제 11 장 생산 기술 -...
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제 11 장 생산 기술
1. 생산기술의 표현: 생산함수
1. 생산기술의 표현: 생산함수
생산기술: 생산요소(production factor) 혹은 투입(input)이라고 일컫는 기존의 재화와 서비스를 이용하여 산출(output)이라고 불리는 새로운 재화 혹은 서비스를 창출해 내는 노하우(know-how)
생산함수 (production function):
생산요소는 2개만 있다고 가정: 노동(Labor)과 자본(Capital)
( ),q F L K=
1.2 장기와 단기: 가변요소와 고정요소
단기: 특정 생산요소의 투입량을 변화시킬 수 없는 기간.
장기: 모든 생산요소의 투입량을 변화시킬 수 있는 기간.
고정요소: 단기에서 투입량을 변화시킬 수 없는 생산요소.
가변요소: 단기에서도 투입량을 변화시킬 수 있는 생산요소.
단기와 장기의 구별은 물리적인 시간단위는 아님.
단기생산함수(short-run production function): 고정요소가 있는 단기에서 가변요소와 산출량과의 관계를 나타내는 함수.
장기생산함수(long-run production function): 모든 생산요소가 가변요소인 장기에서 생산요소와 산출량과의 관계를 나타내는 함수.
1.3 생산요소가 한 가지인 생산함수
한 기업이 노동을 생산요소로 하여 생산을 할 경우: 생산함수
(1) “투입이 없으면 산출도 없다”
기업은 항상, 생산을 하지 않을 수 있는, 즉 조업중단(shut down)의 옵션이 있다.
(2) 단조성(monotonicity): 이면 이다.
총생산, 평균생산, 한계생산 총생산(total product: TP): .
평균생산(average product: AP): .
한계생산(Marginal product): .
( )q F L=
( )0 0F =
LL >' ( ) ( )'F L F L>
( )q F L=
( )( ) F LAP L L=
( )( ) ( )'dF LMP L F LdL= =
그림 11-1 평균생산과 한계생산
L
)( 00 LFq =
O
q
0L
기울기:평균생산 0
0)(LLF
=
기울기:한계생산 )(' 0LF=)(LFq =
단조성: 한계생산이 항상 0보다 크다.
그림 12-4 평균생산곡선과 한계생산곡선
LO
q
(a) <그림12-2(a)>의 평균생산곡선과 한계생산곡선
)(LFq =
LO
MPAP,
MP
AP
그림 12-4 평균생산곡선과 한계생산곡선
LO
q
(b) <그림12-3(a)>의 평균생산곡선과 한계생산곡선
)(LFy =
LO
MPAP,
MP AP
1L 2L 3L 4L 1L 2L 3L 4L
1.4 생산요소가 두 개인 경우의 생산함수
생산함수
노동의 평균생산:
자본의 평균생산:
노동의 한계생산:
자본의 한계생산:
( ),q F L K=
( ),( ),LF L KAP L K L=
( ),( ),KF L KAP L K K= =
( ),( ),LF L KMP L K L
∂= = ∂
( ),( ),KF L KMP L K K
∂= ∂
1.4 생산요소가 두 개인 경우의 생산함수
생산함수
(1) 투입이 없으면 산출도 없다.
또한 기업은 항상 생산하지 않을 옵션이 있다.
(2) 단조성 어떤 생산요소이든지 투입을 늘리면 산출도 증가한다.
즉 , 이다.
(궁극적) 한계생산체감: 모든 생산요소의 한계생산은 궁극적으로 체감한다.
( ),q F L K=
( ),0 0 0F =
0>MPL 0>MPK
2. 단기생산함수 vs. 장기생산함수
2.1 단기생산함수
단기생산함수 : 자본의 투입량이 로
고정되어 있을 때 로 표시
0K):( 0KLFq =
그림 11-5 자본의 변화가 단기생산함수에
미치는 영향
LO
q
):( 0KLFq =
):( 1KLFq =
01 KK >
0K ):( 0KLFq =
2.1 단기생산함수
자본의 증가가 노동의 한계생산에 미치는 영향
예 2. 생산함수의 경우
예 3. 인 생산함수의 경우
( ),F L K LK=
( ),F L K L K= +
2.2 장기생산함수 그림 11-6 장기생산함수
q
K
L
2.2 장기생산함수
생산요소 간의 대체성: 등량곡선
등량곡선(isoquant curve): 주어진 산출량 q를 생산할 수 있는 (L, K)의 조합을 모아놓은
등량곡선(q) = { (L, K) | q = F(L ,K) }
단조성의 가정하에서 등량곡선이 지녀야 할 성질 (소비자이론의 무차별 곡선에 대응) (1) 등량곡선은 우하향한다.
