modul iv pembelajaran matematika · pdf fileunit 5 penyajian data dalam statistika 65 unit 6...
TRANSCRIPT
MODUL IV
PRAKTIK YANG BAIK DI SEKOLAH MENENGAH
PERTAMA/MADRASAH TSANAWIYAH (SMP/MTs) – PEMBELAJARAN MATEMATIKA
[Training Module IV - Good Practices in The Junior Secondary
School: Teaching Mathematics]
Contract AID-497-C-12-00003
March 2017
Prepared for
USAID/Indonesia
Prepared by
RTI International
3040 Cornwallis Road
Post Office Box 12194
Research Triangle Park, NC 27709-2194
RTI International is a registered trademark and a trade name of Research Triangle Institute.
The authors’ views expressed in this publication do not necessarily reflect the views of the United
States Agency for International Development or the United States Government.
USAID Prioritizing Reform, Innovation, and
Opportunities for Reaching Indonesia’s Teachers,
Administrators, and Students (USAID PRIORITAS)
PRAKTIK YANG BAIK
DI SEKOLAH MENENGAH
PERTAMA dan
MADRASAH TSANAWIYAH
(SMP dan MTs)
Modul Pelatihan 4: Matematika
Maret 2017
Modul pelatihan ini dikembangkan dengan dukungan penuh rakyat Amerika melalui United
States Agency for International Development (USAID). Isi dari materi pembelajaran ini
merupakan tanggung jawab konsorsium Program USAID Prioritizing Reform, Innovation, and Opprtunities for Reaching Indonesia’s Teachers, Administrators, and Students (PRIORITAS) dan
tidak mencerminkan pandangan USAID atau pemerintah Amerika Serikat.
v
Pengantar
Pengantar
Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV
Daftar Isi
Halaman
Unit 1 Garis Tinggi Segitiga 1
Unit 2 Operasi Bilangan Bulat 17 Unit 3 Persamaan Garis Lurus 31
Unit 4 Pembagian Pecahan 49
Unit 5 Penyajian Data dalam Statistika 65 Unit 6 Bentuk Aljabar 81
vi
Pengantar
Pengantar
Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV
Pengantar
Kata Pengantar
Program Prioritizing Reform, Innovation and Opportunities for Reaching Indonesia’s Teachers,
Administrators and Students (PRIORITAS) yang didanai oleh USAID bekerja sama dengan
Pemerintah Indonesia dilaksanakan untuk mendukung Kementerian Pendidikan dan
Kebudayaan serta Kementerian Agama dalam meningkatkan akses pendidikan dasar yang
bermutu. Untuk mencapai tujuan tersebut, PRIORITAS mengembangkan dan melaksanakan
program pengembangan kapasitas yang terdiri dari pelatihan, pendampingan, kegiatan
kelompok kerja di tingkat sekolah maupun gugus. Sasaran program pengembangan kapasitas
ini adalah guru dan dosen Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan (LPTK), kepala
sekolah, komite sekolah, serta pengawas dan staf Dinas Pendidikan terkait di kabupaten
terpilih di tujuah propinsi mitra PRIORITAS, yaitu: Aceh, Sumatra Utara, Banten, Jawa
Barat, Jawa Tengah, Jawa Timur, Sulawesi Selatan. Pelatihan bagi dosen dilaksanakan
melalui kerja sama dengan sejumlah LPTK terpilih untuk pengembangan peran LPTK
sebagai penyedia layanan untuk pendidikan dalam jabatan.
Modul IV yang digunakan dalam pelatihan ini berfokus pada isi/materi mata pelajaran
daripada metodologi seperti modul-modul sebelumnya (Modul I, II, dan III). Materi tersebut
meliputi mata pelajaran: Literasi kelas awal, IPA, dan Matematika (SD/MI); Bahasa Indonesia,
IPA, dan Matematika (SMP/MTs) dan tertuang dalam modul terpisah untuk tiap mata
pelajaran dan jenjang sekolah tersebut. Jadi, modul IV ini berjumlah 6 modul, 3 buah untuk
SD/MI dan 3 buah untuk SMP/MTs.
Modul Pelatihan Praktik yang Baik untuk Sekolah Menengah tingkat Pertama dan Madrasah
Tsanawiyah ini memuat materi yang terkait Bilangan, Geomentri, Aljabar, dan Statistika.
Pemilihan materi dalam modul Matematika ini pada umumnya berdasar pada miskonsepsi
(salah paham), kesulitan siswa dalam memahami, dan/atau kesulitan guru dalam mengajarkan
konsep dalam materi tersebut. Dengan demikian, pelatihan yang menggunakan modul ini
diharapkan dapat memperkaya pengetahuan dan pemahaman guru terkait materi tersebut
sehingga masalah miskonsepsi atau kesulitan yang dialami guru dalam mengajarmateri itu
sedikit demi sedikit dapat diatasi. Secara garis besar, modul ini berisi materi-materi berikut.
Unit 1: Garis Tinggi Segitiga. Pada unit ini peserta diminta untuk berurun pengalaman
tentang miskonsepsi siswa yang pernah mereka alami pada siswa mereka. Selanjutnya,
mereka diminta mengamati hasil kerja siswa dan menganalisis apa saja miskonsepsi yang
terlihat, memperkirakan penyebabnya, dan merumuskan kegiatan untuk mengatasi atau
menghindari miskonsepsi tersebut. Peserta juga diminta menggambar garis tinggi berbagai
segitiga, termasuk segitiga tumpul, dan dengan berbagai posisi segitiga. Di akhir mereka
diminta merumuskan definisi garistinggi segitigan yang berlakuk untuk semua jenis segitiga.
vii
Pengantar
Pengantar
Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV
Unit 2: Operasi Bilangan Bulat. Unit ini membahas kesulitan siswa dalam memahami
dan kesulitan guru dalam mengajarkan operasi bilangan yang melibatkan bilangan bulat
negatif. Pada unit ini diperkenalkan cara/peragaan ‘hadap kiri/kanan’ dan ‘maju/mundur’ pada
garis bilangan untuk menyelesaikan operasi bilangan yang melibatkan bilangan bulat negatif.
Peserta menyimulasikan bagaimana proses menjumlah/mengurang yang melibatkan bilangan
bulat negatif dengan meneapkan cara ‘hadap kiri/kanan’ dan ‘maju/mundur’ pada garis
bilangan yang mereka buat di lantai atau dinding.
Unit 3: Persamaan Garis Lurus. Unit ini membahas miskonsepsi siswa terkait gradien
atau koefisien arah garis lurus dan gradien suatu garis lurus yang tegak lurus dengan garis
tertentu. Kemungkinan penyebab dan cara mengatasi/menghindari miskonsepsi tersebut
juga diidentifikasi dan dirumuskan. Peserta diminta menggambar grafik dari persamaan garis
lurus yang disediakan, merumuskan kembali pengertian gradient suatu garis lurus,
menemukan persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan yang melalui dua titik.
Unit 4: Pembagian Pecahan. Unit ini membahas kekurangpahaman siswa terkait
pembagian pecahan, yaitu bagaimana penyelesaian pembagian pecahan oleh pecahan menjadi
proses perkalian dimana pecahan pembagi menjadi pecahan sebaliknya (2/3 : 4/5 = 2/3 x
5/4). Peserta diminta mengungkapkan pengalaman mereka bagaimana mengajarkan
pembagian pecahan. Mereka juga diminta untuk berpendapat tentang apakah model
pecahan berbasis himpunan, garis bilangan, dan luas daerah dapat digunakan untuk
menjelaskan kosep pembagian pecahan. Di akhir, peserta diminta merancang lembar kerja
untuk menanamkan konsep pembagian pecahan kepada siswa.
Unit 5: Penyajian Data dalam Statistika. Unit ini membahas miskonsepsi siswa terkait
ketepatan penggunaan jenis diagram untuk jenis data tertentu: Diagram batang sering
digunakan untuk menggambarkan keadaan tertentu dimana datanya bersifat kontinyu (hasil
mengukur), misal untuk menggambarkan perkembangan suhu harian pada rentang waktu
tertentu. Demikian sebaliknya, data diskrit (hasil mencacah) digambarkan dengan diagram
garis/grafik. Dalam unit ini dibahas pula penyajian data dalam bentuk table kontingensi.
Unit 6: Bentuk Aljabar. Unit ini membahas miskonsepsi siswa terkait variabel,
konstanta, dan koefisien. Siswa masih sering bingung antara variabel dan symbol biasa.
Misal, ketika ada konteks ‘Di ruang kelas ada 20 meja dan 40 kursi’ Siswa menulisnya ’20 m
+ 40 k’. Huruf ‘m’ dan ‘k’ dianggap siswa sebagai variabel, padahal m dan k tidak mewakili
nilai apalagi nilai yang bervariasi. Peserta diminta mendefinisikan kembali arti variabel,
konstanta, dan koefisien. Di akhir, peserta diminta membuat soal cerita yang yang dapat
dimodelkan dalam bentuk a x + b, a dan b ≠ 0 dan x adalah variabel.
viii
Pengantar
Pengantar
Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV
Pengantar
JADWAL PELATIHAN
Berikut adalah contoh Jadwal Pelatihan untuk Pelatih (TOT) Provinsi.
