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New Jersey Center for Teaching and Learning
Iniciativa de Matemática Progresiva
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6to Grado Matemática
Geometría
www.njctl.org
2014-01-19
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Common Core: 6.G.1-4
Tabla de Contenidos· Área de Rectángulos
· Área de Figuras Irregulares · Área de Regiones Sombreadas
· Área de un Paralelogramo· Área de Triangulos· Área de Trapezoides· Revisión mixta
· Sólidos en 3-Dimensiones · Superficie exterior· Volumen
· Polígonos en el Plano de Coordenadas · Área y volumen. Problemas de aplicación
· Glosario
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Algunas veces cuando se restas fracciones, encuentras que no puedes porque el el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar desde los números enteros.
¿Cuántos tercios es en un entero?
¿Cuántos quintos hay en un entero?
¿Cuántos novenos hay en un entero?
Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones.
El subrayado está vinculado a la página en la parte del glosario que contienen el vocabulario de la tabla.
(Haz click sobre el subrayado.)
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Volver al tema
FactorUn número entero
que se puede dividir con otro
número y no queda resto
15 3 5
3 es un factor de 15 3 x 5 = 15
3 y 5 son factores de 15
1635 .1R
3 no es un factor de 16
4
Un número entero que multiplica con otro número para hacer un tercer
número
El cuadro tiene 4 partes
Vocabulario1
Su significado 2
Ejemplos/ Contraejemplos
Vínculo para volver a la página con el tema.
(Cómo se utiliza en
esta lección)
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Área - El número de unidades al cuadrado (unidades2) que se necesita para cubrir la superficie de la figura.
SIEMPRE marca unidades2!!!
10 pies
5 pies
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¿Cuántos azulejos de 1 pie se necesita para cubrir el rectángulo?
Usa los cuadrados para averiguar
Busca la forma más rápida de cubrir la figura
10 pies
5 pies
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A = longitud(ancho)A = la
A = lado(lado)A = l2
El Área (A) de un rectángulo se encuentra medante la fórmula:
El Área (A) de un cuadrado se encuentra mediante la fórmula:
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1 ¿Cuál es el Área (A) de la figura?
13 pies
7 pies Tire
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2 Encuentra el área de la figura que está abajo.
8
Tire
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3 Micaela tiene una alfombra nueva para su dormitorio que es de 12 pies por 9 pies. ¿ Necesita Micaela encontrar el área o el perímetro de su dormitorio con el fin de calcular la cantidad de alfombra que tiene que pedir?
A Área
B Perímetro Tire
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4 Ahora resuelve el problema.... Micaela tiene una alfombra nueva para su dormitorio que es de 12 pies por 9 pies. ¿Cuántos pies cuadrados de alfombra necesita pedir Micaela?
Tire
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5 Un rectángulo mide 3 pulg por 4 pulg. Si la longitud de cada lado se duplica, ¿cuál sería el efecto sobre el área?
A El área se duplica
B El área se cuadriplica
C El área se divide a la mitad
D No hay efecto
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6 El área de una repisa es de 24 unidades cuadradas. La longitud de la repisa es 6 unidades. ¿Cuál es su ancho?
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7 La clase de 6to grado en la Escuela Remedios Escalada está construyendo un nuevo edificio para su escuela. De alto mide 10 pies y de ancho 2 pies. ¿Cuán grande será si se mide en pulgadas cuadradas?
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8 La madera que se utilizará para hacer la escuela Inmersión I es de 6 pies por 1 pie. ¿Cuántas tablones de madera serán necesarios para completar el proyecto?
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Área de un Paralelogramo
Vamos a utilizar el mismo proceso que hicimos para el rectángulo. ¿Cuántos azulejos de 1 pie 2 encajan en la parte inferior del paralelogramo?
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Área de un Paralelogramo
Vamos a utilizar el mismo proceso que hicimos para el rectángulo. Si construimos el paralelogramo con filas de diez azulejos de 1 pie 2, ¿qué sucede?
¿Qué tan alto es el paralelogramo?¿Cómo puedes saberlo?
10 pies
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¿Cómo nos ayuda esto a encontrar el área del paralelogramo?
¿Cómo puedes encontrar el área de un paralelogramo?
Tire
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A = base(altura)A = bh
El Área (A) de un paralelogramo se calcula usando la fórmula:
Nota: La base y la altura siempre forman un ángulo recto!
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2 cm
Ejemplo.
Encuentra el área de la figura.
6 cm
6 cm
2 cm 1.7 cm
Click para Revelar
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Prueba con éstos.
