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Notes du mont Royal Cette œuvre est hébergée sur « No- tes du mont Royal » dans le cadre d’un exposé gratuit sur la littérature. SOURCE DES IMAGES Bibliothèque électronique suisse www.notesdumontroyal.com

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Notes du mont Royal

Cette œuvre est hébergée sur « No­tes du mont Royal » dans le cadre d’un

exposé gratuit sur la littérature.SOURCE DES IMAGES

Bibliothèque électronique suisse

www.notesdumontroyal.com 쐰

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AnNITOY En: T’A AmenAœ: un 201mm:El àuAlMozgçgèzùëmwêimvwàMm;

EVT-OCII ASCALONITAE IN AR’CHIMED 1è LIBRO s DE SYJI-IAERA ET

cylindro,atqà alios quofdam,Commen tariàmunc prjmum 8C ’ ræce &Lan’ne in lucem adira,

Cam Cæfi Mdicjl. gratin (ypriuilcgioz4d guingucnm’um.

BLISILEAE,I 04mm Hcruagim’ eXCudifêcité

An. MDxLIIII.

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MIAIGNI FICOw DOMINO SEVER’INOuBONERO A BALITZ, IN GAMIENETZAC OGRODZBNETZ HAEREDI, CASTELLANO Bargmann,

a Burgi’auio Zuppario,dc magna Prdcumtori Crdcbuiczzjî,(5’c.,

Domino (j”Patronofila oâjêmandfiimo, nom Ve.M u ; . I natorz’mjêjë commendat.

M 1 Mmes ,- qui ad fiJmmoS honefiarum adam-grauh dus ufq; afcen dei-e Prudent , ordinis curn primisrationem ut habeant; contendun ttquèdzniml’rïi .-

’ contempta ordinis ramone , omnia pafsim com -l fundi fit n eceHè. Non minus autan in litèrarum .-Ë Rudt’j s,quàm in alI’j s rebus unimerfi’s, ïpfa parens

rerum,ord1’në eHè uoluit,Na.tura.Vt enim à fum

,::.--« me mac domum ædificare qui cœperitmegleâaamenti ratiche, fiufira Si oleum,quod autan, 86 operam iniumit:

fi c qui ueræ philofophiæ campos fpacx’ofifsim os ingrefiî’ , unius dama,

xat aori floribus conten ti,pedes fifiungnec ipfam fegetem ac meHèm in.tegre legerint,aut faltem apis in morem deguf’tauerint ,- doâos’ inter ne, r

ré quqmodo recenferi poHÎntm on equidë uideo. Sed ad hæc gradatim,fufpenfisép interim pedibus concedendum efÏè, l’amprl’dem à maibrx’bus

noflris accepimus.Neque temere fibi quifquam docendi prouinciâ ufur Apet hac in parte , quèd periculo non caret doâor . N on farè em’m arro, -gantia comitatur dhamma, fæpe miam fui complacëtia,Græcis (ÜÀM’ZÏÆ

uo caca. Quæ duo,maxime ubl’ doë’coris animum occuparint, ipfum fla -

çim non tam peticulo uanæ gloria: , quàm ludibrio uulgi exponere con»fueuerunt.DifcipuIUS etfi abieâus uideacur mundo,1’pfum tam’é quia bu v

militas aninfi’ commëdat Deo,fecurè 86 extra pen’cqum ambulat. Eiqui .1

, dam hæc omm’a,ut ordinl’s decorumfiueut Græci loquunturyzà («Mg àI àwyàvrby, à noflris Rudijs minime cupiam excludi, fed potins confiantifsi

mê &ruaùdam effe nobis moderatl’onem illam in decoro ordim’s,quæ 86

l îpfà à Græcis 0b id uocatur mmfiæÆt rafle profeâô hæc ira aire à doâis

çe1ïlëntur . In damnais enim,ubi ordinis ratio fibi minus confiante coudgerit,fequ1’u1’demus in aère fulmina,in terra commotionesg’n mari inun

dationeszdenicg contempto ordine,experimurin urbibus 86 familij s f6æ’aitibnesjn corporibus ægn’tudl’nes t 86 ut une umbo compræhendamu

malta , in animabus noflris regnabunt peccata . Cum tanta fît in rerum9mnîum natura,-1’Ila ordim’s obferùatiojn reâis fludijs abfoluendl’s cur:

urdinis ratio ànobis conturbareturc’ Conturbaretur autë, fi fecus quàmâ

5, v v à fuqdamençis ad fumma conten deremus. Neq; enim fàcrum illum 0m.« . mû difciplinarum çirculüvabfolueritunquâ’ , qui minutas aliquifaflidi’e’s,

ufummas tamtam aflèqui conatur artes. A6 fumma côtemplandamifi par

’ 2 gradus

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. EPIST. NVNACVIPATORIA.gradus quofdam,non admitu’tur animustS’enfi’fl’e hoc idem Plato Hidçz4

tur, cum ueffibulo Scholæ fuæ infcriberet , AymMÉTgu’TÊ’ Ms); échu. Qua

utiq; [enrêna figm’fi’care uoluit,1’nutiles 6H6 ad percipl’endas liberales difci

plinas,qu1’ 31111151 Mu fi ces præfèrtim,8( C”eometriæ prin cipl’a pofuiflent.

nempè quod hæ difciplinæ,imagines rem 5 quæ humanis .faltem &udijscapi pofiunt,oculis mundi fubl’j cere 86 poflint’ 86 ualeanthfà «méfiante

73h: men rem noflramfuo ordine quàm longiHÏmé tandem à rebuë dadacis abdu cit, ut iam non in narra infernè,fed cœlo potiüs fupernèn’nhgrere

cupiat ,*ac rebus 1’ pfis deleâari , qua: ut fummê boni fuht,ita nullam un,quamperm utationem admîttÎIth-uid quod magna pars Sacræ (criptur32 obfcura nobis erit, m’fi Geomem’ca proportione expendat est pins le,âor;Templi Hierofolym ftam’ fabrica, nonne maxima cura 85 dilige’ntx’à

traditurs’ quæ omnia,m’fi Geometn’ca proportione Îeruata , imparati 8c

incultî uulgi cognitionem’ remorentur oportet.Præter alfa , quanto fin.dio præcipit .d1’u1’nus fermo , de conflruendis columm’s fadeè ut omnia

Geometrica ratiche cenfiarent,&ylobafiagmata,bafes quoqg, 86 fpl’ræ;fcapus deinde,ac plinthus ipIà qUalis elfe deberent ,*cum1’pfis cymact’js,fafct’js , fc0t1’js , finis , canaliculis , epiflih’js , quaé omm’a quàm longa 86

lata,quàm alta 8C profunda efiènt,per Geometrîcas rationes fisiritus diauinus [àpientiflimë Commonfiraul’t: quæ res animum hominis non tan,tumin admirationem,fèd etl’am in cognitionem Opificis rerum,1’n duce,

ra equidem euidentiflïmè queant.Claru1’t in hifce difciplinis apud Syra,cufas olim Archimedes,qui nefcias au doâior,an patriæ fàlutis fuerit a,mandorls quia faripférat quædam;quæ acutiora cum elTent,quàm utvrudes flatim tapera poHentÆutocius Àfcalonita , homo fila tempeflate utdoëïus, ira inge’nio fœcüclus et fait,8l habitus efi ab omnibus,ut iam nôinfluente de eo dixerit quidamm’I-râmë’ 32m 6340210: «570.Verê enim ef’c fœcü’

dus in omnibus 1’le explanâdis,in quibus obfcurior alioqui ux’den’ pote

rat ArchimedesÆius fcripta-uiri, nun quam antehac in lucë edita,fub minoniinis potiflîmü tarda publicare placuit z CE quôd dignus tu quidemcs,Cuius ufrtun’ bæc quocylaus aCCe’dat,ut110minis tui fama,per fe profeété clarifiîma,acceflîone tanti fcriptoris longé reddatur dation tu qubcl

, mai erga te, atOÊ adeô erga familiâ tuâ uniuerfâmfynceri pàlàm argumë, M

tü extaret amorisJ-Iabes rationë huius fiai mai. Soleo enim nô infraquëter admirari,in magnis rebus obeundl’s prudentiâ’ tuam,in perfcuh’s pro"

pulfàndis animifortitudïnëfidem in promifix’sjnduf’frfâôc ingenij am"

mon iâ’ in confih’js,1’n coaniundis autë negocij s celeritatë. Quæ cum ne, r

ré eXcellëtes fintin uno homme, ufrtutes, nifi à dofüfèimo quopifï, profdignitate explican’ nô poffuntteas in præfentia attigiflè faltë,mihiuifi1m I2?: fadsultaque uiue dia fœlix,æuo fup errante Sibyllas , amusés annofum .

Neflora ul’nce. ValaexNorimbergagd calen d.[anuan’j çAn,

ne Salutis’noflræ M D x L 1 1 1 IL!

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Nana

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figé]; aulI’mËiy ûæmbefihuùmîoymgà &œmvarîaæç w) J2 Nuéemw î

aeœgnyodwœy n°01: mçbgægwæàfiwsècrem yvêg a? 19505:, à: ïse , «si:

WemBa’Asr) Mm: êwmæiæç; âgé X314) &a’r’ hala) 94mm «un?! q ,- q Enfiævcè 713: «y? 01:33;": 1L Seufg’giævüflreaocXSsîç gênoit à; 5&1» à? puo’Iy’vé: fondus,

fiable; flânât: ê: Tæâïâu 714D izbâgtq’zp, à 49’: i143 Ava-aminé Ëmwîwès 71è guru

- au": à megæZxày Myta’onRvQ’fiS’ Ë 8&8 aVMauë’aêan MW été: kx98: «7.5i 10.9115. âuëç 79 &m’flr’ë ÈAGëy. in qplüy J3 ÆzMouflsËç, à: ë a) «924 âœwû 1257m

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COMMENrTARIIlIEVTOICIil A.,SCA?"LONITAE IN PRIMVM ARCHIMEDIS DE,"

Spbæmwcylz’ndro.

V. V M in Archimedis libro quem de fplræraôc- cylindrocôfecit,eorum qui nos præcefierunrne-’ minem adhuc c0 mperifiem quippiam dignüscôzg

. pofuiflè,idép ab-eis prærermiflum intelligeremnon propter theorematum , quæ illic habentur’,

* facilitatem ,quæ uri’nofiis do&rina indigent exæk: quifitifiima,8( infiruâillima in primis excogira’à l

fifi . rione,»aggrefius fumprouiribxa quæ in illis 019,.fcura 8C perfpeéiu difHCil-ia- continen-rurdeclarare . adducfius ad hoc me».

gis,quozd neminem fortêinahanc comprghenfionem defienfurum cernerem, quad rerumifiarïï Œfficilltate-detefrrifus fini. Signal miam figerai;cum illud me um reputans;De0 coadiu’tore nos. commodè admodumfi85 ad perfeâiOneùï fiudijïriofiriperuenturos z»; . k n A j

, V .ay

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a y avrocrrru ARCH.L!B..1.D E ic L au A Tao T E R in u o Rïv

R au N v M a me N s. ca quae. ab ipfo exponenda fun:theoremaxa , m: confuetum éfi»0mnïbus,Geomerris in expo.

l l ï fin’one, feruans quoq; appellationes quibus ipfe per licenriî

fa p pofitiones in inirio feribend’iuult declarare. a ait prima,Quafdam elfe in plana-armas lineas,quç lineis mais emmiterminos iungenribus,uel0mnis in eandern parrem nergût,

uelaliquid in alceram hab enr. H0: autem quod di&um efi,planum erit,iî intelleaxerirnus quas appellat in planocuruas lineas.Qxare aduerrefidum dharmas abe0. lineas appel lari non fimplicirer, cir’culares,aur conicas,aut cas que: continuira;rem habent non fra&am:ueruïn eas omnis l’implicirer,quæsin plané cum fini, r15in ,direëlum prodiIcantur,curuas uocat. Vnam a urern li neam i n plan o quocunqamodo connexarn, quauis flue ex re&is pluribus conne&atur, flue ex curuis, lin:ex redus 56 curuis,unam ramen eam.ex ea connexionepofiulatappellari;

Hic derfi arrachant)! exemplarigræco. ,iplî a b c d.Verum quom’am uti fuprà didü efi, ’çuruas lineas u0cat non quæ cir-

cumferentiam habent folas, nerumetiam eas quæ exre&is componuntur : ex hiscrac colle&i0 earum quæ in eademçauæhabengrr, gomingerenimin quadam li

’ nea, quai in ead em cauafir, duouréunqâ puriâanorari, ira ut’linea reâa quae illa

ipun&a iunxerigin . .neutrar’n prioris li-

neæ parrem cadat,g fed ipfi coaprerur.

Pro prerea drxitJi- ,neam in eandë ce»

uameffe uocari,inqua lineæ redise,

pet duo quæq; ce a. . h[us purifia duëîe’raut 0m tifs in eaidern partese’adant redise lineæ,àur earum que.

dam in ea idem panes . quædam fupeream , ôtnulla in alterâ partent. Eafdem ue-

ro licerinrerpretarigêi in fuperfi’çiebus. l Il lI Deir’rde ex’ordine nominat iolidum ,81 rhombum folidîî, aperte dé.

clarans fignificapiônem nomûîüm. P0jfi lige petitiones quafdam fumit,quçiun’g’

ei 0p porrunæ ad demonfirationes requêtes , qua: quidem ex ipfo fen in confefiaebabentur: nihilominus ramer: Hemonfirari ex communrbus conc’eptionibus,vôéex his quæ demôfirata finît in Elemmtis: pofiïlnt . Efi autem petitionum prima;

buiuimodi: Li nearum omnium , que: erfdem terminis continemur,re&am elle

breuifiîmam . Efio enim y iin planolinea reâa termi H . Je ilnarra haïe a b : ô: airera itë I .linea quædam a c b,eifdëcontenta terminisa b, pofinlar fibi conçedi ipiàma b minoré efleipia a c b. ,Dico igirur,quod hoc cû’

uerum exifiat , pentu dunoretur iraq; in ipfà ac b,»

utcunqâpunâum c:8(iü’ I a » * ’ Il .gantur a scb «confia: ergo, ipfas a 0c b elleipfa a bmaroxmœm fumanfur in Êp

’ 18

ni" us efi: primô rer’minationes fuppolîtionumyôç ipfas quoq; Il

Ni iam i7 e î

A; gag»... , ,r a

«and .

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l d efiôëag h f, cofdeni rami;

’ abc def eofdem termines .

111i nommâmes faut his a b,b h. mul .

DE saunai; ÈT cruunao; a;fisaoc b lineis alia utcunqa pun&a d e,8C iungantur a d,d c,ce,eb.lîmiliter iamhiccôfiat duas a d,d c ellemaiores a c.8(duas c e, eb maiores c b . Cluarehæ a d;îd c,çe,eb multo maiores erunt ipfa a b. Similiter autem 5c fi alia pun&a intermeel dia lumpta notauerimus,ôl iunxerimus re&as ad pun&a nunc fum pta, inueniamus i pfas item maiores a b.et hoc alliduè faciendofquae magis accellerint ad-li Vam a b cre&ç maiores inueniemur. quare confiar ex his,eam a c b elle i pli: a b maiorem , cum pommas in fora ipla pun&um notareà a: ipfarn iungenteslineamex re&is compofi’tam,ut eam ralem elle lineam 0fiendamus,quæ eadem ratione’p la a b proberur maior.neq3 enim inconueniens efi,in demonfirationibùs’le’orü

qua: confelTa habentur , huiufmodi allumere conceptiones. » liiPofi hæc dicit,lë fumere hoczeàrum quæ eo-fdem terminos habeât linearum,

illas elle inæquales,quæ in eafdem cauas extiterint eo quo fuprâ di&um fuitmo.do; Non lolum autemdixitin hoc inæqualeselïeyhoc quod efi in eafdem l cauaselfezuerum etiam quum altera alteram , au: toram complec’iitur, au: eius partemcom plec’h’tur: parrem autem habet communem à: c0mple&entem complexa ma

iorem elle.lntelliganturau- , ., Atem, ut Si hocrnanifefium fi

at,in plano duælinelæiabc e »- a t I dnos habëtes bos ai, 86 in a,dem cauæ. ô! quoniam rota2g h f complexa efi ab ipla

habere bos a,f. dico ifias in zæquales elle,ôi quæ com prehendit compræbenl a maiorefi . lungantur itaqa b h, ef,d f. (kroumir: igirïxr flintelli r . ,

atur iun&a h a , ad unum laterurù’ ipfius’ ab h, inti-fi confiitütaèlunt ha: a g,gh;

his a b, b h,c6munipofitah f: Hæigitur a g,g h,h f, minores (hachis a -b;b h,h f.Verum b h,h Eminores fun: his h c,e f. tram (nm inrus furfus laper unam b f c6-fiirutæ. mulro magis ergo a h,h c,c f maiores lunt his a ng h, h f. Vcrum hæ c d,d fimaiores funt hac efiôl hæ de, cf, funt ipla d f maioresmulto magis ergohæ

abcdefilunthisaghfmaiores. - VDeclaran’onis enim gracia lupponantur St aliæ lineæ fimfliter prædi&is,ueluri hæa b c de,a fg h k e,Dico couiprathendemem elle maiorëJntelligantur enim

afigh ere&æ in l. Quoniam . * . A vigltur rurfus f l, l g maiores . alunt f g, adie&is communi-bus a f, h, h: al, lh maiores ’fun: a ,fg,gh. Vcruinal,lh I

f

t0 magis ergo a b,b h maio -res fun: his a f, fgvgh. adie’dia communih k,erunt a b ,b le maiores his a f g-h k. Ve,

,rü b h,h-k minores fimt b c, -ck. Malte magis ergo maie» . a V °res abck,hisafg.hk,va’dieal i.&a communik e,erunt hæa’ b cke maiores his a fg h k e. Verum be dg]: e minares faut his: d,d e,multo magis ergo hæ a b c d e, maiores fuma fg h ke. l

« v ’ - ’ h A a a Et

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4 Humour au arion. un a, I 15m circumferentiæ fin: vuel compren dentes uelcompren lie; autvun’umque.’idemlicet inlpicereLnam li pun&a côtinuata ineifdem notentur,8(in eadem iungamin, re&e: fumentur linea: ex re&is coinpofi’tæ,quib us accommodabiturprasdi&a demonfiratio,his quæ exIreâis componun Lfur quales illæ fuerint faâis adie&is.unde 86 0m . ’hem lineam in continuatione pun&orum exi’fientiâ habenrem notato.Quodaüt conuenienzter inæqualitatem linearumnon folum exile hocquôd in eadem cauae lint, denotauit : uerum ad,didit etiam hoc,oportere alteram ab altera com--præhendi,ô( ab ea que! eoldemhabeatrerminosreflamàm nifi’ hoc fuen’r, nô erit hoc utiq; uerü,

omnino lineas tunc inæquales effendi com-picc-relicet in figuris infrafcriptis , nam linea a b c d.8l aefd,eofdlem terminOs-lrabenr,5i in eandemcause fun: z nec [amen confiar,utra earü firalteramaior. nam potefi elle ut æquales lint, 85 pollintutræqa in eadem caua: intelligi,ôl cofdem termi;nos habere.ambæ autem contrariainter le poli -tione c6fiitutæ,ut utrauis earum qua: lunt di&æ*ipfi’ a g h k dzet ira incognitum efiifi’ inæqualiras

aut æqualitas earum hoc pa&o fequarur. quareopportune adieâum efi, auttotam alteram comprçh’endi ab altera re&a oportere,quæ eofdë [erg

minos habeat:aut parrem quidem compræhendi,partem autem cum ea commwnem habere:ficuti in his a g h le d,ôi a lm n x dam his enim quædam com præhen

duntunquædarn communes (untruti al m n. 4 » i I ’ I 4 . . i-Opporrune autem admodum 8l illud ad iriæ’qualitatis iudicium allumptum

efi,oporrerelineas eoldem terminés habere: Siyenirn non fiieritilludaneqa alliera-alœram compræhendere porerit. Quornodo’ igirur inæqualesreruntmilî cafu.nâquâdoqa erunt æqualesfic contingirf elfe com præhenfam aliquando câprændenv

te maioremii. Vtautëhôc de? r . i »claretur, inrelligantur in plaie110 dune redise: ab,,b débutafum angulumadlisi’ontinen’ , ,

. [egôt’fumr’urinb c pagaie, Ï- .

urcunq; d.iungantur a d,a tuQuoniam igitur a d , maroren; ipfal a b , ponatur ab æ-qualis ipfi de , 55 diuidai: acin duo æqüa pun&o f, 86 iungatur fc’. Quonia’. igirur duae

a fit" c maiores funt a c, 56 æay

qualisaf efi iplî fe, eritef,fc A V . .V . v I , -maioripfa a ç, adie&a emmi à battant hac d fifc’rnaiores his b au . quare linea;b a c intellec’ia Ima elle,8( lnéadem canadien une d f c compræhenlà ab aliteraqua: coldem rem-linos nonihabeati, non lolunr comprçhendens-non’ efi maior c6

præhenlàmerum ofienditur minorielfe.’ , A A 1. . , . ; 4 vi Erin lineis ex pluribus re&is compolîtis hoc’idemlicet infpicerernam’intelli:

gantur in largo duacreâæhæ a b,b C556 priè-iam d quodcuncp’conrifigat,ôl iun"garum d. Ü malus ponarurd e æqualis- i pli a b,béeïadiuidâîuriridudæqm pan»

.. . ’ l l i de

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passa-usager sir cruunno. g afie f,’86.ducatur a g ad angulos «au; ad ipfam a dei iungatur fg; arpentait hæquahs lPfila g« item diuidaturh in duo arqua purifie k,’86 ducatur 3l adam -

gulos re&os ad ip. p » a .famj fg, 86 iungaturkl. item k m pona.tut æqualis ipfi gl,86 diuidatur ml induo arqua pun&0n . 86 item ducaturl c ad angulos te -dos, iplam khet(figatur n c. Ex pre.demonfiratis igiturcôfiat, dl maioremelfe ipfa a la; 86 f1:ipfa aga iplàm k niplà g Il; ipfam n c

, ipfal c. quare et totâlinea d fkn c, ma,ioremipfit ab glc aOpportune ergo adie&ü fait , eas opor»

- tere e0fdem habe -

te terniinosj in his a I . : . , . . .. o . iquæ elfe debeantiiiæ’qualcs -. Pardi autem qui hæe çonfiderarit,idem,de fixperfilcieb us demonfirare omnibus , quand 0 cum his quæ prædicfiæ lulu conditionxb.fuperficies fumptæyeoldem terminos cum planis habuerinu I- "WIN’SECVNDVM THEOyRÉM.A;..!; V. a w T uero a c iplî fupercompofituni,wexéedét (dm d,uidelicet licteum ipAfum ab fuperparticularë au; [uperpartiens’rcdnfig’ëritêli’eiplius 1d. Si art-té

fit a b multiplex i pfius d,aut multiplex luperparticularis,’ autmultiplex ruperpartiens,ablat0 ab ipfo b. éæqualird,reliquum c a l’uperalbitdàita ut non amplius ne;

celle fit fumi multiplex ipfi,uerum ut oporreat indeponere a b arqua l, b.le iplÎ a c ,- r86 eandem accommodare demonfira’tionem ;Et compo.menti ipfi f h ad f g minorem proportionem habet,quam a ad b ouïil primum ad ramdam minorem habeatproporrionem ; quam tertiüad quartum’, componendo eadem proportiolequitur. Ofiëdetur aira?tem fic.Süto quatuor magnitudines à b ,bl c,d de f. 86 ab maiorem ad I. îb c habeat proportionem , quam d e ad e f. Dico igirur componëdoi ,6a chabere ad b c maiorern proportionem, quam d fad efi Fiat enim 7 i- ficutc’b au b a,ita me! in: Ecôuerloigitur; nm: ab au» b c, «a h r ad y f

cf. maidrem aüt’habe’ta h ad bÎ c proportionë, quam d a aide fiigiïhi L v. . . :habet’ad efmaio’rem picpoitiofiém quam d e ad e’fiiq’uareh fmaiôr V I 1eritipfa d e, 86 totum h e mains muid f; 86 mystères: hé habet adeiy . . cmaiore’m proportionem , quam d’f ad le. gémi ficifih ad eg’ita a ’c

adc b,pefcdmpdfiuoiriemdgifuiac ad c b maioiein habet proportio.nem,quâm d fad, elfiAtuero a c habeatad c b mimera proportionë;quam d lad e. Dico diuidendo’, quod amassai ad be maioremproportio-neni,quâm dead e’f .1 mais exiim timilirer, fi faciamï-Is li; f a;cutc b, fade a,itaÏl evad e hi, lietçu’t h gamma? d f: quare communi ë f , 1 . a aablata,erit nimrusuaquare h’fhabebi-t ad féqùg efi fieu: abîadb à; , , *

2’. . l a 3;

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ç .EVTOCÏ’rleARCI-I. un? 13’dividende marbré proportionë,quâm d c ad e f. 86 côponendo,8l item diuiden’zdogad’emproportiopfequeîEx dfdem-aüt euerfa pro porno confiaLhabeat enim

p a»: maiOÎ’em ad b c proportionem , quâm d f ad f e. Dico quod tuerrendo ’c a habe

bitad a b pro porno nom minorem,quâmjfd ad d e. Quoniâ enim ab habet ad b c dmaiorem proportionem ,” quaïm d fad fez 8( diufdenti a b habebit ad b c maiorem.proportionem,quàm d me! e f. Éconperfo bÀc ad b a habebit minorem proportionem,quâm f ead e d : 86 c5p0nemi, cd ad a bminorem habebit,quâm fd ad d e.

A IN TERTlVM THEOREMÀ. * k * - I d. iT ab ipfo kduc’atbrf æquah’s ipfi h , quæ fît ’ ’ 1» Ï

km.hoc fieri potefi produâa k 1 ad q,8( po. lIma h æquah’ ipfî k q:ô( cëtro’ quidem k,1’nteruaL

Io autem k q defcripto,c1’rculo ufdelicet q m n,c5fiatkmæqualem efièipfi’kqhoceflx’pfih. .

Latus ergo n c figüræ multiangulæôl æquilateraé.Àngulo enim reâo in fefqm’quartam pro rportionem adduâo , 86 feflx’one perparem diuitfionem flafla à reâo, confia quod circumferen.n’a (èfquiquàrta in paritér pares numero difiriibuétur circümferentias . an re rafla uç qui exillis circum ferendjs fubtenfa fuen’t , ’et figura:

,muln’angulæ 55 æquila’teræ 86 parfilateræ lams u.hum .Nam fi’ angulo (ab x g n,æqualem fecen’âmm anlgulum (ab p g d’, iungentes ab ipfdp in dg,ô( producamusufcp adgh,çqualem1’pfiangu t[à (ab ’p d, côùffat p f1 63E æqualem ipfi p o; a! I jzattifigeredrculum. Quoniam enim ipIà. x g æ. ’"f7 pqualis dt ipfi g d.nam ipfa g commuais efi:æqualeszenim .compleéîuntur. Engo bafi’s x p æquah’s eflipfipp d.ôC angulus fub p x g , réâus cum fit,æquarur an’

galop d gqtïàrècomingitipfum p d QQuom’à’m enim qui ad d angull mû! fun:

Biqïn’fiib pgd,dghæquales :’ r ’ cà efi communis d g,.quaregh ’æqualis çfiîdx’pfi’ gP,ôé ipfi p clip

p fi hd. lte’m ipfa xpipfi’ p dofië-fa efireflè çquah’squak 1’p fa h p

eXifiitfigurèemulq’âgulæ æ uilateræ 8C parflatel’ælaztusfle cri

ptæ circa circufum .- qudftutë, .fimilis figurç in Rriptç fiat,ltfdef ’

confiai . Cam" enim 1’ pfa hg fit

æqualisipfiëp , 85 ipfalcg ipfig n,æqued1’ ans efi h p ipfi-c n;

eadem ratione 8C ipfa po , ipfi- .n kQuare angulus fub c n k,æ*quah’s ef’c angulo fub o pvh.quta’

redrcüfcrl’pta figura cit mûrît

ptæ fimilis. d . I’Cumem’man ulusadkc; d ’ , n - Amaior’ fit angulo .ub a g t, fi angulo fub ç g t conflituamus æqualem angulum(ab l kr,ip (o k intell’eâo interipfal m,trianguIUS lkr fi’mfl-is exit [11:11:ng cg Letgris ficutr kad k l, fic cgad g t. quare m k ad k l, maiorem proportionem habet,-

pquàmcga’dgt. l - . V A :. 1fivJ

i xi g

IN

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"SPHÀERA"!T crIannndo. . pi1’, , IN saxq-VM ÎHEOREMA, v» p.

4 Ropterhocmx’nus efi circumfcriptnm utroqa fimul.Quoniamkem’m circum-Pfcrx’ptùm, adinfcfiptum minorem habetproportfonem , quam utrumqa ad:circulum , multo magis ergo circumfiljl’ptum habet ad circulant minorëdproporyn’onem,quâm mmmq; fim u! adq’rçuluflj. quare drcumfm’pzum minus çfi utro-que fimul circule, commumf ablato,erüt reliquat circum refidua fpacio bruinera...

IN OCTAIVVM THEOREMAti , - .w Erpëdiçulàresjgitur à uertice ad a b c duâæfùm fiIper eas.I.nt.elIigaturenimPconus fècrfum,8(ef’co uertex du; g, centrïi bafis «tubât ab h adà’iungam:

, h 21,862: g,gh. Dico quod g a perpendiçularis efiad ipfàm de . quoniam enim gh perpendiçùla’- ,ris efi: ad circuli planum, 8C omnia facundûneam oplana. quam trianîgùlus g h a amans dl adfim: 8117:3: érafla uper çonïmunem feâioncmplanorum h a, in une planorum ipfa d e.quareipf’a d e, fupcr ipf’am g h a planü fiat, ad angulosréacs z quarè a fuper ipfam,g a.Similiçç1’r ofien -dentur illæ,quæ ad c,b,1’un flat funt a nuage pçrpendiculares cü fint (uper d 1;",e f.Sc1’çndun-naâtj .

quod in præmifla o p pomme additümpfuit hoq,oportere’ omnino pyramidem inferiptam habe?re bafim æquilareram . non enim ah’tcr aucm’cé

ad bafis latera duâæ pofTent eiTc æqualesln pt;(Erin non CR addimm , 33E bafim aequflateram.promena utcuncp fuerit, idem fequetur.

VIN n 0mm TIÆEOREMAvaA I Aimes igiîur funt trianguli a b d,b c, tri

angulo ad c. Quqnx’am enim angul-yas adI dJolidixsï gît; ângËÎlIb-ad. b,b clac majores (ont V .

angulq (ubac! cjlôÇfiÏâ uçrtièead feéfionèmba» a . I l . l  p x H I afis in duo mina iunpxerl’mus d e perpendicularem fuper a c,erlt angnlus (il!) a d bmaior angu o fixb ad e.Conffituatur itaq; angqu (ab adb angnlus , fubdapdf æ:qu’aux a; pofiea d f æquali ipfi d c,1’ungatur af. Quaniam igx’mr duæ duabusvæè

qualessôl alngulusangulo , a man: - a Igalas a b dtrx’angulo ad f æqùalis,qui cil maiotîpfo adçgquare man,galas ail? d 1p Loïagdçmaioçefi. Simi, ’-lirer quota trl’îgkflqâ a la 6,. .îpfo d ç c.

maior . Igitur duo ad b, d b c , ipfda d b maiores film. pIN DECIMVM TEE-oREMA.

Vcatùr enimg fa contingenscirculum , 86 æqùqdifians

fi a c , circumfcrentia abc, in gusæqua diuifa punâo b. Quod enimfic duâa æqucdifiaü; fiat ipfi’ a c,o’.’

Raideur! (mais à. cèntro, h, his h: a,

hd,h’ c’;Quoniani mini ad efi æ: A . .qualx’s ipfî d c, ôi dh communia CR, ; ’ a , . 1, lduæ duabus æqduale’sxtbafis’ah ba A - 1.. J i . a i , v A p 5(me, ignuraçang’ l a angglo æquahs. Summum anguh gb d,d b f («31’ .- nana

,. IN . . .. accu"?

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33’s?"k .

’ dio fpacio compræhenfo fub a d,d c, 81 circumfe.

a" YB»VTOCIIle.ARCH; 1.131.àcentljo ad contaâum duâa efi: hb’. quàrereliquus angulusdgb, rçliquodf bæqualis 6&1 idcirèo ipfa gd,ipfi df efi: æqualis: quareipfa f g CR àquedifiânç-

(flac; i i I V ” L ,P Circumfcribentes icaque multiangula circa-potn’onem , fimiliter circumfer’étijs circumceptis

in duo æqua diuifis,duâis lineis côtingentibusyfuîmemus quædam refidùa minora fpacio b. deinŒn’ptis quidem ofienfum cit in Elementis, tri!angines portionibtis infaiptos maiores efiè dl;midio portionum illarum-. Idcirco poffibfle fait,diuidendov in duo æqua circumferenn’as , être,fias ducendo,relinqui quçdam refidua fpacio dato minora . In circumËriptl’s autem 11’ondum hoc

eflofienfum,in Elementationc. ngniâ’ enim inpræmifla hoc dixit ,,quod CH ipfiîfn c’ollégifiè par

fextum Thcorema,colligéndum 8C ofiëdefidum dquodcontingens auferat triangulum maioremdimidia ca in qua fit portfonemeluti in eadem defaiptione,quod g df m’angulus .maior en: dimiz

a!

renfla ab c. duâis enim eifdem,quoniam angu’lus ’d b f cil rament ipfa d fmaïei ipfa-bifiôc ipfa b fæquatqr ipfifc’.nam unaq; eàrüm applica.

, 4 turJgiçar’d fmaiOr efiipfa fc’, quart triangulus d b .ftriangulo b fc maior exifiit;a nam in eadem funt alntudinemulto magis igit’ur maior efl f ado b fc com præ.i henfo.Eadem ratione 86 d b g maior efi b g a. quare 1:on d g , mains cit dimil

l die fpacio a d c compræhenfo. Ip a IN X!!! THEOREMA. ’ liINtelIi aturitaq; circule b circumfcriptum, 86 infcriptum,& circule a circüfcti;

ptum imfle circnmfèripto ipfi b. quemadmodum autem dieulo date fit figuraïnfcribenda polygonia , fimih’s iudefcriptæ alten’ Circulo,â Pappo diaum fùit inCômçntarijs elementorum.Circulo autem dato ciréumfcribete figuram polygo»hiam,fi’mflem circnmfèriptæ abêti circulo’,nondu;m habe’mùs ab aliquo traditü :

quad nunc dicendum e&.Nam circulo binfèiiPtæj Emilia. circulé ainfcriptanfuit,2la circa a circumfcgiptaç fimilis infcripta fait ip a, uhlan in textioTheoremataôc

elÏ fimilis cirCumfcripçæ ipfi b4 thudfiiam figura: r’e’âilineæ circulis a,b circum-

fa 1’Ptæ [inules film”a"dënhabebuntpmpotfionem , quam illæ qùæ ex cenm’sv poténtl’axale quidem. demfcnpu’s ofienfumefi: in Elementatione.de circumfcri-prisautemnOndum.Ofien- a a g 0’daturayxt’emfic intelliganturenim feorfum circumfcriptæ85 infèript’g figurç reâilîneç,

et à centris circulo mm iügautin- ke,k m,l h,l n. Conflatiâ ik.mlin,ex centfis eiTe’cir monmm circa cirçumfcripta’s fi’guv

iras .multiangulas defcripto æmm z 8C ad feinfuicèm haberipotentiaficucfi’gurçc’irtuma I

fcriptàe. Et quoniam co’nt’en d

v :u’ rab kem,lhn,funtdîmidijangtdotùmçorü duiruntinpolygoniismumipfà

" ’ i . au:

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I , 7D):- sana: tu. il; ÏC-Y-LINDLRVOæ 0 ’ ,0;z En: Emilia, confia; ipfos quoqüé àqüalés eiîè, dom qui ad in , n , haben-- tuganguli «en funtzqüare triangülilc c.m,l h n flint aéqùianguli. 86 efi ficutqua

dratum k ead quadrarum hvl,ficcircixmfcriptyækintec fa figura: . Ergo iîcut quadracum km,ad quadratum l n , fic figurai circdmfirfptæflintyer f2 habcnt. Triang-u»lus igitur kd t,eandem proportionèm habet ad. teâilineani figufam circulo b citcumfcriptam ,qdamrttiangdlds dt, addiangùlùm f r a. Quoniam enim monneæ figuræ dtctilis a!) infcriptaèjë’habènt ad ilnuicernficuyti quæ ex centro potôtia , hoc efi ipfa ta ad g potenfla,hôcefi ç d ad r f longitudine: hoc EH; ficut triai].gulus k d t; ad ipfdm Î r l. Ed adtéfii ipfimi k t dæquale circum (cripto ad circulü,

v ad circulum a. Ed igitüi- (4’611: k f d,ad circé. ci’icùlum b deièriptumjta triangulus’

1x T-ktd,adtfiahgùlùm fil. . , 1 , l il I 1 I, a a’ i lgiturpermùtatîm püfma’hâbet ad cylimdmmminorémpioportionë, quammultiangülüm circule-b irifirifit’um adcirculùm b: nod efi incomeniens,.nam

p fi faciamuspfiêdt-fùpérfiéîe’è prifmatia ad füperficiem cylindri, fic magma cira:

Io b haberîad qùidpiam aliud,ëi’ic id minus circùlo b,ad quod infcrîptum habetmaiorém pr6portionem,qüam adcnrcùlurn; hocèfi Ïupèrficiés .pnTmatisv ad fa.

perficieni cylindri maiorem hab et piôpoccionémcqùâm fcriptüm ad circulum.85 ofiéhfiim’efi habere minoremq’uod admittihonpoicfl. ,

a’ b L m Sun! THEOREMÀ; . pa ’ , Pfa cad ipfam dmaiorem picportionemh abc’t , quâmpolygonfum infifïpxü

’I; . I ’ circulèaad füp’érficiem ’pYramidiSinf’criptæ coud .nam quæ ex centre difculi

i ad latds conf maiorem habet propordoném, qüâm quæâ centio ad dnüm lattispolygonij dtîéîa perpéndicùlaiji’s ? ad perpefidiciflai’cm duâam a ùcrticcconi ad

lamsîpfi’iis polygonij clbtélbgaçuf mimât-imam ,deièxiptio in rational]; 56 poly-

I gonilini Hi Einfctiptum circule. a,b; alcancï’q a ad [andin lattis kl v*6liigon1’j du,i fi catur perpen. Iicùlan’s a g. KConfiatiam qy’çç! faperficiës contentai périmeçm

polygonijfiifubag,e&,dnp1apolygonio,lnf aH ’ telligatlifiçém püâum 1 puccticcm cire coni, et "1; I ’ ab ipfô l ad deLIÇC’ia lgëfi-pèi’pep" ’cqlaris [de a. l

’* 4 a h 1mm ofie’fififm ëfl; in [mame agamiv hcoi’emati’s’.QiIoniam igifidt infcfiptüm p16

lygonium éfi’èèqùilatcrumfickconùs: èfi: agui.

z ç . grafignant ornois duâæ ab 1 ad ünquuoda * que lamé polygonij parpeùdÏÊÜIÊËËs ÉPÜ; æ)-

: düàtes’lg’a unâqüæqa "gamin 9914W?,1 dratùm Misa qù’adraiüin à g;Etpr0pter hoc

’d ’ i" contentlir’n" fùbpéirinictro Magma , 81 fuba ïgxfidüp’lüïü(fiipërfïëiéïfiïfamidimüoder

d m’m fub ünéqq6951atcic, a: fub perpendicul,l d lancinai âücrtiçead lams mon, quæ 8(5)

quam ipr vggdùplpm 21’: man r la ramdamipfam .- "gaffé floua gad g l, je polygdnüfxfiad fupëâîéie’mpyramidis , (mon cômüni al.

v titudirielfierimetri ipfius polygofiii (1an gxi .. æqucdifiâtejpfim 1,, fietfi’cùta madml; gag 1

ad ganTa uero 1g ad g amaiotem proporn’o .mm habctgqu’àm ad à]; nam l g maior cfiipfa Aau. igifùâamâëmkh’oc efi cad d fiiaÏIÎ9rem,, F. a a. ». . h -propdtfldnem Habè; gèùàmia gâd’gl; hot cfi quam polygomum ad pyramidis

ÎHPËÎËËËng - « ’ , 1’ . W Ï A ..

a, i l ’ Bb . 1 a

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le sevres]! IN.A.RC.H... unaus.»in x.v1 135,0 REMA.