(2) 서로 다른 등량곡선은 교차하지 않는다.
(3) 원점에서 멀리 떨어질수록 높은 산출량을 표시하는 등량곡선이다.
2.2 장기생산함수
기술적 한계대체율 (소비자 이론의 한계대체율에 대응) 기술적 한계대체율(Marginal Rate of Technical
Substitution: MRTS) 등량곡선의 접선의 기울기의 절대값 동일한 산출량을 생산할 때, 노동 한 단위가 대체할 수 있는 최대한의 자본의 양 =
K
L
MPMP
그림 11-9 기술적 한계대체율
K
O L
0K
KK ∆−0
0L LL ∆+0
1),( qKLF =
2.2 장기생산함수
기술적 한계대체율 체감의 가정: 등량곡선은 원점에 대하여 볼록하다.
두 생산요소 중에서 한 가지만 집중적으로 많이 사용하는 것보다 두 생산요소를 적당한 비율로 섞어 사용하는 것이 더 효율적임을 의미
한계생산체감과 기술적 한계대체율 체감 사이에는 아무런 관계가 없다.
2.2 장기생산함수
규모에 대한 보수(returns to of scale)
모든 투입을 같은 비율로 늘여 갈 때, 산출량이 투입량의 증가와 비교하여 어떻게 증가하는가를 보는 것.
규모에 대한 보수체증(Increasing Returns to Scale, IRS): 1보다 큰 모든 에 대하여, 이다.
규모에 대한 보수체감(Decreasing Returns to Scale, DRS): 1 보다 큰 모든 에 대하여, 이다.
규모에 대한 보수불변(Constant Returns to Scale, CRS): 0보다 큰 모든 에 대하여, 이다.
t ( ) ( ), ,t t tF L K F L K>
t ( ) ( ), ,t t tF L K F L K<
( ) ( ), ,t t tF L K F L K=t
2.2 장기생산함수
동차함수와 규모에 대한 보수
r차 동차함수(homogeneous function of degree r) 0보다 큰 모든 에 대해서
인 영역에서 이므로. 규모에 대한 보수체감.
인 영역에서 이므로 규모에 대한 보수불변
인 영역에서 이므로 규모에 대한 보수체증.
t ( ) ( ), ,rt t tF L K F L K=
1:10 ><< tr ( ) ( ) ( ), , ,rt t t tF L K F L K F L K= <
0:1 >= tr ( ) ( ), ,t t tF L K F L K=
1:1 >> tr ( ) ( ) ( ), , ,rt t t tF L K F L K F L K= >
3. 여러 가지 생산함수
3.1 콥-더글러스 생산함수
콥-더글러스 생산함수의 노동과 자본의 평균생산과 한계생산
한계생산체감 및 체증은 나 가 1보다 큰지 혹은 작은지에 의존.
이면 이 증가할 때 도 증가→
이면
: 한 생산요소의 증가는 항상 다른 생산요
소의 한계생산을 증가시킴.
: 기술적 한계대체율은 항상 체감.
: 콥-더글러스 생산함수는 차 동차함수.
