modulo de matematicas dr carlos montenegro
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8/15/2019 Modulo de Matematicas Dr Carlos Montenegro
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MÓDULO:
EDUCACIÓN MATEMÁTICA I
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
(PED)
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
U N
I V E R
S I D
A D
C E NTR AL D E L
E C U A D O R
F U N D A D A E N 1 6 5
1
Q U I T O
Quito, Diciembre 2010
Autor: Dr. Carlos Montenegro Balseca, MSc.
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Publicación: Universidad Central del Ecuador
Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la Educación Programa de Educación a Distancia (PED)
Decano: Dr. Edgar Herrera Montalvo, MSc.
Vicedecano: Lic. Galo Arellano Moscoso, MSc.
Director Educación
Semipresencial: Dr. Marco Quichimbo Galarza, MSc.
Coordinadores: Lic. Gustavo Ullrich, MSc.
Lic. Ismael Escobar, MSc. Lic. Vladimir Cruz
Lic. Myriam Tupiza
Lic. Alexandra Flores
Impreso: SYSTEM GRAPHIC
Jorge Washington Oe4-30 y Av. Amazonas
Telf.: (593) 290 3120 / 254 1470 / 092553760
E-mail: [email protected]
www.systemgraphic.com.ec
MÓDULO: EDUCACIÓN MATEMÁTICA I Autor: Dr. Carlos Montenegro Balseca, MSc.
Quito - Ecuador
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ÍNDICE
PRÓLOGO ................................... ........................................ ....................................... ....... 5
INTRODUCCIÓN .................................. ......................................... ..................................... 6
UNIDAD 1
LÓGICA MATEMÁTICA
OBJETIVO.......................................... ........................................ ....................................... 9
SUMARIO............... ...................................... ..................................... ................................ 9
INTRODUCCIÓN .................................. ......................................... ..................................... 9
LÓGICA MATEMÁTICA......................... .......................................... ..................................... 10
PROPOSICIONES SIMPLES ............................................ ........................................... .......... 10
VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN ...................................... ................................... 10
PRINCIPIOS GENERALES DE LAS PROPOSICIONES...... ........................................... .............. 11
ESTRUCTURA LÓGICA DE LA MATEMÁTICA ......................................... ................................ 11
OPERACIONES CON PROPOSICIONES ...................................... ........................................... 12
PROPOSICIONES COMPUESTAS..................................... ........................................... .......... 13
CONJUNCIÓN (∧) ................................... ........................................... ................................ 13
DISYUNCIÓN (∨) .................................... ........................................... ................................ 14
BIDISYUNClÓN ( ∨ ) ...................................... ......................................... ........................... 15
NEGACIÓN (∼)............................ ......................................... ....................................... ....... 16
CONDICIONAL (→)................................. ........................................... ................................ 16
BICONDICIONAL (↔)..................................... ........................................ ............................ 18
CONJUNCIÓN NEGATIVA (↓) .................................... ......................................... ................. 18
TIPOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS........................................ ................................... 19
1. TAUTOLOGÍAS ................................... ....................................... .................................... 19
2. CONTRADICCIONES.......... ........................................... ........................................... ....... 20
3. INDETERMINACIONES...................................................... ........................................... ... 20
IMPLICACIÓN LÓGICA ....................................... ........................................ ........................ 21
EQUIVALENCIA LÓGICA ................................. ........................................... ......................... 21
PRINCIPALES TAUTOLOGÍAS DE LA LÓGICA .................................... .................................... 22
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES ORDENADAS DE MAYOR A MENOR IMPORTANCIA............ 24
FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES.............. ........................................... 26
LEYES DE DE MORGAN PARA CUANTIFICADORES .......................................... ..................... 27
CIRCUITOS LÓGICOS........ ........................................ ........................................ ................. 32
MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN.................................................... ....................................... 34
MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTO.................................................. ............................ 34
MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTO DE CONTRAPOSICIÓN . ................................... ... 37
MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO.............................. 38
MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA: ........................................ ..................................... 39
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EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................... ........................................... .............. 43
EVALUACIÓN SUMATIVA ...................................... ........................................... .................. 45
UNIDAD 2
CONJUNTOS
OBJETIVO.......................................... ........................................ ....................................... 46
SUMARIO............... ...................................... ..................................... ................................ 46
INTRODUCCIÓN .................................. ......................................... ..................................... 46
CONJUNTOS....................................... ........................................ ....................................... 47
FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO ......................................... ................................ 47
1. Por Comprensión .................................... .......................................... ............................. 47
2. Por de Extensión, Tabulación o Enumeración .......................................... ......................... 47
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS................................ ....................................... 48
Diagrama de Venn ........................................ ........................................... ......................... 48
Diagrama de Carrol............... ......................................... .......................................... .......... 49
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS............................................ ........................................... 50
1) Relación de Intersecancia .......................................... ........................................... ....... 50
2) Relación de Disyunción .......................................... ............................................ .......... 50
3) Relación de Inclusión ..................................... ............................................ ................. 50
4) Relación de Igualdad...................................... ........................................... .................. 51
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.............................................. ....................................... 52
1) UNIÓN ..................................... ....................................... ......................................... .. 52
2) INTERSECCIÓN.............. ........................................... .......................................... ........ 52
3) DIFERENCIA .................................... ........................................ ................................... 53
4) DIFERENCIA SIMÉTRICA...................................... .......................................... .............. 53
5) COMPLEMENTACIÓN .......................................... ........................................... .............. 53
PRODUCTO CARTESIANO ......................................... ........................................ ................. 53
REPRESENTACIONES DEL PRODUCTO CARTESIANO........................................ ..................... 54
1. Por fórmula ..................................... ........................................ ................................... 54
2. Por tabla ..................................... ........................................ ....................................... 54
3. Por diagrama cartesiano ........................................ ............................................. ......... 54
4. Por diagrama sagital....... ........................................... ........................................... ....... 54
RELACIÓN ENTRE OPERACIONES DE DIFERENTES ALGEBRAS...................................... ......... 54
PRINCIPALES LEYES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS.............................................. 55
PROBLEMAS DE APLICACIÓN.............................. ........................................... ..................... 58EJERCICIOS GENERALES DE LÓGICA Y DE CONJUNTOS ................................................ ....... 59
ALGUNAS NOTACIONES DE CONJUNTOS...................................... ....................................... 63
EJERCICIOS PROPUESTOS ........................................ ....................................... .................. 63
EVALUACIÓN SUMATIVA ....................................... ........................................ ..................... 65
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UNIDAD 3
DESIGUALDADES
OBJETIVO......................................................................................................................... 66
SUMARIO.......................................................................................................................... 66
INTRODUCCIÓN ..................................... ........................................ ................................... 66
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.................................. ........................................... ... 66
AXIOMAS DEL CUERPO DE LOS REALES ........................................................................... ... 67
AXIOMAS DE IGUALDAD ....................................... ........................................ ..................... 68
AXIOMAS DE ORDEN ..................................... ......................................... ........................... 68
CONJUNTO DE LOS REALES POSITIVOS (R +)....................................................................... 68
DEFINICIÓN DEL SÍMBOLO "MAYOR QUE" (>)................ ........................................... .......... 69
DEFINICIÓN DEL SÍMBOLO "MENOR QUE" (
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EJEMPLOS DE RELACIONES DE R EN R........................... ........................................... .......... 93
FUNCIONES DE A EN B ...................................... .......................................... ...................... 96
MANERAS DE RECONOCER UNA FUNCIÓN........................................ ................................... 99
DETERMINACIÓN DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.............................. ................................ 100
EL ÁLGEBRA DE FUNCIONES ........................................ ............................................ .......... 102
FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS ................................................... 104
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE FUNCIONES ...................................... ................................ 107
Ejercicios Propuestos ......................................... ........................................... ..................... 108
EVALUACIÓN SUMATIVA ........................................... ........................................... .............. 108
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA……………………………………………………………………………… 110
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PRÓLOGO
a matemática nace con la Humanidad y desde siempre ha sido base deldesarrollo de la Ciencia en la búsqueda de la resolución de los principales
problemas de las civilizaciones.
Su estructura lógica ha determinado que se convierta en una poderosa
herramienta para la formación del juicio crítico, el orden, la práctica del
método deductivo, el razonamiento y en general la formación del
pensamiento científico. Pero también su aplicación en la resolución de
problemas científicos y tecnológicos a lo largo de la Historia, ha motivado unapresencia prioritaria en el tiempo y en el espacio.
Esta doble faceta de la Matemática como teoría y práctica es una importante
orientación metodológica para su enseñanza: junto con un análisis lógico de sus
contenidos deben existir las necesarias aplicaciones de los mismos.
Por investigaciones realizadas se conoce que esta asignatura presenta uno de
los más altos índices de repeticiones en todos los niveles del sistema Educativoy Ecuatoriano y que muchos estudiantes miran a la matemática con desinterés
e incluso, antipatía; por lo que es necesario agotar todos los esfuerzos que
contribuyan al mejoramiento de su enseñanza – aprendizaje y de su difusión.
La presente obra se orienta a la primera parte de un curso de matemática
indispensable para los futuros profesores de Informática.
Dr. Carlos Montenegro Balseca
L
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INTRODUCCIÓN
Si bien toda las ciencias persiguen una meta común, que es lograr el
conocimiento, difieren en los métodos empleados y en las áreas de la realidadsobre los que se aplica.