’ TIquoni’am concentum fub b a,a g,æquatur côtento fub b d,d fis! damerai -fub a d,8éfub utraqa fimul cl fia g,câ dffitlæquedifians ipfi a g. quoniâ enim

df,efi aequedifiâs ipfi a g, efi ficut b aad a g, fic b dad d fiatqa idcirco côtentû fubextremisb a,d fiæquatur contencofub medijs b d, a g. Vemm c6tentum fub b a,d fiæquatuc contento fub b d,d f, 66 côtenço fub a d, d f, pet primum Theorema 1libri fecundi Stoichiofeos, Igitur contentum fub b d, a &æquamr contente fubb d,d fiât contevnço fub a d,d fiadiec’îocommuni contente fub d a,» a g, eut con.

(encan: rab b d,ad ag,cunjl contente fub a d,a gzquod efîcomentum fub b a,a g,vagale en: contento fubb d,d fiâéçontenlto fub a d,df, 86 it’e’ côtento. (ab a «La g. y

l IN XXIII THIEOKEMA..e A ..v neV Vltx’tude autem latenî polygonij menfuretur qu’aternario. Vult Iatera po-.

. 4 . lygomî mimerai quaternario , quia circule moto circa diametrfi a c dateraomnia ferentur recû’dum conicas faperficiesmumhoc fitfibi ufin’ in fequentibus. iNamfi larda polygonij quaternario non menfurëtur, quamuis patilaterum fixes,

. rit,nonpoflîmt omnia fem’ fecundum conicas fuperficies,uti percipi pote?! in latetibus exagoni, duo enim ex oppofito lacera eiusdnuicem æqdedifiâtiamontingetfërrifecundumicylindificas fuperficies1:qubdquidem fibi non efi ufuiad fe- 7

’ - quentia,utdi&um eflï. d I . a ’ im xx’ix* THÉOREMA. ,ana’uerokh æqualis efi diametro circuli a b cd;Sienima piunâo’q iunxerimugad punâum m,quo k fcontingit cigculumab c dgquodficm’Afimiliter autemaôl

ipfam qkzqûeniam qk Jefiæïralisyipfiaq: f ,86 anguh’ ad infant reâi . [12me k m; i ’ditæqual-is ipfi’ mzfaitém ipfàf ipfi’q h eft æquah’s’: igiturq m æquedifiansefl ip.me 11.5: idcicco efi ficuth f ad f q, ira k h ad km.uerum h f dupla efi 1’ pfius q f,igi.

tut k-vh dupla efi i pfius q. m ,quæ eft ex centro circuli a b cd? . 4 a, ’ V .1»: X);X,THEOR;E-MA, - r l 2

" . Abet autem-diamefer circuli m’,ad diametrum circuli ipfius n piËopôftionâ. quam habet e l ad a k. nam fi iungâtur hæg Le k,angulis ad k l fac-psis redis;

âcipfa a k æquedx’f’cans ipfil e: triangulasïenmi gle efl æquiangulus’. idcirco eft

ficut lad l e,it’a c k ad k a.uerum fient g l- ad b e, ne omnis iungentes au (des airs-âcum triptæ ad diametrum circuli circmnfcripti. Sicut autem c k adïk a, ic omniaiungentes anguldïsinfcflpti ad diametlrü circuli’aib cd. Sieur autem diamètres adIatus,fi’c diametros ad lacuszquoniain &ficutm e ad e Lficmaadakôé pet aequâ, *ficut omnesïiungentes angulos circumfcripri ad elïicaomnesiungentes angu,los fnfcfl’pti-ad Ëk.uerum fient omnes adlatuls et; fic contentum fub omnibus;si (ab eI z hoc eh quadratum eius qua: ex cenn’ôtm , ad quadratum e Lipfa el æ.qualem altitudinë fumente.’ fleuranomnes-adak, fic contentü fub omnibus, «Stfub a k,hoc efi: q-uadratum elus uæezc centrai: ad quadratum a k , communem-Âaltitudinem rurfus fumente a k. tgitur ficut quadratum eius qua: ex cen tro mead quadratum e I: ira quadrarum attaqua: ex centra n ,ad quadrarum a k . Igiturïfieu: ipfa qua: ex centio m ad ipfàm data quæex centre n,ad miam . a k .-Er pet:mutatim;-ficutq1*ræ ex centre m , ad caïn qua: ex centre n,ita e l ad a 1c; Et dupla;antecedemium:fic’ut dîaa’netros ipfius mad- diamexrum ipfius mfic elad a k; i

a y r IN x-xxn T.HEO.REMA,. a dd Ae autem’ih Tumptæflc utæqualiter [Efuperentipfa kaipfam i;&ipfax’ipa v- . 131m1) ,j &ipfa h ipfàn’ï g , Propefi’tum efiduabusl reâis dans duas’ mediaso’l

proportionales inuenire in Aridlmetica analogiat-quod idem’efi: , [la-E176 æquahtfi.

ter fuperent. Ho; autem fier hoc mode; Sint düæ reaæ data: a b,c kninæquaiesgetàûmab dira alb- æquâliïpfickyquæ fitbddfivêfidlïa d 1diuidatur in m’a gqua pan!"âis e5fiôipgnatur g æqualïs ipfi e b,ôc h æquah’s ipfî b f. Bru-ut in? gin perfidien: »

ces

gagea; Fçl-d

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- ri excedir ipfam g,.quâm ipfag ipfam l.T.anto au

n

- vDE spin auna 452T voir-Li NÏD ne; , autekjd’cjuod propofi’tum efi. c0 qu’od a h,habet ad ck maioreni proportidnem

quâm triplam eius quam habet a b ad g . Fiat e. ’nimficutab ad g; fie gad aliam dquandam l. Ecquoniam qua fui parte a b fuperat ipfam g : ipfa dug fripera: eadem luiparte ipiàm i. pars uero ipfi’.us a b maior ait parte illa i piîus g. Igitur ab maie .

rem ipfa ab fuperar ipfam g, quanto gipfam h.Igitur ipfa g maiori excedir ipfarn h ,quàm ipÎarh fLquareiniaiorefi ipfa h . Si rurfus fecerimus fileut g ad Midi ad m , multoimaior erit ipfia c k . Etquoniam funt quatuor redise a b,g’,l;m continueproportionalesmabebit a b ad in proportionem,a b ad g triplicatamquare a b habet ad c k maio.rem proportionem,quâm a b ad g tripiicatam.

in xxxvi THEORvEMA.Erum Contentum iub e h, 86 fub e Le d,ka

4 p p ofienfum efl: æquaieeife centento fub e l,le h.In uigefimo enim feeüdo T heoremate ofien[uni efi,quod e f,c d,k a ad h k eidem proportioanem barbent , quam l e ad e h’. quarre contentum

fub amena efi æquale contente fub medijs. c5 .centum autem fu’b au: h minus efi: quadrato ha . Cum enim contentum fub I b,h k, fit aequale d’itadràro h a,uti confiat,coniun& a a lzpropterea quocl rriangulush ak faflus efi lin-dis trianguio’h a LEflenim ficutlh ad h a,iîca h ad h k,8( ideocontentum fub extremis æquale quadrant: mediæ. ’ ’ :

in xxicvn THBpRemai t.HAbebit iam idem cenrrurn cum cireulo a b . Si enim a d e iügantur redise ad

beÏJklm

r ’ h e Laequales erunt l proptera qüod duâæ a d ad contaâusi reéiae ’funt pet»efidîc’uiares ad aptaras, ôtdiuiduùrur’ adaptais: in duo æqua ad coritaéhrmà au: ,

’uando fiat maior enim efi ruperfi’cies fupe’rfi’cie: quoniam enim m f iècundum

uperfi’ciem conicam ferru1i,feCUndum Colini coni fuperficiem fererur, quæ eft æ-qualis circulo,CUius" qua: ex centre fit m edia proportionalis inter im , 81 dimidiâmagique; fidiul fg,ôc m’n. Similiier 8C fuperficiei coluri coni faâàe ab m a,æqua-lis’ éd çirculus,cüius quæ ex centro fît media proportionaiis inter reûam m a, sedimidia’m utriufgp fimul a b 8C m nKEtipfa quidem fm maioripfa m a,ô( ipfa f gipfa a b maior,igitür media, quare 81 fiiperficies fuperficie. Superficies igiturconatenta (lib fm; m g,mai0f efiniuperfi’cie’ contenta fub ni a,n b. h

* i I IN Xxxirnl THETOREMA.V Vperficies igitur figüræ k f ri maior efi cirçuio;85*c’ætera quæièquiîtur , obîfcu-

re uidetur coliégiife quôd diaum efi. Dicarur’ autem apertê hoc médaiQuoavniain circulas ri kit équalië ruperficieifiguræ. que autem ex centré ipjiîiis n,po.*tefièomeritu’iii (Lib h ,f ” : Contentum autem fub m h,f g mains éd côtenro fubc d,d x.nâni in h ôflëiiià e æqualis ipfi’c des; ipf a fg maior d x .- Ïgitiifcir’cùlus n

maior’ fifi, même mais que: ex centré porëii contemum fub d,d Contentum xauténïiubf 6d; d ü,æquarur quadrato d a. Îgitur circulus n,hoc eiïfuperiicies cir,cumfcupii, maior efi: circula cuiiIs quaë ex centra æqualis ei’t ipfi d a ’

- V. IN xxxiixl THEOREMA; ü r 4 aVErum fpacia prædiâa fun: adinüicern, ficut quadiaiùin laieris e kad qua.i dratum lateris a I. Si enim iUngatur d i k,- cum e kï fit çqù’edifia’ns ipfi’ a La:

fieu: e d add a,ita ek ad al.- Sicùtatnem e d ad d a,- fic e fad ac; in ’itur ficut ek ad

d - . b a al,

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a: . .Evrocn IN Arma. r13. ’r.a Lita e Fad a c786 dimidiaipfius e f ad dûml’dx’am ipfius, a c. Similiter 86 in bmm’b»

iungcntibus angulos polygonorum oflrenderur, quod eandem inter [a habeantpropom’onem, quam e ad a l. Igitùr ficur unum ad unum,lîc omnia ad omnia;quare ficur e k ad a4, fic omnis iungentes angulosil polygoni circumfcrx’pn’ , cumdimidiabafe porrionis maion’s,ad omnes iungenœs , cum dimidïa bafe minorisportiom’s .quare ficut quadratum a k,ad quadratum a [fic contentum fub e k, 86 Iomnibugad contentum fub a bât omnibus. Figuræ enim reâilineæ EmiIeÎs finit dupla laterùm fimflium proportionefiz prôpom’onis e k ad a ldupla efl quadra.ti ek ad quadratum a] proportio. Gôiungenn’um autem angulos maiori’s,’ a’d C6,iungentes angulos minorI’s dupla dt ca qua: cantend fub ’e 1&1 85 Umnibùs; ad c5tentum fub a 1, 8C omnibus. Simih’a enim 85 ipfa,cum habeant- latéra pro pdrtio anah’a. Et CH: Ûcuc e me! tram quæ excentre minoris fph aux , fic a! ad duâafn ,à centre ad-a l perpendicularem. Si enim à centra ad-contaâum iüngatur , raflacric dada perpendicularis ad unafqueek,al . 8C dt fic’ùœd ad d a , hoc efl ekada l; fit quæ ex centra ad contaâum duâa, hac eût quæ ex centra minoris fphæuræ,ad eam quæ ex centre ad al datiez efiperpendicularis. » 4

OPtenfiIm efi autemficute kad al,fiç qua: ex centre circuli m,ad eam quç excentre circuli n. Quoniam oflenfum ef’t’ficut polygom’um ad polygonium ,ficcirculas m ad cfrculum n: hoc efl quadratum dus-qua: ex centre m , ad qùadraùî

eius; qua: ex centre n. - ’ ’ a a a », IN XL THdEOLREMV-lk vVTraq; enim propom’o dupla CH: eius quam haB’étlatlÏâ cifcdhîfèfffitf [5081,gçni adlatl-ÎS infiripti.0&ïenfum cf]: enim in hoc, quod efi ficut quæ’ex cerf

’ti-o circuli æqualx’s ruperficl’ei circumfcn’pn’1 ad eamd qua: ex centre circuli æQUalis

fuperfidei infèripu’fic laïus cireum-fcripti polyg’oni,ad latus infcn’pti. Circull’ amrem inter fefimt in dupla propqrtione fuarü’m feml’dx’ametrorum . Superficies 1’»!

gaur ad fuperficieqnsduplam habet proportionem eam ,quâ habet [aras ad latus,

a. IN XLII THÉORÈME. ’S Olidum igitur circumfcriptum , ad in fcriptü , min ofém habet prô’po’ï’tidnê’d,’

quam folidum fiuf’cum ad conumh. Si enimtïr’cumfcriptqm folïdum adh-1L»(«imam minorem habet7q«uâmtrip11’c’atam proportionë , eau: quam habet b and!

fiât ipfa d habetademînorem , quam Cam triplicatartï . circumfcriptum igùurhabet ad infcn’ptum midorem pro poïdonem,quà’m d ad e,ô(d habet ad e nüno’

I ’ rem proportionem,quâm fruflum ad conum. Cirtünifch’ptum ’ I. ergo ad infcriptum,minm;em hab’etqüàm a 1 d- ï - " frufium ad conum.

zV’r 0C1! ASCMIJGNITAE. COMME N nanan,»in primgm traditîdms ATChfmddis de S phæra ’85 cylindro,afi

firiptum Milefio mCChafiICodIfidoro pr’æcebflb’.

a ri mûre, finit .

EVTOm

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filmas; mifififgu (sa

4 ta fuarùm diamanta. ,.

DE suintai-ni :CYLvLNDmog- agiENT 00.11,1 1j; A sa AL o N. ’ITAE Co M»; -W ’ zM’ÉNaT-AIR HLM. in as E;CV N D v M.

’ . de Spbèmw’ cylindrm a I

v n, v v. M ca qüæin primo libre contiriéntur Theorematajfaü’s fin: -It ânobis explicatazconfequeùs inde acœdit ,ut codemniçdq bisquça in facundo libro’theorehiatahabenmr èxplicandjs, adam adm.beamus. Dicit in primo ThebremateèSumatur datc’èono,uel cy

limite , (efqux’alter cylindrus . Hôc autem duplidter fieri potefi 1au: fetuata in ambobus bafe eadem, autakitudine.Et ut apertiusfiat quad diëïûfefi,intelligatur t’énuaaut cylindrus, cuiüs balîs fit circulus a, altitude autë a qôé z

fit inuenire eius fefquialtèrum cylindruin . Supponatur d b: - v ’autem priuscyliridrus a c, .ôl educatur si c altitude cylin» ’ Idri,ôl ponatur cd dimidfa ipfi’us a ç. igitur a d en’t fafquî

altera ipfius a c. Si iam inèèlligamus cylindrum habéntëbafem circulum a; altitudinem uemreâam a d, ipfe erïtfefiuiaker cyh’ndrj a c.propofi;1f..nam-coni’ 6c .cyîindn’ïn

èadem bafe confiitutiahabent fa ad inuicem,ficut corumaltitudines . SI autèm conus fi; a c, diuifa a cm duo arquapunc’io e z fi rurfus intelligatur cizlindrus , qui bafem ha. Ibeat circulum a , altitudinem autem a e , cri: lèfqul’aluter conf a c.CyI x’ndrus enimqüibafim habeatcirculuma;86 altitudinem a cteâam,triplus gît conf a gâté duplus c .lindn’ a e .quare confiat cylin drum a e’vfèfqulaltt’11’5»1’m.-Aefl)el

com’ a czcuius eadë bafi: faluata,8(x’n propbfito 86 in filmpro efiïc’i’eu’ïr pf’oblema . Licet autë idem fieri , 6C fi bafiîrii

contigerit diuerfàm eflè,axemanente aodem . Eiiiqsènim rrurqu conuè,aur cyfmdrus, cuiussbafië circulas fg,*altg’tu- Ido h k rèâa , cuiùs opus efljnuenire cylindrfi fefqux’altea , ., a l A t a "riî, qui habeat altitudinë æqualemipfi’ h k.Defcn’batur quadratîî f1 ab fg diame’:

tro circuli , 85 produâa . . v Lf g ponaturgm dimidiaipfius,8(’ côpleatur par-allelogrâfnïi fn.E;1’t1’g1’g

tut f n fer uîêltçmmï fi

Rhum: enfin patauds);gramo’f, n,æqua1e qua»

dtafurfi x p: 86 area du»metË’ùr’n ,unumlaterum

eius xédefcrl’baçurfll’p

culuéïEûîtaCçxofefqui y , , 2V valter fpf’fgLnamcirçulî a . X. v "a à A. v Rficfèhafiryficutq’uadfa . v l . l l )

.5;E

Item fiifitqlll’gatur Çylipdfirug , quïhgfim habggâ ’eilrmxum x 0:; si aldmdinenï æ,

qualem ip’fi’ h k, en’t refqux’alter cylindxd habeqtis bafi’m hîculum f g, altitùdmemumh 1451 autemafiËCPnùs a ïdeïFïdemçs: &dconfiituemes’quad’rawm x p ,æ».

quale renia: liard perallelogfa’migêzüde’kgfibëçgs circa unît brassins: x o citadin;

’ d d ’d a iùtelleafl

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11:2, marron! IN 311cm 113;";infiellexîeriiïxus exiipfo çylindrum habèntem altitudinem-htk: habebituuspum(èfquialterunjnucoini ropofiti. (luoniam enim parallelogrâmum f n efi triphunquadrati x p38! Efquialtèrumipfif mi: f ldu’plum ipfi x9. quam 8C circulas en?

cule duplus, St cylin .drus cylindre . Verücylindrus habens bafini dfculum’fg,alti.tudinem uer’dh k, tifplusiefï «me circa (à,

dedebafim 86 altiturdinëlcôfiituto filtra:(a cylindrus bafim.habens circulum xb,

altitudinem uero æ, V . vqualem h k,fefqüiala * . a ’ h a ’- Iter cf: propofito Co a d

no . Si autem opor. .(carmel; bafemme- ’ I 1 n a 4 , m ,que altitudinem efièéandém ,rurfus hoé duplicité: fientant éniifibâfim habch tæqualem data, a’ütiaxem cylindrus qjpropôfitus ç E110 prias bafis’ data tir. a

culu’â 1x a. Etc us efio éyundmmïri. . ïgaufre fefquiatérum daté cônaà’aüc. , i ’ k I .cylindra à haïe KG, id efi qui .bafim ’ - Ihabeat 26. Samatur ut pfædiflum I 5efficylifidræ u" y fafqüialter 661165 aut’ r ,cylindrô dard, tandem bafim habens v 75 - I f Ïcum propofi’to: &fiat ficuç’ quadratü I jx o ad quadratur’n tu, fic altitudo uyad ,ipfam-r s. Erit igl’tur’ cylindras abxobafe h ab’és altitudinem r s,-çqualisu"y.’riâbafes il: habentmütuô ut-altifu ’ Vdines ,8C, faâü cri: imperatü. Si autem

.bafi’s hon fit data, (ce! axis,qadë ratid w ». 4neprolato uy,fiètidquodprdp6niï.- a ’ W t k v v d I f

v I I ni. CdMPOS’iTIONEM PRIML .K ."chumpto,q1wmam ad eius refçlutionem proueniüteaquæ in problemaJ v

. Ha: funt,refoluti6e ad b0c’téfli11’nâtgi1tqp0fl63t duabxedis datisiduasV’eis mediasn ptdpd’rfionales inue’nire",.d1x’lt in capofitione; inueniâtüfJ-Iarum aüt muent ’

douent abeo traditam nufquâ adhm penitùs’inuenimus;muirôrum aütem clam:rumm’rorum feripta in manas iricideruiit’; in quibüâhôc problemavriaëîat’umin.’

uenimus, ex quib;fo[amEud0xi Cm’dq defiriptioflëtePudiauimUs. Namm’ proœmfis- quidem dixit fe par Iifiças cawas eam ifiuéniflë . uémm in demozjfir’an’g;

ne, praire? id quad 11cm çUrüis lineisiütatür’, uerum: difiunflam proportionali: tatem cadmiums ,vea uti continua utitur;quad fané abfurd am efi. Sed quid 61366» . FdeÉud6x6,uerumetiam de quibufdâ quime’diocriter in Gèomem’a uerfatifimt- ï

eVtîaüteïm «arum [me ad nés pefuefierumhominum fenten’u’æ plané habegipofi

rinçejôrum tfniu cuiüfqæifluefliéiidïifiddüm iflicdéiueeps defctibëmus;

H au MGDKQSÏ maïeurs.- ’ ,, .DVab’us mais datis , duas mas- médias illis- proportionalicsnin idfitinua pro, . la, portionalitateinuenire, Sintduærèâædatæab,bciùuicefiipêrpendiculaï 3’ .

v A - rasa .1 .-

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du. a)» H:AE,.11.A,-,NIEEIT,,.I;:C r, L u: n Rio. i à(gambas opus fié duasmediasârdpçrçidnalesginuenire Produca’murfn dite;âiîad d, e156. pardetudrangulus [à Îus fablfglg -: 86m une eius crure,putafg7 m0. .

.. niearuriçgula hum; 4 :1 z l, -’ quodaçnwnfiirutq in. ngta ut pennaiigat aquedlfianun

à Il l2 . . . «,4 ":12?!le au "hua: . q- - V . b

i Un a . x

d a" a "Ma ’ ; a, ’ HAipfî gh; Fictaut’em hoc, fi xntgfliga: rhusalteram regulam c’enfixamipfilig, æquedifiadtemipfi fg,puta .in ,, v ’Superiéiîibus enim ipfa- imin fg,h’ m , viup’ei’iîçiebus firman

tis amàlibusfil * coapratisîpfikl; ad sifflés a tu: runemotus ipfi’us k,fem’pèf æguedifi’âs

ipffg li. H15 ira paradé , applicctui’

mm crus anguli quodcuncp,pu1(a g h, côzingës «86 reguJa attingat.

. à,ita uti in defcriptionehaljeturfi:;, a * atang’ululs radius, pommant ha; »

benë,putacdeaôlregulaklpoficid A 2 . l , a , v , :;a a , hem habeat,puta e a. mm his ira confeâisfptôpofitüm eEeâuni dt. Cufi’i VÈHÎIIÎË; . anguliad d e ,fîmreôigeritficurëbadïfi d,itab dadub gâtai, adh à! , , , ’ Î . lf a v! M ODVS H? K OIN-llis’v’lflr "M-VECHIANI c 1’ suai-r K8: V "

.. x v .. ; . . . galuâiomlïùs’fiaiureliçfizbricandisa r - av, , .ylnt’duæ reflet datæa b,b czuquibïzs’o’pusfit ding médiaë pibfiëùiôfù’àles côfii»

, ; - tuère.-dff;âmnanrur ità, ut ambiantarigumm tçâuni ad b; 81 èùffifaleatur b dX parallelcgratiimüflïungamur a 6b d . cdz’zfiateas êtqlialeà eflë,8( fa mutuô paræqualia (acare punâç’emam circulas circa alferam earIÏm défèfipms, par rem-ni)

fins agrafas traufi’bït, cum perallelogiammïi fit pipit! OgOiïiü, producantur hæ d c;:d a-ufquç ad fg,ôc imçfligatur fegula,putegâfb’g, mon cira quendamdauurü fia;iuxninbœémoueaturydohgc abfiidamur æquales 3:11 adiras: : hoc ei’qeïggéfiâëï ,

q - ’ a d ’ I ’ dard?

LPÊ

,1.

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if a EVTOC’II 411 ARCHE 1123611.intelligatur feâie pofitiqnem habere,putaf b g , fafiis efieg æqualibus,Ïutdi&Rthucatur abeperpendicularis adc d, puisaehrgçonfiateamfccareipfain cd induo arqua-aquarium itaq; «tu; duoæquælëCaturiaunâo h,&additurzicf,fic a!contentum fub d ficflcum quadra i ito ch , æquetur quadrato h fiquæ .3diane a h communi adiedo erit c5 i - ,tentum fub d fifc z cum quadratiç

i harü ch,h e, æquale quadratis f h.h ë.qUadratis autem f h,h e æquaztuf quadratuIm e. Igit’ur Côiitentïi

rab d Efc,::um quadraro ce,æqua-quadrato e fiSimiliterf autant); ’ -

’ fiëndetur,quod tôtemum fub d g,g am quadrato a e, arquai? qùadra

to e g385 a exil æqualis ipfi e c335 ip I v. fa .eipfief. Igitürchonltentüm’ rab v c J5. V J .

d fg, æquatur contente rab d g,g a. Si mît Contentum fubfixtrèijiis fixerit’æqua«le cémenterai) medfis,erür quatuor lineæ iHæ préportIOnaleé.Efiigiun fiÇutfdad d ’.ita a gadc f.me fic’ut f d add g,ficfc adé b,85.baada ghafii in m’angdIo f g duâa afin b,æquedifianâ ipfi d g,ïten1 ë ëgqüedl’fïàns 115R d fiSiCizt ergo,

- b a ad agita ag ad cf,ô5 c fadé bd’girüf interab’,» b C (un: faâæ’ media: proportid

a. hales a g,ch I ’ lH l ILMODYS (ËHI’LONIS B YS’ALNTH.Infiltîjèfiîîëâàflææ am: (,quÆus tapas fît duaë médias fifofioitioiiaies inuc.

I nire g Difponantur ira utambiant angulum radium ad 15,85 iunda a c defiïrizbatur firpëi :3111 fèmicirçulus a b 6;;85 ducatur a d facunduin angulos radios adipfam b a,ô5 item cf ad ip fam b (185 applicecurirégulamobihèad Effemis i dscÏ f;

&moqeaturcircabfioqecquæabip: ’ q. v: 7 : v J 4: "jfobadipfum-dfitæ ualiseiquæabe’ - r - i a . (oin fzhoc cit", éi quæ ci inter circumfegremiam- ciftuli , 55 i pfàm c f. IntelligaEitaqireigulak halicte pofitionçm , para Î.quam habet d bv,e f, d b æqùali ipfi’ e f,ut diâum e179. Dico itaqg,a d,c faire medias priozpo’iftiônaielsyinter a b,b ’c. Intel

Ifgamiir’ëriim d à: fïc prqtraâæ 85 con

(affames in h. denflatitacpçum b a,f fi fini çquediita’tes,quod aflgulüs adh Cf? radius , 85 circulas a à c perféêîüg

tratifib’it par 11.Quoniam igîtiir’ d B efl:

, aggqalisipfi cf, igitur çonféfitümifubfl ’ .1; j, , I I. I I 4 . l î .y’ e"d,dvb’efli Iquale contenta (ab bf,’ 67.: :V-GŒŒ .Cçliténttimzfùb: é d, d b æqùatmi

contente" (a; h d,d agami affûta; eiïâêqüale quadra-o côtinêmtisiâ [mafia d dm,âæ. Cdnte’ntum autem (111315 fifeg-arduatur confëfifdfiïb h ; f6 additif utrùmque

firniliteræquaiur quadrato’ contirjgentis dada: à purifié Egüareîcdniéniumfiîlfih d,d a, læquaturœnt’ento fub h f4 c;AIdcirco fiant 1d h adh fizficcfad d a . Venïfll,ficuth d ad h f,fi’c b cadcfiôÇdfiï âdab main in fl’iâûgüld d h fiduâa éfib cçque.difians ipfi’ a h, item b a- æquedifiaps au h.Efii’giturficut b au c fiiia cfaddë.

85 d a ad a b: quod erat pfdpdfi’tu’m, Sflendvü efi autem,quod huiufmodi apparaagus efi idem’ferè Camille fùfieïidii Bannis . nain paralleldgramum vb h , idem citeo quad fumptum faith apparatüHerqnis , wateraproduëia h a,b à eadem,

. , . a . .. aga,

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6

DE SP’HAEuRA ET CYILINDRO. 17’ A«gifla mota ad b.Hoc folum difi’erunt , quad in illo’ quidem houebaturreg’uialidonec duâæ à fafiione ipfiùs a c,pe’r æqualiagputa ab ipfo k feparareritur æ’q’uaw

’ les coincidentes ad h-d.h flpùta kd,-k Un hac uero inouetur, donecd b maqua.lis ef.in utraq; autem figaratione idem fequitùr g Quod autem-nuât diâum cil;

i "facilius in ufu poditurmam ipfg d b,e fferuabû’tur æquales,diuifa d f ragua paraqualia 85 continUa.hoc autem multo facilius cil" ,quâm circino tentante cas qua:

dab ipfokaddôifduflæ fixerint,æquales facere. .a » I - MODVS A’POIfLONxII. H

l Int duæ «flaqua: a b,a .c zquib,ppus fit duas medias proportionalés inueni. raqua ira aptentur,ut ambiât angulum reâlî ad a. 85 centre b, ’interuallè a c

deiEribatUr circumfcrën’a circuli k h Litem centréqihter’uallo a b, defcribatur cit

cumferentia circuli m h n,quæiecet ip » v ,(am k h l in’punâo h. &iungâtur h a,h h,h è.Igif b a ch CF: parallelogrâmîi,

cuius e17: h a diametrosdiuidatur h a,in duo arqua punâo x,ô5 centré x de;fcribatur circulas fecans ipfas a b, a c,produâas in punâisd cita utpuhâ’ad e fint-inèadem linea rçâa cum ipfoh.quod 11de fiet,cum regula mortacîit? acah,85 fec✠ipiàsÏa d, a e, 85 diduâa,douce duâæ à purifia xad punâa d efint æquales . HOC mina faâo habe»bimus quæfitum . ’Ita urique figuratio

eadem efi: cum illa Hachis 85 Ph ilô Vhis; 85 confia: eandem demonfirationem adhiberi. - . »

monvs DIOCLIS lN LIBRO DE Pi;, . , I fifi: pulcbefrimusz I j .- N circulo-dueaflm aux diamèni ad angulos radios à h,é d,8Z ièpaYehtuf du:circumferentiælæquales utrifi . adb,hæ erb,b Ëôâpér Éducatùr’ æqüédifiâïs ip:

fi a b, quæ fit f g,ô5 iungatur de. ico quod inter c g,g h fini dime media propordonales hæ f g,g d. Ducatur enim pare linea a k, aquedifians ipfi a ba igitur e kæqualis cil ipii fg,ô5kc ipiî g d.Hoc autem confiat,duâisâ panâol reâis ade f. nâanguli c 1 e,f 1d funt çquales.85.rec°ri ad kv,g.

igitur omnia omnibus, propre -’rea quod le æquaturipfi If. igiztut reliqua c kali ç. ualis ipfi’ g da

aniam igitur e ficut d kadk e,fi’c a g ad ghritém ficut d kad

k e,ita e k ad k c. nâ e kefl mediaproportionalis harum d k,k c.Sicutérgo dkad ke,ita ek ad kc:85 fic dgad g h.iô5 d k efl æqualisipfi’cg, Biipia e kipfifg, ipfa kcipfi’ g d . [gitur ficut c g ad g f,ita

gfadgd,ô(dgadgh.8iitemwtrinqg exb fumantur æquales cit I r I l pcungferentiæ hæ m b,b n , 85 parfin ducaturn x’ æqu’edifians’ ipfî a b, 85 iungatuidm,çrüt ruffurinterc 11,1; amadis: propdrt’ioüaleahæ n-x,x’ do 13mm 1’:an hoc

l- -- - d Cc i panât:

d.

ü, ..

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n 4 A Ev’iîO,C11,.,IN ARCH..,LIB.;II.paâo. æquedifiantibus tontinais; produëiis inter b d, 55 circumferentiis depræ4 V I V .heniîs ab illis uerfus b,ponendo alias æqualesuerfus c385 ad punâa faâa iungen I "do raflas [incas a punc’io d,ita ut fimiliter fiant ipfisnde,d m:diuidentur parallèle:quæ funt inter b d femndum quædam punâadn propofira deièriptionqunâ:o h:quibus regula applicata iungentes reâas,habebimus quandam lineam in citcule defcriptam .in qua fi fum atur quodcunq; punôum,85 per ipfum ducatur ç».quediiians ip’fi lb , erunt ipfa duâa , 85 illa qua: abfèinditur ab illa, ex diametmuerfus d,mediæ proportionales , inter lineam ab eadem ex diametro uerrus c ab-fcifa-miô5 parrem eius contentam à panda. inilla lignage, ad diamantin. ’

v Mis ita confiituris , fin: duæ ’ r -méfie a,b,quibus ppm fit duasmedias proportionales inuenite: 85 fit (irçulus,in quo du; diametri fè iècent ad angulos re’éros cd,e E885deièribarur in ip-fo d h f linea , par purifia conti-nua, uti prædiâtrm ei’t,85fiatfitu: a ad b,’itacgad g k: 85iüâa

ck, 85 produc’ia diuidatlineampunâoh, 85 perh ducatur lm,æquedifians ipfi e F. per præfcripta igitur inter c 1,! h mediç fun:proportiôales hæm LI d-thuo iniam efi ficurclad (h , ira cg adgk. Sicutautem. c g adgk , iraa ad b . Si autemin eadem pro:portione ipfarum cl, lin,ld,lh

côftituamus inter a b,puta ifias - . ln-,-15,-ülæ fumptæerunrimer a b mediæ proportionales: quad en: inuenicndum.

,7 mi m.MODVS 5PAPPI IN MECHANICIS I-. ,4 - » intraduéiionibu: . ’PRopofuit Pappusinueni . 1 . l

re cubiî , qui haberetad tu: - 4budeatum proportionem da,:5: 85 fi quæad huiumedi pro»portionem demonflrandam re.quirunrun inuenerimus, cana;nos inuenifl’epropofitü . Duaa

I bus enim rediis datis , fi ex illisduabus,quæ debent aire mediæproportionales,fecundam irruenerimus, tertiam quoq; deindefacile deprehendemus . Derme ’batur itaque,uti dicit ipfeJemiacirculus a b c, 85 à centro’ d dam .

turdb ad angulos reâos,85m0 Vueatur regula cirCa a punâum, .ira ut unus terminus eius quo-dam dauulo circumponatur prî610 a. Efior reliqua pars eius uti .

. x

, cubesarea agentrüzcirca dauulum moueaturinser c.His confiitutis, proponatnr dues V ,

Â,

laina" a. 7449?»; u a a

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adm,» v l

p mm m g.Proportione igitur ipfius a m ad m g pofi’ta cômùni,erit pro ortio côpo

p m g,85 ex prôportione a m ad m g,quæefi: eadem ei quam habet cubus ab a. mpad i

.eiïiciebat. p » l.

