Unidad 3

espacios vectoriales

Objetivos:

Al inalizar la unidad, el alumno:

• Describirá las características de un espacio vectorial.• Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. • Ejempliicará los conceptos de espacio y subespacio vectorial.• Identiicará las características de los vectores linealmente independientes y linealmente dependientes.

• Construirá el wronskiano.

Álgebralineal

105

Introducción

El estudio de vectores comenzó con el trabajo del gran matemático irlandés

sir William Hamilton (1805–1865). Aunque en su época se consideró que

los vectores no tenían ninguna utilidad, en la actualidad se usan cada vez

más frecuentemente en física clásica y moderna y aun en las ciencias biológicas

y sociales1.

En la unidad 1 se manejó a los vectores como un conjunto ordenado o n – ada

de números reales, y como matrices de orden 1×n, ejemplos de ellos son los puntos

del plano cartesiano R2 y del espacio R3.

Para muchas aplicaciones físicas (incluyendo nociones de fuerza, velocidad,

aceleración y momento) es importante pensar en el vector no como un punto

sino como una entidad que tiene “longitud” y “dirección”.. Es decir, vamos a

representar los vectores (x,y) de R2 como una flecha que parte del origen y que

termina en el punto (x,y).

Figura 3.1.

A lo largo de esta unidad definiremos espacios vectoriales cuyos

elementos no sean “flechas” sino objetos más abstractos; sin embargo, siempre

regresaremos a R2 como ejemplo con el fin de “visualizar” los conceptos,

propiedades o resultados.

3.1. Definición de espacio vectorial

La notación de los vectores será con letras minúsculas en negritas y la de

los escalares reales con letras minúsculas.

La siguiente definición nos permite tener una generalización de espacios

vectoriales donde los objetos no necesariamente son n–eadas de puntos de Rn.

1Véase el libro de Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972.

106

Unidad 3

Definición 3.1. Sea V un conjunto de objetos, junto con dos operaciones

llamadas suma y multiplicación por un escalar. Entonces V se llama espacio

vectorial real si se satisfacen los siguientes axiomas:

i) Si x ∈V y y ∈ V entonces la suma x + y ∈V. (Cerradura bajo la suma.)ii) Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z). (Ley asociativa de la suma.)

iii) Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈V, x + 0 = 0 + x = x. (El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo.)

iv) Si x ∈V existe un vector –x en V tal que x + (–x) = 0 (–x se llama inverso aditivo de x.)v) Si x y y están en V, entonces x + y = y + x. (Ley conmutativa de la suma de vectores.)

vi) Si x ∈V y α es un escalar, entonces α x ∈V. (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar.)vii) Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy (Primera ley distributiva.)

viii) Si x ∈V y α y β son escalares, entonces (α+β) x = αx + βx (Segunda ley distributiva.)

ix) Si x∈V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x (Ley asociativa de la multiplicación por escalares.)

x) Para cada vector x ∈V, 1x = x.

3.2. Ejemplos de espacios vectoriales

Vamos a considerar en este apartado diversas clases de ejemplos de

conjuntos que son espacios vectoriales y otros que no lo son:

1. Consideremos los vectores en el plano cartesiano R2. Vamos a probar que

R2 es un espacio vectorial:

Tomando los vectores a = (x1, y

1) y b = (x

2, y

2), entonces definimos la suma

de a y b como a + b = (x1, y

1) + (x

2, y

2) = (x

1 + x

2, y

1 + y

2) ∈ R2 y por lo

tanto satisface i). Los puntos ii) hasta el x) se obtienen de la definición de suma

de matrices, ya que los puntos de R2 se consideran matrices de 1×2. Podemos

generalizar este resultado a las n–adas reales (x1, x

2,…, x

n) de Rn.

2. Sea V = {0}. Es decir, V consiste sólo del número 0. Vamos a demostrar

que V es un espacio vectorial que recibe el nombre de espacio vectorial

trivial.

Álgebralineal

107

i) Como 0 + 0 = 0 ∈ V

ii) (0 + 0) + 0 = 0 = 0 + (0 + 0)

iii) 0 + 0 = 0

iv) 0 + (–0) = 0

v) 0 + 0 = 0 + 0

vi) α0=0∈ V

vii) α(0+0)=0=α0+α0viii) (α+β)0=0=α0+β0ix) α(β0)=α0=0=(αβ)0x) 1(0) = 0

Por lo tanto, V es un espacio vectorial.

3. Sea V = {1}. Tal que los elementos de V pertenecen a los naturales.

Este no es un espacio vectorial ya que 1 + 1 = 2 ∉ V, es decir no es cerrado

bajo la suma.

4. El conjunto de puntos de R2 que están en una recta que pasa por el

origen.

Sea V = {(x,y) ∈ R2, tales que y = mx, donde m es un número real fijo}.

Sean x = (x1, y

1) y y = (x

2, y

2) en V. Entonces y

1 = mx

1 y y

2 = mx

2 y

podemos escribir a x y y como sigue: x = (x1, mx

1) y y = (x

2, mx

2)

i) x + y = (x1, mx

1) + (x

2, mx

2) = (x

1 + x

2, mx

1 + mx

2); si factorizamos el

segundo término obtenemos mx1 + mx

2 = m(x

1 + x

2), entonces x + y =

(x1 + x

2, m[x

1 + x

2]) que es un elemento de V.

iv) Supón que x = (x, y) está en V, entonces y = mx. Definimos –x = (–x, –y)

de donde obtenemos que –y = –(mx) = m(–x). Por lo tanto –x está en V.

