ms base station relayrelay relayrelay relayrelay ms 6 décembre 2011 formation de faisceaux...
TRANSCRIPT
MS
Base Station
Relay
Relay
Relay
MS
MS
MS
6 décembre 2011
Formation de faisceaux coopératifs pour transmissions
multiutilisateurs par relais
Hamid Meghdadi
Directeurs:Jean-Pierre Cances
Vahid Meghdadi
Hamid Meghdadi
Plan
• Introduction• Optimisation mathématique à l’aide de
multiplicateurs de Lagrange• Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse• Annulation d’interférences à l’aide de procédé de
Gram Schmidt• Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques
d’ordre deux des coefficients du canal• Conclusions
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
2/54
Hamid Meghdadi
Introduction
Enjeux et motivations:– Loi de Nielsen– Usage de Data sur les
téléphones portables
IntroductionMotivationsMIMO distribuéSystèmes coopératifs
Multiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
3/54
1983 1988 1993 1998 2003 2008 2013100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
2008 2009 2010 2011 2012 20130
200
400
600
800
1000
1200
1400
VoiceData
Mon
thly
usa
ge p
er u
ser
(MB
/mo)
La demande en moyens de communications toujours plus rapides et plus fiables
Systèmes MIMO
Hamid Meghdadi
Introduction
But : Obtenir un moyen de communication fiable
IntroductionMotivationsMIMO distribuéSystèmes coopératifs
Multiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
4/54
MIMO Source Destination
Problème: obstacle
Tous les canaux sont faibles
Solution: MIMO distribué
Source 1
Source 2
Destination
obstacle
Transmet toujours
Hamid Meghdadi
Introduction
Principe des systèmes coopératifs
IntroductionMotivationsMIMO distribuéSystèmes coopératifs
Multiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
5/54
SD
RSRh
SDh
RDh
R S SR SRy E h s n
1D S SD SDy E h s n
t Amplify-and-Forward :
Decode-and-Forward :
22R
R RSR SR s
Et Ay y
h E
ˆRt E s
Hamid Meghdadi
2D RD RDy h t n
Introduction
Principe des systèmes coopératifs
6/54
SD
SRh
SDh
RDh
1D S SD SDy E h s n
R
• Selection combining (SC)•Equal gain combining (EGC)•Maximal ratio combining (MRC)
IntroductionMotivationsMIMO distribuéSystèmes coopératifs
Multiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
Hamid Meghdadi
Plan
• Introduction• Optimisation mathématique à l’aide de
multiplicateurs de Lagrange– Modèle du système– Objectifs– Les vecteurs de précodage– Optimisation des précodeurs– Algorithme
• Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse• Annulation d’interférences à l’aide de procédé de
Gram Schmidt• Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques
d’ordre deux des coefficients du canal• Conclusions
7/54
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
Hamid Meghdadi
Modèle du système
Le système est composé de :– Une station de base à M antennes– L relais à R antennes– N stations mobiles mono-antennes
8/54
Introduction
Multiplicateurs de LagrangeModèle
du système
ObjectifsHypothès
esLes
vecteurs de précodage
Optimisation de précodeurs
Algorithme
Pseudo Inverse
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
Hamid Meghdadi
Modèle du système
La BS envoie N messages à N utilisateurs mobiles :1. BS envoie les signaux aux relais.2. Chaque relai décode son signal reçu et le multiplie par
un vecteur de précodage.3. Les relais envoient les signaux vers les mobiles.
1 2 3
9/54
Introduction
Multiplicateurs de LagrangeModèle
du système
ObjectifsHypothès
esLes
vecteurs de précodage
Optimisation de précodeurs
Algorithme
Pseudo Inverse
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
Hamid Meghdadi
Modèle du système
Introduction
Multiplicateurs de LagrangeModèle
du système
ObjectifsHypothès
esLes
vecteurs de précodage
Optimisation de précodeurs
Algorithme
Pseudo Inverse
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
Notations:– s = [s1 s2 … sN] est le message à envoyer
– xi of size R1 est le signal envoyé par ième relai
– yj est le signal reçu par la jème station mobile
– hij ~ CN (0, IR) sont les coefficients du canal entre le ième relai et la jème station mobile
–
10/54
ijw (R1) sont les vecteurs de précodage du ième relai.
