n. mumlaze, r. qiria, n. javaxisvili -...
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n. mumlaZe, r. qiria, n. javaxiSvili
sainJinro grafika
poziciuri amocanebis gadawyveta
brtyel figurebze
`teqnikuri universiteti”@
saqarTvelos teqnikuri universiteti
n. mumlaZe, r. qiria, n. javaxiSvili
sainJinro grafika
poziciuri amocanebis gadawyveta
brtyel figurebze
registrirebulia stu-s
saredaqcio-sagamomcemlo
sabWos mier
Tbilisi
2009
308.118.01.72
:774(075)
:61.64
naSromSi ganxilulia geometriis sakiTxebi, romlebic
gauRrmavebs codnas da daainteresebs rogorc umaRlesi
profesiuli saswavleblis, aseve bakalavriatis studentebs.
naSromi daexmareba maT saswavlo kursis aTvisebaSi da
moiTxovs mxolod planimetriis codnas.
redaqtori g. wuleiskiri
recenzenti r. gogalaZe
© sagamomcemlo saxli ,,teqnikuri universiteti’’, 2009
ISBN 978-9941-14-419-6 http://www.gtu.ge/publishinghouse/
yvela ufleba daculia. am wignis arc erTi nawili (iqneba es teqsti, foto,
ilustracia Tu sxva) aranairi formiT da saSualebiT (iqneba es eleqtronuli Tu
meqanikuri), ar SeiZleba gamoyenebul iqnas gamomcemlis werilobiTi nebarTvis
gareSe.
saavtoro uflebebis darRveva isjeba kanoniT.
3
poziciuri amocanebis gadawyveta
brtyel figurebze
Sesavali
Sekruli wiriT Sedgenil romel brtyel figuras
eqneba udidesi farTobi? mocemuli zedapirebidan
Sedgenil romel sxeuls eqneba udidesi moculoba?
ra forma unda mieniWos brtyel figuras, rom
mocemuli farTobiT misi perimetri iyos rac SeiZleba
mcire?
mocemuli toli perimetrebiT romel samkuTxeds
eqneba udidesi farTobi?
msgavsi kiTxvebi brtyeli figurebis maqsimaluri da
minimaluri Tvisebebis Sesaxeb adamians uxsovari
droidan ebadeboda, rodesac man fiqri daiwyo Sromisa
da materialuri danadgarebis Seqmnis ekonomiurobaze.
teqnika da arqiteqtura ZiriTadad iqiTaa mimarTuli,
rom umciresi danaxarjebiT miviRoT udidesi sargebeli
warmoebaSi.
Cvens welTaRricxvamde meore saukuneSi geometrebis
mier damtkicebuli da dRemde moRweuli Teoremebidan
aRsaniSnavia Semdegi Teoremebi:
4
1. erTi da igive gverdebis raodenobisa da toli
perimetrebis mqone wesier mravalkuTxeds ufro meti
farTobi aqvs vidre arawesiers.
2. toli perimetris mqone ori wesieri mravalkuT-
xedidan is aris didi, romelsac gverdebis meti
raodenoba aqvs.
3. saerTo fuZisa da toli perimetris mqone sam-
kuTxedebidan is aris umciresi, romelsac ekuTvnis
fuZesTan mdebare oTxi kuTxidan udidesi.
5
1. i. Steineris Teoremebi
germaneli geometriis iakob Steineris mier 1841
wels parizis akademiaSi warmodgenil iqna naSromi
Temaze: `brtyeli figurebis maqsimaluri da minimaluri
Tvisebebi~. aRniSnul naSromSi Steineri gvaZlevs
Teoremebis damtkicebis xuT sxvadasxva meTods.
ganvixiloT Steineris pirveli meTodi umciresi
farTobis mqone P perimetris figurisTvis.
upirveles yovlisa ganxiluli figura unda iyos
amozneqili e.i. aRniSnuli figuris yvela qorda unda
mdebareobdes mis SigniT (nax. 1).
dauSviT AαBC figura
Seicavs AB gare qordas.
SevcvaloT α momWimavi rkali
AB qordis simetriuli β
rkaliT. miviRebT axal AβBC
figuras igive perimetriT,
radgan β rkalis sigrZe
tolia α rkalis sigrZis, axali
miRebuli figuris farTobi metia mocemuli figuris
nax. 1
C
B
A
α
6
farTobze daStrixuli AαβB nawiliT. aqedan gamom-
dinare AαBC figura gare qordiT ar SeiZleba iyos
maqsimaluri igive perimetris mqone sxva figurasTan
SedarebiT.
mocemuli P perimetris mqone maqsimaluri figuris
meore SesaniSnavi Tviseba mdgomareobs SemdegSi:
Tu maqsimaluri ABCD figuris nebismieri AC
qorda mis P perimetrs or tol nawilad yofs, maSin
farTobic or tol nawilad gaiyofa (nax. 2).
vTqvaT ABC figuris P
farTobi metia ADC figuris
Q farTobze. SevcvaloT
ADC wiri AEC wiriT,
romelic simetriulia ABC
wirisa AC qordis mimarT.
vTqvaT axali ABCE figura,
romlis perimetria P metia
ABCD figuraze, radgan misi perimetria 2P, ABCD
figuris farTobi tolia P+Q da P>Q, magram es
SeuZlebelia, Tu ABCD figura namdvilad aris
maqsimaluri.
nax. 2
A
B
P
C
Q
D E
7
Steineris pirveli meTodi emyareba mis ZiriTad or
Teoremas:
1. ori gverdiT mocemuli samkuTxedidan, im
samkuTxedis farTobia udidesi, romlis gverdebic
urTierTperpendikularulia (nax. 3).
nax. 3
mocemuli naxazi saSualebas gvaZlevs davrwmundeT
aRniSnuli Teoremis samarTlianobaSi, vinaidan udidesi
simaRle ekuTvnis AC1B marTkuTxa samkuTxeds, (rogorc
viciT samkuTxedis farTobi fuZisa da simaRlis nam-
ravlis naxevris tolia). gamomdinare aqedan ΔAC1B-s
aqvs udidesi farTobi.
