movimientos oscilatorios - fisica universitaria

5/17/2018 Movimientos Oscilatorios - Fisica Universitaria

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Los relojes de pendulo han marcado lashoras desde mediados del siglo XVI. Se ba-san en el principia de que el tiempo quetarda una oscilacion completa, de ida y re-greso, practicarnente no depende de la am-plitud de la oscilacion. Par ello, un reloj dependulo maroa la hora correcta aunque elmecanisme impulsor pierda fuerza y lasoscilaciones del pendulo se hagan mascortas por la fricei6n.

Suponqa que aum enta a l dob lela m as a de l pendulo de un r elo j ( qu einduye la varilla y la pesa en su extrema)sin alterar sus dim ensiones. LE I reloj seadelantaria 0 s e a tr as a rl a?

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MOVIMIENTOPERIODICO

MuchoS tipos de movimiento se repiten un~ y otra ve~: la vibracion ~e uncristal de cuarzo en un reloj de pulso, el pendulo oscilante de un reloj conpedestal, las vibraciones sonoras producidas por un clarinete 0 un tubo de 6rganoy el rnovimiento peri6dico de los pistones de un motor de autornovil. A esto 11a-mamos movimlento periedico Uoscilacion, y sera el tema del presente capitulo.Su comprension sera indispensable para nuestro estudio posterior de la s ondas, elsonido, las corrientes electricas alternantes v la luz. 'Un cuerpoque tiene U ll movimiento.periodico se caracteriza pOl ' una posicionde equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posicion y se suelta, entra en accionuna fuerza 0 unmomento de torsion para volverlo al equilibria. Sin embargo, pa-ra cuando llega ahi, ya ha adquirido cierta energia cinetica que 10hace pasarsehasta detenerse delotro lado, de donde se ra impulsado otra vez hacia el equilibrio.Imagine una pelota que rueda dentro de un tazon redondo, 0 tJ11 pendulo que osci-la pasan~o por ,Sll posicion vertical. . . _En este capitulo, nos concentraremos en dos ejemplos sencillos de sistemas

can movimiento periodico: los sistemas resorte-masa y los pendulos, Tambien ve-remos por que algunas oscilaciones tienden a paraI con el tiempo y otras tienendesplazamientos cada vez mayores respecto al equilibrio cuando actuan fuerzasperiodicamente variables.


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13.1 I Descripcion de la oscilacion

13.1 I Descr ipc ion de la o scila c i6nUno de los sistemas mas simples que puede teller movirniento peri6dico se muestraen la figura 13.1 a. Un werpo con masa m se mueve sabre una guia horizontal sinfriccien, como un riel de aire, de modo que s610 puede desplazarse en el eje x. Elcuerpo esta conectado a un resorte de mas a despreciable que puede es t i rarse 0 com-prirnirse. EI extreme izquierdo del resorte esta fijo, y el derecho esta unido al cuer-po. La fuerza del resor te es la (mica fuerza horizontal que ac tu a so bre e l cu erp o; lasfuerzas normal y gravitac ion al vertica les s iem pre sum an cero , Las cantidades: ~, v"a, y F " se refieren a las componentes x de los vectores de: posicion, velocidad, ace"leracion y fuerza, respectivamente, y pueden ser: positivas, negativas 0 cero.

La ma s s en c il lo es definir nuestro sistema de coordenadas con e l origen 0 en la po -s icion de equilibria, donde e l resorte no es ta e s tirado n i co rnp rim ido . A si, z e s la com-ponen te x del desplazamiento del c ue rp o r es pe cto al equilibria y t ambien el camb i ode longi tud del r es o rt e, L a c ompo n e n te x de ace le r ae ion , a ,n es ta dada po r a x =Ffm.

La figura 1 3.1 b muestra diagram as de cuerpo libre para tres posiciones delcuerpo, Siempre que eJ cuerpo se despiaza respecto a su posicion de equilibrio, lafuerza del resorte tiende a regresarlo a esa posicion. Llamamos a una fuerza conesta caracteristica fuerza de restitncion. S610 puede haber oscilaci6n 'si hay unafuerza de restituci6n que tiende a regresar el sistema al equijibrio.Analicemos c6mo se da la oscilacion en este sistema. Si desplazamos el cuer-

po a la derecha hasta x =A Y 10 sol tarnos, In fuerza neta y la ace le r ac ion son haciala izquierda. La rapidez aumenta al aproxirn arse el cuerpo ala posicion de equili- _brio o. Cuando el cuerpo esta en 0, la fuerza neta que actua sabre et es cera pe-ro , a causa de su movimiento (velocidad), rebasa la posici6n de equilibria. En elotro lado de esa posicion, la velocidad es ala izquierda pero Ia aceleraci6n es a laderecha; la rapidez disminuye hasta que el cuerpo para. Despues dernostraremosque, con un resorte ideal, el punto de detenci6n es x = -A. Ahora el cuerpo ace-lera hacia la derecha, rebasa otra vez el equilibrio, y se detiene en el punto inicialx = A, listo para repetir to do el proceso. iEI cuerpo esta oscilando! Si no hay fric-c ion u otra fuerza que e lim in e e ne rg ia mecan ica del sistema, el movimiento se re -petira eternamente; la fuerza de restitucion tirara perpetuamente del cuerpo baciala posici6n de equilibria, la cual, el cuerpo rebasara una y otra vez.

En situaciones diferentes, la fuerza puede depender de diversas maneras deldesplazamiento x r espec to al equilibria, pero siempre habra o sc ilac io n s i la fuerzaes de restitucion y tiende a volver el sistema al equilibria.

He aquf algunos terrninos que usaremos al analizar movimientos periodicos detodo tipo:

La amplitud del movimiento, de no tad a.co n.I, e s la rnagni tud maxima del desp la -zamien to respecto a l e qu ilib rio : e s d ec ir, el valor maximo de I x l y s ie m pre e s p os iti-va . Si el resor te de Ia figura 13.1 es ideal, ei range global del movimiento es 2A . Launidad de A en el SI es el metro. Una vibracion completa, 0 ciclo, es un viaje redon-do, digamos de A a ~ A Y de vuel ta a A, 0 de 0 a A "regresando par 0 basta - A y vol-viendo a o. El movimiento de un lade al otro (digamos, de -A a A) es media ciclo,

EI periodo, T, es el tiempo que tarda un ciclo, y siempre es positive. La uni-dad del periodo en el sistema internacional SI es\~I segundo, pero a veces se ex-presa como "segundos par ciclo".. La frecuencia,f, es el numero de ciclos en la unidad de tiempo, y siempre es

positiva. La unidad de 130frecuencia en el sistema internacional STe s el hertz:

1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo/s = 1 S-l

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Desplazarniento a la izquierda,fu er za re sta ura do ra a l a d ere ch a

Desplazamiento cero, fuerzarestauradora cere

Desplazamiento a la derecha,f u er za r es ta u ra do ra a la izq u ierda(a)

yI- - - + - 0 t : - g -xI

y

Ia t. . . n- - - - - - - - - - - + ~~r-----Io mg

(b)

13.1 Mode l e 4e movirniento peflOC!oo. .(a ) E n la p os ic io n de equilibrio, el~ejerce fuerza cero. Cuando eI ~esta desplazado respecto a fa ~cr ~equilibrio, el resorte ejerce mla. ~de res t i tucion dirigida hacia laposicifu~e qu ilib rio . (b ) D ia gra m as d e rnerpa R::~d e la s t re s p o sic io n es .


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Ejemplo13.1 Periodo , f recuenc ia y f recuenc ia . angula rU n tr an sd uc to r u ltr as on ic o ( un a e sp ec ie d e a lta vo z) ernpleado p ara eldiagnostico medico oscila con una frecuencia de 6.7 MHz = = 6.7 X 106Hz. l.Cuanto tarda cada oscilacion, y que frecuencia angulartiene?

lit!!iI3t'VIIDE NT IF IC A R Y PL AN TE AR : Las incognitas son: el periodo T y lafrecuencia angular w . Nos dan la frecuenciaf, as! que podemos ob-tener esas variables empleando las ecuaciones (13.1) y (\3.2), res-pectivamente.

CAPITULO 13 I Movimiento periodico

Estaunidad se llama asi en honor del fisico aleman Heinrich Hertz (1857-1894),un pionero en I l l , investigaci6n de las ondas electromagneticas.La frecuencia angular, w, es 2 1 T veces la frecuencia:

w = 2 1 T fPronto veremos para que sirve w ; representa Ia rapidez de cambio de una cantidadangular (no necesariamente relacionada con un movirniento rotacional) que siem-pre se mide en radianes, de modo que sus unidades son rad/s, Dado quejesta enciclos/s, podemos considerar que el numero 2 1 T tiene unidades de rad/ciclo,Por las definiciones de periodo Ty frecuenciaj, es evidente que uno es el reci-

proco del otro:

r=-!T LT= -f (relaciones entre frecnencia y peri0C!?)Tambien, por la definicion de w,

2 1 7W = 21T"f=-T (frecuencia angular) (1:3.2)

E JECUTAR : Por la s e cu ac io ne s: ( 13 . I ) Y ( 13 .2 ):1 1T "" " ' - = - "" 1.5 X 10-7 S = 0.15 !-kSf 6.7 X 106 Hz

W = 2wf= 211"(6.7 X 106Hz)=' ( 211 "r a d /c ic l o ) ( 6 .7 X 106 c ic lo s/ s )= 4.2 X 107 rad/s

EVALUAR_ :Esta es una vibracion muy rapida, confy w grandes yTpequefio; una vibracicn lenta tienefy w pequefias y T grande.

Fuerza de restitucion F,

13.2 La fuerza de restitucion de un resorteidealizado es directamente proporcional aldesplazamiento. Esta es Ill,ley de Hooke,F ; s ; =+lcx. La oscilacion con una fuerza derestituci6n que obedece la ley de Hooke sedenomina movimiento arm6nico simple.

Una lancha anclada sube y baja con las olas. La lancha a1canza 6.0 em arriba y6.0 cm abajo de su posicion de equilibrio, y describe un ciclo completo de ascen-so y descenso cada 5.00 s. Calcule: la amplitud, periodo, frecuencia y frecuenciaangular, del movimiento,

13.2 I \Movim'iento armenlco slimpleItEI tipo mas sencillo de oscilacion se da cuando la fuerza de restitucion F; es direc-tamente proporcional al desplazamiento x respecto al equilibrio. Esto sucede si elresorte de la figura 13.1 es ideal y obedece la ley de Hooke. La constante de pro-porcionalidad entre fly y x es la constante de fuerza k. (Repase, si es necesario, laseccion 6.3.) En ambos lados de la position de equilibrio, F,Yx siempre tienen


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13.2 I Movim i en to a rm o n ic o simple

signos opuestos. En la seccion 6.3, representamos Ia fuerza que acrua sabre un re-sorte ideal estirado como F~ = kx. La componente x de la fuerza que el resorteejerce sa bre el cuerpo es el negativo de esta, asi que la componentex de lafuerzaF " sobre el cuerpo es

(fuerzacie-restitucion de un resorte.ideal) (13.3)Esta ecuacion da la magnitud y signa correctos de la fuerza, sea x: positivo, negati-vo 0 cero (Fig. 13.2). La con stante de fuerza k s ie mp re e s positiva y tiene unidadesde N!m (tambien resultan utiies las unidades de kg/s"). Estamos suponiendo que nohay fricci6n, asi que la ecuaciont 13.3) da la fuerza neta que aetna sobre el cuerpo.

S i lafuerza de restitucion es directamente proporcional al desplazamiento res-pecto a l equilibria , segun La ecuacion (13.3), 10 oscila cion se den om in a movi-miento arruonico simple, que se abrevia MAS. La aceleracion a x = d2x!dt2 =F,!m de un cuerpo en MAS esta dada por.