Hamid Meghdadi
Objectifs
1. Annulation d’interférences entre utilisateurs, chaque MS doit recevoir uniquement le signal qui lui à été destiné (MS1 ne reçoit que s1 … )
2. Addition cohérente3. Respecter la contrainte de puissance
Introduction
Multiplicateurs de LagrangeModèle
du système
ObjectifsHypothès
esLes
vecteurs de précodage
Optimisation de précodeurs
Algorithme
Pseudo Inverse
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
11/54
Hamid Meghdadi
Les hypothèses
– Pas de liaison directe entre la BS et les mobiles– Liaisons BS-RS idéales.– Les canaux de Rayleigh entre les RS et les MS– Les coefficients du canal connus aux relais.
Introduction
Multiplicateurs de LagrangeModèle
du système
ObjectifsHypothès
esLes
vecteurs de précodage
Optimisation de précodeurs
Algorithme
Pseudo Inverse
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
12/54
Relay 1
Relay 2
BS
MS1
MS2
MSN
Hamid Meghdadi
Annulation d’interférences :
Vecteurs de précodage
IntroductionMultiplicateurs de Lagrange
Modèle du systèmeObjectifsHypothèsesLes vecteurs de précodageOptimisation de précodeursAlgorithme
Pseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
13/54
Relay 1
Relay 2
BS
MS1
MS2
MSN
1 1 2 2j j j jy n h x h x1 21 2
1 1
N N
j j k k j k k jk k
y s s n
h w h w
1 21 2 0k j k k j k
k j k j
s s
h w h w
1 21 2j j j j j j jy s n h w h w
Hamid Meghdadi
Optimisations des précodeurs
IntroductionMultiplicateurs de Lagrange
Modèle du systèmeObjectifsHypothèsesLes vecteurs de précodageOptimisation de précodeursAlgorithme
Pseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
14/54
Maximize: 11 j jh w
Subject to :
1 1 1 11 1 0
R R R I I I R I I Rj i i i i j i i i ii j i j
s s s s
h w w h w w
1 1 1 11 1 0
R R I I R I R R I Ij i i i i j i i i ii j i j
s s s s
h w w h w w
1 11 1 0 1, ,
R I I Rj j j j j N h w h w 1 1
1 1 0 1, ,R R I Ij j j j j N h w h w
T T
T T
1 1 1
1 1
1 1 1 11
1 1
R R I I R R I I
R I I R R I I R
N Nk
i j i j i j i ji j
N N
i j i j i j i ji j
s s s s
s s s s p
w w w w
w w w w
Annulation d’interférences
Addition cohérente
Contrainte de puissance
Linéaire
Linéaire
Linéaire
Non-linéaire
Non-linéaire
Hamid Meghdadi
Minimize:
T T
T T
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
R R I I R R I I
R I I R R I I R
N N
i j i j i j i ji j
N N
i j i j i j i ji j
s s s s
s s s s
w w w w
w w w w
Optimisations des précodeurs
IntroductionMultiplicateurs de Lagrange
Modèle du systèmeObjectifsHypothèsesLes vecteurs de précodageOptimisation de précodeursAlgorithme
Pseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
15/54
Subject to : 1 1 1 1
1 1 0R R R I I I R I I Rj i i i i j i i i i
i j i j
s s s s
h w w h w w
1 1 1 11 1 0
R R I I R I R R I Ij i i i i j i i i ii j i j
s s s s
h w w h w w
1 11 1 0 1, ,
R I I Rj j j j j N h w h w 1 1
1 1 0 1, ,R R I Ij j j j j N h w h w
111 1 1hw cte h w
Annulation d’interférence
Addition cohérente
le SNR
Linéaire
Linéaire
Linéaire
Quadratiquelinéaire
Hamid Meghdadi
Optimisations des précodeurs
• On définit :
• Annulation d’interférences :
• Addition cohérente :
• Autres conditions :
IntroductionMultiplicateurs de Lagrange
Modèle du systèmeObjectifsHypothèsesLes vecteurs de précodageOptimisation de précodeursAlgorithme
Pseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
16/54
T
NR
TiN
TiTii
121
www W 1 1 1
T T T Ti i i N Ri h h hH
jj
jiiii
Nii
1ˆ,1
1ˆ
ˆˆ
11
121
WW
W
AA
0A
jj iiii
ii
1ˆ,1ˆ
0ˆˆ
22
2
WW
W
AA
A
3
3
1ˆ ˆˆ ˆ comme
ˆ ( * ) 1
m mi i i i i N
i N i Rj
A c A 1
A I H
W W
Hamid Meghdadi
• Ecrire les contraintes du système :
• Ecrire l’équation à résoudre :
• Résoudre cette équation : ui = Ai-1bi
et prendre les 2N premiers éléments pour
• Trouver les à partir de• Normaliser les vecteurs de précodage pour obtenir le
maximum de puissance disponible aux relais.
