non-life underwriting risk - altervista
TRANSCRIPT
Non-life underwriting risk
Arcavacata (CS), 18 maggio 18 Agostino Tripodi
1
Agenda
2
Aspetti generali
Il modulo non-life premium&reserve
Il modulo lapse
Il modulo CAT
Undertaking Specific Parameters
Aspetti generali
3
Riferimenti
4
Direttiva 2009/138
Regolamento delegato 2015/35 UE
Regolamento IVASS n.11 del 22 dicembre 2015
The underlying assumptions in the standard formula
for the Solvency Capital Requirement calculation https://eiopa.europa.eu/Publications/Standards/EIOPA-14-
322_Underlying_Assumptions.pdf
Struttura solvency 2
5
Il calcolo del Solvency Capital
Requirement (SCR) segue un
approccio modulare gerarchico.
Quindi viene calcolato lβSCR di ogni
modulo elementare (cfr. figura),
successivamente i singoli SCR sono
aggregati (non sommati!) , mediante
una struttura di aggregazione di tipo
Varianza-Covarianza.
Lβaggregazione consente allβimpresa
di beneficiare degli effetti di
diversificazione.
Composizione BSCR - 2016
6
Life Non-Life Composite
Market risk 77,9% 21,5% 45,0% Counterparty default risk 4,1% 8,8% 6,3% Life underwriting risk 17,9% 0,0% 6,1% Health underwriting risk 0,1% 15,8% 4,0% Non-life underwriting risk 0,0% 53,9% 38,7% Basic Solvency Capital Requirement (not diversified) 100,0% 100,0% 100,0% Diversification 13,8% 23,6% 27,1%
77,9%
4,1%
17,9% 0,1% 0,0%
Life
Mkt
Default
Life
Health
Non-Life
21,5%
8,8% 0,0%
15,8%
53,9%
Non-Life
Mkt
Default
Life
Health
Non-Life
45,0%
6,3% 6,1% 4,0%
38,7%
Composite
Mkt
Default
Life
Health
Non-Life
Nota: Imprese 2016 che calcolano il BSCR con standard formula o USP
Losses vs Liability distribution
7
Losses (S): esborso complessivo dei 12 mesi successivi, incluse le
terminal provision (riserve a fine anno)
Liability (L): perdita subita dallβassicuratore nellβorizzonte temporale di
12 mesi
come sono legate tra di loro S ed L ?
Premium Risk πΏ = π β π
Reserve Risk πΏ = π 1 + πΆ β π 0
sinistri
premi
Riserva sx a
fine anno Pagementi per sx
nellβanno
Riserva sx ad
inizio anno
Osservazione: Γ usuale rappresentare il reserve risk anche come
Claims Development Result (CDR), in tale caso si ha πΆπ·π = βπΏ
8 Media Quantile 99.5%
SCR
Misura di rischio (art. 104 direttiva 2009/138)
Il Solvency Capital Requirement Γ¨ calcolato
utilizzato una misura di rischio di tipo Value
at Risk - VaR .
Nella formula standard, nellβambito dei
moduli non-life premium&reserve (NL-pr) e
health NSLT premium&reserve (HL-pr), si
ipotizza che le perdite seguano una
distribuzione log-normale e si utilizza una
sua approssimazione per la definizione del
VaR.
Distribuzione Losses (one-year)
Osservazione 1: si presuppone che la perdita media
(eventualmente nulla) sia coperta dalle technical provision (riserve
tecniche), mentre la perdita inattesa sia coperta invece dallβSCR.
Osservazione 2: In piena conformitΓ alla richiesta normativa, nei
modelli interni bisogna utilizzare la v.a. Liability, in quanto anche i
premi (dei successivi 12 mesi) sono aleatori e quindi il VaR Γ¨
diverso.
Lβapprossimazione log-normale
9
Sia π la variabile aleatoria che descrive le Losses nellβorizzonte temporale di un anno e si ipotizzi segua una
distribuzione log-normale di parametri π e π2 (ovvero il suo logaritmo si distribuisce come una normale di
parametri π e π2). Si ha quindi:
Valore atteso πΈ π = ππ+π2
2 ;
Quantile ππ = ππ+π§ππ dove π§π Γ¨ il quantile di una normale standard
ππ+π§ππ β ππ+π2
2 = ππ+π2
2ππ+π§ππ
ππ+π2
2
β 1 = πΈ π ππ§ππβπ2
2 β 1 β 3ππΈ(π) VaR
Coincidono per
π = 13,95%
π§π β 2,58
La struttura di aggregazione
10
La struttura di aggregazione sottesa alla standard formula Γ¨ di tipo Var-Cov, ovvero si aggregano gli
SCR di 2 (o piΓΉ) differenti rischi come fossero delle varianze.