(movimiento a rm d nic o s im 'p le !!E I s ig no menos indica que l a a ce le r ac i on y el desplazamiento siempre tienen sig-nos opuestos. Esta aceleracion no es constants, asi que olvidese de usar las ecua-ciones para aceleracion constants del capitulo 2. En breve~er.eni.os como resolveresta ecuacion para obtener el desplazarnieuto x en funci6n del tiempo. Un cuerpoque esta en movimiento armonico s imple se denomina oscilador a rmon i eo ,~Por que es importante el movimiento arrnonico simple? Tenga presente que no

todos los movimientos peri6dicos son armenicos simples; en el movimiento pe-riodicoen general, la relacion entre la fuerza de restitucion y el desplazamiento esmas comp 1icada qu e la ecuacion (13.3). No obstante, e n m uc ho s sistemas, 1a fuer-za de restitucion es aproximadamente proporcional al desplazamiento si esteespequeiio (Fig. 13.3). Es decir, si la arnplitud es pequefia, las oscilaciones son maso menos arrnonicas simples y la eeuacion (13.4) las describe aproximadamente.Asi , podemos usar e l M AS como modelo aproximado de muchos movimientosperi6dicos distintos, como lavibraci6n del cristal de cuarzo de un reloj de pulso,el movirniento de un diapason, Itt corriente electrica eli un circuito de corriente al -terna y lasvibraciones de los atomos en molecules y solidos,

Ecuac iones de l mov im ien to a rmon ico simplePara explorar las propiedades del movimiento arm6nico simple, debemos expresar eldesplazamiento x del cuerpo oscil ante en funcion del t iernpo, x (t). La s eg un d a deriva-da de esta funci6n, d2xldt2, debe ser igual a (-kim) multipl icado por la . funcion mis-rna, como 10 pide la ecuacion (13.4). Como ya dijimos, las formulas para aceleracionconstante de la seccion 2.4 no sirven porque la aceleracion cambia constantemente alcambial"x. En vez de ella, obtendremos x (t) ap ro ve ch an do la notable similitud e ntre eli \ r1AS y otra fo rma de movimien to que ya eSfudianbosde ta l l adamente ,La figura 13.4 muestra una vista superior de un disco horizontal de radio A con

una bola pegada a su borde en el punto Q ..El discolkira con velocidad angular cons-tante (;)(en rad/s), asi que la bola tienemovimiento circular uniforme. Un haz deluz horizontal incide en e l disco y proyecta la sombra de labola en una.pantalla, Lasombra en P oscila conforme la bola se mueve en un circulo. Luego instalamos uncuerpo sujeto a un resorte ideal, como la combinacion de la figura 13.1,.de mod.oque el c ue rp o o sc ile p ara le lo .a lit s om b ra . D em o stra re m os qu e el movimiento del

4Fuerza de restitucirin F,

-,,/,Caso"ideal( F : , = = -kx) Desplazamiento

Caso realtipico" /"""-,

13.3 E n c as i to da s la s o sc ila cio ne s re alela fu erza d e re stitu tio n n o e s d ire cta me ntp ro po rc io na l a l d es pla za rn ie nto . N o o bs -tante, F " = = =kx su ele se r u na b uen aaproximacion si el desplazamiento xes suficientemente pequefio.

Pantalla

-.4.Sombrade la boll!o. P A .

La luz brilla ell el aparato, creandola sombra de la bola ell la palilalia

13.4 La bo la en el .punto Q gira en mov imiento c ir c ul ar u n if o rm e a n ti ho r ar io ,Su sornbra en el punto P se mueve.enmovimiento arrn6nico s imple , exactamenigual que un cuerpo que oscila eHUDresorts ideal.


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480 CAP f T U L 0 13 I Movimiento peri6dico

cuerpo y el de la sombra de la bola son identicos si Iaarnplitud de la oscilaciondel cuerpo es igual al radio del disco A y si la frecuencia angular 2'ITf del cuerpo os-cilante es igual a la rapidez angular t del disco. Esto es, el movimientoarmonicosimple es la p ro ye cc io n d el m ov im ie n to circular u n if orme s ob re u n d iam et ro .Podernos comprobar esta notable afirmacion calculando la aceleracion de lasombra en P y cornparandola con Ia aceleracion de un cuerpo en MAS, dada por

la ecuacion (13.4). El circulo en el que la bola se mueve de modo que su proyec-cion coincide con el movimiento del.cuerpo oscilante se denomina circulo de re-ferencia; llamaremos a Q el punta de referencia. Tomamos el circulo dereferencia en el plano xy, Call el origen 0 en el centro del circulo (Fig. 13.Sa). Enel in s tan te t, el vector OQ del origen al punto de referencia Q fo rma un angulo e COlI eleje +x. Al girar Q en el ctrcuto de referencia con rapidez angular constante w , el vec-tor OQ gira con la misma rapidez angular. Semejante vector giratorio se denomi-na fasor. (Este terrnino estaba en uso mucho antes de inventarse el arma delmismo nombre del programa de TV "Viaje a las estrellas". El metodo de fasorespara analizar oscilaciones es util en muchas areas de la fisica, Usaremos los faso-res cuando estudiemos los circuitos de eorriente alterna en el capitulo 31 y la ill"terferencia de la luz en los capitulos 35 y 36.)La componente ; del f a so r en el in s tan te t es la eoordenada x del punto Q :

x = A cos ()Esta es tambien la coordenada x de la sornbra P, que es laproyeccion de Q sobreel eje x. P or tanto, la aceleracion de P sobre el eje x es igual ala componente x delvector de aceleracion del punto de referencia Q (Fig. l3.Se). Puesto que Q esta enrnovimiento circular uniforme, su vector de aceleracion a Q siempre apunta haciaO . Adem as , la magnitud de aQes constan te y es igual a la ve loe idad angular alcuadrado multiplicado por el radio del circulo (vease la seccion 3.4):

La figura 13.5c muestra que la componente x de g Q es ax= =aQ cos e . Combinan-do esto can las ecuaciones (13.5) y (13.6), vemos que la ace le rac ion de P es

o sea

La aceleracion del punto P es direetamente proporcional al desplazarniento x ysiempre tiene el signo opuesto. Estas son preeisamente las caracteristicas del mo-vimiento armonico simple.La ecuacion (13.8) es exactamente igual a laecuacion (13.4) para laacelera-

cion de un oscilador armonico, siempre que Ia velocidad angular w del punto dereferencia Q este relacionada can la constante de fuerza k y la masa m del cuerpoosoilante por, 'j!;sea (U = = -mHemos estado usando el.mismo simbolo w para la velocidad angular del punta de re -ferencia Q y lafrecuencia angular del punto oscilante P. La razon es que estas can-tidades son iguales, Si Q completa una revolucion en un tiempo T , P completa unciclo de oscilacion en el mi smo tiempo; par tanto, T es el periodo de la oscilaci6n.Durante el tiempo T , el punto Q gira 2'IT radianes, asi que su rapidez angular es w ~ 2'frIT.

-t

(13.5)

(13.6)

(13.7)

(13.8)

(13.9)


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13.2 I Movimiento armonico simple

yDesplazamiento < E - . . Velocidad

. I xux= -uQs~n8

(a) (b)13.S (a) La coordenada x de Iii sombra de la bola P (Fig. 13.4) cambia al girar la bola Qen movimiento circular uniforme. (b) y (c) La velocidad x y la aceleracion x de P son lascomponentes x de los vectores de velocidad y aceleracicn, respectivamente, de Q .

S i l l es 1a ecuac i6n (13.2) para 1a f r ecuenc ia angular de P, y esto verifica 10 que he-m os d jcn o scercs de Ja s dos ln te rpretac jones de co .E s por e llo q lJe introdujimos Iafrecuencia angular en la seccion 13.1; es la cantidad que conecta la oscilacion y elmovimiento circular. As! pues, reinterpretamos la ecuacion (l~@) como una expre-s ion de la frecuencia angular del movimiento armonico simple para un cuerpo de rna-sa .m sobre el que actua una f ue rza d e re stit uc io n con constan ts de fuerza k:

w= { k\j;"----

(13.10)movimiento armonico simple)Cuando un Cllerpo comienza a oscilar en MAS, no podemos escoger el valor de o),pues esta predeterrninado por los valores de k y m. Las unidades de k son N/m 0kg/s', as! que kim esta en (kg/s2)/kg =S-2. Cuando obtenemos laraiz cuadrada enla ecuacion (13.10), obtenemos S~l 0, mejor dicho, rad/s, porque se trata de unafrecuencia angular (recuerde que el radian no es una unidad verdadera).Segun las ecuaoiones (13.1) y (13.2), la frecuenciafy el periodo Tson

w 1~I=ir=>: -2 . ' / T 2 7 7 m (movimiento a~mo~ico simple) (13.11;

(movimientoamrontso simple) (13.13)

Por la ecuacion (13.12), vemos que una masa mayor m, con su mayor mercia, tienernenos aceleracion, se mueve mas lentamente y tarda m as en completar un cielo(Fig. 13.6). En eontraste, till resorte mas duro (con mayor constante de fuerza k)ejerce una mayor fuerza para una deformacion x ~ada, causando una mayor acele-racion, velocidades mas altas y ciclos mas cortos., ', 1D Podemos meternos en problemas's] no distinguimos entre fre-eueneia fy freeuencia angular w = 2r.f La freeueneia nos dice cuantos ciclos deoscilaci6n 5e dan por segundo; w nos dice a cuantos rad!anes por segundo co-rresponde esto en el drculo de referenda. Al resolver problemas. ffjese bien siel objetivo esobtener f u w.

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y

(e)

Brazos con masa grande m:frecueucia baja f=US Hz

Brazos con masa pequeiia m :frecuencia alta f = = 4096 Hz

13.6 Cuanto mayor es 1amasa m de losbrazos de un diapason, mas baja es la fre-cuencia de oscilacion f = (1r.)~y mas bajo es el tone del sonido producidopar el diapason.


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r

48 2 CAP f T U 1.;0 13 I Movimiento periodicoLas ecuaciones (13.11) y (13.12) muestran que el periodo y la frecuencia de

movimiento arrnonico simple estan determinadas solamente por la masa m y lcon stante de fuerza k. En el movimiento armonico simple, elperiodo y lafrecuen-cia no dependen de fa amplitud A. Para valores dados de m y k, el tiempo de unaoscilacion completa es el mismo, sea la amplitud grande 0 pequef i a , La ecuacion(13.3)muestra par que esto es logico. Una mayor A implica que la masa alcanzavitiO r es m a y or es de I x l y se somete a fuerzas de re sta ura cio n m a yo re s. Esto aumen -ta la rapidez media del cuerpo durante un ciclo completo, 1 0 que.compensa exac-tamente la necesidad de recorrer una mayor distancia, de modo que el tiempo totales el mismo.Las osc i l ac iones de un diapason SOn en esencia movimiento armonico simple, 1

que implica que siempre vibra con la misma frecuencia, sea cual sea la amplitud,Esto permite usar el diapason como estandar para tono musical. Si no fuera por esta caracteristica del movimiento armonico.simple, seria imposible hacer que losr el oje s m e o an ic o s y electronicos que conocemos fueran exactos, a tocar af inadamen-te la mayor parte de los instrumentos musicales. Si encon tram os un euerpo oscilantecuyo periodo sf depende de la amplitud, su movimiento no es armonico simple.

Ejemplo13.2 Frecuenda angular, frecuencia y periodoen MAS

Un resorte se menta horizontalmente con su extrema izquierdo fi-jo. C on ec tan do un a balanza de resorte al ex tre mo lib re y tirando hac iala derecha (Fig. 13.7), determinamos que la fuerza de estiramientoes proporcicnal al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causaWI desplazamiento de 0.030 ill. Quitamos la balanza y conectamos uncuerpo de 0.50 kg al extremo, tiramos de 6 1 hasta moverlo 0.020 m,10 soltamos y vemos como osci la, a) Determine la constante defuerza del resorte. b) Calcule: la frecuencia angular, la frecuencia yel per iodo de la osc i l ac ion ,' , u I 1 ( 3 I - " 9I DENT I F ICAR : Dado que la fuerza del resorte (con magnitud iguala la fuerza de estiramiento) es proporcional al desplazamiento, elmovimiento es armonico simple.PLANTEAR : Obtendremos el valor de k usando la ley de Hooke,ecuaci6n (13.3), Ylos valores de w,J y T, usando las ecuaciones(13.10), (13.11) y (13.12), respectivamente.E J ECUTAR : a) Cuando x = 0.030 m , la fuerza que. el resor te ejercesobre el cuerpo es F, '" ~6.0 N. Por la ecuacion _ ( i 3.3),)

F, -6.0N '2k '"' ~ _:_ = - --- = 20 0 N/m =200 kg/51x 0.030 m i~b) Usando m =0.50 kg en la ecuaci6n (13.10), vemos que

w = j f = 200 ko-Js20.50 ; g = 20 rad/s

La frecuenciaj'esw 20 rad/s/ = - = . = 3.2 ciclos/s = = 3.2 Hz277 2fr rad/ciclo

EI periodo T es el reciproco de la frecuenciaJ:1 1T =~= . = 0.31 s/ 3.2 ciclos/s

El.periodo por Jo regular se da en "segundos", no en "segundos porciclo".- E VALUAR : La amplitud de Iii oscilacion es de 0.020 m, Ia distanciaala derecha que movimos el cuerpo conectado al resorte antes desoltarlo. No necesitamos esta informacion para calcular: la frecuen-cia angular, la fre cu en cia u i e l periodo porque, en MAS , n in gu na deesas cantidades depende de la amplitud.

o O.030m13.7 La fuerza ejercida sobre el resorte (indicada por el vectorF)tiene componente x F,=+6.0 N. La fuerza ejercida.por.elresorte tiene componente x F,= ~6.0N.