. l ". DE:SPHAERAET’CYLÏN1DR0w ’19cubés inuenite,habentes inter fe datam ipro’pottidném , 85 fiat proportio bd ad’ d e,qualis dt proportiodata 85 iuné’ta c e.producatu’r ad EadducaE iam regula in.

ter b c,donec pars eius intercepta inter reâas f e,e b,æqualis fit teâç qua: efi inter 1 ireéiam’b e,85 circumferentiam b k’anocenim tentantes, 85 regùia’m dia-rôdera. . »tes,facile ailèquemm.Fiatiam,et poiîtion’e’ habeat,putaa k,ita ut g h,85 h kçqùa ales fint.Diéo quodcubus ab ipfa b d,adcuburn ab ipfa d h,prdportionem habetpropofitam:hoc ePc eam que: b d ad d é. Intelligatur circulas "perfeâus,85 itmëiak d protendatur ad l, 85 iungatur l g v, cui efi æquedifirans ipfa b d à quia khaeit a.qualis ipfi g h,85 ipfa k d ipfi d l. iün’gatur ipfa a l;851c . Œoniam enim angulusa 1c eft reâus,quia cit in femirculo, 85 lm efi perpendicularis,critigitur flanquadratum l m ad quadratum in a;hoc efi c m ad m a , fié quadratum am ad quadra:

fît-a exlproportione c m ad m a, 85 ex proportione a m ad m g z hoc I I proportiocm admg , eadem ePt campùfitæ ex proportione quadrati a m ad qUadrat-um

auburn ab m g.Igitür propioniovcm adm geadem efl ci, uâ’h’abet cubas ab am ’ aad cubum ab m g, Verum’ fiëutcm’adm g, ficcdad’ d’efbcutautem a m ad mg, x î(ta a d ad- d h. igitur ficutb d add e , hoc cit ficut data pro porti’o , ira cubas ex b d aad cub am ex d h. Earum igitur uas opus erat mediasproportionales inuenire’, jfecunda fuit d h . 85fi feCerimus icut b d ad d h,ita d h ad aliam gamma: ter: " ïtia inuenta. Bit autem aduertëdum,quod hæc d efcriptio eadem dt ei quam Die» îdes fuprà tradiditzhoc-folum differeiis ab ea,quo d ille folum lineam quidam pet » àcontinua partita defçribit intermèdia :ipfi a b, in qua fum ebat g produfla é e, 85 ’. idiuidente diâam lineam . In hoc autem daturgi, perregulam a k,motam circaa. I i 5quod enim g fitide’mJiue-fumatur in hic pet regularn motam , fine fient Diodes,- .ira difcemus: produëia’mgad h,iügaturkn. (liioniamigiturkh eft æquali’s ipfi i Ah g,85 efl: æquedifians ipfi h ba85 k x æqualis’ efi ipfi x 11,85 ipfa x b communis . v Ïeft 85a languies reâos . tram kn indue arqua diuiditur,85 ad angu10s reëtos ab .ea qua: pet centrum .. Igitur bafis æqualis baiï’ z’i-dcirco 85 circum ferentia k b , ipfi l .b n. Igitur g cit id quod cit in linea Dioclis 5’85 demoniïratio eadem. Dixitenim .Diocles,quod ficut c ni ad m n,ita m n ad m 21,85 m a ad m g.Efi:autem m n arqua;lis ipfi m Imam diametros feçat 22m ad angülcs réacs. Bit igirur fient c m ad m l,fic I m ad m a,85m a ad m g. Igitur harü c m,rn g,mediæ propertionales funtl m;m a. Verum ficutcm adm g, ira c d ad d e:ficütautëcm ad m Litaamadm gzhoc,efi c d ad d 12.85 duarum mediarum, harum c d,d e fetundaefl d h,quâtn Psppus i I Ï

A1.

f MODVS SPoRI. i , î.En duæ "a?! data? abab thuibus opus efi: duas médias proportiqnales inueînife r Blum" 3X b Î fa d b e,ad anguios radios aida b : 85 Centre b, interuallo

autemb a defcribatut emi. ’ v- ; n » ï 4 , k. .circulas da e: 85 ab e ad c iü. Igatsureâa5-85duCatur ad f: aazdltléatut ab ipfo dïreëia A

quædam ita,.ut gh fit aqua-Iis ipfi’ h’k.Hoc.enim fieri on

(cit-éd ducantur âgpun is-g,k, perpendiculares ad de,

ifiægl,km*.vquonia igif en . ’ - . ü , p .ficut-khad hg,itambadb i! t I"- b m . au v lal,ôiipfakhefi æqualis ipfi’ h .. î ’ v . I I î l. ,. 1 . .gfigiï’ipiâm’ b cit æqualisipfi bi a quareô5r’eliqua m de ipfi l d .Tora ergo d m , efi ,1

Cc 1, æqualis I i

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’25 ’ v, sv-rotn m nacra; un; n.æquah’s fpfi’l embprôpter hocficutm d ad d Litale ad mè;Verum flan m d ad dl; ’

ira k m ad g l . Sima autem lead m e,ita gl ad m n.Rurfus quoniam flux: d m ad-m k,x’taakm ad m 6.1g1’tur ficut d m ad m e , ira quadratum d b,boc efi quadratuma b ad quadratum h b.nam d b dt æqualis ipfi’ a bRurfusqucml’am ficut m d add h,itale ad eb.item ficut m d ad d b,ita km adh b.Sx’cùt autem l ead 6b, ira g! adc-ngiîfi’cut km adh h,ita g! adc b.ôC permutatim , ficut km ad g Utah b ad ch;Verum ficutkm ad gln’ta mdad dl,hoc efi-d m ad m e:hoc efi,quadratum ab adquadratum h ngx’tur-ficut quadratum a b ad-quadratum h b , ira b h ad b c; Su,matur harum h b,b cmedia proportionall’s hæc,x. Œonx’am igitur ficut quadra-tum a b ad quadratum b h , (ta h b ad b c. Verüm quadratum a b ad quadratumz-h bâhabet proportionem a b ad bh duplicatam, à: h b ad b chahut proportionâ-h b ad x duplicatam. Igl’tur ficut a b ad bh,1’tab h ad x. Veru’m-ficut a b ad x, ira xad b c.Ig1’tur a, b ad b h,fi’cutbh adad X,ô( xadb c.Cêfiataucem , quodhæc quo-

que eadem efi illi qua: à Diode diâa fumai Pappo. ’ a * l

, MOINS MENECHMI. -a. L fnt duæh’naæ reâæ data: a e, quibus iubemur aux medias proportionafes inv. uem’reEflo hoc faâum, 55 fin: illæ b (5.81 ponamr rafla pofitione hæc d g ter

minaret ad d. 86 uerfus d fumatur d flæquah’s ipfi C: 86 ducatur ad an 1110s raflesh fiqdæponatur æquah’s ipfi b. Œoniâar’gl’tur (res linea: a b c rafla: unt propora

fionales, contentü fub a c æquatur quadrato b... Contentû igirur. d dara,8( c , hocefi a f,æquaï quadrato b,boc CH: quadrato fh.quoniâ reââguli coni,-1’n parabole.(gitur punflumhgper- punaum a d, facundum primam defcrfpta ducâtur æquo’difiantes h k,a k. 55 quom’am contentum fub b c efi datum, cum fit æqual’e con .,

tente Pub de: contentum [gitur fub kh, h f datum , quom’am hyperbole, (gitanipfum h in non coincidehn’bus cum his k a;a*f.1’gitur h datum: quam 51 f datum .1Componçtul’ autem fic . Sint. duæ reflet datæ hac d e, &pofi’n’one ipfa a g tamia

nata ad a , Si defcn’baturpgra feë’cio te. 7 a * v *’v &anguli coni,cuius axis 2P: ag,ôC reéhî ° l

fpecie tatas d.quæ autem duâæ fint’adipfàm a g ad angulos reâoskpofli’ntfpa -

cia ipfi d,appofita latitudinë habëtia ab ,fadas ab ais uerfus pùnâum a, defcn’ba ê atu; 84 efiq a h,etçreëîa a-k.8(1’n non ce,

incidëtibus, cumins k a,af , defcribatur .facho .obtufiangîulifçoniâiquaaduâç ç- *quedil’fâtes ipfis ka,a flfaçientlfpac’iü g.

uale fpacx’o côtëto Tub d e. Scindegaüta

fiionemreâanguli coni.d(uidat 23m. Ain. pund’co h,ô( ducârur h k,h fperpent , . ; l .I A Vdiculares . Quom’atp igl’tur quadracum a I f a a c g »f h âæquatur contente fub d a, af,er1’r fi? . , I I , .3and ad fh,1’ca f a ad e. Vérum ficutd ad f h,ita f h adfa, ôé fa ad e.Ponamr’ftaq;.E

g b æqualx’s ipfi’ f h ,56 c æquall’s ipfi’ a f. erit igl’tur ficus: d ad b, ira b ad: c, 8d c ad a»

igitur d b c e funt tontinuç propcrtionalesguod ara: inueniendüa Aliter idemà:Sint duæ raflas data: ambiantes angulum ’reâum a b , b c : 86 fiant earü mediæY

proportionales d b,b e,ita ut qua: c b ad and fit b d ad b e,ôé b e ad b a: 81 ducaÏnë 4 ’un ad angulos reâos d fie f. Quonl’am igr’tur efi ficut çb ad d b,1’ta bd ad b païen:

tenturn igitur fub c b b e, hocefl côtentum fub damai b e,æquaturquadrate b d: --hoc cfiîipfiùs e f. Quonl’am igïtur contentum fub data, si b e,æquatlîrîquadrat0"çf,1’gitur f’applicatur fec’îiom’ redanguli conf circa axem b e cenfix’turæ . Rat-ï

fus, quçniam fieu: abaadvb e,i&abaeàd-b*d. mntentinnr igitur fub ab; bd, Foc aux

L - a . ’ ’ v u ub da,

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a tutçErat adam a p plicatum alte

a - tes a b,b «a: educantur abipfo

. rat in punâô p Pv ca qua: continglt en".

A b5 SPHAERA ÉïTî-CYLINDRÏ0.Ï 11-4v fub’ data-,ôlbld’æquat’quadrato eh,hoce’fi ipfîus chgiË f applicaË fèëîioni me Gâ-

guli com circa axem b d conIh-.

rid atæ,circa b f confiitutæ. igiî ’

pü (0mm f datû, et perpendiculams fd,f’a.»ig1’tut püâa d e data.

Côponetür aüt fic , fiat duæ re-

dise data: angulü redît? ambienq

la in infinitü, et defcrl’batur cit J v » w ,(sa axemb c fèâio coni reâan m ,4

gifliRurfus circa axem d b de , . ’ . limbattu: (sais reââguh’ conf, iira ut-duâæ poflîntiuxta ipfama b», feë’tiones duâæ fé mutuô

fécabunt. (lacent fe in punâof; i - 4 l , a aü ab ipfo f ducantur perpendicülatès fd;f’e . Quohiam igiturih feâibne Rama

11’ com’ duâa cit f e , hoc dt d bi, côtentum fub c b, b e erit æquale quadratoab d.. fi: igitur ficut c b ad b (Lita b d adb e. Rutfus quoniam f d duâa efl: in fiôiofie

reâan uli coni,hoc cit i pfa b etcontentum igitur fub’ d b, b agèf’t-æquale quadra.to e bât igitur ficut b d ad b h,itab ead b a.Verum fièùtd b ad b gîta c b ad b d,cit ficut ab ad b d,ita b d ad b (2,86 e b ad b a, quod erat inueni’èndum; v- ’ « Defcrlpta efi autem kéfioreâanguli coni Cam diabeto,inuento a Milefi’o me:cham’co Ifi’doro magifiljo nomes , cum fit ab ed-fm’ptum in Commentum ca)magicarum Hetonis fibi fafium .Dx’abet’u-m vinfitumentutn cit fimîle. 616111611)

to græco A. - ’ v. INVENTIO ARCHITAE, OJÏEMADM’b DVM

’ a, Eudehms nadir.Vnto duæ rçâæ » w. . 4 z 4 , r v ; 1,.datæ a d,c: quibus

opotteat duas medias prbportfonales in a;uenire . Defcribaf ciraca inaiorem,puta a d ,fcirculas a b d f, 86 ap-ïplicetur a b ipfi c équallis,quç eduë’ta concur

culutn in püÇto.d,Ducarat autem b e fan ’quediftans ipfi’ pvd o,

ê: intelligatur femicy A[indults mans fupefab d famicitculbmt fit

er a d i’emicitculus e-

reâuSin parallelegrâ ’ q , . ,m0. cylindri defcrî. a r Iptus .Hicitacp’femicir a fculas (circumduâuçsg. a - - .ab W0 (Un îpfum bgtérminodiamétria quiefcefitegdiutdetfupafidem-cylïndri;

à " . v CC a cama

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il.

’ aisrdatis duas mediaspro

a; a 53713001114 axem», Ll-Bs incam in circumuoluticsne, et in ea defctibet lineam quandam.Rutfus fi quiefceneea,a d triangulus a p d citcumfetatur contraria femicirculi mont, fadet fuperfiçiê co- .nicam. reâaitaquea d circumuoluta concurrat cumlinea cylindrica in quodampunâo , fimul autem 8l Ipfum b defcnbet fem1c1rçulurn in fupetficxe com. habe».ai iam pofi’tionemin loco côcurfus linearum ièmicirculus motus, banc puta dkag.86 triangulus in contrariü motus habeat banc d l a, punâum diâi concurfus e30;k. Eflitem femicirculus defcriptus per b , ifie b m f: 86 6&0 b f communis feétio

I . eius,ô( circuli b d fa,8( ducatur ab ip f0 k ad planum femicirculi b da perpendicgt,laris: cadet itaq; ipfa in circumferentia circuli,cumcylin drus fit ereâusaincidat, [safitkji : 8C duâa ab i ad a , incidat in bf in puna ci h, 86 ipfa a linaidat femicirculmb mf in punëiom. iungantur autem k d, m i,mnh ..quoniam igitur uterque [enliacirculorum d k a,b m EeŒereâus fùper fubieâum ,planum, exit corum commuanis feâio m h,ad macs angulos fuper plane circuli . quare 85 ad ipfam b fereëîa

r efiipia m h.Igiturcot1tentum fub b h,h f,hoc eitfub h a° h i,e& æquale quadratom h.Igitur triangulus a m i,fimilis gît utriq; harum m i lama hzôéangulus i m a teâUS,ltCm angulus d ka refiusdgiturkd, m i,funt æquedifiantes .31 erit ficutdaada k’,hoc efi k a ad ai,ita i a adaa m, preptertriangulorum fimilitudinem. Igiturquatuor hæ d a,a k,a i, a m,funt7confequenter proportionales: 8; a in cit æqualisipfi c,quia 84 ipfi a b.Duabus igitut mais ad c;datis,duae a lm i mediæ proportioa

nalesinuentæ faut, . , c v a . -a , » Mo 122v s, "assumés 1145le8." a .Egi PtolemaçgEïratgfihMlætari. Vetufiiiïimortî aiunt tragoedum quem,

,damimmduxiffe ,1Vlinoa,fepulcl1rum Glauco extruentem. Cum autemau.diffa fllud cgntum undiqa pedum ambitu claudi,diinTe,Paruum utiqa. inde fub.iecifl’e,Reg1) ciron fepulchri duplü elle. Videbitur etraflèJateribus enim dupla-p

ris , planum thua. - ’ l . V 4 rdruplum,etfolidum A y l a . q Ï noduduplum.Quæ’ 4 H l. i.rebatur autemiamà a x’Geometris , quo’nâ k f . apaâo folidum datxî - jfub priftina figura Irad .duplum augeri 4 , i -n . ipoiretÆtappèllàîbaîl. ) U - Ë i . v l . 14’ -hoc problcma, en; ’ I " .bi duplatio . Suppo , Vnëtes enim cubum, a a li V i: a. I - ,tentabantipfum du c . . ’ g - .v . 1, z Vplum reddere. Cuit - c n .dis itaq; multo rem: A, I . O ,. l . a a apote dubitantibusgfâppoçratfis Chics prunus tarpan, quod fi duabus lineis 17e».ais,quarum maiot e tmmons dupla, dag mediæ proportionales inueniuntur,

n

e

tunc duplare poire 01me . quare dubimfl eius in nô minus dubium uel-iam cit;TempOre aïî-t quodâ poil: ferunt Belles luffas pet oraculum ,duplare quandam;aram,in hancdifiiçultatem incndifië. implorantes autem cos qui tunç apud Plato-nem erant in Academia Geometras , poflulare, ut quæfitum ab eis inuenirerur- ’Cumaütilili diligenter fibi ip fis infif’c’erent , 86 [crurarentulgquo pado duabus r;

"rtionales infiittferent, Archita Tarentin us farcin casaper femicylindros inuqni ci, Eudoxüs autem per limas qua: curuæ appçllantyr,Accidit autemomriibus his defcripfifië demonflratiue, uerum mimi? e , qua:muenerant,manu eflicerefic in ufum- deducere, præterquâ in breuitate Menethz;

’ l k au:

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A w. 3...; ..- :.«

DE SPHÂERÀ ET CYLINDROo; , a;mîiôclhfæ’cdlfiïculrer. Excogitata autem eflânobis quædaminfirumenti amau-

ra dans , pet quam inuem’re poterimus- non folum duabus dans mais duas Imedias,uerum quodcunq; quis iuiTerit.quo inuenro,porerimus uniuerfalirer fo-lidum quodcunqg darum æquedil’tanribus lareribus contentum,in cubum redu-cere,aur ex altera in alretam figuram transformare,86 finiilem ei facerç , 86 ipfumaugere retinendo fimilirudinem. quare86 aras 86 rempla poterimus,86 humido’mm: 86 ficcorum menfuras , para medimnarïi merrain in cubum reuocare,86 pet

l huius latus dimeriri uaia horum receptiua, quantixm capere poflînt.Vtile autemefitxcogitarum illud, his qui Prudent impulfiua 86 expulfiua lapidum infirqmëata augere.nam oportet omnia illa proportionalire’r augeri z 86 crailîrudinèssôl magnirudines , aperforariones , 86chienicidas, 86 fleures ihieéio s,fi’ debear si fia)ruarur proportionalirer augeri.I-Iæc autem abfq; mediarum inuentione fieri monpofluntDemonitrationem autem 86 firuëiuram diâi infinimenti tibi adm.

p.6...g H gpûDenturitaq; duæ rediæ a e,d h inæqüaies à quibus diras medias proportibna.les inuenire oporteat.86 fiaruamus ae ad angulos redites fuper aliqua’rh reëîam,puta e h : 86 filper e h côfiiruanrur tria paralleIOgramma deinc’eps a f,f i,i h.86 ducantur diam etri in eis a f,l g,i h,quæ-erunt æquedifiantesi manente autem paral:lelogrammo medio f i, com pellarur a f fupra medium,86 i h infra,ueluti in fecun.daf figura,donec punâa a b c d fiahtin unalinea reâa.86 ducatur par purifia abcd linea reë’ta,quæ coincidat cd e h,eduâa ad k.Erit iraq; ficut a k ad k bsinlparal,lelis a e,fb,ita e k ad k fin parallelis autem a f b g , ficut f k ad k g. Sicütigitur a]:ad kb,ita e k ad k 586 k f ad fg.Rurfus quoniam b k ad k c in parallelis b igcg, fi.car f g ad k gzin parallelis aîné b g,ç h, ficur gk ad k h.Sicut ergo b kad k cita f1:ad k,g,ô( g k adkh . VertIm fieu: fk ad kg, ira e kad kfi Igitur ficur e k ad k f, irafk ad k g,ôck g ad k h.Verum fient e k ad kfiiraa ead b f.Sicut autem fk ad kg, 4itab f ad c g, sa: g ad d h. Inuentæ igitur fun: duabus a e, dh , duæ média: b f,

cg r0portionales. . I I A v 4 ’æ: igitur in firperficiebus Geometritis demonfirata funt . Vtautem 86 ixi-firumento pofiimus duas medias fumèregfabricetur plinthus ligneus,uel ebur -neus,uel æreus,habens des tabellas æquales,86quân3 leuiiïimas,quarum mediaconfixâ fit,reliquîe dùaè pèlli paffim magnitudinibm 86 commen fuirait»;tribus omnes fibijpfis confirmâtes . Demôfiratio autem fimilirer perficietur . Ad-’lineas uero certius fitmendas , arte incumbendumefl 5 ut induâa tabellamm et"mnia redneanrur parallela,86 non hiantiaàetregularirer inuicentroaptata.,1n aux - »themate autem cit infinimentum geumflaptatum eR fub commun ipfiuscclü A -

L L A ’ flet!

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’14 Æ EVTÔCl! 1x inca. un. n.’ne: adnexum plumbofub ipfo a? demonflratio compendiofius. expreflâszï Egu"ra, pof’c ipfum uero fuperfcripn’o epigïammaÆ-Igc autem tibx’ fcn’buntur,ut habe

as ea ficut in anathematehabentur . Duaxü aüt figurarum fecüda efi in coltimnadefcn’ptazduabus reâis datis,duas medias prOportl’onales in proportion: coutilnua inüenire.Dentur duæ a e,d h.conduco itacp tabellas in organo,donecpûélaa b c d fint in rada una.1’ntelliganmr fiait [a habenr in femmda figurà. Efiigirur .fi’cuta k adk h,in parallell’s ae,b flitaekadkf.in1’pfis uero af b gîtai-kad kgu’.gitur’ ficut e k ad k flitakf adk g.Sx’cut autem illç’ ifiter [évita a ead b fiôcb f ad c g.

Similiter autem oflandemüs,quod ficutf b ad c g,1’ta cg ad d h.Ig1’turifiæ a e,b f,c g,d h (un: proportionalengl’tur duabus datis,düç mediæ inuentæ funLngdfi datæ nô. tînt æqualcs fpfis a. c d h,fac1’entzsfllx’s proportionales bas a e,d h,ha’nî

’medx’as fumerons, &inducemus ad filas, 86 facerlmus illud quodimperarü fait.Si autem plates medias iubeamurinuenire ,ubi tabellas côfiituen’mus in infim-m’ènto una plates, quâm fint mediæ inueniendæ,idem confeqüennunôc demon

firatio prorfus dt eadem. ,MIODVS NICOMEDIS: IN LIBRO

- o de lineis concboidibus. VEfcrflait Nicomedes in lib.fi’bi fuperfcripto deConchoidibL’xs,talem infini»Dmentx’ &ruôukam , que eadem ncceflïyas fuppletur z in quo.u1’r ifie ufdeturfupra modum gloriari , multumép inuentis Eratofihem’s itridere, ueluti que:fieri non poflîntmeq; imaginarf,ac fimul ngmertica doarx’na priuata fi’m. Hicveto partim uôd expletè qua: cira-hoc problema elaborata fun: , tradidit :I par .tim,ute1’us a3 Eratofihenem côpafau’o haberi pofiît,inter ifia c5fcripfimus , qua:fic ferê &Èf’c’kibituer aginan’ oponeuegulas duas ad angulos redosinux’cçn c6.

paéîasjtamanafiteammfupetficiesmelutifuntab,cd,8(inab ’ aman;in (lutin perdurera pofiî’tin ipfa net-o c d,ad partem d,ad reâam qué 41’111ditlàtlztudinem eius,cylindrulusoconfigatur regulæ , 86 parum excedat faperficiëfup errorem regolæ. alterâitem regulam , putaef poft brelle quoddam interualhîadrermmqmfi1gfçâuramhabentçm, (puma), quæpofli’tfcyh’ndrulo d infant)

o - . v o circum

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f

Il; 31! HAEÈRËIV’AÏET CYLINDRO. V a;ocùîcumuefriad-ipfum e me quaè fncumbar in axem confîxurn per.contadin 161mo affi’ah’ affleure fifi regula a b .infira itaqa regula e par infeâùrâg,h,1’n cylindrqu ad f fiatuto, ôÇper e I in axe c0nfi’xo ipfi cbdonario,fi quiscomprendensk extremum’règulæ ipfam mottait in partes a, deindé in partesd,pun&um efemper in regula ab continebl’tur . ac uero g h in kauris: mouebif,-u:rfus cylindrulum d , (empêtreâa regulæ e f media in mon: intelleâa facûdumaxem qui éfiadcyh’ndrum dsôZ ipfa ck fapereminenria regulæ ramper memento

’ eadem. Si itaq; intelligamus .ad k grapbium quoddam attingens :pàur’mentum,defcribeï quædâh’nea quah’s efil m mquâ Nicom edès appellat conchilemprimâ

firmans; internallum quidë eius lineæ die k, magnitude regulæ, polus aéro d.-. t "r: Bac itaqa linea contingit ofiendere eam pçrpetuô minus accedere ad a b reguhm, 1&6 quod munis rafla inter .regulam a b, 86 ipfàm lineam («au ipfam lineam.Prïmïf quidem accidens facfle comprçhenditùr in altera defcriptiohé ,inrelligènp

r do regulam a b polo c,1’nteruallo d e,lr’nea côchih’ fa h.proccdâ’t ab ipfo c du: ch,cfiæquah’bus m’delicet faâis his k h,l fiDico quod f m perpendicularis minor eflperpendicularl’ h g. Cam enim angulus m l c,fi’tmaior angulo m k c,reliquus reli-élus in duos re&08,pùta angulus m 1 fireliquom k h miner e11 a Proprerea câ an.-

(C

à b

, c rgolf and m,g fint réai-,ang’ulus ad fiflar’or cf: angulo ad h cofiIh’tuto. 8: fi angulus

in fx.fiat æqualis an ulo ad h,ipfi k-h,hoc cf: ipfa l f adh g, eâdem habebit pre!»portionem,quàm x? ad fin. quart: f l adh g,habet mmorë proportionem,quâm A

adfmquaréhgmaiorefiïpfafm;I r I a

kîî4A a V61,I k g

’l I. ï’yr ’ILVIr,(5

k »..-:VJ . Il

C .

gomodurn autem fuir,linèâm fééîani duâam inter a b 81 lineàr’n Ëégâïpfim

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3:5 EVTOCH’IN’AR’CHg LIE. Il.lineâôl hoc quoq; fic patebirlpfa enim duâa aut çfiæquedifiâsfpfi abgautnon;Eflo prias æquediftâs,puta fg h: 5l fiatficut dg adgg’ta d éad ah’am qtiandeî,pura k.ôl cëtro c,1’nteruallo k,circumferemia dekrr’ptafeçet fg,în punâo f,8(’iunga

turc f. Eft igitur ficut d g ad gc,r’talf ad fc uerum ficutd g ad g gîta eiatdeadk:hoc CG ad ipfam c flIgiË d e cit æqüah’s ipfi"! f, quad éflè nô potel’c . oporteretenim

f efle ad lineam . A: acre non fit ipfâ duâa æquedifians , para m gn, 8C’ducaturperg æquedifians ipfi a b, paca f g. ipfa igftutâf gconcurretcum hnea:quaremültô margis ipfa m n..Cû igitur hæc infiruménto accidenn’a colliganrur,eius ad pro. r

v pofi’tum militas lita demonfirabl’tur. I 4 »Rurfus anguloa date; 86 punâo extra c ducere c g; si facere eam çqualem da

’ trac . ducarur ap’erpendr’cularis. a panât) c ad ipfàm a b, quæ fit Ch; 8( educatur,’

85 ei’to d h æqualr’s damnât polo c,1’nreruallo d h date. regula uero a b defèn’batur

Conchfh’s linea prima e d Econcum’t igx’tur ipfi a g,per prædemonfiratumœëcur-

rat in g,ô( idngarurc g. Igltur k g CH: æqualis darse. I I A1’ fisade’monfiratis, dentur das: reâæ c l,lvà;ambièntesrangtflüm rec’îum,’

bus opor’œât fluas médias continué - pro portionaleæinuenires et com pleatur p3» nralleiogrëfiifiumsajlaclæ Sédiuidatur’ utraqa harum a b, b du duo arqua punaisd,e.8( furia?! d l Éducatuf s Sicôcurrat cum ipfab c educîain’ punâo gsôc fitipfi n

c b ad au ulos rafles ipfa e f.ôç producaqxr ipfa c ,quæ fit æquah’s ipfi a d, 8C iungatur 1’p a f g,ô( eiçquedlfiânsl (’51 thîôlan’gülo exiftente eo qui fub k ch a pan

ac fdato,deducatur ipfa f h k, mens rpfarn h k ad g k æqualem ipfi c f, Hoc au,rem quo mode fieripofiï’t, ofienfum émier lineam côchilem, 8l fpfà kl fungatur,sa educatur a: concurratipfia b eduâæin püâo m . Dico iratp, quod dt fiente! ’ad kc,1’ta k c ad m 2,86 ma ada lrQuonia’m enimb cdr’ul’dftur in duo æqua pùn

(0:0 ç, 56 additur ei k czcôtentum ergo fub b k, kc, cum quadrato c e,æquatur qua(irato e k , quadrato e f communx’ adieâo, contentumfitb b k,k c, cum quadra»n’s e c , e f, hoc cit quadratoc fiæquatur quadratis ke ,e f: hoc efi quadrato kF.

a Et quoniam ficutm a ad a b,1’ra m l ad kl.Sicutauœm m l ad kl,1’ta b cad ck .igi’tur’ficut m a ad alb,irab cad c k.ô( el’ca ddr’midia gpfi’us abwôtc g efi dupla ipfius

b c.quom’am 811c,ipfius a d.Erit1’g1’tur fiçut m a ad’d a,,1’ta g c ad k c . Verû fieu:

v g cad c k,ita f h ad h k. cum gf, 85 c h fintæquedifiames . lgr’rur componenn’ fi. d

tu; m d ad cl agita f k ad k h. Sappofi’ta 6P: autem ipfa d a æqualis fpfi h k, cumoc f afit æquah’s ipfi d a.Igitur1’pfa.m d æqualis dt i pfi f k. quare quadrarü’ m d efi arqua:

.-’. a V . h. vie.

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Dsuvsaflmanfl’af arum on cf ü a?ieqüadra-to FlèEi’c autem consentant fub b m, 85 m’a, cum quadrâtô da,aèqüalo

quadrato md .l quadrato . a . ’ -autempfkl ofienfum efl æ. A .quale eiÏemnœntùm iub p vb.k,kC»-,cumquadrato’èfzs. , . J .i .

dm.

quoniamïquadratum ad,.- . . - . ’r æquaçqr qüadrato c f. hiipfa a drfuppofita eifi æqua b -- -.Lis glÏeipfiÇc f a Igiturlquod i

(kb,b m,ma.æquaaur con-Lento fub bk.k c. Sicuterq lgram b adbk,ira kc ad: lim. Venî ficutb m ad b k, ime! ad a k.»Igi’tur finit le -adcknita ck ad am..Eita-u,Km fiait Ida-d ck, ira ma,ad al.Igitur ficut le ad cik, a ,

ivrackad-amsôtamadal,n- .quod erat demonflrandü. - » . a .» » b.Duab. igitur reâis datisi l ." iduæ mediæ, continua: pro: A fportionales inuentàe funt. v - ’: I . m SEC’VNDVM THÉORÈME.ET componenti fieu: ipfa d h ad h gîta ca ad a ë; hoc efi quadratü c bsad quai» dratü b.e.Sicüt enim in radonaiiskdèfcriptiofië,’ qüohiam in triahgùld’reâa’u

gqu c b a,ab angulo radio ad ba fem duâa dt b ê përpëdiculafisidifiinâi tria nguliràd perpendiéularë’funtinuicë fimilés, 8c toti,ic’cir(o fiait c a ad’a b; ira b a ad a2;

5k b, ad b e; quart fieu: qüadratü c a ad quadratü à b,ita quadrarü c b" ad quadra;

furia b é.Verurri finit quadraçü ç à ,ad quadratfi b agita ipfà c a ad ipfàm a çàSicut

enim prima ad tertiam ,ita quadratum prirpæ ad gèiadratùhi facundæ. Sicùt engo c a ad a Le, ira quadratum c b ad quadratym b p.3 adeiri aütemrationë oflenditur ,quod fiçudça ad cè,ita.quadratum a b,ad quadrazunib è.Perter.fimilitudi-Anem enim trianguloruin efi rurfus,ficuc a ç ad c’b,ita b ç adc’ é i hoç é&,ficut qua-5

dramm a me! qüadratum è b,ita ipfa a c ad ipfam cciSicuf âütem qùadratum aïerad. quadratum c Mi; qùadtammia b,ad quadratum be . Igitur fiCut a c adc’é,jraquadratum a b, ad ,qttzadratumv b9 Pofiea dçinegïps tariras ofien dere coiiçî raki;

’d ’ a i ” V ’ -* * a ’ imitaientu"-

Ah-

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à; affectaisandin-"uni".:æqualenïlel-Iepqrtioni fph grec b a fiexponçns conün,qui- bafi’m h abat æqùàlémÏ

fuperfi’ciei porçiom’sfié altitüdinë æqualem ei quæ ex centro fph æræj’dixitconiî

n elfe æqualem fiufto fab h (onde, ficut oflenfum funin primo libro.Verum fciendum,efi,in primoplibro non elfe ofienfum tale frufium-eflè æquale (ont) taliterfumpto,fed illi qui cirer compræhenfusâ conf fuperfioic,ôÇ firperficie fphçricalmiBore hæmifphærio,quod propriein Difiinirionibnidààturfiufiü folidum a!»pellare.Dixit enim: Frufium autë ibh’dum noco,cum (planera canas («agui hanbeatuer-ticem ad fphæræ centrumfiguram compræhenlàm: à ruperfi’cie’ coniin.

tra conum . Figura enim nunc propofita continetur âÏ conica fiiperfi’ciemabenreuerticem ad centrum fphæræôi iphærica friperfi’cicfed non à «un ræhenlàvîhztus à cono.- Œod autem. 81 ralis figura fit æqualis cono habenn’ ba im æqualeha.fuperficiei fphæricæ compleâenri pqrtionem, altitudinem uero æqualemei qua: .7en; centre fphæræfic demonürabiçur par ca que: in primo libre ollenfa funt. lmtelligatur enim («atrium fphæra,ô( fecetur plano quodam non pet centrùm circu-lo circa diametrum b d,centrum fphæræa:ôz intelli arur (anus bakm habens bienculum circa diametrumb daman: unâuma . xponarur item (chus «qui»bafis,fifæqualis fuperfi’d’èi fpharræ, a titudo est quæ en lphærae’cenltma lgiï (ouï-r:

fille el’tæqualis ipfi fpbæræ . mm quadruplas efl coni bafem habentis maximum’ inf ph æra circulum; altitudinem uero candem , cuius quidem 1mm. eflofiexifaellequadruplafixponantur item ahi duo (qui hi f g, quorum fibafèm habeat âe- -qualem fuperficiei porrionis blc d, altitudinem uero calmi quæem’enrro fph anar;g uero ,bafem habeat æqualem fapçrfiçici portionis b h d .5 ôé altitudinem eandë.Conusigitur f cil arqualisrfmfimcuius mamefla,’ë(fuperficies f ph attaque afin -

’ fgçundumheda-ngoniam igiçur b.a[is eefl æqualis bafibus conorum’fg; a fune-inteadçm al tirudine; igitur e tonus; hoc ellipfa f hæra;ell æqualis rouis fg.V.erüconus fofienlus efi æqualis elfe (ruile , quod lècundum btvdfolido, umiçëm ’huma algicur reliquus gçonus æqualisel’é reliquaeportiofii,bafeii1 habentifiz-

’ perficiem, qui; ficundum b h, dportio nem,altitudinem uero camiquærex centre;Deinde rurfus dixit , Acqualis efiigirur tonus n , hoc efi frufium b h fdfiguræb hfd.quohiam enim adduc’ius CR tonus n æqualls cono cuias halls cil circuluscirca b fidiamerrum 5C altitude h k: minis autem cuius bafis efieadem, altitudeuero e.k,æqualis ell cono diéîo,8( cono habenti bafim ean dem,altitudinem ueroe h .Habent enim fe’ad inuicèmficuti corum altitudines: ablato communi cono,

a eo qui b.afim habet’candem, altitudinem uero e h, reliquat b h f kfigura eriræqua-lis cane baient habentivcirculum cira diamerrum b fialtirudinern autemh k: hoccil cono innée ami? ffi’ufionïnducësïmqaexcolleâis ce, v " ’

p rolariü,perficit Theorema . Deineeps pet alterâ demôfiraz k l’ rionem côducit extremâ partem angor-remaria , hoc cil quod ib a f portio fphæra: dl æqualls C0110 bkfi iôÇwproïcedens di. I 4cit, Sieur ergo k h ad h c,ita h d ad d c,ô( rota k d ad d h,iiéut 4

xdh ad d c. Quoniâ enim fieutk h ad h c,itah dad d c: à! pet lamutarim .ficut kh ad h (Lita h cad cd, 8l compqnemificu: .k d ad h dura. ad d cjhoc cfl k h ad hafmtenimficu; k h .. inadhc,ita’h’dad déaqulautemh C’æqualis ipfi h a.,Et 155mm. l, 1 l;pô&:Sicur ergo k h ad h marinade: . Sicutergo quadraa 5 i v fimm kid ad contentuqufub k h,h dm? quadratü a gadcôren V » ’ ’ ’ r lrum’fub à e, e c. Intelliganit’ur enim feorfum polîtæhæ kd, . Kac z défit fiait k h ad h d,ira ale ad e à, Dico .qu’od dl. fieu: A .4 ï

quadraium k d, adicôtentunifub kb,b (Lita quadratum a; è l Aad .céilte’htumfub ace c. Quoniî enim efificutk h ad h d, . , 5* - . 1 - a

rira and giclai componenüdîcutk d ad d h, itaa’c ad ce . quam cit le: *

. - - r ’ a

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7 .DESPEAEKA 51’ crLiNuno. l u?-adqu’adratu’m: h d, ficat quadrafum a e, ad quadrame c a. Rurfus’quoniam a? Idîtutk h ad h d,1’ta a e ad de c. Verum ficut kh ad hl,d,x’ta contentant (ab k h, h d ad. quadratum h d,fumpta hdd altitudinecommuniJSicut autem d ead e c,1’rà (and!!!tum (ab a c,e c,ad quadratum e clampa; rurfus altitudine cômum’ e c. Siam ergocontenmm-fub k h,h d, ad quadratum h d,fic mutentum fub a age c, ad quadran’:ct.0f’cenfhm efisautem , fieu: quadratum h d, adv’dquadratum d k, fic qdadratu’n’t

