notas de aula - a19 algebras de clifford e...

Sumario

1 Formas Bilineares 31.1 Funcionais Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Espacos Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Espacos Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt . . . . . . . 131.5 Normas em espacos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1 Definindo normas em matrizes . . . . . . . . . . . . . 231.6 Correlacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Dualidade e Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7.1 Aplicacoes Duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8 Aplicacoes Ortogonais, simetricas e antissimetricas . . . . . . 32

Bibliografia 39

1

Capıtulo 1Formas Bilineares

1.1 Funcionais Bilineares

Os axiomas de espaco vetorial nao incorporam a geometria dos vetores noespaco euclidiano pois nao ha como se definir comprimento e angulo entrevetores sem introduzir o conceito de metrica no seu espaco. Consideramosnesta Secao funcoes que generalizam o produto interno.

ñ Definicao 1: Um funcional bilinear (ou forma bilinear) em um K-espacovetorial V e uma funcao B : V × V → K que e linear em cada argumento 3

Por bilinearidade entendemos a linearidade em cada um dos argumentos daaplicacao, ou seja, dados a ∈ K e u, v, w ∈ V , entao

B(av + u,w) = aB(v, w) +B(u,w)

B(v, au+ w) = aB(v, u) +B(v, w).

Obs.1: Uma forma bilinear B : V ×V → K e simetrica [antissimetrica]se

B(u, v) = B(v, u) [B(u, v) = −B(v, u)]

3

4 1. FORMAS BILINEARES

Um funcional bilinear B e dito ser simetrico [antissimetrico] se B(v, u) =B(u, v) [B(v, u) = B(u, v)]. Um espaco vetorial equipado com um funcionalbilinear antissimetrico (nao-degenerado) e dito um espaco simpletico. Umfuncional bilinear σ : V × V → K e dito alternado quando σ(u, u) = 0,para todo u ∈ V . Um espaco vetorial equipado com um funcional bilinearsimetrico e dito ser um espaco quadratico. E imediato que em um espacosimpletico todos os vetores sao isotropicos.

Obs.2: E comum definirmos formas quadraticas somente para corposK com char(K) 6= 2

De fato, mostre que:

� Exercıcio 1: Toda forma bilinear alternada e tambem antissimetrica.Prove que quando char(K) = 2 toda forma bilinear antissimetrica e tambem

simetrica. �

Obs.3: Adotaremos de agora em diante a notacao B para uma formaa princıpio arbitraria, B para uma forma bilinear simetrica e σ para umaforma bilinear alternada

B Exemplo 1: O produto interno euclidiano em R3 e uma funcao bilinear

em R3. A funcao g(f1, f2) =∫ baf1(x)f2(x)dx e uma funcao bilinear no espaco

C[a, b] das funcoes contınuas definidas no intervalo [a, b]. Ja a funcao

g(X,Y ) =1

nTr(XY )

e uma funcao bilinear no espaco M(n,K) das matrizes n×n sobre o corpo KC

� Exercıcio 2: Dadas duas transformacoes lineares A1, A2 : V → K,mostre que a funcao B : V ×V → K definida por B(u, v) = A1(u)A2(v), para

todo u, v ∈ V e bilinear �

A fora mais geral de uma forma bilinear definida em um espaco de ndimensoes pode ser encontrada ao se tomar uma forma bilinearB : Kn×Kn →K. Tome uma base arbitraria {ei}ni=1 ⊂ Kn e escreva

B(ei, ej) = Bij , (i, j = 1, 2, . . . , n) .

Dados quaisquer dois vetores

u =

n∑j=1

aiei, v =

n∑p=1

bpep ,

1.1. FUNCIONAIS BILINEARES 5

segue-se que

B(u, v) = B

n∑j=1

aiei,

n∑p=1

apep

=

n∑j=1

n∑p=1

aibpB(ei, ep)

=

n∑j=1

n∑p=1

aibpBip

O nucleo de uma funcao bilinear B e o subespaco

ker B = {v ∈ V |B(u, v) = 0, ∀u ∈ V }.

Dizemos que B e nao-degenerada se ker B = {0}. Pode-se mostrar que ofuncional bilinear B e nao-degenerado se e somente se para cada vetor v 6= 0existir um vetor u 6= 0 tal que B(v, u) 6= 0.

Formas bilineares alternadas nao-degeneradas sao denominadas formas simpleticas.Desta forma, uma forma simpletica que mune um espaco vetorial V e umaforma bilinear para o qual

σ(u, v) = −σ(v, u), ∀u, v ∈ V

e tal que ker σ = {0}.

� Exercıcio 3: Defina σA : V × V → K como

ωA(u, v) = 〈u,Av〉, ∀u, v ∈ V

e A ∈M(n,R) tal que Aᵀ = −A.

a) Prove que tal ωA e antissimetrica.b) Prove que ωA e simpletica se e somente se A for inversıvel.

c) Prove que o item b) implica que n deve ser par �

Uma forma bilinear B : V ×V → K e dita ser positiva definida se B(v, v) >0 sempre que v 6= 0.

O espaco vetorial equipado com um funcional bilinear simetrico nao-degeneradoe positiva-definida g : V × V → K e dito ser um espaco com produto esca-lar. A quantidade simetrica g(v, u) e muitas vezes chamada produto escalarentre os vetores v e u se alem das propriedades acima citadas, g satisfizerg(v, v) ≥ 0, para todo 0 6= v ∈ V . Se g(v, u) = 0 dizemos que o vetor v eortogonal a u, com respeito a B. Num caso arbitrario um vetor nao-nulo vpode ser ortogonal a si proprio, ou seja, B(v, v) = 0. Tais vetores sao ditosisotropicos.

Um funcional bilinear simetrico e completamente determinado pela formaquadraticaQ(v) = g(v, v) atraves do processo de polarizacao. De fato, usando


a propriedade de bilinearidade para calcularmos Q(v + u) = g(v + u, v + u),podemos escrever

g(v, u) =1

2(Q(v + u)−Q(v)−Q(u)).

Formalmente, dizemos que um espaco quadratico e um par (V,Q) onde Ve um K-espaco vetorial de dimensao finita e Q : V → K e a aplicacao quesatisfaz as seguintes propriedades:a) Q(av) = a2Q(v), ∀a ∈ K, v ∈ Vb) O mapa g(v, u) = 1

2 (Q(v + u)−Q(v)−Q(u)) e bilinear.

B Exemplo 2: Em R2, C((x, y), (x′, y′)) = xx′−yy′ e simetrica. Tambem aforma bilinear definida como B((x, y), (x′, y′)) = xy′+yx′ e simetrica. ComoB((x, y), (x, y)) = 2xy, entao B(ei, ei) = 0 para i = 1, 2, onde {e1, e2} e abase canonica de R2 C

Como uma forma bilinear e a generalizacao do produto interno, dadosvetores u, v ∈ V , a condicao B(v, w) = 0 poderia ser considerada como sendouma generalizcao do conceito de perpendicularidade.

B Exemplo 3: Em V = R2, considere B((x, y), (x′, y′)) = xx′+xy′−x′y−yy′. Temos (1, 0) ⊥ (1,−1), porem (1,−1) nao e perpendicular a (1, 0): arelacao de perpendicularidade para B nao e simetrica C

Ja que pode acontecer o caso onde u ⊥ v mas v nao e perpendicular au, dizemos que a propriedade de que u ⊥ v e v ⊥ u nos diz que u e v saoortogonais em ambas as direcoes. As formas bilineares mais importantes saoaquelas em que ⊥ e uma relacao simetrica: u ⊥ v ↔ v ⊥ u. Saber quais saoas formas bilineares em que isso acontece e de fundamental importancia:

I Teorema 1: A relacao de perpendicularidade em um espaco bilinear(V,B) e simetrica se e somente se B for simetrica ou alternada J

Demonstracao: Se B for simetrica ou alternada, dados v, w ∈ V , entaoB(v, w) = ±B(w, v), e portanto B(v, w) = 0 se e somente se B(w, v) se anula.Para provarmos a direcao recıproca, assuma que ⊥ e uma relacao simetrica.Tome quaisquer vetores u, v, w ∈ V . Primeiramente iremos achar todas asconbinacoes lineares av + bw tais que (av + bw) ⊥ u, o que e equivalente a

aB(v, u) + bB(w, u) = 0 (1.1)

pois B e linear em particular na sua primeira componente. Podemos porexemplo obter a relacao (1.1) usando a = B(w, u) e b = B(v, u). Definaagora z = B(w, u)v−B(v, u)w, e daı B(z, u) = 0 e segue-se que B(u, z) = 0

1.1. FUNCIONAIS BILINEARES 7

pela simetria da relacao ⊥. Calculando agora B(u, z) pela linearidade de Bem sua segunda entrada e igualando a zero, obtemos

B(w, u)B(u, v) = B(v, u)B(u,w). (1.2)

Mostraremos que uma forma bilinear B que satisfaca (1.2) e simetrica oualternada. De fato, usando w = u em (1.2):

B(u, u)B(u, v) = B(v, u)B(u, u). (1.3)

Note que B(u, u) aparece em ambos os lados de (1.3). Assim, para todou, v ∈ V

B(u, v) 6= B(v, u)⇒ B(u, u) = 0 (e similarmente B(v, v) = 0). (1.4)

Agora suponha que a relacao ⊥ seja simetrica e que B nao seja uma formabilinear simetrica. Mostraremos que B e alternada. Por hipotese existemu1, u2 ∈ V tais que

B(u1, u2) 6= B(u2, u1). (1.5)

A partir daı demonstraremos que B(w,w) = 0 para todo w ∈ V . Usando(1.4) e (1.5) segue-se que

B(u1, u1) = 0 = B(u2, u2). (1.6)

Tome agora qualquer w ∈ V . Se B(u1, w) 6= B(w, u1) ou se B(u2, w) 6=B(w, u2), entao (1.4) mostra que B(w,w) = 0. Portanto para provar a relacaoB(w,w) = 0, supomos que

B(u1, w) = B(w, u1), B(u2, w) = B(w, u2). (1.7)