De igual manera se prueban todas las demás propiedades ya que R2 es un

espacio vectorial.

5. El conjunto de puntos de R2 que están en una recta que no pasa por el

origen no es un espacio vectorial.

Sea V = {(x,y) ∈ R2, tales que y = mx + b, donde m y b son números reales

fijos}.

108

Unidad 3

Si x = (x1, y

1) y y = (x

2, y

2) en V, entonces y

1 = mx

1 + b y y

2 = mx

2 + b, de

donde x + y = (x1, mx

1 + b) + (x

2, mx

2 + b) = (x

1 + x

2, mx

1 + b + mx

2 + b) , pero

mx1 + b + mx

2 + b = m(x

1 + x

2) + 2b, y por lo tanto este elemento no está en V,

es decir V no es cerrado bajo la suma.

6. Sea Mm×n

el conjunto de matrices de m×n con entradas en R.

Por las propiedades de las matrices de suma y producto por un escalar es

claro que el conjunto Mm×n

es un espacio vectorial.

7. El conjunto Pn, formado por polinomios de coeficientes reales de grado

menor o igual a n.

Si p ∈ Pn, entonces p = a

nxn + a

n–1xn–1 + …+ a

1x + a

0 donde todas las a

i son

reales.

Si p y q ∈ Pn, donde q = b

nxn + b

n–1xn–1 + …+ b

1x + b

0 entonces, p + q =

(an + b

n)x

n + (a

n–1 + b

n–1) xn–1 + … (a

1 + b

1)

x + (a

0 + b

0) ∈ P

n.

Las propiedades ii) y v) a x) son consecuencia de la suma y producto de

polinomios.

iii) Definimos el polinomio 0 = 0xn + 0xn–1 + … + 0x + 0 ∈Pn

iv) Definimos el polinomio –p = –anxn– a

n–1xn–1– …– a

1x – a

0 ∈ P

n

Por lo que podemos concluir que Pn es un espacio vectorial.

8. Sea C [0,1] el conjunto de todas las funciones continuas de valores reales

definidas en el intervalo [0,1].

Si f y g ∈ C [0,1] definimos ( f + g) (x) = f(x) + g(x) y (αf ) (x) = α[ f(x)].

Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma i) se cumple;

los otros axiomas se cumplen si definimos las funciones cero como 0(x) = 0; y

(–f )(x) = –[ f(x)]. Por lo que C [0,1] es un espacio vectorial.

9. Sea H el conjunto de las matrices de 2×2 de la forma 0

0 0

α

donde α≠0.

Consideremos las matrices A = 0 1

0 0

y B =

0 1

0 0

−

tenemos que A, B≠ 0

y sin embargo A+B = 0 1

0 0

0 1

0 0

0 0

0 0

+

−

=

. Como la matriz cero

0 0

0 0

no está en H, podemos asegurar que H no es un espacio vectorial.

Álgebralineal

109

10. Sea F el conjunto de matrices de 2×2 definida como 0

0 0

α

y sean α

y β escalares. Hagamos un primer caso, en el cual tenemos una matriz 0 5

0 0

de la cual α=5 y sea β =2, tenemos que al efectuar el producto del escalar

por la matriz se tiene que: ( )20 5

0 0

0 10

0 0

=

, esta matriz es un espacio

vectorial de F, ya que se define para cualquier matriz de 2 × 2.

Un segundo caso es que tenemos una matriz de la forma 0 0

0 0

y β=6 un

escalar, que al efectuar el producto del escalar por la matriz tenemos: 0 0

0 0

que es la matriz cero, que también es un espacio vectorial de F.

Un tercer caso es que se tiene la matriz 0 2

0 0

y un escalar α=0, de

igual manera al efectuar el producto de este escalar por la matriz tenemos

( )00 2

0 0

0 0

0 0

=

, de lo que se observa que se obtiene la matriz cero, que es

un espacio vectorial de F.

De los ejemplos anteriores se puede ver demostrado el siguiente teorema.

Teorema 3.1. Sea V un espacio vectorial. Entonces:

i) α 0 = 0 para todo escalar αii) 0 x = 0 para todo x en V

iii) Si αx = 0, entonces α = 0 o x = 0 (o ambos)

iv) (–1)x = –x para todo x en V.

110

Unidad 3

Ejercicio 1

Menciona si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales. En caso

de no serlo menciona cuál de las propiedades es la que no se cumple:

1. El conjunto de puntos de R2 de la forma {(x,y) ∈ R2, tales que y = –3x}

2. El conjunto de puntos de R2 de la forma {(x,y) ∈ R2, tales que y = –3x + 2}

3. Los puntos de R2 que se encuentran en el primer cuadrante, es decir {(x,y) ∈R2, tales que x ≥0, y ≥ 0}.

4. El conjunto de matrices de orden 2×2 que tienen la forma 0

0

a

b

, a, b

escalares.

5. R2 con la suma definida por (x1, y

1) + (x

2, y

2) = (x

1 + x

2 + 1, y

1 + y

2 + 1),

y la multiplicación por escalar ordinaria.

6. El conjunto de vectores (x, y, z) en R3 donde 2x – y – 12z = 0.

3.3. Subespacios vectoriales

En la sección anterior se vio que tanto R2 como un subconjunto de R2 son

espacios vectoriales, como ejemplo sea V = {(x, y) tales que y = mx}; ve los

ejemplos 1 y 4 sección 3.2. Es evidente que V∈R2, y por lo tanto el espacio

vectorial R2 tiene un subconjunto que también es espacio vectorial.