( ), , , ,0 0 0a b a bF L K AL K A= > > >
1 1 1 1, , ,a b a b
a b a b a b a bL K L K
f FAL K AL K a bAP AL K AP AL K MP AL K MP AL KL K L K− − − −∂ ∂= = = = = = = =∂ ∂
a b1>a L APL
APMP LL>
1>b APMP KK>2 2
1 1 0a bF F ab AL KK L L K− −∂ ∂= = >∂ ∂ ∂ ∂
bLaK
KALbKALaMRS ba
ba
== −
−
1
1
( ) ( ) ( ) ( ), ,a b a b a ba bt t t t t tF L K A L K AL K F L K+ +
= = =
bat +=
3.2 레온티에프 생산함수(Leontief production function)
(소비자 이론에서 두 재화가 완전 보완재의 효용함수에 대응)
생산함수 에서는 노동과 자본이 정확히 의 비율로 결합하여 생산
1차 동차함수이며, 규모에 대한 보수불변
( ) { }, , , ,0 0min aL bK a bF L K = > >
},{min bKaLq =ab
( ) { ( ) ( ) } { } ( ), , , ,min mint t a tL b tK t aL bK tF L K F L K= = =
3.3 선형생산함수(linear production function)
(완전 대체재인 효용함수에 대응)
노동과 자본의 평균생산:
한계생산:
이 증가할 때 는 감소 →
이 증가할 때 는 감소 →
: 기술적 한계대체율은 항상 일정
1차 동차함수이므로, 규모에 대한 보수불변
( ), , ,0 0a b a bF L K L K= + > >
bKLaAPL
KbaAP KL +=+= )(,)(
L APL MPAP LL>
K APK MPAP KK>
ba
MPMP
K
LMRTS ==
( ) ( ) ( ), ,t t at bt t a b tF L K L K L K F L K= + = + =
,L KF Fa bMP MPL K
∂ ∂= = = =∂ ∂
4. 여러 가지 탄력성의 개념
4.1 생산요소의 산출탄력성(output elasticity)
노동의 산출탄력성 ( )
자본의 산출탄력성( ): .
생산함수가 r차 동차함수일 경우, 가 성립 (Box 28).
따라서 r차 동차함수일 경우 이 성립.
노동투입량의변화율
산출량의변화율 ( ),( ),
LL
L
F L K L MPe L APF L K∂
= =∂
자본투입량의변화율
산출량의변화율 ( ),( ),
LK
K
F L K K MPe K APF L K∂
= =∂
( ),L K
F FL KL Ke e F L K
∂ ∂+∂ ∂+ =
( ),L KF F r F L KL K∂ ∂+ =∂ ∂
ree KL =+
4.2 규모의 탄력성(elasticity of scale)
규모의 탄력성: 모든 생산요소의 투입량을 똑같은 비율로 증가시킬 때, 산출량의 증가율이 투입량의 증가율에 비하여 얼마나 큰가를 계산 (국지적(local) 개념)
규모의 탄력성( ):
규모의 탄력성 = 각 생산요소들의 산출탄력성들의 합 ( )
율모든투입량의공통변화
산출량의변화율
1
( ),( ), ( ), t
d tL tKF tL K d t F L Kη ==
( ) ( ), ,
( ),L K
L K
F L K F L KL KL K MP MPAP APF L K
∂ ∂+∂ ∂= = +
ee KL+=η
4.2 규모의 탄력성(elasticity of scale)
: 국지적으로 규모에 대한 보수체증
: 국지적으로 규모에 대한 보수체감
: 국지적으로 규모에 대한 보수불변
r차 동차함수: (오일러 정리)
따라서 규모의 탄력성은 모든 (L, K)에서 항상 r 로 일정함
1),( >KLη
1),( <KLη
1),( =KLη
( ),F FL K r F L KL K∂ ∂+ =∂ ∂
5. 기술진보
5. 기술진보
기술진보(Technological progress): 주어진 생산요소의 양으로 더 많은 산출을 생산함.
: t라는 시점에서 로써 생산할 수 있는 최대의 산출량. t가 커지면동일한 로써 생산할 수 있는 산출량이 커짐을 의미.
):,( tKLFq = ),( KL
),( KL
그림 11-16 기술진보
K
O L
qtKLF =)':,(
tt >'
qtKLF =):,(
5. 기술진보
기술진보의 유형.
1. 중립적 기술진보(neutral technological progress)
기술진보를 표현하는 A(t)는 시간이 지남에 따라서 증가하는데 기술진보가 노동과 자본의 생산성에 동일하게 영향을 주는 경우.
2. 자본 확장적 기술진보(capital augmenting technological progress)
이는 기술진보가 새로운 기계 설비의 개발 등, 자본에만 영향을 미치는 경우.
3. 노동 확장적 기술진보(labor augmenting Technological progress)
이는 기술진보가 노동의 질에 영향을 미치는 경우.
( ) ( ) ( ), ,:q ttF L K A F L K= =
( ( ) ),q A tF L K=
( ( ) ),q A tF L K=