Encuentra el área de las figuras.
10
86
13 m
15 m
13 m
16 m
Click para RevelarClick para Revelar
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9 Calcula el área.
10 pies 9 pies
11 pies
Tire
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10 Calcula el área.
15 m
15 m
10 m 11 m
Tire
11 m
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11 Calcula el área.
8 m
13 m 13 m
8 m
12 m
Tire
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12 Calcula el área.
13 cm
12 cm
7 cm
Tire
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13 Una caja con una abertura cuadrada es encuadrada dentro del rombo que se muestra abajo. ¿Cuál es el área de la abertura?
7 pulgadas
14 pulgadas
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14 La altura de un paralelogramo es tres veces su base Si el paralelogramo tiene 972 pulgadas cuadradas, ¿cuál es la longitud de su base?
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Área de un Triángulo
Vamos a utilizar el mismo proceso que hicimos para el rectángulo y el paralelogramo. ¿Cuántos azulejos de 1 pie 2 encajan en la parte inferior del triángulo?
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Área de un Triángulo
Si continuamos construyendo el triángulo con trece filas de azulejos de 1 pie 2 que sucede?
¿Qué tan alto es el triángulo? ¿Cómo puedes saberlo?
13 pies
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5 pies
13 pies
Área de un TriánguloSi continuamos construyendo el triángulo con trece filas de azulejos de 1 pie 2 que sucede?
¿Qué tan alto es el triángulo? ¿Cómo lo sabes?
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¿Es verdad esto para todos los triángulos? ¡Vamos a ver!
¡Calculando base(altura) resultan 2 triángulos!
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El Área (A) de un triangulo se encuentra usado la fórmula:
Nota: ¡La base y la altura siempre forman un ángulo recto!
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Ejemplo.
Encuentra el área de la figura.
8 cm
11 cm 11 cm
11 cm
Click para Revelar
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Intenta con éstos
Calcula el área de las figuras.
13 m
11 m
10 m 12 m 1420
16
16
Click para Revelar Click para Revelar
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15 Calcula el área.
8 cm10 cm 9 cm
6 cm
Tire
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16 Calcula el área
14 m
9 m10 m 12 m
Tire
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17 Calcula el área
7 cm
8 cm
10.5 cm
Tire
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18 Calcula el área
Tire
10 cm.
cm.14 cm.
5 cm.
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19 Franco está estudiando una parcela de tierra que tiene forma de triángulo rectángulo. El área de la parcela es de 45,000 metros cuadrados. Si la base del triángulo es de 0.18 km de longitud, ¿cuál es la altura, en metros del triángulo?
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Área de un Trapezoide
· Dibuja una línea diagonal dividiendo al trapezoide en dos triángulos· Encuentra el área de cada triángulo· Suma las áreas de los dos triángulos
Mira el diagrama de abajo. 10 cm
5 cm
12 cm
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El Área (A) de un trapezoide se calcula usando la fórmula:
Nota: ¡La base y la altura siempre forman un ángulo recto!
10 m
12 m
5 m
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12 cm
10 cm 11 cm
9 cm
Ejemplo.
Encuentra el área de la figura dibujando una diagonal dividiéndola en dos triángulos.
12 cm
10 cm 11 cm
9 cm
Click para Revelar
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Intenta con éstas.
Encuentra el área de las figuras usando la fórmula.
12 cm
9 cm
7 cm 8 cm
13
10
8 cm 7 86
Click para Revelar
Click para Revelar
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21 Calcula el área del trapezoide a partir del dibujo de la diagonal.
9 m
11 m
8.5 m
Tire
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22 Calcula el área del trapezoide utilizando la fórmula.
20 cm
13 cm
12 cm
Tire
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23 Una base de un trapezoide es de 9 pues, y su altura es de 4 pies. El área del trapezoide es de 28 pies cuadrados. Calcula la otra base.
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24 La forma del estado de Arkanzas recuerda un trapezoide. La densidad de la población de Arkansas es 54.8 personas por milla cuadrada. ¿Cuál es la población total aproximada de este estado?
280 mi
210 mi
235 mi
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25 Cada uno de los cuadro lados de esta carpa son congruentes. ¿Cuánta lona fue usada paa construir los cuatro lados de esta carpa?
23 pulg.
36.5 pulg.
32 pulg.
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26 Calcula el área de la figura.
5 cm
4 cm 3 cm 4 cm
11 cm Tire
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27 Calcula el área de la figura.
8 yd
10.5 yd
10.5 yd 10.5 yd
Tire
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28 Calcula el área de la figura.