Definición 3.2. Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V.

Entonces H se llama subespacio vectorial de V si H es un espacio vectorial

bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas en V.

Se puede decir que un subespacio vectorial H hereda las operaciones del

espacio vectorial V. De donde se desprende el siguiente teorema:

Teorema 3.2. Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un

subespacio vectorial de V si se cumplen las propiedades de cerradura:

i) Si x ∈ H y y ∈ H, entonces x + y ∈ H.

ii) Si x ∈ H , entonces αx ∈ H para todo escalar α.

Álgebralineal

111

Notas:

1. Este teorema nos dice que basta probar que la suma de elementos de H y

el producto por un escalar están en H para que H sea un subespacio vectorial.

2. Se encuentra contemplado en el resultado anterior que “Todo subespacio

de un espacio vectorial contiene a 0”.

Ejemplo 1

a) Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto H = {0} es un

subespacio vectorial llamado subespacio trivial.

i) 0 + 0 = 0 H

ii)α0 = 0 H

Por lo tanto H = {0} es subespacio vectorial de V.

b) Sea V cualquier espacio vectorial, entonces V es un subespacio de sí

mismo.

c) Sea H = {(x, y, z) ∈ R3 tales que x = at, y = bt, z = ct }, entonces H es un

subconjunto de R3.

i) Sean x = (x1, y

1, z

1) y y = (x

2, y

2, z

2) ∈ H, entonces

x1 = at

1, y

1 = bt

1, z

1 = ct

1 y x

2 = at

2, y

2 = bt

2, z

2 = ct

2

x + y = (x1 + x

2, y

1 + y

2, z

1 + z

2), de donde tenemos que:

x1 + x

2 = at

1 + at

2 = a(t

1 + t

2)

y1 + y

2 = bt

1 + bt

2 = b(t

1 + t

2)

z1 + z

2 = ct

1 + ct

2 = c(t

1 + t

2) y por lo tanto x + y ∈ H

ii) Sea x = (x1, y

1, z

1)∈H y α un escalar, entonces x

1 = at

1, y

1 = bt

1, z

1 = ct

1

αx = α(x1, y

1, z

1) = (αx

1, αy

1, αz

1) de donde tenemos que:

αx1 = α(at

1) = a(αt

1); αy

1 = α(bt

1) = b(αt

1); αz

1 = α(ct

1) = c(αt

1)

y por tanto, αx ∈ H

112

Unidad 3

iii) 0 = (0, 0, 0) ∈ H ya que 0 = 0t.

Por lo tanto podemos asegurar que H es un subespacio vectorial de R3.

d) Consideremos el espacio vectorial Mn×n

y sea H = {A ∈ Mn×n

A es

invertible}.

(Recordemos que una matriz es invertible si su determinante es distinto de

cero).

Consideremos la matriz cero de Mn×n

, como su determinante es cero no

es invertible, por lo tanto la matriz cero no está en H y en consecuencia H

no es subespacio vectorial de Mn×n

e) Sea H = {(x, y, z) ∈ R3 tales que z = 1} es un subconjunto de R3.

i) Sean x = (x1, y

1, z

1) y y = (x

2, y

2, z

2) ∈H, entonces z

1 = z

2 = 1

x + y = (x1 + x

2, y

1 + y

2, z

1 + z

2) de donde tenemos que:

z1 + z

2 = 1 + 1 = 2 y por lo tanto, x + y ∉ H y H no es subespacio vectorial.

El siguiente teorema nos dice que podemos intersectar espacios vectoriales

para obtener otros subespacios vectoriales.

Teorema 3.3. Si H1 y H

2 son subespacios vectoriales de V.

Entonces H1 ∩ H

2 es un subespacio vectorial de V.

Ejemplo 2

Sean H1 = {(x, y) ∈ R2, tales que 2x – y = 0} y

H2 = {(x, y) ∈ R2, tales que x + 2y = 0} subespacios vectoriales de R2

entonces, por el teorema anterior

H1 ∩ H

2 = {(x, y) ∈ R2, tales que 2x – y = 0 y x + 2y = 0} es un subespacio

vectorial de R2, por lo tanto H1 ∩ H

2 = {(0,0)} es subespacio vectorial.

Álgebralineal

113

Ejercicio 2

Determina en cada caso si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es

un subespacio vectorial de V.

1. V = R2: H = {(x, y) tales que x = y}.

2. V = R2: H = {(x, y) tales que x2 + y2 ≤ 1}.

3. V = Mn×n

: H = {A ∈ Mn×n

donde A es triangular superior}.

4. V = M2×2

: H = A M Aa b

b c∈ = −

×2 2 tal que

.

3.4. Combinación lineal y vectores generadores

de un espacio vectorial

En esta sección veremos cuándo un conjunto de vectores puede generar

un espacio vectorial. Para esto necesitaremos los conceptos de combinación

lineal, conjunto que genera y espacio generado.

Definición 3.3. Sean v1, v

2, ... ,v

n vectores en un espacio vectorial V.

Entonces cualquier vector de la forma v=a1v

1 + a

2v

2 + ... + a

nv

n

donde a1, a

2, ..., a

n son escalares, se llama combinación lineal de v

1, v

2, ..., v

n.

Ejemplo 3

a) Consideremos los siguientes vectores en R2, (1, 0) y (0, 1), entonces

cualquier vector de R2 se puede escribir como combinación lineal de (1, 0) y (0, 1)

ya que

(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1).

b) En R3, (–7, 7, 7) es una combinación lineal de (–1, 2, 4) y (5, –3, 1) ya

que (–7, 7, 7) = 2(–1, 2, 4) – (5, –3, 1).