2. saerTo fuZis mqone ori samkuTxedidan, romelTac
ferdebis jami toli aqvT, mcire farTobi aqvs im
C4 C1 C2
C3
A B
8
samkuTxeds, romelsac miekuTvneba fuZesTan mdebare
oTxi kuTxidan umciresi da udidesi ori kuTxe
(nax. 4)
nax. 4
ganvalagoT AB saerTo fuZis mqone ADB da ACB
samkuTxedi, romelTac ferdebis jami toli aqvT ise,
rom, aRniSnuli samkuTxedebis didi ferdebi gamodiodes
saerTo fuZis A wverodan. A wverosTan mdebare α da γ
kuTxeebi naklebia B wverisTan mdebare β da δ kuTxeebze.
davuSvaT ∠CAB metia ∠DAB-ze. aseT SemTxvevaSi
ADB samkuTxedis D wvero unda mdebareobdes ABC
samkuTxedis gareT, winaaRmdeg SemTxvevaSi ACB texili
G′ C G
γ A B β
D E
F
δ α
9
meti iqneboda ADB texilze, rac sawinaaRmdego iqneboda
winaswar daSvebuli ferdebis jamis tolobisa, amitom
∠CBA naklebia ∠DBA-ze maSasadame kuTxe γαβδ >>> ;
rogorc naxazidan Cans δ da γ kuTxeebi warmoadgenen
udidess da umciress α, β, γ da δ kuTxeebidan,
romlebic mdebareoben samkuTxedebis AB saerTo
fuZesTan, amasTanave δ da γ kuTxeebi ekuTvnis ΔABC-s.
davamtkicoT rom ADB samkuTxedis farTobi naklebia
ACB samkuTxedis farTobze, radgan βγ < -ze, amitom
BE<AB-ze. Tu movzomavT EA-ze, EF=EB monakveTs, maSin
F wertili moTavsdeba A-sa da E-s Soris. Semdeg EC-ze
movzomoT ED-s toli EG monakveTi ED=EG. wertili
G moTavsdeba E-sa da C-s Soris. Tu G daemTxveoda C-s,
maSin ΔCEF da ΔDEB iqneboda tolebi. ise rom CF
gverdi toli iqneboda DB gverdis.
pirobis Tanaxmad ki:
DBABCBAC +=+
an DBEDFEAFEBCEAC +++=++ .
radgan viciT, rom
EDCE = ; EFEB = .
aqedan vRebulobT, rom
FCAFDBAFAC +=== - rac SeuZlebelia.
10
Tu G′ wertili, romlisTvisac EDEG = , mdebareobs
EC-s gagrZelebaze. analogiurad migviyvanda absurdul
Sedegamde, rom wrfe AC tolia AFG′C texilisa.
radgan EFGEDB Δ=Δ , maSin ΔADB-s farTobi toli
iqneba ΔAEB-s da ΔEFG-s farTobis jamisa, romelic
warmoadgens ACB samkuTxedis Semadgenel nawilebs,
aqedan gamomdinareobs rom ACBADB Δ<Δ . risi
damtkicebac gvindoda.
damtkicebuli Teoremebidan gamomdinareobs, rom
erTi da igive fuZiTa da ferdebis jamis tolobiT,
tolferda samkuTxedis farTobi yovelTvis metia sxva
nebismieri samkuTxedis farTobze.
2. Teorema izoperimetruli
samkuTxedebis Sesaxeb
Steineris mier damtkicebuli brtyeli figurebis
ramodenime aTeuli Teoremebidan ganvixilavT yvelaze
gavrcelebul Teoremebs.L
Teorema. izoperimetruli samkuTxedebidan udidesi
farTobi aqvs tolgverda samkuTxedebs.
Steineris es Teorema Semdegnairad mtkicdeba:
11
Tu p perimetris mqone ABC samkuTxedi aris
udidesi, maSin misi yvela gverdi unda iyos toli, e.i.
tolgverda.
vTqvaT BCAB ≠ , maSin aigeba tolferda samkuTxedi
AB′C igive AC fuZiTa da p perimetriT. aRniSnuli
Teoremis Tanaxmad misi farTobi meti iqneba ABC
samkuTxedis farTobze, rac SeuZlebelia.
ganvixiloT Teoremis damtkicebis sruli varianti.
mocemuli Y samkuTxedi SevcvaloT, izoperimetruli
G tolferda samkuTxediT. aRniSnul samkuTxeds igive
fuZe hqondes, rac Y samkuTxeds, ise rom G >Y.
samkuTxed G-Si fuZisa da gverdis fardoba aRvniSnoT y
absoluturi sididiT |y|. mocemul G samkuTxedis
ferdze, rogorc fuZeze avagoT izoperimetruli
tolferda G1 samkuTxedi. advili SesamCnevia, rom
sxvaoba fuZesa da ferds Soris G1 samkuTxedSi toli
iqneba 2y. garda amisa G1>G. Tu G samkuTxedis fuZed
miviRebT mis erT-erT tol ferds, romelzedac Cven G1
samkuTxeds vagebT, maSin orive izoperimetrul
samkuTxeds eqneba erTi da igive fuZe oRond G1
12
samkuTxedi iqneba tolferda, xolo G samkuTxedi ara.
G1 samkuTxedis ferdze avagoT izoperimetruli
tolferda samkuTxedi G2, ise rom G2>G1-ze da fuZisa
da ferdis sxvaoba G2 samkuTxedSi toli iqneba −4y
is
da a.S.
miviRebT G, G1, G2, G3... Gn izoperimetruli samkuTxe-
debis usasrulo mwkrivs, sadac nGGGGG <<<>< 321
da fuZesa da ferds Soris sxvaoba miiswrafis 0-isaken.