Agora faca u = u1 e v = u2 em (1.2), e as condicoes (1.7) implicam que

B(w, u1)B(u1, u2) = B(u2, u1)B(u1, w) (1.8)

e por (1.7) que

B(u1, w)(B(u1, u2)−B(u2, u1)) = 0. (1.9)

Isso imediatamente implica por (1.5) e (1.7) que

B(u1, w) = B(w, u1) = 0. (1.10)

De maneira analoga, substituindo u = u2 e v = u1 em (1.2) implica nova-mente por (1.5) e (1.7) que

B(u2, w) = B(w, u2) = 0. (1.11)

Por (1.10), B(u1, u2 +w) = B(u1, u2) e B(u2 +w, u1) = B(u2, u1). Estes saodistintos por (1.5), e portanto a relacao (1.4) com u = u2+w e v = u1 implicaque B(u2 + w, u2 + w) = 0. Finalmente, por (1.6) e (1.10), B(w,w) = 0.o


I Proposicao 1: Se g e nao-degenerada e simetrica, e se nao existemvetores isotropicos entao

dimU⊥ = dimV − dimU e (U⊥)⊥ = U

J

Demonstracao: Fixe uma base {e1, . . . , ek} de U . Entao

U⊥ = {v ∈ V | g(ei, v) = 0, i = 1, 2, . . . , k}

Agora,k∑i=1

λig(ei, v) = g

(k∑i=1

λiei, v

)e portanto tal combinacao linear e nula se e somente se λi = 0, pois g enao-degenerada. Portanto, dim U⊥ = n − k, onde n = dim V . Assim, dim(U⊥)⊥ = n − (n − k) = k = dim U . Como g(u, v) = 0, se v ∈ U e u ∈ U⊥,entao v ∈ (U⊥)⊥, e portanto (U⊥)⊥ = U o

Comparado com o produto escalar usual em Rn, o conceito de perpendi-cularidade para outras formas bilineares pode possuir novas caracterısticas.Possivelmente a mais anti-intuitiva delas e que podemos ter v ⊥ v, com0 6= v ∈ V , isto e, o fato de que v ⊥ v nao forca v ter que ser nulo. Isso eimpossıvel para o produto escalar usual em Rn.

B Exemplo 4: No Exemplo (3)), em R2 munido com uma forma bilinearsimetrica temos que (1, 1) ⊥ (1, 1), e o subespaco vetorial U , gerado pelo vetorde componentes (1, 1), tem a propriedade U⊥ = U , e portanto U +U⊥ 6= R2

C

Duas construcoes de novos espacos vetoriais munidos de funcionais biline-ares podem ser obtidas a partir de outros espacos vetoriais. Uma delas e aconstrucao de subespacos vetoriais: se (V,B) e um espaco vetorial munidode uma forma bilinear e U ⊆ V e um subespaco de V , entao B restringe auma forma bilinear em U , entao temos um subespaco denotado (U,B|U ) ousimplesmente (U,B). (Estritamente falando, devemos escrever B|U×U , umavez que B e uma funcao de duas variaveis, mas o mais conciso B|U nao devegerar confusao.) E obvio que se B e simetrica, alternada ou antissimetricaem V que a propriedade e herdada por qualquer subespaco.

A soma direta de espacos vetoriais — sobre o mesmo corpo K — munidosde formas bilineares (V1, B1) e (V2, B2), entao V1 ⊕ V2 e um espaco vetorialmunido de uma forma bilinear B1 ⊕B2 definida por

(B1 ⊕B2)((v1, v2), (v′1, v′2)) := B1(v1, v

′1) +B2(v2, v

′2) .

Se B1 e B2 sao ambos simetricos, alternada, ou ambos antissimetrica, entaoB1 ⊕B2 herda essa propriedade.

1.2. ESPACOS EUCLIDIANOS 9

ñ Definicao 2: O espaco (V1⊕V2, B1⊕B2) construıdo acima e denominadoa soma direta ortogonal V1 e V2 e denotado por V1 ⊥ V2 3

B Exemplo 5: Tomando o corpo K visto como um espaco vetorial unidi-mensional sobre si mesmo, a multiplicacao K×K→ K e uma forma bilinearsimetrica se char(K) 6= 2. O espaco vetorial K ⊥ K e K2 munido do produtoescalar usual, e a soma direta ortogonal K⊥n = K ⊥ · · · ⊥ K e Rn munido doproduto escalar usual C

O espaco V1 pode ser imerso na soma direta ortogonal V1 ⊥ V2 de umamaneira natural: v1 7→ (v1, 0), e similarmente podemos tambem imergir V2em V1 ⊥ V2 por v2 7→ (0, v2). Se V1 e V2 sao subespacos do espaco V , dizemosque eles sao ortogonais e escrevemos V1 ⊥ V2, se v1 ⊥ v2 para todo v1 ∈ V1 ev2 ∈ V2.

1.2 Espacos Euclidianos

Um espaco Euclidiano (V, g) e um R-espaco vetorial munido de uma aplicacaog : V × V → R, ou produto interno (tambem denotada por 〈 · , · 〉.

Lembrando que um produto interno em um R-espaco vetorial satisfaz:

a) 〈u, v〉 = 〈v, u〉, para todo u, v ∈ V (comutatividade)b) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉, para todo u, v, w ∈ V .(distributividade)c) 〈αu,w〉 = 〈u,w〉〈u,w〉, para todo α ∈ K e u, v ∈ Vd) 〈u, u〉 > 0 para todo u 6= 0 e 〈u, u〉 = 0 se u = 0.

Os axiomas implicam que 〈 · , · 〉 e uma forma bilinear simetrica positivadefinida.

B Exemplo 6: Dada uma base {ei} ⊂ Rn e dois vetores u =∑ni=1 xiei e v =∑n

j=1 yjej , o espaco Rn pode ser munido do produto interno g(u, v) = x1y1 +· · ·xnyn, onde u = (x1, . . . , xn)ᵀ, v = (y1, . . . , yn)ᵀ. Essa expressao generalizaa expressao familiar do produto escalar de vetores em tres dimensoes comrespeito a um sistema ortogonal C

� Exercıcio 4: Mostre que

a) g(f1, f2) =∫ baf1(x)f2(x)dx definida em C[a, b]; e

b) g(X,Y ) = 1n Tr(XY ) e definida no espaco M(n,K) das matrizes n × n

sobre o corpo Ksao produtos internos �

O comprimento (ou norma) do vetor v ∈ V e dado por ‖v‖ :=√

g(v, v).Em particular, em R2 tal expressao e o teorema de Pitagoras. No espaco


Rn podemos expressar um vetor u = (a1, a2, . . . , an)ᵀ em uma certa base. Anorma desse vetor e dada por

‖u‖ =√a21 + a22 + a23 .

O angulo θ entre dois vetores u, v ∈ V e definido pela expressao

cos θ =〈u, v〉‖u‖ ‖v‖

. (1.12)

Essa expressao e menor ou igual a 1. Podemos provar isso atraves do axiomad) acima, do produto escalar,

0 = 〈αu+ v, αu+ v〉= α2〈u, u〉 − 2α〈u, v〉+ 〈v, v〉 . (1.13)

Considerando-se o lado direito acima como um trinomio quadratico na variavelα, a desigualdade prescrita vale se o discriminante 〈u, v〉2 − 〈u, u〉〈v, v〉 fornegativo, ou seja,

〈u, v〉2 − 〈u, u〉〈v, v〉 .

Tomando-se a raiz quadrada, obtemos

〈u, v〉 ≤ ‖u‖ ‖v‖ (1.14)

denominada desigualdade de Cauchy-Schwarz.Dizemos que dois espacos Euclidianos V e W sao isomorfos se existe uma

bijecao φ : V → W que e um isomorfismo de espacos vetoriais e satisfaz acondicao g(φ(u), φ(v)) = g(u, v), ∀u, v ∈ V .

� Exercıcio 5: Mostre que dois espacos vetoriais Euclidianos de mesmadimensao (finita) sao isomorfos �

1.3 Espacos Hermitianos

Passando para o corpo dos complexos, nao existem funcoes quadraticas po-sitivas definidas em um C-espaco vetorial, o que pode ser contornado atravesda introducao das formas sesquilineares. Uma funcao ψ : V × V → C esesquilinear se e linear no segundo argumento e anti-linear no primeiro:

ψ(av1 + v2, u) = aψ(v1, u) + ψ(v2, u)

ψ(u, av1 + v2) = aψ(u, v1) + ψ(u, v2)

1.3. ESPACOS HERMITIANOS 11

B Exemplo 7: Considerando {ei} uma base de V , enquanto que uma formabilinear B : V × V → K e determinada pelos escalares bij = B(ei, ej) ∈ Kpor B(u, v) =

∑i,j bijuivj , onde v =

∑i viei, u =

∑uiei ∈ V , uma forma

sesquilinear ψ : V ×V → C e determinada pelos escalares ψij = ψ(ei, ej) ∈ Cpor

ψ(u, v) =∑i,j

ψij uivj

C

Uma forma sesquilinear ψ e hermitiana [anti-hermitiana] se para todosu, v ∈ V , tem-se ψ(u, v) = ψ(v, u) [ψ(u, v) = −ψ(v, u)], onde a denota aconjugacao complexa de a ∈ K.

� Exercıcio 6: Exiba um operador que mapeia formas hermitianas emformas anti-hermitianas �

� Exercıcio 7: Mostre que uma forma quadratica hermitiana Q(v) =

ψ(v, v) e sempre real �

A desigualdade de Cauchy-Schwarz e de vital importancia no formalismodas formas sesquilineares, e sera demonstrada a seguir:

I Teorema 2: Se ψ e uma forma sesquilinear positiva, entao e tambemhermitiana, ou seja ψ(u, v) = ψ(v, u), para todos os vetores u e v em V .Alem disso, temos a desigualdade de Cauchy-Schwarz:

|ψ(u, v)|2 ≤ ψ(u, u)ψ(v, v). (1.15)

J

Demonstracao: Dado α ∈ C e quaisquer vetores u, v ∈ V , pela hipotesede positividade, temos

ψ(u+ αv, u+ αv) ≥ 0 ,

o que implica que

|α|2 ψ(v, v) + αψ(u, v) + α ψ(v, u) + ψ(u, u) ≥ 0. (1.16)

Escrevendo α = x+ iy, segue-se que

ψ(u+αv, u+αv) = (x2+y2)ψ(v, v)+(x+iy)ψ(u, v)+(x−iy)ψ(v, u)+ψ(u, u) ≥ 0.