El razonamiento matemático se aplica a objetos arbitrarios y sus métodos de
estudios actuales son dos: el método constructivo y el método axiomático.
En el método constructivo, el matemático primero actúa y luego acompaña su
acción con argumentaciones y proposiciones. Por ejemplo para los enteros
positivos 1,2,3,4,…,luego del análisis de varios de ellos concluimos que “Todo
número entero positivo es primo o compuesto”.
En el método opuesto o axiomático se afirma que la matemática consiste en
una serie de axiomas y es consecuencia de los mismos. En este método la
matemática tiene estructuralmente cuatro tipos de enunciados: términos no
definidos, definiciones, axiomas y teoremas. Desde luego que los rasgos
característicos de la matemática son primero su tipo de razonamiento queresponde a esquemas; a diferencia del razonamiento filosófico que se apoya en
las palabras. En segundo lugar a la matemática la caracterizan la abstracción
de lo esencial frente a lo accidental. La abstracción matemática tiene como
características principales: tratar las relaciones cuantitativas y formas
espaciales, desarrollarse en grados crecientes y demostrar las afirmaciones
matemáticas sólo con razonamiento y cálculo sin la experimentación.
Finalmente, otro rasgo de la matemática es la demostración que requiere todo
teorema para que sea definitivamente aceptado.
Sobre el objetivo al enseñar matemática, Dieudonné, sostiene lo siguiente:
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“Porque en resumidas cuentas, ¿Qué finalidad se persigue en las sociedades
modernas con la enseñanza de la Matemática a nuestros alumnos?.
Ciertamente, no es la de hacerles conocer una colección de teoremas sobre lasbisectrices de un triángulo o la sucesión de los números primos de los que no
harán después ningún uso (a menos que se conviertan en matemáticos
profesionales), sino la de enseñarles a ordenar y encadenar sus pensamientos
con arreglo al método que emplea la matemática y porque se reconoce que
este ejercicio desarrolla la claridad del espíritu y el rigor del juicio”
Existen dos consideraciones básicas que a nuestro juicio orientan el campo
educativo:
1) La Matemática no constituye un fin sí misma. No se trata de que todos sean
matemáticos de carrrera.
2) Deben tener igual importancia, tanto el aspecto formal como las
aplicaciones.
Adicionalmente es necesario recordar que los principales objetivos de la
enseñanza de la Matemática que se han distinguido como generalmente
aceptados son aplicación de:
1) Simbolismo matemático.
2) Vocabulario matemático.
3) Automatismos operacionales.
4) Conceptos.
Por otro lado, el desarrollo de la:
1) Capacidad de abstracción.
2) Capacidad de expresión y matematización de situaciones.
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3) Capacidad de resolución de problemas.
4) Capacidad de utilizar el método matemático.
5) Capacidad de demostración.
6) Capacidad de transferencia o aplicación de otras áreas del saber.
El espacio para estas líneas por la naturaleza del módulo, no permite realizar
un análisis más detallado; sin embargo debemos precisar que en cuanto a
métodos activos, el profesor debería usar: métodos de trabajo en grupo sobre
un problema planteado; discusión grupal del profesor frente a sus alumnos;
preparación de temas por grupos de alumnos que los expongan en clases sin
descuidar también el trabajo individual que es muy necesario para el desarrollo
personal, ni el método expositivo por el profesor que ocasionalmente también
es necesario
Para concluir es necesario señalar la importancia de la tarea en clase, porque
no se puede alcanzar un individuo crítico si su forma habitual de trabajo esta
limitada solo a escuchar.
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UNIDAD 1
LÓGICA MATEMÁTICA
OBJETIVO:
Aplicar los principios básicos de la Lógica a la Matemática.
SUMARIO:
Proposiciones simples. Principios. Estructura lógica de la matemática.
Operaciones con preposiciones. Preposiciones compuestas y tipos. Tautologías,contradicciones e indeterminaciones. Implicación y equivalencia lógicas.
Principales Tautologías. Jerarquía de las operaciones. Funciones
proposicionales y cuantificadores. Leyes de De Morgan para cuantificadores.
Circuitos lógicos. Ejercicios propuestos. Prueba de evolución sumativa.
INTRODUCCIÓN:
La Lógica es una herramienta fundamental de la Matemática que determina la
forma en que esta se construye en todas sus ramas, básicamente con cuatro
elementos conceptuales: términos no definidos, definiciones, axiomas y
teoremas.
La Lógica es el lenguaje de la Matemática y por eso no constituye un fin en si
misma. El objetivo central de su estudio no son las tablas de verdad y la
demostración de tautologías complicadas sino la forma en que contribuye a
determinar la estructura del pensamiento matemático
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LÓGICA MATEMÁTICA
La Lógica nos permite determinar cuando un razonamiento es correcto o
incorrecto y si se aplica a la Matemática se denomina Lógica Matemática.
PROPOSICIONES SIMPLES
Son enunciados que pueden ser calificados de verdaderos o de falsos. Las
representamos con letras minúsculas.
Ejemplos de proposiciones simples:
p: 2 es un número natural
q: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN
Se determina mediante la concordancia de lo afirmado con lo que se considera
verdadero o falso.
p: Si el precio de la gasolina sube, entonces sube el costo de la vida.
∨(p) = V
q: Si el actual ritmo de deforestación continúa, entonces próximamente
nuestro país será un desierto.
∨(q) = V
s: Para poder estudiar en la Universidad se requiere haberse graduado de
Bachiller y tener el respaldo económico necesario.
∨(s) = V
r: En la Politécnica se puede estudiar Tecnología o Ingeniería.
∨(r) = V
l: Todo rectángulo es cuadrado.
∨(l) = F
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t: Todo cuadrado es un rectángulo
∨(t) = V
u: Buenos días (No Proposición)
u: x + 1 = 0 (No Proposición)
PRINCIPIOS GENERALES DE LAS PROPOSICIONES
1. Principio de No Contradicción.- Una proposición es solo verdadera o
falsa, no puede tener los dos valores de verdad al mismo tiempo.
2. Principio del Tercero Excluido.- Una proposición puede ser verdadera o
falsa, no existe un tercer valor de verdad, porque la lógica que maneja la
matemática es binaria.
ESTRUCTURA LÓGICA DE LA MATEMÁTICA
La lógica como herramienta esencial para construir el edificio matemático, lo
hace a través de cuatro elementos conceptuales:
1. Términos no definidos:
Son conceptos no expresados a través de otros términos más sencillos, pero
de los cuales todos tenemos una idea similar. Ejemplos: conjunto, número,
punto, recta, plano, relación de pertenencia y otros.
2. Definiciones:
Son proposiciones que dan un significado a un símbolo, expresión,
operación, palabra o términos. Ejemplos: definición de resta, definición de
segmento de recta, definición de número par, entre otros.
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3. Axiomas:
Son proposiciones que se suponen verdaderas y por lo tanto no necesitan
ser demostradas. Por ejemplo: los axiomas de la suma, de la multiplicación,de la igualdad, de orden y otros.
4. Teoremas:
Son proposiciones que deben ser demostradas.
La demostración de las mismas se realiza utilizando las leyes de la lógica
conocidas como métodos de demostración así como definiciones, términos
no definidos y axiomas.
Ejemplos: ∀ a, b ∈ R: (-a) (-b) = ab
∀ a, b, c ∈ R: a + c = b + c → a = b
∀ a, b ∈ R: ba
b
a
b
a−=
−=
−
∀ a, b ∈ R, m, n ∈ Z: a
n
. a
m
= a
n+m
OPERACIONES CON PROPOSICIONES
Se pueden realizar operaciones lógicas con las proposiciones simples.
Analizaremos las más usadas.
1. Conjunción
2. Disyunción
3. Bidisyunción
4. Negación
5. Condicional
6. Bicondicional
7. Conjunción Negativa
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PROPOSICIONES COMPUESTAS
Las proposiciones simples pueden relacionarse con otras mediante las
operaciones lógicas anteriores para formar proposiciones compuestas porejemplo:
P: 2 + 5 = 8 y todo triángulo equilátero es isósceles
P: p y q
Ejemplo de proposiciones compuestas:
P: Si el precio de la gasolina sube, entonces sube el costo de la vida.
Q: Si el actual ritmo de deforestación continúa, entonces próximamente
nuestro país será un desierto.
S: Para poder estudiar en la Universidad se requiere haberse graduado de
Bachiller y tener el respaldo económico necesario.
R: En la Politécnica se puede estudiar Tecnología o Ingeniería.
CONJUNCIÓN (∧)
Definición.- La conjunción de dos proposiciones p y q se representa con ∧, y
es verdadera solo cuando las dos proposiciones son verdaderas.
TABLA DE VALORES DE VERDAD
P q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Ejemplo:
Si r: Colón descubrió América ∨(r) = V
Si s: El hombre es mortal ∨(s) = Vr ∧ s ∨(r ∧ s) = V
DISYUNCIÓN (∨)
Definición.- La disyunción es falsa solo cuando las dos proposiciones son
falsas. Se simboliza con la ∨.
TABLA DE VALORES DE VERDAD
P q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ejemplo:
p: Quito es la capital del Ecuador ∨(p) = V
q: 22 ≠ 4 ∨(q) = F
p ∨ q ∨(p ∨ q) = V
Notas:
1. Si no se dice lo contrario una “O” en matemática se interpreta como o
incluyente o disyunción.
