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nudos
Nudos De Cuerda
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¡Estos nudos se pueden desanudar!
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Cerramos:
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¿que nudo es este?
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El no nudo:
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Fısica!
Take one spaghetto.
Tie a knot on it and pull it by its ends. Gently!
Observe, where it breaks (Pieransk).
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Otros usos
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Otros usos
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nudos
Nudos De Matematicos
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Nudos de matematicos
Los nudos van a ser curvas enel espacio tridimensional.
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Nudos de matematicos
Mejor aun:
Nuestros nudos son curvas en el espacioque estan hechas de segmentos de recta.
(ecuaciones mas sencillas)
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Nudos de matematicos
Pero, ¿Que es una recta?
¿Que es un segmento de recta?
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Una recta
Un segmento de recta
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Nudos de matematicos
Definicion. Un nudo es una curva, k, en elespacio tridimensional.
Pedimos que k sea una curva simple ycerrada.
Tambien pedimos que k sea union de unnumero finito de segmentos de recta.
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Nudos de matematicos
Sin embargo, usualmente vamos
a dibujar los nudos como
curvas “redonditas”
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Nudos de matematicos
¿Por que?
Bueno, primero porque es mas facil.
Y luego:
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Seis lados
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Nueve lados
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Trece lados
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Veintisiete lados
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Cuarenta y un lados
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Cien lados
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Pero, ¿esos nudos son el mismo nudo?
(¿la misma curva?)
(pues, sı y no)
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Tenemos que decir cuando dos curvas sonel mismo nudo.
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Tomemos un nudo k y un triangulo ∆ enel espacio de tal manera que ∆ y k se tocanen exactamente un segmento de k y un ladode ∆.
k
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kk’
Si hacemos el cambio del dibujo,obtenemos un nuevo nudo k′.
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Movidas de Triangulo
kk’
Segun el dibujo, decimos que el nudo k′ seobtiene del nudo k mediante una movida ∆.
(Tambien decimos que k se obtiene de k′
mediante una movida ∆).
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Definicion. Dos curvas k y ` se dicenequivalentes (o sea, “son el mismo nudo”)si una se puede llevar a la otra medianteuna sucesion finita de movidas ∆ y ∆.
Se escribe “k ∼ `”.
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una arista ∼ dos aristas
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Estos nudos:
son el mismo nudo
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Algo (bastante) mas complicado:
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dibujos
Dibujos De Nudos
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dibujos
Primero: Manipular nudos en el espacioes difıcil.
Segundo: Queremos hacer dibujos masfaciles, pero de los que se pueda recuperarel objeto tridimensional.
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dibujos
Proyectemos al nudo sobre un plano.
¿Que es una proyeccion?
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dibujos
Una proyeccion no nos permite reconstruirel objeto original.
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A una proyeccion le debemos anadir“indicaciones” en los puntos de cruce quenos digan que puntos estan mas cerca o maslejos (estan por arriba o por abajo).
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A una proyeccion le debemos anadir“indicaciones” en los puntos de cruce quenos digan que puntos estan mas cerca o maslejos (estan por arriba o por abajo).
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(otra manera)
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Pero, para de veras poder reconstruir elnudo, debemos prohibir algunas proyecciones:
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NO:
PROHIBIDO!
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Definicion. Una proyeccion de un nudo sellama regular si solo contiene un numerofinito de puntos dobles y ningun vertice delnudo se proyecta sobre otro punto.
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Definicion. Una proyeccion regular de unnudo, k, junto con las indicaciones en lospuntos de cruce que nos dicen que puntospasan por arriba o por abajo, se llama undiagrama del nudo k.
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![Page 81: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/81.jpg)
¿Como se ven las movidas ∆en un diagrama?
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Recordatorio:
kk’
![Page 83: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/83.jpg)
Vamos a fijarnos en un pedacito del nudo.Digamos, vamos a fijarnos en un segmento:
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El segmento no toca a otro segmento:
![Page 85: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/85.jpg)
(O sea, puedo desarrugar (o arrugar) eldibujo.)