’ a; cadquadratum-a c;Igiturper æquamàfi’cut contentum fub k h, h d,ad quadra» «mm -k d srfic contentum fub a a, e t ad qüadratum a c; 81 eccnuerfo,quddtiat

b demonfiraadum. a - I xnm TERTIVM "THEÔÂRËÉA.

leur autem c1mali ad mm maïa quadrarum a d,addquadrauim db,hêcî ., a cfix’pfaacadipfam c’b .-Sicut iminïpfa rationalis défèrfpn’one , qqohiâin

triangulo rçâmguloa d b duâa eft perpendicularîs , ab angqu reâo de in?r dia-propcttx’onalx’s , inter bafi’s patte-&êCtrian 11’ ad perpedicularem inuicë (un:

81 tori fimiles.quare fieu: b c ad c d, ita b d ad a;igitur 81 baïram quadrata . Vert!fieu: quadratum b c,adquadratum,cd,1’ra prima brand tertiam cà.Sicur ergo b c a

ad c mita quadratum bd ad quadratü’d angpottio autem a c ad c b eü data,qu’a -te punc’èum à dt datum . queqiahrfùpponiturffihæra , fgl’tur diamètres tins a bdata, 56 proportio a c ad c b cit data.Si magnitudoa data in propdrtïon? datafii dlaidamrmtraqa pattidm efi data.quare 1’ pli: a c damât a datumna’m in commun!(caïeu: lineis pofiridn’e datis,datum cit c punc’iama I ’

ï u IN QDVARTVM THEQRÊMA;. q .À l 7.» - Adëran’onequa fixprâ et apparatuficut l d ad dka’ta k b ad b nô! d q ad q Ë.

l a in præcedeuri enim Celleâü füerathec mode : Qyo’niâ CH ficut Utran fimùl’

k.d,d q ad d q,ita r3 ad q b.ôCdiuleerîtî3Üèùt k d ad q (Lita r badbdq : a! permutatûmficut kd,hoc e kb ad br,ita.d’q ad qb.Rurfus quom’am èff flux?! q ad-q d;«a utraq; (îmul k b,bq ad q b.Diuidenti, 8C permutatimficut l d ad dk, fia d q adq b. État autem adieu: dqad q b,ita’k b ad b r.Sl’cut ergo! d ad d k,ita d q ad q b;8l k b adbr . Totaign’tur rlad kl, ficutkl adIId’. Sicut enim unum ad unum , iraamecedentia pmm’a hamac! fèqdenfia fîmul-omm’aâicutèrgo if! ad 1d, ira qua:dratum r1 ad qüadratum l k.Qyom’am enim efi ficùtrl adl Infra k lad! d. Sicufigl’tùr prima ad terdam,x’ta quadranum prima: ad facundæ dadfatùmEfi 1’ gimf

ficutr l ad l d , ira quadratumr Lad quadratum 1 k . Verum leur qùadratüm r l adquadratum l k, ira quadratum 1k ad quadratum-l d. Saut enim prôpom’onalés; a

r Sicutergo r l ad l d,ita quadratum l k ad quadramnî l d. pouatùr b f’æqualis ipfi’k b .Quod enim extra r cadet; manifef’tfi CE . ,Qyonx’àm ficut d q ad q h,ita’ k b adb r . Efi mît d q maÏQr ipfa q b.ig1’ï ipfak b mater eflipfab r. igîtùr f extra; rader;

Quom’am autem proportfo dlad lq,ôC ipfîds r1 ad l q , au ipfiüs r l ad l d phi aordo data. Qyom’am enim ficut utraqa fimul k b, b q adb’q’,hëcefi fq adq bit?!

q ad qdzeuertmfi, fiant qfad fb’sità. q lad 1 c133: eccnuafofièm b f ad au l d adlq.Proport’io autem b f ad f eûdata , quom’am fpfà f b æqualis cd ci que: ëx refi-tro fphæræ datæ.1’pfa uero b q terminis eius b q datl’s,per fuppofi’tidhëfphæra diuifaà piano par a C duë’ro,86ipfa d b ad angulos refilas (pfi a cexifiëtè.Data cil 86idcirco rota q (38; proportio q f ad f b data, quart 86 proportio d l adl q dataRür-fus quom’am proportio portionum eff data,en’tcona’ larc,ad conum a r’ c propoïi

de data.quare 81 proportio l q ad q r’dara.nam rehabent inuicemfirutedrum al.titudines.Tocius ergo rlad l q proportio eû data. martiaux ïgitür utriufcg harfiA: 1,! d adl q dt perDrtio data,er1’trladld proportio data. mm. qua: habent ad i4 bdem proportionem datam,îhabët quoque interdfé-proportibnemdatam. Quodïï’igitur proportio tladlq conjùngifurgegproportidne r1 fadld, 851d adh, .qüèd’ a ’

l quidem côp,ofitio propordonü fumaturfimnptavmedia’ldueluti 8(- in Smichiëfî v

D4 a fifi,A

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v ipuicemn qmllltïplicemusmoc en diain.duo,,,fientféx , qui du gammas duodècïiiû

.. ’ .. . i . ad Î

sa; a a Tigra) .1 la» and; H.F"«L 1 a». w x r.1;:me and,» confiant. ’QuoniamaUtemaindearticuiavè quodammodo, 54 miamfientem expléac diâum emmi com præhendi patefè his qui in Papp uni» 8&3?wadem a: ArdI-adipm incidemnt; inmultis com pofitiénibüs non- demonfiratiùè’g:Ceci induâione hocdiâum conflituunt. Nullüm fgitnrinconueniens, Epefpaui[alain in ratiche uerfari hoc i pima manifefiius feçerimus. Dia; igitur,qusdfi-afirmantar duo rumen", uelduæ magm’tudines, quibus aliduiismediusterminus c6Rimatur ;proportid prias fainprorum numcrorum , uel magnitudinum com ëmainate; proportiorre primi admedium, 56 medij adrer-tium proportionnCô:memoraridu’m ramé prias,quomodo proportio dicatur ex proportionibus (ornaponi.Sicut enim in libre Elementorum ,- quando quantitates proportionum inpasimdlçiplicatç fadant quand’am quantitaœrflqùâtime didcliëet diflagï’euîà

sium. eü numérü que Si dencminaturproportiodata,vuti dictant ah’q’sôl Nicomæ(basin primo deMufica, St Héronas in Commentario" iun Aritbmeticam miro;duâimlem . Idem autem cit , ac dicatur eadem numero multiplicaco in ternisnumfequentem proportionis produci antecedentem, a proprie magis in multie-plicibus fumeras quantitas..ln fuperparticularibus autem 81 faperpartientibusnon iam quâtl’tarem fumi datur, cana fit mutas fndiuifi’bilis . Quatre in ilfisunirasiçft diuidendaquanquâ hoc minime côueniar Arirh mericæ,lèd ratiocinatiu æ, êt-çpmputatiuæ amibuatunDiuiditur autem uniras in parrem,aut partes,â quibusprçporu’o denominabitur:qucmadm ôdum fil 5m .apertius . dicatur, quuialteræquantitas ad unitatem addit unitatis dimidium, 84 fefquiteniæ- ad unitatemtera’tiam. Quare ficuti fuprâ diâum gfiaconfiarpmportionis quantitatem imiterrninfigqgægœmmqmpuçarâPmduceièe a-ntécedent’ê. Nouem enim ad fax cum fit fié

pgitiofgfquialterafiuius quâtitas dt uniras ô! dimidium, hæcmultx’plicata in fa.parfum,,p1?oducit nouenariü. 81 in alijs quoqjlicet hoc infpicere.His autem ira da?ç1araçis,redeundum cit ad propofitum. Sunto igirur duo datinumeri a b.fuma.çur medius inter ces c,ofiendëdum quod proportio r 1 .1 ’ . I l laradb c0mponitur ex proportione a ad 4581 proporwd’une c ad b. Sumatur enim quantitas a ad c,quæ fit

J d,8( eius quæ efi c ad b fit e. igitur c multiplicans d; .producit a:eripfe b multiplicans e-produdt cripfe ue Ï v - »r0 d multi plica’ns e prod ucarf. Dico quad f efl quam - ’ ’tiras lproportionis aad [and efi: f multiplicanst pro . , ’ .ducitauarp bamultipliéans fifaciat g. Quoniam 1gb . a .: . ..,turb multiplicaaafifa’cirg, a: muldplicans e panda-x;gin c: cric ficucf ad èrîtag adc,.Rurfus quoniadmul

plicans C film f, 85 maltÏPEËàns c fuira :erirfiéut e ». , . 1adm-ta f ad a. Igirurpermutatinrfficutéad flics: cad ’ I a 4 vazôlèconuerfo fiçuc f ad e, itaa adc («Vêtu-m 13cm f . l. 4 1 a A .I .,ad aofienfum efi cire, ira g ad c.Igicur ficut g adc,itaa adç.quare a cfi æquale ipfi g.. Verum b mulsiph’. v 5’ a ’ f

tians f producit g, igitur b multiplicansjfproducita. v - , iquam crit fquâtitas proportio m’sI a ad b.EtePc F produâus exd in e multiplicatq,lape efi ex quantitate proportionis a ad c, in quantitatem proportionis ic ad b.I (a;myproPOl’flb a ad b compom’tur ex proportione’a ad c’, 86 ex pro porçionecadï ï

Qypd erardemonfiraiidum . a Vt autem exèmplo quoq; hoc quod diflumréfl’manifefium,incidatinterlduodenum a binü. medius quaternus.-D1’coifaïpây’quad- .duqdecim ad diro proportio cit compofira ex proportione du°decîrà ad-quêëucrpôc quatuor ad duo . Id éfipropcrriorfiaçtuPla com penimr ex d ’Ï

daim ad quatuor, i5! dupla quatuoradiduo ; Sienim quadritarea pi

"a.a.0;..

«A. : * ’ ,

z

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DE SPHAERA ET CYLINDRO.’ a,and duo propnrtionis quæ efl fextüplat’q’u’od prépofi’tum fuerat declarare. Si me

qniincid’it non füericmaiorminore’; a! minérinaiore, fedlauteconuer’foflrutma’l’or autminor Utro’qa, 8C boclm’odô prædié’ra’ tompofitioccnfequetur. Narnintei-Î

nouem 86 (ex rada; medius duodecim,utroqa illorum malonDico igitur qdo’d exfubfefquicertia,quæ eil nouemad duodecim proportione, ôéex dqpla quæ efi:duodeçim ad ièx,componitur fefquialteraaqüç ei’c nouem ad [EXanÏantltaS enimquæel’t nouem , ad duodecim eft tres qUaitæ, hoc efi dimidium 86 quarta. Quâ»mitas aütem quæ cil: duodecimiad fex,el’c binarius. Si igiturmulti’plic’aùerimus bi 4

natrium in dimidium ôtquartam , fit imitas 8C dimidiumqquæ’ quantifias cil: fer:quialterç proportionis,quam habent nouem ad fex.Sim’iliter amerri fi inter noué86 [ex quatuor medius incidat5exrdupla feiquiquarta 86 fubf’efquialtera componitut (efquialtera. Rutfus enim Quantitatem duplæ ièfquiqüartæ", quae efl: nouem,fadquatuormultiplicemus,in quan-titatem fubièfquialteræ,quæ efi dira: tertiæôëhabebimus unum 8: dimidium,qu’od ail: quantitas fefquialteræflrdi’ôum e11. se.fimiliterin omnibus eadem ratio accommodatur’. Con -flat-autem ex diâis,quodfi duorum numerorum datortîautmagnitudïnum non fuerit’unus medius , fed pluresmedïj termïnîfurnantur, extremërum proportio’componitùr ex omnium intermediorum préportiOnibirèg’incizpiendoâ primo,8( procedendo ad ultim um , ’iecundumvoïdinem fe fequentium. Duobus enim terminisia b intidam plures une c d.Dico quod pr’oporrio a adb côponizturexpmportionea ad c784 cad d;8(d ad .Quoniam e-nim a ad b éomponitur ex a ad’dzôd d ad b,utidiâùmeilïfuprâîôCa ad d componitur ex’a ad c,ô( cad’ngit’ür’aad

b,proportio Componitur ex ea quæellîa ad ce, c ad d;d adb . Similite’r autem 5c in reliquiaîofiendetur.

Item in-rationali dixit: Verü fieu: r lad l d oflëfi’rm ell,

ira eH-eqüadratum b d ad quadranî d q. Quonianjienim iofienfum eût ,ficut r 1 adl d,i’taqiradiatum Ikad qùjadraqrm I dl Sicutaucem- qüaïdratum l k ad quadratum d me quadratum b’d ad’quadratum b q.Ofienfum eiïenim,fi’cut k l ad l d,ita b d ad d q, propret compofitionem, Igitur ÜCüti’ l ad ld,ica-

quadratum b d ad quadratum d q . Fiat autem fictif il ad l q,ita b fad f muraux?punaum h ceàiderit, quomodocunq; quidem i? pdfitùm fit,quantum ad coure;

uentiam demonfirarionis nullum afiertrationi impedimentum. Quodauœmi. iquemadmodqm in defcriptione fitponatur , retaper cadet interb r,fi’cde’ciara-(un Quoniam enim fient l k ad d k, hoc cit ad k«b’,ita k r ad r b.Sicut ergo imamad unü,ita omniaad omnia:iicutr l ad r kyita k b adïr b . Maidre’m autem propor;tionem habet 1’ l 3d r q7quâ’m r. l ad rvhl.igitur l r ad rq’linaiërem habet properu’o 4

nem,quâm kb ad b r,hoc efi f b ad b Ïç Euertëti r] adl quiminorem’ habet’propor”tionçm’,quam b f ad fi.Si enim fecerimus ficütr’l ad l q, ira b f ad qüandam aliâm’

maiorèm f r,manifefiü inde ellquo’df maioreflipfa b bi Quoniâ enim offei’pfilm efi,fic1ftl d ad Kim d q adq 13,51 k b ad b Mill autem d q miaioripfiï q baigfmi! d maior en ipfa d 14,85 kb ipiïi I bic quare’ôcïl dip (a bain, Tata igïrurl q maior

eftip’fa-qriquareôéhfmaioripfixlib. v » I , î l I ’ i I i. V Reliquum igitur efi: , fieu: quadratüm b" d ,. quad efi charma g ad qüadratum.d (Lita f q adfh .- Quoniam enim particmi bff ad f h ofienium efi eandem pro,-pqrtio’nern comparai-ex proportione’ quadrati 15’ d ad qüadrafutfid q,ô[ipfi’us bf

ad fq;Eadem uerô ei quæefib f adfib efi,8(èômïîôfita ex prqurt’ioneb f ad f86 exq f ad fh.»Com polira igitufiéibrqpôrtignëqiïadrati b d ad qùadyamm d&exib fart fq, cil eadem propordonicqnip’èfitæ en) f adf q, 86 ex qifa’dthi

4qed5

Ë inlay, fr É. h u

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u

33 V EYTOCIIHIN ARCH. LIEN-an.tut communem in ambabusproportionem bfad-fq auferamus, reliquaquadta;u’ b dad quadratum dq proportio eadem efi 61’qu62 e-fi q fac! fh.ô( efl dan’ï dfdiui ,

dem punâo (1,86 facere fiéut f ad datam , hoc efiadÏf h,fic datum,h9c efi quadratum b d ad quadratum d q . ocautem fié Ümph’citer diâum,hab’et determl’nazn’onerfi,adh1’bin’s quæ ifiichàben tut V probleman’s z hôcefizfipfam d b duplam eflë 4

habet determinatîonemfië CR problema tale. . - 4 ,’Duabus rec’iis datisd b,b fiai ipfa d b dupla ipfîus b fiât punc’io h fumpto, in

I .b fdiuidercipfam db,pun&o q,ôÇfacere ficut quadratum d b aquuadràtum d q,ira-qlf ad f h.Vtraqa enimhæc infime refoluentur, 86 com ponenturb. In fine quidëantediâum polhœbatur fa ofienfurû, in munis autem fcn’ptis hoc promifiîlm in; bueniri pompa Nihl’l etiam (nugnimus Dionyfodonî, ne quidpx’am quidem hotüattigiIÎe, uerum patate fieri non pofÏè, ut in Emma aITumptum pemmiatugatqs .idcirco alteram totiusprobleman’s uiamin efi’um «eiTe, quam deinceps confmkbemus.D1’odes quidem 66 ipfe in libre-de ËYÎÎS confcflo ab ipfo,pollicitum fuiffa exifiimans Archimedem non feciflè pellfcigationëflé ipfè perficere aggreflu;efi,ô,C eius epichen’ma deincepsddefcribemus. tram 56 ip fun-l nullum habet ad ai?fumptâ rationem.SimiIitcraurem çuem’t Dionyfodoro,qu1’ alia demonflran’qne bconfiant problema . ln quodam mi uetuRo-libr-oy (non enim à multorum abfh’. .nuimus inquifitione)inc1’d1’musin heoremaja fcripta,quæ quidem ex ptefma-tibus obfcun’tate magna tenebanturzin figurafiione mon multi plicx’ confirma;quæfitorum quidem habebant, fuppofidoneœfib parte autem grâtam Arch une.»dilinguam doricfam &ruabarizt; 8:6 confluais Arqheo rerum nomim’bus crantin)fcripta,ubi parabole feâx’o redîanguli conf bnominata CR ,ôéhyperbole («flic ce»niambligonij,1’ta ut exipfis intelligatur . Non igitur ipfe fuerx’t, qui quæ in fine ’

b promiffa (baudet-cum fit profeçutus. Vndefiudiofius incumbentes,ipfum qui.dem rationale,uti fcrx’ptum fait, propret erratum multitudin’em, utfixprâ diâumfuit,d1’fi°icile inuenientes,1’pfam ferê maman-n denudanres,commun1’us 86 apem’,

us (juan tum fieri potuft diâioko nfËripfimus. Vpiuerfaliferàutem primü Theorcma faribetur,ut quad de ce diéÏü eFt, declareî circa difiïm’n’ones . Dex’nde 8C his Il

quaè in pro blematc tefoluta (ungaccommodabuntur.Rada data a h,item altera me: fpacio d,proponatur1’d a b fumcndum puna

aum,puta e,1’tautfitfi’cuta e ad a aira fpacium d ad quadratum e b. Faâum fit,&pgpatur a çflg’pfi a bac! angulosreâos, 81 iunâaac elpmducaï in fier ducatur petcæqüedîûàjnjàïx’gfi guipa c g, alpe: b ducaturæquedifians ipfi’ a c fpîâ f b g,c6»

currens cum. maque brama-çà: g, 85 compleatur h parallelogrammum . Etme ducaturkél ,æquedjiîahs unguis han": th,g f. Ë: fit contentum fub chg m

æquale ipfi d. Quom’am ngttux fient ç 3343.91’3 d ad quadratum e b. Sicut aunée a ad La du cg ad g f. Sicut autem c g ad gfiitaquadratum c g ad conteprum (abç fiIgitur fiçutquadratum C g ad conçentum [abc g, igfi’l’ta’dl ad quadratumé b,b,o’ç efiad quadratum k fiât permutatlm . ficutquadratum cgadd, hoc efi adêçmefitumfgg ("aira Cpmmwm rab C g,g f ïdquadratum f k. Verum ficusquadratû c gad contentîî fubçg,g m,1’ta c gad nggimr fieu: cg adugm’ita (on;,tçnt-um fub c 3g f ad quadratü f k. Verum ficur cg ad gm, 1’ pfa f g fumpta cômuæni’al’titudine,ita contenta fub c g, flac! contentü fub m gag-f;8i"cut fgif conténfâ’:

Ëm c g,g f adlcontentü fub m g,g un contentif rab c g,g f ad quadratum fchgi- Iquadratüfkacftæqula le contén to fub m g, gf. Si igiturvdrca axem fg defcrfba

au; Parabole perg,jta u; duâæ æqtmdifiantes ipficÏ g poflîm faeundum giflai?(a ibïtbgrk; ü ,éritvaIÎu’one data,’cuu1 g m fit data magnitudine,quæ fixing C Ch”

ta comme: gamin d , Igitur puné’m-m k aptatur po fitione data: patabolæDîRl’il bgrurig1’tur utîediëîumveflfiz 2&9 ficuti g k. (hammam rurfus fpadgâh’h kæquaa

tu: ’

1pfi’us b fisc ipfàm b fmaiorcm eflè ipfa f h . Quâtum autem ad refolutl’onem, nô

i

).1

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nux

h?c,c g fit data.amph’us qui.

- datum dhôl efiperpendicu

’mprbportione habenfba-

DESPHAERA ET CYLINDRO; V 3g;v flûfiïàcdîôdc Ë g béé dt éorite’ntùffi fub kl , contente fub ab,b g. Si pet!) cit-g

ca incëficurrenres has h c,cg defcriibaturhyperbole, tranfibit pet k ex conuèrfo ’v débâtai theorematx’sfilibn’ fecundi Elementotum :0110er Apollonij: 86 en’tpofi’ ,

nonedata,cum utraq; han: l) Æ ) du h îdem,ôCb pofiu’onedatû efi.

Defcn’batur. ut diâum dt, v85 eflo fient b k: lgiï k apta.tut hyperbolç pofiu’one da-rçJtem aptatumd ei’cparabo’,

læ, pofitione data: . igitur k

laris abipfokead datam po , ’ 4 . afiüone ab-.Ig1’tur e datum. . - ’ dQueùia’m igx’tur fiança ad

datam ipiàm agita d,datum

ad qüadratum eb .Duorlî v . À, .r migitur folidorum,quorüba7 ’ là ’ de " * A ’ a a à . .

[es hæ,quadratüeb,ôld:al- , a . a ,titudines uero hæ e a, a 0m11

[es Cumaln’tudinibus . qua p tu l d gte folida æqualia faut. Igitur quadratü e b fupetïpfâm e a,efi æquale d date Tuba? ripfam c a .À Vçrum quadratum b e,fupet ipfam e a,e&’maximum omnium fimih’æter fumptorum’ in ipfa b a .quando ipfa b eefi dupla ipfi e a,ut1’.. demenfitabitur.’Opértet igitur datum fuper datam non maïas effe quadratc b e fuper jpfam e a. I

Comporieturautem fic . Efio data rafla a b,ôC aliaitem data a c. 85 fpaciüm da-tum d,.ôé opysfi’t [acare ipfarn a b , ira ut fiat: una pars habéat ad datam a gîta daï atub-î fpaéiumd ad quadratum reliquæparu’sn. Sumatur-ipfius a b tatia-parSaeJ,gitur d ruper ipfam a c ,aut maths efi quadrato b e fuper ipfam e a ,- aüt»æqt1ale’ei,;au: minus edSiqux’dem igitut mains efi,non componetur, ut in refdlutione o -fiçhfum thi autem æquale punâum e, efficiet problema . nam ubi folida funt j

b æqualfa,bafes akitudx’nibus habenê’ mutuæ:ôc en’tificuç ca ad a gîta d ad quadra

mm b c.Si autem minus efi d faper a c,quadgato be, fuper ca componetut , boa -paâb. Statuaturac ad angulps raflas ad 1’ pfam a b,8( ducatur-per c æquèdiflans’ipfi’ a b ipfac g..Et.per.b.ducatur b fæquedn’fians ïpfi a; c.educaï aga; complea.tu; parallelogrammum f h,8( par é ducatug k e] æqùedifiaïnsjpfi fg . ngm’amrigitur d fupen’pfàm a c minus-efi quadrato eb Taper ipfam ea:erifficüte a ad a ain d ad miuus quidpiam quadraço e b , hocefiqya’drato g k. Ef’to ign’tur fiente aad a c , in d ad quadïatum’ ’gm , a ipfi d fititquale conçe’ntum fub c fin. Q1105 -:

niam igitur ficut le a ad a gîta d,hoc efi cqfitentum [ab c f,f n ad quadratum g 1m»Vergm’fiqit ça ad a c , in c fac] fg. Sicùt autem c f ad fg , ira quadrarum cli- adcontenàzm fub c fif g. Ergç quâdràrum c f, ad mntcntum fub c flfgma contai amin Tube f, fn ad quadratum g m : 86 amutadm, fient quadramm c f ad commatu!!! fixb’éflfhdæ Contentüm fub c ,f d ,ad’q’uadratum gm.Verum fient qua .

dramm cf ad pontentum fub Cf, fn, ira c ad fn . Sicutaurem cf ad f n , fg Cam .muni altimdine [ambra àfilial content-dm fub cf,fg , ad ’cantentùm (rab ln f , f g,Sicùt igitur-contençum fujb cf, f g, ad contentant; rab fifi f g ; ita contentant lrabe f, fg ad quadratum m g; I Îtür quadrawr’n gm æquatur contente (ab

, f,,fn, Siigitur perf circa axem g defcribamœ’parabolam , in ut duâæ paf; a, I.im iuxta ipfam fa tranfi’birper m ;,deRripta fic , a efio pura m x f , Efquoni .2

» b Es am .

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a , garantir: nacra: Lira-Vu. N v .am h I àqüàtîxripfi a f,hoc eflcontentum (il!) h-k ;k l1, contente fubja b, .barca incoincidenœs h c, c fdefcripfèrimus byperbolemdpfa tranfibfitper k; f5 e v

d conuerfionem oâaui theorematx’s facundi’Eleméntorum conicoturmflpqllon ,

Defcn’batur, à efio para b kfe- » . v d ’tans parabolem punâo’xfii ab(pro x ducatur x o p perpendicu .[aria adab, 8c per x ducaturæ- V H °

I qualifias ipfi’ab ipfàrxf. quo. ’ d , ., . , ’Çm’a ita’cp b xkefïhyp’erbo’lç, 8C f a b x ,çipfe h c,c f incoincidentesôc du ,z&æ æquedl’flantes rx , x p ipfîs aab, b f: contentum fub rx p efiVæquale côtenm [ab a b, b f.quaù .

te r o 2P: æquale a f. Si igif ab ip. A af0 c iungatur ad s rafla; tranfi’bit - Ipet o . peruenen’t , 86 efio ’c o f. ’ a 1 - ,7Qyom’am igl’tur ficuto a ad a c, a . . a l ’itaobadbfzhoceflcfadff.SÏa 67’ . Paau: autem cf ad f1", ira fn démit. ’ni altitudinc fum pta contentum 4

fabcfifn, ad conténtum fubff, . .fnJgiturfiçuto a ada dirima; . ’ r a.tentum firb «’c fit" n ad Contemum’ ’

fub (fit-n. Sed contentum fub dcfifnef’t æquale fpacx’o d, 80:6: A i .tçnto fubjff,fn exequatur qua, . L d " Ï) ,(harum [X ,rhloc efl: quadraçum

b o,prop.ter parabolam .ZVt igiîz’ . . . . n 4 b" v .o a ad a a ira fpacx’um d ad quadratum b o .Sumpium efiigitur puhûiIm o , qua

’problema perficitur. » V . * v - . . h I’ - .Quod autem ipfa b e exifiëte dupla ipfius a e, quadratum b e. fupef ipfam e a

’maximü fit omniü fimx’h’ü fumptprü[fuper ipfam b a 7 hoc paéïo demonfirabïtur.

fifio anim ficut in refolutibne rurfus rafla data ad angulqa mélos ipfa a; ipfi a b ,’ 8;.1’unâa-çggduçatur, êÇcqncurrat linea: æquadifiânfiï m1533 En b. ÎPfi a Cm ba

(30 f: 8C pet Êmâagifdgcanmr h fig g,æquedifiâtés ipfi a b :ôé producaturç a ada bled huiç ducatur êtquedifians k e! pet punâum 2,86 fiat ficut e a ad a à, mon.

Itentum [ab c g, gm ad quadradgm e b . Igitmî quadratum e b ruper ipfam e a cri: Jæquale contente fub c g,gm fupqïpïàm 2K, 60 quod duorum folidorum bafçsaltitudinibus rhumé affidûtur . Duo igiruk, contentum fub cg,g m fap’çr ipfaïn I

-a c maximü erre omnium fiml’lium fuper ipfàm b a fumptorü .Defirg’batur enimpar g,c1’1:ça axem f g parabole , ira ut duâæ poifi’nt iuxta ipfam g m,ipfadtââanfib;’tg

En" k’,ficutin refoluu’cnegofl’enfmn du?! ipfa eduaa cancane: ipfi’ 1; ç. æqugqifa

amidiametro fèc’h’onis ex ufgqfimofeptimo-theoremate brimi Iibri ApdilçjxfiElementmjïî tonicorïi. Éducatur itacp,8ç concurrat in punâo n,ô( par b circaiîàt

coinddentes hasn c,cgdefcribatur hyperbole, que: trâfiblït par k, fiçuti’in reg!!!doue diâum ef’c. Paruençm’t igitur, puta b k, 86 ipfi’ fg produâæ p’onarurq-qalisx 56 tungaturx 14,86 producaturin ou. Conflatigïcur, quod Côtinglït pagabüfi

Il lam ex conuerfi’ône trigefimi quarti theorematis primi libri Elemenxdmm maicorumçApollonij à quom’am b e dupla eût ipfi’us ea. fic enim fuppoflçumrefi î ho;efi 1’ pfa kfîp-fius k 11,86; triangulus o h k fimilis efi triangule x f k,8Ëïipfix Édupla X

cri: ipfius k 0,56 dt ipfa x kduplaipfi’hs k p:qu1’aipfax f duplaipfius xwg, a: quia

* a P g

av a

,z

g.

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DE summum-ET CYLINDam si;pagel? æquedifians ipfi kf, (gîtai p k efi: æquah’sjpfi kp. Igitur o kp rengageas,bypçrbolemfit coniunâaôc collibiata cum incoincidéntibus in duo æqua (un? jdimrapplicatur iginir ipfi hyperbole: -, par connerfionê (aidé Œédrématis faims a

di libri :Elemcntorum cdnicô , . I Irü Appollonij. Applicabatùfautem 8C ipfi’ parabolaè fècuti ,. ndum «idem k. . ng’tut parab 01a

applicatur ipfi hyperbole: in Cpüâo k. Intelligatur igiturôchyperbole produâa,puta ad1386 fumatuxf in a b quodh’bet

punâum f, 86 ducatut par f .ipfia vr f y æquedifiîans ipfi- k 1,, ’

86 concurrat cum hyperbole’ in püâp 1,86 ducatur pet 7 ip

fa z 1 q æquediflanslipfi cg. A Ipropter hyperbolen igitut 8C lincoincidëtes , exit z y aquale ,1,ipfi c b: ablato c f c0mmun1’, d ,’

fit: fæquale f g: 86 idcirco re-âa» ab ipfo c ad q produâapàrmeabitpe; f. permearl’t, 8;

fi: para c fq : 81 quoniam quadratum u q dît æquale coûter;to fub q g,g m propret para abolen: quadratum tq minuscfttomçnto fub q g,’g m. Fig:igizur quadratovt q æqualej c0» lcentum fub Acrgggîaç . anniâ; , . V A,

k, igicur efi ficut s a adam in cg; z, A,ad g q.Item ficutcg ad g gap.fa g a» cômuni altitudine um-pta, ira çôtentü [ab cg,gœ ad

côtentum fubq g,g même! ç:qualeilll’ quadraçum q fa hocefiipfius b f. Côtcmümlefgd

l [ubq g,gw fuperïpfam fa,efikæquale CÇflténfo [lib C’g , go)

fuperipfam C a. Cogenrum ne;to [ab c 2g a: fuperlpiàm c a, dminus à Contente fub cg, gm(am f a", minus cf: quadraw b a rufian- ipfam da .» Similitex auçtm ofietidenxfinoë

(aber ipfam ca a Quadratum »,igiiur b f

nimbus mais fumpdsintèrpunâa,e a.Verumfumatur’intgt unfiaeblpunw

à y . P , .5311115. 1C0. uodsëhœmocloquadtaçübe[uperipfimea,maiuseflqùadra.tagb,’s,f1ïper îp aras aîEifdem enim præpaxïaitigducatm persifla s fiefiqùedifiâs kipfi klyôi-CcnçarrafciIm hyperbole in. R.cqt;1ëum’t gaina dlëiîoptetea; quad æ.qugdx’fians afi.incoixgçidenti:ôé ipfa r lb dada. asquçjdifians ipfi abper’ tu côcurrac,

ÎEÜË g eduâæ’inpüâo lb sa, fluctua rurfus brama: bypegbolemijjfüm ch e11 aga,duale ipfi a guéa ab 1’ pfbcîa iunâapérmëabiçper s.Petmearfifsëf fit pute! C, sabah quom’â rurfus propret parabolmyquadlzâtâa b.acquatur ëôœntofubfigr I vgamma; qgadratum r Ib minuaêën’t’entô [a,b g , .g’m a Fia: seËtenmmfu-b hg;

. A - d b e V2; gy;

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w: bifide]! Tu Kxicvnfunr il; îgai æqualê’qlïadfata r [b.Œxa niâ igitufefi fleurs a ad a gîta c gin! ghVe’runila’vï

cargua g flua communi g a) altitudineiümpta ,tdnrenmm Tub cg, in autantefiüii’b fiIb lb’g;g «agha: efl ad qùadï’atum r;b,hoëefl* ad quadratfibà. gifùr qua

dratum b s fuper i pfam s a,æquatur contenta fub cig,g’ïd:. fuper ipfam c aïôlranltentum fub cg, gm maius contenta fub c g,g (Il. Igitur lquadfacum b e fuper e dé

i mains efi quadrara b- s fuper s a. Si militer autem affendetur in omnibus puné’flsiintere b punâa fumptis. Offert fum eft autem 8l iniomntbus firmpn’s inter 621,50in omnibus fumpn’s inter e b. Omnium igitur in ipfaa b Emiliter fumptaruinmaximum efi quadratuni b e,fuperipfam e.a,quando ipfa b e dupla fit ipfius’eaé .

Cagnafcere mît ei’c opus,ôc ca qua: fequumur facundum diâam defcriptia»hem . Quoniam enim oflenfum fuitquadratum b [Taper f 21586 quadratum b 8’fuper s a,minus cire quadrato b e fuperÏ ea,fi’eri porefi,ut fpacia dato,qdad fumaperda’tam minus quadrata b e fupere a, perdue punâa di’uifà ipfà a b,probl’emafia: ex principio.Hoeautem fier,fiintellexerimus cl’rea diametrum q g clefcriptâparabalam,ita ut deduâæ paiTin’tiuxta ipfam g m . Ïalis enim parabole). tranfit a.mnino pelu-.84 quaniam neceiÏariô ipfam incidit in en æquedifiârem diamerra;conflatquod (ecac h yperbalen in alia purifia fuperiare ipfa k;ficun’ iflic in 1586perpendicularis duâa ab i pfa r ad ipfam ab,uti iflic rs feeat ipfam a bpunâals,ira ut punâum s fada: problema , 55 fiatquadratum b s fupers a æquale quadra!ta b s amer s a ueluti ex prædiâx’s demonfirationibus pater . Quare cü duo punafia poŒnt in ipfa b a (ami quibus perficerepur quaifitü; licet utiumiibueri’tcuiaccipete,aut punâumkintere b,auît quad fitimer e a. Siquidem enim quad inter de b,u: diâum efi,parabala defckipta per punéîa g tin duobus ’punâis recadre hyperbolen , id quad propinquius fueritipfî g, llocieflaxi parabalæ, inueniet idquad efi inter e b : uel uti if’cic r inuenit s. id quad remarias efl,inu’en1’t id quad efif

intere a,uelutiifiic ipfum tinuenitipfum . a ; - ’ I rVniuerfaliter quidgm igitur fic refalutum efi , 8C com’pbfitum prablema.

autemôc uerbis Archimedis accammadetur, intelligatur ut in i’pTa dcterminatideicriptione diametros fphæfæ dia db , à! que: ex centraifla vb’f, 51 data f h. De.(cendimus igitur in hac, dixit , Sceau: ipfàmd f fécundùm q ,rhaç paâa, a: fi 4

en: q fad daçam, ita datum ad ’ - t ’ r1quad’ratum qyd. Hac autem fîm

pliciterdiôum, habet determi -natianem .; Si enim datum fit-

er datam maius fuen’: quadra-to d b (u et b f,tunc fierinô pas -teit problema,uti ofienfum efi.Si autem æquale punâum. b faciebat problema 184 hac madonibil perm-rebat ad Arçhignedis I , .es: principia prop’ofirîohe’m .’ -, - ï ’

Sphæra enim bac macla non df j Iuidetetur in proparcionemq da; . V q , ’ * *k . V v» A . . . V:mmsfmph’dteremm diâam habeba’t detcrmina’tionem. Additis autem his’pijat

. blematibus ifiic exiiîentibus,fcili’cet duplam eflè i iam d b ipfius b f, 86 hac ,1?-l au bifmaioiernefl’ei fa fb,nanhabetaniplius dèmminatianem. nain uaçdYa-ven; datumfuper r hïdatam,minus efi quadrata d b fuper b f,-quia b maintèfl ipTa fh. quad cum effet,afiendiinus tune paffe problema,ôcindé tuncïpraue.nire.Animaduertendum efi autem,5( hac que: ab Archimede diâaiunt, confia

i tiare his qua! nos refaluitnus .Primum quidem pali: fuam, refalutia’dëuniuerfa»liner idin quodfin’cidit profèrens,dixit, Oportet datam d f (mare, &ïfatere Hem?

"gr-a.