Jadwal Pelatihan untuk Pelatih (ToT) Modul 4 Provinsi – Matematika SMP/MTs
Waktu Unit Materi Keterangan
Hari - 0 (Persiapan)
08.00 – 09.00 Penjelasan umum tim penyusun modul dan
fasilitator Pleno
09.00 – 17.00
Tim fasilitator melakukan persiapan ToT: - Bedah modul dan memahami langkah setiap
unit,
- cek kelengkapan hand-out dan Power Point,
- mengatur ruang,
- mengecek perlengkapan lainnya, - Gladi bersih pembukaan, dll.
2 Ruang untuk 2 kelompok
(SD/MI dan SMP/MTs)
(Siang hari peserta check
In)
Hari 1
08.00 – 08.20
Pembukaan
a. Menyanyikan lagu Indonesia Raya (5’)
b. Sambutan Penjelasan program daan modul oleh perwakilan USAID PRIORITAS (10’)
Doa dan penutup (5’)
08.20 – 08.45 - Kontrak belajar
- Penjelasan modul 4 Matematika
SMP/MTs
08.45 – 10.15 Unit 1 Garis Tinggi Segitiga
10.15 – 10.45 Istirahat
10.45 – 11.15 Garis Tinggi Segitiga (lanjutan)
11.15 – 12.15 Unit 2 Operasi Bilangan Bulat
12.15 – 13.15 Isama
13.15 – 14.15 Operasi Bilangan Bulat (lanjutan)
14.15 – 15.15 Unit 3 Persamaan Garis Lurus
15.15 – 15.30 Istirahat
15.30 – 16.30 Unit 3 Persamaan Garis Lurus (lanjutan)
ix
Pengantar
Pengantar
Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV
Hari 2
08.00 – 10.00 Unit 4 Pembagian Pecahan
10.00 – 10.15 Istirahat
10.15 – 12.15 Unit 5 Penyajian Data dalam Statistika
12.15 – 13.15 Isama
13.15 – 15.15 Unit 6 Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
15.15 – 15.45 Penutupan
Catatan:
ATK
Alat tulis kantor (ATK) yang diperlukan dalam pelatihan ini: Kertas plano/flipchart, karton
manila, HVS (putih, biru, hijau, kuning, pink), post-it warna-warni, selotip kertas, lem stick,
gunting sedang, cutter, penggaris plastik 30 cm, dan white-board marker. (Jumlah yang
dibutuhkan untuk tiap butir ATK harus dihitung tersendiri berdasarkan jumlah peserta pelatihan).
TIK
Alat yang perlu ada untuk mendukung sesi presentasi di lokasi pelatihan adalah:
a. Proyektor LCD
b. Laptop atau desktop untuk presentasi
c. Layar proyektor LCD
1
Pembelajaran Aktif – SD/SMP UNIT 1
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
UNIT 1
GARIS TINGGI SEGITIGA
1
Pembelajaran Aktif – SD/SMP UNIT 1
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
3 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
UNIT 1
GARIS TINGGI SEGITIGA
Pendahuluan
Geometri merupakan salah satu pokok bahasan
matematika sekolah yang diajarkan di setiap jenjang
pendidikan. Pembelajaran
geometri di sekolah secara umum dimaksudkan untuk
mengembangkan kemampuan bernalar siswa yang dapat
digunakan untuk memecahkan
masalah.
Pentingnya geometri dipelajari di sekolah (1) geometri
membantu manusia memiliki apresiasi yang utuh tentang dunianya, (2) eksplorasi geometri dapat membantu
mengembangkan keterampilan pemecahan masalah, (3) geometri memainkan peranan
utama dalam bidang matematika lainnya, (4) geometri digunakan oleh banyak orang dalam kehidupan sehari hari, (5) geometri penuh dengan tantangan dan menarik (Thompson dan
Van de Walle, 19851)
Pada kenyataannya, masih ada masalah yang dihadapi dalam materi geometri di sekolah.
Masalah-masalah tersebut dimungkinkan karena beberapa hal, diantaranya (1) Buku pegangan siswa tidak banyak memberikan fasilitas untuk melakukan aktivitas matematika,
tetapi sebatas memberikan informasi rumus, (2) Alat peraga menemukan rumus luas daerah segitiga di samping, seringkali disampaikan dengan cara mendemonstrasikan di
depan kelas oleh guru, sehingga siswa lebih banyak mendengarkan penjelasan guru. Hal ini bertentangan dengan prinsip pembelajaran aktif, yaitu siswa lebih banyak MENGALAMI
atau MELAKUKAN untuk menghasilkan karya (Fink, 19992). Fakta tersebut diperlemah
dengan tidak banyaknya pelatihan atau kegiatan di MGMP yang membantu guru untuk menyampaikan konten.
Kesalahan yang konkret ditampilkan dalam hal ini adalah kekuranglengkapan definisi yang
diberikan dalam buku teks SMP/MTs. kelas 7 yang dimiliki oleh siswa. Contoh definisi yang diberikan adalah sebagai berikut.
1 Thompson, C. S., & Van de Walle, J. (1985). Let's Do It: Patterns and Geometry with
Logo. Arithmetic Teacher, 32(7), 6-13. 2 Fink, L. D. (1999). Active learning. Instructional Development Program. University of Oklahoma.
a
Siswa sedang mengamati contoh-contoh barisan bilangan aritmatika
dan barisan geometri yang terdapat pada tabel dalam lembar kerja.
4 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Definisi
Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu segitiga, sedangkan tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik sudut yang berhadapan
dengan sisi alas
Di samping itu, ilustrasi yang dimunculkan sebagai penjelas definisi belum mampu
mengakomodir keberlakukan secara umum dari definisi yang diberikan. Contoh ilustrasi tersebut dapat dilihat pada gambar 1.1. padahal gambar tersebut akan sering dilihat
sehingga punya peran terhadap terpatrinya konsep yang belum lengkap tentang garis tinggi tersebut. Efek domino dari pemahaman yang belum lengkap ini siswa akan kesulitan
menentukan garis tinggi dari suatu segitiga tumpul, dan berlanjut juga pada problem-
problem berkaitan dengan luas daerah segitiga. Berdasarkan uraian di atas pembelajaran geometri terutama materi segitiga, yaitu tentang konsep tinggi suatu segitiga menjadi
penting untuk dilakukan.
Tujuan
Setelah mengikuti sesi ini, peserta mampu:
1. memahami tentang konsep tinggi suatu segitiga, baik segitiga lancip maupun segitiga tumpul
2. memanfaatkan konsep garis tinggi suatu segitiga dalam menyelesaikan permasalahan matematis tentang segitiga.
Petunjuk Umum
1. Sesi ini dilaksanakan secara pleno atau kelompok mata pelajaran;
2. Untuk menjalankan slide presentasi, fasilitator disarankan untuk menggunakan wireless
mouse/pointer.
Sumber dan Bahan
1. Materi Presentasi Unit I-Menemukan Luas Daerah Segitiga
2. Lembar kerja peserta (LKP) penggalian pengetahuan, LKP 1.1. dan dan LKP 1.2, dan
informasi tambahan.
5 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Waktu
Waktu yang disediakan untuk kegiatan ini adalah 120 menit. Rincian alokasi waktu dapat dilihat pada Perincian Langkah-langkah Kegiatan.
Garis Besar Kegiatan (120 menit)
Perincian Langkah-langkah Kegiatan
Introduction (5 menit)
(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang, tujuan, dan garis besar kegiatan yang akan
dilakukan pada unit ini.
I
Introduction
5 menit
Fasilitator
menyampaikan
latar belakang,
tujuan, dan garis besar kegiatan
Connection
15 menit
• Diskusi tentang
penyebab
terjadinya
miskonsepsi ttg
garis tinggi
segitiga.
• Identifikasi
berbagai akibat
miskonsepsi
tersebut.
Application
80 menit
Kegiatan 1:
Memperkirakan
Pengertian Garis
Tinggi Segitiga (15’)
Kegiatan 2:
Memahami Konsep
Garis Tinggi Segitiga
(25’)
Kegiatan 3:
Merancang LK garis
tinggi segitiga (40’)
Reflection
15 menit
• Peserta
menjawab
pertanyaan
tentang
keberlakukan
rumus luas
segitiga pada
beberapa
segitiga dengan
alas dan tinggi
yang sama
• Penguatan
terkait definisi
garis tinggi
suatu segitiga
Extension
5 menit
Saran untuk
mencobakan LK
dan mencatat
efektivitas LK dalam
menghindarkan
miskonsepsi
siswa tentang
garis tinggi
6 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Connection (25 menit)
(1) Fasilitator meminta peserta untuk mengungkapkan pengalaman mereka tentang
miskonsepsi siswa terkait garistinggi segitiga berpandu pada pertanyaan:
Apa saja miskonsepsi yang biasa terjadi pada siswa terkait garis tinggi segitiga?