4.7 m
7.2 m
Tire
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29 Calcula el área de la figura.
Tire
9 cm 7 cm
15 cm
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30 Calcula el área de la figura dibujando una diagonal para armar triángulos.
17 cm
16 cm 15 cm 16 cm
22 cm
Tire
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31 Calcula el área de la figura.
Tire
7 cm 5.2 cm
12.4 cm
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32 Calcula el área de la figura.
11 yd
12 yd
13 yd
12 yd
Tire
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33 Calcula el área de la figura.
4.6 m
8.7 m
Tire
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34 Una pared tiene 56 "de ancho. Deseas centrar un marco de fotos que tiene 20" de ancho en la pared. ¿Que cantidad de espacio habrá entre el borde del marco y la pared?
Tire
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35 Daniel decidió caminar el perímetro de su pato trasero triangular. Caminó 26.2 pies al norte y 19.5 pies al oeste y regresó a su punto de partida. ¿Cuál es el área del patio de Daniel?
Tire
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Área de Figuras Irregulares Método Nº1
1. Divide la figura en pequeñas figuras (que sabes cómo encontrar el área)
2. Remarca cada pequeña figura y marca las nuevas longitudes y anchos de cada figura
3. Encuentra el área de cada figura
4. Suma las áreas
5. Remarca tu respuesta
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Ejemplo:Calcula el área de la figura.
12 m
8 m
4 m2 m
12 m6 m
4 m2 m #1
#2
2 m
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Área de una figura irregular Método 2
1. Cierra la figura.
2. Etiqueta la pequeña figura cerrada y etiqueta las nuevas longitudes y anchos de cada forma. 3. Encuentra el área de la figura nueva grande
4. Resta las áreas
5. Escribe tu respuesta
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Ejemplo:Calcula el área de la figura.
12 m
8 m
4 m2 m
8 m Rectángulo entero
Rectángulo extra
12 m
8 m
4 m2 m
Área total
Área total
Área
Área Área
Área
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Intenta con éstos:Calcula el área de cada figura.
3m
5m
3m8m
Tire Ti
re
Trángulo entero
pies2
18 pies
12 pies
6 pies
10 pi
18 pies
12 pies
6 pies
10 pi
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36 Calcula el área.
4'
3'
1'
2'
10'
8'
5'
Tire
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37 Calcula el área.
12
101320
25
10 Tire
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38 Calcula el área.
8 cm 18 cm
9 cm
Tire
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39 Calcula el área
4 ft9 ft
6 ft
7 ft
6 pies
7 pies
9 pies4 pies
Tire
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40 Calcula el área.
8 mm
8 mm
8 mm
10 mm
14 mm
14 mm
6 mm
Tire
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41 Caro quiere colocar una nueva alfombra en su dormitorio. ¿Qué cantidad de alfombra necesitará?
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Plano del piso del dormitorio
42 ¿Cuántas baldosas rectangulares son necesarias para cubrir este piso?
2 m1 m
Baldosas
(Arrastrar y soltar para controlar)
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Área de una región sombreada
1. Encuentra el área de la figura entera.
2. Encuentra el área sin sombrear de la figura (s).
3. Resta a la figura entera el área sin sombrear.
4. Escribe la respuesta en unidades 2.
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Intenta ésto
Calcula el área de la región sombreada.
Área del trapecio
Área del Rectángulo
Área de la región sombreada
pies2
pies2
pies2
pies216 pies
12 pies6 pies
8 pies2 pies
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Intenta éste
Calcula el área de la región sombreada. Área del cuadrado entero
Área del triángulo
Área de la región sombreada
12 cm
14 cm
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Intenta ésto
Calcula el área de la región sombreada.
Área del trapezoide
Área del rectángulo
Área de la región sombreada
16 m
12 m6 m
8 m2 m
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43 Calcula el área de la región sombreada.
11'
8'
3'4'
Tire
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44 Calcula el área de la región sombreada.
16"
17"
15"7"
5"
Tire
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13"
14"
8"
5"
9"
4"
45 Calcula el área de la región sombreada.
Tire
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4 yd
4 yd
3 yd
8 yd
4 yd
46 Calcula el área de la región sombreada.
Tire
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47 Un camino de cemento de 2 pies de ancho es colocado alrededor de una piscina rectangular, Si la piscina tiene 13 pies por 9 pies, ¿qué área tendrá el camino?