Vamos decompor ψ(u, v) e ψ(v, u) nas suas partes reais e imaginarias, escre-vendo

ψ(u, v) = a+ ib , ψ(v, u) = c+ id, a, b, c, d ∈ R. (1.17)


Isso implica que

ψ(u+ αv, u+ αv) = (x2 + y2)ψ(v, v) + (xa− yb) + i(xb+ ya)

+(xc+ yd) + i(xd− yc) + ψ(u, u) ≥ 0. (1.18)

Como ψ(u + αv, u + αv) tem de ser real e nao-negativa, e como ψ(v, v) ≥ 0e tambem ψ(u, u) ≥ 0, devemos ter

(xb+ ya) + (xd− yc) = x(b+ d) + y(a− c) = 0 ∀x, y ∈ R, (1.19)

o que implica que b = −d e a = c. Comparando com (1.18), isso diz que

ψ(u, v) = ψ(v, u).

Alem disso, as expressoes b = −d e a = c fazem com que a (1.18) seja escritacomo

ψ(u+ αv, u+ αv) = (x2 + y2)ψ(v, v) + 2(xa− yb) + ψ(u, u). (1.20)

Vamos agora considerar dois casos: um onde ψ(v, v) = 0 e outro ondeψ(v, v) = 0.

No primeiro caso, ψ(u+αv, u+αv) = 2(xa−yb)+ψ(u, u). Como ψ(u, u) ≥ 0pela positividade, a condicao ψ(u + αv, u + αv) ≥ 0 e possıvel para todosx, y ∈ R se e somente se a = b = 0, ou seja, se e somente se ψ(u, v) = 0para todo u ∈ V . Aqui a desigualdade de Cauchy-Schwarz e trivialmentesatisfeita, pois ambos os lados sao iguais a zero.

No caso onde ψ(v, v) 6= 0, podemos reescrever o lado direito de (1.20) como

ψ(u+ αv, u+ αv) = ψ(v, v)

[(x+

a

ψ(v, v)

)2

+

(y − b

ψ(v, v)

)2]

+ψ(u, u)−(a2 + b2

ψ(v, v)

), (1.21)

e portanto ψ(u+ αv, u+ αv) ≥ 0 se e somente se

ψ(u, u)−(a2 + b2

ψ(v, v)

)≥ 0 ,

ou seja, se e somente se

ψ(u, u)ψ(v, v) ≥ a2 + b2 .

Portanto

|ψ(u, v)|2 ≤ ψ(u, u)ψ(v, v) , (1.22)

que e a desigualdade de Cauchy-Schwarz o

1.4. PROCESSO DE ORTONORMALIZACAO DE GRAM-SCHMIDT 13

Obs.4: Essa demonstracao poderia ser consideravelmente reduzida se

escolhermos α = 〈u,v〉〈v,v〉 em (1.16). Imediatamente isso implica que

0 ≤ 〈u, u〉 − |〈u, b〉|2

〈v, v〉.

o que demonstra a desigualdade.

Alem da desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos tambem a chamada desi-gualdade de Minkowski, que diz que se ψ e uma forma sesquilinear positiva,entao, para todos os vetores u, v ∈ V vale√

ψ(u− v, u− v) ≤√ψ(u, u) +

√ψ(v, v) . (1.23)

De fato,

ψ(u− v, u− v) = ψ(u, u)− ψ(u, v)− ψ(v, u) + ψ(v, v)

= ψ(u, u)− 2<(ψ(u, v)) + ψ(v, v)

≤ ψ(u, u) + 2|ψ(u, v)|+ ψ(v, v)

≤ ψ(u, u) + 2√ψ(u, u)

√ψ(v, v) + ψ(v, v)

=(√

ψ(u, u) +√ψ(v, v)

)2. (1.24)

� Exercıcio 8: No espaco C([0, 1]) das funcoes contınuas definidas no in-

tervalo [0, 1], defina f(t) = t e g(t) = et. Compute 〈f1, f2〉 =∫ 1

0f1(t)f2(t) dt,

‖f‖, ‖g‖ e ‖f + g‖. Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz �

1.4 Processo de Ortonormalizacao deGram-Schmidt

O proximo teorema e seus corolarios ilustram o porque de bases e conjuntosortonormais sao tao importantes.

I Teorema 3: Seja V um espaco vetorial sobre K = R ou C, munido deum produto interno e S = {v1, v2, . . . , vk} um conjunto ortogomal de vetoresnao-nulos em V . Se u ∈ 〈S〉, entao

u =

k∑i=1

〈u, vi〉〈vi, vi〉

vi (1.25)

J


Demonstracao: Se u ∈ 〈S〉, entao u =∑ki=1 aivi, onde ai ∈ K. Entao

para 1 ≤ j ≤ k, temos

〈u, vj〉 =

⟨k∑i=1

aivi, vj

⟩=

k∑i=1

ai〈vi, vj〉 = aj〈vj , vj〉

Segue-se que aj =〈u,vj〉〈vj ,vj〉 o

Todos os corolarios a seguir seguem deste teorema.

� Corolario 1: Se alem das hipoteses do teorema anterior consideramosque S e um conjunto ortonormal, entao

u =

k∑i=1

〈u, vi〉 vj

Demonstracao: Imediato, pois como S e ortonormal, segue-se que〈vi, vi〉 = 1, para 1 ≤ i ≤ k, em (1.25) o

� Exercıcio 9: Para qualquer n ∈ N, considere o espaco das funcoescontınuas que assumem valores complexos definidas no intervalo [0, 2π], mu-nido do produto escalar

〈f1, f2〉 =1

2π

∫ 2π

0

f(t)g(t)dt .

Mostre que o conjunto das funcoes fn(t) = eint, onde t ∈ [0, 2π] e um conjunto

ortonormal �Se V possui uma base ortonormal finita, entao o corolarioacima nos permite calcular os coeficientes de uma combinacao linear de umamaneira simples:

� Corolario 2: Seja V um espaco equipado com um produto interno eS ⊂ V um conjunto de vetores ortogonais nao-nulos. Entao S e linearmenteindependente

Demonstracao: Suponha que v1, . . . , vk ∈ S e que∑ki=1 aivi = 0. Da

prova do teorema anterior com u = 0, concluımos que aj =〈0,vj〉〈vj ,vj〉 , para todo

j tal que 1 ≤ j ≤ k. Portanto S e linearmente independente o

B Exemplo 8: Pelos corolarios acima, o conjunto ortonormal{1√2

(1, 1, 0)ᵀ,1√3

(1,−1, 1)ᵀ,1√6

(−1, 1, 2)ᵀ

}


e uma base ortonormal de R3. Considere o vetor u = (2, 1, 3)ᵀ. Os coeficientesque fazem com que u possa ser expresso como uma combinacao linear dosvetores da base sao

a1 =3√2, a2 =

4√3, a3 =

5√6

e portanto

(2, 1, 3)ᵀ =3

2(1, 1, 0)ᵀ +

4

3(1,−1, 1)ᵀ +

5

6(−1, 1, 2)ᵀ .

C

O proximo teorema nos mostra como construir um conjunto ortogonal apartir de um conjunto de vetores, de tal maneira que ambos os conjuntosgeram o mesmo subespaco vetorial. Antes porem de enunciar o teorema,consideremos uma caso particular. Suponha que {u1, u2} seja um conjuntoLI de em um espaco munido com produto interno. Queremos construir umconjunto ortogonal a partir de {u1, u2}, que gere o subespaco gerado por{u1, u2}. Considere entao o conjunto {v1, v2}, onde v1 = u1 e v2 = u2 − au1,onde a e tomado de tal modo que v2 e ortogonal a 〈u1〉. Podemos calcular ada seguinte maneira:

0 = 〈v2, u1〉 = 〈u2 − au1, u1〉 = 〈u2, u1〉 − a〈u1, u1〉 ,

e portanto

a =〈u2, u1〉〈u1, u1〉

e

v2 = u2 −〈u2, u1〉〈u1, u1〉

u1 .

O teorema a seguir mostra que tal procedimento pode ser estendido paraqualquer conjunto finito de vetores LI.

I Teorema 4: Processo de Gram-Schmidt Seja V um espaco vetorialmunido com produto interno e S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V um subconjunto LI.Defina T = {v1, v2, . . . , vn}, onde v1 = u1 e

vk = uk −k−1∑j=1

〈uk, vj〉〈vj , vj〉

vj , 2 ≤ k ≤ n (1.26)

Entao T e um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos tal que 〈S〉 = 〈T 〉 J


Demonstracao: Por inducao, para k = 1, 2, . . . , n, seja Sk = {u1, . . . , uk}.Se n = 1, entao o teorema e provado quando se toma T1 = S1, ou seja, quandov1 = u1 6= 0. Assuma agora que o conjunto Tk−1 = {v1, v2, . . . , vk−1} tenhasido construıdo pelo uso subsequente de (1.26). Entao, mostraremos que oconjunto Tk−1 = {v1, v2, . . . , vk−1} possui as propriedades requeridas, ondevk e obtido de Tk−1 a partir de (1.26). Se vk = 0, entao (1.26) implica queuk ∈ 〈Tk−1〉 = 〈Sk−1〉, contradizendo o fato de que Sk e LI. Para 1 ≤ j ≤k − 1, segue-se de (1.26) que

〈vk, vi〉 = 〈uk, vi〉 −k−1∑j=1

〈uk, vj〉〈vj , vj〉

〈vj , vi〉

= 〈uk, vi〉 −〈uk, vi〉〈vi, vi〉

〈vi, vi〉

= 0 ,

ja que 〈vj , vi〉 = 0 se i 6= j, pela hipotese de inducao de que Tk−1 e ortogonal.Portanto Tk e um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos. Agora, por (1.26)temos que 〈Tk〉 ⊆ 〈Sk〉. Como Tk e um conjunto LI, entao dim 〈Tk〉 =dim 〈Sk〉 = k. Daı Tk = Sk o