Apa sajakah penyebab miskonsepsi tersebut?
Apa saja akibat miskonsepsi tersebut?
(2) Fasilitator mencatat pengalaman mereka di atas.
Application (80 menit)
Kegiatan 1: Menuliskan Pengertian Garis Tinggi Suatu Segitiga (40’)
(1) Peserta, secara berpasangan dan menggunakan LKP 1.1, diminta untuk menuliskan
pengertian Garis Tinggi Segitiga, berpandu pada pertanyaan dan tugas berikut:
1. Apa yang dimaksud dengan garis tinggi suatu segitiga?
Lukis garis tinggi segitiga ABC pada gambar yang diketahui.
(2) Tiap pasangan diminta saling menyampaikan hasil kerja mereka dan mendiskusikannya
terutama dalam hal:
a. Kelengkapan ‘pengertian’ garis tinggi;
b. Ketepatan gambar garis tinggi dikaitkan dengan ‘pengertian’ yang dirumuskannya.
(3) Fasilitator memimpin penyepakatan tentang ‘pengertian’ garis tinggi segitiga
Kegiatan 2: Memahami Konsep Tinggi Suatu Segitiga (15’)
(1) Peserta, secara berpasangan dan menggunakan LKP 1.2, diminta untuk mendiskusikan Garis Tinggi Segitiga, berpandu pada pertanyaan dan tugas berikut: 1. Sebutkanlah pasangan titik dan sisi yang berhadapan dalam segitiga yang diketahui; 2. Lukislah garis tinggi berbagai segitiga pada gambar yang diketahui.
- Apakah ada garis tinggi yang TIDAK bisa Anda lukis? Mengapa?
- Bagaimana Anda mengatasi hal tersebut?
(2) Dengan pengalaman kegiatan 2 ini, peserta diminta melengkapi pengertian Garis Tinggi
yang dirumuskan pada kegiatan 1 (Jika diperlukan)
(3) Secara perorangan, peserta diminta membaca Informasi Tambahan 1.1 terkait garis
tinggi segitiga.
C
A
7 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Kegiatan 3: Merancang Lembar Kerja (40’)
(1) Peserta, secara berpasangan merancang lembar kerja tentang garis tinggi segitiga yang
‘menjamin’ siswa tidak miskonsepsi;
(2) Dalam kelompok masing-masing, peserta diminta saling berbagai hasil kerja dan
memberikan komentar terutama dalam hal:
- Apakah LK yang dibuat cukup efektif menghindarkan siswa dari miskonsepsi
tentang garis tinggi segitiga.
Reflection (15 menit)
Fasilitator memberikan pertanyaan sebagai berikut.
Coba perhatikan gambar dibawah ini.
Jika rumus luas daerah segitiga adalah ‘alas x ½ tinggi’, diantara daerah segitiga
ABC, ABD, dan EFG di atas, manakah yang memiliki luasan terbesar? Berikan
penjelasan.
Catatan untuk Fasilitator
Pertanyaan ini memberikan tantangan sekaligus memastikan peserta memahami
konsep tinggi dan luas segitiga yang sudah diperoleh dari kegiatan-kegiatan sebelumnya.
R
A E
D C
B
G F
8 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Jika garis-garis CF dan AE merupakan garis-garis yang sejajar, dengan menganggap
alasnya AB pada segitiga ABC dan ABD, dan GF pada segitiga EFG , maka panjang
garis tinggi dari segitiga ABC, ABD, dan EFG adalah sama. Lihat gambar di bawah ini.
Setelah itu, kita dapat melihat bahwa ketiga segitiga memiliki alas yang sama, yakni pada segitiga ABC alasnya AB, pada segitiga ABD, alasnya AB dan pada segitiga EFG
alasnya FG (AB=FG). Dengan demikian ketiga segitiga memiliki alas yang sama dan tinggi yang sama.
Tanpa melihat bentuknya, dengan rumus yang diperoleh, bahwa
𝐿 =1
2𝑎. 𝑡
Maka segitiga ABC, ABD, dan EFG memiliki luasan yang sama.
(Yang dimaksud luas segitiga adalah luas DAERAH segitiga; a adalah ‘panjang alas’; tinggi adalah ‘panjang garis tinggi’)
Extension (5 menit)
Fasilitator menyarankan agar, sepulang pelatihan, peserta:
a. mencobakan lembar kerja di kelas masing-masing; dan
b. mencatat apakah LK cukup efektif/apakah ada miskonsepsi lain terkait garis tinggi ini.
E
9 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Lembar Kerja Peserta – 1.1
Tinggi Suatu Segitiga
Kegiatan 1
Perhatikanlah gambar di bawah ini
Setelah memperhatikan gambar tersebut,
1. Menurut Anda, apakah yang dimaksud dengan garis tinggi dari suatu segitiga
2. Lukiskan garis tinggi segitiga ABC pada gambar tersebut
A
C
B
10 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Kegiatan 2
1. Pada segitiga-segitiga di bawah ini, lukislah garis tinggi dari masing-masing segitiga
jika alas segitiga tersebut adalah sisi yang berlabel a !
a a a
a
a
a
a
a
a
a
11 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Lembar Kerja Peserta – 1.2
Konsep Garis Tinggi suatu Segitiga
Kegiatan 1 Salah satu definisi Segitiga adalah ‘Suatu polygon yang terdiri dari tiga sisi dan tiga titik
sudut’. Unsur-unsur pada segitiga yang berupa sisi dan titik memiliki letak yang
berpasangan atau berhadapan.
Sebutkan pasangan-pasangan titik dan sisi yang berhadapan pada segitiga VWX di samping.
Sebutkan pasangan-pasangan titik dan sisi yang berhadapan pada segitiga STU di samping.
Sebutkan pasangan-pasangan titik dan sisi yang berhadapan pada segitiga PQR di samping.
P
R
Q
U
T
S
V W
X
12 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Kegiatan 2
Garis tingggi merupakan salahsatu garis istimewa pada segitiga. Pemahaman yang baik
tentang garis tinggi akan membantu pemahaman selanjutnya pada materi segitiga,
terutama tentang luas segitiga.
Petunjuk: Lukislah garis tinggi segitiga-segitiga di bawah ini dengan sisi alas yang telah ditentukan.
Lukiskan garis tinggi pada segitiga PQR jika alasnya adalah sisi PR.
Lukiskan garis tinggi pada segitiga PQR jika alasnya adalah sisi PQ.
Lukiskan garis tinggi pada segitiga PQR jika alasnya adalah sisi RQ.
P
Q
R
P
Q
R
P
Q
R
13 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Informasi Tambahan 1.1
Garis Tinggi Segitiga
Definisi Garis Tinggi suatu Segitiga
Garis Tinggi Segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi atau perpanjangan sisi di depannya .
Jika dilihat dari definisi tersebut maka unsur titik dan sisi adalah dua hal yang berpasangan, atau yang disebut dalam kalimat tersebut adalah berhadapan:
Lihat segitiga di bawah ini.
Gambar 1: Model segitiga ABC
Masing-masing sisi pada segitiga segitiga memiliki ‘hak yang sama’ untuk berperan sebagai
alas. Dengan kata lain alas tidak hanya sisi AB, tetapi kita juga bisa mengatakan segitiga ABC, dengan alasnya BC, segitiga ABC dengan alasnya AC. Hal ini nanti akan
berpengaruh terhadap penentuan garis tinggi suatu segitga, yaitu memilih dan/atau
membuat garis yang tegak lurus dengan alas tersebut. Sekali lagi lihat gambar 1 di atas. Maka kita dapat menentukan pasangan-pasangan antara
titik-titik pada segitiga dengan sisi-sisi pada segitiga tersebut, yakni Titik A berhadapan dengan sisi BC
Titik B berhadapaan dengan sisi AC Titik C berhadapan dengan sisi AB
Hal yang sama juga bisa kita terapkan pada segitiga tumpul. Lihat contoh berikut ini.
Gambar 2: Model segitiga tumpul
A B
C
P
R
Q
14 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
Pada segitiga tersebut, kita dapat mengatakan bahwa
Titik P berhadapan dengan sisi QR Titik Q berhadapaan dengan sisi PR
Titik R berhadapan dengan sisi PQ
Jika definisi serta pasangan titik dan garis tersebut dipahami dengan baik, maka akan menjadi jelas bagaimana menemukan dan melukiskan garsis tingggi yang benar dari suatu
segitiga.
Misalkan kita diminta membuat garis tinggi segitiga dengan alas AB pada segitiga ABC di
bawah ini, kita tentukan titik di hadapan sisi AB adalah titik C, maka kita tinggal menarik garis melalui C yang tegaklurus dengan AB.