2. La o incluyente significa "o lo uno o lo otro o ambos".
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Ejemplo:
∀ a, b e ε R : si a . b = 0 entonces a = 0 o b = 0
BIDISYUNClÓN ( ∨ )
Definición.- La bidisyunción de dos proposiciones se representa con ∨ y es
falsa cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
TABLA DE VALORES DE VERDAD
p q p ∨ q
V V F
V F V
F V V
F F F
Ejemplos:
1) a: L1 ╨ L2 v (a) = V
b: Ll ╨ L2 v (b) = V
v(a ∨ b) = F
2) ∀ a ε R: se cumple una y solo una de las siguientes
afirmaciones:
i. a > 0 o
ii. a = 0 o
iii. a < 0
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NEGACIÓN (∼)
Definición.- Dada una proposición p la negación de p es la proposición que
se obtiene al cambiar el valor de verdad de p.
La negación ∼ se lee: “no” o también “es falso que”.
TABLA DE VALORES DE VERDAD
p ∼p
V F
F V
Ejemplo:
V p)( v42- : p
F(p)v 42- : p si
=∼≠∼
==
CONDICIONAL (→)
Definición.- Dadas las proposiciones p y q en ese orden, se define el
condicional (p → q) mediante la proposición compuesta (∼ p ∨ q).
TABLA DE VALORES DE VERDAD
P q p → q
V V V
V F FF V V
F F V
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Observaciones:
1. La proposición p → q es falsa solamente cuando se tiene una p verdadera y
q es falsa.2. p → q no siempre tiene el mismo valor de verdad que q → p.
3. Dado un condicional p → q se pueden obtener los siguientes condicionales:
i. p → q Condicional Directo
ii. q → p Condicional Recíproco
iii. ∼p → ∼q Condicional Contrario
iv. ∼q → ∼p Condicional Contrarecíproco
4. p → q
antecedente consecuente
5. p → q esta expresión se lee:
a. Si p entonces q
b. p implica q
c. p es condición suficiente para q
d. q es condición necesaria para p.
Ejemplos:
1. p: 2 es un número par ∨(p) = V
q: Todo número primo es par ∨(q) = F
p → q ∨(p →q) = F
2. Hallar las condicionales derivadas del siguiente y sus valores de verdad
P: Si x es un triángulo equilátero entonces x es un triángulo isósceles.
p → q ∨(P) = V
Q: Si x es un triángulo isósceles entonces x es un triángulo equilátero.
q → p ∨(Q) = F
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R: Si x no es triángulo equilátero entonces x no es un triángulo isósceles.
∼p → ∼q ∨(R) = F
S: Si x no es triángulo isósceles entonces x no es triángulo equilátero∼q → ∼p ∨(S) = V
BICONDICIONAL (↔)
Definición.- El bicondicional de dos proposiciones p y q se representa p ↔ q
y es verdadero o cuando tienen el mismo valor de verdad.
TABLA DE VALORES DE VERDAD
P Q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Notas:1. p ↔ q se lee: p si solo q
2. p ↔ q es equivalente p → q ∧ q → p
Ejemplo: p: 23 = 8 ∨(p) = V
q: log3 81 = 4 ∨(q) = V
p ↔ q ∨(p ↔q) = V
CONJUNCIÓN NEGATIVA (↓)
Definición.- La conjunción negativa de dos proposiciones p y q es verdadera
solo cuando las dos proposiciones son falsas.
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TABLA DE VALORES DE VERDAD
p q p ↓ q
V V F V F F
F V F
F F V
Ejemplo:
p: 25 = 5 ∨(p) = V
q: 0º = 1 ∨(q) = Fp ↓ q ∨(p ↓ q) = F
TIPOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
Recordemos que una proposición compuesta resulta de la combinación de
proposiciones simples y operaciones lógicas. Existen tres tipos básicos de
proposiciones compuestas.
1. Tautologías
2. Contradicciones
3. Indeterminaciones
1.- TAUTOLOGÍAS.- Se llaman también leyes lógicas y se consideran como
tales si son siempre verdaderas independientemente del valor de verdad de las
proposiciones simples que las componen.
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Ejemplo: P: (p → q) ↔ (∼p∨q)
(p → q) ↔ (∼ p ∨ q)
V V V V F V V V
V F F V F V F F
F V V V V F V V
F V F V V F V F
1 2 1 4 2 1 3 1
P es una tautología.
2. CONTRADICCIONES.- Son proposiciones cuyo valor de verdad es siempre
falso.
Ejemplo: Q: ∼(∼ p ∨ p).
∼ (∼ p ∨ p)
F F V V V
F V F V F
4 2 1 3 1
Q es una contradicción.
3. INDETERMINACIONES.- Son proposiciones compuestas que no sontautologías ni contradicciones.
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IMPLICACIÓN LÓGICA
Se dice que una proposición P implica lógicamente a una proposición Q y se
representa así: P⇒
Q si el condicional P → Q es una tautología.
EQUIVALENCIA LÓGICA
Una proposición P es lógicamente equivalente a una proposición Q y se
representa así: P ⇒ Q, si el bicondicional P ↔Q es una tautología.
Ejemplo:
P: p → q
P ↔ Q es una tautología, por consiguiente P ≡Q
Q: ∼p∨q
Ejemplo: Demostrar que p ↓ q ≡ ∼ p ∧ ∼ q
P ↓ q ↔ ∼ p ∧ ∼ q
V F V V F V F F V
V F F V F V F V F
F F V V V F F F V
F V F V V F V V F
1 3 1 4 2 1 3 2 1
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PRINCIPALES TAUTOLOGÍAS DE LA LÓGICA
1) EQUIVALENCIA:
p ≡ p
2) IDEMPOTENCIA:
p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p
3) ASOCIATIVAS:
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
4) CONMUTATIVAS:
p ∧ q ≡ q ∧ pp ∨ q ≡ q ∨ p
5) DISTRIBUTIVAS:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
6) IDENTIDAD:
p ∧ F ≡ F
p ∨ F ≡ p
p ∧ V ≡ p
p ∨ V ≡ V
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7) COMPLEMENTO:
p → p ≡ V
p ∨ ∼p ≡ V∼(∼p) ≡ p
∼ V ≡ F
∼F = V
8) DE MORGAN:
∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q
∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q
9) ABSORCIÓN:
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
10) CONDICIONAL:
p → q ≡ ∼p ∨ q
p → q ≡ ∼q → ∼p
11) BICONDICIONAL:
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
12) CONJUNCIÓN NEGATIVA:
p ↓ q ≡ ∼p ∧ ∼q
p ↓ q ≡ ∼(p ∨ q)
-
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13) DISYUNCIÓN EXCLUSIVA:
p ∨ q ≡ (p ∨ q) ∧ ∼(p ∧ q)
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES ORDENADAS DE MAYOR A MENOR
IMPORTANCIA
1. Negación: ∼
2. Conjunción: ∧
3. Disyunción: ∨
4. Bidisyunción: ∨
5. Conjunción Negativa: ↓
6. Condicional: →
7. Bicondicional: ↔
NOTAS:
1) Si hay dos operadores iguales se procede de izquierda a derecha.
2) No existe una sola forma de simplificar una expresión lógica.3)Los paréntesis destruyen la jerarquía porque señalan una operación que
debe realizarse primero.
EJERCICIOS:
1. Dada la siguiente proposición:
Si x² es múltiplo de 8 y r es un número primo, o es falso que x2 no es múltiplo
de 8; entonces x² es múltiplo de 8.
a) Expresarla simbólicamente.
b) Simplificarla justificando debidamente.
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c) Dar una proposición equivalente.
a) p ∧ q ∨ ∼∼ p → p
b) [(p ∧ q) ∨ ∼∼p] → p ≡ [(p ∧ q) ∨ p] → p Complemento y jerarquía de lasoperaciones.
≡ p → p Absorción
≡ V
c) Si x2 es múltiplo de 8 entonces x2 es múltiplo de 8.
II. Demostrar analíticamente que: ∼[(∼p∨q) ∧ ∼ (r ∧ ∼q)] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q]
es una contradicción.
≡ ∼[(∼p∨q) ∧ ∼ (r ∧∼q)] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q]
≡ [∼(∼p∨q) ∨ ∼(∼r ∨ q)] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q] De Morgan
≡ [(p∧∼q) ∨ (r ∧ ∼q)] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q] De Morgan
≡ [(p∨r) ∧ ∼q] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q] Recolectiva
≡ Q ∨ ∼Q
≡ F
III. Sean P: ∼ [(p ∨ q) → p]
Q: (p ↓ q) → ∼q
Demostrar que P → Q es una tautología.
P → Q ≡ ∼ [(p ∨ q) → p] → [(p ↓ q) → ∼q]
≡ [(p ∨ q) → p] ∨ [(p ↓ q) → ∼q] Condicional
≡ [∼(p ∨ q) ∨ p] ∨ [∼(∼p ∧ ∼q) ∨ ∼q] Condicional, Conjunción (∼)
≡ [(∼p ∧ ∼q) ∨ p] ∨ [(p ∨ q) ∨ ∼q] De Morgan
≡ [(∼p ∨ p) ∧ (∼q ∨ p)] ∨ [p ∨ (q ∨ ∼q)] Distributiva
≡ [V ∧ (∼q ∨ p)] ∨ [p ∨ V] Complemento
≡ (∼q ∨ p) ∨ V Identidad
≡ V Identidad
-
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IV. Determinar en que casos es verdadera la proposición siguiente:
(∼p → q) ∨ r → ∼(p ↓q) si se conoce que r: “2 + 5 > 7”.