; LB

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«f

n 13:8 2.121313 ne i112: c-Y-.L1N*D*R-G.æ 32.2 ’’ àcbdaçamjtaldamm ad quadramm d q ,. Deipde d icenstanqugm mœflaliter dia;

(3mn habeat decergninau’pncm z adiéëhjs. autem; problématibuç àb ce inueiitfs.,.hoc efèipfàm çl bîçluplam. eHÎeIÎpfiÎus b fic?! ipfam’ bfmal’or’em (pût f h,non ampÎi a;

» us habet datergnigatipnem magis partickularë . Refumit problemàfiçdicit, quôdr61h11: problema hoczDuabus mais. datis his d b, b f,ôli (a d b dupla fpfi’us b

’ sépunfio 111,.le f 1’pr h,.fe.calre ipfam d b pïîc’îo q,nqn jam içut prias ipfam d

mugi-cd dvb opotçere diuidi ,Ïpmpter-id quad nos fuprâ demonfirauimus , qgéd;1 1’ pfc infpiciebaç duo .punfia fum p’ta efle in d f,quæ facercn: pyoblengamnum qui.« dem inter d b,a1tetumyuem inter b fiquorum quod efi inter d b ad propofitfiongfii;

I ex principio pertincbat. A U b A . A v a ’ I . I ËA .À Haçcx’gitur «con fèntanea derbis’Arçhfmedis5prout petuim.us,apertê defcri

nuis . Quoniam autem, utprçdiâtî 21’: ,Dionyfodorus nulle paflo "defcriptis infine ab Archimede prænuncian’s incidéns: adnixus autem ad inuenïénaa , qua:Bon equfi’ca effenr,aliam uiam ingrçffixs totiusproblématl’s,Çonfèripfithaudjù,dignum inuentionis modum necefiàn’um: quem exü’çïmaui oporçerç ifh’è 6011;]:

(in; fidelker,quantum fio.t.uimus.nam 861’pr nimia hammam negligcntia ma: gnam demonfirationum parte’mfimulu’tudl’nç çrlgorumldeletam habens, in omni,

bus quibus nos incidimus [En-113:3 ferebatur. ’ I ’

A. MODVS (DIONYSODORLI I I A Atam fphæram plane ira (mage, unpértl’ones eius habeanç inuicem prépa,n’onem datam. Efio data fphæra , cuias diametros a b 5181 propouio daté;

quam habear c d ad d e. Oporretigiçux fêhçram piano ereâo ad ipfàm a b femtg,» fia ut pottio éduquera): a,ad4porçipnem cuias uertex b,babeat proportiomém ,5

quam habet c d acide. prpdqçatuçlj ainfiôlponatux a fdimidia ipfius a b.1ô( qui;profiortionem c e habet add e,habeaf cm fa ad 3g, 3m: ipfa 3g ad angulos mgr.

âosadx’pfamab,ô(fu- v r . . ” I H H’- matu: ah media prcpor. donalisifialtum a gag. Il î 7. 4 ’ k Igiturarhmaierqgfi 7 1 » ’ . Ja g,ô( circaîaxem f b pet - ’ la

füefcribatur. parabole, A. ..133 ut deduâæ pcaiïx’nt av

iuxta ipfam ag,qu;ç j; Ilgizper h,quoniam conf

; (entamât!) 31,? gefi ç- t 2- v 4qualcquadratoahfle». u .A .1 I, 4[cubai flaquât fit para gf1: k , 8(per b.duc.afklçb( ’,

æquedifiansipfi’ ah a 56 a

fixât parabolam* k,Ôleer g circa incomci’

(lentes bas fb,bk defcribatur hyperbole; quæ diuidet parabolenintet ’ ’ « V.hnkifëçetinpuudoliôi’ v .v . à 1, . V w k f

,ducamrab l perpendiculan’s ad a b i536; l fiizæpçr g’,l ducânçirripfîa b a; .ïquedl’flançes g n71 x.ngniam igitu’r ipf; g l efi hxpçljbqle, .8: incoincidentes ifijçl, a b,bk,et æquedifiantes ipfis a g,gln,1’fiæ m 1,1 niieritncontgntgîffub à g, g n æqualel

contente (ab lex, ex 061mm theqtèxnatè libiçi fëcundi. Elementorum confia;Apollonfi  Verum ipfaiglflfie’lî æqüalisijpfi a b , ôfipfâ lxipfi mb;C51.1-Ï

mm jgiçurfublm émbseflitqvàlsëpntmtq (Égalabmfirëma cçmmgirgnè

" e - 3 u.

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îlï EVTOACII lN’ ARCH. 1113. 11C d(Lib éxtréniîs ëq’uatur contenta fùb mediis,quatuoè «au prôportfènaksEn’t igïfur fleur quadratum l m ad quadratü g a,x’tà quadratth a 5’ad quadràmnii

b th .Et qu’oniapï propret parabol’en quadratum lm æqùatur contente Tub ftp;3g . cri: ergo ficut f m ad m Lita ml ad a g.Sicur ergo Prima ad-t’erh’amgita quadramin prima: ad quadratumfecundàe , ô: quadratumd ceimdæ ad quadratnm ter-a;133E. Sicut ergo, f m ad’a g,l’ta quadratum I m ad quadratumga. Ve’rùm fiçutdquàè

dratüm l m ad qüadratum a g,1’ta oflenfum efl quadratum a bac! quadran’z b un»Igitüt fiai; qüadfarum a b.ad quadràtum b mgx’tafmad a g. Verùx’n flattquadhâmm à b ad qüadta’t’um b m;1’ta circulas cuias qua: ex centre efiç’quahfs ipfi’ a b ad:

médium cuiüsquæ ex centre dû æquah’s 1’ plÎxb m . 86 ficut circulas cuias qua: en

centre EH: alis ïpiî a b, ad drçulum cuias qùæex centre efi æqualisipfib m,1’taf màd a " . v v mis ergo bafem hâbehàcirculum cuias quæex tenu-02?: æqualis:ipfi a b,a citadinem acre 1’ pfi a gbæqüah’s efl cono habenn’ harem circulum,cu1’us

quæ ëx Centre æquah’s eft (pût: m,alt1’tud(n’em acre ipfi f m . Nam conf quorum -

halés Contràrid altitudinib ds aflïciüçm, fun: æquales. Verum cornus habens baufera circulum cuias quæ ex centré aiqualis efi-(pfi a b , altitude autem iFfi f a , adconum bafim habentem eàndem , sa altitudinem ipfam a g, fehabet Icutfaada g,hocefi c d ad e d.Quoniam enim bafes eafdemhabent, ad inuicem fe habe-bunr ficut altitudines eorum.Conus igl’tut bafimlhabens circulum, cuius quæ exééri-ttokæqualïs cit ipfi à b,altîtltd’inem uerb æqualemïpfi f a,ad conum habentë

bafem circulai-n çuiuSquæ ex’ïçent’fo æ uaaudipfibm , altitudfnem une lipfàmfin, efl’fi’c’ t" ï ’dk’d. ’ in icb’fiûsh’? * d défis bàïèm’drculüm dans qua; ex cenav

«daguàfisefi ad "jà! " dïnerfiîiefdïpfam fla,efi arqualis fphæræ: 81 canas «ba,fim hab’ens dfcu’lum cuias quælex. centro CF: æqualis 1’pr b m , altitudinem acta .

fifn’,efl æquah’s pommai fphætætuiüs uertèxtfi b: altitude acte b m,ficuti daine:ceps of’tenderurigitu’r Tphçra habet ad diââ portionem,eam proportionëfluam-

habet ce ad c déc diuidemx’ perde mais uertexefla, altituddïiut’em am; ad par:n’onem cuias uertex cf: b,alu’mdo acre hm, eam habet préporïtiônemquam cdad d e ’. Planum igitur perduâum par ipfam l m 61-26mm ada b («au fph’æram in

"prépom’onem datam:quod crat-facx’endum." ’ - d ,-* Quodautem canas harem habens circulatmuiug qülæ’eîé centre efi æquah’s

ipfi b m,alt1’tud1’nem uero ipfam f m; æquatur portioni fphæræ cri-us uertexb,et*àltigxdpm h,hoc paâo demôflrabl’tur. Fiat enim, ficut En); adm aéra o mati m b’.

Igitur Conusbafiam habens candem cum portione,altit,trfdïfiëm tiare .ipfam o m,æquatut perdom’; Et quoniam fiant" m ad matira 6m ad m b. 86 permutatim, fi»cutfm ad m mita a’m admit; 3?,qu muta miadmbdta quadratumplm ad qua-dtatum m b: 8C ira circulas cufasgyæèx centre CR æqualis ipfi’ p m,ad circulü CILius qua: à: centre dt æquah’s lpfi m b . dSîcgtlfigitur circulas cuias quæ ex (être eflæquah’s p m,adc1’rculum calus que: ex centrçrefi æqualis ipfi’ b m,ità m f ad m o.

Sic igitur conus bafemlhabens urculum ,Acmus qua: ex être æqualis. eflipfi m b,altitudinem une ipfamm f, æquatur cono habentibafim circulum , cuius quæex centre dt æqualis (pH pm , altitudian Hem ipiàm m o. nanï bafes zorum ahticudinibus contrarie affidunçur. quare 56 portiqni e’fi: æquah’s.

MQDvs DIOCLls. : *î.

n

ra St cylindèoÀrÇhimedEs demdnfifamt; quad’omni’s fiahæraé perde æqiîâ’ ., , âun cône bafëm-habentî tandem cuti! Pofçïône,alfiîudinèm uero reâam qüan » I

v habentem proportiohém àd perfiéqdicùlarém duâamà nattiez ipfius portlènisld adbalëm,vq,uâ aux; fi’mu’ldead qiîæ "aheurté, æquæ’ .permuran’m habewryâd par

V n’onem perfièndfcularis 7 ad perpèndx’Cùlàrem fieimutatæ portionfs’th Û fiïhærz

fiçab c,ôC [6(3qu plane quodam kirculo’cîfca «maman: c d confiitutozôi diamé

- , - neSCribft autçm a; Dioclgs in librode. Pirqs,prfm.um.hæc dîcïszln libre de fpbâ’

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IË;*’ËÈÈ,AËÉAIET cïLrnbao. fig;Il 1&0 ab,çkifiçhçe centré e: Méçerimus fifcuh’ utraq; fimùl ç a ,faladyfajta gfad fb.

Item ficut attaque fimul è b,b f ad fb,ita h f ad fa: Oflenfum efi’portionem c dl fphæræ,æqualem’ aïecano;’cüias’bafisiquidem dtculüs circadiametrum c d con

Œtutüsgkitudo tien-o fpfa f g. Etbô’ttïôfiêxfi é à "d æquàkm effe cônôrhabëntf éâv

dem bafèm,altitudinem dem. h f. l 4 V I I dA. Propofîto itacp fibi hoc ,, datam fpbæram piano facette, ftautportiones fphaèifa:

54. ddjnuiçîçm habeant proportionem datam,côflruens eaquaèèfanjtvdiëîa,rait:Pro-ld moi rit!!! data affirmai bafis,cm”us efi: cfrculuè drcajdl’an’nen’üm c d, .altftudo ne

, êh,ladç9jngm cabas bafis fifi: eademaln’tudb kuero ipfa f gl Eœnfni hoc dan* V V ,56 V 6.1.11, qui in».èadembafe:confifiung adinuicem fg habent ficut* Q ggmaltx’tvudx’neîsfig (Étui; propôrtio h f ad fg dataïâ quiareftficuth f ad f a,1’ta m.

kçfaq; fin-nul e b,b f ad b : digidëtmcut h a ad a Lita e b ad f b. Eadem ratibrle fic-md ’ dgb ad fb,ita me (adém rafla ad iplàm fa. Faéîü Iefi igitur problemagalezReéîa,

. a b pofitionedata, 86 (juchas apunâfs a b datis,ôc data ab, fecare 1’p [am a b pûâo’ * fifi adficèlfe hagbadg g, ira yç’pçxjvtio h fadfg fit data. Item ficpth a ad a fiita dar b

ta rafla ad miam fb.Sî’cutautemdgbad b fiitaIipfa data l’ëéîaad ipfàinfa.ng au

I a mm deinceps efi demonfitatumArchimedes enim leggins hac pfleqdens fit ficî alterum problema abigit ,1 güod nô demonfiratx’n libra de fphaèfa ô: cylindra.

. , Reflex a b ppfitioné d’amis: duobus punais a b datfs,êc prob’omon’e qua ba.be: ïpfa c ad ipfam d, digiderç iplÎama b püâo 2,86 adijcere è1’has f a,g h,ita in fit

J (kat cad d,ita fa ad ég. Item’fi’t fic’urf a ad a Egita quçdam rafla data ad b mâcha:gbad b e,ïta eadem rafla data ad c afaâunçn, fit. etipfi ab ad angulds reâbaaddâ,un: h a 14,1 b 111,85 ipfirec’tædatæ p6natur utraqa æqualfs a.k,b 111,51 mafia: ha: be,

’ Ë èm educantur adLhJungatur autem si km,ôé duaux: perlipfitb næquedx’fiansîpfi a b,ôl par e duçatur x e o p? æqgedifians ipfî n k. Chlôniam igx’tùr ef’c ficut f aad a’e,1’ta m b ad b CII’ÎOC enimfupponitunficqçaïutem m b ad b agita ha ad a e, a;

axer fîmilx’tudinem .çriangulorü g Siam efgofa ad a e , 1’:th a ad a agitai" faaéfig z’ àpgh’s ipfi h a: eadem ratione 84 b g ipfif b1 . Et quoniam dt fleur utra (indu! h a,

ça; ad uaâcp fimul m b,b gîta; 1;an fimul k a; a’egad utraincpfi’mull; , b ë; un?»

- que enim eàrum proporticntifdçadem efi ci que; EH: a è ad a,b;Cdntentüm igam-* fub Utraq; fimulh a,a 6,56 fub ddacp fimul l b ,«ab,’æquatur cantento [ab maque. (final k a,a a: a: atraq; fimul m b,b e.PonaEbnipü la aæëaaliçlàakû utra’qæ r,4b f.

’ngm’am igitùr, utraque fi’mul h a,a e,æqualis efiipfirfîefimtfacp aütem fimul lb,’ (3 ç æqualisjpfi’e g: 8C utraq; fimulk a,ae æqgalis ipfi’rê z» 84 ucraqa fimul m b , la]:

* æquah’s ipfi fe.Et ôfienfum e&,çc5n;entuçn;fgb une]; fîmul h 21,3 e, 86 utraqnfëfi-mullb,b e,e[ïe æquale contente fablutraq; (3mm k aga e, 8C utracp fimul mb,’b"è.

: .Çonçcntum igitur (ab f me g æquatülf camehfoifgb r a; s; Propferhqçrquàndo

’ a * a .. . ï . r ca,

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.49 . ivrocum 41:14. un". nadir inter a firunc remarias (pro g cadet;ôc ec6uerfo.Quom’arn fgr’tur fienta; ad(Lita fa ad e g.Sicùt autem f e ad e gain contenruni fùb’fefi g ad quadratume g.Sicu’FergQ c ad (Lita content’um [ab (gag ad quadrapmne g. Communal narrera

fub fac g oflenfum 6R cire æ,qualefubrr’efi s . Ed igirur fi» . l,turc ad d , ira cohten’tum [ab k V , 7 t .r e, es adqçadratum e g. Pona t, . t a. l itut ipfi’ b eæqualr’s ipfae o , 86 x

Wiunâaboeducatururfinque, d f , à e : 1,.rôt à punâr’sfirduâæad angu a a - dlosreéîos bac rtd,a’rI-y cancan a vtant ci indpüâis y t. maniant w . a oigr’trn’ par b darum, ad pofitr’o, ’ 1,, ’ P mne datam a b duâa dt t y, fa’cr’»

ms anguîum dard hunc abot d b t d vdimidium rcâï,ipra t yeti: po; I «A rGrime data. Et a datis r f par:doucha: r y,t fdué’ræ recanr à

punais ty.Igiturôiprrn8at, V æ .1 « a du,ydata.quareetip(àtydata,pq - » . ’ Afitione se magnitudine . a: quia perrerlfimfliradinem Magmarume o b, fr ye&,ficuttbadbo,r’rafb adb, d” A dficurbto aitëïlêzëèàèâïêæÏ-TËIW

lÏÏëÊÎtÏÈÔ

tardif e ade’ r, ita contentum fùb (gaz ad quadrarum e r . Star; ergo cenrcnrum

.gprbpgmî;fieùttôad;o h,itaf e ad ebQVemm

eræquam ficurroad o y, Ira f e ad cr. Verum

v (a!) to,o y ad quadratum o y,îi3a contentum (ab e f2 er,ad quadratum è LEI Gara Lergo tomentumv [ab t 0,0 y ad quadratum o y , ira conçenrurù arbre; me! quam.dratdmc rgEt permuraümgficut coritentum (a!) to;oy ad contentum fub fan;ira qdadratum o y,ad quadrarum e r.Quadrarum autem o y duplam efi quadra .cou. quandolqtiidem 8l quadratùm 0" b duplum ad quadratum b e. Igirur coti;tefltum fub’to,o y,ddplr1m cd contente fub fan. Conrçnrum autem fub me r ,adm fumdefi habere ad qùadraruing g eam proportionem; quam habet i pf a c adipfam d,Et quadratum e g æq’uaéur quadrato x quam urraqsæg , x49 efi æqualis ,un; fîfimtfll b,b eglgirur conter-1mm fub t 0,. o y habaæ! qüàdPamm x ° 65 P1’°fpar onemfluamhabetduplaipfiysbcadipjàm(dLIÎ’ioporrioauterrrdupla: ipfi’us Ic ad 1’ piâ’m d’data Fit: Canïdïfub r me yadqœdrarum x o proportio’ da-ta . S’r’ïgl’tur fetarrmü’s’fiéd . d ’ làmiplîizs-cdta-ty ad aliamIquâdamv,puta a;

ôtrircaipfàmtydefiribamus l a; *dia: (ni-anguld fub x o b , hoc cd m 1an o rèéb’pdffim ea’quæiuxm u defidm Jriaflmili contente [ab r y, et u danfibrr par x par concernant): ufgefi’mï digère;mais primi libn’ 51men tord Iconicqruvm Apolloniy’defiribarunôl fit ara y x t;Punâum Êgitur x applicardr elliâfipofitione daræ. Et quom’am r’pfal 15 env du .-

goniah’slip rush m,parallelogra* *

tumefifilutracp harum ab,b nigpquia hæ h k m incoincr’denres defcn’ptç [and86211:5 para x bigd’tïr punéiumx âptatur hyperbole: pofîu’one datas. Aptabalfltalarmât ellipfi pofx’n’onedatæï Igirpr- punéîum adamm , Si perpendiéû’lan’? ab -

, ipfox e.igirùr e datum.Et quanîam’efl futur in b ad b e,1’ta fa ad ae.8(a adam cd; -.

igirur a ramez eadem radoucirai-a gbdara.r Çprnponitut

fla

. , Pr 3 âme ade’ r, "a contentum fub to y , ad quadrarum o y . Sicura’u. a

- :- eëîrx’onë com acutx’âguli,ita urdedu .

V mumeritconrènrum fubnxp æquale cçnrèn ,to fub a b, b m. Si igr’rurd par b cirça ins éoindden tes has h k,k m dekfipfen’mùs th -

perboleni, ïpfa tranfibitæcr mêlait pofitione data,quia b pluridum pofi’n’one da »

autemhoc mod6;Sx’cut enim in eadèm dekrilàçg’enefifio damé d

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DE Spnanaxamicrmmïnno; r 4:,dia abgquam oporteat diuidere,èt-altera data a k: proportio data fit cadddueatur *ipfîa b.ad anales radios ipfa b m,a’èqua1isipfi a kzôé iungatur km,8( ponatur u»,tracs ait, b sacquali’s ipfika.à punais r f ducantur ad angulos radios ha: ty,f,t.,Etad pünôum b confiituatur dimidium ieâi Iangwuli" fub a b o , 86 educ’ia b o in u.trâq; partë,diuidatip (as fr, r y,pun&1’s tyzôcfiat ficut d ad dupla ipfius c, ira ty adipfamu. 86 circa t y defiribaî ellipfîs, ira ut eduâæ in dimidio redîi poflint ca qua:

4 adiaceant ipfi’ u datficiemia fimili contente Tub ; y,ô( u. Et par b circa incoincidentes bas a’b,k m defcribattühyperbolc b x , («ans ellipfi’m in mât ducatur ab x parpeudicularis x e ad ipfam a b, ôèèducatur in p, 85 per x dàucatur æquediflans ipfia b ipfal xn,ôl edutantur k a,m b ad l,hzô( ipfa m eiunâa , educatur ôCconcur.ratipfi k n in h .Quoniam igit-urb xefl hyperbole, 84 incoincidentes ha: h k,k m,contentum fub n x, x p æquatur contente fub a b,b m,pcr oâauum theorema fa.candi libri Elementorum conicorum nApollonl’j. Idcirco i la k e 1 radia eü.P0naÎitaqaa f æqualis ipfi h a, a: ipfab g ipfi 1 b.Quoniâ igiË cit iun duplaipfius a ad ip(am d,ita ipfau ad t y.Sicutautem ipfa u ad ty,ita Contentum fub to , o yad qua-dratum x o, pcr uigefi’mum theoremaprimi libri Elementorû conicorum Apollonnij .Et ideo fieu: dupla ipfius c ad i9 iam dgita côtennî Tub to,o y,ad quadratûx o .Et quoniam 6P: fieu: tb ad b o,-ita [b ad b e z 8(- componenti,ficut to ad o b, ira f:ad e b. Veruni ficut b o ad o y,ita b ead enPer æquamïigiturJicut to ad o y,ita f:ad e r. Sieur ergo contentum fub [OgQY adquadratum o y; ira domemum fub fer,r c ad quadratum’» e r: 85 permutatim, ficur contemum fubt 0,0 y ad contentû (ab(de r,’ira quadratum’o yad quadratum e r. Verumquadratum, o y ad quadratumexduplumefi , quia 8d quadratum b o-ad quadratum b e.nam b e æqualis CR ipfienflais: mercË angulorum ad b 5l defi dimidium reâi- .4Igitu12c5temum (ab to, lo yduplum e contente (ab fe;e nQuoniam igitur oflenfutn-ef’c; ficut duplaip-h

a fias c ad i famd,ita contentum fub top y, ad quadratum i; o ,81 antecedentium .dimidia. (eut ergo Cad d,ita contentü fub r 2,2 flac! quad mû x 0,81 ad quadratüeggçumxo æqualis fitipfi eg,.quia utraq; earum cit æqualis utriq; fimulil b, b e. vQuoniam igirur efi ficüt utraq; lima! la a,a e,ad’utramc1a.fim ul m b,bze’gfiçmaq;fimul k a,a e,ad atrame fimul l b,b.e. Vtracp enim earum proportionnai: efleap .dem proportioni a e ad e b.Contemum igitur [ab utraq; fimul h a, a f, SE attaquefimul l b,b e æÊluatur-contento fub urraq; fimul ka , a, e, 86 utra’q; fimul m b,b e.Verum aux]; imul h a, a e æquah’s efi ipfa fez ôl utriq; fimul l b,b e æqualis titi(a e g.utriqa- fimul k a,a e æqualis efi ipla r a: utriq; fimul in b, b e æqualis cf; me;e .iîvContentum i iun-fut, f e, e g æquaturconçento fub r e, e s . Vaum fieu; a add,ita contentum ub r e, e s Lad quadratum e g ., Et ficut c ad d, ira «in centum fubf è,e g,ad quadratum e g.Verum fient contentum, .fubfzœgad, quadratum e g.(ta f a ad eg, ôfldeo ficutcad d, ira f e ad cg. Emponiam eR-ficurm b. ad b misah a adla e, a: h aæquatur ipfi fa. Siçut ergo m b 3H5 basin! fa ad a e. eadem ration:fient k a ad a e,1’ta g b ad b e.Reâa igiçur data ipfa a b, 8C altera itë data k a5âç pre- vportione c ad d, (imprima efi: in ipfa a bquoddam punâum,puta e,- &ca’dieéîæ meflæhæ f a,gb:ô( faâa 6R fe’ ad e gin data proportione. Itemfi’curdaçamb adb c, ’

irai a ad a’e.Sicuta1itemipfa k a data ad a e,itagb ad b e: quodfiietaçiiaçiandum. aHisêigitui’ ira demonflratismotefidata fphæra feçan’ in propertienemdatam, -»

hoc mode. . EGO enim datæ- fphæra: digammas a apagogie autem» quam o- .pas fit partes fphæræ inter f6 habemàfitc ad d, centrum (khanat, En; c; Bi fumagurin a b punâum fiât adijciantgr g a,b h,itaHt agar c ad dira fit g f ad fuma-Lu: fi:ficui g a ad a fiitaç b data adb f. ut autem h b ad bf,1’ta eadem data e a ad a f 114°Cautem que pac’fo fieri poifit,prius demonitratwmefi. 86 par ipfum fduçamx’ldfl ,ad au ulos rafles ipfi a b,8(pervk1planumpe,rduâam creâum ad ipfama-b flet«trip am fpbaeram. Dico iœqa, cas Iphgræ portioneshabere inmceÈÉpfiGpçrriga

A ç y . . mm

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À [mais circulant circadiamçùv’umkgal

. :ræ madambafemhabenti , et altitudinem ipiam b f. Quoniam igiturîdic’ii coni-

4 gains ififia:e;wêgeducaturèpçr d ipfà d f æquedi I r

’ tara defcribaï hyperbole per dl; iam dedüâæ

«en çqaalisipiî d b.Ig1’f quadratü cb quadruplü

v to fub d e,eg.IgiE ha: «a ,ab’fimt incoincidena

:æqüaléipfi b f,’ &diuideasweamïndatam proportionem .punâd’hs’ôi in d Mal

4a asv-Toc-n IN axem un. n.A dem qüa’e eilcad d.quoniam enim efi fieu: g a ad a f,ita e b ad b ficodiponenîrifie;

" tu: fg ad f a,b-ira attaque fimul e b,b f,ad b f. Conus igiturbafem habês circulant ,’ ’çi’rca diametrum 141,8: altitudinem fg ,i æquarur portioni fphæræ baièm eandem -

babetiti, altitudinem autem f a . Rurfus quom’am ficuth b ad bf, ira eaad a f.componentificuçh f ad bi ,,ita un? rimai ea’jaf’ad a f. Igituîiiconusebafiemaha»

tüdïnemipiàm f h:,æq1rawr portionïïphæ.

eadem in baie conflantes,habentur inuicem ficuteorum altitudines,hoc eh fiat:h fadfg, hoc eftc ad d.Portiones igitur fphæræ inuicem habent proportionem

datam , quod initié fuerat faciendum.ng autem pannes) par punâum datum deièribi circa datas incoinddenbes biti perbole debeat, hocImodo ofiendemus:quoniâ non inde pom’tur iniCOnicis El:

mentis.Sint’duæ reflet c-a,a b complexæ quemcamp aligulum ad :586 detur punâum quod,dam puta d,8( proponatur pet d circa incoincidenteshas c a , a b defcribere hyperbolen. iun.garum duèatur a d e,8( ponatur ipfa d aç.

ansipfi ab .ÔCpûnatm’ c æqpalisipfi alignai; v ’ i Ai’ungaï c d,8( educatur adbgîagquadratû c hm. - Væquale contente fub d e,e gèêëedufiaad dm

pofii’ntea quæ iuxta e g addëtia fim ile eôteiitofub die,eg.Dico quad hyperbolæ defcriptæ fûtincoinèidëtes C a,a b. Qyoniâ an d f ei’c ne»diflâsipfib a,ôc ipfa cf æqualis ipiî fa: igit cd

efi quadratô d gaz quadratüvc biæquaïconten.

tes ipiî hyperbolæ, pet. pgimtxm theorema feçïîa

dirlibriElemenmruhrcohicordmApdflonij a’ ma- «com p o s 1T 1 o HEM tu? A R T1; f

IN cornfiçfîtione autem praducens diamètrû’

2 fphæræ 1mm d b, 8! ponensfiîfi’iidiumeius

mens

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DE maman-avr barnabite. 43 I mais (gira- ur fit fleur qf ad h Ë, ira quadrarum b. d ad quadratuni. d q; 86 deadeni a p-parans que: prias dicr’rzquod fiat ficurutraqafimul k d,d q ad d q, irai q ad qb,86 Iponir ipfumirinrer h f. Œmd autem hoc fic habearuràeir oflendendum .Quoni.am enimficururraque fim ul k d,d q ad d q ,ira rq ad q b, diuidenrr’ erirk d ad d q;fieu: r b ad q b. Et permutarimficur kd adlr b, ira dqad qb. Vçrumd qrnaior 6Ri fa q b;igirur k b maie: r b, hôc e17; .fb ipfa brzquare punâu’m r interiipfulm h 8![gadeszËQd autem décarra h,iî’milirer Qfienderur eis quæ in refolurionepræceiï(fluât, in rota rheoreniaris cdmpofitione. Colligirur enim,’quod efl fiait? q ad q l,ira Eh. ad h b. Quatre componenti,8( prépœrea, fit confequens fupradiâis ,81 his

que: fun: iflictdiôa demonflratid, I I . . - r .4 , ’ 4 ir E; per æquam in. proportionalirare perturbant, 8Cc.Perrurbatâ propprriona-lirarem in Elementis didicimus,quando tribus magnitudinibus, &alijs numerororidem fit, fient antecedens ad cdnfëquensin primis magnitudim’bus , ira in fe-eundis antecedens ad confequens. Sieur autem confequens ad aliud quoddaminprimis , ira in fecundis aliud quoddam ad antecedens . ôCifiic igirur pfienfume&,fiçut autecedens r Lad confequeris l d,ira antecedens q f ad confequené f h.Sr’-dur autém CônIèqùiénè [dadalr’ud quoddam d q,ita aliud quoddam a f ad autemdans q i.SeqUimr,igirur,ür oflenfum en par æquam in quinto Elemenrorumdî.

cutrladlqjïab fadfh". , V v I . .. vi , riN.ô.vliNro.i-. , I I IlQ T qùduiam porrio e f g efi: fimüis portioni h k 1»; canas igitur e f0 fimiIis efi. r ono z h klntelligâtur enim defcripriones feorfum po fitae,ôC iunâæ e g,gf,

e 0,9 f,h 1,1 k,h x,x,lç,Quoniam igir’ur partielles e f g,h kl fifniles funrînrer fe,erütanguliçgf,h-lk æquales : quai-e86 centum idirhîdia; 86 reéîi film hi , qui ad u,y. lgirur reliquus relique æqualisjgirür uiahgulus g uf cit aequiang’uluê triqua A ’gulo [y k.ôc e11 ficurgu ad u fiira [y ad yl: s Eadem ratione Cam ’trianguliuf o,-

y k afin: Vinuîcètïfi

æquiangüli, ëtit fi, gdutfuadky,irafo’ »

adkx,8(uoadyx:par æquam igirur ficutg u adju mita l yail-y x.ôC côponëri,

finît go, ad (uniralxad x ’y.ôl âpreté.

denriû» dimidîa (a;

179,553. (imité [Jetçquamercôponen .3 .tificuturraqg lima! *flanc. u’QdOîÏJIOC.

filma. adug:fic deRay fimul 1x; xi.adxy,hoCe&2y kainèV’erum fleur

gmdufvïtaly ad vYiki a æqüam et? - -v . 4 , ( a ,1 , .. . , ,4 Jgo, leur Mac! üfiitâ’zyad Xkêôiëohfeqœritiumdaplafunr feflôéh k. saucer:g°œuadifé°it3 zïëd’h mçdmmmigÏtW-éikfiîëh-kaxesfafit’l’fdp’üftionales’egdiametribafium igl’tur torii rampfimileæqudd füeifatdemofifirâfidüm’ .. , I

x ProportiQ autem a; uad’ç Mara «Quaai mnçüim Portiones fp’haiamm .mm’êédiammbîfimdmsëéalfiadmapôraônumequareergamma».

.’ la"; sur

a t .1;T l

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a

44 . .4 p ava-roui tu: «mon. mm "2’tur connu dimidia-dara erunrzquarc 8c quadrara emmi, 8c quadramm étarquarurconrento fubg u,uo . Si autem datum iuxta daram applic’erur,facir:iaiirudinê Adata m .igirurïre data . Verum 85 u g , igitur rota diamerxos fphazræ data: ideircoa eius dimidia s o dara.uerum 86011 dataiigitur proportio s o ad o u data. 8l c6:ponêri.ur’riufcp fimul (mon ad ipfâm o u , proporrio dara,hoc dia» u ad u g,8( ipfa u g dataigirur 85 m u data. Verum 8: e fdara. quarre 81 proportio du ad cf da-ta. Eadem autem utieyjdi’clerenrur’in portione a b c , 81 rolligerurproportiovqrada b data-«Br quia a bdara efi:1 igirur, 8C q r data. l H " A .1 -

. Qyod aurait) fi p9rti9nes daræ.funr,earum altitudines i fin: daræ,auréa quidëconfiait . Verum ut hoc quoque coordinationi darômm coniequenrer colligi niadearur,dicetur;QtIoniam enim portiones funrdaræ pdfi’rionc 86 m’agnirudine ,.8Ce fdara,e’rir angulus in porrione dams. Quare 8(eius dimidium .8Cfi intelligamus iunâam e g, date eo qui ad rudiment reliquus darüs,8( rriangulus e g u dafus fpecie.quare 8Ç proportio a u ad dg data cric. 81 eu data efl, mm fit ipfi’us cfdimidia,igirur u g data. Licet autem 8c aliter-direreqmniâ cf efivpofi’t-ione data,86 a pünâou dam cum fiririduo æqua diuid’en-s e manda air u g ad angulos ré»fics ipfi pofitione datæ,,8( circumferenria portionis pofitione data . -Igirur g datifefiafirat autem 8C u darum.quarel8( ipfia mg data. ., "ï " i i v - a V

Quoniam efi ficutz yad q r,hoc efi quadrarum b a ad qüadrarum k,ita k h aad i plain d.ngniam enim faéîum fair,fi’cur zy ad h k , ira q t ad d ;erir permutatatim fic’ur z y ad q aira h k ad daVerumfilcur y ad (faire: quadratum a bvad quaamuï h kLCQmjs:gnjmexifimrflausæquafibudbaiès eorui-n altitudimbus ecôrrario affiniùaï a Simraür- baies ad r’nuicvê7 ira quadrara diamerrorü. Si car ergo que»...

drarum ba adquadrarû b k,ira h kad d. Et permutatimficura b ad b kgira9 add.,anndoquidem proporrio b a ad 9 7 oflenfa e17: eademiproporrioni quadrari a b .ad quadratum. h k,crirem kh ad d,ad) aad g,eadem eflproportioni k-h ad d.ŒIa

te permutatimficur b aadh k,ira 9 ad d. hi 1 a i 4 I. , IN»C0MPOSITI,0N.EM QVXNTIs .’-*

, O Voniam iraqa proportionales-funrab ,qhk 9.,d,erir’ ficurqua’drarunî a b adquadrarum la .k, ira h kad d. VnitIerfalirer enim fi finr quatuor refis: comi-

nue proportionaleç,erir quadratum primç adquadrarum femndæÆcurfecundaad quarrai-n . Quom’am enim fleur prima-ad &cundam , i ta furia ad quairam,érirœrmuçadmfirur prima ad terriam,ira quadran’um primeè ad qüadratum facüdæ;igirur fient quadrarum prima: ad qu’adrarum feçundæ -,. ira iècnundaad quarram.

s”1N SEIXTVMÏTHEUR’EMA. W v .Voniam k [in parridfimilis’ çi’cporrioni a,b c, erir ficurr! ad r n,ira b p adp h.Sienim iiJnganturhaemïçxâçfi, uopiam portiones (un: fimiles,"eruntx

anguh ad b 81! æquales: ôtanguliadtria Lumr’eldidgirurreliquusrcliquofié tri-’-anguli funtæquianguli. a 6* fleur bh ad h c, irai n adh m: Verumficm h a ad-h p,iran m ad tu, roptem fimilirudinem trian .ülorum cpli,8Z m ULpet æquamaigirurficut b h a h p, iraiqad n riquare. diur’ enri,ficurlpad p h,ira tr ad r n. a

Proportio autem e f adb cdara,i’gthr-utra ïearum (laça. Œeniahienim par:tiones ibhærarum datée (uni, &diamerri ba film darævfuut, &alrirudines pot-àn’onum .:quare ipfaac data dt, 85 eiusdimr’diap c data exit. a b :p data’èfi’aamgà.

biunt angulum reâumugirur bic dataEadem ratione 85 e f data; quam &er

porriobcadefdara. -’ p V a -, .r I v; I N c on? o maman: usas: n.ergo circulomirizquæ’rin 1km) a c infi’fiunr» fi’mîleè exifl un: . Si En - ,

nim’ fleurinrafolurione , iunganrur ha: c hi , m n,îquia an gul’i ad cmfimtrewdu 56;. 13,56 .

N bandana. quarearirfièur primah trad tertiam p h,itaqùddratü paimæ b p âd quai:

:13 ’ ’ , ’ l . . i raturariant perpendiüdar’eszïfëruurmediæ proportionalesinrèr partes k

dur-analg-

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DE spa-mana En G’IYEINÏDRIQ... . ’ 4;.drâtumjèçmidæ c p.7Eadem ratio ne flan! r ad (mita guadtatum I r ad quadratü .r m., Sicutlelrgp b p ad p c,,1’ta l r ad r m , . ô; lacera circaangulos æquales fun: prœ d

, pordqnalia; igiggr triangqu æquianguli . igitur anguh’ adb Hun: æqualeszôé eot.’ dv mm dupli, qui fumin portiongbusjgx’tur portiones fum fimfles. v a * . ’

1 f IN iSIEPTIMVM THEOREMA. w dRopom’d igiturptriufqüe fimul ed,d fade! fd’ata: (banian: enim propor.