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13.2 I Movimiento armonico simple

Desp lazamiento , ve loc idad y aceleraclon en MA SAun necesitamos 0btener el desplazarniento x en funcion del tiempo para un osci-Iador armonico. La ecuacion (13.4) para un cuerpo en rnovirniento armonico sim-ple en el ej exes identic a a la ecuacion (13,8) para la coordenada x del punto dereferencia en movimiento circular uniforme con rapidez angular constanteU > = ~. Se sigue que la ecuacion (13.5), x =A cos e , describe la coordenadax para ambas situaciones, Si, en t = 0, el fasor OQ forma un angulo c P con el eje+x, en cualquier instante posterior t, este angulo sent e = _ ca t + c p o Sustituimos estoen Ia ecuacion (13.5) para obtener

.c== A cos _ C w t " " - + 4 > J - = = - - CaesplazaQlientP en MAS) (13.13)donde w :;;;:~ . La figura 13.8 muestra una grafica de la ecuacion (13.13) pa-ra el caso en que c P =O.Bl desplazamiento x es una funci6n pericdica de t, comose espera en MAS. Tambien podriamos haber escrito la ecuacion (13.13) en termi-nos de la funcion seno en lugar de coseno usandola identidad cos 0' = sen (0' -l-7ii2). En el movimiento armonico simple, la posicion es una funcion periodica se-noidal del tiempo. Hay muchas otras funciones periodicas, perc ninguna tan con-tinua y simple como una fun cion seno 0 coseno.EI valor del coseno siempre esta entre ~ 1 y 1, asi que en-l-a.ecuacion (13 .13) x

siempre esta entre -A y A~Esto confirrna que A es la amplitud del movirniento,La figura 13.9a muestra la grafica de x contra t para diversos valores de A . .EI periodo T es 10 que tarda un ciclo de oscilacion. La funcion coseno se repite

cada vez que la cantidad entre parentesis en la ecuaci6n (13.13) aumenta en 2 1 T ra-dianes , Si comenzamos en t = = 0, el tiempo Tpara comp l etarun c ic lo e st a dado por

wT"" ' " -~ T= 27 1 0 T= 2r.-Rque es la ecuacion (13.12). Un cambio de molt altera el periodo de oscilacion, co-mo se muestra en las figuras 13.9b y 13.9c.La constante de la ecuacion (13.13) es el angulo de fase; nos dice en que

punto del ciclo el'movimiento estaba en t = 0 (0 en que parte del circulo estabael punto Q en t = 0). Denotainos la posicion e n t = con X o . Sustituyendo t = 0 yX =e Xo en Ia ecuacion (13.13) obtenemos

X o = A cos (13.14)

x

o~I 3(a) A aurnenta; misrnas k y ni

.o r1 2 3

483.r:w,2T \

-A13.8 Grafica de x contra t [ecuaci6n(13.13)] para movimiento armonico sim-ple. Aqui, 4 > =O.

x_, 2 1

(b) m aumenta; mismas A y k3.9 Variaciones del movimiento armonico simple. En todos los casos, 4 > =O.(a) La am-

-:-lirudA aumenta de la curva 1a la 2 ala 3. El cambio de arnplitud no afecta el periodo,) La masa m aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar m solo aumenta el periodo. (c) La constan-

- de fuerza k aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar k sola reduce el periodo,

(e) k aumenta; misrnas A yin


9/

48'4

x I Diferente < / ; ; mismas A, k y m I

A0-A 11

1 1 1

T T 3T4 2 413.10 Estas tres curvas ilustran un MAScon el mismo periodo y ampJitud peroangulos de fase c P distintos,

~~. IoE-T~Ao t,- -A

(a) Desplazamientov, : :

V~'X""WA~ ..... 1 . . . . . - 1O 1 I , I I-v ~ = ~wA

at T 2T(b) Velocidad

ala 2A~'" : :m1x=W. . 1 . 1O' t

-am'" = ~w2A I . . 1T 2T

(e) Aceleracion13.11 (a) Grafica de x contra t para MAS.En esta grafica, r P " " 7


10

13.2 I Movimiento.armonico simple 48Tambien es facil calcular la amplitud A si conocemos Xo Y Vox' Bosquejaremos ladeduccion y dejarernos los detalles al lector. Eleve al cuadrado la ecuacion(13.14); divida la ecuacion (I3.17) entre w, elevela al cuadrado y sumela al cua-drado de la ecuacion (13.14). El miembro derecho sera A2(senL 1 > 4" cos2 1 , quees igual a A2 . El resultado final es .

?V -A"" X0 2 +4w-Observe q u e , si el euerpo tiene un desplazamiento inicial X o Yuna veloeidad ini-cial VOx distinta de cero, Ia arnplitud A no es igual al desplazamiento inicial. Eso esIogico, Si el cuerpo parte de un Xo positive y se le imparte una velocidad positivav o x , llegara m a s lejos que Xo antes de regresar. "

(amplitud en MAS)

" '"EIirat~giap a r a .resolver problemas

A C ( l VP h y s c s9.1 Graficas y scuaciones d e p o si ci o

(13.19)9.2 Description de rnovimientosde vibracion .9 .5 Mono.deja caer a Tarzan

Movimiento arrnenlco simple II DENT I F I CAR los conceptos relevantes: Un sistema oscilante E J ECUTAR l a solucion como sigue:tiene movimjento. arrnonico simple (MAS) .unJcamente si 1a L U~fa; ecuaciones d~d.as en las secciones 13.1 Y13.2 pa-fuerza de restirucion es directamente propore onal al desplaza- /_ obtener las 'incognitas,mien t o . As eg ii re s e de que es~o s e cumpl.a en la 81 ci6n del pro- __..A. S i n ec es i ta calcul~r el a ngu lo d e fase, tenga cuidado. ~eblema antes de tratar de aplicarcualquiera de los resu s


11

486

_ 2 V n ?XQ +-,W-A=CAPflVLO 13 I Movimiento periodico

.x = (0.025 m) cos [(20 radls)t - 0.93 rad]D, = - (0.50 m/s) sen [( 20 rad/s ) t - 0.93 fad]ax = - (10 TIl/s2) cos [( 20 rad/s ) t - 0.93 rad]

La velocidad varia senoidalmente entre -0.50 m/s y +0.50 m/s, Laaceleracion varia senoidalmente entre -10 m/s? y + 10 nu's2.

2 (OAO m/s)2(0.015111) + ( ) 220 rad/s"" 0.025 mPara obtener e1angulo de fase < p , usamos la ecuacion (13.18): E V A L U A R : : Puede comp r oba r los resultados para x y u, e n f un c io ndel tiempo sustituyendo t= 0 y evaIuando el resultado. Debera ob-

t ener x =Xo = 0.0-15 111Y v, = = v o x = 0040 m/s , ( ,Es asi?(-DO, )< p = arctan WXn

( - 0 .40 mls )"" arctan (20tad/s)(0.015m) = ~53 = = -0.93radb) E1 desplazamiento, la velocidad y la aceleracion en cualquierinstante estan dados por las ecuaciones (13.13), (13.15) Y(13.16),respectivamente. Sustituyendo los valores, obtenemos

- \

A d j V -P LONLNEnys CS9.3 E nerg ra d e vib rac i6 n9.4 Dos forrnas de m edir la m asade l j o ven Ta rzan9.6 L ib e ra c i6n de un esqu ia dorqu e vib ra I9.7 l. ib e ra c io n de un esqu ia dorq ue v ib ra II

S e da la po s ic ion de- ie r to ob je to en MAS en func i 'n 'd e l tiem po : x = (0.050 m )co s [(290 rad/sjr + (2,5 rad)] . Calcule: la ~ per iodo , angulo d e fas e y po -s ic io n in ic ia l p ara es te m ovim ie nto .

13.3 I E n erg ia e n el mo vim ie nto armonlco simplePodernos aprender aun m as ace rea d e l mov im i en t o a r rn o n ic o s imple u sando cons ider a-c io ne s d e e ne rgf a. E xam in em o s o tr a vez e l cu erpo que osc i la en e l ex trem o de u n r es o r-te en la figu ra 13.1 . Y a s~ alam os que la fu e rza de l reso rte es la un ic afu erza hor izon ta lqu e acn ia sob re e l cu erpo . La f ue rza e je rc id a p or u n resorte i de al e s e o ns e rv ad o ra y la sfu erzas ve rtie a les no efe cn ian trab a jo , as i qu e la en e rgia m ecanea to ta l d e l s is tem a seconserva. Tamb ie n s u po n dr emo s que 1amasa d el re so rte e s d es pre cia ble .

La energia cinetica de l cuerpo es-K = tmv2 y la e nergia p ote nc ia l d el re so rtees U = & k X 2 , igu a l que en la seccion 7.2. (Seria util re pa sa r es a seccion.) No hayfuerzas no con servado ras que efecnien t rabajo, asi que la energia mecanica totalE = K + U se c on se rva :

1 2 1 2E = - mv + - kx ;= c on sta nt ..2 x 2 !I'"I(D ad o _ qu e e l m ovim ien to es u nid im en sio na l, 02 = V/. )L a en ergfa m ecan ica to ta l E ta m bie n e sta re la cio na da d ire cta m en te c on 1 a am p litu dA de l m ovim ien to . C uando e l cu erpo llega a l pun ta v = = A, su d esp la zam ien to es m axi-m o resp ec to a l equ ilib r ia , s e d e tie n e m om en tan eam ente an te s d e vo lve r hac ia la po s i-c ion de equ ilib r ia . E s d ec ir, c u ando x =A(o ~A), v~ = = O .Aqu i, la en e rgia es so lopo tenc ia l iE = !kA2. Pu esto q ue E es cons tan te , es ta can tid ad e s igua l a E e n c ua l-qu ie r o tro pun to , C om bin ando es ta exp re s ion con la ecuac ion (13.20), ob t en emos

(13.20)

(13.21)1 1 1E = -mv 2 :I- - kx'2=. - kA2 = eons tan te2 x . 2 _ 2(en ergta m ecan ica to ta l ' en M AS)


12

13.3 I Energta en el movimiento armonico simple 48

o

-

I IE K U E K UK U E K U

Podemos verificat esta ecuacion sustituyendo x y V, de las ecuaciones (13.13) y(13.15) Y usando w2 =kim de 1aecuacion (13.9):

1 1 1 7 1E = -mvx2 + -kx2 = -m[-wA sen (wt + )]- + k[A cos (wt + 4 ] 2'_ 2 - 2 2 2~kA' sen' ( w I + "') + k k A ' cos? ( W I + )

= 1 1 4 2 - - . "2 \ _ _ _ .(ReCUerde~e serr' a + cos? a = 1.) Por tanto, nue,stras expreslO,nes ~~ra el despla-zarmento y a velocidad en MAS son congruentes con la conservacron de la ener-

gia, como ebe ser,Pode)llos u.sar 1a ecuacion (13.21) para calcular la velocidad O x del cuerpo en

un desplazamiento v :

(13.22)El signo implica que, para un valor de x dado, el cuerpo se puede estar movien-do en cualquiera de las dos direcciones (de ida 0 de regreso), Por ejemplo, cuandox= AI2,

La, ~cuaci6n (13.22! ,tambien muestra ~a r.apidez maxima v m a x se da en x=O.Utilizando la ecuacion (13.10), w = V kim, finalmente encontramos que

Vmlix = JEA = wA (13.23)E8tOconcuerda con Ia ecuacion (13.15), que mostro que Vx oscila entre -wA y 4 -- wA.La figura 13.12 muestra las energias: E, K y Ulen: x =0, x = = ::tA12 y x = A. La

figura 13.13 es una representacion grafica de 1a ecuacion (13.21); 1a energia (ci-netica, potencial y total) se grafica verticalmenteey 18:,coordenada X , hOTIzontal-mente. La curva parabolica de la figura 13.133. representa 1a energia potencialU = = ~ kx 2. La linea horizontal representa 1aenergia mecanica total E, que es cons-tante y no varia con x. Esta linea interseca la curva de energia potencial en: x = = -AYx =A, dOlide la energia es s610 potencial. En cualquier valor de x entre -A y A,la distancia vertical entre el eje x y la parabola es U; dado que E = K + U, la dis~

e K U13.12 En el MAS, la energia rnecanica total E es constante, transformandose conti-nuamente de energia potencial U a energiacinetica K y de regreso conforme el cuerpooscila.