≡ (∼p → q) ∨ F → ∼ (p ↓ q) Reemplazo≡ (p ∨ q) → ∼ (∼p ∧ ∼q) Condicional, Identidad, Disyunc. Exclus.
≡ ∼(p ∨ q) ∨ (p ∨ q) Complemento
≡ V
Respuesta: para cualquier valor de verdad de p y q.
FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES
Funciones Proposicionales en un conjunto A.- Son expresiones que
contienen una o más variables, las cuales toman sus valores del conjunto A. A
las funciones proposicionales suelen llamárselas también oraciones abiertas o
condiciones.
Ejemplo:
Px: x-3 = 0 A = Z = {enteros}
Nota 1: Una función proposicional no es ni verdadera ni falsa.
P3: 3-3 = 0 V
P1: 1-3 = 0 F
Otros ejemplos:
0|12||3:|
52:
12:
2²²:
,,
,
,
≤−+−
=+−
+=
=−
x xt
z y xs
x yr
y xq
x
z y x
y x
y x
-
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Nota 2: Si el conjunto A de referencia llamado también universo de la variable
no aparece escrito expresamente, se sobreentiende que es el conjunto de los
números reales.
Cuantificadores.- Son expresiones que limitan el alcance de la o las variables
de una función proposicional y por lo tanto la transforman en una proposición.
Analizaremos dos tipos de cuantificadores:
1. Cuantificador Universal
2. Cuantificador Existencial
1. Cuantificador Universal.- Se lee “para todo” “∀”
2. Cuantificador Existencial.- Se lee "existe al menos un valor de” “∃”
Px: 2x + 8
∀x∈Z: 2x+8=6 F ∃ x ∈ Z: 2x+8=6 V
∀x∈Z: Px F ∃x∈ Z: Px V
También existe:
"una y solo una" "∃!"
"ningún x" "Иx"
tx: ∃x∈Z: x²+5x+6 = 0 V
sx: ∃ ! x ∈ Z: x² + 5x + 6 = 0 F
LEYES DE DE MORGAN PARA CUANTIFICADORES
1. ∼(∀x∈ A, Px) ≡ ∃x∈ A, ∼(Px)
2. ∼(∃x∈ A, Px) ≡ ∀x∈ A, ∼(Px)
-
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EJERCICIOS
I. Expresar mediante el uso de cuantificadores y funciones proposicionales.
a) Todo hombre honesto lucha por romper las cadenas de la enajenación.b) Toda educación tiene una ideología de clase.
c) Algunos hombres impiden la superación histórica.
a) A = {hombres honestos}
PX: x lucha por romper las cadenas de la enajenación.
∀x∈ A, Px
b) A={educaciones}
Px: x tiene una ideología de clase
∀x∈ A, Px
c) A={hombres}
Px: x impiden la superación histórica
∃x∈ A, Px
II. Demostrar que:
∃x∈{7,8,4}, x3 + 7x -1 < 5 ⇒ ∀x∈R, (x+3)2 = x²+9
F → F
V
III. a) Sea Px una función proposicional sobre A. Hallar todas las
proposiciones que se puede obtener cuantificando, bien sea a Px o ∼Px
1. ∀x∈ A, Px
2. ∃x∈ A, Px
3. ∀x∈ A, ∼Px
4. ∃x∈ A, ∼Px
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b) Sea Px: “x-7
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Negación:
∀x∈R, x²+5x+8 ≠ 0 ∧ [∀x∈N, x+3 ≥ 4 ∨ ∃ x ∈ C, x∈R ]
b) ∼(∃x∈N, x-41→x∈R)] ≡ (∃x∈N, x-41∧ x∉R)]
II. Demostrar si es verdad o no que:
a) ∀x∈R, |x.2x|>1
Contraejemplos:
i) Si x=l/2 : |l/2.21/2|>l ii) Si x = 0 |0.2°| > 1
≡ |1/2. 1,4142| >1 ≡ |0.1| > 1
0,7071 > 1 0 > 1
F F
b) ∀x∈R, ∃ y>l, xy>x
Contraejemplos:
x = -2 y = 5
-2y > -2
-2.5 > -2
-10 > -2
F
-
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III. Negar la siguiente proposición.
∀ l > 0, ∃m∈N, ∀n≥m, ∀x∈R, (m > n → |f n(x)-f m(x)| < l) Primero
simplificamos.
≡ ∀ l > 0, ∃m∈N, ∀n≥m, ∀x∈R, (m ≤ n ∨ |f n(x)-f m(x)| < l)
Negación:
∃ l > 0, ∀m∈N, ∃n≥m, ∃x∈R, (m > n ∧ |f n(x)-f m(x)| ≥l)
-
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CIRCUITOS LÓGICOS
Resultan de la aplicación de la lógica a los circuitos eléctricos. Una proposición
se representa por un interruptor. • p •
Si el interruptor esta cerrado, p es verdadera y pasa corriente como en el
gráfico anterior.
Si el interruptor está abierto, p es falsa y no pasa corriente.
• p •
La operación de conjunción p ∧ q se representa como un circuito en seriep q y la operación de disyunción p ∨ q tiene la
representación de un circuito en paralelo p
q
Las demás operaciones tienen representaciones que utilizan las dos anteriores
por ejemplo: p → q se representa
~p
q
a los circuitos lógicos se los denomina compuertas lógicas.
Ejemplo: representar el siguiente circuito lógico.
Primer paso:
Representar el circuito mediante operaciones lógicas.
]
]
} p q p q p ∧q~ p~ q~ p~
p
q
p q
~
~
~ p ~q
p •
-
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Segundo paso:
Simplificar la expresión resultante mediante el uso de tautologías.
]
]
} p q p q p ∧q~ p~ q~ p~
Llamamosareduceseexpresiónanteriorlay
⎭
∧
∨
q p n
q p m
[ ] [ ]
}
] ]}
[ ] [ ]
}
{ }
p
p V V
p m V V n
p m n n m n m
p m n n m
≡
∧
∧
∧
∧
~
~ ~ ~
~ ~
Tercer paso:
Representamos la expresión simplificada como circuito lógico.
p
El circuito obtenido tiene una función equivalente al circuito original.
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MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Se utilizan para demostrar las proposiciones llamadas teoremas las cuales
pueden tener la estructura H → T o P ↔ Q . En el primer caso H es lahipótesis y T es la tesis. El segundo caso tiene dos partes que corresponden a
dos condicionales.
Para demostrar una tesis, enunciado, proposición o teorema existen algunos
métodos que son aplicables en determinada instancia, los métodos que
abordaremos en esta unidad son: método de demostración directo, indirecto o
de contraposición, reducción al absurdo o de contradicción y el método de
inducción matemática.
MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTO: Este método se fundamenta en
una secuencia lógica, donde los datos iniciales que constituyen la hipótesis
(axiomas, definiciones o teoremas ya demostrados) implican que es la tesis.
P1
P2 Definiciones
P3 Axiomas o datos iniciales. Teoremas ya demostrados
.
.
Pn
T
En el método directo partimos, en efecto, de los datos iniciales formando una
serie de implicaciones, cada una de ellas verdaderas; esta secuencia lógicadebe ser una conjunción de esos condicionales para que la tesis final sea
verdadera
-
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P1→ P2
P2→ P3
P3→ P4
. .
. .
. .
Pn-1→ Pn
( ) ( ) ( ) ( )[ ] T T PnPnPPPPPTeoreman
→→∧→∧∧→∧→ −1...3221:
Tomando la forma del silogismo lógico: PONENDO PONENS
p→ q
p
q
EJEMPLOS: Verificar los siguientes enunciados:
1) Si los alumnos estudian matemáticas
HEntonces
Aprobarán esa asignatura
T
H=P1:: “Los alumnos estudian matemática”
P2:: “Los alumnos saben matemática”
P3:: “Los alumnos dan un buen examen”
P4:: “Los alumnos obtienen una buena calificación”
P5=T :: “Los alumnos aprobarán esa asignatura”
Desarrollo de las implicaciones lógicas (Supuestas verdaderas)
-
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: P1→ P2 : : “Si los alumnos estudian matemáticas entonces saben la materia”
P2→ P3 : : “Si los alumnos saben matemáticas entonces rinden un buen examen”
P3→ P4 : : “Si los alumnos rinden un buen examen entonces obtienen una buena
calificación”
P4→ P5 : : “Si los alumnos obtienen una buena nota entonces aprobarán
esa asignatura”
: . T : : “Los alumnos aprobarán esa asignatura”.
2)
Si el pueblo es mayoría
HEntonces
Obtiene un mejor nivel de vida
T
Uno de los desarrollos de las implicaciones lógicas es:
H=P1→ P2 : : “Si el pueblo es mayoría entonces puede organizarse”
P2→ P3 : : “Si el pueblo es organizado entonces ganará las elecciones”
P3→ P4 : : “Si el pueblo gana las elecciones entonces llegará al poder”
P4→ P5 : : “Si el pueblo llega al poder entonces pondrá en vigencia sus
proyectos”
P5→ P6 : : “Si el pueblo pone en vigencia sus proyectos entonces obtiene un
mejor nivel de vida”
: .T=P6 : : “El pueblo obtiene un mejor nivel de vida”
3) Demostrar el siguiente teorema:
Si n es impar entonces n2 es impar
H P.D. T
-
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DEMOSTRACIÓN
PROPOSICIONES: RAZONES:
1) Si n es impar⇒
n=2p+1 ; n∈
Z Definición De numero impar2) Si n =2 p+1⇒ n2 =(2p+1)2 Propiedad de la igualdad
3) Si n2 =(2p+1)2⇒ n2=4p2+4p+1 Binomio elevado al cuadrado
4) Si n2 4p2+4p+1 ⇒
n2=2(2p+2)+1Propiedad recolectiva distributiva
5) Si n2 =2m+1 ;m∈Z ⇒ es imparSustitución, m=(2p+2); Prop
Clausurativa
6) n2 es impar Por pasos del 1 al 5
MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTO DE CONTRAPOSICIÓN: Este
método se fundamenta en una tautología o equivalencia lógica llamada
contraposición o silogismo denominado MODUS TOLLENDO TOLLENS.
