку «Компл_число1» введите номер ячейки

$G$4 (или, находясь в этой строке, щелкните левой клавишей мыши по

ячейке G4 в окне задачи (таблице Excel) и добавьте знаки $ нажатием кла-

виши F4 клавиатуры), а в строку «Компл_число2» введите номер ячейки,

где находится сопротивление этой линии (В4) (рис. 5.7).

Рисунок 5.7 – Окно «Аргументы функции» функции МНИМ_ДЕЛ

56

После ввода чисел в строки «Компл_число1» и «Компл_число2»

в окне «Аргументы функции» появится вид введенных комплексных

чисел и частного от их деления, а в окне задачи в выбранной ячейке (В6)

появится полученное комплексное число, при этом в поле формул появит-

ся название функции с введенными ячейками МНИМ.ДЕЛ($G$4;В4).

Для вычисления проводимостей остальных линий достаточно

скопировать формулу из ячейки В6 в ячейки, предназначенные для прово-

димостей соответствующих линий (С6:F6). Для этого:

– поместите курсор в ячейку В6 и скопируйте в буфер содержи-

мое этой ячейки (сочетанием клавиш Ctrl + С или Ctrl + Insert);

– перемещайте курсор поочередно в ячейки С6:F6 и вставляйте в

них содержимое буфера (сочетанием клавиш Ctrl + V или Shift + Insert),

при этом номер ячейки в первой строке функции МНИМ_ДЕЛ будет

неизменным, а во второй строке номер ячейки будет меняться на номер

того столбца, в который была произведена вставка из буфера.

На экране в ячейках С6, D6, E6 и F6 появятся значения проводи-

мости линий, соответственно, 2, 3, 4 и 5.

Для составления полной матрицы узловых проводимостей Y и

узловых уравнений, необходимо отделить активную и реактивную состав-

ляющие проводимости линии. Эта процедура осуществляется посредством

функций МНИМ.ВЕЩ и МНИМ.ЧАСТЬ, которые возвращают коэффи-

циенты при, соответственно, вещественной и мнимой частях комплексно-

го числа:

– поместите курсор в ячейку В8, вызовите окно «Мастер функ-

ций – шаг 1 из 2», выберите категорию «Инженерные» и выберите

функцию МНИМ.ВЕЩ;

– в появившемся окне «Аргументы функции» (рис. 5.8) в строку

«Компл_число» введите номер ячейки В$6 (или щелкните левой клави-

шей мыши по этой ячейке в окне задачи и добавьте символ $ в появив-

шийся в строке «Компл_число» номер ячейки), при этом в окне задачи в

ячейке В8 появится значение активной составляющей проводимости пер-

вой линии g1;

57

Рисунок 5.8 – Окно «Аргументы функции» функции МНИМ_ВЕЩ

– поместите курсор в ячейку В10, вызовите окно «Мастер функ-

ций – шаг 1 из 2», выберите категорию «Инженерные» и выберите

функцию МНИМ.ЧАСТЬ;

– в появившемся окне «Аргументы функции» (рис. 5.9) в строку

«Компл_число» введите номер ячейки В$6, при этом в окне задачи в

ячейке В10 появится значение реактивной составляющей проводимости

первой линии b1;

Рисунок 5.9 – Окно «Аргументы функции» функции МНИМ_ЧАСТЬ

– скопируйте формулу из ячейки В8 в ячейки С8:F8 (предназна-

ченные для коэффициентов при активных составляющих проводимостей

линий 2, 3, 4, 5), а формулу из ячейки В10 – в ячейки С10:F10 (предназна-

ченные для коэффициента при реактивных составляющих проводимостей

этих линий).

58

Таким же образом разделяете активные и реактивные составляю-

щие задающих токов и напряжения в базовом узле.

5.2.4. Составление полной матрицы узловых проводимостей

При составлении полной матрицы узловых проводимостей Y

ввод недиагональных элементов осуществляется копированием ячеек, где

расположены значения коэффициентов при активной или реактивной со-

ставляющих соответствующих проводимостей. При этом в строке формул

необходимо добавлять знак «–», поскольку недиагональный элемент мат-

рицы Yij равен проводимости ветви, соединяющей узлы i и j, взятой с об-

ратным знаком (рис. 5.10).

Рисунок 5.10 – Составление полной матрицы узловых проводимостей

(курсор в ячейке D14, куда записывается недиагональный элемент g12)

Для вычисления диагональных элементов используется функция

СУММ:

– поместите курсор в ячейку, содержащую диагональный элемент,

вызовите окно «Мастер функций – шаг 1 из 2», выберите категорию

«Математические» и выберите функцию СУММ;

59

– в появившемся окне «Аргументы функции» введите в строку

«число1» номер ячейки, где находится активная (или реактивная, в зави-

симости от того, какую составляющую вычисляете) составляющая прово-

димости первой линии, входящей в рассматриваемый узел, в строку «чис-

ло2» – номер ячейки, где находится активная (или реактивная) составля-

ющая проводимости второй линии, входящей в этот узел;

– если в рассматриваемый узел входит большее число линий, то в

строку «число3» добавляете номер ячейки, где находится активная (или

реактивная) составляющая проводимости третьей линии, входящей в узел,

и так далее: при заполнении последней предлагаемой строки автоматиче-

ски добавляется строка «число4» (рис. 5.11).

Рисунок 5.11 – Вычисление диагонального элемента b44 матрицы Y

5.2.5. Составление системы узловых уравнений

Левая часть узловых уравнений (матрица коэффициентов) состав-

ляется из полной матрицы узловых проводимостей. Для этого:

– исключите строку и столбец, соответствующие базисному узлу

(узел 4): ячейки В20:G20 и H14:I20;

– поменяйте расположение активных и реактивных составляющих

узловых проводимостей в соответствии с выражением (5.10), представля-

60

ющим матрицу коэффициентов системы линейных узловых уравнений

(рис. 5.12).

Рисунок 5.12 – Составление системы узловых уравнений (курсор в ячейке

М24, в которую записывается формула –Uб g14)

Правая часть узловых уравнений (столбец свободных членов

(5.11)) состоит из двух слагаемых и формируется следующим образом.

– введите в ячейки К24, К26 и К28 формулы для расчета произве-

дений активных составляющих соответствующих задающих токов на

множитель 3 (например, в ячейку К24, куда вводится произведение

31aJ , записываете выражение =$H$8*КОРЕНЬ(3)). Функция КО-

61

РЕНЬ(3) вызывается в окне «Мастер функций – шаг 1 из 2», категория

«Математические»;

– введите в ячейки К30, К32, К34 формулы для расчета произве-

дений реактивных составляющих соответствующих задающих токов на

множитель 3 (например, в ячейку К30, куда вводится произведение

31rJ записываете выражение =$H$10*КОРЕНЬ(3)).

– введите в ячейки М24, М26 и М28 формулы для расчета произ-

ведений базового напряжения на активные составляющие узловых прово-

димостей базового узла (Uб (–gi4)) с помощью функции ПРОИЗВЕД,

вызываемой в окне «Мастер функций – шаг 1 из 2», категория «Мате-

матические»: в строку «число1» (рис. 5.13) введите номер ячейки, где

находится значение активной составляющей напряжения в базовом узле

($L$8), а в строку «число2» – номер ячейки, где расположено значение

соответствующей активной составляющей gi4, при этом добавьте знак «–»

перед номером ячейки (например, в ячейке М24, куда вводите произведе-

ние (Uб (–g14)), должно быть выражение =ПРОИЗВЕД($L$8;-$H$14))

(см. рис. 5.12);

Рисунок 5.13 – Вычисление произведения (Uб (–g14))

62

– введите в ячейки М30, М32 и М36 формулы для расчета произ-

ведений базового напряжения на реактивные составляющие узловых про-

водимостей базового узла (Uб bi4) с помощью функции ПРОИЗВЕД, при

этом знак «–» добавлять не нужно (например, в ячейке М30, куда вводите

произведение (Uб b14)), выражение =ПРОИЗВЕД($L$8;$I$14));

– сформируйте окончательный вид матрицы свободных членов

системы узловых уравнений в соответствии с выражением (5.11) путем

суммирования слагаемых правой части с помощью функции СУММ;

– преобразуйте матрицу системы, меняя расположение коэффици-

ентов активной и реактивной составляющих узловых проводимостей (и,

соответственно, искомых неизвестных) таким образом, чтобы так, чтобы

модули диагональных элементов были больше остальных элементов в

строке.

Окончательный вид матрицы коэффициентов и матрицы свобод-

ных членов системы узловых уравнений для рассматриваемой электриче-

ской системы представлен на рис. 5.14.

