nahm transform for integrable connections on the riemann sphere

128

Upload: others

Post on 11-Sep-2021

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� ��� � ����� � ������� ����� �������������� ��� ���� � �!������ �

�" ��� � # ���$� � � % � �&�'�

(�)'*+-,.+0/1+32�46587.4:9<;=7?>@9A+-,.+CBD71E+�+F> ;G9

H0I ���KJ�L�NM H0I �L� J�

/POQ9ROTSUE+�+0> ;V9

W XZY\[�Y^]`_ a YcbKd e�_gf

h Bi,j7kOl7�mn7�/i+ oL+�5 ) +C9A5 ) +qp ;=7 ) E+Cr ;=7�Otsumi+wv�xV;VB15�E+�+

y 7�9<;z,.{|4:m}9~S@�P�V�g�D�

Page 2: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere
Page 3: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

�������������

������������������� �!�#"%$�&�'(��)*"�� +���,����-.)0/#��"���)0'1��23'�"�� �!�546�7����$8��9�/#�!����'(�:"<;=�!����������/#)*/ +���?>%�@��� �!�(A��!��9�2*�B'�"�������'C�!)0"��D�E"�)0�F�:"<;HG6)*�CI J���LK��@MN���B�!������/O;P"���QR"<;H������QS�(��"�QT"�������)*'7)0� �!��A��!��9�20�7'�"�������'C�!)0"�� U���WV���X=�<�!��9E"�2*)0'7/#����&�'C�!&��#�Y�<��$Z��$���������$Z�����#QS"���)*'7QT�(����)*' �[>���?+%��\]"%'���2^QT"%$���2_;P"��N�����!��9E"�20)*'`)0� �!��A��!��9�20�B'�"�������'C�!)*"���/ �ba���La���-.)0A�A�/N9�&���$�2*�B�E"�)0�F�:"<;HG6)*�CI �bc���?J%��\]"%'���2^QT"%$���2_;P"��:-d)*A�A�/N9�&���$�20��/ >�e���Lc��@MN���B�!������/O;P"���QS�<�!)0"��f"�;�!���g-d)*A�A�/N9�&���$�20� >�K

�����������.>%��h.����20i6/#)*/N"�;�!���gj7)0�!��'7"��3�(�!�<��"�� >�J>%�,���lk6�!�<�!�(QS�(�F�d"�;�!���nm��#��$���"�2*Qo������"�����Q >�J>%�?>%��Xp��"6"�;H"�;H�����gm�����$���"�2*QoMN����"�����Q K�V>%�LK���qprtsu'�"���"�QS"�2*"�A�iv����$Z-d"%$�A���������"��#i V��>%�WV���Xp��"��E���O�!)0��/:"�;�!���nwB�����(�^xW/d"��3�(�!�<��"�� V c>%�?+%��y=4%�3"������ �!)*��2]$���'��1iz����/#&�20��/N;P"��N�����#QS"���)*'7/#��)*��"���/ +�>

�����������dK���MN���B���!����/O;P"���Q{"�;H������)*� �!�(A��!�<9�2*�7'("������('(��)*"�� +�JK��,���l "���/O�!�#&�'(��)*"��Z"�;�!���B�!������/O;P"���QT��$f|}�<�:'("������('(��)*"�� +�cK��?>%��y=46�!����/�)*"��~"�;�����S���!����/#;P"��#QS�($�|}���Y'("������('(�!)0"���"bG����n�����

/�)0��A�&�2*����),�!)0��/ a >

������������V���h.2*A��(9��!��)0'�)*� �����������(�!�<�!)0"���;P��"�Q��!���T�E"�)0�F��"<;�G6)*�CI�"<;-d)*A�A�/9�&���$�20��/ a J

V��,���@MN����20)*���z9E�(��I����(�������Y�!������/O;P"���QT��$�)0� �!��A��!��9�20�Y'("������('(�!)0"������$z�!���n-d)*A�A�/�9�&���$�2*� a J

V��?>%��-`�<��QT"���)*'()0��iS"�;�!���B�!������/O;P"���QT��$zQT�(�!�#)*' J�>V��LK��@��$��(�F��)0��'��<�!)0"��fI:)0���Z� i6�E����'("���"�QT"�20"�A�i J<VV��WV���y=46�!����/�)*"��D"�;�!���n-d)*A�A�/N9�&���$�20��"[G����:�!����/#)*��A�&�2����#)0�!)0��/ c�aV��?+%�lk%)0��A�&�2*����),�!)*�(/"�;�!�������!����/#;P"��#QS�($D-d)*A�A�/�����20$ U�KV��La���X=�<�!��9E"�2*)0'`I���)*A��F��/ U +V��?J%�@MN���B�!"��3"�20"�A�iS"�;�!���B�!������/O;P"���QT��$Z9�&���$�2*� �1e�U

Page 4: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� �������������

�����������.+%��MN����)0�FG����#/����!�!�<��/#;P"��#Q ���[+

� )*9�2*)*"�A��!�����Fi �b>�J

Page 5: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

�-.h`X M:y�� �

� ����������_���O���

�� ��� ������������������� !���#"��%$'&(�)��"+*,�.-/���������0�1�32��546$��546$7�����8 �<��Q ���!����/#;P"��#Q�)0/B�v��"��6s�2*)0���1�<�`������2*"�AT;P"��`)0��/#�!��� �!"���/7"�; �!���Y&�/�&��<2

m�"�&���)0���:�!������/#;P"���Q "��8;P&���'(��)*"���/(�`�u�`����/`9E���(���C46������/#)0G��(20i8/#�!&�$�)*�($�/#�!���#�Os)*��AS;P��"�Q �!����93�(A�)*����)*��Av"�;p�!���v�bU�c�e�xW/:93)*��/#��)*�#��$ 9 iZ�!��� /#��QT)*����2]I�"����D"�;; � m�^h���)0i����(9=<��]j7�#)*��;P�(2*$(9 8 �+>��]-d)0�!' ��)*������$@? &^� � � ; ����)*� "����f'�"��ts���(/��E"���$��(��'��)A �!���CBCDEGFIHKJ�LNM0O.PRQ�S�LUT�V 9E�(��I����(�v����),�!�5s���������A<i /�"�20&��!)0"���/ "�;�!���XW3M0O7Y0HZFI[]\]\^P`_Na:b�M0J�[ZS�O.P �<��$D/#"�QT�Y��20A���9��!��)0'B$��<� ��A /#���dc ��e 9fc �hg�e VC�MN���?�����A<s ; )*202*/7��iF&��<�!)0"���/Y����� �!���S��� �!) s�/#��20;�su$�&���20)0��iD�:iF&��<��)*"���/n;P"��g�D&���)0�!���#i'�"�������'C�!)*"��D"��Z�T-.�(��QT)0�!)*���vG���'(��"��d9�&���$�20��$��(������$8"bG����kj�l:m%�!���()*������),�!�5s�����(��A�iz/#"�2*&%�!)*"���/N���#�g'���2*20��$@[]O.PnJZM0O�JoS�O.PC�

k%)0��'�� �!���(�(9)0���!&��#����$ "�&����!���<���!���TA��������!�<2p��)*'C�!&��#�S'("���'��(����)0��Az�!��)0/'�"��#���(/��E"���$��(��'��7)0/�</ ;P"�202*"bI:/:p2*�C�rq 93�.��� iTQv�<��)0;P"�20$ "�9��!��)*���($ ��/��siF&�"�s�!)0��� �p"�;3j�l=9 i��7'(2*"�/#��$ ��$�$�)0�!),G���/�&�9�A���"�&��)t.�=MN���N/#"�2*&���)*"���/="�;������r?�����A�s; )*202*/N��i6&��<�!)0"���/d)*� G<����)*��� �:9FiutvAP�����<�.�����g'�20�1���#20if��"��`"<;=����),�!�g�����(��A�iz)0��!���g'1�</��wtvxy{z e7|}VN'����89E��)*$��(� �!)0����$Z)*�D���D"�9FG6)0"�&�/dQv���������N�!"T/�"�2*&���)*"���/"�; �v/Oi%/O�!�(Q "�; $�)�~_�(���(�F��)���2 ��i6&��<�!)0"���/`"���q�93'���2*20��$Z�!���dL�_N�0b��nJ�[ZS�O�"�;p�����?�����A<s ; )*202*/3�:iF&��<��)*"���/(�f�7���!��� "�������� ���<��$(9�$�����"<�!)*��Ad9 i1ARj�lNVN�_�!��� $�&���2 "�;�!���NG���'(��"�� /����<'��kj�l:9't $��(�!�(��QT)*���(/ ��'(2*"�/#��$S��$�$�),�!),G���/#&�9�A��#"�&���t��='1��202*�($�!���d�0b�M0\(Pnb.�KY0L�S�b5� 9 iZ/!�1i6)*��Av�����<�`���8�(2*�(QS�(�F�k����A�j�l�VN�N)*/d)*��t��N)0; �<��$"���2,iD),;f�3A��#VC��� ;P"��7��202�����t`�B-d����'(�09^I���'1�<��;P"���Q �!�����0b�M0\+T�M0O�[ Q�S�\��q � y A�j l V ��� t � "�;!q�9^�����<�n��2*/#"Z��$�QT)0�!/7�z�#��$�&�'(�!)0"���"�;�������?�����A<s ; )*202*/�:iF&��<��)*"���/�� 8 �<��Q �!������/#;P"���Q )*/p�!�����f�g����"6'��($�&����.�!���<��QS����/ /�"�20&��!)0"���/ "�;�!��� �#��$�&�'(��$ �:iF&��<��)*"���/�"��@q �!"z/�"�2*&���)*"���/B"<;������ ����$�&�'��($��:iF&����!)*"���/�"��q��9�)��#��'(��)0G���20i &��Z��" "[G�������2*2]A �<&�A��7�!������/O;P"���QS�<�!)0"���/�"��D9E"��!�z/#)*$��(/��r�7������(Qv���#�F/n�!���<�n�������#� )*/n�D'�����"���)*'1�<2 )0/�"�QT"��#����)*/#Q@9E�(��I�������A�A�j�l�VN��VN�n�<��$j�l�9���/ I�(2*2_��/9E�(��I����(��ARt���VN���<��$dt`�=MN�����#�(;P"��#�09�),;_I��7/#�!���#��;P��"�Q �Y/#"�2*&%s�!)0"��v"�;_�!���.����$�&�'��($Z��iF&��<�!)0"���/�"��1ql�<��$ )0�������<�!� 8 ����Q ���!����/#;P"��#Q ��I:)0'��}9I�`��A ��)0�SA��(�N�g/�"�20&��!)0"��T"�;^�!���`���($�&�'(��$f�:iF&����!)*"���/�"���q ���7���.)*QT�3"��O� ��� �����"��3�(�#��i ������2*"�A�"�&�/��!" &�/#&���2:m�"�&��#)*�(���!�!�<��/#;P"��#Q )0/ �����<� )0� /#"�QT�f'1��/#��/�!���S/�"�20&��!)0"�� I�� A��C�Y����)*/gI��1i~)0/:9H&��~�!"8�8'�"6"���$�)*���<���v' ���<��A������� ���69

 

Page 6: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� ����� ����� ����� � � ���

�F��"bI:� �!"�9E�Z�����z/�"�20&��!)0"�� I�Z/#�!���#����$ I:),�!�(mN�����<�T)*/�9 8 ����Q �!������/O;P"���Q)*/1A &�� �!"D�z/�)*A��3V�[]O �0S�\ b J�[��0_C� ; "�����"bG����:9H)*��/�"�QT� '1��/#��/n"����T�6��"[I:/g�!������!����QT"%$�&�2*)3/�����'(��/."�;=/#"�2*&%�!)*"���/N"�;�!���g���($�&�'��($8��i6&��<�!)0"���/:QS"6$�&�20" A ��&�A���!������/#;P"���QS�<�!)0"���/`"���q ����$ "��@q��`�<����/#QS"6"��!� � i6�E���Os��������2*�(�7QS����)0;P"�2*$�/I:)0���v���(/��E��'C���!"Y�����`QT�(����)0'd)0��$�&�'(��$f9 iSqprOs���"���Q ����$v�!���.'�"�QT��20�C4T/#����&�'5s�!&��#��/�)*��$�&�'���$S9 i�j�lnm 8 ����Q ���!����/#;P"��#Q )*/ �!���(�f�g� i6�E���Os��������2*�(��)0/�"�QT�(���#i93�C��I�(��� �!���(/�� QT"%$�&�2*) /�����'��(/���MN��)*/`)*/`��" 93�Y'�"�QT�����#��$�I:)0��� X=�<��/��CG<��2 xW/�!���("����(Q I:��)*' �f/#�!�<�!�(/�!���<��&�/#&���2_m}"�&���)0��� �!�!�<��/#;P"��#Q $��(������/:��� )0/�"�QT�(���#i93�C��I�(��� qpr�s�/#����'��(/."<;H;P&���'(�!)0"���/(�

Xp&�����)*��A�t y z e7|h9�"����gA��(��/kq y j1ld����$It�� y j�l�9}/�")q�� y z e7|F�����!��)0/ '1�</��09 8 ����Q ���!����/#;P"��#Q����($�&�'(��/ �!"7�!���Nh7jB- ; su�!������/O;P"���QZ�=MN���(���d���#�/��CG�������2�"�������� �54���QS��2*��/H"�; 8 ����Q ���!����/O;P"���Q )*�n�!���N20)0�!�(�!�<��&���� ;P"��H$�) ~3���#��� �/�&�9�A���"�&���/H"<;.j�l�m<;P"�� �d��)0'��p�54��E"�/#)0�!)0"���"�;6�!���(/��09�/����p������/#&��#G��(ig�����E���!c ����e"�; ; �7>�����$�)*QZ�H��� �!��)0/pI"��#�39FI��.�����:'�"���'��(�����($SI:)0��� �!���:'1�</��kt y j r �=����!��)0/ '1�</��09 �����N9���/#�NQv����)0;P"�20$Y)*/�q y j r 9F�<��$ )0�!/=$�&���27q��=)*/p�<��"��!�����p'�"��Fi"�;p�!����������2=��2*�����g�!���<�`I��/#����202=$��(��"��!�Y9Fi��j r �BMN����/#�T�����n��"��%su'�"�QT����'C�Qv�<��)0;P"�20$�/:9 I:),�!�z'�"�QT����'C�!),��'1�<��)*"���/��!�����d)0��QS����� /#�������#��/������ ����$����� �

���(/��E��'(��)0G���20i��NMN���Y�#��$�&�'(�!)0"��Z"�; �!���n"��#)*A�)0����2fA]?�����A�s ; )02*2*/�V��:iF&����!)*"���/.'����93�TG6)*�(I���$ )0� ��I�" $�) ~3���#��� ��I�bi6/ $��(�3�(��$�)0��A "�������� '�"�QS��20�C4�/O�!��&�'(�!&�����!�����.I���' ��"6"�/��}pN�!���Ci8�<���n�����Y��iF&��<�!)0"���/.$��(����)*��Af�<�8)*� ����A�����9�2*�g'�"�������'5s�!)0"�� I:)0�!�T�����#QS"���)*'NQT�(����)*'}9 "�� �:iF&�),G��<2*��� ��20i�9�����"�/#�.$��C����)0��AY�g-.)0A�A�/ 9�&��6s$�2*��I:),�!��-.�(��QT)0��)����%s�yp)*��/O�!��)0�8QT�(����)*'<� 8 "[I�9 ),�B�!&��#��/�"�&��B�!���<�B�!���(���T���#���"B/�QT"6"��!��/#"�2*&%�!)*"���/="����������:)*��QS�����Y/������(���N"�;E�()0�!����� "�����"�;}�!���(/��N��i6&���s�!)0"���/�C4%'��(���p;P"��H����������),G%)*��2F"����(/�A '<�W;t��c ���.e V5� -d"[I��(G�����9F�������#�N���#�/�"�2*&���)*"���/���1G6)*��Ag�����(/�'(��)*9E��$v/�)*��A�&�2��<��)0��)*�(/ )*� /�"�QS�d�3"�)*� �!/�9%�<��$S�����./#"�2*&%�!)*"���/p"�;^"�����:iF&��<��)*"�� �����Z/#��)*202N)*� '�"��#����/#�3"���$�����'��8I:),�!� ����"�/#�8"�;.�!���D"��!���(�:pZ�!��)0/S)0/����"bG���$v9 i���� � ) iF&����#$S�<��$TX �_� � " ��20' � )*�uc! e �#" �:��/#�!��9�20)*/�� 9 &���$��(� /#"�QT�� i%�E"�������/#��/ "����!���S/�)*��A�&�2��<��)0��i�93�(���1G%)0"��:9 8 ����Ql���!����/#;P"��#Q@;P"��n/#)*��A�&�2����)*� �!�(A��!�<9�2*�.'�"�������'(��)*"���/�A "���:iF&�)0G<��20��� �!2,i�96/�)0��A�&�2*����-d)*A�A�/�9�&���$�2*��/�V�"�� ������d)0��QS�����z/��������#��� 8 "��!�B�����<� 8 ����Q{�!������/#;P"���Q{;P"��:/#)*��A�&�2�����"�97�#��'C�!/d���1G����2*�#�1��$%i 93�(��� /#��&�$�)0��$~9 i���� � ) iF&�����$�����$ ; �f>����#$�)*Q�)0� c%$ e ����$~9 i~kE�hY�} �������F)0/`����$Zhn� ������&�/O�!)0�Z)0�Xc'& e �!�B�z�!���B"��!���(�:������$(9�&�/�)0��A $�) ~3���#��� ��!�(' ����) iF&��(/:9 � � ; ��20A��!����A��p����/ $��C������$n)*�1c � & e �:/�"�s�'1�<2*2*�($�m�"�&���)0���tst\ ����2*��'���!������/#;P"���Q�;P"�� )0�F����A�����9�20�N'�"�������'(��)*"���/ I:),�!�T/�)0��A�&�2*����),�!)*�(/ "�� �!���k�:)*�(Qv�����/����������`93�(���1G%)0��AY)0�S�����`/���QS�dQS�������(��"��S�!���.2*�(G���2E"�;]/#)*��A�&�2����#)0��i�$��<� �n��/�!���N"�����I�:$��C�����:���(�����=�u� )*/=�������#�(;P"��#�:G����Oi ���<��&��!��2%�!"B9E��2*)0�(G����!���<�=�!���(/����I"S�!�!�<��/#;P"��#QS/d��'C�!&��<2*20if��A����(���k�7���g$�) ~3���#����'(�Y9E�(��I����(���!���(/��YI�"����F/.)*/:9

Page 7: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� � � � �������������� � ��������� � � � ��� � � ��� ���� � ��� ���"bI�CG��(�:9=�����T���!����/#;P"��#Qv�<��)*"�� "<;N�z�����!�<93"�20)*'�/O�!�#&�'(��&����v����$ �����<$���������$�����#QS"���)*'NQT�(�!�#)*':�<� �����:/�)*��A�&�2��<��)0��)*�(/ )*� "�&�� '���/��}m%;P"��p$��C� ��)02*/�96/#���`k%��'C�!)0"�����WV��

MN����'�"���/#����&�'C�!)*"��z;P"�2*2*"bI:/�����BQS��)*�f)0$��1��/"�;="<�!���(� 8 ����Q �!������/#;P"���QT/;P"�&���$z)0�f2*)0�������<�!&��#��� 8 ��QT��2,i�9�)0�Zk%��'C�!)0"��D>%�0�7I���$��(�������3"�/#)0��)0G��7����$z����A�s�<�!),G��B/#��)*��"��d9�&���$�20��/����D"bG��(� �����n9��</:I���202 ��/d� j7)*�!�<'7"��E���!���!"��

� p�������� �#� ��� �!�#""��g�!���(��2*�C���d� ��%$ �& 9E�n�S��������QT�(�!�(�:9}I:�����#� �& )*/:�!���n/#)*��A�&�2����:2*"6'�&�/"�;=�������!�!�<��/#;P"��#QS�($8"�9h�#��'(��/:93����$Z;P"��d��2*2 � ��I:)0/#�d�!���g"��E���!���!"�� � 9 iD/#"�QT�|}�<�n'�"�������'C�!)*"����!"D"�9�� �<)*� �Z; ��QT)*2,i�"�;N"��3�(�!�<��"���/ �(' �Z���~k%��'C�!)0"�� >%�?>zI������"bG�� �!���<�n�!���f�<���#����2�"<;N�!���(/�� ��I:)*/O�!�($ "��3�(�!�<��"���/gG��<��)*/#� ����$~�!���<�Y�����'�"��<���#����20/ ;P"���Q �`����)0���Csu$�)*QT����/#)*"�����2%/#����'(���pm�&��O�!���(��QT"����}9��!��)0/ $�)*QT����/�)*"��)*/ )0��$��(�3�(��$���� � "�;���m�I��N�!���(�T$��(�����N�����N�!�!�<��/#;P"��#QS�($�G��('(�!"�� 9�&���$�20� �� "���� �</=�!����G���'C�!"��p9�&���$�20�I:)0���Y��9E��� "bG��(�f�7A�),G��(� 9Fi�)+*-,/.10.A �(' VC�H���Tk%��'C�!)0"��>%�LKgI��`'1�<���#iT"�&%����� ������20"�A�"�; q r s�-."6$�A��:�!���("��#i "�;]�n'�"�QS���<'(� � ��<��2*�(��)��<�Qv�<��)0;P"�20$ )*� �!��)0/S'���/��}m7����QT��2,i I�D��/#�!��9�20)*/�� ��� )0/�"�QT"�������)*/#Q 93�C��I�(����!��)0/v'("����(�����(27����$ �����D����/#�fq r s�'("���"�QT"�20"�A�i "�;g�<� ��202*)0���!)0'Z'("�QT��2*�54 9���/I�(2*2��/������#QS"���)*'D�(su;P"��#QS/gI:)0���~���(/��E��'(� ��"8�!���z\ ����2���'()���� "�;:�!���fj7)0�!��'"��E���!���!"��(� "��d�!���(�fA�"Y"��v�!"n$��(�����7�!���d�!�!�<��/#;P"��#QS�($S|}����9�&���$�2*�`����$v������!������/#;P"���QT��$ -d����QT)0��)�����QT�(�!�#)*'T)*�~k%��'C�!)*"�� K��,��9p����$ I�f�54%������$~�����v|}���9�&���$�2*�p"bG��(������ /�)*��A�&�2��<��)0��)*�(/32`/�":$��C����)*��Ad����� �!������/#;P"���QT��$gQS�(��"�QT"�������)*')*� �!�(A��!�<9�2*�d'�"�������'C�!)*"��#2T)*�zk6��'(��)*"�� K�� >6� MN���7�!������/O;P"���QT��$ QT�(����)0'.)0/��!�����/���"bI:�v��"n9E�d-.�(��QT)0�!)*���%s�y )0��/#����)0��)*�vk%��'C�!)0"��SV�� >%� 8 �C46�:9%)0� k%�('(��)*"��TV��LK�I��A�)0G�� �f'�"�QT��20�(�!�(20iZ�C4%��20)*'()0�7$���/�'(��)0���!)0"�� "�; �!������93�(��/B"�; �!�����!�!�<��/#;P"��#QS�($9�&���$�2*�097����/#�D)*� ������QT/Z"�;�� i6�3�(��'("���"�QT"�2*"�A�i "�;�� /#���1�<;�Qv��� 9.�!����� )0��!�(��QT/."�;=�!���n'�"��#����/#�3"���$�)*��Av/��E��'C�!����2H/#�(���dMN������'("�QS���!���Y'�"���/#����&�'C�!)*"���/"�;�������54%������/#)*"���/="�;����������!����/#;P"��#QS�($�-.)0A�A�/9�&���$�2*� �!".�����/#)*��A�&�2���� �E"�)*� ��/A k%�('(��)*"�� V��WVhVC� MN��)0/z��2*20"bI:/f&�/f�!" "�9��!��)*� �!����/#)*��A�&�2����#)0��i $��<�!� "<;n������!������/#;P"���QT��$T-.)0A�A�/ 9�&���$�2*�:)*�Sk%�('(�!)0"���/ V��?+g�<��$SV��?a.9F�<��$TI��d'�"�QT��2*�C�!��������!������/#;P"���Q 9 iS'("�QT��&��!)0��An�����.��"��E"�2*"�A<i "�;^�����.���!����/O;P"���QT��$ -.)*A�A�/ 9�&���$�20�)*�Dk%�('(�!)0"��ZV�� J6�m=)0����2020i�9� �����%�!���`+ $��1��20/NI:)0�!�z�!���g)0� G�"�20&��!),G%),��i ���#"��E���#��i"�;�!���B�!������/O;P"���QZ�

�� �( �4:"��%$65��5��-� R$�����"�"6$7�0�5�R�#"87 �#��"#���32:96��$�;\]�(� � 9E�N�!���:'�"�QS��20�C4�2*)*���09�I:),�!�T)0�!/p���<�!&�����2���"�2*"�QT"�������)*'�'("%"���$�)0���<�!�

< y �>=@?BA�����$�yp&�'�20)*$�������QT�(����)*'DC $ < C r�m ����$�20�(� ��� � 9E�S�!���v'�"�QS��20�C4����"5�#��'(��)0G��Y2*)0������\ �C�E�v� ��� � 9E�Y�T�!�����>0 ��"�2*"�QT"�������)*'`G���'C�!"��.9�&���$�20�

Page 8: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� ����� ����� ����� � � ���

"��n�������:)*�(Qv�����n/#�������#�09F����$���9E���dQS�(��"�QT"�������)*' )*� ����A�����9�2*� '("������('(�!)0"��"�� )0�:9 I:),�!����L�PnJ�S�LN�7_nLD"���\ SNY'M0LU[]J��7T`[Z�1Pn[]O7Y0b \�M0LU[]J�[Z_ PD�<� �!���f�3"�)0� �!/ "�;`�����),�!� /��C� z�� � " "1" ��� | y & � ����$ � /��('�"���$ "��#$����z/�)0��A�&�2*����),��i ���)*������)0��i��p���Z"<�!���(�:I�"��#$�/:9}"��Z� /�QS��2*23$�)*/#���uA ��� �� V'(��� �!�(���($��<� ��� � & )0��Y��"�20"�QT"�������)*'N9���/#)*/ z�� �� | ��� ����������� � "�; ��9��o)0/"�;_�!���d;P"���Q�� � =�� � I:���(��� � �)*/:� ��"�20"�QT"�������)*'��(s ;P"���Q "��z�!����$�)0/��v����$� � y $ = ! �

< � ��� $ <#" "AO���,�5V

"���/#&����E"�/���;P&��#�������#QS"����7�!���<� ! � )*/N$�)*��A�"����<2Zp! � y

$%%%%%%%%%&e

� � �e ' � �)( � � � � � ' � �

*,+++++++++-m

)0� )0/T'���2*20��$ �!���XL�_ Pn[��0b�_8"<; � �<� ��� 9�����$ �/. 0)� 0 � . 0 )*/������Z�!�����"�; ! � � m�"�� '�"�� G�����)0����'(�09NI�D��&��

' �� y "1"1" y

' � �)( y e 9�/�"��!���<� ! � y0 ?2143 A ' � � V �5� �2������� � ��" �vI:)*202�"<; �!��� QS���<� &�/��f"<;d����� ��"�2*"�QT"�������)*'T2*"6'1��2 $��5s'�"�QT�E"�/�),�!)*"��

� � y � ��2687:9 � �;)< � 7 AO���?>�V)*� �!"D�!���@L�_ZY0b7\�M0L�����$ Pn[]O7Y0b7\�M0Lu� S�TC��S�O _nO�J]Pf"�;�� ���1��� ��� m ���(���z9 i~$��C;�s)*��),�!)0"�� � ��2687 )*/��!���Z��"�2*"�QT"��#����)*'S/�&�9�9�&���$�20�D"<;E� � y � C =?>�@ (�� ACB /�����������$9 i z�� �� | �5� �2��������� ��( 9_����$/� �;)< � 7 )0/d�����Y"����Y/#���������($ 9Fi z�� �� | ��� �)( � �2��������� � �.��� ����)*�6s/�)0'1��2020i�9 � �;�< � 7 )*/��!��� /#&�Q "�;��!��� A��������!�<2*)ED(��$ ��)*A�����/#����'��(/ '�"��#���(/��E"���$�)0��A�!" ��202 ��)*A���� G<��2*&��(/�'�"��FG����#A�)*��A ��"�)*������)0��i "�;N�!��� )*� �!�(A��!�<9�2*�S'�"�������'(��)*"�� 9I:�����#�1��/ � ��2687 )0/7�!��� /#&�Q�"�; �!��� A��(��������2*)FD���$���)0A�����/�����'(��/g'�"��#���(/��E"���$�)0��A�!" �!���g�()*A��(� G��<2*&��(/:�����<�:�#��QS��)*�f9E"�&���$���$^�

���D��/�)*QT)*2*��� Qv����������9��<�:)0������),��iG� )*//�&����E"�/#��$z�!" 93�B��iF&���2�AP&��f�!"T���"�20"�QS"�������)0' �!�(��Q�V]��"B�.QT���#"�QS"�������)0' 2*"6'1��2 QT"%$���26���1G%)0��A7� P%_ � S�O���S�L��7_nL��S�\ _n9�/#"��!���<��)*�z����"�20"�QT"�������)*'d9���/�)0/ z��IH� | ��� ��������� � � "��z��$�)0/�� � $J�uA e LK V'�"��#���(/��E"���$�)0��Af�!"Z�f/#� �<��$����#$ ���()*A��F9E"�����"%"6$ "�;�)*������)0��iD)*� ��� �U9])0�B)0/B"�;�!���g;P"���QM� y � H =N� H I:�����#�O� H )*/d��"bI �S��"�20"�QT"�������)*' �(s ;P"���Q )0�Z�����A�)0G����Z����)0A��F93"�����"6"%$f"<;=)0������),��i�9�����$� H y $ =QP ! =SR <UT $ <4"AO���LK'V

Page 9: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � ����� ����� � � ���� ��� ����� � ����� �������� � ����� ��� � � � ��� �

)*/�������/���'("���$D"���$��(�:QS"6$���23I:)0�!�z$�)*��A�"�����2_20�1��$�)0��A��!�(��Q

! y

$%%%%%%%%%%%%%%&

�� � � �

�� � � �

� � �� ���

� � �� ���

*,++++++++++++++-����$Z���(/�)*$�&��

R y$%&' H � � � � ' H�

* +- "-.�(��� z ���]| � �� � � �<�����!����$�)*/O�!)0��'(�p�()*A��(� G��<2*&��(/ "�; ! �=y �<' �)����<���3������/=)*� ���()*A��%s93"���)*��A �3"�/#)0��)*"���/� y � = 1�� "1"1" 1�� � � 9 )0� �����#��)*'(&�2����n)0��/ Q�&�20��)*��20)*'()0��i )0/ � y 1�� � � � 1�� �!�`;'�"�&���/��}9�I��Q�&�/#�N�!�����z���1G�� 1

� y e ����$ 1 � � � � y 06�p���2*)0���BI:)0�!�Z�!���n��9E"bG��Y��"�� �<��)*"�� 9}I��Y/#�(� 0 H y eS����$ R y 0 ?2143 A ' H� V �5� �2������� � � �m�&��#�������#QS"��#�09�I���I:)*2*2EI:��),�!�! y 0 ?2143 A z �� �R|}V�� � ��������� � ���;P"��N�!���n$�)��<A�"�����2]QS�<����),4 ! �</.A�),G��(� ��9E"[G��09EQS������)0��AT�����<� ! )*/d$�)���A�"�����2I:)0��� �_����)0A��F93"���)*��AT�()*A��(� G��<2*&��(/N�:iF&���2]�!"`��P�

������������������� ���0� �"! ��_�[]O�JK_ZY0LNM'�:\ _ � S�O�O _ �nJ�[ZS�O.P �.M �%[]O7Y Pn[]O7Y0b7\�M0Ln[]J�[Z_ PO _NM0LIJ)��_1��S�[]O�J]P�SoQ &$# z&% |�M�P@�7_ P%�nLn[��n_N� M'�nS �0_(' []\]\G�n_X�NM0\]\ _N� QS�(��"<sQS"�������)0':)*� �!�(A��!��9�2*�N'�"�������'C�!)0"���/�I:),�!�S2*"�A �<��)0����QT)*'/#)*��A�&�2����#)0��)*��/=)*� & �<��$�./#��'�"���$%s�"���$��(�=/�)0��A�&�2*����),��i��<�H)*������)0��i*)/S�L�Q�S�L!Pn[]TC��\ [Z�n[]J,+nQT���#"�QT"�������)*' )*�%s�!�(A��!��9�2*��'�"�������'C�!)*"���/�M0\ J���S�b0Y ��J���_-+dM0L�_`��+kQ�M0LsO S�J�M0\]\=J���_sT�_nL�S�T�S�L �I�7[Z�[]O�Jo_ZY0L�M'�:\ _�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O.P�.

�� 0/( 21 46$I�%�5��"+�:2 �3�43 ��2��546$"3�$h�5�53��3� 7/4+��� ��"#�%$653�5��-/ R$����"+"+$7�0�5�R��"

\]�(�kA � �dV9E���`/O� ��9�20��G���'(��"��p9�&���$�2*� I:)0�!���`QS�(��"�QT"��#����)*' )*� ����A�����9�2*�'�"�������'C�!)*"���"�� ����� /����������<���7&�����)*Q�)*������)*/B���<�3�(�B)*/`��"Z$��(�����S����"<�!���(�'�"�QT��20�C4 9�&���$�20� ��@I:),�!� � QT���#"�QT"�������)*' '("������('(�!)0"�� �� "�� �!���Z/#�����(���"�&��n"�;wA � ��VU9HI:��)0' ��I�� '1��202 �!����J�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N��T�_nL�S�T�S�LK�I�7[Z�`[]O�Jo_ZY0L�M'�:\ _� S�O�O _ �nJ�[ZS�O�� >�&�/#�v��/ �!���Z)*��)0�!)*��2'("������('(��)*"��(9��!���Z�!�!�<��/#;P"��#QS�($ "����ZI:)02*2

Page 10: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ����� ����� ����� � � ���

��2*/#"f��$�QT)0�7�v����),�!� �F&�Q�9E���7"<;�/#)*QT��2*�n�3"�2*��/`)*� �E"�)*� �!/`"�; �!��� 20)*���Y����$��/��('�"���$6s�"��#$����d�3"�2*�B�<�:)0������),��i��

����"���$��(�B�!"Z$��(�����T����� �!�!�<��/#;P"��#QS�($ G���'C�!"��g9�&���$�2*� ��19 ���#/#��I�T���(��$�!"f/#�(��/�"�QS����"�� �<��)*"��_��\ �C� ��{93� ����"��!���(�7'�"��Fi8"�; �S��APMN��� )*QT�E"��#�!����'��"�;�$�)*/#��)*��A�&�)*/#��)*��Af�����T��I�"�'("���)*�(/n"<; � )*/B��"8���(2*��&�/��1G�"�)*$�'�"���;P&�/�)*"���/��^Vm�"��:� �����!�<QS�C�!�����)� ���9�'("���/#)*$��(�:�����B;P"�2*20"bI:)*��A�$��(;P"��#Qv�<��)*"��v"�; ��p� < ���' y � ����$ < " AO���WVhVI:�����#�w�)p � � � /#�!����$�/N;P"��NQ�&�20�!)0��2*)0'1�<��)*"��T9 id��� k6)*��'(�7I�g"���2,i ' ������A���!���sAt� e'Vus������O� "�;?�I9F����$S9 i ��� �(��$�"�QT"�������)*/#Q �!���<� )*/ )0��$����E����$���� ��"�; < 9�!��)0/ )*/ �!����� �<��"��!����� QS�(��"�QT"��#����)*')*� �!�(A��!��9�2*�N'�"�������'C�!)0"��(9FI:)0�!� �����./���QT�&���$��(��2,i%)0��A ��"�20"�QS"�������)0'`9�&���$�2*�g��/N;P"�� �D�pMN����$���'("�QS�E"�/#)0�!)0"��

AO���?+�V � y � � =�� "�;N�!���v)*� ����A�����9�2*�T'�"�������'C�!)0"��~)*� ��"8�!���S&���),� ���Oi '("������('(��)*"��/� � ����$������/��(20;�st�<$��#"�)*� � �(��$�"�QT"�������)*/#Q � I:)*202N93�Z"�; �!�(� &�/#�(;P&�2 � ��� ����)*/T$���'("�QT�3"<s/�),�!)*"��(9�!����&���),� ���Oi �<��$ /��(20;�s���$��#"�)0�F�T���<�#�!/v"�;B�!���8$��(;P"��#QS�($ )*� ����A�����9�2*�'�"�������'C�!)*"��8���#�B'�20�1���#20i A�)0G��(�D9 i� �' y � ��� �

> $ < =��� > $ �<AO���La'V

� < ���' y � � �> $ < � �� > $ �<

"AO���?J�V "���/#)*$��(� �!���N;P"�202*"bI:)*��Ad; ��QT)*20i�)0���B"�;3��202*)*�%�!)*' '�"�QS��20�C4%��/� < ���' "bG��(� � $ & pAO���Lc'V �� �!� ��������0��� � �8� ��������}�%� r ���#"m=),4 �~-d���#QS),�!)��<� QT�(�!�#)*'�� "��@� ;P"��SI:��)*' � �!��� ��"�2*"�QS"��#����)0'Z/#��'C�!)*"���/"�;d�!���z�C46������/#)*"�� �<� �!���z/#)*��A�&�2����#)0�!)0��/Y�����z9E"�&���$��($ A ��93"bG��D�<��$ 9E��20"bIGV9 i �~�E"�/�),�!)0G���'�"���/#�!��� ��9.����$ $�����"��!� 9 i �� < ���' �!��������/#�fq rts�'("���"�QT"�2*"�A�i"�;B�!���8'�"�QS��20�C4 AO���?c'V ;P"��S����)*/SQS�C�!�#)*'�� ��� MN���("����(QS/z>6�?a~�<��$ >%�?>%�8I��/���"bIo�!���<� �������#�z�C4%)*/O�!/T������)0��� /��C� �& ��@/�&�' � �!����� ;P"���� � �� $ �&�!�������#/#�Bq r s�'�"���"�QT"�2*"�A�)*��/"�;=����)*/d'�"�QT��20�C4D���#�g����)0�!�5s�$�)0QS�(��/�)0"�����2_"�;=�����/!��QT�B$�)0QS�(��/�)0"��f;P"��:��2*2����

������������������� ���?>�� ! ��_`���!����/O;P"���QT��$ G���'(��"�� 9�&���$�20� �� [ PkJ���_nOdJ)��_ �0_ �nHJoS�L��:b7O��.\ _@S �0_nL �� $ �& ':��S%P%_ �r�n_nL�S �0_nL)� � �� $ �& [ PuJ���_ ��L�PnJ.q r H� S���S�T�S�\ SNY +�q r�� � A � < ���' V`SoQ�� < ���' .

\]�(�f� � � ��/$ �& 9�����$�20�(���fA < V�� �� ' � 93�N�.'�2��</�/=)0�n��������#/#� '("���"�QT"�20"�A�i"�;!� < ���' � �

Page 11: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � ����� ����� � � ���� ��� ����� � ����� �������� � ����� ��� � � � ��� � �

������������������� ���?K*� ! ��_��!������/O;P"���QT��$7|}��� '�"�������'(��)*"�� �� [ Pr��+ �7_���O�[]J�[ZS�OJ���_���M0J � S�O�O _ �nJ�[ZS�O ':��S%P%_C�.M0L�M0\]\ _n\+P%_ �nJ�[ZS�O �fA]��m < Vd_���JK_nO��0[]O7Y �,[]OXP%S�T�_O _n[�Y �.�nS�LL��S%S:��SoQr� � [ P�Y0[��0_nO���+`J)��_:��L�PnJ]q r HN� S���S�T�S�\ SNY +)�n\�M�P P%_ PG[]O � < ���' SoQ

. > ' � ' � B�� �fA < V "m=)0����2*2,i�9 � )*��$�&�'��(/N�n���<�!&�����23-.���#QS),�!)*��� QS�C�!��)0' �� "�� �����/ ;P"�2*20"[I:/�pH)0�

MN����"�����Q >%� >6��I���/���"bI �!���<�d�<�Fi '�2��</�/N)*�Zq r�� � AC� ' V'����Z93�B�#�����#��/��(� �!��$9 i��7&���) iF&������<��QT"���)*'d�(s ;P"���Q I:),�!���#��/��E��'C�p�!"`�����N\ ����2*��'�)*���Y"<;��!���Nj7)0�!��'"��E���!���!"��(�

������������������� ���LV*��! ��_����!����/#;P"��#QS�($f-.�(��QT)0�!)*���TQS�C�!��)0' �� S�O �� [ P �7_nH��O _N�d��+�J���_.q r HKO S�LUT SoQ#�.M0LnT�S�O�[Z� L _K��L�_ P%_nO�JZM0J�[��0_ P�.h`2023����)*/I:)02*2393�7�54%��2���)0����$z)0� QS"����7$��C� ��)02_)0�Zk%��'C�!)*"��DK%�0������$f)*�zj7�(�%s

��)0��)*"��zK%�0���" ���(� "����Z'�"���/�)*$�����/S��� )*� �!�(A��!��9�2*�z'�"�������'C�!)*"��(9��������#�8�C4%)0/#�!/T/�"�QS�5s

�!)0QS�(/ � ����)0G6)02*��A���$ ��9E��� QT�(�!�#)*' "�� ����� 9�&���$�20�09 ���<QS�(20i � ���<��QT"���)*'"����<����� "���$���� �!" 9E� ��9�20�8�!" $��(����� ���<��QT"���)*'()0��i09:�!����������� $���'("�QT�3"<s/�),�!)*"��vAt���?+�V "�;O� )*� �!" ),�!/z&���),� ���Oi ����$ /���2,;�st��$5�#"�)*� �f���<�#�1�{j7����"<�!��9Fi� ��

"���/#)*QT��20i � � ����� '�"bG<����)*��� �n$�����),G<�<�!),G��T��/�/#"%'()��<����$ �!"z�!���T'�"�������'5s�!)0"�� � � AP/�" �!���<� � � QS���<��/z/��(��/�� ;P"��z�~�!�(��/�"�� "�;��<��9�),�!�!�<�#i ��i6�E�A�� ��� � V @ ��A �� ��� � V�� �� � � A ���NV ; V ����$ 9 iIA � � VN�� �!���`��$��#"�)0�F� "��E�����<�!"��"�; � � I:),�!�z���(/��E��'C�.��" �^�

������������������� ���?+�� ! ��_ Ew_nLUT`[]J�[�M0O@T�_nJ�LU[Z����[ P`�NM0\]\ _N�8�����#QS"���)*' )![ Q�[]JP:M0J�[ P���_ P J���_`_Na:b.M0J�[ZS�O

A � ��V �� � y e�"AO���LU'VMN��)0/d)0/:� /���'("���$%su"���$����d��"��%su2*)*���1���������#��)���23$�) ~3���#��� �!)*��2^�:iF&����!)*"��Z)0� �]�-.�(��� )*/S�!��� QS��)*� ����/#&�20� "�;n����)*/S�!���(/�)*/f)0� �~/��E��'()���27'���/�� A �!��� "����

I:)0����"�&��:���<�!��9E"�2*)0'`/O�!��&�'(�!&�����/�93/#���nj7�(����)0�!)0"������Lc'V5���� ����� ��� ���La*���+_nJwA � � �3V��n_ M0O*+�T�_nL�S�T�S�L �I�7[Z�1[]O�Jo_ZY0L�M'�:\ _ � S�O�HO _ �nJ�[ZS�O ' []J)��\ SNY'M0LU[]J��7T`[Z��Pn[]O7Y0b7\�M0Ln[]J�[Z_ P�[]O & M�Pd[]O�����. ��� )sM0O���M��7S�b.�:\ _

��S�\ _�����.! "��M0J)[]O ��O�[]J + ) _nO��7S4' _N� ' []J)��M/�.M0LUT�S�O�[Z�IT�_nJ�LU[Z� ��.$#3b%�'��S%P%_J��.M0JrJ���_`_n[�Y7_nO ��M0\ b�_ P�SoQ�J)��_���S�\�M0L��.M0LnJ�SoQ � []O@J)��_���b O �nJ�b7L _ P P:M0J�[ PRQ�+�J)��_Q�S�\]\ S4' []O7Y�M�P Pnb7TC��J�[ZS�O.P&%

At�5VkQ�S�L �'� _N�)( � z � "1"1" +* |�)rJ)��_�� S�TC��\ _��1O�b T��n_nL�P ' � � Q�S�L y 0 � =� " "1" 0�M0L�_ M0\]\6�0[ ,_nL�_nO�J�)rM0O��.- ' � � ��X�

Page 12: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ����� ����� ����� � � ���

A >�VkQ�S�L �'� _N����� z � "1"1" +*�� |�)1J)��_�� S�TC��\ _�� O�b T��n_nL�P' H� Q�S�L y

� = 1�� "1"1" 1�� � � M0L�_ M0\]\6�0[ ,_nL�_nO�J )!M0O��.- ' H� ��X�! ��_nOXJ)��_wP%_nJCSoQk��b7O �nJ�b7L�_ P �& � �� SoQsJ���_ J�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N�u�:b O��.\ _ [ P�J)��_ P%_nJz � �� "1"1" � � � |�SoQ��0[ PnJ�[]O �nJw_n[�Y7_nO ��M0\ b3_ P�SoQ�J)��_�\ _NM'�0[]O7Y�S�L��7_nL�Jo_nLUT ! SoQ �M0J []O ��O�[]J,+�.��+S�L)� �� �& )�J���_ ��L�PnJ7qprnHN� S���S�T�S�\ SNY0[Z_ P�SoQ ����.��"��M0L _ ��O�[]JK_�0[]T�_nO.Pn[ZS�O�M0\ �0_ �nJKS�L)PK�.M7� _ P�SoQ�J)��_�P:M0T�_��0[]T�_nO.Pn[ZS�O5. ! ��_-+�T�M0Jo����b%� JKS�7_���O _sM�PnT�S%S�J)� �0_ �nJoS�Lw�:b7O��.\ _ �� SoQLNM0O�

AO���,�be'V �0 y� � � � A 0G� 0 � V

S �0_nL �� $ �& . �� [ P M ��M0J�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O S�O �� .��UJb O��7_nLU\ [Z_ P�M�T�_nL�S�T�S�LUH�I�7[Z�)[]O�JK_ZY0LNM'�:\ _�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O � J)�.M0J ' _�� S�O�J�[]O�b�_�JoSI�7_nO S�JK_1A#�� ���V �@SoQ��7_nHY0L�_ _ 0 .,3(A �� V y 0 .,3 A � V ))�NM0\]\ _N�XJ)��_8���!����/#;P"��#QS�($ QT���#"�QS"�������)0' '�"�������'5s�!)0"�� . �nJ �.M�PI\ SNY'M0LU[]J)�7T`[Z� Pn[]O7Y0b \�M0LU[]J�[Z_ PI[]O �& M0O�� M �7S�b��:\ _���S�\ _�M0J�[]O�H��O�[]J + . ! ��_@O S�O�H���M0O�[ P��7[]O7Y _n[�Y7_nO ��M0\ b�_ PXSoQIJ���_�L�_ Pn[��0b3_�[]O ���1� �& M0L�_z �' H � ����� "1" " � ' H��� ��� |�. ! ��_`_n[�Y7_nO ��M0\ b�_ P`SoQwJ���_wP%_ � S�O��0HNS�L��7_nL Jo_nLUT SoQsJ)��_

J�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N��T�_nL�S�T�S�LK�I�7[Z�@� S�O�O _ �nJ�[ZS�O�M0L�_ z � � �� "1"1" � ��� |�)�J���_IT`b \ J�[]H��\ [Z�n[]J +@SoQ)� ��� �n_n[]O7Y�A 0s�!0 � V�� J)��_�_n[�Y7_nO ��M0\ b3_ PdSoQ)[]J]P1L�_ Pn[��0b3_1M0JG[]O ��O�[]J +S�O J)��_I_n[�Y7_nO.PK�.M7� _uSoQ1J���_1P%_ � S�O��0HNS�LN�7_nL�JK_nLnT � S�LUL _ PK��S�O��0[]O7Y@JKS@� ��� M0L�_z �' � ��( � � "1"1" � ' � � |�.�� []O�M0\]\ + ) ���[ P �.M0LUT�S�O�[Z�fQ�S�L �� .

� �����'��� ��� J � ! ��_�M�P Pnb7TC��J�[ZS�O.P ����� M0O�� ���&�,SoQXJ���_�J)��_ S�L _nT M0L�_�n\ _NM0LU\ +�Y7_nO _nLU[Z� []O@J)��_��.M0L�M0T�_nJo_nLCPK�.M7� _ SoQsM0\]\ ��S%P Pn[��:\ _�_n[�Y7_nO ��M0\ b�_ P�.

MN��)0/������"��#��Q �<'(�!&���2*2,i`;P"�202*"bI:/^;P��"�Q �!��� QT"����pA��(��������2F/#�!�<�!�(QS�(�F� ���,�[J%���� "���$����`��" &���$��(��/O� ����$ ����� QS"����YA������(�!��2H/��(��&��(9]"����������($�/7�!"v'�"���/#)*$��(�QS�(��"�QT"��#����)*'`'�"�������'(��)*"���/d�(��$�"bI���$DI:),�!�D� �����!�<93"�20)*'./#�!�#&�'(��&����<�

�3 �6 � ���5��- �� ���� ���%���+�0� �+�5$���"�* ��*+��76�%$7*,4+�.�&3X�#"+��� 3�$'�%�����h`'C�!&��<2*20i09�I��g'����Z/�&����E"�/#�gQT"��#�B/#�!�#&�'(��&����g"��f�!���g)0� �!��A��!��9�20�7'�"�������'5s

�!)0"��(p ���<QS�(20i�9p�����<� )0��'�"�QT��/�I:),�!� � �����!�<93"�20)*'S/#�!�#&�'(��&����Z"�� & ����$ ���)*������)0��i��

������������������� ���?c���B ��������9E"�2*)0'B/#�!�#&�'(��&����@S�OXA � ��Vs[ P J���_`�'M0JZMISoQ�MPnJ�LU[Z�nJ�\ +d�7_ �nL�_NM�Pn[]O7Y ��\ J�L�M0J�[ZS�O���+��0_ �nJKS�LCPnb��nPK�.M7� _ P� @ y"! � � @$# ! � � @$# "1"1"%# !'&)( � � � @*# !'&)( � @ y{z e |

� ':��_nL�_f� . ��@ . 0 ��SoQdJ)��_ �r�n_nL � @XSoQ � []O�_NM7����Pn[]O7Y0b7\�M0Ls��S�[]O�J � �& # z&% |�)+�NM0\]\ _N�GJ)��_����<�!��9E"�2*)0'H|}�<A�)#Pnb����wJ)�.M0J6_NM7��� !,+ [ PfPK�.M0O�O _N���+�P%S�T�_

Page 13: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � -� ��������� � � ��� � �� ��� � �� � ���� ��� � ��� ��� ��� � � � � ��� � � �u�SoQ�J)��_�L�_ PnJ�LU[Z�nJ�[ZS�O.P z�� �� A � VU| � ��� � SoQ�J)��_ ��S�\ S�T�S�L �I�7[Z��� M�Pn[ P�JoS J���_�Pn[]O7Y0b7\�M0LU[]J +��y/��� S�L % )�JKSNY7_nJ���_nL ' []J)�IM)P%_Na:b3_nO � _ SoQ�� S�LnL�_ PK��S�O��0[]O7Y)L _NM0\=O�b7T��n_nL�P

e .��� ����

"1"1"��� @&)( � �

�NM0\]\ _N�1J)��_����<�!��9E"�2*)0'`I���)*A��F��/ .

� �����'��� ���?U*� BC\]\.�.M0LNM'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]P)�NM0O��n_�M�P Pn[�Y0O _N�dMdO�M0J�b7L�M0\+T`b7\ HJ�[^��\ [Z�n[]J,+ )CO�M0T�_n\ + J)��_��0[]T�_nO.Pn[ZS�O SoQ)J)��_d� S�LUL�_ PK��S�O��0[]O7Y�Y0L�M'�7_N� SoQ)J)��_ ��\ HJ�L�M0J�[ZS�O�%kT�S�L�_���L�_ �n[ P%_n\ + )�J)��_CT`b7\ J�[^��\ [Z�n[]J +)SoQ �� @� Q�S�LCM0O*+ � � & # z&% |1M0O��M0O*+�d� z � "1"1" ��@5|�[ P ��+��7_���O�[]J�[ZS�O

$�)*Q�A ! � � � � @ � ! � � @:V "� _ ' []\]\�' Ln[]JK_

e .�� @�. "1" "�.�� @� � �

Q�S�LsJ)��_��.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7JRPwL�_K��_NM0JK_N��M7� � S�L��0[]O7Y�JoS1J)��_n[]LsT`b7\ J�[^��\ [Z�n[]J�[Z_ P ) M0O��bhP%_1J)�7[ P1O�b T��n_nLU[]O7YXSoQ�J���_2' _n[�Y �7J]P�J��7L�S�b0Y ��S�b JJ)��_2':��S�\ _��.Mn��_nL�[]O.PnJK_NM'�SoQ J)��_`S�O _w[]O�J���_n[]Ls�7_���O�[]J�[ZS�O5.�F�S�L _ S �0_nL ) ' _ ' LU[]JK_�� �� []O.PnJo_NM'�uSoQ�� @ (� .

� �����'��� ���0�1e*�2! ��_dS�L��7_nL�SoQ`J)��_ �IH� PK�.M0O�O�[]O7Y !'+ � H []O�J)��_�M'�nS �0_�7_���O�[]J�[ZS�O [ P�O S�J O _ � _ P P:M0LU[]\ +�J)��_�P:M0T�_�M�P�J)��_IS�O _d[]O ':�7[Z����J���_�_n[�Y7_nO�H��M0\ b3_ P�SoQ`J���_`P%_ � S�O��0HNS�L��7_nL�JK_nLUT B M0Jk[]O ��O�[]J,+IMn�'��_NM0L`[]O S�O _sY0L�S�b5�*)M�PPnb5�'��S%P%_N�I[]O ����.! "� .�EsS4' _ �0_nL )CJ��7[ P2' []\]\�O S�Jw�NM0b'P%_dM0O*+�� S�O�QUb'Pn[ZS�O�[]O J)��_P%_Na:b3_n\ )f�n_ �NM0b'P%_kJ���_� M�Pn[ P �0_ �nJKS�L�P M0J�[]O ��O�[]J +s[]O�J��7[ PG\�M0J�Jo_nL S�L��7_nL�PnJ�[]\]\ �.M �0_' _n\]\ H �7_���O _N���.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7JRP � ':�7[Z����M0L�_`J)��_nO�O S�J�O _ � _ P P:M0LU[]\ +�[]O �nL�_NM�PnH[]O7Y�� .

������������������� ���0�����(B,T�_nL�S�T�S�L �I�7[Z��[]O�JK_ZY0L�M'�:\ _�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O`A � ��V ' []J)��7_ P%�nLU[��n_N�1\ S%�NM0\(T�S:�7_n\^PsM0O����.M0L�M'�nS�\ [Z�PnJ�LUb3�nJ�b7L _ P�M0J!J���_���b7O �nJ�b L�_ P ' []\]\6�n_�NM0\]\ _N�v��������93"�2*)*'�)*� �!�(A��!�<9�2*��'("������('(��)*"�� . ! ��_`�����!��9E"�20)*'�$��(A����(�1SoQ � ' []J)�L�_ PK��_ �nJ!JKS1J���_kY0[��0_nO1�.M0L�M'�nS�\ [Z�PnJ�LUb��nJ�b7L�_s[ PwJ���_wL�_NM0\(O�b7T��n_nLAO���,���5V 0 .,3�@ � � A � V y 0 .,3(A ��V = ��� ��������� � � � H� � �5� � � �� ':��_nL�_ 0 .,3 A ��V�[ PdJ���_1PnJ M0O��'M0L�� �oM0\ Y7_:�:LNM0[Z�`Y7_ S�T�_nJ�Ln[Z� �@�7_ZY0L�_ _ISoQ�� ) M0O��J���_�Pnb T [ P�J M��'_nO,S �0_nLuM0\]\+�.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]P Q�S�L M0\]\���b7O �nJ�b L�_ P � . ! ��_/�20"��3��SoQ�J)��_��.M0LNM'�nS�\ [Z� []O�Jo_ZY0L�M'�:\ _�� S�O�O _ �nJ�[ZS�OI[ PwJ)��_wL�_NM0\(O�b T��n_nLAO���,�[>�V

' @ � � A � V y 0 .,3 @ � � A � V0 (A � V

Page 14: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ����� ����� ����� � � ���

M0O�� A � ��Vw[ P�P:M0[��dJoSd�n_ �����!��9E"�20)*'1�<2*20iT/O� ��9�20� � L�_ PK��.d/#��QT),s�/O� ��9�2*����[ Q�Q�S�LM0O*+XPnb.�%�:b O��.\ _ ! []O ��M0LU[�M0O�J�' []J)� L�_ PK��_ �nJ`JKS�� M0O���_nO��7S4' _N� ' []J)� J)��_[]O��0b3� _N� �.M0LNM'�nS�\ [Z�CPnJ�LUb��nJ�b7L�_�S �0_nL J)��_ Pn[]O7Y0b7\�M0Ln[]J�[Z_ P )�J)��_w[]O _Na:b�M0\ []J,+AO���,�bK'V

' @ � � A ! V � ' @ � � A � V� L�_ PK��_ �nJ�[��0_n\ +

' @ � � A ! V . ' @ � � A � V � ��S�\���P�. ��[]O�M0\]\ + )sA � ��Vd[ P�P:M0[���JKS��n_��������93"�2*)*'���2*2,ig�3"�2,i6/#� �<9�2*�s[ QG[]J/[ P M)�0[]L�_ �nJ+Pnb7T SoQ �.M0LNM'�nS�\ [Z�NM0\]\ + PnJZM'�:\ _ �:b7O�H�.\ _ P�J)�.M0J�M0L�_ M0\]\=[]O ��M0LU[�M0O�Jr��+ � M0O��uSoQ J���_ P:M0T�_CPn\ S ��_sM�P�� .

� �����'��� ���0�b>�� ! ��_ O S�J�[ZS�O.PsSoQPnJ M'�:[]\ []J,+ )/P%_nT`[]HZPnJ M'�:[]\ []J,+1M0O�����S�\ +5PnJZM0H�:[]\ []J +GT�M��'_�P%_nO.P%_3Q�S�LrT�_nL�S�T�S�L �I�7[Z��[]O�JK_ZY0LNM'�:\ _�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O.P ' []J���S�b7J=Mr�.M0LUHM'�nS�\ [Z� PnJ�LUb��nJ�b7L�_�M�P ' _n\]\ % []O`J)��_�� S�LnL�_ PK��S�O��0[]O7Y �7_���O�[]J�[ZS�O.P )6S�O _kS�O�\ +GO _ _N��PJoS�P%_nJ M0\]\:�.M0L�M'�:\ S�[Z� ' _n[�Y �7J]P�_Na:b�M0\0JoS�e*.��wS�J�[Z� _ ��S4' _ �0_nL J)�.M0J(��+kJ)��_!L _ Pn[��0b�_J���_ S�L�_nT ' _ �.M �0_0 .,3 A � V y � - 0.A K .��hAC� % VNV+� ��� ����������� � - 0�A K .��7AC� ��� VNV

y� ��� � -

' H� � ��� ����������� � � �5� � -' � �

� J���_I���.M0O7Y7_ISoQ�Pn[�Y0O�� S�T`[]O7Y`QUL�S�T J���_Q�M7�nJsJ)�.M0J�J���_@_n[�Y7_nO ��M0\ b�_ PISoQ�J)��_L�_ Pn[��0b3_�M0Jr[]O ��O�[]J,+�M0L�_�� ' H� �n_ �NM0bhP%_ []OIJ)��_�\ S%�NM0\+� S%S�L��0[]O�M0JK_�� y � � < ' _�.M �0_s� < � < y � ��� � ��. � ! ��_nL�_RQ�S�L�_ ����. � ���)[ P�[]O�Q�M7�nJ�_Na:b�M0\ JoS� ��� � A � H� = -

' H� V = ��� ��������� � � � ��� � A � �� � -' � � V y ��� �2������� � � � H� � ��� � � ��

':��_nL�_ � �� M0L�_�J)��_ �.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]PSoQ�J���_k\ S%�NM0\7P-+5PnJK_nT M0J � � �� L�S ��S%Pn[]J�[ZS�O� ��. �4)/c� e � . ��OdJ)��_ S�J)��_nL �.M0O��4)+J)��_ �.M0L�M'�nS�\ [Z�k�7_ZY0L�_ _SoQGM0Od[]O�JK_ZY0L�M'�:\ _� S�O�HO _ �nJ�[ZS�O�[ PkM0\ '!M +%Pk_Na:b�M0\ JoSNe %�J��7[ P Q�S�\]\ S4'/P QUL�S�T{J���_���M0bhP PnH�� ��_nLUO�Q�S�LnT`b7\�M� .��dSoQc ��e . ! ��_nL�_RQ�S�L�_ )fJ)��_s�NM�P%_ ':��_nL�_J)��_ �.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7JRP � �� SoQGJ)��_ []O�HJo_ZY0L�M'�:\ _u� S�O�O _ �nJ�[ZS�O ��M0O�[ P���[ PdO S�JCJ���_�S�O _ ':��_nL�_�J���_w�.M0L�M'�nS�\ [Z��' _n[�Y �7J]P��� SoQkJ)��_GL _K��L�_ P%_nO�JZM0J�[ZS�OISoQkJ)��_+QUb O��'M0T�_nO�JZM0\7Y0L�S�b5� ��M0O�[ P���)fM0O�� ':��_nL�_ ��+

� _nT�M0L � � . ��SoQCc! e PnJZM'�:[]\ []J +sL�_N�0b3� _ PGJKS []LUL�_N�0b��n[��:[]\ []J +`SoQkJ���_ � S�LUL�_ PK��S�O��0[]O7YL�_K��L _ P%_nO�JZM0J�[ZS�O5.

������������������� ���0�1K*��B Es_nLUT`[]J�[�M0O��r�n_nL1T�_nJ�LU[Z� � S�O � [ P)P:M0[���JoS��n_��$����%�!��$�JKS1J���_��.M0L�M'�nS�\ [Z� PnJ�LUb3�nJ�b L�_s[ QwO _NM0L�J���_s\ SNY'M0LU[]J��7T`[Z� ��b O �nJ�b L�_ Ps[]OJ���_ ��S�\ S�T�S�L �I�7[Z��� M�P%_ P � �� []J=[ P T`b J�b.M0\]\ +w�nS�b O��7_N� ' []J�� J)��_k�0[�M%Y7S�O�M0\hT�S:�7_n\AO���,�1VhV 0 ? 1 3 A C < � ��� C r�� (� V � ��� �

Page 15: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � -� ��������� � � ��� � �� ��� � �� � ���� ��� � ��� ��� ��� � � � � ��� � � �K M0O��)M0Jf[]O ��O�[]J + []OuJ)��_ ��S�\ S�T�S�LK�I�7[Z�C� M�Pn[ P ��H� []Jf[ PCT`b7J�b.M0\]\ +)�nS�b7O��7_N� ' []J)�AO���,�[+�V 0 ?2143 A C < C � r����� V � ��� � "

� �����'��� ���,�1V�� �UO�Y7_nO _nL�M0\ )�' []J���S�b7J J)��_#� + ��S�J���_ Pn[ PwSoQ�P%_nT`[ Pn[]TC��\ [Z�n[]J +SoQwJ���_sL�_ Pn[��0b3_s[]O J)��_k��b��nJ�b L�_ P T�M'�7_w[]O #(_ �nJ�[ZS�O ��. � )rJ���_s\ S%�NM0\6T�S:�7_n\^P`SoQJ���_�T�_nJ�LU[Z� O _NM0L J)��_C��b7O �nJ�b7L�_ P�M0L�_ T�S�L _1� S�TC��\ [Z�NM0Jo_N�dJ)�.M0OX[]OXJ���_)M'�nS �0_�7_���O�[]J�[ZS�O�%k_�. Y�.(Q�S�L J)��_ L _ZY0b7\�M0L!Pn[]O7Y0b7\�M0LU[]J�[Z_ PkS�O _ �.M�P�JKS JZM��'_ []O�JoS M7� � S�b O�JM0O�_���J�L�M ��\ J�LNM0J�[ZS�O�[]O��0b�� _N�1��+)J)��_ O�[]\ ��S�JK_nO�J �.M0LUJ�SoQCJ���_L�_ Pn[��0b3_ )�M0O���M'�'�MCQ�M7�nJoS�L Ct2*�(A 00V C � S�O@J)��_)� S�LUL _ PK��S�O��0[]O7Y #HKJ��dY0L�M'�7_N�4) P%_ _wJ)��_ #�+�O S ��Pn[ P`SoQc �=��e .

-.�(���g)*/�������)*QT�3"��O� ��� ��C4%)*/O�!����'��Y�#��/#&�20�:"�;�!����������"��#i�p��� ����� ��� ���,�[+ A k���9�9����D `�+c ���.e m � ) iF&��<��$���� 9 � "���2*' �zXp�^�Gc! e V����6_nJ

A � ��V��n_�M1�.M0L�M'�nS�\ [Z�NM0\]\ +dPnJ M'�:\ _��.M0L�M'�nS�\ [Z�)[]O�JK_ZY0L�M'�:\ _�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O5. ! ��_nOJ���_nL�_w_���[ PnJRP M`b O�[�a:b�_U�.M0LUT�S�O�[Z��Es_nLUT`[]J�[�M0O�T�_nJ�LU[Z� ��M'�'Mn��Jo_N��JKS`J)��_r�.M0LUHM'�nS�\ [Z�PnJ�Lnb��nJ�b L�_�.

� �����'��� ���,�ba*�+BC�nJ�b.M0\]\ + )+[]O�J)��_kM'�nS �0_�M0LnJ�[Z�n\ _ P J��7[ P�J���_ S�L�_nT{[ P���L�S �0_N�JoSU��S�\��!Q�S�L/�.M0L�M'�nS�\ [Z��[]O�JK_ZY0LNM'�:\ _C� S�O�O _ �nJ�[ZS�O.P �.M �%[]O7Y���S�\ _ PCSoQ�M0L:�:[]J�L�M0L�+)S�LUH�7_nLr[]O)J)��_6��b O �nJ�b L�_ P�. ��O`J���_kS�J)��_nL �.M0O��4)}Q�S�Lr[]O�JK_ZY0L�M'�:\ _�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O.P ' []J)�S�O�\ +�L _ZY0b7\�M0L�Pn[]O7Y0b \�M0LU[]J�[Z_ P )6[]J �.M'��M0\ L�_NM'� + �n_ _nO�P���S4' O���+ � .�#3[]TC��P%S�O )(P%_ _c �=��e .

" �z����� ��"[Io������$�i��!" $��(/�'(��)*9E� �!��� QS"���� A��(��������2�G����#/�)*"�� "<; 8 ����Q�!������/#;P"���Qup �!���<�N;P"��N�����!�<93"�20)*'.)*� �!�(A��!��9�2*�B'�"�������'C�!)0"���/��

��� ����� ��� ���,�[J�� �6_nJkA � ��V)�n_`M0O*+ �.M0L�M'�nS�\ [Z��[]O�JK_ZY0L�M'�:\ _1� S�O�O _ �nJ�[ZS�OS�O J���_ PK�I��_nL�_ ' []J)� \ SNY'M0Ln[]J)�7T`[Z��Pn[]O7Y0b7\�M0Ln[]J�[Z_ Pu[]O & M�Pu[]O ����. ��� )�M0O���M�7S�b��:\ _G��S�\ _ ����.! "� M0J�[]O ��O�[]J + . #3b%�'��S%P%_�J)�.M0J�J���_1_n[�Y7_nO ��M0\ b3_ P�SoQ�[]J]PC��S�\�M0L�.M0LUJRP

'M0O��J)��_=�.M0LNM'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]P ��[]O`J���_6��b7O �nJ�b7L�_ P!P:M0J�[ PRQ�+CJ)��_�Q�S�\]\ S4' []O7Y

M�P Pnb TC��J�[ZS�O.P&%At�5VkQ�S�L �'� _N�)(�� z � "1"1" * |�)�J)��_)� S�TC��\ _��1O�b7T��n_nL P ' � � � � �� Q�S�L y0 � = � "1" " 0�M0L�_@�0[ PnJ�[]O �nJ`M0O�� �0[ ,_nL�_nO�J�QUL S�T e )`J���_)�.M0L�M'�nS�\ [Z�

' _n[�Y �7J]P � �� Q�S�L� y � "1" " 0 � M0L�_Se,M0O�� ��O�M0\]\ + -' � � �� � Q�S�L

y 0 � = � " "1" 0A >�VkQ�S�L �'� _N���/� z � "1"1" +* � |�)+J)��_ � S�TC��\ _��sO�b7T��n_nL P ' H� � � H� Q�S�L y��= 1�� "1"1" 1�� � � M0L _�0[ PnJ�[]O �nJ M0O��`�0[ ,_nL�_nO�JhQUL S�T e ) M0O��)-

' H� ��X�! ��_nO )�[]O�M'�'�0[]J�[ZS�O�JKS�J)��_�� S�O �n\ b'Pn[ZS�O.P1SoQ ! ��_ S�L�_nT ��.�� )�J���_�J�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N��:b O��.\ _@A �� ���V��NM0LULU[Z_ P M O�M0J�b7L�M0\!�.M0L�M'�nS�\ [Z� PnJ�LUb��nJ�b7L�_ []O J)��_���b O �nJ�b L�_ P

Page 16: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ����� ����� ����� � � ���

� J��.M0J ' _ ' []\]\#�NM0\]\3���!����/O;P"���QT��$ �����!��9E"�20)*' /#�!�#&�'(��&���� � )6Pnb3���)J)�.M0J6J���_�J�L�M0O.PnHQ�S�LUT�_N� T�_nJ�LU[Z�1SoQ J���_ �.M0LUT�S�O�[Z��T�_nJ�LU[Z��[ P`M'�'Mn��Jo_N��JKS�[]J .)FXS�L�_ S �0_nL )�J)��_P%_nJCSoQ []J]P`O S�O�H���M0O�[ P��7[]O7Yw�.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7JRP []O ���f� �& [ P�_Na:b.M0\�JKS�J)��_ P%_nJSoQ �.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]P z � H� ��� � " "1" � H� � � � |�SoQ � M0J![]O ��O�[]J + )�L�_ PnJ�LU[Z�nJK_N��JoS�J)��__n[�Y7_nO.PK�.M7� _dSoQ ! � S�LUL�_ PK��S�O��0[]O7Y�JKS�J���_�_n[�Y7_nO ��M0\ b�_ ����� ':��_nL�_NM�P�J���_ �.M0L�M0H�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]PwSoQ �� M0J []O ��O�[]J +`L�_ PnJ�LU[Z�nJo_N�)JoS�J���_s_n[�Y7_nO.PK�.M7� _wSoQCJ���_GP%_ � S�O��0HS�L��7_nL`Jo_nLUT SoQ �� � S�LUL�_ PK��S�O��0[]O7Y JKS J)��_d_n[�Y7_nO ��M0\ b3_�� � � M0L�_d_Na:b�M0\/JoS J)��_�.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7JRP z � �� ( � � "1"1" � �� |�SoQ � M0J ��� .�BC\]\ J���_ P%_`PnJZM0JK_nT�_nO�JRP�M0L�_JoS��n_wb7O��7_nL�PnJoS%S:� ' []J��uT`b7\ J�[^��\ [Z�n[]J�[Z_ P�.

� �����'��� ���,�bc*��BrY'M0[]O )=J���_G� S�O��0[]J�[ZS�O.P)�����wM0O�� ���&� SoQ�J)��_�J)��_ S�L�_nT M0L�_Y7_nO _nLU[Z�[]OuJ���_r�.M0L�M0T�_nJo_nL�PK�.M7� _wSoQ M0\]\h��S%P Pn[��:\ _�_n[�Y7_nO ��M0\ b�_ P�M0O��C�.M0L�M'�nS�\ [Z�' _n[�Y �7JRP�.2! ��_-+ ' []\]\=L�_ZY0b \�M0LU\ +�Mn�'��_NM0LsM0\ S�O7Y1J��7[ P��.Mn��_nL ) �nS�J)�u[]O�M0O�M0\ +}J�[Z�NM0\M0O���Y7_ S�T�_nJ�Ln[Z�wM0LZY0b7T�_nO�J]P�.

MN��)0/:������"�����Q{)*/d� '�"���/#�:iF&��(��'��n"�; MN���("����(Q@���LK >%�

������������������� ���,�bU*� ! ��_�T�Mn�� p�A � ��V �� A �� ��dVAO���,�ba'V

�7_ P%�nLU[��n_N�1[]O ! ��_ S�L�_nT P ��.��1M0O�� ��. ����' []\]\=�n_��NM0\]\ _N� 8 ����Q{�!������/#;P"���Q(.

m=)0����2*2,i�9d��/ I�� ���bG�����2*�#�1��$�i QS�(� �!)*"�����$(9 8 ����Q �!������/#;P"���Q ����/Z���)*� G�"�2*&���)*9�)02*)0��i ����"��E���O��i#p

��� ����� ��� ���?>�e*� �6_nJrA � ��V �n_wM�.M0LNM'�nS�\ [Z�C[]O�JK_ZY0LNM'�:\ _s� S�O�O _ �nJ�[ZS�O@S�OJ���_ PK�I��_nL�_P:M0J�[ PRQ�+�[]O7Y1J���_ M�P Pnb7TC��J�[ZS�O.P�SoQ ! ��_ S�L�_nT ��. ��� .2! ��_nO� r A � ��V y A �g�5V � A � ��V

':��_nL�_��n�up � � � [ P�J)��_1T�Mn� < �� � < )�M0O���A �g�5V��1J���_1[]O��0b�� _N��T�Mn�S�OJ�r�n_nLI�:b7O��.\ _ P"' []J)��� S�O�O _ �nJ�[ZS�O5. �nO��.M0LUJ�[Z�nb \�M0L ) ��M �7T J�L�M0O.PRQ�S�LnT [ P[]O �0_nLUJ�[��:\ _�.