MODUS TOLLENDO TOLLENS: CONTRAPOSICIÓN
p → q (p → q)≡ ( ~q→ ~p)
La tabla de valores de verdad de la equivalencia es:
P → q ⇔ ~q → ~p
V V V V F V F
V F F V V F F
F V V V F V V
F V F V V V V
El método de la contraposición en base a esta tautología procede de la
siguiente manera:
-
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Dado el enunciado (p→ q) niega el consecuente para concluir con la negación
del antecedente en forma similar al método directo en una secuencia lógica de
implicaciones.
OBSERVACIONES:
1) Para la demostración formal se acostumbra adjuntar a lado de cada una de
las afirmaciones las razones o justificaciones de cada paso.
2) En el método de contraposición es necesario determinar correctamente el
antecedente (p) y el consecuente(q) y como primer paso procedemos a
negar el consecuente (~q).
MÉTODO INDIRECTO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO: Este método
consiste en suponer que el teorema es falso y caer en una contradicción; por
tanto es verdadera la negación del supuesto así: T ≡ F; ~T ≡ V.
Partimos entonces de la suposición que la negación del enunciado es verdadera
y mediante una secuencia lógica obtenemos lo que se denomina un absurdo o
contradicción, que son proposiciones de la forma r∧
~r que es siempre falsa.
La base lógica de este método es la siguiente tautología
P → q ⇔ [~ (p → q) → (r ∧ ~r)]
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
-
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MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA:
La Inducción Matemática o Inducción Completa es una forma de razonamiento
que puede usarse para demostrar relaciones o proposiciones que dependan deuna variable "n" que solo admite valores enteros. Este método consta de los
tres siguientes pasos:
1. Comprobar que la relación es verdadera para el primer valor admisible de n.
2. Partiendo de la hipótesis que la relación es verdadera para cierto valor de n,
digamos k, demostrar que también es verdadera para n= k+1.
3. Comprobar que la relación es cierta para n= 1 en el paso uno; de los pasos
1 y 2 se sigue que también es cierta para n = 2. Análogamente si la relación
es cierta n = 2, entonces es cierta para n = 3 y así sucesivamente para
todos los valores enteros y positivos de n.
El paso uno y dos son esenciales para la validez de la demostración.
El paso tres es solamente una consecuencia lógica de los pasos uno y dos.
Ejemplo: Comprobar que la suma de los n primeros cuadrados es igual a:
6
)12)(1( ++ nnn
, n ∈ Z+ ≡ 1² + 2² + … + n² = 6)12)(1( ++ nnn
Donde n es cualquier número entero positivo.
1) Sustituyendo n = 1 obtenemos:
1² = 6)112)(11(1 +•+
≡ 1 = 1 V
a) Suponemos que el teorema es verdadero
para n = k: 1²+2²+3²+…+k² = 1/6 k (k+1) (2k+1)
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b) Sumamos (k+1)² a ambos miembros.
1² + 2² + … + k² + (k + 1)² =)²1(
6
)12)(1(++
++k
k k k
c) Factoramos el segundo miembro.
1² + 2² + … + (k + 1)² =
[ ][ ]6
1)1(21)1()1( +++++ k k k
d) Pk+1 es verdadera
3) Conclusión: el teorema es verdadero.
Ejemplo:
Demostrar por Inducción que:
Pn: 1)1(1
...4.3
1
3.2
1
2.1
1
+=
+++++
n
n
nn
1) 111
2.1
1:1 +
=P
2
1
2
1=
Pk es V
2) Pk ⇒ Pk +1
-
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a) 1)1(1
...3.2
1
2.1
1
+=
++++
k
k
k k
b) [ ] )2)(1(1
11)1()1(1...
3.21
2.11 ++++=++++++ k k k
k k k
c) )2)(1(12²
)2)(1(
1
)1(
1...
3.2
1
2.1
1
++++
=++
++
+++k k
k k
k k k k
d)
e) Pk + 1 es V
3. Pn es V ∀n ∈ Z+
Ejemplo:
Si a y b son números positivos tales que a>b, entonces a
n
> b
n
.
∀a, b∈R +: ∀n∈Z+: si a>b → an>bn
(H → T)
Pn
1) P1: a>b → a1 > b1
a>b → a>b
V
2) a) ak > bk Pk es verdadera
(Hipótesis de inducción)
b) aak > bbk Multiplicamos por a > b
1
( 1) 1
k
k
+
+ +=
-
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c( ak+1 > bk+1 Exponente entero y positivo
d( Pk+1 es V
3) Conclusión: Pn es V ∀ n ∈ Z+
Ejemplo:
32n – 1 es divisible para 4
∀n∈Z+: 32n-1 es divisible para 4, ≡32n – 1 = 4p, p∈Z
1) 813:2
1 =P 8 es divisible para 4
V
OPERACIONES
2) 1+⇒ k k PP 4 paradivisiblees13:)1(2
1 −+
+k
k P
a)+∈=− Z mmk ,4132 Z p pP
k
k ∈=−≡ +
+ ,413:22
1
b) 13)1(2 −+k 13
)1(2 −= +k ARTIFICIO
c) 893.3 22 +−= k )89(3².313222
−
k k
d) 8)13(322 +−= k
e) 13)1(2−
k 8)4(32 += m
f) 13)1(2−
k )23(4 2 += n
g) Z hhk ∈=−+ ,413 )1(2
h) 13)1(2−
k
es divisible para 4
i)Pk + 1 es verdadera
3) ∀n∈Z+, Pn es V
-
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1) En las siguientes afirmaciones determine cuales son proposiciones y su valor
de verdad.
a) Si 4 – 3 = 1, entonces 2+2=4
b) 2
4
8=
y 3+5=8
c) 9-5
d) No es cierto que 4+6=10 o que
2
5
30=
e) Ni 108
5
4 ni
3
2
9
6=
2) Determine, con tablas de verdad el tipo al que pertenecen las siguientes
proposiciones compuestas.
a) (p↓ q)⇔ ( ~p∧ ~q)
b) (p→ q)⇔ ( q→ p)
c) ~(p∨~q)⇔ p ∨~q)
3) Simplifique:
a) ]} rpp~ qp~ p~ ~ →
b) ] ] ]p~ qq~ p~ q~ qp~ →q q
-
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~p
p
q
~q
p
q
~q
~p
q
~q
~q
p
~p
~q
q
p
q
4) Niegue las siguientes proposiciones:
a) 02: >y x R y R x
b) 0: =b a R b R a
c) x b x R b R x =:!
d) y x y x R y R x −0:
5) Construya el circuito simplificado de cada uno de los siguientes:
a)
b)
6) Explique los diferentes métodos de demostración.
7) Cuando una proposición es una tautología?
-
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p
~q
q
p
p
~p q
p
~p
p
q
EVALUACIÓN SUMATIVA
1) Niegue la siguiente proposición:
Para todo a, b∈
R: Si a b=0 entonces a=0 o b=02) Determine el tipo de proposición compuesta al que pertenece Q.
Q: q p q p q p ~ ~ ↓
−
Utilice tablas de verdad.
3) Simplifique la proposición compuesta P.
]
]p p q p q q p P ~ ~ ~ ~ ~ : ∨
4) Construya el circuito simplificado del siguiente:
5) Cuando una proposición es una contradicción?
-
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UNIDAD 2
CONJUNTOS
OBJETIVO:
Resolver varios tipos de problemas mediante la utilización de la teoría de
conjuntos.
SUMARIO:
Noción de conjunto. Representación. Presentación gráfica de Venn y de Carroll.
Relaciones entre conjuntos. Operaciones. Leyes de las operaciones. Problemas
de aplicación.
INTRODUCCIÓN:
La teoría de conjuntos permite relacionar campos de la matemática queantiguamente se consideraron independientes como el Análisis, la Geometría o
el Álgebra.
En un principio esta teoría no fue aceptada por los matemáticos de la época en
la que su inventor, George Cantor, la propuso. Posteriormente se vio que
relaciona conceptualmente todas las ramas matemáticas, siendo su estudio en
la actualidad un requisito indispensable para abordar aspecto de la matemática.
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47
CONJUNTOS
Noción de Conjunto.- Es una colección, reunión o asociación de elementos.
Notación.- Utilizaremos letras mayúsculas para representar a los conjuntos.
Además los elementos o la propiedad que cumplen irán encerrados entre llaves.
Se lee "el conjunto de todos los, o de todas las"
Ejemplo:
1. A = {dígitos decimales}
2. A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
3. A = {x/x es dígito decimal}
FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO
1. Por Comprensión.- Consiste en señalar la propiedad común que cumplen
los elementos del conjunto mediante una frase.