Рисунок 5.14 – Окончательный вид матрицы коэффициентов и столбца

свободных членов системы узловых уравнений

для рассматриваемой электрической системы

63

5.2.5. Решение системы линейных узловых уравнений методом

Гаусса

Система узловых уравнений включает шесть уравнений с шестью

неизвестными, соответственно: Ur1, Ur2, Ur3, Ua1, Ua2, Ua3

Исходная система для расчета представлена на рис. 5.14. Вычис-

ления выполняются в следующей последовательности.

На первом шаге в исходной системе уравнений первое уравнение

делят на коэффициент при первом неизвестном (Ur1) и далее первое неиз-

вестное исключается из второго и последующих уравнений. Для этого


ражение =B$49/$B$49;

– скопируйте содержимое ячейки В58 в ячейки C58:G58 и К58, в

которые переносится первое уравнение (в полученном первом уравнении

коэффициент при первом неизвестном равен 1);

– перейдите в ячейку В59 и запишите выражение

==B50-ПРОИЗВЕД(B$58;$B50)

– скопируйте содержимое ячейки В59 в ячейки C59:G59 и К59,

В60:G60 и К60, …, В63:G63 и К63, в которые переносятся, соответствен-

но, второе, третье, …, шестое уравнения исходной системы с исключен-

ным первым неизвестным (рис. 5.15).

Рисунок 5.15 – Система уравнений после выполнения первого шага

64

Второй, третий и последующие шаги выполняются аналогично.

Количество шагов равно числу неизвестных.

На этапе обратного хода определяются искомые неизвестные в

обратном порядке (от последнего к первому). Для этого:

– поместите курсор в ячейку G87 и в строке формул запишите вы-

ражение =$K$83/$G$83;

– поместите курсор в ячейку F87 и в строке формул запишите вы-

ражение =$K$80-СУММПРОИЗВ($G$80;$G$87);

– перейдите в ячейку E87 и запишите выражение

=$K$76-СУММПРОИЗВ($F$76:$G$76;$F$87:$G$87);

– перейдите в ячейку D87 и запишите выражение

=$K$71-СУММПРОИЗВ($E$71:$G$71;$E$87:$G$87);

Перейдите в ячейку С87 и запишите выражение

=$K$65-СУММПРОИЗВ($D$65:$G$65;$D$87:$G$87);

Перейдите в ячейку В87 и запишите выражение

=$K$58-СУММПРОИЗВ($C$58:$G$58;$C$87:$G$87).

Решением системы узловых уравнений являются вещественные

Uai и мнимые Uri составляющие узловых напряжений. Полные значения

напряжений в узлах электрической системы записываются с помощью

функции КОМПЛЕКСН. На рис. 5.16 представлена экранная форма хода

решения системы линейных узловых уравнений методом Гаусса.

5.2.6. Решение системы линейных узловых уравнений итераци-

онным методом

Исходную систему линейных узловых уравнений необходимо

привести исходную систему в соответствие с условием сходимости (4.6).

Для этого (рис. 5.17):

– отнимите уравнение 4 от уравнения 1;



– сложите уравнение 4 с уравнением 1;

– сложите уравнение 5 с уравнением 2;

– сложите уравнение 6 с уравнением 3.

В новой системе уравнений условие сходимости выполняется.

65

Рисунок 5.16 –Решение системы узловых уравнений методом Гаусса

Рисунок 5.17 – Приведение исходной системы линейных узловых урав-

нений в соответствие с условием сходимости (4.6)

66

Далее полученная система уравнений преобразуется к виду (4.2)

(см. лаб. 4). Коэффициенты матрицы С (4.3) записываются в ячейках

B67:G72. Для этого:

– запишите 0 в ячейки B67, C68, D69, E70, F71 и G72, которые

представляют диагональные элементы матрицы С;

– запишите формулу =–C$59/$B$59 в ячейку C67 и скопируйте ее

в ячейки D67:G67 и К67, при этом в ячейке К67 из формулы уберите знак

«–» (т.е. в этой ячейке формула =K$59/$B$59);

– запишите формулу =–B$60/$C$60 в ячейку В68 и скопируйте ее

в ячейки D68:G68 и К68, при этом в ячейке К68 из формулы уберите знак

«–»;

– запишите формулу =–B$61/$D$61 в ячейку В69, скопируйте ее в

ячейки С69, Е69:G69 и К69, при этом в ячейке К69 из формулы уберите

знак «–»;

– запишите формулу =–B$62/$E$62 в ячейку В70, скопируйте ее в

ячейки С70:D70, F70:G70 и К70, при этом в ячейке К70 из формулы убе-

рите знак «–»;

– запишите формулу =-B$63/$F$63 в ячейку B71, скопируйте ее в

ячейки C71:E71, G71 и К71, при этом в ячейке К71 из формулы уберите

знак «–»;

– запишите формулу =-B$64/$G$64 в ячейку B72, скопируйте ее в

ячейки C72:F72 и К72, при этом в ячейке К72 из формулы уберите

знак «–».

На рис. 5.18 представлен вид матрицы коэффициентов С.

Рисунок 5.18 – Преобразованная матрица коэффициентов С

67

Для начала итерационного процесса выполните следующие дей-

ствия:

– введите в ячейки В76:В78 значения реактивных Ur составляю-

щих узловых напряжений и в ячейки В79:В81 – значения активных Ua

составляющих узловых напряжений в нулевом приближении: они выби-

раются равными, соответственно, реактивной и активной составляющим

базового напряжения Uб;

– запишите формулу =МУМНОЖ($B67:$G67;B$76:B$81)+$K67

в ячейку С76 и далее скопируйте ее в ячейки С77:С81: при этом в ячейках

С76:С81 получаете значения искомых переменных в первом приближе-

нии;

– выделите ячейки С76:С81 и копируете их последующие ячейки,

меняя только столбцы (D, F, E, F, …) и не меняя выделенных строк

(85:90), при этом происходит копирование формул, записанных в ячейках

С76:С81 (рис. 5.19);

Рисунок 5.19 – Начальные итерации

– продолжайте копирование ячеек до тех пор, пока не будет вы-

полнено условие окончания итерационного процесса (4.10) (см. лаб. 4).

Для рассматриваемой задачи заданная точность решения =0,0001. Эта

точность достигается за 33 итерации (рис. 5.20);

– запишите полные значения узловых напряжений с помощью

функции КОМПЛЕКСН.

На рис. 5.21 представлена экранная форма хода решения системы

линейных узловых уравнений методом простой итерации.

68

Рисунок 5.20 – Окончание итерационного процесса

Рисунок 5.21 – Решение системы узловых уравнений методом простой

итерации

Как видно из рисунка, значения узловых напряжений, полученные

методом простой итерации, совпали со значениями, полученными мето-

дом Гаусса.

69

5.2.7. Расчет токов в ветвях схемы замещения

Для расчета токов необходимо определить падение напряжения

Uв в ветвях схемы замещения электрической системы, которое рассчиты-

вается по формуле (5.13) отдельно для активных и реактивных составля-

ющих.

Вычисление производится следующим образом:

– введите значения элементов матрицы M (5.17) в ячейки

А92:Е95 окна задачи;

– транспонируйте эту матрицу в ячейки А97:D101 с помощью

функции ТРАНСП, вызываемой в окне «Мастер функций – шаг 1 из 2»,

категория «Математические» (или категория «Полный алфавитный

перечень»), при этом необходимо помнить, что ввод результата операции

с массивом данных (матрицей) выполняется одновременным нажатием

комбинации клавиш Ctrl + Shift + Enter;

– введите в ячейки А104:А107 матрицу-столбец Uа активных со-

ставляющих узловых напряжений с помощью функции МНИМ.ВЕЩ;

– введите в ячейки В104:В107 матрицу-столбец Ur реактивных со-

ставляющих узловых напряжений с помощью функции МНИМ.ЧАСТЬ;

– выделите ячейки С104:С108 и получите матрицу-столбец ак-

тивных Uва составляющих падений напряжения в ветвях схемы замещения

путем перемножения матриц TM и Uа с помощью функции МУМНОЖ

(формула =МУМНОЖ($A$97:$D$101;A104:A107));

– выделите ячейки D104:D108 и получите матрицу-столбец реак-

тивных Uвr составляющих падений напряжения в ветвях схемы замещения

путем перемножения матриц TM и Ur с помощью функции МУМНОЖ

(формула =МУМНОЖ($A$97:$D$101;B104:B107));

– запишите в ячейки F104:F108 полные значения напряжений в

ветвях с помощью функции КОМПЛЕКСН (рис. 5.22).