MN��)0/�I:)02*2H93� ���#"bG���$ )*� MN���("����(Ql+%�,��9]&�/#)*��AZ���#A�&�QT��� �!/�"�; �!���T/���QT���i6�3�D��/vk3� � ��j7"�����2*$�/�"�� ����$ XH� � � �B�#"������()*QT��� )*��c �7g�e 9����QT��2,i������/#��&�$�iz"�;�!����/#�3�('(�!����2]/���iF&�����'(�Y"�; � /�&�),� ��9�20�B$�"�&�9�2*�B'�"�QS��20�C43�

�3 ��!�=���� 3��=*6$7 2 �3� 7+���5��- �� ����u��"#��$�53�5��-� �$�����"�"6$7�0�5�R�#"+�" �S/#&����E"�/��T)*� �!��)0/B/��('(�!)0"�� �����<�g���������1��' � /�)*��A�&�2��<��)0��i09 � '�"�)*��'()*$��(/

I:)0��� ����� $�)��<A�"�����2.QS"6$��(2*/ � � ����$ � H A�)0G���� )*� j7�C����)0��)*"�� ���0�1K�A �!�����)*/�9�I:)0�!��"�&��v�������54%���!����A C < � ��� C r > � (� � � (� � B Vv�<��$��dA C < C � r > � �� � � �� � B VT; ��'C�!"��#/

Page 17: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

���   � � � ����� � �� � � � ��D-� ��������� � � � ����� �������� � ����� ��� � � � ���� � �)*� At���0��VhV7����$ AO���0�[+0Vnm )*� �����O�!)0'�&�2*���:9_����)*/BQT�(����)0'�)*/7����������"������<��QT"���)*'�VC�m�"��7'�"�QS��&%� �<��)*"���/�9^)0�`I:)*2*29E�T&�/��(;P&�2=�!"z�C4%���#��/#/g����� 2*"6'1��2HQS"6$��(2*/7"�; �����)*� �!�(A��!�<9�2*��'("������('(��)*"�� ������� �!���N/#)*��A�&�2����#)0��)*��/)*� /#"�QT�N"��#����"���"��#Qv�<2%9��</���/(�h`/:)*�Xc! e 9�I���'�"���/#)*$��(�N�!����"��O�!��"���"���QS��2_9���/�)0/d$��(�����($89 i

AO���,�[J�V . � � y C < C � � (� � <���� ( � � �� y � "1"1" 0����"�&���$ ��� � MN��� �%s�&���),� ���Oi ���<�#� A � � V � "<; � � 9E��'�"�QS�(/

A � ��V � y $ = ? -sA ! � Vt$��AO���,�bc'VI:�����#� -sA ! � V y��

( � > � ( B�r y 0 ? 1 3 A - ' � � V ��� �2������� � � A ����$�sA ! � V y��( � > � ( B�r < y0 ?2143 A ' � � V ��� ��������� � � Vp/#� �<��$�/;P"�� �!���`������2/A )*QS��A�)0�����Oi�V=�����#��"�; ! � 9�����$#0Y�<��$

�������:2*"6'1�<2��3"�2���� '("%"���$�)0���<�!�(/ ����"�&���$ � � /�&�' �S�!���<� I�d���1G�� < � ���!y 0 . <�� �m�"����!����/#��20;�s���$��#"�)0� �N�����O� � � "�;:� � )*�f�!��)0/N9���/#)*/NI��A��C��p

� � y ! �> $ << � ��� = A ! � V��>

$�<

�<�

���� � � � $ 00y c - A ! � V/� � � e $ 00 ��wA ! � VO$�� AO���,�bU'V

I:�����#� � � y 0 ?2143 A � �� V �5� �2��������� � � MN���(/��g�!"�A��C�!���(�N)*QT��20iT�!���<�:I:)0�!�z�#��/��E��'C�.��"�!��)0/N9���/#)*/:9�������QS"6$��(2_;P"����!���g"��3�(�!�<��"�� � )*�z�3"�2�����'("%"���$�)0���<�!�(/N)*/� � y $ = ? ! � $�� = c - A ! � V/� � � e $�00 "AO���?>�e'V

���z���v������20"�A�"�&�/ I�bi09�)*�T�!���."��#����"���"���QS��2}9���/�)0/ z . H� | ��� ��������� � � A�),G����v9Fi

AO���?>%�5V . H� y C < C ���� � <���� �� �C4%�sc A]� � < � �� � �< V � > e � H����1�<�d)0������),��iv������&���)0�!���#iv�����O�:"�;H������QS"6$��(2^'�"�������'C�!)*"�� � H )*/NA�),G��(�Z9 i

AC� ��V H y $ = ? - A R Vt$�� I:�����#�vI��v���1G��v��&�� �<A ��)*� -sA R V y�� � � �r y 0 ?2143 A - ' H� V �5� �2��������� � �<��$ < y0 . <�� � ; "��#��"bG��(�:9E��&�����)*��A -sA < ! V y 0 ?2143 -sA z < �� �]|}V�� � ��������� � � ����$�wA < ! V y0 ?2143�sA z < ��� �]|}V � � �2������� � � 9�������/��(20;�st�<$��#"�)*� �N�����#�:"�;:� H ����/N�!���B;P"��#Q

� H y�> P ! = R < T $ < =

�> P ! � = R �

�< T $�<= � H $ 00

y c - A < ! = R V = � H e $ 00 =�wA < ! = R Vt$��AO���?>�>�VAP�����N)*� G��(��/#)*"�� "�;}�!���N/�)*A�� "�; �D'("�QS�(/ ;P��"�Q �!����; �<'(� �����<� )0;�I��:Qv�<���:�7'�"�s"���$�)*���<���7' ������A�� � y � � < 9�C �#C y��`y � � 0 y � � C < C^9��!�����z$ � � ��y �.$ 0 � 00VC��d�(Qv�<��� �!���<�:)0� �!���(/����C4%���#��/#/�)*"���/d�����7�!�(��QT/N)*�f$�� $�0 � 0 $ < � < $ �<

��<���#�

Page 18: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ����� ����� ����� � � ���

"�;720"bI�(�T"���$��(�T������� �!���z"����(/v)0� $ < $ �< < $�0 � 0 < $�� m:������'��z�!���Z2*����$�)*��A"���$����N�!�(��QR"�;�!���g/#)*��A�&�2���������#�:"<; � )*� ����)*/:9���/#)*/N)0/��#&�/#�0 = ! > $ < = ! �> $

�<"AO���?>�K'V

�� d��� 535���- �+"+*� R$ 7 ����"��)��2 96�R$�;MN��� )*$��1�N"�;F�!��� ���#"%"<;P/^"�;%MN����"��#��QT/ ���?aN�<��$ ���0�bJ�I:)02*2�93�p��"N�C4%��2*"�)0�^�����

'�"��#���(/��E"���$��(��'��n�6��"[I:����/:��"�����9E��20)����Z-d"%$�A���������"��#iz9E�(��I������8�����!�<93"�20)*')*� �!�(A��!�<9�2*�.'�"�������'(��)*"���/N"��f"����B/#)*$��B�<��$z�����!�<93"�20)*'.-.)0A�A�/9�&���$�20��/N"�� �����"��!�����:/�)0$���� \]�(�d&�/:�#��'1�<2*2_������$��(����)0�!)0"��z"�;�!����2������!�(�N��"���)*"��(p

������������������� ���?>%� �rB �����!��9E"�20)*'B-d)*A�A�/N9�&���$�20��[ PGY0[��0_nO ��+ %At�5VdMJ��S�\ S�T�S�L �I�7[Z���:b7O��.\ _�� ' []J��/��S�\ S�T�S�L �I�7[Z��PnJ�LUb3�nJ�b7L _ ���� S �0_nL

�����C�NM0\]\ _N� J)��_B��"�20"�QT"�������)*'9�&���$�20�d&���$����#20i6)*��A������d-.)0A�A�/p9�&��6s$�20�4) M0O��2' []J)�ub O��7_nLU\ +�[]O7Y)PnT�S%S�J)� �0_ �nJoS�Ls�:b7O��.\ _�� �

A >�V1[]O�_NM7������S�[]O�J � � & # z&% |�M`PnJ�LU[Z�nJ�\ +��7_ �nL�_NM�Pn[]O7Y �.M0L�M'�nS�\ [Z� ��M%Y��@ y�! � � @�# ! � ��@�#%" "1"%# !�� ( � � � @�# !�� ( � @ y z e7|

Q�S�LP%S�T�_�� . )L@U. 0�) ' []J��`�.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]Pe . �

@� �

"1"1"� �

@� ( � �0m

A K'VdM �� � HKT�_nL�S�T�S�L �I�7[Z��P%_ �nJ�[ZS�O � � ��� � A���� � � * 0 A�sVNV ���NM0\]\ _N� J)��_-.)0A�A�/ ���(2*$ � ) �.M �%[]O7Y�MwPn[]TC��\ _/��S�\ _GM0J�J)��_���S�[]O�JRPCSoQ & ' []J)�`P%_nT`[]HPn[]TC��\ _ L _ Pn[��0b�_`L�_ PK��_ �nJ�[]O7Y J)��_C�.M0L�M'�nS�\ [Z� ��M%Y � J)�.M0J�[ P )�Pnb3���IJ)�.M0JK .��hA � ��� V \ _NM �0_ P ! � ��@ ( []O ��M0LU[�M0O�J#Q�S�L)_NM7��� ��� � & M0O�� M0\]\3eG. . ) @+� )sM0O���M�P%_ � S�O��0HNS�L��7_nL ��S�\ _ M0J []O ��O�[]J,+ )Pnb3����J)�.M0J J���_nL�__���[ PnJ]P M ��S�\ S�T�S�L �I�7[Z��� M�Pn[ PuSoQ�� O _NM0L1[]O ��O�[]J,+X� S�TC�.M0J�[��:\ _�' []J)�J)��_ �.M0LNM'�nS�\ [Z� PnJ�LUb��nJ�b7L�_�[]O ':�7[Z��� J���_�L�_ Pn[��0b�_1M0O�� P%_ � S�O��0HNS�L��7_nLJK_nLnT M0L�_ �nS�J)�I�0[�M%Y7S�O�M0\ .

BrY'M0[]O ) ' _ ' Ln[]JK_e . @ � . "1" "�. @ � � �

Q�S�L�J���_��.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]P�L�_K��_NM0JK_N��M7� � S�LN�0[]O7Y)JoS1J)��_n[]L T`b \ J�[^��\ [Z�n[]J�[Z_ P$�)*Q�A ! � � � � @ � ! � ��@�V

M0O��2' _ P���S�LUJo_nO @ (� JKS � � .���[]O�M0\]\ + ) ' _P%_nJAO���?><VhV � � � y �� � = � J��.M0J ' _`�NM0\]\(J)��_O� � � su"��3�(�!�<��"�� M�P P%S%�n[�M0Jo_N�1JKS�J)��_ E[�Y%Y�P �:b7O��.\ _�.

Page 19: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � E� �� � �> � � ��� ���# � �6� � �

MN���g��"���)*"���/:"�;H��������9E"�2*)0'7$���A������}9}/�2*"��3������$�AP�3"�2,i��</��(QS) s VO/O� ��9�)*2*),��i "�;��������93"�2*)*'z-d)*A�A�/ 9�&���$�20��/v�����Z$��(������$ �<����2*"�A�"�&�/#20i���"������Z'1��/#�8"�;`)*� �!�5sA��!�<9�2*� '("������('(�!)0"���/�9H/#��� j7�C����),�!)*"�� ���0����� MN����"��#��Q a��,�S"<; c! e �!���(��/!�1i6/�!���B;P"�202*"bI:)*��A��

��� ����� ��� ���?>�> A � ) i6&�����$ ��� s � " �<2*' � Xp�^��97>�e�e�VhV�� ! ��_nL�_�_���[ PnJRP@M0O[ P%S�T�S�L �I�7[ PnT �n_nJ ' _ _nO J)��_CT�S:�0b7\ [(PK�.M7� _�SoQ��.M0L�M'�nS�\ [Z�NM0\]\ +�PnJ M'�:\ _GL�M0O��0�[]O�HJo_ZY0L�M'�:\ _�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O.P ' []J)� �'� _N�d�0[�M%Y7S�O�M0\ ��S�\�M0L �.M0LUJ M0O����.M0L�M'�nS�\ [Z�CPnJ�LUb3�nHJ�b7L�_ P`b%��JKS�� S�TC��\ _��G��S�\ S�T�S�L �I�7[Z�CY'M0b�Y7_ J�LNM0O.PRQ�S�LUT�M0J�[ZS�O.P�L�_ PK��_ �nJ�[]O7Y J)��_�.M0L�M'�nS�\ [Z� ��M%Y�P )�M0O��wJ)��_�T�S:�0b7\ [#PK�.M7� _CSoQ+�.M0LNM'�nS�\ [Z�NM0\]\ +CPnJZM'�:\ _�L�M0O� 0`EC[�Y%Y�P�:b O��.\ _ P ' []J�� �'� _N���0[�M%Y7S�O�M0\+��S�\�M0L �.M0LnJ M0O��u�.M0L�M'�nS�\ [Z�dPnJ�Lnb��nJ�b L�_ Pub%� JKS� S�TC��\ _�� ��S�\ S�T�S�L �I�7[Z�@Y'M0b�Y7_�J�L�M0O.PRQ�S�LUT�M0J�[ZS�O.P�L�_ PK��_ �nJ�[]O7Y,J)��_��.M0L�M'�nS�\ [Z���M%Y�P�.

� �����'��� ���?>�K*��BC�nJ�b.M0\]\ + ) J��7[ P[ P�Md� S�O.P%_Na:b3_nO � _wSoQCJ)��_ _���[ PnJK_nO � _wSoQ�M�.M0LUT�S�O�[Z��T�_nJ�LU[Z� ��! ��_ S�L�_nT ��. ����� )kM0O�����_nO � _`M0\^P%S ��L�S �0_N�Q�S�LG�.M0L�M'�nS�\ [Z�[]O�Jo_ZY0L�M'�:\ _�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O.P ' []J)����S�\ _ P�SoQ`M0L��:[]J�L�M0L�+ �'� _N�@S�L��7_nL`M0O����0[�M%Y7S�O�M0\��S�\�M0L��.M0LUJ[]O J)��_s��b7O �nJ�b L�_ P�M0O����.M0L�M'�nS�\ [Z�`EC[�Y%Y�P �:b7O��.\ _ P2' []J�� ��S�\ _ P SoQJ���_ P:M0T�_ S�LN�7_nL ' []J)�I�0[�M%Y7S�O�M0\ ��S�\�M0L �.M0LUJ .

MN��� �!�!�<��/�),�!)*"���;P�#"�Q )0�F����A�����9�20�p'�"�������'(��)*"���/H�!".-.)0A�A�/]9�&���$�2*�(/H)0/HA�)0G��(���/�;P"�2*2*"bI:/�pH���#/#��9F�!���7&���$��(��2,i%)0��AY/#QS"6"����SG��('(��"��9�&���$�2*�."�;]�!���`)*� ����A�����9�2*�'�"�������'C�!)*"�������$Z�!���n-.)0A�A�/d9�&���$�2*�n�������!���g/!�<QS�<�:m}&��#�!������QT"��#�09�/�&����3"�/���z)0/������7�����#QS"���)*'dQS�C�!�#)*'09%'�"���/�)*$���������7$��('�"�QT�3"�/�)0��)*"���AO���?+�V "�;]�!���`)*� �!�5sA��!�<9�2*��'("������('(��)*"�� )*� ��"g),�!/ &���)0�!���#i�����$ /��(20;�st�<$��#"�)*� �p�����#�:9F����$ $���'("�QT�3"�/#��!���B������QT/�;P&��O�!���(�.�<'�'�"���$�)0��A �!"T9�)*$��(A����(�� � y A � ��V ��� � = A �#��V � � �AO���?>�+�V

� y � ��� � = � � � � "MN���������O�!)��<23'("������('(�!)0"���A � � V � � � $��(�����(/d�������f��������"�2*"�QS"��#����)0'./O�!��&�'(�!&����"�; �+9]����$ � ��� � I:)*2*29E�Y�!��� -d)*A�A�/`����20$ �%�nMN��� � � � s�"��E�����<�!"��`)*/7"�; '("�&���/#�A � � V � � � = � �2� � �=-`���#QS"���)*'�),��i�"�;��!����QS�C�!�#)*')0QS��2*)*�(/]�!���<� �`)*/H��"�2*"�QS"��#����)0'��

MN��� �!������/�),�!)0"�� )*� �!��� "��������z$�)0���('(�!)0"�� )*/z��20/�" ��/O� ��9�2*)*/#����$ &�/#)*��A �����),G6)*2*�(A���$fQT�(����)0'��

������������������� ���?><V�� �6_nJCA � ��V��n_�M EC[�Y%Y�P��:b O��.\ _�. � _`P:M +uJ)�.M0J� [ PM~-.�(��QT)0�!)*���%s�y )0��/#����)0��QT�(�!�#)*'�Q�S�LdA � ��Vd[ Q )s�7_nO S�J�[]O7Y���+ � �� J)��_ � ��_nLUO� S�O�O _ �nJ�[ZS�O�� J���_ub7O�[�a:b�_ �(HKb O�[]JZM0L�+ � S�O�O _ �nJ�[ZS�O�� S�TC�.M0J�[��:\ _ ' []J)� ���� � ))��+! ��

[]J]Pu�nb L ��M0J�b L�_ ) M0O�� ��+ � �� J���_�M'����S�[]O�JwSoQ � ' []J)��L�_ PK��_ �nJJKS � )�J)��_nO

Page 20: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ����� ����� ����� � � ���

J���_ P%_ S0� ��_ �nJRP P:M0J�[ PRQ�+1J)��_wL�_NM0\#EC[]Jo���7[]O�_Na:b.M0J�[ZS�O! ��

=�c � � �� e y e ':��_nL�_sc " " e PnJZM0O���P Q�S�LGY0L�M'�7_N� � S�T`T`b7J M0JKS�L�SoQ Q�S�LnT P�.

\]�(�XA � ��VS9E� �~��������93"�2*)*'���2*2,i /#�!��9�20� �����!�<93"�20)*'D-.)0A�A�/ 9�&���$�2*�<� � ic' e 9_�!������� �54%)*/#��/�� &���) i6&�� -.�(��QT)0�!)*���%s�y )0��/#����)0�8QT�(�!�#)*' ����$������!�($��!" �������������93"�2*)*'./#����&�'C�!&��#��� MN���n'("������('(��)*"��

AO���?>�a'V � y � �� =�A � =�� �� V"�� � )*/��!������)0� �!��A��!��9�20�09H����$ ��)*/��!���T'�"��#���(/��E"���$�)0��A8���<��QT"���)*' QT�(����)*'��$����%�!��$g�!":�!��� ��������9E"�2*)0'p/#�!�#&�'(��&����<�=���gI:���<�;P"�2*20"[I:/�9[)*�g"���$��(���"./#)*QT��2*),; i��"��!�<�!)0"���/:9^I��T����� "<; �!����A�"�)0��A �!"z"�QT)0�.�!��� /#&�9�/�'(��)0��� � )*������� ��"�� ���!)*"��"�;�!���n ���(���8'("������('(��)*"��Z����$D��$��#"�)*� �!/(�

\]�(�`��"bI A � ��V�93�n�S���<�!��9E"�2*)0'1��2020iS/#�!��9�2*�g��������9E"�2*)0'B)*� �!�(A��!��9�2*��'�"��6s����'C�!)0"��Y�<��$�A � ��V_�!������/#/�"6'�)����!��$g��������9E"�2*)0'p-.)0A�A�/ 9�&���$�2*���Hh`�n)*QT�3"��O� ��� ����(/�&�2,�NI��I:)*202_9E�g'("���/O� ��� �!2,if&�/#)*��A )*/������B;P"�2*20"bI:)*��A

��� ����� ��� ��� >�+�A k%)*QT��/�"�� `�kc �=��e V� #3b5�'��S%P%_�J���_ T�_nJ�LU[Z� � [ PG�.M0LUHT�S�O�[Z��. ! ��_nO ) ' []J)�dJ)��_r��L�_ �%[ZS�b'PGO S�J M0J�[ZS�O.P )fJ)��_ �=Mn��\�M7� _�S ��_nL�M0JKS�L P �

y�G��� = ����� M0O�� � � � y � � � A � � � VN� =�A � � � VN��� � � P:M0J�[ PRQ�+�

y > � � �"

�nO1�.M0LUJ�[Z�nb \�M0L )!J)��_n[]Ls�7S�T�M0[]O@M0O�� �'_nLUO _n\�� S�[]O �n[��7_�.

�� $ ���=���� 3��=*6$ r2 �3�d�I� 535��)-'�+"�*+ �$7������!��)*/`/#��'C�!)*"��(93I���A�),G��n�������()*A��(�FG<��20&���/."�;p�!���Y���(/�)0$�&���"�;p������-d)*A�A�/

����20$ ����$��!���v�����!�<93"�20)*'�I���)0A�� �!/�"�;�!���f-d)*A�A�/n9�&���$�2*�S)*���!���S��&���'C�!&��#��/�!������'�"������(/��E"���$f�!"n�!��"�/#�7"�;]�����7)*� ����A�����9�2*�.'�"�������'C�!)*"��vG6)��n�����7MN���("����(Q���?>�>%��M"D"�9�� ��)0� 2*"6'1��2HQS"6$��(2*/7;P"��7����� "��E���!���!"��#/g)0���!��)0/B/��C�!&��(9/�&����3"�/����A ��)0�8�!���<�����1�<� ��� �!��� QT�(����)*' ��'�"�)*��'()*$��(/7I:)0�!������� $�)*��A�"����<2HQT"%$���2 � �A�)0G���� 9 i{AO���0�1V'V@API:)0����"�&��v�!��� '�"������('(��)*��A ��A C < � ��� C r > � (� � � (� � B VT�!�(��Qumg)0������O�!)*'(&�2��<�:9�)0�.$�"6��/.��"��./!�<��)*/#; iD-d)0�!' ��)*�^xW/.��iF&��<�!)0"��3V5�dMN�����(9_��'�'("���$�)0��AS��"c' e 9�)*�f�!���g20"%'���2 ���� s���"�20"�QT"�������)*'.����),G%)*��2*)0/!�<��)*"��

��� y C < � � � C�� � ( � . � �A < � � � V�� � � ( ��� A y � "1"1" 00VAO���?>�J�V

Page 21: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� � � � � ����� � �� � � � �� � � � � E� ����� � � �����"�&���$ ��� 9 �����f-.)0A�A�/g����20$ )*/Y��iF&���2�&��~��" �8�E���#��&���9��<�!)0"����!�(��Q �!"8�����QS"6$��(2]-.)0A�A�/����(2*$zA�)0G����Z9 i

� � y ! � � � �>$ << � ���

y 0 ?2143 P ' � � � � ��>$ << � � � T ��� ����������� �

y 0 ?2143 P � � � $ << � � � T ��� �2������� � � AO���?>�c'V

I:�����#�7I�����1G��B��&��G� � � y A' � � � � �� V � >%� ; "�����"bG����:9�)0� �!���`/!��QT�`�!�#)0G6)��<2*)*/���s

�!)0"��(9������������!�<93"�20)*'dI�()*A�� �!/d���#�

AO���?>�U'V � � y -sA

' � � V/� c -sA' � � V e

I:�����#�dc " e $�����"<�!��/:)0�F����A��(�:�����#���

� �����'��� ��� ><a*� �nO�Q�M7�nJ�)kJ)�7[ P�Q�S�LUT`b \�M�[ P`O S�J � S�TC��\ _nJK_n\ +�� S�LUL _ �nJ�)C�n_nH�NM0bhP%_1J)��_ � � �7_���O _N����+�[]JM0L _1O S�JGO _ � _ P P:M0Ln[]\ +u[]O�[]O �nL�_NM�Pn[]O7Y�S�L��7_nL ) M0\ HJ���S�b0Y ��J���_-+ P���S�b7\��1�n_���+)�7_���O�[]J�[ZS�O5. ��O _kP���S�b \��`[]O.PnJo_NM'� ' LU[]Jo_J���_GP:M0T�_Q�S�LUT`b \�MGQ�S�L � ; > � B ) ':��_nL�_ ��[ P Ms��_nLnT`b7JZM0J�[ZS�O�SoQ z � " "1" 0h|�.GEsS4' _ �0_nL )r[]OJ���_�P%_Na:b�_n\*' _C�0[ P%�NM0L�� J��7[ PkT`[]O S�L�JK_ ���7O�[Z�NM0\3�7_nJZM0[]\�Q�S�LGJ)��_�P:M��'_ SoQ�Pn[]TC��\ [Z�nH[]J +�SoQ�J)��_wO S�J M0J�[ZS�O5.

� �����'��� ��� >�J�� #3[]O � _`J)��_sY'M0b0Y7_`J�LNM0O.PRQ�S�LUT�M0J�[ZS�O.P��n_nJ,' _ _nO�J)��_1� M�P%_ Pz�� �� | ��� ����������� � M0O�� z � �� | ��� ����������� � M0L�_ �UbhPnJ T`b7\ J�[^��\ [Z�NM0J�[ZS�O.Pd��+IP%S�T�_kQUb O �nJ�[ZS�O.P� []O��.M0LUJ�[Z�nb7\�M0Ls�0[�M%Y7S�O�M0\=T�M0J�LU[Z� _ P � )![]J3Q�S�\]\ S4'/PwJ��.M0JrJ���_ PnT�S%S�J)��Pnb��%�:b7O��.\ _PK�.M0O�O _N�I��+ J)��_�P%_ �nJ�[ZS�O.P z � �� | �5� � ( � �2������� � � [ P)J)��_�P:M0T�_�M�P`J���_dS�O _sPK�.M0O�O _N���+ z�� �� | ��� � ( � �2������� � � ) ':�7[Z����[ P ��+��7_���O�[]J�[ZS�O J���_�b7O��7_nLn\ +�[]O7Y@PnT�S%S�J)� �0_ �nJoS�L�:b O��.\ _wSoQ�� �;)< � 7 ��M0O���Pn[]T`[]\�M0LU\ + )fJ)��_CPnb.�%�:b O��.\ _kPK�.M0O�O _N�)��+ z � �� | �5� �2��������� ��( [ P_Na:b�M0\+JKS�J)��_�b7O��7_nLU\ +}[]O7Y�PnT�S%S�J��@�:b7O��.\ _1SoQ � �� 687 . ! ��_wP:M0T�_ L _nT�M0L��dM0\^P%S��S�\���P�Q�S�L`J)��_1� M�P%_ P z . � � |@[]O.PnJK_NM'�@SoQ z � �� |�. �nO �.M0LUJ�[Z�nb7\�M0L )kJ���_)L�_ Pn[��0b�_dSoQJ���_wT�S:�7_n\�E[�Y%Y�P ��_n\�� � � []O�J)��_���S�[]O�J ��� � & �n_n\ S�O7Y�P JKS � * 0 A � �;)< � 7 C @ ( V�.

8 ����� )0������),��i�9N�!���8/�)0��&��<��)*"�� )*/v/#2*)0A�� �!20i $�) ~3�����(� ��p ;P"�� � y � H �����$�)��<A�"�����23QS"6$��(2Z9�)0�f�!����2*"6'1�<2 �� � s���"�2*"�QT"��#����)*'d;P�!��QT�

� H� y C < C � � � �� < � � � �� � . H� A y � "1" " 00VAO���LK�e'V

Page 22: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ����� ����� ����� � � ���

�!���Y-.)0A�A�/:����20$8)*/d�:iF&��<2H&��D�!" �S�3�(�#�!&���9��<��)*"��z�!�(��Q �!"S�!���nQS"6$���2 -d)*A�A�/����20$zA�)0G����Z9Fi

� H y�> ! $ < = ' H � � H>

$ <<

y P �> 0 ?2143 A z ��� �]|}V�� � ��������� � ��� = �<0 ?2143 AZ� H� V ��� ��������� � � T $ < AO���LK��5V

I:�����#�TI�� ���1G��T��&��n��A �<)*��� H� y A' H� � � H� V � >79^I:)0�!����������9E"�2*)0'nI���)*A��F��/

93�()*��A.9���/:)*� ������'1��/#�n"�;H/�)0QS��2*�7�E"�2*�(/:9AO���LK >�V H� y -sA

' H� V/� c -sA' H� V e "

m���"�Q �!���(/��g$��<� � 9���/d��9E"[G��09�"����g'����z;P"���Q �!����QT"%$��(2 � � � s�"��E�����<�!"��AO���LK�K'V A � � � V � y �� � = �

� A (�� z � "1"1" *: % |}V "8 "���)*'(�Y�!������/�)*��'�� I� '("���/�)0$����#��$ ��"�20"�QT"�������)*'n����),G%)*��2*)0/!�<��)*"���/d"<;�� � 9^����������O�!)��<2<'("������('(�!)0"��������O� "�;F�!���pQT"%$���2�'("�)*��'�)*$���/^I:)0���7�!���p&�/�&���2 �� s�"��3�(�!�<��"����

" �����#�n��"bI �#�1��$�iZ�!"TI:��),�!�g"�&��d�!���Y��/�/#&�QS�%�!)*"���/.QS��$��g)*�ZMN���("����(Q���,�[Jd"��n�!���������!�<QS�C�!���#/="�;������)0� �!��A��!��9�20��'("������('(��)*"��(9<�!�!�<��/�2*�<�!�($n�!".�!��"�/#�"�;�!���g-.)0A�A�/N9�&���$�2*�}p

�����5��� � ���4��� ���?>�c*� � _sPnb5�'��S%P%_ J��.M0JkA � ��V [ P`M`�.M0L�M'�nS�\ [Z�NM0\]\ +�PnJZM'�:\ _E[�Y%Y�P��:b O��.\ _ ' []J)���0[�M%Y7S�O�M0\���S�\�M0LC�.M0LUJ SoQ`J)��_`E[�Y%Y�P ��_n\��u[]O�P%S�T�_`\ S%�NM0\��S�\ S�T�S�L �I�7[Z�fQUL�M0T�_�O _NM0L�_NM7������b7O �nJ�b7L�_ ) P:M0J�[ PRQ�+�[]O7Y1J)��_���L S ��_nLUJ�[Z_ PAt�5VkQ�S�L �'� _N�)(�� z � " "1" * | J)��_ L�_ Pn[��0b�_ PG� � � Q�S�L � z 0 � = � "1" " 0h|M0L�_�O S�O�H���M0O�[ P��7[]O7Y�M0O�� �0[ PnJ�[]O �nJ )�� � � ��M0O�[ P�� Q�S�L y � "1" " 0 � M0O����O�M0\]\ + � � xy e�[ QsM0O�� S�O�\ +�[ QG� � � xy e��A >�VkQ�S�L �'� _N� �/� z � "1"1" +*�� | J���_�� S�TC��\ _��1O�b T��n_nL�PG� H� Q�S�L � z � =1�� "1"1" 1�� � � | M0L _wO S�O�H���M0O�[ P��7[]O7Y1M0O��d�0[ PnJ�[]O �nJ )rM0O�� H� xy e*.

j7)��<A�"�����20)0��iB"<;E�������E"�2��<�H���<�#�!/=����/ ��20���1�<$�ig93�(���T��/�/#&�QT��$ I:����� I:�#)0�#s)*��AZ�!���S2*"6'1��2pQT"6$���20/dAt��� ><c'Vg�<��$ At���?K%�5VC�ZMN���S����/#�Y'�"���$�)0��)*"�� /!�1i6/Y�!�������"f��������9E"�2*)0'�I���)0A�� �g����$ ��"v��)*A���� G<��2*&��Y"�;p�!���Y����/#)*$�&�� "�; �SG<����)0/����(/B"���!���z/#)*��A�&�2���� '("�QS�E"����(� �v���T��� i /�)*��A�&�2��<��)0��i09 ����$ �!���<�T"�� �!���Z/#)*��A�&�2����'�"�QT�E"������ �n���1�<�Y�Z��&���'C�!&��#� ��202p��)*A���� G<��2*&��(/Y�<���T$�) ~3���#��� ��m I:���(������/n�������)0A���� G<��2*&���/f"�;��!�����#��/#)*$�&�� �<��$ �����!�<93"�20)*'ZI�()*A�� �!/fG<����)0/�� "�� �!��� ����A�s&�2��<�D'("�QS�E"����(� �1� �7��� QS"���� I��1i �!" /��bi �!����/!�<QS���!��)0��A )0/:p ;P"��8��2*2(�� z � "1"1" * |h9�����8�#��/#)*$�&��D"�; � $��C������/ ��� ��&%�!"�QT"�������)*/#Q "�; � �;)< � 7 C @ ( 9����$~�����f��������93"�2*)*' I���)*A��F��/ '�"��#���(/��E"���$�)0��A��!"������f��"�20"�QS"�������)0'T����),G%)*��2*) s/!�<��)*"�� At���?>�J�V`���#����"��6suG<����)0/���)0��Af�C4���'C�!20i8"����!��)*/B/�&�9�/����<'���� MN��� /���'("���$"����:)*QT�E"�/��(/ �����<� "�� �!���.�()*A��(��/����<'��d'�"��#����/#�3"���$�)*��Ag��"n�B��4%��$S��)0A���� G<��2*&��

Page 23: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � ����� ����� � � ���� � � � ��� ��� ����� � � � � � �� � � �O�"�; �!��� /#��'("���$%su"���$��(�B�!���#Q@�<��)0������),��i�9]�<2*2H����� ��)0A���� G<��20&���/B"�; ����� ���(/�)*$�&��93�f��"��%suG<����)*/���)*��A ����$ $�)*/#��)*��'C��9 ;P&��O�!���(��QT"���� �����<� ��" ���<�!��9E"�2*)0'TI���)0A�� �G<����)*/#� ���S)0������),��i�� 8 "����f�!���<� ������/#�8'�"���$�)0��)*"���/ �����zA��(�����#)*'D��QS"���A���2*2�3"�/�/�)09�2*�B' ��"�)*'(��/:"�;H/�)*��A�&�2��<��)0��iS��������QT�(�!�(��/(�

�� & 21 46$I�%�5��"+�:2 �3�43��.�5�R��" �32��54+$I�I� 535#�`-'��"+*+ �$\]�(�wA � ��Vp93�`�Y��������9E"�2*)0':-.)*A�A�/9�&���$�2*�`����$��)� ��@$ �& �Y���<�!��QT�(�������

MN�������<��&��!��2]$��(;P"��#Qv�<��)*"��f"<;H�����g-.)*A�A�/���(2*$Z)*/

� ' y ���> $ <AO���LK�VhV

I:)0��� ��4%��$z&���$��(��2,i%)0��A ��"�20"�QT"�������)*'d9�&���$�20� ��p�u�N)*/�'(2*������!���<� � ' )0/�!�������2*/#"Y��"�2*"�QT"�������)*':I:)0��� ���(/��E��'(��!" ���� I:),�!�v�����7/!�<QS�720"%'���2}QS"6$��(2*/��<������2*"�A�����),�!��QT)*'p��&���'(��&����(/��</ � 9�9�&%� )0�!/H2*"6'1��26QT"%$��(2�������� )0������),��iY)0/=$�)�~_�(����� ����u;=QT"��#��"bG��(�.�T-.�(��QT)0��)���� QT�(����)0'B)*/���4%��$ 9��!���(�DI��n�<2*/�" ���1G��

� �' y � � � �� > $ �<"

MN�����#�(;P"��#�09`����� )*� ����A�����9�2*�8'�"�������'(��)*"�� '�"������(/��E"���$�)0��A �!"~����� $��(;P"��#QS�($-.)0A�A�/N9�&���$�2*�B)0/dA�)0G��(�z9Fi���' y � � �

> $ < � �� > $ �< AO���LK +�V����$��!��� '��#&�'�)*��2F"�9�/#���#G<�<��)*"��g)*/]�����<� G6)��N�!��� &���),� ���Oi�A ��&�A�� ���!����/#;P"��#Qv�<��)*"��

AO���LK�a'V �54��+c�A �� �<��� < V � > e

"���� �!��)0/:)*/N�:iF&�),G<��2*�(�F�:��"T������$��(;P"��#Qv���!)*"���AO���WVhVC� MN���g/��(20;�s�$�&���2^���<�#�d"�;�!��)0/N$��(;P"���QS�<�!)0"��f)*/

���' y � � �> $ < � �� > $ �< AO���LK J�V

�!���N/���QT��$��(;P"���QS�<�!)0"�����/p)0� AO��� J�V5�=MN���(���C;P"����N),�=I:)*202%��"�� Qv�<���N��� iY'�"���;P&6s/�)0"��v�!"Y���(;P�(��!" � ' I:)0����"�&��QS�(� �!)*"���)*��A��!���B��$�"��%�!��$f�E"�)0�F�"�;]G6)*�CI�m�'�"��6s/���i6&���� �!2,i�9pI�v$���"��~����� '("����#��/��E"���$�)*��A�&����3�(��)*��$�)*'(��/��DMN��� '("������('(�!)0"��$��(������$f9 i�AO���LK +�V )*/�/#��)*2*2�|��<��969�&����!���.&���$��(��20i6)0��AY��"�2*"�QT"�������)*'N/O�!��&�'(�!&����)*/S$�) ~3���#��� �v;P�#"�Q �!����"�����"�; � A 9E��'1�<&�/�� "�;B�����D�����#Q )0� $

�<VC� 8 "���)*'(�

��2*/#"T�����<�d�!���nA ��&�A��g���!����/O;P"���QS�<��)*"���AO���LK�a'V�9E�(��I����(� ������/#�Y$��C;P"���QS�<��)*"���/����/ ��� �54%�3"������ �!)*��2�/�)0��A�&�2*����),��i �<� )*�%����)0��i���j7�(��"����f9Fi � �' �!���v��2*20)*����)*''�"�QT��20�C4

AO���LK�c'V �� �8� ���R� � � �8� ����� � r ����"

Page 24: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ����� ����� ����� � � ���

������������������� ��� >�U�� ! ��_fPnT�S%S�J)� �0_ �nJoS�L!�:b7O��.\ _ ��{b7O��7_nLU\ +}[]O7YCJ)��_!J�L�M0O.PnHQ�S�LUT�_N��EC[�Y%Y�P��:b7O��.\ _`[ P)J)��_ �0_ �nJKS�L��:b O��.\ _�':��S%P%_ �r�n_nL�S �0_nLG�I� �� $ �&[ PwJ���_ ��L PnJHq r HN� S���S�T�S�\ SNY +�q r�� � A�� �' V`SoQ � �' .

��� Xp��"��3"�/#)0��)*"��ZV��?> I��Y���#"[G��Y�!���<�.������/#�nG���'(��"��7/#����'��(/7)*��$����($8$��C������n����),�!�.�!����� /#QS"6"��!�S9�&���$�2*��� m�&��O�!���(��QT"����}9%9 iSMN����"�����QR>%�?>%��9%��� iv'(2���/#/)*�Zq r � � A�� �' V���$�QT)0��/:� &���) iF&�� � �' s����<��QT"���)*'.���(�����(/���� �!�<�!),G����

������������������� ���LK�e*� ! ��_B���!����/O;P"���QT��$S��"�20"�QS"�������)0'N/#����&�'C�!&��#��S�O �� [ PJ���_IS�O _�[]O��0b�� _N����+ J���_�S�LUJ���SNY7S�O�M0\6��L S ��_ �nJ�[ZS�O ���� SoQ�J)��_�J�Ln[��%[�M0\+�.M0LnJ�[�M0\� S�O�O _ �nJ�[ZS�O ' []J)��L�_ PK��_ �nJ�JKSdJ)��_ ��M0LU[�M'�:\ _k��S�O�J���_�J�LU[��%[�M0\3q r H �:b7O��.\ _1S �0_nL���� � JKS � �' H �.M0LnT�S�O�[Z�v��H Q�S�LUT P�. ! ��_Z�!������/O;P"���QT��$ -d)*A�A�/n����20$ [ P�T`b7\ HJ�[^��\ [Z�NM0J�[ZS�O ��+�� < �:� � >uQ�S�\]\ S4' _N����+���L�S ��_ �nJ�[ZS�O S�O�JKS��.M0LUT�S�O�[Z�z��H Q�S�LUT P�.��[]O�M0\]\ + )fJ)��_��!������/#;P"���QT��$ -d���#QS),�!)��<�SQT�(����)*' [ P J)��_Nqpr:HKT�_nJ�LU[Z�sSoQGJ)��_#�.M0LUHT�S�O�[Z��L�_K��L�_ P%_nO�J M0J�[��0_�.

� i G6)*�O�!&��d"�;3MN����"�����QT/N>6� >%�d����$8���?>�+ 9������d���!����/#;P"��#QS�($S/#QS"6"��!�T9�&��6s$�2*� ���'1���Z��20/�"�9E�B'�"�QT��&�����$f)0� �!��)0/�'1��/#����/��!���7����/O�:'�"���"�QS"�20"�A�i "�; �������202*)*�%�!)*'.'�"�QT��20�C4�� � �' A�)0G��(�z9Fi�p

�� ��� � ����� � �8� � ����� r ��� I:�����#�Z�����zQv�<��/ �����f�����z'�"��#����/#�3"���$�)*��A $��C;P"���QS�<��)*"���/Y"�;`At���?><VhVY)*� �����-.)0A�A�/Osu9�&���$�2*�7�E"�)*� �:"�;G6)*�CI���y=4%��20)*'�),�!2,i�9�� � �' ������$�/

A � �' V � � y �� � =�� ' ""��Z&�/#�Z����)*/ $��(/�'��#)*����)*"�� "�;.�!���z�!������/#;P"���QT��$ 9�&���$�20�D)0� k6��'(��)*"�� V��?> ��"/���"bI ������/#�!�<�!�(QS�(�F�d"�;HMN���("����(Q����?a "��f�����B�!�!�<��/#;P"��#QS�($DQT�(����)0'0p

��� ����� ��� ���LK�� � �]Q�J���_�S�LU[�Y0[]O�M0\�T�_nJ�LU[Z� �.M0LUT�S�O�[Z��J)��_nO`J���_ P:M0T�_�J)�7[]O7Y��S�\���P Q�S�L�J���_wJ�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N�1T�_nJ�LU[Z��.m�"��N�!��)0/.��&����E"�/��}9EI��Y����"bG��n)*�z; ��'(�d�!�����.�����n'�����$�)0$��<���Y-d)*A�A�/N���(2*$ ��

'�"��#���(/��E"���$�)0��AZ��" �� ����$ �� )*/gQS�(��"�QT"��#����)*'nI:)0�!� ���(/��E��'(�n�!"z�!��� �!������/ts;P"���QT��$z��"�2*"�QT"�������)*'./#�!�#&�'(��&����<�

m�&��#�������#QS"����09�)*���!��)*/ )*� �!�(�����#�(�!�<�!)0"��(9[�!��� ���(Qv��)0��)*��AN�����#�H"�;�MN����"��#��QT/���LaT�<��$ ���0�[J�'����D9E�7I:��),�������(p

��� ����� ��� ���?K > � #3b5�'��S%P%_XA � ��V�[ PXM �.M0L�M'�nS�\ [Z��E[�Y%Y�P �:b O��.\ _ ' []J)�\ SNY'M0LU[]J��7T`[Z�!Pn[]O7Y0b \�M0LU[]J�[Z_ P�[]O�J)��_/��S�[]O�J]PGSoQ & M0O��wM �7S�b.�:\ _���S�\ _�M0J=[]O ��O�[]J + )M�Pw�7_ P%�nLU[��n_N��[]O #(_ �nJ�[ZS�O ��.�� )/Pnb�����J)�.M0J�[]JRPPn[]O7Y0b7\�M0LU[]J +�.M0L�M0T�_nJK_nL PGP:M0J�[ PRQ�+E + ��S�J)��_ Pn[ P ��. � � . ! ��_nO�J���_1J�L�M0O.PRQ�S�LnT�_N��E[�Y%Y�P��:b7O��.\ _1A ����� ���V�[ P�SoQ)J)��_

Page 25: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � ����� ����� � � ���� � � � ��� ��� ����� � � � � � �� � � �� P:M0T�_kJ + ��_�� J��.M0J�[ P )�[]J �.M�PCM ��O�[]Jo_kO�b7T��n_nL SoQ�\ SNY'M0Ln[]J)�7T`[Z��Pn[]O7Y0b7\�M0Ln[]J�[Z_ Pk[]O��S�[]O�JRP`SoQ �� M0O�� M��7S�b��:\ _���S�\ _ M0J []O ��O�[]J,+ ) ' []J)��Ms�.M0LNM'�nS�\ [Z� PnJ�LUb3�nJ�b7L _ []OJ���_ P%_C��S�[]O�JRP � . �(b7LUJ���_nLUT�S�L�_ )k[]J]P)JoS ��S�\ SNY0[Z�NM0\fM0O�� Pn[]O7Y0b7\�M0Ln[]J,+��.M0L�M0T�_nJo_nL�PM0L�_ M�P Q�S�\]\ S4'/P&%

At�5V1J)��_wLNM0O��SoQ �� [ P J���_ Pnb7T ����. ��� �dSoQ J)��_wL�M0O�%P�SoQ�J���_wL�_ Pn[��0b�_ P�SoQ��[]O &

A >�V1[]J]P �7_ZY0L _ _ [ PwJ���_ P:M0T�_sM�PwJ)�.M0J�SoQ �A K'V1J)��_)\ SNY'M0LU[]J��7T`[Z�sPn[]O7Y0b \�M0LU[]J�[Z_ P�M0L�_`\ S%�NM0JK_N��[]O�J)��_�P%_nJ �& )CM0O���Q�S�L

M0\]\'�w� z � "1"1" +* � |XJ���_�L�M0O�XSoQ1J���_�J�LNM0O.PRQ�S�LUT�_N��EC[�Y%Y�PU��_n\���[]OJ)��_k��S�[]O�J6���![ P`_Na:b.M0\6JoS�J)��_sT`b \ J�[^��\ [Z�n[]J + ��SoQsJ)��_`_n[�Y7_nO ��M0\ b�_����SoQ !APVhV1J)��_wP%_nJ�SoQ�O S�O�H���M0O�[ P��7[]O7Y�_n[�Y7_nO ��M0\ b�_ P�SoQ�J)��_wL�_ Pn[��0b3_`SoQ ��I[]O@J)��_��S�[]O�JC���[ P z �� H � ��� � "1" " �C� H� � � � |�) ':��_nL�_ z � H� � � � "1"1" � H� � � � | M0L�_J)��_u_n[�Y7_nO ��M0\ b�_ P�SoQ)J)��_�L�_ Pn[��0b�_ SoQ)J���_ S�LU[�Y0[]O�M0\/E[�Y%Y�P ��_n\�� ��M0J[]O ��O�[]J,+ )!L�_ PnJ�Ln[Z�nJK_N�1JKS�J���_ _n[�Y7_nO.PK�.M7� _ SoQ ! � S�LUL _ PK��S�O��0[]O7Y)JoS�J)��__n[�Y7_nO ��M0\ b�_����

A +�V1J)��_�O S�O�H���M0O�[ P��7[]O7Y��.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]P�SoQ �� []O����`[ P@J���_@P%_nJdSoQ�.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]P z H� ��� � "1" " H� � ��� |�SoQ � M0Jk[]O ��O�[]J,+ )kL�_ PnJ�Ln[Z�nJK_N�JKS�J���_ P:M0T�_Pnb.�nPK�.M7� _

A a'V1J)��_�_n[�Y7_nO ��M0\ b3_ P�SoQ�J)��_dP%_ � S�O��0HNS�L��7_nLdJo_nLUT SoQ �� M0J�[]O ��O�[]J +XM0L�_z � � � � > "1"1" � �I� � >7|�) M0O���J)��_sT`b \ J�[^��\ [Z�n[]J +�SoQw� � � � >�[ P`_Na:b.M0\+JKSJ)��_wLNM0O� 0G� 0 � SoQ J)��_wL�_ Pn[��0b3_`SoQ �u[]O ���

A J�V S�O�J���_�_n[�Y7_nO.PK�.M7� _`� S�LUL _ PK��S�O��0[]O7Y�JKS�� ��� � >XSoQwJ)��_sP%_ � S�O��0HNS�L��7_nLJK_nLnT M0J![]O ��O�[]J,+ )!J)��_`_n[�Y7_nO ��M0\ b3_ PsSoQ�J���_wL�_ Pn[��0b�_�SoQ ���M0L�_z �C� � �)( � � "1" " �C� � � |A c'V1J)��_ �.M0LNM'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7JRPGS�OdJ)��_�P:M0T�_C_n[�Y7_nO.PK�.M7� _kM0J6[]O ��O�[]J,+�M0L�_�J)��_�.M0L�M'�nS�\ [Z� ' _n[�Y �7J]P z � �)( � � "1"1" � � |�SoQ � M0J ���

MN���g����"6"�;H"�;�!��)0/��!���("����(QR)*/�������"�97�#��'C�`"<;p ���<���!�(�dV��

Page 26: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere
Page 27: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

�-.h`X M:y�� >

� �������d�.�O� ��� �7��� � �� �� Y�6��=���!�

���f�!��)0/N' ������������9�I�B/O�!&�$�iv�!����������20iF�!)0'1��2E�!���("��#iv�����($���$z;P"���"�&��N'�"��6s/#����&�'C�!)*"�� ��2*"���A8�!���f20)*���(/Y"�;.j7"�����2*$�/#"��%s����#"������()*QT����c �hg�e 9 >��<��$�)0Q c � e����$ "��!���(��/(� mH)*��/O��9�)*� k%��'C�!)*"�� >%�,�ZI��8$��(�����8/���)0��"�� /����<'���/ ����$ j7)0�!��'"��E���!���!"��#/:�����<�.�3�(��QT)0�:&�/:�!"T/#��&�$�iz�!���n���#"�9�20��QZ� " �Y�<2*/�" $��C�����Y�T/#&�)0�Os��9�20�S;P&���'C�!)0"�����2�/�����'(� � � �<��$ /#�!�<�!�z� m����($���"�20Q��!���("����(Q G<��2*)0$ ;P"�����2*2$��(;P"���QS�<�!)0"���/"<;�����B)*��)0�!)*��2}'�"�������'C�!)*"��^� MN�����Z)0�)*/������!&�����2_�!" $��(�����B�������9E����/"�;]�!���.�!�!�<��/#;P"��#QS�($f9�&���$�2*�7�</�!���`'�"��<��������2]"�;]�����7$��C;P"���QT��$fj7)0�!��'"��E���!���!"��(�=MN���`m}�#��$���"�2*Q�������"�����Q )0/p�!���(�v���#"[G���$ )0�Sk%��'C�!)*"��f>%�?>%� ���vk%��'5s�!)0"�� >%�?K 9I��S'������Oi "�&��Y����)*$��(�F��)0��'��<�!)0"�� "�;����)*/�'("����(�����(2 I:),�!� �!��� ����/O�q r s�'("���"�QT"�20"�A�iZq r�� � A � < ���' V`"�; �!��� '�"�QT��2*�54 � < ���' A�),G��(��)0� AO���Lc'VU9]/�)*QT)*2*���)*� G��()*� �!"B�!���.-d"%$�A��N)*/#"�QS"�������)0/�Q 93�C��I�(���v�����:'�"��<���#����2}"�;E�!���:"��E�����<�!"��$�= $ � "��8� '�"�QT����'C�`QS����),;P"�2*$ ����$D�����nq r s�'("���"�QT"�2*"�A�iv"<;=�!���n"��E�����<�!"��$^�B-d"[I��(G�����9]/�)*��'��Y������QS����)0;P"�2*$fI�������YI�"��#�6)0��A "��8)*/`��"��%s�'("�QT����'(�:93)0�����"bG6)*��A ������/#�n�#��/#&�20��/:I��g�����($8� '1���#�(;P&�2]/O�!&�$%if"�;�!����/�)0��A�&�2*����),�!)0��/��

��� ��202pI:���<�Y;P"�2*2*"bI:/�9I��v��4��D�����!��9E"�20)*' )*� �!�(A��!�<9�2*� '�"�������'C�!)0"���I:)0�����$����%�!��$�QT�(�!�#)*' A � � �3V7����$�' ��"%"�/�� �!"Z/#��&�$�i������T������2,i6��)*' ���#"��E���#��)*�(/"�;:�!���f$��(;P"��#Qv�<��)*"�� ;P��"�Q �!���f�E"�)*� � "<;dG6)0�(Io"�;d)*� �!�(A��!��9�2*� '("������('(�!)0"���/�9������'���I�g/��C�d;P"��N/�)*QT��20)*'�),��i � ' y � < ���' &�� �!)02^;P&��#�������:��"<�!)0��'1�<��)*"��^�

�= ��� ��#�%�.��$�3X$ "��)��2��546$��=�5$7*�46�� 3 �546$h���5$ 3������������������� >%�,� � ! ��_���S%Pn[]J�[��0_ M0O���O _ZY'M0J�[��0_�/���)0��"��:9�&���$�2*�(/)M0L�_ J)��_

�0_ �nJoS�Ls�:b7O��.\ _ P�S �0_nL � $ & Y0[��0_nO ��+��� y t � � � A�� $ & V 9 t r � � A�� $ & V � � y t � � � A�� $ & V

�:��'1�<2*2��!����� I��`���bG��`$��C�����($ �& ��/ �����d/��(� z � �� "1"1" � � |7"�;]��202���)0A���� G<��2,s&���/:"�;H�!����/#��'�"���$D"���$��(�:�����#QR"�;:���<�:)0������),��i��

������������������� >%�?>�� ��S�L� � �� $ �& J���_ j7)*����' "��E�����<�!"�� [ P�J)��_ ��L PnJ�HS�L��7_nLw�0[ ,_nL _nO�J�[�M0\�S ��_nL�M0JKS�L

�(' y � ' � � �' p��!AB��� ����V �#� �!A ��� ����V� �

Page 28: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����':��_nL�_ � [ P@b'P%_N� JKS �7_nO S�JK_IPnT�S%S�J)��P%_ �nJ�[ZS�O.P ' []J)� � S�TC�.M7�nJ Pnb5�'��S�LUJ)[]O� $ & . �nJ]P Q�S�LUT�M0\+M'����S�[]O�J

� �' y � �' � � ' p �!A ��� ����V �#� �!A ��� �!� V [ P`�NM0\]\ _N�1J)��_ ��$5�#"�)*� �:j7)0�!��'B"��E�����<�!"����

m�"��:��� i��)� �� 2*�C�N&�/:)*� �!�#"%$�&�'��7�����7;P"�2*20"bI:)*��A���"���Qo"��z/���'C�!)0"���/ ��"�;� � ����p � � �5r

� �� y���� C � C r = C � �' � C r = C � ' � � C r A >%�,�5VI:�����#� � �' ����$�� ' �<����$��(������$ )0��At���?a�V:�<��$�At��� J0VC�N-d�����Y����$Z)*�8��2*2_I:���<�;P"�2*20"bI:/:9�I��n)0� �!��A��!�<���7I:)0�!�Z���(/��E��'C�.��"T�����gy &�'�2*)0$��1�<�ZG�"�2*&�QT�7;P"��#Q C $ < C r:9����$ C ��C r7$��(��"��!�(/ �+A]� �#Vn9 &���2*��/#/7�!��� '("�� �!�!�<�#i�)0/B�C4%��20)*'�),�!2,iD/O� �<����$^�`�B&��'�"�� G���� �!)0"��z)*/;P&��O�!���(��QT"����.�!"�I:��),�!��A]� A�Vp;P"�� �6AR� A�VU9�����$ ;P"���/��('(�!)0"���/������$ A#96I��I:��),�!����� A��)*��/#�!����$z"�;� � A]� A.VC�

j7�(�����B�!����/�����'��g"�;H/���'C�!)0"���/

A >%�?>�V � �' AB� � �8��V y{z ��� q r� � � A � � ����V p � � � � �� � % | I:�����#��)*�zqprI��g�#�(;P�(���!" �!���BQT�(����)0' �Z"�� �����7��9E���#/�� "��BI:)02*2E"�; �!�(�zI:�#)0���� �' )*��/O�!����$8"�; � �' A � � ����V5�:h`/.I��nI:)02*2]/#���Y9 iz�!���Y����$�"�; ����)*/d' ������������9�!��)0/�)*/7�!���v��������"�����)����!� /�����'��T�!"Z����A�����$ �!���Tj7)0�!��' "��E�����<�!"���/��Sm=)0��/#��I����/O� ��9�20)*/#�z������/�)0QS��20�� ���)� � >6�?K*� ! ��_GO S�LUT � " �

� �� �7_K��_nO���P�� b5�IJoS�_Na:b7[���M0\ _nO � _wSoQGO S�LUT P �O _n[]J���_nL�S�Od�1� �� )!O S�L`S�O@J)��_k�.M0LUJ�[Z�nb \�M0L�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O � �.M �%[]O7Y��n_��.M �%[ZS�LM�P�[]O�����. ���1M0O�� ����.! "� .�)� ����� � " �9E��A�)0�n9 ig/���"bI:)0��A`�!���<�H����� ��"���Q )0/)0��$��(�3�(��$���� �p"<;.������"���$������!" /#)*QT��2*),; iS��"�� �<��)*"���/:9%I��g2*�(� � � /#�!����$z;P"�� � �� ;P�#"�Q{��"[I "��^�p�u�:)0/"�9 G6)*"�&�/#20iv/�&��T'�)0��� �:�!" ���#"[G��g�����<�N;P"��:�<�D�<��9�),�!�!�<�#i��)� ��19��!��� � �' s���"���Q)*/N��i6&�)0G<��2*�(� �N�!" �!��� � � s���"���QZ� m���"�Q �!�����E"�)*� �#s I:)*/#�7)*$��(� �!)0��i

C � ' � � C y > C � ' � � C y > C � �' � � C ����$z�!�����E"�)*� �OsuI:)*/#�7��/O�!)0Qv�<��)*"��

C � �' � C . C � � � C+= >3C ��C C � C A >%�LK'V"�����/��(��/:�!�����N;P"��:��� iz/��('(�!)0"�� � y A � � � r V � �!A � � ����V���������/O�!)*QS�<����/� � � r

� ��.{AO� = c�C ��C r V � � � r

� �����$ � � �5r

� �.{AO� = c�C ��C r V � � �5r

� ��

Page 29: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ��� � � ����� � ��� ��� �����>� ��� ��� ��� � ����� �� � � � ���"�20$(m��!��������/#�d/O� �<����QT��� �d"�;H�����g\]��QTQv�Y;P"�202*"bI:/N�<�d"���'����

8 "bI I��8/#��"bI�)0��$��(�3�(��$�����'���"�;`�!���Z�����O�!)*'(&�2��<�T'("������('(��)*"��N� I:)0�����)0A�� �:/�)*��A�&�2��<��)0��iS9E�����1G6)*"��(�p��� �!��"6$�&�'(�B�!����QT"%$��(2^��"��#Q

� � � r� ������ > =?>�@ (�� ACB B y � =?> @ (5� ACB C � C r = C A �#��V � � C r = C � � � C rA >%�WVhV

����"�&���$Z�3"�)0� �!/N"�; & ����$f������QS"6$���2_��"���Q

� � �5r� ������ > � � =?> � � � B B y � �

� =?> � � � B C � C r = C AC� � V H � C r = C � H � C rA >%�?+�V

���1�<�d)0������),��i��pMN���(�D),�:)*/N/#&��T'�)*�(� �.��"T����"bG����!���B;P"�202*"bI:)*��A�p� ��� � >6�LV�� �]Q � � eX[ P�����S%P%_nOXPnb�� �n[Z_nO�J�\ +dPnT�M0\]\�M0O�� K��

e Pnb�� H�n[Z_nO�J�\ +�\�M0L�Y7_ )�J)��_nO�Q�S�LwM0O*+)PnT�S%S�J)�dP%_ �nJ�[ZS�O �@� � � ' _U�.M �0_

) � � � � r� � > =?>�@ ( � ACB B � � � � � r

� ������ > =?>�@ ( � ACB B � R � � � � r� � > =?>�@ ( � ACB BA >%�La'VM0O��)Pn[]T`[]\�M0LU\ +

) � � � � r� � > � � =?> � � � B B � � � � � r

� ������ > � � =?> � � � B B � R � � � � r� � > � � =?> � � � B BA >%�?J�V' []J���P%S�T�_ � S�O.PnJ M0O�J]Pde

�)� R []O��7_K��_nO��7_nO�J�SoQ � .

�)� ����� �� "���/#)*$��(�.���#/#�d�!���n'1��/#�n"<; ��� � & �:j7�('�"�QT�E"�/�� � � y � �� 687 =� �;)< � 7 '�"��#���(/��E"���$�)0��A �!" �!����/���2*)0�#�!)0��A AO��� >�V5� "��#)0������2*/#"

� ��2687 y � ( ��� � � � � . � �A >%�Lc'V

� �;)< � 7 y ���� ��( � � � � � . � �A >%�LU'V

I:)0���v���(/��E��'C���!"g�!���."��#����"���"��#Qv�<2�9���/�)0/ z . � � |�)0�F����"6$�&�'(��$v)0�@At���0�bJ�Vn9 I:���(����!��� � � � ���#�n;P&���'C�!)0"���/��.m�"���QY&�2���/sAt���0�1c'Vd�<��$ AO���0�bU�V.����$�-di6�3"<�!���(/�)*/n���?>�c)*QT��20ig�!���<�CA >%�WVhV=)*/ ��i6&�)0G<��2*�(� �p�!"��!���NI���)*A��F����$ k%"�9E"�2*�CG /����<'��d"�;_/#��'C�!)*"���//!�<��)*/O; i%)0��A �)( ��� � � =?>�@ ( � ACB C � � � C r = C $ � � � C rA >%�,�be'V

= ���� � ( � � � =?>�@ (�� A B ���� � � �0 ����

r= C $ � � � C r � %

I:�����#�n$z/O� ����$�/d;P"����!���B�!�#)0G6)��<2_'�"�������'C�!)0"��D"��z;P&���'(��)*"���/(� 8 "���)*'(�7�!���<�:I��"���2,i���$�$ I���)0A�� �!/�"�� �!���v/�)0��A�&�2*����'�"�QT�E"������ ��� � i c �=��e 9 MN����"��#��Q � )0�

Page 30: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����;P"�2*20"bI:/�!�����.)0� �uA ��� � V ������$�) ~3���#����'(�n9E�(��I����(��A � � V � ����$ � � )0/

A >%�,���5V 1 � y ��A 0�� � ��� V;P"���/�"�QT���

�e.9H����$��!���T/!��QT� ��/O�!)*QS�<��)*"�� ��"�2*$�/�;P"��B�!���T$�)�~_�(������'��T93�5s

��I�(��� � � ����$ �`�=�u�H)*/ �!���(� )*QTQS�($�)����!�=�����<�=;P"��=��� i )�e 9<�!�����/O�!)0Qv�<��)*"��

� =?>�@ (�� ACB ���� � � �0 ����

r�) � =?>�@ (�� A B C�1 � � � � C r

��"�20$�/ ;P"�� y 0 � = � "1" " 07����$ ;P"�� � � eB/�&��T'�)0��� �!2,i�/#Qv��202 � "����������#�(;P"��#����1G���A >%�La'VY;P"�� � ;�< � 7 � �7� �!���z"��������T������$ 9�;P"�� � ;P&���'C�!)*"�� 3�$��(������$ )0��uA e �%V �<��$S;P"����

�e���4%��$(96;P��"�Q �!���.'�2��<)*Q�)0�S�����.����"6"�;^"�;^MN����"��#��Qo+%�WV

)*�Xc! e I�g���1G��

� =?>�@ ( � �CB C 0�� � ���53 C r .@) P � =?>�@ ( � ��B C $ 3 C r = � =?>�@ ( � �CB � =?>�@ ( � ��� r B C 3 C r T "�d�(/�'���2*)0��AS����)*/.)*����i6&���2*),��iZ��"v�!����$�)*/#� ��A ��� � Vd"������1�</�)*2,iz' ����' �F/B�!���<�B)0�)*QT��2*)0��/

� � r � � =?> @ (5� ACB C 0 � � ��� 3 C r.@) P � =?>�@ ( � ACB C $ 3 C r = � � r � =?> @ ( � ACB � =?> @ ( � A�� r B C 3 C r T "A >%�,�[>�V

��"6"�/�)0��A � /�& �S'()*�(�F��20iS/�QS��2*2�96������2,i%)0��An����)*/ �!" � � � ;P"�� y � "1"1" 0 � 9��<��$���('1��202*)*��A7�!���<��"�� �!���d���(A�&�2*��� '�"�QT�3"������ �A � � V � )*/p�����d����),G%)*��2�'("������('(�!)0"��$ ����$ � � y e.9pI�f"�9%� ��)0�,A >%�La'Vg;P"�� � � 6)7 ��/nI�(2*2 ��MN��)0/���/O� ��9�20)*/#����/�������:iF&�),G��<2*����'��B"�;�!���B��"���QT/ � " � r

� �������<��$ � " � r

� �����"�&���$Z������)0���7/�)0��A�&�2*����),��i��

h`�#"�&���$ )0������),��i�9p9 i,c! e \]��QTQv�DV��?a8����� $�)�~_�(���(��'��f9E�(��I����(� A � � V H����$ � � )*/N9E"�&���$��($8�<93"bG��g9 iz� �!���#Q

A >%�,�bK'V 1 H y �dA 0 � � ��� V;P"�� /�"�QT��

�e.9%����$f��A���)*� �!���./!��QT�d��"�2*$�/ ;P"���� H � �`�pMN���.�:iF&�)0G<��20����'(�

A >%�?J�V�;P"�202*"bI:/�)0QSQT��$�)*�<�!�(20i ;P��"�Qo�!���g�(/#��)*QS�<�!)0"��

C 06� � ����� C .@)6C � C;P"��:��� i )

�e.9�I:�������(G��(� 0

� K I:),�!� K /#&��T'�)*�(� �!20i 2����#A����

MN��)0/:�������z����)0/����(/d����������"6"�;H"�;=\ �(QSQS� >%�LK ��/NI�(2*2 �

m���"�Q �!�������#�(G6)*"�&�/:$�)*/#'�&�/#/�)*"��(9�I�g9��#)*��A "�&��d�</d'("���/#�:iF&�����'��0p

Page 31: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ��� � � ����� � ��� ��� �����>� ��� ��� ��� � ����� �� � � � � � ��� � �'� � >%�?+�� ! ��_�EC[]\��n_nLUJsPK�.M7� _ � � A � V�[ PuJ���_uP%_nJ�SoQdP%_ �nJ�[ZS�O.P

� � q r � �� � � A ��V�Pnb���� J)�.M0J�O _NM0L@M \ SNY'M0LU[]J��7T`[Z��Pn[]O7Y0b \�M0LU[]J,+ ��� )�[]O J)��_��7_nH� S�TC��S%Pn[]J�[ZS�O.P ��� .��"��M0O�� ��� .���� ' _ �.M �0_ � � � � qpr � � Q�S�L y � "1"1" 0 � M0O��� � � � 0 � � � � � q r Q�S�L y 0 � = � "1"1" 0 ��':��_nL�_NM�PGM0J�[]O ��O�[]J + )+J)��_w� S%S�L��0[]O�M0JK_ P� H� SoQ � []O@J���_s� M�Pn[ P ����. � ���)M0L�_.q r � � ��_Na:b7[^�'��_N�2' []J)�uJ���_wO S�LUT

� ���� ( =?>�@ (�� ACB C � C r = C � � C r

=� � � � � �)( �5� � � =?>�@ ( � A B C � � � C r = C � � � � C r = ��5� � ( � � � =?>�@ ( � ACB ���� � � �0 ����

r= C � � � � C r��

! ��_ P:M0T�_!L�_ Pnb \ J ��S�\���P#Q�S�LfP%_ �nJ�[ZS�O.P�SoQ r � � )�� S%S�LN�0[]O�M0JK_ P �n_n[]O7Yw_�����L�_ P P%_N�[]O�J)��_ � M�Pn[ Ps� <U" � �< .�)� ����� �m�"���/#��'(��)*"���/�"�; � 96�!��)0/;P"�2*20"bI:/�;P��"�Q{ 2*��)*Qo>%�WV�9(A >%�,�be'V�<��$

C � � � C .@,!C � C ""��B�������Z"�9��!��)*�f�!���g'���/���"�; r 9 iz$�&���20)0��i��

" �D��"bI '("�QT�Z9���' �~�!" �!���D�����<20i6/�)0/T"<;`�!���Dj7)0�!��'f"��3�(�!�<��"���� m���"�Q�!���Y$��(����)0�!)0"���/."�; � � AB� � �@��Vd����$ �(' I�� /����n�!���<�.�!��)0/`2*�<�������7�<$�QS),�!/.�93"�&���$��($D�54%������/#)*"��

�(' p � � A ��� �!� V��#� q r AB� � �!��V "A >%�,�1VhV"��g���#�B��"bI ��9�20�7�!"T������"�&���'(�������B����/O�dQv��)0�f���(/�&�2,�."<;H����)*/N' ���<���!�(�:p

��� ����� ��� >%�?a�� ! ��_�S ��_nL�M0JKS�L ��� . ��� �`[ P*�(L�_N� ��S�\ T ��[ Q ��[ P �.M0LUT�S�O�[Z� )[]JRP*�'_nLUO _n\���M0O�[ P���_ P�.

� ��� � �'� � >%�?J�� ! ��_w�:b O��.\ _�S �0_nL �R $ �& ':��S%P%_ �r�n_nL S �0_nL��I[ PwJ)��_� S �'_nLUO _n\�SoQ ��� . ��� �)[ P M�PnT�S%S�J)� �0_ �nJKS�Lw�:b O��.\ _�.

�)� ����� � " �����('1��202�����YI���2*2 s��F��"bI:��; ��'C�`�!���<�`������)*��$��C48"�; �v'("�� �!)*�6s&�"�&�/.; ��QS)020iz"�; m��#��$���"�2*Q "��E���!���!"��#/7)*/.'�"���/O� ��� ��� �7��������"��������7������$(9^),;�!���Y�����#����2p"<; �fm}�#��$���"�2*Q "��E�����<�!"��dG<����)*/#����/�9_�!����� )0��/`)*��$��C48)*/.�:iF&���2=��"�!���n"����E"�/�),�!�n"�;p�!���n$�)*QT����/�)*"��8"�; ),�!/d'�"��<��������2 �`�u�`�!������;P"�202*"bI:/.)0QSQT��$�),s�<�!�(20if;P�#"�QR�!���Ym�����$���"�2*Qo�!���("����(Q �����<�`)0;=�����YQT�(����)0'g)0/.������QT"���)0'09��!������!���z$�)0QS�(��/�)0"�� "�;.�!���z'�"������#����2:"�;.�!���z"��E�����<�!"�� �(' )*/ ������)0�!�z'("���/#�!��� �)*��$����E����$��(� �f"�;��� ; "����("[G�����9d9 i /#�!����$��<��$ )0QS��20)*'()0��;P&���'(�!)0"�� ������"�����Q����A�&�QS�(� �!/N)*�Z-d)*2*9E���O��/#����'��g)0�;P"�2*20"[I:/��!���<�N�����B'�"������#����20/."<;H������/#�nj7)0�!��'"��E���!���!"��#/N)*�Zq r AB� � �!��VG<���#i /�QT"%"�����20iTI:)0�������

MN���(���(;P"����09�I��nQS�1i /#�(�:�!���B;P"�202*"bI:)*��A��

Page 32: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����������������������� >6�?c*��! ��_��!������/O;P"���QT��$ G���'(��"��N9�&���$�2*� �� SoQ�A � � �3VsSoQM�Pn[]O7Y0b \�M0L�[]O�JK_ZY0L�M'�:\ _@� S�O�O _ �nJ�[ZS�O ' []J��/�.M0LUT�S�O�[Z� T�_nJ�LU[Z� [ PuJ���_�PnT�S%S�J)�

�0_ �nJoS�L`�:b O��.\ _�S �0_nL �� $ �& ':��S%P%_ �r�n_nL1S �0_nLG� [ P`J)��_ ��O�[]JK_nH �0[]T�_nO.Pn[ZS�O�M0\�0_ �nJoS�LPK�.M7� _ �� ' y )+*-,/.10�A �(' V q r AB� � �8��V�.

��� �!��� �#��QS��)*��)*��AS"�;p�!��)0/7/��('(��)*"��(9^I�� ���#"[G���G<����)*/#��)*��A "�; �!��� �<���#����2 �MN���8����"6"�;7"�;.�!���Z����/O�v/O� �<����QT��� �S"�;BMN���("����(Q >6�?a�)*/ 2*�C; �T;P"�� �����8���C46�/��('(�!)0"��^� m�"��S����� ���(/#�z"�;B����� $�)0/�'�&�/�/�)0"�� )*� ����)*/S/��('(�!)0"��(9:I� $���"�� �����)*��$��C4����

� ���)� � >6�?U*� ! ��_!Pnb��nPK�.M7� _ P�� A � C� � >�� � B V�M0O���� A � C � � >���� B VkSoQpq r A � VM0L�_`S�LnJ)��SNY7S�O�M0\ .