B Exemplo 9: Dado o conjunto S = {(1, 0, 1)ᵀ, (0, 1, 1)ᵀ, (1, 3, 3)ᵀ} ⊂R3 e u = (1, 1, 2)ᵀ, o processo de Gram-Schmidt nos fornece os vetores1√2(1, 0, 1)ᵀ, 1√

6(1, 2, 1), 1√

3(−1,−1, 1). As coordenadas do vetor (1, 1, 2)ᵀ

nesta base sao 3√2, 3√

6, 0 C

� Exercıcio 10: Dado o conjunto S = {(1, 1, 1)ᵀ, (0, 1, 1)ᵀ, (0, 0, 1)ᵀ} ⊂R3 e o vetor u = (1, 0, 1)ᵀ, use o processo de Gram-Schmidt para encontraruma base ortonormal para S e calcule as coordenadas do vetor (1, 0, 1)ᵀ em

tal base �

� Exercıcio 11: Seja U = 〈(i, 0, 1)ᵀ〉 ⊂ C3. Encontre uma base ortonor-

mal para U e para U⊥ �

� Exercıcio 12: Em cada um dos itens abaixo, aplique o processo deGram-Schmidt para um dado conjunto de vetores S para encontrar uma baseortonormal para 〈S〉 e encontre os coeficientes de um dado vetor v ∈ V emrelacao a esta base:(a) V = R3 munido do produto escalar em (1.28), S = {1, x, x2}, v = 1− x.(b) V = 〈S〉, S = {(1, i,−1)ᵀ, (2− i, 3, 0)ᵀ} e v = (i, 1, 1).V = R5 equipado com o produto escalar canonico, S = {(1, 2, 3,−2)ᵀ, (0, 3, 1, 1)ᵀ,(0, 1, 1,−4)ᵀ}, v = (−1, 2,−1, 1)ᵀ .


(c) V = M(2,R), S =

{(1 22 −1

),

(−1 01 1

),

(1 11 0

)}e v =

(1 −10 −1

)�

Suponha agora que apliquemos o processo de Gram-Schmidt ao sistema defuncoes

x0(t) = 1, x1(t) = t, . . . , xk(t) = tk, . . . (1.27)

no espaco euclidiano das funcoes definidas no intervalo [−1, 1], munido doproduto escalar

〈f1, f2〉 =

∫ 1

−1f(t)g(t) dt. (1.28)

Entao o subespaco Uk = 〈1, t, . . . , tk〉 e o conjunto dos polinomios na variavelt de grau menor ou igual a k. O conjunto Uk e claramente LI. Para ver isso,tome a combinacao linear

c11 + c2t+ . . .+ cktk = 0

derive-a sucessivamente em relacao a t e mostre que ci = 0.

As funcoes y0(t), y1(t), . . . , yk(t), sao obtidas atraves de x0(t), x1(t), . . . , xk(t)pelo processo de Gram-Schmidt.


y0(t) = 1, y1(t) = t, y2(t) = t2 − 1

3, y3(t) = t3 − 3

5t, . . . (1.29)

�

Tais polinomios foram introduzidos por Legendre em 1785, e sua formulageral foi mostrada por Rodrigues em 1814, que mostrou que o polinomio yk(t)e dado por

pk(t) =dk

dtk[(t2 − 1)k], (n = 0, 1, . . . , ) (1.30)

Mostraremos que essa expressao diz que para j ∈ N arbitrario, o espaco〈pj(t)〉 e ortogonal ao espaco Uj−1, com respeito ao produto escalar (1.28).De fato, as derivadas de ordem 0, 1, . . . , n − 1 do polinomio (t2 − 1)n =(t − 1)n(t + 1)n se anulam para t = ±1. Entao, para k < n, calculando-seo produto escalar 〈tk, pn(t)〉 temos (denotando-se fn) a n-esima derivada de


n):

〈tk, pn(t)〉 =

∫ +1

−1tk[(t2 − 1)n](n) dt

= tk[(t2 − 1)n](n−1)|1−1 − k∫ 1

−1tk−1[(t2 − 1)n](n−1) dt ,(1.31)

onde o primeiro termo a direita se anula. Continuando o processo ate que oexpoente de t seja zero, obtemos:

〈tk, pn(t)〉 = −ktk−1[(t2 − 1)n](n−2)|1−1 + k(k + 1)

∫ 1

−1tk−2[(t2 − 1)n](n−2) dt ,

· · · = · · · · · ·= ±k! [(t2 − 1)n](n−k−1)|1−1 = 0

Segue-se que 〈pn(t)〉 ⊥ Uk−1.Calculemos agora pn(1). Como

pn(t) = [(t+ 1)n(t− 1)n](n)

= (t+ 1)n[(t− 1)n](n) + Cn1 [(t+ 1)n]′[(t− 1)n](n−1) + · · ·= (t+ 1)n n! + Cn1 n(t+ 1)n−1n(n− 1) · · · 2(t− 1) + · · ·

onde Cnk = n!k!(n−k)! . A escolha t = 1 faz com que todos os termos, a partir

do segundo termo do lado direito da equacao acima, se anulem, e portanto

pn(1) = 2nn!

Os chamados polinomios de Legendre sao os polinomios pn(t):

Pn(t) =1

2nn!

dn

dtn[(t2 − 1)n] . (1.32)

O objetivo do que segue agora e definir a projecao ortogonal de um vetorsobre um subespaco dado.

ñ Definicao 3: O complemento ortogonal U⊥ de um subespaco vetorialU ⊆ V (com respeito a uma forma bilinear B) e o conjunto de vetores em Vque sao ortogonais a qualquer vetor em U :

U⊥ = {u ∈ V |B(u, v) = 0, ∀v ∈ U}

3

No que se segue nos restringiremos ao caso onde B e um produto escalar.


� Exercıcio 14: Mostre que {0ᵀ}⊥ = V e V ⊥ = {0ᵀ} �

I Teorema 5: Seja U ⊆ V um espaco vetorial munido de um produtoescalar de dimensao finita, e um vetor v ∈ V . Entao existem unicos vetoresu ∈ U e w ∈ U⊥ tais que v = u+w. Alem disso, se {v1, . . . , vk} e uma baseortonormal de V , entao

u =

n∑i=1

〈u, vi〉 vi . (1.33)

J

Demonstracao: Considere u ∈ U como em (1.33) e seja w = v − u. Afim de se mostrar que w ∈ U⊥ e suficiente mostrar que w e ortogonal a cadavj . Para qualquer j = 1, . . . , k, temos⟨(

v −k∑i=1

〈u, vi〉 vi

), vj

⟩= 〈v, vj〉 −

k∑i=1

〈v, vi〉〈vi, vj〉

= 〈v, vj〉 − 〈v, vj〉 = 0 .

Para se mostrar a unicidade de u e w, suponha que v = u + w = u′ + w′,onde u′ ∈ U e w′ ∈ U⊥. Entao u = u′ = w − w′ ∈ U ∩ U⊥ = {0}. Portantou = u′ e w = w′ o

Obs.5: O vetor u =∑ni=1〈u, vi〉 vi e denominado projecao ortogonal de

v sobre U

B Exemplo 10: Tome V = P3(R) = 〈1, x, x2, x3〉 equipado com o produtoescalar (1.28). Calculemos a projecao ortogonal de f(x) = x3 em P2(R) =

〈1, x, x2〉. O conjunto {u1, u2, u3} ={

1√2,√

32 t,√

58 (3t2 − 1)

}formada pelos

polinomios de Legendre normalizados e uma base ortonormal para P2(R).Para esses vetores temos:

〈f(x), u1〉 =

∫ 1

−1t3

1√2dt = 0, 〈f(x), u2〉 =

∫ 1

−1= t3

√3

2tdt =

√6

5

e

〈f(x), u3〉 =

∫ 1

−1t3√

5

8(3t2 − 1)dt = 0 ,

seguindo-se entao que a projecao requerida e dada por

〈f(x), u1〉u1 + 〈f(x), u2〉u2 + 〈f(x), u3〉u3 =3

5x

[?].C


� Exercıcio 15: Para cada um dos seguintes itens, encontre a projecaoortogonal do vetor u ∈ V dado no subespaco W ⊂ V dado, e encontre adistancia de u a W :(a) V = R2, u = (3, 5)ᵀ e W = {(x, y)ᵀ | : y = 4x}.(b) V = R3, u = (−1, 1, 2)ᵀ, e W = {(x, y, z)ᵀ |x+ 3y − 2z = 0}.(c) V = P (R) com o produto escalar 〈f1, f2〉 =

∫ 1

0f(t)g(t) dt. Dado u(x) =

1 + 3x− 2x2, W e o espaco gerado por {1, x} �

1.5 Normas em espacos vetoriais

Nesta Secao temos o intuito de apresentarmos normas para o caso par-ticular de matrizes. Para tanto, consideramos V um espaco vetorial sobreR. Uma norma em V e uma aplicacao ‖ · ‖ : V → R satisfazendo trespropriedades:

1) ‖ v‖ ≥ 0, onde a igualdade e valida se e somente se v = 02) ‖ v + w‖ ≤ ‖ v‖ + ‖w‖ , para v, w ∈ V3) ‖ av‖ = | a | ‖ v‖ para a ∈ R, v ∈ V

A mesma condicao se aplica para um espaco vetorial complexo. De umanorma obtemos uma metrica sobre V fazendo d(v, w) = ‖ v − w‖ .