A c t , O vP LONl NEnyscs9,8 Sistema. vibratorios de uno y cosresor tes9.9 Vibrojuego

(a)

(b)

113.13 Energia cineticaK, energia poten-cial U y energia mecanica total E enfuncion de la posicion en MAS. Paracada valor de x, la suma de K y U esigual al valor constante de E.


13

488 CA pfTU L0 13 I Movimiento peri6dicotancia vertical restante hasta la linea horizontal es K La-figura 13.13b rnuestraK y U como funciones de x. AI oscilar el cuerpo entre -A YA, la energia se transforma continuamente de potencial a cinetica y viceversa,La figura 13.13a muestra la relacion entre la amplitudA y la energia mecanica

total correspondiente, E = !A 2. Si trataramos de hacer a x mayor que A (0 menor que -A), U seria mayor que E y K tendria que ser negativa. Esto es imposibleas! que x no puede ser mayor que A ni menor que -A.

Es tr at eg ia pa raresolver problemas Movim ien to armon ico simple 1.1La ecuacion de energia (ecuacion 13.21) es una relacion alternautil entre: velocidad y posicion, sobre todo cuando tambien sepiden energias. Si el problema implies una relacion entre: posi-cion, velocidad y aceleracion sin referencia al tiempo, suele sermas facil usar la ecuacion (13.4) (de la segunda ley de Newton)o la (13,21) (de la conservacion de la energia) que usar la expre-

sian general para: x, Vx Yax en funcion de t [ecuaciones (13.13),(13. 1 5 ) Y ( 13 .1 6 ), respectivarnente]. Dado que en la eeuacion deenergia intervienen ~ y v}', no podemos conocer el signo de xill de v,,; debemos inferirlo de la situacion. Por ejemplo, si eleuerpo se rnueve de la posicion de equilibrio hacia al punto dedesplazamiento positivo maximo, x y v" seran positivas. '

-E jemplo13.4

IVelocidad, aceleracion

En la oscilacion descrita en el ejemplo 13,2, k = 200 N/m, m = .50 kgY [a masa oscilante se sue l ta del repose en x = 0,020 m. a) C culelas velocidades: maxima y minima que alcanza el cuerpo al osc arcb) Calcule la aceleracion maxima. c) Determine: la velocidad yaceleracion cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del caminohacia el centro desde su posicion inicial. d) Determine las energias:total, potencial y cinetica en esta posicion,IDENT IF ICAR: Observe que el problema se refiere al movimientoen diversas posiciones del movimiento, no en instantes especificos,Esto nos sugiere que podemos usar las relaciones de energia quededucimos en esta seccion, despejando de ellas las incognitas.PLANTEAR : La figura 13.14 muestra que escogimos el eje X. Encualquier posicion x, usarernos las ecuaciones (13.22) y (13.4) paraobtener la velocidad v, y la aceleracion a" respectivamente, Te-niendo la velocidad y la posicion, usaremos la ecuacion (13.21) pa-raobtener las energias: K, Uy E.

tas imaqenes equiespaciadas del cuerpo no estan equiespaciadasen 1 0 1 tlernpo.

IEJECUTAR ; a) La velocidad vx para cualquier desplazaiyliento x es-ta dada por la ecuacion (J 3,22):

La velocidad maxima se da cuando el cuerpo 5emueve hacia la de-recha y pasa por la posicion de equilibrio, donde x = 0:

)200N/mVx = Vrna, = . A = (0,020 m ) = 0.40 m/s. 0.50 kgLa velocidad minima (la m as negativa) s e da cuando e l cuerpo se mue -ve bacia l a i zq u ie r da y pasa por x = 0; su valor es -Urn< = -0.40 m/s ,) Por Ia ecuacion (13.4),

II- -~ ~ ~ ~ ~ : - -- - _ _ - +- - _ _ --.~~~-d~-- __- -+ -- -- - _ _ xI-------1I--___f~~--~L-----1_------~~----x

--x"-x

-A -AI2 o13.14 Un euerpo se conecta a un resorte, se lleva alma distanciaA deIa posici6n de equilibrio y se suelta, La figura muestra lavelocidad y aceleracion en nueve puntas del movimiento.


14

13.3 I Energia en el movimiento armcnico simple 4La aceleracion maxima (mas posit iva) se da en el valor mas negati-vo de x, 0 sea, x '" -A; por tanto,

k 200 Nlma . = --( -A) =- (-0.020 m ) = 80 m/s2max m 0.50 kg .La aceleracion minima (ma s negativa) es -8.0 m/s? y se da en x =+A =+0.020 m.c) En un punto a [a mitad del camino hacia el centro desde la posi-cion inicial, x =AI2 =0.0 10 01. Por la ecuacion (13.22),

200N/mVx = = - 0.50 kg v'(0.020 ill)2 - (O.OlO m )? = -0.35 m/sEscogemos la raiz cuadrada negativa porque el cuerpo se mueve dex =A hacia x =O.Par la ecuacicn (13.4),

200N/m ?a =- (0 O lD m ) = ~4 .0 m/s".r 0.50 kg .En este punto, la velocidad y la aceleracion tienen el mismo signo,as! que la rapidez esta aumentando. Enla figura 13.14, se muestranlas condiciones en x = 0 , x = i :A12 Y x = ::! :A.

d) La energia total tiene el misrno valor en todos los puntos durte e l movimiento:

E = ~kA2 = ~(200 NlmHO.020 m ) :' = 0.040 JLa energla potencial es

1 ? l( )(.),U = "2kr = " 2 200 N/m 0.010 m - = O.OlD Jy la energia cinetica es

1 , I ( o . s ) ( ) ' . .K = = " 2 mu; = " 2 0.)0 kg - 0.35 m/s - = 0.030 JEVALUAR : En el punto x =A12, la energia es una cuarta parte engia potencial y tres cuartas partes energia cinetica, Puede compbar este resultado exarninando la fig. I3 .13b.

Ejemplo13.5 Energia y cantidad de movimiento en MAS

Un bloque con mas aM, conectado a un resorte horizontal con cons-tante de fuerza k, se mueve en movimiento armonico simple canamplitud A J. En el instante en gue el bloque pasa por su posicion deequilibrio, se deja caer un trozo de rnasilla con masa m verticalmen-te sabre el bloque desde una altura pequefia y se pega a el (Fig.

Po si ci on d e e qu il i b ri o .(a)