Pub utriu’fq; fîmul ç d,d-fend d f efi daLa,fi’ magnitude data habcat adah’quama. I

fui,parteh1 préportionemdatam , 8C ad reliquam habebit pro portionem dam-n :quam utraq; fimul e d,d f ad e d. habetproporn’onem datâm; Quart-iam igitur u;traque e d,dfad atrame fimul e d,d f,habent proportionem datam; habebuntet(iam inter [a proportionem datàm. Proportîo igitur data ,e’d ad-d f,- ôi Ed dataiLquà,

ré reliqua f: dabitur. Œæe 85 momentum fiib d fifb,-h et CR quadratumja B8! i)deo a f data erit.quare 56 rota 1’ pfà a c.Ah’tcr gutèm,dixetis.ipfàm a a datamgfiê. ,

d Quom’am enim diametros data CR db pofi’u’bne , 82 p’unûum fdatum , utpën’tü

efizüa dam fduâa efl a ç ad angulos rçâosgtn’t ipfa a c pofi’n’one daia.utrum 84

circuli circumferentiazquare (pli: a c punâa data, a: ipfa a f c datà efi. Î . v.Enquoniam arnaque finîgl ad, d fad d f maigrem proportionem habet,quaîm

utraq; fimul e d, d b ad d b . Quoniam "anime dynaior èfiŒ dimidia ipfi’us d fieri:attaque fiinul e d, d f, maint quàm l’efqm’al fiera ipfius ’df. Vetum utraque fimule d,d 5:88. ipfîüs d. b fefqüfaltera: igl’tdpe d,d [ad ip fan-n d fmaiottcm prapoxfignêhabet, quàme d,d bad db.Aut aliteiâquohiam ipfa d", b éflmaioripfa d flâna au.»tem quædam e d:1’gizur e d habet ad d fmaiérenï proportionem, quâm’ edad dB. dcom ponènnïuttîaqafim ale d,d. f ad d Magma maiorem proportionemfifiurracp fi»mu! e d,d b ad d b.C6po’fitfo theorematïsmanifeflavcfiper a? quç ifiic dië’ta film,

i ï IN 0CTAVVM.THE-OREM.A. «:-Pfà h f adipfàm f g minorem habet propôrtiofiemaq’üâin duplicatam eam quî ’habetqu’adratùm b a ad quadranmi a d z hoc efi ipfà b fad fd.Quon1’am mini

in triangulo reâàngulqçduc’fa efi ab angulo reûo a fperpendicularigcum m’an.guli ’ad perpendièularem fimilçs «mangent fiat: fla ahi-3l; a,ità.ab.àd b d; Et lita:prima ad tertiam 5 ira quadramm primée ad uadràrum fècundæànôt quadratumfacundæ ad quadratum tertiæmti fuperius o enfum fuit;Sicut ergo fb adb (unquadratum a b ad quadratum b d . Verum ficutb d ad d f, ira quadratum-b’d adquad rafum da. Sicu: enim prima ad tertiam , ha quadramm prima: adquadratirecundæ. Enperæquam,ficutquàdramml ha. adquadxatü - - Ad aira b f ad f d. Colligeturaurem idem 86 ah’rerhoc mode.onm’am enim ficucbf ad-fdjita côtemum fub fb,b d ad d 4contentum fub b d,d f, ipfa b d camum’ alvtl’tudx’ne fumpta; AE17: autem contenrum rab. fbyb d æqyalequa’draxèb a”: (36 .

(mm autem (ab b d,d fçquatur quadra-ramait; Siam; ergo lquadratum b a ad quadratum a d,iza-b,f,adfgd;. , thucniam h f habetadf kmjnorem propéitfonë , qu’âm h. b ad b 4 . kkéan’ueflàll’ter eflim fi fint d’uæ maghx’tudfnes inæquales,

quibus ah’æ æquales addantyt amaiorhabet adminprem ’ ,maiorzfn proportionem , quam compgfitgmad comma, k à; L d dtamâtmcenim duæreéîæinçqualesabgpdzquibus-addan .un b e,d fæquales .Dico quad a b ad C d maiètem proporx l

’u

ë

V x nzm habénquâm a ead cf. Quoniam enim maisrefiaïbîiplà c d,a 1nd b ç maiorem hqb*ecpr0portidnçni,çfuâm’cdad e f . I xb e,hoc eficad d EAIgitur 85 componentifipad eh maiejreni . A * .-habet.pfopeffionem5quàm fiad fd,»çxijamtyîgggmônfirads a l - ,a; marin», gaad’ab minorem; Œcf ad; dei dime permutatixn ÉQfifÎàbLimà ipra..ï

2 d ’ n 3 C6314

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46; i EVTQCII IN Aacn. bru-anaA. Contentum (gîtai fub la f,-f g mimis efi quadratof k.Si enim fintætres raflascontint-:22; ficùti hæa b girant ahabeat ad b mifiorem proportionemqnâmzb» ad«nommé-am fub extremis-minus en’t qüadrato mediæ; Si enim "fecerimus fieu: a

ad b,ita bad quandam aliam,ipfa cri: maièr ipfa c,fiqui -» 1 l A l ’ ï , adem debeatad eam habere minorëproportiôtïem, quâm.c: ,86 mm: en’t côtehtum fub a,8( fub maiore ipfi c,æqüale

. quadrato k.quarecon’tentfi fub açminus eflquadrato’b. ’ r

, . r Contentum igitdf fub b fif g ad quadratum f g,minorem proportionem habet- , quâm quadratum kf ad quadrapant fg. Sicutehim h f ad fg, ira contenmm (ab h f, a v « .Egad madratum fg.Contemum autemfub b fifg,qua: - - r « vchaîné g minas efizmaius autem ad idem maiorem habet ! V a ’

L u a4 d 5 .

prôËortionem-,quâm minusu -, -gquoniam b e dl æqualis ipfi d gelât igitur conten-

- film fubb f,fd minus contemo fub b e, e d . conçentumautem fub b e,ç»d æquatur quadrato e d . contentum au;rein fub bff,fd, cum quadratq e f,æquatur èidem . Et c6, .fiat,quod.quanto abfuit à bi erritione ipfum fmaiori mi nnus efi,contento fub æquali us . Cum maiore enim eoquad fitab intermedia diuifi’onum,æquatu1; côtentolfubæqualibdusquai’e reâafil fi par çquah’a Quidamæer pü

dam aliud ami; aliud, contenmmfub partibus propin» ... .1 .quiçtfibggIs ibipertitionf, mains ait cotento fub parti bas remotiorib us . Igitur f badb aminci propofn’onem habèt , quam ë d ad d f. Vniuerfaliter autem fi finn-quatuor qermini,puta a-b,b c,c d,d met contenta fub a b,d e minus fi: ÇôtentQ rub.b ç,c dj. tunc a badb c habetminor’em proportionem , Œ v A l- v - -cdad de. Eflo enim contemum fub b c,c d, æquale conté

tofubabsdfiEfiigiturficutabadbc,itacdaddfi8(df î 4 l

v . âI f - . »(J . vquadratum facundæ ad quadratüm tertiæ ,- hoc efi qua. f

dratum b n ad quadtaçumbi Ï , prias demonfbatü 1 ’ . .fait. Rurfus quoniam cfi ficuth- Ï blaira!) n ad bk. 1 i

a Componenu’ficut h n ad bn,1’ta kn’ ad b k:ô( permuta, 7 i - a « d ’ drim,fi’cuth n adnk,ira b n adbvk. Igl’tur ficut quadratum d d t

efihbadbe,hocefikfadfg. ’- , a a . - vI Igitur h fad f g maiorem habet proportion em, quàm faiquialteram eius , quaiqfi k fac! fg. ’Iilœfligamurnemm korfilmpofitæ Ieéfææur’a a b,c-,d:’ita ut quadra» -

.4 k v Ç ’ v ’ d mm l

-çfl maior d et igx’tur’c d habet ad d e maiorem proportio’ A

aem,quâm ad d f. Quartz a h’babet ad b c minèrem pro», V .

porrionemgüm cdadd e. v . - V; Bit igitu fient H b adb k1, ira quadratum b n ad qua. Ik..C;hxoniam enim quadratum b n æqüatur c6; r

V tente fiabh b,b k.crûmesxeâæproportienalesflcuc h b-ad b n,1’ta b nlad b k..ôèfieut puma h b adréi’tfafii b k, ira

h n ad quadraxum. n lama quadratum nb ad quadratum - l iV b k. Vèrüificut quadratum h b ad quadratum b ku’ta cire oflenfum efih b ad bk. e

Igl’tur ficuth badbk,-itaquadratum lm ad quadratumnk. - a’ r Quadratum autem h flac!- quadratum f k, maiorem h V beçproportionë,quâm*

quadratum h n ad qruadratum 11k. Rurfus duabus inæqualibus h f,k f adijcianlr-n fi &per fupra’diâum habeth f ad f. k, marbrent prôportionë, quâm h n ad n 14.,

quam 5(- earum duplæ . igiturquadratum h f ad quadratum f k , maiorem habetproportionem , quàm quadratum n ad quadratum: n k, hoc efl h b ad b k,hoc

.

fa -.-.L7

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. SVnto quatuortegminifib cd,.Dico quodgproportîo p a

, drato c æqüalel , 86

’ d . Étenimk multi” A d «

I in.SPHAERA-r-rveïmunno. 47tûmab ad qua dratiIm c maiorem habeat proportiohë, quam c ad d: Dië’or’quodab’addmajoreni habet, quâm .fefquialteramgeius quam. habet cad d; Sumatur zenim media inter c 8C d proportionalis e. Qyoniam igitu’r quam-arum a b ad quadramm c maiorem prépartionem habet , quâmcad Id aVerum quadrati ab ad-quadramm c; eftiproporltio; du; .plagias quæ ef’c à b ad c. ma item quae efi c ad d, duplaefl: , aeius que été ad e.Igi;urabx habet adeaiOrem "pr’opbnî I v Lticneni,quâm c ad e. Fiatautem-ficutzead c,l’taC’adb f.- Et «a f I -’ i l v ’ -

quoniam quatuor d’Câ’æ coufiquenter fimr prépotriona - " ’

les b fic -, E,d:igitur.b fhabet ad’dflpropOrtionern, que]: dt. a (A .,b Î, ad c triplicaraninem cil c ade. Habet autem 8C c adrd: i v fprôpôrtianë,quæ efi c ad e duplicaram. lgiturb f add bar . H ’- . 2: - v

ber proportionem fefquialteram,eius.quæ eflcad dQua . r l- l s

d

rea b ad d maiorem’proporrionem habet, quâmfefquial

teram eius7quam habetc ad d. ’ 4 * . .LLMMA Ai) flemme Mira.)-

compofi’taexhis , ex contento rfub ab,ad quadratumc, 51e): propértione b ad d 7 eadem ef’cproportionicola Î- .Ieâæ ex contente fub a b,fuper ipfam b ad quadrarum ë,fuper ipfam d. Eflo itaa

que contente fub a I 4 .bæquale k,ô( qu’af

fiatficütb admira d. , p J. Ï à -. a vlad-m .Igitur prôr I V a A, . a p I, vpôrtio k ad m com. ’ A ,

’jponiïexkadlmoc v A " a 1 ’eficontemifixbab . fa, 1H - k .adqua’dratumeæâ * ’I . .i . Vue»ladm,hoc.efibrad ’ ’ ’ a , «plicans b fada: h,ip lfa uero l multipli 2caris. b faciat X a 86

multiplicans d «fada r A , u , e p . . »ât o . (lamina igftür’ cônten’türri rab ab en k3 8c kmuln’plicans b facrrnzigitur

n erit confehtum fub a b , füpër b . Rurfus qaôniam quadratum cefll, ôfi l mu].-tiplicafis d facit o ,85 multipliéatjs b facit âgigitür e eflqùadratum c fuper (1.qute proportio côntenti fub a b ,- fupei- b, ad quadratüc fuper d, eadem efi propos.rioni had o . Oportet igitur ofiendere,quôd proportio k ad m efl fieu: n ad a.Quoniam mataf; kl mülfiplicans b5produgcit’ütrumqa n x. Bit igïtur (1cm: kad l,item ad x.RürfiIs quéniam l multiplicans utrumqa b d produxit,utru-mqa se q en;ÜCutb adam xad o, Verugm fiait b ad d, italad m.lgiturï fieu: 1 ad mata x ad o.Igitürïhik l m fimt bim’, 8; binirèum hisæn’x b,in eadem proportione;Per erg-mmigitur fleur kad m’,ita n ad 0E: du: adm preportia.eadem compofitæex coran.«à [ab a b ad quadratü c, 8: ex ea quamhabetb ad d ahé-n ad o dt eademjpmporrio proportiOni conteün’ fpb aab,fuper bsadquadratümf friper d algltur proponrio compôfitae’x préportiënecontenti fuba’ b. ad quadratum c, 84 ex b ad d,.eadê:dt proportiofii contemi fubr a b fuper b ad quadrgrqm C füper d.Mànifeflum autemef’c, quad côtenturh fub a b fuper b,æq1îaturquadrato b fuper a. ngni’a-menim (au: aad b,itacontentuîm (abat) ad quadratüm bgiumpta b Gemmflniâlfl’;

a . tu me

a v?

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as. nanan] m ARCH. in; ’n.tgdinetfi qüfatuortermini fuerînt proportionalcs,contemum (a!) extremis I rmnème-nm fabmedijs. Contemumx’gitur fub ab fuperb,æquaturquadrato-b- -

(upç’rar ç.A . .. IN ALITER OCTAVE’ Hum tif in præaffumptis , quod fi duarum magnitudinü medium quad:

Ddam fumatur, proportio extremitarum componîtur ex proportion: priantad medium,ô( me’dij ad (atrium. Simih’œr fier, 8( fi malta mediafumâturcxu’emitatum,proport1’o’ componitur ex proportiombus quas habent media confequenter colleéïa inter 1E.Ët ifiiçdicit, quad. proportio portiom’s b ad ad portionê be dcôpom’tur’ ex ca quam habet poftio b a d ad conf: cuias bafis circulas circa diamled

tram bdëuertcx uero punâum a.Etvirdem conus ad conum bafem tandem habëqrem uem’cem punâum c.Et diâus cornus ad portionem b c d,pom’one m’deh’cetd a b,ôC ipfa d cb extremisJumpdsmedfis diéh’sconis. Verum port-fouis b a d ad I ’

’co’num b a d efi proportio gh ad h càper cerclarium fecundi (hem-amatis ficundiIibri. Dicebaçgr enim,port1’onem ad conum in fèipfia’confh’tutum habere eâ pro

portionem,quam habetutraq; fimul quæ ex centre) fphæræôc altitude reliquatportiom’s ad aldtudincm reliquæ porriom’s . Proportfo autem com’ b ad ad Co - ’num b c d eflgquæ a h ad h c. Quoniamènim eiufdem bafis exifientes inuicem fahabent ficuteorum altitudines : conf autem b c d ad portionem b cd, ficuta h adh fibrébrefcorôlatiumdiâum conuerfi’m [hm gram , Queue proportio’ portiom’s

b a d,ad portionem b c d,componitur’exvproportione gh ad mena h adh c , 8C3had h f. Proportioaurem gompofitaexgh ad h c, 8C a h ad h c,efi: finit propem’ocontentibfub gh, h a ad quadratum h c. nam parallelogramma æqùiangula ha a’behu’nuicem proportionem compofitam ex Fraportionelatemm. Propomb au 4hmm com pofita ex pro portique «romand fub g. h, h a ad quadratum c h, ôé ex pro -ponione a h ad h f eadem CR proportioni conçenti fiib g h,h a in h a,ad quadratüchin h f, ut ofienfum CR in limmate præaITumpto . Proportio autem camardfab,gh,h a in h a,ad quadrarum c h in h fieadem eût proportioni quadrau’. a h m vh ggad quadratum c h in h f. Et hoc quoq; denienfiratum Puffin præaffumpto. yProportio i ’tur portiom’s ad porrionem,eadem efi proportiom’ quadrati a h- in - lh g, ad qua ratum c h in h f. Œom’am igitur ofiendere oporœt, quad pom’o adportique!!! minorem habet proportionem,quàm duplam eam quæ eft fuperfici;dadfgyetfidem:oportetigitur oflendere, quod proporu’o quadrati a h in h g,adquadrâtüînçh inh f mi norem habet proportionem ; gadin duplicatam eam quâ ahabet fuperficies pongo’nîs bac! ad fu erfi’ciem b c d , hocefl: quam habet quae ’dramm a b ad quadratûîxizbrç.Vèmm jéut’iqùadratum a b ad quadratum b c, fia ï

a h ad h c. 01km! um CE enim hocïhfdleoreh adbus præcedentibus. Oportet igi. *turoflmderèfluod quadraturn a h in h"g,aquadratum c h in h flminorem ha . "baproportfonemguâm eam duplicatam quam ha ber a h ad h c.vVerum pro partîotix’sahKadh-cdupla eüpropom’o quadrau’ a h ad quadratum h cl Ofiendere 1L 4

gitlfmportct,quod quadratum a h in h g, ad quadratü c h in hf, habet minorem *proportionem,quàmquadzjatumah ad quadratum h c.Verum ficut quadratuma h ad quadratuth c, fumptah ,communi altitudine , ita’quadratum a h in h g

x .

Ed quadratum c h in h glgÏtIH o endere 0P°rm 7 (111°C! quadratum a h in h g’ad lquadratum c h in h f, minorem" habeat proportionem , quam idem qua drarü a hin!) g; ad quadratum h cm h g. Ad quod autem habet idem minorem propoxtjonem,ipfumzefl: mains . Oportetigiturofiëdtre, quod qua dratum c bain h fanait:efl quadraco c h’in h g, hoc efi quodmaior (in h f quàm hg. Eh: amem hoc maniakfluminæqïralib. enim his a h,h c æquales film additæ fa,c g. Hçc direns ipfc dquidem ,non induxit compofitïonem , nos autem eam apponemus a hQuom’amf h maie: cit ipfah g,erit quadratum c h in h humains aodem in h gâŒIare quadra

» t!r ax

a

idmxasn-ïrsxkèsu-ï-a- ..

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DESPH’AERA’ET CYLINDRO. I 49.dab in h gàd quadratum c h in h f niitidtem habet propottt’dnemz quêta idemad quadratum c h in h g . Vèrutn ficutquadratum a h in h g,ad quadratuth’ chin h.’g,1’ta quadratum a h ad qUadrarum h c. Igt’tur quadratLim’ a hainh g,ad?quàïâ-

,dratum c h in h f, minorem proportionem haberiniât-ri quadratûa h ad quadrde,mm h c.Verum proportl’o quadratt’ a h,ad quadratlitti h c, duplaefi eius grue èfla h ad h c.Qüadratu’n-i ïgitür ah in h g, ad quadratïx ch in h Eminor’em hab’ét pro

portionem, quâm éam duplicatam qùæ dt a h ad h c. Verùm pôrtionùm prépbr. de EH dûenfa eadem ci qüæ éfi qùadtatt’ a hm o g h,ad quadratü c hiti h f; Et pro

portio fuperfiCt’ert-Im ca cfi,qu’am’ habet a h ad h c. Portio’ igftür ad portidnèhihaï-ber minoré proportiénë,quàm fit ca duplicata,quaé efi fupérfi’cl’ei ad fuperfi’ët’ë;

n a Deinceps autemrefoluens reliquam pattern theorematt’s 5 inducit: Dièdt’an;quod pottt’omat’or habet ad minorem,ma1’orem propértionetn, quam fchüialtemm dûs quæ dt (upgrficiei ad faperfict’em. Verum porti’o’num quidem propor-tio oflt’éfi dû eadem illi quam habet quadrattim’a h in hg,ad quadratùm ch-in hE.Préportionis igt’tur fuperfic’x’cr’ ad faperfict’em illa efi fefquialtera , qùâ abusa b

habet ad cubum b c.nam eius qug dt a b ad b gifla dupla d’aquæ efi: quadrati a bad-qttadratü b c.tt1’pla uero quç efi tubt’ a b, adcub’um b c; Sicut enim a b ad b é,’

ira a h ad h b,pr0pter finiih’t’udinem triangulorum a h b,a b c; Siaütem fixitqùatuor proportionalesrec’îæ, folida quoq; ab eis fimih’a inter f6 8C fimt’liter defcrfpta

film pro portio haha. quam cubüs ah ad cubum’ h b habetproportionë fafqùialtéram eius quam habet quadratum a b ad quadra tua-n b c. hoc efifuperfidés ad (a!perfidem. Verdm (fait portio addportt’ônemfita quadratum a h in h g,àd quadratum ch in h f. Diçoigt’tur,quod quadran’îa h in h g,ad quadratum c h in h f, ma-iorem prpportt’onem’ habet,quam àubusia h ad cubum h h,hoc fifi quam qüadrâ

p ijahêad quadratüm h b, 86 ipfi’usa h ad h bLAnam proportio quadran’ ah ad qùa.dranim h b,aflîimptae’a quàe efi: ah ad h b,éadem’ efi ci quæ éft cubt’ ah ad cubfi

d hîb.nam utraqa éhifdem CR tripla.Propottioautem quadratt’ a h ad quadratumh*b,cüm proportionë ah ad h b,efl ca quæ ef’tquadratt’ a h ad Contentùm fub c h,h b. deniî éhimqaroportt’oahadh b eadem effpropottt’çin-l’bflh adh-c3 ipfàn bhmediapro’pôrtîofiali ëxifieïnte,p’r0portio-qùacïràtia h..ad quadratum h»b,câ’prd,

pommé a h ad h b ëaderh efi proportiont’ - quadratt’ a h ad quadratum hb, cumportioheb h ad h mietum prôportt’o h adh ceadem efi proportioni quadratib3!) ad contentium fub b h,h,c, fumpta b h commutai altitüdfne. quam proportioquadratt’ ah ad quadratum h b, Cam propôrtt’one’a h ad hb, eadem èfi propom’o

a (11’ quadrati a h ad qttadratumh b,cum proportionequadratt’ b h ad contenmïüdfirb b" h,h,c.Verum proportio qüadrati ahIad’contentum (il!) b h. 1143176 êôthpdfita ex prôpbrfl’one’ quadrati ah ad quadratum h b,ô( quadrati b h advcéhténtùni

du)" h,h c,quadrato bh fi’nnpto madre . quarevpropurtiotqüadrati ah ad qui;dratü h b,élim proportione ah adh b ,eadem dt proportiOni qüadrati ah ad rôti ’tentrî fub b h, h ç. quadrativaïît ahad contentum fgb’ b h,h c,prôporr1’o eadem éfi

proportioni (garnirai a h in hg,»ad Conten’tü fub h tin h g,fumpta fiâmqhïâltitudt’neh g. , ico item,quod quadratü a h in h g,ad qüadrat’üm ch in hafiffiàl’qrë

habet proportionem , ë quadratuma h in h g,ad cdnt’entü fub c h,h b inh’ ggAqquod aütidgm maioremhabetproportionem,illud mitiua k in Çfléti’dêndüfiigt’tur; quadratû c h in hfeŒe minus contentes ME b h,h V 1 °;Idëëï?tîat’fi ohm.

datür,qudd qUadratü c h ad contentü fub c h, h bminorérh abeat- prdPOttionê;h g adh fiSie’nim fuerint quatuor tamithfliëlmi iüiéïfuntàqdadfatixm c h

t’entum (nib c h,h hach g,er h fiat contenta tub aimanta minus-fit Contentomedijs,tum;prhhus ad (Emma mfhoxem proportiohem habet, quâm tennis ad

’ quanum, utt’ fuprâ ofiehfum fuicÏRationabiIIÇçt’aufë opdrtuerat oflander’é,qua

I ydratum ch in h fmaius dît ébhtèhto’ flibchzh B in h g.quod idem dt ac fi dans.

. . 4 G3 firetar

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nv’rocn IN ARCH. Lina-x1;-firërur quod quadratum c h ad contentum fub c h,h b minorem habfiat prop’or»

V Ilonèmfluâm h g ad h fiVerum ficut quadratum c h ad contentum fub c hl, h b,ira: head h b. Opottet ofl’endere quod c h ad h b minorem habeat proportionem;qttàm- h g ad h Eholc cit hg adh, fm aiorem habet proportionemquàmc h adh ba.Ducatur ab e kad an a los radios ipfi ec , 85 ab ipfo b perpendicularis fapra eam.b LReliquum npbis Æhfienderqquod g h ad h f maiorem proportionem haberat,quâm ch ad h .b. Efi autem ipfa h fæquah’s utriqa fimul h a,karnam a faquaturrai quæ ex centro.OIhendendü dt ergo,quod gh ad utramqa fimtfl h a,k e marbréhabeat proportionem,quârn ch ad h bLEt ablata ab ipfa gh,ipfach,ô( ab ipfàk eipfa el ,æqualiripfi’ b h, op’orœbt’t oflendete quod reli-qua cg adreliquam utrâcp’

fimul ah,k l maiorem proportionemhabetquàm ch ad h b;Quoniam énim 0)n porter ofiendere,quod g h ad utramq; fimul h a, ke maiorem pro portionem ha,.beat quâm c h ad hdb. Et permùtadm, h ad hc maiorem habeat proportionem,.quâm utraq; fimlul h a,k e ad h h,hoce ad l eLEtdiuidenti gcad ch maiorem ha-bet proportionem, quam uttacpgfimulh a,k lad Le,hoc efib h. Permutatim quoe’u que g c ad utramqg fim-ul h a; kl maiorem habet proportionem,’quâm ch ad b h;

a Itemficut c h ad b h, ira b h ad h a,hocefl l e ad ah . Œmniam igirurrg c ad Imam,que fimul h 2,1 k maiorem habet proportionem , quâm le ad ah .Et permutatim,

,quoniam c g,hoc cm: ead a! materait habet proportionem ,nquâm uttaque fi)-,mul k’Lh a ad h a.diuidenti,kl ad l a maiorem proportionemhabehquàm ipfa k l

adha,hoce&quod minorefileipfah a. v w a r ,i Deinceps autem nos Cinpiofitl-Onf m adijciém-us. quoniam l a minot efi: a h,habebitkl adlemaiorem propü’rtionem,q*u’âm kl ad a h. Com ponenti hab et k ead le maiorei’n proportionem,quam utraqa fimul k l, h a ad h alpha ucro le cfiæ-qualis ipfi b h.Igt’tur g c ad b h maiorem habetptopottionem ;. quam utraque fi.mqu bah ad ah. Permutatim igitur, g c ad utramcp fimul kl, ah maiorem pro.portionem habet,quârn b h ad h -a,hoc 6&th ad h b . Permutatim crgo g c adc hmaiorem proportipnem habet, quàm utraq; fimul kl,a h ad h b.Componcntii4Agitur g h ad h cmàïîmem proportionem habetgam utraque fimul kl,a h th b adh h,hoc CH utraq; fini u! a h,k and b.EfiËautem ke æquah’s ipfi a fiigitur perm u.tatim g h ad h f maiorem proportionemhabet quam ch ad h b. Sieur autem c h adh h,ita quadracùm; h ad contemumfub ch ,hb:,Igitur ipia g h ad h fmat’orem habçtprqportiohçmguâm quadra turne h a’d con tamtam fub ch,h.b .. Et pet priasdiûavèuddmgataamc h in h fminus CH côtento fub ch,h b . Igitnr quadratum a h in *h g,ad ., w » ghin h f,mai.orem proportionem habet,quàm ipfumduadra.hlm à h in h g; ad Ëènîèmumïfub ch,h b in hvgzboc efi quadratum a h ad contera:

. cum (il!) ch,h g- P 1’ Qp°jti° amfiïquadratiah ad contentum fixb ch,h b,fumptomadioquadtato b h , coponlïur Emprgo’pmtione quadrati a h ad quadratum h la,arqëïadtati b h ad contentum fub b,h J] 9.P’Voportio autem quadrari b h ad con-

’ tentant fub-b;h5h c, gadem CR proportion! 13h 1d h c,hoc cit a h ad b h algitur qua.(harum ah in g h, ad quadratum c h in h Emax’orem habet proportionem , quâm.quadratum a h ad quadratum h b cum proportione a h ad h b . Proportio autemcompofita expropdrdone quadratiaa h adq’tïxadratum h b,ôÇ.ipfà a h ad h b,eadêæ

ça proportionicqlgg’ghad cubumh b, hoc efi cubï a b ad cubum b c. Cluadratfigîtai-4a hm h g , adq’üadratum c h in h f,maiorem habet proportionem,quâm tu Ï

bus a b ad cubumb c. Verum proportio quadrant ah inh g,ad quadratum ch inh fiait ofienfa eadem-taire proportioni portionum. Propdrtio uero cubi ab ad auhum b c ofienia efiï erre fafquialtera proportioni fuperficieuîPortio igitur ail-13017

doucha habet maiorem prqporh’onemquâm fèfquialteram eiusl L quæzfifuperfi’cigt’ ad fuperfiet’em. , a -

IN

ËEXwQ-a-r. ; .

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DESPHAERA ET CYLINDRO. 511v4 I. * ’ IN NONVM THEOREMA.I Onfiatautem, quodipfa b a miner cfiipia a k, quâm dupla potëtia.ca une

Cquç ex centra, maior quâm dùpla.Coniüâa enim ab ipfo b ad cëtrum b o,8C angulo ad centrum faëîo obtufo b o a,,erit quadratum a b malus quadratiglatcmm angulum obtufum com plexorum. cumép fint çqualiæquadrato unius catît,pute: quæ ex centre eius , mains erit quâm duplum . Item cum quadratum a b fi:æquialel quadratis a k,b b,ôC quadratum a k fit maius quadrato k b, cri: quadrau’xab minus quâm duplam quadrati a k . Ethæç quidem in figura in qua dl lignatale filin altera uero figura contraria ifiis conuenienter dicentur.

Eflo e n æqualis 1’pr e! ï 56 à circule circa h f diametrü conus 2&0 uerticem ba,bans punc’ium mm: autem æquatur hemifphærio recundum circumferenriamh e f. Quoniam enim cylindras bafem habens circulum circa diametrum h f7 ahitudinem d ç , efi: triplas com’ balîm candem 81 altitudinem æqualem habentis , 56fèifiuialter hemifphærij, en’t tale hemifph ærium duplum eiufdem conf. Efl autëcônus balèm’habens circulumcirca diametrum h fier alcitudinem ln,duplus eiufdem coni. Igitur hemifphærium çquatur cono, bafem habenu’ circulum circa dia

menum h fiôéaltitudinem ln. x r . * .Contentum autem fub r c,a r, Imams en contente fub a k,kc,quia habet latus

(Hum minus latere minore alterius mains . Diéïum el’c enim fuperius, quad fi re-âa diuidazur in duo inæqualia,alio 8C allo punâo,contentum fub partibusspro»pinquioribus bipertirioni,maius cil contente fub remotioribus. Ac fi dicaïyquialatus minus fuum habeatlatereminore alten’us mains . nam quanta minus ha,buerir, canto dilècdet ab æquipartitione. » V - , .

andratum afir a r æquatur contente fub a k;cx.nam dimidiü elÏ quadrati ab.Si enim iungatur b. c , quia in triangule méfia-gale duâa efi à mélo angulo pelupendicularis b k, ôCtrianguli circa catheçum fum’fimiles inuicem 85 toti,’quodfub c a,a k continetunæquatùr quadrato a b. quarre ai contenrum fub dimidiaip.lias c a 8C a k, hoc cl? c sa; k, æquaiur dimidio quadrati a la , hoc e17: quadrato a r.Maius èfizigicur atriumq; fimul utroqa firhul. qucmïarn cohtanmm fub aga k, ée!quarur quadrato a r: 81 contentum fub a r, r c,maius efi contente fub a k,k c.Si aurem inæqualibus æqualia addantur, tata fient inæqUalia,’8( mains id quod antea,fuerit maius . Contente igitur fub a r,r c fi addatur quadratum a r, 86 cotento Tubak,lc c contemum fub cx ,a k: fietcontentum fub a m c cum quadrato a x,maiuscontente-fut) avk, k c,cum contente rab -c x,à k.Ve’run’1r contenturh Tub au c cum

quad me a r,æquatur contenta fub ca, ar, par facujndum théorèmà kauris! libriElementorü. Et contentïî fub a k,’k cjcü contente fub c x , a k , æquatüxïconiento

fub a k5]: x par primum thleorema fecüdi libri eiufdem. Igirur Contentuml fuBCæ,a r, malus cf: contente fub a k9 kx. Côtento autem rab x k,k a,æquatur contenrâ(ab m k,kc.Supponitur enim,iîcuÎt x c ad c k,itam a ad a k. quatre? componenti Ê»

au: x k,k c ad kc, ficm k ad k a : 81 contentum fub extrmis , æqùatu’r contenta 4[Tub medijg. Côtentum igitur fub x a,a k , æquatur contente fub m k,l.sï’c;contenta tfub xkgk-a,maius efi côtentum fub a c,a r. Igitur contenmm’fubïaca r,mains kali contentofixb m 19k c. quare maiorem proportionem habe): ip’fà a c adc k, quâm m k ad a 1’;Quoniam enim lineæ quatuor reâæ à k,km ,3. Ï funt,ôc-Vconre’ntùmfub prima. C 21,86 narra a rgmaius efi: contentai EËfimnda ck, à ter.n’a km:habebit primæa c,ad ecundamck,maioremlproportionem , quâm terrakm ad quartam ananmautem Ca habetad c k,h’anchabet quadratum a c adquadratum b c. iunûa enim b c . Qyia itaq; in triangule reâængulo ab angulareâo efl duâa cathetus, fi’rfi’cut a c ad c b, ira c b ad c k . Quant ficut prima a c’ad

tertiam c k,ita quadratum primæ a c- ad quadratum c b . Sicut autem quadratuma c ad quadratum c h,ita quadratum a b ad quadratum b k. nam triangulus a b lé

4 Gg 2 fimL

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in ,Ei’v’rocn in anar. un. n., lirmlis el’: triangule a b c.Elt*îgitur lient a c ad c k, ira quadratum a b ad quadratfi

b kA: uero a c Habetad c k maiorem proportionem,quam mk ad a 1386 autem.dentium dimidia,dimidiUm quadrati a b,qüod dt quadratum a«r,ad quadratum;b k,maiore’m habet pro ortien’em quâmidimiidia’ ïplîlm m k ad ipfam a rghoc CR

ipfa m.k ad duplam ip ius a r.Verü quadratum f l æqüàturquadrato a r. quoniâipfa a b pofitalefi æqualis îpfi e fiât ipfa cf efi [pli r a potentia dupla. nam lipfa e]æqüalis ait ipiî a r. Et ipfa n l dupla efiipfius a r, quia 8C ipfiüs l (lare quadra-mm H ad quadratum b k maiorem habet proportionem,quâm me]: ad düblam ip

A fins ar,qüæ èfl’ êqüah’s ipr l n; marbré ergo proportionë habet circulas circa dia:

L matant: h f conflicutusfid circulum circa diametrum b k, quam m kad n l. quarttonus habens barem tirculum circa diametrum h fiuerticem uero pûât’xm n, ma»ior’ef’c Conobafem habente circulai-n circa diametrum b d,iIerticem uero m pim.