114

Unidad 3

c) Consideremos en M2×3

−−

=

−

+

−− −

3 2 8

1 9 33

1 0 4

1 1 52

0 1 2

2 3 6

por

lo que −−

3 2 8

1 9 3 es una combinación lineal de

−

1 0 4

1 1 5 y

0 1 2

2 3 6

−− −

.

d) Cualquier polinomio de Pn (polinomios de grado menor o igual a n) se

puede escribir como combinación lineal de los polinomios: 1, x, x2, x3, ... xn–1, xn.

Definición 3.4. Un conjunto de vectores {v1, v

2, ..., v

n} de V generan a V si

todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de ellos. Es decir, si

para todo v en V existen a1, a

2, ..., a

n, escalares de modo que v = a

1v

1 + a

2v

2

+ ... + anv

n.

Ejemplo 4

a) En el ejemplo 3a) de la definición 3.3. vimos que cualquier vector de R2

podía escribirse como combinación lineal de los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1)

de R2 ; por lo tanto podemos decir que {i, j} generan a R2.

b) De igual manera podría probarse que los vectores de R3:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) generan a todo R3.

c) Consideremos a b

c d

en M

2×2, entonces:

a b

c da b c d

=

+

+

+

1 0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1 por lo que podemos

decir que las matrices 1 0

0 0

,

0 1

0 0

,

0 0

1 0

y

0 0

0 1

generan a M

2×2.

d) Los polinomios 1, x, x2, x3, ... xn–1, xn generan a Pn (véase ejemplo 3

inciso d).

e) El conjunto de vectores de R2 H = {(1, 1), (–3, –3)} no puede generar a R2.

Álgebralineal

115

Considera el vector (1, 0) de R2, si H generara a R2, entonces existirían a y b

escalares de modo que (1, 0) = a(1, 1) + b(–3, –3) de donde tenemos el siguiente

sistema de ecuaciones:

a – 3b = 1 y a – 3b = 0 pero el sistema no tiene solución, por lo tanto

H no genera a R2.

f) Consideremos el conjunto H = {(2, 3), (1, –2)}. Vamos a ver si H genera a R2.

Sea (x, y) en R2, si H generara a R2, existirían a y b de modo que (x, y) =

a(2, 3) + b(1, –2), de donde obtenemos el sistema de ecuaciones:

2a + b = x, 3a – 2b = y

resolviendo el sistema obtenemos que ax y

bx y= + = −2

7

3 2

7, , de donde

podemos asegurar que H sí genera a R2.

De acuerdo con los ejemplos anteriores, no podemos suponer que cualquier

conjunto de vectores genera a todo el espacio vectorial. La siguiente definición

nos aclara este asunto:

Definición 3.5. Sean {v1, v

2, ..., v

k} k vectores de un espacio vectorial V.

Denotado por gen {v1, v

2, ..., v

k}, el espacio generado por {v

1, v

2, ..., v

k} es el

conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v

2, ..., v

k, es decir,

gen {v1, v

2, ..., v

k} = {v ∈ V tales que v = a

1v

1 + a

2v

2 + ... + a

kv

k}

Aquí surge una pregunta: ¿el espacio generado por un conjunto de vectores

es un espacio vectorial? El siguiente teorema contesta esa pregunta.

Teorema 3.4. Si v1, v

2, ..., v

k son k vectores de un espacio vectorial V,

entonces

gen {v1, v

2, ..., v

k} es un subespacio vectorial de V.

Ejemplo 5

a) Sean v1 = (2, –1, 4) y v

2 = (4, 1, 6) elementos de R3 .

Sea H = gen {v1, v

2} = {a

1v

1 + a

2v

2} se tiene que si (x, y, z) está en H, entonces

116

Unidad 3

(x, y, z) = a1v

1 + a

2v

2 = a

1(2, –1, 4) + a

2(4, 1, 6) = (2a

1 + 4a

2, –a

1 + a

2, 4a

1 + 6a

2)

de donde obtenemos x = 2a1 + 4a

2, y = –a

1 + a

2 ,

z = 4a

1 + 6a

2 para algunas

a1 y a

2.

Usaremos el teorema 3.2 para probar que H es un subespacio vectorial de R3.

i) Sean x = (x1, y

1, z

1) y y = (x

2, y

2, z

2) elementos de H, entonces existen

a1, a

2, b

1 y b

2 tales que x

1 = 2a

1 + 4a

2 , y

1 = –a

1 + a

2, z

1 = 4a

1 + 6a

2 y x

2 = 2b

1

+ 4b2, y

2 = –b

1 + b

2, z

2 = 4b

1 + 6b

2

entonces x + y = (x1 + x

2, y

1 + y

2, z

1 + z

2) de donde,

x1 + x

2 = 2(a

1 + b

1) + 4( a

2 + b

2)

y1 + y

2 = –(a

1 + b

1) + (a

2 + b

2)

z1 + z

2 = 4(a

1 + b

1) + 6(a

2 + b

2)

por lo cual x + y está en H.

ii) Sea αun escalar, entonces αx = α(x1, y

1, z

1) = (αx

1, αy

1, αz

1) de donde

αx1 = α(2a

1 + 4a

2 ) = 2αa1

+ 4αa2 αy1 = α(–a

1 + a

2 ) = –αa

1 + αa

2 αz1 = α(4a

1 + 6a

2) = 4αa1 + 6αa2

por lo cual αx está en H.