Расчет токов в ветвях схемы замещения производится по формуле

(5.12) с помощью функции МНИМ.ДЕЛ в ячейках В110:В114 (в ячейке

В110 выражение для тока в первой ветви =МНИМ.ДЕЛ(F104;B4)).

70

Рисунок 5.22 – Вычисление падения напряжения и токов в ветвях схемы

замещения рассматриваемой электрической системы

5.3. Задание

В соответствии с номером варианта рассчитайте напряжения в уз-

лах и токи в ветвях схемы замещения электрической системы, используя

указанный в задании метод.

Исходные данные для расчета приведены в табл. 5.3 – 5.4. Конфи-

гурации схем электрической системы приведены в табл. 5.5.

71

Таблица 5.3 – Заданные значения параметров системы

№ варианта Параметры электрической сети

№ схемы Метод

решения: Z1, Ом Z2, Ом Z3, Ом

1 12 + j23 14 + j27 10 + j22 1 Гаусса

2 11 + j21 8 + j16 9 + j17 2 Зейделя

3 9 + j16 10 + j19 12 + j22 3 Гаусса

4 12 + j21 8 + j15 12 + j23 4 простая итерация

5 10 + j18 9 + j17 11 + j20 6 Зейделя

6 15+ j30 13 + j26 12 + j24 5 Гаусса

7 10 + j19 12 + j24 15 + j29 4 Гаусса


9 9 + j18 10 + j21 8 + j15 2 Гаусса

10 11 + j22 10 + j18 10 + j20 5 Зейделя

11 10 + j19 8 + j16 9 + j18 1 Гаусса

12 14 + j28 9 + j18 15 + j30 3 Гаусса


14 13 + j25 9 + j17 10 + j20 2 Гаусса

15 8 + j16 11 + j21 15 + j29 3 Зейделя


17 12 + j23 10 + j19 14 + j28 3 Зейделя

18 11 + j20 14 + j29 10 + j22 5 Гаусса

19 12 + j24 9 + j16 10 + j20 6 Гаусса


21 10 + j20 15 + j30 10 + j25 1 Гаусса

22 10 + j21 9 + j19 8 + j17 6 Гаусса

23 10 + j20 13 + j26 11 + j22 2 Зейделя

24 12 + j23 10 + j19 9 + j17 5 Гаусса

25 14 + j26 10 + j18 16 + j30 1 Гаусса


27 8 + j18 12 + j26 9 + j19 2 Гаусса


29 14 + j30 12 + j25 13 + j28 4 Зейделя

30 11 + j23 15 + j31 8 + j17 5 Гаусса

72

Таблица 5.4 – Заданные значения исходных параметров режима


JА, кА JВ, кА JЭС, кА Uб, кВ

1 –0,2745 + j0,1371 –0,1827 + j0,0913 – 110 + j0

2 – –0,1440 + j0,0721 0,3550 – j0,213 112 + j0

3 –0,1933 + j0,0969 – 0,4348 – j0,2609 116 + j0

4 –0,4392 + j0,2196 –0,2818 + j0,1409 – 115 + j0

5 – –0,1626 + j0,0813 0,2996 – j0,1798 113 + j0

6 –0,2809 + j0,1405 –0,2035 + j0,1017 – 115 + j0

7 – –0,3309 + j0,1655 0,5773 – j0,3464 114 + j0

8 –0,4155 + j0,2077 –0,2182 + j0,1091 – 115 + j0

9 –0,1647 + j0,0825 –0,1118 + j0,0559 – 110 + j0

10 – –0,2373 + j0,1187 0,5036 – j0,3022 112 + j0

11 –0,2033 + j0,1018 – 0,4559 – j0,2741 116 + j0

12 –0,4045 + j0,2023 –0,2091 + j0,1045 – 115 + j0

13 –0,1516 + j0,0760 –0,2909 + j0,1454 – 110 + j0

14 – –0,2245 + j0,1123 0,4918 – j0,2951 108 + j0

15 –0,35 + j0,1751 – 0,5273 – j0,3168 111 + j0

16 –0,3619 + j0,1809 –0,1556 + j0,0778 – 115 + j0

17 – –0,2773 + j0,1387 0,6178– j0,3712 116 + j0

18 –0,1496 + j0,0748 –0,1925 + j0,0962 – 110 + j0

19 – –0,3564 + j0,1782 0,4736 – j0,2844 112 + j0

20 –0,1829 + j0,0915 – 0,4292 – j0,2581 109 + j0

21 –0,3730 + j0,1866 –0,1647 + j0,0824 – 115 + j0

22 –0,2972 + j0,1485 –0,2255 + j0,1128 – 115 + j0

23 – –0,3110 + j0,2055 0,5081 – j0,3646 111 + j0

24 –0,3982 + j0,1991 – 0,5455 – j0,3273 115 + j0

25 –0,3083 + j0,1542 –0,1931 + j0,0966 – 110 + j0

26 –0,2692 + j0,1346 0,4982 – j0,2982 114 + j0

27 –0,1884 + j0,0942 –0,2118 + j0,1059 – 110 + j0

28 – –0,3293 + j0,1647 0,5216 – j0,3172 112 + j0

29 –0,2106 + j0,1003 – 0,4852 – j0,2911 116 + j0

30 –0,4104 + j0,2052 –0,1482 + j0,1241 – 115 + j0

73

Таблица 5.5 – Схемы электрической системы

№

схемы Схема

1 2

1

2

3

74


1 2

4

5

6

75


РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ НАДСТРОЙКИ

MS EXCEL «ПОИСК РЕШЕНИЯ»

6.1. Нелинейные уравнения узловых напряжений

В расчетах установившихся режимов электрических систем ак-

тивные элементы (источники питания и нагрузки) часто задаются нели-

нейными источниками тока. В схемах замещения электрических систем

такими источниками являются генераторы с постоянной мощностью и

нагрузки потребителей, заданные постоянной мощностью. В таком случае

матричное узловое уравнение имеет вид:

бб)(3 Uy YUJUY , (6.1)

где )(UJ – матрица-столбец нелинейных источников тока, зависящих

от напряжения.

Если мощности нагрузочных и генераторных узлов постоянные,

то )(UJ находится как:

diagU

SUJ

ˆ3

ˆ)( , (6.2)

где S – столбец сопряженных комплексов узловых мощностей;

U – диагональная матрица сопряженных комплексов узловых

напряжений.

Учитывая, что полная мощность трех фаз равна jQPS , где P

и Q – соответственно, активная и реактивная мощности, а узловое напря-

жение – ra jUUU , где Ua и Ur – соответственно, активная и реактив-

ная составляющие напряжения, сопряженные комплексы мощностей и

напряжений, соответственно, имеют вид:

QPS jˆ , (6.3)

76

ra jUUU . (6.4)

В расчетах необходимо учитывать, что для генераторного узла

полная мощность трех фаз берется со знаком «+», т.е. абсолютные значе-

ния активной P и реактивной Q мощностей – положительные. Для нагру-

зочного узла полная мощность трех фаз берется со знаком «–», т.е. значе-

ние P – отрицательное, значение Q – отрицательное для реактивной ин-

дуктивной мощности и положительное для реактивной емкостной мощно-

сти.

Подставив в (6.1) выражения для узловой проводимости и узлово-

го напряжения (5.2) (см. лаб. 5) и выражения для узлового тока (6.2) и со-

пряженных комплексов мощности и узлового напряжения (6.3) и (6.4),

получаем комплексное матричное уравнение:

ббб )()(

)()( Ujj

jjj

rarayy BG

UU

QPUUBG . (6.5)

После небольших преобразований и разделения вещественной и

мнимой составляющих получаем систему действительных матричных

уравнений:

.

,

бб22

бб22

U

U

ra

raryay

ra

raryay

BUU

PUQUUGUB

GUU

QUPUUBUG

(6.6)

Таким образом, матричное узловое уравнение (6.1) при задании

активных элементов электрической системы нелинейными источниками

тока (постоянными мощностями в узлах схемы замещения) представляет

собой систему нелинейных уравнений узловых напряжений удвоенного

порядка.

Запишем систему (6.6) в виде матриц:

77

б

б)1(

б2

б1

2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

22

22

2222

21

21

1111

)1(

2

1

)1)(1(2)1(1)1(

)1(22221

)1(11211

)1(

2

1

)1)(1(2)1(1)1(

)1(22221

)1(11211

б

б)1(

б2

б1

2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

22

22

2222

21

21

1111

)1(

2

1

)1)(1(2)1(1)1(

)1(22221

)1(11211

)1(

2

1

)1)(1(2)1(1)1(

)1(22221

)1(11211

.............................

