제 6장 보의 응력 심화 주제) -...
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Mechanic
cs of Materials
s, 7th ed., Jame
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 6 장
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-1
Mechanic
제 6 장
6.1 소개
- 보의 곡
o 합성
o 경사
o 비대
o 얇은
o 탄소
o 비선
6.2 합성
- 한가지
- 재료 절
cs of Materials
장 보의 응
개
곡률/보의 수
성보
사 하중을 받는
대칭 보
은 두께의 보의
소성 굽힘
선형 굽힘
성보
이상의 재료
절감, 경량화
s, 7th ed., Jame
응력 (심화
수직응력/보의
는 보
의 전단응력
료로 제작된
es M. Gere &
화주제)
전단응력에
보
Barry J. Goo
대한 응용
dno
제 6 장
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-2
Mechanic
변형률
5 장의 기
xy
( 2 1E E
1x E
2x E
중립축
단면에 작
11 x dA
1 1E y d
cs of Materials
률 및 응력
기본 가정 적
y y
1 이라고 가정
1 1E E y
2 2E E
축
작용하는 축력
22 xA dA
2 2dA E y d
s, 7th ed., Jame
용 : 단면은
정)
y (6-2a)
y (6-2b)
력의 합은 0
0A
0dA
es M. Gere &
변형후에도
)
)
0
(6-3)
Barry J. Goo
평면을 유지
dno
지함
제 6 장
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-3
Mechanic
2 축 대칭
모멘트
AM
M
1
수직응
식 (6-5)를
1x
Note: E
cs of Materials
칭인 단면의
트 - 곡률 관
21 1
x y dA
E y dA
1 1 2 2(E I E I
1 1 2 2
ME I E I
응력 (굽힘공식
를 식 (6-2)에
1
1 1 2 2
MyEE I E I
2 1E E 이면
s, 7th ed., Jame
경우 중립축
계식
11
22 2
x y dA
E y d
2 ) I
2
식)
에 대입하면,
2 x E
xMyI
es M. Gere &
축은 도심축과
22 x y dA
dA
1 2I I
2
1 1 2 2
MyEE I E I
Barry J. Goo
과 일치
(6-4)
(6-5)
(6-6a,b)
dno
제 6 장
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-4
Mechanic
샌드위
두 재료의
E 부분이
( 0 으
식 (6.6)
여기서 I
top
- 두께가
averV
b
제한
선형 탄성
cs of Materials
위치 보의 굽
의 물성치 값
이 전체수직응
으로 가정)
1xM
31 12
bI h
bot1
2Mh
I
가 얇은 경우
aver c
Vbh
성에 한함. (콘
s, 7th ed., Jame
힘에 대한 근
값의 차이가 클
응력의 대부분
21
xMyI
3ch
ttom12
MhI
전단은 웨브
c c
Vbh G
콘크리트는 인
es M. Gere &
근사이론
클 때: ≫
분을 부담함.
0 (6-7)
(6-8)
(6-9
브가 전부 지지
(6-1
인장응력은 무
Barry J. Goo
.
)
)
a,b)
지함.
0a,b)
무시하므로 적
dno
적용 불가)
제 6 장
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-5
Mechanic
예제
문제
60M
목재 (①
풀이
중립축의
1y dA
2y dA
따라서 E
(1500 k
1h
cs of Materials
6-1
1 k-in, 1E
①)와 강철(②
의 위치를 를
1 1 1(y A h
2 2 (y A
1 1E y dA E
1ksi)( 3 inh
5.031 in , h
s, 7th ed., Jame
21,500 ksi, E
)에서의 최대
먼저 구한다
3 in)(4 in
16.25 in )h
2 2E y dA
2)(24 in ) (
2 6.5 inh
es M. Gere &
2 30,000 k
대/최소 인장/
다. 식 (6-3) 이
n 6 in) (h
)(4 in 0.5 i
0 에서
(30,000 ksi
1 1.469 ih
Barry J. Goo
ksi ,
/압축 응력은
이용
1 3 in)(24 h
1in) ( 6h
1i)( 6.25 ih
in
dno
은?
2in )
.25 in)(2 in
2in)(2 in )
제 6 장
2n )
0
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-6
제 6 장 보의 응력 (심화 주제)
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-7
3 2 41 1
1 (4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( 3 in) 171.0 in12
I h
3 2 42 2
1 (4 in)(0.5 in) (4 in)(0.5 in)( 0.25 in) 3.01 in12
I h
Check: 3 3 41 2 1 2
1 1(4 in) (4 in) 169.8 4.2 174.0 in3 3
I h h I I
1 11 4 4
1 1 2 2
(60 k-in)(5.031 in)(1500 ksi) 1310 psi(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )A
Mh EE I E I
2 11 4 4
1 1 2 2
( 0.5 in) (60 k-in)( 0.969 in)(1500 ksi) 251 psi(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )C
M h EE I E I
2 22 4 4
1 1 2 2
( ) (60 k-in)( 1.469 in)(30,000 ksi) 7620 psi(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )B
M h EE I E I
2 22 4 4
1 1 2 2
( 0.5 in) (60 k-in)( 0.969 in)(30,000 ksi) 5030 psi(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )C
M h EE I E I
Note: 2 1C C , 그러나 2 1 2 1/ / 20C C E E
Mechanic
예제
문제
3.0M
바깥층/중
(a) 일반이
(b) 샌드
으로 각각
풀이
(a) 일반이
1 (12bI
2 12bI
1 1E I E
바깥층:
cs of Materials
6-2
10 kN m, E
중간층의 최대
이론
위치보의 근
각 구하기
이론
3 3 2( )ch h
3 200 m12ch
2 2 (72 GE I
1 max( )
s, 7th ed., Jame
72 GPa, E
대 인장/압축
사이론
200 mm (112
mm (150 mm
GPa)(12.017
1
1 1 2 2
( / 2)(M h EE I E I
es M. Gere &
2 800 MPE
축응력을 다음
360 mm) (
3m) 56.250
6 410 mm )
1
2
) (3.0 kN
Barry J. Goo
Pa
음의
3(150 mm)
6 410 mm
) (800 MP
N m)(80 mm910.200 N
dno
12.017
a)(56.250
2
m)(72 GPa)m
제 6 장
6 410 mm
6 410 mm )
19.0 MP
장 보의 응력 (
Pa
910.200 N
Pa
심화 주제)
age 06-8
2N m
제 6 장 보의 응력 (심화 주제)
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-9
중간층: 2
2 max 21 1 2 2
( / 2)( ) (3.0 kN m)(75 mm)(800 MPa)( ) 0.198 MPa910.200 N m
cM h EE I E I
Note: 1 max 2 max( ) /( ) 96 , since 1 2/ 90E E
(b) 샌드위치 보에 대한 근사이론
1 max 6 41
(3.0 kN m)(80 mm)( ) 20.0 MPa2 12.027 10 mmMh
I
Note: 근사해는 일반해의 값보다 큰 응력을 준다.