A norma padrao sobre Rn e dada por∥∥∥∥∥n∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥ =

√√√√ n∑i=1

a2i

e da mesma obtemos a metrica euclidiana sobre o Rn. Uma outra normasobre Rn e a norma do supremo∥∥∥∥∥

n∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥∞

= maxi| ai |

e desta ultima, temos a metrica do supremo no Rn: d(∑aiei,

∑biei) = max |

ai − bi |. Em Cn a norma padrao e dada igualmente por∥∥∥∥∥n∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥ =

√√√√ n∑i=1

| ai |2

e a norma do supremo e definida como no Rn. Um modo usual de se definiruma norma em um espaco vetorial real V e atraves de um produto interno,

1.5. NORMAS EM ESPACOS VETORIAIS 21

ou seja, uma aplicacao 〈 · , · 〉 : Rn × Rn → R bilinear, simetrica e positivadefinida. O produto interno padrao no Rn e dado por:(

n∑i=1

aiei,

n∑i=1

biei

)=

n∑i=1

aibi

Para um produto interno 〈 · , · 〉 em V , uma norma pode ser definidapor ‖ v‖ =

√〈v, v〉. As propriedades de norma sao uma consequencia da

desigualdade de Cauchy-Schwarz

| 〈v, w〉 |≤√〈v, v〉〈w,w〉 = ‖ v‖ ‖w‖ , (1.34)

cuja demonstracao pode ser encontrada na maioria dos livros de algebra li-near. Em particular, usando o produto interno padrao no Rn, obtemos aforma classica dessa desigualdade, como demonstrado por Cauchy:

|n∑i=1

aibi |≤

√√√√ n∑i=1

a2i∑i=1

b2i

Contudo, a desigualdade de Cauchy-Schwarz e valida em particular paraqualquer forma bilinear simetrica definida sobre um espaco vetorial real, enao apenas para o produto interno padrao no Rn. A norma no Rn quevem do produto interno padrao e a norma padrao. Por outro lado, a normado supremo Rn nao advem de um produto interno, isto e, nao ha nenhumproduto interno cuja norma associada e a norma do supremo.

Talvez a principal consequencia da desigualdade de Minkowski (1.23) adesigualdade triangular. Supondo que 〈 · , · 〉 seja um produto escalar quemune um espaco vetorial, definimos uma metrica ou distancia entre doisvetores a e b por

d(u, v) = ‖u− v‖ =√〈u− v, u− v〉 .

Como 〈 · , · 〉 e um produto escalar, segue-se que d(u, v) = 0 se e somente seu = v. Tambem d(u, v) = d(v, u). Alem disso, segue da desigualdade deMinkowski que, para quaisquer vetores u, v, w ∈ V ??

d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v) . (1.35)

?Para ver isso, note que

d(u, v) =√〈u− v, u− v〉

=√〈(u− w)− (v − w), (u− w)− (v − w)〉

=√〈u− w, u− w〉+

√〈v − w, v − w〉

= d(u,w) + d(w.v)


� Exercıcio 16: Mostre a identidade do paralelogramo:

‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2 (1.36)

�

Obs.6: Note que a desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser alterna-tivamente escrita como

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖Embora a norma do supremo e o produto interno padrao no Rn nao sejam

iguais, cada uma e limitada por uma constante multiplo da outra:

maxi| ai |≤

√√√√ n∑i=1

a2i ≤√nmax

i| ai |

Isto e, ‖ v‖∞ ≤ ‖ v‖ ≤√n‖ v‖∞. Portanto, as metricas associadas a estas

duas normas implicam na mesma nocao de convergencia: uma sequencia noRn que e convergente com respeito a uma das metricas e tambem convergentecom respeito a outra metrica.

Ja vimos no inıcio deste Capıtulo a definicao de aplicacao adjunta. Aquio objetivo e agora relacionar tais definicoes especificamente ao espaco dasmatrizes que agem sobre vetores no Rn. Dada uma matriz A ∈ End(Rn) comentradas (aij), ja mostramos que AT possui componentes (aji). Sabemostambem que a matriz Aᵀ e associada a aplicacao adjunta A∗ ∈ End((Rn)∗)associada a aplicacao A ∈ End(Rn), ou seja, para quaisquer v, w ∈ Rn

〈Av,w〉 = 〈v,ATw〉

Vamos brevemente indicar qual e o analogo destas ideias para os espacosvetoriais complexos. Ja vimos que um produto escalar num espaco vetorialcomplexo V e uma forma bilinear 〈 · , · 〉 : V × V → C que satisfaz asseguintes propriedades:1) linear na primeira entrada e anti-linear na segunda entrada;2) antissimetrica: 〈v, w〉 = 〈w, v〉3) positiva definida: 〈v, v〉 ≥ 0, com a igualdade valida se e somente sev = 0.

O produto interno padrao em Cn e dado por 〈∑ni=1 aiei,

∑nj=1 bjej〉 =∑n

i=1 aibi, onde aqui ai, bj ∈ C. Um produto interno num espaco vetorialcomplexo tambem satisfaz a desigualdade de Cauchy-Schwarz, portanto podeser usado para definir uma norma tal como no caso de espacos vetoriais reais.

O produto interno acima em Cn esta intimamente relacionado a tomar atransposicao seguida da conjugacao complexa de matrizes complexas. ParaA = (aij) ∈Mn(C), seja A† = (aji) a sua transposta conjugada. Entao paratodo v, w ∈ Cn, 〈A†v, w〉 = 〈v,Aw〉.


� Exercıcio 17: Dado V =M(n,C), mostre que a funcao f : V ×V → Cdefinida por f(A,B) = 1

n Tr (A†B), ∀A,B ∈ M(n,C) e um produto interno

complexo. �

� Exercıcio 18: Mostre que se f1, f2 sao funcoes contınuas definidas nointervalo [0, 2π], entao

1

2π

∫ 2π

0

f1(x)f2(x) dx

e um produto interno �

� Exercıcio 19: Dado o produto interno

〈A,B〉 =1

2Tr (A†B), ∀A,B ∈M(2,C) ,

calcule ‖A‖, ‖B‖ e 〈A,B〉 para

A =

(1 2 + i3 i

)B =

(1 + i 0i −i

).

�

� Exercıcio 20: Em C2, mostre que 〈u, v〉 = u†Av e um produto interno,

onde A =

(1 i−i 2

). Calcule 〈u, v〉 para

u =

(1− i2 + 3i

), v =

(2 + i

3− 2i

)�

Apesar de focarmos em normas sobre espacos vetoriais de dimensao finita,a extensao para espacos vetoriais de dimensao infinita e muito importante.De agora em diante, a norma de um produto interno em Rn e Cn sao asusuais.

1.5.1 Definindo normas em matrizes

A fim de se definir a norma de uma matriz, A ideia mais simples e identi-ficar M(n,R) com Rn2

— enquanto espacos vetoriais — e usar a norma dosupremo:

‖ (aij)‖ = maxi,j| aij |


Mas percebe-se que esta nao e a melhor norma para se usar com matrizes,

bem como a norma padrao ‖ (aij)‖ =√∑

a2ij . Contudo, antes de indicarmos

qual e uma “boa” norma para o espaco das matrizes, usemos a ideia danorma do supremo para provar que matrizes definem aplicacoes contınuasA ∈ End(Rn). Dado um vetor v ∈ Rn,

‖Av‖ ≤√n‖Av‖∞

=√nmax

i|n∑j=1

aijvj |

≤√nmax

i

n∑j=1

| Aij || vj |

≤ n√nmax

i,j| aij | .‖ v‖∞

≤ n√nmax

i,j| aij | .‖ v‖

Seja C = n√nmax | aij |, uma constante dependendo da dimensao n do

espaco e da matriz A, mas nao do vetor v. Por linearidade, ‖Av − Aw‖ ≤C‖ v − w‖ para todos v, w ∈ Rn. Portanto se v → w entao Av → Aw,implicando que A ∈ End(Rn) e uma aplicacao contınua. A fim de definiruma norma em M(n,R) primeiro escolhemos uma norma em Rn e entaosubsequentemente escolhemos uma norma emM(n,R) baseada nesta escolha.Para manter o enfoque de forma concreta, usaremos a norma padrao do Rn.Apresentemos a seguir o calculo acima na forma de um lema.

I Lema 1: Para A ∈ M(n,R), existe uma constante C ≥ 0 tal que‖Av‖ ≤ C‖ v‖ para todo v ∈ Rn J

Demonstracao: E claro que a constante C que escrevemos aciam nao e apriori otima, existindo possivelmente uma constante menor C

′< C tal que

‖Av‖ ≤ ‖ v‖ , para todo v ∈ Rn. Ou seja, a partir da norma padrao ‖ .‖em Rn obtemos uma norma emM(n,R) associando a A ∈M(n,R) o menorC ≥ 0 tal que ‖Av‖ ≤ C‖ v‖ para todo v ∈ Rn. o

I Teorema 6: Para toda A ∈M(n,R), existe um unico numero real b talque:(i) ‖Av‖ ≤ b‖ v‖(ii) ‖Av‖ ≤ C‖ v‖ para todo v ∈ Rn, entao b ≤ C. J

Demonstracao: Reescalonando vetores nao nulos, a desigualdade ‖Av‖ ≤C‖ v‖ e verdadeira para todo v ∈ Rn se e somente se a desigualdade ‖Av‖ ≤C e verdadeira para v ∈ Rn com ‖ v‖ = 1. Entao, este teorema afirma que


o conjunto {‖Av‖ : ‖ v‖ = 1} atinge um ponto de maximo. E o que pro-varemos. Seja b a menor cota superior deste conjunto, entao certamente‖Av‖ ≤ b para todo v com ‖ v‖ = 1. Devemos mostrar que b = ‖Ax‖para algum x ∈ Rn com ‖x‖ = 1. Escolhemos uma sequencia vn tal que‖ vn‖ = 1 e ‖Avn‖ → b. Como a bola unitaria no Rn e compacta, {vn}possui um ponto limite, digamos x. Entao pela continuidade de A, Ax e umponto limite da sequencia {Avn}. Como ‖Avn‖ → b, segue que ‖Ax‖ = b o

ñ Definicao 4: Para A ∈ M(n,R), ‖A‖ e o menor numero real sa-tisfazendo a desigualdade ‖Av‖ ≤ ‖A‖ ‖ v‖ . Esta e a chamada normaoperatorial de A. 3

O proximo teorema mostra que a norma operatorial e um norma emM(n,R)e possui varias outras propriedades interessantes.