;y y21
; y41
; yy n21
81
aqedan gamomdinare Gn samkuTxedi uaxlovdeba igive
perimetris mqone tolgverda T samkuTxeds. aRniSnuli
mtkicebulebebi aradakmayofilebelia imis gamo, rom es
procesi usasrulod grZeldeba. Steineris mier migne-
bul iqna aRniSnuli Teoremis damtkicebis srulyo-
fili meTodi.
vTqvaT mocemulia sxvadasxva gverda samkuTxedi p
perimetriT. gardavqmnaT igi igive perimetris mqone
tolferda G samkuTxediT.
fuZed aviRoT U samkuTxedis udidesi gverdi, ise
13
rom UG ≥ (tolobisas (=) ganixileba is SemTxveva,
roca samkuTxedi tolferdaa da fuZe > ferdze).
vTqvaT ABC samkuTxedi aris G samkuTxedi (nax. 5),
radgan misi AB fuZe metia TiToeul ferdze. maSin igi
p perimetris mesamedze meti iqneba. Tu fuZeze gadav-
debT perimetris mesamedis ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ p
31
tol BD monakveTs,
maSin D wertili moTavsdeba A da B wertilebs Soris.
BC gverdis gagrZelebaze C wertilisaTvis yovelTvis
moiZebneba iseTi E wertili, rom ACADECDE +=+
aRniSnul SemTxvevaSi ABC da DEB samkuTxedis
perimetrebi urTierT toli iqneba. Tu pBC31
< , maSin
BC<BD, ise rom −∠>∠ CDBBCD ze aqedan gamomdinare
−∠<∠ ADCDCE ze. e.i. ori mocemuli ADC da DCE
izoperimetruli samkuTxedebidan pirvels aqvs udidesi
kuTxe saerTo fuZesTan. meore Teoremis Tanaxmad vRebu-
lobT, rom ΔADC-s farTobi naklebia ΔDEC-s farTobze.
DCB samkuTxedis damatebiT vgebulobT, rom ACB sam-
kuTxedis farTobi naklebia DEB samkuTxedis farTobze.
14
nax. 5
avagoT BD fuZeze tolferda DFB samkuTxedi igive
p perimetriT. misi farTobi metia DEB izoperimetrul
samkuTxedis farTobze, vinaidan gverdebi erTmaneTis
tolia fuZe ki p31
-s tolia, aqedan gamomdinare DFB
tolgverda samkuTxedi aRmoCnda yvelaze didi nebis-
mierad aRebul U samkuTxedze igive perimetriT.
A D
E
C
B
F
15
3. Teorema izoperimetruli
samkuTxedebis Sesaxeb
Teorema: mocemuli p perimetris mqone nebismieri
oTxkuTxedidan udidesi farTobi aqvs kvadrats (nax. 6).
nax. 6
aviRoT nebismieri p perimetris mqone ABCD
oTxkuTxedi. gavyoT igi AC diagonaliT or ABC da
ACD samkuTxedebad, SevcvaloT aRniSnuli samkuTxedebi
AEC da ACF tolferda samkuTxedebiT, igive AC fuZiT,
p perimetriTa da Sesabamisi didi farTobiT. miRebuli
E
BE′
G′ G H H′
C
F′
DF′
A
16
axali AECF oTxkuTxedi metia mocemul ABCD-ze. EF
wrfe perpendikularulia AC-s Sua wertilisa da
AECF figuras yofs or simetriul AEF da CEF
samkuTxedebad, radgan AE=EC da AF=FC. gardavqmnaT
AEF da CEF samkuTxedebi GEF da HEF tolferda
samkuTxedebad, sadac SenarCunebuli iqneba EF fuZe da
perimetrebi. miRebuli axali GEHF figura metia AECF
figuraze warmoadgens rombs, radgan simetriuli
samkuTxedebi gardaiqmna tol-tolferda samkuTxedebad.
isRa dagvrCebia rombis gverdebi gadavaadgiloT
ise, rom G da H wertilebSi kuTxeebi marTi gaxdes,
maSin rombi gardaiqmneba GFHE ′′′′ kvadratad p
perimetriT.
pirveli Teoremis Tanaxmad GEF da HEF
samkuTxedebis farTobebi gaizrdeba ise, rom miRebuli
kvadrati meti iqneba rombze da aqedan gamomdinare meti
iqneba Tavdapirvelad mocemul ABCD oTxkuTxedis
farTobze.
nax. 6
17
4. Sebrunebuli Teorema umciresi
perimetris mqone figurebis Sesaxeb
Cvens mier ganxilul amocanebSi, wrewiris sigrZe,
tolgverda samkuTxedis da kvadratis perimetrebi
iTvleboda mocemulad, xolo saZiebeli iyo yvelaze
meti farTobis mqone figura. yovel aseT amocanas Tan
axlavs Sebrunebuli amocana, rodesac ganxilulia far-
Tobi da saZiebelia yvelaze naklebi perimetris mqone
figura. aRniSnuli amocana ganxilulia naSromis dasaw-
yisSi: `rogori forma unda mivceT mocemuli farTobis
mqone brtyel figuras, rom misi perimetri iyos rac
SeiZleba patara~. am kiTxvis pasuxi aris wrewiri, vinaidan
pirdapiri Teoremis, Tanaxmad, viciT, rom wrewiris
sigrZe metia yovelgvar izoperimetrul figuris peri-
metrze. am kiTxvis pasuxi martivi dasamtkicebelia, Tu
ganvixilavT, Semdeg Teoremas: wre yvelaze didi izope-
rimetruli figuraa yvela danarCen figurebs Soris.
ganvixiloT toli farTobis mqone V wre da W
elifsi.
axali V′ wre, romelsac igive perimetri aqvs
rogorc W elifss – masze didi iqneba ganxiluli
18
Teoremis Tanaxmad. aqedan gamomdinare VV >′ , rogorc
viciT did wres didi perimetri Seesabameba da amitom
V ′ wris perimetri, romelic W elifsis perimetris
tolia meti iqneba V wris perimetrze. risi damtkicebac
gvindoda.
analogiurad – tolgverda samkuTxeds aqvs umci-
resi perimetri mis msgavs yvela sxva toldid samkuT-
xedebTan SedarebiT.
kvadrats umciresi perimetri aqvs yvela sxva
danarCen toldid oTxkuTxedebTan SedarebiT.
es da maTi msgavsi Seqcevadi Teoremebi mtkicdeba
Cvens mier ganxiluli meTodiT. Tu CavTvliT, rom
pirdapiri Teorema sworia, aRniSnuli mtkicebebis
saerTo sqemis SesamuSaveblad Tavidanve saWiroa
SeTanxmeba zogierTi terminebis mimarT.
yvela saxis figuraSi Cven vgulisxmob `forma~-s da
`zoma~-s. erTi da igive formas Seesabameba sxvadasxva
zomis uamravi figura. yvela eseni erTmaneTis msgavsia.