Masilla

~~~OhAl I!

Po s ic i on d e equ il ib r ia(b)

13.15 (a) Un trozo de rnasilla cae sabre un bloque oscilante al;mar este par el equilibrio. (b) Un trozo de masilla cae sobrecl bloque en x =A J

13.1Sa). a) Calcule la amplitud y el periodo' ahora. bj.Repita la pte (a) suponiendo que la masilla se deja caer sobre el bloque enextremo de su trayectoria (Fig. 13.1Sb).11)"(;[aIDENT IF ICAR: EI problema implica elrnovimiento en una posicidada, no un instante dado, as! que usaremos metcdos de energia pra resolverlo. Antes de que la masilla toque el bloque, la energmecanica del bloque y resorte son constantes, EI contacto entremasilla y el bloque es un choque totalmente inelastico (seccic8.3); la componente horizontal de la cantidad de movimientoconserva, pero la energia cinetica disminuye. Despues del chequla energia mecanica se mantiene constante con un valor diferenUsaremos este principio para calcular la nueva amplitud (que erelacionada con la energia total del sistema). Obtendremos el nuvo periado empleando la relacion entre periodo y masa,PLANTEAR : La figura 13.15 muestra las coordenadas que escogmos. Las incognitas en cada parte son: la amplitud A 2 y el perioT2 despues del choque. En cada parte, consideraremos que sucedantes, durante y despues del choque.E J ECUTAR : a) Antes del choque, la energia mecanica total del bque y el resorte es E. = ~kA}.Puesto que el bloque esta en la pocion de equi l ibr io, U = > . 0 y la e ne rg ia e s p u ram e nt e cinetica, S i VIla rapidez del bloque en la.posicion de equilibrio, tenemos

E =!.Mu 2 = l .kA 2 as f que u = f I _ AI 2 I 2 I I \j;; IDurante el cheque, la componente .r de la cantidad de movimiendel sistema de bloque y masilla se conserva. (l,Por que") Justo a


15

J 490 CAP f T U L 0 1 3 I M ovim ie nto per iod ico

~1;=21IR

M b) Al c . la masilla sobre el bloque, este esta ruomentaneamenteMVI + 0 = (M + m)v2 a s! q ue V2 = ---V e~re. to da la e ne rgia rn ec an ic a e sta a lm a ce na da en e l resorteM_+ m 'co a energia potencial La componente x de le cantidad de movi-

El cheque dura muy poco, as! que poco despues el bloque y 1a niiento es Ceratanto; antes Comodespues del cheque EI bloque te-n:asillaaun es.Uinerca e:1la_posicIonde equilibrio. La energia si~ nia cera energia cinetica justa antes del choque, y eI bloque y lasiendo exclusivamente cinetica, pew menor que ante~~ masilla tienen cera energia cinetica inrnediatamente despues, En

~ 1. 1 M" ? M (1) e~te.ca s 0 . , pnes.' la adiclon de lamasa extra no afecta ia energia me-, = -(M + m)v 2 = -~v - =--- -Mv 2 camca, Es decir"2 2 2M+m M+m2 I ,

= ( A t : m ) E l 2 = = t; = = k A /y Ia amplitud despuesdel cheque es la misma C A 2 =A I ) ' Elperiodosi. cambia al agregarse la masil la; su valor no depende de como seagrego la rnasa, s610 de lamasa t~ T 2 es sl mismo que obtu-vimos en la parte (a), T2 = = 21;''1/ (M + m )/k.

tes del cheque, esta compcnente es la suma de MVI (para el bloque)y cero (para Ia masi l la) , Justo despues del choque, e l blcque y lamasilla se mueven Juntos can rapidez V2, y su componente x de can-t idad de mo v im i en to c om b in a da es (M+ m )v 2 Po r 1 a c o n se rv a ci onde la cantidad de movnniento.

Dado que 2 =~kAl, donde A 2 e s Ja a mp litu d d es pu es d el c he qu e,tenemos

A2 ""AI) M~ mCuantomayorsea lamasam de lamasilla, mellorsera la amplitud final.

Determinar el periodo de oscilacion despues del cheque es laparte facil, Usando la ecuacion (I3 .12), tenemos

-~VALUA


16

13.4 I Aplicaciones del movimiento armonico simple

f l ..(a) (b) (c)

13.16 (a) Resorte colgante, (b) Cuerpo suspendido del resorte. Cuando el resorte estaesrirado 10 suficiente como para que la fuerza hacia arriba del resorte tenga la mismarnagnitud que el peso del objeto, el objeto esta en equilibrio, (c) Si el cuerpo obedecela ley de Hooke, su movimiento sera armonico simple.

Sea x =0 Ia posicion de equilibria, can la direccion +x bacia arriba. Cuando elcuerpo esta una distancia z arriba de su posicion de equilibrio (Fig. 13.16c), Ia ex-tension del resorte es ! : : : . l - x. La fuerza hacia arriba que ejerce sabre el cuerpo esk(!11- x), y la componente x neta de fuerza sabre e l cuerpo es

FIlet. = k(!1I- x) + (~mg) = -kxesto es, una fuerza neta hacia abajo de magnitud Icc De forma similar, cuando elcuerpo esta debajo de la posicion de equilibria, hay una fuerza neta hacia arribade magnitud kx. En ambos casas, hay una fuerza de restitucion de magnitud kx. Siel cuerpo se pone en rnovimiento vertical, oscilara en MAS conla misma frecuen-cia angular que si fuera horizontal, W = ~. Por tanto, el MAS vertical no di-fiere en su esencia del horizontal. EI unico cambio real es que la posici6n deequilibri.~ x = = 0 ya ~~ corresponde al punto donde el resorte no esta estirado, Lasrmsmas ideas son validas cuando un cuerpo can peso mg se coloca sabre un resor-te compresible (Fig. 13.17) Y 10 cornprime una disrancia M

49

O bjeto d es plaza do d elequilibrio: la fu er za n ewe s pro porcio nal al

mg d es pJ az ar ni en to ; l aso sc ila cio ne s s on MAS

Ob je to e n e qu il ib ria :( fu er za d el r es or te ) =( pe so d el o b je to ),

13.17 Si el peso mg comprime eI resorteuna distancia At , la constante de fuerza esk = mgt!::.! y la frecuencia angular paraMAS vertical es to = ~; igual que S 1el cuerpo estuviera suspendido del resorte(Fig. 13.16.)

E j e m p J o13.6 MAS vertica l en un au to vie joLos amortiguadores de UD auto viej 0 de 1000 "kg estan vencidos.Cuando una persona de 980 N se sube lentamente al auto ell su cen-tro de graved ad, el auto baja 2.8 em. Cuando el auto, 'con la perso-na a bordo, cae en Ull bache, comienza a oscilar vertiblmente eni\1AS. Modele el auto y la persona como un solo cuerpo en un soloresorte, y calcule el periodo y la frecuencia de la oscilacion,'i,j!II3m lIDE NT IF IC AR Y PL AN TE AR : La situacion es parecida a la de lafigura 13.17. La compresion del resorte cuando se afiade el peso

adicional nos da la constante de fuerza, que podemos usaf para otener el periodo y la frecuencia (las incognitas).EJECUTAR : Cuando la fuerza aumenta en980 N, el resorte se comprime otros 0.028 Ill,Y la ccordenada x del auto cambia en -0.028m. Por tanto, la constante de fuerza efectiva (incluido eJ efectotoda la suspension) es

F~ 980 N 4'k = -- = - = = 3.5 X 10 kg/sox -0.028111


17

La rnasa de la persona es wig'" (980 N)I(9.8 m/sz) '" 100 kg. La ma-sa oscilante total es rn = = 1000 kg + 100.kg= 1100 kg, El periodo T es

~llOOkgT = 27 1 = 27 1 ? = 1.11 s

3,5 X 104 kg/s"

. . , 4 9 2

y la frecuencia es

13.18 Rueda de balance de un reloj rneca-nico. EI resorte ejerce un momento de tor-sion de-restitucion que es proporcional aldesplazarniento angular e . Per tanto, elmovimiento es MAS angular.

CAPIT ULO 13 I Movimientoperi6dico

1 1[=-=-- = 0.90 Hz, T 1.11sEVALUAR : Una oscilacion persistenre con un periodo aproximadode un segundo es muy molesta. E1 prop6sito de Ib s amortiguadoreses eliminar tales oscilaciones (vease la secci6n 3.7).

MAS angula rLa figura 13.18 muestra la rueda de balance de un reloj mecanico. La rueda tieneun momento de inercia Ialrededor de su eje. Un resorte espiral ejerce un mornen-to,de torsion de restitucion 7z proporcional al desplazamiento angular e respecto ala posicion de equilibrio. Escribimos 7z = -K(), donde K (la letra griega "kappa")es una constante Hamada c on sta n te d e to rs io n. Empleando la analogia rotacionalde la segunda ley de Newton para un cuerpo rigido, '2 : 7 , " " Ia,= = I d2eldt2, la ecua-cion del movimiento es

o bienLa forma de esta ecuacion es identica a la de la ecuaci on (13.4) para la aceleracionen movimiento arrnonico simple, sustituyendo x par e y kim por KIf. Asi, estamostratando can una forma de movimiento armonico simple angu lar . La frecuenciaangular w y la frecuencia f es t an dadas por las ecuaciones ( 13 .1 0) Y (1 3.1 1), res-pectivamente, con la rnisma sustitucion:

w=~ y f= 2 ~ j J (MAS angular) (13.24)EI movimiento esta descrito par la funci6n

()= e cos (w t + < p )donde e ("theta" mayuscula) hace las veces de una amplitud angular.Es bueno que el movimiento de una rueda de balance se a armonico simple. Si

no 10 fuera, la frecuencia podria dependerde Ia amplituci, y el reloj se adelantariao se retrasaria al ir disminuyendo la tension del resorte,*V ib ra cio nes d e rneleculasEn la siguiente explicacion de las vibraciones de las moleculas se usa I'll teoremabinomial. Si el estudiante no esta familiarizado con este teorema, le recomenda-mos-estudiar la seccion apropiada de su.libro de matematicas ..

Si do's atomos estan separadcs menos de unos cuantos diametros atcmicos,pueden e1Fcer fuerzas de atra,cc.ion entre S 1 . Por otra parte, si los atornos estan tancercanos que sus capas electronicas se traslapan, las fuerzas entre ellos son de re-pulsion. Entre estos limites, hay U11aseparacion de.equilibrio en la que los a tornosforman una molecula. Si los aromos sedesplazan ligeramente del equilibrio, os~i-laran, Veamos 8 i tales oscilaciones pueden ser armonicas simples.Como ejemplo, consideremos un tipo de interaccion entre Mamas llamada inte-

ra ccion de V an der W aa ls. Nuestro objetivo inmediato es estudiar las oscilaciones,


18

13.4 I Aplicaciones del movirniento arm6nico simple

C e rc a d el e qu il ib ri o, F, s e p ue deu

U ( a p r o x im a ci o n )--F"~ F, (aproximaeion)

E qu ilib ria e n r" Ro(U e s m i ni ma )-2Uo - I O U O I R O - E qu ilib ria e n r =RO(Fr es eero)(b) (e )a)

13 .1 9 (a) Dos atomos Call sus centres separados una distancia r, (b) La energia potencialU de la interacci6n de Van der Waals en funcion de r, (c) La fuerza F ; sobre el Mornaderecbo en funci6n de r,

asi que no entraremos en detalles respecto al origen de la interaccion. Tomemos elcentro de un atomo como el origen; el otro estara a una distancia r (Fig. 13 .19a). Ladistancia de equilibrio entre los centros es r =Ro , Se ha observado experimental-mente que esta interaccion se puede describir con la funci6n de)nergia potencial,

[ (R ) 1 2 ( R ) 6 ]U = U o - ; - 2 - ; (1325)donde Uo es una constante positiva can unidades de joules. Si los atomos estan rnuyseparados, U = 0; si estan separados por la distancia de equilibrio r =Ro, U = - Uo'La fuerza sobre el segundo atomo es la derivada negativa de la ecuaci6n (13.25),

r,= - d U = U o [ 1 2 R o 1 2 _ 2 6 ~ 0 6 ]= 12 V : , o [ ( R o ) 13 ~ ( R ~ ) 7 ] (13,26)dr 1'13 r' Ro r rLa energia potencial y la fuerza se grafican en las figuras 13, 19b Y 13, 19c respec-tivamente. La fuerza es positiva para r < Ro Y negativa para r >Ra, asi que es unafuerza de restitucion.A fin de estudiar oscilacionss de ampl i tud pequefia alrededor de la separac ion

de equilibrio r =Ro, introducirnos la cantidad x para representar el desplazamientorespec to al equilibrio:

x = r - Ro asf que r = Ro + xEn terminos de x, la fuerza F , . de la ecuacion (13 .26) se convierte en

(1 -t ~ / R o r ](13.27)

F,.:;:2 ~ O [ ( ~ ) 1 3 _ ( ~ ) 7 ] = 12 Uo[_1_Ro Ro + x Ro 4' x R o (1 + xlRo) 13Esto no se parece en nada a la ley de Hooke, F; = + kx , Ypodriarnos precipitamosala conclusion de que las oscilaciones moleculares no pueden ser MAS. Sin em-bargo, Iimitemonos a oscilaciones depequeha amplgud, de modo que el valor ab-soluto del desplazamiento x seapequeiio en comparaci6n con R o yel valorabsoluto de la raz6n xl Ro sea mucho menor que 1. Ahora podemos simplificar laecuaci6n (13.27) usando el teorema binomial:

n(n-I) " n(n-l)(n-2) 3(l+u)"=l+nu+ u-+ u + ... (13.28)2! 3!

493


19

494 CAP fr U L a 13 1 Movimiento periodicoSi l u i e s mucho menor que 1,cada termino sucesivo de laecuacion (13.28) es muchomenor que el anterior, y podemos aproximar (1 + u) " con solo los dos primeros ter-minos. En Ia ecuacion (13.27), u es reemplazado por xlRo y n es -13 a -7, asi que

1 x(1 )1 ' = (1 + xIRo) - 1 3 = 1 + (-13)-+ x/Ro j Ro(II p=(1+X/R o )-7=1+(-7).!:. . .+~~ ~Fr= 1 2 ~ ~ [ ( 1+ ( - 1 3 ) ; J - ( 1 + c - n ; J J = ~ ( ~ ! ? ) x (13.29)