1 2ˆ ˆ ˆ ˆT T T T
i i i in A A A A
Algorithme
IntroductionMultiplicateurs de Lagrange
Modèle du systèmeObjectifsHypothèsesLes vecteurs de précodageOptimisation de précodeursAlgorithme
Pseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
17/54
ˆˆi i A cW
1 2TT T T
n c c c c
avec
i i iA u b
avec
0A
AIA T
i
iNi ˆ
ˆ2 2
ii
Wu
2 1Ni
0b
c
iWijw iW
Hamid Meghdadi
Plan
• Introduction• Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de
Lagrange• Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse
– Calcul des vecteurs de précodage– Analyse de performances
• Approximation de TEB à forte SNR• Diversité pour le cas de deux utilisateurs• Performances théoriques pour nombre utilisateurs arbitraire• Expectation – maximization pour approximation du SNR
– Résultats de simulation
• Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt
• Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal
• Conclusions
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
18/54
Hamid Meghdadi
Cas particulier
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
1 1 1
N L Ni i
i j j j ij k k jj i k
s y s n
x w h w
nsWHy
L
iii
1
RNiN
i
i
i
h
h
h
H2
1
1 2i i i
i N R N W w w w
nj ~ CN (0, N0 )
19/54
Un cas particuliers : même SNR pour tous les mobiles
Hamid Meghdadi
Calcul des vecteurs de précodage
• Deux scénarios envisageables :– Relais indépendants
• Moins cher• Moins de degrés de liberté• Performances dégradées
– Connaissance de tous les CSI aux relais :• Plus cher• Plus de de degrés de liberté• Meilleures performances• Nécessite de communiquer entre les relais
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
nsWHy
L
iii
1N
L
iii gIWH
1
1† †g
W H HH
1† †
Pg
H HH
1† †
P y s n
H HH
20/54
NgHW I
Hamid Meghdadi
Densité de probabilité (pdf) de γ
2 ( ) ( )sP Q k P d
Pour une modulation M-PSK, le taux instantané d’erreur est
donné par :
Avec k = 2sin2 (π/M) une constante dépendant de la modulation
et étant le rapport signal à bruit
Analyse de performance du système
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
† † 1( )j j j
Py s n
H HH
2 † 1† † 1 00
1
trace ( )( )
P PSNR
NN
HHH ΗΗ
)(2)( kQPs
21/54
Définition
dPkQPs )()(2
Hamid Meghdadi
Une probabilité de Q-function
22/54
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
– Q-function décroit beaucoup plus rapidement que la densité de probabilité, donc afin d’évaluer le taux d’erreur à forte SNR il suffit d’évaluer le comportement de la densité de probabilité autour de zéro.
dPkQPs )()(2
taP )(
Hamid Meghdadi
Approximation de TEB pour fortes SNR
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo Inverse
Calcul de précodeursAnalyse de performances
TEB à forte SNRDiversité pour N=2N QuelconqueExpectation Maximization
Résultats de simulationGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
23/54
2
2
21
)(x
ex
xQ
Q-function limit
02/1
11
12dxex
k
a xttt
t
)21
(2
11
1
t
k
att
t
t
lt
lk
a
11
)12()(
2
sb PM
P2log1
20
2
2
kt
sP e a dk
2k
x
Définition de la
fonction gamma
n
n
n
2
)12(3.1
)21
(
Hamid Meghdadi
112
112
12
)1
(!)!1(2
)!22(
)1
(!)!1(2
)!22()
1()(
nknkk
n
kknkn
n
Gkk
k
Fkk
kFKP
Calcul de diversité pour le cas N=2
24/54
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
† 1
1 2
1 11 1trace ( )
HH
Valeurs propres de H
m
pppm pm
meF
011
4
)!(4
!)