Tire
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23 pies
18 pies
13 pies5 pies
4 pies
48 Logan quiere pintar una pared en forma de trapezoide como se muestra abajo. Por supuesto que no pintará la ventana. Para cubrir 50 pies cuadrados de pared será necesario 1 galón de pintura. ¿Cuántos galones de pintura necesitará Logan?
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Click para ir a un sitio web con figuras en 3-D y redes
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Sólidos 3-dimensionalesCategorías y características de los sólidos en 3 dimensiones:
Prismas1. Tienen dos bases poligonales congruentes que son paralelas una a la otra. 2. Los lados son rectangulares (paralelogramos)3. Se nombran por la forma de su base
Pirámides1. Tienen una base poligonal con un vértice opuesto a la base. 2. Los lados son triangulares3. Se nombran por la forma de su base.
click para revelar
click para revelar
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Clasifica las figuras.Si te equivocas, la figura será devuelta
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Sólidos 3-dimensionalesCategorías y características de los sólidos en 3 dimensiones:
Cilindros1. Tienen dos bases circulares congruentes que son paralelas entre sí.2. Los lados son curvos
Conos1. Tienen una base circular con un vértice opuesto a la base.2. Los lados son curvos
click para revelar
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Sólidos tridimensionalesVocabulario para los sólidos tridimensionales
Poliedro Una figura en 3-D cuyas caras son todas polígonos (Prismas y Pirámides)
Cara La superficie plana de un poliedro
Arista Segmento formado por la unión de dos caras
Vértice Punto donde 3 o más caras o aristas se juntan
Sólido Una figura en 3-D
Red Un dibujo 2-D de una figura 3-D (como se vería una figura 3-D si estuviera desplegada)
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Poliedro Una figura 3-D cuyas caras son todas polígonos
Poliedro No poliedro
Clasifica las figuras en el lado apropiado.
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49 Nombra la figura.
A prisma rectangularB prisma triangular
C pirámide triangular
D cilindro
E cono
F pirámide cuadrangular
Tire
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50 Nombra la figura.
A prisma rectangularB prisma triangular
C pirámide triangular
D cilindro
E conoF pirámide cuadrangular
Tire
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51 Nombra la figura.
A prisma rectangular B prisma triangular
C pirámide triangular
D prisma pentagonal
E conoF pirámide cuadrangular
Tire
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52 Nombra la figura.
A prisma rectangular B prisma triangular
C prisma triangular
D prisma pentagonal
E conoF prisma cuadrangular
Tire
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53 Nombra la figura.
A prisma rectangularB cilindro
C prisma triangularD prisma pentagonal
E conoF pirámide cuadrangular
Tire
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RedesLas Redes son dibujoes en dos dimensiones que representan el área de formas tridimensionales .
Hay más de una manera de dibujar una red para un cubo, sin embargo no todas las redes pueden ser plegadas en un cubo.
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Las redes para los prismas tendrán caras rectangulares y dos bases a partir de las cuales se da nombre a la forma
Observa que los dos triángulos se oponen uno al otro (bases).
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54 Nombra la figura representada por la red.
A prisma rectangularB cilindroC prisma triangular
D prisma pentagonal
E conoF pirámide cuadrangular
Tire
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55 Nombra la figura representada por la red.
A prisma rectangular B cilindroC prisma triangular
D prisma pentagonal
E conoF pirámide cuadrangular
Tire
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Usa el explorador de embalajes para ver más ejemplos de redes.
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Para cada figura, encuentra el número de caras, vértices y aristas.
¿Puedes calcular una relación entre el número de caras, vértices y aristas de una figura tridimensional?
Nombre Caras Vértices Aristas
Cubo 6 8 12
Prisma Rectangular 6 8 12
Prisma Triangular 5 6 9
Pirámide Triangular 4 4 6
Pirámide cuadrangular 5 5 8
Pirámide Pentagonal 6 6 10
Prisma Octagonal 10 16 24
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La fórmula de Euler
F + V - 2 = E
El número de aristas es 2 menos que la suma de las caras y los vérticesclick para revelar
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56 ¿Cuántas caras tiene un cubo?
Tire
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57 ¿Cuántos vértices tiene un prisma triangular?
Tire
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58 ¿Cuántas aristas tiene una pirámide cuadrangular?
Tire
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59 Pamela tiene una figura cuyas caras son todas congruentes, y tiene 4 vértices. ¿Cuál es la figura que tiene Pamela
A pirámide triangular
B pirámide triangular
C cubo
D cuadrado
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60 Jonathan tiene 2 cubos. Hernán tiene una pirámide cuadrangular. ¿Cuántas aristas tienen entre los dos?
