numerische lösungen der transportgleichung · mit “upstream weighting” explizite approximation...
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22.05.2012 Transportmodellierung
Numerische Lösungen der Transportgleichung
Prof. Dr. Sabine Attinger
Jun.Prof. Dr. Anke Hildebrandt
22.05.2012 Transportmodellierung
02
2
=∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
xcD
xcv
tc
Transport in 1D – advektiv-dispersiv
22.05.2012 Transportmodellierung
Numerische Fehler
Numerische Dispersion
Numerische Oszillationen
22.05.2012 Transportmodellierung
tc
xcv
∂
∂=
∂
∂−
(siehe Zheng & Bennett, p. 174-181)
v j-1 j j+1
Δx
x
tcc
xcc
vnj
nj
nj
nj
Δ
−=
Δ
−−
+−
11 )(Explizite Approximation
mit “Upstream Weighting”
Explizite Approximation des advektiven Flusses
22.05.2012 Transportmodellierung
nj
nj
nj
nj ccc
ltvc +−
Δ
Δ−= −
+ )( 11
v = 100 cm/hr Δl = 100 cm C1= 100 mg/l C2= 10 mg/l Δt = 0.1 hr bzw. Δt = 1 hr
Beispiel
Die Anfangskonzentration ist eine Stufenfunktion mit C1 an der Stelle x=0m und C2 an der Stelle x=1m. Berechnen Sie die Konzentrationen zum Zeitpunkt Δt am Ort x=1m mit zwei unterschiedlichen Zeitschritten !
22.05.2012 Transportmodellierung
nj
nj
nj
nj ccc
ltvc +−
Δ
Δ−= −
+ )( 11
v = 100 cm/hr Δl = 100 cm C1= 100 mg/l C2= 10 mg/l Δt = 0.1 hr
Lösung
22.05.2012 Transportmodellierung
v = 100 cm/h
Δl = 100 cm
C1= 100 mg/l
C2= 10 mg/l
Ohne Dispersion, Durchbruch bei t = Δl/v = 1 h
Lösung
22.05.2012 Transportmodellierung
tcc
xcc
vnj
nj
nj
nj
Δ
−=
Δ
−−
++−
++
111
11 )2
(
Implizit: central differences
tcc
xcc
vnj
nj
nj
nj
Δ
−=
Δ
−−
++++
1111 )(
tcc
xcc
vnj
nj
nj
nj
Δ
−=
Δ
−−
++−
+ 111
1
)(
Implizit: upstream weighting
Implizite Approximationen des advektiven Flusses
22.05.2012 Transportmodellierung
Numerische Lösungen
22.05.2012 Transportmodellierung
= Finite Element Method
Numerische Lösungen
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j-1 j j+1
Δx x
j-1/2 j+1/2
Approximation des dispersiven Flusses
22.05.2012 Transportmodellierung
tcc
xcc
vx
cccD
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
Δ
−=
Δ
−−
Δ
+− +−+−
11
211 )()
)(
2(
explizit mit “Upstream weighting”, v >0
)()2()( 1112
1 nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj cc
xtvccc
xtDcc −+−
+ −Δ
Δ−+−
Δ
Δ+=
Solve for cj n+1
Explizites Schema
22.05.2012 Transportmodellierung
tcc
xcc
vx
cccD
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
Δ
−=
Δ
−−
Δ
+− ++−
++−
111
1
211 )()
)(2
(
implizit mit “Upstream weighting”, v >0
)2()(
)( 1121
111 n
jnj
nj
nj
nj
nj
nj ccc
xtDccc
xtvc +−
+−
++ +−Δ
Δ+=−
Δ
Δ+
Solve for cjn+1
Implizites Schema
22.05.2012 Transportmodellierung
tcc
xcc
vx
cccD
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
Δ
−=
Δ
−−
Δ
+− ++−
+++−
111
11
211 )()
)(2
(
implizit mit “Central weighting”, v >0
)2()(
)( 1121
11
11 n
jnj
nj
nj
nj
nj
nj ccc
xtDccc
xtvc +−
+−
++
+ +−Δ
Δ+=−
Δ
Δ+
Solve for cjn+1
Implizite Schemata
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)( 2 >Δ
Δ
xtD
1<Δ
Δ
xtv
Stabilitätskriterium – Explizite Approximation
für Dispersion
für Advektion (Courant Zahl)
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Numerische Dispersion kontrolliert durch (für explizite und implizite Approximationen)
Courant Zahl xtvCr
Δ
Δ= Cr < 1
Peclet Zahl αx
DxvPe Δ=
Δ= 2<Pe
Kriterien
22.05.2012 Transportmodellierung
Numerische Löser (MT3DMS) Pa
rtik
el
Met
hode
n
Fini
te
Diff
eren
zen
Met
hode
n
22.05.2012 Transportmodellierung
Aufgabe 1. Programmieren Sie verschiedene
implizite FD-Lösungen mit matlab! Hinweis: Stelle dafür zunächst die
Matrizen-Gleichung auf, die numerisch gelöst werden muß.
2. Vergleichen Sie die verschiedenen Lösungsschemata hinsichtlich numerischer Stabilität und Dispersion!