�)� ����� �\]�(� � � � � � A � VB����$ � r y 36$ < " $�<� � � A r V5�zk%&����3"�/#�

����/O�B�!����� � � )0/7/�QT"6"��!� ����$ /�&����E"��O�!��$�"�� �f'�"�QS���<'(�B/#&�9�/��C�g"�; ��9 �<��$/�&�' � �!���<� ������� ��� i~/#)*��A�&�2����#)0��i ��� � & ),�!/�/#)*��A�&�2����n�����#��)*/�/#&����E"��#����$�1I��1i ;P��"�Q ��� � MN���(� )*� � ���()*A��F9E"�����"%"6$ "<;���� i ��� )*� � ��"�2*"�QT"�������)*'9���/#)*/ � � � y A $ = 17V � ;P"��./#"�QT�Y9E"�&���$��($�/��('(��)*"���1 ��� � A � * 0 A � VNVU9_�<��$/�" I�����1G��n9 iz�����O�!)*��2_)0�F����A����<�!)0"��

A >%�,�[+�V ����AC� � � � � � r V y ���

�A � r � � � r V y e

/�)0��'�� � )*/�|}�<�1� MN���(���C;P"����}9�)*�f"��#$�������" ����)*/#�z�����B���#"%"�;),�N)*/N/#&��T'�)*�(� �d��"/���"bI �����B;P"�2*20"bI:)*��A�p

� ��� � >%�,�be*�(! ��_@P%_nJ SoQ�� S�TC�.M7�nJ�\ +�Pnb5�'��S�LUJK_N� PnT�S%S�J�� P%_ �nJ�[ZS�O.P�SoQ� � � � S�O � ' []J)� Pn[]O7Y0b \�M0L �.M0LUJs� S�TC�.M7�nJ�\ +�Pnb5�'��S�LUJK_N� M '!M + QUL�S�T M0O*+Pn[]O7Y0b \�M0LU[]J,+1[ Pw�7_nO.P%_�[]O � � .�)� ����� ���u� )0/Y/�& �S'()*�(�F� ��"�/���"[I �!���v/#�!�<�!�(QS�(� ��;P"�� � 9 �!���v'1��/#� "�; r 9E��)0��A �<����2*"�A�"�&�/(�Nm=)*�#/#�dI�n'�"���'���� ���!�<����"��8)0������),��i��d\]�(� ��� � � A ��Vn9����$ $��C����� '�&%�#s�"}~�;P&���'C�!)0"���/ � � A 0�V:/�&����E"��O�!��$ )0� cWe > K e ����$ �:iF&���2=��" �"��XcWe �K e 9�/#&�' �D�����<� � �� )*/:/�&����3"��#�!�($D)0�Xc K� > K e I:)0���

1���C � �� C�. > � K "MN�����ZI�����(��$Z�!" ' ����' �f�����<�

� �A 00V ���#� �

)*� � � A ��Vd��/ K � % �:���8G6)*�CI "�; "��#"�2*2*���#iz>%� +79E����)*/d93"�)*2*/:$�"bI:�8��"S�����'�2*��/�/#)*'1�<2^'1��20'�&�2*�<�!)0"���/ � AO��� � � A 00VNV�� � . �

���4� C � C r

Page 33: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ��� � � ����� � ��� ��� �����>� ��� ��� ��� � ����� �� � � �#�����$ � � �+ANAt�k� � � A 0�V�V �(V � . �

��� � � r � C � �� A 00V C r C � C r =8, ����4� C � ��� C r.@, � �

��� � � r � C � C r =8, ����4� C � � � C r

I:�����#� , , � ������'�"���/#�!��� �!/d)*��$��(�3�(��$��(�F�d"�; K �<��$���8 �546��9�20�(� &�/ '�"���/�)0$������g20"�A ���#)0����QS)0'/#)*��A�&�2����#)0��i � � 9%�<��$S$��(�����.'�&��Os�"0~

;P&���'C�!)*"���/ � A /�&����3"��#�!�($D)0�XcWe �� e 9���i6&���2^�!"Z��"��XcWe �� � > e 9�����$Z/�&�' �Z�!���<�

Qv�[4 C � �A C . V � ""������(��$Z�!" /���"bI �!���<�

At��� � A V � ;)< � 7 �#� � ;)< � 7)*� � � A � VN��/ � � e��r�B���B/����(/.�����<�

� � C � A � ;)< � 7 C r . � � � A C � ;�< � 7 C r � e /�)0��'�� � ;)< � 7 � q r �p���z�!����/���QS�7I�1i�9

� � C � A � ;)< � 7 C r0 r . � � � A C � ;�< � 7 C r0 r � e /�)0��'�� � ;)< � 7 � 0�� q r � m=)0����2020i�9FI��Y��20/�" /��(�B�!���<�

� � C � �+A � A � ;)< � 7 V C r . �ba� r � A � r � � � A C � ;)< � 7 C r = � � � A C � � � ;)< � 7 C r. � A � r � � � A �1a�C � ;)< � 7 C r0 r = � � � A C � � � ;)< � 7 C r����$D��2*23"�;�!���(/��g�C4%�����(/�/#)*"���/d'�"��FG����#A��n��" D(���#"v��/NI���202 �

h`����20i6)*��A��!���8'�2��<)*Q �!"~�������#"b4%)0Qv�<����� � ����$ � r )*� � � 9 i /#��'C�!)*"���/I:)0����'("�QT����'(��20i8/�&����E"��O�!��$ /�)0��A�&�2*���7'�"�QS�E"����(�F�g'("�Q�9�)0����$ I:)0����A >%�,�[+�Vn9I�g)*QTQT��$�)*�<�!�(20i A��C�d������2*�(QSQS���

8 "bI I� '���� '�"�QT�Y��"vG<����)*/#��)*��A "�; �!��� �<���#����2 "<;A >%�,�1VhVnpd9 i \]��QTQS�>%�LU.9�I��n���1G��

,/.10�A �(' V y ,/.10�AC� ' C � � > � � B V 9 ,/.10�AC� �' C � � >�� � B V )0�B)0/7�!���(���C;P"���� /�& �S'()*�(�F����"Z����"bG�� G<����)0/���)0��Af"�; �!��� ���(�����(2*/�"�; �l����$ "�;� � � � i�$�&���2*),��i�9_I�� "���2,i����(��$ �!"f�����1���7�!��� '���/�� "�; �8�Y-`���#QS"���)*'()0��iZ"�;�!����QT�(����)*'`)*QT��2*)0��/����� "��()0�LD(���F9 �"�' � ;P"���Q�&�2*�.pA >%�,�ba'V � �' �1' y A � �' V � A � �' V = A � ' �wV � � ' �

Page 34: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����A /#����c� e 9�MN��Q +%�WV�� VU9�I:��)*' �Z�!���(�DA�)0G��(/.9 iz���<�#�!)*��2^)0�F����A����<�!)0"��z����$8 2��<)*Q>%�,�be��!����)*$���� �!),��i � �(' � � r

�� y � � �' � � r

�� = � � ' � � r

��A >%�,�[J�V

;P"��.��� i ��� � � A � VC�`k%&����3"�/#� ��"bI �!����� � )0/.)0�8�!���n���(�����(2 "�; �(' �`MN�����A >%�,�[J�V`)0QS��2*)*�(/ � ' � y e.9����$�/#)*��'(� � ' )0/g��� )0/�"�QT"��#����)*/#Q ��������)*������)0��i93�('1��&�/���"�;`�!���D' ��"�)*'(��� �� �& 9�I����2*/#"����1G��D�!���(��� � y e�� h`A���)*� 9FiA >%�,�[J�VU9�� )*/N'�"bG<���#)���� �:'�"���/#�!��� �1� MN��)*/:A�),G���/N�����n�#��/#&�20�:9�/�)0��'��n� '�"bG<����)*��� �'�"���/#� �<�F�d/#��'(��)*"��zG<����)0/���)0��A "��D���z"��3�(�D/#�(�:G<����)0/����(/.�CG����OiFI:�����#���

�( �= � �5�(�32��32k�%4+$ �6�5$7*+4+�� ,3 1 46$7�3�5$ 3h QT"6$�)0��'��<�!)0"��T"�;^�!���`&�/#&���2_A�2*&�)0��AY�<��A�&�QT��� �"�; m����($���"�20Q s ��i%�E�:�!���5s

"����(QS/ I�"����F/ )0� �!��)*/T'1��/#� ��/SI���202 ���7���820�(��/ ��9E����'�&��Os�"0~ ;P&���'C�!)0"��

/�&����3"��O�!�($ )*�~�D'�"�QT����'C�����(A�)*"�� K "�&���/�)0$�� �8����)*A��69E"��#��"%"6$�"<;N�!���S/�)*�6sA�&�2*����),�!)*�(/:9_����$ ��&���/ � r y �C� �

�� k6)*��'(� � )*/B� ��"��%s�/#)*��A�&�2����d����/O�#su"���$��(�

��202*)*�%�!)*'v"��3�(�!�<��"�� )*� K 9��202*)0���!)0' �!���("��#i "�;B��'("�QS����'(�SQv�<��)0;P"�20$ )*QT��2*)0��/�!�������Z�����!�<QS�C�!��) 4 &

��54�)0/#��/n;P"�� � )*� �!��)0/n�#��A�)0"��^� 8 �546��9="����v'("���/�)0$����#/

�!���S����"�9�2*�(Q�)*������)*A��69E"��#��"%"6$�/g"�;������v/#)*��A�&�2����#)0�!)0��/(�zm=)*�#/#��9"����S/#��&�$�)*�(/�!���ZQT"%$��(2�"��E�����<�!"��#/ � � y � � = A � � VN� )*��/O�!�1�<$ "�;.�!���Zj7)0�!��'f"��E�����<�!"��)0��/���2,;t� MN���(���n�����B��I�"S$�)�~_�(���(�F�:I�1i%/d"�;�!�#�1�<��)*��A�������/#�0p

At�5Vn��),�!���(�."����n�546�!����$�/.�����g;P&���'(��)*"����<2]/�����'(��/`����$D�����gQS"6$���2 j7)0�!��'"��E�����<�!"�� "�� ��"`�N���<��&��!�<2 '�"�QT��2*�C�!)0"��B"�;������ ����)0A��F93"�����"6"%$ 9[I:��)*' �'1�<�Z9E�7�()0�!�����:��'�"���;P"���QS��2E'(i62*)0��$��(��"��N��'("�QS��2*�C4v2*)0���`AP$����E����$%s)*��AS"��z�!���g;P"��#QR"�;H�!����QT�(�!�#)*'g����$z�!���g;P&���'(�!)0"�����2_/�����'(��/�Vn9^�<��$$��C������/`����I"<su/�)0$���$Z)*� G��(��/#�n"�; � � "��f�!��)*/N'�"�QS��20�(��)*"��

A >�Vn"��."����n����$�/`$�)*���('(��20iZ�S��I�"<s�/#)*$��($�)*� G�����/#��"�; � � "�� �T/�QS��2*2]$�)*/�����#"�&���$Z�!���g/�)0��A�&�2*����),��i�9�I:),�!��� 9E"�&���$��<�#iz'�"���$�)0��)*"��fG�����),����$89Fi��� i�/��('(��)*"��g/�&����3"��O�!�($n"�&%�!/�)0$�� �N����)0A��F93"��#��"6"%$�"�;6�!��� 9E"�&���$����#i��

\]�(� &�/ /��(����"bI �!���(/�� ��202*"bI{��"~$��($�&�'��D�!���8m}�#��$���"�2*Q �!����"��#��Qup )0;7I��� ���<� K /#&��T'�)*�(� �!20iS2��<��A��}9F�������f"��v�!���./�&����3"��O��"�; � r ��2*2}"�;]������/#�7)*� G��(��/#��/A � � V � � �����B$��(�����($^� �B�����������Z/��C�!/

& p q r AB� � �!� V�� � � � AB��� ����V& A��#V y �

�&�A ���#V = � � r A � � V � � A � r �#V

����$ /���"[I:/z�!���<�f�!��)0/f"��E���!���!"�� )0/z�~��I"<su/�)0$���$ ��������QS�C�!�#),4 "�; � "�� ��2*2�S� MN��)*/ '1��� 9E�Z$�"����D��2*"���A '�2��</�/�)0'1��22*)*����/:9 �!���Z"���20i $�) ~3�����(��'��z9E��)0��A

Page 35: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � ��� ��� ����� � ��� ��������� ����� ������ �N �!�����7�������`�!����/�)0��A�&�2*����),�!)*�(/NI�����bG�� )*� G��(��/#��/�"�;p�!����2*"6'1��2 QT"%$���2*/d"�;p�����"��E���!���!"������$f��"���)*� G��(��/��(/:"�;]�!���B"��3�(�!�<��"��),�!/��(20;t�HMN�����#�(;P"��#�09�I��B����"6'��(��$��/H;P"�2*2*"bI:/�p^����/O��9�I��/O�!&�$�ig�!���2*"6'1�<2 QS"6$���20/H"<;��!���j7)*����' "��3�(�!�<��"��H����"�&���$�!���f/#)*��A�&�2����#)0��)*��/�9p����$ ��/O� ��9�2*)*/#�~�!���z)0/�"�QT"�������)*/#QS/Y��/ )*� At�5VY"�� )*� A >�VC�MN������I������#"bG����!���<�`�����Y�n~_�('(�B"�; ����/�/#)*��Av��"v�!���YQT"%$��(2H"��3�(�!�<��"���/d;P��"�Q�!����A�20"�9���23"����(/`�<�N������/�)0��A�&�2*����),�!)*�(/"���20if�<QS"�&��F��/N�!"T��$�$�)0��AT� '�"�QT����'C�"��E���!���!"�� � � AB� � �!��V�� qpr%AB� � �!��VU9�I:��)*' �z�!���(�DA�)0G��(/N�!���B�!����"��#��QZ�

�( �= ��� ���353�����R�54�3����d����" 5 �+ ��.�}�]�5�R$7�0 \]�C� ��A � � V�9E�B��/�QS��202_���()*A��%s93"�����"6"%$�"�; � � & ���.�~��" ��' ������A��f"�;d'�"6"���$�)0���<����/:9 I��fQS�bi /�&����3"�/��� y ������$��(� �!)0; i �uA � �5V $ z�� | y � ��� e e � e G6)*� �3"�2*���d'�"6"���$�)0���<����/)A 0 ��VC�k%)*��'��n�����Y20"%'���2 QS"6$��(2 At���?>�e'VN)*/d$�)���A�"�����2])0�D�!���Y9���/#)*/ z . � � |h9}I���/��(�Y�!������!����QT"%$���2]j7)0�!��'7"��3�(�!�<��"��N"��f�!��)0/:$�)*/#�

� �� y � � � AC� � V � p�A � 9 r V ��� C =?>�@ � �CB �#� � �8� C =?>�@ � ��B/���20)0��/ )*� �!"7�����N$�)0����'C� /�&�Q�"�;E)0�!/=����/O�!�#)*'(��)*"���/=�!"B�!���N�!������su"����N'�"�QS�E"����(�F��/A��������!���!��$ 9 i "����z"�;d�!��� z . � � |F� h`A���)*�(9pI��z���1G��z��I"�'1��/#��/�pZ���#/#�:9 �z � "1" " 0 � |�A �#��A�&�2����H'1��/#�%Vp����$ /��('�"���$�20i � z 0 � = � "1"1" 07|�A /#)*��A�&�2����H'1��/#�%V5�

��� �����z���(A�&�2��<� '1��/#�09�9 i $��C����),�!)*"�� �����ZQS"6$���2�j7)*�!�<'f"��3�(�!�<��"�� "�� ��!����� su"�����'�"�QS�E"����(�F�:)0/��#&�/#�:������"��3�(�!�<��"��

� y $)� $ � p�� � y �� 9 r �#� � y � � I:��)*' � )*$��(� �!)0����/f�!" � ���#"��#��'C�!)0"�� "<;Y�!��� �#�1��2B���<�#�Z"�;Y������&�/�&��<2nj7)0�!��'"��E���!���!"��N"��Z� ����"6$�&�'C�:"�;=��I�"T$�)*/#�6/:)0���nrNA�),G��(�Z9 i

�� � �� � p �� � � 9 �� � r �#� �� � � "k%)*��'��z�!��)0/S)0/S�F��"bI:� ��"����1G������ )0�FG����#/��D;P"��T�����8h���)0i �<�%stXH�<�!"6$�),stk%)*��A����93"�&���$����Oif'�"���$�)0��)*"�� 9%�!���g'���/���"�;�!���g�#��A�&�2����N���<�#�d�<�d������),�!�B/#)*��A�&�2����#)0��i;P"�2*20"bI:/��

�7� �!���`/�)*��A�&�2��<�'�"�QS�E"����(�F�����1�����n����),�!�7/#)*��A�&�2����#)0��i�9F'("���/�)0$�������A ��)0��!���v'�"6"���$�)0���<���v' ������A�� y ��20�:0�� j � � MN���f2*"6'1�<2 QT"6$���2 "�;#� I:)0������(/��E��'(�d�!" )*/NA�),G����Z9 i� � y 0 = ? �' � � $�� =�c -

' � � � � �� e $�00A /#����AO��� >�e�VNVC� 8 "���)*'��d�!�������!���`�!�����T"�; � � ����$ �����<�N"�; � � ���#�793"<�!�f�:iF&��<2�!"�> p=I��.�!�#)0G6)��<2*)ED(���!���(Q &�/�)0��An�����`&���)0�#su��"��#Q /���'C�!)0"���/ At� 0B$�0 " $ ��V��<��$A $�0 0�$��0VN�#��/#�3�('(�!),G��(20i�9E/�" �!���<�`9E"���� � � ��� ;)< � 7 �<��$ � � �@� ;)< � 7 9E��'("�QT�)*/#"�QS"�������)0'7�!" � ;)< � 7 9 � ;)< � 7 ��/`-.�(��QT)0�!)*���z9�&���$�2*��/(�:h`/.I��Y���bG���/��(����)0�

Page 36: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����\]��QTQv�Y>%�?K 96�����`/#����'�� � � AC�uA � �%V � ;)< � 7 V )0/��i6&���2E��"Y�!���7QS"6$��(2E/#����'(�7"�;��2*23/��('(�!)0"���/ � ���1G6)*��A

� =?>�@ � ��B � C � � C r = ����

�0����

r��0�$�0<$ �

� % "

� if'("���;P"��#Qv��2_)*� G<����)*����'��`"�;H��������"��#QR"�;��(su;P"��#QS/�����$Z$ y $�0 � 079%����)*/:)0/

���������� A C � � C r = C � C r Vz$ $ �

� % I:)0���z��������"��#QR"�;�!��� �(s ;P"���Q � � QT�1��/#&����($ZI:),�!�z���(/��E��'C�.��" �����BG�"�20&�QT�;P"���Ql$ $ �%��MN��)0/Y2*�<�������Y)0/��#&�/#�������v$��C����),�!)*"��~"�;������vI���)*A��F����$ k%"�93"�20�(G/����<'�� q r � �� A � � � j � � ;)< � 7 V`I:)0����"����T$��(��)0G<�<��)0G��T)0��q r ����$ I�()*A�� � e%�v���� /#)*QT)*2��<�nI�bi09N�!���Z&�/�&���2`q r s�/#����'��D"�;B/#��'(��)*"���/S"�; � ;)< � 7 "�� �����8$�)0/�� )0/)*$��(� �!)0����$�I:)0�����!���N/#����'(�:q r � � A � � � j � � ;)< � 7 VH"<;_q r s�/��('(��)*"���/HI:)0�!��I���)0A�� ��n�g"��f�!���g����20;H'(i62*)0��$��(�:9�;P"��

� =?>�@ � ��B C � C r 0�$�0<$�� y � ������� C � . � � C r $ $���"

-.�(��'���)*���!��� �!��),G6)���20)*/!���!)*"��`A $ 0 0�$ �0V "<; � � 9[�!���&�/#&���26q r s�/#����'(�"�;_�(su;P"��#QS/"��f�!����$�)0/�� )0/N)*$��(� �!)0����$zI:)0�!�f�����BI�()*A�� �!�($D/#����'(�

q r � � AB� � � j � � ;)< � 7 9 � ;)< � 7 V "� ��� � >%�,��� � �6_nJ�A 0 ��V�n_���S�\�M0L � S%S�L��0[]O�M0Jo_ PM0L�S�b O�� �dy � � M�PM'�nS �0_�.

�6_nJ �� z 0 � = � "1"1" 07|�M0O��A � 3 A 0�� 0 " � ��V�V �!. � � � R H A � $ z e | ��� �!� ;)< � 7 V "

! ��_nO�J)��_ ��M0\ b3_�SoQ�J)��_wT�S:�7_n\#D�[]L�M7��S ��_nL�M0JKS�L � � S�O�J)�7[ P P%_ �nJ�[ZS�O�[ PP � � � = -' � � � � ��0 ��� �

�= ?' � �0 3 T 0 0

=QP � � = ? �' � �0 � = � � 3s� -' � � � � ��0 3 T 0�� ��"

�nO��.M0LUJ�[Z�nb \�M0L ) []O@J���_ b O�[]JZM0L�+�J�LU[��%[�M0\ [ P:M0J�[ZS�O.P�AO� 0�� 0 " � ��V�M0O���A�� 0 0�� �0VSoQ � � M0O�� � � )!J���_`S ��_nL�M0JKS�L0 � � y . � � � �

[ PwJ�L�M0O.Pn\�M0J�[ZS�O�HK[]O ��M0LU[�M0O�J ' []J��uL�_ PK��_ �nJ�JoS�J)��_`�-+�\ []O��0Ln[Z�NM0\+� S%S�LN�0[]O�M0JK_ .�)� ����� ��MN��)0/)*/ �g$�)*�#��'(��'�"�QS��&%� �<��)*"��(p ;P"���� �D. � � )0� ;P"�2*20"bI:/ )0QSQT��$�),s

�<�!�(20iS;P��"�Q AO���?>�e'V5� m�"���!���g)0Qv�<A��`"�; 3 A 0�$�0 " $��0V��!. � � 9�'("���/�)0$����N���#/#�N�����

Page 37: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � ��� ��� ����� � ��� ��������� ����� ������ � �/�QT"%"<�!�S;P"���Q��H$ 0 � . � � /�&����3"��#�!�($z)*� �n'�"�QT����'C�����(A�)*"�� "�; � $ z e7|hm%�!�����9 i �!����/���QS�B;P"��#Q�&�2*�YI�����1G��

���H$�0:�!. � � A � � V � 3 A 0�$�0 " $��0V �8. � � y � � � A��H$�0�V 3 A 0�$ 0 " $���V y � ��A �

�= ?

' � � V��H$�0 " $ � 3 A 0�$�0 " $���V y � �

0 ��A � � = ? �' � � V�� 3�

y�0 ��� A � � = ? ' � � V�3�

����$����6&�/=�!�������"��#�('(��)*"�� "�;�AC� � V � 3 A 0�$�0 " $��0V � . � � "���������$�0bs�'("�QT�3"������ � )0/A ��=�?' � � V536$�0���. � � �HMN���"��������H'�"�QT�E"������ �H)*/ "�9��!��)*����$n�!���F)*��A`�d'("�QT����'(��20i

/�&����3"��O�!�($D/#QS"6"��!�f;P"��#Q�� 0<$ ���8. � � p��� 0�$�� ��. � � AC� � V � 3 A 0�$�0 " $ ��V ��. � � y � � � A�� 0�$��0V 3 A 0�$�0 " $���V y P � � = -

' � � � � ��0 T � 3��y � P � � � = -

' � � � � ��0 T 3 � ����$v�����.;P"���Q�&�2*�g"<;]�!���.'�2��<)*Q�;P"�202*"bI:/��=�u��)*QT��20)*��/ �����<��0 � � )*/ �!������/�2*�<�!)0"��%s)*� G<����)*��� �N9E��'1�<&�/�� � � y � � � � 06�

� i�$��(����)0�!)0"��(9 ����� I�()*A�� �Te�)0/I�nLn[]J�[Z�NM0\N;P"���0 � � ),;`�<��$ "���2,i~)0;N�������#��C4%)*/O�!/d� ��"��%s �!��),G6)���2E/�"�20&��!)0"��f"�;

. � � � � A ! . �� � � < � � �� . �� � � < � � A 0�$�0 " $���V�V y e

I:)0��� /�"�QT�N'�"���/#� �<�F��/ ! �� � � ����$ �B'�"���/#� �<�F����� � /�&�' � �!����� -�� y e��MH&�����)0��A 9���' � �!" ������'�"6"���$�)0���<��� 0 ��A ��)0�(9%����)*/N)0/N�:iF&�),G��<2*��� �:�!" ���1G6)*��A

0 � � A ! 0 . < � � �� 0 . < � � A 0 $�0 " $ ��VNV y e "A >%�,�bc'V� i c � $ e 9.)0;ne~)*/f��"<�Z�~'���),�!)0'1��2dI�()*A�� ��9d�!���(� �!�������!����/#2��<��)*"��6s�)*� G<���#)���� ���202*)*�%�!)*'.$�) ~3���#��� �!)*��2_"��3�(�!�<��"��

. � � � � pFq r � �� AB� � � j � � � V��#� q r� AB� � � j � � � V)*/N)0�FG����O�!)*9�2*�09�����$z�!�F&�/:/�"T)*/

� � pFq r � �� A � � � j � ���3V��#� q r � � A � � � j � � ��V/�)0��'��

. � pFq r� ��� q r � �

Page 38: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����)*/���� )0/�"�QT"�������)*/#QD�MN�����#�(;P"��#�09�)0�v"��#$���� �!"n��/#�!��9�20)*/��T�!���`$���/#)*���($ )*/#"�QT"��Os����)0/�Q )*���!����/�)0��A�&�2*���`'���/��}9^I� "���2,iZ�����($���" ' ����' ��������I���)*A��F�Be )*/7��"<�'��#)0�!)0'1��2E;P"��:0 � � �

h`����20i6)*��A7�!���:'�2*��)*Q ��"������N�:iF&����!)*"��IA >%�,�bc'Vn9<I�:/��(�d�����<� eB)0/p�B'���),�!)0'1��2I�()*A�� �d)0;H����$D"���20i ),; �!����/#i6/O�!��Q "�;H2*)0���1�<���:iF&��<��)*"���/

A�� = -'� ��V ! � ? A * =

'V � y e

? A * = �

'V ! = A�� = �I� -

'V � y e

����/Y�D��"��6su�!�#)0G6)��<2 /�"�20&��!)0"���A ! �� V)� � r ;P"��g/�"�QT� � � � I:)0�!� - � y eA ���(���7I������1G���"�QT)0������$ )0��$�)0'���/ (T����$ v"�;

'����$ � ;P"���/#)*QT��2*)0'�)0��i.V5�HMN��)0/

/#i6/#����Q ����/�n��"��6su�!�#)0G6)��<2�/�"�20&��!)0"��S),;]����$v"���2,i )0;^�����d$��(������QT)*����� ��;P"��#QS�($9 i �!����'("%� �S'()*�(�F��/.)0/N�:iF&���2]��"Se p

� r � A -'� ��V r � C * =

'C r y e�"

k%)*��'���- �gQY&�/#�=93�e.9<����)*/'1���n"���2,i�93� �!����'1��/#�)0; � y -'� � y * =

'y e��

� iZ��/#/�&�QT���!)0"��Ze . ��

�09}����$ * )0/d���D)0� �!��A����:9��������#�(;P"��#�g������"���2,if'1��/#��!��)0/�'1�<� ��"�2*$ )0/�I:����� � y

'y e.9 I:��)0' � )0/�)*QT�E"�/�/#)*9�20�09 /#)*��'(� I�Z���#�

2*"6"��F)*��A ���d������/�)0��A�&�2*���N'�"�QT�E"������ �d"�;H�!���g9�&���$�2*��� MN���(���(;P"����09}�!�������n���#���" ��"��%s �!�#)0G6)���23/�"�20&��!)0"���/���"IA >%�,�bc'Vn9�����$ZeT)0/N��"��d� '��#)0��)*'1�<2_I�()*A�� ���

�( �= �( ��(��" 5 �+ ������]� � �.����"��f"+�R� � ��� �!��)0//��('(��)*"�� �����B)*QT�3"��#� �<��'��d"�;�!���S'�"���$�)0��)*"�� � �� �& I:)*202p'�"�QT�v"�&%��m �!�������C;P"����TI�SI:��)0���v"�&%�n�����v)0��$��C4�8"<;N"�&��n"��3�(�!�<��"���/(�zh{���()*A��F9E"�����"6"6$ "�;�)*������)0��i�)*� � $ & )*/gA�),G�����9Fi�!���8'�"�QT��2*�(QS�(� � ���Oi � $ �uA K VT"�;g��2*����A��8$�)0/�� ����"�&���$ e�� h@���<��&��!��2' ��"�)0'���"�;H'�"�QT��2*�C�!)0"��f"�;=����)*/NQS����),;P"�2*$v)*/N"�;='�"�&��#/�� �19�I:)0�!�z),�!/N/#�!����$��<��$QS�C�!�#)*' C $ < C r � " � ' ��"6"�/�� �!"z/O�!&�$�i8�!��� 20"%'���2=QT"%$���2=)0� �!��� "��O�!��"���"���QS��29���/#)*/ z . H� |~$��C������$ )*�vAO���?>%�5V5�{MN��)0/D�<2*2*"bI:/z&�/z�!" �!��)0��� "�;�� �</Z������!�#)0G6)���29�&���$�2*� � � "bG��(��� $ �uA K VU9^I:)0�!� /O� ����$�����$ ���(��QT)0�!)*����QT�(����)*'Y"���!��� ��9E���#/�� � i At���LK�e'V.�!��)*/B9���/#)*/�AP&�����"Z�z�E"�2,i%��"�QS)*��2/�'1�<2*)*��A ; ��'(��"�� V`)0/�Z���<�!&�����2p"���� ;P"��7�����v-d)*A�A�/Os�9�&���$�20� �3"�)0� �n"<;�G6)*�CI�9H/#"D�����S$��(;P"��#Qv�<��)*"��)*/������<�d'�"���/�)*$������($8)0��At���LK +�Vn9}�<��$Z�����g"��3�(�!�<��"�� � ' �������:)*������)0��if)0/dA�)0G��(�A &��z�!" ������QT/:"�;H"���$��(�:0 � � VN9 i� H' y $ = ! �X����$

> $ < =A ! ������$3V �

> $�<

A /#���uAO��� >�K�VNVn93����$ �S���<�!&��!��2�C46�!�(��/�)0"�� "�; )0�d�!"z�<2*2 "�; �o'1��� 9E��A�),G��(� 9Fi�!����/���QS�7;P"���Q�&�2*��� MN��)0/:)*QT��2*)0��/)0QSQT��$�)��<����20i �����<�

� H' y ! ������$> $ < = ! �f� �����$> $

�<

Page 39: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � ��� ��� ����� � ��� ��������� ����� ������ � �����$ A � H V � y � AP�����f�!��),G6)���2�'�"�������'(��)*"���VY"�� �<2*2"<; �S� m�"�� � /���'C�!)0"��� � q r�A � Vd/#&����E"��#����$�)0� � $ �uA K Vn9}�!���Y'�"���$�)0��)*"�� � ' � ��qpr�A � V��!�������&���"�Qv���!)*'���2*2,i ��"�2*$�/:9�����$ A � H' V � � ��qprz)*/Z�:iF&�)0G<��20��� �z�!" � � � qpr��MN�����#�(;P"��#�096"��T/���'C�!)0"���/ "�; � /#&����E"��#����$S"��T�����:'�"�QT��20��QT��� � ���Oi�"�;?�uA K VU9�!��� � � s���"���Q@)0/B�:iF&�),G��<2*��� ���!"z�!���T&�/�&���2�k%"�93"�20�(G qpr � � su��"���QZ� h /�)*QT)*2*�������A�&�QS�(� �/#��"bI:/�!������;P"�� /#��'(��)*"���/"�; r 96����� � � su��"��#Q )*/���2*/#"n��i6&�)0G<��2*�(� ��!" �!���Z&�/#&���2dqpr � � su��"��#QD� MN�����#�(;P"��#�09�"�� ��202�"�;��19I��ZQ�&�/#�S'�"���/�)0$����S����<��&��!��2 �54%������/#)*"��D"�; ������/#�n;P&���'C�!)0"�����2]/#����'��(/:93����QT��20ifq r � � A � � 9 r VC����f���v������20"�A�"�&�/ QS�������(�:96"��>� � I��`'�"���/�)0$���� �!���.�C46�!�(��/�)0"��fqpr%A � � Vp"�;q r A�� $ �uA K V � V5�pMN�����#�(;P"��#�09�I�g���(��$z�!" ����"bG��g�����

� ���)� � >%�0�b>�� ��O � )�J)��_ D�[]L�M7��S ��_nL�M0JKS�L� H' y � H' � A � H' V � pFq r � � A � 9 r V �#� q r A � VA >%�,�bU'V

[ P M0O�[ P%S�T�S�L �I�7[ PnT .

�)� ����� ��k%)0��'�� ! )*//�&����3"�/#��$ �!"`93��$�)���A�"�����2F)*�g�!��)0/=9��</�)*/I:)0���Y��)0A����6sG<��2*&��(/G���A � y � "1"1" +*�� Vn9_I���QS�biD���(/#����)*'C�7"�&���/��(20G���/7�!"S�!����/O�!&�$%i�"�;p�����"��E���!���!"�� � H y $E= AR��0���hV � ><$ < =�A ����}� ��'V � ><$ �<

�#"��7������$ �����.;P"�2*2*"bI:)0��A�p� ��� � >%�0�1K*�6D�_nO S�JK_ ��+ � J)��_=��\�M0[]O �(Mn��\�M7� _�S ��_nL�M0JoS�L � � � S�O Q�S�LUT P�.

! ��_nO"' _ �.M �0_� H' A � H' V � y �#�v� C ��� ����C r

V "A >%�?>�e'V�)� ����� ��MN��)0/d)0/:���Z�1��/Oif'�"�QT��&��!�<�!)0"��^�

8 "bI����('1��202.�!���<�f9 i ������'�2*��/�/#)*'���2.������"��Oi "<;g����� \ ����2*��'��D"��3�(�!�<��"��:9� = � r I:),�!����e )*/:���z)0/�"�QT"�������)*/#Q

A >%�?>%�5V q r � r A � � V��#� q r A�� � V "MN��)*/v/#� ���!��QT��� �z'���� 93�D;P"�� �C4���QT��20�8"�9��!��)*����$ ����/#/�)0��A~�!"������ m�"�&��#)*����!������/#;P"���Q C ���C r = � r "<;=�!��)*/N"��E�����<�!"��(�

"�QT)*��Av9���' �D��"f"�&��7/#)0��&��<�!)0"��(9E�!����'("���$�),�!)0"��I� �� �& QT�1����/7�C4���'C�!20i�!�����s�� ����xy eZ;P"��Y��� i � y � "1" " +* � �zMN��)*/n)*QTQS�($�)����!��2,i8)0QS��2*)*�(/7�!�����A >%�,�bU'Vg)*/ /�&��R�#��'C�!),G��0pz)0��$����($(9 '�2*������2,i � ANA � H' V��NV q r � � A � 9 r VU9�<��$� H' A � H' V��d)*/./�&��]�#��'C�!)0G�� 9 iD�����Y)0/�"�QT"�������)*/#Q A >%�?>%�5V5�7m�"��d)*���#�('(�!),G6)0��i�9E��"�����!����� �7;P"���Q�&�2��./#)*QT)*2*���]�!"1A >%�?>�e'V ��"�20$�/ ;P"��=�����:\ ����2��<'���"��E�����<�!"���A � H' VN� � H'��/]I�(2*2 �MN��)*/ )*�B�!&����g)*QT��2*)0��/_�����<�]�!���q r � r s��<���#����2F"�; � H' G��<��)*/#����/(�=yp2*20)*����)*'���(A�&�2��<��)0��iT�!�����8/#��"bI:/d�����<�N�����gq r � � su���(�����(2 G<����)*/�����/d��/NI�(2*2 �

Page 40: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� �����( �= /( � �53 7+���0�E7 $h�%� �6�5-��.�%����"� "��I:)0/�����"B����"bG��������<�p���1��� ����' �

"���� "�;��!���T/�)0��A�&�2*����),�!)*�(/`�!���T�n~_�('(�Y"�;����/�/#)*��AZ;P��"�Q ����� A�2*"�9���2 "��E�����<�!"���!"�)0��/p2*"6'1��2�QS"6$���2�9�) �W���H/�&�9%�!�!�<'(�!)0��A��!���:�E���#��&���9��<�!)0"�� �!���#Q "���2,i ��QT"�&�� ��/�!"T� '�"�QT����'C�:"��3�(�!�<��"�� � � AB� � �!��V�� q r AB� � ��� VC� MN��)0/��!���(�D����)0/����(/�!���z���#"%"<;`"�;.�!���Zm����($���"�20Q ������"��#��Qu9�9E��'���&�/#�Z�����D/#&�Q "�;7� m}�#��$���"�2*Q"��E���!���!"��:����$8������),�!�B�F&�Q�9E���:"�;H'�"�QS���<'(�:"��E�����<�!"��#/:)*/:m����($���"�20QD�

"���/#)*$��(� ����/#� �����:'1��/#�."�;^�B/�)*��A�&�2��<��)0��i��<� �B����)0���N�3"�)*� �1� �:��'���2*2%;P��"�Q\]��QTQv� >%�LK��!�����.���1��� ��� �!����/#����'�� � � AB� � ����V)0/d��iF&���2^�!" ������/�&�Q

q r � �6�� � � A ��� ��� �2687 V 9 q r � �� AB��� ��� ;)< � 7 V I:�����#�Bq r � �6�� � � )0/������`&�/#&���2^k%"�9E"�2*�CGS/#����'(�B"��v�!���`$�)0/��T"�;q r s ;P&���'(��)*"���/�I:)0���"�����$�����),G<�<�!),G��Y)0��q r I:),�!���#��/#�3�('(�B�!" y &�'�2*)0$��1�<��QS�C�!�#)*'09}I:���(���1�</�q r � �� )0/�!���BI���)0A�� �!��$8k%"�9E"�20�(G /#����'(�n$��C�����($89 i

� =?>�@ (�� ACB � ����

�0����

r= C � � C r

�C $ < C r . % "

h`20/�"�9`����� "���$����Z"�;YA���"bIN�!� "�;Y����� �(su;P"��#Q �E���#��&���9��<�!)0"�� �!���#Q 1 � I:)0������(/��E��'(�d�!"Typ&�'(2*)*$��1���zQT�(�!�#)*'7)0/N9 iXA >%�,���5V��<�:QT"�/O� �dA 0 � � ��� Vn9�I:),�!� �

�e��

"��z���(��$ �!" ���#"[G��f�!���<� I��Z���1G��z'�"�QT����'C�Sk%"�9E"�2*�CG~Q�&�20�!)0��2*)0'1�<��)*"���/�;P"��;P&���'C�!)*"���/N"��z�!����$�)0/��

A >%�?>�>�V q r � �6�� � � � (� � q r 6�� � �����$

A >%�?>�K'V q r � �� � (� � q r 6�� � � " "���/#)*$��(�S���#/#� A >%�?>�>�Vnp8/�)*��'��8�����8$�)0/�� )*/S� '("�QT����'(�vQv�<��)0;P"�20$(9 ;P"��v�<�Fi>� � � % ������)*��'�2*&�/�)*"�� q r � �6�� � ��� � q @ 6�� � � )0/S'("�QS����'(��� �7� �!����"<�!���(�

������$ 9 �dA 0 � � ��� VO$�0�= ��A 0 � � � � V 0<$�� )*/`)0� q r � A6�� � � ;P"��./�"�QT� � � e%�Y ��"%"�/#� �/�&�' �z�!���<��� � > y � � A > = � V�= � � � m=A >6� >�>0V �!���(�Z;P"�2*2*"bI:/�)*QTQS�($�)��<����2,i ;P��"�Q�!���8'�"�� �!)0�F&�"�&�/fQ�&�20�!)0��2*)0'1�<��)*"�� q r � A6�� � � � q @ 6�� � � � q r 6�� � � � 8 "bI�9:I� '("�QT��!" A >6� >�K�Vnpv����)*/ )0/ ��� )*QTQS�($�)��<���v'("���/���iF&�����'(�8"�;d�!���Z�����(G6)0"�&�/:9 ;P"��������I�()*A�� ����$Z��"���QRq r � �� )*/N/O�!��"���A����N�������Dq r � �6�� � � �8 �546��9`20�(�v&�/v�!�#�1�<�v�!��� '���/���"<;g������/#)*��A�&�2����#)0��i �<�f)0������),��i�� ��� �����'�"6"���$�)*���<��� � y � � < I��8���1G�� ��/��('�"���$%s�"��#$����S/�)0��A�&�2*����),��i "�� �����8$�)*/���uA e � � K VC�B\]�C��� y � . <�� m_9Fi�A >%�,�bK'V��!�����3�(�#��&���9����!)*"���)*/ �dA � � � ��� Vn9]�<��$�!��� � � s���"���Qo"�; ��;P&���'(�!)0"�� � /�&����E"��O�!��$Z�������:)*������)0��i )0/NA�)0G����Z9 i

� �� =?> � � � B A C � C r = C � � C r V C $ < C r y � =?> � � � � � B � ����

� r����

r= C � � C r

�C $ �#C r "

Page 41: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � ������� ����� � � ��� � � � � �� � �� ��� ����� �� � � �

��� �����O�!)0'�&�2*���:9 )0�S�!���`'�"6"��#$�)*�����!� � ����)*/ ��"��#Q )*/���2*/#"n/O�!��"���A���� �!���(�fq r � �6�� � � 9/�" I��'("���'�20&�$��B;P��"�Q A >%�?>�>�V5�

�( /( q r�� ����4+�53��� R�35 � ��"+* ���(* 53$I�546$h�3� ���� �!��)0/B/��('(�!)0"�� I� �<���(��"�� /#&����E"�/�)0��Af�!���<�BI�� ���1G�� "�� "���� /�)*$�� ���

)*� �!�(A��!�<9�2*�N'("������('(�!)0"�� � I:),�!�T/�)*��A�&�2��<��)0��)*�(/ )*� & # z&% |h9 I:)0���S������/#'��#)*9E��$93�(���1G6)*"��#/��<�B�!���(/�� �E"�)*� �!/�9]A�)0G���� )*� �#��A�&�2*���7/#)*��A�&�2����#)0�!)0��/d9 i A >%�,���5V7�<��$�<�S)*������)0��i 9 i A >%�,�bK'V5� ��� MN����"�����Q >%�La�I������#"[G���$ �����<�T�!���D$��(;P"��#QS�($"��E���!���!"��#/ �1' �����dm����($���"�20Q 93�C��I�(���v�����d/�����'(��/ � � ����$Sq r m%)0� �����#��)*'(&�2�����!���()*� )0��$�)0'���/v��A��#����� " � ��2*/#" /���"bI���$ �!�����f)0;B������QT�(�!�#)*'D)*/ ���<��QT"���)*'�!���(� �!���.���(�����(2^"�;]�!���7j7)*����'d"��3�(�!�<��"���G<����)*/�����/:9%������'��`�����7)*��$��C4S"�; �(' )0/�:iF&���2]��"T�����n"����3"�/�)0����"�;=�����n$�)*QT����/#)*"��z"�;H�!����'�"������#����2 R *&�.10.A �(' VU9��!��)0/"��E���!���!"�� 93�()*��An'�"���/�)*$������($f93�C��I�(���f;P&���'C�!)0"�����2E/����<'���/���/)0� A >%�,�1VhV5�=MN��)0/$�)*QT����/�)*"��S)0/��!�������C;P"����`�n'("���/#�!��� �N)*��$����E����$���� �N"�;(�.9��<��$ )0� ;P"�202*"bI:/ ;P��"�Q�!���B)0QS��2*)*'()0�p;P&���'(�!)0"�� �!����"��#��Qo�����<�N�����7/�����'��(/ �� ' y R *&�.10�A �(' V�$��C�����g�����),�!�Csu�!�����f/�QT"%"����ZG���'C�!"��.9�&���$�20� �� "bG���� ��%$ �& 9������Y�������f9E��)*��Av�:iF&��<2�!" ����� "����E"�/�),�!��"�; ����� )*��$��C4 "<; A >%�0��VhVC�n-.�(��� I� I:)0/�� �!"f)0�F�����#�����C�B�!��)0/'�"��<���#����2��/N�!��������/#�d'("���"�QT"�2*"�A�iv"<;H��������2*20)*����)*'.'�"�QT��2*�54

q r A � �!� V �� � q r A � �!��V �� � q r A r �!� V A >%�?><VhVA /#��� MN���("����(Q >6�0�ba�Vn9p����$ ��2*/#"���/g�!���S/����<'�� "�;:������QT"���)0'T/#��'C�!)*"���/YI:)0������(/��E��'(�:��"��!����\ ����2*��'��`"��3�(�!�<��"��"<;��������$��#"�)*� �:j7)*����'`"��3�(�!�<��"�� � �' A MN���5s"����(Q >%�?>%�5V5�

k%)0��'��������"��E�����<�!"���/=)0� A >6� ><V'VH���#�&��F9E"�&���$��($(9�I��N�����($��!"7$��C������������)0�$�"�QS��)*��/��N���D����)*/d' �����%�!��� R H� /O� ����$�/`;P"��d/�QT"%"<�!�Z/���'C�!)0"���/`/#&����E"��#����$�)0�� '�"�QT����'C�:/�&�9�/#�(�`"�; � $ & �

������������������� >%�,�1V�� ! ��_�QS��4%)*QS��2E$�"�QS��)*��SoQ �C ��[ P

D S�T T�M � A � C � � V y{z �I� q r A < V p � �I� q r A < � � V | ':��_nL�_ � ��� q r [ P�b7O��7_nL�PnJoS%S:�I[]O J)��_`P%_nO.P%_�SoQd�nb LUL�_nO�J]P )[,.�_�.�J)��_GQUb7O �nHJ�[ZS�O�M0\��d� R H� A < � � V!�� � � � � � w[ P`� S�O�J�[]O�b3S�b'Pw[]O�J)��_.q r HKJKS ��S�\ SNY +�.

� i82*"6'1��2H��2*20)*����)*'����(A�&�2*����),��i�93����)*/��<QS"�&��F��/`�!" ����� /!�<QS�Y����)*��Az��/ � �

93�()*��A �<� q r s�/#��'C�!)*"��^� " ����� )0� $�"%�(/���"�� '���&�/��z�<�Fi�'�"��%;P&�/�)0"��(9pI� I:)02*2/�)0QS��2,i�I:��),�!�Sj7"�Q Qv�[4 A < V�;P"��gj7"�Q QS��4 A �C � � V5�z�u�Y)0/n����/#i �!"D/��(�v�!�����)0;�I��f'�"���/�)0$���� � "�� )0��/YQS��4%)*QS��2p$�"�QS��)0�(9������� �����v�<��������2�)0/��8'(2*"�/#��$/�&�9�/�����'(�Y"�; qpr:9E����$z�!���g)*QS��A��B"<; � "�� < � � )*/:'("�� � ��)0����$Z)*�z�!���g���(�����(2

Page 42: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����"�; � "�� < �pMN���d)*QS��A��N"�;]�gA��(��������2}$�) ~3���#��� �!)*��2�"��E�����<�!"�� )0/���"bI��(G�������"<���20I�1i6/.� '(2*"�/#��$Z/�&�9�/#����'(�Y"�;�!�����<��������2 �

������������������� >%�,�[+�� �+S�L ?�� z e � >7|�)!J)��_ ? � � qprtsu'�"���"�QS"�2*"�A�i�SoQ#� [ P,/.10�AC�C �

�����V � � A �C � ��� � ��� V ) ':��_nL�_)�nS�J)� SoQ J)��_ P%_1S ��_nL�M0JKS�L�P`M0L�_�� S�O.Pn[��0H_nL�_N� ' []J)��T�M ��[]T�M0\+�7S�T�M0[]O ) M0O���J���_�S ��_nL�M0JoS�L�PwO S�JrP���S4' O@[]O ��� . � � ��M0L�_

J�LU[��%[�M0\ . �UJr[ P �7_nO S�JK_N�d��+nq r�� � A �dV�.�7&��d��)*Qo)*/���"T"�9�� ��)0� �!���B;P"�202*"bI:)*��A�p��� ����� ��� >%�,�ba*��! ��_ � S �'_nLUO _n\+SoQ � �7_���O _N��S�O � � A � � � ��V[ P�_Na:b.M0\

JoS�J)��_ ��L�PnJ=q r HN� S���S�T�S�\ SNY +dSoQ � .

�)� ����� � �:��'1�<2*2_�����<�d9 if$��(����)0��)*"��R *&�.10.A � C � � > � � ��� B V y A � A � C� � > � � ��� B V�V��

y A � AC�C� � >�� � ��� B VNV��XA � A � � C

� � >�� � ��� B VNV� A >%�?>�+�VI:�����#� ! � /O� ����$�/ ;P"�� �!���dq r su"��#����"�A�"�����2�"�;}�����:/�&�9�/#����'(� ! q r � MN�������5s;P"����}9�)0�:)0/N/�&��T'()*��� �d�!" ���#"[G��g�����B;P"�2*20"bI:)*��A�20��QTQv�</:p

� ���)� � >%�0�bJ�� ! ��_wT�M ��[]T�M0\(�7S�T�M0[]OXSoQ� p q r A �� �!� V��#� q r A � �8��V[ P � � A � ��� V�. #3[]T`[]\�M0LU\ + )�J���_wT�M ��[]T�M0\=�7S�T�M0[]OXSoQ� � pFq r A r ��� V � � q r A � �!��V[ P � � A r ��� V�. �UO��.M0LnJ�[Z�nb7\�M0L ) J���_wT�M ��[]T�M0\6�7S�T�M0[]O SoQ

� pFq r A � � �!� V�� � q r A � � �!��V[ P � � AB� � � ��V.�F�S�L _ S �0_nL )�[ QkJ��7[ PG\�M0J�Jo_nL�PK�.M7� _G[ P _Na:b [^�'��_N� ' []J)�1J���_GO S�LUT� " �� � �7_���O _N�1[]O���� . ��� )!J)��_nO � [ P�M��nS�b7O��7_N�uS ��_nL�M0JoS�L QUL�S�T � � AB� � ��� V

JoSnq r AB� � �!� V�.� ���)� � >%�0�1c*� � _ �.M �0_

A � AC� � C� � > ��� ��� B VNV� y ,/.10.A �C D�S�T T�M � > � � ��� B V "� ���)� � >6�0�bU�� ! ��_ []T�M%Y7_GSoQ � p � � A � �#� V�� q r A � �#� V�[ PG�n\ S%P%_N��.

����$��(��$(9E\]��QTQS��/d>%�,�[J�����$8>%�,�bc��!"�A��C�!���(��I:)0����A >%�?>�+�V)*QT��2,iT�����<�N�����'�"��<���#����2 )*/N��iF&���2]�!"

A � AC�C j7"�Q Qv��4 >�� ���� B V�V��� ,/.10.A �C j7"�Q Qv�[4 > � � ��� B V

Page 43: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � ������� ����� � � ��� � � � � �� � �� ��� ����� �� � � �I:��)*' �T)*� ��&����T)*/p)0$���� �!),����$ �!"B�����N����/O��#��$�&�'(��$vq r s�'("���"�QT"�2*"�A�ig"�; A >%�?><VhVn9) �W��� ��"

,/.10�AC�C j7"�Q Qv��4 >�� � ��� B V � � A � C j7"�Q QS��4 >�� ���� B V I:�����#� �!����9����B"bG����7����� )*QS��A��n/#�!����$�/7;P"��.�!��� q r s�'�20"�/�&�����"�; �����<�B/#����'��<�

\]��QTQv� >%�,�bU ��"bI '("���'(2*&�$��(/d����������"6"�;H"�;HMN����"��#��Q >6�0�ba%�

�)� ����� �A \]�(QSQS� >%�,�bc'V " ������/#�d/#��"bI �!���

� ��� � >6� >�e�� ! ��_sM'����S�[]O�J�SoQ�J)��_wb O��nS�b7O��7_N� S ��_nL�M0JoS�L� � pFq r A r ����V �#� q r A � �!� VA >%�?>�a'V' []J��I�7S�T�M0[]O � � A r �!� Vw[ PwJ)��_wb O��nS�b7O��7_N� S ��_nL�M0JoS�L� p q r A � �!��V��#� q r A r �!� VA >%�?>�J�V' []J��I�7S�T�M0[]O D�S�T T�M � A � �!��V.

�)� ����� �A 2*��)*Q�V �u� )*/D'�20�1���Z�!���<�8�!����;P"���QS��2g��$��#"�)0�F�D"�;�A >%� ><a'VZ)0/A >%�?>�J�VU9�I�g"���2,i ���(��$8��" ����"bG��n)0��/N$�"�QS��)*�z)*/:j7"�Q QS��4 � � iz$��C����)0��)*"�� 9��/��('(�!)0"�� ��� q r A � V)0/H)0�n�����$�"�Qv��)0�n"<;��!�����$��#"�)0� �H"��3�(�!�<��"��=j7"�QIA�A ����VN��V)0;H����$Z"���2,i ),;H;P"��:�<2*2 �1� � � A r ��� V�I�g���1G��

C � � � � � -C .@, � � �I:)0�����.'("���/O� ��� ��,R"���20iB$����E����$�)0��A7"�� � � 8 "[I�9�/�)*��'�� �1� � � ����$ �I� q r 99 iZ 2���)0QR>6�0�beYI���'1���z�E���O;P"���Qo�����#��)���23)*� �!�(A��!���!)*"��v�!" �!���g20�(; �Os�������$f/�)*$��"�;p�!��)*/.;P"���Q�&�2*���:MN�����#�(;P"��#�09 � )0/`)*�Z�!���Y$�"�QS��)*�D"�; �!��� ��$��#"�)0� �`"��E�����<�!"��)0;H����$Z"���2,i ),;H�����B;P&���'(��)*"�����2

�`�� � � � � )*/�9E"�&���$��($~)*� qpr%A �r � ��V5� � &��g�!��)*/g'�"���$�)0�!)0"�� )*/��:iF&�),G<��2*�(�F�g�!" � ���q r A r ����Vn9}�<��$f�!����'�2*��)*Q ;P"�202*"bI:/��

\]��QTQv��>%�0�1c���"bI{$�)0���('(�!2,i ;P"�2*2*"bI:/g;P��"�Ql�!���v'�2��<)*Q ����$ �!��� A��������!�<2; ��'(�N�����<�N������'�"��<��������2 "�;=���z&��F93"�&���$���$D"��E���!���!"���)0/N�:iF&���2^��" �!�������(�����(2"�;H)0�!/:�<$��#"�)*� ���

�)� ����� �A \]�(QSQS�T>%�0�bJ�VNm=)*�#/#�:I�g���(��$8��"S���#"bG��n�����<�:;P"��d�S/#��'C�!)*"�� �

"�;.q r A � � � VgI�z���1G�� � � � q r ),;d����$ "���2,i�),;:93"���� � � � � q r �<��$� ��� q r ��MN�����#),;�� $�)0����'C�!)0"���9E��)*��Af"�9 G%)0"�&�/�9_I� '("���'(��� �!���<�!� "�&���/��(20G���/"�� �����v"����3"�/�)0���S/O� �<����QT��� ��9=����$ /�&����E"�/#� )*��I:���<�g;P"�2*20"[I:/B�����<� � )*/n���qprOsu;P&���'(��)*"�� I:),�!� � �I��q r(�

Page 44: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����" �Y����/O�7/O�!&�$�iZ�!���Y/�)0��A�&�2*����),��iz�<�.)*������)0��i��`m�"�� C ��C6/�&��T'()*��� ��20iD2����#A��09

I�g���1G��B�������3"�)0� �#suI:)0/��B�(/#�!)0Qv���!�

C � ��C . > ,!C ��C I:�����#� , )0/f�!��� Qv��4%)0Qv��2.QS"6$�&�20&�/z"�;Y�������()*A��(� G��<2*&��(/D"�;n�!����QS�<�!�#),4! � MN�����#�(;P"��#�09 � � q r �<�z)0������),��i )0QS��20)*�(/ � � � q r �<�z)*�%����)0��i09`�<��$'�"���/��:iF&��(� �!20i � � � y � �1� � ��� qpr:�<�:)0������),��i�9��<��$ZI��n�����B$�"������

8 �546��9�'("���/�)0$���� �����z'1��/#�Z"<;B� /�)0��A�&�2*����),��i~�<�T� ����),�!�f�E"�)*� ��� ��� �����"��#����"���"���QS��29��</�)*/�At���0�bJ�Vn9p�!���Z"��3�(�!�<��"���/�I��D/O�!&�$%i �����z��i6&���2Z9 &�� �!"���3�(�#��&���9����!)*"��z�����#Q�9���" �!����2*"6'1�<2_QT"%$��(2*/wAP/����1At���0�1c'Vn96At���,�bU'Vn9=AO���?>�e'V�V

A � ��V � � y A $ = ? -' � � $ ��V �

� � � y c A -' � � � � �� V $�00 =� ' � � $�� e �� � � y c $ = ?

' � � $�� = A -' � � � � �� V $�00 e �

MH"v/�)*QT��20)0; i ��"�� �<��)*"�� 9};P�#"�Q ��"bI "��8I���$��#"��8�!���Y)*��$�)*'(��/�(f�<��$ 3� 8 "�����!�����H9E��'���&�/#�"�;�\ �(QSQS�:>%�LK.9�)0�)*/]/#&��T'�)*�(� �=�!"d���#"[G�� �����<� � � � ����$�A � � V � ������8)*� q r � 8 "��!)0'����<2*/�" �!���<� /�)*��'����!�����3�(�#��&���9����!)*"�� 1 � QS�1i QT),4 ��������(A�&�2��<������$�/�)*��A�&�2��<�7'�"�QT�E"������ ��/:9H�Z���#)*"��#) )0��)0/B��"��g/�& �S'()*�(�F�g�!"z���#"bG��;P"��T�C4���QT��2*�f�!���<� � �2687 � q r �<��$ � � �2687 � q r )*QT��20i AC� � V � � �2687 � q r 993�('1��&�/�� � � � qpr7$�"%�(/B��"���)*QT��2,iD$�)*���('(��20i � � � 6)7 � qprB)*�8����� �����(/��(��'��"�;H� QS) 4�)0��A��E���O�!&��#9��<�!)0"�� �!�(��QZ�p-."bI��(G����:9E���(Qv�<��� �!���<�:$�����"���)*��A 9 i 1 � � � ��!���N�����#�p"<;E�����N����$�"�QT"�������)*/�Q 1 � �!���<�=� ���<��/p�!���N�#��A�&�2����H'�"�QT�3"������ �p)0�F��"�!�����#��A�&�2*���N"����}9�����$ 1 � � � ; 1 � ; � � 1 � ; � ; �!����"��������:�����O�!/�9�I�g���1G��

� =?>�@ (2� ACB C AC� � = 1 � V � C r y � =?>�@ (�� ACB C AC� � = 1 � � � � V � � 6)7 = 1 � ; � � � ;)< � 7 C r= � =?>�@ (�� A B C AC� � = 1 � ; � ; V � ;)< � 7 = 1 � �C� ; � �2687 C rA >%�?>�c'V

� � =?>�@ (�� ACB C�� � � �2687 C r = C � � � ;)< � 7 C r� C 1 � � �2687 C r � C 1 � � ;)< � 7 C r ����$ �!��)0/���/#��)*QS�<�!� /#��"bI:/g�����<��I��S'������������<���!��� ��I�"8'�"�QS�E"����(�F��/�/�������s�!�<����2,i#pp������2*�(; �Os����<��$z/�)*$��g)0/N����)0����9Fiz� i6�E"��!���(/�)0/:9�I:�����#�1��/:�!���n)0�F����A�����2*/"�; C 1 � � � 6)7 C r ����$ C�1 � � ;�< � 7 C r 9 i ���<�!"�xL/ )*���:iF&���20)0��i �<��$ A >%�,�[>�VnmN������'(�Z�����/!��QT�7�!��)*��A ��"�20$�/�;P"���������)*� �!�(A��!��20/N"�; C�� � � �2687 C r ����$ C�� � � �2687 C r ��7�f�!���7�#��A�&�2�����'("�QT�3"������ ��9������B��9E"bG����C4%���#��/#/�)*"���/:/�)*QT��20)0; i���" � � yA � � V � y � A �!��� ����),G%)*��2 '�"�������'(��)*"���Vn9�����$ � � y e�� " ���<� I��z�����($ ��"

Page 45: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � ������� ����� � � ��� � � � � �� � �� ��� ����� �� � �  /���"bI )*/d�!����� � � 6)7, � � �2687 � q r )0QS��20)*�(/ � � � 6)7 � q r 9_)0; � y � = 1 � I:)0���1 � y �dA 0 � � ��� V5�r�:��'���2*2^�����<�:9 i ���<�!"�xL/:)*���:iF&���20)0��if�<��$�A >%�,�[>�V�I:)0��� � � e' ��"�/#���8/#&��T'�)0��� �!2,if/�QS��2*23I�����1G��

� =?> @ (5� ACB C�1 � � �2687 C r . � =?>�@ (�� ACB C�� � �2687 C r = � =?>�@ (2� ACB � =?>�@ (�� A � r B C � �2687 C r "�u�:;P"�2*20"[I:/��!���<�

� =?>�@ ( � ACB C � � �2687 C r . � =?>�@ ( � ACB C�� � �2687 C r = � =?>�@ ( � ACB C�1 � � � 6)7 C r�

> � =?>�@ ( � A B C�� � �2687 C r = > � =?>�@ ( � ACB C � �2687 C r "8 "bI 9Fin�!���N� i6�E"��!���(/�)0/ � � � ��q r 9��!���N�#)*A�� �Os�������$�/�)0$��N)*/=����)0�����=MN�������5s;P"���� � � � qpr:��/NI�BI:)*/#����$Z�!" /���"[I��

"���/#)*$��(�`��"bI �����g/�)*��A�&�2��<�d'���/��}p���A���)*�(9�I��Y������$D�!"T/���"bI �!���<�`),;=I�����1G��T� /��('(��)*"�� � � q r`/�&�' � �!����� � � � qprn9^�!���(�J� � � ;)< � 7 � � ;)< � 7 � qpr��-.�(���09%&�/�&���2}��2*20)*����)*'N�#��A�&�2*����),��i�$�"6��/���"���A�)0G��d�����`'(2���)0Q�9�93�('1��&�/#�.I��7���(��$�!" $���$�&�'����!���<� � ;�< � 7 � 0 � qpr(� m���"�Q ��"bI "��(9�I��8I:�#)0�!� � y � ;)< � 7 ��"2*)0A�� �!���f��"�� �<��)*"��_� j7��'�"�QS�E"�/�� � )0� �!" )0��/:m}"�&���)0���Osu/��(��)*�(/�������� � � p

� A 0 �0V y H� � � H � � A 0�V . < � � ��"6"�/�)0��A � /�& �S'()*�(�F��20i /#Qv�<2*2Z9�I�d'1�<�SQS�����������:�3�(�#��&���9����!)*"�� �����#Q 1 � 9E�/�QS��2*20���N"�� �uA ��� � V�!����� � � 0 ;P"��.�<�Fi �

�e�� " ��),�!�B���#/#�d�!���n$��[s �!���#Q "�;� � � p � �

�� y A �

�= ?

'V � $�� y ? $�� H� � � H A * = �

'V � � A 0�V . < � � "

� i ����)*/:����$Z��������/#��)*QS�<�!�B"��z�������3�(�#��&���9����!)*"��(9�I��n)0��;P���������<�

� AC� ��= 1 � V � �5r

�� > =?>�@ ( � ACB B � � � �

�� �5r

�� > =?>�@ ( � A B B � � � � � 0 �5r

�� > =?> @ ( � ACB B

y � =?>�@ � ACB H� � � H A C * = �

'C r � � r V C � � A 0�V(C r0 rA >%�?>�U'V

y � =?>�@ � ACB H� � � H A C * = -'C r � � r = C ' C r V C � � A 0�V(C r0 r "

Page 46: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����� i -:i6�3"�������/#)*/ ���?>�cSI�� ���1G�� -

'�����9 ����$ /#"Z),;��8)*/7/#&��T'�)0��� �!2,i�/�QS��202Z9

�!���(�Z������2���/O�:�C4%���#��/�/#)*"��D'1���Z9E�B93"�&���$���$Z;P��"�Qo93�(2*"bI 9Fi�> � =?>�@ � ACB H� � � H A C * = -

'C r = C

'C r V C � � A 0�V(C r0 rA >%�LK�e'V

y�> � =?>�@ � ACB C A � �� V � � C r = C � � � � C r "

h`/�)*� ����� ����A�&�2����B'���/��}9H9 i A >%�0�b>�V.�!��� 20�(; �#su������$ /#)*$�� "�; A >%�?>�U'V`)0/7����),�!�09/�"TI�n/����g�!������AC� �

�V � � ��q r ����$ � �

�� ��q r ��MN���g$ 0bs������O� � � � � "�; � � � )0/

)*�Zq r )0;H����$Z"���2,i ),;

� =?>�@ � ACB C - ' � �:C r C � A 0�V(C r0 r � % "

h`A �<)*��9 iD"�&��7QS��)*�D� i%�E"�������/#)*/ -'�� � �!���(��� �C4%)0/#�!/��S'�"���/O� ��� � ,

�e

/�&�' �Z�!����� H� � � H C -'� �:C r C � � A 00V C r0 r .@, H� � � H C * = -

'C r C � � A 00V C r0 r "

h`/�I��z���1G��z��20���1�<$�i�/#���(�(9�����)*/�2*��/#�Y�C4%���#��/�/#)*"�� )*/Y)*� �!�(A��!��9�2*�09 �������#�(;P"��#�� � � � q r � k%)0��'��7�����7�E���O�!&��#9��<�!)0"�� )0/�����A�2*)*A�)*9�20�d'("�QT�������($ �!"������79E�����1G s)*"�� ��A 0 � � VB"�;�A >%�LK�e'Vn9]I��T�������~��2*/#"Z���bG�� � � � q r ��"��T'�"���'�20&�$��T&�/�)0��A� � � y � � � � � �

� i8$�&���20)0��i�9E�!���Y'1��/#� "�;��f>[su;P"���Q �F$ < " $�<)*/7/#�(�#�!2*�($��!��� /���QT�nI�bi��

MN���gA������(�!��2 '���/���AP�����<�d"�; � � ����V��!���(�D;P"�202*"bI:/�;P��"�Q \]��QTQv� >%�LU���MN���; ��'(�N�����<�

� p � � A ��� �!� V��#� q r AB� � �!��V)*/:9E"�&���$��($(9E)*/:�!���(�8)*QTQT��$�)*�<�!�)A ����$D����/.��2*�#�1��$�i 93�(�����E"�)*� ����$Z"�&���9E/��(�A >%�,�1VhV�VC� �)� ����� �A \]�(QSQS� >%�,�bU'VzMN��)*/�)0/8)0QSQT��$�)*�<�!� ;P�#"�Q MN����"��#��Q � �<��$ 2���)0QR>6�?U��

" �N���1G��d��/#�!��9�20)*/�����$ 2*�(QSQS�<�!�B>%�,�bc.9F>%�,�bUB����$v>6�0�[J79�������'��NI�N����)*/�����$�!�������#"%"<;="�;HMN���("����(Q >%�0�1a��

��� ����� ��� >%� >6� �2! ��_ ��L�PnJqpr�HN� S���S�T�S�\ SNY +ISoQ`J���_�� S�TC��\ _�� ��� . � � � [ P�NM0O S�O�[Z�NM0\]\ +)[ P%S�T�S�LK�I�7[Z�JoS�J)��_*�'_nLUO _n\�SoQ�J)��_sM'����S�[]O�J�D []LNM7� S ��_nLNM0JKS�LA >%�LK��5V � �' pFq r AB� � �!� V�� � q r A ��� �!� VS�O�[]J]P �7S�T�M0[]O )�S�LsM0\ Jo_nLUO�M0J�[��0_n\ +�JKS�J)��_*�'_nLnO _n\/SoQJ���_ �(Mn��\�M7� _�S ��_nL�M0JKS�LA >%�LK >�V � ' y �(' � �' y �#� ' � �' � � �' � ' pFq r AB� � ��� V���� q r A ��� ����V

Page 47: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � ������� ����� � � ��� � � � � �� � �� ��� ����� �� � � �S�O�[]J]P �7S�T�M0[]O5.

�)� ����� � � if$�&���2*),��i�9�I��gA��(�N;P�#"�Q \]��QTQv� >6�0�bc������<�

A � A �C� � > � � ��� B VNV�� y �.10.A � � C j7"�Q QS��4 >�� � ��� B V

����$z�!��)0/N)*QT��2*)0��/

)+*-,/.10.A � C � � AB��� ����V�V y �.10.A � � C j7"�Q QS��4 >�� � ��� B V ( .10�AC�C j7"�Q QS��4 >�� � ��� B Vy �.10.A � � C j7"�Q QS��4 >�� � ��� B V "

�u���#��QS��)*��/p��"�/���"bI �!���<������)*/ 2������!�(��)0/���iF&���23��" �.10.A � � �1C j7"�Q QS��4 >�� � ��� B VC��u�d)*/N'�20�1���������<�

�.10.A � � � C j7"�Q Qv�[4 > � � ��� B V�� .10�A � � C j7"�Q QS��4 >�� � ��� B V "k%&����E"�/#�n��"bI �I� q r A � ����V�/��<�!)0/#���(/ � � � � y e��pMN��)*/:QS������/������<�

� � ��� ,/.10�A � V j7"�Q QS��4 A � V y � � AB� � ����V9 i \]��QTQv�z>6�0�[J6��< �<��)*/#��)*��Af"<; ����� q r su���(�����(2p"�; � "�� � � AB� � �@��V�AP'�� ;t�MN����"�����Q >6�?a'VA�)0G��(/ � � � y e.9%�!���<�d)0/ �I�/,/.10.A � � Vn9%I:������'(�

�.10.A � � � C j7"�Q Qv�[4 > � � ��� B V�� .10�A � � C j7"�Q QS��4 >�� � ��� B V "

m=)0����2*2,i�962*�C�:&�/:)*� �!�#"%$�&�'��B�!������"���Q

� � ��� > �� ��� B y���� C � C r = C A � ��V � � � � C r = C A �:�sV � � � � C r

����$z�!����'("����#��/��E"���$�)*��A ;P&���'C�!)0"��z/�����'(�

� r A ��� ����V y z �@p � � ��� > �� ��� B � % |

MN�����ZI�����1G��g�����B;P"�2*20"[I:)0��A��

��� ����� ��� >6� >�> � ! ��_��7S�T�M0[]O�SoQsJ)��_ �=Mn��\�M7� _`S ��_nL�M0JKS�LU� ' y � �' �1' [ P� r:AB� � �8��V�. �UJ��7_���O _ PwM)E[]\��n_nLUJ�HZPK�.M7� _w[ P%S�T�S�L �I�7[ PnT

� r A � � ��� V���� q r A � � ����V "�)� ����� ��MN���z; ��'(� �����<� � ' )*/ � I�(2*2 s�$��C������$ 9E"�&���$��($ "��E�����<�!"�� "��

�8r AB� � � � V ;P"�202*"bI:/p;P��"�Q ����� "��()0�LD(���F9 �"�' � ;P"��#Q�&�2��1A >6�0�ba�VC�=�u��/QS��4%)*QS��2$�"�QS��)*� )*/��!���v/��(��"�; �,� q r A � � � � Vn/�&�' �~�����<� �(' ��� j7"�Q Qv�[4 A � �' VC�MN��)*/ 2*�<������� )*/�9�9 i '�"�QT��&��!�<�!)0"���/ /#)*QT)*2��<�n�!" \]��QTQv��>%�,�[J 9 �!����k%"�93"�20�(G/����<'�� � � AB� � � � VY)*/nI:),�!� �f$��(��),G����!)0G�� )*� qprn9 ����$~I���)*A��F� �g�f"��~�����)*�#����A�&�2����'�"�QS�E"����(�F�=���1�<� 2*"�A�����),�!��QT)*'p/#)*��A�&�2����#)0�!)0��/ 2*)0����)*� "��#"�2*2*���#in>6� +%�

Page 48: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����"��`$���$�&�'��`�����<�������`QS��4%)*QS��2�$�"�QS��)0�v"�; � ' )*/ �8r A � � � � Vn9��<��$ �!������)0�/���20)0��/:��/

� r AB� � �!��V�� �� � � � AB� � ����V � ��� � q r A � � ��� V "y=4��<'(�!2,i ��/�)*��MN���("����(Q >%�?a 9 ����� ����/O�gQv����)*/�m��#��$���"�2*Q�I:),�!� G<����)*/#��)*��A���(�����(2`;P��"�Q �!��� k%"�9E"�2*�CG /#����'(� � r�A � � �%��VS)0� �!" � � AB� � � ��VU9:93"����/����<'��:93�()*��A��(��$�"bI�($SI:),�!� �!���:qprts�)*������� ����"6$�&�'(��� MN��)0/ I:)0�!� �����:)*$��(�F��)0��i� A �(' V � y ,/.10.A � �' V.)0QS��20)*�(/d�����<� ,/.10.A � ' V y z e |S����$ �����<� � A � ' V y� A � �' V y ,/.10.A �(' V � y q r A � � � ��V5�HMN���(���C;P"����}9 � ' )0/]�N93"�&���$���$g9�)��#��'(��)0G��"��E���!���!"��];P��"�Q �8r A � � ��� V �!".q r A � � � ��V5� � i�������'(2*"�/#��$�A��!�����g�!���("����(Q�9I�g'�"���'�20&�$��B�!�����:)0�!/N)0� G����#/��g)*/:��20/�" 9E"�&���$��($^�

�( �+ � �5�37 $h�%�5��$7���32��54+$����5$h$7"����)� 7 $h�5�.�%�3�������������������� >%�?>�K*� �+_nJ`b'P��NM0\]\�J)��_��nS�b7O��7_N��\ []O _NM0LI[]O �0_nL�P%_ SoQ � �' �('

��L�S �%[��7_N�X��+ ! ��_ S�L�_nT � . � �XJ���_�wB�����(�^xW/T"��3�(�!�<��"���SoQdJ)��_�D�[]L�M7�nH �(Mn��\�M7� _S ��_nL�M0JoS�L )rM0O����7_nO S�JK_�[]J ��+

� ' p q r A � � ����V �#� � r AB� � ��� V "��� ����)*/�/#��'(��)*"�� I��S20)*/#�B�����T����"��E���O�!)0��/�"�; �!��)0/g"��3�(�!�<��"��B�!���<��I��TI:)02*2

�����($8)0�f2��<�����N' �����%�!���#/��

� ���)� � >%�?><V���� ' [ Pk�0[�M%Y7S�O�M0\�' []J)�)L�_ PK��_ �nJ6JoS�J)��_k�7_ � S�TC��S%Pn[]J�[ZS�O � � �� y A � ��� V 9 A r ��� V�.

�)� ����� ��k%)0��'���� ' )*/.�!��� )0�FG����#/��T"�; � ' 9])0�7)*/7/#&��T'�)*�(� �g��"z����"bG�� �����/#�!�<�!�(QS�(�F�:;P"�������)*/N2*�<�������N"��E�����<�!"����pMN��)0/N'�"�QT��/N;P��"�Qo�!���g)0$���� ��)0��i� ' y � �' �(' y AC� �' � � ' V:A � ' � � �' V y �#� �' � ' � � ' � �' I:��)*' �Z)*/N/��<�!)0/#���($D/#)*��'(� � ' )*/�|}�<���

� ���)� � >%�?>�+���! ��_nL�_ _���[ PnJ:, , � � e�Pnb3���XJ)�.M0J/Q�S�L C ��C/Pnb � �n[Z_nO�J�\ +\�M0L�Y7_)M0O��Q�S�L`M0O*+s��S%Pn[]J�[��0_wPK��[]O S�L�� � � � A � � �@� V )�J���_ Q�S�\]\ S4' []O7YI_ PnJ�[]HT�M0Jo_ PU��S�\�� % � � ' � �

��5> � B .@,!C ��C � r � � � � � > � BA >%�LK�K'V � � ' � �� � > � B .@, � C ��C � � � � � � �2> � BA >%�LK�VhV

�)� ����� ��k%)0��'��S9Fi�$��C����),�!)*"��(9;P"��Y��� i � �!���S�3"�/#)0��)0G�� /#��)*��"��� ' � )0/�!����/#"�2*&���)*"�� �~"�; � ' � y �

Page 49: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � �� � � � � � ��� ����� �� � ���� �� ����� ���� � �

�!�����(/#�!)0Qv���!��/wA >%�LK�K'V�����$�A >6�?K�V'V�'1���Z9E�g�#�(I:�#)0�������Z���(/��E��'(��)0G���20if��/� � ����> � B .@,!C ��C � r � � ' � � � �2> � BA >%�LK +�V � � �� � > � B .@, � C ��C � � � � ' � � � � > � B "A >%�LK�a'V

���2*2#��HN_nO _nL�Y +S"<; � "bG����d��202#� ������iF&���� �!),��iA >%�LK J�V ��AR�.m �fV y � � C � �' � C r = C � ' � � C r C $ < C r "� i �����O�!)*��2p)*� �!�(A��!���!)*"��(9]�!��� "��()0� D����F9 �"�' ��;P"��#Q�&�2*�XA >%�,�ba'VB����$~ ���&�' � iExL/)*����iF&���2*),��iSI��g���1G��

�dAR�.m �fV y���� ��� � ' ��-C $ < C rA >%�LK�c'V . � � ��� � � ' � �

�� "

8 "bI�96��/ I��:I:)02*26/��(�:;P�#"�Q APV��WV a'Vn9�"�� �!���N'("�QS��2*��QT��� �!���#iY"�;3�B����)0����&���)0"��"�;H$�)*/#�6/ �uA�� � A]�hV � � C ��C � � VI��g���bG��g�������3"�)*� �#s I:)*/��B20"bI�(�d9E"�&���$

A >%�LK�U'V C � ' � � C r � )�C ��C r C � C r;P"��Y/#"�QT�>)

�e%� m�&��O�!���(��QT"����}9 I�f'���� ' ��"6"�/�� � � /�&��T'�)0��� �!2,i~/#Qv��202 /�"

�!�����7�!��� 9���2*20/ �uA��.AR�'V > � � C ��C � � V`�����Y$�)*/]�#"�)*� ������$ $�"z��"��BQT���C� & ;P"��#C ��C2����#A����pk%�(�#�!)*��A

� ' p y �� > ' B �� � �uA��.AR�hV � � C ��C � � V

I���!�����Z$���$�&�'����!������/O�!)0Qv�<��)*"��

A >%�WV e'V � ���� �

C � ' � � C r C $ < C r � )�C ��C r ������ �

C � C r C $ < C r "�`;:'�"�&��#/��}9p�C46�!�(��$�)*��A��!��)0/Y)*���:iF&���20)0��i�"bG����n�!��� $�)*/��F/O�uA��A]�hV �� � C ��C � � Vg)0/��"��z�E"�/�/#)*9�20�09:/�)0��'�� � ' ����/z�/D��(��" )*��.AR�'VC� -."bI�CG��(�:97�!��� )*� �!�(A��!��2."�;C � ' � � C r = C � �' � C r $�"%�(/ '�"�� �!�#"�2 C ��C r �!)0QS�(/Y�!���<� "�; C � C r "�� ����� I:��"�20���2��<���0m������<�d)*/�9�I��g���bG��0p

� ��� � >%� ><a*�2! ��_nL�_�_���[ PnJ]P )�

e Pnb����@J)�.M0J6Q�S�L#C ��C=Pnb � �n[Z_nO�J�\ +�\�M0L�Y7_M0O��kQ�S�LsM0O*+)PK��[]O S�L � ' _ �.M �0_A >%�WV��5V �dAR�.m �fV � )�C ��C r ��� C � C r C � < C r

�)� ����� � � i ���<�!"�xL/d)*����iF&���2*),��i �dA]��m �fV�'����89E�Y9E"�&���$���$8;P�#"�Q 93�(2*"bI9 i

� � C � ' � � C r = C $ C � C C r C $ < C r "

Page 50: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

 �� � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����� i A >%�WV e'VU9p)0��"���20i����(Qv�<)*��/g�!" /���"[I �!���<��;P"�� �<�Fi �.AR�hV�� � ' ����)*/n)*� �!�5sA��!�<239E"�&���$�/�;P��"�Q ��9E"bG�� )�C ��C r =?> � > ' B)� A ��� ' � � � B C � C r C $ < C r:9%;P"��/�"�QS� )

�e A ��"<�

����'(��/#/!���#)*20iv�!����/!�<QS����/:9E�(;P"��#�%V5� � &��:/�)0��'���"��z�!���g�����6&�2*&�/�uA��.AR�'V > � � C ��C � � V�$/�uA��.AR�hV � � C ��C � � VI�8��2*�#�1��$%i ���1G��D�����8�(/#��)*QS�<�!)0"���A >%�LK�U'VU9��!��)*/T)*/�#&�/#�v� '("���/���iF&�����'(� "�;A >%�,�[>�V.������20)*��$��<�7�!��� �3"�)0� � �.AR�hVd)*��/O�!�1�<$ "�; ��� ��" �!����;P&���'(��)*"�� 3 y C � C 9I:)0��� � y � � C ��C � � ����$ � y e��

� i ������'�2*��)*Q{����$XA >%�LK�c'VU9�I��n���1G��

)�C ��C r � � � r�� > � B . � � �

��2> � B � � ' � � � �2> � B�

����$D�<; �!�(�N$�)0G6)0$�)*��A 9E"����Z/#)*$��(/:9Fi � � ��� > � B 9�I���A��(� A >6�?K +0VC�

Xp2*&�A�A�)*��AuA >%�LK +�V)*� ��"IA >%�LK�c'Vn9%I��"�9��!��)*�

A >%�WVF>�V �dA]��m �/V .@,!C ��C � r � � ' � � r�� > � B "

�7�Z������"��!���(�N������$ 9�9Fif������$��(����)0��)*"���/

� �' y � � ��> $ < = �� > $ �<

� ' y � � �> $ < � �� > $ �<

I�g"�9��!��)*� �������3"�)*� �#s I:)*/��B9E"�&���$�/�> C � � � C r � K

> C ��C r C � C r .!C � ' � � C r . > C � � � C r = C ��C r C � C r�> C � � � C r � K

> C ��C r C � C r . �� � �' � � ��r . >EC � � � C r = C ��C r C � C r

����$z�!���(���C;P"����A >%�WV K'V�> � � � r� � > � B � A K�C ��C r =��5V � � � r

�� > � B .@�dA]��m �fV . > � � � r

� � > � B =)A > C ��C r =��5V � � � r�� > � B "

Xp&�����)*��A �!"�A��(�������N�!��)*/�I:)0���XA >%�WVF>�V�����$�A >%�?K�+�Vn9�I���A��(�� � � r� � > � B .B> ��AR�.m �fV�=�A a�C ��C r = >�V � � � r

�� > � B.B> ��AR�.m �fV�= J C ��C r � � � r

�� > � B.`A > , = J , r V C ��C � r � � ' � �5r

���> � B

I:������'���A >%�LK�a'V5�

" �Y��"bI )*� G��(/#��)*A �<���gI:���<�7���<���3�(��/`��"S�!��� wB�����(�^xW/7"��E���!���!"��:I:�������)*/N'(2*"�/#����" "�����"�;�!�����E"�)*� �!/N"<; �& �

Page 51: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � �� � � � � � ��� ����� �� � ���� �� ����� ����   �� ���)� � >6� >�J � ! ��_nL�_�_���[ PnJ , , � � e�Pnb���� J��.M0J�Q�S�L C �(����� C�Pnb � �n[Z_nO�J�\ +PnT�M0\]\+M0O��GQ�S�L�M0O*+ ��S%Pn[]J�[��0_wPK��[]O S�L �,� � � AB� � � � V )rJ���_�Q�S�\]\ S4' []O7Yu_ PnJ�[]HT�M0Jo_ PU��S�\�� % � � ' � �

�� > � B .@,!C � ����� C � r � � � � �2> � BA >%�WV�VhV � �1' � ' � �

�� > � B .@, � � C ������ C � � � � � � � > � BA >%�WVF+�V

�)� ����� ��h`����2*"�A�"�&�/p�!"Y\ �(QSQS�g>%�?>�+%� 8 "��!)0'��:�!���<� 9 iT�����O�!)��<2�)*� �!�(A��!��s�!)0"��z����$z�!��� " ��),�LD��(�F9 �"�' � ;P"��#Q�&�2�� A >%�,�ba'V"��������</� �(' � � r

��5> � B y �dA]��m �/V

;P"����<�FiS�E"�/�),�!)0G��`/#��)*��"�� ��� �d/�)0��A��!��)0/�����$ /��C���!)0��A � ' � y ���!���7)*����iF&���2,s)0��)*��/��!"T����"bG���'����D9E�����CI:��)0�#�!�(�8��/� � �

�� > � B .@,!C ������ C � r � � ' � � � � > � BA >%�WV a'V

�dA]��m �/V .@, � � C ������ C � r � � ' � � r� � > � B "A >%�WVFJ�VMN���z93�(���1G6)*"�� APV��La >�Vn"�;d�!���z-.)*A�A�/Y���(2*$ /���"bI:/ �!���<� "�&���/�)*$��f"�;.� ����)0���&���)0"�� "<;`$�)0/��F/ ��A� � AR�'V � � C �1�,��� C � � V��������#�D�54%)*/#��/ )

�e ;P"�� I:��)0' � I��

���1G����!�����E"�)*� �OsuI:)*/#�72*"bI����:9E"�&���$

A >%�WV c'V C � ' � � C r � )6C � ����� C r C � C r "�u��;P"�202*"bI:/n�����<��$�����"���)*��A 9 i � ' ����� &���)*"�� "�;d�<2*2 �!���f�<93"bG��fQT��� ��)*"����($$�)*/#�F/:I:���������!��)*/N��/O�!)0Qv�<���BQv�1iS; ��)*2�9%I��g���bG��g������)*����iF&���2*),��iA >%�WV U'V ���

��� �C � ' � � C r C $ < C r � )�C ������ C r � �

��� �C � C r C $ < C r "

�u� )*/p��"�� �E"�/�/#)*9�20�N�!"��C46�!�(��$v����)*/p)0���:iF&���20)0��in�!"��!���NI:��"�20�:��2������0mF��"bI�CG��(�:9I�g���1G��g��A���)*�

� ��� � >%�?>�c*� ! ��_nL _ _���[ PnJ]P )�

eXPnb3����J)�.M0J/Q�S�L C �`� ��� CfPnb � �n[Z_nO�J�\ +PnT�M0\]\6M0O��kQ�S�LsM0O*+`PK��[]O S�L � ' _ �.M �0_A >%�?+�e'V �dAR�.m �fV � )�C � ���� C r ��� C � C r C � < C r

�)� ����� ��k%)0QS)02�������"z 2���)0Q >%�?>�a.9_&�/�)*��A ���<�!"�xW/`)0���:iF&��<2*)0��iZ�<��$ A >6�0�[>0V���(/�'1�<2*��$Z'�"��FG�����)0��� �!2,iz9 i �!������"�QS"������(��i � y AR� ���� V < �

MN��)0/:��"�A��C�!���(�:I:),�!�XA >6�?K�c�V��!���(�D/#��"bI:/

)�C ������ C r � � �5r��2> � B . � � �

�� > � B � � ' � � � � > � B�

I:��)*' �vA�)0G���/&�/ A >6�LV a�VC�pXp2*&�A�A�)*��Ag����)*/ 9���' �T)*� �!"dA >%�LK�c'VU9 I�7"�9�� ��)0��A >%�WVFJ�VC�

Page 52: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

  � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� �����= ��C& 7 ��"+$7"#�%���� r*+$7��� � ��$7���+ ]�5�`2 �3��4+�.�&3X�#"+���u�+7/��"+�3���

��� �!��)0/f/��('(�!)0"�� I���A�)0G�� /#"�QT� ������2,iF�!)*'D����"��3�(�#�!)0��/f"�; � ' s������#QS"���)*'/���)0��"��#/��pMN���CiSI:)02*2}93�`�����($���$f)0�zk%��'C�!)0"��fK��,��9FI:�����#�7I�7/O�!&�$%iS�����`�!������/ts;P"���QT��$ |}�<�T'("������('(�!)0"��^� ; "����Z�����('�)0/���2,i�9 �!���Ci I:)02*2N�<2*2*"bIo&�/ �!"�Q�&�20��),s��20i��<�Fi q r ������QT"���)0' /��('(�!)0"��~9 i��C4%�E"������ ��)���2 ; ��'(��"��g/�"D�����<�g�!���S���(/�&�2,����(Qv��)0��/v)0� q r � MN���(i I:)02*2d��20/�"~9E�8"�;g&�/#��)*� �!����'("�QT��&�� ���!)*"�� "�;B�������������93"�2*)*'dI�()*A�� ��/."�;�!�������!����/#;P"��#Q{)*�Dk%�('(��)*"��ZV��La��

m=)0��/#�:I��n/#�(�./�"�QT�B;P&��#�������d��"��!�<�!)0"��^� m=) 4���� ��%$ �& 9}�<��$820�(� � 93�n������#QS"���)*'����A �<��)0G��d/#��)*��"��=I:)0��� ����/#�3�('(� �!" �(' � �' ����$ � � � $ & ��� i �E"�)0�F�"�;�!������2*������� mH)*����2020i09F;P"��:��� if/���)0��"�� � AP��"��d���('���/#/!���#)*2,i �����#QS"���)*'�Vn9�'���2*2��HN_nO _nL�Y +dSoQ �{[]O@J���_ �0[ P � �uA � � V��!����iF&���� ��)0��iA >%�?+%�5V �dA � � ��m�� V y � =?>�@ � ACB C � �' � C r = C � ' � � C r "

� ���)� � >6� >�U��)#3b%�'��S%P%_�J)�.M0JCJ)��_nL _�_���[ PnJ]P � � � e ) K �e�M0O�� )

�e

Pnb3����J��.M0JwJ)��_u�0[ P � �uA � A K =��5V � � V [ P �0[ P ��S�[]O�JfQUL�S�T & ) M0O��XM0\]\kSoQ�J)��__n[�Y7_nO ��M0\ b3_ PCSoQ � ' []OuM0O*+���S�[]O�J�SoQ�J)�7[ PC�0[ P �sM0L�_C�nS�b7O��7_N�`�n_n\ S4'�[]OuM'�nP%S�\ b JK_��M0\ b3_w��+�)

�e�.��+O��7_nL�J)��_ P%_ M�P Pnb TC��J�[ZS�O.P ) ' _ �.M �0_ J���_w[]O _Na:b.M0\ []J +

A >%�?+�>�V �dA � � � ��m �/V .@. � r � �4A ��� > � � � r� � > � B = A >3C ��C r = �5V � � � r�� > � B�� "�)� ����� �j7����"��!�n9Fi R A � 00V��!����9E"�&���$����#iZ"�; �uA � 00Vn93����$�9 i�� � ���

"�&���I����$6s��E"�)*� �!)0��A &���),�:��"��#Qv��23G���'C�!"��N��"T),�1� k6��"����(/�x�;P"��#Q�&�2���A�)0G��(/

�dA � 0 �.m �fV y � =?>�@ � � B � A � �' V � � �' � =�A � ' �sV � � ' � � � �= ��>�@ � � B � � �' ���� � � �� 0<$ � "

k%)*��'�� � )0/ � ' su������QT"���)0'09^����� "��()0�LD(���F9 �"�' � ;P"��#Q�&�2*� A >%�,�ba'V`)0QS��20)*�(/`�!������!��� ���#/#�g�!�(��Q�"�� �!��� �#)*A�� �#su������$ /#)*$�� G<����)*/#����/(�SMN�������C;P"����}9=9 i �!���T��)*'Cs� ��'5su��"%�B)0���:iF&���20)0��i09%I��n���1G��

�dA � 0 ��m �/V . �> ��>�@ � � B �) C � � � C r =8)�C � C r 0<$���"

�7�Z������"��!���(�N������$ 9�I�g���1G��$3��A � 0 �.m �fV$ 0 y �

�>�@ � � B �� � �' � ��

r = C � ' � � C r 0�$�� "� iz��/#/�&�QT����)*"��(9%;P"��:0�. A K = �5V � � I�����1G��g��������/#��)*QS�<�!�

��>�@ � � B C � ' � � C r 0�$�� � ) r �

�>�@ � � B C � C r 0�$���"

Page 53: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� �   � ���� ����� ��� � ����� � ��� �� ��"��� ��� ��� � � � � ���  O�Xp&�����)*��A �!"�A��(�������N�!����/��g��/O�!)0Qv�<����/�9�I��/#�����!���<�

$3�dA � 0 ��m��fV$�0 � > ) �dA � 0 ��m��fV

I:������'��$:2*"�A ��A � 0 ��m �fV

$�0 � > )-"

��� �!��A��!�<��)*��A �!��)*/N)*���:iF&���20)0��iv;P�#"�Q 0 y � � �!" 0 y A K = �5V � � 9�I��"�9%� ��)0�

20"�A �dA � � � ��m �/V . > )0c � � � A K = �%V � � e = 2*"�A �dA � A K = �5V � � �.m �fV "M=�<�6)0��A �C4%�E"������ ��)���2]"�;H9E"��!�z/�)0$���/�9�I��A��C�

�dA � � � ��m �fV .@. � r � �4A � �dA � A K = �%V � � ��m �/V.@. � r � �4A � �dA]��m �fV ����$zI��'("���'�20&�$���&�/#)*��AIA >%�WV K'V5�

8 �546��9}I�g&�/��g�!���n��9E"bG��g2*��QTQS�Y�!"T"�9�� �<)*�Z�C4%�3"������ �!)*��2]$��('1�1iZ����/#&�20��/)*�8�����#QS/7"<; �v;P"��d�!��� �(�����#A�i�"�; ������QT"���)0'n/#��)*��"���/`I:���(�@� )*/`2����#A��09}����/O�)*�S�g��4%�($ $�)*/#� "�;#� �1I�biT;P��"�Q �!���d/�)0��A�&�2*����),�!)*�(/ & 9 ������� ���1��� )*������)0��i )0��S�p���Z�����B����/O�.'���/��}9��!����/#�!�<�!�(QS�(� �.)0/:��/N;P"�2*20"bI:/��

� ���)� � >6�?K�e����6_nJ � � � $ & �n_�M0L��:[]J�L�M0L-+ )�M0O��\ _nJ � � � e��n_�Pnb3��� J)�.M0JJ���_��0[ PnJ M0O � _`�n_nJ ' _ _nO � M0O�� & [ P�M0J�\ _NM�PnJ K � � . ! ��_nO�Q�S�L C ��C6Pnb � �n[Z_nO�J�\ +\�M0L�Y7_ ' _ �.M �0_�J)��_`_ PnJ�[]T�M0JK_

� � � r� � > =?>�@ � A � B B .@. � A � � ' � ��� � � � r� � > � B

Q�S�LsM0O*+ � ' H �.M0LUT�S�O�[Z�PK��[]O S�L � .�)� ����� ��k%)0��'�� � )0/.�1I�1iZ;P�#"�Q & 9})*�f�!���n-.)0A�A�/N���(2*$�� ' y � ����$ < � >

�!��� �!�(��Q �d)0/=9E"�&���$���$�"�� �uA � > � � VC�MN���(���(;P"����09 ),; C ��CC)*//�&��T'()*��� ��20in2����#A��09�!���(���!���Y��)*A���� G<��2*&��(/`"�; � ' "��8����)*/.$�)*/#�8���#��9E"�&���$��($ 93�(2*"bI )*����9�/�"�2*&����G<��2*&��B9 i C ��C � V�� h.����20if\ �(QSQS� >%�?>�U�I:)0��� K y �n����$ ) y C ��C � VY�!"TA��(�

��A � � � ��m��fV .@. � A � � ' � � r � > � � � r� � > � B = A >3C ��C r = �5V � � � r�� > � B��. + . � A � � ' � � r C ��C r � � � r

� � > � B. �K�K . � A � � ' � ��� � � � r� � > � B

Page 54: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

  � � � � ������� � ��� ����� � � ��� � �� ����� ����;P"���� /�& �S'()*�(�F��20if2*����A����!�7�f�!����"��������:������$(9�I�����1G��

� � � r� � > =?> @ � A � B B y � =?> @ � A � B C � C r = C � � � C r = C �� � C r. � =?> @ � A � B > C ��C r C � C r = �� � �' � ��

r = C � ' � � C rA >%�?+�K'V .7K�K �dA � � � ��m �/V I:�����#� ����� 2���/O� 2*)0���p)*/ �N'�"���/���i6&�����'(��"�; C � ' � � C r � C ��C r C � C r � �baN)*� �uA � �� � VC�Xp&�����)*��A �!"�A��(�������N�!����/�����I�"S�(/#�!)0Qv���!��/�9�I��nA��C�N�!����20��QTQv���

���z�!����/��('�"���$8'1�</��09�I������1G����!���B;P"�202*"bI:)*��AY/#� ���!��QT��� ���� ���)� � >%�LK�� � �+S�LdM0O*+�� �� �& J���_nL�_ _���[ PnJRP K � y K � AR�'V � e ) , y, AR�'V

�e�M0O�� ) y )}AR�hV

�e Pnb�����J��.M0J+Q�S�L�M0O*+ � ' H �.M0LUT�S�O�[Z��PK��[]O S�L �

M0O��dM0\]\ K � K � J���_�Q�S�\]\ S4' []O7Y _ PnJ�[]T�M0JK_ ��S�\���P&%� � � r� � > � � =?> � � r � B B .@,/. � � � � � � r� � > � B "�(b7LUJ���_nLUT�S�L�_ ) [ Q C ��C [ P�Pnb � �n[Z_nO�J�\ +I\�M0LZY7_ ) ' _��NM0O ����S%S%P%_�) y C ��C � K�M0O��K � , � S�O.PnJ M0O�J]Pw[]O��7_K��_nO��7_nO�J SoQ���.�)� ����� ��MN��������"6"�;7)0/v��� ��QS��2*A �<Q "�;7�����<�S"�;B\]�(QSQS�<� � >%�?>�U��<��$

>%�LK�e�� j7�(�����B�!��� ��HN_nO _nL�Y +1M0J![]O ��O�[]J +S"�; � /#��)*��"��d9 i ������)*� �!�(A��!�<2

A >%�?+<VhV �dA % �K� �.m �fV y ���� =?> � � � B C � �' � C r = C � ' � � C r "

��"6"�/�� K � � e7����$ ) � /�&�' �������<�H;P"�� C < C � K � �!�����)*A���� G<��2*&��(/="�;�� ' A < V=���#���2*29�)0A�A����`)*� ��9�/#"�2*&%�!�YG<��20&��Y�!����� ) � � 20�1���#20i09_/�&�' ��� ' ��"�)*'�� )0/7�E"�/�/#)*9�20�93�('1��&�/���� �� �& � ; "����("bG�����9 ;P"�� C ��C3/�& �S'()*�(�F��20i�2��<��A��T"����S'1���~��&�� ) � yC ��C � V �<��$ K � �~'�"���/#�!��� �z"���20i $��(�3�(��$�)*��A "�� ����� )*��)0�!)*��2:$��<�!� �%� m}"��0 � K � 9�I�����1G����!���g�(/#��)*QS�<�!�

���dA % 0 ��m��fV � � �> ��> � � � B �) � �� � �' � �� r = ) � C � C r 0<$���"

�7�Z������"��!���(�N������$ 9�I�g���1G��$��dA % 0 ��m �fV

$�0 y � ��> � � � B �� � �' � ��

r = C � ' � � C r 0<$���"� iz��/#/�&�QT����)*"��(9%I�g���1G��n��2*/#"

��> � � � B C � ' � � C r 0�$�� � ) r� �

�> � � � B C � C r 0<$���"

Xp&�����)*��A �!"�A��(�������N�!����/��g��/O�!)0Qv�<����/�9�I��/#�����!���<�:;P"��:0 � K �$��dA % 0 ��m �fV

$�0 . �7> ) � ��A % 0 �.m �fV

Page 55: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� �   � ���� ����� ��� � ����� � ��� �� ��"��� ��� ��� � � � � ���  � I:������'��

$d20"�A �dA % 0 ��m �/V$�0 . �7> ) � "

��� �!��A��!�<��)*��A �!��)*/N)*���:iF&���20)0��iv;P�#"�Q K �!"S> K ����$Z&�/�)0��A�A >%�WV K'VU9�I��n"�9%� ��)0�

��A % > K� ��m �/V .E��AR�.m �fV . � � � �.`A C ��C r = K'V . � � � � � � � r� � > � B "�7�Z������"��!���(�N������$ 9

��A % > K� ��m �fV � � �� =?> � � r � B C � ' � � C r

� ) r� � �� =?> � � r � B C � C r

)*QT��2*)0��/, � ��A % > K� ��m �fV � � � � r

� � > � � =?> � � r � B B;P"��/�"�QT� , � � e��HMN��)*/HA�)0G���/H������20��QTQv��;P"��+�`)0���d����)0������(A�)*"��^�HMN����'1��/#�"�; C ��C}2*����A�� �<2*/�"z;P"�202*"bI:/B��"���)*��Az�!����� , $����E����$�/ �<�gQT"�/#�g�E"�20i6��"�QT)��<2*20i"������

k%)0��'��n� � ' s����<��QT"���)*'`/���)0��"��:)*/:/�&�9������#QS"���)*'�)*�z�!���g&�/#&���2 /��(��/��}9E�������9E"[G��~���(/�&�2,�!/ �<2*/�" )*QT��20i �3"�)0� �#suI:)0/�� �C4%�3"������ �!)*��2g$���'��bi "�� ���<��QT"���)*'/���)0��"��#/:p

� ���)� � >%�LK >��)#3b5�'��S%P%_ K � K � . ! ��_nO J)��_nL _u_���[ PnJ]P , ) � e�Pnb����J��.M0J3Q�S�LsM0O*+ C < C � > K = ��M0O��dM0O*+ � ' H �.M0LUT�S�O�[Z�PK��[]O S�L � ' _ �.M �0_

C � A < V(C .@,/. � � � � � �5r� � > � B "�)� ����� � � �('1��&�/#�N"�;������'("���$�),�!)*"�� C < C � > K =z�09��!����$�)*/#� ��A < �5V '��(�%s

�!�(����$v�<� < "�;3�!�<$�)*&�/:�d)*/ '�"��F�!��)*����$T)*� � $��uA e > K VC���7� �!���d"��!����� ������$ 99 iS/#&�9����<��QT"���)*'()0��i "�; � I:)0���v���(/��E��'C���!"g�!���7&�/�&���23\ ����2*��'��d"��E���!���!"���96I�����1G��

C ��A < V C .@, � � =?> ��� ��B C ��A � V C C $ �#C r.@,�P � =?> ��� �CB C � A�� V(C r C $ �#C r T ��� r.@,

�P � �

� =?> � � r � B C ��A � V(C r C $ �#C r T ��� r"���'("���'�20&�$���&�/#)*��AT\]��QTQv� >6�?K����

Page 56: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere
Page 57: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

�-.h`X M:y�� K

� 7� ���� �7� �5�r��� ��� � 7�{�#������!���� �t�v]���B�7�+_���t��

��� �!��)0/p' �����������:9FI��d$��(�����:�!���:���!����/#;P"��#QS�($T�����!��9E"�20)*')0� �!��A��!��9�20�N'�"��6s����'C�!)0"�� )*��$�&�'���$S9 i��!���:$��C;P"���QS�<��)*"�� � ' �pm=)0��/#�:9 )*�Sk%�('(�!)0"��TK��,��9 I�:$��C������!���f&���$����#20i6)*��A�|}�<� 9�&���$�2*�}m�!���(� )*� k%�('(�!)0"�� K��?>DI�z/���"[Io�!����� )0�!/Y93�5s���1G6)*"�� �<� )0������),��iYG��(��),����/��������#"����#)��<���:��/#i6QT���!"���)*'N'("���$�),�!)*"���/��HMN��)*/p�!�������2*20"bI:/ &�/��!"Y������2,i��!���`���(/�&�2,�!/�"�;�c! e )0�S"��#$���� �!"n$��(�����7���S�C46�!�(��/�)0"�� )0�F��"�D���<�!��9E"�2*)0' )*� �!�(A��!�<9�2*�T'�"�������'C�!)*"���"bG��(�n�!���v/�)0��A�&�2*����),��i �<�n)*������)0��i�m=�����/!��QT�7�!��)*��A ;P"��N"��������:/#)*��A�&�2����#)0�!)0��/ ;P"�2*20"[I:/�;P��"�Q c �=�'e �

� �C;P"����z/#�!���#��)*��A�������/#�D�E"�)0�F��/:9 I�z���(��$ ��"bI�CG���� �!" )0�F����"6$�&�'(�Z/#"�QT���"��!�<�!)0"��^���d�('1��202:����/#�v�!���<� �& I���/v$��(������$ ��/v�����8/#�(� z � � "1"1" � � � | "�;��)0A���� G<��2*&���/�"�;�����T/���'("���$%su"���$������!���#Q�"�; � �<�g)0������),��i��S\ �C� �� � �� $�& $�����"<�!�D�����D����),G%)*��2:-.)02*9E���O�v9�&���$�2*�zI:)0��� ��9E���#/ q r A � � � � ��V5� � iMN����"�����Q >%�?>%��9=�����v���!����/O;P"���QT��$�9�&���$�20� �� '1��� 9E�vA�),G��(� ��/Y�����vG��('(��"��9�&���$�2*��I:��"�/#�T��93�(�B"[G���� ��� � $ �& )0/`�!���T�<���#����2 "�; �!���S�<$��#"�)*� ��j7)0�!��'"��E���!���!"���A �(' V � � � i �!����/���QT���!���("����(Q�9d/�&�' � ��� ��20��QT��� �z)*/z��20/�" � ' s�����#QS"���)*'�� 8 "bI �#��QS�����T�!���<�d"��f������9�&���$�20� �� �������#���C4%)*/O�!/.� ������QT)0��)����QS�C�!�#)*' � " " 7I:��)*' ��)*/B'1�<��"���)0'1��2p"���'��T�f�����#QS),�!)��<� QS�C�!��)0' �6A " " V`)0/7��4%��$"�� �1p�;P"��.�<�Fif��I�" �(2*��QT��� ��/ ��

� �� r � �� ' y q r A � � � � ��Vn9�),�d)*/:$��(������$9 i �!���gq r )*�������N���#"%$�&�'(�

� ��� �� r y � � �+A ��

�� �� r V C $ < C r "; "��#��"bG��(�:9��!���Z����)0G6)*��2�'�"�������'C�!)0"�� �$ "�� �����89�&���$�20� �� )*/ &���),� ���Oi~I:)0������(/��E��'(�:��"��!��)0/NQS�C�!��)0'��p\]�C� �� ' $��(��"��!��"��O�!��"�A�"�����23����"5�#��'(��)*"��z"�; �� ' "��F��"�!����/#&�9�/�����'�� �� ' 9}����$ ?p�!���g)0��'�20&�/�)0"�� �� � � �� �

������������������� K��,� � � _��NM0\]\`���!����/#;P"��#QS�($ ���(��QT)0��)����~QT�(����)0'�J)��_ �r�n_nLT�_nJ�LU[Z� �� S�O �� ':�7[Z����[ Pd_Na:b.M0\rS�O�J)��_ �r�n_nL �� ' JoS J)��_)L�_ PnJ�Ln[Z�nJ�[ZS�O SoQ`J)��_M'�nS �0_��7_���O _N��q rwP%�NM0\�M0L���L�S:�0b��nJ � " " JKS�J���_�Pnb.�nPK�.M7� _ �� ' qpr�A � � � ���V.

  �

Page 58: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

 �� � � ����� ����� � � ���� ��� ����� � ����� �������� � ��������� � � � ���

/( ��3 � �#"+���%���+�0�5�R�#" �32��%4+$I������"��:2Z���43�$7*����.������"�"6$7�0�5����"��� �!��)0/f/���'C�!)0"�� I�� /���"bI@�����<�f����� �!�!�<��/#;P"��#QS�($ 9�&���$�20����$�QT)0�!/ ���

)*� �!�(A��!�<9�2*��'("������('(��)*"��(9 I:��)0' �S)0/p$��(�����#QS)0����$T"���2,iY9 i �!���d$��(;P"��#Qv�<��)*"���� '����$������ �Bm=)0��/O��93I�� $��(/�'��#)*9E��)0��/`)0�F����)0��/�)0'n'("���/#����&�'C�!)0"��(9_��������I�� A�)0G���)0�)*�f�!�(��QT/N"�;=���D�54%��2*)0'�)0�;P"���Q�&�2����

/( ��3 ��� 4�"#�%����"��:���X*+$ �/"��]�5�R�#"� j7�C����)*��A��D|}���Y'("������('(�!)0"��~)0/Y�:iF&�),G s��2*�(� ���!" A�),G6)*��A8��9���/�)0/ "�;d��������2*20��2 /��('(�!)0"���/ "�� ��$�)*/�� � � �<��"�&���$ ����' ��3"�)*� �s� � � �� $ �& �8w�),G��(���!��)0/:9H)*�~"��#$����g�!"D/����S�!���<�Y)0�n$��(������/�)0��$��(��$��|}�<�:'�"�������'C�!)0"��(9�"����g"���20iS�����($�/:�!" ����"bG��������<�N�����B�!�!�<��/�),�!)*"�� Qv���!��)0'��(/"�� � � ��� 9E�(��I����(� ��I" /#&�' �f9���/#��/ AP'�"��#���(/��E"���$�)0��AY�!"n�3"�)*� �!/�� � ����$1� � V������'("���/#�!��� �1�

k%"D/�&����E"�/#�1� � � �� $ �& 9=�<��$�20�(� ���A < V "1"1" �� �� A < Vg9E�v�z9���/#)*/g"�;�����

G��('(�!"��T/#����'(� �� ' � � �7� �����f9���/#)*/ "�;`\]��QTQv� >6�?K >79 ;P"�� � � y � � AR� � V � e/�&��T'()*��� ��20if/#Qv��202Z96�!�����C4%���#��/#/�)*"���/

�� � A]��m < V y �� ' A . > ' � ' � B�� �� � A < V�V�� �� 'A K��,�5VQv�<���B/��(��/���;P"�� ��"��f�!����9���202 � � y � AR� � �� � V"�;�!�<$�)*&�/ � � '���� �������($��<��� � �MN�����#�(;P"��#�09�A �#��/O�!��)0'(��)*��A � � ),;=���('��(/�/!�<�#i.Vn9}�!���Cif$��C�����n���z�C46�!�(��/�)0"��D"<;H�����9���/#)*/ ��

� "1" " �� �� "�; �����7G��('(�!"��N/�����'(� �� ' � �!" �Y�!�#)0G6)��<2*)*/��<�!)0"�� "�; �!���`9�&���$�20��� "bG���� � � ��)� ������� ��� ��� � K��?>�� ! ��_fQ�M0T`[]\ +�SoQGP%_ �nJ�[ZS�O.P � . ���rQ�S�L�M0\]\h� � � �� $ �& )Q�S�L (X� z � "1"1" �0'|�) M0O��sQ�S�L�M0\]\(� � � � �7_���O _�M�\ S%�NM0\/P-+5PnJK_nT Q�S�L�M ��M0J� S�O�O _ �nJ�[ZS�O��� S�O �� � �� $ �& .

������������������� K��LK*� � _ ' []\]\k�NM0\]\ �� J)��_D���!����/#;P"��#QS�($~|}�<� '("������('(�!)0"��S�O �� $ �& .

�)� ����� �A Xp�#"��3"�/�)0��)*"���V \ �C� �� � xy � � 9E���<��"��!�����8�E"�)0�F�Z"�; �� $ �& 9����$ �3 � A < V "1"1" �3 �� A < Vv9E� �~9��</�)*/ ;P"��v�!���DG���'C�!"��z/#����'�� ����' � � h.'�'�"���$�)0��A�!"1A K%�0�5VU9��!���:20"%'���2%����)0G6)*��2*)0/!�<��)*"��n"�; �� ���1��� �� � I�d�����($T��"�'�"���/#)*$��(� )*/ �!������3 � AR�'V " "1" �3 �� AR�'Vn9�I:),�!�

�3&��A]��m < V y �� ' A . > ' � �' � B�� �34�ZA < V�VA K��?>�V;P"��/�B)0� �B/�QS��2*26$�)*/#� �� � ����"�&���$ �� � �=��� "���$���� �!"B/#��"bI �����<�p�!���N2*"6'1��269���/#��/A K��,�5V�����$�A K�� >0V$��(�����n)0��$����($8� 20"%'���2^/#i6/O�!��Qu9�I��n���(��$Z�!" /���"bI �����<�N������!������/�),�!)0"���QS�<�!�#)*'(��/ AR�hV�93�C��I�(��� �!����Q ����� )0��$��(�3�(��$���� � "<;N�!��� �E"�)0�F��)� � � �� � � " �BI:)*2*23Qv�<����&�/���"�;H�!���B;P"�202*"bI:)*��A�p

Page 59: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� �!� � ������ ��� �� � � ���   �� ���)� � K��WV�� �+S�LwM0O*+ � � � � � � )rM0O��dM0O*+ � � �.10.A � ' � C � � �8��V ' _�.M �0_�� ' �� . > ' � � ' B�� �� ' A . > ' � ' � B�� � A < VNV � y �� ' � A . > ' � � ' � B�� � A < VNV "�)� ����� �A \]�(QSQS�'V�k%�C� ' A < V y . > ' � ' � B�� � A < VUm�I�����(��$D��" ����"bG����!���<�

�� ' � c . > ' � � ' B � �� ' A ' A < VNV e y �� ' � A . > ' � � ' B � ' A < VNV "��N�:iF&�),G<��2*�(�F��20iS�!���<�

�� ' � c . > ' � � ' B�� A ��$�� �� ' V:A ' V e y e I:��)*' �Z)*/N/O�!)02*2_��iF&�)0G<��20��� �:�!"A K��LK'V . > ' � � ' B�� AP��$�� �� ' V�A ' V�� �� ' � "

k%)*��'�� �� ' )*/N"��#�!��"�A�"����<2^����"5�#��'(��)*"��f��" �� ' 9�I�g���1G��

A K��WVhV AP��$)� �� ' V�A ' V � ����' "

; "��#��"bG��(�:9}"�9�/#���#G��n�����<�N;P"���� � ����$ � ��4%��$(9�����������2*�<�!)0"��

A K��?+�V . > ' � ' � B�� " � ' � y � ' � � A]� ��� � VO$ <4" y � ' ��"�20$�/:9��<��$D/#"A K��La'V ' y . > ' � ' � B � � �/. > ' � ' � B�� .10�AC� ' � V �.10.A � ' V y � A � �' V � y � AC� ' V 9 �� ' "

m���"�Q A K��WVhVN����$�A K��La'V�)0�N;P"�202*"bI:/��!�����`AP��$1� �� ' V ' � � A � ' VC� 8 "[I &�/�)0��AA K��?+�V=;P"��GAR� � � �'V )*��/O�!�1�<$S"�; AR�!��� � Vn9 I��`$��($�&�'��d�!������.

> ' � � ' B�� A ��$C� �� ' V ' �� A � ' � Vn9%I:������'(��A K��?K�VC�pMN��)0/:����)*/#����/N�!���g����"6"�;="<;H������2*��QTQS���

\]�(� &�/ ��"[Io'�"�QS� 9���' ���!"������f/#��&�$�i "<;d����� �!������/#)0�!)0"��~QS�<�!�#),4#p 2*�C�� � � � � � �� � 9}�<��$z/�&����E"�/#�gI��n���bG��

A K��?J�V �� � AR�hV y ��� � � � � �34��AR�'V

I:�����#�sA � � V=)*/ �!�����!�!�<��/�),�!)*"�� Qv�<����) 4Y9E�(��I����(�S�����N��I"g9���/#��/ �<�p�!���d�E"�)0�F���� \]��QTQS� K��LV QT�1����/:�����<�N;P"���C � ��� � CF/�&��T'()*��� ��20if/#Qv��202Z96I�����1G��

�� � AR� � V y �� ' � A . > ' � � ' B�� �� � AR�hV�VA K��Lc'V�3&�ZAR� � V y �� ' � A . > ' � � ' B�� �34��AR�'VNV "A K��LU'V

Page 60: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � ����� ����� � � ���� ��� ����� � ����� �������� � ��������� � � � ���

8 "bI ��2*&�A�A�)*��AuA K�� J0V)*� �!"�A K%�?c'VU9��!�����Z&�/�)0��A�A K��LU'V�I��n"�9%� ��)0�

�� � AR� � V y �� ' ��. > ' � � ' B � ��

� � � � � �34��AR�hV �y

��� � � � � �� ' � A . > ' � � ' B�� �3&��A]�hV�V

y��� � � � � �34�ZAR� � V

/�"������v�!������/#)0�!)0"���QS�<����),4 �����!���v�3"�)0� � � � )*/Y����� /���QS� ��/Y�!��� "����f��� ��9I:������'���I�g"�9��!��)*� �����gX �#"��E"�/�),�!)*"��^�

/( ��3 �( ��G& 7/ ����'�R�G*6$ �:���}� 76�5����"� " �N��"bI A�),G��:��� �54%��2*)0'�)0�H;P"���QY&�2��.;P"���!���f|}��� '�"�������'(��)*"�� '�"���/#����&�'C�!��$ ��9E"[G���� ��� �!���z/���iF&���2:I�z;P"�202*"bI c � e �m=)*�#/#� $��C�����`�g&���)0� �<�#i '("������('(�!)0"��v"�� �� I:)0���S�#��/#�3�('(���"g�����:�!�!�<��/#;P"��#QS�($�����#QS),�!)*��� QT�(�!�#)*'B9 i

A K��,�be'V �� y �� '�� �$ � ? "

MN���; ��'C�=�����<��!��)0/='�"�������'C�!)0"���)*/H)*��$�����$ ���su&���),� ���Oi�'1����9E�/#���(�S�</H;P"�202*"bI:/:p2*�C� � 3�� �!A ���V�9E��2*"6'1��23/���'C�!)0"���/d����"�&���$ � � 9��!���(�Z;P�#"�Q{"��O�!��"�A�"�����20)0��iS"�;�� ' �!" �� I:)0���z����/#�3�('(�d�!" �!���g��"���Q � " " I�����1G��n)0� � �

�$6A ��6A �� �3 VNV y �$ � �� �3 y � �$ �� �3 =�� �� �$ �3 y � �� �� �3 = � �� �� �3 y ��6A �� �� �3 V = ��6A �� �� �3.V

I:�����#� �$Z/#�!����$�/:;P"��:�C46������)0"��N$�)�~_�(����� ��)��<��)*"��f"�;H;P&���'C�!)*"���/d��2*"���A��!���g'�"6"��Os$�)*���<�!� � ��/7I���2*2 ��/`;P"��`�������!�#)0G6)��<2'("������('(��)*"�� I:)0��� ���(/��E��'(�B��"d�f"���������!�#)0G6)���2H-.)02*9E���O�79�&���$�2*� �� �nm=)0����2*2,i�9}I� $��C�����T��� ����$�"�QT"�������)*/�Q suG<��20&���$AO� e'V�s ;P"���Q A �f'�����$�)0$��<�!����"z93� � �!������/O;P"���QT��$ -d)*A�A�/.����20$3V`9 i Qv�<����)*��A� � ' s�������QT"���)0'`/��('(��)*"�� ��fAR�.m < V���"

A K��,���5V �� ' A ��fA]��m < VNV y � �> ��' A < ��fA]��m < VNVO$ �

I:�����#��$.�v/#� �<��$�/`;P"��:�!���Y/#�!����$��<��$ A��(�������<�!"��."�; �����Y��"�2*"�QT"�������)*'1AO� e'V�s;P"���QT/B"�� ��T� MN��)*/B���(2*$ I:)*2*2H)*��$�����$�9E�T��"�2*"�QT"��#����)*'Y����"bG6)*$��($������<�B�����"���)0A�)*����23QT�(����)0' �Z)*/N������QT"���)0'�A /��(�nk%��'C�!)*"��DV��?>�V5�

�)� ������� ��� ��� � K%� +�� ! ��_@� S�O�O _ �nJ�[ZS�O �� = > �� [ P@_Na:b�M0\�JKS�J)��_uJ�L�M0O.PnHQ�S�LUT�_N� ��M0J�� S�O�O _ �nJ�[ZS�O �� �7_���O _N��M'�nS �0_�.

Page 61: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� �!� � ������ ��� �� � � ��� � ��)� ����� � " �f�����($ ��" /���"bI �!������;P"����<2*2�� � �<��$ ��2*2��fA < Vd� �� ' � 9 �����2*"6'1��2 ��Ts������!��202*�(23/#��'(��)*"��Z)*���)� � � A�)0G����Z9Fi

A K��,�[>�V ��fA]��m < V y �� ' A . > ' � ' � B�� ��/A < V�V)*/N���<�!��202*��23)*� � � I:),�!�z���(/��E��'(�d�!" �� = > ��%� m=)0��/O��9�20�(�:&�/:' ���(' �Z),�:)*�d� � p

A�A �� = > ���V ��#V:A]� � V y �� ' � c�A �$ ��#V:A]� � V/� < ��fAR� � Vt$.� e ""���"�9�/����OG����!�����.9 i�A K��,�[>�V�I��n���1G��

A �$ ��#V:A]� � V y A �$ �� ' V ' � ��/A]� � V = �� ' � A < �� A]� � VO$.�'V ������'��

A�A �� = > ���V ��(V:A]� � V y �� ' � c�A �$ �� ' V ' � ���AR� � V e "8 "bI �� ' � �� ' y �� ' )*QT��2*)0��/

�$ �� '�� �� ' = �� ' � �$ �� ' y �$ �� ' �!���(���C;P"����

�� ' � c A �$ �� ' V ' � ��fAR� � V e y A �$ �� ' V ' � � A ��$)� �� ' � V ��/A]� � V y e /�)0��'�� �� ' � )*/�����������"5�#��'(��)*"��f��" �� ' � ����$ ��fA]� � V�� �� ' � �

8 �546��9=��4���������9�)0�!�����#iI�X� � � �fMN���(�(9p��/gI�S���1G����#&�/#��/#��"bI:�(9=�����2*"6'1��23/��('(�!)0"��Z$��(������$D;P"���C � � �X��CF/�& �S'()*�(�F��20if/#Qv�<2*2_9 i

�� � A]� � V y �� ' � A . > ' � � ' B � ��/AR�.m < V�V)*/^�����!��202*�(2<)0��wA '("�QS������� I:),�!��A K%�0�[>0Vn9b/��C����)*��A�� � y � � y � � VC� � &��\]��QTQS�K��WV��!��202*/�&�/��!������!���B2*"6'1��2E/��('(�!)0"���/ �� � ����$ ��8'�"�)*��'()*$��7)0�f�����()*A��F9E"�����"6"6$"�;+��m�)0�Z�����#��)*'�&�2���� ���)0/N�����!�<2*2*�(2_)0� ���

MN����;P"�2*20"bI:)*��A�)0/N��"bI )0QSQT��$�)*�<�!�}p�)� ������� ��� ��� � K��La*� ! ��_�b O�[]JZM0L�+��.M0LUJfSoQ�J)��_�J�LNM0O.PRQ�S�LUT�_N� ��M0J � S�O�O _ �nH

J�[ZS�O �� [ P��#� y �� = ��� �� � y �� ' � A ���� �

> < �:� " = �> �<� �� " V "

������������������� K�� J � � _ ' []\]\=�NM0\]\ J)��_wM'�nS �0_Cb O�[]JZM0L�+d� S�O�O _ �nJ�[ZS�O �� � J)��_�!������/#;P"���QT��$ &���),� ���Oi~'�"�������'C�!)0"�� . ! ��_�� S ��M0LU[�M0O�J �7_nLU[���M0J�[��0_uM�P P%S%�n[�M0JK_N�JoS�[]J ' []\]\6�n_ �7_nO S�JK_N� �� � .

Page 62: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � ����� ����� � � ���� ��� ����� � ����� �������� � ��������� � � � ���

� �����'��� K��Lc*� ! ��_(Q�M7�nJ=J)�.M0J=J���_ Q�S�LUT`b \�M Q�S�L�J���_�J�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N� b O�[]JZM0L�+� S�O�O _ �nJ�[ZS�O@[]O �0S�\ �0_ P _���J�L�MdT`b \ J�[^��\ [Z�NM0J�[ZS�O�JK_nLUT P���+ < M0O�� �<

� S�TC�.M0L _N��JKSJ���_bhPnb.M0\}Q�S�LUT`b7\�M7_sSoQ�S�J)��_nL ��M �7T J�L�M0O.PRQ�S�LUT PC[ P�M0O�M0LnJ�[ Q�M7�nJ %CM�P ' _ ' []\]\P%_ _�[]O�J)��_�O _���J����.Mn��JK_nL )=J)��_�J�L�M0O.PRQ�S�LnT M'�0T`[]J]P�M0O�[]O�JK_nLK��L�_nJZM0J�[ZS�O�QUL�S�T J)��_��S�[]O�J�SoQ �%[Z_-' SoQ�EC[�Y%Y�P��:b7O��.\ _ P )=[]O ':�7[Z���sJ���_#Q�S�LUT`b \�MfQ�S�L J)��_ J�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N�b O�[]JZM0L�+ � S�O�O _ �nJ�[ZS�O M%Y0L�_ _ P ' []J)�uJ���_wb'Pnb.M0\/S�O _�./( �( �C& �%$7"����R��"��32��54+$��%�5��"���2 �3�&3X$ * �/�.������"�"6$7�0�5�R�#" � 9�$h�1�546$

����" 5 �+ ������]�5�R$ �h�� �!��)0/ �3"�)*� ��9 )0� /#��"�&�20$ 93�z�E"�)*� �!�($ "�&�� �!���<�S� ����)*"���)�I��Z���1G��Z��"

A�&�������� �!�(� �!���<� �����f'�"���/#����&�'C�!��$ |}�<� '("������('(��)*"�� )0/ )*��$��(��$ "�;:�!��� ;P"���QA�)0G���� )*� c! e A ����$ �!���(���C;P"���� �54%������$�/n��)0'��(20iD"[G����B�!��� /�)*��A�&�2��<��)0��)*�(/ VnmE�!�����)*/�9 )*�T���T"��#����"���"��#Qv�<2�9���/#)*/pI:)0��� ����/#�3�('(� �!"�)0��/p�����#QS"���)*'�QT�(����)*'N),� )*/p��"<�����'(��/#/!���#)*20i ����� QS"6$��(2kAO���?>�e'V`&�� �!"D�z�3�(�#�!&���9��<��)*"�� $��(/�'(��)*9E��$ )*� A >6�0���%V����$XA >6�0�bK�VC�p-d"[I��(G�����9E�������#�B)*/:�Y�!����"��#��QR"�;/��� � ) iF&�����$z�<��$ ; �3>����#$�)*QI:��)*' �D��202*"bI:/�&�/N�!" /#��"bI �!���<�N�!��)0/N)*/�������'1��/#��� 8 ��QT��2,i�9�MN����"��#��Q e��,��"�;c $ e /O� �<����/N�!���B;P"�202*"bI:)*��A�p

��� ����� ��� K��?U�� �6_nJ �! �n_M0O�� � A >�VUHK[]O.PnJ M0O�JKS�O�S�O`j�l-)/[]O ��M0LU[�M0O�J ' []J)�L�_ PK��_ �nJ!JKS)J)��_sM'�'�0[]J�[��0_Pnb��KY0L�S�b%��� ������ 9 � ������ ) M0O���Pnb5�'��S%P%_ J��.M0J�[]J]P`�nb LUH��M0J�b7L�_ ! �

��.M�PGa:b.M'�0L�M0J�[Z�C�7_ �NM + M0J+[]O ��O�[]J + � J��.M0J+[ P ) C ! �

�C y �dA 0 � r V )�':��_nL�_

0 r y � r�= � rr � . ! ��_nO�J)��_nL�_�_���[ PnJRP�M Y'M0b0Y7_�O _NM0L)[]O ��O�[]J +u[]O ':�7[Z��� �! [ P

M�P-+}TC��JKS�J�[Z�wJoS�J)��_�Q�S�\]\ S4' []O7Y�T�S:�7_n\ %�! � y � = ? �

����

�=w� r ��� l = A

'�'�"�/���

'r /�)0� ��V

�U��0

= A'�/#)*� � =

'r '�"�/��0V

��� l0 = � � ':��_nL�_ < y 0 . <�� M0L�_�� S%S�L��0[]O�M0JK_ PQ�S�L J)��_�AR� �� � r VUH ��\�M0O _�. F�S�L�_ S �0_nL ) J)��_�0[ ,_nL�_nO � _ 1��n_nJ ' _ _nO �! M0O��1J)�7[ PwT�S:�7_n\#P:M0J�[ P���_ P

C�1�C y ��A 0�� � � � V C � �� � 1�C y �dA 06� r ��� V "��� "���$����Y��" 93�f�<9�2*�v��" ������2,i ����)*/n���(/�&�2,� �!"�"�&���'1��/#�09 '�"���/�)*$����Y�����

yp&�'�20)*$������ /�����'�� ARj�l V��S/����������($ 9 i "��#����"���"��#Qv�<2dG���'(��"���/ ���� �( ;P"�� ( y� > K V�9<����$n)*$��(�F��)0; i��!���/�&�9�/����<'��N/����������($ 9Fi ���� �� ����$ ���� �� I:),�!�Y�����20)*����� I:)0����'�"�QT��20�C4Z'�"6"��#$�)*�����!���v&���$����#20i6)*��A �jY� � iz�!���n����/#&�20��/`"�;Gc ���.e 9 ���!���(�S)0��$�&�'(��/���� )*��/O� ��� ��"�� �! "��IA�j1l�V��=I:)0�!� /#)*��A�&�2����#)0�!)0��/�9�)*� G<����)*��� � I:)0������(/��E��'(� �!"B�����./#&�9�/#����'��kj ���� �� 9 j ���� �� � ���S�����#��)*'�&�2�����9 �! )*/ )*� G<����)*��� � I:)0������(/��E��'(�d�!"d� ���� �� 9 � ���� �� 9�/�"TMN���("����(Q K��?U '����D9E�g������20)*�($ �!" )0�:9�����"bG6)*$���$

Page 63: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������ � ��� � ���� ����� � � ��� � � � � � � �#��!����� )0�!/ '(&��#G<�<��&����z���</`i6&���$��!���!)*'f$���'1�1i�� ��� "��#$�������"����bG��8�<� �54%��2*)0'�)0�$���/#'��#)*����)*"��z"�; �! ����$z)0��/N'�&��OG����!&��#�09}���(QS�(Q�93�(���!����� �� $��('�"�QT�E"�/��(/.�</

�� y �� ��= �� = �� � I:�����#� �� � )0/��!���f���!����/O;P"���QT��$ &���),� ���Oi~'("������('(�!)0"��(9 ����!���f���(2*$ $��(������$)*��A K��,���5V:����$ �� � )0�!/d��$5�#"�)*� �:I:)0���8���(/��E��'C�7�!"T�!���g�����#QS"���)*'�QS�C�!�#)*'�"�; ��8�8 "bI���/7I� I:)02*2=/#��� )*��k6��'(��)*"�� V�� > 9^����)*/`������QT"���)0'�QT�(�!�#)*'n)*/B)*��; �<'(�7������!������/#;P"���QT��$�������QT)0��)�����QT�(�!�#)*' ��~A�)0G����~)0��j7�C����),�!)*"���K��,���ZMN���v&���)0�!���#i�����O�:"�; �� $��('�"�QT�3"�/���/N;P&��O�!���(�:)*� �!" )0��/wAO� e'V�s �<��$�A e �5Vus����<�#��p

�� � y A �� ��V ��� � =�A �� ��V � � � "m=)*����2*2,i�9FI�BI:��),�!� ���;P"�������������$�"�QS"��#����)0/�Q s������O��"�;��� p

�� y ��3$���"MN����)*��/O� ��� �!"�� "bG��(��ARj l V � '�"��#����/#�3"���$�)*��A ��" �� )*/f�!����� A�)0G��(� 9 i �����;P"���QY&�2��

�! y �� � = - ��E$.� ��

=����_$ � �l I:�����#�gI������('1��202_�!�����

� � y�> P �

� � ��

� �

� � �r T)*/^����� ���<�!&��!��2�'("�QT��2*�54B'�"6"��#$�)*�����!�p"�; ��19<�<��$g����� '�"�������'C�!)*"�� �� � "���A�j l V ���'(��/7��/ �� � ��20"���A ��R�<��$ ��/d�!���Y����),G%)*��2]'�"�������'C�!)0"�� ��20"���A�j ���� �� 9 j ���� �� �m�&��#�������#QS"��#�09%��/),�'���� 9E�`/#����� ;P�#"�Q �!���.���(/�&�2,�!/)0�fk%�('(��)*"����`"�;!c � �.e 9%I���!���(�D���bG��g�����B;P"���QY&�2��

! ��y � c �� �� � e A $�� �

� " $ � �r = $.� ��" $.� �l V

=�A �� � V� ��- ��/A $�� �

� " $.� ��

�~$�� �r " $.� �l VA K��,�bK'V=�A �� � V

� �� ��/A $�� �

� " $.� �l = $.� �r " $�� ��

V I:�����#�7I�B���bG��7I:��),���!�(� A �� � V

� ��!" $��(��"����`�!���7��'(��)*"�� "<;]�!���B&���)0� �<�#iT'�"��6s

����'C�!)0"��8)0�Z����� ���� � s�$�)*���('(��)*"��^��-.����'��09393�C;P"����gI�n'1����������2,izMN����"��#��Q K��LUI�g���(��$z�!" ' ����' �f�����B;P"�2*20"[I:)0��A�p

��� ����� ��� K��,�be*��! ��_nL _ _���[ PnJRPsM�� S�O.PnJ M0O�J ,�e Pnb���� J)�.M0JrJ)��_�� S�T`H

T`b JZM0JKS�L�c �� �� � e [ P��nS�b O��7_N����+ ,!C ��C � r M�P��)� % . ! ��_ P:M0T�_`_ PnJ�[]T�M0J�[ZS�O��S�\���P Q�S�L �� � ���.

Page 64: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � ����� ����� � � ���� ��� ����� � ����� �������� � ��������� � � � ����)� ����� � " � /#� �<�#�7I:),�!���!����'1��/#� "�; �!���Y'�"�QTQ�&��!�<�!"��(��\]�(� ��fA]��m < V ��� ' y ,/.10�A �(' VN�9E�g����9�),�!�����#i�m�I��BI:)*/��z�!" /#��"bI �!�����(/#�!)0Qv���!�

���c �� �� � e ��fAR�'V ���

��.@,!C ��C � r C ��fAR�'V C

�� I:)0���#, )*��$����E����$��(� �"�; ��f����$T"�;#��� �:��'1�<2*2������NI�(2*2,su�F��"bI:�T;P"��#Q�&�2*�`;P��"�Q-."6$�A��7������"��Oi�pA K��,�1VhV �� ' y ��$�� �(' � ' � �' "�./#)*��A �!��)*/:9%I�g"�9��!��)*�

c �� �� � e ��fA]�hV y � �> ��' A <#�� ' A �< ���AR�hV�V/� �<#��

' A < ��fA]�hV�VNV

y�> ��' A < �(' � ' � �' A �< ��/AR�hV�V�� �<

�(' � ' � �' A < �� AR�'VNV�V "A K��,�[+�V

k%)*��'�� � ' )*/d� '�"�������'C�!)0"��(9��!����;P"�2*2*"bI:)0��A�'�"�QSQ�&%� �<��)*"�� �#��2*�<�!)0"���/���"�2*$(pc � ' < e y $ < " c � ' �< e y $

�< "c � �' < e y �

��<��

c � �' �< e y �

� < I:�����#�

�/#�!����$�/`;P"��`'�"��F���!��'C�!)0"���"�; �S$�) ~3���#��� �!)*��2;P"���Q 9 i��SG���'C�!"��7���(2*$^�

�u�:;P"�2*20"[I:/)*QTQS�($�)��<����2,i

c �(' < e y ��c � �' < e y $ <#" � �

��<��y $ <��A K��,�ba'V

c �(' �< e y ��c � �' �< e y $�<#" � �

� < � y $�<��

A K��,�[J�V

I:�����#�n�����n 2*) ~3"��#$ZQY&�20��)*��20)*'1���!)*"�� � )*/:$��C������$89Fif������/#�n;P"��#Q�&�2*������Xp2*&�A<sA�)*��An�!����/��`)*�v�����`�54�������/#/�)0"��XA K��,�[+�VU9%&�/#)*��A � �' ��fAR�.m < V y en����$ �� ' C � + � �� y e�!"�A��(�!�����NI:)0���z������$��(����)0��)*"��f"�; ��(9�I�gA��C�

���c �� �� � e ��fA]�hV ���

��y

�>��� ��' $ <�� � ' $ �<�

��fA]�hV�� $�<��� ' $ <� ��fA]�hV ��� � �5> � B. �

>���� ' $

�<���/AR�hV ��� � � > � B = �

>���� ' $ <� ���AR�hV ��� � � > � B A K��,�bc'V

/�)0��'��N�!���d��"���Q "<;_�!���d"��#�!��"�A�"����<2�����"5�#��'(��)*"��T"�;_�7G���'C�!"�� �!"n�B/�&�9�/�����'(�`)0/�<�pQT"�/#�=�!���N��"���Q "�;}�!����G���'(��"�� ����$������:��'(��)*"��Y"�;_ 2*) ~3"��#$�Q�&�2,�!)*��2*)*'��<�!)0"��9 i�$ < ����$Y$

�<)*/ �3"�)*� �#s I:)*/��p9E"�&���$���$^�#"�� '�"���'�20&�$�� 9Fi������p����/O�=/O� �<����QT��� �

"�;=\ �(QSQS� >%�?>�+%�

Page 65: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � ������ � ��� � ���� ����� � � ��� � � � � � � �N 8 �546��9�20�(��&�/�'�"�QS�d�!" �� � ��=� k%)0QS)02����#20ig�!"Y�����B��9E"bG��}9�&�/#)*��A A K��,�1VhV��<��$

�!����'("�QSQY&�� �<��)*"��S;P"���Q�&�2����)A K��,�ba'V�sUA K��,�[J�V I�g"�9��!��)*� �� � �� ��fA]�hV y �� � � ��d� �� � �� � ��/A]�hV

y �� ' �$)� < > $.��= �< > $ �� �� ' � < > ��fA]�hV� �� ' � < > �� ' �$1� < > $.��= �< > $ �� ��fAR�'V

y �� '�� �$)� < > $.��= �< > $ �� �(' � ' � �' < > ��fA]�hV � < > �(' � ' � �'

�$�� < > $ � = �< > $ �� ��fAR�'V��y �� '�� P �> $ � " $ < � �

> $ �� " $�< T � � ' $ <> � ��/A]�hV

� $ <> � � ' P �> $.� " $ < � �

> $ �� " $�< T � ���AR�'V �

= �� '�� �$ �(' � ' $ <> � ��fA]�hV�� $ <> � � ' � �' �$ ���AR�'V��

A ���(����$ < ����$z$�<��'(�d"��f�!���g/#��)*��"���/:9 iZ 2*)�~_"���$fQ�&�2,�!)0��2*)0'1�<��)*"��(9�I:����������/

$.�v����$�$ ��S9 izI�($�A������#"%$�&�'(� VC� 8 "���)*'�)0��A �!���<��C $ ��C y C $ ���C y > 9}�!���g����/O��!�(��Q )*�S�����72*��/#��C4%�����(/�/#)*"��f'����f93�d�!�#�1�<����$f�C4���'C�!2,i ��/�)*� A K��,�bc'VC� m}"�� �����/��('�"���$S�!���#Q�96"����d"���2,i �����($�/���"Y�#��QS�����������<� �!���d'�"�QTQ�&��!�<�!)0"�� ���(2��<��)*"���/

� �$ � ' � y � �$ � � �> $ < = �� > $ �<

�y � $.� " $ < "

> = $ �� " $�< ">

����$

� �$ � �' � y � $ � ">

��< �= $ �� "> �

� < �/���"bI �����<�

� �$ �(' � y � � �$ � �' � y � �> $ � " $ <� =

�> $ �� " $

�<����"�20$�/��pMN���(���C;P"�����I��'����D����"6'����($���A���)*�z��/:)0��A K��,�bc'V5�

�7���!���n9���/#)*/7"�; MN����"��#��Q K��?U 93�!���Y9E�����1G6)*"��."�;p�!���Y�!������/#;P"���QT��$8|}���'�"�������'C�!)*"��Y�<�)0������),��iB/!�<��)*/O����/ �!��� � i6�3"<�!���(/�)*/H'�"���/�)*$������($Y)0��c! e � 8 ��QT��2,i�9)*�D�T/#&�)0�!��9�20�gA���&�A���)0��/:$�) ~3���#����'(�n;P��"�Q �SQT"%$���2^I:)0���D/#��'("���$%su"���$��(�`�E"�2*�)*/.)*�D�����nI���)0A�� �!�($�k%"�9E"�2*�CGFsu/����<'�� q ��� r� r ��� A � �@� Vd'("���/�)0$����#��$ )0� k%��'C�!)0"��>S"�;p�����<�B�<�#�!)0'�20���`����$����($(9^����/#/�)0��Av�!" � '�"6"���$�)0���<��� � y < � � 9 C �#C y � )0�I:��)*' � �����7$�"�&�9�2*�`�3"�20�.)0/�)*� e.96�����7��"���Q "�; �!���7�E���O�!&��#9��<��)*"��S)*/ ��A � � ��� Vn9

Page 66: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� � � ����� ����� � � ���� ��� ����� � ����� �������� � ��������� � � � ���

I:�����#�1��/B�����<��"�; )0��/7$��(��)0G<�<��)0G���)*/���20/�" ��A � � � � V`AP93�('1��&�/#� �!��� ��"���Q "<;.�Cs;P"���QT/v���1��� )0������),��i )0/C $ < C y C $ �#C � C �#C y �5Vn9d����$ I� '("���'�20&�$���/#)*��'(�� � ��� � � r��oqpr

� � r � �u� ;P"�2*2*"bI:/T;P��"�Q �!���8����/#&�20��/f"�;�)0��/zk%�('(�!)0"���/zJ~�<��$ c�!�����d�����n������2,i6��)*'B|}�<�d'("������('(�!)0"�� �� $��C������$8"�&��!/#)*$���)0������),��if�C46�!�(��$�/`��"��� ��2*A���9�����)*'S)*� �!�(A��!��9�2*� '("������('(�!)0"�� I:)0��� � �����!��9E"�20)*'T/#�!�#&�'(��&����z"�� �����/�)0��A�&�2*���B��93�(���<�n)*�%����)0��i��u�7� �!���v"��������n������$(9H/�&�' � �<���C46������/#)*"�� "bG��(�2*"�A�����),�!��QT)*'�/#)*��A�&�2����#)0��)*��/GA �!���<�)*/�9%/#)*��A�&�2����#)0�!)0��/p)0�vI:��)*' �S�!���7�()*A��(� G��<2*&��(/"�; �� "��=��i6&�)0G<��2*�(� �!20i`�!��"�/#��"�; ��T���1G����<�=QT"�/O�H���#/#�Os�"��#$����H�3"�20��/�V )0/H�(��/�&��#��$9 ifMN����"�����Q > "<;�c �=��e � MN���(���(;P"����09�9 ifMN����"��#��QRV��LK >n�����B|}�<�N'("������('(�!)0"���� "�� �� $ �& '1�<�T9E�N�C46������$��($v)0�F��"g�7QS�(��"�QT"�������)*'�)0� �!��A��!��9�20�'("������('(�!)0"��"�� ���� � I:),�!�z��������93"�2*)*'./#����&�'C�!&��#��/7���N�!����/�)0��A�&�2*����),�!)0��/��

������������������� K��,��� � ! ��_D���!����/#;P"��#QS�($ QT���#"�QT"�������)*'v)0� �!��A��!��9�20�f'�"��6s����'C�!)0"���[ PwJ)��_ T�_nL�S�T�S�L �I�7[Z� []O�JK_ZY0L�M'�:\ _`� S�O�O _ �nJ�[ZS�O(' []J��`�.M0L�M'�nS�\ [Z�PnJ�LUb3�nHJ�b7L�_G[]OdJ���_�Pn[]O7Y0b7\�M0LU[]J�[Z_ Pk[]O��0b�� _N����+wJ���_CM'�nS �0_ _���JK_nO.Pn[ZS�Os��L�S%� _N�0b7L _ P )=Pnb.�:H��_ �nJ(JKS\ S%�NM0\����.M0O7Y7_ P�SoQ ��S�\ S�T�S�LK�I�7[Z�!J�LU[��%[�M0\ [ P:M0J�[ZS�O.PrO _NM0LrJ���_�Pn[]O7Y0b7\�M0Ln[]J�[Z_ PJoS�J M��'_)M0\]\�' _n[�Y �7J]P��n_nJ,' _ _nO�eXM0O��Z� . � _ ' []\]\!� S�O�J�[]O�b3_�JoSu�7_nO S�Jo_�[]JC��+A �� ��dV.2! ��_ b7O��7_nLn\ +�[]O7Y _���JK_nO.Pn[ZS�O"' []\]\=�n_ �NM0\]\ _N�Z�!������/#;P"���QT��$z�C46�!�(��/�)0"��SoQ J)��_wJ�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N�d�:b7O��.\ _�.

� �����'��� K��0�b>�� � _ ' []\]\#P%_ _w[]O #(_ �nJ�[ZS�O �5.��`J��.M0JrJ���_��.M0L�M'�nS�\ [Z�PnJ�LUb3�nHJ�b7L�_ PM0L _CM'�'Mn��JK_N� JKSwJ���_ �.M0LUT�S�O�[Z��T�_nJ�Ln[Z� �/O�M0T�_n\ + )+J���_ ' _n[�Y �7J3e . � � ��1SoQCMwPnb��nPK�.M7� _ ! � �� C @ SoQCMwPn[]O7Y0b \�M0L �r�n_nL� S�LUL _ PK��S�O���P�[]Ou\ S%�NM0\ � S%S�L��0[]O�M0JK_< ��M0O�[ P��7[]O7YIM0JkJ���_ ��b7O �nJ�b L�_�JKS@MI�7_ �NM +��nS�b7O��7_N��M'�nS �0_1��+DC < C r �� � SoQ)J)��_O S�LUT SoQ�M �.M0LNM0\]\ _n\3P%_ �nJ�[ZS�O _���Jo_nO��0[]O7Y�M0OX_n\ _nT�_nO�J SoQ ! � �� C @ )rM�PT�_NM�Pnb L�_N���+�J)��_ �.M0LUT�S�O�[Z�wT�_nJ�LU[Z��. EwS4' _ �0_nL )r[]O #(_ �nJ�[ZS�O.P �5. �5. ��M0O�� �5. �5. � ' _ ' []\]\� S�O.PnJ�LUb��nJ�M �0[ ,_nL�_nO�J/_���Jo_nO.Pn[ZS�O�S �0_nL�J)��_f��b7O �nJ�b7L�_ P

T�S�L�_rPnb []JK_N�sJKSwM0O�M0H\ +}J�[Z�NM0\�PnJ�b.� +

) ':��_nL�_GJ���_ �n_��.M �%[ZS�LwSoQGJ)��_O S�LUT SoQ!�.M0L�M0\]\ _n\�P%_ �nJ�[ZS�O.PGO _NM0LJ���_�Pn[]O7Y0b7\�M0L���S�[]O�J]P ' []\]\3O S \ S�O7Y7_nLC�n_�nS�b O��7_N��. � _GJ)��_nO)�.M�P PC� M7� �sJKS�J)��_J�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N�)_���JK_nO.Pn[ZS�O�[]O �rS�L�S�\]\�M0L�+ �5. ���4)�':��_nL _ ' _�L�_nT�M0L � J��.M0J+[]J�[ PkJ)��_S�O _�J)�.M0J�_ PnJZM'�:\ [ P���_ PsM���Y7S%S:��� � S�LUL�_ PK��S�O��7_nO � _�.

Page 67: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

�-.h`X M:y��lV

� � ���������o �O����6� ���^� �=���t�� �U��� � � 7� n� �O�� �����G�t��� ���� � � ��� � �B�� �O� �

\]�(�@A � � �3V 9E��� -.�(��QT)0�!)*��� 9�&���$�20�ZI:),�!� )0� �!��A��!��9�20�z'�"�������'(��)*"��_�MN����"�&�A���"�&%��!��)*/' �������!�(�:9�I��7/#&����E"�/��7�����<������`"���)*A�)*����2�QT�(����)0' �f)*/ �����tsQS"���)*'<�HMN��)0/ QT�(�!�#)*'������� $��(�����(/ �B-.)*A�A�/ 9�&���$�2*��A � ��VH/O� ���O�!)0��A`;P��"�Q �����)*� �!�(A��!�<9�2*�g'�"�������'C�!)*"��(9EG6)*�T�!���Y���#"%'(��$�&��#��$��(/�'��#)*9E��$�)0� k%�('(��)*"��~���?a�� " �����/O�p���#"[G����!����� �!�����!�!�<��/#;P"��#QS�($ QS�C�!�#)*' �� )0/=�!���(� �����#QS"���)*'�;P"�� ��8� 8 �C46�:9I�YA�)0G��Y���8)*� �!�(�����#�(� ���!)*"��D"�;=�!���g�!�!�<��/#;P"��#QS�($ -.)0A�A�/d9�&���$�2*�g"�;GA � �0VN)0��!�(��QT/"�;^�����7� i6�3�(��'("���"�QT"�2*"�A�i "�;�n/#���1��;HQS���S"[G���� ��� � �=MN����/#�B����/#&�20��/I:)*202��!���(�v9E�`&�/#��$v��"Y$��C�����.�����w[]O��0b3� _N�1_���JK_nO.Pn[ZS�O < ��z"�;^�����:�!�!�<��/#;P"��#QS�($9�&���$�2*�`"bG���������7��&���'(�!&�����/ �& # z&% |h96����$ ��"Y'�"�QS��&%�!�`�����.��"��3"�2*"�A�iT�<��$�!��� /#)*��A�&�2����#)0��iD��������QS�C�!�(��/B"�; �!��)*/B�C46������/#)*"���"�; �!��� ���!����/O;P"���QT��$ -d)*A�A�/9�&���$�2*���HMN��)*/I:)*2026�(����9�20��&�/=�!".�(G��(� �!&���2020in'�"�QT��&�������������"��3"�2*"�A�iB����$Y�����/�)0��A�&�2*����),��i �����!�<QS�C�!���#/�"�;N�����v�!������/O;P"���QT��$ -d)*A�A�/Y9�&���$�2*�vI:),�!�~�#��/#�3�('(��!" )0��/��!������/#;P"���QT��$z�C46�!�(��/�)0"��8A�)0G��(�z)*�Zj7�(����)0�!)0"��zK��,�����

�6 ��� 21 46$@ ���"���- $'� ; $h$ "��%4+$u�%�5��"���2 �3�&3X$ *���"#��$�53�5��-� �$�����"�"6$7�0�5�R�#"��"�* �546$���� 535���- �+"+*� R$

�:��'1�<2*2������<�nI�f���1G��f$��(������$ �!���v$��(;P"��#Qv���!)*"���"�;N�����z-.)0A�A�/g9�&���$�20�9 i �����z;P"���Q�&�2�� AO���LK +�VU9N����$ I�ZI:��),�!� � � �' ;P"�� �!��� � � � su"��E���!���!"�� "�;`�!��)0/$��(;P"���QS�<�!)0"��^�py=4%��2*)0'�),�!20i096I��g���1G��� � �' y � � � = � ' I:�����#� � ' y ����� � >�$ < � ; "����("bG�����9 ��/nI��v���bG�� ��"���)*'(��$~)0� k%�('(�!)0"�� ���?c.9��"����<93�(2*)��<�Y-d"%$�A�� ������"��Oig)*$��(�F��)0���(/�����$��(;P"��#Qv�<��)*"���"�;��!���-.)*A�A�/ 9�&���$�20�/#����&�'C�!&��#�uAO���LK +�V:����$������<�7"<;p�!����)0� �!��A��!��9�20�Y'("������('(�!)0"��8G6)��T�!����&���)0�!���#iA ��&�A��7�!�!�<��/#;P"��#Qv���!)*"�� 3 A < �hV y . ���' �� � ' � � � r "��� "��!�����YI�"���$�/:9 I:��)0��)*��A 3 ' y 3 A " �'VB;P"��n�!��� A���&�A��v���!����/#;P"��#Qv�<��)*"�� ���5s/#����)*'C�!�($Z��" �����B��9E��� �� ' 9�I������1G��

A V��,�5V 3 ' " � ' y � �' y � � �> $ <#" � �� > $ �<#" "

� �

Page 68: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � � �� � � � � ����� �� � � � � � � ���k%)*��'��S����� A �<&�A��S���!����/#;P"��#Qv�<��)*"�� 3 ' )0/Y&���)0� �<�#i�9=)*�~�<$�$�)0��)*"����!" APV��,�5V�I�����1G��n��/NI�(2*2

A V��?>�V 3 ' " � �' y AC� �' V � "������������������� V��,� � ! ��_CS ��_nLNM0JKS�L � �' y � �' � A � �' V�� ' []\]\3�n_kL�_RQ�_nLUL _N� JKS

M�PwJ���_ -.)0A�A�/:j7)*����'7"��E�����<�!"�� . �nO�J)��_�P:M0T�_ '!M + ) ' _w\ _nJ � � �' PnJZM0O��GQ�S�LwJ)��_D�[]L�M7��S ��_nL�M0JoS�L � � �' ��A � � �' VN�. ! ��_�!������/#;P"���QT��$g/�QT"%"�����9�&���$�20� &���$��(��20i6)0��A�!����-d)*A�A�/9�&���$�2*��[ P�J)��_s�:b O��.\ _ �� S �0_nL �� $ �& ':��S%P%_ �r�n_nLsS �0_nL��u[ P�J)��_��L�PnJ=q r HN� S���S�T�S�\ SNY + PK�.M7� _:q r � � A � �' V`SoQ�J)��_`S ��_nLNM0JKS�L � �' .

�)� ������� ��� ��� � V��?>��2! �7[ P '!M + ' _)�7_���O _`M�PnT�S%S�J�� �0_ �nJoS�L��:b O��.\ _ �� .�(b7LUJ���_nLUT�S�L�_ )!J)��_nL _`_���[ PnJ]P Mu�NM0O S�O�[Z�NM0\6�:b7O��.\ _w[ P%S�T�S�L �I�7[ PnT �n_nJ ' _ _nO@J)��_PnT�S%S�J��d�:b7O��.\ _ �� b7O��7_nLU\ +}[]O7Y�J)��_J�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N�`[]O�JK_ZY0L�M'�:\ _s� S�O�O _ �nJ�[ZS�OuM0O��J���_ PnT�S%S�J)���:b7O��.\ _ �� b7O��7_nLU\ +}[]O7Y1J)��_wJ�LNM0O.PRQ�S�LUT�_N�)EC[�Y%Y�P �:b7O��.\ _�.

�)� ����� ��MN���("����(Q >%�,�ban����2*20/&�/��!���<���!���.�!�!�<��/#;P"��#QS�($f9�&���$�2*�`&���$����ts20i6)*��A �!��� )*� ����A�����9�2*� '("������('(��)*"���)*/7����� 9�&���$�20� "�;���#/#�nq r su'�"���"�QS"�2*"�A�)0��/"�; � < ���' � m�"����� i1�.9%�����BA ��&�A��.�!������/O;P"���QS�<�!)0"�� 3 ' "�; ��)*��$�&�'��(/:�����<��&��!��2)*/#"�QS"�������)0/�Q 93�C��I�(���v�����dq r s�'("���"�QT"�20"�A�ig/����<'���/�"�;E�!���:'�"�QS��20�C4%��/GAt���?c�V����$

A V��LK'V �� ��� 7 � � ��������K�3����� � �8� 7 � � ��������K���3��� r �!�#"

I:��)*' �D)*//�#&�/O� � �' ����ZMN����"��#��Q�>%�La I��Y���bG��n/#��"bI:�8�!���<�:�!���ne�su���8�<��$�>bs��$f'�"���"�QT"�2*"�A<i "�; � ' G<����)*/�����/;P"�����2*2��)� �� $ �& 9%I:���(������/d "���"�2*2��<�#iS>%�?J)*QT��2*)0��/d�!���<�B����� '�"���"�QS"�2*"�A�iZ/#����'��(/Yq r � � A�� ' V`$��(�����v�f/�QT"6"��!� G��('(��"��9�&���$�2*� "bG���� �� $ �& �HMN��)0/�������n)*QT��2*)0��/_����� /!��QT� �!��)0��AN;P"�� � �' 9[I:������'(�������9�&���$�2*��)*/#"�QS"�������)0/�Q 93�C��I�(���Z�!����9�&���$�2*�(/."bG��(� �� $ �& )0�uiF&��(/#��)*"��^�

MN���("����(Q >%� >6�g����/N�!���B;P"�202*"bI:)*��AY)*� �!�(�����#�(� ���!)*"��(p��� ����� ��� V��LK*� ! ��_ ��L�PnJHq r HN� S���S�T�S�\ SNY + �� ' y q r�� � A � �' V`SoQ J)��_`S ��H

_nL�M0JoS�L � �' [ P��NM0O S�O�[Z�NM0\]\ +)[ P%S�T�S�L �I�7[Z� JKS�J���_$�'_nLUO _n\�SoQ�J)��_sM'����S�[]O�JfD�[]L�M7�S ��_nL�M0JoS�LA V��WVhV A � �' V � pFq r AB� � ��� V �#� q r A ������� VS�O�[]J]P �7S�T�M0[]O )�S�LsM0\ Jo_nLUO�M0J�[��0_n\ +�JKS�J)��_*�'_nLnO _n\/SoQJ���_ �(Mn��\�M7� _�S ��_nL�M0JKS�LA V��?+�V � �' y � �' A � �' V � p�q r AB� � ��� V �#� q r A � � ����VS�O�[]J]P �7S�T�M0[]O5.

Page 69: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ��� � �������������� � ��������� � � � ��� � �� � � � � � �� � � � � ��)� ����� ��h`����20i �!���zA ��&�A�� �!������/#;P"���QS�<�!)0"�� 3��!" MN����"�����Q >%� >6�D�<��$��"���)*'��7�����<� A V��0�5V��<��$XA V��?>�V)*QT��2,i

A V��La'V 3 ' " � �' y A � �' V �����$

A V��?J�V 3 ' " � ' y � �' m����$Z)*�f���<�#�!)0'�&�2*��������<�

A V��Lc'V 3 ' A ,/.10.A � �' V�V y ,/.10�A�A � �' V � V����$

A V��LU'V 3 ' A ,/.10.A � ' VNV y ,/.10.A � �' V "

MN��)0/���(/�&�2,��(����9�20��/�&�/���"���&���/�)0QS)02���� $��(����),�!)0"���/���/)0�S�!���`)*� ����A�����9�2*�$��(;P"���QS�<�!)0"��f'1��/#���

������������������� V��LV�� ! ��_ ��_nLnT`[]J�[�M0O��:b O��.\ _�T�_nJ�LU[Z�uS�O �� Y0[��0_nO ��+zq rP%�NM0\�M0Lw��L�S:�0b��nJsSoQ�J)��_uA � �' VN�UH �.M0LnT�S�O�[Z�1L�_K��L�_ P%_nO�J M0J�[��0_�' []\]\��n_u�NM0\]\ _N� J)��_�!������/#;P"���QT��$z�����#QS),�!)*���fQS�C�!�#)*'4)�M0O���' []\]\6�n_ �7_nO S�JK_N�d��+ �� .�BC\^P%S ) �� �' ' []\]\PnJ M0O���Q�S�L ��(HNS�LUJ)��SNY7S�O�M0\ ��L�S ��_ �nJ�[ZS�OXSoQdq r AB� � ��� V`S�O�JKS �� .

� �����'��� V�� + � #3J M0LUJ�[]O7Y QUL�S�T M�EC[�Y%Y�P �:b7O��.\ _(' []J�� M0O*+XEw_nLnT`[]J�[�M0OT�_nJ�LU[Z� � O S�J O _ � _ P P:M0L-+ �.M0LUT�S�O�[Z� � ) ' _��NM0O �7_���O _�[]O�J)��_dP:M0T�_�'!M +�[]J]PJ�L�M0O.PRQ�S�LUT S�O@J)��_wJ�L�M0O.PRQ�S�LUT�_N�d�:b7O��.\ _ ���.

8 �546��9 I�T���('�"�202*��'C�B�!���T��9E"bG�� '�"���/�)0$������<�!)0"���/B)*� ������QT/�"�; �!��� �!������/ts;P"���QT��$ 9�&���$�2*�(/��pmH)*��/O��9�I��.������$v�B��"��!)0"�� "�;_q rts�'("���"�QT"�2*"�A�i�;P"�� �g$�"�&�9�20�'�"�QT��20�C4#p

������������������� V��La*���+_nJ, � � � � � // , ��� �, � � � � � //

�� OO

, ��� ���OO

�n_�Ms�7S�b.�:\ _�� S�TC��\ _��&)�':��_nL�_!J)��_�, < � � M0L�_�PK�.M7� _ P�SoQ�PnT�S%S�J)��P%_ �nJ�[ZS�O.P�SoQ �0_ �nHJoS�L��:b7O��.\ _ P�M0O�� J���_ 0 � �0[ ,_nL _nO�J�[�M0\!S ��_nL�M0JKS�L�P�. ! ��_TQS��4%)*QS��2�C46�!�(��/�)0"��SoQ 0 � S�O , < � � [ PkJ���_�PK�.M7� _SoQ qpr�HZP%_ �nJ�[ZS�O.P � ' []J)� 0 � ��� qpr . ! ��_7QS��4%)*QS��2$�"�QS��)*��[]O A ? (7V [ PwJ���_nO�J)��_w[]O�JK_nL P%_ �nJ�[ZS�OXSoQ J)��_�T�M ��[]T�M0\6�7S�T�M0[]O.PsSoQwM0\]\

Page 70: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � � �� � � � � ����� �� � � � � � � ���M0LUL S4'/P ��S�[]O�J�[]O7Y)S�b7J '!M0L���P , < � � . ��[]O�M0\]\ + )+J���_`�!"��!��2�q r su'�"���"�QS"�20"�A�iISoQ�J)��_�7S�b��:\ _ � S�TC��\ _���[ PwJ���_ � S���S�T�S�\ SNY +�SoQ�J)��_sM�P P%S%�n[�M0JK_N�)Pn[]O7Y0\ _�� S�TC��\ _��

, � � � � � � ���n���N� , ��� � 9 , � � � �

� � � ��U����� , ��� � ' []J��I�7S�T�M0[]O.PJ���_wT�M ��[]T�M0\=�7S�T�M0[]O.P SoQ�J)��_ �7S�b��:\ _�� S�TC��\ _�� .

�)� ������� ��� ��� � V��?J�� ! ��_!Q�M0T`[]\ +�SoQY'M0b0Y7_�J�L�M0O.PRQ�S�LnT�M0J�[ZS�O.P 3�[]O��0b�� _ PM1Es_nLUT`[]J�[�M0O��:b7O��.\ _s[ P%S�T�S�L �I�7[ PnT �n_nJ ' _ _nO �� M0O�� �� . � b7LnJ)��_nLUT�S�L�_ ) J)��_�r�n_nL �� ' �NM0O��n_�[��7_nO�J�[ ��_N� ' []J�� J)��_ ��L�PnJ�JoS�JZM0\ q r HN� S���S�T�S�\ SNY +ISoQ`J)��_�Q�S�\ H\ S4' []O7Yd�7S�b.�:\ _�� S�TC��\ _��&)r�7_nO S�JK_N�d��+�� ' %

� � � �!� � ���// r ���

� ��� � ���//

���� OO

��� � ����"����OO

� �����'��� V��?c*� �wS�J�[Z� _@J��.M0J�� S�T`T`b7J M0J�[��%[]J,+ SoQ�J��7[ P �0[�M%Y0LNM0T Q�S�\]\ S4'/PQUL�S�T J)��_ � + ��S�J���_ Pn[ P ���� � y e ) ':�7[Z����[ P �UbhPnJ J)��_u�7_���O�[]J�[ZS�O SoQ�J)��_ �.M0LUHT�S�O�[Z�n[]J +dSoQ � .