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6 pulg
2 pulg7 pulg
Superficie exteriorEs la suma de las áreas de todas las caras externas de una figura 3-D
Para encontrar la superficie, debes encontrar el área de cada cara de la figura, luego las sumas.
¿Qué tipo de figura se representa ?
¿Cuántas caras hay allí?
¿Cómo calculas el área de cada cara?
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Superficie
7 pulg2 pulg
2 pulg6 pulg
#2 #4
6 pulg
#1
#3
#5
#6
6 pulg
2 pulg7 pulg
Una red es útil para calcular la superficie exterior.
Simplemente coloca el nombre a cada sección y encuentra el área de cada una.
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#1 #2 #3 #4 #5 #6
Ejemplo
7 pulg2 pulg
2 pulg6 pulg
#2 #4
6 pulg
#1
#3
#5
#6
pulg2
pulg2pulg2pulg2pulg2pulg2pulg2
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#1
#2 #3 #4
#5
15 cm
12 cm
Intenta esto
Encuentra el área exterior de la figura utilizando la red dada.
Tire
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61 Calcula la superficie exterior de la figura a partir de su red.
7 yd
7 yd
7 yd
7 ydYa que todas las caras son iguales, puedes encontrar el área de una cara y multiplicarla por 6 para calcular la superficie exterior.
¿Qué patrones notaste al encontrar la superficie exterior de un cubo?
Tire
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62 Calcula la superficie exterior de la figura a partir de su red.
9 cm
25 cm
12 cm
Tire
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63 La siguiente figura representa un regalo que deseas envolver para el cumpleaños de tu amigo. ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel de regalo necesitas? Dibuja la red de la figura dada y calcula su superficie exterior.
10 cm
10 cm18 cm
Tire
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64 Dibuja la red para la figura dada y calcula su superficie exterior.
7 pies7 pies
11 pies
4 pies
12 pies
Tire
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Actividad de volumen
Toma cubos de unidad y crea un prisma rectangular con dimensiones de 4 x 2 x 1.
¿Qué sucede con el volumen si le agregas otra capa de cubos y lo construyes de 4 x 2 x 2?
¿Qué sucede con el volumen si tu agregas otra capa más de cubos y lo construyes de 4 x 2 x 3?
Tirenotas para el profesro
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Volumen
Volumen
- La cantidad de espacio ocupado por o dentro de una figura 3-D - El número de unidades cúbicas necesarias para llenar una figura 3-D
Coloca unidades
Unidades3 o unidades cúbicas
click para revelar
click para revelar
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Fórmulas de volumen
Fórmula 1
V= l a h, donde l = longitud a= ancho h = altura
Multiplica la longitud, el ancho y la altura de un prisma rectangular.
Fórmula 2
V=B h, donde B = superficie de la base, h = altura
Encuentra la superficie de la base de un prisma rectangular y multiplica por su altura.
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Encuentra el volumen.
5 m
8 m
2 m
Res
pues
taR
espu
esta
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Ejemplo
Cada uno de los pequeños cubos en el prisma mostrado tiene una longitud, un ancho y una altura de 1/4 de pulgada
la fórmula para es volumen es l a h.
Por lo tanto el volumen de cada uno de los pequeños cubos es:
Multiplica el numerador de la primera fracción con el
denominador de la segunda fracción, en otras palabras
multiplica cruzado.
Olvidaste como multiplicar fracciones?
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Para calcular el volumen del prisma entero, cuenta el número de cubos, y multiplica por el volumen de un cubo pequeño.
La capa superior de este prisma tiene 4 filas de 4 cubos, haciendo un total de 16 cubos por capa.El prisma tiene 4 capas, 16 cubos por capa, por lo que tiene un total de 64 cubos pequeños.
Por lo tanto el volumen total del prisma es:
Ejemplo
click para revelar
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Ejemplo Puedes también usar la fórmula para encontrar el volumen de un prisma de lados iguales.
La longitud, el ancho y la altura de este prisma es cuatro cubos pequeños. Recuerda que cada cubo pequeño tiene una longitud, un ancho y una altura de 1/4 de pulgada.
Por lo tanto, puedes encontrar el volumen total calculando la longitud, el ancho y la altura totales del prisma y multiplicándolos juntos.
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Ejemplo ¿Cómo encontrarías el volumen de un prisma rectangular con longitudes en los lados de 1/2 cm, 1/8 cm, y1/4 cm?
Puesto que ya se te indica las longitudes de los lados, sólo tienes que conectarlo a la fórmula de volumen.
click para revelar
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Prueba éstos Cada cubo en el prisma rectangular tiene una longitud, un ancho y una altura de 1/5 de pulgada.