.....

...

........................

...

...

.....

...

........................

...

...

.............................

.....

...

......................

...

...

.....

...

........................

...

...

U

b

b

b

UU

UPUQ

UU

UPUQ

UU

UPUQ

U

U

U

ggg

ggg

ggg

U

U

U

bbb

bbb

bbb

U

g

g

g

UU

UQUP

UU

UQUP

UU

UQUP

U

U

U

bbb

bbb

bbb

U

U

U

ggg

ggg

ggg

n

nrna

nrnnan

ra

ra

ra

ra

nr

r

r

nnnn

n

n

na

a

a

nnnn

n

n

n

nrna

nrnnan

ra

ra

ra

ra

nr

r

r

nnnn

n

n

na

a

a

nnnn

n

n

(6.7)

78

После перемножения матриц полная запись системы (6.7) имеет

вид:

б1)б-(2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

)1()1)(1(22)1(11)1()1()1)(1(22)1(11)1(

б2б22

22

2222

)1()1(2222121)1()1(2222121

б1б21

21

1111

)1()1(1212111)1()1(1212111

б1)б-(2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

)1()1)(1(22)1(11)1()1()1)(1(22)1(11)1(

б2б22

22

2222

)1()1(2222121)1()1(2222121

б1б21

21

1111

)1()1(1212111)1()1(1212111

......

...........................................................................................

......

......

......

..........................................................................................

......

......

UbUU

UPUQ

UgUgUgUbUbUb

UbUU

UPUQ

UgUgUgUbUbUb

UbUU

UPUQ

UgUgUgUbUbUb

UgUU

UQUP

UbUbUbUgUgUg

UgUU

UQUP

UbUbUbUgUgUg

UgUU

UQUP

UbUbUbUgUgUg

n

nrna

nrnnan

nrnnrnrnnannanan

ra

ra

nrnrrnanaa

ra

ra

nrnrrnanaa

n

nrna

nrnnan

nrnnrnrnnannanan

ra

ra

nrnrrnanaa

ra

ra

nrnrrnanaa

(6.8)

Система (6.8) содержит 2 (n – 1) искомых неизвестных: актив-

ных Uаi и реактивных Uri составляющих напряжений в узлах, i = 1, 2, …,

n - 1, где n - количество узлов в рассматриваемой сети.

Матрица коэффициентов системы нелинейных уравнений (6.8)

имеет такой же вид, как и матрица системы линейных уравнений (5.10):

79

)1)(1(2)1(1)1()1)(1(2)1(1)1(

)1(22221)1(22221

)1(11211)1(11211

)1)(1(2)1(1)1()1)(1(2)1(1)1(

)1(22221)1(22221

)1(11211)1(11211

......

......................................................

......

......

......

......................................................

......

......

nnnnnnnn

nn

nn

nnnnnnnn

nn

nn

gggbbb

gggbbb

gggbbb

bbbggg

bbbggg

bbbggg

(6.9)

Правая часть системы, столбец свободных членов (6.8):

б1)б-(2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

б2б22

22

2222

б1б21

21

1111

б1)б-(2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

б2б22

22

2222

б1б21

21

1111

............................

..........................

UbUU

UPUQ

UbUU

UPUQ

UbUU

UPUQ

UgUU

UQUP

UgUU

UQUP

UgUU

UQUP

n

nrna

nrnnan

ra

ra

ra

ra

n

nrna

nrnnan

ra

ra

ra

ra

(6.10)

Знаки активной P и реактивной Q мощности в (6.10) берутся в со-

ответствии с тем, каким узлом является рассматриваемый узел: генератор-

ным или нагрузочным.

80

Матричная запись системы (6.8) имеет вид

б1)б-(2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

б2б22

22

2222

б1б21

21

1111

б1)б-(2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

б2б22

22

2222

б1б21

21

1111

)1(

2

1

)1(

2

1

)1)(1(1)1()1)(1(1)1(

)1(221)1(221

)1(111)1(111

)1)(1(1)1()1)(1(1)1(

)1(221)1(221

)1(111)1(111

..........................

..........................

.....

.....

......

........................................

......

......

......

........................................

......

......

UbUU

UPUQ

UbUU

UPUQ

UbUU

UPUQ

UgUU

UQUP

UgUU

UQUP

UgUU

UQUP

U

U

U

U

U

U

ggbb

ggbb

ggbb

bbgg

bbgg

bbgg

n

nrna

nrnnan

ra

ra

ra

ra

n

nrna

nrnnan

ra

ra

ra

ra

nr

r

r

na

a

a

nnnnnn

nn

nn

nnnnnn

nn

nn

(6.11)

Система нелинейных уравнений (6.11) решается итерационными

методами. На каждом шаге итерационного процесса в правую часть урав-

нений системы подставляются значения узловых напряжений, найденных

на предыдущем шаге, и на этом шаге система считается линейной, следо-

вательно, для нахождения решения можно использовать любой метод ре-

шения СЛАУ. Таким образом, каждый шаг итерационного процесса со-

стоит из вычисления элементов матрицы-столбца (6.10) (правой части) и

решения системы линейных уравнений (левой части).

6.2. Пример решения нелинейных уравнений узловых напря-

жений с помощью надстройки «Поиск решения»

Рассчитаем напряжения в узлах электрической системы, схема ко-

торой представлена на рис. 6.1. Значения сопротивлений ветвей Z (пара-

метров системы) и трехфазных мощностей S в узлах, а также напряжения

в базовом узле Uб (исходных параметров режима) приведены в табл. 6.1.

Расчет выполним с помощью надстройки «Поиск решения».

81

Рисунок 6.1 - Схема электрической системы с тремя узлами

Таблица 6.1 – Исходные данные для расчета

Z1, Ом Z2, Ом Z3, Ом SA, МВА SB, МВА Uб, кВ

10 + j20 15 + j30 10 + j25 –46,188 – j23,094 –28,8675 – j17,3205 115

Присвоим нагрузочным узлам А и В, соответственно, номера 1 и

2, а генераторному узлу ЭС1 – номер 3. Узел 3 является базовым по

напряжению и балансирующим по току.

Полная матрица узловых проводимостей для рассматриваемой

электроэнергетической системы с тремя узлами имеет вид:

2112

1313

2332

YYYY

YYYY

YYYY

Y , (6.12)

где Yi – проводимость i–й ветви, находится по выражению (5.15).

Матричная запись системы нелинейных узловых уравнений:

б2322

22

2222

б1321

21

1111

б2322

22

2222

б1321

21

1111

2

1

2

1

22212221

12111211

22212221

12111211

.

UbUU

UPUQ

UbUU

UPUQ

UgUU

UQUP

UgUU

UQUP

U

U

U

U

ggbb

ggbb

bbgg

bbgg

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

ra

r

r

a

a

(6.13)

Для расчета в Excel создается экранная форма задачи (рис. 6.2).

82

Рисунок 6.2 – Экранная форма задачи

В ячейки B3:D3 вводятся значения сопротивления линий, в ячей-

ки F3 и G3 – значения мощностей в узлах электрической системы, в ячей-

ку H3 – значение напряжения в базовом узле. Все эти параметры являются

комплексными числами, поэтому их ввод осуществляется посредством

функции КОМПЛЕКСН.

Значения проводимости ветвей схемы замещения рассматривае-

мой электрической системы вводятся в ячейки B6 (y1), C6 (y2) и D6 (y3).

Расчет проводимости ветвей осуществляется с помощью функции

МНИМ_ДЕЛ, для этого в ячейку Е3 вводится комплексное число 1 + j0.

В ячейки B7:D7 и B8:D8 с помощью функций МНИМ.ВЕЩ и

МНИМ.ЧАСТЬ вводятся значения, соответственно, активной (g1, g2, g3) и

реактивной (b1, b2, b3) составляющих проводимостей ветвей для составле-

ния полной матрицы узловых проводимостей (6.12) (рис. 6.3).

Рисунок 6.3 – Формирование полной матрицы узловых проводимостей

83

В ячейки F7:G7 и F8:G8 вводятся значения, соответственно, ве-

щественной (активной мощности) и мнимой (реактивной мощности) со-

ставляющих узловых мощностей, в ячейки H7 и H8 – значения, соответ-

ственно, активной и реактивной составляющих базового напряжения.

Затем записывается матрица коэффициентов и создается экранная

форма правой части системы (6.13) (рис. 6.4).