CvenTvis saintereso amocanebSi ganvixilavT gansa-
kuTrebuli `klasis formebis~ kuTvnil formebs. aseTi
`klasis formebs~ warmoadgenen erT SemTxvevaSi yvela
19
brtyeli figurebis formebi. meore SemTxvevaSi yvela
oTxkuTxedebis formebi da a.S. ganxiluli amocanebis
amonaxsns warmoadgens esa Tu is forma – mag. wrewiri,
kvadrati da a.S.
5. Sebrunebuli Teorema erTnairi
farTis mqone figurebis Sesaxeb
davuSvaT, rom damtkicebulia pirdapiri Teorema
`yvela izometrul figurebs Soris, romlebic ekuTv-
nian C klasis formas, yvelaze meti farTi aqvs F
formis figuras. am SemTxvevaSi SeiZleba davamtkicoT
Semdegi Sebrunebuli Teorema: erTnairi farTis mqone
yvela figuraTa Soris romlebic ekuTvnian C klass,
yvelaze naklebi perimetri aqvs F formis figuras~.
amis dasamtkiceblad F formis figura aRvniSnoT
P-Ti da Sesadareblad aviRoT nebismieri Q figura,
romlis forma miekuTvneba C klass da romlis far-
Tobi P figuris farTobis tolia. avagoT P figuris
msgavsi P′ figura, romelsac eqneba F figuris forma
da Q figuris toli perimetri.
pirdapiri Teoremis mixedviT P′ figuris farTobi
20
metia Q figuris farTobze an misi farTobis mqone P
figuris farTobze. magram viciT, rom P′ da P figura
msgavsni arian. aqedan gamomdinare p′ figuris perimetri
an misi toli Q figuris perimetri metia P figuris
perimetrze.
pirdapiri da uku Teoremebis ganxiluli damoki-
debulobis mniSvnelobis da samarTlianobisaTvis movi-
yvanoT kidev erTi mtkicebuleba.
rogorc cnobilia msgavsi figurebis farTobebi
warmoadgenen maTi perimetrebis kvadratebs. amis gamo
nebismier `forma~-s ekuTvnis R koeficientis gansazRv-
ruli mniSvneloba, romelic akavSirebs S figuris
farTobs mis p perimetrTan Semdegi formuliT
2pkS ⋅= .
marTlac, Tu p1, p2, p3… gansazRvraven perimetrebs
da S1; S2, S3… gansazRvraven erTi da imave formis
figurebis farTobs, maSin aRniSnuli Teoremis mixedviT
23
322
221
1
pS
pS
pS
==
Tu k-Ti aRvniSnavT am damokidebulebaTa saerTo
sidides, miviRebT zemoaRniSnul formulas.
21
Tu ganxiluli klasis formebis k koeficientebs
Soris arsebobs Tundac erTi kM yvelaze didi koefi-
cienti, aRniSnuli formula gviCvenebs, rom mocemuli
p0 figura, romlis formasac ekuTvnis es koeficienti
aqvs yvelaze didi farTobi
.20pkS MM ⋅=
aseTi farTobis pirobebSi imave formis S0 figuras
eqneba yvelaze naklebi pm perimetri, romelsac
ganvsazRvravT formulidan 20 mm pkS ⋅= . amrigad, erTi
da igive forma emsaxureba pirdapiri da Seqcevadi
amocanebis pasuxebs. yvela sakiTxi daiyvaneba ganxiluli
k koeficientebidan yvelaze didi koeficientis arse-
bobis mtkicebaze da misi Sesabamisi formis dadgenaze.
SemdgomSi Cven moviyvanT mxolod im Seqcevadi
Teoremebis Sinaarss, romelTa damtkicebac xorciel-
deba naCvenebi sqemis mixedviT.
6. Teorema naxevarwris farTobis
Sesaxeb
Teorema. Tavisufali formis L Semowirulobis
mqone l sigrZis da nebismieri L sigrZis G CamonaWeriT,
22
yvelaze meti farTobi aqvs naxevarwres, romlis rkalic l
sigrZisaa.
piriqiT: `yvela Tanabari sididis figurebidan,
romlebic gansazRvrulia nebismieri G sigrZis Camona-
WeriT da nebismieri sigrZis L wrfiT, yvelaze naklebi
sigrZe aqvs L wrfis naxevarwrfes~.
davuSvaT, ABC da A1B1C1 (nax. 7) warmoadgenen
naxevarwres da romeliRac sxva figuras, romlebic
akmayofileben pirdapiri Teoremis pirobebs.
nax. 7
mocemuli figurebis gadakecviT AC da A1C1 wrfeze
miviRebT or axal figuras: ABCD wrewirs da misgan
gansxvavebul A1B1C1D1 figuras romelTa perimetrebi 2l-
is tolia. wrewiris Teoremis Sesabamisad, ABCD
wrewiri metia A1B1C1D1 figuraze. amitom ABC
AA
B
D
C
B1
D
C1
23
naxevarwre metia A1B1C1D1 figuris naxevar A1B1C1
figuraze.