Los ejemplos 1 y 3 son ejemplos del método de comprensión.
2. Por Extensión, Tabulación o Enumeración.- Consiste en enumerar cada
uno de los elementos que pertenecen al conjunto. El ejemplo 2 corresponde a
este método.
NOTAS:
• La forma por comprensión se utiliza para describir conjuntos grandes y se
describe por extensión a conjuntos no muy numerosos.
-
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48
• El ejemplo 3 anterior es una variante del método de comprensión y suele
llamarse descripción normal, descripción estándar o fórmula.
• N = {0,1,2,3,...,∞} no es válido porque no pertenece a ningún método, pero
se usa con abuso de lenguaje.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS:
Para representar las relaciones entre conjuntos y posteriormente las
operaciones, frecuentemente se utilizan representaciones gráficas que pueden
ser:
1. Diagrama de Venn
2. Diagrama de Carrol
4.
Diagramas de Venn.- Llamados también de Venn - Euler. Son regiones
cerradas que sirven para representar conjuntos. Ej.: Representar en
diagrama de Venn los siguientes conjuntos.
Sea U = {letras del abecedario} A = {a,b,c,d}
B = {g,h,f,i}
A
U B
Observación: U es el conjunto universo formado por la totalidad de elementos
que participan en una discusión o problema. En el ejemplo anterior U es igual al
conjunto de las letras del abecedario. El conjunto universo generalmente se
representa con las letras U o E.
a b c
d
gh f
i
-
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49
• Representar los siguientes conjuntos en diagrama de Venn.
C = {cuadriláteros}
T = {trapecios}T’ = {Trapezoides}
P = {Paralelogramos}
R o = {Rombos}
Cu = {Cuadrados}
R e = {Rectángulos}
CT P T’
Ro ReCu
4. Diagramas de Carrol.- Constituyen otra manera de representargráficamente los conjuntos. Utilizan únicamente rectángulos.
Ejemplo:
• Representar los siguientes conjuntos:
H = {Hombres}
M = {Mujeres}G = {Personas que les gusta el fútbol}
NG = {Personas que no les gusta el fútbol}
S = {Personas de la Sierra}
Ns = {Personas que no son de la Sierra}
-
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50
S Ns
GH
NG G
MNG
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1) Relación de Intersecancia.- Dos conjuntos son intersecantes cuando
tienen por lo menos un elemento común.
U A B
2) Relación de Disyunción.- Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando
no tienen elementos comunes.
U A B
3) Relación de Inclusión.- Un conjunto A está incluido o es un
subconjunto de un conjunto B (A ⊂ B) si todos los elementos del
conjunto A son también elementos del conjunto B.
-
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51
Distinguiremos dos casos:
• Si A es subconjunto de B (A ⊂ B) y A ≠ B entonces A es subconjunto propio
de B.• Si A es subconjunto de B (A ⊂ B) y A=B la relación se llama de igualdad, y A
se llama subconjunto impropio de B.
B
A es subconjunto propio de B
A A ⊂ B ∧ B ⊄ A
4) Relación de Igualdad.- Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen
los mismos elementos
A es subconjunto impropio de B
A
Si A ⊂ B ∧ B ⊂ A entonces A = B
B
NOTA: Si n es el número de elementos que tiene un conjunto, entonces tiene:
número de elementos número de subconjuntos
0 1
1 2
2 4
3 8
. .
. .
. .
n 2n
-
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52
- Todo conjunto es subconjunto de si mismo (A ⊂ A).
- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto, inclusive de sí
mismo.- El vacío es subconjunto propio si es subconjunto de otros conjuntos.
- El vacío es subconjunto impropio de sí mismo.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1) UNIÓN: A ∪ B = {x∈U/x∈ A ∨ X ∈ B}
A B A B
B A
B
2) INTERSECCIÓN: A ∩ B = {x∈U/x∈ A ∧ x∈B}
U A B A B
AB
B
A
A
-
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53
3) DIFERENCIA: A-B = {x ∈U/x∈ A ∧ x∉B}
U A B A B
B A
A
B
4) DIFERENCIA SIMÉTRICA: A Δ B = {x∈U/x∈ A ∨ x∈B}
U A B A B
B A
A
B
5) COMPLEMENTACIÓN: A’ = {x∈U/x∉ A}
U
6) PRODUCTO CARTESIANO
Definición.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, se representa"AxB", y se define de la siguiente forma:
AxB= {(x,y)/x∈ A ∧ y∈B);en donde,
A
A
-
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54
(x,y) es el par ordenado.x es la primera componente del par ordenado.y es la segunda componente del par ordenado.
REPRESENTACIONES DEL PRODUCTO CARTESIANO
1) Por fórmula:Si C = {-1, 0, 5} y
D = {-1, 0} C x D = {(x, y) / x∈C ∧ y∈D}
2) Por tabla:
x -1 0 5 -1 0 5y -1 0 -1 0 -1 0
3) Por diagrama cartesiano:
y
CxD• • • x• • •
4) Por diagrama sagital:
RELACIÓN ENTRE OPERACIONES DE DIFERENTES ÁLGEBRAS
LÓGICAS CONJUNTOS
∧ ∩
∨ ∪
∨ Δ
→ ⊂
↔ =
∼ ’
C-105
D-1
0
-
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55
PRINCIPALES LEYES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS
1) IDEMPOTENCIA:
A∩ A = A
A∪ A = A
A Δ A = ∅
2) CONMUTATIVAS:
A∩B = B ∩ A
A∪B = B∪ A
A Δ B = B Δ A
3) ASOCIATIVAS:
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)(A∪B)∪C = A∪(B∪C)
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
4) DISTRIBUTIVAS:
A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
A∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
A∩(B Δ C) = (A∩B) Δ (A∩C)
-
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56
5) DE MORGAN:
(A∩B)’ = A’ ∪ B’
(A∪B)’ = A’ ∩ B’
6) COMPLEMENTO:
(A')' = A
Ø’ = U
U’ = Ø
A∩ A' = Ø
A∪ A' = U
A-B = A∩B'
7) IDENTIDAD:
A∩Ø = Ø
A∩U = A
A Δ Ø = A A∪U = U
A∪Ø = A
A Δ U = A'
A Δ B = (A-B) ∪ (B-A)
A Δ B = (A∪B) - (A∩B)
8) ABSORCIÓN:
A∪(A∩B) = A
A∩(A∪B) = A
-
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57
9) DIFERENCIA:
U-A = A'
A-U = ØØ-A = Ø
A-Ø = A
A-A = Ø
10) OTRAS PROPIEDADES IMPORTANTES:
A⊂B SI B' ⊂ A'
A∩B = A si A⊂ B
A∪B = B si A⊂B
A-B = Ø si A⊂B
A' Δ B'= A Δ B
-
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Podemos usar la teoría de conjuntos para resolver varios tipos de problemas,
entre ellos los de numerosidad. Por ejemplo el siguiente:
En una encuesta de 100 estudiantes, la cantidad de ellos que cursaban diversas
materias fue la siguiente: Inglés 60, Matemática 40, Química 50, Inglés y
Matemática 30, Inglés y Química 35, Matemática y Química 35, las tres
materias 25.
a) ¿Cuantos estudiantes toman Matemática, pero ninguna de las otras?
b) ¿Cuantos estudiantes cursan Matemática y Química, pero no Inglés?
c) ¿Cuántos estudiantes toman Inglés y Química, pero no Matemática?
d) ¿Cuántos estudiantes reciben a lo sumo una materia?
Solución:
Representemos los datos:
1) Primero los que cursan las tres
materias.
2) Luego los que cursan dos.
3) Finalmente los que cursan una
asignatura.
4) Por último los que no cursan
ninguna, como diferencia entre los
100 (total) y la suma de los tres
conjuntos.
5) Luego resolvemos las preguntas
planteadas.
U
25
I 520
10 25
M
0
10
5Q
-
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59
a) 0
b) 10
c) 10
d) 50
EJERCICIOS GENERALES DE LÓGICA Y DE CONJUNTOS:
1. Dados los conjuntos:
A = {x∈R/-∞
-
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60
(F-D’)
D’
F
-∞ 3 6 +∞
[(A’-B)∪C] Δ (F – D’)
F – D’
(A’ – B)U C
-∞ -2 3 6 +∞
SOL: ] [2;6−
-
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2. Represente mediante un diagrama de Venn las relaciones
existentes entre conjuntos A, B y C (conjuntos no vacíos), conociendo:
a) B⊂C; A∩B ≠ ∅; A⊄Cb) B⊂ A; B∩C = ∅; C⊂ A
U A C U A
B B C
3. Simplificar utilizando leyes.
(p→q) ↓ [(∼p→r) → (q∧r)]
≡ (p→q) ↓ [∼(p∨r) ∨ (q∧r)] Condicional
≡ (∼p∨q) ↓ [(∼p∧∼r) ∨ (q∧r)] De Morgan
≡ ∼(∼p∨q) ∧ ∼ [(∼p∧∼r) ∨ (q∧r)] Conjunción Negativa
≡ (p∧∼q) ∧ [∼(∼p∧∼r) ∧ ∼(q∧r)] De Morgan≡ (p∧∼q) ∧ [(p∨r) ∧ (∼q∨∼r)] De Morgan
≡ [p∧(p∨r] ∧ ∼q ∧ ∼(q∧r)] Asociativa
≡ (p∧∼q) ∧ (∼q∨∼r) Absorción
≡ p ∧ [∼q∧(∼q∨∼r)] Asociativa
≡ p∧∼q Absorción
4. Determinar y graficar AxB si:
A = {x/x=2n-l;n∈N
-
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A = {-1,1,3,5,7}
B = {1,9, 25, 49}
AxB = {(-1,1) (-1,9) (-1,25) (-1,49) (1,1) (1,9) (1,25) (1,49) (3,1) (3,9) (3,25)(3,49) (5,1) (5,9) (5,25) (5,49) (7,1) (7,9) (7,25) (7,49)}