Рисунок 6.4 – Матрица коэффициентов и экранная форма правой части

системы (6.13)

Далее создается экранная форма матричной записи системы нели-

нейных уравнений (6.13), удобная для применения надстройки «Поиск

решения» (рис. 6.5). Искомые переменные (Ua1, Ua2, Ur1, Ur2) записывают-

ся в ячейки В27:Е27. Коэффициенты уравнений системы записываются в

ячейки В28:Е28, В29:Е29, В30:Е30 и В31:Е31.

В ячейки F28:F31 записываются формулы, описывающие левые

части узловых уравнений: в ячейку F28 (целевую ячейку) записывается

формула =СУММПРОИЗВ($B$27:$E$27;$B28:$E28) (т.е. левая часть

первого уравнения системы) и далее она копируется в ячейки F29:F31.

При выполнении первой итерации необходимо задаться началь-

ным приближением вещественных и мнимых частей узловых напряжений,

которые записываются в ячейки G27:J27. В качестве начальных прибли-

84

жений целесообразно принять значения, близкие к значению базового

напряжения.

Рисунок 6.5 – Экранная форма матричной записи (6.13)

системы нелинейных узловых уравнений

В ячейки К28:К31 записываются формулы, описывающие правые

части узловых уравнений (табл. 6.2).

Таблица 6.2 – Выражения в Excel для вычисления правых частей

системы нелинейных уравнений (6.13) в первой итерации

Яче

йка Выражение в Excel

К28 =СУММПРОИЗВ($G$27:$H$27;$G28:$H28)/СУММКВ($G$27;$H$27)-

$H$5*$E$9

К29 =СУММПРОИЗВ($I$27:$J$27;$I29:$J29)/СУММКВ($I$27;$J$27)-

$H$5*$E$11

К30 =СУММПРОИЗВ($G$27:$H$27;$G30:$H30)/СУММКВ($G$27;$H$27)

+$H$5*$F$9

К31 =СУММПРОИЗВ($I$27:$J$27;$I31:$J31)/СУММКВ($I$27;$J$27)

+$H$5*$F$11

Как только формулы вводятся в ячейки К28:К31, в них появляют-

ся значения правых частей уравнений (см. рис. 6.5).

85

Далее нужно открыть надстройку «Поиск решения» и в окне

«Параметры поиска решения» ввести необходимые данные: номер це-

левой ячейки (F28) и ее значение (число в ячейке К28), номера ячеек, в

которых будут записаны искомые переменные (В27:Е27), и номера ячеек,

формирующих ограничения: ячейки F29:F31, в которых записаны форму-

лы левых частей узловых уравнений, должны быть равны, соответственно,

ячейкам К29:К31, в которых записаны значения, полученные при вычис-

лении правых частей уравнений (рис. 6.6).

Рисунок 6.6 – Окно «Параметры поиска решения» с введенными

данными для первой итерации

86

Результаты вычисления вещественных и мнимых частей узловых

напряжений в первой итерации представлены на рис. 6.7.

Рисунок 6.7 – Результаты решения системы нелинейных узловых

уравнений (6.13) в первой итерации

Для выполнения второй итерации нужно скопировать экранную

форму системы (6.13) с коэффициентами левой и правой частей и прове-

сти соответствующие изменения в формулах. Для этого:

– искомые переменные (Ua1, Ua2, Ur1, Ur2) переместите в ячейки

В34:Е34,

– целевую формулу переместите в ячейку F35 и измените в ней

номера ячеек, в которых находятся искомые неизвестные (новая формула

в ячейке F35 имеет вид =СУММПРОИЗВ($B$34:$E$34;$B28:$E28).

– скопируйте эту формулу в ячейки F36: F38, в которые переме-

стились формулы левых частей остальных уравнений системы (6.13).

Полученные в первой итерации значения активной и реактивной

составляющих узловых напряжений задаются в качестве следующего при-

ближения и вводятся (копируются) в соответствующем порядке в ячейки

G34:J34 для вычисления правых частей уравнений (6.13) во второй итера-

ции (рис. 6.8).

87

Рисунок 6.8 – Экранная форма матричной записи (6.13) нелинейных

узловых уравнений во второй итерации и вычисление небалансов токов в узлах

схемы замещения

Также корректируются формулы в ячейках правых частей уравне-

ний (в ячейках К35:К38) (табл. 6.3), а в ячейки L35:L38 записываются

формулы небаланса токов в узлах (т.е. разность между правыми и левыми

частями уравнений (6.13)) после первой итерации (табл. 6.4).


нелинейных уравнений (6.13) во второй итерации

Яче

йка Выражение в Excel


-$H$5*$E$9


-$H$5*$E$11


+$H$5*$F$9


+$H$5*$F$11

88

Таблица 6.4 – Выражения в Excel для вычисления небаланса токов

в узлах схемы замещения электрической системы после первой итерации

Ячейка Выражение в Excel

L35 =K35-F28

L36 =K36-F29

L37 =K37-F30

L38 =K38-F31

После проведения всех необходимых изменений в экранной фор-

ме нужно открыть окно «Параметры поиска решения» и ввести новые

данные для вычисления (рис. 6.9):

– новую целевую ячейку (F35) и ее новое значение (в ячейке К35),

полученное после подстановки значений узловых напряжений, получен-

ных в первой итерации;

– новые ячейки для искомых переменных (В34:Е34) и новые

ограничения: ячейки с формулами левых и правых частей уравнений.

Рисунок 6.9 – Окно «Параметры поиска решения» с введенными

данными для второй итерации

89

На рис. 6.10 приведены результаты решения системы нелинейных

узловых уравнений (6.13) во второй итерации.

Рисунок 6.10 - Результаты решения системы уравнений (6.13)

во второй итерации

Итерационная процедура повторяется до тех пор, пока разность

между предыдущим и полученным значением напряжения не достигнет

точности = 0,00001. При этом на каждой итерации изменяются ячейки с

искомыми неизвестными и, соответственно, корректируются формулы,

описывающие левые и правые части уравнений (6.13) и небалансы токов в

узлах схемы замещения электрической системы, а также данные в окне

«Параметры поиска решения».

Полный ход решения системы нелинейных узловых уравнений

(6.13) с помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel показан на

рис. 6.11. Решение получено за семь итераций. Определены активные и

реактивные составляющие узловых напряжений. Полные значения напря-

жений в узлах электрической системы записываются с помощью функции

КОМПЛЕКСН.

Рассчитанные значения напряжений в узлах 1 и 2 равны:

U1 = 114,1846 + j11,6032 кВ

U2 = 114,5255 + j8,8273 кВ

90

Рисунок 6.11 – Полный ход решения системы нелинейных узловых

уравнений (6.13) с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения»

6.3. Задание

В соответствии с номером варианта рассчитайте параметры элек-

трической системы, используя надстройку MS Excel «Поиск решения».

91

Значения исходных данных для расчета приведены в табл. 6.5 – 6.6, вари-

анты схем – в табл. 5.5 (см. лаб.5).