I Teorema 7: Para A,B ∈M(n,R) e v, w ∈ Rn:i) ‖A‖ ≥ 0, onde a igualdade e valida se e somente se A = 0.ii) ‖A+B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖ .iii) ‖ aA‖ =| a | ‖A‖ , para a ∈ R.iv) ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ . Em geral ‖AB‖ 6= ‖A‖ ‖B‖ .v) ‖ A‖ = ‖Aᵀ‖vi) ‖AAᵀ‖ = ‖AᵀA‖ = ‖A‖ 2. Portanto ‖A‖ =

√‖AAᵀ‖ =

√‖AᵀA‖

vii) | 〈Av,w〉 |≤ ‖A‖ ‖ v‖ ‖w‖ .viii) ‖A‖∞ ≤ n

√n‖A‖∞, e M(n,R) e completo com a respectiva norma

operatorial. J

Demonstracao: i) Se ‖A‖ = 0, entao para todo v ∈ Rn temos que‖Av‖ ≤ ‖A‖ ‖ v‖ ≤ 0‖ v‖ = 0 (essas desigualdades seguem imediatamenteda Definicao e o Teorema anteriores). Nesse caso Av = 0 e A = 0. A recıprocae trivial.ii) Dado v ∈ Rn:

‖ (A+B)v‖ ≤ ‖Av +Bv‖≤ ‖Av‖ + ‖Bv‖≤ ‖A‖ ‖ v‖ + ‖B‖ ‖ v‖= (‖A‖ + ‖B‖ )‖ v‖ .

Portanto ‖A+B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖ .iii) Dado a ∈ R,

‖ aA(v)‖ ≤ | a | ‖Av‖ ≤ | a | ‖A‖ ‖ v‖

Isso implica que ‖ aA‖ ≤ | a | ‖A‖ . Deixamos o restante deste item para oleitor demonstrar.


iv) Para v ∈ Rn, ‖A(Bv)‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ ‖ v‖ . Portanto, da propriedadefundamental da norma operatorial, temos que ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ . Paramostrar que em geral ‖AB‖ 6= ‖A‖ ‖B‖ , note que se ‖AB‖ = | A‖ ‖B‖para todas A,B, entao para A,B 6= 0 deverıamos ter ‖AB‖ 6= 0, portantoAB 6= 0. Ou seja, o produto de quaisquer duas matrizes nao-nulas serianao-mulo. Isto e falso quando n > 1, pois ha muitas matrizes nao-nulas cujoquadrado e nulo.v) ‖Av‖ 2 = | 〈Av,Av〉 |= | 〈v,AᵀAv〉 |≤ ‖ v‖ ‖AᵀAv‖ pela desigualdadede Cauchy-Schwarz. Esta ultima expressao e menor ou igual a ‖AᵀA‖ ‖ v‖ 2,entao

‖Av‖ ≤ (‖AᵀA‖ )1/2 ‖ v‖

Segue-se que ‖A‖ ≤√‖AᵀA‖ e

‖A‖ 2 ≤ ‖AᵀA‖ ‖A‖ .

Dividindo por ‖A‖ quando A 6= 0, obtemos ‖A‖ ≤ ‖Aᵀ‖ . Isto tambemobviamente vale para A = 0. Agora, trocando A por Aᵀ, obtemos:

‖Aᵀ‖ ≤ ‖ (Aᵀ)ᵀ‖ = ‖A‖ .

Portanto ‖A‖ = ‖Aᵀ‖ .vi) Do item v):

‖A‖ 2 ≤ ‖AᵀA‖ ≤ ‖Aᵀ‖ ‖A‖ = ‖A‖ 2.

Portanto ‖A‖ 2 = ‖AᵀA‖ . Usando Aᵀ no lugar de A obtemos uma outradesigualdade, pois ‖Aᵀ‖ = ‖A‖ .vii) Decorre da desigualdade de Cauchy-Schwarz.

viii) Seja v = ej e w = ei na parte vii):

| aij | ≤ ‖A‖

Portanto ‖A‖∞ ≤ ‖A‖ . A outra desigualdade segue do calculo que precedeao 1.5.1. A completeza de M(n,R) com respeito a norma operatorial segueda completeza da norma do supremo e do fato que estas duas normas saoequivalentes. o

Portanto temos uma norma em M(n,R) que esta ligada de forma interes-sante com o produto interno padrao em Rn (parte vii do teorema 1.5.1).Contudo, ao contrario da norma padrao em Rn, nao e possıvel em geral cal-cular a norma operatorial emM(n,R), exceto para alguns casos simples. Por

1.6. CORRELACAO 27

exemplo, e claro que ‖ I‖ = 1, entao ‖ aI‖ = | a | para todo numero real a.Mas qual e o valor de

n(1 23 4

)n?

Da ultima parte do teorema 1.5.1, esta norma e limitada superiormente por8√

2. Na proxima secao nos apresentamos uma formula explıcita para anorma operatorial em M(n,R) a qual nos permitira calcular facilmente anorma desta matriz.

� Exercıcio 21: Defina a norma operatorial emM(n,C) e estabeleca umanalogo do teorema 1.5.1. E verdadeiro que dada uma matriz em M(n,C),a sua norma e a da transposta sao iguais ? Para uma matriz A ∈ M(n,R),mostre que sua norma operatorial como um elemento de M(n,R) e igual a

norma operatorial como um elemento de M(n,C). �

1.6 Correlacao

Uma correlacao e uma aplicacao linear τ : V → V ∗. Uma correlacao definenaturalmente um funcional bilinear g : V × V → K atraves de

g(v, u) = τ(v)(u)

Se ker τ = {0} a correlacao e dita nao-degenerada. Dizemos tambem queV e o funcional bilinear associado a τ sao nao-degenerados. Como dim V =dim V ∗, se ker τ = {0} entao τ e um isomorfismo, ou seja, uma correlacaonao-degenerada estabelece um isomorfismo entre um espaco vetorial e o seudual.

Em um espaco simpletico temos que σ(v, u) = −σ(u, v) e portanto a cor-relacao τ nesse caso satisfaz a relacao τ(v)(u) = −τ(u)(v).

Ao longo deste texto iremos considerar apenas espacos quadraticos e fare-mos uso consideravel das correlacoes simetricas τ : V → V ∗ e τ−1 : V ∗ → V .Nesse caso iremos usar uma outra notacao para essas correlacoes:

[ : V → V ∗, ] : V ∗ → V

de modo que [ = ]−1 e ] = [−1. Estes isomorfismos serao chamados isomor-fismos musicais [7]. Escreveremos geralmente

v[ = [(v), α] = ](α)

Por definicao temos portanto

v[(u) = g(v, u), g(α], v) = α(v)


Para v =∑i viei e u =

∑i u

iei podemos escrever g(v, u) =∑ij gijv

iuj ,

onde gij = g(ei, ej) = gji. Como v[(u) = v[iui, onde v[i sao as componentes

do covetor v[ na base {ei}, ou seja, v[ = v[iei, segue que v[i =

∑j gijv

j .

Equivalentemente temos ei[ = gijej . Nesse sentido,

∑k gikg

kj = δji .

1.7 Dualidade e Adjunta

No Cap.(1) associamos a um K-espaco vetorial V o seu espaco dual V ∗ =Hom(V,K), onde mostramos que dim V = dim V ∗ (se a dimensao de V forfinita) e construımos o isomorfismo canonico τ : V → V ∗∗. Incluiremos agoranesse conceito aplicacoes lineares, subespacos e espacos quocientes.

Dados a ∈ K, α ∈ V ∗ e v ∈ V , ao inves de denotarmos α(v), usaremos osımbolo 〈α, v〉, a partir do mapa 〈 , 〉: V ∗ × V → K, o qual podemos provarque e linear em cada um dos seus argumentos:

〈aα1 + α2, v〉 = a〈α1, v〉+ 〈α2, v〉〈α, v1 + av2〉 = 〈α, v1〉+ a〈α, v2〉 (1.37)

Vimos que, com essa notacao,

〈ei, ej〉 = δij =

{1, i = j,0, i 6= j.

onde os covetores {ei} formam uma base para V ∗, enquanto que {ei} e base deV . O mapa τ : V → V ∗∗ pode ser definido pela condicao 〈τv, α〉 = 〈α, v〉, e jaque V e V ∗∗ sao canonicamente isomorfos, entao a formula 〈τ(v), α〉 = 〈α, v〉e reescrita como 〈v, α〉 = 〈α, v〉, ja que nesse sentido V pode ser consideradocom o espaco dual a V ∗. As bases {ei} e {ej} formam um par dual e essarelacao e simetrica.

Obs.7: Denotaremos α ∈ V ∗ por v[ = τ(v) ∈ V ∗, o que implicitamenteimplica que estamos fazendo uso de uma metrica em V , ou seja, essa identi-ficacao necessita que V precisa ser munido de um produto interno, e portantoo mapa 〈 , 〉 : V ∗×V → K corresponde ao produto interno 〈 , 〉 : V ×V → Kinduzido por uma metrica em V

1.7.1 Aplicacoes Duais

Seja φ : W → V uma aplicacao linear entre K-espacos vetoriais W e V .Mostraremos que existe um unico mapa linear φ∗ : V ∗ →W ∗ — denominadoadjunta — que satisfaz

〈φ∗(v[), u〉 = 〈v[, φ(u)〉 ∀v[ ∈ V ∗, u ∈W

1.7. DUALIDADE E ADJUNTA 29

De agora em diante esta implıcito que o espaco vetorial e munido de umametrica, e denotaremos a relacao acima por 〈φ∗(v), u〉 = 〈v, φ(u)〉. Talaplicacao e unica. Com efeito, suponha que ha dois mapas φ∗1 e φ∗2. Entao〈φ∗1(v), u〉 = 〈φ∗2(v), u〉,∀u, v ∈ V. Segue-se que 〈(φ∗1−φ∗2)(v), u〉 = 0. Fixando-se v e variando-se u, temos que o funcional linear (φ∗1−φ∗2)(v) ∈W ∗ se anulaem todos os vetores de V , e portanto, φ∗1−φ∗2 = 0, o que implica que φ∗1 = φ∗2.