7. Teorema wris segmentis farTobis
Sesaxeb
Teorema: sworxazobrivi monakveTiT da nebismieri
formis L wrfiT gansazRvruli figurebidan L wrfis
mocemuli sigrZis dros yvelaze meti farTobi aqvs
wris segments, romelic Semoifargleba a qordiT da L
rkaliT.
yvela Sesadarebeli figurebis farTobebis erT-
nairi sididis SemTxvevaSi, wris segments ekuTvnis
yvelaze mokle L wrfe.
damtkiceba. ganvixiloT wris segmenti aα (nax. 8)
da sxva romelime figura
aL, amasTanave L wrfis sigrZe
tolia wris α rkalis
sigrZisa. α rkali SevavsoT
β rkaliT srul wrewiramde.
wrewiris Sesaxeb Teoremis
Sesabamisad gvaqvs, rom wre-
α
a
L
β
nax. 8
24
wiri aβ metia Lβ izoperimetrul figuraze.
amrigad, aα segmenti metia aL figuraze. Teoremis
meore nawilis dasamtkiceblad davuSvaT, rom wrewi-
ris aα segmenti da aL figura (nax. 8). Tanabari
sididisaa. SevavsebT ra, aα segments aβ srul wrewi-
ramde gavigebT, rom es wrewiri Lβ figuris Tanatoli
sididisaa. amitom wrewiris perimetri naklebia Lβ-s
perimetze. aqedan gamomdinare rkali L wrfeze naklebia.
uSualod am Teoremidan gamomdinareobs saintereso
daskvnebi.
Tu romelime figuras raime pirobebSi aqvs udidesi
farTobi, misi sazRvrebis yvela nawils, romelic aer-
Tianebs raime or uZrav wertils da amocanis pirobis
Tanaxmad SeiZleba hqondes nebismieri forma, gansazRvruli
sigrZis dacviT, unda warmoadgendes wrewiris rkals.
SemdgomSi, n qordebs Soris moqceul wris nawils
vuwodebT figuras, romelic SemosazRvrulia, romelime
wrewiris n qordebiT da am qordebis SemaerTebeli
rkalebiT.
25
8. Teorema figurebis udidesi farTobisa
da umciresi perimetris Sesaxeb
Teorema: yvela saxis figurebidan, romlebic gan-
sazRvrulia mocemuli sididis a da b sworxazovani
monakveTebiT da maTi daboloebaTa SemaerTebeli nebis-
mieri formis erTi an ori wrfiT, a da b monakveTebs,
rogorc qordebs Soris, moqceul wris nawils aqvs
udidesi farTobi yvela Sesadarebeli figurebis tolo-
bisas da umciresi perimetri Sesadarebeli figurebis
farTobebis tolobisas.
damtkiceba. SevadaroT erTmaneTs wris K nawili da
nebismieri sxva F figura, romelic akmayofilebs
Teoremis I nawilis pirobebs (nax. 9) SevavsoT K figura
srul K1 wrewiramde, daStrixuli segmentebis mimatebiT.
aseTive segmentebi mivumatoT F figuris perimetris a
da b monakveTebs, rac mogvcems axal F1 figuras. K1
wrisa da F1 figuris perimetrebi tolia, ise rom
11 FK > . Tu gamovaklebT tol segmentebs miviRebT, rom
.FK >
Tu K da F figurebi erTi da imave sididisaa, maSin
K1 da F1-ic iqnebian erTi da imave sididis, ise, rom
26
wrewiris Sesaxeb uku Teoremis Tanaxmad K1 perimetri
naklebia F1 perimetrze. aqedan gamomdinare
11 llll ′+′<+
nax. 9
SeniSvna. bolo Teoremis formulireba TvalnaTliv
gansazRvravs, rom arsebobs saWiro Tvisebebis mqone
wris nawili anu pirvel SemTxvevaSi, roca igi Semo-
sazRvrulia a da b qordiT da mocemuli sigrZis
rkaliT an rkalebiT (rasac moiTxovs perimetrTa
toloba) da meore SemTxvevaSi SemosazRvrulia moce-
muli sididis farTis mqone a da b qordebiT.
radgan arsebobs wris aseTi nawilebi, Teorema
samarTliania da mtkiceba rCeba ZalaSi.
ismeba kiTxva – yovelTvis arsebobs wris aseTi
nawili? Turme arsebobs wris nawili, romelic akmayo-
l
K F
l1
b a
b
a
l′
1l ′
27
filebs Teoremis I naxevris moTxovnilebebs, Tu ki
arsebobs Tundac erTi figura, romelic akmayofilebs
am moTxovnilebebs. amisaTvis ki saWiro da sakmarisia,
rom mocemuli p perimetri da a da b monakveTebi
akmayofilebdnen utolobas
||)( babap −>+− .
aRniSnuli Teoremis pirobebs SeiZleba akmayofileb-
des wris ara erTi, aramed ramdenime nawili. am SemTx-
vevaSi, ra Tqma unda ar vTvliT gansxvavebulad wris iseT
nawilebs, romlebic miiReba a da b qordebis mocurebis
Sedegad. radgan wris nawilebis farTobi da perimetri,
romelic moTavsebulia maT Soris, rCebian ucvlelni.
rogorc Cans wris saZiebeli nawili yovelTvis
erTaderTia. yvela es daskvnebi advilad mtkicdeba, Tu
ganvixilavT didi radiusis wris, CavxazavT masSi a da
b qordebs, Semdeg TandaTanobiT SevamcirebT mis
diametrs a da b qordebis udides monakveTamde.
amave dros mxedvelobaSi unda viqonioT is, rom a
da b qordebiT mocemuli wridan SeiZleba gamovyoT
wris ori sruliad sxvadasxva nawili, mis SigniT da
gareT mdebare c centrebiT.
28
bolo Teorema davamtkicoT im SemTxvevisaTvis,
roca mocemulia ara ori, aramed meti raodenobis
monakveTebi naaa ,,, 21 da p perimetri (an S farTobi).
am SemTxvevaSic yvelaze met farTobs (an yvelaze
nakleb perimetrs) flobs wris is nawili, romelic
moTavsebulia mocemuli monakveTebze – rogorc qordebs
Soris da aqvs mocemuli perimetri (an mocemuli
farTobi).
Cven SegviZlia davamtkicoT Teoremis is nawili,
roca mocemuli perimetri monakveTebis jamis tolia
naaap +++= 21 .
ise, rom monakveTebis daboloebaTa SeerTebis Sedegad
miRebuli wrfis sigrZe daiyvaneba nulamde da mTeli
figura gardaiqmneba naaa ,,, 21 gverdebis mqone
mravalkuTxedebad.