A x B
5. Niegue y simplifique la siguiente proposición.
(∀x: ∼px ↓ qx) → (∃x: ∼qx ∨ px)
Primero simplificamos
≡ (∀x: px ∧ ∼qx) → (∃x: ∼qx ∨ px)
≡ ∼(∀x: px ∧ ∼qx) ∨ (∃x: ∼qx ∨ px)
≡ (∃x: ∼px ∨ qx) ∨ (∃x: ∼qx ∨ px)
NEGACIÓN:
(∀x: px ∧ ∼qx) ∧ (∀x: qx ∧ ∼px)
∀x: [(px ∧ ∼qx) ∧ (qx ∧~ px)]
[(px ∧~ px) ∧ (∼qx ∧ qx)
F ∧ F
F
A continuación un ejemplo de aplicación de las leyes de las operaciones:
Simplificar: {[Q∩P)∪P] ∩ (P-Q)}' ∪ {P∪[(Q'∪P) ∩ (Q∪P')]}
{[Q∩P)∪P] ∩ (P-Q)}' ∪ {P∪[(Q'∪P) ∩ (Q∪P')]}
A
B
-
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= {P∩(P∩Q')}' ∪{[P∪(Q'∪P)]∩[P∪(Q∪P')]} Absorción, Diferencia, Distributiva
= {P∩Q'}'∪{[P∪Q'] ∩[U∪Q]} Asociativa, Idemp., Compl.
= {P'∪Q} ∪ {[P∪Q'] ∩ U} De Morgan, Compl. Ident.= {P' ∪ Q} ∪ [P ∪ Q'] Identidad
= (P’ ∪P) ∪ (Q∪Q') Conmutativa, Asociativa
= U ∪ U Complemento
= U Idempotencia
ALGUNAS NOTACIONES DE CONJUNTOS
Conjuntos no ordenados { }
Conjuntos ordenados ( )
Intervalos [ ]
Estructuras algebraicas
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Señale por extensión y comprensión el conjunto de los números naturalesmúltiplos de 6 y menores que 50
2) Dados los conjuntos A={ }12,10,8,6,4 , B={ }9,8,7,5,3 , C={ }11,10,5,7,4 y
U={ }132:
-
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64
3) Represente en diagrama de Veen
a) (B - C) ∆ (BI A)
b) (C’ – B) ∆ (A’ U C’)
4) Determine los conjuntos A, B y D que cumplan todas las condiciones
siguientes que corresponden todos a un mismo problema.
a) D⊂ AU B y AI B⊂D
b) A ∆ D = { }4,3
c) (AU B) ∆ D ={ }6,5,3
d) (AID) ∆ (BID) = { }4,2,1
e) AI BID ={ }0
5) De 120 personas de una Universidad se obtuvo la siguiente información:
72 alumnos estudian Matemática
64 alumnos estudian Biología
36 alumnos estudian Computación
12 alumnos estudian las 3 materias¿Cuántos estudiantes asisten exclusivamente a 2 materias?.
-
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EVALUACIÓN SUMATIVA
1) Utilice el método de comprensión para describir los siguientes conjuntos:
a) A={ }14,21,28,35,42,49
b) D= ⎭⎩ 261
,17
1,
10
1,
5
1,
2
1
2) Dados los conjuntos A={ }12,10,8,6,4 , B={ }9,8,7,5,3 , C={ }11,10,5,7,4 y
U={ }132/
-
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UNIDAD 3
DESIGUALDADES
OBJETIVO:
Resolver problemas que determinen la resolución de una o más desigualdades.
SUMARIO:
Conjunto de los números reales. Axiomas de cuerpo. Axiomas de la igualdad.
Axiomas de orden. Intervalos. Operaciones con intervalos. Resolución de
inecuaciones. Método abreviado. Problemas de aplicación.
INTRODUCCIÓN:
La interpretación matemática de algún aspecto del mundo físico se denomina
modelo. Los modelos más empleados son lineales, los que se expresan
mediante una ecuación o inecuación lineal o un sistema de ellas. En esta unidad
analizaremos el fundamento y aplicación de las desigualdades
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Definición.- El conjunto de los Números Reales se representa con la letra R;
es un conjunto en el que se han definido dos operaciones: suma y
multiplicación y en el que se supone se cumplen los siguientes axiomas;
1. Axiomas de Cuerpo
2. Axioma de Completez3. Axiomas de Orden
Analizaremos los axiomas mencionados en los grupos 1 y 3.
-
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AXIOMAS DEL CUERPO DE LOS REALES
1) CLAUSURATIVOS:
=∀x,y ∈ R: (x+y)∈R ∧ (x.y)∈R
2) ASOCIATIVOS:
= ∀x,y,z ∈ R: (x+y)+z = x+(y+z)
= ∀x,y,z ∈ R; (x.y).z = x.(y.z)
3) MODULATIVOS:
= ∀x∈R, ∃ ! 0∈R: x+0 = x
= ∀x∈R, ∃! l∈R: x.l = x
4) INVERTIVOS:
= ∀x∈R, ∃! (-x)∈R: x+(-x) = 0
= ∀x∈R, x ≠ 0: ∃! 1/x∈R: x.l/x = 1
5) CONMUTATIVOS:
= ∀ x,y ∈ R, x+y = y+x= ∀x,y ∈ R, x.y = y.x
6) DISTRIBUTIVOS - RECOLECTIVOS:
≡ ∀x,y,Z∈R:
6.1 x(y+z) = xy+xz
6.2 (y+z)x = yx+zx
6.3 xy + xz = x(y+z)
6.4 yx+zx = (y+z)x
6.1 y 6.2 son Distributivos
6.3 y 6.4 son Recolectivos
-
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AXIOMAS DE IGUALDAD
∀x,y,z ∈ R(C)
1) x = x Reflexivo
2) x = y → y = x Simétrico3) x = y ∧ y = z → x = z Transitivo
4) x = y → x + z = y + z Aditivo
5) x = y → x . z = y . z Multiplicativo
Notas:
1. x + 0 = x Axioma Modulativo de la Suma
2. x . l = x Axioma Modulativo de la Multiplicación
3. x . 0 = 0 No es axioma, es teorema
xz = yz → x = y
pero z ≠ 0 Teorema
AXIOMAS DE ORDEN
CONJUNTO DE LOS REALES POSITIVOS (R +)
Definición.- Existe un subconjunto de los Números Reales llamado conjunto
de los Reales Positivos (R +), en el cual se cumplen los dos axiomas siguientes
llamados axiomas de orden.
1. ∀ x, y ∈ R +: (x+y)∈R + ∧ (x.y)∈R + Clausurativo
2. ∀ x∈ R +
: Se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones:2.1 x∈ R +
2.2 (-x)∈ R + Axioma de Tricotomía
2.3 x = 0
-
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DEFINICIÓN DEL SÍMBOLO "MAYOR QUE" (>)
a>b ↔ (a-b) ∈ R +
DEFINICIÓN DEL SÍMBOLO "MENOR QUE" ( b ∨ a = b
≤ Se lee "menor o igual" a ≤ b ≡ a < b ∨ a = b; en donde:
a es el primer miembro
≤ es el signo de la desigualdad
b es el segundo miembro
ALGUNOS SUBCONJUNTOS DE LOS REALES
Z+
Z { }0
Q Z-
R F
C Q’
I.P.
Z+ = {Enteros Positivos)
Z- = {Enteros Negativos)
Z = {Enteros)
F = {Fraccionarios)
Q = {Racionales)
Q' = {Irracionales}
R = {Reales} IP= {imaginarios puros}
C = {Complejos}
DESIGUALDAD. Es una expresión algebraica de la forma a>b, a
-
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70
TEOREMA DE DESIGUALDADES
1. a + b > 0 → a > -b
2. ab > l ∧ a > 0 → b >l/a3. –a > -b → a l ∧ a < 0 ↔ b < l/a
INTERVALOS
Son subconjuntos de los números reales.
• Intervalo Abierto.- El intervalo abierto indica que sus extremos o límites
no se considera como parte de la solución; se simboliza por medio de ]a; b[.
]a;b[ = {x/a
-
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71
Intervalo Semi Abierto.- Está identificado por incluirse solo uno de los 2
extremos.