Esta es la ley de Hooke con k=nUr/Rl (Observe que k tiene las unidades co-rrectas, J/m 2 0 N/m.) As], las oscilaciones de las male cu l as unidas por interaccionde Van der Waals pueden ser movimiento armonico simple si la amplitud es pe-queiia en comparacion con R(h hacienda valida la aproximacion IxlRol 1 em-pleada al deducir 1aecuacion (13.29).Tarnbien podemos demostrar que la energia potencial U de la ecuacion (13.25)

se puede escribir como U = 1kx2 + C, donde C = -Ua y k es de nuevo igual anUr/R{ La suma de una constante a la energia potencial no afecta la interpreta-cion fisica, asi que-elsistema de dos atomos no es fundamentalmente distinto deuna masa unida a un tesorte horizontal para e1que (j = 1kx2. Se deja la demos-traci6n como ejercicio.

Ejemplo13.7 Vibracion molecular

Dos atomos de a rgon pueden formar una molecula debilrnente uni-da, Arb -gracias a una interacci6n de Van der Waals con Vo = 1.68 X10-11 J y R o =3.82 X 10-10 m. Calcule Ia f recuenc ia de oscilacio-nes pequeiias de un atorno alrededor de su posicion de equilibrio.l i e lW3UU'IDE N TIF IC A R Y PL AN TE A R: Puesto que l a s o s c il ac io n e s son pe-quefias, podemos usar la ecuaeion (13.11) para obtener 1afrecuen-cia del movimiento arm6nico simple. La constante de fuerza estadada por la ecuacion (13.29).EJECUTAR : La constante de fuerza es

_ 72Uo ~ 72 ( 1.68 X 10-211) _ . 2 _k - -2-. - ( ~IO )' - 0.829 JIm - 0.829 N/mRo 3.82 X 10 m r'Bsta es comparable a la constante de fuerza de los resortes de ju-guete flojos, como SlinkyTM.

De la tabla periodica de los elementos (apendice D), la masaat6mica media de arg6n es (39 .948 u) (1.66 X 10-27 kg/,1 u) = 6.63X 10-26 kg. Si uno de los atornos esta fijo yel otro oscila, la fre-cuencia de oscilacion es

La masa oscilante es muy pequefia, asi quetnduso un resorte flojocausa oscilaciones muy rapidas. ' ~EVALUAR : Sin embargo, lalque calculamos 11 0 es d~o.__correc~tao Si no actua una fuerza externa neta sabre la molecula, suCentrode masa (situado a la mitad de la distancia entre los atomos) no ~--n e a c e le r ac i on , Para que haya ace le r ac ion , ambos a to rn o s d e be n 08-ci lar can la mi sma amplitud en d i re c c io n e s o p u e st as , Nos podemosdar cuenta de esto sustituyendo m par ml2 en la expresion para f(Vease eI problema 13.81,) Esto aumentaj en un factor de V 2 , as!que f =V2(5.63 X 1011Hz) ;; 7.96 X r o l l Hz. Una cornplica-c io n a dic io na l e s que, para la e sc ala a to m ic a, debemos usar mecanica cuantica, no new ton i an a , para describir l a o s c il ac io n y otrosmovimien tos ; felizmente, la frecuencia tiene el mismo valor en me-c a n ic a c u a n ri ca .

0.829 N/m _. al' .--~-O-C6- - 5.63 X 1 Hz6.63 X 10-- kg

Suponga que uno de los atomosde argon de una molecula de Arz (ejemplo 13.7)se desplaza 1.00 X 10-="m respecto al equilibria y despues se suelta, l ,Que mag-nitud tiene la aceleracion inicial del atomo?


20

13.5 I El pendulo simple

'13.5 I E I pendule simpleUn pendulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntualsuspendida de un hilo sin mas a y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de suposicion de equilibria (vertical), oscilara alrededor de dicha posicion. Situacionesordinarias, como una bola de dernolicion en I'llcable de una grua, la plornada deun teodolito y un nifio en un columpio, pueden modelarse como pendulos simples.La trayectoria de In masa puntual (Hamada pesa) no es recta, sino el areo de un

circulo de radio L igual ala longitud del hila (Fig. 13.20). Usarnos como coorde-nada la distancia x medida sobre I'llarco. Si I'llmovimiento es armonico simple, lafuerza de restitucion debe ser directamente proporcional a x 0 (porque x =Le) a 8.l,Lo es?En la figura 13.20, representamos las fuerzas que acnian sobre la mas a en ter-

minos de eomponentes tangencial y radial. La fuerza de restitucion Fo es la com-ponente tangencial de la fuerza neta:

Fo = -mgsen8 (13.30)

49

L

mg sen e\\\\\\\ _ .\ _.mg

La fuerza de re stitu cio n s e debe a la graved ad; I ii t en s ion T solo ac tua para hacer 13.20 Dinamica de un pendulo s impIe.que la mas a puntual describa un area. La fuerza de restituci6n es proporcional noa 8 sino a sen e , asi que el movimiento no es arm6nieo simple. Sin embargo, si elcingula e es pequeiio , sen e es casi igual a e en radianes e F i i (13.21). Por ejem-plo, si e =0.1 fad (unos 6), sen e =0.0998, una diferencia de s610 0.2%. Con es-ta aproximacion, la ecuacion (13.30) se convierte en

xF e = = -mg8 = =m: 0 seaLmgF e = ---xL (13.31)

La fuerza de restitucion es entonces proporeional ala coordenada para desplaza-mientos pequeiios, y In constante de fuerza es k =mg/ L . Por la ecuacion (13.10),la frecuencia angular w de un pendulo simple can amplitud pequefia esw = ~ = ~ = J I

(pendulo simple, amplitnd pequena)03.32)

Las relaciones de frecuencia y periodo correspondientes son:

w 1 ~-- - -- 27T - 2 < lT L (pendulo simple, amplitud pequefia) (13.33);

7

21 T 1 . f L . .T = -;;; = f = 21TV g _ (pendulo S'j~3.34)-- - J,. - ---.~Observe que en estas expresiones no interviene la masa de Ia particula. La razones que la fuerza de restituci6n, una componente del peso de l~particula, es prop or-cional a m. Asi, la masa aparece en am.bos miembros de 2:,F = mil y se cancela,(EI principio fisico es el mismo que hace que dos cuerpos con diferente masa caigancon la misma aceleracion en el vacio.) Si la oscilacion es pequefia, el periodo deun pendulo para un valor dado de g depende s610 desu longitud.

F e2mg - F e = = +mg sen e(real)

- F e = -mge(aproxirnada)

r./2 e (fad)-71'/2-mg-2mg

13.21 Si el desplazamiento angular f) esp eq u ef io , la fuerza de restitucion paraun pendulo simple, Fe" -mg sen 13 ,esaproximadamente igual a - mg8; es decir,es aproximadamente proporcional a e , ylas oscilaciones son armonicas simples.


21

496 CAPiTULO 13 I Movimiento periodico

A c t ! vP LONt NEnys!csLa dependencia de L y g en las ecuaciones (l3.32) a (13.34) es justo 10espe-

rado. Un pendulo largo tiene un periodo '"mas largo que uno corto, Si aumenta gaumenta la fuerza de restitucion, causando un aumento de la frecuencia y una disminucion del periodo ..Enfatizamos otra vez que el movimiento de un pendulo es solo aproximada-

mente armonico simple. Si la amplitud no es pequeiia, la divergencia respecto aMAS puede ser considerable. Pew, ~que tan pequeiia es "pequefia"? El periodopuede expresarse con una serie infinita; si el desplazamiento angular maximo ee, el periodo Testa dado por- 1 5 . ( 12 ? 6 12 32 e )T = 2 7 T - 1 + ~ sen- ~ + -- sen" - + ..,g 22 2 22, 42 2

9,10 Frecuencia de pendulo9.11 Arriesgado paseo con pendulo

(13.35)Podemos calcular el periodo con la precision deseada tomando suficientes termi-nbs de la serie. Compruebe que, si e = = 15 (a cada lado de la posicion central), eperiodo verdadero es mas largo que la aproximacion dada por la ecuacion (13.34)en menos de 0.5%.La utilidad del pendulo en relojes depends de que el periodo seepracttcamen-

te independiente de la amplitud, siempre que esta sea pequefia, Asi, al perder impulso un reloj de pendulo y disrninuir un poco la amplitud de las oscilaciones, laexactitud del reloj'easi no se altera.

Ejemplo13.8 U n pendulo simple

Calcu le el per iodo y l a f r ecu enc i a de un pendu l o simple de 1 .000 mde longitud eD unlugar donde g =9.800 m ls211,) 1 0 3 M 1 IID EN TIF IC A R Y PL AN TE A R: Usaremos la ecuaci6n (13.34) paradeterminar el periodo T de un pendulo a partir de su longitud, y laecuaci6n (13.1) para obtener la frecuencia f a partir de T.

EVALUAR : El periodo es casi exactamente 2 s, De hecho, cuando seestablecio el sistema metrico, el segundo se definio como la mitaddel periodo de un pendulo de 1 rn. Sin embargo, este no fue un estandar muy bueno para el tieuipo porque el valor de g varia segun elugar, Ya hablamos de estandares de tiempo mas rnodernos en lasecoion 1.3 .

EJECU fAR : Por las ecuacions (13.34) y (13.1),- A ioco T = 2"1t = 21i . 2 =2.007 sg 9.800 m/s1f= T = 0 .4 983 H z

Loi depositos minerales 0 de pei:r6leo afectan el valor local de g porqne su densi-dad difiere de la de SLI entorno. Suponga que un pendulo simple de 1.000 m tieneun perioRo de exactamente 2.000 s en eierto Ingar , (,Cminto vale g ahi?

13.6 I E I pendulo fisicoUn pendulo fisico es cualquier pendulo real, que usa uncuerpo de tamafio finito,en contraste con el modele idealizado de pendulo simple en el que toda la masa se


22

A c t I VP h y s c s(13.37) 9.12 Pendulofisico

13.6 I El pendulo fisico

concentra en un punto. Si las oscilaciones son pequefias, el analisis del movimien-to de un pendulo real es casi tan facil que el de uno simple. La figura ...13.22 mues-tra un euerpo de forma irregular que puede girar sin friccion alrededor de un ejeque pasa por el punto O . En I a po s ic io n de equilibria, el centro de g ra ve da d e stadirectamente abajo del pivote; en la posici6n mostrada en la figura, el cuerpo es-ta desplazado del equilibrio un angulo e que usamos como coordenada para el sis-tema. La distancia de 0 al centro de gravedad es d, el momento de inercia delcuerpo alrededor del eje de rotacion es /y la mas a total es m. Cuando el cuerpo sedesplaza como se muestra , el peso mg causa un momento de torsion de restituci6n

'Iz = -(mg)(dsene) (13.36)E1 signa negativo indica que el momenta de torsion es horario si el desplazamien-to es antihoriario, y viceversa.

S i se sue l ta el cuerpo, oseila alrededor de su posici6n de equilibria. EI movi-mien to no es armonico simple porque el momenta de torsion 7' z es proporcional asen e , no a e ; pero si e es pequefio, podemos aproximar sen e can e en radianes, yel movimiento es aproximadamente ann6nico simple. Entonees,

'I, = - (mgd)eLa ecuacion de movimientc es 2 : 7 ' < =Ia, asi que

d2e mgd-==~edt 2 ISi comparamos esto can la ecuacion (13.4), vemos que el papel de (kim) en el sis-tema masa-resorte 1 . 0 desempeiia aqui la cantidad (mgd/I). Par tanto, la frecuenciaangular es ta dada por

i = ; ; / m i d. VL (Pen:di.liof t sr~o , amplifiid pequefia) (13.38)La frecuenciaJes 1I2'7rveces esto, y el periodo TesrrT = 27T\j ; ; ; g ; i (pendulo fisico, amplitud pequefia) (13.39)La ecuaci6n (13.39) e s la base de un metodo comun para determinar experi-

mentalmente el momento de inercia de un cuerpo de forma compleja. Primero, selocaliza el centro de gravedad del cuerpo por balanceo. Luego, se suspende elcuerpo de modo que oscile libremente alrededor de lin eje, y se mide el periodo Tde oscilaciones de arnplitud pequefia. Usando la ecuacion (13.39), puede calcular-se e l momento de inercia / del cuerpo alrededor d~ ese eje a partir de T, la masadel cuerpo m y 1a distancia d del eje al centro de gravedad (vease el ejercicio13.50). Los investigadores en biomecanica usan este metodo para calcular los mo-mentos de inercia de los miembros de un animal. Esta informacion es importantepara analizar c6mo camina un animal, como veremos en el segundo de los ejem-plos que siguen.

497

mg

13.22 Dinamica de un pendulo flsico.


23

498 CAP iT U L 0 13 I Movimiento periodico

Ejemplo13.9 Pendu lo fis ico con tra penduloslmple

Suponga que el cuerpo de la Figura 13.22 es una varilla uniforme delongitud L que pivotaen un extreme. Calcule el periodo de su mo-vimiento ..ij!II3 N ' IID EN T IF IC A R Y PLA NT EA R: U sarern os la tabla 9 .2 (secc ien 9.4 ) p arahallarel momenta de inercia de lavarilla; luego, sustituiremos ese va-lor en la ecuacion (13.39) para determinar el periodo de oscilacion.E J E C U T A R : Po r la tabla 9.2, el memento de inercia de una varillauniformc respecto a un ejeen su extreme es I =~ML2 . La disran-cia del pivote el centro del graved ad es d = L/2. Par la ecuaci6n(13.39),

E V A L U A R : Si la varilla es un metro (L= 1.00 m) y g = 9.80 m/entonces

I i'tl.OOm)T =h'lj 3(9.80 m/s") = l.64 s

E! periodo es rnenor, e n un factor de \fii3 '= 0.816 que 10 1dependulo simple can la misma longitud, calculado en 10 1ejemp13.8 (seccion 13.5).

Ejemplo13.10 Tyrannosaurus rex y el pendu lo fis ico