Таблица 6.5 – Заданные значения параметров системы


№ схемы Z1, Ом Z2, Ом Z3, Ом

1 12 + j23 14 + j27 10 + j22 6

2 11 + j21 8 + j16 9 + j17 5

3 9 + j16 10 + j19 12 + j22 4

4 12 + j21 8 + j15 12 + j23 3

5 10 + j18 9 + j17 11 + j20 2

6 15+ j30 13 + j26 12 + j24 1

7 10 + j19 12 + j24 15 + j29 5

8 13 + j25 10 + j19 9 + j20 4

9 9 + j18 10 + j21 8 + j15 1

10 11 + j22 10 + j18 10 + j20 3

11 10 + j19 8 + j16 9 + j18 6

12 14 + j28 9 + j18 15 + j30 2

13 8 + j15 10 + j20 11 + j22 4

14 13 + j25 9 + j17 10 + j20 2

15 8 + j16 11 + j21 15 + j29 2

16 9 + j18 8 + j15 11 + j22 1

17 12 + j23 10 + j19 14 + j28 5

18 11 + j20 14 + j29 10 + j22 6

19 12 + j24 9 + j16 10 + j20 1

20 8 + j15 12 + j23 11 + j21 2

21 10 + j20 15 + j30 10 + j25 3

22 10 + j21 9 + j19 8 + j17 4

23 10 + j20 13 + j26 11 + j22 5

24 12 + j23 10 + j19 9 + j17 6

25 14 + j26 10 + j18 16 + j30 2

26 11 + j23 14 + j28 16 + j32 4

27 8 + j18 12 + j26 9 + j19 3

28 10 + j21 9 + j18 11 + j22 6

29 14 + j30 12 + j25 13 + j28 5

30 11 + j23 15 + j31 8 + j17 1

92

Таблица 6.6 – Заданные значения исходных параметров режима


SА, МВА SВ, МВА SЭС, МВА Uб, кВ

1 –52,81 – j26,405 –44,449 – j22,225 – 110 + j0

2 – –23,427 – j11,714 48,103 + j29,561 112 + j0

3 –37,805 – j18,902 – 82,242 + j50,481 116 + j0

4 –60,619 – j30,31 –31,144 – j15,572 – 115 + j0

5 – –29,645 – j14,823 69,296 + j36,732 113 + j0

6 –51,488 – j25,744 –38,383 – j19,191 – 115 + j0

7 – –63,184 – j31,589 97,294 + j60,001 114 + j0

8 –67,934 – j33,967 –26,424 – j13,212 – 115 + j0

9 –20,647 – j10,324 –17,296 – j8,648 – 110 + j0

10 – –44,739 – j22,370 94,890 + j56,934 112 + j0

11 –38,703 – j19,353 – 86,179 + j51,707 116 + j0

12 –70,905 – j35,452 –32,587 – j16,294 – 115 + j0

13 –28,779 – j14,391 –19,026 – j9,513 – 110 + j0

14 – –42,413 – j21,207 87,116 + j52,27 108 + j0

15 –56,677 – j28,338 – 90,918 + j54,551 114 + j0

16 –66,546 – j33,273 –29,545 – j14,772 – 115 + j0

17 – –52,587 – j26,294 105,488 + j63,296 116 + j0

18 –28,433 – j14,217 –21,198 – j10,599 – 110 + j0

19 – –48,246 – j24,123 89,247 + j53,548 112 + j0

20 –34,887 – j17,444 – 81,221 + j48,733 109 + j0

21 –90,645 – j45,322 –31,164 – j15,582 – 115 + j0

22 –56,626 – j28,313 –34,305 – j17,153 – 115 + j0

23 – –24,698 – j15,349 72,401 + j43,441 111 + j0

24 –70,095 – j35,048 – 106,045 + j63,627 115 + j0

25 –62,348 – j31,174 –18,514 – j9,257 – 110 + j0

26 –51,166 – j25,583 91,178 + j54,718 114 + j0

27 –47,388 – j23,644 –36,538 – j18,264 – 115 + j0

28 – –52,184 – j31,589 92,644 + j55,586 112 + j0

29 –61,141 – j30,571 –28,834 – j14,417 – 116 + j0

30 –19,226 – j9,613 –24,476 – j12,238 – 110 + j0

93


РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

7.1. Метод Ньютона

Нелинейные уравнения узловых напряжений в форме баланса то-

ков для трехфазной сети переменного тока записываются как комплексное

матричное уравнение

ббy UYU

SUY

ˆ

ˆ, (7.1)

или, после разделения комплексных величин: узловых проводимостей Yу,

узловых напряжений U, сопряженных комплексов мощности S и узловых

напряжений U , - на активные и реактивные составляющие (см. выраже-

ния (5.2) и (6.4)), как система действительных матричных уравнений:

бб22

бб22

U

U

ra

raryay

ra

raryay

BUU

PUQUUGUB

GUU

QUPUUBUG

. (7.2)

Уравнения (7.2) можно переписать в виде матричных уравнений

небаланса токов в узлах схемы замещения:

0

0

бб22

бб22

ryay

ra

raJr

ryay

ra

raJa

U

U

UGUBBUU

PUQUw

UBUGGUU

QUPUw

(7.3)

где wJa и wJr – столбцы небалансов, соответственно, активных и реактив-

ных токов.

Полная запись системы уравнений небаланса токов (7.3) в узлах

схемы замещения электрической системы имеет вид:

94

0)...

...(

......................................................................

0)...

...(

0)...

...(

0)......

(

......................................................................

0)...

...(

0)...

...(

)1()1)(1(22)1(11)1()1()1)(1(

22)1(11)1(б1)б-(2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

1

)1()1(2222121)1()1(2

222121б2б22

22

22222

)1()1(1212111)1()1(1

212111б1б21

21

11111

)1()1)(1(22)1(11)1()1()1)(1(

22)1(11)1(б1)б-(2)1(

2)1(

)1()1()1()1(

1

)1()1(2222121)1()1(2

222121б2б22

22

22222

)1()1(1212111)1()1(1

212111б1б21

21

11111

nrnnrnrnnann

anann

nrna

nrnnan

nJr

nrnrrnan

aa

ra

raJr

nrnrrnan

aa

ra

raJr

nrnnrnrnnann

anann

nrna

nrnnan

nJa

nrnrrnan

aa

ra

raJa

nrnrrnan

aa

ra

raJa

UgUgUgUb

UbUbUbUU

UPUQw

UgUgUgUb

UbUbUbUU

UPUQw

UgUgUgUb

UbUbUbUU

UPUQw

UbUbUbUg

UgUgUgUU

UQUPw

UbUbUbUg

UgUgUgUU

UQUPw

UbUbUbUg

UgUgUgUU

UQUPw

(7.4)

Система уравнений небаланса токов (7.4) представляет собой си-

стему нелинейных уравнений узловых напряжений порядка 2 × (n – 1), где

n – количество узлов в электрической системе.

В общем виде нелинейную систему уравнений установившегося

режима электрической системы можно записать следующим образом:

0)(XW , (7.5)

где )(XW – вектор-функция порядка (n – 1), Х – вектор зависимых пере-

менных порядка (n – 1), где n - количество узлов в рассматриваемой сети:

95

),...,,(

.................

),...,,(

),...,,(

)(

1211

1212

1211

nn

n

n

XXXw

XXXw

XXXw

XW . (7.6)

При решении системы (7.5) по методу Ньютона на каждом шаге

итерационного процесса решается линеаризованная система

)()( )()1()( iiiXWXX

X

W, (7.7)

где X

W– матрица производных (матрица Якоби):

1

1

2

1

1

1

1

2

2

2

1

2

1

1

2

1

1

1

...

.....................

...

...

n

nnn

n

n

X

w

X

w

X

w

X

w

X

w

X

w

X

w

X

w

X

w

X

W, (7.8)

При записи небалансов в виде системы (7.3), т.е. при расчете не-

балансов активного и реактивного токов, элементами вектора небалансов

W(X) являются левые части уравнений (7.4) и матрица Якоби может быть

представлена как

r

Q

a

Q

r

P

a

P

U

W

U

W

U

W

U

W

X

W, (7.9)

96

где a

P

U

W,

r

P

U

W,

a

Q

U

W и

r

Q

U

W – матрицы-клетки частных производных

небалансов активной и реактивной мощности по активным и реактивным

составляющим узловых напряжений.

Частные производные небалансов активной и реактивной мощно-

сти по активным и реактивным составляющим узловых напряжений для i–

го узла равны:

– по активной мощности

;

,)(

)(2)(

,

,)(

)(2)(

222

22

222

22

ijrj

Jai

riai

riiaiiririaiiii

ri

Jai

ijaj

Jai

riai

riiaiiairiaiiii

ai

Jai

bU

w

UU

UQUPUUUQb

U

w

gU

w

UU

UQUPUUUPg

U

w

(7.10)

– по реактивной мощности

,

,)(

)(2)(

,

,)(

)(2)(

222

22

222

22

ijrj

Jri

riai

riiaiiririaiiii

ri

Jri

ijaj

Jri

riai

riiaiiairiaiiii

ai

Jri

gU

w

UU

UPUQUUUPg

U

w

bU

w

UU

UPUQUUUQb

U

w

(7.11)

где i = 1, 2, …, n – 1, j = 1, 2, …, n – 1.

Матричная запись итерационного процесса имеет вид

97

)1()()1( kkkXXX , (7.12)

Контроль сходимости определяется по вектору небалансов, следо-

вательно, условие сходимости должно выполняться для всех небалансов:

)( )(kiw X , (7.13)

7.2. Пример решения нелинейных уравнений узловых напря-

жений методом Ньютона

Рассчитаем методом Ньютона напряжения в узлах той же элек-

трической системы, которая рассматривалась в лабораторной работе 6. Ее

схема представлена на рис. 7.1. Значения сопротивлений ветвей Z (пара-

метров системы) и трехфазных мощностей S в узлах, а также напряжения

в базовом узле Uб (исходных параметров режима) приведены в табл. 7.1.

Рисунок 7.1 - Схема электроэнергетической системы с тремя узлами

Таблица 7.1 – Исходные данные для расчета

Z1, Ом Z2, Ом Z3, Ом SA, МВА SB, МВА Uб, кВ

10 + j20 15 + j30 10 + j25 –46,188 – j23,094 –28,8675 – j17,3205 115

Нагрузочному узлу А присваивается номер 1, нагрузочному узлу

В – номер 2, генераторному узлу ЭС1 – номер 3. Узел 3 задается базовым

по напряжению и балансирующим по току.