Encuentra el volumen total del prisma rectangular.
Método 1: Encuentra el volumen de un cubo pequeño y multiplícalo por el número de cubos. Un cubo: Volumen total:
Método 2: Encuentra la longitud, el ancho y la altura del prisma rectangular y usa la fórmula.
click para revelarclick para revelar
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65 Calcula el volumen de la figura dada.
Tire
Slide 136 / 199
66 Calcula el volumen de la figura dada.
Tire
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67 Calcula el volumen de la figura dada.
Tire
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68 Encuentra el volumen de la figura dada.La longitud, el ancho y la altura de uno cubo pequeño es
Tire
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69 Encuentra el volumen de la figura dada.
La longitud, el ancho y el alto de un cubo es .
Tire
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Superficie exterior, área y volumen.
Problemas de aplicación
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70 Una caja rectangular para guardar cosas tiene 12 1/4 de ancho, 15 3/5 de largo y 9 de alto. ¿Cuántas pulgadas cuadradas de papel para decorar serán necesarias para cubrir la superficie de la caja?
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71 Un maestro fabricó 2 pares de dados de gomaespuma para usar en juegos de matemática. Cada cubo midió 10 2/3 pulgadas de cada lado. ¿Cuántas pulgadas cuadradas de gomaespuma fueron necesarios para cubrir los 2 cubos?
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72 Una empresa esta empaquetando su cereal en dos cajas rectangulares. La caja A tiene 5.5 pulg x 7.25 pulg x 10 3/4 pulg. La caja B tiene 8 1/2 pulg x 3 1/4 pulg x 12 pulg. ¿En qué caja entrará más cereal? Escribe tu respuesta y explícala en un texto breve en tu carpeta.
A Conteiner A
B Conteiner B
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73 Una empresa está empaquetando su cereal en dos cajas de forma rectangular. La caja A tiene 5.5 pulg x 7.25 pulg x 10 3/4 pulg. La caja B tiene 8 1/2 pulg x 3 1/4 pulg x 12 pulg. ¿Qué caja requerirá más cartón para ser armado? Escribe tu respuesta y explica en un texto breve en tu carpeta.
A Caja A
B Caja B
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74 Una caja de 250 pulg3 necesita ser embalada para un envío. Un contenedor de envío tiene una longitud de 7 pulgadas, una altura de de 5 pulgadas y un ancho de 6 pulgadas. El otro contenedor tiene una longitud de 8 pulgadas, una altura de 4 pulgadas y un ancho de 9 pulgadas. ¿En cuál contenedor se podrá enviar? Explica.
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Polígonos en el plano de coordenadas cartesianas
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Unas pocas páginas de revisión de la unidad Sistemas numéricos..
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REVISIÓN
0
El plano de coordenadas cartesianas se divide en cuatro secciones llamadas cuadrantes.
Cada cuadrante se numera usando los números romanos del I al IV en sentido anti-horario.
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0cEl Plano de Coordenadas es llamado tambiénPlano Cartesiano.
Una manera de recordar como se numeran los cuadrantes es escribir una "C" arriba del plano.
La C comenzará en el cuadrante I y terminará en el cuadrante IV.
Desliza la "C" sobre el planode coordenadas
REVISIÓN
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0
Los cuadrantes se forman por la intersección de los rectas llamadas ejes.
La recta horizontal es el eje de las x.
La recta vertical is the eje de las y.
eje de las xeje de las y
REVISIÓN
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0
El punto en el cual los ejes se cortan se llama origen. Las coordenadas del origen son (0, 0).
REVISIÓN
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(x, y)
0
Los puntos pueden ser trazados en el plano usando una coordenada para cada uno de los ejes.
Estos conjuntos se llaman pares ordenados. La coordenada x siempre aparece en primer lugar en esos pares. La coordenada y aparece en segundo lugar..
REVISIÓN
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0
( +,+)(-,+)
(-,-) (+,-)
Cada uno de los cuadrantes pueden ser identificados por las propiedades de los números que caen dentro de su plano. Recuerda, los pares ordenados son siempre de la forma (x, y)
REVISIÓN
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Puntos Distancia
(-6, 2) (3, 2) 9
(-5, 4) (1, 4) 6
(-2, 6) (-2, -4) 10
Estudia la tabla de abajo. ¿Qué patrón ves entre el conjunto de puntos y la distancia entre ellos?
Hay una manera de encontrar la distancia entre los dos puntos sin graficarlos primero sobre el plano de coordenadas?