* dam. Si enim fec’efimus lieur circùlus rirca diametrum f h,ad circulum circa dia.* l merrain b (Lita ipla’mk m ad aliam quandam,erit ad minorem ipfa l n.Et erit ce.Ï nus habens harem Circulum circa diamvetrum f h ,ialtitudin’em uero reâam mina.

rem inuentam,æqualis iplî cono m b d:quia couina ba’fes altitudinibus contrai aïficiuntur.Et erit miner cono n h x, quiain eadem bâle ambo conflituti habenturmuïcem,uti eo rum altitudines . Co nfiat igitqr,quôd h emifphæ’riùm quod efi: fa

I ramdam circumferentiam e f 11,maius èfi gorfioüe’quæ efi fec’unq

w dam circumferentiam b a de

amfoacu menin; mua c o n M a a r A Kit" ” in lècünçiùm [rhum Archimedis de Splræra 8C cylin’:

i dm: expofitione difcurfa Milefi’o’ Mecha a

hico Ifidoroinoflro præceptori

Evaokctt ASCALONITAÈ com";il MENTIÀiRIII IN MEiNSVRI-X’Ï’IO.

r hem binait Jràbimcdina (a N S a ("L-V Ë N vs îgiturfixit mibi ,intentum meum proie.4 lagmi r in ex his quæ ab Archimède &ripta filetât, clarioribus

4 8b: ’dii’ci ”lina:îndigéntïbüs inciderim,ô( ca quæ utcuu-

que in çlsldaëtgig’ i indïgucrint; pro iritib. continua reddere, A Ç eis, quæ a nabis ihsllbëçgàè Sphæra &cylr’ndro fcn’pra faut. Cü

110mm fané dignïî thlgërît., ut 8C maioribusyôc quibçam liori

cura sapas ent,nobis fitinfifiendütenËUHŒ propoficus nobisdeinceps Arc ramaI dis libellas,cuius inferiptio efl Circuli menfurario , in quo ufri propolîtionemlexl ipfa fuperfcriptione perçipimus. Vult du?! Pïïendere,cui fpacio reëh’h’neo fit cirI. calus æqmlimrem longe ante ipfuma daflmmis’philofOphis quæiîtam .Confiat

enim hocgid quæiîtung elle quodÀI-Iippocrates Chius,8cAntiphon Cam fludiofe’muæigàfièngeojs nobis paralogifmos inuenetuntquos illis exquifitê cognacsçm’fiimoqui Geometn’èami Eudemi hiltoriam infpexerunt,ô(Cerl’a Arifiorelicaaccegerüt,Venïî pli quidem hiclib ellus,u,u’ ait Heraclides in Archim ed’is trimard

ufumuitæ neëèlrarius. Ofienditenim circumferemiam diametro triplam, Sémi’nus ièptima parte, plus uero quantum funt decem lèptuagefimæprimæ.Hoè au»rem , dicit , proximê demôflratumefiçinuentaquidem uera en: talis paquafdam-

a finirales reâa linea,qt1æ fît æqual’is circumferentiædati circuli. ’ r.In

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in spinaux ET crLiNDno. s;A IN PRIMVM THEOREML 4 . .Rimum theorema his qui aliquantulum’ in mathem aticis En: uerfati, nullamPuidetur habere dii’tïc’ilem berquifitionem , deum iplà ,Archimedis uerba pa’»

. làm ’ expofita fint, 8d conélulîonem propofitioni rèl’titùant nulla parte negleGa

parem.Videtur autem quadam re cire ad demoni’crationem.abufus,quç res non-dum fit demonflrata. Nam exponens triangulum reâangulum,dicit: Habeatla-tus unum",ambiens angulum reâum , æquale ei quæ ex centro reliquum latus æ,qüàlé tircumferentiæ . Verum reâam circumferentiæ dati circuli æqualerü fume

. ré,hecp ante ipfum fuerat oflenfum, me; ab àll’o traditü. confidente ta’më opentet,i1ihil prète’r id quod deceat,ab Archimede &riptum efle.nam circuli circùmferendarii elle quandam magnitudinemmulli prorfus dubium eflt . Pute amenâthoc èor-uni quæ ad unum dilèant g Bit autem ’reâæièiufdern figédei 5 quahquamnon utiq; appareat, poile circùmferentiæ éircùliréâam æqüaletn præfiarç .Ve-rumtamen elfe Ireâam quandam ipfi æqualem,â nunc quæfir’um CF: . erod igifet ab Archimede propo 1mm éfi, tale efi,trianguluin reâahguluin qui Circa reâû’angulum habuerit lattis unum, circumfer’e’tiaz circuli æqùale,uti diâum kif. Quel

te propofi’tum exponens, non ulla uticp iudicabirur abufione.-Admirabilis autëmagis ô: ii’cis uidebitur , quodita fupra magnitudinem quæfimtum claram alfa-dem inuentionem addiderit . Sicut autem diâum dhhùlla inqùiiîtione opus efiprimo theorematimam triangulus p or, qüod mélier fitfigura a f0 m,et quod fimpliciter cfrca datum Circulum pétefi figura reâilinea delèribi,ita ut portiones queinter circuli Circumferentiam 8C laiera tîrcum lèfiptâe figùræ’ reâilineæ minores

fun: fpacio date , apertè diâum efi in his qua: in primo de Sphæra 86 cylindre

Confiripfimus; a I ’ v l ’ »q A ,’ i-N TEnÏivM THÉORÈME .N hoc theoremate continenter iubemur, numero qUocufiqa dato radicem quadratam inuenire. Hanc autem in numero nô quadrato præcifam inüeniri non

el’c pofiîbilé.Nüm,erus enim in lemultiplicatixs prodücit qùendarn numerü qua,dratün’itipaftesî autem in fe multipliéaçæmn expient nümërü,fidàaa;tes.Qüemn

admodum uero oporteat radicem proxime prodüçêrifein atümoilumërüni inuenire, diâum elÏ ab Herbne in metricis, diâum 8C à Pappô 81 Theone,ôc simulasalijs,qui magnam Claudij Ptolemæi com pofitionei-n éxpôfuerünt; anié nô efi:Opus in hoc nosla’borarei, aï lice’at fiùdiôfis illud ab illis petere. Efahgùlüs ce fel’c renia pars reâi. Si enim héXagoni circümfêrèntiâbipertienfes,eiîïslëlimidiun;ad tertiæ fejparantes’ iunxerimus iplàm e f, èrit ang’ulüs c ef,tertia reâi na circiî

ferentia ad càflümpta, cum fit dimidia tircüferentiæ hexagoni,e& ducal lama citculi quare 8l angülus c é f 5 qui efi ad œnr’rum, efi duod’ecima paré qùatuor’reâorum. quare el’: ténia uniu’s’ real". Igitùr e f habet ad f c pr0porrion’ein quam52 o s ad 1:5.Œ0d amerri ë ffifipfiüs fc f du Ila’,hinc manifeflum efl.Si enfin’exp’roducentes ipfam f6 in ë, 85 æ’qüalemei con; ’tuentes iunxeriinus ab ipfo e erit am3911113 vapüd c du’æ’të’m’â fiai,- ôc anguius ad fduæ tertiæreaflgimr triangüli

quilateri elt dimidiu’m’ triaii ulus c e f,ô( quia bafis æqüilâteri âqùatur ipfitf; bi

pertiétur punëio C. igitute eût dupla ipfi’us fc. Habet autem ibfa ec ad c f Ère.portione’t’n’,qüam 2’ 6 g ad 1 5 ;r.quiaen1’m e f pointai-3* o 51 Si ipïa in faipiaifi multi;

pliceturfient 9 a 6 a 6. Ïpfa autem c f efi ri g . quam quadratunieius" au î 3’ 4 o 9,.Quoniarnigitur quadratum e f exequatur quadraris harum e défi fi a quadrato e Équodefi: 9 3 6; 6.aufej;zamusj qLiadratù’m iplîus é f,à g 4 o 5.xe’lir1qüe’tüi’ quadratuni

e c,quod e117 p a :7. Çm’us Iatus quadratum efi 2* 6 g . Etifëm fiais qüædam mifiï»;ma 5K infeulîbilis. Déficit enin-i potentia 110mm z 6 fiai piséè’ifo’ duab.unitaribifs1

Multiplicatione’s autem fubijciuntur. Diuidaturitaq; âfigùlùs e f c in duo’aèqüa,"flaflaeg.» El’t igitur ficutf e ad e c, ita fg ad g Ç,per tertium theoremaëfextï libriÈë

I 532 3 lementoris’rfl

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x

54 EVTQCIIIIIN ARGELIB. Inlemen’torülEuclidisÆé côponëti,ficut utraqa fi’mul f e,ecad e girafe ad cg.Ét par

muratim,Çcut utraqa fimul f e, e cad f c,ita e c ad cg. Efië autem utraqa limule fifi:mmonquam ç 7 1ER autem f c,1 g; .Igitur attaque fimul fg: cad e c, maiorem ha

ber proportionem ,quâm s7 1 ad 1 ç 3.quaree c ad cg maiorerh prOportionem ha,bet,quâm 5 7 1 ad 17 ; .Igiture cad g c potentia hab et maiorem’ proportionem, Œ3.4.19 4 ç o ad 2.5 4. o 9 . Concludetur autem hoc ira . quoniarn enim ofienfum efi,quodec ad cgmaioremhabetproportionem, quam 5 7 1 ad 1; 3. fi quis pofuerit aipiam ecelTe g 7 1,8(ipiam Cg 193, erit quadratum ipfius e c 326 o 4 1.ô(quadranîcg 234 o 97cum utran fimul fint æqualia , quadrato ipfius e g, quod oit; 4. 9 4g a;huiusradix quadrata eli ç 9 1,86 à proximemâ quadratus-huiusg 9 1 èdeefi à præ.cifo maîêguginti unitatibus 85 ;9 fexagefi’mis 111131115. Igitur e c ad c g habet po;renfla prôort-ion’e’, quam 3 4 9 4 î o ad 23 4 a 9,longitudine uero, quam y 9 1 , 81 à;

proxime ad 1 5 3. Multiplicationesaurem fiabijduntun .Rurfus in duo æqua diuidaturangmœ g e c duâa h e, eadem ratione ipfa e c

habebit ad ch maiorem proportionâquâm 1 1 62 à ad 1 5 3.F1’t enim pet biperritio;nem anguliÆcut e g ad e c,ita gh été h CoEt C0mponenti,ficut utraq; ami-g e, e cad e c,ita g c ad c me: permutarim,licut utracpifimul g e,e c ad g c,ita e c ad c h 1E:eût quidem e c,ç7 1 ,86 ars quædam.At uero e gg9 1,8C amplius quædâ pars ma;ioris.igiïfunt 1 1 né. Haut g c 1 Brigitur ukraq; fimul g e,e c ad g c maiorem pro;

portionem habet,quâm uôzêad 1 7;. ’ i4 Item h e,habet ad h c maiorem proportionem, quam 1 1 7 3 à ad 1 si 3 . quoniam

enim ofienfum efie c habere ad h maiorem proportionem,quàm 1 1 62 à ad 1 y 51’Si quis fuppofuerit cas fichaberoerit quadratum e c 1 5 g o sa 4, êâquadratumiuero ch 2 34. o 9.Quadratum ergo eh iæquale quadraris barüe e,e h,erit1 3 7 39 4;;à à; cuias larus e91 1 1 7 2-3 proxime.nam deefià præcifa porentia 1’ plias unitadb us;

6 67multiplicationes uero fubr’iciuntur. , v v q " I 44 Item angulus h e c diuidatur in duo æqua,du&a e ngirur e c ad; k marieront

proportionë habet, quam z 3’ o 4 à ad 1 y; . Rurfus enim propter bipertirionem au.gui,

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n a gs-p a A5 tu, as :12 ou] N D n op 91,;guli hie c erit fieu: h ead e c,ita h k ad c k.Etcomponenti, ficututrathe fimul h a;ce ad e c , ira h cad ck . Etpermutatim , ficut utraque fimul h e,ecadh é, mec:-âd c-k. Et quia oilenfum eIÏ ipfam h e effe x 1 7 2è . attaque erge fimul h e,e c, ma:ior cric [fic à; 3 4è . 86 h c ponirurxy; . Igitur attaque fimul h e, ec ad h cmaio’rem habet proportionem , quâm a 5 374J: ad 1 y; . Igitur e k ad ’ck maiorem habetx

, .proportfônem,quâm a; 3 9 îad 1’ à ’31 Item qué miam fupponif ac z 3 M à, etitquaa

dratum ipfiùse cs4 48723à- . maximum aéro ipfius c152 g 4 69 .’If’tis autem æ»

quaturquadrat’um k e, quad en’t ç 4 722 g zîês..cuius latus quadratum eflpmximè

a 3:39 à; deefi: ab eius præcifo quadrette unitatibus 4. x à . multiplicationes aère;

fub’ficfiunturi a v V CItem diu’idatür angulus k e c in duo æqua,du&a et Igitür e c’ ad e l maiorë haï

betproportïonemsquâm 4 a o à ad x ça. Rurfus enim pfovpter bipartitionem angufli ficutkead e c,ita kl ad l c.Et componenti, ficut utraq; fitfiul la; E25 ad e c, ira k à

, ad l c. Et permutatimficut utraq; fiinu! e,e c ad k gîta e c ad I c. 86 kËÏflm 3 g 9 à.Si’pars iufüper quæd’am.8( e 6,23 à 4 geai particula infuper qüæd’aifi. IgitUr Un???

gire fimul ke,e c ad’k c maiorem proportionem habet , quam 4 6 73311! 1 5 3. Sicûtautem ütraq; fifi) u! k e,e c adrk gîta e c adc l. Igitur e c’ad cl maiorem proportionëhabet,quâm 4. a 7 g à: ad I g à . vaniam igitur anguius f e c exifî’enë tertia pairs réf

ai, efi duodecima pars quatuôr. reâérum,eius dimidi’um exit g e c pars uigefima:quarta,cuius item dimidium h e c erit quadragefimaoflaUà , arque item huius diamidium ke c eritfic’sn’agefimafexta . 1’111"qu huius dimidium e’entefi’ma nana e;

fi’m aficunda.Ponatur,uti dicit,àx;igulus c e in æquah’s ei, ô! edùcatur f c ad m; É:

galas igitiurlie m gifleras (lupins anguli l e e,eritnènagefi’mafexta rec’îorum quituorv.quare ipfal m’eritlatus pqugoni habemis latéral 9 acirca circulum defcripti:Quon’iam igituiçel ad cl ôflenf’a eflhabere maiotë proportionem , quam 4 5 7 3 à.

au; gaz efiipfa a c duplaipfius 66,81 lm ipfi’usi c.,Igitura c ad 1 m habetmaiorëî proportiopegnàquâgn 4,67; â ad. 5-3. Econu’etib igitqtlm ad ai minorem habet* prgportionem, qü’am 1 33cl 4 a, aà. Briquomaml m efi lattis polygoni habet», .ris lacera 9 6 ,. igituramèthspg 2g , i cric x 4 a s s, mm; 6 multipliçaurs in x ; gdiâumhumeri producit, kit-ut am . iras polYgogihabet advdiameffum a e mi.«iorem proportiçttem quanta; se a. ad 4 6 73;. . Âmbitus ergo’ polygoni 5mm".

lus diametro4çixeqii,wéçiqfirpet 6.67 ème autem miner efi,quâm pars feptima ipfus diametri. Hicenim fepties [impurs producitq. 572g q ui mmgçfiqmmçmi,

unitate . Qçoniamigitur polygoni ambitus minoreflquanytriplus Êfquifepnf,muszdl’ameçro , ôq Circuii ambitus fitminor amblent polygonig malte magie igi;tut circuli circumferentia efi minéflqüàin tripla (efquifeptl’ma. . . , - la; 0;

Deinceps uero confirUenStequuam partent theorematisfiicit: Efio «du; 4drca diametrum a c,8( tertiâipars reè’ii angulus b a c. Hoc autem erit,fi à pandac fumpta c b,æquali Iateri hexagoniiungamus a b.Nam angul us in circamferentri t hexa goni adçeqtrgtp fâchas ei’c duæ tarda: maigri .citcumfetentiauerq trigoneefiquatqpr rem? regagna igitur anglqlus a b ceiî’reâus,8,(angu[us b ac V 1.,terriez reâi,erit angulus. a c b duæ tertiæ teâi. Si ergo educenteé ipïfam c b animaÉqualem ei fumpfërimlig, .56 ab a iunxerimuèïfèa, fier trian talus æquiiageggs’E;

quiaIa b Cathetusgfi, 8C bipflercitgtàbafimfiïrita e æqualis ip 1c b,Siruri"us fumpfetrimas ipfam a c M gent ipia c b 73 antgquadratugn a c z; 4;; 69 a. &g.u;adràtum

’ , ipfi’us cb 6o s 4 à otEt fi auferamus quadratum c b a quadrato agrelinqixetur qua- dratum a b 1 a :5 sa o ô.cuius Iatus quadratum 13 5.: proxime..excedit enim præçi,

fum fols. unitate’ï. prdpterea dixit ipfam a b minoré habere ad b à proportionem;.quâm 13 ; xad7s o. multipliçationea nets fubijciurimr; v - . ,

Diuidatur in duo çqua angqus la a ganguloa fg.Qixogiâ igitur angulusbag

t * v . i I t . * arqua.4 i

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16?: EVToc’x’I IN tacauwn. 1mm"arquant angulo 31C b, nain in eadem citcumferentia Cônfifluntziteni æqixamî’ m-gula’ga cigitutsangulus gela efàæqualis angulogac . &angülus. a g c commuagisefi-reâusjzigitur reliquus fg, relique a c g æqualis. igitur trfâguli a g c 85 c g f -fafitinùicem çquian uli,ô( miles. Igitur fient-a gad g c, itac g ad g flôc a cad c f.N311: triangulamm imiliülatera æquos angulosmmplexa,funtproportiônalia,Verum ficutacad E. film attaque fimul ca,a b ad c [3,8l a gadg c.quia enim aigulu; la; a Gin dudæqæ diuiditur,dufla a f etitficut b a ad agitabç ad; f. Et peti’nutatin: , ficut utraqa fimulb a , a cad b c , itaa çvadgcdf. Et efi: a b miner ë 1.3 y 1 ,1 84a q

1,; 5 0,8l b çyg o. igiçuriutracp fimul a b,c b minorem habet adb c I proportionem!quâmz9 t1ad78 b.igituràcadçfhabet minorem proportionem,quâm a 91 1,86 a7 g (allais amema c ad c gitaïarg ad geignant a g ad g c minoremhabet pro portiezdemanda a 9 1 1 ad 7 s o,Ex his igif efit’quadratum a g 3 4 7 a 9 a 1.quadratum g c,5 ois 4 o o .thuadratum a cefieis æqualeErit igitçr ipfum 9 o s 2 3 z 1,cuius lamaefi: tetragoniçum proximanam exceditpræcifum quadratum unitatibus 5 6 vs à.Eadem ratione dicit ac ad c g minorem habere proportionem , quam 3 3 9 o à ad

9 a o.multiplicationes autem [ubij ciuntur. . v .4 Diuidatur indue arqua anguluè ca g,dufla a h. propter bipartitionem igimranguli 5C fimilitudinem trian’gulorum, EX proportionalitatem laterum 86 compo.nenti,ô(permutatim,ficut u’traq’a fimul g agnat ad g c, ita a h ad h c.’ 8K fapppneba-

tut ac minot quam z. 9’: 1; Scipfa alcminory quam 3 o 1 gâjgitur utraq; fimul ga,a c[pilier ail quam ç 9 a. 4 à; ipfa uero g cefl’7 a o. igitur utraqa fim ulg a, a c ad g’c mi.

notem habet proportionëzquâm 5 9 a4: îad Z g 9. quam a: a h ad h à minorem proàortionem habetèæ 59 g4âàgl ’éiqüaitèa 3:1th éminorë prôportiènem habet

quam 4 fief-gade main utràqô Utrllîlîïp e17: panifié 110mm quadra pli ipfa a h adh c

minoremlproportionem habet, quam 1 s 1. g ad a 4 o. propret hoc enim dicit,quodattaque utriufq; efi î5;..Et quoniam a h efi 1 s 2 3,erit quadratum eius 3; z; 42 9. Efiautem h c 24 0,86 eius quadratùm f7 6 619.55 mais quadratis àlhh Cæqualè qua-dratiia c.Erit igitur à 3 s o 42 9, (ulus la tu: quadratum efi 1 s 3 1è. nam huius qua-di-àrufiî excedit,’uerum.quadtatum unitatibas A; z t Fropèquare a c ad h c minorëhabet proportione’ni,qüànï r3 à s âï’ad 2 4 o.’multi icationes uero fubijciyntur. A

v ’ Item in dub’æqua diuidaètir ang’ulus la a c «(à

donem anguli ,84 fimilitudinëttiangulorüirôéxpfeportionalitatem latanier cameon’êti. à! permùtatim, fient 11mg; fimul h "a,b! tac! ch ,ira a k ad k c. Van": utraq;,- ulhza, a; mita o’r el’t , quam à 66 1 Quoniam enim h a-fup’p’om’Ëk s a 3’ , 86a c

* il l âgéæfiàèt’temh ’c 24 o .1 Igituf ’utracp fimulthâîÊïCàd h ’cha’be’t minorem pro;

’ ’Sî’x 31144:0, ciguë? &ialead ç minorem habet proportiô’prrnohe’tiiçqüam g. A l

nem ,qtlam a 6 61 fiai:

A

ig’ityr al; aille; minorem proppttibnem habetêqulâtfi x o- c 7:16:36: (11131115111111

akx aï 4 o 49. quadratum uero k c glu 35’ 6 l: quibus æquatur qùadiatum a cgigiutitrent 1 o s 46 squorumlatus quadramm dl 1 a. à 55 a; proximinam eius quadramm fupefat præcif 11m unitatflJus 1 a ôCâJgitut a c ad c klminoremvpropogçionêhabet,qüâm’t à o 9 à ad a à .multiylieariones autem (ubt’jcienttrr’. . I I4 ’ Item diùidatür in duo æqua angultxs. k a c défia a l eadem radôme; ficut macis"

» fimulka,aéadlçt,itaaladcl.8(efiakmi1ïor quam xoo7,8(alcminorquâmi .f à a’9 338C kc à 6.Igit’ur utran fimulk’ a,à c; ad ketminorem proportionê ballât; ÎËs a i’sâad s 5.1g1’tura’l ad l c minorem picportionem habet, quam au 1 a-g’ad 6 6;

Et quoniam al fupponitur dieux 5è etittius quadtamm 4o 6 4923 à?» Efipfa-Icefi66,cuius quadratîî cil 43.56: æquale üel’dl’pfis ambobùs fimul quadratum

l ’ ’ v a C.

k a, Rurfizs propter biparti. ï

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n’a AEov’Épo’NDÉRÀLrnvs. ç,au; o6 9 z g l? cuius radix quadrata ei’cz o 1 7è proximê.nam quadratum eius ex!’c’edit præci 11m unitatibus 13 à. quare a c ad cl habet, minorem proportionem,quâm z o 1 ü ad 6 6.multiplicariones autem fubijcientur. V aa ’Quoniam igitur a c habet ad cl minoré pro portionem, quam 2 o 1 7 à ad 6 6.Ec6uerfo igitur cl ad ca habet maiorem proportionem,quâm 66 ad 26 1 7 in dùoniâcircüferëtia c b efl fexta pars circulizerit igiï ipf a g ’c pars duodecima,et ipfa h g uf-

elîmaquarta,8( ipfa k c quadragefi’maoé’taua, 8C ip (a! c nonagefi’mafexta . Ana,

Ëitus ergo polygoni ad diametrum circuli maiorem proportionem habet, quam6 3 g6ad z o 1 7 l.Hæc autemfunt tripla. etiam fupererant 1. 3 4è , qui, quidem mi.nor cil decem leptuagefimis primis,quarum una efiz 7g proximê. Harum decu.plus ei-7r27 7.multo magisl ergo circumferëtia circuli maior el’t diametro (ua7quâm

I tripla fuper decies parriens feptuagefimas primas. demadmodum igicur numeab eo pofi’n’ partiuntur,mediocrirerideclarati funt. l Sciendum quod Apollonias Pageas Mocynrocio demonflrauit idë,per alios numeros ducens ad maie»rem pro pi nquitatem.id quidem diligëtius faâum 81 exquifi’u’us u1’deturmnihil au

rem confer: ad Archimedis propofi’tum. Dixim us enim,eum in hoc libelle pro-.pofuilÏe-Jè innenwrum prope propret uitæ utilitates.leare neque Sporùs Nice«nus percipitur opportune Archimedem acc’ufare, quod non exquifirê ab eo tra-ditum fit cui redise lineæ cirCuli circumferentia fit æqualis .Ex quib. ipfe in Cerijsdicit,præceptorem fuum Philonem Apogadarum ad’numeros diligentioresrem lbanc adduxifïeaquâm Archimedes. Omnes enim ex ordine habentul’; 86 uiden.tur teins propofi’turn nô cognouifîe . Vtuntur ramé multiplicationibus myriadrî,85 diuifidnib’usquibus non’efifacile aITeqm’ induâum , 8l rationibus magma.Si quis uero uoluerit omnino ad minuta margis hac rem adducere, uratur lice: hisqua: in (Ompofitione mathematiCaâ Claudio Ptolemæo rradita funt,uel qua: fe,qupntur ex illis per partes. 86 minutifiimum calculum 7 86 per refilas in circülo fi,

.: tas.Et ego griq; hoc iam fedlïemmifi’ quad fæpe dixi , intelleinTem , quôd pereaquæ diâa funt, non potei’t ad exquifitillîmtî pelucniri,ut inueniatur reâa linea;

qua: fit circüferentiæ circuli’dau’ Équalis, Quanquam proximë quis ac. r

ferê habuerit eam.Et que: ab Archïmede faut me id’iâaJufficiantç

l a ,ÈVTOCÏI :ÀSCALONÎ’TÂÉ ÔOMMEIËÏÎ’IÀKÏIin Cireuli menfurationem,u.editione affcnpta Milefio’I Mechanico Ifidoro noi’rro præceptori; ,

i.EvToeCII IN PRIMVMA :,THEOR’EMÂ ABQVEPÎONDERA,1 f I ’lîum-drcbimcdirr

* O M E N T V M i ipfurngô geflerôlîflime’ Péüégçomlnünéïgra

uitatis Béleuitatis’ elfe gemmai Arifioteles allaitât Ptolemguseumvfequritus.Timaèttsiüeto apiid Platonemgmomêmm omne .dicitgrauitate produci.nâ eXiitimatleùitatem priùarionë (111311-dam elfe.- ciüorum opinionleslicefdilEiplinarü Rudiofislegere, l

- 1 fi l aux Ptolemæilibro’ quemdeMoméntis confettipfirfilexnatù;talrbus’ negocqs Arifiotelis, 86 en: TimæoPlato’nis; 85 ex hië qüi illos expofuerür;

Archimedes mon: hoclibra eëtrum pondais figura: planæ exifiimatidaex quo

* v l i Hh’ fufpenfâ i«au.

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sur air-green m ancra. un; i;faipenla manet æquedifigîs lhorizonti,duorum uero uel plurium planorâçcnçril,pouderis, hoc ellgrauitatisd quo libra (ufpenfa fiat horizontræquediflisz ut Ér- .ta fit triangulus ab c. 8l in medro eius punêium quoddam d , à quo fufpen 11mmaneat æquediftâs horizonti. Confiat igiï quad partesa b c fibi iplîsæquepodè

tubant, se nulla té» tdit altera magis adhorizô tem.Similizter autem poliralibra ab, ôtiufpenfis exea magnitudinib,ab,fifufpëfa li ’

bra ex c habeat partes a b æqueponde

rantes,manebit se. . .quedifiâs horizon 4 ’ , ’ 1’ri , 81 erit centrum rl’arpenfionis ma a A

gùitudin um a b püc’îum c. Bene uidetur Geminus de Archime de dicere,quoddignirates petitiones appellat. nam æqualia grauia ex æqualibus diflamfis autlô

. gitudimbus æqueponderare dignitas efi, 5c, qua: (un: conuenienter.Et (un: cla-ra omnia,his qui eamoderaré infpiciunr. 1 . l

Aequalibusinquit, se fimilibusplanis inuicem coaptatis , ôteorû centra gra-î .uitatisinuicem coaptabuntur. Omnes enim eorü partes coaptabr’rturzinæqualiüuero 84 fimilium centra grauitatis erunt ilmiliter lita . lntelligantur autem, uti in(ubieëïa defctiptione trianguli a b c,d e finæquales ac fimiles . 86 centrum mui-tatis ipfius a b c fit g, ipfi’us uero d e f fithzôt iungantura g,b g,c g,d h, e b, h .Dlc0 igitur , quod pet æqualia diuidant angulos linea: "dada: abr’pfo g uel h par»!

89’ ad angulos. Fiat t h ’ ’

enim ficut efad b c,i.. dtachadhk, 8(fhadhl,ôcdh adh m. E:iungârur m kakl.l m.eritiamkl m triangulus limais triangulerd e f. Quonl’am enim

cit ficut eh ad h k7irah f ad h l:erit e feque

Ldifians kl,8( Ümi b . . .. ,liter mkipfie.d,8Cip l ,’ l ï Ï- etfa d fipfilm. Igitur triangulus d e f fimfliSEÏÎ triangule k l m, Bit igitur lieur d ead m k,ita e fad 141,86 f d ad l m. Suppomtur autem propret fimilitudinem trianao a .3 fgulorfi,efl"e ficutdeadab,itaefad bc,8(d fa’d assaut igiïlatera abc æqualiala 1retibus k l m.quare aptatur unumquodq; unicuiq5, [gaur triangulus a b ç, en fi amilis 85 æqualis trianguloklm.quare,coaptabiturcentrum ipfius a b c, in centrrîipfius kl m.Ipfo autem g coaptato in h,ô( latera ab c coaptabunrur in kl 111,81 ip(sa g,b g, cgin ipfas h k,h l , h m: êtfacient angulos ad kl 1m aequales angulisin

’ triapgulo ab c. quare a: in ipfo d e f;Suntenim eædem redise, quæ à panachait!defjôCadklmiunâæfuerunt. lK . Cuiufcuncpfigùræ c’uius ambitusin eadem caua confifiit, centrumjgraùl’tatis,intra Êguram contineri necefTe eût. (liras appellatin eadem cauas limas, iam dits-éîum efi ânobis inprooemijs de Sphæra 86 cylindro. Quoniam enimfiguxa que!

ë A - * ha;

r if... .:;1 t

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a un ’AEŒV’EMubtn-Kmkvsï " a;çhabet ambirumin eademcauum, partes omnia plani inter ambitmn fuumcom-

v-pleâirur, 8C angulos . Confiant ’ t l i r’quod 8C centrum grauitatis intr’a:ipfamfiguram continetur. in qui

l rbufdam enimfi’ uriscentrum cil: Ï

extra, in quibu dam in limbouln ,(remicirculo enim a la c centrum a v ...-....-llfiguræ efig. in hyperbole autem l ld e f, cëtrum figura: ei’t extra ,I’ubil

.diametriConcurruntinuicemfi, Il sur habeth .. Hçc enim diâa funt’

Iinfecundo libre Conicorum Avl polloniy’, Vertîtamen et in figura"

I a b e,e»: in d e f, centrum granita.

un quo uidelicetfigura fufpenn . - , rpi (à manear æquediitans-horizôti, p ” V A l7 V ç 3l * v cefiintra ambitum. nant fi foretin ambitu, aliquid extra in alteram partent tende-

ret,quod non fupponitura - V n .L tu! sachnvM.’ . l 4l Sto centrât grauitatis d, il au poteif.Qgiod énimfit in a b,dfienfiim efinnami fuprà diflum eit,quoddUarum magnitüdiüütfi éehirùiii aquoli-br’a’fu;fpenia partes habetçquepondefantes; 54 æquedii’tâs manet horizomiquarecen

arum magnitudin’um a b efimgpfaab, ’ * i i H . p p I l. a I I I oJÏÏNTVM.’ 3-; g ’ in

. Vt enim quod ab ipfoa b maius cit ipfo c, ira ut æquepdl’îderet, au: 11011.Ho: dic’iîî reâê intelligv le oportet , non utputa quodl magnitudo ab fit o;

i mnino maior Crièd poliçait!Vfiemquod minermaguitabræquæmaior adm

tiè’cundutn æqùepondetâtianu Potei’t’enim

pondérer quam minot, perlé? judinem li.l propotfibném faciat inaëquâl’e’ni-Îfit mais.baume

v a V. u v » . . r l krural) ipfo abfrni’nus exceifufluo a b malus efi; rpfoc , rta ut æqueponderent : ira.ut reliquum, para afit cômenfuratum ipfi-c . Oportet ,inquit, auferreab ipfo a bmagnitudinem quandam b:puta quod faciat reliquum a commenfuratum ipfi c,86 mains ipfum a ipfo c feuindümv êtqueondeï-atibhem . floc autem fieri potefiper eatquæ in principio libri decimi Elémentorum Euclidis diëïa eruhr , :85 intertio SphætivorumTh’eodoiii. g . , Î; l , Q. 35.- .5?!

l la vanscuvryyr; .* ’vv T iungantur hg; fig lei-m .cadentiam rpl’æiîusjceàïplâm b c.Quonizî enimipfab o ei’t æqualis ipiî 2 qôéip’iàïd bsipfiëdeerit flicard b ad o b,ita d c ad z’ c.

».ô( diuidentiflcut d o ad o b,ita dz adz’c, Verumficut d o ad o b, ira a me! e la» Haïau cit iuxtaipfan’laad.Squt autem dz ad z.c,.itaa f ad f c î Igitur fieu idela fadfcjgitur ef ail æquedifiansjipfi b c. Simflirerautemofienf l

a ; .1912 a d rad omnis triangule; ab 1’st a m,.m k-,kf, f cÏdefcr’

.3 d c eam habent pr0portionem, babetca adamaeor’p l:Quoniam enim trianguli a d crazfimfiantfimiles 1, habebuntinnem a cad a mdupliîçatanLQuoniam item 111111511111 diminutif?

Quadruplam giregrrmguius adc habebiradrri « v plumafm, finît fexdecim adunum ,56 ad triangulosomnisab am, mkçkfsfc éfëriptosmroportionëhabee; .quam fexdecimad quatuor .;Igitur«propordd,fiîlït2r el’t , lieur triangulus a bagad

,4 triangulos ab almg-m k, kf, f c, .fi’miles ipfi adc, itaipiî trianguli ad ipfum. afin..- IHoceit c a ad a m. Sun: enimfimiles v, 81 in-bafi’b’us æqualibus , St proptereaîiri -

luicem æquales,quia habent ad inuicem ficut corum baies; Verum c a ad a m ma»

H h a iorem

fâmàçipkfiusam’

« a.

1.

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a. i avaro-cum axem marin;iorem prôporti’onë habet, Œ u r ad th. Proportio enim a c ad a m eadem chatté;portioni u r ad r p. Si enim intelligautur u r, c d educïlæ 86 concurrentes in parrainlelas , erit licüt u r ad rpjficc d ad d au . Vernmfi’cut cd ad d a); ira c a ad am. ficutergo c aada. m,ita u r adr p. Habet autcmu r ad r p maioretri prnporrionë, quâm

. urad r h. Igirur ca ad a m habetmaiorem proportionem,quam u rad th. Quodfané elfe non potel’t.nam linea: recta: duc°cæ pet q iuxta ipfam d a,in eadem eruntcentra hçc fcilicet in alterâ partë,ô6 tendët uidelicet in illud omnis magnitudines,86 non æqueponderabunt: quad ePt commune pofitummam cenrrum parallelo-grammorum pofitum cil r, 56 triangulorum qr »

Si enim educas iiias c d g,-f e g,b a g,confiat quod in idem punâfi uem’unt.eduélis enim b a g, f e g, 86 concurrentibus inuicem in punâo gaz ipfa c d concurretin idem. fifi autem ficut b g ad ga,itafg adge,ô6b f ada e,86fcade d,86c g add g. Erit iam trianguli b d c centrum grauitatis . inipfa h m ,. quoniam ipfa ab efi

tertiapars bh.Eflo triangulus a b 986 tu, 1 , A a eganturab angulis ad bi partitiones laterfi r..-reâæa e, b fic d. Igitur centrum grauita. atis’triangulia b cel’t g.Etrnanifefiü7quod I.

omnes trianguli fun: inuicem æquales .quoniam omnes mêla: ab angulis ad bip, v 4 ’partitiones laterumiuncîæ’perg tranfeai .- 1 . r

untænceiufdëplura «un? .niam autem a d,d,b,b weslcfifa îqualésfunérî’iâhgëifërfint aequales, qui h a bent

ueriicem punôum g, ba [es uero dicîasre

(fias.Œareagbrriâgulusfiuplus efi tri 1 j .1 . p langulogbe.quare&agipfiusgefiiigi- ,- v ’ V .1 itut peragiuxnta ipfam b c duxen’mus i piamv a; g ’ . , v . j 111k, erit alidupla ipfi’us h b. Quateuniuerlâlirenfi unü lattis trianguli feeeturdtt’utportio ad uerricem fit dupla pommai ad. bafim,.56 par fumptum punâum duc.

turæquedifiansipfi bafizin ipfa duâaerit centrant granita.

. , ris tri-anguli illius. .

E v roquffN raffine. V N D V M

AE a. mi I V M rfc’àïtirédi.rfi I

"v me diligenterea quæ’I minima libl’oillalàétlÎLÎ-f percurrimug;.86 infpec’iu difficilia’ iàtis’ declarauerimus’:necelÏal’iîî duximus’,

156 quæ in libro’ feci’IdO 013mm diffa faut , p romddoï explicare;

Dicit itacpin propofitione primi’ rheoremaris:Supponâtur (pala

1 mus iuxta reâam datam applicare . hoc afitnon li Cetinde perce!quæifiic demonfirata fumipuenireKluoniî aüt olienfum cit fibi,ueluti in [darddeSphera 86cylindro dixitgquod figurai; uiufmodi efl fefquitertia rriâgulo arabari balèmaôl altitudinem cum portione eandemtplano uero exiflêtereciilineo iëil l

. quitertio , trianguli æquale poilumusiuxta refila datam applicare, confiat quod66 figuris hui ufmodi .Qyæ uero in a pparatu diéia funt,omnia clam pet quarrum

maoremaprimiifiorumlibri, a - . t I v l I .