Todos los animales que caminan, incluidoel ser humane, tienen ~~paso natural para caminar, un numero de pas os por minuto, que lO Smas comedo que un ritmo mas rapido 0m as lento, Suponga que es-te 'paso natural es igual al periodo de la pierna, vista como una va-rilla uniforme con pivote en [a cadera. a) i,C6mo depel1de el pasonatural de la longitud L de Ia pierna, medida de Ia cadem al pie? b)Pruebas f6siles muestran que Tyrannosauros rex, un dinosauriobipedo que vivio hace 65 millones de afios al final del pericdo Cre-tacico, tenia una J ongitud de pierna L =3.1 IIIYunalongitud de paso(la distancia de una huella a la siguiente del mismo pie) S = 4.0 m(Fig , 13.23). Estirne la rapidez con que el T rex caminaba,

.~

-,

LOllgit\1d~

li.11I13 ' 1 1 1IDE NT IF IC AR Y PL AN TE AR : Trataremos la pierna como un pend10 fisico, COn el periodo de oscilacion qnedeterm inarnos en 101ejerplo 13.9. Las incognitas son: a) la relacion entre el paso al andar ylongitud de Ia pierna y b) la rapidez can que carninaba el T. rex.

E J E C U T A R : a) Por el ejemplo 13.9, el pericdo de oscilacion depierna es T "" 2 7 7 " V2L13g, que es proporcional a VI. Cada perdo (una oscilacion de ida y vuelta de la pierna) corresponde adpasos, asi que el ritrno al carninar en pasos por unidad de tiempo

13.23 La rapidez al caminar del Tyrannosaurus rex se puede estirnar a partir de lalongitud de B tl pata L y la de 81 1 paso S.


24

13.7 I Oscilaciones amortiguadas

dos veces la frecuencia de oscilaci6nf= liT. Par tanto, el paso esproporcional a IIVL. Los animales can piemas cortas (L pequefio)como los [atones 0 perros chihuahuefios carninan can ritmo rapido;las personas, las jirafas y otros animales can piernas largas (L gran-de) caminan mas lentamente.b) Segun nuestro modelo del ritmo del andar natural, el tiempo queel T rex tarda en dar un paso es.

4 9 9

EVALUAR: Nuestra estimacion por fiierza tiene cierto error porqueuna varina uniforme no es un buen modele de una pierna. Las piernas de muehos animales, entre ellos el T rex y las personas, no souniformes: hay mucha mils masa entre la cadera y la rcdilla que entre esta y el pie. Asi, el centro de masa esta a menos de L/2 de la eadem; una estimacion razonable seria Ll4. EI rnomento de inercia emucho men or que ML213 , tal vez del orden de ML 2 /1 5 . .Pruebe estacifras can el analisis del ejemplo 13.9; obtendra un periodo de oscilacion mas corto y una rapidez al andar aun mayor para el T rex.!2(3.l111)T = 21T . - = 27T \ ( ') = 2.9 sg 3 9.8 rn/s'

La distancia que se mueve en este tiempo es la long1/-'d de paso S,asi que la rapidez al andar es

S 4.0mv = = = . =1.4 m/s = 5.0kmlh = 3.1 rni/hT 2.9 sjEsta es mas a menos la rapidez can que carnina una persona!

Suponga que e1cuerpo de 1a figura 13.22 es una varilla uniforme con masa m ylongitud L que pivota en su punto rnedio. E1momenta de inercia para este puntopivote esI= ~ mL 2. Determine el periodo de oscilacion e interprete su resultado.13.7 I Osci ladones amortiguadasLos sistemas osci1antes idealizados que hemos visto hasta ahara no tienen friccion.No hay fuerzas no conse rvadoras , la energia mecanica total es constante y un sistemapuesto en movimiento sigue oscilando eternamente sin disminucion de la amplitud.

Sill embargo, los sistemas delmundo real siempre tienen fuerzas disipadoras,y las oscilaciones cesan con el tiempo si no hay un mecanisme que reponga 1aenergia mecanica disipada (Fig. 13.24). Un reloj mecanico de pendulo sigue au-dando porque la energia potencial almacenada en el resorte 0 en un sistema de pe~sos colgantes repone la energia mecanica perdida par friccion en el pivote y losengranes. En algun memento, el resorte perdera su tension a los pesos llegaran alfonda de su trayecto. AI no haber mas energia disponible, 1a amplitud de las osci-laciones del pendulo disminuira y el reloj se parara.La disminucion de 1a amplitud caus ada por fuerzas disipadoras se denomina

amortiguacton, y el rnovimiento correspondiente se llama oscilaci6n amorti-guada. EI caso mas sencillo para un analisis detallado es un oscilador armonicosimple con una fuerza de amortiguacion par friccion directamente proporcional ala oelocidad del cuerpo oscilante. Este comportamiento se observa en la fricci6npor flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los autos 0 el desli-, zamiendo de superficies lubricadas can aceite, Asi, sabre el cuerpo actua unafuerza adicional debida a la friccion, r,= ,bvx, donde v), = = dxldt es la velocidady b es una constante que describe la intensidad d~ la fuerza arnortiguadora. EI sig-no menos indica que 1afuerza siempre tiene direccion opuesta a la velocidad. Lafuerza neta que actua sabre el cuerpo es entonces.i

" " F = =kx - bvx x ( 13AO)~ Ia segunda ley de Newton para el sistema es

+kx - bo; = max 0 bien (13.41)

13.24 Siuna campana que oscila se dejade impulsar, tarde 0 temprano las fuerzasamortiguadoras (resistencia del aire y fric-cion en elpunto de suspension) haran quedeje de oscilar,


25

500

13.2-5 Grafica de desplazamiento contratiempo para un oscilador con poca amorti-guacion [ecuacion (13.42)] y angulo de fa-se c p = = o . Se muestran curvas para dosvalores de la constante de amortiguacion b.

CAPiTULO 13 I Movimiento periodico

La ecuaci6n (13.41) es una ecuaci6n diferencial en-;; seria igual a Ja ecuaci6n(13.4), que da la aceleracion en MAS, si no fuera por el termino adicional -bdxldt. La resoluci6n de esta ecuacioh es un problema sencillo en ecuaciones dife-r en cia le s, p ero n o entraremos aqui en detalles. Si la fuerza de am o rt ig u ac io n e s r ela -tivamente pequefia, el movimiento esta descrito par

x = Ae-(bl2rn)lcos ( W ' t + r / J ) (OiSeiladorcolipocaamOrtiguaci6n) (13.42)La frecuencia angular de la oscilacion os' esta dada por....:

{kfFW i = ~ v - ; ; ; - 4 , ; ; 2 (oscilador con poca amortiguacion) (13.43)

Ellector puede verificar que la ecuaci6n (13.42) es una solucion de la ecuaci6n(13.41) calculando la primera y segunda derivadas de x, sustituyendolas en laecuaci6n (13.41) Yviendo si los miembros derecho e Izquierdo son iguales, Esteprocedimiento e s sen ci l lo aunque algo tedioso.EI movimiento descrito por la ecuaei6n (13.42) difiere del caso no amortigua-

do en des aspectos. Primero, la amplitudAe-(bl2m)1 no es constante sino que dismi-nuye can eJ tiempoa'causa del factor exponencial decreciente e-(bI2m)l. La figura13.25 es una grafica de la ecuacion (13.42) para el caso < p =0; muestra que, cuan-to mayor es b, mas rapidamente disminuye la amplitud,

Segundo, Ia freeuencia angular ta'; dada por la ecuacion (13.43), ya no e'siguala w = . v k J ; ; ; " sino un poco meno r , y se haee cera si b e s ta n grande que

k b2- ~ - = 0 a bien b = 2~m 4m2 (13.44)Si se satisface la ecuacion (13.44), la condici6n se denomina amurtiguacion cri-tica. El sistema ya no oscila, sino que vuelve a 8U posicion de equilibrio sin 08-cilar c ua nd o s e le d es pla za y sueIta.

xA - b =O.lji.;;;

- b =O.4/J;;;;

-A

Mayor amortiguacion (b m as grande): La amplitud disminuye masrapidamente (curvas de guiones)

EI periodo T aumenta(To = periodo sin amortiguaci6n)


26

13.7 I Oscilaciones amortiguadas

Si b es mayor que 2y'j;;;, la condicion se denomina sobreamortiguaclon.. .Aqui tampoco hay oscilacion, pero el sistema vuelve al equilibrio mas lentamen-te que Callamortiguacion critica. En este caso, la s sol uciones de la ecuacion(13.41) tienen la forma

donde C1 YC2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales y al ya 2son constantes determinadas por m, k y b.S i b es menor q ue el valor eritie;t, como en la eeuaci6n (13.42), la condic ion se lla-

ma subamortiguaci6n. El sistema oseila con ampJitud constantemente decreciente.En un diapason 0cuerda de guitarra que vibra, norma lmen t e queremos la minima

amortiguaci6n posible. En cambio, la arnortiguacion es benefica en las oscilacio-nes de la suspension de un auto. Los amortiguadores proveen una fuerza amorti-guadora dependiente de la velocidad para que, cuando el auto pasa per un bache, nosiga rebotando eternamente (Fig. 13.26). Para optimizar la comodidad de los pa sa -jeres, el sistema debe estar criticamente amortiguado 0 un poco subamortiguado.Al hacerse viejos los amortiguadores, el valor de b disminuye y el rebote persistemas tiempo. Esto no s610 causa nauseas, perjudica la direccion potque las ruedasdelanteras tienen menos contacto positivo con el suelo, ASi, la amortiguacion esuna veutaja en este sistema. Demasiada arnortiguacion seria-sontraproducente, si bes excesiva, el sistema estara sobreamortiguado y la suspension volvera al equilibriamas lentamente. En tal caso , si e l auto cae en otto bache, justa despues del pr ime-ro, los resortes de la suspension todavia estaran comprimidos un poco par el primergolpe y no podran absorber plenarnente el impacto.En oscilaciones amortiguadas, la fuerza amort iguadora no e s c on se r va do ra ; la

energia mecanica del sistema no es constante, sino que disminuye continuamente,acercandose a cero despues de un tiempo largo. Si queremos deducir una expre-sion para la rapidez de cambio de energia, prirnero escribimos una para la energiamecanioa total E en cualquier instante:

l 1E = = -mu2 + -kx22 .t 2Para calcular 1arapidez de cambio de esta eantidad, la derivamos respecto al tiempo:

dE dux dx-_ =mv- + kx-dt x dt . dtPero dv.,/dt ee ax y dxldt = vx, as i que

dE ( )- = Vx ma. + kxd E . ,Por la ecuaci6n (13.41), max + kx = -b dxldt = = -bvp asi que

dE~ ( )_ 2dt - Ux =bu; - -bux (oscilaciones amortiguadas ) (13.45)El miernbro derecho de la ecuacion (13.45) siem1prees negativo, sea v positiva 0negative. Esto indica que E disminuye continuamente, aunque no con rapidez uni-forme. El tennino -bu} = (-bvx)ux (fuerza multiplicada por velocidad) es la ra-ndez con que 1afuerza amortiguadora efectua trabajo (negativo) sobre el sistemao sea, lapotencia amortiguadora). Esto es igual ala rapidez de cambio de la ener-gia mecanica total del sistema.

5.Cilindro superior conectado

al a rmazon del auto: permanecerelativameute estacionario

Empujadobacia abajo

Cilindro inferior unidoal eje y la rueda:

sube y baja13.26 Amortiguador de automovil. EIfluido viscoso causa una fuerza amortiguadora que depende de la velocidad relativade los dos extremos de [a unidad. Estoayuda a controlar el rebote y las saendidade las ruedas.


27

502

I~

A

Mayor amortiguacion (b mas grande): EJ pica se ensancha El pica se hace menos agudo El pico se desplaza haciafrecuencias mas bajas

S i b > /2km, el picadesaparece par complete

13.27 Grafica de la amplitud A de oscila-cion forzada en funcion de la frecuencia Wdde la fuerza impulsora, Ei eje horizontalindica el cociente de Wd Y la frecuencia an-gular w =VJJ;; de un oscilador no, amor-tiguado. C a da c urv a tie ne un valor distintode la con stante de amortiguacion h.

CAPiTULO 13 I Movimiento periodico

Se observa U11omportamiento similar en circuitos -electricos que contienen inductancia, capacitancia y resistencia. Hay una frecuencia de oscilacion natural,la resistencia desernpefia eI papel de la constante de amortiguacion b. En tales circuitos, suele ser deseable reducir al minimo la amortiguacion, pem nunca puedeevitarse por complete. Estudiaremos esto con detalle en los capitulos 30 y 31.

Cons i de r e otra vez la c omb i n a ci o n ma s a - re s o rt e del e je m p lo 1 3.2 (s ec cio n 1 3.2 ), conk=200 N/m y m =0:50 kg. Sin amortiguacion, este sistema tiene una frecuenciaangular W =20 rad/s ..Determine la frecuencia angular si hay amortiguacion conb = 10 kg/so l,Con que valor de b hay amor t iguacion critic a?

13.8 I Oscilac iones forzadas y resonanciaUn oscilador amortiguado aislado dejara de moverse tarde 0 temprano, pero pode-11108 mantener U11aoscilacion de an)plitud constante aplicando lI11auerza que varieCOil el tiernpo periodica 0 ciclicarnente, con periodo y frecuencia definidos. Poejemplo, considere a su primo Tito en un columpio. Usted puede rnantenerlo osci-lando con amplitud constante d a nd o le u n em p ujo n cito una vez cada cicIo. Llama-mos a esta fuerza.adicional fuerza impulsora,