�)� ����� � � i�APV��LU'Vn9 �!��� � ' s�������QT"���)0'=���(�����(/��(�F�!�<�!),G�� "�;%�N'�2*��/�/])0/^Qv�<���3�($9 i 3�)0� �!"7�U� �' su�����#QS"���)*' '�2*��/�/(�pk%)0��'�� �!��� �!�!�<��/#;P"��#QS�($YQT�(����)*' ;P��"�Q 93"�����3"�)*� �!/:"�;G6)*�(I )*/N)*��$�&�'��($89 iZq r su��"���Qo"�;=�����g������QT"���)0'7���(�����(/��(�F�!�<�!),G��(/:9����$ 3v)0/N&���),� ���Oi�9��!��)*/NA�),G���/N�����B����/O�./O� �<����QT��� �1�

m�"��_�����p/��('�"���$g/#�!�<�!�(QS�(� ��9�����QS���#�d�����<� 9 iBMN���("����(Q ���?>�+ 91�!��� \�<��2���'(�"��E���!���!"�� � �' )*/ ��iF&���2`AP&�� �!"~� ; ��'(��"��v"<;n>�V ��"��!����\�<��2���'(�8"��E�����<�!"��� � �' y � � �' A � � �' V��n9^�������#�(;P"��#���!���()*�7�<��������2*/�'("�)*��'()*$��<�YMN��)0/7�!���(� )*$��(�F��)0���(/ ��

I:)0���z�����B����/O�.q r s�'("���"�QT"�2*"�A�iT"�;H������'�"�QT��20�C4

A V��,�be'V �� �!� � ����� � ��� � ����� r ���A )0�z������/��(��/��g"�;=j7�(����),�!)0"��Z>%�,�[+�VC� 8 �C46��9��#��'���2*2_�����<�:�!����;P"���Q�&�2*�� � �' y �� � = � 'A�)0G���/ �!���z$��('�"�QT�E"�/�),�!)*"�� "<; � � �' )0�F��" )0�!/�A e �5Vusn����$ AO� e�V�s������#� �#��/��E��'5s�!),G���2,i��HMN��)*/HQS������/=�����<�=������'("�QS��2*�C4dAPV��0�1e'V )0/H������/�)0��A�20�'�"�QS��20�C4Y��/#/�"6'�),s�<�!�($ �!"B�!���N$�"�&�9�20�N'�"�QT��2*�54�� ' � -."bI�CG��(�:96)0�p)0/p��"�� ���('���/#/!���#)*2,iY�!�#&��N�!������!��� QS��4%)*QS��2�$�"�QS��)0�g"<;I� � �' )*/]������/#&�Q "�;������<�H"�; ���� ����$g�!���<�H"�; � ' p )0� '����)*�z���#)*��'()*��20�793�g2��<��A��(���p����$��(��$(9}),;H;P"��:�z�(s ;P"���Q � y � ��� � $ < = � � � � $ �<

93"����

���� � �2� � $ < ����$�� ' " � � � � $ �<)0/:)*�Dq r 9��!���(�D�!���n/���QS�g)*/:���('��(/�/!�<��)*2,if�!�#&��g;P"��

�!���()*�:/�&�QM� � �' �+mE9�&��.�����g'�"�� G��(��/#��)*/:��"��d���('��(/�/!�<��)*2,if�!�#&���� 8 �(G����#������20��/#/:9�!���:���#/#�Nqpr�s�'("���"�QT"�2*"�A�i�"�;�� ' )*� �!���./#����/#�7"�;]j7�C����),�!)*"��SV��Lag����$S�����<��"�;

Page 71: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ��� � �������������� � ��������� � � � ��� � �� � � � � � �� � � � � �A V��,�be'V ���#�d�����`/���QS�<� ����$��(��$(9�/�&����E"�/#� � y � ��� � $ < = � � � � $ �<

� q r A � �� V)*/N)0�z���������(�����(2"<; � � �' 9��!���<�:)*/A V��,���5V �� � � �2� � $ < = � ' " � � � � $

�< y e�"

"��.I:)*/��S�!" ���(�����(/��(�F�N����� � � �' s�'("���"�QT"�20"�A�i '(2���/#/�"�; �D9 iv��'�2��</�/ �� ��� � $ < =�� � � � $ �<

/#&�' �������<� �� �� �2� � � q r ����$ � ' �� � � � � q r �BhdI��1i�;P�#"�Q /�)*��A�&�2��<��)0��)*�(/:9"����n'1��� /#)*QT��20if' ��"%"�/#� ��),�!/��(20;o9};P"��.�������#�Y20"%'���2*2,i � � � � �~q r )0QS��20)*�(/ � ' "� � � � ��q r ����$�9 i�A V��,���5V������� ���� � ��� � � q r ��/:I���2*2 �:MN����/!�<QS�n����A�&�QS�(� ���"�20$�/`;P"��`������/#)*��A�&�2����#)0��iD�<�B)0������),��i�9^9E��'���&�/����������#���!��� "��3�(�!�<��"�� � ' " )0/93"�&���$��($ �E"�)*� ��I:)0/��vI:),�!� ���(/��E��'(� ��" �����fQT�(�!�#)*' C $ < C r m�������'(�09"����fQv�1i� ���<� �� y � �������`)0������),��iD��/`I���2*2 �`MN�F&�/7I���"���2,iZ�����($ ��" QT"%$�),; i � )0� �����)0A��F93"�����"6"%$Z"�; �����g2*"�A �<��)0����QT)*'7��&���'(��&����(/�� � iD\ �(QSQS� V��0�b>T�������`�<�Fi/�&�' �f��&���'(��&����.I�7'����v����$ 3d� q r A ��Vp/�&�' � �!���<� � ' 3�� q r A ��� � � ��V�<��$

� � � � $�<= �� � 3 y e�"

A h./I�.I:)*2*2E���1G��`/����(�z)*���:��QS����� V��,����9F�!���`; ��'(��"�� �0g"�; �q r A ��V )*�f\]��QTQS�V��,�[> "���20iv' ������A��(/.����)*/:/�����'��n���1���:)0������),��i�9}����$Z���(��'��n��"��d���1�<�d�����n20"�A<s����),�!��QT)*'`��&���'C�!&��#��/:mEI:�����#�1��/d�!����/#����'��(/ �q r A < � � ����V:������9 iz�!���()*�N$��C��s��)0��)*"���/N)*�z�!���n93�(A�)*����)*��A "�;pk%��'C�!)*"��8V��LKT������'()*/#��20if�����gQv��4%)0Qv��2_$�"�QS��)*��/"�; � ' �^V �./�)0��A �� � � ' y e.9%�!����2��</#�N��I�"S)0$���� �!),�!)0��/��!�����D��2*/#"T)0QS��20i

�� � A � ��� � $ < = � ' 3.V y e�"

Xp&�� �� ��� � $ < y � ��� � $ < = � ' 3�m:��/ 93"���� � ��� � ����$ � ' 3 ���#�Z/#&����E"�/��($ �!" 9E�)*� qpr:9 /�"�)*/ �� �2� � $ < � ; �<�6)0��A �!���(/��ZQS"6$�),��'1�<��)*"���/�)*� ���()*A��F9E"�����"6"6$�/ "�;�!���v2*"�A �<��)0����QT)*'���&���'(��&����(/ �����<�Y$�"���"��Y)*� �!�(��/#��'(�:9p)0�Y)*/Y'(2*�����n�����<�Y�����(iQv���!' �v&��v�!"n$��(�����B�YA�20"�9���2�/#��'(��)*"�� 3 2*"6'1��20)ED(��$T)*� �!���(/��7���()*A��F9E"�����"%"6$�/:9/�&�' �f�����<� � ' 3d��q r A �2� � � � VC�pMN��)0/�!�����f/���"[I:/N�����<� �Z)*/'("���"�QT"�20"�A�&�"�/)*�Z�!��� q r s�'("�QS��2*�C4Z"<;GA V��,�be'V��!"f�S'�2��</�/`20"%'���2*2,i �#�����#��/��(� �!��$�9 i��S/���'C�!)0"���� ��� � $ < 9HI:�����#� �� �2� � � qprn����$ �� � �� ��� � � qpr(�z��� $�) ~3���#��� �Y������QT/ �� ��� � $ < �j7"�Q QS��4 A ���� VU9�����$f����)*/�/#��"bI:/N�!���<�N�����`���#/#�dq r su'�"���"�QS"�2*"�A�i "<;�APV��,�be'V�)0/)*��$�����$Z�:iF&��<2^�!" �!�����."<; � ' �

8 �546��962*�(� &�/ )*� G��(/#�!)0A �<����I:���<�p�!���:���!����/#;P"��#QS�($ )*� �!�(A��!��9�2*��'("������('(�!)0"���� ����$~)0��/g&���)0�!���#i ���<�#� �� � 93�('�"�QT�T&���$��(�n�!��)*/gA ��&�A��T�!������/#;P"���QS�<�!)0"��^�8 "���)*'(�:�����<� /�)0��'��N�����.A���&�A������!����/O;P"���QS�<��)*"���3 )0/p&���),� ���Oi�9 �!���:"��O�!��"�A�"�����2����"5�#��'(��)*"�� �� "�� �!" ��o)*/:�!������/O;P"���QT��$D)*� �!"T�!���n"��#����"�A�"�����2 ����"��#�('(��)*"�� �� �"�� �!" ��)9_I:)0��� ����/#�3�('(�B��" �!����/���QT� q r s�QT�(����)0'n"�����������9E���#/:m])*�8$�) ~3���#��� ��!�(��QT/ 3 ' " �� ' y �� �' �pMN���.)*QS��A��:"�;^�����.���!����/#;P"��#QS�($v)*� ����A�����9�2*�:'("������('(�!)0"��

Page 72: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � � �� � � � � ����� �� � � � � � � ����� &���$��(�d������A ��&�A��7���!����/#;P"��#Qv�<��)*"�� 3 )*�f�������3"�)0� ��� )*/NA�),G����z9 i

���� y 3�" ��y 3�" A �� ' � A �$)� < $�� " VNVA V��,�[>�V

y �� �' P �$)� �> A < $�� " = �<

$ �� " V T A /#��� A K��,�be'Vn9 A K��0���5V]����$�Xp�#"��3"�/�)0��)*"��gK��?+�VU9�����$g�����<�H"�;�������'�����$�)0$��<����-d)*A�A�/����20$z)*/��!���g�(��$�"�QT"��#����)*/#Q

�� � y 3 "���y 3 " A �� ' � Ao� < � ><$�� " VNVA V��,�bK'V

y � �> �� �' A < $�� " V "

MN�����#�(;P"��#�09�),;�I��$��('�"�QT�E"�/�� �!��� �!������/#;P"���QT��$n|��<�='("������('(��)*"���)0�g������E"�)0�F�"�;�G6)0�(I "�;�-.)0A�A�/]9�&���$�2*�(/H)0�F��".),�!/ &���),� ���Oi�����$g/��(20;�s���$��#"�)0�F� �����#�:9�I��"�9%� ��)0�

A ���� V � y �� �' A �$�V A ���� V ; � y �� � =�A �� � V �A V��,�1VhVAP������/#�8;P"���QY&�2����Z'1�<� ��2*/#"~9E�8$��($�&�'��($ $�)*�#��'(��20i ;P��"�Q Xp�#"��3"�/�)0��)*"�� K��La'VC�MN��)*/B������� A�)0G���/B�!���T$��(/�)*�#��$�)*� �!�(�����#�(�!�<�!)0"�� "�;����� �!�!�<��/#;P"��#QS�($ &���)0�!���#i'�"�������'C�!)*"�� �� � )*�f����)*/N�E"�)*� �:"�;G6)*�CI��

������������������� V��LU*� � _�\ _nJ �� �� PnJ M0O���Q�S�L�J)��_ A e �5VUH �.M0LUJuSoQ�A �� � V � .FXS�L�_ S �0_nL ) ' _@�NM0\]\�J���_���S�\ S�T�S�L �I�7[Z���:b7O��.\ _ �� ' []J)�@�.M0LUJ�[�M0\C� S�O�O _ �nJ�[ZS�O�� �� J)��_��!������/O;P"���QT��$z��"�20"�QT"�������)*'`9�&���$�20��M0O��2' _ �7_nO S�JK_�[]J ��+ ���.

�+ �( 1�����43���"+���'�]� � �32k�546$�������"��:2Z���43�$7* 3�$'�%��������z�!��)0/N/���'C�!)0"��ZI��g����"bG����!����;P"�2*2*"bI:)0��A����(/�&�2,��p��� ����� ��� V��0�be��'�]Q J)��_GS�LU[�Y0[]O�M0\7T�_nJ�LU[Z� ��[ P �.M0LUT�S�O�[Z� ) J���_nO1J���_rP:M0T�_

J��7[]O7Y�[ PwJ�LUb�_rQ�S�L��� .�)� ����� �m=)0��/#� �#��QS�����g�!����� 9Fi A V��,�1VhVU9��!���N;P"��#Q�&�2��d;P"�� �� �� )0/ �� �' A �$

� � � VC�h`20/�"�9 �!���`AO� e'V�su�����O��"<;!A �� � V ; � )0/=�#&�/O� �� � � � iT$��C����),�!)*"��(9F������QT"���)0'�),��i "�;�!���B���!����/O;P"���QT��$zQT�(����)*' ��z���(/�&�QT��/:�!���(�D)0�f�!�����:iF&����!)*"��A V��,�[+�V �� �� �� � y e�"� i Xp�#"��3"�/�)0��)*"��8V�� JvI�� ���1G�� �� ' y q r�� � AC� � �' VU9_I:)0����� � �' y � � � � � � ><$ < �m���"�Q ����)*/ ;P"���Q�&�2��B)0��)*/ '�20�1��� �!���<� � � �' $����E����$�/���"�20"�QT"�������)*'1�<2*20in"����.9F/�"I�������)*�g�!��� /�),�!&��<��)*"��g$��(/�'��#)*9E��$ )0�n���<�#�=K��0���?Kd"�;+c �7g�e "�;�' ���<)*�Y'("�QT��2*�54��(/

�� �!� � ����� � ��� � ����� r ���

Page 73: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � ��� ��� ��� � � � ��� ��� ����� ����� ��+� ���� � � � � ��� � � � �G<���#i6)*��A~��"�20"�QS"�������)0'1��2020i~I:),�!� ��� MN������� ),�f)*/v/���"bI:� �!�����f)0;B����������/O�'�"���"�QS"�2*"�A�i /#����'��(/ �� ' "�;��!���(/�� '�"�QT��20�C4%��/z���#� ��202.����),�!��$�)*QT����/#)*"����<2Z9"�;`�����8/���QT�D$�)0QS�(��/�)0"��(9 �!���(� �!���D9�&���$�2*� �� '("���/O�!��&�'(�!�($ "�&��T"�;7������Q"bG����Z�!��� ���<�!��QT�(�����Z/�����'(� "<; � '1���#��)0��/D� �����!&�����2B��"�20"�QS"�������)0'�/#����&�'5s�!&��#����y 4%��20)*'()0�!2,i�9 ����)*/�)0/�A�),G���� 9 i 9 i /��bi6)0��A �!���<� � /#��'C�!)*"���� � �!A �� V)*���D���()*A��F9E"�����"6"6$ "�; � � )*/g��"�2*"�QS"��#����)0' )0;:����$�"���2,i )0;N),�n��$�QT)0�!/g�820)0; ��� � �!A ,/.10.A � � �' C � � VNVSI:��)0' � )*/ ),�!/��(20;���"�2*"�QT"�������)*'ZI:)0�!� �#��/#�3�('(�z�!"~�������"�20"�QS"�������)0'�/#����&�'C�!&��#�`)0��$�&�'(��$v9 i �!����A e �5Vus������O���$ � � � "�;3�!���:�!�#)0G6)��<2�'�"��6s����'C�!)0"�� �$D"��z�!���n-.)02*9E���#��9�&���$�20� �� �MN��)0/.��"�2*"�QT"��#����)*'`/#�!�#&�'(��&����g)*/N�����/!��QT�z��/������z"����z$��(������$ 9 i �!���f"��E�����<�!"�� �� �� 9�/#)*��'(�z93"���� �����f)0��$�&�'(��$9 i �$ � � � ����$ �� � �.MN���Y/��('(��)*"�� �� � � � * 0 A �� V � �2� �

� )*/:�!��������"�2*"�QT"�������)*';P"������)*/N��"�2*"�QT"�������)*'d/#����&�'C�!&��#�n),;����$z"���2,i )0;),�NQv�<��/��1�<' �D��"�2*"�QT"�������)*'/��('(�!)0"�� ��)*� ��"z� ��"�2*"�QS"��#����)0'n/#��'(��)*"��_�g��� ���<�#�!)0'�&�2*���:9}�!��)*/7)0/`�!��� '���/�� ),;)0�:�<$�QS),�!/:� 2*),; �

,/.10.A � � �' C � � V�

//,/.10.A � � �' C � � V � ��� �

��� '

OO

�� �// ��' �� ��� �

� OO

/�&�' �Z�!�����

At�5V�� ����/�/#��/]�!"N�!��� i6&�"��!)0��� � ,/.10�AC� � �' C � � V�� ,/.10�AC� � �' C � � V � � A � � �' C �� V y

�� ' 9�������iF&�"��!)0��� �d93�()*��A �� � 9�����$A >�V�� )0/���"�20"�QT"�������)*' I:)0�!� �#��/��E��'C� �!"��!���f��"�2*"�QS"��#����)0'S/O�!��&�'(�!&����

)*��$�&�'��($D9 i �$ � � � ��d�('1��202=;P��"�Q�k%�('(�!)0"�� >%�LKf�����<� ,/.10.A � � �' C � � V`)*/��f'�20"�/��($�-d)*2*9E���O�B/�&�9�/����<'��"�; �� ' m '1�<2*2 ��� 6)� > � �� B "��#����"�A�"�����2p���#"��#��'C�!)*"���"�; �� ' ��"8),�1� " �v��"[I '�2��<)*Q�!�����N�!����QS���

�{p�,/.10�AC� � �' C � � V��#� ,/.10.A � � �' C � � V �� ��� ��

��� ' �� � �

> ��� 6)� > � �� B A < �� ' A < V�VO$��G��(��)0����/:�!����� i6�3"�������/#��/.�����($���$^�

Page 74: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � � �� � � � � ����� �� � � � � � � ���m�"��sAO�5VU9�I�n�����($8�!"S/���"bI �)A � A � � �' C �

� VNV � � A � � �' C �� VC�:\]�(� 3 ' 93�n�

2*"6'1��23/��('(�!)0"��Z"�;H�����B�!�#)0G6)���2_-.)02*9E���#��9�&���$�20�gq r:A � V�� ��S� MN�����zI��n���1G��

��AC� � �' 3�V y � �> ��� 6)� > � �� B A < � � �' 3 ' VO$.�

y � �> ��� 6)� > � �� B A � � �' A < 3 ' A < VNVNVt$��

y � �> � � �' A < 3 ' A < VNVO$��

93�('1��&�/��.�����d"��3�(�!�<��"�� � � �' y ���� =��' '�"�QTQ�&�����/pI:)0���SQ�&�20�!)0��2*)0'1�<��)*"��n9 i < 9

����$ � AC� � �' C �� V �@,/.10.A � � �' C � � V5� MN��)0/�/#��"bI:/�!����� � A � � �' C �

� V )0/�)0� G��<��)��<�F�9 i ��m��!����iF&�"���)*��� �d)*/N'(2*������2,i �� � �

8 �546�D'("�QT�8�!" A >�Vnp I� �#��QS����� �!���<�f�!���D;P"���Q�&�2���$��C����)0��A �l"���20i$����E����$�/Y"����DG6)*�z�����S����"��#�('(�!)0"�� ��� 6)� > � �� B � � &��n/�)0��'�� �!���S"��E�����<�!"�� � � �'$����E����$�/���"�20"�QT"�������)*'1�<2*20ig)0�1��9F/#"�$�"n�����`/#&�9�/#����'��(/ ,/.10�AC� � �' Vn9%����$v/#)*��'(��!��� QT�(�!�#)*' )*/)*��$����E����$���� � "�;.��9[�!��� /!��QT� �!��)0��A.)0/����&�� ;P"�� �!��� ���#"��#��'C�!)*"���/��� 6)� > � �� B � MN��)0/N/���"bI:/:�!����� ��9��<��$D/#" �� � )*/:��"�20"�QT"�������)*'`)0�����

�6 0/( #4:*6$7"#�5� �f���.�%����" ;1�]�54�4 � 7 $h�}����46�53��� ��35 ����8����)*/d/��('(�!)0"��8I��nI:)02*2]"�; ������&�/#�Y9��</�)*'g���#"��3�(�#��)*��/."�;p� i6�3�(��'("���"�QT"�2,s

"�A�i�m�;P"��:���z)0�F����"6$�&�'C�!)*"�� �!" �!��)0/��!"���)0'09�I������C;P���N�!"�c ���'e ����$�c �.e �� �C;P"�����I�� /#� �<�#��9:I�� /��(�z������;P"�2*20"bI:)*��A���"��!�<�!)0"���/v;P"��S�!��� QS��4%)*QS��2

$�"�QS��)*��/�"�;�!����$�"�&�9�2*��'�"�QS��20�C4 � ' AP/��(�Yj7�C����)0��)*"��fV��?a'V�q r' A � V y j7"�Q QS��4 A � � �' C �

����V

y{z �I� q r A � V p � ' " � �� � ��� q r |�q r' A � � � �!� V y j7"�Q QS��4 A � � �' C �

�� � ���

Vy{z �F$ �<

��q r A �� � � ����V,p � ' " �6$�<� q r |

�q r A ��� � �!� V y j7"�Q QS��4 A � � �' C � � �

����V

y{z �}$ < ��q r A �2� � �!��V p �� � A �}$ < V�� q r | �!����q r su/�����'(��/H93�()*��Ad&���$��(��/O�!"6"%$Y;P"�� ������yp&�'(2*)0$��1���gQT�(�!�#)*' C $ < C r "���� �<��$�!���������#QS),�!)*���nQT�(����)0'��"��Y�������9E���#/:9 �<$���������$Y��"`�!��������!�<93"�20)*'p/O�!��&�'(�!&����I:)0���gI���)0A�� �!/ z � � "1"1" � � |F� 8 "<�!)*'(�p�!���<� I���QS�1iB$��#"��g����� )*��$��54 �d"�;6�!���(/��/����<'���/�9B/�)0��'�� �!���Ci ��2027'�"�)0��'�)0$��0p )0��$��(��$(9B)0� � 20"�A ���#)0�!��QS)0'D/#)*��A�&�2����#)0��i�!���T$��C;P"���QS�<�!)0"��@��$ < )*/g9E"�&���$��($(9 �<��$����n)0������),��i��!���S'("���$�),�!)*"���� �� �&)*QT��2*)0��/T�!���<�z��" �()*A��(� G��<2*&��(/f"�; � ' G��<��)*/#�(97����$ ����)*/fA�),G��(/f�:iF&�)0G<��20����'(�"�;Y����� '�"��#���(/��E"���$�)0��A ��"���QT/z�C4���'(��20i ��/z)0� \]�(QSQS� >%�?K%� " � )*$��(�F��)0; i�!���(/���;P&���'(�!)0"�����2/�����'��(/7�!"v������/����1�1G��(/n"�;p������)0�`20"%'���2 /���'C�!)0"���/��B����I:���<�

Page 75: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � ���� � � � ��� � � ��� � � ��� � �� � � ����� � � ��� � � � �  ;P"�2*20"bI:/:9[I�N�<���A�"�)*��A:�!"`$��(������/������1G���/ �T����$���"<;}/���'C�!)0"���/="<; � �#� �<��$ ��� � �#� �#��/#�3�('(�!),G��(20in"�� ��� � I:),�!�n���������"��E���O��in�����<��!���q rts�'("���"�QT"�2*"�A�iq r���� A � � �' VN"�;�APV��0�1e'V�)*$��(�F��)0���(/N�!"S�����g�Fi6�E���#'�"���"�QS"�20"�A�i�� � A � � � ��R� � ��V�"�;�!���B/#���1��; QS��� � � ����R� � �7�HMN��)*/N2*�<��������)0/�!�����z�C4%��20)*'�),�!2,iSA�)0G��(�z)*� �!�(��QT/N"�;�f/�� i s�/�'(�!���E���n/������<;�"bG������!��� D��(��"Z/��C� � ' "<; 0 . A � ' V79 i��z/#)*QT��2*�Y&�/��T"�;�!����/#�3�('(�!����2]/���iF&�����'(��"�;�!����$�"�&�9�2*�B'("�QT��2*�54_�

�6 /= ��� ���$ �/"��]�5�R�#",��"+* �5$ ���# �=�5����" ��2 �546$��:4+$h��9�$ �} �:��'���2*2�!������!���p�����!��9E"�20)*'=/O�!�#&�'(��&���� "�� �nI:),�!�g��$��<���!�($n-d���#QS),�!)��<�`��9E��� QS�C�!�#)*' QT�1����/�!�����������.��"�2*"�QT"��#����)*'9�&���$�20� �f"�� �!$ & ����/�g���<��&��!��2��546�!����/�)*"��v�!"Y��2*2��� � pH�����:��"�2*"�QS"��#����)0'/��('(��)*"���/ �<� ��/�)0��A�&�2*��� �E"�)*� � �<���N�!���:��"�2*"�QT"�������)*'/��('(�!)0"���/N"�&%�!/�)0$��`�����B/�)0��A�&�2*����),��i I:��)*' �Z���#�793"�&���$��($zI:),�!�f�#��/��E��'C�N�!"������QS�C�!�#)*'�� � iZ���D��9�&�/��g"�; 2*����A�&��<A��09�;P"�� � ���������D"��E���Z/��(�.2*�C� � C��Z9E��!���Y/��(��"<;���"�2*"�QT"��#����)*'g/��('(��)*"���/`"�; �!����9�&���$�20� � )0� �n�3��� "��!���(�`I�"���$�/�9I��$��(��"����n9 i �D�!����/����1�<;="�;=20"%'���2_��"�2*"�QT"��#����)*'`/���'C�!)0"���/:"�; � A �546�!����$���$"bG����:�!���g��&���'(��&����(/`�</.�<93"bG���VC�

8 �546��9d2*�(�v&�/ $��C������pZ;P"�� ��� "��3�(� /��C� � ��� � '�"��F�!��)*��)*��A ��"/�)0��A�&�2*���H�E"�)0�F�:9�20�(�� C��g9E������/#�(�p"�; ���� su��"�20"�QS"�������)0'p/��('(�!)0"���/ "<; ��� � � �T��u; � '("�� � ��)0��/.�54���'(��20iz"����g/�)0��A�&�2*���N�E"�)*� � ��� � & A ����$8$�"%�(/.��"<�.'("�� � ��)0��!��� )0������),��i�VU9^�!���(� 20�(��� C��893������� /��(�g"�; �� � s�QT���#"�QT"�������)*'Y/#��'C�!)*"���/ � $ <"�; ��� � �8� /�&�' �z�!����� � 9E� �� � s�QT���#"�QT"�������)*'`)0� � I:)0���f"���2,i "����B/#)*QT��2*��3"�2*����� ��� 9]�<��$ /�&�' � �����<�B),�!/`�#��/#)*$�&�� )0�8�!��)*/`�E"�)0�F�`93�Y'�"�� � �<)*���($ )*�8�����/�&�9�/�����'(� � A K .��hA � ��� V�VC� mH)*����2020i09 ),; � '("�� � ��)0��/T�����Z)*������)0��i AP9�&��S��""��!������/�)0��A�&�2*���B�3"�)*� �!/�Vn9 �!���(��2*�C� � C���93� �����S/#�(�n"�;N�<2*2 ���� suQS�(��"�QT"�������)*'/��('(�!)0"���/ � $ < "�; �2� � � �RI:)0�����z$�"�&�9�2*� �E"�2*� �<�g)0������),��i�9����$���"8"<�!���(��3"�2*��/�)0� � � 8 "��!)0'�� �!�����Y/#)*��'(�S)0�������S'("%"���$�)0���<�!� � y � � < "�; ��� � �����/��('(�!)0"�� $ < ����/T� $�"�&�9�20�Z�E"�20�f�<� )*�%����)0��i09 ����)*/ �<QS"�&��F��/ �!" /!�1i~�����<� �)*/`� �� � s���"�20"�QT"�������)*'�/��('(�!)0"�� "�; �{)0� � � "��#)0�!)0��A � y�� � � H� � H� )*�8�������"�20"�QS"�������)0'�9���/�)0/�AO���?K�e�V=�<� )0������),��i�9�),� )0/=/#��)*2026������/!�<QS�����)*��A`�!"B/��bin�!������ H� 93��� ��"�20"�QT"�������)*':;P&���'(��)*"��z)0� � ;P"��N��202 A )0�f�����O�!)*'(&�2��<�9E"�&���$��($8���)*������)0��i.VC�p�u�:)0/:�1��/Oi �!" ' ���(' �z�����<�:�!��)*/�I�bifI���$��(������$8�T/#���1�<;t�

" �g)0� �!��"6$�&�'(�B/�"�QT�B;P&��#�������N��"�� �<��)*"�� p /��C� �0 y�� � = C < C r "����1m��!�����;P"�� 1�� z e �0|vI�� $��(��"����v9 i �0 �q r A � � � � ��V7�!���v/�����'��S"�;N/��('(��)*"���/ � "�; � � � ��� /�&�' �Z�!���<� �0 � � ��� �q r �

� �����'��� V��,��� � ! �7[ P '!M +"' _uS�O�\ +�\ S%S%P%_nO J���_u� S�O��0[]J�[ZS�O,S�O J���_��n_nH�.M �%[ZS�LsSoQ � M0J�[]O ��O�[]J,+ ' []J)� L�_ PK��_ �nJ�JoS �q r�)�O�M0T�_n\ +)J��.M0J 0 � � � �n_ []O �q rw[]OM�O _n[�Y �.�nS�L���S%S:�`SoQG[]O ��O�[]J,+ . �nJ�[ PC[]T`T�_N�0[�M0JK_kJ)�.M0JfJ���_nL�_�_���[ PnJ M0O []O �n\ b'Pn[ZS�O

Page 76: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � � �� � � � � ����� �� � � � � � � ���SoQ �0_ �nJKS�L PK�.M7� _ PA V��,�ba'V �q r A � � � ����V � � �0 �q r A � � � ����V "

� ���)� � V��0�b>�� ! ��_ P%_Na:b�_nO � _� � � �0 �q r A ��V ������� �q r A � � � �!��VA V��,�[J�V

[ P M1L�_ P%S�\ b J�[ZS�O�SoQ ��.�)� ����� ���u�N)0/��F��"bI:�f�!�������1I�biS;P��"�Q �����`/#)*��A�&�2����#)0�!)0��/�9��!���7/#�:iF&��(��'��

"�;3&�/�&��<23qprts�/��('(��)*"���/pI:),�!� ���(/��E��'(���!"gyp&�'�20)*$������TQS�C�!��)0'NA�)0G���/ ������/#"�2*&%�!)*"��"�;=������/������<;p"�;=��"�20"�QS"�������)0'7/��('(��)*"���/(�MN���(���C;P"����}9}I��Y"���20iv�����($8�!"T/���"bI�!�����sA V��,�[J�V)0/:� �#��/#"�2*&���)*"��Z�<�N������/�)0��A�&�2*����),�!)*�(/��

"���/#)*$��(�Y���#/#� ��� � & � "��v����/#������"bG�� �����<��A V��,�[J�V�)*/Y20"%'���2*2,i �C4���'C�)*� �0 �q r A ��VC�n\]�(� �R9E�Y����)0G6)*��2*)FD���$D)*� �uA � � � Vd9 i��!��� 2*"6'1��2/��('(�!)0"���/ z � �� |A�)0G���� )0� AO��� >�J0VC� h./�I��7���1G��B/#�����f)0� AO��� >�c�Vn96)*�S����)*/ �!�#)0G6)���20)*/��<�!)0"�� &��v��" ��3�(�#��&���9����!)*"����!���#Q � y 0 ?2143 AZ� � � VO$ < � < 9^I:)0�!��� � � y A

' � � � � �� V � >79]����$��������������93"�2*)*' I���)0A�� �!/ ���#� A�),G�����9Fi � � y - A

' � � V�� c - A' � � V e � � i $��(����)0�!)0"��(9

��� i ��"�20"�QT"�������)*'/#��'C�!)*"�� � "�;�� � '1�<�S9E�NA�)0G����S��/ �B/�&�Q � � � � � � �� 9�I:���(���� � � �����N��"�2*"�QT"��#����)*' ;P&���'C�!)0"���/ $��C�����($S)0� ��A ��� � Vn9�)*� �����O�!)0'�&�2*���=9E"�&���$���$9 i �f'�"���/O� ��� � ,~� MN��)0/g)0QS��2*)*�(/.�����<� � � q r A � Vn9]/�"z�!���<� � � �q r A ��V`),;����$�"���2,i�)0; � " � � q r �1�:��'���2*2H�!���<�gq r )0/g$��(�����($ I:),�!� ���(/��E��'(�g�!"f�������������93"�2*)*'d/#����&�'C�!&��#� z � � |h9�����$ �!���<������B�3�(�#��&���9����!)*"��v�!�(��Q )*� �Y9E�����1G���/��/ �dA 0 � � ��� V�I:)0��� �

�e.9�I:���(��� 0 y C < � � � C �pMN��)0/d)0QS��2*)*�(/������<�

� =?>�@ (�� ACB C � � C r .@, � � � ( ��� � C 06� � ��� � �� C r = , � � ���� �)( � � C 06� � � �� C r.@, � � � �)( ��� � C 0�� � � �(C r =8, � � � ���� ��( � � C 0�� � � � ( � C r "� iD-di6�E"��!���(/�)0/Y���?>�c.9 � � � eT;P"��`��202�(u� z 0 � = � "1" " 0h|F�N�u�.�������D;P"�2*20"[I:/�!�����g����)*/B2*��/#�g�54�������/#/�)0"���)0/�����)0���09]I:��)*' � ����"bG���/��!���<�n��� i ��"�2*"�QT"�������)*'/��('(�!)0"���"�;��o)*/d)*� �q r �C�B�D�!���n"��!���(�`���<��$(9_),; �S/#��'C�!)*"�� � y � � � � � � �� "�;� )0/.QT���#"�QT"�������)*'B)*� ��� 9}�!���(�8�!���(���n)*/d�<�.2*�1�</#�."���� u� z � "1"1" 07|Y/�&�' ��!����� � � � ����/7�v�3"�2*�Y)0� ��� �gk%&����3"�/�� @� z � "1" " 0 � |hpN������� C � � � � �� C��{� � 0 9����$ � )0/ '(2*������2,i���"�� )0�vq r �pk%&����E"�/��d��"bI �� z 0 � =�� "1"1" 0h|hp�������v��A ��)0�9 i -di6�E"��!����/�)0/����?>�cSI�� ���1G���� � � xy e.9_����$��������#�(;P"��#� C � " � � � � �� C�� 0 � r ��� 9����$Z/�" � " � �� q r ��-.����'��09�������/���'C�!)0"���/d"�; �q r A �uA ��� �� V ��V)0�f�!�������(�����(2"�; �� � �<��� �C4���'C�!20iD�!��� 20"%'���2=��"�2*"�QT"�������)*'n/���'C�!)0"���/�"�; �19 )*� "<�!���(��I�"��#$�/�!����20"%'���2_/#��'(��)*"���/d"<; ��pMN��)*/N/#��"bI:/`20"%'���2_�54��<'(�!����/�/.)*� �qpr�A ��V5�

Page 77: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � ���� � � � ��� � � ��� � � ��� � �� � � ����� � � ��� � � � � �MN���f���546���!��)0��A8I��f/���"bI )*/g�!����� )*� ��A ��� � VB����� '("�QS��2*�C4 APV��0�bJ�Vg)0/

�C4���'C�`��� �qpr%A � � � � ��VUpp2*�(� �6$�<� �qpr:A �uA ��� � V � � � �8� V93���<�D�<��9�),�!�!�<�#i

/��('(�!)0"��(m�;P"�� � � e /�& �S'()*�(�F��20iv/�QS��2*2EI�BI:)*/#�f�!" ����$ �I� �qpr�A �uA ��� �� V ��V/�&�' �Z�!�����

A V��,�bc'V �� � � y �F$�<

"��n'1���D/�&����3"�/#�YI:)0����"�&��.���(/#����)*'C�!)0��AvA��(��������2*),��i �!���<� � y � ��� 9EI:),�!� ���

;P&���'C�!)*"���$��C������$ )0� �uA � � � VC�8k%)*��'(� ��� )0/��D��"�2*"�QT"��#����)*' /#��'C�!)*"��~"�; �19

/�"�2,G6)*��A�A V��,�bc'V:93"�)02*/d$�"bI:���!" /#"�20G6)0��Av�!����&�/�&���2p ���&�' �Fi sK�d)0��QS��������i6&���s�!)0"��f"��z�!����$�)0/��

A V��,�bU'V � 3�

�<y �

I:)0��� � y 3 � �� � �q r A �uA � � � V � VC�Hy 4���'C�!���(/�/ ���1�<� �7/�)*��A�&�2��<��)0��in�<� �`����)0����3"�)*� �:)*/NA�),G��(�Z9 if�����B;P"�2*20"[I:)0��A�'(2���)0Q�p

� ��� � V��,�bK*� ��S�L ����q r J)��_)_Na:b�M0J�[ZS�O � �5. � ���O�.M�P M1P%S�\ b J�[ZS�O�3 Pnb����J��.M0J 3�0 � � � � � qpr)Q�S�L�M0O*+ �

�e�. �+S�L � Pnb����,J)�.M0J � 0 � � qpr ' []J)�

e� �

�&) � �5. � ��� �.M�P M)P%S�\ b J�[ZS�OG3�Pnb����uJ��.M0J 3�0 � � � � � qpr .

�)� ����� ��MN���:����/O� /#�!�<�!�(QS�(�F� )0/p��/#�!��9�20)*/�����$ '�"�QY9�)*��)0��A7�!���N&�/�&��<2�����/ts"�2*&%�!)*"��Y"�;}�!���d ���&�' � i so�:)*��QS����� ��iF&��<�!)0"���;P"�� ��� q r 9 i���� q r � � s ;P&���'C�!)*"��3f����$z��������/O�!)*QS�<��)*"���A >%�0�b>�VC�

MN���Z/��('�"���$ "����z)*/ � $�)0���('(�T'�"���/��:iF&��(��'��D"�;BXp�#"��3"�/�)0��)*"�� � �LK "�;�c �3e ��7���BQS)0A�� �N��20/�" ���#"bG���)0�N9 iv$�)*�#��'(�:�(/#��)*QS�<�!)0"���/"��z�����B/�"�2*&���)*"�� A�)0G��(�z9Fi�!���n ���&�' �Fiz�<���#����2�93�</d)0��c ��e �

8 "bI 20�(� &�/ '�"�QT�:9���' � �!"g�C4���'C�!���(/�/N�����/�)0��A�&�2*����),��iY)0�v�B����),�!�:�E"�)*� ��p;P"����!��� �#��A�&�2����g'1��/#� � z � "1" " 0 � | I�v���1G�� ��� q r ����$ C � " 3 � �� C:.C 3 C 0 � � ��� 9_/#"vI�Y'1��� ������20iZ$�)0����'C�!2,if�!���Y����/#�7/#� ���!��QT��� �B"<; �!���Y'�2��<)*Qum};P"���!���/�)*��A�&�2��<�='1�</�� �� z 0 � =D� "1" " 0h|:9 i�$��C����)0��)*"�� C � " � �

�� $ �<C � C � C 0 � � � �

)*/�)0� q r I:)0��� �e�9 i -:i%�E"�������/#)*/f���?>�c.9 �������#�(;P"��#� I�z'1�<� ������2,i �����

/��('�"���$Y/#� ���!��QT��� �="�;������'(2���)0QD�6�:��QS�����7�����<�H)*���!��)0/H'���/����(G���� �:/#�!�#"���A��(�'�"���$�)0��)*"��z�!���(�8�!���Y��/#/�&�QT����)*"�����0 � � q r "�; �����g'�2��<)*QR��"�2*$�/(�:-."bI�CG��(�:9I��I:)*2*2 ������$�������'(2���)0Q )*�n)0�!/;P&�2*2FA��(��������2*),��iB�!"./���"bI �C4���'C�!���(/�/ �<�H)*������)0��i��

" �B��"bI '("�QS�.�!" �C4���'C�!���(/�/d�<�N)0������),��i����:��'���2*2}�!������� �� �& )0QS��2*)*�(/ � ')*/g��� )*/�"�QS"��#����)0/�Q@q r A � � & V�� q r A ��� & V`;P"�� �d� z e �0|F�vMN�������C;P"����}9H�����/��('(�!)0"���/�<��)0������),��i "�;^�!���7/������1G���/ �q r A � � & V�����$fq r A � � & V '�"�)0��'�)0$����pmH)*��/O��9I�Y'�"���/#)*$��(�7�C4���'C�!���(/�/B)0� �0 �q r A � V y �0�q r A � VnpN9 iZ�!����$��(����),�!)0"��8"�; �+9E)0��/2*"6'1��2_/���'C�!)0"���/d�����B��������"�2*"�QS"��#����)0'72*)0���1���'�"�Q�9�)*���<��)*"���/ � y � � � H� � H� �m=)*�#/#� I���' ����' �g�!�����H������/#�/��('(��)*"���/HG����#)0; i 0 � � � � qpr:p /�)0��'�� C � H� C .@, �<��$

Page 78: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � � �� � � � � ����� �� � � � � � � ���C � H� C � 0 � � �� I:)0�!� H� �

e 9 iz-:i6�3"�������/#)*/B���?>�c.9%I��/��(�B�!���<� 0 � � � H� � H� �qpr��,�7� �����8"<�!���(�S���<��$(9�),;`I��8���1G��8� /#��'(��)*"�� � y � � � H� � H� )0� ��������(�����(2�"�; �� � 9 �������~;P"��n��202 ������v;P&���'(�!)0"�� � H� )*/Y�()0�������n��"�2*"�QS"��#����)0'T"��QS�(��"�QT"��#����)*'}mF9�&���),; 0 � � � ��q r 96�������f),�)0QS��2*)*�(/ �!����� � H� )0/��"�2*"�QT"�������)*';P"��:��202 3� MN��)0/d����"bG��(/.�54��<'(�!����/�/.)*�f�!��������/#�:������QZ�

8 �546��I��.'("�QT���!"B�!���N������Q q r A � � � � ��VUp=;P"�� �B/��('(��)*"�� �F$�<� q r A�� $�uA K V � � � �@� VdI�� /��1�<��' � ��� 0<qpr�A � $ �uA K V ��Vd/�&�' � �!���<� �� � � y �E�

k%&����E"�/#� � y � � H� ����$ � y 3 � H� ��A ��)0�^����� �!��� '�"6"��#$�)*�����!� � y � � < y� . � � "�� ��A e � � K VgI� ����$�AP;P"���/#)*QT��2*)0'�),��i I� ��"%"�� K y �D�<��$~I:��"����� y �uA e � � K V�VUp� = C � C r � r � � l C $ �#C r y�� �

� = C � C r 0�� r � C $ < C r � %

� = C 3 C r � r � � r C $ �#C r y�� �� = C 3 C r 0�� r � r � C $ < C r � % "

�7�Z������"��!���(�N������$ 9��!���n ���&�' � i so�:)*�(Qv�<���D��iF&��<�!)0"��� 3�

�<y �

�!������/#;P"���QT/N)*� �!"� 3�

�� y � �

�� r"

����$zI��'("���'�20&�$��g������20i6)*��AS 2*��)*Q V��,�bK��!" � � ��� r �

" �g'����D��2*/#"T/#��"bI �!���g'("�&�� �!�(�����<�#�d"�;=\ �(QSQS��V��,�[>Y;P"�� �p� ���)� � V��0��V�� ! ��_`� S�TC��\ _��

A V��?>�e'V � � � �0 �q r A ��� � �!� V ������� q r A ��� � ��� V[ P M1L�_ P%S�\ b J�[ZS�O�SoQ � .

�)� ����� ��h.I�1i8;P�#"�Q �!����/#)*��A�&�2����#)0��)*��/N����)*/.)*/7�<2*/�"SA�)0G���� 9 iD'�2��</�/�)0'1��2��202*)*�%�!)*'��!����"��Oi�9^�!�������C;P"�����I���;P"6'�&�/B"�&��B�<������� �!)0"�� "���� ���()*A��F9E"�����"6"6$�"�;� /�)*��A�&�2��<���3"�)*� �1�

\]�(�`&�/`���#/#�`�������<�`�����Y'���/���"<; �S/#)*��A�&�2����#)0��iZ�<�`�T����)0�!�n�3"�)*� � � � � & �h 2*"6'1��2�/#��'C�!)*"��v"�; � )*/p�!���(�v9 i $��C����)0��)*"��T��/��('(�!)0"�� � y � � � � � � �� $ < /�&�' ��!����� � � � )*/ ��"�20"�QT"�������)*'=;P"���d� z � " "1" 0 � |�����$n����/H�.�E"�2*� "�;�"���$��(�=���HQT"�/O�"����p)0� ��� ;P"�� � z 0 � =�� "1" " 0h|F�Hm��#"�Q ����� ;P"���Q "�;F�!��� �����!��9E"�20)*'/#�!�#&�'(��&����}9)0��;P"�2*20"[I:/ �!������C � � � � �� C � ��AO�5Vp;P"�� �� z � "1" " 0 � |n����$ C � � � � �� C � �dA 0 � � � � ( � V;P"�� � z 0 � = � "1"1" 0h|F� � i -di6�E"��!���(/�)0/���� >�c~I�� ���1G�� � � �

e.9.���F&�/� � qpr%A �2� � � ��V5�`�7� �!��� "��������B������$(9]),;� /#��'C�!)*"�� � y � � � � � � �� $ < "�;

Page 79: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � ���� � � � ��� � � ��� � � ��� � �� � � ����� � � ��� � � � � � ��� � �@�o/!���!)*/O����/ �� � � y e.9E9�&�� � ��~q r A ��� � �@��VN�!���(� ��)0������� � � � ���</B��3"�2*�.;P"���/�"�QT� d� z � " "1" 0 � |g"�� � � � ����/:���z�<��2*�1�</#�N$�"�&�9�2*�`�3"�20�`;P"���/#"�QT��� z 0 � = � "1"1" 0h|h9p����$~�!���(���(;P"���� � )0/Y��"�� �82*"6'1��2 /#��'(��)*"�� "<; �7�DMN��)0//���"bI:/d�C4���'C�!���(/�/`)0�f�!���B���#/#�:�!�(��QZ�

"���/#)*$��(�H��"[I��C4���'C�!���(/�/ �������� /��('�"���$g�!�(��Q )0� �uA ��� � Vnp]���(��� I� ���(��$�!"n/�"�2,G�� A V��,�bU'VU9F;P"����@� q r I:)0�!� �!���`/�"�2*&���)*"��O3 )0�vq r )*� �!���.����A�&�2���� '���/��}m����$ ;P"�� � /#&�' � �!���<� ��0 � � qpr`I:)0�����!��� /#"�2*&%�!)*"�� 3Z/�&�' � �!����� 3 0 � � qpr)*�f�!���g/#)*��A�&�2����'1��/#��� � "����Z;P"�202*"bI ;P��"�QR 2���)0QoV��0�bK%�

MN���(���g��"bI ���(Qv��)0��/��!"T/���"[I �C4���'(������/#/7�<�:)0������),��i�p ����)*/:)0/N$�"�����/�)0Q s)*2*����2,iT��" �!����'1�</��g"�; ��

�6 /= �( d� � 7 $h�����#46�53��� ��35 � ��"�* q r � ���#46�53��� ��35 � " �p'1����&�/#� �!������(/�&�2,�!/:"�;�!����2��</#�:/��('(��)*"��Z)*�f"��#$����N��"T$���$�&�'(�g�����B;P"�2*20"bI:)*��A�p

�)� ������� ��� ��� � V��0�b+�� ! ��_ ��L�PnJ�q r HN� S���S�T�S�\ SNY + �� ' y q r�� � A � � �' VXSoQ� �5. ��� �)[ P�[ P%S�T�S�L �I�7[Z��JKS�J���_ � + ��_nL�� S���S�T�S�\ SNY + � � A � � � ���� � ��V�.

�)� ����� � � iZ\]��QTQS��/NV��,�[> ����$ZV��0��V�9�� ' $��C�����(/7� QS"�������)0/�Qo"�; �#��/�"�s2*&���)*"���/

A V��?>%�5V �q r A � � � �!��V � ���//q r A ��� � ��� V

�0 �q r A � V � � �//

���� OO

�0 �q r A ��� � ����V����OO

� � ���//

?�

OO

� ?�OO

MN�����#�(;P"��#�09p9 i A������(�!��2 �!����"��Oi�9=����� � i6�3�(��'�"���"�QT"�2*"�A<i "�;N�!���S/������<;:QS���� � � ���� � � )0$���� �!),����/:�!"T�!���g'�"���"�QT"�2*"�A<i "�;H�!���n/�)*��A�2*�B'("�QS��2*�C4z;P"���QT��$Z9Fi�!����$�"�&�9�2*�B'("�QT��2*�54 � �' p

�q r A � � � ����V � � �//q r:A �2� � ����V

�0 �qpr�A ��V � ���//

���� OO

�0 �q r:A �2� � �!��V "����OO

A V��?>�>�V

"��d/���"[I �!���<� �����d����/#��'�"���"�QT"�2*"�A<iY"�;3�!���d/�)0��A�20�N'�"�QT��2*�54 "�;3�!��)0/ $�"�&�9�20�'�"�QT��20�C4�)*/ )*/#"�QT"�������)*'S��"��!��� ����/#�T'("���"�QT"�2*"�A�i�"�;:�!���f/#)*��A�20� '�"�QS��20�C4

Page 80: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � � �� � � � � ����� �� � � � � � � �����/�/#"%'()��<����$f�!" �!���g$�"�&�9�20�B'�"�QT��2*�54 � ' p

�q r A � � � �!� V � � �//q r A �2� � ����V

�qpr�A ��V � � �//

�� � OO

�qpr�A ��� � ����V "����OO

A V��?>�K'V

"���$��C�����n� Qv���

� p � � A�� ' V �#� � � A�� �' V��/N;P"�2*20"bI:/:p �#�����#��/��(� �7� '�"���"�QS"�2*"�A�iS'�2*��/�/N"<; � � A�� ' VN9 iz� '("�&���20�

A���$�< �6$ < V�� �q r A � � � ����V 9 �q r A �2� � �!��V

����$S&�/��`�����`)0��'�20&�/�)0"��IA V��,�ba'V=�!"nQv�<�v)0��)*� ��"g�����`'("���"�QT"�2*"�A�i '�2*��/�/ ���(�����5s/��(�F����$z9 iv�����7/!�<QS�7'("�&���20�)A�� �.V )*� � � A � �' VC� MN��)*/�)0/I�(2*23$��(������$(9�/#)*��'(�)0;�A���$

�<= �� � � �%$ < =�� ' �#V�)*/:� '�"�&���2*��)0� � � A�� ' VN�#�����#��/#��� �!)0��AS�����n/���QT�

'�2*��/�/d��/ A���$�< �6$ < Vn9};P"��k��� �q r A ��Vn9��������D)*�z�����O�!)*'(&�2��<�k�I� �0 �q r A ��VU93�<��$

/�" �!���z��I�"�'�"�&���2*��/T���#�f'�"���"�QS"�2*"�A�&�"�&�/Y)0� � � A � �' V���/ I���2*2 ��MN��)0/T��2*/#"/���"bI:/:�!����� � )0/d)0���#��'C�!),G����

" � "���20i �����($ ��" ����"bG�� /#&��R�#�('(��)0G6)0��i�p /�&����3"�/�� I� ���1G�� � '("�&���20�A���$

�< �6$ < V � �q r A � � � � ��V 9 �0 �q r A ��� � � ��VD�#�����#��/��(� �!)*��A � '�2��</�/8)0�� � A�� �' V5� �u�f)*/S'�20�1���#20i /�& �S'()*�(�F�f��"~���#"[G��8�!���<� �!��)*/v'(2���/#/v'���� 93�8�����6s���(/���� ����$ 9 i ��'�"�&���2*�DG<����)*/���)*��A )*� � ����)0A��F93"��#��"6"%$ "�;�)*�%����)0��i�� k6)*��'(�� ' )*/n���~)*/#"�QT"�������)*/�Q@�<�Y)0������),��i�9I� '����~��&%� A �#��/O�!��)0'(��)*��Az�!"8�8/�QS��2*20�������)0A��F93"�����"6"%$ "�;.)*�%����)0��i�)0;.����'(��/#/!���Oi�V1� y ��� �' A��%$ < VC� MN��)*/ )*/�������� �/��('(�!)0"���)*� �0 �q r A � Vn9 ����$ �!���T'("�&���20�uA���$

�<� ���� � �6$ < � � ' �#V`)0/B'�"���"�QS"<s

2*"�A�&�"�&�/���"�A���$�< �%$ < V�)*� � � A�� �' V5� � iz$��(����)0�!)0"��(9�������AO� e�V�su�����#Q{"�;H�!��)0/

'�"�&���2*�YG<����)*/�����/B�<�`)*������)0��i��7MN��� /!�<QS�Y����)*��A )*/d�!��&��Y;P"��.����� A e �5Vus������O��993�('1��&�/�� � ' A���$

�<� �� � �#V y � �� � A��%$ < � � ' ��V y en������� )*������)0��iT����$ � ' )*/����

)*/#"�QS"�������)0/�QR�������#����MN��)*/.����)*/#����/7���������#"%"<; "�; �!��������"��E"�/�),�!)0"��(9};P"��.�����q r s�'("���"�QT"�20"�A�iz"�;CA V��0�be�Vd)*/`9Fi�$��(����)0�!)0"��8����� '�"���"�QS"�2*"�A�iZ"�; ����� /�)0��A�2*�'�"�QT��20�C4z�</�/�"6'�)*�<�!�($f�!" � ' �

�6 /= /( 1s4+$�� 7 $7�0�%�5�� w� �+�(9�$3 ���~�!��� �54%��2*)0'�)0�n)*$���� �!),��'1�<��)*"���"�;N������ i%�E���#'�"���"�QS"�2*"�A�i09p�!��� ;P"�202*"bI:)*��A8��"���)*"���/�I:)*2*2�93�f"<;.QY&�' � )0QS�E"��O� ����'(����d�('1��202�����<��AP&�� �!"vI���$�A�� ����"6$�&�'C�B9 i�$ < V � ' )*/`� QS�(��"�QT"�������)*'n/���'C�!)0"��"�; � * 0 A ��V"bG��(� ��� �5�

������������������� V��,�ba*�*�+S�L�� � �� $ �& )�J)��_�P%_nJ`SoQ���_nL�S%P@SoQ 0 . A � ' Vu[ P�NM0\]\ _N�1J)��_�/#�3�('(�!����2 /��C�1� S�LUL�_ PK��S�O��0[]O7Y�JKSs�*. � _ �7_nO S�Jo_�[]J ��+ � ' .

Page 81: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � ���� � � � ��� � � ��� � � ��� � �� � � ����� � � ��� � � � � �� ���)� � V��,�[J����+S�L1_NM7���d�I� �� $ �& )kJ)��_�PK��_ �nJ�L�M0\+P%_nJ�[ P1M0O _�,_ �nJ�[��0_�0[��%[ P%S�L SoQ���� � )![]O�S�J)��_nL ' S�L���PsM#��O�[]JK_P%_nJ�SoQ���S�[]O�JRP ' []J��uT`b7\ J�[^��\ [Z�n[]J�[Z_ P[]O�� .�)� ����� ��MN��� /��('(�!)0"��g$��(��A � ' V_"�;�� * 0 A��V^)*/]��"�2*"�QT"��#����)*'I:)0���g�#��/#�3�('(��!" �� � � " �Y"���20iz���(��$8��" ' ���(' �D),�`$�"6��/.��"��dG<����)*/#��)*$���� �!)0'1��2020iv;P"��`��� i ���k%&����E"�/#�g�������#�g�54%)*/#��/�� /�&�' �Z�!���<�0 . A � ' A��0VNV y e

;P"��:��202 �)� � $ & �����Z$�) ~3���#��� �:�!�(��QT/:9 � ����/d�T'("���/O� ��� �.��)*A���� G<��2*&���"bG��(�� $ & md)*� �����#��)*'(&�2�����9����������(/�)0$�&��8"<;B�!��)0/v��)0A���� G<��20&��8��� )*�%����)0��i )0/ e��MN��)*/B'("�� �!����$�)*'C�!/s� H� xy e ;P"��B�<2*2 �� z � " "1" * |�A /��(��A >�V`"�;-di6�E"��!����/�)0/���?>�c'VC�

h 9���/#)*'B���#"��3�(�#��iz)0/��!���B;P"�202*"bI:)*��A��

� ��� � V��,�bc*�2! ��_ ��S�[]O�J]PdSoQ � ' �7_���O _1MIT`b7\ J�[]H���M0\ b�_N��T�_nL�S�T�S�L �I�7[Z�QUb O �nJ�[ZS�OXSoQ��)� �� .�)� ����� � � ig��/#/�&�QT����)*"��(9 0 . A � ' A < VNV]$����E����$�/H��"�2*"�QT"�������)*'���2*2,i:"��w�)��� �<��$fQS�(��"�QT"��#����)*'���2*2,i "�� < � " �7'("���'�20&�$��B&�/#)*��A������7)0QS��20)*'()0�p;P&���'C�!)0"���!���("����(Q�9�����QT��20iB�����<�H�!����/#"�2*&%�!)*"���/H"<;E�`QS�(��"�QT"��#����)*' �:iF&����!)*"���$����E����$%s)*��A`��"�2*"�QS"��#����)0'1��2020i."�� �.G<����)*��9�20����#��QT����"�QS"��#����)0'�)0�Y�!��)0/HG<���#)���9�20���

������������������� V��,�bU*� ! ��_/Y0L�Mn�I�)SoQ!J���_rT`b7\ J�[]H���M0\ b�_N�CT�_nL�S�T�S�LK�I�7[Z�3QUb7O �nHJ�[ZS�O

��%$ �& � � ��� �

�s�� � '[ P`�NM0\]\ _N�1J)��_�/#�3�('(�!����2]'�&��#G��ISoQJ���_ EC[�Y%Y�P �:b O��.\ _�. �nJ![ Ps�7_nO S�Jo_N����+ � .

MN��)0/."�9h�#��'(�dI��/d����/#�./#��&�$�)0��$89 i 8 �3-d)0��' ��)*�Z)*�Xc ��/.e � � iD 2*��)*QoV��,�bc�!����/#�3�('(�!����2]'�&��#G��g)*/d���Z������20iF�!)0'7/�&�9FG<���#)*�C��i

� ��� A �� $ �& V � ����� "�;GA '("�QT��2*�54�Vd$�)*QT����/#)*"��D"����<��A -.�(�����Y/O� ����$�/7;P"��`)0��'�20&�/�)0"��^�^V ; "����("bG�����99 if'�"���/#�!�#&�'(��)*"��z),��)*/N���<�!&�����2*2,iS� 9��!����' ����$Z'�"bG��(�d"<; �� G6)������#"��#��'C�!)*"��z��"�!���B���#/#�:; ��'C�!"��(�

-.�(���g)*/:���z)0QS�E"��#�!��� �N���#"��3�(�#��i���)� ������� ��� ��� � V��?>�e*� ! ��_ PK��_ �nJ�L�M0\��nb7L �0_ � [ PrL _N�0b�� _N���6[]OdS�J)��_nL ' S�L���P )0 . A � ' V ��M0O�[ P���_ P�S�O�\ +b5��JKSJ)��_?��L�PnJ�S�L��7_nL�_�� � _K��J0Q�S�L M ��O�[]JK_rP%_nJ+SoQ6��S�[]O�J]PSoQ � .

Page 82: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � � �� � � � � ����� �� � � � � � � ����)� ����� ��k%&����3"�/#� � ����/`)0������),�!��2,i QS��� iz�3"�)*� �!/sA�� �'V�I:������� 0 . A � ' VG<����)*/#����/:&��f��"T"���$��(�N��)*A��������!�����z"�������k%)0��'�� � ����/d� ���<��&��!�<2^�C46�!�(��/�)0"��)*� �!"���'�"�QT����'C��'�&��#G���)0� ��� � � ���� � A /#���gk%�('(�!)0"��fV��WVhVn9F�!��)*/�QT�1����/�!�����;P"������ i��f/#"�QT�OD����#" �.AR�'Vw� � ' "�; � ' ����/�Q�&�20�!)0��2*)0'�),��if��)*A������7������� "����}m)*� $�)�~_�(���(�F� �����#QS/�9�/#"�QS�f)0���#��$�&�'()*9�20� '�"�QS�E"����(�F� "<; � ����/ Q�&�20�!)0��2*)0'�),��i��)*A������g�!����� "������ ��� �����O�!)0'�&�2*���:9=��/ ��� % 9p�<� 20�1��/O�Y��I�" "�;N�!��� � � AR�'VQ�&�/O�7���1G���������/���QS�Y\ ��&����(� �B�C4%������/�)*"���/��7MN��)*/`)0/`)0QS�E"�/�/#)*9�20��9Fi�A V��?K J0V����$ �!���D��/#/�&�QT���!)0"�� � � � xy � � � � ;P"��2 xy � Qv�<$��f)*� AO�5VY"<;B-di6�E"��!����/�)0/���?>�c��

�6 /= �6 ��G& 7/ ����'�R�����53 7'�6���.�5�R�#" �32��546$ 4 � 7 $h������4+�53��� R� 5 � \ �C�&�/:��"bI '("�QS��&��!�B�!���g� i6�E����'("���"�QT"�20"�A�i "<;

A V��?><VhV � � � ��R� � � "���/#)*$��(�����#9�)0���!���Oi���2*A��(9��!�<)*' ���(/�"�20&��!)0"���/g"�;��!��� /������1G���/ � �<��$ � /�&�' ��!����� � ' " )0��$�&�'(�g� QT"��#����)*/#Q{"�;H���(/�"�20&��!)0"���/

A V��?>�+�V , � � � � � �// , ��� �

, � � � � � �//

�OO

, ��� ��OO� � � �

//?�

OO

�E"?�

OO

m�"��.�54���QS��2*�09}"����YQT)*A�� �:� ���<�Y�#��/�"�2*&���)*"���/d9 i�� ��' � '�"6' ����)0��/�� � iZ$��C����) s�!)0"��(9 �!���.����/O���2,�!�!���!)*"�� ,�@:"�;^�����7/#)*��A�20�:'�"�QT��2*�54v��/�/#"%'()��<����$v��"�A V�� >�+0V )0/A�)0G����Z9 i

, � y A , � � � 9 , � � � V 9 A , ��� � 9 , ��� � V,� y , ��� � 9 , �2� � "

MN���B����/O�d����A���"�;�!����/#�3�('(�!����2 /���i6&�����'(�Y'�"������(/��E"���$�)0��A �!" �!��)0/���20���!�<��)*"��)*/NA�),G��(�D9 i

A V��?>�a'V A�� � V � � � A���� ��V A�� � V � � � A������ V

A�� � V � � � A���� ��V�

OO

A�� � V � � � A������ V�

OO

Page 83: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � ���� � � � ��� � � ��� � � ��� � �� � � ����� � � ��� � � � �#�I:�����#� � � )*/v����� (�su�!� '("���"�QT"�20"�A�i /������<;n"�;��!��� QS��� APV�� >�VhVn9.����$ �����G��(�#�!)0'1��2]/#�:iF&��(��'��(/7'�"�QT�7;P��"�Q{���(/�"�20&��!)0"���/

� � � � A�� � V � � � ��� A�� � V � � �� � � � A�� � V � � � ��� A�� � V � � �

9 if� ���F)*��ATA�2*"�9��<2^/��('(�!)0"���/(��\]�(�.&�/:��"bI $��(/�'��#)*9E�n�54%��2*)0'�)0��20iT�!���g'�"���"�QT"�2,s"�A�i /#���1�1G��(/��@�:��'���2*2p;P�#"�Ql$��(����)0�!)0"���V��0�1aZ�!���<� ��� � ' �����T�C4���'C�!20i ������3"�)*� �!/dI:�����#�Y�!���YQv����� ' A��VCp ��A��0V�� ��A��0Vd)0/`��"��`/�&��]�#��'C�!)0G����Bhd; �!���7��2*2�!��)0/N�����(�������<�!)0"��(9�I��n���bG��B�!���B;P"�202*"bI:)*��AY' �����!�<'(�!�(��)FD1�<��)*"��(p

� ���)� � V��?>%� � ! ��_ � S���S�T�S�\ SNY +P���_NM�Q � � SoQS�LN�7_nL euSoQ�J)��_�P���_NM�Q�T�Mn�� �5. � � � [ P�e*. �RQ $��(��A � ' V �.M�PGM ��_nL�S�SoQCS�L��7_nLN��[]O M0\]\���S�[]O�JRPSoQ �`� � ' )/J)��_nOJ���_ ��L�PnJs� S���S�T�S�\ SNY +dP���_NM�Q � � [ P1J)��_�P �4+�HZP%�nL�Mn��_nL)P���_NM�Q � ' ':��S%P%_`PnJZM0\ �S �0_nL�Ms��S�[]O�J ��� � ' [ PsJ���_ ��O�[]Jo_nH �0[]T�_nO.Pn[ZS�O�M0\�Pnb��nPK�.M7� _ ) * ,/.10.A � ' A��0VNV �dA��V )rM0O���M0\]\�S�J)��_nL PnJZM0\ �%P M0L�_de*.

� �����'��� V��?>�>�� ! ��_� S �'_nLUO _n\#SoQ � ' A��0Vk[ P�O�M0J�b7L�M0\]\ + [��7_nO�J�[ ��_N� ' []J���J)��_S�LUJ���SNY7S�O�M0\�SoQ1J���_�[]T�M%Y7_2' []J���L�_ PK��_ �nJJoS�J���_#�r�n_nL�T�_nJ�LU[Z� )�S�L ) ':�7[Z���X[ PJ���_�P:M0T�_�J��7[]O7Y4) ' []J)� J���_ �'_nLUO _n\GSoQ � �' A��0V�. ! �7[ P�M0\]\ S4'/P b'PuJoS�J)�7[]O��SoQ)+*-,/.10.A � ' A��0VNVwM�P M)Pnb��nPK�.M7� _ SoQ �dA��0V�.

�)� ����� �\]�(�B&�/`/#�!���#�.I:)0��� � � pN/#&����E"�/��nI� ���1G�� �v/��('(��)*"�� � � � C��"��D���D"��3�(�D/#�(� �S ��� � /�&�' �D�!���<� � ' � y e��k%)*��'(��"��Z�����g"��3�(�D/#&�9�/#�(�� $ � ' �����YQS��� � ' p���A��0V�� �dA��VN)*/.���8)0/�"�QT"��#����)*/#Q�9�I���$��($�&�'(�Y�!������ y e8"��~�!��)0/�/��C�1� � &�� ����"�2*"�QT"��#����)*'T/��('(��)*"��~G<����)0/���)0��A�"�� �<�~"��E���/��C�nG<����)0/����(/Y�CG����OiFI:�����#�09 �!�F&�/ � y eD"�����202p"�; � � MN��)*/gA�)0G���/��!��� ����/O�/#�!�<�!�(QS�(�F�d"�;�!���g20��QTQv�%�

" �N��"bI '�"�QS���" � � p2*�C� �S �����H93�:�<� "��3�(� /�&�9�/#�(���p�u; � � ' y���!���(� � ' )0/ ���Y)*� G��(�#�!)09�2*� ��"�20"�QT"�������)*' ����$�"�QS"�������)0/�Q "�; �T"�� � 9��������#�(;P"��#�� � C�� y e��pk%&����3"�/�����"bI � '�"�� � �<)*��/H�C4���'(��20ig"�����3"�)0� � ��� � ' �HMN�����(9�;P"����� iZ/���'C�!)0"�� � � � C��z�!���gG���'C�!"���A � ' � V�A��0VN20)*�(/d9 iZ$��C����)0��)*"��Z)*�Z�!���g)*QS��A��"�; � ' A��0Vn9}I:��)*' � )0/ �#&�/#�`�����Y"��#�!��"�A�"����<2"<; )+*-,/.10�A � ' A��0VNVC�dMN���(���(;P"����093�!��)0/2��<�#�!�(�`)*/.'�"�� �!��)*���($�)*� � � C��_�w�B��������"��������.������$ 9_�!���Y'�"���$�)0�!)0"��D�����<� � '����/n� D(���#"8"�;"���$��(�S�T)*� �fQT�1����/B�����<�Y��� i /���'C�!)0"�� � � � C���/�&�' ���!������A��V � ) *-,/.10�A � ' A��V�V])0/])*� � A � ' VC�MN��)*/����"bG���/H����� /��('�"���$Y/#� ���!��QT��� ���

� �����'��� V�� ><K*��� + �rL�S ��S%Pn[]J�[ZS�O �5. � � ) J���_k� S�O��0[]J�[ZS�O�SoQ$��C��A � ' V �.M �%[]O7YM ��L PnJ�HNS�L��7_nL ��_nL�Ss[]O�M0\]\'��S�[]O�J]P�SoQ � ' [ P�Y7_nO _nLn[Z�G[]O`��%�[]Jf[ P �0_nLU[ ��_N��Q�S�LCM0\]\�u_�� � _K��JhQ�S�L�J ' [Z� _kJ)��_ _n[�Y7_nO ��M0\ b�_ PCSoQ ��A��V=Q�S�L�J���_ ��O�[]JK_kO�b T��n_nLCSoQf��S�[]O�J]P

Page 84: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � � � � � � � �� � � � � ����� �� � � � � � � �����SoQ � SoQwT`b7\ J�[^��\ [Z�n[]J,+ �7[�Y ��_nLwJ��.M0O�S�O _�. �+S�L�J���_`�0[ P%�nL�_nJo_�P%_nJGSoQ�� ':��_nL�_J���_nL�_`_���[ PnJ]PsM ��� � ' ' []J)�IM�T`b \ J�[^��\ _ ��_nL�S )�S�O _�[]O�J�L S:�0b�� _ P�J)��_ ��M%Y�dA��V y"! � ��A��0V��@)+*-,/.10�A � ' A��V�V y�! � �dA��V�� "1" "%# ! ��� �dA��0V y{z e |

J���_ Pnb.�nP%�nLU[^��J�SoQ ! �n_n[]O7Y�J���_`S�L��7_nL SoQ ��_nL�SdSoQ �0�' A��0VsM0\ S�O7Y�J���_CY0[��0_nO�Pnb.�:HPK�.M7� _ )�M0O��@��L�S �0_ PIJ��.M0J)J)��_�� S���S�T�S�\ SNY +XP���_NM�Q � � C�� S �0_nL M0O S ��_nO P%_nJ� S�O�J M0[]O�[]O7Y �XM�P`J)��_�S�O�\ +I_n\ _nT�_nO�J SoQ � ' [ P)[]O�J)�7[ Pd�NM�P%_�_Na:b.M0\fJKSuJ���_ ��_nJPK�.M7� _ ��� � ��

������ �� ��������������������� �"!�#%$�&��'!(����!*)+$�,.-0/�21436587:9<; �=�+� ;?>0@A��BCBD!C���FEG HJI��K1�# L���,?��&�!)+$�,M 5N7PO GRQ 9�; �+�+� ;?O:@S��&"1')+$�,T-0/�21VUW5X7:9<; �+�+� ;?>�YZ@[��BCB.!C���KED\H I��J1�# L���,���&�!)+$�, M 587:9 Q 1^] ; �+�+� 1<]`_ � @bac�d���6afe�g6��&"1Saih=gdj E�k ��$�!C������#Z�le^mZh:nogdjT� �2��&S!C����!#C&S!C���p�"�&�q�!��,?���V$f)Krsut � !C���vBw#C�V#C!���!i��!x���K����y��W-T,?��! H $�,z1{��,'|���,?$d�=m}'~d���z�Z�*�o�v���z�=�z~<�Z���2�Z~<�A~��R�2�*���2�^�^�x�2�o�?���"�=�4�2���+���W�F�����F�<�����=���^�

�F��� � �F��� ��;�?�*�� ��2�¡�������<�¢~����2�*�¢�^�{�"�=�2�o~<�*~<£6~<��~<�����2�"�=���?�2�����z�=¤:�*�=���=� ��¥�¦¨§�©<� �"�=�o~<£ª�o�� �

�« OO

¬®­i¯�°�±�²o³�´¶µ O �c· � �����2�¸�«OO

¹ �����?�*���p�Z£6�*�Z���=���?�*�K�(~<���Z~d�F�Z�*��º»�¼¾½À¿D½ÀÁPÂÄÃÅÂC½RÆ ¥*¦Ç§�¥DÈ �����J� k ����,?q�$d��$�� $�BZ$2É k �x����q�!c,z��BR�d�2Ê=����&�q�� q�$�,¸,?� H�x��$�&"1�#C&{É�!x$�!C���W-T,?��!*-TBw!c,z��!�#%$�&Ëq�$�BCBÌ�����d��� #C&[#C!C�W-T,?��!Å���dÉ{��jT��&"16Í¢�'����y��v�&"��!c�{,z��BÅ#Z�d$�� $�,i���{#Z���

Î � �fÏ�бcÑÒ(Ò � Ó �ÀÔ �­i¯�°�± ²o³�´¶µ O ��· � �(�<�z���

»�¼¾½À½ÀÕ È×Ö �*���4���F�J�=~<���2�=¤:�*�o�*�=�l~��R�2�*�K�z�?���*Ø����2Ø������o�p�2�����4�V�2�"�=���?�?����2�o¤{���=�*�o�V�=~<���Ä���*�z�=�4���4�2~{~<�S���'�*~���xÙo�=�2~ª�=���=£6�=�^�?�4~<�*�Ì�Ú���*�"�+���4�Z�Ú~<�*�v~�����2���2~d�F� ¦TÛ �*�¡�?�*�o�2£6~<�2��Ü^������Ý�*���Z�o�������2~<£6~<�z�*�*�Z�z£Þ�+�����"�p�<�����=�6�����(~<���Z~d�F�=º �ݪ�u�2��Ø*�Z���Z�Ì�l���:�����z�Ä���^���*�*£6��%�(�*�*�o�2�Z~<�6߶~<���?�*�'�*�*�Ì�×Ø��Z�2��àâá s Ü{�=¤:������?~v�K~<���?�*�F�"~<�*�*Ø����z�V~���àã����Ø��2~�9'���ª�Ü:���*Ø6�2�*���6�?�����TØ�ßS�Z�W�z�*�*�"~<�z�2�=Ø~<�ä�?���A���*�:�*���*�å9Pæ�çäèéO8è § æ�ç ¦SÛ ~��J���^�Ë�=~<£6�*�Z�¸ÝË�{��£J�¾�o� 1ëêì �[�2���ß0í �cî^� ì ß �cî æ 1 ��¦ }'~d�ï����~~<�z�Kð�ñ�òó�V�2~V�?�����p�?�*��Ø*���z�����*�=�K��� s �¾���x�¢�o�=����^�å�x�×~ªØ*���z�2�Z�*���p�¾~��Z�^�?�p~��0�?���� ��*���2�K�2��� ôöõø÷×���Z�F���F���+���¡�4ç�ðPñ ¦�Û ~<�p���:�

Page 85: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ���������� ����������� ����������� ������� ��!"�#����$%��&'�(�� )+*�-, ­ � ­x¯�° ± 5 9 ²o³�´¶µ O �c· � �����2� �o~<�*�z�ZØ*�o�×�?��� �2�o�o�2�Z~<� ,/.-0 ì21 ­i¯�°�± , ­ ß .=��î Ò ����¦3¢�=�=���*�z�pØ*ß .40 �Z�R�2�*�*�"~<�¡�?�=Ø�~<�u�?�*�p���*�:�*�Z�*��ðPñ2æ�ç�èöOVè § ðPñ�æ�çÜ��?���p�2�=���?��~<�56�7 �-,/.-0 Ø î<� 598 �;: �=< �Z�×�2�*���¾~<�¡�?�oØÚ~����?�z�ZØ*� �l�*�=���<�:�¾~��2�*~{~Ø ~��R÷×� ¦?> �Z�*�o��?�*���F�Ä���z�?�=�p���p�?�*��Ù=�o�2~ª�2�o�'~��ÀØ*�o� ��· � � Ü����p�?���=�ø�(~��Z�Z~d�F���2�����F�?�*�o�2�v��Ý�Z�¡�?�'��2�o�o�?��~<�A@ . 0 Ø 5î 5�8 ñ : �"< �2�*�����?����� · �B � @ . 0 Ø 5î^� Q 56�7 �C,D. 0 Ø î^� ì ��Ü����*ØA@ . 0�Z���2�*���¾~<�¡�?�oØå~<�ª�2�*�4�2�*�*�"~<�¡��~�� 56 7 ,D. 0 Ü{�2�����×�Z�T~<���2�2�ZØ�� �v�*�=���<�:�¾~<�z�*~{~Ø6~��÷×�p����ØA~��0�Z�� ������x� ¦ÀÖ �*�K�=~<���*�Z� �C,D. 0 Ø î ;+@ . 0 Ø 5î:� �?���=�2���(~<�2�KØ��o ��*�o�F�J�=~{�o�{�=����Z�A�?���v�z�Z�*���Z�K�=~�£ª�*����ÝÚ���2�2~{�=�Z���?�oØÚ�2~FE���ÜD���*ØÚ�*�2���*�FGT�z~<�"~<�2�Ì�?�Z~�� ¥*¦ 9IHV�×��+���ÚØ*�� ��*�u��£ª���

J �pº �­i¯�° ± ²o³�´¶µ O ��· � �(�<�z� Ò � K � � EV� � ì Î � �fÏÞбcÑÒ�Ò � Ó �

�-, ­ � ­x¯�° ±?L� M �-,/. 0 Ø î ;+@ . 0 Ø 5î:�;N ;��¥*¦Ç§�O<��F�*�=�z��M �-,/.-0 Ø î ;+@ .-0 Ø 5î:�;N �z�?���*Ø*�T�(~<�W�?�*�F�o~<�*~<£6~<�Z~����l�o�Ä���z�T�Z�FK � � E�� � ~��¾�?�*����=~<���*�Z� ¦PË�å�*�=�oØ �?~¶�2��~P�®�2�����J�2�*�Z�u£ ���8Ø*~�o�J�*~��JØ*�=�"�=�*ØN~<�Ëð�ñåò �S���*~���2�o��Ü��*�2~d�{�ZØ��=Ø��?�����F�Ì�p�Z�p�z�RQ6�=���=�^�?�Ì�A�2£ª���Z�����p��Ý�*�Z���Z���=ØÚ���"~P��� ¦TS ~<�*�z�ZØ*�o��?�*�o�2���(~<�2�å�2�*���2�=���?��~<� ,D.VU �(~<�uð � è ð ¦W> �Z�*�o�A�Z� �?���A�*�*�Z~�� ~��'�2�*�AØ*���2�:�~����?��Ø��Z�*� ð � æ�çA���z~<�*�*ØS�2�*�V�=���=£6�=�^�?�K~��¢÷×�'�¢�����+�<� ,/.VU ì ,/. 0 Ü����*Ø · ������Z�^�<�o�z�2�Z�*���ª~<��?�2��Ø*�ª�2�*�Z�u�2���+Ü��?���=�2� ��Ý�Z�¡�?�V�Ú�2�=���?��~<�YX 5[Z ��J� �z�*��� �?�����· �+X Q ,D.VU Ø î ì ,D. 0 Ø î�¦8Ö �*�o��Ü����J�Z�ä�2�*���*�2~{~��F~��\GW�2~<�"~<�2�Ì�?��~<� ¥*¦ 9/HÜ��2�*��=~<���*�Z� �C,D. 0 Ø î ;+@ . 0 Ø 5î:� �Z�¢�=¤:�������2~ �-,/.VU Ø î Q · �]X.;+@ .VU Ø 5î Q 56�7 X � Ü*���*Øå�?�*���x�×~�=~<���*�Z�o�'Ø*�� ��*�l�2�*�v�?��£6�u�o~<�*~<£6~<��~<���A�o�Ä���z�'����K � � E ��¦pÖ �*���4�2�*�=�S���Z��~P�F��*�p�?~V �Ý�ðPñpòó�V�z�RQ6�=�Z�o�^�?���å�2£ª���Z�¾~<�*�=�u���*ØA�(~<�F���Z� ¦^x�ª���z�Z£6�Z�Z���0�¢�+�<Ü{~<�*�p�=���ª���2~d�<�p�?�*���TJ �W�Z�W���*Ø*�=�"�=��Ø*�=�^��~��"�?�*�4�����?������=���¡�x~'_[�(�*�*�o�2�Z~<��ß ���F�×�=��� ¦Û �������Z�Ì�<Ü��2�*�v�Z�^�<�o�2�2�u~��`J �F�=���[�"�u~����������*�=Øø���F�(~<�Z��~d�F�=ºT�Z���4�2�*�v�=~<�*~��£ª~��Z~<���[�=�Z���2�ba 5cK � � EV� � �"���2�=���2�=�z�=�^�?�oØ �^�8� 9o�%�(~<�2£da �;: ñ Ø î Q a ñ : � Ø 5î Ü�F�*�=�z�ea �;: ñ ���*Øfa ñ : � ���2���z�=�o�2�Z~<���4~�� 6¦WÖ �*�=�Ú�¢�v���+�<���¥*¦Ç§'g^� Jih �� a ì � µ , 1 U ­ a �j: ñ � ­i¯�° ± ;�F�*�=�z� µ , 1 U ­ a �j: ñ �z�?���*Ø*���(~<�V�o�����������2�Z~<� ~��'�?�*���z�=�o�2�Z~<�ka �;: ñ �Z� �2�*�ø�"~<���:��¦ l

mon=p\q0¼r ¥*¦¨§ H Èts $�!c#%q��'!C����!R!C���.)+$�,¸�V�BÌ�åa�u"mZh:nogK#Z�4#C&"1{�x����&"1{��&�!W$f)F!C���9 H )+$�,¸� ,?�x�",?���d��&�!%��!c#Cy��F$f)va#w.#C&K����,¸!c#%q��{BÌ��,?j.!(��� � 9<;?� � H ����,¸!0$f)×!C���¢����,¸� $�&�#%q,?�x�",����d��&�!%��!�#Cy��V$f)u�Úq�$d��$�� $�BZ$2É k q�BÌ�����xJ�� �-, ­ � ­i¯�° ± y���&�#Z��������#C&¶!C��� � 5b÷×�ÍÀ����,?� , ­ ì ��m

Page 86: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

)�� ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� ����������� �������������������� �"!�$#%�'&�&(�*),+���-/.��0��1��324��!��0���5�&(+/.�6728�9�"�'���Ö �*�4�Z�^�?�o�2�*�z�o�?���?��~<�V~��"�?�*�F�*~<��~<£6~<�2�*���Z�¢���*�*Ø*���p�*�*Ø*�o�2���{���*�K�?�*�p�?�2���*�f��(~<�2£6�=Ø;:'���<�<�K�*���*Ø*�Z�6�Z�¶�2�=�2£6�v~��¢�^�{�"�=�2�o~<�*~<£6~<��~<���¶�o�z�����*�Z���2�*�oØ8�Z�¶�2�*��*�2���{�Z~<�*�À�2�=���?��~<�����Z��~d�F�À�*���2~K��Ý{�?�o�*Ø�����~d���=���?�����2���*�<�*�Z���À�"~<�Z�^�2�=<ô�õu7?> @�Z�ä�2�*�������?��£ª���?�=�V�z�����o� rsut � ¦ ¹ �ª�=�����X�*�*�*���?�*�z��Ü×�×�Ú�*�=�oØX�2~bØ�~ �x�×~�?�*���*�<�oº× ��z�z�+Ü"Ø*�� ��*�u�2�*�� ��¾�o� ~��R�?�*�v�?�2���*�z�(~��2£6�=Ø��<�=���?~<�'�*�*�*Ø��Z�l~d���=� �Ì� ¦Ö �*�Z���?���=�ä�¸Ý�2�=�*Ø��l�?�*�6�*~<��~<£6~<�2�*���Z�V�z�2�2�*���?�*�z� ���*Ø*�*�o�=Øä�^� 56A@7 ~d�<�o�u�2�*��*�*�*���?�*�z���Z� �A�����2�*�?���R���+�"º��A�*~<�Z~�£ª~<�z�*�*���u�z�=�o�2�Z~<�¶�2�*�2~<���<�¶�?�*�V�z�Z�*�<�{��Ä���'�¾~��Z�^���F�Z���À�"���å�=~<�^�2�Z�:�*~<�*���z�=�o�2�Z~<�¶��� �A�*�=���<�:�¾~<�z�*~{~ØS~��¢�Ì�+Ü��2�����K����*~<��~<£ª~��2�*�*���F�Z� �2�*���*�*���o�?���2�=Ø��*�o�Z�<�:�"~<�2��~~{Ø ¦F�4S ~<�^�?�Z�:�*�Ì�x� ���¢Ø*�� ��*�oØø����?�*�l�?��£6�u�2�Z£6�l���4�?�*�l��Ý�=�o���?��~<�����0 ��¾�o� ¦Ç�[Ö �*�V�2�o�=~<��ØS�?�*���*� �?~ Ø*~ �?���=��Z�¢�2~V�<�����K���A�¸Ý����Z�Z�o���¢�����2���p~��.�*~<��~<£6~<�2�*���Z�4�2�=���?��~<�*���F���2�A�2�o�2�"�=�o�F�2~J�?�*�����Ý{�?�o�*Ø*�oØ8�*~<��~<£6~<�2�*���Z�l�¡�?�z�*�o�2�*�2� ¦ ^i���Z����£ª�"~<�z�?���^� �2~Ú��~��?�J�2�����K�?���V��Ý:��?�o�*�2��~<�*� < <Ï �¢��Ø*�� ��*�v�*�=�z�����2��&�$�!��?�*�K�?�2���*�¡�(~<�2£6�=Ø���Ý{�2�=�*�z�Z~<�*�F�<�Ì�<�o�Ú���B��o ������?��~<�Úç ¦ 9<9<Ü��*���'�?���?�*�o�'~<���=�4�Z�*Ø*���=�=Ø[�:�A�2�*�v~<�2���<�Z������:'���<�<�p�*�*��Ø*�Z��Ü���*Ø6�(~<�W�F�*�Z���å�o~<£6�*�������?�Z~��*�����2�4£ª~��2�F�=~<£��(~<�¡�����*��� ¦RÖ �*�Z���Z�T�F�^�6�×�'�F���Z��+����� < <Ï �?���b#C&"1���q��21N�z/<!x��&���#%$�& ¦ PË�Ú�¡�?�*Ø�ä�?�*�����Z�*�Ë�¾���x�¢�o�=� �2�*�=�z�Ú�x�×~��Ý{�?�o�*�2��~<�*�4�Z� > �o�o�?��~<� ¥*¦ O¦����'CD4 E�������/�F�'�(�G����.'��&�6728����!/HI�'J0�F�5�&(+/.�6728�����'���K Û �Z�z�z�=Ü"�×�V�=~<�{��2��Ø*�=���2�*�K�+���z��~��0�¾~<���^�?�p~��.�?���v�z�o�L<ô ¦ P8�K�z���������*~d�ëØ��=�2�o�2���¾�K�?���K��Ý{�?�o���2��~<� < <Ï ~d�<�o�v�z�*���Ë�å�¾~<���^� ¦ }'~��2�Z�o�l ��2�¡�K�?�����������?���VØ*�o�(~<�z£ ���?�Z~�� · ���*����u�×�=�Z� �xØ*�� ��*�oØA��Ý{�?�o�*�2��~<��~P���=���2�*�=�z�K�¾~<���^�?�=Ü���2�¢�^�{�¾�o�2�=~��*~<£6~<�Z~<���ª�z�����o�=����2�l���Z�z~ �×�=�Z� �xØ*�� ��*�oØS�?�*�o�2� ¦ ^x�[�����z�2�Z�o�*�Ä���oܾ���[�{�Z���Þ~��?GW�2~<�"~<�2�Ì�?��~<� ¥*¦ 9/HÜ�¢�v£ª�d� ��Ý{�?�o�*Øø�2�*�K�?�2���*�z�(~��2£6�=ØA�<�o�o�?~��'�*���*Ø*�Z�M<� �^�A�*���z�?���*�

<� �'N ì Î � �xÏ Ð± N ÑÒ=Ò � Ó �

Ö �*�Z�F�����?�*��Ø*�� ��*���2�Z~<�A~��R�2�*�K ��¾�o�F~P���=�4�2�*���[�V�¾~<���^� ¦^x� ~��2Ø*�o���2~u�<�Ì�<�4��Ý�*���Z�=�Ì�T�2�o�*�2�o�2�=�^�?���?�Ì�<�=�¢~����*~��Z~<£6~<�2���*�Z���z�=���?�Z~��*�=Ü{�Z����*�¢�¸Ý���£ª���*�p�F�����¢�����*�"�=�*���?~v�?�*�F ��"�=�O<� �W�F�*�o�4PJ���*�*�2~<�����*�=�×~<�*�'~����2�*��¾~��Z�^�?�W~��$<ô ì 7�P � ; �+�+� ;QP�RTSC@:Ü{�2�+�*P ] ¦WÛ ���2�¡�+Ü^�Z���T�*�W ��*Ø6�?�*�F�2�"�=���?�2���D�¾~<���^�?� ¦UWV q0Â�p ¥*¦Ç§�©�ÈYX �ZP � P ] j6�z/:�{q�!cB k%[å] ì 1^]`_ � Ò 1<] I=,2��&�q������¶$f)�!C���� ��,?$�� $�,x���{#%q')¸�{&�q�!c#%$�&�� � H 5 ÷×�Sq�$�&�y���,cÉ{� !f$S#C&+-T&�#C! k juÍÀ�{#CBZ����BCBF$�!(����,?�,?���6��#C&ª#C& �uI�$��{&"1{�21K,��%É�#%$�&å$f) s m]\b$�,���$�y���,?j�BÌ�^I���BCBw#C&{É�!C���×�x����q�!�,z��BP��$�#C&�!C�q�$�&�y���,cÉ�#C&{É'!f$4#C&+-T&�#C! k I k �+� _ í N � P � ; �=�+� ; � í N_^ U � P � j¾!(��� k �^1��V#C!"!(���¢��� k � �"!f$�!�#%qI�������yd#%$�,

��¥*¦Ç§K`^� � H � P � ì § ED\H� P Ò P ] � Q�a �cb P Ò P ] b h « � ;

Page 87: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ������� #���� ����� �����!� ��� ��� �( ��& ��!"�� ����� )��ÍÀ����,?���Jò �Aq2��&AI��'q���$d�d��&A��,oI=#C!c,z��,¸#CB k ���6��BCBÌm���&v����,¸!�#%q��BÌ��,?j0!C���'I=,z��&�q������q�$�&�y���,cÉ�#C&{É6!x$ > 5 sut � $f)�!C���K�x����q�!�,2��B0q��,¸y��l��,?�v&�$�!T,2���V# -��21A$�y���,v!C�����$�#C&�!�P ] m»�¼¾½À½ÀÕ È ¹ �À���R�+���J�"���z�=�=�J�(�z~<£ � 9 ¦ ç�9 � Ü��¸Ý*���o�?�Ì� [å] ~����?�*���o�Z�<�o�^�����Z�*�o�~��"�?�*�F�Z�=��Ø*���*�K~<�2Ø��=�W�?�o�2£ã�*�=���T�Z�� *�*���x�l~��¾�2�*� :'���<�<�� ��o�ZØ · �W�=~<�^���=�2���=�×�2~� ¦ �=�=���Z�0�(�2~<£ B��o *�*���2�Z~<� ¥�¦ 9 © �2�����u÷×� �Z� �2�*�V�����*�Z�z�*�Z�*� �2�o�v~���� µ @ �c· � ��¦Ö �*�Z�T��£ª�*���Z�o�À�?����� � �=~<���:�2�=Ø �F�Ì�?�6£J�*�Ì�?�Z���Z�Z�o���2�Z�=� � �¸Ý����o�2��� [å] ~����?���'�"~<�Z�^�2��*� P � 5X÷×�K�=~��:���=�z�<�V�?~A�Z� ��*���x�� Å�Z���¾�o�R�2�*�=�z�6�^� 9 Q 1^] ; �=�+� ; 1^]`_ ��¦ ¹ ���R�2�*�~��?���=�l�z�¾�o�o�2�?�����¾~��Z�^�?�u�2�=£ª�����b�2�*�=�z�o�(~<�z� �"~<�*�*Ø*�oØ ¦ 3��8���2�2��£ª���2�Z~<� � �2�o�� 9 ¦ ç�9 �z� �Z�b�A�*~<��~<£ª~��2�*�*���u�2�2���{�Z���Z���?���2�Z~<�Ú~��¢�2�*���*�*�*Ø��Z� Ï ��� �Ú�*�o�Z�<�:�"~<�¡��*~{~Ø�~�� > 5 slt � Ü��Z�<�*~��2�Z���l�?�*�K�������?~<�pØ î �?���� *�=�ZØ · �p���p~��0�?�*�K�(~<�z£9

§ ��� Ò P�^xØ � Q�

î Q�a �cî h�� � ;�F�*�=�z� a �cî h�� � �¡�����*Ø��×�(~<�T�*~<��~<£6~<�2�*���Z�¢�2�=�2£6���Z�*Ø*�o�¾�o�*Ø*�o�:�¢~�� P ¦`> �*���¾~<�z� ��2�¡�J�?�*���l�2�*�ª ��o�ZØä���l�¸Ý*���o�?�Ì�b�=¤:�������?~[�2�*�å�"~<�Ä���������z�J���8�?���Z���(~<�2£J���Ä��Ü�Z� ~��?���=�A�¢~��2Ø*�Ú�?�*� a ��î h�� � �?�o�2£ �Z���o¤{�*���v�2~ö� ¦ Ö �*�o�ë�?�*�b�2~��Z���2�Z~<�*���d��� P � ; �+�=� ; ����=� P � ���z���=�Z�=���2�Ì� �����<�o�ø�^�

�� H � P � ì § E"\H� P Ò P ] � �^x� �<�=���=�?���%Ü��z�Z�*�o��� µ @ ��· � � �Z�J��~<�Z~<£6~<�z�*�*�Z����� î ÜW�¢�A�=���N���*����� ~��*��������`��?�*�o~<�2�o£ �2~Ú�o~<£6�����2�u�?�*�V�"~<�2�Ì�?��~<�S~��T�?���VÙ=�=�z~<�K~���� µ @ �c· � � �F���2�S�?�*~<�z�V~���?�*���"~<�Ä���p�����z�4�¡�?�*Ø*���=Øø���"~P��� ¦×Ö �*�Z�p�{�Z�o�ZØ*�p�?�*���F�?�*���2~��Z���2�Z~<�*� � H � P � 5 s~���� µ @ �c· � �=�(�*� P �z� ì � ���+�������� ��*�Ì�x�Ú���2�u�=��~<�2�l�2~ �� H � P � �£6~<�2�u�*�2�o�=�Z�z�=�Ì�Ú�(~�����^���Jòó��Ü^�?���=�2�'��Ý�Z�¡�?� ´ òó���2����� �?�����×�(~<������� b P Ò P ] b �2�RQ6�=���=�^�?�Ì�6�2£ª���Z��¢�v���+�<�

b � H � P � Ò �� H � P �"b è ´ b P Ò P ] b h « � �o£ ���2�l���=�2�p�2��������� Pu� P ] �?�*�F�"�=���+�{�Z~<�W~�� b P Ò P ] b h « �Z�W�z£ ���Z���o~<£6�����2�oØ�?~ b �� H � P �"b ì ² b P Ò P ] b h � ¦ ^x�¶~��?���=���×~<�2Ø*�oÜ��¢�V�*�d���V�?�*�V�¸Ý��*���*�2��~<� ��¥�¦¨§K`<��2~K�?�*��� � H � P � �=~��:���=�z�<�=���Z�*Ø��=�=ØV�2~K�Z�� ������x�l���z�{£6���?~��2�Z�=���Z�Ì�u���2~<�"~<�z�2�Z~<�*���Z�Ì��?~ � P Ò P ] � h � �(~<� 1^] è M�� 1<]`_ � Ü"�F���Z�Z�u�����Å~��?�*�o� �*~��Z~<£6~<�2���*�Z������£6�Z���Z�o��~��Ù=�o�2~<�F~��RØ*�o� �c· � � �2�=£ª�����A�¾~<���*Ø*�=Ø ¦Ö �*���=~��*Ø*���2�Z~<�å�2�����p�2�*�vE � _ í N ; �+�+� ;¸EDí N_^ U ���z�����Z�¾Ø*�Z�¡�?���*�o� � �2�=� �c§<� ÜD:F�^��¾~��?�*�o�2�Z� 9 ¦¨§ g^� �*~d� �Z£6�*�Z���=�W�?�*�����?���=�2� �Z���*~V�z�*�Z�Ì�2�2�Z�*�v~��.�?�*� �2~<�����?��~<�*������Z�� *�*���x��ÜD�2�����4�Z�F�?~6�?�+�Ú�Z~{�+���Z��� �*�+��� P ì P ] ���^� � H � P � �F���2� 1<] è M�� 1<]`_ ����2�2�=�Ì�F�(~<�2£6�V�¶£ª�o�2~<£6~<�z�*�*�Z�6�(�*�*���?�Z~��ä�F���?��~<�����*�2���*���*���*� ¦ ^x��Ø*�=�oØ�Ü×�2�*�~�o�=�*�z�2�o�*�=��~��0�J�*�2���*���*���*�6���p���� ��*�Ì�x�ª��£ª���Z�Z�o���2�������2�*�bGW�*�Z�z�=�Ýå�2�o�2�Z�o�p~��

Page 88: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

)+) ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� �������?�*�¢�=~<�z�2�=�z�¾~��*Ø*�Z���K�2~<�����?��~<�*�����<�2�o��Ü<�F�*�����V�Z���*~����?�*�¢�+���z�p�*�=�z�p�¾�o�+���*�z�p~���?�*�����z�{£ª��?~��2�Z���"�=���+�{�Z~��2� ��¥�¦¨§K`<� �F���2�AØ*� _¾�=�z�=�^�F�Z�=��Ø*�Z���J�=~{��Q6�=���=�^�?� ¦ l

}'~d��Ü��2�o�+�����¢�?�����J�(~<�J �Ý�=Ø PX5 <s�� <ô6ÜT���ä�?�*����Ý�*���Z�o���JØ��=�2�o�2�����?��~<�~��=<� �l�����<�o�ä�Z�b�?�*�ª�*�2~{~��p~��xGT�z~<�"~<�2�Ì�?�Z~�� ¥*¦Ç§�¥ ÜR�¢�å�o~<�*�z�ZØ*�o�2�=ØË�?�*�åÙo�=�z~<�� H � P � �(~<� M ì 9<; �+�+� ;?Ov~�� � µ @ �c· � �=�(�<� Ü*���*Øå�(~��¢�+����� � H � P � ���A�=���=£6�=�^� , H � P �~��W�?���V�2�*�*�z�����o� ²�³�´¶µ O ��· � � ­ ��� ���¢á ­ ��� ��� ¦vÖ ���=�¶�¢�V�¸Ý{�?�=��Ø*�=Øb�+����� , H � P ��*~<��~<£ª~��2�*�*���+������� �Z�^�?~ �å�*�=���<�:�¾~<�z�*~{~Øø~�� � H � P � Ü����*ض£J�*�Ì�?���*�Z���=ØA�?�*�l�2�=�¸��?��~<�6�×��~<��������*�=Ø6�^�å�v�*�*£6��i�(�*���o�?��~<�6�=¤:�����D�?~ª9 �Z� �u�z£ ������Ø*�Z�z�6���2~<���*Ø� H � P � ���*Ø��?~u�K~<�6�2�*�F�¾~��*�*Ø����¡�V~������z�Z���<�^�?���u�Ä���2�<�o�WØ*�Z�z� ¦ÀÖ �*�Z�T�2�o�o�2�Z~<�6~��Óë�=~��*�z�2���?��?�=ض�2�*� � 9<;?� � �i�����z�'~��T�?���V�=�Z�o£ª�o�^���Z�[Î � �xÏ Ð

±Ò � Ó �pÔ <� �oÜ.���*Ø�¢�v���*~<�z�v�2�*� � ��;+9 � �x�*���z�p�����2�*���¶�J�¢�+�A�?�����F�2�*���=~<�*���Z���¾����� ´¶µ O ��� Y Y� ��¦^x� �F�����¢�(~<�Z��~P�F�oÜ^�¢� �F���2�å�2~lØ*~l�2�*���2��£ª�4�?�*���*�*Ü{�*���×�(~<�������DPl���A�l�*�o�Z�<���¾~��2�*~{~ØA~��,P ] ���p�2�*���?��£6�K�?�Z£6� ¦�Å�o�R�*�0�=~<�*�z�ZØ*�o�.~<�*��£ª�o�2~<£6~<�2���*�Z�À����£ª�����'~��*Ùo�=�2~�� � H � P � �F���2� 1<] è M �1<] _ �¸¦ P8�'���+�<�z���z���z�=�o�å�?����� � H � P � �=~<�^�<�o�2�<�o���?~ > ��� Pu� P ] {�?�*�o�2���(~<�2��Ü�¢� �*�=�oØä�?~[�?�����A�ø�*~<�Z~�£ª~<�z�*�*���6�z�=���?�Z~��ä~�� Ï ���J���� ��*�Ì�x�<ÜR��Ý{�?�o�*Ø*�Z��� ����=���=£6�=�^�p~��.�?���K�=~<���=�2���=�.~�� · �'N ¦� �*�K�+���A���*�=���å�(�z~<£é�(~��2£J�*�Z� � 9 ¦ ç�9 � �?������?�*���T�=~<���=�2���=�"�Z�T�=¤:�����D�?~��?���F���=���?~<�×�2�*�*�z�����o� ~��¾�?�*�F ��"�=�×Ó \ ì \ < Ø î�<�=���=�?���?�=Ø �^�ï7 �Å\� � > � Ø î @ í N_^ U���� _ í N ÜF�F�*�=�z�N7 ��\� @ ����� �Z�ª�?�*�¶�*~��Z~<£6~<�2���*�Z��?�z���{�Ä�����Z�2���?��~<��~�� Ï �������� ��*�Ì�x�[�o~<�*�2��Ø*�=�z�=Ø �Z� � 9 ¦ ç<� ��¦lÛ �*�z�2�*�=�z£ª~<�z��Ü��z�Z�*�o��?�*��£6�o�2�2�Z���ø�Z�p£J��?���������ª�¾~��*�*Ø*�oØÚ�F�Ì�?���?�*��Ø*�Z���<~<������£6~Ø*�o���� 143 �cb î�b h������� � ;

�?�*��~<�¡�?�*~��<~<�����R~����?�*���Z£ª���<�l~�� · ���Z� å�(� H � P �2� �o~<�^�<�=�z�<�=�v�?~��Å\H � > � ���P � P ] ¦ �Å�o��� H �cî<� �"�A�[�*~<��~<£6~<�2�*���Z����Ý{�?�o�*�2��~<� ~����Å\H � > � �2~¶�[�*�o�Z�<���¾~��2�*~{~Ø�~��R�Z� ��*���x� �2�*���Ú�?�����4�(~��F���^� P65 <s �2��Qª�o�Z�o�:�2���A�o�Z~<�z�K�?~*P ] Ü*�2�*��<�o�o�?~���� H ��� H � P �2� Ø î �"�å�Z�b�?�*�ª�=~<���=�z�*�=��~�� · � �(� H � P �2��¦�> �*���N���ä��Ý{�?�o�*�2��~<���Ý�Z�¡�?�W�"�=�=���*�2� · �R�����2���=���*~��Z~<£6~<�2���*�Z�=���Z�Ì� �F���2� P����*ØV�^� S �Ä����£ ¥�¦¨§�©'� H � P ��Z���u���=�:�*�Z��� � �2�Z���<�Z�¸�i�����Z���=Ø � £6�=�z~<£6~<�2�*���Z���(�*�*���?��~<�ª~���P ¦ ¹ �*~��Z~<£6~<�2���*�Z��2�o�o�?��~<� <� H ~�� <Ï ���z~<�*�*Ø P ] ���v�2�*�=�Ë�<�����=�Ë�:� �2�*�ª�z�=���?�Z~��8�=~��*�z�2�2�*���?�=Øä����(~<�Z��~d�F�=ºÀ�(~<� PJ�2��Qª�o�Z�o�:�2���A�o�Z~<�z� �?~ P ] �z�*���A�?������� H ����Ø*�o *�*�=ØÚ�Z� � H � P � Ü��2�����¥*¦ ç<� � , H �cî ;�P � ì ß . 0 � � h � N ��� U �cî Ò � H � P �z� � H �cî^� ;�F�*�=�z�u�×�J�2�o�+�����Å�(�2~<£ �2�*�l�*�z~~���~��`GW�z~<�¾~��2���2�Z~<� ¥*¦Ç§�¥ �?�����'ß .-0 � � h � N ��� U �Z�'��*�*£6��i�(���*�o�2�Z~<��~<�6��Ø*�Z�z�J�=�o�:�2�=�z�=Øå���¢������ت~���Ø*�Ä��£ª���?�=�Rð�ñ b P Ò P ] b h � �F���2�ðPñ��2�RQ6�=���=�^�?�Ì�X�2£ª���Z��~��*��� Ø��=�"�=�*Ø*���*�8~�� �?���ø�����?��£6�o�2�=�2��~��'�?�*�Ú�Z�����?�Z����=~<���*�=���?�Z~���Ü� �Ý�=Ø[~��*�=�u���*ØÚ�(~<�F���Z� ¦'��Ö �*�v�Z£6�¾~��z�����*�=�K~��R�?�*���F���*~<�Z�o�v�F���Z�

Page 89: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ������� #���� ����� �����!� ��� ��� �( ��& ��!"�� ����� )���¾�o�=~<£6�V�=���+������� Ö �*�=~<�z�=£ ¥*¦ ç O¦Ç� ¹ ���2~*Ü.�Z��� @ H �cî ;�P � Ø 5î 5 Z � s ; < 8 ñ : � ��¾�K�2�*���*�*�Z¤:�*���z~<�Z���2�Z~<�A~��R�2�*���=¤:�����2�Z~<���¥*¦ ç�9 � 56 7 , H ��î ;�P � Ø î ì Ò · � @ H �cî ;QP � Ø 5î*�Ö �*�=�[�=~<�*�z�ZØ*�o�4�2�*�v�=~<�*~�£ª~<��~<��� �=�Ä���2� <� ]H � P � �Z�AÎ � �xÏ Ð

± ÑÒ�Ò � Ó ��Ô <� �F~��À�2�*��=~<���*�Z� �-, H �cî ;QP � Ø î ;+@ H �cî ;QP � Ø 5î:� Ø*�o ����=Ø ���v���"~d�<� ¦ > ���*�=�V�2�*�����*~<�Z�o��~�� � H�Z���Z�*Ø��=�"�=�*Ø*�o�^�F~���PV���*Øå£6~<�2�o~P���=� · ������Ø � H � P � Ø��=�"�=�*Ø��*~<��~<£6~<�2�*���Z�+���Z���~<� P*Ü*�Ì�p�(~<�Z��~d�F�¢�?����� <� ]H �Z� 56 @7 �i�*~<�Z~�£ª~<�z�*�*��� �Z� P�~<��?�2��Ø*�K~���P ] ¦� nDÕÂCÆ0ÂÄÃ�ÂC½ÀÆ ¥*¦¨§'O*È�� ��!6!C���ä�z/<!f��&���#%$�& < <Ï $f) <Ï !x$ P ] I��Ë1{�(-T&��21 I k!(��� ��$�BZ$�� $�,x���{#%q !�,�#Cyd#���Bw#Z�=��!�#%$�&AÉ�#Cy���&SI k !(�����d��q�!�#%$�&�� <� ]H )+$�,v��BCB.q���$�#%q��l$f)M 5Ë7:9 Q 1<] ; �+�+� ; 1<] _ � @ ��&"1�)+$�,F�d$�� �¢��$�BZ$�� $�,x���{#%q �z/<!f��&���#%$�&�� H $f) �Å\H � > ����Dq��[!C����!�)+$�,V��& k P�5 <s �����óq�#%��&�!cB k q�BZ$d�d�u!x$ P ] j�Í¢�v����y�� � H �(� H � P �2� 1 î 5²o³�´¶µ O �c· � ��� H � P �2�z� m�������4 E�������/�F�'�(� ��� �'�,�/�9��� ^x�X~<�2Ø��=���?~bØ*�o ����Ú�2�*�Ú *�¾�o�ª~d�<�o��Z�� *�*���x��Ü��¢�� ��2�¡�v�2�=���*�?���z�6�F�*���K�¢�6���+�<�6Ø*~<���6���:�2�Z����~P� �?~�~<���?���Z�S�2�*��*~<��~<£ª~��2�*�*���S�*�*��Ø*�Z� <Ï ì � <� ; 56A@7 � ���*Ø*�=�z���{�Z���N�2�*� �?�?���*�z�(~<�z£ª�oØ :4�Z�<����*�*�*Ø��Z��ºW�×���=~<�*�z�ZØ*�o�2�oØÚ�2�*���2�*�=�d���=� Ï ���*ØøÓö~d�<�o� sut � Ü�¢���*�*���Z�oØ��2�*�=£�������8�2~ sut � � <s �^� �?�*�A�*�z~ z�=���?��~<� £ª����� � ~<� �?���� *�2�z���������?~<�oÜ¢���*Ø�(~<�2£6�=ØA�2�*���2�*�=����£ª���

���� Ï Ð��Ò ������ Ó�=¤:�����"�?~ · ��~<�ª�?�*�  *�¾�o� sut � � 7�P�@ ¦ PË� �2�*�=�åØ��o ��*�oØA�?�*�4�<�=���?~<�¢�*�*�*Ø*���<��� ì Î � � ���� Ï Ð��Ò ������ Ó � ;~d�<�=� <s � <ô ���*ØË�×� ���o� 56A@7 �"�6�2�*�6�����z�2�Ä���W�o~<�*�*�o�o�2�Z~<�Ë�Z�*Ø*���=�=Ø8�:� <Ø ñ : � ¦^x�Ú�F�*���p�(~<�Z��~d�F�=Ü�×�v���=�o�[~<�A�F�z���?���*� Ï ���*ØøÓ �(~<���?���=�Z�p���*�Z� �x���������?~V�2�*��*�2~{Ø*�*���+Ü��F�*�=�*���<�o�À�?�*���RØ�~�o�R�*~��R�=���*�z�¢�=~����(�*�2��~<� ¦ }'~��2�Z�=�W�2����� · � ���0��~<�Z~��£ª~��2�*�*���F�Z�6�¾~��2� �o~~<�zØ*�Z�*���?�o� ¦ PË�'�F���2�ª�2~l�¸Ý�2�=�*Øå�2�*�4�:�{�"�=�z�=~<�*~�£ª~<��~<���~��¢�2�*�Z�v�2���+���F£ª���b~P���=�u�Z�� ������x�� À�×�ª�F�Z���W�¾�6Ø*~<���ª�Ì�¢�×� �+���ä��Ý{�?�o�*Ø8�2�*�£ ��� · � ~d�<�=�p���� ��*�Ì�x� ���A�J�*~<��~<£6~<�2�*���Z�4£ �����*�=� ¦ ^x�*Ø*�o�=Ø�Ü*�2�*�K�^��"�=�z�=~<��~��£ª~��Z~<���Ú~��¢�å�*~<��~<£6~<�2�*���Z�u����£ª������~��×�2�*�=���×£ª~<�z�*�*���2£6���Z�K�A�*~��Z~<£6~<�2���*�Z��<�o�o�?~��W�*�*�*Ø*���¢~d�<�o���?�*�¢�����2�¢�2�����o�p~����?����Ø*�o�(~��2£ª���?��~<�*�=Ü��Z�l~<�*�À�=���2� rsut � ¦}'~��2�Z�o���2�����v�^�bØ*�o ������?��~<� · � ì · Ò P:æ § Ø î B�ÜÀ�z~[���v�"�=�o~<£ª�o���2�Z���<�*�Ä��������¢�4�Z��� P��=~<�^�<�o�2�<�4�?~v�Z�� *�*���x� ¦ :'~d�×�o�<�o�=Ü{�¢�4�+���ª�2���Z�<�^�?�Ì�l���*���*�<�F�?�*�4�2���+���Ó ���S�2����� �ª���+�ø�?�����'�?�*�o�2�J�¸Ý�Z�z��� �����2�*�?���R�¸Ý�2�=�*�z�Z~<�¶~�� · � ¦ ¹ �^���Z��Ü"�×��(~<�Z��~d� M C�� N%¦

S ~<�*�z�ZØ*�o�v�2�*���*�2~ z�=�o�2�Z~<����� G �?~��?�*�v3��i�2�Ë�o~~<�zØ*�Z�*���?�V��� �2�*���*�2~{Ø*�*���£ ���*���(~<��Ø sut � � rsut � Ü{���*Ø6�2��� �Ó ì � �������! U � 9 � < Ó ¦ �o�+�����*�?����� ����" U � 9 �

Page 90: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� ��������Ø*£6���2�J�x�¢~b�<�Z~��������*~��Z~<£6~<�2���*�Z�å�z�=���?�Z~��*���+ñª����Ø�� \ Ü¢���*���?�����?�o�2�ZÙo�=Ø �:��?�*�4�����o�×�?��������� <�0ñp���*Ø <� \ ���2�'�2�*� �¡������Ø����2ØA���=�Z���{�"~<�z�*~~{Ø*��~��.��5 rsut ����*Ø;> 5órsut � �F���?�¶�o~~��2Ø*�������?�o��PÚ���*Ø�� ì P h � �����*�Z�z�*�Z�*�A��� �A���*Ø;>�2�o�2�"�=�o�2�����=����Ü��?�*�o�Ú�×�����+�<�

�+ñ � P � ì P � \ � P � ì 9 �Z� <�0ñ��¥*¦ ç §<��=ñ � � � ì 9 � \ � � � ì � �Z� <� \ ���¥*¦ ç<ç �}'~��2�Z�o�J�?�����v�*�o�2�*PÚ�Z���2�*���z�����*Ø����zØË�o~~<�zØ*�Z�*���?�V~�� s �×�ª���2�=Øb�?~�Ø*�� ��*�

· � ¦WÖ ���=�2���(~<�2���(~<�%aå5 rslt � �×�v������·� º Ï Ò � �Ó��¥*¦ ç ¥:��·� ì � \ � a � < · Ò 9§ �=ñ � a � < Ø î Bp;��¥*¦ ç H �

P8�p�z�=£ª���2�v�?�����W�^� ��¥*¦ ç §<� Ü<~<� <�0ñ ì s �×�p���+�<� �· � ì · Ò P^æ § Ø î B ì · ��Ü^�2~�· � �Z�'�Z�*Ø��=�=Ø ���S��Ý{�?�o�*�2��~<�¶~��W�2�*�JØ*���(~<�2£ª���?��~<� · � �?~å���� ��*�Ì�x� ¦ Ö ���=�2���(~<�2��Ü�Z�J�F�������(~��Z�Z~d�F�0�¢�4���o�=�6~<�V�F�2���2�Z�*� · �(~�� �· �F�*�=�*���<�o���2�*�Z�WØ*~{�=�T�*~��T�+���*�z����^�A�=~����(�*�2��~<� ¦ ^x�A�?�*���2��£ª��£ª���*�*�o�=Ü��×�v�2�=���?�*���· \ ì Ò 9§ �=ñ � P � � � \ < Ø î Böº Ï Ò � Ó < � ��" U � 9 � � � \ �

Û �2~<£ �2�*�åØ*�� ��*���2�Z~<�Ë~��p�?��� �2���+�+�<�o� Ï ���*ØNÓ ~��*� �=��� �2�o� �?�����l�?��� �=~���*~<£6~<�Z~����Ú�2�*�=�d���=�J~��×�2�*�Z�K£ª��� ���z�� ñ � Ø î B � ì �����*Ø� � � Ø î B � ì � \ Ü�?�*�v�2�^�^�x�z�=�2���¾�o� �z�*�+�����2�*�*�"~<�¡�?�=Øø�Z�Ú�¾~��Z�^�?�F~���ô ���*ØÚ���+����*� �¡�������å�=¤:������?~��=ñ � P � � � \ < ²o³�´¶µ O � � µ � �c· ;�� �2� �����Ú5¶ô ¦WÖ �*�o�2�o�(~��2��Ü"���F��� GT�z~<�"~<�2�Ì�?�Z~��¥*¦Ç§�¥ ÜP�¢��~����������v�2�����0�?�*�� ��2�¡���^�{�¾�o�2�o~<�*~<£6~<�Z~����K�2�*���=��~��*�?�*���R£ª���v�=¤:��������=ñ � P � � � \ < � 9�� ¯�� ²�³�´¶µ O ��� µ � ��· ;�� �z�2� Ü�����ØA���Z���Ì�?��~��?���=���:�{�"�=�z�=~<�*~�£ª~<��~<����2�����=�=���������Z�2� ¦�Ö �*���¸Ý�2�=�*�z�Z~<�A~��Å�?�*� ���=���?~<�����*�*Ø*����<� �2~J�Z�� *�*���x�����×�?���=��<�����=�ø�:�Ú�z�o�2�2�Z�*� <� � ì Î � �fÏ Ð��Ò � �Ó � �(~<�4�����a[5Nrsut � � <ô ¦ ^x�[�����¡�?���=�*�Z���=Ü���^�S��~�=���R�z�=���?�Z~��Ë����� ì �å~�� < �Z��� ����£ª������~����z�=�o�2�Z~<���K~��T�?�*�V�z�*�+��� �Ó'Ü���*Ø��?�*�o�2���(~<�2���+���ø�"���F�2�Ì�2�?�o���¥*¦ ç ©^� �=ñ � � � <�� �cî ;�� � ;�F�*�=�z� � �cî ;�� � ���2�K�z�=�o�2�Z~<���4~��WÓöØ*�o�¾�o�*Ø*���*�ª~��Ú�2�*�������?��£ª���?�=��� ¦

� nDÕÂCÆ0ÂÄÃ�ÂC½ÀÆ ¥*¦Ç§'g�È �����[�z/<!x��&���#%$�& < <Ï $f)A!C���å��$�BZ$�� $�,i���{#%qª��!�,¸�Dq�!��,?�$f) <Ï !f$6#C&+-T&�#C! k #Z�v!(���J�z/<!x��&���#%$�&SÍÀ��$d�d����$�BZ$�� $�,i���{#%q��d��q�!�#%$�&��u��!�#C&+-T&�#C! kq2��& I��vÍW,¸#C!c!x��&b����#C&Na�u"m��! �gdjTÍW#C!C� � �cî ;�� � ��$�BZ$�� $�,i���{#%qK#C&"�"mPË�¢�=~�£ª�W�?~4�?�*����Ý�*���Z�o���0Ø*�=�z�=�z�Z���2�Z~<�v~��D�4�*~<�Z~�£ª~<�z�*�*�����2�o�o�?��~<�l~�� < <Ï ���P ì > �F���2�A�2�=�z�¾�o�o�F�?~V�2�*�Z���¸Ý{�?�=���2�Z~�� ¦ P8��£ª�����K�V�z�Z£6�Z�Ä�����o~<�*�¡�?�2���o�?��~<����.�Z���?�*�T�=���2��~��*��~<�^���z���2�*£ª���À�z�Z�*�<���Ä���z���?���=�oº¾ ��z�z�+ÜP�×�¢£ª�������F�����2���T�2�=£ª���z� ¦

Page 91: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ������� #���� ����� �����!� ��� ��� �( ��& ��!"�� ����� ���UWV q0Â�p ¥*¦¨§?`�È X � Pu� > j���BCB*|���,�$d�u$f) � µ @ �c· � � q�$�&�y���,%É{��!f$ª$�&��l$f)K!C�����$�#C&�!(� $f)vô m \b$�,?��$�y���,?j4���d�^��$d��#C&{É ��� P � � � G j Í¢�V����y��V!(��� ��� k � �"!f$�!�#%qI�������yd#%$�,

��¥*¦ ç O<� ��� P � ì � G.Q § E G HP Q�a � P�h�� _ « � ;ÍÀ����,?��E G Hø#Z�A� &�$�&��xy���&�#Z���{#C&{Éb��#ÌÉ{��&�y���Bw����$f) !C��� ,�����#�1����Ú$f) · ��! � G ��&"1�Jò �bq2��&bI��Vq���$d�d��& ��,oI=#C!�,2��,¸#CB k ���6��BCBÌm ��& ����,¸!c#%q��{BÌ��,?j�!(�����x����q�!�,z��BÀq��,¸y��#Z�v&�$�!×I=,2��&�q����21A$�y���,v!C������$�#C&�!P ì >�m

»�¼¾½À½ÀÕ È �Å�o���*�T�=~��*�2��Ø*�=�W�?���4Ø��o�(~<�z£ ���2�Z~<�V~��¾�2�*� :'�Z���<�� ��=��Ø��Z�V�?�o�2£6�~����2�*�l�o~~<�zØ*�Z�*���?� � ì P h � �Z� <� \ ¦ ¹ �'�×�J�2�o�u�(�2~�£ �(¥*¦ ç<ç � ���*Ø �(¥*¦ ç H � Ü"����Z�p�<�Ì�<�o�ø�^�·�� ì � · Ò 9§ Ø î B �}'~��2�Z�o�8�?����� ����� � ��Üv�?�*�ä *�2�z�[�?�=�z£ ~<���2�*�ä�2���<�^�z�i�����*Ø��z�ZØ*�ä���Þ� �Ý�=ØN�"~<�Z�^� î 5 sut � � ô �¾�o�=~<£6�=�V���*�2���<�*�Ì ��+���^�=ÜW���*Ø ·��P��î^� �=~��:���=�z�<�=��?~ Ò 9Pæ § Ø î B ¦¶Ö �*�=�z�o�(~<�z��ÜW�(~<� b � b �z�RQ6�=���=�^�?�Ì�8�z£ �����%ÜR���Z��Ù=�o�2~<�l~�� � µ @ �c· � ����2�V��� �A�*�=���<�:�¾~<�z�*~{~ØS~���ô ¦ ^x� ~<�zØ*�=���2~ÚØ��o�?�o�2£6�Z�*�J�2�*�����¡�£6���2~��?���J~���?�*�����=~<�^�<�o�2�<�o�*�=��Ü��2�o£ª�o£J�"�=�K�?�������Z�Ë�Ú�*~��Z~<£6~<�2���*�Z�v�?�2�Ì�{�Ä�����Z�?���?�Z~��[~�� �Z�ª�2~<£6�'���=�Z���{�"~<�z�*~~{Ø6~�� � G �2�*�Y:4�Z�<�<�T ��o�ZØ ���×�o¤:�����D�?~l�2�*� £6~Ø��=� � 9 ¦¨§'g<��*�å�?~v�?�o�2£6���Z� a �cî Ò � G �¸¦ ¹ �����ª�2�*���+���2��Pu� P ] Ü:�?�*���z~<�Z��?�Z~��*�¢���2���o�Z~<�z��?~å�2�*~<�2�V~����2�*�VØ*�Z���<~<�����0£6~{Ø*�=� � µ @ � � � 143 �c·��d� ��<�z�2� ì � � �z�=� S �Ä���Z£ ¥*¦Ç§�©^��¦Ö �*�Z�F�o¤{�*���?��~<���Z� � � H �� � �{E G H

�� Ò � G Ò9§� ì � �Ö �*���2~<�����?��~<�*� �� GH � � � ���2�K�o�Z�+���2��� �<�����=�Ú�^�

�� GH � � � ì � G.Q § �{E G H ì � G0Q § E�G HP �:'�o�2�A�?�*�A���*�¾�o�V�Z�*Ø���ÝN~��F�2�*�A�2~<�����?��~<� �z�?���*Ø*�V�(~<�u�?�*���"~<�Z�^� � G 5Þô ����=~<�^���=�2���=�ª�2~*Ü×���*ØN�?�*�Ú�Z~d�×�=���Z�*Ø���Ý M 5®7PO G¢Q 9�; �+�+� ;?O:@[���6Ø��o�?�o�2£6�Z�*�oØ�^�ø�2�*�V��Ý{�?�o�*�2��~<�¶~��W�2�*�J�=~����=�z�*�=�W~�� ·�� ��� �2�*�J�"~<�Z�^� ¦ ¹ � �����*�Z���+���2�Z~<�Ú~�� ~��*��������`�F�?�*�o~<�2�o£ �<�����=�4���^���Z�å�?���v�o�Ä����£ ¦Û �������Z�Ì�<ÜD÷ �Z�F�*~��4�?��£ª�Ì ��=Øø��� P ì > �¾�o�+���*�z�u�2�*�Z�p�×~<�*�ZØø�Z£6�*���ª�?��������K���+���¡�K�x�¢~�~��T�?��� � H � P � ��Ø*£6��� �2�*�V�?��£ª� GW�*���2�=�{ݶ��Ý�����*�2��~<��ÜÅ�F�*�Z��� ����Z£6�¾~��2�2���*�Z�'�¾�o�+�����2�v~�� �(¥*¦ ç O<� ���*Ø � 9 � ~�� :F�{�¾~��2�*�=�z�Z��9 ¦Ç§'g�¦ l

Û �*�z�2�*�=�z£ª~��2��ÜD�^� S �Ä����£ ¥*¦ 9 g �?�*�u�¾~��Z�^�?�F~��W÷×�'Ø��o ��*�l�ª£J�����?� �i�������*�=Ø£ª�o�2~<£6~<�z�*�*�Z���(���*�o�2�Z~<�6�Z�V�?���4�����z�Ä���*��� Pv�*�+�����Z� ��*���x� ¦ �Å�o� � GH � P � 5 ÷×�T�"��2�*���l�4��~<�Z~<£6~<�z�*�*�Z�=���Z�Ì�p�����z�{�Z���4Ùo�=�z~'~�� � µ @ �c· � � Ü����*Øv�2�*���¾~<�z�×�Ì�Å�=~��:���=�z�<�=�

Page 92: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� �������?~�� G 5 ô ��� Pl� > ¦ P8�v�+���ø���o�F�?�*�v�Z��Ø*��Ý M �?~V�����z�A�(�z~<£ O G0Q 9��?~6O ¦S ~<�*�z�ZØ*�o�F�2�*��Ø*�Ä���<�?��£ ÷

� _�

��sut ��� rsut �� U����

����

���

��???

??

sut � rsut ��F�*�=�z���ø���ª���*�=���*�2��~<� ���*Øö�?���ø�x�×~ ~��?�*�o�å���z�2~d�F�A���z�[�=���*~<�*���+���F�*�z~ z�=�¸��?��~<�*� ¦ ^x�ë~<�zØ*�=���?~XØ*�� ��*�ä�X�Z~{�+��� �*~<�Z~�£ª~<�z�*�*���¶�2�=���?��~<�ë~��u�?�*� �?�2���*�f��(~<�2£6�=ØÚ�*�*��Ø*�Z��Ü*�¢�u�*�=�oØø�?~6���*~{~<�2�v�=���=£6�=�^�?�4~�� ²o³�´¶µ O ��· � ��� GH � P �2�z� �(~<�4���Z�P*Ü"�2�*���S�2�����'�?�*���[Ø*�o�¾�o�*ض�*~<��~<£6~<�2�*���Z�+���Z���6�F���2�%P ¦ ^i� �Z� �o�Z�=���4�2�����'�?�*����Z�ª�=¤:�*���������=�^� �2~ ���*~{~<�2�¶�ä��~�=���F�*~<��~<£ª~��2�*�*�����2�=���?��~<� � ~���� � � �� Óâ~d�<�o��?�*� �*�2���*��� ��� GH � P � ;�P � ���+���A�?���¶�¾~<���^� � � G ;T> � �z�*��� �?�������(~<�����Z�EP�Ü'�×����+�<� � �(� GH � P � ;�P � 5 ²�³�´¶µ O �c· � �(� GH �2�¸¦ > �Z�*�o�[���:�N��~�=���p�2�o�o�2�Z~<� ~��KÓ �*�=���� G £J�����?���*�Z���=Øä�^� �cî Ò � G � �Z�6� �Z~{�+���p�z�=���?�Z~��ö~��'�?�*�Ú�2�*�=��� Ï < Ø î Ü¢�2�*��2�o�o�?��~<� �(� GH � P � Ò � G � � ~���� � � �� Ó �*�+��� � � G ;T> � �Z�Ú�Z� �����o�¶�X�Z~{�+���K��~<�Z~��£ª~��2�*�*�����2�=���?��~<�ä~��� � � �� �fÏ < Ø î^� ~<�Ë�2�*� �*�2���*��� �(� GH � P � ;�P � ~����?��� �2�"�=�¸��?�2�����=���z�<�8÷ á sut � � rsut � ¦®Û �*�z�2�*�=�z£ª~��2��Ü'�¾�o�+�����2� ~�� S �Ä����£ ¥*¦Ç§K` Ü��� GH � P � ;�P � L� � GH � P � �Z�F�V�2��£ª���Z�K�=~d���=�4�*�+��� � G �F���2�*~<���F���?���*�����Z�*� ¦ ^x�Ú�����f��?���=�*�Z���=Ü*�(~<�'����� � �z�RQ6�=�Z�o�^�?���Ú�o�Z~<�z�v�2~ � G �2�*�=�z�J��Ý���z�?� �ª�*���Z¤:�*� P ����� �2�*����?����� � ì � GH � P �����2��¦NÖ �*�o�2���(~<�2��Ü ��� GH � P � Ò � G � � ��� GH � P � ;QP � �����2�*�Ú�Z���C�l�(�2~<£sut � ~����6�z�=���?�Z~�� �¸GH ��î^� Ø î ~�� Ï < Ø î ���ø���*�o�Z�<�:�"~<�2�*~{~{ØÚ~�� � G ÜD�2�����[�?������(~<�F����� � �×�v�*�d�����¥*¦ ç g^� � GH �(�<� Ø î 5 ²o³�´¶µ O ��· � � ­ � �����2���^x�J�����¡�?���=�*�Z���=Ü � GH � � G � Ø î 5 ²�³�´¶µ O �c· \ � � G �2� ì ;)< R 7 < Ø î Ü^���À�Ì�À�=���J�=���2�����K�"����*�=�����=Ø��*�z�Z�*�v�(~<�2£J���Ä� ��¥*¦ ç H �¸¦tS ~<�^�<�o�2�z�=����Ü��×��£ �+���o~<�*�2��Ø*�=�¢���^�6�2�=���?��~<�� GH ��î^� �2���?���z�C�{�Z��� �(¥*¦ ç g^� Ü��Z�Ì�C��� GH ��î^� Ø î �?~Ë�b�z�=���?�Z~�� ~��� � � �� �xÏ < Ø î^� Üp���*ØØ*���{��Ø*�W�?�*�T�2�o�2�*�Ì�0�:� � Ò � G �?~4~<���?���Z� � ¦�Û � ÝK�*~d�ä�(~<�0����� M ì 7PO G�Q 9<; �+�=� ;?O:@�ø�z�=�o�2�Z~<� � GH6�2���?���z�C�{�Z�*� ��¥*¦ ç g^�¸¦ ¹ ���T�2�����v�¢� ���+�<�å�2���ZØ8���¾~d��� £6~��?�Ì�����?�=��?�*��Ø*�� ��*�Ì�?�Z~���º��¥*¦ ç `^� , GH ��î ;�P � ì ß .40 � � U �cî Ò � GH � P �z� � GH ��î^�î Ò � G < �+ñ � P � ;�F�*�=�z�v�×���2�o�+�����.���^�����å�(�2~<£é�?�*���*�z~~��R~�� GW�2~<�"~<�2�Ì�?��~<� ¥*¦Ç§�¥ �?�����Fß .-0 � � U ������*�*£6��i�(���*�o�2�Z~<�V~d�<�o�W�?�*�pØ*���2�v~��¾�?��Ø*���*�ÀðPñ?æ b P b¨¦ �o£ ���z�v�2�����W�������Z�����?�Z~��~�� , GH �cî ;QP � Ø î ��� î ì � H � P � ���K�:� Ø��o ��*�Ì�?��~<� �Z�¶�?�*�6�=~����=�z�*�=��~�� · � ¦ ¹ ���2~*Ü

Page 93: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� * ��� ���( ��&'�"!��� ��� � ��� ���f �!��������'��!�$ �������((�� �����&D� �]���� ���X�2�*�[�=���2�ø~��K��~<�^���z���?��£ª���å�2���*�<�*�Z���2�Ì�?�Z�o�=ÜT�(~<�ª���Z� PË�=��~<�2���?~Ë�Z�� ������x�<Ü�Z���o@ G H ��î ;�P � �¾�å�2�*���*�*�Z¤:�*���z�=�o�2�Z~<�N~�� �?���?�Z�¡�C�{�Z�*�¶�?���A�=¤:�����2�Z~<� ��¥�¦ ç�9 ��(~<������� î Ü��Z� ~��2�*�=�V�×~<�2Ø��6�z�*��� �2����� � Y Y� �-, GH �cî ;QP � Ø î ;+@ G H �cî ;QP � Ø 5î:� ì � ¦ ¹�*~<��~<£ª~��2�*�*���å�?�z���{�Ä�����Z�2���?��~<� ~�� < <Ï ��� ���� ��*�Ì�x�X�Z���?�*�o� �<�����=� �^�X�?�*� � Y Y� ������z£ª~<���Z�A�2�o�*�2�o�2�o�:�?���?�Ì�<�o� <� \H � P � ~�� �2�*�Ú�=~<�*���Z�=� �-, GH �cî ;QP � Ø î ;+@ G H �cî ;QP � Ø 5î:��(~<�F����� M ì 7PO G.Q 9<; �=�+� ;2O{@l���*Øø���Z��3 ì 7:9�; �+�+� ;?>R@ ¦

���������'��&(+�.'6728�9�"��� � �(� �"!�0��2"6D���F� ��28H=��- #%�'&�&(� ,��.'-^x�ª�2�*�Z�T�����z�+Ü^�×� Ø*�o�2�o�2�Z�"�F�?�*�4�=���<�=�^�����Z���=�T~����2�*�4�2�Z���<�*�Ä���W�����z�2�T~����2�*��?�2���*�z�(~��2£6�=Ø :4�Z�<�<�� ��=��Ø <·�� �����?�����2���*�<�*�Z���2�Ì�?�Z�o� ¦0Ö �*�Z�¢�=�z�?���*���Z�2���=���"~<�Z�^�2���¥:� Ü �c©<� ���*Ø �VO<� ~�� Ö �*�o~<�2�o£ 9 ¦ ç §¦����'CD�� !�� J 6D� � ����6*.���&�6728���"!�HI�'JE�F�5�&(+/.�6728������ �o�+�������(�2~�£ �(¥*¦ 9+ç ��?�����Å�?�*�W�?�2���*�¡�(~<�2£6�=Ø :'���<�<�� *�=�ZØ����ÅØ*�o ����=ØJ���Å£J�*���2�Z�*���Z�=���?��~<�'�^���2�*�T�=~{~<�¡�Ø*�Z�*���?� Ò î æ § ~����4�����2£6~<�*�Z�À�2�*���*~<�=Üd�(~<���Z~d�×�=Ø��^�K�*�2~ z�=�o�2�Z~<�v~<�^�?~F�����2£6~<�*�Z��(~<�2£6� ¦� n=p p q ¥*¦ ç<� È ����� �d��!�$f)l��#ÌÉ{��&�y���Bw�����u$f)�!(����!�,z��&��()+$�,¸� �21�� #ÌÉdÉ���-���BÌ1<·�� $�&[!C���W-×I���, <�� aiÍW#C!C�A�V�{Bw!c#Ç�"Bw#%q�#C!�#%���xgV#Z�J�2Ê=����B�!x$ Ò ÷×�¸æ § aiÍW#C!C���V�Bw!�# ��"Bw#%q�#C!c#%���xgdjWÍÀ����,��4÷×�l#Z��!C���K�d��!p$f)'|���,�$d�l$f) � µ @ ��· � � m»�¼¾½À½ÀÕ È �Å�o�6�¶�=~��*~<£6~<�Z~<���Ë�o�Ä���z�V�Z�ä�2�*�A�2�����=� < �� ì K � � EV� �A� �2�o�¥*¦Ç§ ç � �¾�ª�2�=���2�=�z�=�^�?�oØ �^�X9o�%�(~<�2£6� �C,¾� P � Ø î ;]@ � P � Ø 5î:� 5 � 8 �;: ñ 9 8 �j: ñ � < ª¦

> �Z���=�F�?�*�����z�*�Z��~<�T�Z�T�*~��������z£ª~��*�Z��Ü< ��2�¡�¢~��Å���Z���×� ���=�=Ø ���2�=���*���Z�+���¾�z�=�2�����+ºUWV q0Â�p ¥*¦ ç�9 È � ��! �C,�� P � 1 î ;+@ � P � 1 5î:� 5 � 8 �;: ñ 9 8 �;: ñ � < I��v��&�&�#Z�{#CBÌ��!x�21I k � Y Y� mª������&SÍ¢� ����y��

<� �� ��î <� �� �C,¾� P � 1 î ;+@ � P � 1 5î:�2� ì <� �� �cî*�-,¾� P � 1 î ;+@ � P � 1 5î:�2�¸���&ËÍ¢$�,21���j�!(�����{q�!c#%$�&N$f)J!C���� #ÌÉdÉ���-���BÌ1[q2��& I�� q�$�� �"�{!x�21¶$�& ��& k ,?�x�",?� ��d��&�!i��!�#Cy����d��q�!�#%$�&¶#C& ´¶µ O ��� Y Y� � m»�¼¾½À½ÀÕ È×Ö �*���4���p�z�2�?�����<�^�2�(~<�¡�����zØ�º��×�u�*�o�=Ø��?~6�2�*~d�

<� �� �cî*� ^xØ Ò <� �� �o�-,¾� P � Ø î ;+@ � P � Ø 5î:�z� ì ��;�F�*�Z���Ú�Z�p�o¤:�*���������=�^�p�?~î�� Y Y�� � ��� Y Y� � � �-,¾� P � Ø î ;+@ � P � Ø 5î:��� < �� �}'~d� �?��� ~<�*�Ì�¶�?�*���*���?~S�z�=£ª���2�¶���v�2�����u��� �C,¾� P � Ø î ;]@ � P � Ø 5î^� 5 ´¶µ O ��� Y Y� � Ü�?�*�o�Ú�2�*�Z�p��£ª���Z�Z�o�×�2�����

��� Y Y� � � �-,¾� P � Ø î ;+@ � P � Ø 5î:� ì ��� Y Y� � � �-,¾� P � Ø î ;+@ � P � Ø 5î:� 5 8 ñ < ;

Page 94: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

�]� ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� ���������*Ø��^�AØ*�Z���<~<�����Z���x��~�� �¢�F�Ì�?���2�o�2�"�=�o�F�2~��2�*�KØ*�o�=~<£6�¾~��2���2�Z~<��� _ < ì� 8 ñ < l� 9 � 8 � < l��� �2�o� �Å�o£ª£ª� §¦Ç§�¥:� Ü*���Z�z~

� � � Y Y� � � �C,¾� P � Ø î ;]@ � P � Ø 5î:� 5 8 ñ < 6�Ö �*�=�z�o�(~<�z�v�×�����+�<�

� Y Y� � ��� Y Y� � � �-,¾� P � Ø î ;+@ � P � Ø 5î:� ì � Y Y� � ��� Y Y� � � �-,¾� P � Ø î ;+@ � P � Ø 5î:� ;���*Ø��¢���o~<�*�=���*Ø*���*�z�Z�*���?�*���o~<£ª£l�������2�Z~<� �2�=�Z���?��~<�M î ; � Y Y� N ì ��=~<£l�*�Z�*�oØA�F���?��� [ ��� Y Y� � � < �� ¦ l

Ö �*�v�*�2~{~��R~��0�?�*���Z�o£ª£ª�l���p�*~d�ï�Z£6£6�=Ø*�Z���?��ºR�{�Ä�J�?���v£ª��� ��¥�¦¨§'g<� ÜJeh �� ��î��-,¾� P � Ø î ;+@ � P � Ø 5î:�z� ì ����� µ , 1 U ­ ,¾� P �2� ­x¯�° ±£J�*�Ì�?�Z���Z�Z�=���?��~<�K�^� î �<~{�=�W~d�<�o���?~K£J�����?���*�Z���+���2�Z~<�K�^� � �Z�u�?�*�p�"~<�Z�^� � 5 ÷×�=Ü���*Ø �{�Ä� �(¥*¦¨§'O<� �?���Z�V�Z�u�?�*�o� �z���i�2�?�����z�(~<�z£ª�oØ �Z�^�?~¶£J�����?���*�Z���+���2�Z~<� �^�ä�2�*��=~<���z�����:� � ~<�A�2�*���=~<£6�¾~��*�=�^�4~�� ,�� P � ��~�=���Z��Ù=�oØA�*�+��� �{¦ l

��� nD½À¼n=p ¥�¦ ç §�È �����X��#ÌÉ{��&�y���Bw�D���X$f)ä!C��� !�,z��&��()+$�,�� �21 � #ÌÉdÉ��å-���BÌ1<· � ����y���-T,���! �2$�,z1{��,J��$�BZ����#C&ó!(���V��$�#C&�!C�¶$f) <ôªm��{,¸!(����,¸� $�,?��jJ!C���Ú&�$�&��y���&�#Z���{#C&{É ��#ÌÉ{��&�y���Bw�D��� $f) #C!C�8,�����#�1����Ë#C&Þ!(�����"�{&�q�!c�{,?�%P ] ��,?�N�2Ê=����Bv!x$7 Ò E \ � _ í N ; �+�+� ; Ò E \í N_^ U @<j[ÍÀ����,?�Ë7�E \� _ í N ; �+�+� ;¸E \í N_^ U @���,?�8!(��� ��#ÌÉ{��&�y���Bw�D���N$f)!(���[,?����#�1��D� $f)Ú!C���Ë$�,¸#ÌÉ�#C&"��B � #ÌÉdÉ��l-���BÌ1 · ��!J#C&+-T&�#C! k j�,?����!c,¸#%q�!x�21N!x$ä!C�����#ÌÉ{��&��x���{q��l$f) � q�$�,�,?���x��$�&"1�#C&{É�!f$6!C���V��#ÌÉ{��&�y���Bw�D� P ] m»�¼¾½À½ÀÕ È ¹ �F�×�l���+�<�u�2�o�=�S��� �(¥*¦Ç§K`^� Ü*�2�*�v�¾~<���^� � H � P � 5b÷×�F�=~��:���=�z�<�=��?~��Z� ��*���x�[���K�2�*�J ��2�¡��~<�2Ø��=���F���2� § E"\H � P Ò P ] � h � ���YP�� P ] Ü��F���=�2� M 57:9 Q 1^] ; �+�+� ; 1^]`_ � @��Z�����6�Z��Ø*��Ý��z�*��� �2�����T�?�*�F�o�Z�<�o�:�������*�'E"\H ~����2�*�F�2�o�2�ZØ��*��?�o�2£ã~�� · ���T�Z�� *�*���x�����*�¾�=���2�T�����2�*�F�=���<�=�*�z�����o�'~��¾�?�*�F�z�=�=~��*Ø ~<�zØ*�=�W�2�=�2£

� �=~<�z�2�o�2�"~<�*Ø*���*�K�?~K�?�*�p�o�Z�<�o�^�����Z�*� P ] ¦ 3×���Å�o£ª£ª� ¥*¦ ç<��Ü<�?�����?�?���*�z�(~<�z£ª�oØ:'���<�<�� ��o�ZØb�����u�Ú��~<�^���z���?��£ª���u�z�Z�*�<���Ä���z���x�[���WP ] ÜR���*Ø �?�*�6�=~<�z�2�o�2�"~<�*Ø*���*��2�o�2�ZØ��*���Z� Ò E"\H ¦ l��������� !��$J 6D�F�$��� �5� ,�/�9��� PË���F���2���?~��2��~P�ë�?�*�K�(~<���Z~d�F�Z�*� ¦��� nD½À¼n=p ¥*¦ ç<ç È �����ø!�,2��&��()+$�,¸� �21 � #ÌÉdÉ��u-���BÌ1Ë�����¶�Ë�d��q�$�&"1ö$�,z1{��,��#C&{É��BÌ��,¸#C! k ��!�#C&+-T&�#C! k mª�������d��!p$f)l��#ÌÉ{��&�y���Bw�����J$f)K#C!C�vBZ�2�^1�#C&{É�$�,z1{��,�!f��,¸�#Z�v7 Ò � � æ § ; �+�+� ; Ò �DR�æ § @<j×ÍÀ����,���7�� � ; �=�+� ;��7R<@ ì ô #Z�v!C���u�d��!F$f)��"�&�q�!��,?���$f)v!(����$�,¸#ÌÉ�#C&"��B ��#ÌÉdÉ��JI=�{&"1�BZ�=mÚ�����v�V�{Bw!c#Ç�"Bw#%q�#C! k $f)�!C���ª��#ÌÉ{��&�y���Bw��� Ò � G æ §#Z���2Ê=����B*!f$pO Ò O G ì O M ��� µ � �c· ;�� G �z� m������¢�d��!W$f)'��#ÌÉ{��&�y���Bw�D���'$f)p!(���p,�����#�1����

Page 95: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ���R D�"!����#��& ���A�o���(��� �� �+*$f)p!C���F!c,z��&��()+$�,¸� �21 � #ÌÉdÉ���-���BÌ1v,�����!�,¸#%q�!f�21v!f$�!C������#ÌÉ{��&��x���{q��4$f)p!C�����d��q�$�&"1 �$�,z1{��,K!f��,¸� q�$�,¸,?���x��$�&"1�#C&{ɪ!f$6!C���J��#ÌÉ{��&�y���Bw��� Ò � G æ § #Z��7 Ò E G H+@ H ¯�� ��� _ �;:������ : ��� m»�¼¾½À½ÀÕ È ^x� S �Z���Z£ ¥�¦¨§K` �¢�ø���+�<�S���2~d�<�oØ �?����� ��� � � ��Üp�����4Ùo�=�z~<�~���� µ @ �c·��¸� £l�*�z���o~<�^�<�=�z�<���?~A~<�*�V~����2�*�V�"~<�Z�^�?�K~��¢ô ¦uÛ ���z�?���=�2£6~<�z��Ü��2�*���Ý�������2�Z~��ø~��À�V�2�"�=���?�?���Å�¾~<���^� � H �o~<�^�<�o�2�<���*�6�2~ � G ��� ��¥*¦ ç O<�¸¦ 3×���Å�=£6£ª�¥*¦ ç<��ÜF~<� �?���S�=~<�z�2�o�2�"~<�*Ø*���*� �=~<£6�"~<�*�=�^�2� <· � ��� z�*�z�å£J�*���2�Z�*���Z�=���?��~<�N�:�

Ò ÷×�zØ�P^æ §¦ :4�=�*�o��Ü{�¢�'�2�=�F�?�*���T�?�*�4�=���<�=�^�����Z���=��~����2�*�'���+��Ø��Z�*���i~<�2Ø��=�À�2�=�2£~��.�?�*���2�?�����z�(~<�z£ª�oØ :'�Z���<�¢ ��o�ZØÚ���2� �=¤:�������2~å7 Ò � G æ § @ G ��;:������ : R^Ü��F���Z�Z�'�?�*~<�z�~��R���?�� *�2�z�¡�x~<�zØ*�=�p�2�=�2£ ���2�J7 Ò E G H @ G ��;:������ : R� H ��� � _ �j:������ : ��¦ l��� t 6�286�) ��.'�'J � ���'&(!��"�

:'�o�2� �×�å�o~<£ª�����?� �2�*� �*���?���"~<���Z�V�¢�o�Z�<�^�2�J~��p�?��� �?�2���*�z�(~��2£6�=ØI:4�Z�<����*�*�*Ø��Z�K�F���2�Ú�z�=�z�¾�o�o�4�?~V�?�*�����*Ø*�*�o�=ØÚ��Ý{�?�o�*�2��~<� ¦���'CD�� !��$J 6D�F�$��� �5� ,�/�9��� ��� nD½À¼n=p ¥*¦ ç ¥DÈ �����ª����,z�^I�$�Bw#%q[Í¢��#ÌÉ��{! $f)S!C���8�z/<!x��&���#%$�& < <Ï $f)S!C���!c,z��&��()+$�,¸� �21 � #ÌÉdÉ���I=�{&"1�BZ�J��!¢#C&+-T&�#C! k 1{���dq�,¸#�I��21 #C&��D��I��d��q�!�#%$�&fu"m u"mZh�j×,?� ���!c,¸#%q�!x�21J!f$u!C���v��#ÌÉ{��&��x���{q�� $f) <· q�$�,¸,����x��$�&"1�#C&{Él!x$u!(���K��#ÌÉ{��&�y���Bw��� Ò � G æ § $f)#C!(�K�d��q�$�&"1A$�,21{��,�!x��,¸� ��&"1 !(���V��#ÌÉ{��&�y���Bw��� Ò E G H $f)�#C!(�v,?����#�1����v#Z�V�2Ê=�*��BÅ!x$Ò 9 Q G H jFÍÀ����,?� G H #Z�J!(���'����,z�^I�$�Bw#%qJÍ¢��#ÌÉ��{!'$�&Ë!(����E�G H �2��#ÌÉ{��&��x���{q���$f)J!C���,?����#�1��D�J$f)�!C���V$�,¸#ÌÉ�#C&"��B � #ÌÉdÉ��uI=�&"1�BZ�l��! � G m»�¼¾½À½ÀÕ È PË�u�*�z~d�<�u�2�*�v�z�����?�=£6�=�^�'�Z���x�¢~ª�z�2�=�*� ¦ ^x�ø�?���v ��z�z�'~<�*��Ü"�×��2�*~d� �?��������� �Z�4�?�2���J�2�*���¾~<�z�Z�*�å�2�*�J~<�z�Z�<�������:4�Z�<�<�'�*�*�*Ø��Z�J~<�����Ú������~��*��Z~<�<���2�Ì�?�*£6�Z�v�¾~��Z�^��~��¢�����2�=�o�Z�z���(~��2£ ¦ ^x�b�2�*���2�=�o~<�*Øb~<�*��Ü0�×���2�*~d� �*~d��?�*�Ú�+���2�ø�F�Ì�?�X~<�*�Ì� ~<�*�Ú�Z~<�<���2�Ì�?�*£6�Z�ª�¾~<���^�6���*Ø �2�*�Ú��Ý�¾~��*�=�^�?�Z���FØ*�=�=�+��2�o�2�*�Ì�?�F~�� > �=���?�Z~�� §{¦ HV�Z£6�*�����2�*���<�=�*�o�?���Å�=���2� ¦> �2�=�¶9 ¦ �Å�����*�¢ *�2�z�¢�2�*���¾~<�z� �?�*���¢�2�*� �z�o�p~����Z~<�^���2���2�*£6�Z���z�Z�*�<���Ä���z���?���=��Z���z�=Ø*���=�=Øv�?~4�p�2���*�<�Z�À�¾~<���^� � � ÜP�2�����Å�×�T£ �+� �?�����W�2~4�"�T���F���2�*~<���Å�z�=�¡�?�2���o�¡��Z�*���<�o�*�=�2���Z�Ì�x� ¦6Û �*�z�2�*�=�z£ª~��2��ÜÅ�×� �z�*�*�"~<�2���?����� ���u���*~<��~<£6~<�2�*���Z�+���Z����?�z���{�Ä���W���*�*Ø*���å~d�<�=� s ���*Ø8�?�*���J��� �ø�<��~<�����T�*~��Z~<£6~<�2���*�Z�V�?�z���{�Ä���Z�Z�2���?��~<�7 � H @u�2�*� :'�Z���<�� ��=��Ø��Z�F�=¤:�������2~

· ì � � 1 3 � E Hî � H ��;:������ : � Ø î���*Ø��?�*��£6�o�2�2�Z� �Z� z�*�¡�

��¥*¦`¥ � � � � � H ; � H � ì b î�b � � � �

Page 96: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� ������Ö �*�Z��Ø*�� ��*�=���u�����2���"~<�Z��� :'�Z���<�T�*�*�*Ø*���'�F�Ì�?�ª�×�=���<�^�?� H ���×�u���*Ø Ò H ����Z�� *�*���x��Ü��?�*�K ��o�ZØ����+�{�Z�*�6Ø*���(~<�2£ª���?��~<���¥*¦`¥ 9 � · � ì � � 143 � E H

î Ò P § � H ��j:������ : � Ø î���*Ø��?�*� � Y Y`�x~��¾�o�?���2~<���¥*¦`¥:§<� � Y Y� ì 56 Q � � 143 � E H Ø îî Ò P § Ø î � H ��;:������ : � � �o�+�����À�(�2~�£ > �*���2�=���?��~<� ¥*¦`¥*¦Ç§ �?�����u�A�2�o�*�2�o�2�o�:�?���?�Ì�<� �-, �zØ î ;+@x�zØ 5î:� ~������:��2�*���*~<� � �Å�Z���2�*�*�"~<�¡�?�=Øv�Z���2�*�� ��*�Ì�?���o~<�Z���=���?�Z~���~��{Ø*�Z�z�:�Àõ ­ � ��� ¯�° ± à ����� P � ;2ðPñ b P b h � ��¦3×� S �Z���Z£ ¥*¦Ç§K` Ü��2�*���¾~<���^�?� ��� P � ���2���<�����=���^���¥*¦`¥ ç � � H � P � ì § E HP �B��o ����u�J����£6�Z�Ì�6~��À��~<£ª~��?�*���?�Z�o�p�Z�*Ø���Ý�=Øø�:�4P�5 <s � <ô

���pº s Ò � s� L� î ì � P ��¥*¦`¥<¥:�

�Z���2�����S�J���+�A�2������ h �� � � � ì �

��h �� ��� H � P �z� ì § E H �(~�� M ì O � ; �=�+� ;?O ���¥*¦`¥ H �Ö �*�=�z�o�(~<�z��Ü:�?�*���W�=~<�z�2�o�2�"~<�*Ø*���?~v������£ª�����v~��¾�=~{~<�2Ø*�������2�p�������*�<�o� î�� � ����?�*� �*�Ä������Ü{�2�*���A�?�*���¢�2�*� �"~<�2�Ì�?��~<� ~����?�*��Ùo�=�z~<��~��Å�2�*��:'���<�<�T ��=��Ø · �¢���C�?�o����*�*�Ì�{�Z�*� � h �� �Z�4�=~<���z�����:� � �2�*� § E H �(~<� M ì O � ; �=�+� ;?O � ܾ���F�¢�o�Z�R���'�2�����'~���?�*���"~<�Z�o� � �����*Ø0> ��¦�� ~<�2�o~P���=�oÜ"Ø î ì P h � Ø � ��£ª�*���Z�o�

� �� · � ì � �����cE H Ø �� Ò 9§ Ø ��� H ��;:������ : � ;��¥*¦`¥^©^����*ØÚ�2~

� �� � Y Y� ì 56 Q � ����� �E H Ø �� Ò 9§ Ø ��� H ��;:������ : � ;��¥*¦`¥�O<��F�*�=�z� 56 �z�?���*Ø*�W�2�*�Z�À�2�Z£6�×�(~<���2�*� B�~<���¾�=���*���R~<�"�=�2���?~<�R�F���?�V�z�=�z�¾�o�o�T�?~��2�*�� �i�=~{~<�2Ø*�������2� ¦0Ö �*���=�z�*�=�Z���"~<�*�2�o�z�����2�Z~<�ª�Z�T�?�����×�?�*���×~��¾�o�?���2~<�¢���×���*Ø*�=�"�=�{�Ø*�=�^�×~�� P ¦ � ���?�*�4~��?���=�T�����*Ø�Ü{�z�=£ª���2�u�?�����T�2�*���W�*�o�Z��Ø*�+����£6�o�2�2�Z�p~��6�2�*�

Page 97: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ���R D�"!����#��& ���A�o���(��� �� ��������z�6�z�����o�ª���*ض�?�*�J ��"�=��£6�o�2�2�Z� ��¥*¦`¥ � � �"�=�*�d�����*�*Ø*�o���2�*�=�z�ª�o~~��2Ø*�������?��������*���=�'���

� ��� � � b Ø � b � ì b P b � b Ø î�b ���¥*¦`¥ g^�b � H �cî^��b � ì b P b h���� � b � b ��� � ���¥*¦`¥ `^�

^x� ~��?�*�o�J�¢~<�zØ*�=Ü×���F�×�øØ*�o�*~��2�Ú�^� � ��� � �?�*��£6~Ø*�o�¢�*�o�2£6���2�Ä���ä£6�o�2�2���A~<�� �� �=¤:�����Å���A�?�*�������z�Z� � �� � H �2~

� ��� � ì � ����� �Tb � b ��� � � ;�?�*�o�[�?���l�*~<£6~��2�*�o�2�Z�=� ��� ���*Ø*�*�o�J������£ª����� ~����������?~<��~<�<���+���Å���2~<£6~<�2���*�Z�z£ª�~��,:'�=�z£ª�Ì�?�Z���  ��"�=�F�*�*��Ø*�Z�o�� � �� ; � ��� � � Ò � �� ; � ���¥*¦ H�� �� � �� � H �=� � � L� b P b � � � H �cî<���

P8�4Ø*�oØ*�*�=�4�(�2~<£ ��¥*¦`¥ g^� �?�*�����Z�V�?�*�4�����z�Z� � �� � H �?���4���*�Z� �x��������� �� àJ�T~����2�*��.���*�Ä���=�Ä���A~��R�2�*� B��Z�2����~<�"�=�2���?~<� � Y Y� �����p�2�*�K�(~<�2£��¥*¦ H9 � b P b �

� à Q � � � ������ E H� Ò 9§ ���� � H ���j:������ : ��� ;�F�*�=�z�åà �z�?���*Ø*�v�(~<�K�?�*�ª�*�2�*��� �.�����Ä���o�6~��¾�o�?���2~<�u~��Ë�(�*�*���?��~<�*���F���?�Ë�2�¸��2�"�=���[�?~X�?�*�Ë£ª���?�z�Z� b Ø � b � ¦ Ö �*�8~<�"�=�2���?~��[à ��� � �"�o�x�×�=�=�Þ�*�2���������?�S����?�*���u�(~<�z£J�*�Z�Ú���l�[�"~<�*��Ø*�=Ø ~<�"�=�2���?~��v�(�z~<£ �?�*�6�¢�o�Z�<�^�?�oØ > ~<�"~<�Z���b�2�����o�K � � � _ < ; b Ø � b � � �?~�� � � � _ < ; b Ø � b � �¸¦�Ö �*�'�×�=���<�^�×���×�v����Ø��o�?�o�2£6�Z�*�oØ�^�S�?�*�V�o~<�*Ø*�Ì�?��~<�[�?�*�����(~<�K�A�z�=�o�2�Z~<��X 5kK � �¢�����+�<� X¾æ b � b � 5� � Ü.���*Ø�?�*���p�<�����=���2�*�=�z�o�(~<�z�v�¸Ý����o�2���å�2�*�K£ �PÝ���£ ���¾Ø*~�£ �����å~��Àà �� � � �z�=� Ö �*�o~<�2�o£§¦Ç§<§<��¦ P8�v�Z���(�o�p�?�����4�?���u�*���Z�Ì�i��������� �� �F~��À�?�*�����z�=�o� � �'~<�"�=�?���?~<�F~���àV��Z�

��¥*¦ H §<� b P b h�� ��� � ;�F�*�=�z� ��� � ���.�2�*���Z�^�<�o�2�2�×~���à ��� � ¦ ^i�À���Z�2~p�(~<���Z~d�F�Å�(�2~<£ Ö �*�=~<�z�=£ §¦Ç§<§ �?����� ��� � �Z�4�V�¾~��*�*Ø*�oØ[�Z���*�+����~<�"�=�?���?~<���(�z~<£ � � � � _ < ; b Ø � b � � �?~ K � � � _ < ; b Ø � b � ��¦ 3¢�o�+�����2��à ��� � ���TØ*�Ä����~<�����*���V�?�*�4�����z�Z� � H Ü^�2�*�'�2��£6�4���W�?�2���F�(~�� ��� � ¦ �=£ª���2�S�2�����v�?�*�6�*�*���Ì�i�������:��� �� <���v~��×�?�*�ª~<�z�2�*~<�<~������W�*�z~ z�=���?�Z~��*�~<�^�?~ËàJ�¡�i�����2£6~<�*���å�2���Z�*~<�z� ���2�ø���Z���o¤:�����p�?~ �?�*�Ú~<�¡�?�*~<��~<�����p�*�z~ z�=���?��~<�<� ��� � ~<�^�2~Sà ��� � �x�����z£ª~��*�Z�V�z�*�Z�*~��2�=ºl�Z�*Ø*�o�=Ø�Ü0�?�*�6�=~����(~<�2£ª�����������?~<� b P b � �����¥*¦ H9 � ���������<�=�����=���2�*�=�.�?���¢�2�*���=��~��������z£ª~<���Z�T�2�*���*~<�z�R�*~��R�?���×~<�¡�?�*~��<~<������*�2~ z�=�o�2�Z~<�l~<�¾�o�?���2~<�À~��:�2~ �?���=£ ¦ ^x�J�����z�?���=�*�Z���=Ü��2���*�=�¢à ��� � ; ��� � ���*Ø �����z�Ø*�Ä���<~<�����¾�Z�A�?���v�*���2��� � H Ü��2�*���?��£6�K�?�*���*���Z���2�2�*�K�(~<�F����� <��� ¦

Page 98: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

�+) ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� ������}'~d����~��?���=���?�����4�^�A�?���uØ*�� ��*�Ì�?�Z~��ø~��R�?�*� 56 @7 �i�*~<�Z~�£ª~<�z�*�*������Ý{�?�o�*�2��~<��?~6�Z�� *�*���x�A~��À�?���v�2�?���*�¡�(~<�2£6�=ØÚ�*�*��Ø*�Z���<�Ì�<�=�ø�Z� ��¥*¦ ç `^� ���*Øø�{�Ä�J�2�*�u��Ø*�=�{��?�Ì ��+���2�Z~<� �(¥*¦ H�� � Ü.�?�*�6�2�o�o�2�Z~<�*� b P b � � � �� �-, H �cî ;�P � Ø î<� � £6~{Ø*�*�Z~A�2�*�6�������*��~���?�*���z�=�o�2�Z~<� �=ñp~�� � ��! U � 9 �2� �o~<�Z�*�o�ZØ*��ºW�Z�*Ø��=�=Ø�Üb P b � � ß . 0�� � �cî Ò � H � P �2� � H ��î^� Ø îî ì ß . 0 � � Ò § E H ��� ���� � H �=� � � Ø �� �

^i�'�2�*�=�Ú�(~<�Z��~d�F�F�(�z~<£ �(~<�z£J�*�Ä� �(¥*¦ ¥ O<� �?~<�<���?�*�o�4�F�Ì�?���?�*�uØ*�o *�*���2�Z~<� ��¥�¦ ç�9 ��?�����u�2�*�ª�o~��Q6�=�Z�o�^�J~�� �=ñv�Z� b P b � � � �� @ H �cî ;�P � Ø 5î �Z�v���Z�z~ø���*Ø*�o�¾�o�*Ø*�=�^�V~��]P ¦Û �2~<£ �?�*�p�������W�?�����T�2�*�F�*�2~ z�o�o�2�Z~<�*� <���W���2�4�����2~��=~<���z�����:�=Ü^�¢�4Ø*�=Ø��*�=�F�?������?�*���o~��Qª�o�Z�o�:�4~�� �=ñF�Z�A�?���v���*�Z� �x���������¥*¦ H�ç � � ���� <� H �o� � ;QP � ì b P b � � <� \H ��î ;�P �~��:�?�*�W�z�*�Z��~<�2� b P b � � <� \H �cî ;�P � �z�=�*�z�=�z�=�^�?���*� b P b � � �C, H �cî ;�P � Ø î ;+@ H �cî ;QP � Ø 5î:� Ø*~{�=��*~���Ø*�o�¾�o�*Øb~<�OP ¦JÖ �*�o�2�o�(~��2��Ü.Ø*�o�*~��2�Z�*���^��� H ��î ;�P � �2�*���=~{��Q6�=���=�^�v~�� �+ñ�Z� <�Å\H �cî ;QP � ���*Øå�^� � � �� � H �=� � ;�P � �2�*� �o~��Qª�o�Z�o�:�¢~�� �=ñ×�Z� � � �� <�Å\H �o� � ;QP � Ü^�×��2�o� �^�8���^�����2�Ä���*�=��~����2�*� � � �x�*~<�z£ ~��K9o�%�(~<�2£6���^�Ë�o~<���(~<�z£ �����o~~��2Ø*�������?��������*�����2�����

�� b

� H �cî ;QP �"b � � :�� ��� � b Ø î�b � ì b P b h���� ��� b � ���� � H �o� � ;QP �"b � � ����� :�� � � � � b Ø � b �¸;�(~<�.�����?P*Üd�F�Ì�?���?�������^�?�=���?���<~����2�*�T�2���<�^�z�x�*���*ØK�2��Ø*�T�p�=~<���z�����:�0���*Ø*�=�"�=��Ø*�=�^�~��7P ¦ � �l�2�*�¢~��2�*�=�R�����*Ø�Ü<�2�o�+�����:�(�z~<£ ��¥*¦ ç §<� �?�*����~<�v�?�*�¢� Q6�*���������z�$<�0ñR~��sut � �×�u�*�d��� �=ñ � P � ì P ¦ � �*�2�o�z���J�����2~��?�����F�2�*�v�2�?�����z�(~<�z£ª�oØ0:4�=�2£6���2�Ä���£ª���?�z�Z� <�S����Ø*�o *�*�=Ø �Z�ø�?�*�J���*���z�G<�0ñ=ÜÅ���*Ø[�2�������(~������^�S�*���2£6~<�*���u�z�*�Z�*~���[�¢�v���+�<�

<� � P��";QP�� � ì b P b � <� � �";�� � ì b � b h�� <� � �D;�� ��F���2� � ì P h � �?�*�ª�Z~{�+���W�o~~<�zØ*�Z�*���?�6�=�o�:�2�=�z�=ØN���J�ø~����2�*� �z�Z�*���*�Ä���z���x� ����Z�� *�*���x� ¦�Ö �*�Z�'£ª�=���*�F�?�����'�2�*�u��_��o�o� ~<�ø�2�*�l�����?���"~<�Z�����¢�o�Z�<�^�2� ~��À£J�*���2�Ì��*���{���*� �^� �+ñ �Z� ��Ø*Ø*���*� Ò 9 ¦ � �S�?���l~��2�*�=���*���*Ø�Ü"�?�*� Ò E H �i�=���<�=�*�z�����o�J~���?�*�V�z�=�z�ZØ*�*�l~��T�?�*�J�2�?���*�¡�(~<�2£6�=Ø :4�Z�<��� �*�*��Ø*�Z�������Z�� ������x�Ú�Z���z�����*���=Øb�:�<�Å\H ¦�Û �2~<£ ���Z�"�?�����4�����4�"�=�o�ø�2���ZØÚ���"~d�<��Ü*�¢�vØ*�=Ø��*�=���¥*¦ H ¥:� <� � <� \H ; <� \H � ì�� b � b h��

_ � � � ;�F�*�=�z� � �Z�6�Z�*Ø*�o�¾�o�*Ø*�o�:� ~���P F�Z�XØ*� _¾�=�z�=�^�ª�2�=�z£ª�oÜ×�?�*���ª�2�*�Ú�����?���¾~<���Z��¢�o�Z�<�^�.~��:�2�*���?�2���*�z�(~��2£6�=Ø :'���<�<���*���*Ø*�Z�T���Å�Z�� *�*���x�'~<�K�?�*� Ò E H �i�=���<�=�*�z�����o�~��0�?�*���2�o�2��Ø*�*���Z�p�o¤{�*���Å�?~ Ò 9 Q H ¦

Page 99: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ���R D�"!����#��& ���A�o���(��� �� ���> �2�=� §{¦=> �����z�?���*�V�(�2~<£ �*~d��Ü*�¢�vØ*�2~��Ú�2�*�v���2�z�*£ª��?�Z~��Ú�2�����p�?���u�z�o�4~���Z~<�<���2�Ì�?�*£6�Z�K�z�Z�*�<���Ä���z���?���=�4�Z�'�2�=Ø��*�=�oØb�2~��å�¾~<���^� ¦ ^x�S�?���Z�������z�+ܾ�¢�V�����?����?~<���o�?���=�v�2~<�����?��~<�*���?~ø�Z~{�+���À�*�2~<���Z�=£6���*�2~d�{�ZØ��=Ø8�^� > �2�=�ö9�ÜÀ����Ø8�*�z�6�2�*��2�o�2�*�Ì�?�K~�� > �=���?��~<� §¦ Hª�2~��=�z�2�Z£ª���?�u�?�*�VØ*���(�=���u~��×�2�*�=�z�6�*���?���*�oØË�z�=���?�Z~��*��?~b�¾�Ú�2~��Z���2�Z~<�*��~��'�?�*�Ú�<��~<�����p�*�z~<�*���=£ ¦ PË�Ú ���Ø �?�*���ª�2�*�Ú�Z�^�?�o�?�����?�Z~���¾���x�¢�o�=�N�2~��Z���2�Z~<�*�K�2~S�Z~{�+���W���2~<�*���=£6�u���+���uØ*� _¾�=�z�=�^�J�*���*�o�2�*�2�o�V�Z�v�2£ª���Z���� b P b �<�o�2�F�Ä���z�<� ¦�Å�o� � 56 7 ; ·�� �"�å�$:4�Z�<���u�*���*Ø*�Z�6�F���2�8�2~�£ª�ª�Z~<�^���2���2�*£6�Z�J�z�Z�*�<���Ä���z���?���=�ô ì 7�� � ; �+�+� ;��DR<@ ¦ ^x� � ��~<�Z~<£6~<�z�*�*�Z�6�?�z���{�Ä�����Z�2���?��~<�X7 �DGH+@ � H �� �*�+���6�=�����~<�*�F~��"�?�*�o�2�F�"~<�Z�^�?�oÜ^�*���?~K�?�o�2£6����� a � 9 � Ø î Ü{�2�*� :'���<�<�� ��o�ZØ������W�2�*�p�(~<�2£

��¥*¦ H�H � · G ì � Gî Ò � G Ø î ;�F�*�=�z�K�?�*� � G ���z�K�2~<£6�KØ*�Z���<~<������£ª���?�z�Z�=�o�p���p��� � 9 ¦ 9 ��¦WÖ ���vØ��o�(~<�z£ ���2�Z~<�~��0�?�*�o�2�v�Z~{�+���¾£ª~{Ø*�=���p�Z�· G� ì � Gî Ò � G Ò

P§ � Ø î ;���*ØÚ�2��£ª���Ä���z���J�2�*��Ø*�o�(~<�z£ ���?�Z~��A~��R�2�*���Z~{�+��� � Y Y`�i~<�"�=�?���?~<�z� ��� Y Y � G �Z�

��� Y Y� � G ì 56 7 Q · �ì 56 7 Q � Gî Ò � G Ò

P§ � Ø î ;

Û �Z�*���Z�Ì�<Ü:�?�����F~��R�2�*� B��Z�?����~<�"�=�?���?~<� � G ì � � Y Y � G Ò �2��� Y Y � G � � �Z�� G� ì ��� Y Y� � G Ò �2� � Y Y� � G � �¸;��Ø z~<���^���¾�o�Z�*���������=�Ë�2�=�Z���?�Ì�<�J�2~Ú�2�*�ª�*���2£6~<�*���V£ª���?�2���V�=~<�z�2�o�2�"~<�*Ø*���*�Ú�2~

��� Y Y � G ¦ }4~P� �(~��l�����.3S�¢�ª�+���ä�o~<�*�z�ZØ*�o�v�2�*� �¸Ý�2�=�*�z�Z~<� ~�� · G �2~S���?�2�Ì�{�Ä����*�*�*Ø��Z� G ~d�<�o���2�*�'�F��~<�Z�F�*�Z���*�F�^�ª���=�o�*�Z�*�u�?�*�4�?��£6�p�(~<�2£l�*�Ä� ��¥�¦ H�H � �(~�����=Ü*�=�*Ø�~P�×�=ØÚ�F���2���2�*��£ª~{Ø*�o��£ª���?�z�Z�� G ì � ����� �Tb î Ò � G b � � � � � � H �� �

^i�v�Z���=���+�����2�������?�*���K��Ý{�?�o�*�2��~<�8~��*���¶�*����~<�*���2�o�<�*�Ä���K�2�Z���<�*�Ä���2���x� � ��� � G ����*ØX���N�Z�z�2�o�<�*�Ä���l~<�*�������Z�� ������x�<ÜW�z~8���Z�T�?�*���2�o�2�*�Ì�?�V~�� > �2�=� 9��*~<�ZØä�(~���?�*�o£ ¦ ^x�Ú�����¡�?���=�*�Z���=Ü{�(~<�p�2�o�*�2�o�2�=�^�?���?�Ì�<�=��C, GH ��î ;�P � Ø î ;+@ G H ��î ;�P � Ø 5î:����FØ*�=�z�=�z�Z�"�=ØÚ�Z� > �*�*�z�=���?�Z~�� ¥*¦`¥*¦Ç§ �¢�v���+�<�u�V�����2£6~<�*�����2�o�*�2�o�2�o�:�?���?�Ì�<�

<� \H �cî ;QP � 5 ´¶µ O ��� G� � � á K¶� � s ; � h < G �

Page 100: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� �������F���2� �

� b <� \H �cî ;�P �"b � � � :�� ��� � b Ø î�b � ì b P b � h���� � � �

Ö �*�Z���<�z~P�p�2� ���×£6�+���z�*�2�oت�F�Ì�?� �z�=�z�¾�o�o�¢�2~u�2�*� Ø*�Z���<~<�*���*£6~Ø*�o�D£ª���?�2��� � G �*~d�¢���<�o�=Ü*�z�Z�*�o�F�2�*�4�2�*���*~<� <�Å\H �����¸Ý�¾~<���=�^�?�Z���Z�Ì�J�=~��*�=�o�:�2�?���2�=Øå���+��� � G ���*Ø�*�=�z� � G �Z�¢£l���?�����Z���6�"~<�*�*Ø��=Øå�F���2� �?���K�����2£6~<�*���'£6�o�2�2��� �A~�� �fÏ ; ·�� Ü:�?�*����Z£6�*�Z���=���¥*¦ H ©^� ² b P b � h�� � � � � �

� b <� \H �cî ;QP �"b � � :�� ��� � b Ø î�b � � � b P b � h�� � � �

�(~<� �z~<£6�V�Aè ² è � ¦ �Å�o�Kß G �¾�J� �=���¡�x~'_b�(�*�*���?��~<�¶�2�*���¾~<�¡�?�oض�Z�¶� Ø��Z�2�à � � G ;�ç�ð�ñ � Ü��=¤:�����T�?~89 ~<� à � � G ; § ðPñ � Ü��z�*���ä�?�*��� b�� ß G b � ´ ¦�Ö �*�=�ä�(~��ðPñpòó�J �Ý�=Øø�2�RQ6�=���=�^�?�Ì�A�2£ª�����%Ü�2�*���<�Z~��������z�=���?�Z~��ø~�� � h < Ø*�� ��*�oØ[�^�<� �cî ;�P � ì ß G �cî^� <� \H �cî ;QP ������ �8£ª�=���*���*�*Ü×�(~��6�2�*�[�*~��Z~<£6~<�2���*�Z�A�?�z���{�Ä���Z�Z�2���?��~<�ö7 �"GH @ �Z�6Ø*�� ��*�=Øó���à � � G ;�ç�ð�ñ � �*�2~d�{�ZØ*�oØlðPñ0�Z�0�2�RQ6�=���=�^�?�Ì�v�2£ª���Z� ¦ }4~d�N�*~��?���=�T�?�����À�Ì� �*� P � � � G��� Pu� > ���*ØÚ£6~<�2�K�*�z�=�o�Z�2�o���

��� P � ì � G.Q § E G HP Q a �cb P b h�� � ;�Z�J~��?�*�o�R�×~<�2Ø*�W~��J�?�*���o~<£6�¾~<���=�^��~����2�*�¢�2�?���*�¡�(~<�2£6�=Øl�*�*�*Ø*���¢�F���2�J�=���<�=�{������Z�*�¢~��D�?�*�p�z�=�=~��*Ø�x~��2Ø*�o���*���z�W~�� <· ���W�Z�� *�*���x�u�=¤:�����*�2~ Ò � G æ § ���*ØV�=���<�=�{������Z�*��~��R�?�*�v�2�o�2��Ø*�*�l~�� <· ���'�Z�� ������x�A�o¤{�*���Å�?~ Ò E G HPÜ��2�*�u��~<�Z~<£6~<�z�*�*�Z� ��Ý:��?�o�*�2��~<� ��GHF~����2�*�4�=~<���=�2���=�"�����������*���?���"~<���Z���×�=�Z���:���?��� G H��=~<�z�2�o�2�"~<�*Ø*���*��?~ �2�*�l�o�Z�<�o�*�2�*���=�J~����?�*�l�=�Z���=�^�����Z�*�lE G H�~����?�*�l�2�=�z�ZØ*���l~�� ·{¦ �=�=���Z�.�?������?�*�6�����z£ª~��*�Z�V£6�o�2�2�Z��~<�b�?�*���?�2���*�¡�(~<�2£6�=Øb�2��Ø*�ª��� z�*�z��� � �x£6�o�2�2���V~��¢�2�*�àJ�¡�i�����2£6~<�*���l�z�=�*�z�=�2�o�^�����2���<���F���2� �2�=�z�¾�o�o���?~A�2�*�������2£6~<�*���J£6�o�?�z�Z� � ~���?�*� ~<�2���<�Z����� :'�Z���<�l�*���*Ø*�Z� ¦¶Ö �*�å�¡�����2�=£6�=�^��~��p�?��� �?�*�o~<�2�o£ �F���Z�W�?���=�2�¸��(~<�2���(~<���Z~d� ~��*�=�6�¢�ª�*�2~d�<�6�?�����u�2�*� �����2£6~<�*�Z�V�z�=�*�z�=�z�=�^�����2�����å~�� <� ��î ;�P ��?���2�Z�¡ ��=�p�?���v���*�=¤:�����Z���x���¥*¦ H O<� ² b P b � h�� � � � � �

� b <��� <� ��î ;�P �"b � � :�� ��� � b Ø î�b � � � b P b � h���� � � �

�(~<�p�2~�£ª����è ² è � ¦� �*�� ��z�z� ���Z£é�Z���2~ª�*�z~d�<�K�?�*�K�(~<���Z~d�F�Z��� ¦� n=p p q ¥�¦ ç H È ������,��8�z/<#Z��!(� �ïò �ë��&"1 ´ ò �ó����q�� !C����!p)+$�, b P b��� �óq�#%��&�!�B k BÌ��,cÉ{��!C���v#C&��2Ê=����Bw#C! k

�� � �� <� � P � �� �� � � � � � ´ b P b � h�� «�� <� � P � � �� � � � ���$�BÌ1��=m

Page 101: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ���R D�"!����#��& ���A�o���(��� �� � ���»�¼¾½À½ÀÕ È S ~d�<�o�2�Z���Ú�2�*�����*�:�*���*�K�=�o�:�2�=�z�=ØË��� � G ~����?��Ø��Z� § ð�ñ����*Ø § � ñ�^�Ú�� ������?���:�*£J�"�=�4~��RØ*�Z�z�:�'~��À�?��Ø��Z�*�pðPñ=Ü*�×�vØ*�=Ø*���=�u�(�z~<£ �Å�=£6£ª��� §¦ ç<����*Ø §¦ ç�9V�?�����K�?�*� � G� �x�����z£ª~��*�Z�u�2�*���*~<� <� \H ��î ;�P � ���K�=~<���=�=�^�2�?���2�=Ø8����K � ��*~<�z£øÜ'�*� �2~X�N�������?~<�AØ��=�=�z�+���z�Z�*� ��Ý�"~<�*�=�^�2�Ä�������X�F���?� b P b Ü4�Z�ó�?���bØ��Z�2�à � � G ; § ð�ñ �¸¦ ^x� �����z�?���=�*�Z���=ÜF�Ì�A�Z�A�o~<�*�=�o�^�?�?���?�=Ø �*� �?~N��� ��Ý�"~<�*�=�^�2�Ä�������Ø*�=�o�2�=���2���*�A�����o�2~<�K�Z�S�2�*���?��£6�VØ*�Z�z�[��� � � �x�*~��2£ �����¢�o�Z� ¦ B��=�*~��?�Z���A�:� �

S �Z� _�~<�zØA£J�*�Ì�?�Z���Z�Z�=���?��~<��Ü<�×�u�*�d���K�?�*���=�¡�?��£ ���2�Z~<��� �� � �� � ß G �cî<� <� \H �cî ;�P �z� �� � b Ø î�b � � �

� �� ß G �cî^� � �� <� \H �cî ;QP � �� � b Ø î�b �Q �

� b � � ß G �=�cî<� � <� \H �cî ;QP �"b � b Ø î�b �� �

� � � � : �-. 0 � �� � �� <� \H ��î ;�P � �� � b Ø î(b �Q ´ �

� � � � : �-. 0 � � � � � � : � . 0 � b<� \H �cî ;�P ��b � b Ø î�b � �

¹ �^���Z��ÜW�^� �Å�=£6£ª� §¦ ç��[�?�*�A�z�=�=~��*Øö���:�2�=�<�2���¢~��N�2�*�A�2���<�^�z�i�����*Ø �z�ZØ*�A����¾~��*�*Ø*�oØø�^�Ú������Ý�"~<�*�o�:�2�Ä�������ªØ*�=�o�2�=���2���*�ª£l�*���2�Z�*��� ~�� � <�Å\H �cî ;�P � � �� � � � � ���b P b � > ¦WÖ �*�o�2���(~<�2��ÜD�×��~<�*�Ì�å�*�o�=Øø�2~V�?�2�=���

�� � �� <� \H ��î ;�P � �� �� � � � � � � : �4. 0 � � � �o£ ���2�ª�2�����F�^���^�{�¾~��2�*�=�z�Z�oÜ

� � G� � � <� \H ��î ;�P � ì ��;�2~��¢�����+���

� �� <� \H ��î ;�P � ì�� � �� Ò ��� G� � ��� <� \H ��î ;�P ���Ö �*�Z�F�����?�*�o�ø�"~<�*�*Ø��=ØÚ�:�

<� \H �cî ;�P � a �Tb î Ò � G b h � _ « � ;�F�*�=�z� a �Tb î Ò � G b h � _ « � �z�?���*Ø*�Ú�(~<�Ú�N�2�=�z£ �¾~<���*Ø*�=Ø �(�2~<£ ���¾~d���8�^� ��=~<���z�����:� � ���*Ø*�o�¾�o�*Ø*�=�^�×~��(P � �?��£ª�o� b î Ò � G b h � _ « Ü:�¾�o�+�����2� � �� ���*Ø ��� G� � � ���z�B��Z�2���p~<�"�=�?���?~<�z�×���+�{�Z���v�2�*�'�2��£6�'��~�=���*£6~Ø*�o�D���T�?�*�4�*�*���o�?���2�����*ت�2�*�=���Ø*� _¾�=�z�=�*�o�l��� �=���+���z�������*Ø*�=�"�=��Ø*�=�^�K~��,P ¦ ^x�S~<�2Ø��=�'�2~ �¡�?�*Ø��ø�?�*���'¤:�����:�2���x��Ü�¢�Ë£ ����� �*�2�Ë~��l�2�*�b�=~{~<�2Ø*�������2� � ì P ��î Ò � G � ��������~<�<~<���2��� �?~N�?������Z�^�?�z~Ø��*�=�oت��� �(¥*¦ ¥�¥:��¦� �*Ø*�o���2�*�Z�T�o~~<�zØ*�Z�*���?�p�������*�<��Ü:�?���'Ø*���2�Và � � G ;�ç�ðPñ �

Page 102: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� �������<~{�=�F�Z�^�?~J�2�*� � �����¡����*� � Ø*���2�Aà � ��;�ç�ðPñ b P b ��¦ :'�=���=��Ü��×�u���=�=ØÚ�?~��*�z~P����

� � ñ : �4. 0 � � � � b � b h��_ � « b P b � h�� « �� � ���� <� \H �o� � ;QP � �� � � � � � : � b P b h�� b Ø � b �

� ´ b P b � h�� « � � �� � ���� <� \H �o� � ;QP � �� � � � � � : � b P b h�� b Ø � b � �o�+�����"�(�z~<£ ��¥*¦ H�ç � �?�����¢�Z� �2�*�K�=~{~<�zØ*�Z�����?� � �?�*� �2�*���*~<�2� b P b h � � � � �� <�Å\H ���z��Z�*Ø��=�"�=�*Ø*�o�^� ~���P ¦WÖ ���=�2���(~<�2�K�2�*�Z�F�"~<�Z���¢Ø*~d�F�ø�2~�

� � ñ : �4. 0 � � � � b � b h��_ � « �� � � �� <� \H �=� � � �� � � ��� � b Ø � b �

� ´ �� �� � ���� <� \H �=� � � �� � � ��� �b Ø � b ���¥*¦ H g^�

�(~<�F�V�2�*�Ì�������Z�K�=~��*�z�?���^� ´ òó� ¦ 3¢�o�+�����2�� � �� <� \H �=� � � 5 K¶� � s � ;�Z�������¡�?���=�*�Z���¢�×�v�*�d���� � �� <� \H �o� � � 5 � � � s � ;���*Øø���Z�z~ 9� � ���� <� \H �o� � � 5 � �]�� � ��*�+���F�2�*��~<�2���<�Z� ¦ÀÖ �*���4��£ª���Z�Z�o� b � b h � _ « � � �� <�Å\H �=� � � 5 � � � s ��¦TÖ �*�o�2�o�(~��2��Ü

´ ì §�� b � b h � _ « � � �� <�Å\H �o� � � �� �� � � � �

�� � � �� <� \H �o� � � �� �� � � � ������p�?���vØ��=�2���2�oØø�*�z~<�"�=�z�x� ¦ lÖ �*�v�Z�o£ª£ª�l�����p�2�*�K�(~<�Z��~P�F���*�J�o~<�*�2�o¤:�*�=�*�o� ¦� n=p p q ¥*¦ ç ©�È X � b P b � > j�Í¢� ����y���!(���V����!�#C�6��!x�

���� <� � P � � �� � Ò �� <� �� <� � P � �� �� � ���

� ´ b P b h�� « � <� � P � � �� �ÍW#C!(� ´ òó�[#C&"1{�x����&"1{��&�!¢$f) P�m»�¼¾½À½ÀÕ È ^i�4�Z�p�z�RQ6�=�Z�o�^�'�2~6�"~<�*��Ø

�� <� � P � Ò <� �� <� � P � �� �� ������Z�N�?�*�Ú�Z�o£ª£ª� ¦ Ö �*� � �� �x�����2£6~<�*�Z� �2�=���2�=�z�=�^�����?����� <� �� <� � P � ~�� <� � P � ����<�����=�Ú�^�å�?�*�K�(~<�z£J�*�Z�� ^xØ Ò � � � � �� � <� � P � ;

Page 103: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ���R D�"!����#��& ���A�o���(��� �� � �]��2~��?�*��Ø*� _��o�2�o�*�=�K�F���2� <� � P � ���?�z�=�Ì�R���

� � � � �� <� � P ���> �Z���=�K�(~<�F���^�A�"~<�2�Ì�?�Ì�<�K�2���Z�*~<���8�2�*���=�z�2�Z£ª���?��~<�

� � ��� � �� � � � � � ´ � � � �

� U � �� Q ´ b P b � � � � �

� � � � ��*~<��Ø*�=Ü��×�vØ*�=Ø*���=���?������� � � � � �� <� � P � �� �� � � � � � ´ �� � � �� <� � P � �� �� U � � � Q ´ b P b � �� � � �� <� � P � ��

�� � � � � �

�Å�=£6£ � §{¦¨§ H���£ª�*���Z�o�"�2�����.�"~��?�K�?�o�2£6�Å~<�K�?�*�W�z�Z�<�^�¡�x������ØK�2�ZØ��T���2�W�"~<�*�*Ø��=Ø�(�2~<£ ���"~P���u�^�´ b P b h�� �� � �� <� � P � �� �� � � � � �P8���o~<�*�=���*Ø*���^���Å�=£6£ � ¥*¦ ç H ¦ l

PË�4�=�����*~d�  *�*�Z�z���2�*�p�*�z~~��"~�� Ö �*�o~<�2�o£ ¥*¦ ç ¥ º0��� b P b �<~{�=���2~K�Z�� ������x�<Ü�^���Å�=£6£ � ¥*¦ ç © Ü��×�����+�<��� <� �� <� � P � �� �� �� <� � P � � �� � Ò � 9 �

^x�ª�×~<�2Ø��=Ü:�?�*�4�*~<�z£ ~����2�*�'�*���2£6~<�*���p�2�=���2�=�z�=�^�����?����� ~��¾�?�*�4�2���Z�*~<� <� ��î ;�P ��Z�À���z�{£6���?~��2�Z�=���Z�Ì�K�=¤:�����{�?~ �2�*���*~��2£Þ~�� <� ��î ;�P � ���2�2�=�Ì� ¦ � �l�2�*��~��2�*�=�R�����*Ø�Ü���F���p�*���4���Z�z�+��Ø�� �¾�o�=�ø�2�=£ª���z���=ØÚ�Z�A�2�*���*�2~{~��0~�� �.�o£ª£ª� ¥*¦ ç HÜ��×�����+�<�� <� �cî ;QP � � �� � � � : � �� <� \H �cî ;QP � � �� � � � : � � Ò � 9

��Ý�"~<�*�=�^�2�Ä�������ª��� Pu� > ¦TÛ �Z�����Z����Ü:�:� ��¥*¦ H ©^� �?�*� � � �i�*~<�z£â~��.�2�*�K�2�*���*~<�z�<�Å\H �cî ;�P � ���p£6�+���z�*�2�oØø�^�A�2�*�������2£6~<�*����£6�o�?�z�Z� ���?���2�Z�z�C���¥*¦ H `^� ² b P b � h�� � � � � � <� \H ��î ;�P � � �� � � � b P b � h�� � � ��(~<�V�2~�£ª���Xè ² è � ÜT�F�*�=�z� G H ����� �*���?���"~<���Z�ª�×�=���<�^��~��4�?�*��~<�z�Z�<�������:'���<�<���*���*Ø*�Z�������?���K�¾~<���^� � G ¦ ¹ ���¾�2�*�Z�¢�2�*�=����£ª�*���Z�o� �(¥*¦ H O<� Ü�2~V���¢�(~<�Z��~P�F��?�����W�?�*�p�����?���"~<�Z�����×�=���<�^��~��D�?�*���2�?���*�¡�(~<�2£6�=Ø :4�Z�<�<�À�*�*�*Ø*���p~<�J�?���4�����<�o��=~<£6�"~<�*�=�^�4�Z�p�o¤:�������?~ G H Ò 9<Ü*���F���p�¢���F�z�����?�=ØÚ�Z�A�2�*�K�?�*�o~<�2�o£ ¦ l

�������� !�� J 6D�F� ���%.���&�6728���"!�HI�'JM���'�&�+�.�6728���"�����K }4��Ý{� �×�S�o~<£���*���2�ª�?���ª�����?���"~<�Z���J�¢�o�Z�<�^�2�J���l�ø�*���*�o�2�*�2� P ] �o~<�2�z�=�2�"~<�*Ø��Z�*�Ú�?~ø�2�*�6��Ý:��?�o�*�2��~<��~��À�2�*���*~<�Z~�£ª~<�z�*�*��� �z�2�2�*���?�*�z�u~�� <Ï �<�����=�Ú�Z� > �*���2�=���?��~<� ¥*¦`¥*¦ 9 ¦�ÀÝ�*�Z���=���2����Ü��*�o�2���Z�p�?���v�z�=�z�*���p�×�v�F���2�A�?~6�2��~P� ¦

Page 104: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� ��������� nD½À¼n=p ¥*¦ ç O*È �����ª����,z�^I�$�Bw#%q[Í¢��#ÌÉ��{! $f)S!C���8�z/<!x��&���#%$�& < <Ï $f)S!C���!c,z��&��()+$�,¸� �21 � #ÌÉdÉ��¶I=�{&"1�BZ�[��!J!C�����"�&�q�!��,?� P ] jV,�����!�,¸#%q�!f�21ä!x$Ë!(��� Ò E"\H ���#ÌÉ{��&��x���{q��l$f)K!C����,?����#�1����J$f)K!C����!c,z��&��()+$�,¸� �21 � #ÌÉdÉ��W-���BÌ1[ac����,?� M 587:9 Q� ] ; �+�+� ; � ] _ � @+g�#Z�V�2Ê=�*��BÅ!x$ Ò 9 Q \H j�ÍÀ����,?� \H #Z�v!(���p����,z�^I�$�Bw#%q�Í¢��#ÌÉ��{!�$f)!(���u$�,¸#ÌÉ�#C&"��B � #ÌÉdÉ���-���BÌ16��!�#C&+-T&�#C! k jW,?����!c,¸#%q�!x�216!x$�!C��� P ] �2��#ÌÉ{��&��x���{q��v$f)�!C����d��q�$�&"1 �2$�,z1{��,�!f��,¸� ��&"16!(���'ED\H �2��#ÌÉ{��&��x���{q��v$f)K!(���T-T,?��! �2$�,z1{��,K!f��,¸� $f)K!C�����$�BÌ��,¢����,¸!F$f)�!C��� ��#ÌÉdÉ���-���BÌ1^m»�¼¾½À½ÀÕ È PË�¢�(~<�Z��~d�ä�?�*�¢�*�2~{~���~�� Ö ���=~<�z�=£ ¥�¦ ç ¥�¦ ¹ �^���Z��Ü��×��Ø*���{��Ø*�×�2�*��*�2~{~��0�Z�^�2~J�x�¢~��z�2�=�*�4���o�=~<�zØ*�Z���J�?~J�?���K�{��£J�¾�o�p~��0Ø*�Z�¡�?���*�o�p�o�Z�<�o�^�����Z�*�o� P ]~��K�?���S�2�o�=~<�*Ø ~<�zØ*�=� �2�=�z£ ~�� � ���å�Z� ��*���x� ¦ �=�+���Z�'�2����� �2~<£6�S~��K�2�*��2�"�=���?�?���À�"~<�Z�^�?� � H 5N÷×� �=~<�^���=�2���J�?~A�Z� ��*���x�ø���EPª� P ] ܾ�F�*�=�z�+���K~��2�*�=�z��2�o£ �����A�¾~��*�*Ø*�oØ ¦> �2�=�X9 ¦�Û ���2�z�K�×���2�*���¾~<�z�V�?������>¾Y ì 9<Ü��?�*�����Z� �2~��?�+� � �Z�����z�Z£6�*�Z�Ø*�Ä���<~<�����^£ª���2�2�ÌݾÜ����*Øv�?�����À���l�4�<�Z~<�*���<�*~<��~<£6~<�2�*���Z�W�����z�Z�T7 �Å\H @��2�*�]:4�Z�<��� ��=��Ø������F�Z�p~��0�?�����(~��2£

· ì P �§ Ø î Q � ����� � E \H � Ø îî�F���2�¶~<�*�V�2�o�<�*�Z��� �z�Z�*�<���Ä���z���x�Ú�Z� �A����ØË���¶�Z�2�z�=�<���Ä���'~<�*�V�������� ��*�Ì�x�<ÜÅ���*Ø ����������6�?�*�������2£6~<�*�Z� £ª���?�2���K�Z���¥*¦ © � � � \ ì � � � � �cb î�b h������� � � H �� �Ö �*�Z�K���*Ø*�*�o�=���å�����?���"~<�Z���u�¡�?�z�*�o�2�*�2��~<� Ï �F���2�S�¢�o�Z�<�^�?� Ò § \H ���K�Ú���*ا \H ���F���� ��*�Ì�x� ¦WÖ �*�vØ*�o�(~��2£6�=ØA ��=��Øø���

· � ì P � Ò P§ Ø î Q � ����� � E \H � Ø îî ;���*Ø��?�*���z�¾�o�o�?�2���Å�"~<�Z�^�?�F���2�§ E HP Ò P � �� ���:�Z�����2�*���=~{~<�2Ø��Z�����2�K�������*���

���pº s Ò � s� L� î ì �P Ò P ���¥*¦ © 9 �

�?�*�K ��o�ZØA�F�2�Ì�?�o���¥*¦ ©^§<� · � ì Ò 9§ Ø � Q ��� ��� � E \H � Ø �� �

Page 105: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ���R D�"!����#��& ���A�o���(��� �� � �+*Ö �*� �W�*�=���ZØ*�=���N£ª���?�z�Z� b Ø î�b � ~<� �?�*�A�*���2������ØN�2�*�å ��"�=�V£6�o�2�2�Z� �D\é���z��?�2���*�z�(~��2£6�=Ø��Z�^�?~

b P Ò P ��b h�� b Ø � b ���¥*¦ © ç �� ����� �Tb P Ò P ��b � ���� b � b h������� � � H ����¥*¦ ©�¥:����*Ø��?�*���"~<�2�Ì�?��~<�å~��0�?�*���z�¾�o�o�?�2���.�¾~��Z�^�?�p�"�=�o~<£ª���z�Z£6�*���

§ E H ;�Z�*Ø��=�"�=�*Ø*�o�^�K~�� P ¦ ¹ � �Z�ø�2�*�l�=���2�l~��W�?�*�u�2���*�<�*�Z���2�Ì�x�Ú��� ���� ��*�Ì�x�<ÜD�F�2�Ì�?�Z���� �� � �(~<���2�*��Ø*�Ä����~<�����¾£ª~{Ø*�=��£ª���?�2������ ��� �cb � b h�� ���� � � H ���?�*� �=~{~<�2Ø*�������2���������*���=�p�Z��Ø*�*�=���?�����2~<�Z~<���Z�+�����Z�2~�£ª~<�z�*�*���2£6�×~��/:4�=�2£6���2�Ä��� ��"�=�F�*�*�*Ø��Z�=�

� ���� ; � �� � � Ò � �c ; � \ ���¥*¦ © H �� ���� � H �o� � � L� b P Ò P ��b h � � � H �cî^�¸�

���Z�4�?���Z�À���2~<£6~<�z�*�*�Z�z£ï�?�*�×�2�o�*�2�o�2�=�^�?���?�Ì�<�=� , H �cî ;�P � �<�Ì�<�o�J�Z� �(¥*¦ ç<� � �¾�o���+�<����p�(~<�Z��~d�F�=ºb P Ò P �Fb h � � , H ��î ;�P � ì , H � � � ;�F�*�Z���Ú�Z�p���*Ø*�o�¾�o�*Ø*�=�^�'~���P*Ü*~<�p�o¤:�*���������=�^�?�Ì�

b P Ò P ��b h � � , H �cî ;QP �=� P Ò P �¡� Ø î ì , H � � � Ø � ;�Z�*Ø��=�"�=�*Ø*�o�^� ~���P ¦ 3��å�?�*���o¤{�*���?��~<� ��¥*¦ ç�9 � Ü��?�*���p�Z£6�*�Z���=�b P Ò P ��b h � � @ H �cî ;QP �=� 5P Ò 5P �¡� Ø 5î ì @ H � � � Ø 5� ;�Z�*Ø��=�"�=�*Ø*�o�^�?���6~���P ¦ �ÀÝ������?���6���×���6�2�*�'�=���2�'~����2�*� �z�Z�*���*�Ä���z���x�J�����Z�� ������x�<Ü�?�*� �.�����Ä���o�Ä���A���*ØA�?�*� �K�2�o�=� �`�p~<�"�=�?���?~<��~�� � �� �Z�å�2�*�K�=~{~<�zØ*�Z�����?� � ~��*���Ø*�=�"�=��ØÚ~�� Pl�?���2~<�*���A�J�=~<��(~<�2£ª���D�����o�2~<� b P Ò P ��b h�� ���*Ø b P Ò P ��b � �z�=�2�"�=�¸��?�Ì�<�=�Ì�<Ü:�2~v�?�*�4�*�*���Ì�i��������� �� <���T~����?���'�*�z~ z�=���?��~<�ª~��:�2~ � �� �i�����2£6~<�*���p�2�*���*~<�z��Z�'�Z�*Ø*�o�¾�o�*Ø*�o�:��~�� P ¦ P8�JØ��=Ø*�*�o�J�*�z�Z�*�å���^�����2�Ä���*�=�u~����?��� � � �x��~<�2£ ~��p9���(~<�2£6���^�å�o~<���(~<�z£ ���¾�o~~<�zØ*�Z�*���?�����*���*�<���2�������(~<�×�?�*� � �� �x�*���2£6~<�*���'�z�*�Z�*~��<� H �cî ;�P � �z�=�*�z�=�2�o�^�?�Z���J�?�*���o~<�*~<£6~<��~<���V�o�Ä���z�¢~�� �C, H �cî ;�P � Ø î ;+@ H �cî ;�P � Ø 5î:� �×����+�<� �

� b <� H ��î ;�P �"b � � � :�� ��� � b Ø î�b � ì b P Ò P ��b � � � h�� � � b <� H � � ��b � � � � � :�� � � � � b Ø � b �¸;�F�*�=�z� <� H � � � ��� �?�*�������2£6~<�*�Z�u�2�*���*~<�K�z�=�*�z�=�2�o�^�?�Z��� �C, H � � � Ø � ;+@ H � � � Ø 5� ��¦P8�u�2�o�V���Z�z~6�2�����'�?�*�u�Z�^�?�o�<�?���.~<�ø�?�*�u�2�Z���:�¡�x�����*Øø�z�ZØ*�u�Z�4�Z�*Ø��=�"�=�*Ø*�o�^�K~��

Page 106: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� �Q� ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� ������P*Ü{�*�=���=���×�K���+�<���?����Ø*�=�z�Z�z�=ØA�"�=���+�{�Z~<�×�<���{���*�l�����?���"~<�Z���p�¢�o�Z�<�^� Ò 9 Q H~<�A�?�*���F�=~<£6�¾~��*�=�^� ¦

> �2�=� §¦ P8�ªØ*�2~<� �?���å���z�2�*£6���?��~<� �?�����v�?���ª�z�=�=~��*Ø�x~��2Ø*�o�u�?�o�2£ � ~���?�*��~<�z�Z�<�������]:'�Z���<�V ��=��ØX���6�b�z�Z£6�*�Z�A£ª���?�z�ÌÝ ¦ �Å�o�6ß��"�ø�¶ �Ý�=Ø �=���¡�x~'_�(�*�*���?�Z~��X�z�*�*�"~<�z�2�=Ø ~<�X�2�*�Ú�=~<£6�*�Z�o£ª�o�^�����¡� s � à � ��;+9PæPð�ñ � ~����b�Z���2�<�Ø*�Z�z�Dܾ�o¤{�*���R�2~[9l~�� s � à � ��; § æPð�ñ �¸¦ ^x� s � à � ��;+9Pæ�ðPñ � ÜD�?��� :'���<�<�F ��=��Ø�Z�p�*���?~6�V�"�=�z�2�*�2�*���?��~<�· \ ì 9

§ � Ø î Q � Ø îî�F���2� � ���*Ø � Ø*�Z���<~<�*���£ª���2�2�Z�o�=�À���W�Z� � 9 ¦ ç9 � Ü��2�*�=�z�o�(~<�z�pØ*�=�o~<£6�¾~<�z�=�W���:�2~�vØ��Z�2�o�o�T�z�*£ ~������2~<�*���=£6�W�z�2�*Ø*�Z�oت��� > �?�o�[9 ¦ ^x�6�����¡�?���=�*�Z���=Ü��(~��W�+�����ª�2�*���£ª~{Ø*�o�p�*�2~<���Z�=£ �F�Ì�?�X�=���<�=�^�����Z���ø~��'�?�*�Ú�2�o�=~<��Ø�x~<�zØ*�=�6�?�o�2£ P ] �¢�ø���+�<������z£ª~<���Z���z�*�Z�*~��2� <� ]H �cî ;�P � �F�*�=�z� M 587:9 Q � ] ; �=�+� ; � ]`_ � @:Ü*�z�*���ø�2�������

�� <� ]H ��î ;�P � �� � � � � : � � b Ø î�b � ì b P Ò P ] b h�� _ � � �� �¹ �^���Z��Ü:�2���*�=�4�?�*�'�����z£ª~<���Z�4£ª���?�2��� �A~����?�*��:'���<�<���*�*�*Ø*��� �xÏ ; ·<� �Z��£J���?�{����Z�Ì�v�¾~<���*Ø*�=ØV�F�Ì�?� ��\ �Z�����*�o�Z�<�:�"~<�2�*~{~{ØJ~��"�Z�� *�*���x�l���*Ø <� ]H �Z���z�*�*�"~<�z�2�=Ø�?�*�o�2��Ü*�?�*���4��£ª���Z�Z�o���¥*¦ ©<©^� ² b P Ò P ] b h�� _ � � �� � �

��� <� ]H ��î ;�P � �� � ��� � : � b Ø î�b � � � b P Ò P ] b h�� _ ������

�(~<�p�2~�£ª����è ² è � ¦WÖ �*���2�o�o�2�Z~<�<� �cî ;QP � ì ß �cî<� <� ]H �cî ;�P �

�Z� �×�=���Ì�iØ*�o ����=ض�"�=�+���*�2�J�2�*�V�Z~{�+���0�*~<��~<£6~<�2�*���Z���?�2�Ì�{�Ä�����Z�?���?�Z~�� �Å\H ~�� Ï ���Ø*�o *�*�=ض��� s � à � ��;=9Pæ�ðPñ � �(~<�FðPñ ò �ª�z�RQ6�=���=�^�?�Ì�ø�z£ ���Z� ¦¢Ö �*�l�¡�����2�=£6�=�^�~��0�?�*�K�?���=~<�z�=£ �F���Z�Å���<���Z�å�(~<���Z~d� ���.�×�u�*�z~d�<���¥*¦ © O<� ² b P Ò P ] b h�� _ ������ � �

� b <����� <� ��î ;�P �"b � ��� � : � b Ø î�b � � � b P Ò P ] b h�� _ ������

�F�*�=�z� <� �� <� �cî ;�P � �Z�u�?�*�A�����2£6~<�*�Z�ª�2�o�*�2�o�2�=�^�?���?�Ì�<��~�� <� �cî ;�P �¸¦ ¹ ���[ ��2�¡��z�2�=�Ú�Z�A�?�*���pØ*�Z�z�=���?�Z~���Ü��×�u�*�z~d�<��º� n=p p q ¥�¦ ç g*È ������,��8�z/<#Z��!(� �ïò �ë��&"1 ´ ò �ó����q�� !C����!p)+$�, b P b��� �óq�#%��&�!�B k BÌ��,cÉ{��!C���v#C&��2Ê=����Bw#C! k

�� � �� <� ��î ;�P � �� �� � � � � � ´ b P Ò P ] b � _ � « � <� ��î ;�P � � �� � � � ���$�BÌ1��=m

Page 107: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� ���R D�"!����#��& ���A�o���(��� �� � ���»�¼¾½À½ÀÕ È PË� �(~��Z�Z~d� �2�*�¶�*�2~{~��v~�� �Å�=£6£ � ¥�¦ ç H ¦ PË�b�z�o� � � Y Y� � \ ì56�7 Q · \ ���*Øä���o� � \� � �2�o�2�"�=�o�2�����=��� � � \� � � � �¡������ØË�(~<�v���2� B����?���V~<�"�=�2���?~��� �z�=�2�"�=���?�Ì�<�=�Ì�å�Ì�?����Ø z~<�Z�^� ��¦ 3×� �Å�=£6£ � §¦ ç���Ü <� ]H �Z�×�2�*�*�"~<�¡�?�=Ø���� � � �x��~<�2£�*�ª�2~l��� ��Ý�"~<�*�o�:�2�Ä�������VØ��=�=�z�+���z�Z�*�v�����o�2~<�T�Z�ZPv�Z� s � à � ��;+9Pæ�ðPñ ��¦�Ö ���=�2�¸��(~<�2��Ü��?�*�V���=£6£ �6�2�oØ*�*�=�o�v�2~å�?�*���2��£ª�l�=�z�2�Z£ª���?��~<�[�(~<� <� ]H ¦ � ~<�z�=~d�<�o�=Ü0�:����2�z�*£6���?��~<�A�¢�����+�<�

��� \� � � <� ]H �cî ;�P � ì �;�2~� �� <� ]H ��î ;�P � ì M � �� Ò ��� \� � � N <� ]H �cî ;�P �¸�

Ö �*��Ø*� _��o�2�o�*�=��~�� �?�*� �2�Z���:�¡�x�����*Ø �z�ZØ*�'~��Å�?�*���×�(~<�z£J�*�Z�v���¢�"~<�*�*Ø*�oØ����"~P����^� ´ b î�b h � h « �(~�� �2~�£ª� ´ ò��ª�Z�*Ø*�o�¾�o�*Ø*�o�:��~�� P*ܾ�¾�o�+���*�z�l�?���l�x�¢~ B����?���~<�"�=�?���?~<�z�×Ø*�o�¾�o�*Øå~<� Pl���6�2�*�4�?��£6�4�¢�+�<Ü�*�=�*�o� �?���=�Z�TØ*� _��o�2�o�*�=�'Ø*~�o�¢�*~��Ø*�=�"�=��Øö~<�X������� ���Z� ¦ ^x�:�2�2~{Ø*�*�o�Z�*� �?�*���o~~<�zØ*�Z�*���?� � ì î*� P Ò P ] � ÜT�?�*����¾�o�=~<£6�=� ´ b � b h � h « b P Ò P ] b � _ « ¦TÖ �*�o�2���(~<�2��Ü"�Ì�p�Z�p�z�RQ6�=���=�^�'�2~��*�2~d�<��� � � � ñ :�� � h � N � � .-0 � b � b h�� h�� « b P Ò P ] b �

_ � « �� <� ]H ��î ;�P � �� � � ��� � : � b P Ò P ] b h�� b Ø � b �� ´ b P Ò P ] b � _ � « � � �� <� ]H �cî ;�P � �� � � � � � : � b P Ò P ] b h�� b Ø � b �o;�(~<�F�V�2�*�Ì�������Z� ´ òö��Ü�~<�p£6~<�2�K�z�Z£6�*���

�� � � � ñ :�� � h � N � � . 0 � b � b h�� h�� « �� <� ]H ��î ;�P � �� � � ��� � : � b Ø � b �

� ´ �� �� <� ]H �cî ;�P � �� � � ��� � : � b Ø � b � ���¥*¦ ©�g^�

Ö �*�Z�4�<~{�=�'�2�Z£6�Z�Z���2�Ì���?~ �(¥*¦ H g^� º×�¾�o�+�����2�J���Ú�2�*�l�o~~<�zØ*�Z�*���?� � ì ��h �� î �2�*��2�*���*~<� b P Ò P ] b � h�� � �� <� ]H �cî ;�P � ���F�Z�*Ø*�o�¾�o�*Ø*�o�:��~��,P � �z�=� > �?�o�ä9 � ���*Ø �S���*Ø��\ë���z�v£l���?�����Z���6�"~<�*�*Ø��=Ø�ÜD�����¾~<���Z��Ø�~P�F�Ú�?~�� � � � ñ :�� � h � N � � .-0 � b � b h�� h�� « �� � ���� <� ]H �=� � � �� � � � � � : � � b Ø � b �

� ´ �� �� � ���� <� ]H �o� � � �� � � ��� � : � � b Ø � b � �}'~d�â�2�=£ª���z� �2����� � �� <� ]H 52K � � s ; b Ø � b � ; � \ � �Z£6�*�Z���=���Z� �*���z�2�Z�=���Ä�����?������ �� <� ]H 5 � � � s ; b Ø � b � ; ��\ �¸¦åÛ �*�z�2�*�=�z£ª~��2��Ü0�*�=���v�2�*��~<�2���<�Z� b � b h � h « � �� <� ]H 5� �]�� � �Tb Ø � b � ; ��\ � �*�2~d�{�ZØ*�oØK�?����� �uè \H ¦ :'�o�*�=� b � b h � h « � �� <� ]H 5 � � � s ; b Ø � b � ; ��\ � Ü���*Ø

´ ì §�� b � b h � h « � �� <� ]H �� �� � � � :�� � � � � : � � �

�� � �� <� ]H �� �� � � � :�� � � � � : � � �

Page 108: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� �]) ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� �����������p�?���vØ��=�2���2�oØø�*�z~<�"�=�z�x� ��¥*¦ ©�g^�¸¦ l

Ö �*���4�*���p�?�*�K�(~<���Z~d�F�Z�*�l�=~<�*�z�=¤:�*�o�*�=� ¦� n=p p q ¥*¦ ç `�È X � Pl� P ] j�Í¢������y���!C���V����!c#C�6��!x�

���� <� �cî ;�P � � �� � Ò �� <� �� <� �cî ;QP � �� �� � ���

� ´ b P Ò P ] b � « � <� ��î ;�P � � �� �)+$�,��d$�� � ´ ò �[#C&"1{�x����&"1{��&�!¢$f) PDm

»�¼¾½À½ÀÕ È ¹ �<���Z�Ú���F�Z���Å�o£ª£ª� ¥*¦ ç © Ü*�����Z�p�2��Qª�o�Z�o�:�4�?~��"~<�*�*Ø�� <� �cî ;QP � Ò <� �� <� �cî ;�P � �� �� ����F�Z�å�2�*���Z�=£6£ª��Ü�F�*�o�2�

<� �� <� �cî ;QP � ì � ^xØ Ò � � � � �� � <� ��î ;�P ��Z�V�?��� � �� �x�*���2£6~<�*���å�2�o�*�2�o�2�=�^�?���?�Ì�<�S~�� <� � P ��¦ Ö �{���å�^� �.�o£ª£ª� §¦¨§'O �×����+�<���(~<���?���v��~<�2£ ~��R�2�*��Ø*� _¾�=�z�=�*�o�

�� � � � � �� <� �cî ;�P � �� �� � � ´ b P Ò P ] b h�� �� � �� <� �cî ;�P � �� �� ����*Ø��¢���o~<�*�=���*Ø*���*�z�Z�*� �Å�=£6£ � ¥*¦ ç g�¦ lPË�J���z�v��~P�Þ�z�+��Ø�Ú�2~6 *�*�Z�z�ø�?���u�*�z~~���~�� Ö ���=~<�z�=£ ¥*¦ ç O º��:� �Å�=£6£ª�¥*¦ ç ` ܾ���EPª� P ] �2�*�J�*~��2£ ~��W�?���l�����z£ª~��*�Z�v�2�o�*�2�o�2�=�^�?���?�Ì�<�V~��W�2�*�l�z�*�Z�*~��

<� �cî ;�P � ���=�2�Ì ��=��� <� �� <� � P � �� �� �� <� � P � � �� � Ò � 9 �

� �Ú�2�*�u~��?�*�o�'�����*Ø�ÜD�2���*�=���?�*�v�2���*�¾~��z�'~���ß ���Ú�2�*�u�o~~��2Ø*�������?� � ��� s �à � ��; b P Ò P ] b æ�ðPñ � Ü�����ØÚ�2�*�=�z�u�z�o�?�4��Ý�����*�z� s ��� Pu� P ] Ü*�×�u�*�d���v�2������ <� � P � � �� �� <� ]H � P � � �� � Ò � 9 �

3×� ��¥*¦ ©<©^� �2�*� � � �i�*~<�z£é~�� <� ]H ��î ;�P � ���p£6�+���z�*�2�oØA�:�ª�?�*� �����2£6~<�*��� £6�o�2�2�Z��ø�?���?�Z�¡ ��=�² b P Ò P ] b h�� _ ������ � �

��� <� ]H �cî ;QP � ��

� � ��� � : � b Ø î(b � � � b P Ò P ] b h�� _ � � �� �GW���2�2�Z�*� �2~<�<���?�*�o�K���Z�Å�2�*�Z�oÜ��¢�l~<�������Z� �(¥*¦Ç©�O<� ܾ�2~å�?�*����~<�S�2�*�J�o~<£ª�"~<�*�o�^�~�� < ���+���AP ] ~<� �F���Z���å�?���'�?�2���*�¡�(~<�2£6�=Ø :4�Z�<���� ��o�ZØå�*���¢�o�Z�<�o�:�������*� Ò E \H Ü�?�*�������?���"~<�Z���'�×�=���<�^�'~��R�2�*���Z�*Ø*���=�=ØÚ��Ý{�2�=�*�z�Z~<�ø�Z� Ò 9 Q \H ¦ l

Page 109: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� � �� ��� =�� ���&��(�� ��� ��� �!��"�����'��!�$ �� �������& � ��������� !��0����� �(.���&�� ��� �"!�%��2"6D���F� ��28H=��- ),+���-/.��

^x�l�2�*�Z�R�2�=���?��~<��Ü��×���o~<£ª�����?���?�*���?~<�"~<�Z~����K~��*�2�*�¢���*Ø*�=�z���{�Z��� �*~<��~<£6~<�¡��*�*�������*�*Ø*��� < <Ï ~���?�*�W�?�2���*�¡�(~<�2£6�=Ø :'���<�<�Å�*�*��Ø*�Z� � �z�=� ��¥*¦ `^�2� �z�=�Ä���?�������?~4���2���Ý{�?�o�*�2��~<�A~d�<�o�¢�?�*� �*�*�*���?�*�z�=���<�Ì�<�o�A�Z� > �=�o�2�Z~<� ¥*¦ ¥�¦ P8�'�?�*�o�AØ*�=Ø*���=� �2�*��?~<�"~<��~<���¶~��×�?�*�6�?�2���*�z�(~��2£6�=ØI:4�Z�<���v���*�*Ø*��� �2�o�Ä���2�������2~[�Ì�?���?�?���*�z�(~<�z£ª�oØ��Ý{�?�o�*�2��~<�Ú�<�����=�Ú�:� B��� ��*�Ì�?�Z~��Aç ¦ 9<9 ¦ PË�v�z�=�=���Z���2�����F�×�v�*�d���uØ��=�*~��2�=Ø��¥*¦ © `^� <O ì��

� ¯��O M � � µ � �c· ;�� �2�z���

Ö �*���2�o�2�*�Ì�4�×���F�Z�2�A�2~ª�z�*~d�ï�Z���2�*�K�(~<�Z��~d�F�Z�*�*º��� nD½À¼n=p ¥*¦ ¥ � È �����v,z��&��A$f) < <Ï #Z���2Ê=�*��BÅ!x$ <O:j×ÍÀ����,?�2���v#C!(�J1{�%É�,?���v#Z��2Ê=�*��B¾!f$ <O Q � µ � �fÏ�� Q O^jTÍÀ����,?�pOÚ��&"1 � µ � �fÏ�� ��,?�K!C����,z��&��6��&"1ª1{�%É�,?���l$f)Ï jT,?���x����q�!c#Cy���B k m}'~��?�Z�o�K�?�����F�Ì�p�<�Ì�<�=�F���Ú�*���z�2�Z�=���Ä��� � 9 � ~�� Ö �*�=~��2�=£ 9 ¦ ç §{¦»�¼¾½À½ÀÕ È �=�+���Z�:�?�����À�¢�p���+���pØ*�=�*~��?�=ØV�^� Ï �2�*�p�2���+���"~��D�*~��Z~<£6~<�2���*�Z��2�o�o�?��~<�*��~����?�*���*���*Ø*�Z� Ï �*�*Ø*�o�2���{���*�A�?�*��~<�z�Z�<�������/:'�Z���<�K�*�*�*Ø��Z�� RÓë�¢���Ø*�o *�*�=ØA���×�v�2�*�=���Å~��¾£6�=�2~�£ª~<�z�*�*���p�2�=���?��~<�*��~�� Ï < 8 �;: ñ �*�d�{���*�l�z�Z�*�<���Ä���z�Ì��?���=�����WôåõK7?> @p�F���2�J�2���*�<�*�Z���R�*���z�2�À�Z�l�*�2�o�2�=�z�Z�"�=ØV�z�����=�o� � �z�=� > ���*�2�o�o�?��~<�¥*¦ ç ¦ 9 � ����*Ø[ ������Z��� �Ó ì � �� Ó < � �� ����! U � 9 ��¦ 3×�Ú�:�{�"~��?���=�2���=Ü ·[� ����ض�2~ ·��(~<�V���^� a � ���V�*~<��~<£ª~��2�*�*���6�F�Ì�?� �z�=�2�"�=�����?~S�?���A�*~<�Z~�£ª~<�z�*�*���ª�¡�?�2���o�?���2�56 7 ¦TÖ �:�*�4�×�v£ �+�å�o~<�*�z�ZØ*�o�F�2�*���*~<��~<£ª~��2�*�*��� �������Z�Ú�=~<£6�*�Z�¸Ý

Ï //

^x��

���Ï Ð � //

��

�Ó^xØ

��� //�Ó

�Z� aS5 rsut � ¦�Ö �*�l�:�{�"�=�z�=~<�*~�£ª~<��~<���Ú�Z~��*� �¸Ý*���o�K�z�=¤:�*�=���=�6���2�z~�o�Ä���2�=Ø[�2~�����{���=�ZØ��F�2�*����Ý������'�z�=¤:�*�o�*�=�u~����o~<�*~<£6~<�Z~����6�2�����o�=�� Ò � K ñ � sut � ; Ï�� Ð��Ò � K ñ � slt � ; �Ó � Ò � Î � �fÏ Ð��Ò � �Ó �

Ò � K � � slt � ; Ï�� Ð �Ò � K � � sut � ;?Ó � Ò � �;��¥*¦ O � ��2���*�=�¶�×�Ë���+���8�2�o�=� �?������Î ñ �xÏ Ð �Ò � �Ó � ì Î � �xÏ Ð �Ò � �Ó � ì � ¦ ¹ ����~���?�*�¶�z�����o�=�A�Z� �2�*�Z� ��Ý����o���z�=¤:�*�o�*�=� �=~�£ª�[�F�Ì�?� �ä�����?�*�2��� �*~��Z~<£6~<�2���*�Z��z�2�2�*���?�*�z�u~d�<�o� rslt � º

Page 110: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� ������� �?���V�=~<�*~�£ª~<��~<���Ú�2�*���=�o�v~�� Ï �"�=�+���*�2�J�2�*�Z���Z���2�2�=����� �?�z���{�Ä���R~d�<�o�rsut �� �?��~<�2��~�� �ÓX�"�=�=���*�z� �?�*���¢�Z���2�2�=���Z�T�?�*�4�?�=���2~<�×�*�2~{Ø*�*����~��0���?�2�Ì�{�Ä����<�o�o�2~<�'���*�*Ø*���v~d���=� rsut � ����Ø ����" U � 9 ��  ������Z����Ü�Î � �fÏ Ð��Ò � �Ó � ì <� � �*���å���2�ª��~<�Z~<£6~<�z�*�*�Z���¡�?�2���o�?���2� 56 @7�Z��Ø*�*�=�oØ �^� <Ø ñ : � Ü{��Ý{�?�o�*Ø*�=Øå�2~v�2�*�4�2�Z���<�*�Ä���2���2�Z�o���Z� > �=���?��~<� ¥�¦ ¥ �:��?���v���*Ø*�*�o�=ØÚ��Ý{�?�o�*�2��~<� < <Ï0¦� ~<�z�=~d�<�o�=Ü0���Z�0~��T�?���V£ �������Z�[�2�*�V��Ý��������2�o¤{���=�*�o� �(¥*¦ O � � �����z�ø�*~<��~<£6~<�¡��*�*���+�������S����a 5ïrsut � �F�Ì�?�b�2�=�z�¾�o�o�u�?~��?�*�o�2� �¡�?�z�*�o�2�*�2�o�J���*Øb��Ý{�2�=�*�z�Z~<�*�oº�?�*�����(~��Z�Z~d�F�T�(�2~<£ã�2�*� Ø��o ��*�Ì�?��~<� ~�� �ÓX���*Ø6�?������~����2�*� ���*Ø*�*�o�=ØA�¸Ý�2�=�*�z�Z~<� ¦Ö �*�=�z�o�(~<�z��ÜF���ª�Z��Ø*�*�=�o�A��� �¸Ý����o� �2�=¤:�*�o�*�=� ~��K�2�*�[�z�*�+�+���=�A~d�<�o�Srsut � ~���*~<��~<£ª~��2�*�*��� �z�=�o�2�Z~<���4~��R�2�*���=~<�z�2�=�z�¾~��*Ø*�Z���ª�o~<�*~<£6~<�Z~���� �z�����o�=�=º� Ò � � � K ñ �xÏ��z� Ð �Ò � � � K ñ � �Ó �z� Ò � � � < <Ï��Ò � � � K � �xÏ��2� Ò � � � K � � Ó �2� Ò � ��;

�F�*�=�z� � �z�?���*Ø*�l�2~SØ*�o�*~��?�ª�?�*�å�z�*�+���'~��F�2�=���*�Ä���v�2�o�o�2�Z~<�*�l~<� rsut � �F���2��2�o�2�"�=�o�F�2~��2�*�v���"~P����£ª�o�:�2�Z~<���=Ø��*~<��~<£ª~��2�*�*���'�¡�?�z�*�o�2�*�2�o� ¦ 3×����Ø*Ø����?�Ì�{���x�~��0�?�*� S �*�o�2�[���*���?�����?�o�=Ü*�×�uØ*�oØ*�*�o�v�2�*���=¤:���������x�² � � < <Ͼ� ì ² � � � � rsut � ; K ñ � �Ó �2�z� Ò ² � � � � rsut � ; K � � �Ó �z�2���¥*¦ O 9 �

Ò ² � � � � rslt � ; K ñ �fÏ��2�z� Q ² � � � � rsut � ; K � �xÏ��2�2���¥*¦ O<§<��Z� K � � rsut � ��¦ GW��� � ì � � Ü×�?�*�Ú�*�2~ z�=�o�2�Z~<� ~<�^�?~b�?�*�Ú�2�o�=~<�*Ø �����o�?~��6���sut � � rsut � ¦ � �*�×������Ø��Z�2�o�o�R�Z£ª���<�T�2���+�+�<�o� � � Ï ���*Ø�� � �Ób~<� rslt � Ø*�o *�*�=Ø�^�

� � Ï b�� ì � � �×; K ñ � sut � ; Ï��2�� � �Ó b�� ì � � �×; K ñ � sut � ; �Ó �z�2� ì � � �×; K ñ � sut � ;�Ó �z� < � ��! U � 9 �o� � � ;

�(~<�F���^�A~<�"�=�Ú�2��� � 5 sut � ÜD���*ØÚ~<�*���=���A�(~<�2£ �2�*���¡�{�Z�¡�?�������J�2���+�+�<�o���� Ï b� ì � � �×; K ñ � sut � ; Ï��z� Ò � � �×; K � � sut � ; Ï��2���� �Ó b� ì � � �×; K ñ � sut � ; �Ó �2� Ò � � �×; K � � sut � ; �Ó �2�¸�

¹ �^���Z�K�^�K��Ø�Ø*���2���{���x�4~��{�?�*� S ���=�2�v�������2���o�2�=�oÜ��2�*�W�2���<�^�z�x�*���*Ø�i�2�ZØ��À~�� ��¥�¦ O 9 ��Z�p�o¤{�*�����?~ ² � � ��� �Ó � Ü*�F�*�����ø���p�Z�A�?�*�z�ø�o¤:�������?~� � � ² � � �Ó � õ� � � � �2� ;

Page 111: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� � �� ��� =�� ���&��(�� ��� ��� �!��"�����'��!�$ �� �������& � � ��^�å�?�*���K�2~��2�*�=��Ø*�Z�o���^� ���=£ª���*�� ~{���å�?���=~<�z�=£ÚÜ*�F�*�=�z�

� ì � sut � � rsut � � Ò ��� �rslt � ì ���� sut ��Z���2�*�V�2�o�Ä���2���<�J�?���*�<�o�^���*�*�*Ø*���V~�� �WÜ.���*Ø �ø�¡�����*Ø����(~��K���?� Ö ~{Ø*Ø �=�Z���2� ¦� ~<�z�=~d�<�o�=Ü!� � �Z� z�*�z�¢�o�����������?��~<�6~<�ª�2�*�'�(�*��Ø���£6�=�^�����D����o�Z��~�� sut � ¦?> ��£���Z�Z���2�Ì�<Ü:�¢�v�2�o���2����� ��¥�¦ O<§�� �Z� z�*�¡�

Ò ² � � ��� Ï�� ì Ò � � � ² � �xÏ�� õ� � � � �z� ;���*Ø��?�:�*�p�×�u~<����������¥*¦ O ç � ² � � < <Ï�� ì M � ² � � �Ó � Ò ² � �fÏ��2� õ � � ���� sut � �;N æRM sut � Nc�}'~d�ë�×�v���+�<�

² � �fÏ�� ì O Q ² �=�xÏ��² � � �Ó � ì

� O Q ² ���fÏ�� Q � �� ¯��

O M � � µ � �c· ;�� �2� � � 9 Q <� � � � sut � � ì � � � �" U �c§<�2� ì 9 Q �Å;

�F�*�=�z�ËO ���å�?�*� �2���*�ó~��v�?�*� �*���*Ø*�Z� Ï Ü ² �o�xÏ�� �Z�����2�å ��2�¡� S ���=�2� �=�Z���2�oÜ���*Ø �Ú���*Ø <�����2� �2�*�K�^�{�¾�o�¡�x���Ä���*�K�o�Ä���z�2�o�p~�� sut � ���*Ø rsut � �2�=�z�¾�o�o�2���<�o��� ¦GW���2�2�Z�*�6�����¾�?���Z�p�?~<���o�?���=�=Ü*�×��~<���?���Z�² � � �Ó � Ò ² � �fÏ�� ì <O � Q M O Q ² ���fÏ�� Q <O N <�.;

���*ØÚ�*�Z���<�<�Z���l�?�*���p�Z�^�?~ �(¥*¦ O ç � Ü��¥*¦ O�¥:� ² � � < <Ï�� ì <O Q M O Q � µ � �fÏ�� Q <O N <��;���p�¢�K�F���2�*�oØ ¦ l

PË�K���2�'�*~d� �2�=��Ø��6�?~l�*���2���*�����6�2~u�2�*� �?�2���*�¡�(~<�2£6�=ت��Ý{�?�o�*�2��~<�A~����2�*�:'���<�<���*�*�*Ø��Z���Z�^�?�z~Ø��*�=�oØ8�Z�OB��� ��*���2�Z~<�bç ¦ 9<9<Ü.�*�o�*�=�ª�=�¡�����*���Z�z�*�Z�*���"~<�Z�^�2��%§<� Ü � H � ���*Ø �4g^� ~�� Ö �*�o~<�2�o£ 9 ¦ ç §¦

U ½R¼�½ V�V q0¼ � ¥*¦`¥ 9 È �����'����,z�^I�$�Bw#%quÍ¢��#ÌÉ��{!(�6$f)J!C���l!c,z��&��()+$�,¸� �21�� #ÌÉdÉ��I=�&"1�BZ�V��&"1{$�Í¢�216ÍW#C!(�Ú#C!C�u!c,z��&��()+$�,¸� �21Ú�z/<!f��&���#%$�&¶��,�� \H ��!¢!C���vBZ$2É^��,�#C!C� ��V#%qK�"�&�q�!��{,����øaz$�& !C���V�=��� �J����I��x���{q�� ����#C&ï������$�,?��� u"m����zg[��&"1 G H[��!#C&+-T&�#C! k az$�&N!(���6���*I��x���{q��6#C&Þ������$�,?��� u"m�� u�g�m ����� 1{�%É�,?����$f)ª!C��� !c,z��&�� �)+$�,¸� �21 � #ÌÉdÉ��FI=�{&"1�BZ� <Ï ÍW#C!(�J,?���x����q�!�!f$�#C!(��!c,z��&��()+$�,¸� �21l�z/<!f��&���#%$�&6#Z�'�2Ê=����B!f$6!C���l1{�%É�,?���J$f) Ï m

Page 112: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � ��������((����������&' � �� #�!� �!�� ��� ������»�¼¾½À½ÀÕ È �=�+���Z�'�(�z~<£ Ö �*�=~��2�=£6� ¥*¦ ç O ����Ø ¥*¦ ç ¥ �?�����å�?�*�[�����?���¾~<���Z��¢�o�Z���2�*�¢~����?���'�?�2���*�¡�(~<�2£6�=Ø4:'�Z���<�T�*�*�*Ø*���'�z�=�Z���?�Ì�<�F�?~u�2�*�4�Z�*Ø*���=�=Ø ��Ý{�?�o���2��~<�*�T�=~<���2�ZØ��=�2�oØå�Z� > ���*�2�o�o�?��~<�*� ¥*¦ ¥�¦ 9'���*Ø ¥*¦`¥*¦¨§ ���z�'�o¤{�*�����?~ Ò 9 Q \H ����?�*�T��~<�^���z���?��£ª���R�*���*�o�2�*�2�o�À����Øv�2~ Ò 9 Q G H ���.���� ��*�Ì�x� ¦ � �v�2�*�T~��?�*�o�Å�����*Ø�Ü�^�*B��o *�*���2�Z~<�lç ¦ 9�9<Ü��?���p�����?���¾~<���Z�T�¢�o�Z�<�^�2�W~��D�?�*�¢�2�?�����z�(~<�z£ª�oØZ:'�Z���<���*�*�{�Ø*�Z�4�F���2�A�2�=�z�¾�o�o�p�2~V���?���?�2���*�z�(~��2£6�=ØA��Ý{�2�=�*�z�Z~<�����z���2�o¤:�*�Z�z�=ØA�?~J�*�d���K�����f����"~<�Z�����¢�o�Z�<�^�?�'�¾���x�¢�o�=� �ª���*Ø89 ¦pÖ �*�Z�4£ª�=���*�F�?�������6�Z~{�+���Å�*~��Z~<£6~<�2���*�Z��?�z���{�Ä�����Z�2���?��~<�[~��×�?�*�6�2���*�<�*�Z���K�=~�£ª�"~<�*�o�:�v~��×�?�*���?�2���*�¡�(~<�2£6�=Øb��Ý{�?�o�*�2��~<�

<Ï �*�=���p�?�*���*���*�o�2�*�2�WP ] �Z�� P Ò P ] � <� ]H � P � ;

�F�*�=�z� <� ]H � P � �����?�*���Z~{�+���À�*~<��~<£6~<�2�*���Z�v�2�=���?��~<�Ë~��×�2�*�V��Ý{�?�o�*�2��~<� < <Ï ����P ]Ø*�o *�*�=ض��� > �*���2�=���?��~<� ¥*¦`¥*¦ 9J���*Ø M 5 7:9 Q � ] ; �+�+� ; � ] _ � @ ¦ � �ø�?�*�u�2�=���*�Ä����=~<£6�"~<�*�=�^�V~�� <ÏAb � N �?���å�����z£ª~<���Z�6�2�=���2�=�z�=�^�����?�����=�6���+�<�A�"~<�*�*Ø��=Ø �*~<�z£øÜ�F�*�Z���A�����<�o�F�l�����2���"~<�Z���4�×�=���<�^� ¦TÖ �*�=�z�o�(~<�z�K~<� �2�*�Z���o~<£6�¾~<���=�^�p~<�*� Ø*~�o��*~��V���=�=Ø �2~¶�������*�<�å�2�*�å�?�z���{�Ä���Z�Z�2���?��~<� ¦�> �Z£6�Z�Z���2�Ì�<Ü0�S�Z~{�+���×�*~��Z~<£6~<�2���*�Z��(�?��£6�K~�� <Ï �*�=���F�Z�� *�*���x� �+�����"�v�¸Ý�*�2�o�2�2�oض�^�P�h � <� \H � P � ;