(-5, 7) (-5, 3) 4
(3, -3) (8, -3) 5
REVISIÓN
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Puntos Distancia
(-6, 2) (3, 2) |-6| + |3| = 6 + 3 = 9
(-5, 4) (1, 4) |-5| + |1| = 5 + 1 = 6
(-2, 6) (-2, -4) |6| + |-4| = 6 + 4 = 10
Si dos puntos tienen ya iguales coordenadas ya sea x o y , la distancia entre ellos puede ser como sigue:
Si las coordenadas diferentes son ambos positivas o ambos negativas, se restan sus valores absolutos.
Si las coordenadas diferentes son de signos opuestos, se suman sus valores absolutos.
Echemos un vistazo a la tabla de nuevo para ver cómo funciona esto:
(-5, 7) (-5, 3) |7 - 3| = |4| = 4
(3, -3) (8, -3) |3 - 8| = |-5| = 5
REVISIÓN
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Traza los siguientes puntos y conéctalos en el orden dado. Usa las coordenadas para encontrar la longitud de cada lado.
A (4,2) B (-2, 2) C (-2, -2) D (4, -2)
Ejemplo:
AB
C D
6 unidades
6 unidades
4 unidades4 unidadesClick para Revelar
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(5,0)
Traza los siguientes puntos y conéctalos en el orden dado. ¿Cuál es la coordenada de un cuarto punto que crearía un rectángulo?
W (5,6) X (-6, 6) Y (-6, 0)
Ejemplo
WX
Y ZClick para Revelar
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Traza los siguientes puntos y conéctalos en el orden dado. Usa las coordenadas para encontrar la longitud del lado CD.
A (6,8) B (-3, 8) C (-3, -1) D (6, -1)
Intenta ésto
C (-3, -1)D (6, -1)
-3 + 6 = 9 unidades
CD = 9 unidades
Click para Revelar
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Traza los siguientes puntos y conéctalos en el orden dado. ¿Cuál es la coordenada de un cuarto punto que crearía un rectángulo?
J (1,8) K (6, 8) L (1, 3)
(6,3)
Intenta ésto
J K
L M
Click para Revelar
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75 Traza los siguientes puntos y conéctalos en el orden dado. ¿Cuál es la coordenada de un cuarto punto que crearía un paralelogramo?
Q (4, 4) R (0,4) S (-1,1)
A (4,1)B (5,1)C (2,1)D (3,1)
Tire
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76 Traza los siguientes puntos y conéctalos en el orden dado. ¿Cuál es la longitud de AD?
A (-1, -2) B (-5, -2) C(-2, -4) D(-1, -4)
Tire
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77 Traza los siguientes puntos y conéctalos en el orden dado. ¿Cuál sería las coordenadas de un tercer punto que formaría un
triángulo isósceles con un ángulo recto?
E (2, 2) F (2, -2)A (-2, -2)B (4, 0)C (-1, 0)D (5, -2) Ti
re
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78 Sin trazar los puntos dados, calcula el perímetro de las formas dadas sus coordenadas.
S (5, -5) T (1, -5) U (1, 3) V (5, 3)
Tire
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79 Sin trazar los puntos dados, calcula el área de la forma a partir de sus coordenadas.
L (-1, 1) M (-1, -5) N (4, -5) O (4, 1)
Tire
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Formas tridimensionales (3D)
Uni-dimensional
tri-dimensional
bi-dimensional
largolargo
largo
ancho
alto
Un objeto con tres diferentes dimensiones: largo, ancho (o profundidad y amplitud) y alto. También son llamados
sólidos.
ancho
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Base y altura
base
altura
base
altura
La base y la altura siempre
forman un ángulo recto
Base- la superficie en la cual un
sólido se apoya
altura- la distancia desde la base hasta la cima de un objeto sólido
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Plano cartesiano
El plano bidimensional o superficie plana que se forma cuando el eje de las x se interseca con el eje de las y
También se lo conoce como
gráfico de coordenadas y
plano de coordenadas
(0,0) x
y
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ConoUna figura tridimensional con una base
circular, un vértice en la cima y una superficie curva que conecta la base con el vértice
1 Superficie curva 1 vértice 1 Base circular
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CuboUna figura tridimensional con 3
pares de bases cuadradas, congruentes y paralelas.