Por lo tanto, H es un subespacio vectorial de R3.

El siguiente teorema nos indica que si agregamos un vector a un conjunto

generador, el conjunto que resulta también es generador del mismo espacio

vectorial.

Teorema 3.5. Sean {v1, v

2, ..., v

n, v

n+1} vectores de un espacio vectorial V.

Si {v1, v

2, ..., v

n} genera a V, entonces {v

1, v

2, ..., v

n, v

n+1} también genera a V.

Ejemplo 6

Sean v1=(1,0) y v

2=(0,2) elementos de R2.

Álgebralineal

117

Propongamos que sea F el espacio vectorial generado por v1 y v

2 de tal

manera que:

F= gen {v1, v

2} = {αv

1 + βv2} y sean α y β dos escalares, de tal manera que:

x x1 2,( )= ( )+ ( )= + +( )= ( )α β α β α β1 0 0 2 0 0 2 2, , , ,

por lo que x1=α y x

2=2β que pertenecen a R2, entoces v

1 y v

2 generan a F.

Sea v3 = (3,4) tendremos que

x x1 2,( )= ( )+ ( )+ ( )= + + + +( )= + +( )α β γ α γ β γ α γ β γ1 0 0 2 3 4 0 3 0 2 4 3 2 4, , , , ,

de donde x1=α+3γ y x

2=2β+4γ que son elementos de R2 por lo que v

1, v

2

y v3 son vectores que generan a F.

Ejercicio 3

1. Responde si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones:

a) (3, 5) está en el espacio generado por {(1, 1), (2, 4)}.

b) (1, 2, 3) está en el espacio generado por {(2, 0, 4), (–1, 0, 3)}.

c) Si {(1, 2), (2, 3)} genera a R2, entonces {(1, 2), (2, 3), (–2, –3)} también

genera a R2.

2. Determina si los siguientes conjuntos de vectores generan el espacio

vectorial dado:

a) En R2: H = {(1, 2), (3, 4)}.

b) En R2: K = {(1, 1), (2, 2), (5, 5)}.

c) En R3: M = {(1, –1, 2), (1, 1, 2), (0, 0, 1)}.

d) En M2×2

: 1 0

1 0

, 1 2

0 0

,

4 1

3 0

−

, −

2 5

6 0 .

118

Unidad 3

3.5. Vectores linealmente dependientes e

independientes

En la sección anterior vimos cómo un conjunto de vectores podía o no

generar a todo un espacio vectorial. En esta sección veremos qué condiciones

debe cumplir un conjunto de vectores para asegurar que genere un espacio

vectorial; para ello necesitaremos introducir los conceptos de conjunto

linealmente independiente y dependiente.

Definición 3.6. Sean {v1, v

2, ..., v

n} n vectores de un espacio vectorial V.

Entonces se dice que los vectores son linealmente independientes si la única

combinación lineal de ellos igual a cero, es aquella cuyos escalares son cero.

Es decir, si a1v

1 + a

2v

2 + ... + a

nv

n = 0 entonces a

1 = a

2 = a

3 = ... = a

n = 0.

Definición 3.7. Sean {v1, v

2, ..., v

n} n vectores de un espacio vectorial V.

Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existe una

combinación lineal de ellos igual a cero, cuyos escalares no son todos cero.

Es decir existen a1, a

2, a

3,... ,a

n no todas cero tales que a

1v

1 + a

2v

2 + ... + a

nv

n = 0.

Ejemplo 7

a) Consideremos los siguientes vectores en R4. v1 = (2, –1, 0, 3) y v

2 = (–6,

3, 0, –9).

Vamos a tomar una combinación lineal de ellos igual a cero a1v

1 + a

2v

2 = 0.

Entonces a1(2, –1, 0, 3) + a

2(–6, 3, 0, –9) = (0, 0, 0, 0), por lo tanto tenemos

el sistema

2 6 0

3 0

3 9 0

1 2

1 2

1 2

a a

a a

a a

− =− + =

− = que si a

1 = 3 y a

2 = 1 se cumple la igualdad, por lo

tanto v1 y v

2 son linealmente dependientes.

b) Consideremos los vectores en R3. v1 = (1, 2, 4) y v

2 = (2, 5, –3).

Al tomar una combinación lineal igual a cero b1v

1 + b

2v

2 = 0 tenemos que

b1(1, 2, 4) + b

2(2, 5, –3) = (0, 0, 0) de donde obtenemos el sistema

b b

b b

b b

1 2

1 2

1 2

2 0

2 5 0

4 3 0

+ =+ =− =

cuya solución es b1 = b

2 = 0,

Álgebralineal

119

por lo tanto v1 y v

2 son linealmente independientes.

c) Determinar si los vectores de R3 v1 = (1, –3, 0) , v

2 = (3, 0, 4) y v

3 =

(11, –6, 12) son linealmente independientes o dependientes.

Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero,

c1(1, –3, 0) + c

2(3, 0, 4) + c

3(11, –6, 12) = (0, 0, 0), entonces tenemos el

sistema de ecuaciones

c c c

c c

c c

1 2 3

1 3

2 3

3 11 0

3 6 0

4 12 0

+ + =− − =

+ = de donde obtenemos que

c c

c c

1 3

2 3

2 0

3 0

+ =+ =

haciendo c3 = 1 obtenemos c

2 = –3 y c

1 = –2, por lo tanto v

1, v

2 y v

3 son

linealmente dependientes.