1(
)4()!1(
)4()1(
)!1(
)!2()4()1()
1(
11
2
0
4
Eimm
pmeG
mm
m
p
pp
m
avec et
12 n )1( n
2n2)( naP
Diversité est de n-1:
RL-N+1
Hamid Meghdadi
Performance pour N quelconque• Pour le cas du nombre arbitraires des mobiles, on ne peut pas
calculer le pdf de SNR de façon analytique.
• Approximation: mixture des lois Nakagami
• Distribution de loi Nakagami:
• La mixture des lois Nakagami :
25/54
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
2 1 22( ) exp( )
( )P x x x
2 1 2
1
2( ) exp( )
( )
j
j
j
Jj j
C jjj j j
P x x x
2
† 1trace( )
HH
Expectaion Maximization
Hamid Meghdadi
Expectation - Maximization
• Notations:– x: réalisations de SNR observées– z: la probabilité de choisir chacune des lois Nakagami
(paramètres non observés)– θ: Les paramètres inconnus (μj et Ωj)
• étapes:– Expectation: Calculer l’espérance de la fonction log
likelihood, par rapport à la distribution conditionnelle de z sachant x sous l’estimation actuelle de θ, θ(t)
– Maximization: Trouver les paramètres qui maximisent cette quantité
26/54
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
),(log)(,zxθ
θxzLEQ t
Qt
θθ maxarg)1(
Hamid Meghdadi
Calcul de la fonction Log Likelihood
27/54
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
K
k
J
jjjiji xPjZIPL
1 1
),,()(),(),( θzxzxθ
) Nakagami~)( jjii ,(μjZX
jz
jzjzI
i
ii ,0
,1)(
212
1 1
loglog
)(log)2log(log)(),(log
ij
jij
jjj
K
k
J
ji
xx
jZIL
jj
j
zxθ
2 1 22( , , ) exp( )
( )P x x x
avec
Hamid Meghdadi
Expectation
28/54
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
212
1 1
loglog
)(log)2log(log)(),(log
ij
jij
jjj
K
k
J
ji
xx
jZIL
jj
j
zxθ
21 1
)(,
,
log)12(log
)(log)2log(log
),(log)(
ij
jijjj
K
k
J
jjjj
tij
xx
T
LEQ
j
t
zxθθxz
J
l
tl
tlil
tj
tjij
tii
tij
xP
xP
xjZPT
1
)()(
)()(
)()(,
),,(
),,(
),(
θavec
(Théorème de Bayes)
Hamid Meghdadi
Maximization•
•
•
29/54
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
n
i
tij
n
i
tiji
jj T
TxQ
1
)(,
1
)(,
2
0
n
i
tij
n
ij
iij
tij
jj T
xxT
Q
1
)(,
1
2)(
, log2log
0
N R π ω μ
3 4 0.140 0.295 0.182 0.218 0.111 0.053 1.2 0.9 1.8 1.28 0.98 3.20 0.167 0.181 0.413 0.516 0.705 0.740
3 5 0.118 0.180 0.217 0.244 0.112 0.127 1.5 1.9 2.3 2.07 1.98 3.21 0.289 0.517 0.712 0.921 1.328 1.617
3 6 0.050 0.092 0.159 0.260 0.161 0.277 2.5 2.9 3.3 3.07 2.98 3.21 0.340 0.797 1.088 1.386 1.633 2.400
3 7 0.013 0.029 0.066 0.172 0.175 0.545 3.5 3.9 4.3 4.07 3.98 3.21 0.423 0.891 1.302 1.823 2.259 2.993
3 8 0.001 0.003 0.011 0.063 0.128 0.795 4.5 4.9 5.3 5.07 4.98 3.20 0.684 1.227 1.735 2.445 3.016 3.798
3 10 0.063 0.108 0.172 0.329 0.115 0.213 5.5 5.9 6.3 6.07 5.98 3.19 4.183 5.096 5.941 7.207 6.574 7.154
n
i
tijj
j
Tn
Q
1
)(,
10
Hamid Meghdadi
Résultats de l’approximation
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo Inverse
Calcul de précodeursAnalyse de performances
TEB à forte SNRDiversité pour N=2N QuelconqueExpectation Maximization
Résultats de simulationGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
30/54
Distribution réelle
Distribution calculée
Hamid Meghdadi
Analyse de performance du système
31/54
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
dukuQuuPe )()exp(
)(
2 24
124
21 )1(
)(
2nne LnL
kP
knLknnn )1()2)(1( 1)1)2(()2)(1( Lnnnn
0)1()2)(1( Lnn
04/1 !