Полная матрица узловых проводимостей для данной схемы:

98

2112

1313

2332

YYYY

YYYY

YYYY

Y , (7.14)

где Yi – проводимость i-й ветви, равная

iiiii

i jbgjxrZ

Y11

.

Система нелинейных уравнений для рассматриваемой схемы

электрической системы состоит из четырех уравнений:

.

,

,)(

,)(

б2б22

22

2222222121222121

б1б21

21

1111212111212111

б2б22

22

2222222121222121

б1б21

21

1111212111212111

UbUU

UPUQUgUgUbUb

UbUU

UPUQUgUgUbUb

UgUU

UQUPUbUbUgUg

UgUU

UQUPUbUbUgUg

ra

rarraa

ra

rarraa

ra

rarraa

ra

rarraa

(7.15)

Система уравнений небаланса токов в узлах схемы замещения

рассматриваемой электрической системы имеет вид:

.0)(

,0)(

,0)(

,0)(

222121222121б2б22

22

22222

212111212111б1б21

21

11111

222121222121б2б22

22

22222

212111212111б1б21

21

11111

rraa

ra

raJr

rraa

ra

raJr

rraa

ra

raJa

rraa

ra

raJa

UgUgUbUbUbUU

UPUQw

UgUgUbUbUbUU

UPUQw

UbUbUgUgUgUU

UQUPw

UbUbUgUgUgUU

UQUPw

(7.16)

99

Шаг итерационного процесса в каждой итерации определяется из

(7.7) как произведение обратной матрицы Якоби, рассчитанной в данной

итерации, на вектор небалансов, взятое с обратным знаком:

)()( )(1

)()1( iiiUWU

U

WU (7.17)

Элементы первой строки матрицы Якоби (частные производные

небалансов активной мощности в первом узле по активным и реактивным

составляющим узловых напряжений):

.

,)(

)(2)(

,

,)(

)(2)(

122

1

221

21

1111121

211

111

1

122

1

221

21

1111121

211

111

1

bU

w

UU

UQUPUUUQb

U

w

gU

w

UU

UQUPUUUPg

U

w

r

Ja

ra

rarra

r

Ja

a

Ja

ra

raara

a

Ja

(7.18)

Элементы второй строки матрицы Якоби (частные производные

небалансов активной мощности во втором узле по активным и реактивным

составляющим узловых напряжений):

.)(

)(2)(

,

,)(

)(2)(

,

222

22

2222222

222

222

2

211

2

222

22

2222222

222

222

2

211

2

ra

rarra

r

Ja

r

Ja

ra

raara

a

Ja

a

Ja

UU

UQUPUUUQb

U

w

bU

w

UU

UQUPUUUPg

U

w

gU

w

(7.19)

100

Элементы третьей строки матрицы Якоби (частные производные

небалансов реактивной мощности в первом узле по активным и реактив-

ным составляющим узловых напряжений):

.

,)(

)(2)(

,

,)(

)(2)(

122

1

221

21

1111121

211

111

1

122

1

221

21

1111121

211

111

1

gU

w

UU

UPUQUUUPg

U

w

bU

w

UU

UPUQUUUQb

U

w

r

Jr

ra

rarra

r

Jr

a

Jr

ra

raara

a

Jr

(7.20)

Элементы четвертой строки матрицы Якоби (частные производ-

ные небалансов реактивной мощности во втором узле по активным и реак-

тивным составляющим узловых напряжений):

.)(

)(2)(

,

,)(

)(2)(

,

222

22

2222222

222

222

2

211

2

222

22

2222222

222

222

2

211

2

ra

rarra

r

Jr

r

Jr

ra

raara

a

Jr

a

Jr

UU

UPUQUUUPg

U

w

gU

w

UU

UPUQUUUQb

U

w

bU

w

(7.21)

Экранная форма задачи с введенными исходными данными пред-

ставлена на рис. 7.2.

В ячейки B2:D2 вводятся (с помощью функции КОМПЛЕКСН)

значения сопротивления линий, в ячейку Е2 – комплексная единица

(вспомогательная величина для расчета проводимости линий), в ячейки F2

101

и G2 – значения мощностей в узлах электрической системы, в ячейку H2 –

значение напряжения в базовом узле.

В ячейки B4:D4 записываются формулы для получения проводи-

мости линий (функция МНИМ_ДЕЛ), в ячейки B5:D5 и B6:D6 вводятся

значения, соответственно, активной (g1, g2, g3) (функция МНИМ.ВЕЩ) и

реактивной (b1, b2, b3) (функция МНИМ.ЧАСТЬ) составляющих прово-

димости линий и формируется полная матрица узловых проводимостей

(7.14).

Рисунок 7.2 – Экранная форма задачи с полной матрицей узловых

проводимостей (курсивом выделены элементы, относящиеся к базовому узлу)

Затем создается экранная форма системы нелинейных уравнений

(7.15) с матрицей коэффициентов и формулами для расчета правой части

(рис.7.3).

В ячейки I15:L15 вносятся значения искомых переменных (ак-

тивных Ua1, Ua2 и реактивных Ur1, Ur2 составляющих узловых напряже-

ний), полученные на каждой итерации. Эти ячейки используются для вы-

числения левой и правой частей системы нелинейных уравнений (7.15), а

также значений небалансов токов в узлах схемы замещения (7.16) и эле-

ментов матрицы Якоби (7.18) – (7.21).

102

Рисунок 7.3 –Экранная форма правой части системы (7.15)

В табл. 7.2 представлены формулы, которые вводятся в ячейки

I18, I20, I22, I24 и K18, K20, K22, K24 и по которым на каждой итерации

происходит расчет значений правых частей уравнений (7.15), записывае-

мых в ячейки М18, М20, М22 и М24, соответственно.

На рис. 7.3 в ячейках I15:L15 введены начальные приближения

искомых переменных и в ячейках М18, М20, М22, М24 рассчитаны зна-

чения правых частей уравнений (7.15) в первой итерации.


системы нелинейных уравнений (7.15)


1 2

I18 =(F5*I15+F6*J15)/(I15^2+J15^2)

I20 =(G5*K15+G6*L15)/(K15^2+L15^2)

I22 =(-F6*I15+F5*J15)/(I15^2+J15^2)

I24 =(-G6*K15+G5*L15)/(K15^2+L15^2)

103

Продолжение табл. 7.2

1 2

K18 =-ПРОИЗВЕД($H$5;$F$9)

K20 =-ПРОИЗВЕД($H$5;$F$11)

K22 =ПРОИЗВЕД($H$5;$G$9)

K24 =ПРОИЗВЕД($H$5;G11)

М18 =I18+K18

М20 =I20+K20

М22 =I22+K22

М24 =I24+K24

Значения активных и реактивных составляющих узловых напря-

жений, записанные в ячейках I15:L15, копируются в ячейки G18, G20,

G22 и G24 для наглядности вычислений системы (7.15).

Удобная для применения функций MS Excel и метода Ньютона

форма записи системы уравнений небалансов тока (7.16) записывается в

поле В27:M30 (рис. 7.4). Для этого:

Рисунок 7.4 – Расчет небалансов токов (7.16) в первой итерации

104

– в ячейки В27:Е30 переносите матрицу узловых проводимостей

Yу – т.е. матрицу коэффициентов левых частей уравнений (7.15);

– в ячейки G27:G30 копируете значения активных и реактивных

составляющих узловых напряжений, записанные в ячейках I15:L15;

– в ячейки I27:I30 копируете значения правых частей уравнений

(7.15), вычисленные в ячейках М18, М20, М22, М24;

– в ячейки К27:К30 вводите выражения для расчета левых частей

уравнений (7.15): в ячейку К27 записываете выражение

=МУМНОЖ(B27:E27;$G$27:$G$30), которое далее копируете в ячейки

К28:К30;

– в ячейки М27:М30 вводите выражения для расчета небалансов

тока (7.16): в ячейку М27 записываете выражение =I27–K27, которое да-

лее копируете в ячейки М28:М30.

В ячейки К32:К47 записываются выражения для расчета элемен-

тов матрицы Якоби (табл. 7.3): в ячейках К32:К35 рассчитываются эле-

менты первой строки (по формулам (7.18)), в ячейках К36:К39 – элементы

второй строки (7.19), в ячейках К40:К43 – элементы третьей строки (7.20),

в ячейках К44:К47 – элементы четвертой строки (7.21) (рис. 7.5).