Si aplieamos una fuerza impulsora que varie periodicamente con frecuenciaangular Wd a un oscilador armonico amortiguado, el movimiento resultante se llama oscilacion forzada Uoscilacion impulsada, y es diferente del movimiento quese da cuando el sistema se desplaza del equilibrio y luego se deja en paz, en cuyocaso el sistema oscilara con una frecuencia angular natural w' determinada porm, k y b, como enla ecuacion (13.43), En una oscilacion forzada, en cambio, lafreeuencia angular con que 1amasa oscila es igual a la frecuencia angular impul-sora, wd, la cual no tiene que ser igual ala frecuencia angular to' con que el siste-ma oscilaria sin una fuerza impulsora. Si usted sujeta las cuerdas del columpio deTito, puede obligar al columpio a oscilar con cualquier frecuencia que desee,

Suponga que se obliga al oscilador a vibrar con una frecuencia angular Wd casigual ala frecuencia angular w' que tendria sin fuerza impulsora. l , Q L 1 e sucede? Eoscilador tiende naturalmente a oscilar con W = Wi, Y cabe esperar que [a ampli-tud de la oscilacion resultante sea mayor que cuando las dos frecuencias son muydiferentes. Analisis y experirnentos detallados muestran que esto es 10 que suce-de. EI caso mas facil de analizar es U11afuerza que varia senoidalmente, digamosF (t) " " Fmilx cos wdt. Si variamos la frecuencia Wd de la fuerza iinpulsora, la ampli-tud de 1aoscilaci6n forzada resultante variara de manera interesante (Fig, 13.27)Si hay muy poca arnortiguacion (b pequefia), la amplitud tendra un pica marcadoal acercarse Wd ala frecuencia angular de oscilacion normal WI , Si se aumenta laamortiguacion (b mayor), el pica se ensancha y se hace menos alto, desplazando-se hacia frecuencias mas bajas,'Po~ial110s deducir una expresion que muestre como la arnplitud A de la osci-

lacion forzada depende de la frecuencia de una fuerza impulsora senoidal, COil va-lor maximo Fmix' Ello implicaria resolver ecuaciones diferenciales para las queaun no dramos preparados, pero el resultado seria:

FA = ma x (amplitud de un oscilador impulsado ) (13.46)V(k - mUJi)2 + b2w iSi k ~ m w l =0, el primer termino bajo el radical es cero, y A tiene un maximocerca de Wd = ViJiii, La altura de la curva en este punto es proporcional a lib;


28

13..8 I Oscilaciones forzadas y resonancia

cuanto rnenor es la amortiguacion, mas alto es el pico, En el extrema de baja fre-cuencia, con Wd = 0, obtenemos A =Fma/k. Esto corresponde a una fuerza cons-tante F m ax Y un desplazamiento con stante A =Fma)k respecto al equilibrio, comoesperariamos,EI hecho de que haya un pica de amplitud a frecuencias impulsoras cercanas a

la frecuencia natural del sistema se denomina resonancia. En fisica, abundan losejemplos de resonancia; uno es aumentar las oscilaciones de un nifio en un colum-pia empujando can una frecuencia igual a la natural del columpio. Un ruido vibra-torio en un auto que se escucha s610 a cierta velocidad del motor 0 de rotacion delas ruedas es un ejemplo muy conocido. Los altavoces baratos a menudo emitenun retumbo a zumbido molesto cuando una nota musical coincide con la frecuen-cia resonante del cono del altavoz 0 del bafle. Un circuito sintonizado en una ra-dio 0 un televisor responde vigorosamente a ondas can frecuencias cercanas a sufrecuencia de resonancia, y aprovechamos esto para seleccionar una estacion y re-chazar las demas, Estudiaremos la resonancia en circuitos electricos con detalleen el capitulo 31.La resonancia en los sistemas mecanicos puede ser destructiva. Una compafiia

de soldados una vez destruyo un puente marchando sobre el a1rnismo paso; la fre-cuencia de s us p as os era c erc aria a una vibracion natural del puente, Y la oscila-cion resultante tuvo suficiente amplitud para desgarrar el p~nte. Desde entonces,se ha ordenado a los soldados que rompan el paso antes de cruzar un puente. Hacealgunos aiios, las vibraciones de los motores de cierto avion tuvieron justo la fre-cuencia correcta para resonar con las frecuencias naturales de las alas. Las oscila-ciones iban creciendo y a veces se caian las alas.Casi todo mundo ha visto la pellcula del colapso del puente de suspension la-

coma Narrows en 1940 (Fig. 13.28). Esto suele citarse como ejemplo de resonan-cia impulsada por el viento, perc hay dudas al respecto, El viento no tenia quevariar periodicamente con una frecuencia cercana a la natural del puente. EI flujode aire por el puente era turbulento, y se formaban rernolinos en el aire con unafrecuencia regular que dependia de la velocidad de flujo. Es concebible que esta fre-cuencia haya coincidido can una frecuencia natural del puente, perc la causa bienpuede haber sido algo mas sutil llamado oscilacion autoexcitada, en la que lasfuerzasaerodinamicas causadas por un viento constante al soplar sobre el puentetendieron a alejarlo mas del equilibrio en momentos en que ya se estaba alejandodel equili brio. Es como si tuvieramos una fuerza amortiguadora como el termino=btr; de la ecuacion (13.40) pero con el signo invertido. En lugar de extraer ener-gia mecanica del sistema, esta fuerza antiamortiguadora bombea energia a el, au-mentando las oscilaciones hasta amplitudes destructivas, La ecuacion diferencialaproximada es la (13 AI) con el signo del terrnino en b invertidc, y la solucion os-cilante es la ecuacion (13A2) con un signo positiuo en el exponente. Puede verseque nos esperan problemas. Los ingenieros han aprendido a estabilizar los puen-tes suspendidos, tanto estructural como aerodinamicamente, a fin de evitar talesdesastres.

Mencionamos que cierto avion experimento una resonancia indeseable entre lasvibraciones de losmotores y las de las alas. EI problema se corrigio haciendo masrigida la estructura de las alas. Utilice el concepto de resonancia para explicar co-mo fUl1c10n6 esa solucion,

5

13.28 EI puente Tacoma Narrows se desplorno cuatro meses y seis dias despuesabrirse al trafico, EI clare principal tenia2800 pies de longitud y 39 pies de anchura, con vigas de 8 pies de altura para dadrigidez en ambos costados. La amplitudmaxima de las vibraciones torsionalesfue de 35"";la frecuencia fue de cereade 0.2 Hz.


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504 CAPiTULO l3 I Movimiento petiodico

t . _ _.~ . _ RES U MENUn rno\'imiento peri6dico se-re12Jteen un c i ol o d e f in i do;se presenta. sieliIpre :queUn 'buerpo tiene l!1laposici6n deequilibrio ~s!a{Jley.~lia fuerza_Q_molllento' de torsionde restitucion que ~cJUacUalldS el cuerpo se desplaza deleqnilibriO. EI periodo T es In que furda-un cic1o. La fre-cuenciajes el numerq de ~ic1os.por unidad de tiempo.La frecuencl~ angular w es : l 1 T ve_cesla f r ecuene ia ,tYeasee1 ejemplo 1 . 4 : . . 1 ; ) -= ~.Si la fuerza neta es una fuerza de restituci6n F; directa-mente.proporcional al desPiazarniento X, e f mov im ien toes annonico simple{MAS). En muchos cases, estacon-dicion se satisface si el desplazamiento respecto al equili-brio es peqtreiio.

IJ=-T1T=-f (13.1)

(13.2)

(13.3)

(13.4)

El circulo de r ef er en c ia .u sa u n vector giratQrio, llamado fasor, cuy a lengitud es igual a la am -plitud del movirniento. Larproyeccion delfasor enel eje horizo~fikrepresenta el moviniientoreal de.un cuerpo en movimiento armonico simple.

En MAS, el desplazamiento, Ia velocitlad y la aceleracion son Ifunciones senoidales del riempo. La frecuencia angular esw =~ la amplitud A y elangulo de fase 1 > estan deterrni-nados por: la posioion y velocidad iniciales del cuerpo. (Vease elejemplo 13.3.)

La frecuencia angular, la frecuencia y el periodo en ' tI{AS-no dependen de la amplitud, 's610 dependen de la masa my la constante de fuerza..f..(Veanse los ejemplos 13.2,13.6 Y l3.7.) --

21 T(iJ = 21T1=-. T

La energia se conserva en MAS . La ener->gia total se puede-expresar en tenninos dela constants de' fuerza k y la amplitud A .(Veanse.les ejemI'lo~_nAy 13S.) 1 - I 2 1 '2 1 ?- E = - mv. + -. kx: = - kA" = constante2-' 2 2 . (i3.21)

! t_ . En el movimiento arrncniee simple angular, lafrecuenoia_ y la frecuencia angular estan relacionados con el mornen-.to de in~ciaI y la constante de torsion K.

j F e . . = +kxF", kax = In =-;;x

w= f i : .\j-;;;w 1~---- -. - 21T - 21T In

T= ~ = 21 T G .J \j7;

(13.10)

(B.H)(13.12)

x = A cos (w t + 4 (13.13)

j V f y=~f= l : . f r21T I (13,24)

I _~-=D.. : :oes' ! : . :p lazamien(o x .x> op~


30

U n pendulo s)m p !e c otrs is te e n u na m a sa p un tu al m en e !e. extreme de un hilo sin masa de longitud L. Sti.movimientoes aproxirnadamentc annonico simple siIa amplitud 'es pe-q u ef ia ; e n to n ce s , .l a f re c ue n ci a a n gu la r, f re c ue n ci a yper igdo

- dependell so lo de g y L, no de la masa illde Ia amplitud,- (Vease el e J emp l o 13.8.)

Un pendulo flsico es.un cuerpo suspendido de u n e je de ro-tacion que esta a una distancia a Clesu centro de gravedad.8i el momenta de ii iercia.respecto al eje de rotacion es I,Jaf r ecuenc ia angular y el periodo para 'o s c i l ac iones de.ampli-tud pequefia sou independientes de Ia amplitud, (Veanse losejemplos 13.9 y n.lO.)

S i a u n c sc ila do r a rm o nic o s e a plic a u na 'fu erza a m ortigu ad ora '1E x = = - bo; proporcional-a la velocidad, el movimiento se deno- " " " " fL mina oseilaei6n a n to rt ig ua d a. P a ra u n a f ue rz a de amor t iguac ion 2 - v ; ; : n , el sistema es ta sobreamortiguado.

Si a fin oscilador armonico aimirtiguado se apJjca-una. fuerza~ pu lso ra que varfa s eno ida l rpen te , 1 0 1 m o vim i en to re su lta nte s e itdenomina oscilacion forzadaLa amplijud es funei6n decla fre-cuencia impulsora Wd y_a lcanza un maximo can una frecuencia1)llpulsora cereana a.la f r ecuene ia ~ G " o~oi l ac ion D.lbturaldel sis-

c=.tema. Este compoj j amien to sedenomiria resonancia.

Termlnos clave

Notas del lector

I

r(13.32)

(13.33)(13.34)

(1:}.38)

(13..39)

x =Ae-lb'2m)r cos to'] (13.42)

50 5

W = f fT= 2w IIV ; ; ; g d

(13.43,)

amortlguacten, 499amertlguaclon critica, 500ampi..itud,477angulo de fase, 483cicio, 477circulo de referencia, 480desplazamiento,477

fasor,480frecuencia, 477frecuencia angular, 478frecuencia angular natural,502fuerza de restituci6p, 477fuerza impulsora, 502

\ i

movimiento armontco simple(MAS), 479

movimiento peri6dico(oscilacion),476oscllaclon amortiguada, 499oscilacion forzada, 502osejlador armunlco, 479

pendulo fisico, 496pendulo simple, 495periodo,477resonancla, 503sobreamorttguaclon, 501subamortlguacion, 501

Notas del lector


31

506P re gu ntas p ara analisis

CA r f r u L 0 13 I Movimiento periodico

R espuesta a la p regu nta inicial del cap ituloNinguna de las des cosas; el reloj seguiria marcando correctamen-te el tiernpo. Si la rnasa de su varilla es despreciable, el pendulo essimple y su periodoes independiente de la masa [ecuacion (13.34)].Si se incluye la masa de la varilla, tenemos un pendulo fisico.Un aurnento de Stl111aSatn al doble tambien duplica su mornentode ineH:i~si que l.a raz~n 1 1m no cambia y _ el periodoT = 2'TrV 11mgd [ecuacion (13 . .>9)] sigue s ie nd o e l m is m o,

R espuestas,a las preguntas de E vahiesucomprensi6n

200Nlm (10 kg/s )2(c ')" = f7 rad/s4 0.50 kg - ~

P13.1 Un objeto se mueve can MAS de amplitud A en el extremode un .resorte, Si la amplitud se duplica, i,CJ.ueucede con la distan-cia total que el objeto recorre en un periodo? i,Que sucede con eperiodo? i,Que sucedecon la rapidez maxima del objeto? Comentela relacion entre estas respuestas,P13.2 Piense en varios ejemplos ordinaries (comunes) de movi-miento que sea, al menos, aproximadamente armonico simple.i,Como difiere cada uno del MAS?P13.3 Un diapason u otro instrumento de afinacion similar, l ,tienem

movimientos oscilatorios - fisica universitaria

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y se detiene en

fuerza neta y

aceleracion y fuerza

y sera

varilla y

cuerpo esta en

esa posicion y se suelta

y f se refieren