Demikian juga ketika kita diminta untuk menentukan garis tinggi dengan alas BC, maka kita tentukan titik yang dihadapan BC adalah A. Pada hal yang demikian, maka kita harus
melakukan perpanjangan sisi BC terlebih dahulu.
Pengetahuan tentang garis tinggi suatu segitiga ini juga akan memiliki pengaruh untuk konsep yang selanjutnya, yaitu pada materi Luas Daerah Segitiga.
(Yang dimaksud ‘tinggi segitiga’ adalah ‘panjang garis tinggi segitiga’)
A
C
B
D
A
C
B
D
15 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
MATERI PRESENTASI UNIT 1
16 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Garis Tinggi Segitiga
UNIT 1
UNIT 2
OPERASI BILANGAN BULAT
18
Operasi Bilangan Bulat
UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
19
Operasi Bilangan Bulat UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
UNIT 2
OPERASI BILANGAN BULAT
Pendahuluan
Siswa sedang bermain domino aljabar
dalam pembelajaran matematika.Pada
umumnya, konsep operasi bilangan
disampaikan dengan metode ceramah
bukan melalui aktivitas konstruksi
sendiri oleh siswa melalui serangkaian
aktivitas pembelajaran. Begitu juga,
strategi komputasi untuk menentukan
hasil operasi bilangan bulat berwujud
prosedur yang hanya dihapal dan
dilatihkan melalui drill and practice.
Bahkan seringkali penggunaan konteks untuk merepresentasikan operasi bilangan yang digunakan
tidak tepat dan tidak konsisten, hal ini menimbulkan kebingunan dan kesulitan dalam
menerapkannya. Sebagai contoh, penggunaan konteks “utang” dan “bayar” untuk
merepresentasikan bilangan negatif dan operasi penjumlahan. Misalkan, operasi −4 − 3 berarti
punya utang 4 kemudian utang lagi 3 maka utangnya menjadi 7 atau (-7), maka hasilnya −4 −
3 = −7 . Akan tetapi, konteks ini menjadi sangat rumit ketika operasinya −4 – (−3), maka
konteksnya menjadi rumit yakni “punya utang 4 kemudian utang lagi sebanyak utang 3”.
Penggunaan garis bilangan yang diajarkan sebagai strategi komputasi seringkali prinsip/aturannya
tidak konsisten (inkonsinsten) . Hal ini memicu kebingungan dalam menerapkannya. Sebagai
contoh, untuk memperagakan bentuk pengurangan 2-5, diperagakan sebagai berikut:
Gambar 2.1
Inkonsisten tersebut ditunjukkan lambang “operasi bilangan” yang berupa
pengurangan/pembagian menunjukkan arah menghadap atau maju mundunya model yang
digunakan.
Siswa sedang bermain domino aljabar dalam pembelajaran
matematika.
20
Operasi Bilangan Bulat
UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Tujuan
Setelah mengikuti sesi ini, para peserta mampu:
1. merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi penjumlahan dan pengurangan
yang melibatkan bilangan bulat negatif
2. merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi perkalian dan pembagian yang
melibatkan bilangan bulat negative.
Sumber dan Bahan
1. Materi Presentasi Unit 8b
2. Lembar Kerja Peserta 2.1
3. Lembar Kerja Peserta 2.2
4. ATK: (lihat Pengantar modul)
Waktu – 120 menit
Garis Besar Kegiatan
Introduction
5 menit
Fasilitator
menjelaskan:
Latar belakang
pembahasan topik, tujuan
pembelajaran
dan garis besar
kegiatan.
Connection
15 menit
Ungkap
gagasan
/pengalaman:
- strategi
- media
- kelebihan/ke
kurangan
- kesulitan
untuk
mengajarkan
pengurangan
dan
perkalian yg
melibatkan
bilangan
bulat negatif
Application
85 menit
Kegiatan 1:
Menemukan
aturan operasi
pengurangan
bilangan bulat
negatif
Kegiatan 2:
Menemukan
aturan operasi
perkalian.
Kegiatan 3:
Merancang LK
4056 × (−534)?
Reflection
10 menit
Pertanyaan
efektivitas cara
yang
diperkenalkan
Perlu tidaknya
peragaan/media
ketika siswa
diminta untuk
menyelesaikan
1012 − (−435)?
Extension 5 menit
Saran untuk:
• menemukan cara/media
lain untuk pengurangan
dan
perkalian bil.
negatif
• mencobakan LK yang
dibuat
21
Operasi Bilangan Bulat UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Rincian Langkah Kegiatan
Introduction (5 menit)
(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu
Konsep/strategi operasi bilangan bulat yang melibatkan bilangan negatif
disampaikan secara ceramah dan bersifat prosedural
Masih terdapat kebingungan pada siswa, terutama pada operasi pengurangan
bilangan bulat negatif dan perkalian bilangan bulat negatif.
Aturan penggunaan garis bilangan yang tidak konsisten dan tidak lengkap dalam
menentukan hasil operasi bilangan bulat
(2) Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran dari sesi ini, yaitu peserta mampu:
Merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi penjumlahan dan
pengurangan yang melibatkan bilangan bulat negatif.
Merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi perkalian dan pembagian
yang melibatkan bilangan bulat negatif.
(3) Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan.
Connection (15 menit)
Ungkap Pengalaman
(1) Fasilitator meminta peserta untuk mengungkapkan pengalaman/pengetahuan pribadi
maupun kebiasaan siswanya dalam menggunakan media dan strategi komputasi untuk
menentukan hasil operasi bilangan bulat (Pengurangan dan perkalian yang melibatkan
bilangan negatif);
(2) Fasilitator meminta peserta mengungkapkan kelebihan dan kelemahan dari strategi
komputasi yang biasa dilakukan guru atau yang diajarkannya pada siswa.
(3) Fasilitator meminta peserta mengungkapkan kesulitan-kesulitan yang sering dijumpai
oleh guru atau siswanya dalam mengajarkan maupun menggunakan strategi komputasi
tersebut.
(4) Fasilitator menuliskan pada kertas plano/papan tulis atau pada tayangan kegiatan yang
disebutkan peserta agar dapat dilihat oleh semua peserta.
I
C
22
Operasi Bilangan Bulat
UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Application (85 menit)
A. Operasi Bilangan Bulat
Kegiatan1: Operasi Pengurangan yang Melibatkan Bilangan Bulat Negatif
(20 menit)
(1) Fasilitator menjelaskan bahwa peserta akan menemukan aturan pengurangan bilangan
bulat dan melaporkan cara dan hasil penyelesaian soal tersebut.
(2) Secara berpasangan peserta menyelesaikan soal pada LKP 2.1
(3) Temukan strategi umum operasi pengurangan bilangan bulat negatif.
(4) Presentasikan hasil tiap kelompok secara pleno
(5) Kelompok lain memberikan tanggapan
Kegiatan 2: Operasi Perkalian yang Melibatkan Bilangan Bulat Negatif
(25 menit)
(1) Peserta masih dalam kelompok yang sama dengan kelompok pada kegiatan
sebelumnya.
(2) Fasilitator menggambar/menyiapkan garis bilangan diletakkan di depan.
(3) Fasilitator membagikan Lembar Kerja 2.2, Ayo Mencari Harta Karun.
(4) Fasilitator menjelaskan aturan bermain
Tanda bilangan dari bilangan pertama mengindikasikan menghadapnya si
pencari harta karun. Tanda + (positif) berarti ke kanan atau ke tanda bilangan
positif. Tanda – (negatif) berarti ke kiri atau ke tanda bilangan negatif.
Tanda bilangan dari bilangan kedua mengindikasikan cara melangkah si pencari
harta karun. Tanda + (positif) berarti maju. Tanda – (negatif) berarti mundur.
A
Catatan untuk fasilitator
1. Fasilitator melakukan modeling dengan menggunkaan LK 2.1
2. Fasilitator membagikan Informasi Tambahan – 2.1
23
Operasi Bilangan Bulat UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bilangan pertama merepresentasikan banyaknya lompatan/langkah si pencari
harta karun.
Bilangan kedua merepresentasikan lebar lompatan/langkah si pencari harta
karun.
(5) Peserta bermain secara simultan/paralel.
Kegiatan 3: Merancang Lembar Kerja (40 menit)
(1) Peserta diminta merancang lembar kerja terkait perkalian atau pengurangan yang
melibatkan bilangan negatif (Kerja berpasangan, dalam kelompok perlu ada
pasangan yang membuat LK pengurangan dan ada pasangan yang membuat LK
perkalian)
(2) Peserta diminta saling bertukar hasil kerja antar pasangan dan memberikan
komentar (LK pengurangan ditukarkan dengan LK pengurangan pada kelompok
lain; demikian juga untuk LK perkalian).
Komentar difokuskan pada:
• Seberapa jauh LK mendorong siswa menemukan pola/cara?
(3) Fasilitator memperlihatkan di pleno LK (yang dibuat peserta) yang dianggap paling
baik dari segi mendorong siswa menemukan pola.