¿Cuántos vectores deberá tener un conjunto para ser linealmente

dependiente?

Teorema 3.6. Un conjunto de m vectores en Rn siempre es linealmente

dependiente si m > n.

Ejemplo 8

Consideremos el conjunto H = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,2,3)} de 4 vectores

de R3 y una combinación lineal de ellos igual a cero.

a (1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) + d(1,2,3) = (0,0,0) entonces tenemos que:

a d

b d

c d

+ =+ =+ =

0

2 0

3 0

de donde obtenemos

a d

b d

c d

= −= −= −

2

3

el sistema tiene una infinidad de

soluciones y por lo tanto el conjunto H es linealmente dependiente.

Corolario 3.1. Un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn

contiene a lo más n vectores.

Consideremos ahora un sistema homogéneo (definición 2.2.) de m ecuaciones

con n incógnitas.

120

Unidad 3

a c a c a c

a c a c a c

a c a

n n

n n

m m

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1

0

0

+ + + =+ + + =+

...

...

22 2 0c a cmn n+ + =

y sea la matriz asociada

A=

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

entonces tenemos el siguiente resultado.

Teorema 3.7. Las columnas de A, consideradas como vectores, son

linealmente dependientes si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene

soluciones diferentes de cero.

Ejemplo 9

Considera el sistema homogéneo x x x x

x x x x

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 0

3 7 4 0

+ − + =+ + + = y su matriz

asociada A = 1 2 1 2 0

3 7 1 4 0

−

sus columnas son linealmente dependientes

(4 vectores en R2, teorema 3.6) por lo tanto, el sistema homogéneo tiene más

de una solución no trivial. Vamos a encontrarla: Reduciendo por renglones

obtenemos 1 0 9 6 0

0 1 4 2 0

−−

de donde el sistema asociado es x x x

x x x

1 3 4

2 3 4

9 6 0

4 2 0

− + =+ − =

despejamos x1 y x

2

x x x

x x x

1 3 4

2 3 4

9 6

4 2

= −= − +Se ve que este sistema tiene un número infinito de soluciones que se

pueden escribir como combinación lineal de los vectores columna:

Álgebralineal

121

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x

1

2

3

4

3 4

3 4

3

4

9 6

4 2

=

−− +

= 33 4

9

4

1

0

6

2

0

1

−

+

−

x

. Comprobaremos que

9

4

1

0

−

y

−

6

2

0

1

son soluciones linealmente independientes del sistema original.

Vamos a sustituir cada una de ellas en el sistema original:

9 + 2(–4) – 1 + 2(0) = 9 – 8 – 1 + 0 = 0

–6 + 2(2) – 0 + 2(1) = –6 + 4 + 2 = 0

3(9) + 7(–4) + 1 + 4(0) = 27 – 28 + 1 + 0 = 0

3(–6) + 7(2) + 0 + 4(1) = –18 + 14 + 4 = 0

por lo tanto (9, –4, 1, 0) y (–6, 2, 0, 1) son soluciones del sistema original.

Probaremos ahora que son linealmente independientes:

Tomemos una combinación lineal de ellos igual a cero:

a(9, – 4, 1, 0) + b(–6, 2, 0, 1) = 0

entonces

9 6 0

4 2 0

0

0

a b

a b

a

b

− =− + =

==

de donde a

b

==

0

0

por lo que (9, – 4, 1, 0) y (–6, 2, 0, 1) son linealmente independientes.

De aquí se desprende el siguiente teorema que agrupa varios resultados.

122

Unidad 3

Teorema 3.8. Sea A una matriz de n×n. Entonces las siguientes afirmaciones

son equivalentes:

i) A es invertible.

ii) La única solución al sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial.

iii) El sistema Ax = b tiene una solución única.

iv) A es equivalente a la matriz identidad.

v) det A ≠ 0.

vi) Las columnas de A (y sus renglones) son linealmente independientes.

Como consecuencia de los teoremas 3.5 y 3.6 tenemos el siguiente

resultado que nos será muy útil en la siguiente unidad.

Teorema 3.9. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes

en Rn genera a Rn.

Como consecuencia de los teoremas 3.8 y 3.9 tres vectores en R3 generan a

R3, si y sólo si, su determinante es diferente de cero.

Ejemplo 10

a) Los vectores (2, –1, 4), (1, 0, 2) y (3, –1, 5) generan a R3 ya que su

determinante

2 1 3

1 0 1

4 2 5

− − = 2(2) –1(–5+4) +3(–2) = –1 y por lo tanto son

linealmente independientes.

b) En M2×3

sean A1 =

1 0 2

3 1 1

−

, A

2 =

−

1 1 4

2 3 0 y A

3 =

−

1 0 1

1 2 1

Determinar si A1, A

2 y A

3 son linealmente independientes o dependientes.

Suponga que c1A

1 + c

2A

2 + c

3A

3 = 0,

entonces c c c1 2 3

1 0 2

3 1 1

1 1 4

2 3 0

1 0 1

1 2 1

0

−

+

−

+

−

=

00 0

0 0 0

Álgebralineal

123

de donde c c c c c c c

c c c c c c c c

1 2 3 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 3

2 4

3 2 3 2

0 0 0

0 0

− − + ++ + + + − +

= 00

por lo tanto, la única solución es c1 = c

2 = c

3 = 0 y las matrices son

linealmente independientes.