9. Teorema mravalkuTxedebis farTobis
Sesaxeb
Teorema: ,,, cba gverdebiani mravalkuTxedebidan
yvelaze didi farTobi aqvs imas, romelzedac SeiZleba
SemovxazoT wrewiri.
29
damtkiceba: warmovidginoT c wrewirSi Caxazuli
naaa ,,, 21 gverdebiani K mravalkuTxedi, xolo K ′
imave gverdebiani meore mravalkuTxedi. orive mraval-
kuTxedebi igulisxmebian rom arian amozneqilni (nax. 10).
aRvniSnoT σ1-iT a1
qordiT Semofargluli
ori rkalidan is, romelic
ar mdebareobs qordis im
mxares, sadac K mraval-
kuTxedi, naaa ,,, 21
gverdebs mivudgaT orive
K da K ′ mravalkuTxede-
bis σσσ nz aaa ,,, 221 seg-
mentebi. amis Sedegad K gardaiqmneba C wrewirad, xolo
K ′ romeliRac F figurad, romlis perimetri C
wrewiris garSemowerilobis tolia.
amrigad C wrewiri metia F figuraze. movacilebT
ra segmentebs, miviRebT, rom Caxazuli K mravalkuT-
xedi metia K ′ mravalkuTxedze.
SeniSvna: vaCvenoT, rom yovelTvis arsebobs rome-
nax. 10
A1
A0
A′n
A′3
An
A3
A2 A′2 A
30
liRac wrewirSi Caxazuli mravalkuTxedi mocemuli
naaa ,,, 21 gverdebiT, Tu yoveli gverdi naklebia
danarCeni gverdebis jamze.
aviRoT didi R radiusiani didi wrewiri da misi
nebismieri A wertilidan gavataroT yvelaze didi
gverdis toli AA1 rogorc qorda (nax. 10). davuSvaT
es aris a1 gverdi. imave A wertilidan orive mxares
gavataroT yvela danarCeni naaa ,,, 32 rogorc qor-
debi nn AAAAAA 1322 ,,; − da nn AAAAAA ′′′′′ −1322 ,,, .
Tu R sakmaod didia, es ori mwkrivi qordebisa ar
gadakveTen erTmaneTs, amasTanave AAn da nAA ′ simetriu-
lad ganlagdebian wrewiris centris mimarT.
garda amisa sakmaod didi R-is SemTxvevaSi qordebis
erTi rigi mag. I, romelic mimarTulia A-dan A1-saken
gadakveTis AA1 qordas. ase wertili An ganlagdeba A1
wertilis iqeT (radganac pirobis Tanaxad naaaa 321 +< ).
qordebis meore rigi ki ar miaRwevs AA1 qordas.
Tu R-s SevamcirebT wrewiris garSemoweriloba
Semcirdeba. rkalebis sigrZe qordebis daWimvis Sedegad
gaizrdeba. (mcire radiusis mqone rkali gadafaravs
31
didi radiusis mqone rkals erTi da imave qordis
pirobebSi). amrigad, An nA′ wertilebs Soris mdebare
rkali (romelic ar Seicavs A wertils) iwyebs
TandaTanobiT Semcirebas, amave dros AA1 qorda iwyebs
centrTan miaxlovebas, xolo A1 wertili miuax-
lovdeba A0 wertils, A wertilis mimarT diametriulad
sawinaaRmdego mxares A0 wertili yofs nn AA ′ rkals
Suaze, romelic TandaTan xdeba patara, amis Semdeg An
da nA′ wertilebi miiswrafian A0-saken R-is Semdgomi
Semcirebisas (vidre amis gakeTeba SeiZleba, e.i. vidre
)2 1aR > wertilebi An da nA′ agrZeleben gadaadgi-
lebas pirvandeli mimarTulebiT, radgan nAAA2 da
nAAA ′′2 rkalebi iqnebian naxevar wrewirze.
Tu An da nA′ wertilebi gaivlian A0-ze adre,
vidre A1 wertili miaRwevs A0-s, maSin R-is Semdgomi
Semcirebisas A1 da nA′ aucileblad Sexvdebian erTma-
neTs an SeiZleba miiswrafodnen Sesaxvedrad.
Tu A1 miva A0-Tan adre, vidre An, maSib iqneba
iseTi momenti, rom A1 daemTxveva An-s (e.i. iarsebebs
aseTi R sidide).
32
bolos SeiZleba adgili hqondes mesame SemTxvevas,
rodesac nn AAA ′,,,1 erTdroulad miaRweven A0-s.
Cven vxedavT, rom yvela sam SemTxvevaSi erTaderTi
SesaZlebloba arsebobs, gvqondes R sidide, roca A1
emTxveva an nA′ an An-s anda erTdroulad orive
wertils. am damTxvevebs Seesabameba wrewirSi Caxazuli
Sekruli naaa ,,, 21 gverdebis mqone mravalkuTxedebi.
amrigad, saZiebeli Caxazuli naaa ,,, 21 gverdebiani
mravalkuTxedi arsebobs.
aRsaniSnavia, rom aseTi mravalkuTxedebi ar
SeiZleba iyos erTze meti.
davuSvaT K1 da K2 Caxazuli mravalkuTxedebia
naaa ,,, 21 gverdebi. ganvixiloT, an K1 an K2 rogorc
wrewiris nawili. bolo Teoremis mtkicebebis Sesaba-
misad – erTi mxriv 21 KK > , meore mxriv 12 KK > .
Tu K1 da K2 Caxazulia sxvadasxva wrewirSi.
aseTi Sedegis absurduloba gviCvenebs, rom K1 da K2
Caxazulebi unda iyvnen erTi da imave wrewirSi. aseTi
mravalkuTxedebi kongruentulebi an simetriulebi
arian. SevniSnavT. rom Caxazuli mravalkuTxedebis
33
gverdebis SenacvlebiT, Cven ver SevcliT mis verc
perimetrs da verc farTobs.