2 rischi: ππΆπ = ππΆπ 12 + ππΆπ 2
2 + 2 β π β ππΆπ 1ππΆπ 2
n rischi: ππΆπ = ππΆπ π2 + 2 πππππΆπ πππΆπ π
ππ=π+1
πβ1π=1
ππ=1
π Γ¨ il coefficiente di correlazione lineare tra due rischi, piΓΉ precisamente la correlazione lineare tra le
variabili aleatorie che rappresentano la perdita relativa a due differenti rischi.
Aggregazione: interpretazione geometrica
11
Ricordando il teorema di Carnot (o teorema del coseno):
π2 = π2 + π2 β 2cos (πΌ) β ππ
quindi π = βππ¨π¬ (πΆ)
ππΆπ = ππΆπ 12 + ππΆπ 2
2 β 2 β πππ(πΆ) β ππΆπ 1ππΆπ 2
πΌ ππΆπ 2
ππΆπ 1
ππΆπ
πΌ
ππΆπ 2
ππΆπ 1
ππΆπ
πΌ ππΆπ 2
ππΆπ 1
ππΆπ
Correlazione
positiva
Correlazione
nulla
Correlazione
negativa
Il non-life risk module
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LβSCR relativo al modulo rischio non-life (detto underwriting risk) si compone dei seguenti tre sottomoduli:
1. Non-life Premium&Reserve: relativo alle perdite derivanti dal rischio di tariffazione (Premium) e quindi
derivanti dal rischio che il costo dei sinistri, dei successivi 12 mesi, sia superiore alle riserve premi (best-
estimate) ed alle perdite derivanti dal rischio di riservazione (Reserve) e cioè dal rischio che la riserva
sinistri accantonata a fine anno non sia sufficiente a pagare i sinistri dei successivi 12 mesi ed a
finanziare la costituzione della riserva sinistri a fine anno.
2. CAT: relativo alle perdite derivanti dal verificarsi di eventi catastrofali di eccezionale gravitΓ .
3. Lapse: relativo alle perdite derivanti dalla estinzione anticipata dei contratti;
P+R CAT Lapse
Premium&Reserve 100% 25% 0%
CAT 25% 100% 0%
Lapse 0% 0% 100%
Premium&Reserve 4.000
CAT 500
Lapse 100
Diversification -445,48
NL - Underwriting 4.154,52
ππΏ = 4.0002 + 5002 + 1002 + 2 β 0,25 β 4.000 β 500 = 4.154,52
Matrice di correlazione
Modulo non-life Premium&Reserve (P&R)
13
Regolamento Delegato 2015/35 β Sezione 2 β Artt. 114-117
Non-life Premium&Reserve
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ππΆπ π+π = 3 β πππ β π Dove:
π = ππ 12π =1 Γ¨ la misura complessiva del volume premi e riserve di tutti i segmenti di attivitΓ come
definiti nellβallegato II al Regolamento Delegato 2015/35 UE (allegato XIV per i segmenti Health);
πππ Γ¨ la volatilitΓ aggregata per premi e riserve e per tutti i segmenti di attivitΓ , il cui dettaglio di
calcolo Γ¨ definito nelle slide successive.
Art 115 β Regolamento Delegato 2015/35
I volumi
15
La misura di volume Γ¨ definita allβart. 116 del Regolamento Delegato 2015/35 UE e si ottiene come somma tra il volume Premi ed il volume Riserve, tenuto conto di un indicatore di diversificazione geografica:
ππ = ππππππ,π + ππππ ,π β 0,75 + 0,25 β π·πΌππ dove π indica il segmento
ππππππ,π = max ππ ; ππππ π‘,π + πΉπππ₯ππ ππ π‘πππ,π + πΉπππ’π‘π’ππ,π
ππ : premi di competenza stimati per i successivi 12 mesi;
ππππ π‘,π : premi di competenza osservati nei 12 mesi precedenti;
πΉπππ₯ππ ππ π‘πππ,π : premi da acquisire nei successivi 12 mesi relativamente a contratti esistenti;
πΉπππ’π‘π’ππ,π : premi da acquisire nei successivi 12 mesi relativamente a contratti futuri.