)4/12/(
2
1
i
i
n iin
L
n
4
avec:
On pose :
2 ( ) ( )eP Q k P d
Hamid Meghdadi 32/54
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
Résultats de simulation
Hamid Meghdadi
Résultats de simulation
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
Nombre des copies du signal= R x L
Nombre des contraintes:•Cas 1 : N-1•Cas 2 : L(N-1)
Diversité : •Cas 1 : RL-N+1•Cas 2 : L(R-N+1)
33/54
Hamid Meghdadi
Résultats de simulation
La corrélation entre la diversité et l’architecture du système
Introduction
Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo InverseCalcul de
précodeurs
Analyse de performances
TEB à forte SNR
Diversité pour N=2
N Quelconque
Expectation Maximization
Résultats de simulation
Gram Schmidt
Statistiques d’ordre deux
Conclusion
34/54
Hamid Meghdadi
Résultats de simulation
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo Inverse
Calcul de précodeursAnalyse de performances
TEB à forte SNRDiversité pour N=2N QuelconqueExpectation Maximization
Résultats de simulation
Gram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
Nombre des relais Performances
Les performances du système pour les nombres différents de relais
35/54
Hamid Meghdadi
Résultats de simulation
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo Inverse
Calcul de précodeursAnalyse de performances
TEB à forte SNRDiversité pour N=2N QuelconqueExpectation Maximization
Résultats de simulation
Gram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
Nombre des mobiles Performances
Performances du système pour différents nombres de stations mobiles
36/54
Hamid Meghdadi
Plan• Introduction• Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de
Lagrange• Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse• Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram
Schmidt– Cas de deux relais – deux utilisateurs– Cas général
• Calcul de précodeurs• Analyse de diversité• Approximation de la distribution du SNR• Allocation de puissance optimale• Résultats de simulation
• Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal
• Conclusions
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
37/54
Hamid Meghdadi
Cas de deux relais et deux mobiles
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram Schmidt
Cas simplifiéCas général
Calcul de précodeursAnalyse de diversitéApproximation de SNRPuissance optimaleRésultats de simulation
Statistiques d’ordre deuxConclusion
38/54
Relay 1
Relay 2
BS
MS1
MS2
11h
12h
21h
22h
1 2 1 21 11 1 21 1 1 11 2 21 2 2 1
T T T Ty s s n h w h w h w h w
1 2 1 22 12 1 22 1 1 12 2 22 2 2 2
T T T Ty s s n h w h w h w h w
Annulation d’interférences
1 2 1 22 11 2 21 1 12 1 22, , ,T T T T w h w h w h w h
Maximisation de SNR *
11
*11
*1121 † †
2 *12
avec
hx
h
hw I x x x x
h
Hamid Meghdadi
Cas général – Procédé de Gram-Schmid
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram Schmidt
Cas simplifiéCas général
Calcul de précodeursAnalyse de diversitéApproximation de SNRPuissance optimaleRésultats de simulation
Statistiques d’ordre deuxConclusion
39/54
,1 2 , 1 , 1, , , , ,l
k l l l kh lk
ll
k NV w h h h h h
• Construire , la base orthonormée de • Trouver le vecteur tel que soit la base orthogonale
de
1,
1,
k N
l L
Solution: Procédé de Gram-Schmidt
,l khV
lkw
,l khV
,{ , }l l kk hV w
, *, }{ l kh lkV h
1
11 1 ,1
1
22 2 2 ,2
2
,
1
1
,
proj ( ),
proj ( ),
l l
l l l
NlN lj l N
N
N jj N
u
u
uu h e
uu
u h h eu
uu h h e
u
1lh
2lh
1e1 2proj ( )lu h
2u
2e
Hamid Meghdadi
Calcul des précodeurs
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram Schmidt
Cas simplifiéCas général
Calcul de précodeursAnalyse de diversitéApproximation de SNRPuissance optimaleRésultats de simulation
Statistiques d’ordre deuxConclusion
40/54
,
,
* *
1,
* *
1,
( )proj
proj ( )
l j
l j
N
lm e lkj j kl
k N
lm e lkj j k
h h
w
h h
* *, ,
1,
* *, ,
1,
,
,
N
lm lk l j l jj j kl
k N