Reflection (10 menit)
Fasilitator meminta beberapa peserta untuk mengungkapkan jawaban dari pertanyaan:
• Apakah cara dalam menerangkan operasi pengurangan dan perkalian yang melibatkan bilangan negatif seperti di atas sudah efektif?
• Apakah masih diperlukan peragaan/media ketika siswa diminta untuk
menyelesaikan
a) 1012 − (−435)?
b) 4056 × (−534)?
Extension (5 menit)
Fasilitator menyarankan peserta agar, sepulang dari pelatihan, peserta:
1. menemukan cara atau media lain untuk menemukan konsep pengurangan dan
perkalian yang melibatkan bilangan bulat negatif;
2. mencoba LK yang dibuat masing-masing dan mengamati efektivitasnya.
R
E
24
Operasi Bilangan Bulat
UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Lembar Kerja Peserta – 2.1
Salah satu startegi dalam mengajarkan operasi bilangan bulat, khususnya pada operasi
pengurangan bilangan negatif, adalah dengan melihat pola-pola yang terjadi.
Melihat pola pengurangan bilangan
1. Amati hasil operasi bilangan bulat di bawah ini.
5 − 4 = 1 5 − 3 = 2 5 − 2 = 3 5 − 1 = 4 5 − 0 = 5
Dari hasil pengamatan, apa yang dapat Anda simpulkan berkaiatan dengan bilangan
pengurang dan hasilnya?
2. Dari simpulan dan pola tersebut, isikan operasi pengurangan selanjutnya di bawah ini.
5 − (−1) = ⋯ 5 − (−2) = ⋯ 5 − (−3) = ⋯ 5 − (−4) = ⋯ 5 − (−5) = ⋯
3. Coba sekarang bandingkan hasil-hasilnya dalam tabel di bawah ini.
Fakta penjumlahan Fakta Pengurangan
5 + 1 =. .. 5 − (−1) = ⋯ 5 + 2 =. .. 5 − (−2) = ⋯ 5 + 3 =. .. 5 − (−3) = ⋯ 5 + 4 =. .. 5 − (−4) = ⋯ 5 + 5 =. .. 5 − (−5) = ⋯
⋮ ⋮ ... ...
Berdasarkan tabel di atas, jika a dan b adalah bilangan bulat, maka
𝑎 − (−𝑏) =. . ..
25
Operasi Bilangan Bulat UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Lembar Kerja Peserta – 2.2
Sebuah kotak harta karun tersimpan di dalam salah satu gerbong kereta. Setiap gerbong diberi nomor seperti pada gambar.
Serangkaian instruksi berikut akan menuntun Anda menemukan harta karun tersebut.
Yuk kita cari!
Petunjuk : Selesaikan instruksi berikut sesuai aturan yang diberikan oleh fasilitator. Kegiatan 1
Berjalan ke arah 1 x (–2). Hasil pada langkah tersebut kemudian dikalikan dengan (–2).
Kemudian, kalikan dengan 3. Lalu tambahkan dengan (–3). Terakhir kurangkan dengan 8. Pada gerbong berapakah letak harta karun tersebut?
Kegiatan 2
Peta Rahasia Deskripsi Lokasi Harta Karun
4 × 3
−4 × 3 ...
...
4 × (−3)
...
...
(−4) × (−3)
...
...
Berdasarkan kegiatan bermain peran “Mencari Harta Karun”, Tuliskan kesimpulan yang
kalian peroleh terkait konsep dan strategi komputasi operasi perkalian bilangan bulat.
26
Operasi Bilangan Bulat
UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Informasi Tambahan 2.1
Dalam menentukan hasil dari operasi pengurangan bilangan bulat, ada beberapa strategi
yang dapat digunakan selain menggunakan pola bilangan seperti yang sudah dijelaskan dalam aktivitas. Strategi tersebut diantaranya adalah dengan menggunakan garis bilangan.
Pengurangan Bilangan Bulat
Aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat menggunakan garis bilangan. 1. Posisikan model di 0 (nol)
2. Bilangan pertama menunjukkan posisi atau letak bilangan pada garis bilangan. 3. Tanda pada bilangan kedua menunjukkan arah menghadap. Tanda + (positif) berarti
model menghadap ke kanan sedangkan tanda – (negatif) berarti model menghadap ke
kiri.
4. Operasi menunjukkan arah. Penjumlahan berarti maju sedangkan pengurangan berarti
mundur.
Contoh peragaan penggunaan garis bilangan pada operasi penjumlahan dan pengurangan
bilangan bulat:
1. 4 − (−3) = ⋯
a. Tempatkan model pada koordinat 0, menghadap ke kanan (karena bilangan
pertama positif.
b. Langkahkan model satu langkah demi satu langkah menuju koordinat 4 (untuk
menunjukkan bilangan pertama yaitu 4)
c. Karena bilangan kedua bernilai negatif (yakni -3) maka model menghadap ke
kiri
27
Operasi Bilangan Bulat UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
d. Karena operasinya adalah pengurangan maka model bergerak mundur satu langkah demi satu langkah sebanyak 3 langkah (karena bilangan keduanya
adalah 3)
e. Posisi terakhir pada langkah d menunjukkan berada diatas koordinat 7, berarti
hasil operasi bilangan 4 − (−3) = 7
28
Operasi Bilangan Bulat
UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
MATERI PRESENTASI UNIT 2
29
Operasi Bilangan Bulat UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
30
Operasi Bilangan Bulat
UNIT 2
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
1
Pembelajaran Aktif – SD/SMP UNIT 1
Modul Pelatihan Praktik yang Baik untuk Workshop PPG
UNIT 3
PERSAMAAN GARIS LURUS
1
Pembelajaran Aktif – SD/SMP UNIT 1
Modul Pelatihan Praktik yang Baik untuk Workshop PPG
UNIT C
33 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Persamaan Garis Lurus
UNIT 3
UNIT 3
PERSAMAAN GARIS LURUS
Pendahuluan
Banyak persoalan dalam kehidupan
sehari-hari dapat dimodelkan dengan
persamaan garis lurus. Jika persoalan
tersebut telah dimodelkan menjadi
persamaan garis lurus, maka persamaan
tersebut dapat digunakan untuk menaksir
suatu nilai dari sebuah peristiwa. Sebagai
contoh, seseorang dapat menaksir jarak
yang mereka tempuh dengan kecepatan
konstant dalam waktu tertentu. Begitu
pula seseorang mudah memprediksi
kecepatan kendaraannya jika akan
menempuh jarak tertentu dengan waktu
tertentu. Contoh lain di dalam
memprediksi biaya produksi, sebuah
perusahaan dapat membuat persamaan garis lurus dengan memperhitungkan fixed cost dan
biaya produksi perunit untuk menaksir biaya yang harus dikeluarkan untuk memproduksi
sejumlah unit barang.
Berdasarkan pengalaman beberapa guru yang terlibat dalam penulisan buku, masih banyak
ditemukan beberapa bentuk kesalahan konsepsi yang biasa terjadi ketika siswa telah
mempelajari materi persamaan garis lurus, antara lain:
1) Kesalahan menentukan gradien atau koefisien arah garis lurus dari berbagai persamaan
garis lurus yang diberikan, diantaranya:
a. Pada persamaan 3𝑦 = 4𝑥 − 5, siswa menjawab, gradiennya 4.
b. Pada persamaan 3𝑦 − 4𝑥 + 5 = 0 siswa menyebutkan gradien garisnya −4
5 .
c. Pada persamaan 4𝑥 = 3𝑦 − 5, siswa menyebutkan gradiennya3
4 dan 3𝑦 = 4𝑥 − 5 siswa
menjawab gradiennya juga 3
4 .
2) Kesalahan menentukan gradien suatu garis lurus yang tegak lurus dengan garis tertentu.
Misalnya garis 𝑘 yang tegak lurus dengan garis 𝑙 dengan persamaan 𝑦 = 2𝑥 + 3
mempunyai gradient 𝑚𝑘 = −1 dengan alasan bahwa hubungan gradien kedua garis itu
adalah 𝑚𝑘.𝑚𝑙 = −1.
Siswa belajar di halaman sekolah untuk membuktikan
penerapan rumus kesebangunan.
34 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs
Persamaan Garis Lurus UNIT 3
Dari kesalahan konsepsi tersebut penting untuk dipikirkan pembelajaran yang mampu
mereduksi miskonsepsi pada materi persamaan garis lurus.
Tujuan
Setelah mengikuti sesi ini, peserta mampu:
1. menjelaskan konsep garis lurus, gradien garis lurus, dan persamaan garis lurus.
2. menggambar grafik dan menggunakan persamaan garis lurus untuk menyelesaikan
permasalahan.
3. menjelaskan hubungan antara dua buah garis lurus.
4. mengeleminir miskonsepsi yang dialami siswa SMP/MTs materi persamaan garis lurus.
Petunjuk Umum
1. Sesi ini dilaksanakan secara pleno atau kelompok;
2. Agar pelaksanaan pembelajaran dapat berjalan dengan baik disarankan guru menyediakan/
melengkapi terlebih dahulu bahan dan alat yang dibutuhkan.