Existencia de φ∗. Fixamos v e consideramos 〈v, φ(u)〉 uma funcao em W . Alinearidade de φ e a bilinearidade de 〈 , 〉 implica que 〈v, φ(u)〉 e linear, eportanto pertence a W ∗. Denotamos 〈v, φ(u)〉 = φ∗(v). Da linearidade de〈v, φ(u)〉 segue-se que

φ∗(v1 + v2) = φ∗(v1) + φ∗(v2), φ∗(av) = aφ∗(v)

sendo φ∗ portanto linear.Considere agora bases ortonormais {e1, . . . , en} ⊂ W e {f1, . . . , fm} ⊂ V

e suas respectivas bases duais de W ∗ e V ∗. Considere A a matriz correspon-dente de φ nessas bases. Entao a matriz de φ∗ e Aᵀ. Com efeito,

Aej =

m∑l=1

Aljfl, A∗fi =

n∑k=1

Bkiek

Como ambas as bases sao ortonormais, temos para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n:

Bji =

n∑k=1

Bkiek(ej) =

⟨n∑k=1

Bkiek, ej

⟩

= 〈A∗fi, ej〉 = 〈fi, Aej〉 =

⟨fi,

m∑l=1

Aljfl

⟩

=

m∑l=1

Alj〈fi, fl〉 =

m∑l=1

Aljfj(fi) =

m∑l=1

Aljδji

= Aij (1.38)

I Teorema 8: Sejam φ, φ1, φ2 ∈ Hom(W,V ) e h ∈ Hom(V,Z), ondeV,W,Z sao K-espacos vetoriais, e a ∈ K. Entaoa) (φ1 + φ2)∗ = φ∗1 + φ∗2b) (aφ)∗ = aφ∗

c) (hφ)∗ = φ∗h∗

d) I∗ = Ie) 0∗ = 0f) φ∗∗ = φ J

� Exercıcio 22: Prove o Teorema anterior �


� Exercıcio 23: Prove que se dim V < ∞, entao toda base de V ∗ e adual de alguma base de V �

I Teorema 9: Seja (V, g) um K-espaco vetorial munido de uma metrica,dim V = n. Para todo subespaco vetorial U ⊆ V e possıvel cindir V = U⊕U⊥J

Demonstracao: Tome {e1, . . . , en} uma base ortonormal de V , onde{e1, . . . , ek} (k ≤ n) — quando U e subespaco proprio de V temos que k <n — e base ortonormal de U . Estendendo-se a base {e1, . . . , ek} de U abase de V {e1, . . . , en} (pelo processo de Gram-Schmidt), temos que a base{ek+1, . . . , en} de U⊥ e ortonormal e cada vetor dessa base e ortogonal a U ,o que implica que V = U ⊕ U⊥, pois U ∩ U⊥ = {0} o

ñ Definicao 5: Dizemos que um subespaco U ⊂ V e nao-degenerado comrespeito a uma funcao bilinear B se B|U for nao-degenerada 3

Obs.8: Provamos que o Teorema vale quando V e munido de umametrica, ou seja, uma forma bilinear simetrica nao-degenerada. A proprie-dade de ser nao-degenerada e crucial, uma vez que U ∩ U⊥ = ker α|U . SeU ∩ U⊥ = {0}, entao ker B|U = {0}, e portanto a cisao V = U ⊕ U⊥ so epossıvel se o espaco quadratico (V,B) for nao-degenerado

� Exercıcio 24: Este exercıcio mostrara uma forte relacao entre SU(2) eSO(3). Mostraremos que existe um homomorfismo de grupos φ que mapeiaSU(2) em SO(3). Considere o espaco vetorial V de todas as matrizes com-plexas 2× 2 auto-adjuntas de traco zero. Esse espaco corresponde ao espacovetorial real 3-dimensional com a seguinte base

v1 =

(0 11 0

), v2 =

(0 i−i 0

), v3 =

(1 00 −1

).

Defina o produto interno em V pela expressao 〈A,B〉 = 12Tr(AB).

1. Mostre que e de fato um produto interno.

2. Mostre que {v1, v2, v3} e uma base ortonormal de V .

3. Estabeleca um isomorfismo entre V e R3.

�

� Exercıcio 25: Com relacao ao exercıcio anterior, se U e um elementode SU(2) e v ∈ V , mostre que UvU−1 ∈ V . Portanto para cada U ∈ SU(2),podemos definir φU ∈ End(V ) por φU (v) = UvU−1. (Esse mapa chama-serepresentacao adjunta). Dados v, w ∈ V , prove que φU e uma aplicacaoortogonal de V ∼= R3, e portanto φU e um elemento de O(3).

1.7. DUALIDADE E ADJUNTA 31

Com isso o mapa U 7→ φU e um mapa de SU(2) em O(3). Mostre que talmapa e um homomorfismo de grupos (Basta provar que φU1U2

= φU1φU2

)contınuo. Se todo elemento de O(3) possui determinante ±1, ja que SU(2)e conexo e o mapa U 7→ φU e contınuo, φU deve ser um mapa em SO(3).Segue-se que U 7→ φU e um homomorfismo de grupos (de Lie) de SU(2) emSO(3). Dizemos ainda que SO(3) ' SU(2)/Z2. Mostre que o mapa U 7→ φUnao e injetivo �

� Exercıcio 26: Prove que φ ∈ Hom(V,W ), onde V,W sao K-espacosvetoriais de dimensao finita munidos de uma metrica, entao ker φ∗ = Im(φ)⊥,ker φ = Im(φ∗)⊥, Im (φ) = ker (φ∗)⊥ e Im (φ∗) = ker (φ)⊥. (Dica: use que

φ∗∗ = φ e W⊥⊥ = W ) �

Dizemos que φ ∈ End(V ) e auto-adjunto se

〈φ(v), u〉 = 〈v, φ(u)〉 ∀u, v ∈ V

� Exercıcio 27: Mostre que se φ, ψ ∈ Aut(V ) sao auto-adjuntos, entao φψe auto-adjunto se, e somente se, φψ = ψφ. Mostre tambem que se assumirmossomente que φ, ψ ∈ End(V ) tal afirmacao e incorreta. �

I Teorema 10: Se um subespaco U ⊂ V e invariante por φ ∈ End(V ),entao U⊥ e invariante por φ∗ ∈ End(V ∗) J

Demonstracao: Dados u ∈ U e v ∈ U⊥, entao φ(u) ∈ U , por hipotese.Entao, 〈u, φ∗(v)〉 = 〈φ(u), v〉 = 0, portanto φ∗(v) ∈ U⊥ e portanto U⊥ einvariante por φ∗ o

No caso de formas bilineares antissimetricas σ : V ×V → K, denominamosuma base {e1, . . . , en} ⊂ V simpletica (com respeito a σ) se

σ(e2k−1, e2k) = σ(e2k, e2k−1) = 1, k = 1, . . . ,m

σ(ei, ej) = 0, para todos os outros casos. (1.39)

Em outras palavras, nesta base a matriz de σ e dada por

(0 1−1 0

)(

0 1−1 0

)0

. . . (0 1−1 0

)0 0

. . .

0


onde o numeros de blocos

(0 1−1 0

)na diagonal e m.

I Teorema 11: Para toda forma quadratica antissimetrica em V (dimV = n) existe uma base simpletica J

Demonstracao: Inducao em n. Para n = 1 nao ha nada a se mostrar.Seja n > 1. Se σ ≡ 0 tambem nao ha nada a se mostrar. Se σ 6= 0,existem vetores e1, e2 tais que σ(e1, e2) 6= 0, que podem ser normalizadosde modo que σ(e1, e2) = 1 = −σ(e2, e1). A matriz de σ|〈e1,e2〉 tem a forma(

0 1−1 0

)na base {e1, e2}, e em particular e nao-singular. Pelo Teorema,

e possıvel escrever V = 〈e1, e2〉 ⊕ 〈e1, e2〉⊥. Por inducao, existe uma basesimpletica {e3, e4, . . . , en} em 〈e1, e2〉⊥. Portanto eis a base simpletica de V :{e1, e2, e3, e4, . . . , en} o

Obs.9: Usamos aqui o resultado proveniente do teorema de decom-posicoes ortogonais para formas antissimetricas, que ainda nao foi demons-trado.

1.8 Aplicacoes Ortogonais, simetricas eantissimetricas

Vimos que para cada aplicacao linear φ ∈ End(V ), existe uma funcaobilinear Bφ(u, v) = 〈u, φ(v)〉. A matriz de Bφ(u, v) na base {e1, . . . , en}coincide com a matriz da aplicacao φ nessa base, pois Bφ(ei, ej) = Bijφ =〈ei, φ(ej)〉, que e a i-esima coordenada do vetor φ(ej). Segue-se entao oisomorfismo (canonico) φ 7→ Bφ entre o espaco End(V ) e o espaco das funcoesbilineares em V , decorrendo o

I Teorema 12: Seja V um K-espaco vetorial de dimenao finita munidode uma forma bilinear. Para cada forma bilinear B : V ⊗ V → K existe umaunica aplicacao linear φ ∈ End(V ) tal que

B(u, v) = 〈u, φ(v)〉, ∀u, v,∈ V . (1.40)

A aplicacao φ 7→ Bφ entre o espaco End(V ) e o espaco das funcoes bilinearesem V J

� Exercıcio 28: Dados α, β funcionais lineares, mostre que para todosu, v ∈ V , a funcao

(α⊗± β)(u, v) :=1

2(α(u)β(v)± β(u)α(v)) (1.41)

e bilinear. �

1.8. APLICACOES ORTOGONAIS, SIMETRICAS E ANTISSIMETRICAS 33

Funcionais bilineares simetricos [antissimetricos] correspondem a aplicacoeslineares simetricas [antssimetricas], e duas matrizes associadas satisfazemA∗ = A [A∗ = −A]. Aplicacoes lineares simetricas sao tambem denominadasauto-adjuntas.