(Este cambio “realmente” no cambia eldiagrama.)
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El segmento se toca a sı mismo:
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El segmento toca a otro segmento:
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El segmento pasa por un punto de cruce:
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¿Que mas puede pasar?
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Nada. Son todas las posibilidades, puesestamos en una proyeccion regular.
I.
II.
III.
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Estos tres cambios se conocen como“Las Movidas de Reidemeister”
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Movidas de Reidemeister
I.
II.
III.
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Es claro que dos diagramas que difieren poruna sucesion de movidas de Reidemeisterrepresentan al mismo nudo.
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Pero Kurt Reidemeister ademas probo:
Teorema. Si dos diagramas representan al
mismo nudo, entonces hay una sucesion finita de
movidas I, II y III que llevan un diagrama al otro.
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Que es un teorema impresionante, pero...
(es una buena noticia que, para verificarla equivalencia de nudos, nos basta con lasmovidas de Reidemeister.)
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Los dos diagramas representan al mismo nudo.
Por Reidemeister sabemos que podemos llevarun diagrama al otro con una sucesion de movidassencillas I, II y III.
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Pero Reidemeister no nos dice cual es esa sucesionde movidas.
![Page 98: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/98.jpg)
II III I
III
IIII, IIII
~
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∼
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Mas despacio
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Los nudos
Bueno, pero primero vamos a conocer unpoquito mas a los nudos.
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El nudo trebol (= 31)
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Otra vez el trebol
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![Page 106: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/106.jpg)
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![Page 107: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/107.jpg)
El nudo con figura de ocho (= el ocho = 41)
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![Page 109: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/109.jpg)
¿que nudo es este?
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![Page 111: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/111.jpg)
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![Page 112: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/112.jpg)
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![Page 113: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/113.jpg)
Todos los nudos
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Cinco cruces
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Seis cruces
![Page 116: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/116.jpg)
Siete cruces
![Page 117: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/117.jpg)
Ocho cruces
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Ocho cruces
![Page 119: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/119.jpg)
Ocho cruces
![Page 120: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/120.jpg)
Ocho cruces no alternantes
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etcetera
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Muchos nudos
¡Vamos a construir nudos!
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Muchos nudos
Tomamos dos numeros enteros.
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Muchos nudos
Tomamos dos numeros enteros p y q detal manera que la fraccion p
q este reducida.
(En este caso se dice que los numeros p y q
son primos relativos.)
Por ejemplo, el 7 y el 3.
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Muchos nudos
En una circunferencia marcamos 2p
puntos.
Para nuestro ejemplo, de 7 y 3, marcamos14 = 2× 7 puntos.
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Muchos nudos
Dentro de la circunferencia trazamos unabisectriz, digamos, una vertical.
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Muchos nudos
Fuera de la circunferencia trazamos otrabisectriz que empiece en el punto numero q
(el q-esimo), con respecto a la bisectriz deadentro.
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Muchos nudos
Dentro y fuera de la circunferencia,nos fijamos en las parejas de puntosequidistantes con respecto a las bisectrices
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Muchos nudos
Conectamos los puntos equidistantes, losque aun no esten conectados, con arcosque pasen por debajo de las bisectrices.
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Muchos nudos
El nudo resultante se llama el nudo c(p, q)
El nudo c(7, 3)
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Aun mas nudos
Tomamos dos numeros enteros p y q detal manera que la fraccion p
q este reducida.
Por ejemplo, 7 y 3 otra vez.
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Aun mas nudos
En un rectangulo dividimos los ladosverticales en p segmentos y los ladoshorizontales en q segmentos.
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Aun mas nudos
En la parte de enfrente, conectamos lospuntos marcados con segmentos de rectade inclinacion p
q.