Mechanic
6.3 환산
- 한가지
- 이 등가
- 단일한
- 환산단
cs of Materials
산단면
재료로 구성
가단면을 환산
한 재료로 구성
단면에서 구한
s, 7th ed., Jame
성된 등가단면
산단면 이라
성된 보와 같
한 응력을 원래
es M. Gere &
면으로 환산하
부름.
같은 방법으로
래 보의 응력
Barry J. Goo
하여 계산
로 응력산정
력으로 변환하
dno
하여야 함.
제 6 장
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-10
Mechanic
중립축
- 중립축
- 모멘트
중립축은
1 1E y d
여기에 계
1y dA
②재
그 폭을
cs of Materials
축과 환산단면
축이 같은 위치
트-저항 능력이
은 식 (6-3)으로
2 2dA E y d
계수비 n E
2yn dA
료를 ①재료
을 n 배로 늘
s, 7th ed., Jame
면
치에 있어야
이 같아야 함
로 구해짐
0dA
2 1/E E 을 대
0
료로 바꾸는
려서 구성한
es M. Gere &
하며,
함.
입하면
는 대신
환산단면을
Barry J. Goo
(6-11)
(6-13)
의미함
dno
제 6 장
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-11
Mechanic
모멘트
환산단면
x E
AM
E
여기에서
(M E
cs of Materials
트-곡률 관계
면은 재료 ①로
1E y
21 1
xAy dA
E y dA
서 1 2E n E 이
1 1 2 2 )E I E I
s, 7th ed., Jame
식
로만 구성되
1
21 2
x y dA
E y d
이므로 위 식
) 이 되어 식
es M. Gere &
어 있으므로
2
1 1(
x y dA
dA E I
식은
(6-4)와 같아
Barry J. Goo
로
1 2 )E nI
아진다.
dno
제 6 장
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-12
제 6 장 보의 응력 (심화 주제)
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-13
수직응력
1xT
MyI
(6-15)
여기서 TI 는 환산단면의 중립축에 대한 관성모멘트임.
즉 2
1 2 1 21
TEI I nI I IE
(6-16)
(6-16)(6-15)
11
1 1 2 2x
MyEE I E I
(a)
재료 ①에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력과 동일
재료 ②에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력에 계수비 n 을 곱해야 함.
1 2
1 1 2 2 1 1 22
2x
T
MynE MyEE I E I E
My nII E I
(b)
제 6 장 보의 응력 (심화 주제)
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-14
일반적 유의사항
- 재료 ①을 재료 ②로 환산하는 것도 가능
- 재료 ①, ②모두를 다른 재료로 환산하는 것도 가능 (계산이 더 복잡해짐)
- 3 개 이상의 재료로 구성된 경우도 적용 가능.
Mechanic
예제
문제
60M
환산 단면
목재 (①
cs of Materials
6-3
1 k-in, 1E
면의 방법을
①)와 강철(②
s, 7th ed., Jame
21,500 ksi, E
이용하여
)에서의 최대
es M. Gere &
2 30,000 k
대/최소 인장/
Barry J. Goo
ksi ,
/압축 응력을
dno
을 구하기.
제 6 장
장 보의 응력 (
Pa
심화 주제)
age 06-15
제 6 장 보의 응력 (심화 주제)
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-16
풀이
강철 (②)을 목재 (①)로 환산하기로 함. 계수비 2
1
30,000 ksi 201,500 ksi
EnE
강철부분의 폭을 20 배 하여 환산단면을 구성함.
3
1 2
(3 in)(4 in)(6 in) (6.25 in)(80 in)(0.5 in) 322.0 in 5.031 in(4 in)(6 in) (80 in)(0.5 in) 64.0 in
i i
i
y Ah
A
2 16.5 in 1.469 inh h
3 21
3 22
4 4 4
1 (4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( 3 in)121 (80 in)(0.5 in) (80 in)(0.5 in)( 0.25 in)
12 171.0 in 3.01 in 231.3 in
TI h
h
목재의 수직응력:
1 4
(60 k-in)(5.031 in) 1310 psi231.3 inA
T
MyI
제 6 장 보의 응력 (심화 주제)
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-17
1 4
(60 k-in)( 0.969 in) 251 psi231.3 inC
T
MyI
강철에서의 수직응력은 환산보의 응력에 계수비 n 을 곱하여 구한다.
2 4
(60 k-in)( 1.469 in) (20) 7620 psi231.3 inB
T
My nI
2 4
(60 k-in)( 0.969 in) (20) 5030 psi231.3 inC
T
My nI