3. Jika infocus tidak tersedia, guru dapat terlebih dahulu menuliskan pada kertas plano beberapa
hal penting dari materi yang akan dibelajarkan
Sumber, Bahan, dan Alat
1. Materi Presentasi Unit 3
2. Lembar Kerja Peserta (LKP)
3. Pensil berbagai ukuran panjang, kertas berpetak, kertas plano, post-it, kertas HVS,
penggaris, dan pulpen
4. Buku Guru dan Buku Siswa sesuai Kurikulum 2013, dan buku lainnya yang relevan
Waktu
Waktu yang disediakan untuk kegiatan ini adalah 120 menit. Rincian alokasi waktu dapat
dilihat pada Perincian Langkah-langkah Kegiatan.
UNIT C
35 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Persamaan Garis Lurus
UNIT 3
Garis Besar Kegiatan (120 menit)
Perincian Langkah-langkah Kegiatan
Introduction (5 menit)
(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang, tujuan, dan garis besar kegiatan yang akan
dilakukan pada unit ini sebagaimana yang terdapat pada slide.
Connection (10 menit)
Kegiatan: Urun Gagasan/Pengalaman terkait materi Persamaan Garis Lurus (10’)
(1) Fasilitator mengajak peserta untuk URUN GAGASAN terkait pengertian persamaan
garis lurus, gradien dan contohnya, dengan mengajukan pertanyaan seperti: (a) Apa
yang Saudara ketahui tentang pengertian persamaan garis lurus? Berikan contohnya?
(b) Apa pula yang Saudara ketahui tentang gradien suatu garis lurus? Berikan
contohnya? (c) Berikan beberapa contoh miskonsepsi yang pernah dialami siswa
ketika mempelajari persamaan garis lurus?
C
I
Introduction
5 menit Fasilitator
menyampaikan
latar belakang,
tujuan, dan garis
besar kegiatan
Connection
15 menit
Ungkap gagasan
tentang:
• Pengertian gradien dan
persamaan garis
lurus.
• Membahas contoh kasus
penerapan
persamaan garis
lurus dalam
kehidupan
sehari-hari.
Application
85 menit
• Kegiatan 1: Menggambar
grafik persamaan garis
lurus.
• Kegiatan 2:
Mengkontruksi
pemahaman tentang
gradien suatu garis
lurus.
• Kegiatan 3: Menemukan hubungan
gradien antara dua garis
lurus.
• Kegiatan 4: menemukan
persamaan garis lurus
yang melalui satu titik
dengan gradien m.
• Kegiatan 5: menemukan persamaan garis lurus
yang melalui dua titik.
Reflection
10 menit
Peserta
menjawab
pertanyaan:
• berikan saran-
saran untuk penyesuian
pembelajaran
persamaan garis
lurus untuk
siswa SMP/MTs.
Extension
5 menit
Fasilitator
memberi
penguatan dan saran tindak
lanjut.
36 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs
Persamaan Garis Lurus UNIT 3
(2) Fasilitator menayangkan gambar tentang berbagai kemiringan pencil (garis), dan
mengajukan pertanyaan: Apa yang dapat Saudara katakan tentang berbagai kemiringan
garis tersebut?
(3)
(4) Fasilitator menuliskan jawaban peserta di flipchart/white board.
(Jawaban ini dapat menginspirasi peserta pada kegiatan selanjutnya, yaitu membahas
contoh kasus persamaan garis lurus)
Jawaban yang diberikan peserta dapat dipertegas oleh fasilitator untuk kebenarannya,
misalnya dengan mengajukan kembali kepada peserta lain atau memberi penguatan atas
jawaban peserta tersebut.
Application (90 menit)
Kegiatan 1: Menggambar grafik Persamaan Garis Lurus (10’)
(1) Fasilitator meminta peserta untuk duduk berpasangan; (2) Fasilitator memberikan LKP 3.1 (tentang menggambar grafik persamaan garis lurus)
(3) Fasilitator meminta peserta mencermati LKP 3.1, dan menanyakan hal-hal yang belum dipahami pada LKP 3.1
(4) Fasilitator menayangkan persamaan garis lurus y = 2x – 6 melalui slide; (5) Peserta secara berpasangan menggambar grafik persamaan garis lurus y = 2x – 6 dengan
bantuan menuliskan tabel pasangan berurutan sebagai mana pada tayangan slide atau LKP
3.1; (6) Fasilitator meminta perwakilan pasangan secara pleno untuk mempresentasikan hasil
kerja LKP 3.1
(7) Fasilitator meminta peserta lain untuk memberikan tanggapan terhadap hasil presentasi
(8) Fasilitator memberikan penguatan hasil presentasi menggambar grafik persamaan garis
lurus.
(9) Fasilitator meminta peserta untuk menyelesaikan soal (b) 2y – 4x = 4.
Kegiatan 2: Mengkontruksi Pemahaman tentang Gradien Suatu Garis Lurus (35’)
(1) Fasilitator menayangkan gambar berkenaan dengan berbagai kemiringan pensil dengan
variasi perbadingan panjang ordinat dan absisnya;
(2) Fasilitator meminta peserta secara individu untuk menjawab pertanyaan tentang
perbandingan panjang ruas garis tegak dengan ruas garis mendatar pada gambar.
A
Catatan untuk fasilitator
Jawaban yang diharapkan: ada kemiringan positif, ada kemiringan negatif, ada yang tegak
lurus, dan ada yang sejajar.
UNIT C
37 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Persamaan Garis Lurus
UNIT 3
(3) Fasilitator membagikan LKP 3.2 (mengkonstruksi pemahaman tentang gradien), post-it,
dan kertas plano kepada tiap-tiap kelompok.
(4) Secara berkelompok, peserta melengkapi LKP 3.2, dan menuliskan pada kertas plano.
(5) Peserta mempertukarkan hasil kerja kelompoknya dengan kelompok lain, memberikan
komentar melalui post-it.
(6) Peserta memperbaiki kembali hasil kerja kelompok berdasarkan masukan dari kelompok
lain.
Catatan untuk Fasilitator
1. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (1) dan percobaan
(3), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara
simpulkan? Jawabannya: kedua garis tersebut sejajar, dan gradien ke dua
garis tersebut sama yaitu ½.
2. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (4) dan percobaan
(8), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara
simpulkan? Jawabannya: kedua garis tersebut saling tegak lurus, dan
perkalian gradien garis pertama dengan gradien garis kedua sama
dengan -1 atau m1 x m2 = -1.
3. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (6) dan percobaan
(7), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara
simpulkan? Jawabannya: kedua garis tersebut saling tegak lurus, dan
perkalian gradien garis pertama dengan gradien garis kedua sama
dengan tak terdefenisi.
Dari catatan (2) dan (3) dapat diambil kesimpulan: jika perkalian gradien
dua garis tersebut sama dengan -1 maka dua garis tersebut saling tegak
lurus, akan tetapi TIDAK SEBALIKNYA: semua garis yang saling tegak lurus
perkalian gradiennya sama dengan -1, misal sumbu x dan sumbu y keduanya
saling tegak lurus namun perkalian gradiennya tidak -1.
(7) Berdasarkan hasil kerja LKP 3.2, fasilitator secara klasikal mengajukan pertanyaan: “apa
yang dimaksud dengan gradien?”
Bimbinglah peserta untuk menyimpulkan bahwa koefisien arah (gradien) garis yang melalui 2 titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah
perbandingan antara : (𝑦2−𝑦1)
(𝑥2−𝑥1).
(x1, y1) dan (x2, y2) adalah dua titik yang dilalui oleh suatu garis
lurus.
38 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs
Persamaan Garis Lurus UNIT 3
Pengertian gradien:
Gradien suatu garis adalah besar tangen sudut yang dibentuk oleh
garis tersebut terhadap garis horizontal.
Kegiatan 3: Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik dengan
Gradien m (20’)
(1) Fasilitator meminta peserta untuk duduk berpasangan;
(2) Fasilitator membagikan kertas plano, spidol, post-it, dan LKP 3.3 tentang (menemukan
persamaan garis lurus yang melalui satu titik dengan gradien m).
(3) Peserta mendiskusikan dengan pasangannya berkenaan dengan LKP 3.3.
(4) Peserta dapat menuliskan penyelesaiannya pada kertas HVS.
(5) Peserta mempertukarkan dengan pasangan lain hasil kerja LKP 3.3.
(6) Peserta mengoreksi hasil pekerjaan pasangan teman Saudara, berikan masukan pada
post-it dan tempelkan pada hasil kerja LKP 3.3 tersebut.
(7) Peserta memeriksa kembali masukan dari pasangan lain, melakukan perbaikan sesuai
dengan masukan tersebut.
(8) Fasilitator memberikan penguatan terhadap hasil kerja peserta.