10. lema ori samkuTxedis Sesaxeb
lema: `Tu ori samkuTxedis fuZe da perimetri
Sesabamisad tolia, maSin im samkuTxedis gverdebis
sxvaobaa meti, romlis fuZesTan mdebare kuTxeebis
sxvaobac metia. Tu am samkuTxedebidan erTi tolferdaa,
xolo meores aqvs sxvadasxva sigrZis gverdebi da
kuTxeebi, maSin sxvaoba nulis tolia.
aRniSnuli lema davamtkicoT saerTo fuZis mqone
or ara tol ferdebian ACB da ADB samkuTxede-
bisaTvis ise, rom maTi wveroebi mdebareobdes fuZis
Sua wertilidan aRmarTuli marTobis erTY mxares (nax.
11). imis gamo, rom DBADCBAC +=+ A D wertili
unda mdebareobdes ACB samkuTxedis gareT. Tu βα > ,
maSin y>δ , ise rom ay −>− βδ meore mxriv gverdebi
=+++=+ ECBEEDAEBCAD
BDACEDBEECAE +>+++= )()(
ise rom
.BCACBDAD −>−
34
amrigad, ADB samkuTxedis fuZesTan mdebare
kuTxeebi da gverdebis sxvaoba metia ACB samkuTxedis
Sesabamis sidideebTan SedarebiT.
rogorc naxazidan Cans, yvelaze didi δ kuTxe da
yvelaze patara β kuTxe saerTo fuZis pirobebSi, oTxi
kuTxidan ekuTvnis ADB samkuTxeds. aRniSnuli Δ-is
farTobi naklebia ΔACB-s farTobze.
amrigad, toli fuZisa da perimetris SemTxvevaSi
im samkuTxedis farTobia naklebi, romlis gverdebis
sxvaobac metia.
11. Teorema toli perimetrebis mqone
wesieri mravalkuTxedebis Sesaxeb
Teorema. yvela izoperimetrul n kuTxedebidan
didi farTobi gaaCnia wesier n kuTxeds (aRniSnuli
A
C
Bβ
α
D
γ
δ
nax. 11
35
Teorema Cvens mier damtkicebulia samkuTxedebis,
oTxkuTxedebisa da wrewirSi Caxazul n kuTxedebisa-
Tvis).
SegviZlia davamtkicoT, rom nebismieri n kuTxedi
naklebia romelime izoperimetrul tolgverdebian n
kuTxedze. CvenTvis cnobili Teoremis Tanaxmad, tol-
gverda wesieri n kuTxedi naklebia, aseTive gverdebian
wrewirSi Caxazul n kuTxedze.
vTqvaT, mocemulia abcde gverdebiani ABCDE n
kuTxa mravalkuTxedi. saWiroa davamtkicoT rom aRniS-
nuli mravalkuTxedi naklebia σ tolgverdebian izope-
rimetrul mravalkuTxedze (nax. 12).
sadac n
edcba ++++=σ SevniSnavT, rom amozne-
qili mravalkuTxedis nebismier mezobel gverdebs
SeiZleba SevucvaloT adgilebi, ise rom ar Seicvalos
mravalkuTxedis perimetri da farTobi. marTlac, Tu
ΔABC-s SemovabrunebT AC gverdis Suawertilis marTobis
irgvliv, a da b gverdebi Seicvlian adgilebs, xolo
samkuTxedis da Sesabamisad mravalkuTxedis farTobi
darCeba ucvleli.
36
vsargeblobT, ra am TvisebiT, SegviZlia mravalkuT-
xedis gverdebi ganvalagoT CvenTvis sasurveli wesiT
da amave dros SevunarCunoTYmas farTobic da perimetric.
im SemTxvevaSi Tu ABCDE mravalkuTxedis yvela
gverdi ar aris erTmaneTis toli, maSin maT Soris
unda iyos erTi gverdi mainc, romelic metia yvela
gverdis saSualo ariTmetikul σ-ze da Tundac erTi
gverdi, romelic σ-ze naklebi iqneba.
es gverdebi SeiZleba ganvalagoT gverdigverd.
davuSvaT es gverdebia a da b (nax. 13).
ba <>σ .
ΔABC romelic Seicavs am gverdebs, SevcvaloT
−′Δ CBA Ti, romlis gverdTa jami igivea. xolo
σ=′BA . imis gamo, rom
b
B′ B
A
a a
C
e
E d
b
D
e
nax. 12
37
BCABCBBA +=′+′
BCBAAB >′>
maSin bBCCB =>′
aABCB =<′
e.i. bCBa >′> .
amrigad BA ′ da CB′ gverdebis sigrZe moTavsebu-
lia a da b gverdebs Soris, amitom
baCBBA −<′−′ .
bolo lemis safuZvelze davadgenT, rom
−Δ>′Δ ABCCBA ze
amrigad, CDEBA ′ mravalkuTxedi erTnairi peri-
metrebis dros aqvs didi farTobi, vidre ABCDE-s.
amasTanave misi erTi AB′ gverdi σ-s tolia.
SeiZleba moxdes ise, rom σ=′CB Tu amas ar aqvs
A
B′ B
σ a b
C
cd
DE
nax. 13
38
adgili, e.i. CB′ gverdi σ<> maSin es gverdi SeiZleba
movaTavsoT im gverdTan erTad, romelic σ<> da naCve-
nebi meTodis mixedviT SevcvaloT erT-erTi romelime
maTgani σ toli gverdiT. amave dros mravalkuTxedis
perimetri darCeba ucvleli, xolo farTobi gaizrdeba.
Tu gavagrZelebT amgvar moqmedebebs Cven miviRebT
mravalkuTxeds, romlis yvela gverdi iqneba σ-s
tolis. aseTi toli gverdebis mqone mravalkuTxeds
toli perimetris SemTxvevaSi eqneba didi farTobi
ABCDE mravalkuTxedTan SedarebiT.
12. Teorema toli perimetrebis mqone
wesieri mravalkuTxedis Sesaxeb
wesieri mravalkuTxedebis Sesadareblad n da
kn + gverdebis mqone mravalkuTxedebisTvis marTebulia
Semdegi Teorema. toli perimetrebis pirobebSi n
gverdebiani wesieri mravalkuTxedi naklebia n+1
gverdebian wesier mravalkuTxedze.
amis dasamtkiceblad ABCDEF wesieri mravalkuT-
xedis BC gverdze aviRoT O wertili da SevaerToT
mopirdapire A wverosTan (nax. 14).