1 ’ a , i n

ciaa b,cd contenta-â redis. ô6-feâione reâanguli coni’,quæ p’oflï

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n15 ma0375mmnMLuw’s; aIN SECVNDVNL r IN fachndo thçoremate prædl’cx’t quædam deSarantia,quô paâo in (calent re

&anguh’ conf figura cognitæ pofiïu’nfcribi. * tdx’cighæc ofiendenda funtin or

, dinibus. Quonx’agn igitur diâumob feurücfi; neceHe 2P: pauca quædam de eo dl’cere ex Conicx’s Apollonij inuëra . Efiofigura caréna Tub parabola a b c. 86 raflaa c,cuius fit diameçer b dConflàtquod uertex portiom’s cf: punâum b.Vem’ces-uero appeliat Apollonius,term1’n0s,qui funt ad raflas diametrorum . Si iamiumxen’mus bas ab,b c ,*er1’t triâgulus a b c,qu1’ bafem habeat cüvportione eandë,ôc a!

titudinçm æqualemzduââ à panât) b ad ipfam a c pèrpendl’cularë. Sic enim 0m,311’110 b d efi axis,fi’ (amantes actrices portiomî a b, bzgsipfos cf, 56 par 1’ pfès duxe

rimas parallelas îpfi’ b d,puta e gin), mît ipfç diametri pqrriohü ab7b c. Oflëfum

CH enim in parabola,quod’ omnes dudæ æquedl’fiâtes iuxta diametrü funt dia;-metn’ fèâiom’særüc iam eçfuertices portionüziôl quæ per e,fapplicarçïæquedifiâ-

tes ipfi’s a b,b c:en’t 86 e l fiuxta ipfam a c.Quon1’am frange h,i" k funflnùîcë arque

difiâtes,ô( exiflentes diamem’ æquales æqualiü portfonü, 86 coaptatæ inuicë urfin fexto Conicorü ofiè’fum efi: 8C quom’â e gh efi æquedii’câs ipfi’ b riflait ficutbg

ad ga,1’ta d h adh 3ER mît b gçquah’s ipfiga. nâeg fecat eîinduo æqua a: Uedjfiâtem appliCatç côtingentiigitujr d h dt gqualis ïpfi’ h a.Eteademvrationc d iplîk c efi æ uah’s. Tata uero a defi: æqualx’s tari d chx’turd h Cfl’ çqualisi’pfi d km en;

«h oc e I 1’ p i I f. Quare uen’ffi’mê dfc’hî dtquod refila ïûgës tramées portjxfonû, æque

giflas cri: bafi portions, 86 in duo saqua diuideî à diaxnetto, poflionïs.’1unganî

,

.4 ,r l a: V. ,1 . quoâpaege b,b fifc.ôl’diuidâmrin duo æquaxpûâl’ë an,ï.,0,ôl ducanï par pût:

» dam,n,x,oiuxtaîpfàmbdifiæpmrfim ,qxzœso iungâ’turap,pe,et,tb,bq,q fifsas C355 b9 t à (1,1) ,b ,Ç ’dzs.C6fiatiâ ex ifh’s ante demôfiratis,guod abatd,ad p s funf æquecÎl’fiantes ipfia c: a: quod t Iatfi: qualis in] a; pl d ipfild sima)

qu°d me fait: 1,131213] b d in numems Ç°nfeqïienter impareâ:hoc efl, [cuias b la fic, I

111mm,

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x

si: Evrocn IN ARCH. Un. n;unum , eiLis eritlaltrfa, 8d a quinqua , 85 ’dd feptem : qubm’axh a g (Pr atriums *ipfi’ g b,ôëeh efl æqueqifians ipfj b d,arit ah æquah’s h d . igitur d a dixpla efiiplîa ,

us d hzquare sa ipfi’us e l . Igl’tur quadratü a d qùadruplum erit quadrato et Sial:autem quadratum a d ad quadratume l, ira oiÏenfumefi efl’e .b d ad b lb quarebr d,quadrupla efi ipfîus b ligitur dl tripla èfi 1’ pfius b I.Cuius igitur b 161i unum,e1’pscm dl triazæeadem rationc émus b l fuerx’t quatuor,eius eritipfa d l dixodecl’maôcquofiiamç rivefiaæqualis ipiî n b , ôte f ipfi’ If l,8( h m’pfi’ ud,1’giçur:el duplaefi t’p

fiùs l fihbcvefi’î 1’p Gus t’a; igimr quadratum e l quadruplum ci]: quadrato t laigiturhl quadrupla çfiïpfius b a. quatre l a tripla cf: 1’ pfi’usla b. quorum igitur 1’ p (a! b e11:

quatuor,»th i pfab. a unumœt quorum 1’ pfa 1 a tria,er1’c1’pfald duodecim. Rurfmgagman-na men; æquah’s ipfi’ m e, 86 a kfpfi’ k gzôt a fipfi f h :erüt igl’tur affin ,h u,

ud-inufcem æquales:quorumig.1’tur a d efi quatuor.eorum (cl efltriaghoc dt ipfap ,d.quorum-igitur quadratum ad dt fexdecim , harum quadratum pId efi: no-,nemzquorum igitur b d efi fçdeèim,çorum efinoucm b Id, EX refidua Id d feptem. *Quonïâ igx’turofienfum CH; , quorum b d efl fedecim,eorïi b a effe unum ,66 a!tria,ôc ,dd feptcm: erit igl’tur refidual" d quinqa. Diuiditur ergô ipfà b d ab æqüe?difiant’ibus in numfieros confiaquenterimpares fez qua: ad uertx’cem portions efl:parte ab anima dencminata. Côfiat igx’tur ex defcn’pu’one , quodvdu’âæ âdfame,

tris in numeros ab unitate côfequenter difbofitos excrefcunt. Cuius enim EH: t. la -unumœïusèfi cl duo,ô( p.d’tria,êl a d quatuor; Cam enim fin: 0mn eà arquai.

, Rames, Tecâfutm æqualiaàæàgppelglamramgm;altAmhimede.figurera p ç: b qf s 9,, .

Cogflitæiflfcfllêflrrh r

l 4 IN TERTIVM.I S huiles portionum fèâiones conf Apollonius diffinx’uit in fexto hbro Conico. rum illasufn quibus fi ducantur in unaquaque æquedifiantes bafi’ æquales numero æquedl’flantesfil baf’ës ad abfcifas ab çqügdifiantibus uerfus ueruÏcem par l

tes diametrorum 1’ n eadèmip’roportione crût, &abfcifæ ad abfdfas, 81 quod parabolæomnes fun: [huiles inuiccm. Figura’uero cognitæ infcrl’pta , quid fit, (lié-if:2P: in præhfumpto [immatc Ho: autem fim’îfftèr dïuidere diamatros eft,ut partiems earunieandem’habeamproportioriem. Refiduum neroïtheorematis efl: du

rumzxprædl’c’iafigara. b j. I L - a 4’l N 031 a T v m .

ilmimâtes 1’915 11..., :c autem manifefiçxm efi ex.pfædiâis;ih (eCundo Stichr’ofis v;Ordinationl’S,8Ün firïüêaëgfiæhæïafléqlénfimë

V ’ ËlïN QV-x N TVçM.T quom’am h fgi e17: parallefoglramçmum, 8èc.quoniamienim h æ k fil g flint - 1

, æqualesSunt enim portiornî æqlfalïtfm-diametri,ôi æquali-çer ab axe diffa,I tes a b d, 8C fimfliœr diuiduntur a centrls h 1, erit fient k h ad h flint l iad î g,8( par,.mü’tatim. êl ïdcirco h fief: æqIIalis ipfi g, 1163 autem 81 æquedl’fiansci. nâ omnes -

diametrg’rparabolæ funtæqueçlifiamestigituripfilm h f gi- efi parallelogrammâ.

h a 1JNVSEC.VËDAM -PARTÇM QVJNTI. F VERit itaq; magnitudinis compofi’tæ ex unifiai] k b,b lcportionîbus centrum

a r V grauitatïs gaz compofitægexmrifcg ak b,b l ctriqnguh’sfifi: centrum c,8(c. I- I 0&enfum efi enim in præfumptmquoniam h m iquens, centra portionum,bio

partitùr ab .ipfà b dvpunâo q,çurn fit ipfi fg æqüedifians": 86 g h bipartitur punaa autoclave téflcé-nçmm graùîtaçisïmàgnxjtudfinis,compofitæex triangulisïàkb;

b l c. Qyoniam igl’tür m’angulüs b a ç maiorem proportionemvhabet adniangwles ak b,b’licïgôga’d porriones, 86 reliqua. Quoru’am enim ofienfum efiytn’angua

li a b c centrum graqitàtis cirez! 86 triangulorum a b k, b l c centum r,manifefinîgfl quod rèflih’nei a kbl ageratum grauitatx’s efi in te, diuifa purifie R [ecundïi

mu- kr

Nferâbaeùr reâlfineâ figurarcogm’tæ in portiqnemitâùt dréqmcifæ partes fini: -v

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rem b d nadrupla ipfi’us kf.hoc

DE A5 Q’VEP07.NDE;RALI:È.V85- sa?d mutuam proportionë,quam habet trianguÏus a b c, ad triafiguÎos a k b,b l laqua

zii’ani au: triangulus a b c maiorem pro portionëh abat ad triangulos a k b,b kgadip0rç1’ones : nam péniches funt triangulis majorestcôfiaf qüod fi facuen’m usipfatri et 1’ n proportionë quam habet m’ahgulus ad portiones, puuë’a’x feâx’om’s

cadet fupérx’us 51’31"11 Riqixod crû centrü totiùs portiôis,proptervmutuâ affeâionê.

a v IN ss’XTVM. ’ l I;Entrumpportîonis en: omnino unum , 81 propinqux’uâ ùem’ci portioiu’s,

Ccentra infafptarum reâih’nearum . Nam trianguh’ a bc centrum’grauitatiàCR, fi contingat e, ipfà b d,1’ta diuîfaut e b fit dupla ipfi’us e d.Côfiat quod omniatèntra in (Eriptarum red’tflinearum cadent inter purifia h e.ô( quanto plurium lâ-terum fueri: infcriptum c0gtiitæ,tanto magisx’pfi’ h appropx’hquat. Confiat itacpquod efiè non pote&,ut lineainter centrum infcrl’pti cognitæ reflflihéifii cenmîportions intercepta fit maior e h.pote& autem minot cire non (61mn ipfa h gué

’rüin dmm’ alia data. I I v . , . : ap « b , , IN SEPTÎMÏÎÀinw . , . . ..NEn’batur Mg; in portiofié a b c reâilinéü, Enfile éi quad affin portione d e F,

Ihorc CR Emiliter cognitæ. .Simx’liter enim Cognitæ infirîbitur,qùando fafiioneïsparabole: à b c æquales fiant 1’ pfi e’ f g, ira ut latera cognitæ infèrx’ptî 1’ pfi pomma

"a b c,fint numero æquales redîilineî laten’bdnfcripti ipfi e fg.qùon1’arn enim puttfia b’ 8C f,fimt uerticés fimilx’um pOrtiohum,erunt ita cognitæ infin’pta fimilia.’

a un: Ocraîivm. ’ hv l - T thoniarh efi ficutb h ad h d,1’ta km adm finam portioqes cum fifltfimîJI: ales,habebunt centra diux’dentiadiamerros in eafdem portionés, ô! componé:riflent b d ad d h,ita k fad fmtôc permutatihu, ficutb d ad k f,ita d h ad m f.Efi au

enim in ’nebfiendx’tur,uhi efi fi; b’gnum hop æ . Côfequenterautfër a p’x’llud nos ofi’end’emusL Èfio para.

’bola a be,cu1’us diametrôs b dzôë K w p .e

ducatur ordinate a d, fié iünga. .tur ab: ôé diul’datur a b in duo æ.

Ïqua pünâo f,ô(.ducatur par Ë æ. fbquedl’flans ipfi b d ipfa e f. igituË *îpfa efjefï diametros portionïs à ’

bzôc a punais è f ducan tut ordi»hate hæ e g f h; Qyôm’am traque-a f efi’. æqüah’s f 5,2111 a b dupla 1’p

fins f b,ôZ ad ipfius f hzhoc flip,fius erg. Quart quadratum a d afin

quadruplum ad qUadratum cg à , Ë p q 7- 1 »fluage d b quadrupla efiipfius b g Iongitudine .q Quonîai’n fgx’tur b d efl: dupla l’p

ius b 1mm b h dupla ipfi’uS b g,ôc ipfa h g æquah’s 1’ pfi g 15:86 ipfa h g æqualisen’è

am Îpfi e Eqm’a ipfum e g f h éf’c parallelogrammum .I ,n’zur ipfa b d eflquadrupla

ÎPfiUS f et V ,85 quoniam jpfa b d. 6P: quadrup a ipfiusb f; qteçim hoc efk ".bfienfum.na;m ofienfum efi in fum m a i jfimbdu’m’q; harum!» g,ç f eITe qua).druplamtqïxareb g cf: æqualis ïpfi e :ôli caca flic ipfa La! ipfî-k fæqualx’s,ôc b dbrriqa earum quadtuplæigitu’r ipfi b-feî’c tétfiapars ipfius fd.quoniam enim b d(Il qüadtùplaipfi’us b f. Œôrur’n’ igîmrïplâb défi uatuor, corum ipfa b. [ca a.

hum: 81 quorum b defi: duodedmv,èorumïipfa f z I m’a. Bit autem b ftripla fpfius (x.qu0rum iëitur b f efl triagîpfa fx ëfi unumI.Tota igitur b x efl quatuorzhoérum autem crat d duodecirhdgiturb x cit "renia parsipfi’us b d . Triplus autem

A a ’ l ’ 11’.

4 h P. . .IV

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64 E-V’TOÀCJIÀN lARCH. L13. quitriangulus ab reportionum . Ofienfi’Im enim efi ab eo,in eo quod firipfir de Coni’reâanguli feâionoquod omnis figura côtenra à reë’ra, 8C feflione reâanguli ce,ni,efi fefquiterriarriangulibafem eandem habenu’sfii altitudinë æqualem.qua.re portio a b c, el’r iefquirertia triâguli a b nô! diuidenri; triangulus a b c efi triplas *por’tionü akb,b l cal ei’t d b tri plaipïîus ed. igitur ipfalb h eR fefquirerria ipfius .h d,quod erat demofirandumquoniarn enim b d efi tripla ipfi’us d e . Quorum i.gitùf b d efi quindecim, eorum e d efl quinq; : quorum uero d e efi: quinqa, corum

I h e eût unum :ôé tota h d (ex, fcilicet fexcupla i pfius h e. Quorü igitur b d quinde,cimmorum d h efi: (exzôl reliqua h b, nouemquare b h efl (efquialtera ipfius h d.

" IN NONVM THEOREMA; l ’iNOnum rheorema ualdeobfcurü,exponemusiuxtaloquentes quam clarëf I orerimus.Quoniam enim iflæa b,b c,b d,b efunt proportionales,8( diui

demi, q .permutatim,erür a e,e d,d e in eadem proportione . Quoniam igitur a b,b c? b d,b e in eadem funt pro portione, 81 illa: a ch, d e.efi ficut in mimis magm’tuditiibus aurecedens, 54 medium ad fequenszitain fecundis magnitudinibariz

, tecedeii’s,ôc medium adfequens .Sicut ergo utrçcp fim ul a e,e d; hoc efi,d a ad d e:ira utraqgfimula b,b cad d b;Sicut au: urraq; fimul a b,b c ad d btlta dupla utriuf.que fimul a b,b cad duplam ipfius b dzquia partes eahdem fuis multiplicibus ha."ben: proportionem.Sicut er o a d ad d e, ira duplum utriufqa fi’mul a b,b c ad duplum d b.Rurfus quoniami U æ cb,b d,b e in eadem funrproportioneeôl me a c,cd,d e. efi autem per prædiâa fienta d add e, ira urraqa fimu-l e b,b d ad beÆrataurëficur a d ad d e,ita dupiuçu urtiufcpiîmulra b,b c ad duplum ipfius b d . Sieur

’ ergo unurh’ ad uiiü,ira om’nia ad omnia.Sicut ergo a d ad d e,ita àntecedëtia ad" fe’

V queutia. Sunt autem antecedenria duplü utriufq; a b, b c: et utraqa c.b,b d’hoc citd due: a b,tres c b,8C una b dtfequëtia uero duplam,b d, 8l fola b e. Bit igirur fiait

a d ad d e, ira refila Com polira ex dupla ip lÎus a 13,56 tripla c 12,86 fola d b ad com pofiram ex dupla b d 86 folab e. Et quoniam compofita ex duploia b,ô( quadruploc d,8(quadrùplo d b,et duplo b e,maior efi compofita ex duplo a b,8( triplet b,81 Cola dab : mains autem habet adidem maiorem proportionem , quam minus :maiorem ergo proportionem habet com pofita ex duplo utriu’fque fimul a b,b Le,8C quadruplo utriufque fimul cb,b d,ad compofitam ex’duplo d b, ô! fola e b, fgcom pofira ex duplo ab,ô( ex triple c b,ô( fola dçb,ad com pofitarn ex duplo b d,erfola e b; Verum ficut côpofita ex duplo a b ,66 tripla c 1),,8Ç fola’b d, ad compofitâex duplo b déc fola e b :ita ofiëfum ei’r elle a d adgd, a. Igl’tur éôpofira exydupla w

triufqa fimula b,b: e, quadrupla utriufq; fimu! 61551) d,ad compofitam ex d uplab d,8( fola e h,maior porrion’ern balada? a?! ad d e.Siig1"fuoluerimus facerèeadem propartionë ipfi’us a d ad’qumqâ aliam,erit illa minor æ d e.fit aür d 0.5i!igif fieu: a d ad d o,ita com polira ex dupla a b,b t’ai quadrupla utriufqaifi’mul ç’b,

b d,ad compofitam ex dupla b d,ôl fola e b. Et ecoueriô,igitur efl lieur o d ad d a,ira C0111 p’ofira ex dupla b d,ad fola e b, ad compofiram ex dupla utriui’q; fimul a b,b e, &quadrupla utriufq; fimul cb,b d: EX compon’éri, fieu: o a ad d a,ita com polita ex dupla a b,ôc quadrupla c b,8( iè’xcupla ipfi’us b d,ô( tripla i pfi’us b e, ad côpo

. fitâ ex dupla utriuflË lÎmul a b,b e,-ôCquadrupla urriufqa fimul c b,b d. I pfa enim *a b d fexies fumpra e ,. quater in primis,bis in fècundis , ô: ipfa b e ter rampez ; bis

inter primas, femel inter fècundas”. Supponitur autem 56 a d habere ad g h , eau)- proportionem, quam habet campofita ex quincupla utriufque fimul b e,8( accu.plaïxtriufquéïîmul cb,b d,ad compofi’ram ex dupla a- b,8( quadrupla c b, rem» *p13. b 615,66 tripla b e,ô( efi proportionalitas in direc’ia . Per æquam igitur, ficÇUt 0 a; ’

ad fg h,ita côpofita ex quincupla utriufqa fimula b,b e, ôtdecupla c b,b d,ad com-po iram ex dupla urriufque fimul a b, b e,8[ quadrupla c b,b d. Huius autemvdezferiptæ proportionalitaris conditio fic fietmanifefia . Œoniam enim in primis

l 4 . mal

* xi-"Â’Èügg’flàriëç’àïï’ïà; A . A r

5.1L; A-

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la

1

4*«ësaatwr4.ar:h mais

a. . AH

âm

* [Ana AEQVEpeONDERALrBVls. se,magnitudinibüs. ficuranrecedës o a, ad confequensa d,,ira in fècundis magnirud’inibus-anreèedës.compoiîra exduplaa b ,81 quadrupla, bvc, ôti’excupla b d, 8.6

1 tripla b e, ad Confequentem compofiram ex dupla utriufq; a b, b e ,: Bi quadru-, pla urriufcp fimul c b,b. d.Sicur autem in primis magnitudinibus confequ’ens Lpfa a d,habet ad quoddam aliudaad ipfirm g.h:ira in fecundis magnitudinib us a»liud quid compolîra ex quintupla urriufqaazb, b«e,;ôl.decupla utriufq; fimul c b;

’ b d ad côpofiram ex dupla a me; quadrupla cher fexcupla la d,8( tripla b e.Quo Vmm autemquincupla urri’ufq; fimul a,b,b e ad duplam eiufdem’,eani habet pro

I porrionemquam quint]; ad duo: habet autem et deeupla urriufque fimul c b,b da I ad quadruplam eiufdem.proporrionemyquam quinq; ad dumquandoquidë de

. cem ad quatuor habear.cairn-proportionem quam quinq; ad duo, ÇÊSpofira igiËa exquincupla urriufq; lima! a b,b 6,54 deçuplautriufrp fimul»c,b,b d,ad compofi,,tam ex dupla urriufq; fimula h,-b,e,,8é quadrupla urriufcp-fimulsbb dapropor-n

. ne; haberguam quine); gdîduo p. rQuare au ad g h propOrtionë habet, quam.. quiné adduo.Rurfus quoniâ-ofifienfumîeflfuperiusquod o d ad d a proporrio ’

hem habergquameb Cura vduplaedbadïaequalë compatirez-ex duplaurriufq; a1;l b et cum quadruplaurriuf I ,vbrda Bfiauremficm c6fequens inprimis mag,è rudiuibus d mari, aliud quid d;e-,;i-.tain. fier-radis magnitudimbus aliud quidda-cô

lpofiraex dupla a h,i;ripla 42,66 fola d b,ad anteCedës,côpolîram’fciliCer ex eb,ôc

, duplarbrd, difiimili-rer indiredr’e (proportio, hoc cil: proporrionalitate indirerfia.Igitur fleur-0d add e,ita com pofira adulait, ,, tripla Ç 13,81 fola’ b d,adcoiït olî vtain exdupla urriufqafimul a b,b,efiç g; v rupla chaland, grimer è contrer o fi-

, cure d acide, ira compofiîta ex dupla ut (q; mulab,bye,’ôc quadtuplalutrl’ufq; Vfimulcb,,b d,ad gompqlîtâ Égal-1.91.373 «triplan-b3: folab au euerrenri, fieu:d ead ce , dico anreçedensadéxçelï ôpèfiraeaèçlupla, munir]; fimul a b,

ab e, cum quadrupl b ab. d,ad .60.me luacxtb folaàëé tripla b dia: duplae anantecedëre enim eftrdupla- ipfius’a M55 milita: b:- in côfequëte uero dupla ipfius

ab fola. quare fuperfiluirinexceifibusduplaiplîus e b.Rurfus in anteCedëre quadrupla utriufq; fimullc,b,bddgæçgnfiquentdœrorripla i pfiusc b, fola b cliquareïfuperreliâa fuir- inexcefisibus [chimât tripla ipfîusrb d . Beneigitur diâüefl: ’quodefieuertëti fleur dejad enficacqmpofiîra ex; dupla utriufq; lima! a-b,be; 86’quadrupla utriufq; (inhale b ,b d,ad çêpofirâexîc la, ôteripla i plîus b*d,-ôC dupla

iplîuse’b.Quareèë côuerfo figaro ead ed,ira.côpofira.exc- bât tripla d-b,er dupla

.e b,ad.rompofi’r;îex dupla utriufig-fimula b,b-e, a: quadruplautriuiq; fimul c b,lb d..E& au: ficurd b adaaliiud quiddâiadipfum eh itaa b,ad bgetduidëtl’ fieu: d ead e b,iraa.q ad ç.b.Eadë aürrarione figure dadebïi’rakl e adeb. Sicurergo triplaipfius c d,ad rriplâ’ipfius d h,ira dupla iplîus.de,ad dupla ipfius b e..ParteLsa.exî1 â

inuicë habeht proportionë,quamçearii æquemulriplicialgitur lieur unû ad and,ira omniazanrecedenriaad omnia [aquenria.Efi i gitur fieu: de ad e h,ira compoflragea c,-ôcrripla c .d sa dupladezad côpofiramexg escarpa ipfi’us b d, 8c du phà) gus b e. Quoniam enim ofienfum’eirflcurin primis magnitudinibus aureççœleus be ad ifequeias de, ira in fecûdt’s magnirudinibus compofira ex ch, 52h19?

.ipfius b ami duplavipfius b e,»ad fequens .côpofitam ex dupla utriufcpiîmulab;A b e, ô! quadrupla urriufcp finira! çb,,b. d.,Si,curaîurem in primis maguirudiriibgfeçl gués d e ad aliud quiddarn ad ipkm eh: ira, in &cundis magnirudinîbuç aliudquiddam compatira Rincer ex au a: êçrripla e d , sa dupla de, .ad-antecedenscompofiram exsc b, 84 tripla d 13,8! dupla ab; Ber æqqaruigiturîn proportionalitare indireâa, ficuto a ahana ç9mpofiraexaçggiglacdiôé dupât! me! ç’ôpofiram ex dupla utriufçpfihaulab;bne,êcguaçlruplagrriufcpfimulc b,b*d.8( com-Èponenti ficuro b adb e,itacompofitïaè âfirêëèïïfiïïëlâ «La duplad e, 56 dupliqué

. mais fimul adb cyôcauadruplauai æfimIJlfllead compogtam maculai

i, . . I à I i * m1165

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sa Ev’roct-IINAKCH.L13. n. yutriufcp (mal a b,b e581 quadiupla utriufq; fi’mulcb,b.d. Verum compolîça ex,a: 85 mpla c d 8C dupla d e,ô( dupla utrlufq; fim ula b, b e,ôt,quadrupla 11;;qu Âfimul c b,b d, æqualis 2R côpolîtæ extripla a b, 85 lèxtupla c b,b! tripla d b. lp a’anima b bis alïum pta ell,l’nde 8C aflumms iplàmacfiz ex quadruplallpfius c b,imam fait tertio ïpfam a b. Rurfus ablataà quadrupla iplîus c buna manet tri.

la iplîüs c b. Aflumens autem triplamiplîus Cdzôi triplam d b,fa,cit, fextupla ipfias c b. Rùrlïus eaablataâ quadrüpla ipfi’us d b,rem’anct fbla d b:quç allumens

duplâ flaflas d e, 8K duplâ ipfi’us e b,fadm:iplâ1’plîus bd,Bene1’gitur dicit quad

o b ad e b eam habet proportionë, quam c mpolîta ex triplaa b à lèxtupla c b,et tripla d b,ad-çom’pofitâ-ex dupla uel-laïc]; mal a b,b e , 86 quadrupla utriufq; ,fi’mul c b,b dzR’urfüs quom’am hac e d,d c,c a (un: in eadem proportione, 8E par

. conugrfum fuppofin’om’s urraq; fimul,unaqugq; harum e b,b (Lb c,b a erit ficut’çü’aflmedl’am, ô: lèguean ipfàsd c,ca,h.oç eflad ipfam d a,fi’c utraq; fimul e b,

Ed ad utramp d b,b c,cirm ana? fimulc b,b mât componentl’ ficut e a ad dà,1’ta

fimule b,b d,cum utrà imul d b,b gai cfi-utracp fimul c b,b and utrâq;(15,13 ganta utraque fimul e b, a. Verum ut’raqa fim ul c b, b d,cum magma-ml

V è b,b ab,,æqualis efi um’q; fimul e b,b 21,8: bisum’q; fimul d.b,b- c. Semel animes:-germé fumfitm’, 86 mediàc bis.At ueto titra Gina! db, be, cum vc b, b a,æqualiaélimai fimul b d,ba,8( bise b,eadèm’cau a.Q,uare’lefi: fiente a ad d a ira tempo:fitaaexâjba &dupla utriufcpfimüldbb c,"adlcompolîtam exutncp fimul d b,.b a,85’dupla ipfius cbzquare a: duplam duplamhabeteandemlproportionem.Simtergpg a ad d 3,11: côpofiça mdgpla-flœiufæfitgiulæe b , buna! çuadruplarl

A A uniafquefigmlïç 3 . Î. , Ï; v .Wïdlalpla’ml’ïfifque 5m11! a b,b d,8(qua». -drupla’ipfiiïsiîËÈWÊÈÜÈ êiâd très quintas ipfi’us d a,ita compolîta ex dupla;

atriufque’ fîm’ùl elb,b a,ôc quadrupla utrquue fimulcb,b d,ad tres quintascô»pofi’tæ ex dupla utriufcyfimul a bib’d5æ quadrtxpla ipfius ch . V erü figura c adtres quintas iplîus d a, italfumpta cit b çad fg38fcutergo je b ad fg,ita compofîta.ex dupla utriufq; fimul e b,b a, et quadrirplautriufcp-fimul c b, b d, ad tres quimtas côpofitæ ex dupla utriufque kb,b e; &quadruplà ipfi’us cb.quoniâ.igitur o.»Renfum affilient antec’edens o b adconfequens b (un anfecedens tripla um’ufq;fimul a b,bd,cum [extupla îplîusb càdduplam atriuf fimulq b,be,etguadm:plâxùluüiùfcyc b,b d.ficurautem confethens ipfie b a aliud quiddam,id dl ad.fg,1’taèonfequèns dupla utriul’qg Qmul ab , b e,8,6 quadrupla utriufqglîmul dhb, .la gag! «esquintas requenfls,hoç éRadu-çs quintascqntgpéfitæ ex duplaufllufq;fimül â-bglâ-d,.8t quadruplàïpfius c b . In «radia ïgiriàfipfépoftionalitaœ par æ,

quamficütôüàgfêgifmçompofitaex mplâptvfiuëfque fimul a b, b d,& fèxtuplaà b ad n’es quintas E1355? ’ I dùplë UtÎI’ËÎÏty Ümul a b , b d,ô( quadrupla-mm

(la; c b.CompOÎita Hem ’63. ’ influe fimula b,b d , &fextupla cb, adm:gainas com pofitæex dupla Ut Wfififll’a l5l) d , ô! quadruplà ipfius c b , prppprtionêhabet quam quinqg ad duaNam tripla um’ufque fimul a la, bd,ad Ch;- .plaça utriufq; fimul ab,b d,propçrti9n9m habet l’efqm’alrerâ: fed ô: (extupla cb

, adquadruplam c b , tandem baba proportionem fefqm’alteram. Quom’â uneameœdemia ad configum’tia (atèlumlçera limba. propordonë habem eâ quàm«filaad duo,«1’g1’tùr habebuntfîcçcquadragintaqulnqg ad triglnta . utrunq; enim

nui-alène efl quindecuplumyslmt autem decem 0&0 tres quimæ de trigintajgi n lturquàdragintaguinq; addecei-n’oflohabent proparfiohemguam compdfimlla: tripla utrîufqa fimul a b,b d,arm [ému la c bac! n’es quintas campofitætx d a

’k la utriufquelîmul a b,b d cumîquadrup a: b, uall’Sefi etiam propoîticçorb ad L

gjgçæquadmgima qmncpnaddectem ado eam abempropotdonê,quamquin.quêâÆd’uomanp quinqueôé duofuntiucriufque nonæ,quare 85 o badf ’ eâ ha»

Myopotde’nemfluam quinqucadduo: Œqniamigjçùrtofienfilm a ,qupd a

and Ï ,

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12n- A V

"D E sa; w ERQÆQÏBÆAÏÇ? B Y’ s. i7o a adz’g’h:prop0rtioneh1 habef eafn’ qlÏâflÏCi-ÜÏIÏŒ a3 (flué; 8:0 b aîng earfdë pro

’portlônemîerltîplîïfb clùâeèjuintæïjipfiusïoîùîsa’bî l ’ï l- a »-

* ’ , 1 N. 90; etPMVLMKTWHIE’O’R FM a; I. ï"Dalla: iam qùod’fmftj au e k: diameti’o’slefiïplà fgg, .quom’îemîn fuppô’

Calme 1’ pfa fb diamerr’o’sïx’pfiüsportibnis; &illsëea e,d e bipàm’tæ ab ea pan.

l à; fg faut æquedlilîames ei quæïülî: confingfiïleaionem,confiat quad omnesfimiliter ab illïsîdqëîee’ëëqùedïfia lites mie interlllaslgfîxre intervipfam d ÇÔC-liel’flr

rem b-ebl’perüeü’tur abîpfa’g fiôl’ideo dixit ipfan’l fg eHë-dl’ametrrtmfrufii. ’

Vefiüificut cabus a fâd cüb’ïîfpfiüs ü g7ïxa p’brn’ô a b c ad portfôùëd eb ,,.Clüo

nia e51 dfiëfùnj e&’,ab et: quodporr’io ab me [efquirettiatriâgùlo à b empalait:d èb e11 «magma eh lité (qu [merda eritficgr pbrtîo a b cad triangulüa b gîta .partie e bail çgigngutü d eb’. pemmtatfm (leur perdu adpo’m’onemgffa m’a;galas ad;xîangulü,ôç ira que? dimiëia»edrü-’:*ÛCuc partie a b c azd’pqrdonë cl ab,

ira triâgulus-a fb ad triâgulu’ndlg bÏ. quafe’lî’deIErïbamus parallelbgrâma", gade: .plat erianïgulorlû’éeq niaügulà, pioprere’aïqùod d g ôta ffuntçquedt’llantes fq un": .

V 88 prap’oxtl’onemihabebunt,tômpdfitamex pÏôportione late’rüla f d’g , 83C fb 51a

lb g..eadem aütspropdrqb me ülèr’tmi 86-bb’rt-ibnü, Pottx’o fgiturv habet ad par,

fionempiroportioiaem compo ni,ex problëlrtièflea fade! g,ôl ex fla, adb g.Prol . .. ’ortÏQ autem fb ad’bg dl: eadem ai quàe dl Quadrau’ ex a fad.cïuadrapqn;ex dg. v

gtopmn’o jgltur portions ad p’brtiônem,*cqinpdüiturvex proportl’pnequadragï , -’ ex a f adqçiadratüm ex d ’ ,etex a fad dgïproportio quoqg subîtex afiad calmai

ex d-gfcompzohitulf lexie! dë,ÂLttÏ-’dlîfenfutfi aux exp’ôlîtl’bnibuslde Spliæra ô! cy

lindonfi ergô fient 15’ reniai! portionemgiza cubas exà fad cubüex d’gLEtIquko’ :niangfqlidum quod’lb un làïâbetqùàdlaturfiexa f, ealtx’tudlnetp uetQ lineam c6). A ’ La

pofi’tam ex duplaïpfiugdgflz ipfa afli abefeatn proportipîjnemead eubum ex a» l lequam dupla ipfius dgcujm’ lpfa a fhabet adfà ,,1 Nàmîn eifd’mî bâfibgsria habem inulcem belùtila.ltitùdî*ne.s.Ellé autem fiente] g adÀa-fi-ita x n ad m nô:ficu: dupla. iplîm b g ad aï; ita’dup’la 1’ pfiùs n xad nm; ôc.çôponenti,ficut dupla

n x cum n mita dupla g cum a f ad a f. Qllël’um cil autem,ficut cubas ex a f ad ’cab am ex d g,ita cabus a ad eubùîh exn x.8ün 11 fi ne, (un: quartier préportionales, 85 llcut ptiiââ ad quartam,eiçallfoledum ex prit-nazie! lalldiÎ fibilîmiæ

v le exafecunda 86 fimillter figuratum. Sicùt’aùtem cubas ex d gad folldü quodba.fim habeat quadratum exil g,aln’tud1’në uero reâam, compofi’tam ex dupla a f,86 ipfa d gâta d g ad compofitam, exdupla ipfi’ us a f ôüplà’ d g.Rurfus enim ha»

* bentur inulcem fi’cut eorum aldtuflinesSx’cut autem d g ad duplam fp Gus a fieriipfad g : in t n, ad compolîtam ex dupla ipfiùs o n cüipfa t n.ePc enim [latta f add g,itam nadn x, &Co n ad n La: econuerfo ficutdgad af,1’ta t n ad n oxFaëïÊ i.gitur fun: quatuor magnitudx’nes commenter inuicem pefitæzprima quidem f0lidum uod habet baû’m,quadratum ex a fialn’tudx’nem uero reâam compofiteïex dupla d g 5(1’plâ a f, 86 feeunda cubas ex a f,rem’a cubas ex d g: tharta folidüquod habet balîm quadratum cl g, altitudinem aéré reâam com pofitam ex du.Îplaa fôc ex ipfa d g.8C alise quædam reflet: in eadem proportionebinæ 86 bina:fumptæ,1’pfa coïnpofita ex dupla n x,ôC fimpla m n,8( fecunda m n z 8E renia un86 quarta compollta ex dupla o n 56 ex n t. igltur pet æquam fiez (leur folîdum bafîm habens quadratum ex a flôl alcitudinem reâam compofitam ex dupla d greclipla a f,ad folidum bafi’m habenè quadratum ex d 37:8! altitudinem compofi’tamreâam ex dupla arlïôifimpla d gzita ipfa compofitaex duplam x,cum m n,ad c5,polîtam ex dupla n o cum fimpla n t . Ver’um fient folida prædida inuicem -, in;ofienfum efi elfe h 1’ ad i k.Sicut ergo h iad i k,ita compofira ex dupla x mai fimnpla m n, ad duplam n 0,191 lîmplum n tôt com ponehn’ , ficut h k ad k i, ira com,.Pofita ex macla fimul m n,nr,1’ôc dupla utriufq; fimul x n ,n o, COmpofiÎtaàm elx

’ l 1 2 ’ up a

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a ne A5 âgagpnnsndxn 13 ne;’ dupla ipfiasfinofil fimpla mi Sieur autem fg,adf le, ("enim duas eiuquuîni.

mâteucralque enim haeum gb , fie, dl dùæwquvîmaei Hua g f, noniam me-dia quint: punîtueiplâ h k: 11a compofita’ex quina!) a umiufq; 1mn! m n, n t,&decupla utriufque lîmulxnfm a, ad duplam utriufg lîmul m n,n t, «quadraplam utriufq; fimulx,n,n o.dlxo enim ex m’a digramme): decem (1112;.un -eæexifiunt. Quoniâigltuk ofienfum elÏ, en: g adilm’îa quina; laiplîus’m n, J

I n t, l8! demplaipfiusx nm d,adduplam iplîus n o à; fimplam ne, urfus clien-,v film efifiuodficut f gad fk,1’ra quincùpla utriufcpm tu) gaz deeupla x d, ne ad,duplâip la; m n,n t, a: quadntplam iplîus x n,n o: erit fieu; antecedës ad chio f:’ uentia,l’ta anteçedeïns ad duo fequemiaficnt fg ad fi,ita compofita ex dùpla lp

k ms o n,8( fimpla n e,e: dupla utriufcp llmulm nm t,8( quadrupla ipfius xn,n a:du e11 çqualis colnpolîtçexdu’pla muet quadrupla xn,et lèxqula iplîush o,

a tripla iplîus n t. fiçenim fumpmm eft rupeflus;Quoniam igiwr quatuor ferâçfimt côdnug proportionales hem n,n x,o n,n t: 5C dl ficum rad e m,ita qua:dam fum (a , hoc elfe i ad fh,hoce&ad des quintas ipfius g filao: efi lpfiusm o,;8t alleu æ fane in rationali proportionalltate proportionales, erit perpraedia(Sûr fduæ quintæ iplîus m n , hoc efi 1’ plias f b . igl’tur b reli: des qtn’mæ (plias

b Riginxr bf ad: fpropom’onem habet, quam quinq; adduo.quax;e punâum reRcentrum grauitacis portiom’s a b c.Sl’ iam fumpfen’mus centrü grauiçads par»

dorais b d e in punâotqaen’t b q des quintæ’iplîus q g.Faâum el’c itaqa fiait gara

îbad totam b r,ita.ablata b gad ablatam b ,utraque enimearumad unaniquepropordohemhabegquam quint]; adl tria. gitur refiduafg ad pefi’duam rpro .portiongm habebjtbquaglflùingæaélmadeniâ igltut fupponr’mrflcut ufilî

. a 4,; ç;d.çpnfo "31.:me m rad muât (leur m r,ad tu,ira’t’res quintçipfiuslfgl, .hoeelt ipfalïîh uel q rad ri. erit ergo fieu; frufium ad portionem,lta qr. -

ad r La mame aflïçiunturfi r cil: centrum tonus poulenis,igiçuripfum id "cil «uerum frul’n’;

a vrocng un; LÔNITAE c OMMEJNTARUin Écundum æquelibrantlum Anchime. L

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V SÉRIES CHARTARVM. ,14:13 lJlsfnüz xÀMWfov’w . ITITa.bcdefghi,klmnopq

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