lm lk l j l jj j k
h h e e
w
h h e e
for [1, ] and [1, ]l L k N
,1
L
i k i i ik
y s n
avec2
222 * *, , , ,
1, 1
, , ,N R
k i ki ki kj k j ki k i ki k jj j i j N
e e eh eh h h
Hamid Meghdadi
λ2k,i est une variable Χ2 avec
2[R− (i−1)] degrés de liberté
Analyse de la diversité
• i=1
• i=2
• Si λ2k,i-1 est une variable Χ2 avec 2[R− (i−2)] degrés de libérté :
41/54
,1
L
i k i i ik
y s n
Diversité ? Caractérisation de λ2k,i
Raisonnement par récurrence :
2,
2 21,1 1 ,1 1
11 ,k
kk k k k
k
h
e h e hh
Χ2 avec 2R degrés de liberté
2 ,1 2 ,1
,2
2 ,1 2 ,1
,
,
k k k k
k
k k k k
h e h ee
h e h eλ2
k,2 est une variable Χ2 avec 2(R-1) degrés de liberté
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram Schmidt
Cas simplifiéCas général
Calcul de précodeursAnalyse de diversitéApproximation de SNRPuissance optimaleRésultats de simulation
Statistiques d’ordre deuxConclusion
Hamid Meghdadi
Approximation de la distribution de SNR
X2 est un cas particulier de la distribution gamma:
42/54
2 1, ( ) ~ ( , , )
( )x
k i x g x x e
Expectation-Maximization (Mixture d’1 loi gamma) Les paramètres α et β
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram Schmidt
Cas simplifiéCas général
Calcul de précodeursAnalyse de diversitéApproximation de SNRPuissance optimaleRésultats de simulation
Statistiques d’ordre deuxConclusion
Hamid Meghdadi
Allocation de puissance optimale
43/54
Minimize :1
1( )
i
N
e e ii
P PN
Subject to : totale1
L
kk
P P cte
1 21
( , , )L
L e k Tk
J P P P P P P
0 kk
JP
P
22
,1
i
k k ik
AP
N
constante2
2,
1 1
T
L ik i
k k
PA
N
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram Schmidt
Cas simplifiéCas général
Calcul de précodeursAnalyse de diversitéApproximation de SNRPuissance optimaleRésultats de simulation
Statistiques d’ordre deuxConclusion
Hamid Meghdadi
Résultats de simulation
44/54
Taux d’erreur symbole (2 stations mobiles, 2 relai avec 2 antennes i=1)
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram Schmidt
Cas simplifiéCas général
Calcul de précodeursAnalyse de diversitéApproximation de SNRPuissance optimaleRésultats de simulation
Statistiques d’ordre deuxConclusion
Théorie
Simulation
Hamid Meghdadi
Résultats de simulation
45/54
Taux d’erreur symbole (2 stations mobiles, 2 relai avec 2 antennes i=2)
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram Schmidt
Cas simplifiéCas général
Calcul de précodeursAnalyse de diversitéApproximation de SNRPuissance optimaleRésultats de simulation
Statistiques d’ordre deuxConclusion
Théorie
Simulation
Hamid Meghdadi
Plan
• Introduction• Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de
Lagrange• Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse• Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram
Schmidt• Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques
d’ordre deux des coefficients du canal– Modèle du système– Rapport signal à bruit– Calcul des coefficient de pondération
• Cas particulier : contrainte sur puissance totale, canaux indépendants
– Résultat de simulation
• Conclusions
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
46/54
Hamid Meghdadi
Modèle du système
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deux
Modèle du systèmeRapport signal à bruitCalcul des pondérations
Cas particulier Résultat de simulation
Conclusion
47/54
1
2
M M R
g
gG
g
1
2 (1) (2) ( )M
M R M
h
hH h h h
h
1 2j j j Rjg g g g
Hamid Meghdadi
Rapport signal à bruit
Puissance dissipée dans les relais
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deux
Modèle du systèmeRapport signal à bruitCalcul des pondérations
Cas particulier Résultat de simulation
Conclusion
48/54
†( )
† 2 † 2
/
/s jj
ds j SR j RD
P M
P M
wP w
wQ w wG w
†( ) ( )diag( ) diag( )†j jj j jEP g h h g
† avec =diag( )j j j j j jE Q U U U g H
diag( )diag( )†j j jEG g g
† 2 †sr SR
PP
M wDw ww
†1 2
1 1 1
avec et ( ) ( ) ( )M M M
Rp p p