39
imis gamo, rom BCAB = , −> BOAB ze. aqedan
ΔABO mcirea tolferdebian ΔAB′O-ze. romlis fuZe
AO da perimetri erTi da igivea. ise rom, ABCDEF
mravalkuTxedis n-kuTxedi mcirea AB′CDEF mravalkuT-
xedis (n+1) kuTxedze.
amrigad, Tanabari perimetrebis mqone tolgverde-
biani samkuTxedi kvadratze mcirea, es ki mcirea wesier
xuTkuTxedze, wesier eqvskuTxedze da a.S.
ganvixilavT ra wrewirs, rogor usasrulo gver-
debian wesier mravalkuTxeds, davaskvniT, rom wrewiris
sigrZe yovelTvis metia masSi Caxazul nebismier wesier
E
F
A
B′ B
O
C
D
nax. 14
40
mravalkuTxedze, romlis perimetri misi garSemoweri-
lobis tolia.
rogorc wrewiris ganxiluli Teoremidan viciT –
wrewiri metia yovelgvari sxva brtyeli izoperimet-
rul figuraze, kerZod didia yvela wesier izoperimet-
rul mravalkuTxedze. amrigad vRebulobT logikur
wrewirs.
amasTanave bolo Sedegebamde SegviZlia mivideT
wrewiris Sesaxeb Teoriis gareSec, Tu warmovidgenT,
mocemul perimetriani yvelaze n kuTxeTa Soris
arsebobs yvelaze didi. aqedan SegviZlia advilad
davamtkicoT CvenTvis saWiro Teorema imis Sesaxeb, rom
erTnairi perimetrebis dros wesieri n kuTxedi metia
yvela arawesier n kuTxedze.
dasamtkiceblad aviRoT arawesieri n kuTxedi
ABCDE da vaCvenoT, rom is ar SeiZleba iyos yvelaze
didi, analogiuri perimetris mqone sxva n kuTxedTan
SedarebiT. Tu ABCDE mravalkuTxeds aqvs aratoli
gverdebi, ise rogorc zemoT iyo naCvenebi. aseTi n
kuTxedi mcirea, aseTive gverdebis mqone nebismieri
izoperimetrul n kuTxedze. aqedan gamomdinare ABCDE
41
n kuTxedi ar SeiZleba iyos didi.
ganvixiloT tolgverdebiani ABCDE arawesieri n
kuTxedi. aRniSnuli mravalkuTxedis kuTxeebi aratolia,
winaaRmdeg SemTxvevaSi is iqneba wesieri.
davuSvaT, BCDABC ∠>∠ (nax. 15) Tu gavagrZe-
lebT AB-s DC-s O wertilSi gadakveTamde, maSin
−∠<∠ OCBOBC ze. aqedan gamomdinare OBOC < -ze.
OBCΔ SemovabrunoTY da davamTxvioT masze ise, rom O
wertili darCes Tavis adgilas, xolo OB da OC
gverdebma Seicvalon adgilebi. samkuTxedi daikavebs
CBO ′′ mdebareobas, romlis drosac BCCB ′=′
CBBC ′′= amave dros samkuTxedebi BBC ′ da BCB ′′
erTmaneTis tolia. aqedan gamomdinare DEBCA ′′ n
kuTxeds aqvs iseTive perimetri da farTobi, rogoric
ABCDE-s.
exla ki AC′ da BC ′′ gverdebi toli ar aris. ase,
rom BCA ′′ samkuTxedis axali tolferda samkuTxediT
SecvliTYigive AB′ fuZeze da igive perimetriT, Cven
gavzrdiT DEBCA ′′ n kuTxedis farTobs perimetris
Seucvlelad.
42
gamomdinare aqedan arawesieri mravalkuTxedi ar
SeiZleba iyos maqsimaluri im SemTxvevaSic ki, rodesac
misi gverdebi erTmaneTis tolia.
A
BC′
O
CB′
DE
nax. 15
43
literatura
1. Д.А. Крыжановский. О максимальных и минимальных
свойствах плоских фигур. Одесса, 1913.
2. Погорелов. Элементарная геометрия. Москва. 1972.
3. v. klopski, z, skopeci, m. iagodovski. geometria.
`ganaTleba~. Tbilisi, 1979.
4. teqnikuri terminologia. `mecnierebaTa akademiis
gamomcemloba~. Tbilisi, 1957.
44
Sinaarsi
Sesavali ............................................................................................. 3
1. i. Steineris Teoremebi .............................................. 5
2. Teorema izoperimetruli
samkuTxedebis Sesaxeb .............................................. 10
3. Teorema izoperimetruli
samkuTxedebis Sesaxeb ............................................... 15
4. Sebrunebuli Teorema umciresi
perimetris mqone figurebis
Sesaxeb ............................................................................................. 17
5. Sebrunebuli Teorema erTnairi
farTis mqone figurebis Sesaxeb ................ 19
6. Teorema naxevarwris farTobis
Sesaxeb .............................................................................................. 21
7. Teorema wris segmentis farTobis
Sesaxeb .............................................................................................. 23
8. Teorema figurebis udidesi farTobisa
da umciresi perimetris Sesaxeb .................... 25
9. Teorema mravalkuTxedebis farTobis
Sesaxeb .............................................................................................. 28
10. lema ori samkuTxedis Sesaxeb ........................ 33
11. Teorema toli perimetrebis mqone
wesieri mravalkuTxedebis Sesaxeb ........... 34
12. Teorema toli perimetrebis mqone
wesieri mravalkuTxedis Sesaxeb ................. 38
literatura ..................................................................................... 43
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gadaeca warmoebas 26.03.2009. xelmowerilia dasabeWdad
14.04.2009. qaRaldis zoma 60X84 1/16. pirobiTi nabeWdi Tabaxi 2,5.
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