Kegiatan 4: Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik (25’)
(1) Setiap peserta diskusi dalam kelompok (tiap kelompok 4 orang).
(2) Fasilitator membagikan LKP 3.4 (menemukan persamaan garis lurus yang melalui dua
titik).
(3) Peserta membacalah LKP 3.4 (menemukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik).
(4) Secara berpasangan dalam kelompok, peserta mendiskusikan dengan pasangan LKP 3.4.
(5) Peserta dapat menuliskan penyelesaiannya pada kertas HVS.
(6) Peserta mempertukarkan dengan pasangan lain dalam kelompok hasil kerja LKP 3.4.
(7) Peserta mengoreksi hasil pekerjaan pasangan Saudara, berikan masukan pada post-it dan
tempelkan pada hasil kerja LKP 3.4 tersebut.
(8) Berdasarkan masukan tersebut, peserta mendiskusikan dalam kelompok jawaban yang
paling benar, dan tuliskan pada kertas plano.
(9) Salah satu kelompok mempresentasikan di kelas secara pleno.
(10) Kelompok lain memberikan tanggapan.
(11) Fasilitator memberikan penguatan terhadap hasil kerja peserta.
UNIT C
39 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Persamaan Garis Lurus
UNIT 3
Reflection (10 menit)
(1) Fasilitator memeriksa ketercapaian tujuan sesi ini dengan mengajukan pertanyaan berikut:
Manakah pengertian gradien di bawah ini yang paling tepat? Mengapa?
a Gradien atau kemiringan suatu garis adalah ukuran kemiringan garis terhadap sum-X
positif (dari titik pangkal koordinat ke sebelah kanan) yang nilainya sama dengan
perbandingan selisih ordinat dengan selisih absis dua titik yang terletak pada garis
tersebut.
b. Gradien suatu garis lurus merupakan perbandingan antara komponen y (ordinat) dan
komponen x (absis) antara dua titik pada garis itu.
(Jawab: a)
(2) Fasilitator meminta peserta, secara individual, untuk menentukan persamaan garis yang
melalui titik P (2,4) dan titik Q (3, 9).
(3) Peserta secara individu memberikan tanggapan, peserta lain menyempurnakannya.
Penguatan
(4) Fasilitator memberi penguatan dengan menyampaikan hal berikut.
Persamaan garis dapat dinotasikan dengan , dengan x,y adalah
variabel; a,b adalah koefisien, di mana a dan b tidak sama dengan nol, c adalah
konstanta, dan pangkat dari variabelnya sama dengan satu dan berderajat satu.
Persamaan garis lurus dapat juga dibuat dengan y = mx + b, dalam geometri disebut
persamaan garis lurus karena grafiknya berbentuk garis lurus.
Persamaan garis lurus dapat ditentukan apabila: (a) gradien dan satu titik yang dilalui
diketahui, atau (b) dua titik yang dilalui diketahui.
Extension (5 menit)
(1) Fasilitator memberikan saran kepada peserta untuk:
mempelajari lebih lanjut materi persamaan garis lurus dari sumber lain (buku,
internet) sehingga pemahaman mereka semakin mantap; menerapkan strategi pembelajaran persamaan garis lurus sebagaimana yang telah
dilatihkan dengan melakukan penyesuaian seperlunya sehingga miskonsepsi siswa
terhadap materi tersebut tidak terjadi lagi;
merancang tugas-tugas untuk siswa agar mereka semakin memahami materi
persamaan garis lurus dan tidak mengalami miskonsepsi.
----------------------
E
R
40 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs
Persamaan Garis Lurus UNIT 3
Lembar Kerja Peserta 3.1
Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurus
Diberikan persamaan garis lurus: (a) 𝑦 = 2𝑥 − 6 dan (b) 2𝑦 − 4𝑥 = 4
Untuk soal (a) 𝑦 = 2𝑥 − 6, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah awal yang dapat dilakukan adalah melakukan penghitungan:
Jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = −6. Sehingga titiknya adalah (0, -6)
Jika 𝑥 = 1, maka 𝑦 = −4. Sehingga titiknya adalah (..., ....)
Jika 𝑥 = 3, maka 𝑦 =. .. Sehingga titiknya adalah (..., ....)
Jika 𝑥 = 5, maka 𝑦 =. .. Sehingga titiknya adalah (..., ....)
Dan seterusnya.
Buat tabel pasangan berurutan berikut:
𝑥 0 1 2 3 4 5
𝑦 -6 -4 … ... ... ...
Titik (𝑥, 𝑦) (0, -6) (1, -4) (…, …) ... ... ...
Untuk menggambar grafik persamaan garis lurus 𝑦 = 2𝑥 − 6, tandai titik-titik tersebut
pada koordinat Cartesius, kemudian titik-titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus.
Dapatkah dibuat grafik persamaan garis lurus 𝑦 = 2𝑥 − 6 jika hanya
ditentukan dua buah titik tertentu? Mengapa?
Untuk menyelesaikan soal (b) 2𝑦 − 4𝑥 = 4, ikuti langkah-langkah di atas.
Gambar 1 Grafik garis lurus 𝑦 = 2𝑥 − 6
UNIT C
41 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Persamaan Garis Lurus
UNIT 3
Lembar Kerja Peserta 3.2
Mengkonstruksi Pemahaman tentang Gradien suatu Garis Lurus
Peserta dapat kembali memperhatikan kemiringan garis lurus pada sumbu koordinat yang
dimodelkan Gambar 1 di atas. Selain koordinat titik ujung pensil, peserta mengidentifikasi
titik koordinat lain yang dilalui pensil (sebagai garis). Gunakan kertas berpetak yang telah
dilengkapi koordinat Cartesius. Lalu mengisi data hasil pengamatan pada tabel di bawah ini.
Percobaan ke-
Posisi ujung pensil Gradien
Koordinat
Ujung
Koordinat
titik lain
Perbandingan selisih
ordinat dan absis
(1) (6, 3) (4, 2). (3-2)/(6-4) = 1/2 ½
(2) ..... ..... ..... .....
(3) (3,2) (1,1) ..... .....
(4) (5, 2) (4, 3) ..... .....
(5) ..... ..... ..... .....
(6) (....,2) (.....,2) ..... .....
(7) (3, ...) (3, ....) ..... .....
(8) (4, 3) (3, 2) ..... .....
a. Selidikilah jika posisi pensil sejajar dengan sumbu-X, bagaimanakah gradiennya?
b. Selidikilah jika posisi pensil sejajar dengan sumbu-Y, bagaimanakah gradiennya?
c. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (1) dan percobaan (3), berdasarkan
dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan?
d. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (4) dan percobaan (8), berdasarkan
dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan?
e. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (6) dan percobaan (7), berdasarkan
dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan?
Berdasarkan hasil di atas, maka gradien adalah .........................................................................................................................................................................
....................................................................................................................... .................. ..............................
42 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs
Persamaan Garis Lurus UNIT 3
Lembar Kerja Peserta 3.3 Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik dengan Gradien m.
Misalkan titik P adalah titik dengan koordinat (𝑥1, 𝑦1 ). Sedangkan Q adalah titik
dengan koordinat sebarang (𝑥, 𝑦), dimana PQ tidak sejajar sumbu 𝑥. Jika gradien garis
yang melalui titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1 ) dan 𝑄(𝑥, 𝑦) dinyatakan dengan 𝑚, berdasarkan LKP 3.2
dapat kita tentukan gradien:
… . −. . .
… . −. . .= 𝑚
Dapatkah Saudara mengubah bentuk di atas menjadi bentuk linier? Tuliskan!
.....................................................................................................
Bentuk aljabar yang Saudara temukan di atas merupakan persamaan garis lurus yang
melalui titik (𝑥1, 𝑦1 ) dengan gradien 𝑚.
Jika gradien garis yang melalui titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1) dan 𝑄(𝑥, 𝑦) dinyatakan dengan 𝑚,
berdasarkan LKP 3.2 dapat kita tentukan gradien:
… . −. . .
… . −. . .= 𝑚
Dapatkah Saudara mengubah bentuk di atas menjadi bentuk linier? Tuliskan!
.....................................................................................................
Untuk melatihkan pemahaman Anda, selesaikan soal-soal di bawah ini. (1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dengan gradien -3
(2) Berapakah gradien garis lurus yang dinyatakan dengan persamaan 2𝑦 − 5𝑥 = 4
Type equation here.
UNIT C
43 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Persamaan Garis Lurus
UNIT 3
Lembar Kerja Peserta 3.4
Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik
Berdasarkan (LKP 3.3) ditemukan bentuk aljabar:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Jika ditentukan garis PQ melalui dua titik (𝑥1, 𝑦1) dan (𝑥2, 𝑦2), maka gradien garis PQ
adalah:
𝑚 =… … … … …
… … … … …
Jika nilai 𝑚 tersebut disubstitusikan pada bentuk 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) maka bentuk
persamaan aljabar baru yang Saudara peroleh adalah:
...................................................................................................
...................................................................................................