(Por ejemplo, si pq es positivo, conectamos
los puntos mas cercanos comenzando porla esquina superior izquierda. Si p
q es ne-gativo, comenzamos en la esquina superiorderecha.)
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Aun mas nudos
Para nuestro ejemplo de 7 y 3.
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Aun mas nudos
Ahora, en la parte de atras, conectamoslos puntos con segmentos de la inclinacioncontraria (o sea, −p
q). Estos segmentos vandebajo de los segmentos ya dibujados.
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Aun mas nudos
Para 7 y 3.
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Aun mas nudos
Finalmente conectamos las esquinas condos “segmentos verticales”
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Aun mas nudos
El nudo resultante se llama el nudo `(p, q)
El nudo `(7, 3)
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¿Que tiene que ver el nudo c(p, q) con elnudo `(p, q)?
(¿que onda con el c(7, 3) y el `(7, 3)? porejemplo)
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Un resumen
![Page 141: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/141.jpg)
Vimos lo que es un nudo, la nocionde equivalencia de nudos, lo que es undiagrama de un nudo y sabemos comoprobar que dos diagramas representan almismo nudo: Solo hay que encontrar unasucesion de movidas de Reidemeister quelleven un diagrama al otro.
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Sabemos como probar que dos nudos sonel mismo.
¿Pero como le hacemos para probar quedos nudos no son el mismo?
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¿Como se que
~/
?
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Tendrıa que probar que, por mas quedeforme al trebol (sin romperlo), no lo voya poder desanudar.
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O sea, tendrıa que probar que ningunasucesion de movidas de Reidemeister mepuede llevar del diagrama del trebol al “nonudo”.
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¿Que se hace en estos casos?
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Vamos a ver un truco de matematicos
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Colores
Tomemos el diagrama de un nudo k ypensemos en tres colores.
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Colores
Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si
podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal
manera que
1) En cada punto de cruce hay exactamente un color o hay
exactamente tres colores distintos.
2) Se usan los tres colores (todos).
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Colores
Hmmm... ¿el trebol se puede tricolorear?
![Page 151: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/151.jpg)
Colores
![Page 152: Nudos De Cuerda - CIMATvictor/tcj/1-nudos.pdf · Decimos que este diagrama de k se puede tricolorear, si podemos pintar cada arco del diagrama con un color de tal manera que 1) En](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042104/5e82c6f031a24222bb50a45f/html5/thumbnails/152.jpg)
Colores
Tenemos el siguiente resultado:
Teorema. Tomemos un nudo k y un dia-grama D de k. Si D se puede tricolorear,entonces todos los diagramas de k se puedentricolorear.
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Colores
¿...?
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Colores
Primero, ahora podemos hablar de “nudostricoloreables”, no solo de “diagramas tri-coloreables”.
Definicion. Un nudo k se llama tricolo-reable, si algun diagrama de k se puedetricolorear.
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Colores
Segundo, resulta que ahora sabemos losiguiente:
Si dos nudos k y ` son equivalentes y,digamos, k es tricoloreable, entonces `
tambien es tricoloreable.
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Colores
Si nos fijamos que
no se puede tricolorear
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Colores
concluimos que
~/
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Colores
Pero, por ejemplo, el ocho,
tampoco se puede tricolorear.
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Colores
¿...?
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Colores
Ası que podemos concluir que
~/
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Colores
Sabemos, entonces, que hay dos tipos denudos.
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Colores
Pero no sabemos (todavıa) si el nudo ochose puede desanudar.
Claro que es claro que al nudo ocho no lopodemos desanudar,
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Colores
pero NO estamos seguros de que al nudoocho no lo podemos desanudar
(¿cosas de matematicos?)
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Pero, insisto, si dos nudos estan anudados,
¿como se si son el mismo nudo o no?
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Para saber si dos nudos son el mismo,debo transformar (deformar) un diagramaen el otro.
(es la unica herramienta que tenemos)
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Pero, para distinguir dos nudos...