ππππ ,π Γ¨ la best-estimate dei sinistri del segmento s;
Volumi
Segmento di attivitΓ (Annex II β
Regolamento Delegato) ππππππ,π ππππ ,π DIV ππ
Motor vehicle liability 19.219.907 20.944.711 1 40.164.618
Motor other classes 4.561.689 705.912 1 5.267.601
MAT 324.580 336.948 1 661.528
Fire and other property damage 14.549.863 4.228.618 1 18.778.481
Third-party liability 10.284.548 20.993.196 1 31.277.744
Credit and suretyship 749.648 1.347.563 1 2.097.211
Legal expenses 292.392 425.016 1 717.408
Assistance 719.064 133.860 1 852.924
Miscellaneous 119.991 62.494 1 182.485
NP reinsurance - property - - 1 -
NP reinsurance - casualty - - 1 -
NP reinsurance - MAT - - 1 -
Totale 50.821.683 49.178.317 100.000.000
Le volatilitΓ :
16
Formula Standard
π΅π·π Segment ππ·,π
GROSS
ππ·,π NET
ππΉ,π Sigma reserve
Motor vehicle liability 10,00% 8,00% 9,00% 80,00%
Motor other classes 8,00% 8,00% 8,00% 100,00%
MAT 15,00% 15,00% 11,00% 100,00%
Fire and other property damage 8,00% 6,40% 10,00% 80,00%
Third-party liability 14,00% 11,20% 11,00% 80,00%
Credit and suretyship 12,00% 12,00% 19,00% 100,00%
Legal expenses 7,00% 7,00% 12,00% 100,00%
Assistance 9,00% 9,00% 20,00% 100,00%
Miscellaneous 13,00% 13,00% 20,00% 100,00%
NP reinsurance - property 17,00% 17,00% 20,00% 100,00%
NP reinsurance - casualty 17,00% 17,00% 20,00% 100,00%
NP reinsurance - MAT 17,00% 17,00% 20,00% 100,00%
ππ =ππ·,πππππππ,π
2+ ππΉ,πππ ππ ,π
2+ 2 β 0,5 β ππ·,πππππππ,π ππΉ,πππ ππ ,π
ππππππ,π + ππ ππ ,π
VolatilitΓ per singolo segmento: Art 117, co. 2 β Regolamento Delegato 2015/35
Allegato II β Regolamento Delegato 2015/35
Osservazione: le volatilitΓ per i segmenti Health-NSLT sono riportate nellβallegato XIV
La volatilitΓ aggregata
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Esercizio studenti: Utilizzando i volumi della slide 15 e le volatilitΓ
della formula standard riportate nella slide 16, provare che la volatilitΓ
aggregata πππ del modulo non-life P&R Γ¨ pari a 6,14%
πππ = ππ ππ
2 + 2 πππ ππ ππ ππππππ=π +1
πβ1π =1
ππ =1
π
MTPL Other Marine Fire GTPL Credit Legal
Assistanc
e Losses NP_RC
NP_Marin
e NP_NRC
MTPL 100% 50% 50% 25% 50% 25% 50% 25% 50% 25% 25% 25%
Other 50% 100% 25% 25% 25% 25% 50% 50% 50% 25% 25% 25%
Marine 50% 25% 100% 25% 25% 25% 25% 50% 50% 25% 50% 25%
Fire 25% 25% 25% 100% 25% 25% 25% 50% 50% 25% 50% 50%
GTPL 50% 25% 25% 25% 100% 50% 50% 25% 50% 50% 25% 25%
Credit 25% 25% 25% 25% 50% 100% 50% 25% 50% 50% 25% 25%
Legal 50% 50% 25% 25% 50% 50% 100% 25% 50% 50% 25% 25%
Assistance 25% 50% 50% 50% 25% 25% 25% 100% 50% 25% 25% 50%
Losses 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50% 100% 25% 50% 25%
NP_RC 25% 25% 25% 25% 50% 50% 50% 25% 25% 100% 25% 25%
NP_Marine 25% 25% 50% 50% 25% 25% 25% 25% 50% 25% 100% 25%
NP_NRC 25% 25% 25% 50% 25% 25% 25% 50% 25% 25% 25% 100%
Matrice di correlazione
VolatilitΓ per il rischio di tariffazione e di riservazione: Art 117, co. 1 β Regolamento Delegato 2015/35
18
All Gruppo A Gruppo B
Non-life premium and reserve risk 87,8% 92,7% 81,7% CAT 10,2% 7,0% 14,1% Lapse 2,1% 0,3% 4,2%
Total not diversified 100,0% 100,0% 100,0%
Diversification 8,5% 5,2% 12,5%
Gruppo A: Imprese con
Volume Premi e Riserve
MTPL+OMI maggiore del 60%
sul totale.