E h p h p h p
D d d d
Hamid Meghdadi
Coefficients de pondération
On définit :
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deux
Modèle du systèmeRapport signal à bruitCalcul des pondérations
Cas particulier Résultat de simulation
Conclusion
†( )
† 2 † 2,
/max
/s
s jjd
P s j SR j RD
P M
P M
w
wP w
wQ w wG w
† 2 †0subject to s
SR sP
P PM
wDw ww† 2 †0subject to s
SR sP
P PM
wDw ww
†1
†2
maxx
xC x
xC x
†1
† 1/2 1/22 min 1 2 1
1max
( ) x
xC x
xC x C C C1/2 1/2
min 1 2 1pour vecteur propre associé à ( ) x C C C
1/2 1/21 2 1
1max min
( )s kP k C C C sP
49/54
1 jC P
2 2 202 0( )s s
s j s SR j RD SRP P P
P P PM M
C Q G D I
Hamid Meghdadi
Cas I : Toutes les matrices sont diagonales
Algorithme :1. Construire les matrices Pj , Qj , Gj et D
2. Calculer les R valeurs propres de C1-1/2C2C1
-1/2 ,en fonction de k et de Ps
3. Calculer Ps
4. En fonction de Ps calculer la valeur optimale de C1-1/2C2C1
-1/2
5. En fonction de la valeur optimale de C1-1/2C2C1
-1/2 , calculer w
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deux
Modèle du systèmeRapport signal à bruitCalcul des pondérations
Cas particulier Résultat de simulation
Conclusion
1/2 1/21 2 1
1max min
( )s kP k C C C
1/2 1/21 2 1min min ( )
sk
P k C C C
1/2 1/21 2 1min min ( )
sk
k P C C C
,sP w
50/54
Hamid Meghdadi
Résultats de simulation
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deux
Modèle du systèmeRapport signal à bruitCalcul des pondérations
Cas particulier Résultat de simulation
Conclusion
Comparaison entre :– ZF avec la connaissance parfaite du canal – Méthode proposée avec statistiques d’ordre deux des coefficients du
canal.
51/54
Zero forcing
Statistiques d’ordre deux 4 utilisateurs
3 utilisateurs
Hamid Meghdadi
Plan
• Introduction• Optimisation mathématique à l’aide de
multiplicateurs de Lagrange• Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse• Annulation d’interférences à l’aide de procédé de
Gram Schmidt• Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques
d’ordre deux des coefficients du canal• Conclusions
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
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Hamid Meghdadi
Conclusions
• Chapitre 2 :– Multiplicateurs de Lagrange– Méthode très flexible– Pas de prédictions théoriques
• Chapitre 3 :– Cas particulier : Pseudo inverse de Moore-Penrose – Prédiction théorique : Maximisation de l’espérance
• Chapitre 4 :– Procédé de Gram Schmidt– Plusieurs niveaux de priorités– Prédiction théorique : Maximisation de l’espérance
• Chapitre 5:– Statistiques d’ordre deux– Prise en compte de la liaison source-relais
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
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Hamid Meghdadi
Publications• «Analog decoding of tail-biting convolutional codes on graphs »,
ISWCS '08
• «Versatile graphs for tail-biting convolutional codes», ISCAS 2008
• «Cooperative multiple access transmission using precoding vectors», Eusipco 2009
• «Semi-analytic approach to evaluate performance of a precoded multiuser cooperative scheme», PIMRC 2010
• «Performance analysis of a cooperative multiple access relaying scheme», IWCMC 2010
• «Algorithmes de formation de faisceaux coopératifs pour systèmes multi-relais multiutilisateurs basés sur des statistiques du second ordre », GRETTSI 2011
• «Simple precoding algorithms using gramschmidt orthonormalization process for multi-user relay communications with optimized power allocation», accepted in Annals of Telecommunication
• «Semi-analytic performance of a multiaccess MIMO scheme using precoding vectors», accepted in International Journal of Communications, Network, and System Sciences
IntroductionMultiplicateurs de LagrangePseudo InverseGram SchmidtStatistiques d’ordre deuxConclusion
Merci de votre att
ention
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