Ejercicio 4

1. Determina si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o

independiente:

a) {(1, 2), (–1, –3)}

b) {(2, –1, 4), (4, –2, 7)}

c) {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

d) {(–3, 4, 2), (7, –1, 3), (1, 2, 8)}

e) En P2: 1–x, x

f) En M2×2

: 2 1

4 0

−

,

0 3

1 5

−

, 4 1

7 5

−

3.6. El wronskiano

En esta sección estudiaremos un caso especial de espacio vectorial que es

C 1[0,1], el conjunto de funciones con primeras derivadas continuas definidas

en el intervalo [0, 1].

Definición 3.8. Sean dos funciones f x y g x C( ) ( ) [ , ] en 1 0 1 , entonces el

wronskiano W de f y g es el determinante

W( f, g) = det f x g x

f x g x

( ) ( )

( ) ( )' '

= − f x g x g x f x( ) ( ) ( ) ( )' '

donde f x g x' '( ) ( )y son las primeras derivadas de f y g, respectivamente.

El siguiente teorema nos permite caracterizar las funciones de C1[0, 1] que

son linealmente dependientes e independientes.

Teorema 3.10. Sean f(x) y g(x) en C

1[0, 1], entonces f y g son linealmente

dependientes, si y sólo si, W( f, g)(x) = 0 para toda x en [0, 1].

124

Unidad 3

Vamos a demostrar el teorema 3.10.

Consideremos dos funciones f(x) y g(x) en C1[0, 1] linealmente

dependientes, entonces existen c1 y c

2 distintos de cero tales que c

1 f(x) + c

2

g(x) = 0,

de donde f xc

cg x f x

c

cg x( ) ( ) ( ) ( ).= − = −2

1

2

1

y ' '

Por lo tanto

W( f, g)(x) = f(x) g x g x f xc

cg x g x g x

c

cg x' ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − − −

= 2

1

2

1

0

Ejemplo 11

Verifica que f(x) = x3 – x y g(x) = x2 –1 son linealmente independientes.

Entonces f x x'( ) = −3 12 y g x x'( ) = 2 , son las derivadas correspondientes.

El wronskiano W( f, g) = x x x

x x

3 2

2

1

3 1 2

− −− = 2x(x3 – x) – (x2–1)(3x2 – 1)

= 2x4 – 2x2 – 3x4 + x2 + 3x2 – 1

= –x4 + 2x2 – 1

Si x = 0, entonces W = –1, y por lo tanto f(x) y g(x) son linealmente

independientes. (Teorema 3.10)

Ejercicio 5

Para los siguientes ejercicios recordemos que la derivada de senx es cosx y

la derivada de cosx es –senx.

1. Encuentra el wronskiano de las siguientes parejas de funciones:

a) y1 = x ; y

2 = x2

b) y1 = senx; y

2 = cosx

c) y1 = ex; y

2 = e2x

Álgebralineal

125

2. Menciona si las siguientes parejas de funciones son linealmente

independientes o dependientes:

a) y1 = x ; y

2 = 3x

b) y1 = x3 ; y

2 = x2 –1

c) y1 = –senx ; y

2 = cosx

Ejercicios resueltos

1. Determina si los conjuntos son espacios vectoriales.

a) V={x en R3 tales que x = (x, x, x)} junto con las operaciones de suma y

producto por escalar definidas para R3.

Sean u, v y z elementos de V, entonces u = (u, u, u), v = (v, v, v) y z = (z, z, z).

i) u + v = (u + v, u + v, u + v) está en V.

ii) u + (v + z) = (u + v) + z.

u + (v + z) = (u, u, u) + [(v, v, v) + (z, z, z)] = (u, u, u) + (v + z, v + z, v + z) =

(u + [v + z], u + [v + z], u + [v + z]) =* ([u + v] + z, [u + v] + z, [u + v] + z) =

(u + v, u + v, u + v) + (z, z, z) = [(u, u, u) + (v, v, v)] + (z, z, z) = (u + v) + z.

* Esta igualdad es verdadera ya que R3 es un espacio vectorial; se dice que

R3 le hereda esta propiedad a V.

iii) 0 = (0, 0, 0) está en V.

iv) –u = (–u, –u, –u) está en V.

v) u + v = v + u (la hereda de R3).

vi) αu = (αu, αu, αu) está en V.

vii) α(u + v) = αu + αv (la hereda de R3).

viii) (α+β)u = αu + βu (la hereda de R3).

ix) α(βu) = (αβ)u (la hereda de R3).

x) 1u = (1u, 1u, 1u) = (u, u, u) = u.

Por lo tanto, V es un espacio vectorial.

b) V = {(x, y) en R2 tales que y≤0}, la propiedad iv) no se cumple ya que si

u = (0, –1), entonces –u = (0, 1) no está en V, por lo tanto V no es un espacio

vectorial.

126

Unidad 3

2. Menciona si los conjuntos son subespacios vectoriales o no:

a) H = {(x, y, 0) en R3}

Sean u, v en H, entonces u = (x1, y

1, 0) y v = (x

2, y

2, 0).

i) u + v = (x1 + x

2, y

1 + y

2, 0) está en H.

ii) αu = (αx1, αy

1, α0) = (αx

1, αy

1, 0) está en H.

iii) 0 = (0, 0, 0) está en H.

Por lo tanto H es un subespacio vectorial de R3.

b) H = {p en Pn tal que p(0) = 1}

El polinomio 0 no está en H ya que 0(0) = 0.

Por lo tanto, H no es un subespacio vectorial.