Таблица 7.3 – Выражения для вычисления элементов матрицы

Якоби


1 2

К32 =-B18+F5*(I15^2+J15^2)/((I15^2+J15^2)^2)-

2*I15*(F5*I15+F6*J15)/((I15^2+J15^2)^2)

К33 =-C18

К34 =-D18+F6*(I15^2+J15^2)/((I15^2+J15^2)^2)-

2*J15*(F5*I15+F6*J15)/((I15^2+J15^2)^2)

К35 =-E18

К36 =-B20

К37 =-C20+G5*(K15^2+L15^2)/((K15^2+L15^2)^2)-

2*K15*(G5*K15+G6*L15)/((K15^2+L15^2)^2)

К38 =-D20

К39 =-E20+G6*(K15^2+L15^2)/((K15^2+L15^2)^2)-

2*L15*(G5*K15+G6*L15)/((K15^2+L15^2)^2)

105


1 2

К40 =-B22-F6*(I15^2+J15^2)/((I15^2+J15^2)^2)-2*I15*(-

F6*I15+F5*J15)/((I15^2+J15^2)^2)

К41 =-C22

К42 =-D22+F5*(I15^2+J15^2)/((I15^2+J15^2)^2)-2*J15*(-

F6*I15+F5*J15)/((I15^2+J15^2)^2)

К43 =-E22

К44 =-B24

К45 =-C24-G6*(K15^2+L15^2)/((K15^2+L15^2)^2)-2*K15*(-

G6*K15+G5*L15)/((K15^2+L15^2)^2)

К46 =-D24

К47 =-E24+G5*(K15^2+L15^2)/((K15^2+L15^2)^2)-2*L15*(-

G6*K15+G5*L15)/((K15^2+L15^2)^2)

Рисунок 7.5 – Вычисление элементов матрицы Якоби в первой итерации

106

Полностью матрица Якоби записывается в ячейках O27:R30 пу-

тем копирования соответствующих ячеек (рис. 7.6). В ячейки O32:R35

вводится обратная матрица (с помощью функции МОБР).

Рисунок 7.6 – Составление матрицы Якоби и вычисление обратной матрицы

В ячейках Т32:Т35 вычисляется величина шага (7.17) с помощью

выражения =-МУМНОЖ(O32:R35;M27:M30) (рис. 7.7).

Рисунок 7.7 – Определение величины шага в первой итерации и

вычисление следующего приближения искомых неизвестных

107

В ячейки Q37:Q40 вводятся формулы для вычисления значений

искомых переменных в следующей итерации в соответствии с (7.12):

– в ячейке Q37 записывается выражение =I15+T32;

– в ячейке Q38 записывается выражение =K15+T33;

– в ячейке Q39 записывается выражение =J15+T34;

– в ячейке Q40 записывается выражение =L15+T35.

Полученные значения искомых активных и реактивных составля-

ющих узловых напряжений вручную записываются в ячейки О44:О47,

откуда путем копирования они вносятся в ячейки I15:L15. MS Excel по-

вторяет вычисления: пересчитывает значения небалансов токов в узлах

схемы замещения рассматриваемой электрической системы, элементов

матрицы Якоби и величину шага итерационного процесса, – и определяет

новые приближения искомых переменных. На рис. 7.8 показаны величина

небалансов токов в узлах схемы замещения рассматриваемой электриче-

ской системы (ячейки M27:M30) и значения активной (ячейки Q37:Q38) и

реактивной (ячейки Q39:Q40) составляющих узловых напряжений после

второй итерации.

Рисунок 7.8 – Результаты второй итерации

108

Вычисления повторяются до тех пор, пока не будет выполнено

условие сходимости итерационного процесса (7.13). На рис. 7.9 представ-

лены значения искомых переменных и небалансов токов после четвертой

итерации. Как видно из рисунка, по всем переменным небалансы токов в

узлах рассматриваемой схемы меньше 0,00001. Расчет можно прекратить.

Рисунок 7.9 – Результаты четвертой итерации

Значения напряжений в узлах схемы замещения рассматриваемой

системы записываются в ячейках Р50:Р51 (функция КОМПЛЕКСН):

U1 = 114,1846 + j11,6032 кВ,

U2 = 114,5255 + j8,8273 кВ.

109

7.3. Задание

В соответствии с номером варианта рассчитайте параметры элек-

трической системы, используя метод Ньютона. Исходные данные для рас-

чета приведены в табл. 6.5 – 6.6 (см. лаб. 6). Варианты схем электрической

системы приведены в табл. 5.5 (см. лаб. 5).

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: учебник для вузов /

В.М. Вержбицкий. –М. : Высшая школа, 2005. – 840 с.

2. Астахов Ю.Н. Электроэнергетические системы в примерах и иллюстра-

циях : учеб. пособие для для студентов электроэнергетических специаль-

ностей вузов / Ю. Н. Астахов, В.А. Веников, В..В. Ежков; под. ред. В.А.

Веникова. – М. : Энергоатомиздат, 1983. – 504 с.

3. Перхач В.С. Математичні задачі електроенергетики / В.С. Перхач. –

Львів : Виша шк., 1989. – 464 с.

4. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практи-

кум / В.Я. Гельман. – СПб. : Питер, 2003. – 237 с.

5. Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Инфор-

матика» для студентов всех специальностей инженерно-экономического

факультета / состав. Пимонов А.Г., Лазеева М.П. – Кемерово : ГУ КузГТУ,

2006. – 17 с.

ЗМІСТ

Вступ 3

Лабораторная работа 1 Решение систем линейных алгебраических

уравнений средствами MS Excel 4

1.1. Представление системы линейных уравнений в матричном

виде 4

1.2. Табличные формулы и операции с матрицами 5

1.3 Группировка рабочих листов 10

1.4. Матричный способ решения СЛАУ 11

1.5. Пример решения СЛАУ матричным способом 12

1.6. Задание 14

Лабораторная работа 2 Решение СЛАУ методом Гаусса с об-

ратным ходом 20

2.1. Метод Гаусса с обратным ходом 20

2.2. Пример решения СЛАУ методом Гаусса с обратным ходом 23


Лабораторная работа 3 Решение СЛАУ с помощью надстройки

«Поиск решения» MS Excel 28

3.1. Порядок использования надстройки «Поиск решения» для

решения системы линейных алгебраических уравнений 28

3.2. Пример решения СЛАУ с помощью надстройки «Поиск

решения» 30


Лабораторная работа 4 Решение СЛАУ итерационными мето-

дами 35

4.1. Преобразование СЛАУ для применения итерационных

методов 35

4.2. Метод простой итерации 37

4.3. Метод Зейделя 38

4.4. Пример решения СЛАУ итерационными методами 39


Лабораторная работа 5 Расчет параметров установившегося

режима электрической системы средствами MS Excel. Опера-

ции с комплексными числами 45

5.1. Линейные узловые уравнения для сети переменного тока 45

5.2. Пример расчета параметров установившегося режима трех-

фазной электрической сети методом узловых уравнений 49


Лабораторная работа 6 Решение системы нелинейных уравне-

ний узловых напряжений с помощью надстройки «Поиск ре-

шения» MS Excel 75

6.1. Нелинейные уравнения узловых напряжений 75

6.2. Пример решения нелинейных уравнений узловых напряжений

с помощью надстройки «Поиск решения» 80


Лабораторная работа 7 Решение системы нелинейных уравне-

ний узловых напряжений методом Ньютона 93

7.1. Метод Ньютона 93

7.2. Пример решения нелинейных уравнений узловых напряжений

методом Ньютона 97


Список литературы 109

Навчальне видання

Методичні вказівки

до лабораторних робіт

за темою «Рішення систем лінійних и нелінійних рівнянь

сталого режиму електроенергетичної системи засобами MS EXCEL»

з курсу «Математичні задачі енергетики»

для студентів спеціальностей

6.05070101 «Електричні станції»,

6.05070108 «Енергетичний менеджмент»

Російською мовою

Укладач ЛИСЕНКО Людмила Іванівна

Відповідальний за випуск проф. Лазуренко О. П.

Роботу до видання рекомендував проф. Веприк Ю. М.

В авторській редакції

План 2016 р., поз. 6

Підп. до друку . . р. Формат 60х84 1/16. Папір офсетний.

Друк – ризографія. Гарнітура Тimes New Roman. Ум. друк. арк. 6,5.

Наклад 50 прим. Зам. № . Ціна договірна

Видавничий центр НТУ «ХПІ».

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 3652 від 24.12.2009 р.

61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

Друкарня НТУ «ХПІ», 61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ...

Documents