12 aristas8 vértices6 caras
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CilindroUna figura tridimensional con dos
bases circulares y congruentes y una superficie curva que las conecta
2 bases circulares, paralelas y congruentes 1 superficie
curvada
No tiene vértices
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Diagonal
Una línea que va desde un vértice no adyacente al otro
No se puede dibujar una diagonal, porque
todos sus vértices son adyacentes
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Dimensiones
largoanch
o
La medición de longitudes en una dirección
1 dimensión
2 dimensiones
3 dimensiones
longitudalto
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AristaEl segmento en donde
se encuentran dos caras
10 aristas
arista
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Fórmula de Euler
F + V - 2 = EPara cualquier poliedro que no se interseca a sí mismo, el número de aristas es 2 menos la
suma de sus caras y vértices
Caras: 6Vértices: 86+8-2=12
Aristas: 12
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CaraLa superficie plana de una figura en tres dimensiones
Todavía hay debate sobre si las superficies
curvas son caras
Cara
6 caras
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Fórmula
Una ecuación que describe una exacta relación entre variables
lw
A = lwÁrea = largo ancho
58
A = laA = 5 8A = 40u2
d=rtdistancia = rapidez . tiempo
C=dcircunferencia=diámetro
E=mc2energía=masa veloc de la luzt2
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Figura irregular
No es regular; una figura irregular es un polígono con todos sus lados y ángulos
congruentes o un poliedro con caras regulares
regular
irregular
equilátero
equiangular
isósceles
rectoescaleno
regular
irregular
equilátero
equiangular
no equilangular
no equilateral
regular
irregular
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Red
=
=
Un patrón bidimensional que se puede plegar para formar una figura
tridimensional
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Pares ordenados
(x,y)
(x,y)(3,2)
Las coordenadas en un gráfico de coordenadas pueden también ser
llamados pares ordenados
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OrigenEl punto donde el cero sobre el eje de las
x interseca al cero en el eje de las y. Las coordenadas del origen son (0,0).
(0,0)
(0,0) origen
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Paralelogramo
Un cuadrilátero con lados opuestos congruentes y paralelos
12
34
Cuatro ladosLados opuestos
Lados opuestos y
//
Un rombo es un paralelogramo con ambos set de lados opuestos .
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Perímetro
lado 1
lado 2lado 3
P= lado 1 + lado 2 + lado 3
Para cercar un parque rectangular, deberías medir el
perímetro.
l
La distancia alrededor de un objeto
aP=2l+2a
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Poliedro
"Poliedro" es la forma singular de
poliedros
Una figura tridimensional con todas sus caras planas
no poliedroPoliedro
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PrismaUna figura tridimensional con dos
bases paralelas y congruentes y todas las otras caras rectangulares
Los prismas son nombrados por la
forma de sus basesPrisma
pentagonal
2 bases triangulares
Prisma triangular
3 caras rectangulares
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PirámideUna figura tridimensional con
una base, un vértice en la cima y todas sus caras triangulares
1 baseTodas las otras
caras son triángulos
Un vértice en la cima
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Cuadrante
Cualquiera de las cuatro regiones formadas cuando el eje de las x se interseca con el eje
de las y. Generalmente se nombran con números romanos
c (+,+)(-,+)
(+,-)(-,-)
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Unidades cuadradas1
unid
ad
1 unidad
1 unidad x 1 unidad = 1 unidad cuadrada
Una medida en la forma de un cuadrado con lados de longitud igual a una unidad
Notación:unidad cuadrada
unidad2
u2
3 unidades
3 un
idad
es
3 uni x 3 uni =
9 unidades2
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6 u2
6 u2
12 u2
8 u2
8 u2
12 u2
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Área
El área total de la superficie de una figura tridimensional
+ +
+ +
=SA
Área o superficie de un prisma
+
2la+2lh+2ah2 12+2 6+2 8SA=24+12+16
SA=52u2
Área=
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Trapezoide
No tiene lados //
Un cuadrilátero con un par de lados paralelo.
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VérticePunto dónde dos o más líneas
rectas se juntan
El plural de vértice es "vertices"A
Punto A o vértice A
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Volumen
4
3
3
v=lahv= 4 3 3v= 36 u3
La cantidad de espacio dentro de un objeto de tres dimensiones. Se mide
en unidades cúbicas
11
1
V=1 1 1V= 1 unidad cúbica
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(x,y)1
2
3
4
5
- +
Eje de las x
Recta numérica horizontal que se extiende indefinidamente en ambas direcciones a
partir de cero (Derecha, positivo- Izquierda, negativo)
0 1 2 3 4 5
x
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Recta numérica vertical que se extiende indefinidamente en ambas direcciones a partir de cero (Arriba,
positivo- abajo, negativo)
Eje de las y
(x,y)1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
y
-
+
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