� Exercıcio 29: Mostre que as formas bilineares dadas pelas Eqs.(1.41)

sao respectivamente simetricas e antissimetricas �

� Exercıcio 30: Mostre que uma aplicacao que corresponde a projecaoortogonal em um subespaco e simetrica �

Operadores lineares φ ∈ End(V ) tais que φ∗ = φ−1 sao denominados or-togonais. Suas matrizes associadas satisfazem a condicao AAᵀ = I, e taisaplicacoes formam um grupo, denominado grupo ortogonal e denotado porO(n,K) ⊂ M(n,K).

� Exercıcio 31: Mostre que O(n,K) satisfaz as propriedades de grupo

�

O grupo geral linear GL(n,K) consiste nas matrizes n × n quadradas nao-singulares sobre o corpo K, enquanto que o grupo SL(n,K) < GL(n,K) econsiste das matrizes que possuem deteminante igual a 1.

O grupo ortogonal especial consiste nas matrizes ortogonais cujo determi-nante e igual a 1, e portanto SO(n,K) = O(n,K)∩ SL(n,K).

O grupo unitario U(n) por sua vez consiste nas matrizes M(n,C) quesatisfazem a condicao AA† = A†A = I, onde A† indica a matriz complexaconjugada transposta, denominada hermitiana conjugada da matriz A. SeA = [aij ] entao A† = [aij ]

� Exercıcio 32: Mostre que U(n) e um grupo �

Uma aplicacao φ ∈ End(V ) e ortogonal se

〈φ(u), φ(v)〉 = 〈u, v〉 (1.42)

Como 〈φ(u), φ(v)〉 = 〈u, φ∗φ(v)〉, entao φ e ortogonal se φ∗ = φ−1.

I Proposicao 2: Uma aplicacao linear auto-adjunta ou anti-auto-adjuntaou ortogonal possui a propriedade de que se um subespaco U ⊂ V e invariantepor φ ∈ End(V ), entao U⊥ e invariante por φ J

Demonstracao: O Teorema 21 e usado para mostrar imediatamentea propriedade quando φ e auto-adjunta ou anti-auto-adjunta. O caso maisdifıcil e quando φ e ortogonal. Se isso ocorrer, em particular φ|U e ortogonal,e portanto nao singular, e para todo u ∈ U , existe v ∈ U tal que u = φ(v).Considere agora um vetor w ∈ U⊥. Portanto para todo u ∈ U , temos

〈u, φ(w)〉 = 〈φ(v), φ(w)〉 = 〈v, w〉 = 0


e daı φ(w) ∈ U⊥ o

Nos dos Teoremas que se seguem, usaremos na demonstracao o fato de quedada φ ∈ End(V ), os conjuntos U± = {v ∈ V |φ(v) = ±v} sao subespacosinvariantes por φ, e portanto o subespaco U = U+⊕U− e tambem subespacoinvariante por φ, e portanto U⊥ e invariante por φ∗, e possui um subespacode dimensao 1 ou 2.

I Teorema 13: Para todo operador φ ∈ End(V ) tal que φ∗ = −φ, existeuma base ortonormal na qual a matriz associada a φ tem a forma

H(a1)H(a2) 0

. . .

H(ak)0 0

. . .

0

onde H(a) =

(0 −aa 0

)J

Demonstracao: A forma matricial de um operador antissimetrico restritoa um espaco Euclidiano bidimensional em uma base ortonormal e H(a) o

I Teorema 14: Para todo operador φ ∈ End(V ) tal que φ∗ = φ−1, existeuma base ortonormal na qual a matriz associada a φ tem a forma

Π(θ1). . . 0

Π(θk)1

0 1. . .

−1−1

onde Π(θ) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)J

Demonstracao: E suficiente considerarmos aplicacoes em subespacosde dimensao 1 e 2. Em espacos de dimensao 1, aplicacoes ortogonais e amultiplicacao por ±1.


Em subespacos de dimensao 2, toda aplicacao ortogonal φ ou e uma rotacaopor um angulo θ ou uma reflexao atraves de uma linha. Com efeito, dada(a bc d

)∈ O(2), onde a, b, c, d ∈ K e um vetor v ∈ K2 com componentes

(x, y), a condicao de ortogonalidade implica que (ax + by)2 + (cx + dy)2 =x2 +y2, i.e., a2 +c2 = b2 +d2 = 1, ab+cd = 0. A equacao a2 +c2 = 1 implicaque existe um angulo θ tal que a = cos θ e c = sin θ, e portanto b = ± sin θ

e d = ∓ cos θ. Segue-se que φ =


)ou φ =

(cos θ sin θsin θ − cos θ

),

onde a primeira matriz se refere a rotacao atraves de um angulo θ e a segundamatriz se refere a uma reflexao atraves de uma linha que forma um anguloθ/2 em relacao ao eixo-x. Nesse caso existe uma base ortonormal tal que a

matriz de φ tem a forma

(−1 00 1

)o

� Exercıcio 33: Mostre que uma aplicacao φ ∈ End(V ) que e simultane-

amente auto-adjunta e ortogonal e tambem uma involucao �

� Exercıcio 34: Mostre que uma aplicacao φ ∈ Hom(V,W ) ortogonal

preserva norma e distancia �Sobre o corpo dos complexos sempre temosque det φ∗ = det φ.

Se a aplicacao φ possui uma matriz A associada em alguma base orto-normal, entao na mesma base a aplicacao φ∗ tem a matriz Aᵀ = A†. Umaaplicacao e dita ser hermitiana, anti-hermitiana ou unitaria se respectiva-mente φ∗ = φ, φ∗ = −φ ou φ∗ = φ−1.

� Exercıcio 35: Mostre que os autovalores de aplicacoes hermitianas,anti-hermitianas e unitarias sao respectivamente reais, imaginarios puros eescalares de modulo 1 �

� Exercıcio 36: Determine quais das seguintes matrizes sao simetricas,antissimetricas, hermitianas ou anti-hermitianas:

a)

0 1 21 0 32 3 4

, b)

0 i 2i 0 3−2 −3 4i

, c)

0 i 2−i 0 3−2 −3 0

, d)

0 1 2−1 0 3−2 −3 0

�

� Exercıcio 37: Considere 0 6= a ∈ R e seja A =

(0 a−a 0

). Ache um

conjunto ortonormal de autovetores de A. �

� Exercıcio 38: Se φ ∈ End(V ) e unitaria e hermitiana mostre que φ e

uma involucao �


� Exercıcio 39: Quando o produto de duas aplicacoes hermitianas etambem hermitiano? �

Mais geralmente, dada agora uma forma sesquilinear nao-degenerada B :V × V → K, entao a menos de uma constante, B ou e alternada (∀v ∈V B(v, v) = 0) ou e hermitiana (B(v, w) = B(w, v)σ) onde σ ∈ Aut(K)de ordem 2, ou B e simetrica B(v, w) = B(w, v). A definicao B(v, v) =0 e preferıvel a B(v, w) = −B(w, v), pois ja vimos que a segunda possuiproblemas quando char(K) = 2. Em qualquer caso onde char(K) 6= 2 as duaspropriedades sao equivalentes.

Em analogia a teoria de grupos, o grupo de matrizes GL(V ) age em Vcomo multiplicacao a esquerda. Dada B : V × V → K, definimos Isom(B) ={φ ∈ GL(V ) | B(φ(u), φ(v)) = B(u, v), ∀u, v ∈ V } o grupo de isometria deB em GL(V ).

� Exercıcio 40: Mostre que Isom(B) e um subgrupo de GL(V ) �

� Exercıcio 41: Mostre que podemos alternativamente definir Isom(B)

= {φ ∈ GL(V ) | B(φ−1(u), φ−1(v)) = B(u, v), ∀u, v ∈ V } �

Tambem ha somente tres tipos de grupos de isometria, cada um delescorrespondendo as respectivas formas sesquilineares. Sao eles:a) Grupo simpletico Sp(V,B) se B e alternada.b) Grupo unitario U(V,B) se B e hermitiana.c) Grupo ortogonal O(V,B) se B e simetrico.Denominamos o espaco vetorial V munido de B tambem por simpletico,unitario e ortogonal, baseado na classificacao da forma bilinear.

� Exercıcio 42: Dados a, b ∈ R, se J(a+ ib) = a− ib, entao J ∈ Aut(K)

e J e involucao �

Um grupo classico e derivado desses tres grupos acima e do grupo lineargeral GL(V ), e e possıvel expressar as representacoes desses grupos classicosem forma de matrizes.

Ja vimos que dados φ ∈ End(V ) e B : V × V → K, entao existe a corres-pondencia Bφ(u, v) = 〈u, φ(v)〉. No caso mais simples onde B = I, temos queB(u, v) = uᵀv e o produto interno usual, somente sem (talvez) a usual propri-edade de ser positiva definida que somente faz sentido para corpos ordenados,como Q e R.

O grupo de isometria de I e exatamente o grupo das matrizes investıveisA onde AᵀIA = I ⇔ AᵀA = I e e comum denotarmos por O(n) o grupoortogonal sobre R

O(n) = {A ∈ GL(n) |AᵀA = I}


Para grupos simpleticos temos que levar em conta a forma bilinear cor-

respondente a matriz J =

[0 I−I 0

], e a condicao de isometria para uma

forma alternada B(φ(u), φ(v)) = uᵀAᵀ J Av = uᵀJ v = B(u, v), e portantoAᵀJA = J . E comum definirmos

Sp(2m) = {A ∈ GL(2m) |AᵀJA = J}



)∈ SO(2) e

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

∈SO(3) �

� Exercıcio 44: Mostre que se α, β ∈ C e satisfazem |α|2 + |β|2 = 1,entao a matriz

A =

(α −ββ α

)(1.43)

esta em SU(2). Mostre que toda matriz A ∈ SU(2) pode ser expressa na

forma (1.43) para um unico par (α, β) ∈ C2 satisfazendo |α|2 + |β|2 = 1.Dessa maneira SU(2) e uma esfera S3 em C2 = R4 e em particular mostra

que SU(2) e conexo e simplesmente conexo. �

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[21] Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications John Wiley -1978

notas de aula - a19 algebras de clifford e...

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