[a; b[ = {x/a≤x
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Ejemplos:
A={x∈R/x-1} = ] -1; + ∞[
-∞ -1 -2 -3 +∞
A = {x∈R/x≥-3} = [-3; +∞[
-∞ -5 -4 -3 +∞
OPERACIONES CON INTERVALOS
Ejemplo:
Sean los Intervalos:
I = [-2;5[ J = ]4;+∞[ K = ]-∞;5[
Hallar: (I Δ K)' y [(I ∩J)-K]
-
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73
(I ∆ K)’
K
I
-∞ -2 5 +∞
(I Δ K)’ = [-2;+∞[
J
K
I
-∞ -2 4 5 +∞
(I ∩J)-K = ∅
Ejemplo:
L = {x/3≤x
-
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74
Determinar: (L Δ M)'
(L ∆ M)’
L ∆
M
M
L
-∞ 0 1 2 3 4 6 +∞
(L Δ M)’ = ]-∞; 0 [ ∪ ] 0;1 [∪] 1;2 [∪] 2;3] ∪ {4} ∪ [6; +∞ [
Ejemplo:
Sea A = {x∈N/l
-
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Ejemplo:
A = {x∈N/1
+>+
+>
−++−+
+>−+−−+
x x
x x x x
x x x x
-
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Conjunto Solución = ∅, ya que ningún valor de x cumple la última condición.
Observaciones para resolver inecuaciones:
1. Si la desigualdad contiene ≥0 o ≤0 se incluyen los extremos de los
intervalos, excepto los que hagan división para cero.
Si la desigualdad contiene >0 o
-
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6.1) Si el paso anterior no es posible, analizar el discriminante (b²-4ac).
6.2) Si b²-4ac es negativo (menor que cero) el trinomio es siempre positivo
y puede omitirse en el análisis porque no influye en la respuesta.
6.3) Si b²-4ac es mayor que cero (positivo) se factora el trinomio utilizandola siguiente fórmula: ax²+bx+c = a (x-x1) (x-x2), donde x1 y x2 son las
soluciones de la ecuación de segundo grado ax²+bx+c = 0
6.4) Con el trinomio cuadrático factorado, se aplica el método abreviado.
APLICACIÓN DEL MÉTODO ABREVIADO
Todos los factores de primer grado deben tener sus coeficientes de x positivos
si no es ese caso hay que cambiar previamente de signo.
1. Primero comparar con cero.
2. Factorar el primer miembro.
3. En la recta numérica ubicar los valores que hacen cero a cada factor de
primer grado o de potencia impar
4. La recta numérica queda así dividida en intervalos.
5. Poner signos en los intervalos en forma alternada de derecha a izquierdacomenzando con el signo más.
Ejemplo: Resolver la siguiente inecuación.
0
)43)(17(
)5)(32(0
)43)(17(
)5()32(
0)43)(17(
)5()23(
3
3
≤
+−
−−≡≤
+−
−−
≥+−−−
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Nótese que para el análisis la potencia 3 se toma como la potencia 1 del
factor 2x-3 porque coinciden en signo
-
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-∞ -4/3 1/7 3/2 5 ∞
+ - + - +
Escribir la solución señalando los intervalos apropiados (incluir los extremos si la
desigualdad es de la forma ≥ 0 o ≤ 0 siempre que no den división para cero).
S = ]-4/3;1/7[∪[3/2;5]
VERIFICACIÓN DE LA RESPUESTA:
Para intervalos que cumplen y para los que no cumplen.
x = 0 x = 4
0))((
))((≥
+−−+
V0
))((
))((≥
++−−
V
x = 1 x = 6
0))((
))((≥
++−+
F0
))((
))((≥
+++−
F
Ejemplo: resolver la siguiente inecuación.
0)1)(3( 14
0)1)(3(
13²²
0)1)(3(
1)3()1(
0)1)(3(
1
13
)1)(3(
1
13
≥−+ +
≤−+
−−−−
≤−+
−+−−
≤−+
−−
−+
−+≤
−−
+
x x
x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x x
x
x
x
x x x
x
x
x
-∞ -3 -1/4 1 ∞
- + - + +
S = ]-3;-1/4]∪]1;+∞[
-
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79
Ejemplo: resolver la inecuación:
OPERACIONES:
[ ][ ]
9
4
049
0)2²2)(49(
0)2²2)(49(
0)15²()34²()15²()34²(
0)²15²()²34²(
>
>
>
<
<
<
x
x
x x x
x x x
x x x x x x x x
x x x x
análisis. elentrinomioel
ignorasetantolopor
02²2
03
414²
1;1;22²2
>
<
−
=
+
x x
ac b
c b a x x
4/9
- +S = ]4/9; +∞[
Ejemplo: resolver la inecuación.
2x²-x-7 < 0 Factoramos OPERACIONES:
0)6,1)(1,2(
04
571
4
)5712
-
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Verificación para x = -2
F 03
0728
07)2()²2(2
<
-
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2. Elaborar una tabla y escribir verticalmente a la izquierda de la misma las
expresiones afectadas por los valores absolutos, determinando los intervalos
y los signos de cada expresión en cada intervalo.
Intervalos 1 2 3
-3 2
x-2 - - +
x+3 - + +
3. Resolver un sistema de inecuaciones para cada uno de los intervalos. Dicho
sistema siempre tiene dos condiciones:
3.1 La primera condición es la que define al intervalo que se analiza ese
momento.3.2 La segunda condición siempre es la inecuación planteada sin los valores
absolutos, los cuales deben ser evaluados según el signo que tenga cada
expresión en el intervalo analizado.
4. La solución total es la unión de las soluciones de cada uno de los intervalos.
5. Los valores extremos de los intervalos se deben analizar uno por uno
mediante reemplazo en la desigualdad planteada.
|x-2| - |x+3| ≤ 5
-
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1) Intervalo 1
] [[ ]
⎩
⎨⎧
≤+−−−−
−∞−∈
5)3()2(.2
3;.1
x x
x
] [
⎩⎨⎧
≤+++−
−∞−∈
532.2
3;.1
x x
x
] [] [⎩
⎨⎧
+∞∞−∈
−∞−∈
;.2
3;.1
x
x
1.
2.
-3
] [3;1 −∞−=S
2) Intervalo 2
] [[ ]⎩
⎨⎧
≤++−−−
−∈
5)3()2(.2
2;3.1
x x
x
] [⎩⎨⎧
≤−−+−−∈
532.22;3.1
x x x
] [
⎩⎨⎧
−≥
−∈
3.2
2;3.1
x
x
] [] [⎩
⎨⎧
+∞−∈
−∈
;3.2
2;3.1
x
x
2
1
-3 2
S2 = ]-3; 2[
-
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Intervalo 3:
] [
⎩
⎨⎧
≤−−−
+∞∈
532.2
;2.1
x x
x
] [
⎩
⎨⎧
≤−
+∞∈
55.2
;2.1 x
V] [
] [⎩⎨⎧
+∞∞−
+∞∈
;.2
;2.1 x
1
2
-∞ 2 +∞
S3 = ]2; +∞[
VALORES EXTREMOS DE LOS INTERVALOS:
V
xa
505
5|33||23|3)
≤−
≤+−−−−−=
V
xb
550
5|32||22|2)
≤−
≤+−−=
{ }VE S S S S T ∪∪∪= 321
ST = ]-∞; -3[∪]-3;2[∪]2;+∞[∪{-3,2}
ST = ]-∞; +∞[
ST = R
Ejemplo: resolver la inecuación
3
1
|32|
|1|>
−−
x
x
-
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84
032
650
32
0)3)(32(
32330
)3)(32(
32)1(3
031
3210
31
321
3
1
32
1
3
1
32
1
3
1
32
1
<−−
∨>−
≡
<−
−+−∨>
−+−−
≡
−
−−≡
−<
−−
∨>−−
≡
>−−
≡
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x ∞;2/30;1S
] [2/3;5/62 =S
-∞ + 0 - 3/2 + +∞ -∞ + 6/5 - 3/2 + +∞
-∞ 0 6/5 3/2 +∞
{ }..;2/32/3;5/60; E V S T ∪∞
VALORES EXTREMOS DE INTERVALOS
a) x = 0
F 3
1
3
1>
-
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b) x = 23
no puede ir en la solución porque da división para cero.
c) x = 56
F 3
1
5
35
1
3
1
35
12
15
6
>−
>−
−
] [ ] [ ] [∞;
2
3
2
3;
5
60; UU
T S
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE INECUACIONES
La resolución de inecuaciones puede utilizarse en varios campos como a
continuación señalamos con dos ejemplos:
Ejemplo:
Para fabricar un producto es necesario que la temperatura T de un ambiente
cerrado se encuentre entre -15 y 9 grados Celsius: Si T = x² + 6x – 7, en
donde x es la temperatura del acondicionador de aire determine el rango de
valores de x que garanticen el correcto funcionamiento.
1. Dados e incógnita:
-15ºC ≤ T ≤ 9ºC
T = x² + 6x – 7
x = temperatura del acondicionador
2. Planteamiento y resolución:
-15 ≤ x² + 6x – 7 ≤ 9
≡ x² + 6x + 8 ≥ 0
∧ x² + 6x – 16 ≤ 0
Respuesta:
≡ = [-8; -4] ∪ [-2; 2]
-
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Incógnita = rango de valores.
3. Verificación:
Si x = -6-15 ≤ - 7 ≤ 9 V
Si x = 0
-15 ≤ - 7 ≤ 9 V
Y si x = -3
-15 ≤ -16 ≤ 9 F
Ejemplo:
Sea C la temperatura en grados Celsius y F la temperatura en grados
Fahrenheit en donde se establece que C = 95
(F – 32). ¿Cuál es el rango de
valores de C, si F está entre 15 y 75 grados?.
1. Dados e incógnita:
)32(9
5−= F C
15 ≤ F ≤ 75
Incógnita = rango de valores de C.
3. Verificación:
Si C = 0 entonces F = 32 que está entre 15 y 75º
4. Solución:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−∈≡
≤≤−
9
215;
9
85
9
215
9