3. Menciona si el conjunto H = {1–x, 3–x2} genera al espacio vectorial P2.

No, por que el polinomio x no puede escribirse como combinación lineal

de 1–x, y 3–x2 ya que si x = a(1–x) + b(3–x2) = (a+3b) + (–a)x + (–b)x2,

entonces

a + 3b = 0; –a = 1; –b = 0

de donde

b = 0 ; a = 0 y a = –1, lo cual no puede ser.

4. Determina si el conjunto H = {(2, –1, 4), (4, –2, 8)} es linealmente

independiente o dependiente.

a(2, –1, 4) + b(4, –2, 8) = (0, 0, 0) entonces, 2a + 4b = 0; –a – 2b = 0;

4a + 8b = 0 de aquí tenemos que a = –2b tiene infinitas soluciones no triviales,

por lo tanto H es un conjunto linealmente dependiente.

5. Encuentra el wronskiano de las funciones y1= 3x y

2 = 1–x y menciona

si son linealmente dependientes o independientes.

y y1 3 12' '= = −, , entonces W = 3 1

3 1

x x−− = –3x – 3(1–x) = –3 por lo

tanto, son linealmente independientes.

Álgebralineal

127

Ejercicios propuestos

1. Di si el conjunto de matrices de 2×2 de la forma 1

1

αβ

, con las

operaciones de matrices usuales es un espacio vectorial; si no, menciona por

qué.

2. Di si el conjunto H = {(x, y) en R2 tales que x = 1} es un subespacio

vectorial de R2, si no lo es menciona cuál es la condición que falla.

3. Prueba que el conjunto H = {(2, 3), (1, 0)} genera a R2.

4. Menciona si el conjunto es linealmente dependiente o independiente:

a) H = {(2, 3), (1, 0)}

b) H = {(3, 2, –1), (6, 4, –2)}

5. Encuentra el wronskiano y di si las siguientes parejas de funciones son

linealmente independientes o dependientes:

a) f(x) = 4x + 5; g(x) = x2

b) f(x) = 3x2; g(x) = 2x2

c) f(x) = sen 3x; g(x) = –cos 3x

128

Unidad 3

Autoevaluación

1. Menciona si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas:

a) El conjunto de vectores {(x,–3x) en R2} es un espacio vectorial.

b) El conjunto de vectores {(x, –3x + 1) en R2} es un espacio vectorial.

c) El conjunto de vectores {(x, y, 1) en R3} es un subespacio de R3.

d) El conjunto de polinomios de grado 2 es un subespacio de P3.

e) (3, 5) está en el espacio generado por {(1,1), (2,4)}.

f) gen{(1, 2, –1, 3), (7, 1, 0, 4), (–8, 0, 8, 2)} es un subespacio de R3.

g) Si {(1, 2), (2, 3)} genera a R2, entonces {(1, 2), (2, 3), (–2, –3)} también

genera a R2.

h) Si {v1, v

2, ..., v

n} son linealmente independientes, entonces {v

1, v

2, ..., v

n, v

n+1}

también son linealmente independientes.

i) Si {v1, v

2, ..., v

n} son linealmente dependientes, entonces {v

1, v

2, ..., v

n, v

n+1}

también son linealmente dependientes.

j) Si el wronskiano de f y g es cero para una x en [0, 1], f y g son linealmente

dependientes.

2. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores genera P2?

a) 1, x2

b) 3, 2x, –x2

c) 1+x, 2+2x, x2

d) 1, 1+x, 1+x2

3. ¿Cuál de los siguientes pares de vectores son linealmente independientes?

a) {(1, 1), (–1, –1)}

b) {(2, 3), (3, 2)}

c) {(11, 0), (0, 4)}

d) {(6, –10), (–3, 5)}

e) {(–2, 4), (4, –8)}

Álgebralineal

129

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. Sí es, ya que se trata de una recta que pasa por el origen.

2. No es, ya que no es cerrado bajo la suma.

3. No es, ya que el inverso aditivo no está.

4. Sí es espacio vectorial.

5. No es, pues no satisface la propiedad vii).

6. Sí es espacio vectorial.

Ejercicio 2

1. Sí es subespacio vectorial.

2. No es subespacio vectorial, ya que no es cerrado bajo la suma.

3. Sí es subespacio vectorial.

4. Sí es subespacio vectorial.

Ejercicio 3

1.

a) V

b) F

c) V

2.

a) Sí genera.

b) No genera.

c) Sí genera.

d) No genera.

Ejercicio 4

a) Son linealmente independientes.

b) Son linealmente independientes.

c) Son linealmente independientes.

d) Son linealmente independientes.

e) Son linealmente independientes.

f) Son linealmente dependientes.

130

Unidad 3

Ejercicio 5

1.

a) W = x2

b) W = –1

c) W = e3x

2.

a) Son linealmente dependientes.

b) Son linealmente independientes.

c) Son linealmente independientes.

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. No es un espacio vectorial porque la matriz 0 0

0 0

no está en el

conjunto.

2. H no es un subespacio vectorial, ya que

(1, y) + (1, z) = (1 + 1, y + z) = (2, y + z) no está en H.

3. Sí genera a R2.

4.

a) Es linealmente independiente.

b) Es linealmente dependiente.

5.

a) W( f, g) = 4x2 + 10x Son linealmente independientes.

b) W( f, g) = 0 Son linealmente dependientes.

c) W( f, g) = 3 Son linealmente independientes.

Álgebralineal

131

Respuestas a la autoevaluación

1.

a) V

b) F

c) F

d) F

e) V

f) F

g) V

h) F

i) V

j) V

2. b), c) y d)

3. b) y c)