�F�*�=�z� <� \H �Z�.�?�����Z~{�+���:�*~��Z~<£6~<�2���*�Z�T�2�o�o�2�Z~<�J~����?�*�×��Ý{�?�o�*�2��~<� < <Ï ���À�Z�� *�*���x�Ø*�o *�*�=Øä��� > �*�*�z�=�o�2�Z~<� ¥*¦ ¥�¦¨§ �Z~{�+���Z�ZÙo�=Ø �*�=��� � G �(~<���2~�£ª�v3Ë5 7:9<; �+�+� ;?>R@:Ü���*Ø M 587PO G=Q 9<; �+�+� ;?O:@ ¦vS ���+���z����Ü��2�*�Z�Å�¢�d�v�×�¢�Z���=�2�=���2�oØJ�����^�*~<��%�����*�Z�z�*�Z��������2���¾~��Z�Z���×�=�Z���:�2�J�^� 9 ¦ � �ä�2�*�å~��2�*�=�J�*���*Ø�ÜW�^� �=£ª���z�X9 ¦ 9 § �o�<�o� �Ì��?�*�[���Z���=�*�2���Z�Ú�<�=~�£ª���?�2����Ø*�=�<�z�=�S~��K�?�*�ø�*�*�*Ø*���[Ø*�o�¾�o�*Ø*�A~<� �?�*�ø���*~<�Z�o�~����¸Ý{�?�=���2�Z~��*�=Ü¢�2�*�Ú�����?���¾~<���Z�AØ*�o�<�2�o�Ú�F�Ì�?�X�2�o�2�"�=�o�ª�?~Ë�  Ý��oØ £6�o�?�z�Z�A����Z�*Ø��=�"�=�*Ø*�o�^�ª~��'�2�*�=£ÚÜT�¾�o�+���*�z�����V���V�����¢�+�{�ª� ¦ �=�+���Z�¢�(�z~<£ B��� ��*�Ì�?�Z~��9 ¦ 9<9K�?������ µ � � í �=� < <Ï�� ì � µ � � < <Ï�� Q �G ¯�� �;:������ : R : \ �

��H ��� � _ � � Ò

9 Q G H ���Ö �*�Z�F¤:�����^�2���x�A�����?�*�o�2�o�(~��2���=¤:�����Å�2~��¥*¦ O H � � µ � � í �o� <Ï�� ì � µ � � <Ͼ� Q �G ¯�� �;:������ : R : \ �

��H ��� � _ �

G H �GW���2�2�Z�*�V�?���=�2�v��Ý�*�z�=�z�2�Z~��*�4�2~<�<���?�*�o�=Ü*�×�uØ*�oØ*�*�o�v�2�����

� µ � � <Ͼ� ì � µ � � < <Ͼ� Ò <O Ò OP;

Page 113: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

��� � �� ��� =�� ���&��(�� ��� ��� �!��"�����'��!�$ �� �������& � �j��F�*�=�z�v�×���2�o�+�����Å���^�����A�?�����p�×�v���+�<��Ø*�o *�*�=Ø

<O ìR� G ��

O M ��� µ � ��· ;�� G �2���� �z�Z�*�V�(~<�z£J�*�Ä� �(¥*¦ O�¥:� �×�v���o���¥*¦ O�©^� � µ � � <Ï"� ì � µ � �xÏ��¸�

l

Page 114: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere
Page 115: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

S : ¹ G Ö � H

����������� �����������������������

^x�V�?�*���À���������?�o���¢�p�o~<�*�z�2�2�*���W�?�*�¢�Z�^�<�o�2�2�p~����?�*���2�?���*�¡�(~<�2£Þ���:�2�2~{Ø*�*�o�=Ø�Z�b�?�*�å���2�o�{��~<�*�J���������?�o�2� ¦ ^x� �Z�Z���6�F�Ì�?�Ë�2�*�å�*�z~<�"�=�z�2�Z�o�l~��p�2�*� ~<�zØ*�Z�*���z�Û ~<�*�2���=�T�?�2���*�z�(~��2£é���*ØA�Ì�?�×���Z�<�o�*�?���Z�4�=~<�*�^�2�=�2�*���z�2�=Ü��2�*���Z�^���=�2�z���Z�×Ø*�o *�*�=Ø�^�����(~��2£J�*�Z�u�F�*�����ø~<�����AØ*� _��o�2���(�z~<£â�2�*�K�?�?���*�z�(~<�z£ �Z�Ú�V�2���<� ¦ �=�+���Z� �(�z~<£ > �=�o�2�Z~<� ç ¦ 9S�?�*���A�?�*�S�2�?�����z�(~<�z£ª�oØ��D�����=~��*�*�=���?��~<� ~<�

< � ì � � K � ��� � � ���WØ*�o ����=Ø6�:�l�?�*� � � �i~<�z�2�*~<�<~����������2~ z�o�o�?��~<��~�� <Ø Ò î ØDP B ¦Û ~<�����^�l�����?���¾~<���Z���<�=���?~<�W���*�*Ø*�����F���?�V���^�?�=���?���*���¢�o~<�*�*�o�o�?��~<� � �; ��� ; � �"�~<� <s �?���?�Z�¡�C�{�Z�*�p�?�����o~<�*Ø*�Ì�?��~<�*�Å~�� > �=���?��~<��9 ¦¨§�� � ¦ � ¦ ���+����*�'�p *�*���2�W�{��£J�¾�o�~��Å�z�Z£6�*�Z�p�"~<�Z�o�×���6 *�*���2�'�"~<�Z�^�2�¢����Øå�u�z�=�o~<�*Ø�i~<�2Ø*�o�¢�"~<�Z�4���×�Z� ��*���x��Ü:�2�*����?�����0�2�*���=�Z���=�^�����Z�*�o�À���*Øl�����?���"~<�Z���À�×�=�Z���:�2�R£6�=���R�2�*���=~<�*Ø����?��~<�*�.�Z£6�"~<�2�oØ�Z� Ö �*�o~<�2�o£ 9 ¦ 9 O�� Ü�~<�*���=���[Ø*�� ��*���?�*�v�Z�^���=�2�z�u�2�?���*�¡�(~<�2£6�=ØÚ�*�*��Ø*�Z�K�F���2��Z�^�?�o�<�?���*�Z�u�=~<�*���=�o�2�Z~<� � ��

; ��!� ; �� �"� ~<� s �^�¶�ª�*�2~{�=�oØ*�*�2�V�z�Z£6�Z�Z���p�?~ �2�*�~<�*�øØ*�o ����Z�*� � < ; <� ; <� � �z�����z�?���*�Ë�(�z~<£ �c ; � ; � � º[����£6�=�Ì�<Ü��o~<�*�z�ZØ*�o�6�2�*�Ø*�o�(~��2£ª���?��~<�� H ¦ 9 � � � ì � � Q î Ø7P�B~����2�*� �o~<�*�*�o�o�?��~<�å�����?��£6�o�2�2�ZÙo�=ت�:� î ��� s £6�Z�:�*�×�v ��*�Ì�?�'�2�o�=Ü*����Ø �Z��� �� �¾�K�2�*�K ��2�¡� � � �x�o~<�*~<£6~<�Z~���� ~��

�"$#%ÒZÒ � 8 � @& < �

"$#%ÒZÒ � 8 � @& < � �Ö �*�=�z�'���=�o�2~<�¢�z�����o�=�����2�4~����2�*�'�2��£6�'Ø*��£ª�o�*�2��~<�6���*Ø6�(~<�2£®���2£6~~��?���<�=�¸��?~<�¢�*�*�*Ø*���K~d�<�=� s £ª���{���p�l ��*�Ì�?�K�:�*£J�"�=�p~��0�"~<�Z�^�2� ¦WÖ �*���=�z���2�Z�+���¾�"~<�Z�^�2����2���+���2�Z�Ì���2�o�=�l�2~ �"���2�*�¢~<���¾~<�z���2�=�0~��*�?���×�o�Z�<�o�:�������*�=�0~��*�2�*�¢�z�=�o~<�*Ø�i~<�2Ø*�o��?�o�2£ ~�� �!� ���À�Z�� ������x� ¦0Ö �*�����2~{~��D�<~{�=�À�z�Z£6�Z�Z���2�Ì�'�2~ �?�*�¢�+���z��~����?����Ø*�Z�z�=����?�2���*�z�(~��2£ ¦ P8�����Z�2~VØ��o ��*���2�*�W:'���Z�"�=�¡���*�*��Ø*�Z� �K ~d�<�o� s Ü��?�*� � � �x£6�o�2�2�Z���Ú���*ØA�?�*��~��z�?��~<�<~<�������*�z~ z�=���?�Z~�� �

� º �K � �� ����������������~<�<~<���¢£ª���*�*�o����F�Z� > �o�o�?��~<�øç ¦ 9 ¦ }4��Ý{�+ÜD���o�p�?���v���^�<�=�z�2�v�?�?���*�z�(~<�z£ª�oØ��Z�^�?�o�<�?�����Z�K�=~��*�*�=�¸��?��~<� ��!� �¾��Ø*�� ��*�=Ø �^�ä�?�*�������?�����Z�=�×�2�o�o�?��~<�*� �� d� µ � 40 h � �(' -0o� P �2� �(~<�����:������z£ª~<���Z���2�o�o�?��~<� ' 40o� P � 5 �� -0�¦

�W¤:�*���������=�^�?�Ì�<ÜRØ*�=�*~��?�Z���S�^� �ØË�?�*� �2�2�Ì�:��Ä���À�=~<�*���=�o�2�Z~<�b�F���2�8�2�o�2�"�=���u�2~ � �Z� �?�*���?�z���{�Ä��� :'���Z�"�=�z�����*�*Ø*��� �KbÜ0�2�*�� � *

Page 116: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � * �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$�Z�^�<�o�2�z�v�2�?���*�¡�(~<�2£6�=Ø �D���'�o~<�*�*�o�o�2�Z~<���+���ø�"���<�����=�Ú�:� �?�*�K�(~<�z£J�*�Ä�� H ¦Ç§<� �� � ì �

� P� �Ø Q î Ø7P � ;���¢�Ì���=���å�"���2�o�=�A�^� �2�*�����z�<�*£6�=�^�������<�o�A�Z� > �=���?�Z~��Aç ¦ 9<Ü��������*�<�Z���J�2���<�*� ¦Û �Z�*���Z�Ì�<Ü��×� Ø*�� ��*�6�?�*�6�Z�^�<�o�2�z�ª�?�2���*�¡�(~<�2£6�=ØË£ª���?�2��� �� � ~<�Ë�2�*�� ��¾�o� �� 40���^�����[���4�2�*��� � �x�*~<�z£ ~<� <s ~��T� � � 0 �i�����z£ª~<���Z�K�2�o�*�2�o�2�o�:�?���?�Ì�<� ¦ PË�u�=����*~d�ï�¡�����2���2�*���� nD½À¼n=p H ¦ 9 È �����K#C&�y���,?�d� !c,z��&��()+$�,¸� $f) � º �c ; � ; � � L� � < ; <� ; <� �#Z� � h � º � �

; � � ; � � � L� � ��; �� � ; �� � � m ��&b1�# L���,?��&�!T!f��,¸�l��j")+$�,u��& k I=�{&"1�BZ�ÍW#C!(�J#C&�!f�%É�,z�^I=BZ�4q�$�&�&���q�!c#%$�& ��&"1K����,¸� $�&�#%q¢� ��!c,¸#%q �c ; � ; � � �=��!c#Z�() k #C&{Év!C���q�$�&"1�#C!c#%$�&��v$f) ����q�!�#%$�&¶e^mZh ��&"16!C���l$�&�����#C� ��$d�d�21�#C&X������$�,?��� e^mCe �oj�!(����,?��z/<#Z��!(�J�[q2��&�$�&�#%q2��B �u��,¸�V#C!�#���&äI=�{&"1�BZ�u#Z�d$�� $�,i���{#Z����� I���!�Í¢����& �< ��&"1 ���Dq��Ú!C����!�� � � ì �<� m

mon=p\q0¼r H ¦¨§�ÈEX �[$�&��øq2��& q�����q �S�:��#C&{ɶ!(���å!c,z��&��()+$�,¸� $�&X!C���ABZ��y���B$f)u��#C&{É��{BÌ��,¸#C! k ����,z��� ��!f��,?��1{���dq�,�#�I��21A#C&ë������$�,?��� e^mCe �ojF!(���6�������� �"!�#%$�&��afe�gb��&"1Naih=g8$f) !(����!�!C����$�,���� ��,?� � k �V� ��!c,¸#%q�jv#C& !(���ª�d��&��d�A!C����!K# )å!C��� k��,?�u)¸�{B -TBCBZ�21NI k �� ; �A� !(����& !C���Ú�=��� �ø#Z�ø!�,����v)+$�, � < ; <� � m ������,?�()+$�,?��j!(���ª!�,z��&��()+$�,���q2��& I��å���^�"Bw#%�21¶!x$ø!(�{#Z�ªBÌ��!�!f��,?j��d$ø!C���å��� ,¸�6��!�#%$�& $f)ª!C���!(����$�,?���â�����l�6� �2��&�#C&{É^m

»�¼¾½À½ÀÕ È×Ö �*�å���2~{~��p�Z�vØ*~<��� �Z�b�(~<�*�v�z�2�=�*�oº� *�2�z�=ÜÀ�×�å�*�2~d��� �?�����u�2�*� ��"�=�2��~d�<�o� �X5 s ~�� ���*Ø �< ���2�A�=���*~<���Z�+���Z���b���2~<£6~<�2���*�Z� ¦ }'�¸Ý{�ª�×��2�*~d� �?�*�¶�2��£ª�S�2�*�Z���ä�(~<� �?���¶~��?�*�o�å ��"�=�2� ¦ãÖ �*�o� �×� �*�2~d�<�¶�2�����å�2�*��Z�^�?�o�<�?���*�Z�J�o~<�*�*�o�o�2�Z~<�*�����2�J�?���V�?��£6��Ü.����ØS ����������Ú�¢���=�¡�������Z�Z�z�¶�=¤:���������x�~��0�?�*�������z£ª~��*�Z��£6�o�2�2���=�F���*ØÚ�����2���"~<�Z��� �z�2�2�*���?�*�z�=� ¦> �2�=�ó9 ¦=S ~��*�2��Ø*�=�v�?�*�ª�*�2~{Ø*�*���J£ª���*���(~��ZØ s � <s Ü����*Øä�Z����� � ���*Ø � ��¾�V�2�*���*�2~ z�o�o�2�Z~<�¶�?~��?���� *�2�z�u����Øb�z�=�o~<�*ØË�����o�?~��=Ü.�2�o�2�"�=�o�2�����=��� ¦ B��o�*~��2��^� �?�*�u�*�*�Z� �x�������å�<�=���?~<� �*�*�*Ø*����� �� ~<�ø�?�*�u�*�2~{Ø*�*���+Ü����*ØSØ*�� ��*�l�2�*��=~<���*�=���?�Z~��;B ì � �� � Ò P<Ø î Ò î Ø7P ¦ }'~��?�Z�o�l�?�*����~<�S�?���� *�¾�o� s � 7�P=ñ�@�?�*��� z�*�z�4�<�Ì�<�o�F�2�*��Ø*�o�(~��2£ª���?��~<� � � 0�¦ }4~P� �(~<�2£é�?�*��Ø*~��*�*�Z���o~<£ª���Z��Ý

E � : ­ ì 8 � � < 8 ­ @� �cJ� ;�F�*�=�z� 8 � � � �2�o�2�"�=���?�����=�Ì� 8 ­ @� � Ø��=�*~��2���2£6~~��2� ���%�(~<�2£6� � �z£ª~{~��2� � �%�(~<�2£6� �~<� s � <s � *����Ø �F���2� Ø*� _��o�2�=�^�2�Ä������Ø � ì � �o;2Ø � ì <Ø Ò î Ø�P B ¦� �o£ ���z�J�?������?�*�o�2�4Ø*� _¾�=�z�=�^�?�Z���Z�W�o~<£6£J���?� � �Z�V�?���'�<�2��Ø*�oت�z�=�*�z� � Ü���*Ø6�?�*�o�Z�W�z�*£ �Z� z�*�¡�B ¦TÖ �*�uØ��=�2���2�oØ[�Z�z~<£6~<�2�*���Z�2£é�F�Z�����2�o�2�*�Ì�F�(�2~<£ �2�*�v�z�?��Ø���~��0�?�*�v�2�"�=���?�?����2�o¤{���=�*�o�=�l�o~<�2�z�=�z�¾~<��Ø*�Z�*�å�2~å�?�*�J�x�×~�Ø*� _¾�=�z�=�^�K ��Ì�?�?���?�Z~��*� ~��T�2�*�Z��Ø�~<�*�*����=~<£6�*����Ý ¦

Page 117: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

* �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$ � � �} ��£ª�o���<Ü �=~<�*�z�ZØ*�o�ø�2�*�b *�2�z�Ú ��Ì�?�?���?�Z~�� ~�� EÚºX�?�*�b ��2�¡�[�*���<�b~��l�2�*��=~<�z�2�o�2�"~<�*Ø*���*���2�"�=�o�2�?���.�z�=¤:�*�=���=� � � : �� ���

� 8 � @� < < �

� 8 � @� < <���

OO

�� <

���

OO

� H ¦ ç �

�F�*�=�z� Ø��� �¡�����*Ø��v�(~<���?���ª~<�"�=�2���?~��v���*Ø*�*�o�=ØË�:� Ø � ¦ � ~��2�6�*�2�o�=�Z�z�=�Ì�<Ü.�?�*���~<�"�=�?���?~<�T�Z��~<���?���Z���=Øå�����(~<���Z~d�F� ¦vS ~<�*�z�ZØ*�o�×�(~<�T��Ý���£6�*��� �v�Z~{�+�����z�=�o�2�Z~<�ª~��< ºW�Ì��� � P=ñ � �Z������~<�¾�o�������Z�¾�Z� <s Ü*�����Z���<�Ì�<�o�Ú�^�A�o~<�*~<£6~<��~<���6�=�Z���2�z�=�eM ' � N�Z� � � K � ��� � � �������*�<�Z��� �2£6~{~��?�*�Ì�å�F���2�0På5�� � Poñ �¸¦ :'�=�z� ' � ì ' � �cî^� �Z�'��<�Z~������ � � �x�z�=���?�Z~��J~�� ~d���=� s Ü<���l�?�*�¢���=�z�*�=��~�� � �� ¦ ^x�V�����z�?���=�*�Z���=Ü � � ' � ì��Ü:���*Ø6�2���*�=�p�2�*�p�x�¢~vØ*� _¾�=�z�=�^�?�Z���Z�À�=~<£6£J���2��Ü<�×�4�2�*�=�6���+�<� � ���ÅØ � ' � ì � ¦^x�u~��?�*�o�.�×~<�zØ*�=Ü�Ø � ' ���Z�0�pØ � �x�=��~<�2�oØ��2�=���?��~<�u~��=E �j: � ~<� s � � � P=ñ � ��*�=�*�o�×�×�£ �+�v�=~��*�2��Ø*�=�R���?�0�=~��*~<£6~<�Z~<���K�=�Z���2�À�F�Ì�?�u�2�=�z�¾�o�o���2~�Ø � Ü^���*Øl�Z�o�z�?���*� P4�����z��?�*�o�2�������<���l�2�o�o�?��~<�å~�� 8 � < < ~P���=�� � P=ñ � Ü{�F�*�Z���A���×�^� Ø*�o ������?��~<� Ø �� M ' � N%¦}'~d� �z�=£ª���2�b�?�����ª���*Ø*�=�V�2�*���Z�2~�£ª~<�z�*�*���2£ ~��'�2�*�A ��2�¡� � � �x�o~<�*~<£6~<�Z~����~����2�*�[�o�Z�Z�����?���A�=~<£6�*����Ý �%§{¦¨§�¥^� ���*Øö�?���[�2�*���=�ø~�� � �x�x�*���2£6~<�*���Ú�z�=���?�Z~��*��<�����=�å��� Ö �*�o~<�2�o£ §¦Ç§ 9<Ü:�?���Z���Z�*Ø*���=�=ØA�o~<�*�*�o�o�2�Z~<�å��~�o�¢~d�<�o�¢�?~ <� Ø*�o *�*�=Ø�Z� > �o�o�2�Z~<� ç ¦ 9� K�Z�ó~��?�*�o�å�¢~<�zØ*�=Ü �*�*Ø*�o���2�*�=�z� �ZØ*�o�:�2�� ��=���?��~<�*�åØ �� ì <�[¦� ~<�z�=~d�<�o�=Ü�2�*� �o~<�*�*�o�o�2�Z~<� <� ���Z�z~u�2���?���z ��o�×�2�*� �o~<�*Ø*�Ì�?�Z~��*�T~�� > �o�o�?��~<�[9 ¦¨§¦Ö �*�=�z�o�(~<�z��Ü{�^� S �������2�=� § ���*Ø > �=�o�2�Z~<� §¦ çK�?�*� � � �i�=~<�*~�£ª~<��~<���v~��$<� ì <� ñ�Z���*~<��%�?�z���{�Ä���D~<�������Z�ªØ*�=���2�=�l9<Ü*����Øå�2~l�F���=�A�����z�2���*�l�?~u�?�*�'�2�=�o~<�*Ø��������� � : �� ~��.�?�����2�"�=���?�?�����2�o¤{���=�*�o��Ü��¢�K~����������å�^�åØ*�� ��*�Ì�?�Z~�� � �;: �� ì �< ñF����Ø����Z�~��?���=���?�o�2£6���=¤:�������2~ø� ¦ ^x�Ë�����z�?���=�*�Z���=ܾ�?�*���2�"�=���?�2���W�2�o¤{���=�*�o� �=~��Z�Ä���*�2�o������?�*�6�2�o�=~<��Ø8��������ÜR���*Ø �?�*���?~��?���W�=~��*~<£6~<�Z~<���S~����?�*�6Ø*~<���*�Z���=~�£ª�*����Ý�Z�v�+����~<�*�Z�=���Z�Ì�¶�Z�z~<£6~<�2�*���Z�V�?~ �< ñl�Z�8Ø��=�<�z�=� § ���*Ø8�����*���2�*�o�l���ä������~��?�*�o�Ø*�=���2�=�o� ¦S ~<�*�z�ZØ*�o� �*~d���2�*�u�z�=�o~<�*ØS ��Ì�?�?���?�Z~��Ú~��?EÚº×�Z�Ú~<�2Ø*�o�'�2~ª�(~<�z£ �?�*�� ��2�¡������<� �� � : �� ~����2�*�¢�o~<�2�z�=�z�¾~<��Ø*�Z�*� �2�"�=�o�2�?����2�o¤{���=�*�o��Ü^�¢�� *�2�z�R���������=~��*~<£6~<�Ì�~<���v~<�u�+�����V�o~<�Z�*£6�l~��*�?�*�×Ø*~<�*���Z�¢�o~<£6�*�Z�¸Ý��F���?�l�2�=�z�¾�o�o���2~ Ø � ì <Ø Ò î ØDP*Ü

Page 118: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� �j) * �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$���*ØÚ�2~����F���p�=¤:�������2~

� � �� � �

� � � s ; l� µ � Ø �U// � � � s ; 8 �� < J� µ � Ø �U

// � � � s ; 8 � � < l� µ � �

� H ¦`¥:�

^x�¶�¢~<�zØ*�=º4�(~<���¸Ý*��£ª�*����Ü��2�*� � �;�� � �%�?�o�2£ �=~<���2�Z�¡�?�K~�� � � �x�2�o�o�2�Z~<�*�K~�� ~<�s � <s �F�*�Z���ø���2�v�V�*�z~Ø*���o�4~��W���ø���2�*�Ì�?�?���z�å�z�=���?�Z~��ø~�� ~<� s ����ØÚ�2�*��(�*�*���?�Z~�� µ � ¦ }'~d�X�*~��2�Z�=�×�?�����À�?�*�p~<�����u�¾~<�z�2���*�Z�����x�K�(~<�À���*~<��iÙ=�=�z~��2�=���?��~<�~����2�*�Z�v�(~<�2£ �?~[�¾�ª�Z� � � ~<�ö7 î @ � <s �Z���(~<� î ì � ¦ GT��V���*~��?�*�o�u�¢�d��Ü�?�*���o~<�*~<£6~<�Z~����å���Z~<�*�J�2�*�K�2���Z�o�=�K7 î @ � <s �����*���2�*�o�F�(~��F���Z� î êì � ¦ :'�=���=��¢��£ª�+�¶�2�o�*�Ä���o�J�?�*��Ø*~��*�*�Z���o~<£ª���Z��Ý�E �F���2�*~<�����������*�<�Z�����2�*���2�"�=���?�?����2�o¤{���=�*�o�l���z�2~{�=�Z���?�oØå�F���?�ª�?�*���¢ ����2�?���2�Z~<� � ����ØA�2~J�?�����?~��?���¾�o~<�*~<£6~<��~<��� � Ü�^�¶�?�*�6Ø*~<�*���Z���=~<£6�*����Ý � �<�=�z£ E � �F�*~<�z�ª�o~<£6�¾~<���=�^�v~����*��Ø*�=���2�=� � �Å; ����Z�6�?�*�¶�z�����=�¶~���� � �i�(~<�z£ª�6�F���2� �����Z�*�o�å�Z� ~��v�*�ZØ*�o�<�2�o� � ��; �<� Ø*�o *�*�=Ø~<� � ñ � <s �(~<�v���^� �*�o�Z�<�:�"~<�2�*~{~{Ø � ñ�~���� 5 s ÜR���*Ø �F�*�o�2�ª�×�6�ZØ*�o�:�2���C��2�*���¶�(~<�z£ª�4���À�?�*���[�o~<�Z�*�o�ZØ*�u~<�¶���S���2�*�Ì�?�2���z���*�o�Z�<�:�"~<�2��~~{Ø[~��p7��{@ � <s ¦� �À�o~<�*�2�z��ÜD�?�*��Ø*� _��o�2�o�:�2�Ä������~��R�?�*���p�*�o��Ø�~<�*�*���v�o~<£6�*�Z�¸Ý����z�v���*Ø*�*�o�=Øø�:��?�*~��2��~��vE �������2�2�Ì��Z���¾�¢�+� ¦Ö �*�Ú�ZØ*�=�¶�*~d� �Z�J�2~Ë�o~<�*�2��Ø*�=�V�2�*���2�"�=�o�2�?���F�z�=¤:�*�=���=� � �<�=�z£ � � �=~<�f��2�o�2�"~<�*Ø*���*�S�?~[�2�*�å ��z�z�J ��Ì�?�2���?��~<�8~�� � �<�=�z£ E � º��^�8�?���A�<�=�*�o�?�����?�*�o~<�z�~��F�2�"�=���?�2���×�z�=¤:�*�o�*�=�o�=Ü×�2�*�Z���F�Z���W�?�*�o�N���*���u�?~[�2�*�ª�2~��������=~��*~<£6~<�Z~<���¶~��� �<�o�2£ E � Ü^�F�*�Z��� �Z�=Ü{���T�×�'�2�d� ���6�2�*�4�*�2�����~<�*�×�����?���<�?������Ü:�=¤:�������?~v�?�����~�� EÚÜÅ�?�������Z���?~ �< ñ ¦6Û ���2�z� �?�2�Ì�{�Ä�����ZÙ=� �Z� � ñoº��?���Z� z�*�z�v£6�+�������?�������×��ZØ*�o�^�?���C�ø�?�*�V�2~������À�2�����o�ª~��×�2�*���*�*�*Ø*���V�F���?� � ñ � ñ ¦F> �Z�*�o�V�?�*�V�<�o�o�2~<��*�*�*Ø��Z� ~<� s � <s ��� z�*�z�F�2�*���*�*�Z� �x�������ª~�� ~<� s Ü*�?�*���F���Z�z~6�����<�o�4����ZØ*�o�^�?�� *�+���2�Z~<�b~�� � � ñ � <s �F�Ì�?�Ë�2�*�ª�2�2�Ì��Z�����*���*Ø*�Z� � � ñ � <s � � ñ ¦P ���2�*~<���F��~<�2�p~��R�<�o�*�=�2���Z�Ì�x� �×�u£ª�+�A���z�2�*£6�v�Sæ5 ô�Ü*�z~��(~�� � ñF�z�RQ6�=�Z�o�^�?����2£ª���Z�R�?�*�6�=~<���*�=���?�Z~�� � �+���8���Z�z~��¾���������=�Ë�:�Ë���^���*�����2�?�����z�(~<�z£ ���2�Z~<���N�?~ä�?���[�?�z���{�Ä���F~<��� ¦ÞÖ �:�*�A�Z� �2�*�Z�6�?�2�Ì�{�Ä�����Z�?���?�Z~�� ���*Øó�^���*���ø�×�¶���+�<�Ø � ì Ø Ò P<Ø î �F�*�=�z�JØS�z�?���*Ø*�4�(~<�'�2�*�u�2�2�Ì��Z���Å�=~��*�*�=���?��~<�S�Z�Ú�?�*� î Ø*�Z�z�=�¸��?��~<� ¦ÀÖ ���F *�2�z�×������� � �<�o�2£ � � � : �� ���W�?�*�o�ª�o¤{�*�����?~K�?�*�F�o~<�*~<£6~<�Z~����l�z�����o�=�

Page 119: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

* �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$ � � ��F���2�Ú�z�=�z�¾�o�o�4�?~V�?�*���pØ*� _¾�=�z�=�^�?�Z���%º

8 � @� < � � � <s ; ñ � µ � � �

8 � @� < � � � <s ; ñ � µ �Ø���

OO

� �

� � � <s ; ñ � µ �Ø���

OO

� �;

� H ¦ H �

�F�*�=�z��Ü0���K�"�o�(~<�z��Ü � � � <s ; ñ � µ � �z�?���*Ø*�K�2~AØ*�=�*~��?�V�(�*�*���?�Z~��*� �F���2�¶�����Z�*�o��Z� ñ×~����?���4�(~<�z£�� � P � µ � �����×�2�*�Z���2�Z£6�p~<� � ñ � <s Ü���*ت�2�*� � � �o~<�*Ø*�Ì�?�Z~���*~d� ~<�*���Ú��£ª�*���Z�o�F�2�������Ë£l�*�z� �¾�J�2���*��Ø*����Ø*�o�=�z�+���z�Z�*����� b P b � > ¦ Ö �*��*��Ý{�A�z�=£ª���2� ���ª�2�����ª�2�Z���=�[�×�[~<�����X���+�<�[�2�=�z£ª�ª�Z�öØ��=�<�z�=� � ì ��Ü��2�*�Ø*� _¾�=�z�=�^�?�Z���¢���*Ø*�*�o�=ØN�^� Ø � ��� z�*�¡�����?�z�=�Ì�fº �Z��Ø*�=�oØ�ÜT���V���J�^� Ø*�o *�*���2�Z~<�äØ �£ª~{Ø*�*��~å�?�*�6�Z£ª���<�V~���Ø � ÜR�����u�2�*�Z���Z���2�2�=�K�����*�Z�z�*�=���(~<� � ì � ¦ªÖ �{���=ÜÀ���~<�2Ø��=���?~A~����������S�?�*�V�z�=�o~<�*Øb�����<� � �<�=�z£ � � � : �� ~����2�*�V�2�"�=���?�2���W�2�o¤{���=�*�o��Ü�¢�p�?�����F�=~��*~<£6~<�Z~<���v�F�Ì�?���2�o�2�"�=�����2~KØ � ì <Ø Ò î Ø7P�B ¦ }4~��?���=�¢�2�����W�{�Ä� �2�*��^���*�����2�?�����z�(~<�z£ ���2�Z~<� µ h � �?���6�F�*~��Z�6�*�Z���?�*�z�6�=���8�"�6�2�=���*�?���z�=Ø ���v�2�*�Ø*� ����£ �o~<�*~<£6~<��~<���v~��"�?�����ZØ*�Ì�uØ��=�=�z�+���z�Z�*���z�=�o�2�Z~<����A~�� <s �F���2�V�����Z�*�o��Z� ñoܾ�F�*�����S�Z�'�2��£ª���Ä���¢�2~å�=~�£ª�����o�?�Ì���2�*���¾~<�¡�?�oØSØ*� ����£ �o~<�*~<£6~<�Z~���� ¦Ö �*�=�z�o�(~<�z���Z� � ���=�2£ � � � : �� �������o�Z�=£6�=�^�2�p��Ý�=�o���F�(~<�¢�?���v~��*�K�=~<�z�2�o�2�"~<�*Ø*���*��?~S���ZØ*�o�<�2�o� � �; §<� �����*�Z�z��ÜW���*ØË�?�*���u�Z���2�2�=�v�Z�l�=���*~<���Z�+���Z���S�Z�2~�£ª~<�z�*�*�����2~ ñp�{�Z��£ª���*���Z�*�������o�Z�=£6�=�^���:ñp5 ñF�Z�^�?~V�2�*���<�=�z£M �:ñ2ß � P � µ � Ø�P B�Ø 5P N ;�F�*�=�z�JßX�Z���6 �Ý�=ض��Ý�"~<�*�o�:�2�Ä�������ÚØ*�o�=�2�=���2���*�å�*��£ª��%�(�*�*���?�Z~��S~<� <s �F���2��Z�^�?�o�<�?��� � �F���?�ó�z�=�z�¾�o�o�A�?~ä�2�*�S�<~��Z�*£6�ø�(~<�z£ b Ø�P b � � �=¤:�����'�?~ó9<Ü4���*Ø M � N�z�?���*Ø*���?~ÚØ*�=��~��?�6�?�*�6Ø*� ����£ �=~<��~<£ª~��Z~<���[�=�Z���2��~��¢��Ý�¾~��*�=�^�?�Z���Z�Ì�¶Ø*�¸��=�z�+���z�Z�*�p�(~<�z£ª��~�� <s �F���2�������Z�*�o�Å�Z� ñ ¦ S ~<�^�<�=�z�2�o���<Ü��(~<�.���v���z�*���2�?���¡� �o�Ä���z�M��:ñ � P � µ � Ø�P B Ø 5P N �F�*�o�2���:ñ � P � µ � �Z���A�<�o�2£ ~��¢�¸Ý��"~<�*�o�^�?�Ä���Z���øØ*�o�=�2�=���2���*��(�*�*���?�Z~��*�'~�� <s �F���2�ø�������*�=�4�Z� ñ ���*Øø�Z���?�*�u���=�z�*�=�R~��WØ � ì � Ø Ò P�Ø î^� Ü�¢�v£ª�d� Ø*�o *�*�

M��:ñ � P � µ � Ø�P B�Ø 5P N L� µ , �:U i� ñ � @� �:ñ � P � µ � b Ø P b �ì �

@��:ñ � P ��b Ø P b ��5 ñ� H ¦ ©^�

���*ØS���=�2�Ì�C�S�z�+��Ø*�������?�*������� �Z�����*Ø*�=�"�=��Ø*�=�^��~��T�?���V�2�=���?��~<� �2�=���2�=�z�=�^�?���*�Ú��=~<��~<£ª~��Z~<�����o�Ä���z� ¦WÖ �*�'�����o�×�?����� ñ����*Ø �< ñp���z� �=���*~<�*���+�����������2~<£6~<�2���*�Z�

Page 120: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � * �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$�*~d�ó�(~<�Z��~d�F�T�(�z~<£ã�?���'�������×�2�������?�*��� ���2�4�¾~��2� �=���*~<�*���+�������V���2~<£6~<�z�*�*�Z���2~� Ø*� _��o�2�o�:�4�<�2��Ø*���*�<��~�� � �?�����2~��������=~<��~<£ª~��Z~<���ª~��0�?�*��Ø*~��*�*�Z�K�o~<£6�*�Z�¸ÝfE ¦

> �2�=� §¦�Ö �*�å ��z�z�V�2�*�Z�*�S�2~¶Ø*~¶�Z�u�?~¶Ø*�o�2�=�z�Z�"�A��Ý�*���Z�=�Ì�?�Ì�b�2�*�A�Z�z~<£6~<�¡��*�*���2£ ~<��������*�=ØË���"~P��� ¦ �.����� �<�¸ñ����"�ª���Ë�o�Z�=£6�=�^�v�Z� �< ñ=ºv���������Ú�o�Ä���z�v����?�*� �=~<�*~�£ª~<��~<��� �z�����=� � �j: �� ���8�?�*� �2�"�=�o�2�?���×�2�o¤{���=�*�o�ø�o~<�2�z�=�2�"~<�*Ø��Z�*�[�2~�?�*�F ��z�z�T ����2�?���2�Z~<��~���E ¦ :'�=���=� �Ì�T�Z�T�2�o�*�2�o�2�o�:�2�=ØA�^�6� � 9<;+9 � �i�(~��2£ �<�¸ñ ��î �P �~d�<�=� s � <s �2�*���Ú�?������ 9 �å��� Ò P�Ø î B � �<�¸ñ �cî �P � ì ��c§<�å� <Ø Ò î Ø7P�B � � �<�¸ñ ��î �P � ì � R���b~��?�*�o���¢~<�zØ*�=Ü.�?���=�2�6��Ý���z�?�v� � �; §<� ��(~<�z£ �:ñ ��î �P � ~d���=� s � <s �2���?���z�C�{�Z���

� � �{ñ �cî �P � ì � <Ø Ò î Ø7P�B � �<�¸ñ �S ~<�*�=���?�o�����?���*�V�?�*��£ª���

� �<��ñ�� L� �:ñ �cî QP ��F���2�ø���[���*���Z~<�V~�� � H ¦Ç©<� Ü*����£ª�o���� H ¦ O<� M �:ñ ��î �P � N L� µ , �:U %� ñ � @� �:ñ �cî �P ��¢�v�<���p�?�*���+���*~<�*���+�������2~<£6~<�z�*�*�Z�z£

�0ñpº�� �<��ñ�� L� �¸ñ ì µ , �{U i� ñ � @� �{ñ ��î �P ��¾���x�¢�o�=� �< ñ4���*Ø ñF�*�2~d�{�ZØ��=ØÚ�:�A�2�*���*�2���{�Z~<�*�F�¡�?�=� ¦Û � Ýö��~P� ��� ���2�*�Ì�?�?���z� î ñ85 s Ü4���*Øó�o~<�*�2��Ø*�=�ª�?�*�SØ�~<�*�*���[�=~�£ª�*����ÝE 0 ���+�{�Z���N�2�*� �?��£6� � ��; �<� �x�o~<£ª�"~<�*�o�^�?����� EÚÜ4�*�����F�Ì�?� Ø*� _¾�=�z�=�^�?�Z���Z�Ø � ì � ��;?Ø � ì <Ø Ò ��î Ò î ñ � Ø�P�B ¦ ^x�¶~<�zØ*�=�4�?~A~<��������ø�?���J�=~<£6�"~<�*�=�^�2��~���?�*�× ��2�¡�W�����<� � � 402� � : �� ~��D�?�����2�"�=���?�?�����2�o¤:�*�=�*�o�'�o~<�2�z�=�z�¾~<��Ø*�Z�*���2~ �?���¢ ��2�¡� ����2�?���2�Z~<��~�� E -0 Ü^�×���*�o�=Ø �2~u������� �o~<�*~<£6~<��~<���l�F�Ì�?�ª�2�=�z�¾�o�o�×�?~lØ � Ü{�*�=���=��?�*�o�2���F�Z�����"���?�*���?��£ª�v�����2�*~<�2��~��vE �Z� � H ¦ ç � Ü�����ØÚ�2�*��Ø*� _¾�=�z�=�^�?�Z���Z�¢�F���Z��¾�p���*Ø*�*�o�=Ø6�^�VØ � ¦ }'~d� �z�Z�*�o� î ñW�Z�T�K�=~��*�z�?���^�+Ü:~<�*�z�=�z���4�2�����W�(~<�T���:�J�Z~{�+����2�o�o�?��~<� ' � �cî^� 5 ´¶µ O � �� ��� P�~��À�*���2£6~<�*�����2�o�o�?��~<�*�F~d�<�o� s �?�*���2�o�Ä���2�Z~<�Ø �� ' � ì M � <Ø Ò ��î Ò î ñ � Ø P�B � ' � N ì M � <Ø Ò î Ø7P�B � ' � N Q î ñ2Ø�PxB ' � ì <� 0 � ' � � ;�*~<��Ø*�=Ü��F���=�2� <� -0 �Z�'�?�*��Ø*���(~<�2£ª���?��~<�[~�� <� ���:�2�2~{Ø*�*�o�=Ø �Z� � H ¦ 9 ��¦vÖ ~��<����?�*�ø�2�o�=~<�*Øó�*���<�Ú~��K�?�*�ø�2�"�=���?�?���'�z�=¤:�*�=���=��ÜF�×�[�������[�o~<�*~<£6~<�Z~����ä�F���2��2�o�2�"�=�o���2~ÚØ �� ì <� 0 Ü0���*ض�?�*�o�2���(~<�2����� î ñ�Ø*~{�=�K��~����¾�o�Z~<�����2~A�?�*�V�z�o�v~��~<�*�"~<�2�Ì�?�o� ~��W�o�Z�<�o�^�����Z�*�o� ~����2�*�J���+��Ø*���*���?�=�z£ ~�� <� �2�*�=�S�2�*�Z�4�Z� �6 ��*�Ì�?�¸�Ø*�Z£6�=���2�Z~������<�z�����=��Ü<�=¤:�����{�^��Ø*�� ��*�Ì�?�Z~��v�2~ �< 40�¦ }'~��2�Z�=�W�2�����R�:�K�2�*���2�=�z�*���2�

Page 121: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

* �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$ � � �~�� > �*���2�=���?��~<� ¥*¦ HÜ"�2�*�J�z�o�K~�� î ñ'�F�*�=�z�l�?���Z� Ø�~�o���*~�� �*~<�ZØ[�Z�4��Ý����o�2���[ô6Ü�?�*���z�o�6~��'�2�Z���<�*�Ä���2���2�Z�o� � ���V *�*���2�A�¾~<���^�?� � ~�� 6¦ > �Z£6�Z�Ä���2����ÜR�2�*���2�=�o~<�*Ø ����2�?���2�Z~<�8~�� E 40 �<�����=���2���2�å�2~Ë�¶�z�¾�o�o�?�2���p�2�o¤:�*�=�*�o�ø�F�*~��2�A ��2�¡�6�����<�A���� ���*���Z~<��~<�*�2�Ì�ª�2~ � H ¦`¥:�2�

� � �� � �

� � � s ; J� µ � h 0 �w� Ø �U// � � � s ; 8 �� < J� µ � h 0 �w� Ø �U

// � � � s ; 8 � � < J� µ � h 0 �w� �:'�o�*�=���?�*�6~<�*�Ì�[ ��"�=�V7 î @ � <s ~d�<�=�v�F�*�Z��� �?���=�2�6�2�*���=�o�J���z�6��~<��i�2�2�Ì��Z����Z�A�(~<� î ì î ñ=Ü��2~N�×�8£ª�d� �=~<�*�z�ZØ*�o�A�?�*�bØ*~<�*���Z� �=~<£6�*����Ý � �<�=�z£ E -0z��F�*~<�z�A�=~<£6�¾~��*�=�^�?�J���2�å���=�2£6�l~��4�(~��2£6�l�Z�8�S�*�=���<�:�¾~��2�*~{~Ø � 0 � <s ~���?�*�� ��"�=��7 î ño@ � <s Ü×�x�×~ä�z�*���ö�<�o�2£6�ª�"�=���*� �ZØ*�o�^�?�� *�=Øö�Ì�'�2�*�o�N�o~<�Z���=�ZØ���Z� ���^�N�2�*���ó���=�Z���{�"~<�z�*~~{Ø�Ü×���*ØX�F���?� Ø*� _¾�=�z�=�^�?�Z���Z�V�o~<£6�Z�*�¶�(�2~�£ �?�*~<�z�~��?E 0 ¦ ¹ �4�"�o�(~<�z��ÜD�?�*�u�2�"�=�o�2�?���0�2�o¤:�*�=�*�o�=�K�o~<�2�z�=�2�"~<�*Ø��Z�*�6�?~ª�2�*�v�2�=�o~<�*Ø ����2�?���2�Z~<�A~��R�2�*�=�z�uØ*~��*�*�Z���o~<£ª���Z��Ý�o�'���<�2�o�v�¡�����¡�?���*�V�(�2~<£ �2�*�K ��2�¡� �*���<��Ü�2~��Z� �����z�?���=�*�Z���'�2�*�=�����?~��?�����o~<�*~<£6~<�Z~��<�Z�o�����z�J�?�*���?��£ª� ¦ }'~d��ÜÅ�¢�6�����z������������<���Z�å�2~6�2�*�K ��2�¡�' ��Ì�?�2���?��~<�A���*ØÚ�=~�£ª�*��?�K�?�*�v�2�"�=���?�2���Å�2�o¤{���=�*�o�J~��� �<�o�2£ E -02� �F�Ì�?���2�o�2�"�=���'�2~6�Ì�+º������V�=~<�^�<�o�*�Z�o�^�'�2�2���{�Z���Z���?���2�Z~<�6~�� �Z� � ñ���*ØÚ�^���*����Ü��2�*�K ��2�¡�'�*���<���Z�p�o¤{�*�����?~

8 � @� < � � � <s ; 0 � µ � � �

8 � @� < � � � <s ; -02� µ �Ø���

OO

� �

� � � <s ; 0 � µ �Ø ��

OO

� �;

� H ¦ g^�

�F���2�XØ�� _¾�=�2�o�^�?�Ä���Z�J�<�Ì�<�o� �^�NØ � ì <Ø Ò �cî Ò î ñ � Ø�P B ¦ ¹ �6���N�z�?�o� 9�Ü��2�*��2�o�=~<�*Ø �����<�p�?���=�2���(~<�2�4�=~��:�?���Z����~��*���V~��*�'��~<��i�������Z�2���Z�*���=~�£ª�"~<�*�o�:�=ºR�2�*�~<�*���=~��2�2�o�2�"~<�*Ø*���*���?~Ú�*�ZØ*�o�<�2�o� � ��; §�� Ü.���*Øb�������K�+����~<�*�Z�=���Z�Ì�S���2~<£6~<�2���*�Z��?~8�2�*�ø���=���?~<�å�z�����o� -0 '�?���Z� ���2~d�<�o� �?����� �?���ø�<�o�o�2~<�A�2�����=�=� -0 ���*Ø�< 0 ���z�v�=���*~<���Z�+���Z���ª�Z�z~<£6~<�2�*���Z���?~6�+�����[~��2�*�=� ¦ ¹ �^���Z��ÜD���ø�o�Z�o£ª�o�:� � �<� 0 �~�� �< -0 ���V�2�o�*�2�o�2�=�^�2�=Øö�^�ä� � 9<;+9 � �i�(~<�z£ �<� -0+��î �P � ~P���=� s � <s �2���?���z�C�{�Z���� <Ø Ò �cî Ò î ñ � Ø P � � �<� 40o�cî �P � ì ��ÜW� ¦ � ¦ �?���=�2�A�¸Ý�Z�z�2��� � ��; §<� �%�(~<�2£ � -0=��î �P �

Page 122: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � * �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$~d�<�=� s � <s �F���2�

� � � � 0 �cî �P �2� ì � <Ø Ò �cî Ò î ñ � Ø�P�B � �<� 0 ��î �P � ;���*ت��� �¸Ý�*�Z���=���W�¢�+��~���Ø��=�2�o�2���*�Z�*���?���'~<��������*�=Ø6�Z�z~<£ª~��2�*�*���2£ �Z�T�<�����=�ª�:�� H ¦ `^� � 0 º � �<� 0 � L� � 0 ì µ , �:U %� 0 � @� � 0 �cî �P �

> �2�=�Jç ¦ 3×�K�?���×�*�z�o�{�Z~��*�.�¾~<���^�?�=ÜP�×�×���+�����2�����.�?�*���*�*��Ø*�Z� �< �Z�.�Z�z~<£6~<�¡��*�*�����2~ �{�Ä�V�?�*�v�Z�z~<£6~<�2�*���Z�2£6� � � ¦ }'~d�ï�×�l�*�z~P���v�2�����4�?�*�v�Z�^�2�=�<�2���*�Z��=~<���*�=���?�Z~�� �<� ~<� �< �����=���2�z�Z�oت���:�2~ � ~<� �:�V�2�*�Z�T�*���*Ø*�Z�4�Z�z~<£6~<�2�*���Z�2£Úº�(~<���?���Z�=ÜÅ�Ì�K�Z�K�o�Z�=���2�Ì�[�z�RQ6�=�Z�o�^�u�2~A�*�2~d�<���?�*���v���^�¶�Z~{�+���À�����2���Z���=�R�2�=���?��~<��(~<� �<� �Z�K�=���2�z�Z�oض�Z�^�?~��A�����2���Z���=�0�2�o�o�?��~<� �(~<� �[¦lÛ ~��K�2�Z£6�*���Z�=�Ì�x�<ÜD�¢���z�����Z��=~<���2�ZØ��=�×�u�Z~{�+�����2�=���?��~<�å�*�=��� � ì ��Ü:�*���¢�×�'�F���Z���z�=�'�2�������?�*�'�*�2~{~���Ø*~�o��*~��F�*�z�v�2�*�Z� ¦Û ~<�ª�2�*�Z�ª�*�*�z�¾~<�z��ÜF�¢�¶���=�=Øó�2~8�¢~��2�X~<� �?�*�[�*�2~{Ø*�*��� s � <s � s Ü�����2��£ª���?�z�ZÙ=�oØ �:� �cî ;�P�; � � Å�¢�6���o�=�8~��b�F�z���?���*�å�?���������z�Ä�����Z� � ���b��~d�¢�o��Z�*Ø���Ý ¦ P8�u�2�������.�=~<�*�z�ZØ*�o� ��� �"�=���*�ª� �*�*�*Ø��Z�v~P���=� �2�*�Z�4�2�*���=�u�:�ø�*�*���Ì��������DÜ��F�Ì�?�*~<�� �F�2�Ì�?���*� �Ì��~<��� ��Ý�*���Z�=�Ì�?�Ì� ¦ �.��� � �<� � � �¾�J� �<� �x�*���?�����Z�o�Å�Z~{�+����2�o�o�?��~<�8~�� �<ª¦ ¹ �v�Z� > �?�o� § Ü0�2����� �ø�z�=�o�2�Z~<�b�Z���z�=�*�z�=�2�o�^�?�=ØN�^� �<�Ì����*�Ú��<�Z~������ � 9�;+9 � �%�(~<�2£ �<� � ��î �P � ~�� ~<� s � <s �(~<���+����� � �Z� �l�*�o�Z�<�:�"~<�2�*~{~{Ø� ñF~����V5 s Ü*�<�o�2�Ì�C����*�

� 9 � � � 0 �<� � �cî �P � ì �J�(~<�F���Z�� �Ý�oØ � ñp5 � ñ4���*Ø P=ñ�5 <s�c§<�å� Ø � Ò �cî Ò � ñ � Ø�P�B � � �<� � �cî �P � ì �J�(~<�F���Z�� �Ý�oØ � ñF5 � ñ� ç � �?���å�2�o�o�?��~<� �Z� � ~��p�2�*�å�o~<�*~<£6~<�Z~���� �=�Z���2�z�=�J~��p�2�*�A���"~d�<�å�o�Z�¸�£6�=�^�?�F�Z� �<� �x�����2���Z���=� ¦

3×�%:'~{Ø*�<�v�?�*�o~<�z��ܾ�×�J£ �+���z�*�*�"~<�2�l�2����� �<� � 0o��î �P=ñ � ���'�2�*� � � 0 �x�����z£ª~��*�Z��2�o�*�2�o�2�=�^�?���?�Ì�<��~�� � �<� � 0"b � �

� � 0 � � ����Øu���Z�2~��2����� �<� � 0=�cî QP � �����?�*��<� � 0 �i�����2£6~<�*����2�o�*�2�o�2�=�^�?���?�Ì�<�v~�� � �<� � 0 � ¦TÖ �*�Z�p�¢�+�å�¢�v�2�o�*�*�2���2���?�*�v���"~d�<���=~��*Ø*���2�Z~<���F���� 9 � �(~<�������× �Ý�oØ � ñÚ5 � ñV���*Ø P=ñÚ5 <s �Ì�?�V�2�o�z�2�2�Z���?��~<�ä�?~¶�?���å ��¾�o�s � 7�Poño@ � 7 � ñ�@l���p�Z� < � 0 Ü*�2�����F�Z� � �� 0 �<� � 0 �cî �Poñ � ì ��c§<� �(~<�������R �Ý�oØ � ñu5 � ñK�?�*�V���Z~<�����À�2�o�o�2�Z~<�b�Z�$P�~����?�������¾~d���6�o�Z�¸�£6�=�^�?�F~�� < �F���p�Z� �< � 0 Ü��Z��Ø*� _��o�2�=�^�p�2�=�2£6� <� �� 0 �<� � 0=�cî �P � ì �� ç � ���*Ø��(~<�F����� � ñF5 � ñoÜ �� � � � �Ø Q P<Ø � B � �<� � ��î �P �"b � � � 0 ì � ¦¹ �4�¾���(~<�2��Ü �%§<� £6�+�����F�2�����F�(~<�4����� � 5 � ñp�?���=�2�v��Ý���z�?��� � ��î �P � 5�Z � s �

<s ; 8 � : ñ < l� �2�*���Ú�?������ H ¦ 9d� � � � � � �cî �P � ì � <Ø Ò ��î Ò � � Ø�P B � �<� � �cî �P �

Page 123: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

* �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$ � � ����*ØÚ�^� :'~{Ø*�<�K�?���=~<�¡�<Ü��2�����S�V�2�o�o�?��~<�Ú�+���Ú�¾�KØ��o ��*�oØ[�^�A�?�����(~��2£J�*�Z�� H ¦ 9<9 � � � �cî QP � ì � � �� � <Ø Ò ��î Ò � � Ø P�B � �<� � �cî �P � ;�F�*�=�z� �u�Z�J�2�*� �K�2�=�o� �`�6~��¾�o�?���2~<�J~�� � �� � � ¦ó� :'�o�2�å�×�A�*�2�oØX�2����� �J���Ø*�Ä���<~<�����¾�F���?�Ú�2�o�2�"�=���'�2~6�2�*��Ø*�=�o~<£ª�"~<�z���?��~<�f8 ñ � � 8 � � ÜD�6�¡������Ø����2Øø�=~<�{��2�o¤{���=�*�o�b~����?�*�ø�����o�ª�?����� � �� � �6�Z�ªØ*�Ä����~<�������F�Ì�?� �z�=�2�"�=���A�?~b�?�*�S�2��£6�Ø*�=�o~<£6�¾~<�z���2�Z~<��Ü��F�*�Z���V�o~<£6�=�W�Z£6£6�=Ø*�Z���?�o�����(�z~<£ �*���2£6~<�*���=���x��~��"�2�*�p£6�o�z��2��� ¦Ç� }4~d�ï�^� � H ¦ `^� ���*Ø � H ¦ 9d� � �×�v�*�d���

� � � � �"b � � � 0 ì � � µ , �:U %� � � @� � � ��î �P � � � � � � 0ì �

@� �� � 0 ��î �P ��b i� � 0 Q �Ø � � � � ñ� �P ��b � � � 0

ì �@�P<Ø î B � � 0 � � ñ QP �

Q � <Ø Ò � � ñ Ò � ñ � Ø�P B � �<� � 0+� � ñ QP � Q �Ø � � � � ñ� �P ��b � � � 0� �z�=£6�=£J�"�=���2����� �Ø��z�?���*Ø*�T�(~<�À�2�*�p�?�2�Ì�{�Ä����=~<�*���=�o�2�Z~<�V�F�Ì�?���2�o�2�"�=�o���?~ � ����?�*�u�?�2�Ì�{�Ä���/:'���Z�"�=�z�'�*�*��Ø*�Z� �KËܾ�F�*�o�2�+��� <ض���'�2�*�J�?�z���{�Ä���.�o~<�*�*�o�o�?��~<�S�F���2��2�o�2�"�=�o�À�?~�P �Z�u�2�*�¢�2�2���{�Z����:'�Z���¾�o�z�0�*�*��Ø*�Z� <K ��¦RÖ �*���Z�^�2�=�<�2���~����?�*�×£ª��Ø*Ø*�Z��?�o�2£ ���S�?�*�����Ä���z���(~<�z£J�*�Z�ª�����*�Z�z�*�=�K�^� > �?~<���=��� ���?�*�o~<�2�o£ ¦uÛ �*�z�2�*�=�z£ª~��2��Ü~<�A�?�*��Ø*�Z���<~<�*��� î ì � ~�� s � s �×�����+�<�vØ î ì Ø � Ü*�z~V�¢�u���2�����o�C���F�Ì�?��

@� � �Ø Q P<Ø � B � � � 0 � � ñ �P ���¹ �*�����{�Z�*�V�2~��2�*�Z�p¤:�����:�2���x� � H ¦ 9<9 � ���*Ø��?���v�o~<£6£J�������?�Z~��å�2�o�Ä���2�Z~<�*�M �Ø Q P�Ø � Bp; <Ø Ò ��î Ò � � Ø P�B N ì � M �Ø Q P<Ø � B�; � � N ì �� H ¦ 9 §<��¢�v~<���?���Z�

� H ¦ 9dç � �@� � � �� � <Ø Ò �cî Ò � � Ø�P�B �=� �Ø Q P<Ø � B � �<� � 0 � � ñ� �P �¸�

S ~<�*�z�ZØ*�o�p�*~d�ë�o~<�*Ø*�Ì�?�Z~�� � ç � ���"~P����ºTØ*�o�*~��?���*�V�^� <� � ���*Ø <� �� �?�����¾~��2���2��������*Øä���=�^���2����� B��Z�2����~<�"�=�?���?~<�z�l~����2�*�åØ*���(~<�2£ª���2�Z~<� <� Q � Ø�P*ÜR£ª~<�z�=~d�<�o��^� < � �?�����K�2�o�=� �`�F~<�"�=�?���?~<�p~�� <� �� <� � Ü������+���Ú�¾���z�o�F�2�Ì�2�2�=�Ú���� ^xØ Ò <� � < � <� �� �o� �Ø Q P�Ø � B � �<� � ��î �P � ì � �

^x�Ë~��2Ø*�o���2~Ú *�*�Z�z�b�2�*���*�2~{~��fÜ.�������K�2�RQ6�=���=�^�l�2~��*�2~d�<���?���ª�o~<£ª£l�������2�Z~<��2�o�Ä���2�Z~<�� H ¦ 9 ¥:� M �Ø Q P<Ø � B�; <� � N ì � �

Page 124: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � � * �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$^x�*Ø*�o�=Ø�Ü��?���Z���?���=�Ú�Z£6�*�Z���=�

M �Ø Q P<Ø � B�; <� �� N ì � M �Ø Q P�Ø � B�;]< � N ì ��;���*Ø��Z�^�2�=�2���*���*�<���*� �Ø Q P<Ø � B �2�*�2���^�å�?���2�A�F���2� <� �� 0 Ü < � 0 ���*Ø <� � 0 �*�2���*��+�������?��£ª�K�o~<�*Ø*�Ì�?��~<� �%§<� Ü��×�u�<���� �Ø Q P<Ø � B � �<� � 0 � � ñ QP � ì � �Ø Q P<Ø � B �=� ^xØ Ò <� � 0 < � 0 <� �� 0 � �<� � 0 � � ñ� �P �

ì � ^xØ Ò <� � 0 < � 0 <� �� 0 �=� �Ø Q P<Ø � B � �<� � 0=� � ñ� �P �ì �;���*Ø��2~ � H ¦ 9dç � �Z�Å�o¤{�*���<�?~4� ��*���0~<�K�?�*�T~��2�*�=�Å�*���*Øv���Å��� z�*�z�.�?���W��Ý�*�2�o�2�z�Z~<��(~<� � � � � �"b � � � 0 ÜK���*Ø �?�*�����2�*~d�F���?������� � � � �Z�A�����2���Z���=����� � ñ ¦®Ö �*�o�2��2�o£ �����*���?~��z�*~d� � H ¦ 9 ¥^� ºW�2�o�+�������?�*��� <� � ì <� � Ò <� �� Ü��F���2�

<� � ì <��� � <Ø Ò ��î Ò � � Ø P ���}'~d�ë�2�*�K ��2�¡�4�2�=�Z���?��~<�å��� � H ¦ 9 §<� ����Ø <��� ì � ^xØ Ò � � � � �� � �o~<£J�*���*�=ØA�F���2��?�*���z�=�=~��*Ø[�z�=�Ä���?�Z~��å�Z� � H ¦ 9 §�� �2�*~d�ï�2�����M �Ø Q P�Ø � B�; <� � N ì ��;���*Ø��¢���o~<�*�=���*Ø*� ¦

> �2�=� ¥�¦ :'�=�z�4�×�F�F�Z�2���?~v�2��~P�ó�2�����T�?���4Ø�~<�*�*���F�2�?�����z�(~<�z£ª�oت£6�o�2�2�Z� �<��Z�R�=¤:�����{�?~ � ¦ ^x� > �2�=��ç'�×�p���+�<�F���Z�2�=��Ø��v�2��~P�F�V�2�������2�*���D���À�=~<���*�=���?�Z~��*�� ����Ø �<� �����2�=� ¦ � �8�2�*� ~��?�*�o�u�����*Ø�Ü��*�z�Z�*�Ú�?�*�ª�2�o�2�*�Ì�?�l~�� > �=���?�Z~�� ¥*¦Ç§�x�F�Z�o��Ü��×�å�2�o� �?����� �<�ä�Z�l�[�����z£ª~<���Z�6£ª���?�2���6�(~�� �<� ì �[¦øÖ �*�=�z�o�(~<�z�A�:��*�*��¤{���=�*�o�2� � �*�ª�2~l�v�=~<�*�¡�����^� � ~����?�*�4�����z£ª~<���Z�F£ª���?�z�Z�p�=~��2�2�o�2�"~<�*Ø*���*�u�2~�����Z�^�?�o�<�?���*�Z�K�o~<�*�*�o�o�?��~<��Ü*�×���<�o�F�?�*��� �<� ì � ¦¹ �Ú�=¤:�*�Ì�����Z�o�:�F�¢�+�A~���Ø��=Ø*�*�o�Z�*�V�2�*���?��£6�v���2�z�=�z�2�Z~<�A�×~<�*��Øø�"�v���p�(~<�Ì��Z~d�F�=º0�*�z�Z�*�K���^���Z���?���p���Z�z�+��Ø�u���2~d�<�oØV�=¤:���������x� �<� ì � ���*Øl�*�*�Z¤:�*�o�*�=�z�W~���?�*�������2£6~<�*�Z� £ª���?�2����Ü��×���F�Z�Z���¾��Ø*~<���v�Ì�.�¢�v�+���Ú�*�z~P���v�2�����F�?���v���*���?���z������¡� �<� _ � �F���2�Ú�z�=�z�¾�o�o�4�?~ �<� � ~��R�2�*��Ø*~<�*�*�����?�2���*�z�(~��2£6�=Ø �D���F�o~<�*�*�o�o�?��~<��<� �Z���o¤{�*�����?~ � _ Ü��2�*�V�*�*�Ì�����¡�S�����¡��~�� � �F���?� �z�=�2�"�=�����?~ � ¦JÖ �*�Z�K�=����¾�uØ*~<�*�l�Z�S�ª�=~<£6�*�Z���?�o���Ú�������Z~<�<~��*�4�¢�+�[�2~ > �2�=�*�V9o�xç ¦4Ö �*�J���������<�=���×����+�<���?~�£ª���������z���?�*�K�(~<���Z~d�F�Z���*ºÀ�o~<�*�2��Ø*�=���2�*��Ø*~<�*���Z�K�=~�£ª�*����Ý E �-0 ���+�^��Z�*�å�2�*�V�?��£ª�V�o~<£ª�"~<�*�o�^�?�v��� E -0 ÜÅ�*���K�F�Ì�?� Ø*� _¾�=�z�=�^�?�Z���Z�'Ø � ì � �� ���*ØØ � ì <Ø Ò î æ § Ø7P B Ò 5î æ § Ø 5P�B ¦� �*���o�z�?���*�Z���2�*�o���?�������?�*�o�2�K~<�"�=�2���?~��2���o~<£��£J���2��ÜD�?�*�o�2�o�(~��2�oE �40 �z�+�������å�(~��2£6� �6Ø*~<�*�*���u�o~<£6�*�Z�¸Ý ¦ PË�v�2�*�=�[�2�=�u�(�2~<£��¥*¦ 9 ¥:� �2�����p�2�*��Ø*�o�(~<�z£ ���?�Z~��

<� �� ì <� � Q 9§ � Ø�PxB Q

9§ 5� Ø 5P�B

Page 125: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

* �� ��� � � ���! �� �!�����������!�$ � �]*�Z�*Ø��*�=�oØÚ�(�z~<£â�2�*��Ø*� _¾�=�z�=�^�?�Z���

<Ø Ò 9§ �cî Ò � � Ø�PxB Ò9§ � 5î Ò 5� � Ø 5P B�Z�l�2�*�������2�*�?���¢Ø*�o�(~<�z£ ���?�Z~��ä~��F�?�*� :4�Z�<�<�f�x�*���*Ø*�Z� �z�?�z�*�o�2�*�2�����*Ø*�*�o�=ØX�:��?�*�vØ*���(~<�2£ª���?��~<� <� � ¦ ^x�ø�=~<���=�2���?���?�o�2£6�=Ü��?�*���Ú���2�v�2�o�Ä���2�=ØÚ�^�A�?�*�v�^���*����?�2���*�z�(~��2£ª���?��~<� � h � ¦bÖ �*�o�2�o�(~��2�å�?���AØ*~<�*�*��� �?�2���*�¡�(~<�2£6�=Ø �*���*Ø*�Z� �<� ����Z�z~<£ª~��2�*�*��� �?~ � h � � ì Ü����*Ø��?���v���*���?���z� �=~<�*���=�o�2�Z~<�

�<�_ ì �

� � � ��Ø Q P § Ø � B Q 5P

§ Ø 5� B ��Z�p��Ø*�=�^�?�Ì ��=ØA�2~ � _ z�*�¡� ��� �<� �F�Ì�?� � Ü*�*�z�Z�*���?���v�o~<£6£J�������?�Z~��å�2�o�Ä���2�Z~<�*� �Ø Q P § Ø � B Q 5P§ Ø 5� B�; <Ø Ò

9§ ��î Ò � � Ø�P B Ò

9§ � 5î Ò 5î:� Ø 5P�B � ì ��;

�Ø Q P § Ø � B Q5P§ Ø 5� Bp; � �� � ì ��Z�*�¡�?�=��Ø�~�� � H ¦ 9 §<� Ü{�F�*�Z���Ú�?~<�<���?�*�o�p�Z£6�*���6�?���u�������Z~�� �Ø Q P § Ø � B Q 5P

§ Ø 5� B�; <� �� � ì �~�� � H ¦ 9 ¥:� �(~<���2�*��Ø*�o�(~��2£6�=Ø B��Z�2����~<�"�=�2���?~<�<� �� ì � �� Ò � � �� � � �

Ö �*�Z�p�2�*�=�ø���Z��~d�F���*�F�?~��=~<���=�Z��Ø*���=¤:���������x�å~��R�2�*���*�*���?���z� �=~<���*�=���?�Z~��*� ¦> ���*�=�J�2�*�Z:'�o�2£6���?�Z���[���*�*Ø*���=� � �< ; �<� � ���*Ø �c ; � � �=~��Z�*�o�ZØ*��Ü��2~�Ø*~å�2�*�

�D���<�p~��R�2�*�=���p�����?���¾~<���Z�'�z�?�z�*�o�2�*�2�o�'���å�?�*���z�Z�*�<���Ä�����"~<���:�2� ������¢�o�Z�.�����2�*������2���¾~��Z�Z�v�¢�o�Z�<�^�2�=Ü.�¾�o�+�����2�V�?�*��� ���z�V�2�*�*�"~<�z�=Ø �?~��¾�V�"�o�x�×�=�o�ä�����*ØN9<Ü���*ØÚ�?�*�o�2�l���4�ª�*�*��¤:�*�u�¢�+�ø~��W���*~{~<�2���*�ª��~<�Z~<£6~<�z�*�*�Z�K�z�=���?�Z~��*�'�F�Ì�?�Ú�2�*����¾�o���+�{�Z~<�z� ¦ l

Page 126: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere
Page 127: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� ����� � ��������� �

� ��������� ����������� �� ��!#"�� $&%('*),+���-��,��./� ��01�2�,$���3�� 45� ��'��6�7��$2�,$��98;:�� <=�?>@�*A?B�CD��EGF;H�IKJ1LNM=OKP�LRQSH�IH@TUQVI2J=LXW�IKLXH�IKJ=�2Y;�?�&Z@�[0�Z]\^'��@��'�"1Z��2_�`����a�*Cb`�cdC?B

� ef������� �����g���K ��,�5Yh����i&+&�a-��Kj�,�5k?�,$2lb'�"]<=� ���am�nKo1P�LNMpW�qrWfJ=s�tuto�LRM=svW�Ixwzy#QSo�t{W�I5IKQSW�I| o1H�t{o�LNM=s�}�~,�5���������KY;"�i&0��K�����z���2Y;�K� )N�5k?i&0����5��>@�*A�BD`DE��b��cd_bA

� ������'9��:2�?�,) ),'#��� �23#��"1�DZp� ��K�D$����Kk��,�2�/���{�D$K��$gk��xm�nKo�P�LNMpW�q^P�O&M=�fo�JUW�Ixw�LV�Ko | o�Ixo�MpW�q��Q �9o1w{L(�2o�LXW�w�QV�9Q[J�H�M=��4K�2�/'��,$2'��/$2lb'����2�����p���x�5�x��>��9ADCDA�E/�9_DA�c���B�A

� �������[��:K��"1+��z����QS��M��o=J nKW�MpWb�1H�q�QS¡�OKo=J{J=LXWD��q o�J�o�L P1H�IKIxo�¢bQSH�IKJuJ=QVI | O&q�Q�£o�Mpo�J nxq W�Ldo�J=����:2),)R�k&i?0D�2���������K K"��D$K0�'¤x¤?��>@�*ADAK�9E��&eD�2��cXeb`bB

� `f�����[��:K��"1+¥�z�G�;QS��M6�o�J¦wDog§�Q |9| J7o�LuP1H�I5Ixo�¢bQSH�I2J�QVI5LK�o | M�WD��q o=J�¨©q o�P1WfJ�q H | W�M=QVLV�&tzQS¡�OKoª�w�QV�*Q[J�o�O&M�q�Q[J1J�o�«��5�¬$2$��KZ�0��,'�$��*�u­® 0��23¬iD"��g�Kk?:2¯��^>S��E]�x°�>��9ADA�BDE=�?�K��cdAb_

� _������[��:K��"1+g�z�,�K��ib�D),01�gY;�^�]±²QVq w²I�H�IxWb�1o�q�QSW�Ig§zH*w | ozL(�2o1H�M=svH�I�P�O&M=��o=J=�x�³ib�u¯xibZp� �p�,i�7���p�K'��{�����,0*�v>@�9E#¤?´x°�>Ne�µDµD��E��a�fB�A�cXeDµ�B

�¶B9�����[��:K��"1+¦�z�,�^4b�D"�+2� �·���r¸UJ=s�t/n�LdH�LRQSP²��o1�2W��*QSH�M�W�I�wgLV�Ko{t{H*w�O&q�Q�JNn2WbP�o²H�T�wbH�OK��q�s��nKo�M=QSH*w�QSP�QVIKJ=LdW�IKLXH�I2J=�K45� ® :K"*�2�����p���xk?i&0��K��>Ne�µDµK�9E��?�b�b`�cd�?B�`

� C��u�³�K'�"�¹��[Z�k��G���,�/j���¯K:KZ���� $º���G»zW*�&t½¼2MpW�I2J(T�H�M=t¾�rH�Mv¿]o�M=QSH9w�QSP�À7H�I�H�nKH�q o�Jg¸#I�w»zÁ#Â{m5O9nKo�MgÃ5W�I | �dÀ�QVqVq¶Jv¼��2o1H�M=s��a�³iD���:2$^� �����p��� Y;�?�&Z*�5Äa¤&��>ReDµDµ2�fE=�&�D�b��cX��B&�

� A���!#'��{�D� ),) �²4�cXY6�hF;H�t¬nxq o�¢�W�I�W�q�s�LNQSPW�Ixw²w�Q Ŭo�Mpo�IKLNQSW�q | o1H�t{o�LRM=s��K+2i��]$2) i��D+2�D�2),'¬%("�iD����p�p¯�Æ�ÇDÇ��]�]�GcR%(ib:2"p�,'�"9� :�ÈX%VcNlb"p'*$2iD�K) 'b� %("�ÇDÉ +&'*�{���,) ),�KÇf�xi�ib¹&Z�� ���p�)

� �*µ���!#iD$5��)[+2Z@ib$7k���j� �ajU"�iD$2�2'*� �'*"#Y6���#�/¼��2o | o1H�t{o�LNM=s�H�T��^H�O&M=�dÀ�W�IKQ T�H�q wfJ=���¬Ê?%(iD"1+Ë $2�,�D'�"1Zp�Ì����Y�"p'9ZpZU>��9ADAbµbE

� �D����Í "�� Îu���KZ6Y;���,��.¬�D"p"��,Z�45��¿GM=QVIxP�Q nxq o�J¬H�T]W�q | o9��MpW�QSP | o1H�t{o�LRM=s���ÏÐ�,),'��z�³)[�DZ�Z@�[0�Zr\��,�2"��D"p�>@�*AbA���E

� �9e���.¬�Ì�101�2�,$�3���4K��¼��KozJ�o�q T1�@w�OKW�q�QVLNsgo1¡�OKW�LNQSH�IKJzH�I�Wuy#QSo�tW�IKI¦J=O&M(T�WDP1o���Y;"�i&0��2\^iD$K+&ib$�7���p�^�Kk?i&0��^>R�bE/ÑxÑ�>��*AbC�BDE=�2`�A�c��fe�_

� �*����.¬�Ì�101�2�,$²3��&45�xm5LXWD��q o���O&Ixw?q,o=J�W�Ixw{QVIKLXo | MpWb��q o�J=sfJ1LXo�t�J=�&!¬:K¹D'U���������&4K�KÑK´¦>@�*ADC?B�E��AK��c1�D�*�

� ���D��4���"1+&�,�Ò�Ó�f� �D¸ÔJ=O&M=�fo�s�H�I�»zW*�?tÕLRM�W�I2J(T�H�M=tz�D45��Í '�iD�g��Y;�?�&Z*��ÑxÄ�>Ne�µbµ���E����2�*��cd��ebB� �9`���4���"1+&�,�Ö����� ��»zW*�&t×LNMpW�IKJVT�H�M=tØT�H�M¬wDH�OK��q�s��,nKo�M=QSH9w�QSP QVIKJ=LdW�IKLXH�I2J=�b�³ib�u�z:2$��������p���

Y��?�?Z*�KÄ5ÄxÑ�>ReDµDµ�eDE=�&_b�DA�cX_D_bC� �*_���j����pi�ÙU��¿]o�M=LRO&M��1W�LRQSH�I�L(�2o1H�M=s T�H�M�q�QVI�o�W�MH1n2o�MpW�LdH�M1J1�^Í "�:2$K+2) '*�2"p'*$7+&'*"¬�{�����2'��{��c

���,Z�01�2'*$²ÏÐ�[ZpZp'�$5Zp01�K��%V�p'*$¦¤&�xÄ�>@�*Ab_D_bE�k?¯2"��,$2lD'*"� �fBf��\^i&01¹��5��"p�#����� � �a��0f�#�³'*$¦���^�#�^Ú�qVq�Q n�LRQSPvw�Q Å#o�Mpo�IKLNQSW�q�H1n2o�MpW�LdH�M1J{H�I�IxH�I�P1H�t¬n2WbP�L

t{W�I5Q T�H�q w�JG�¬$2$��5k20�:2ib),�3/ib"p�g�5k&:2¯��KY��,Z��²>S��E ¤2Ä�>��9ADCb`bE=�?�bµbA�cd�D�&B� �*C����7��),lD"1��$2lb'G� �,� �Ú/¡�OKW�LRQSH�I2J w�Q Å��o�M�o�I5LRQSo�qVq o�J�£WP1H*oRÛ¥P�QSo�IKLRJ;nKH�q�s�I�H�tuQSW�OD¢b�&Y;"�iDlb"p'9ZpZ6�,$

�7���p�^� �K�xÜ��5�³�,"�¹��rÝ��:KZp'�"U>��9ADA2�fE

� ���

Page 128: Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

� � ) ��� ��&D���(�!��� ����� �*A���k2���2�K�D�{�#��§�W�M=t{H�I5QSP#to�LRM=QSP�J¬W�I�wzP1H�I5Ixo1P�LRQSH�I2J��hQVLV��QVM=Mpo | O&q W�MGJ=QVI | O&q W�M=QVLRQSo�J6�¬$2$��

<X$5Z��9�2 2iD:K"p�,'�"¬Í "�'�$2ib�2),'>S��E@´x��>@�*ADAbAbE#�9eD_b`�c��fe�A2�� e�µ���k2���2�K�D�{�#�?�^H�O&M=QSo�M=���rW�n�q WDP1o#LRM�W�I2J(T�H�M=t H@T]QVM=Mpo1w�OKP�QS��q o#Mpo | O&q W�M¬w�Q Ŭo�Mpo�IKLNQSW�q5J=sfJ1LXo�t�J

H�I�L(�2o y¬QSo�t{W�IKI7JNn2�2o�MpoG�{���p��� �/Í�Ç�µD�bµDC�e�AD�� e&����k&� �¯KZpiD$Ó�#��ÙU�^§�W�M=tH�IKQSPv��O&I�w?q o�J{H�IÓIxH�IxP1H�t¬n2WbP�LUP�O&M=��o�J1��4K���¬�g�^���������^k?i&0��

>R�bEG��>@�*ADAbµbE��2B&�*��c�BbB�µ