Gruppo B: Tutte le altre
All Gruppo A Gruppo B
Non-life premium and reserve risk 18,1% 17,2% 19,6%
CAT 2,1% 1,3% 3,4%
Lapse 0,4% 0,1% 1,0%
Total not diversified 20,7% 18,6% 24,0%
Total non-life underwriting risk 18,9% 17,6% 21,0%
VolatilitΓ aggregata 6,05% 5,74% 6,53%
Composizione SCR Non-Life
Incidenza sul Volume Premi e Riserve
87,8%
10,2% 2,1%
All
Non-life premiumand reserve risk
CAT
Lapse
92,7%
7,0% 0,3%
Gruppo A
Non-life premiumand reserve risk
CAT
Lapse
81,7%
14,1% 4,2%
Gruppo B
Non-life premiumand reserve risk
CAT
Lapse
Modulo Lapse
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Regolamento Delegato 2015/35 β Sezione 2 β Art. 118
Rischio lapse
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Il rischio di estinzione anticipata Γ¨ relativo alla perdita derivante dallβabbandono contrattuale, ovvero dal mancato guadagno. In formula standard, come descritto nellβart. 118 del regolamento 2015/35, si calcola ipotizzando che il 40% degli assicurati abbandonino il contratto. Lo shock del 40% si applica solo ai contratti per i quali ci si attende un profitto.
The capital charge for non-life lapse risk is instead calculated in a way that it would cover a loss in basic own funds that would result from a discontinuance of 40% of the policies where the discontinuance would result in an increase in technical provisions without risk margin. Undertakings that write furthermore reinsurance have to calculate a capital charge for policies that cover business to be written in the future in a way that the capital charge would cover a loss in basic own funds that would result from a decrease of 40% in the number of those future contracts used in the calculation of technical provisions.
Modulo CAT risk
21
Regolamento Delegato 2015/35 β Sezione 2 β Artt. 119-135
Rischio catastrofale
22
Il rischio catastrofale riguarda le possibili perdite derivanti dal
verificarsi di eventi di eccezionale gravitΓ . Si fa riferimento a: NAT-CAT: Catastrofi naturali (tempesta, terremoto, alluvione, grandine, cedimento);
NP-Property: rischio catastrofe per la riassicurazione non proporzionale danni ai beni;
Man-Made CAT: rischio catastrofe provocata da attivitΓ umane
Other-CAT : altre catastrofi
ππΆπ πΆπ΄π = ππΆπ πππ‘πΆπ΄π + ππΆπ ππππππ2
+ ππΆπ πππΆπ΄π2 + ππΆπ πΆπ΄πππ‘βππ
2
Dalla formula dellβ ππΆπ πΆπ΄π si evince che Γ¨ ipotizzata una correlazione pari al
100% tra NAT-CAT e Γ¬d NP-Property; 0% tra tutte le altre coppie di rischi.
23
Undertaking Specific Parameters
Undertaking specific parameters
24
Ai sensi dellβart. 104 della direttiva 2009/138 alcuni parametri della standard formula
possono essere sostituiti con parametri calibrati su dati interna dellβimpresa.
Quando si possono utilizzare ?
a) Dietro presentazione di istanza da parte della Compagnia e successiva
autorizzazione da parte dellβautoritΓ di vigilanza (in Italia lβIVASS).
b) Su espressa richiesta dellβautoritΓ di vigilanza, quando questβultima Γ¨ in grado di
dimostrare che le ipotesi sottese alla formula standard si discostano
significativamente dalla formula standard (cfr. art. 110 direttiva 2009/138)
Quali parametri si possono sostituire? (cfr. art. 218 Regolamento 2015/35)
a) Deviazione standard del Non-Life Premium Risk;
b) Deviazione standard del Non-Life Reserve Risk;
c) NP-factor per la riduzione della deviazione standard del Non-Life Premium Risk;
d) Deviazione standard del Revision Risk (sottomodulo del Life) .
Osservazione: i parametri alle lettere c) e d) non sono trattati in queste slide.
Undertaking specific parameters
25
ππ =ππ·,πππππππ,π
2+ ππΉ,πππ ππ ,π
2+ 2 β 0,5 β ππ·,πππππππ,π ππΉ,πππ ππ ,π
ππππππ,π + ππ ππ ,π
ππ·πΉ = ππππ
2 + 2 πππ ππππ ππππππ=π +1
πβ1π =1
ππ =1
π
Le volatilitΓ in verde sono i parametri che vengono sostituiti, quelle in
arancione ed in rosso cambiano di conseguenza
Undertaking specific parameters
26
ππππ ,π ,πππ = π β π + 1 β π ππππ ,π
Metodo 1 Metodo 2
Premium Risk
Reserve Risk
ππ,π ,πππ = π β π πΏ , πΎ π + 1
π β 1+ 1 β π ππ,π
Credibility factor dipendente da T Parametro standard-formula
Parametro calibrato sui dati dellβimpresa
T ampiezza temporale della serie storica
Metodo 1 β Premium & Reserve Risk
27
π‘
(esercizio) Premium Risk Reserve Risk
ππ‘ Costo Ultimo EC Costo ultimo t-1 -
EP
ππ‘ Premi di competenza Costo ultimo t - EP
Le assunzioni sottostanti il modello:
1. πΈ ππ‘ = π½ β π₯π‘
2. πππ ππ‘ = π2 1 β πΏ π₯ π₯π‘ + πΏπ₯2
3. ππ‘~πΏπππ[ππ‘ , ππ‘]
Le ipotesi da verificare richieste dalla normativa (Allegato XVII, Regolamento 2015/35)
Per approfondimenti si consiglia:
On the USP Calculation Under Solvency II and its Approximation with a Closed Form Formula.
Cerchiara, R.R., De Marco V., Siegenthanler, F.. Bullettin Francais DβActuariat
Metodo 1 β esempio MTPL
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π πΏ , πΎ = 4,97%
ππππ = 4,97% 11/9
π,ππ%
β 74% + 8% β 26% = 6,15%
Anno Premi (x) Sinistri (y) Loss Ratio
2008 810 638 78,77%
2009 1.340 1.145 85,45%
2010 1.960 1.530 78,06%
2011 2.190 1.713 78,22%
2012 2.280 1.706 74,82%
2013 2.640 2.027 76,78%
2014 2.710 2.243 82,77%
2015 2.720 2.048 75,29%
2016 2.790 2.506 89,82%
2017 3.470 2.505 72,19%
Loss Ratio
Semplice Weighted (x)
Media 79,22% 78,83% Dev.ST 5,06% 5,43%
Β«Certe coincidenze esistono solo nei libri e nei film.
Nella realtΓ no, oppure non sono coincidenzeΒ»
Roberto Costantini, Alle radici del male
πΏ = 1
πΎ = β2,769285
π πΏ , πΎ β πβπΎ = ππ, ππ%
Metodo 2
29
Il metodo 2 si basa sul modello di Merz-Wutrich (2008) mediante il quale Γ¨ possibile stimare,
con formula chiusa, la volatilitΓ della perdita ad 1 anno (one year) che Γ¨ equivalente a
calcolarla sulla v.a. Claims Development Result (CDR) . Il modello utilizza come dati di input
il classico triangolo di run-off
Reg.to delegato 2016/467 UE β Allegato I (quella nellβallegato XVII Reg.to Γ¨ sbagliata!)
Per approfondimenti:
β’ Merz. M. e WΓΌthrich M. (2008), Modelling the claims development result for solvency purposes,CAS E-Forum, Fall, 542-568.
β’ Cavastracci S. (2015) , Dal chain ladder al modello di Merz e WΓΌthrich: derivazione completa del modello di volatilitΓ della riserva
sinistri in un orizzonte annuale. Quaderno IVASS n. 3
β’ Cavastracci S. Tripodi A. (2017), Modello overdispersed Poisson: formula chiusa per la stima GLM della volatilitΓ one year della
riserva sinistri. Quaderno IVASS n. 9
30
Grazie per lβattenzione