Bentuk aljabar tersebut merupakan persamaan garis lurus yang melalui 2 titik yaitu
melalui titik (𝑥1, 𝑦1) dan (𝑥2, 𝑦2).
Untuk melatihkan pemahaman Saudara tentang persamaan garis lurus yang melalui 2
titik, selesaikan soal-soal di bawah ini. (1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan titik (4, 6).
(2) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan titik potong antara garis
𝑦 = 2𝑥 + 1 dengan garis 𝑦 = 𝑥 – 1.
(3) Carilah persamaan garis yang melalui (2,3) dan (7,3);
44 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs
Persamaan Garis Lurus UNIT 3
UNIT C
45 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Persamaan Garis Lurus
UNIT 3
MATERI PRESENTASI UNIT 3
46 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs
Persamaan Garis Lurus UNIT 3
UNIT C
47 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Persamaan Garis Lurus
UNIT 3
48 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs
Persamaan Garis Lurus UNIT 3
UNIT 4
PEMBAGIAN PECAHAN
51
Pembagian Pecahan UNIT 4
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
UNIT 4
PEMBAGIAN PECAHAN
Pendahuluan
Seorang guru menjelaskan makna 1
2
dengan membagi sebuah kertas
menjadi dua bagian yang sama besar
kemudian membagikan kepada 2
orang siswa. Ketika guru mengajukan
pertanyaan berapa hasil 1 kertas
dibagi dua? Jawaban siswa adalah “2”.
Hal demikian sering muncul dalam
proses pembelajaran.
Dalam beberapa buku matematika
seringkali tidak menanamkan konsep
kepada siswa tetapi lebih pada
prosedural bagaimana menyelesaikan
operasi pembagian pecahan. Misal, soal pembagian pecahan dengan pecahan, diselesaikan
dengan mengganti operasi pembagian dengan operasi perkalian dengan cara mengalikan
bilangan yang dibagi dengan invers bilangan pembaginya dengan kata lain 𝑎
𝑏÷
𝑐
𝑑=
𝑎
𝑏×
𝑑
𝑐
dan itu tanpa ada penjelasan, kenapa penyelesaiannya demikian.
Pada unit ini akan dibahas terutama bagaimana pecahan pembagi menjadi ‘terbalik’ ketika
operasi perkalian dilakukan.
Tujuan
Setelah mengikuti sesi ini, para peserta mampu:
1. menemukan kembali konsep pembagian pecahan
2. memanfaatkan konsep pembagian pecahan dalam penyelesaian masalah
3. menentukan alternatif lain cara menanamkan konsep pembagian pecahan kepada siswa.
Siswa memasukkan pasir dengan ukuran kerucut yang
dimasukkan ke dalam tabung untuk menemukan rumus
volume kerucut.
52 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Pembagian Pecahan UNIT 4
Sumber dan Bahan
1. Materi Presentasi Unit 4
2. Lembar Kerja Peserta 4.1: Pembagian Pecahan
3. Lembar Kerja Peserta 4.2: Representasi Pembagian Pecahan
4. ATK: (lihat Pengantar modul)
Waktu – 120 menit
Garis Besar Kegiatan
Introduction
5 menit
Fasilitator
menjelaskan:
• Latar
Belakang
• Tujuan
penyampaian
materi
• Garis Besar
Kegiatan
Connection
15 menit
• Ungkap
pengalaman/
gagasan
peserta
tentang:
- pembagian
pecahan
-
kemungkinan
berbagai
representasi
pecahan
untuk
pembagian
pecahan
Application
90 menit
Kegiatan 1:
Mencari
Argumen
dibalik Rumus
Pembagian
Pecahan (25’)
Kegiatan 2:
Representasi
Pembagian
Pecahan (25’)
Kegiatan 3 :
Merancang
Lembar Kerja
(40’)
Reflection
5 menit
• Memeriksa
ketercapaian
tujuan
• Menanyakan
makna ½ : ¼
• Memberi
penguatan
Extension
5 menit
• Saran untuk
mencobakan LK di kelas
masing-
masing dan
mengamati
efektivitasnya
53
Pembagian Pecahan UNIT 4
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Rincian Langkah Kegiatan
Introduction (5 menit)
(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu
Miskonsepsi tentang pembagian pecahan yang sering muncul dalam proses
pembelajaran.
Beberapa buku matematika seringkali tidak menanamkan konsep, tetapi hanya
sebatas mengajarkan prosedur penyelesaian soal.
(2) Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran dari sesi ini, yaitu peserta mampu:
Menemukan kembali konsep pembagian pecahan
Memanfaatkan konsep pembagian pecahan dalam penyelesaian masalah.
Menentukan alternatif lain cara menanamkan konsep pembagian pecahan kepada
siswa.
(3) Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan dalam sesi ini (Lihat Garis Besar
Kegiatan di atas).
Connection (15 menit)
Kegiatan 1: Ungkap Pengalaman/Gagasan tentang Pembagian Pecahan
(1) Fasilitator meminta peserta untuk mengungkapkan pengalaman mereka terkait
pembagian pecahan, dengan mengajukan pertanyaan:
Bagaimana menyelesaikan pembagian pecahan dengan pecahan? Bagaimana Bapak/ibu
mengajarkannya?
Pecahan dapat direpresentasikan dengan himpunan, garis bilangan, luas daerah,
maupun dengan konsep kuantitas/volum. Apakah representasi tersebut juga dapat
digunakan untuk menjelaskan konsep pembagian pecahan?
(2) Fasilitator menuliskan secara singkat pengalaman/gagasan peserta pada kertas
plano/papan tulis atau pada tayangan kegiatan (power point) yang disebutkan peserta
agar dapat dilihat oleh semua peserta.
(3) Fasilitator menyimpulkan jawaban tiap pertanyaan.
I
C
54 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Pembagian Pecahan UNIT 4
Application (90 menit)
Kegiatan 1: Mencari Argumen dibalik Rumus Pembagian Pecahan (25’)
(1) Fasilitator meminta peserta, secara berpasangan (dalam kelompok 4 – 6 orang),
menyelesaikan tugas pada LKP 4.1
(2) Tiap pasang diminta untuk saling menyampaikan hasil kerja dan memberikan
komentar atas hasil kerja mereka.
Kegiatan 2: Representasi Pembagian Pecahan (25’)
(1) Fasilitator meminta peserta, secara berpasangan, untuk mengkaji seberapa jauh
efektifitas Refresentasi Pembagian Pecahan (Gunakan LKP 4.2)
(2) Tiap pasangan diminta menyampaikan hasil kerja kepada pasangan lain dalam
kelompok mereka.
(3) Wakil salah satu kelompok menyampaikan hasil kerjanya dan kelompok lain
menanggapi.
Catatan untuk Fasilitator
Dalam diskusi fasilitator mengarahkan peserta untuk dapat membuat
kesimpulan yang dapat mengeneralisasi rumus dari pembagian
bilangan pecahan.
Kegiatan 3 : Merancang Lembar Kerja (40’)
(1) Peserta diminta merancang lembar kerja terkait pembagian pecahan yang
mendorong siswa MENEMUKAN cara menyelesaikan pembagian pecahan.
(2) Peserta diminta untuk saling bertukar hasil kerja dan memberikan komentar
terutama dalam hal:
Apakah LK benar-benar mendorong siswa MENEMUKAN cara membagi pecahan?
Apakah cara yang ditemukan berlaku untuk sembarang pecahan?
A
55
Pembagian Pecahan UNIT 4
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Reflection (5 menit)
(1) Fasilitator memberi pertanyaan untuk melihat sejauh mana ketercapaian tujuan
dengan bertanya
Apa makna 1
2 :
1
4 = 2?
(2) Fasilitator meminta beberapa peserta untuk menjawab.
(3) Fasilitator meminta beberapa peserta untuk mengungkapkan pengalaman menarik apa
yang diperoleh dari pembelajaran unit ini.
Penguatan
(4) Fasilitator memberi penguatan sebagai berikut:
Jika 𝑎
𝑏 𝑑𝑎𝑛
𝑐
𝑑 adalah suatu bilangan pecahan, 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑎
𝑏÷
𝑐
𝑑=
𝑎
𝑏×
𝑑
𝑐
Extension (5 menit)
Fasilitator menyarankan agar, setelah pelatihan, peserta:
mencobakan di kelas masing-masing lembar kerja yang telah dibuat; dan
mengamati apakah LK tersebut efektif dalam mendorong siswa MENEMUKAN cara
menyelesaikan pembagian pecahan.
R
E
56 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Pembagian Pecahan UNIT 4
Lembar Kerja Peserta 4.1
Pembagian Pecahan
Kegiatan 1
Menemukan Konsep Pembagian
Catatan: kemampuan prasyarat yang dimiliki untuk materi ini adalah
1. Siswa telah memahami perkalian Pecahan
2. Konsep perkalian pada bilangan bulat
Informasi:
1. Menemukan fakta hasil dari 4
2÷
1
2.
a. Berdasarkan konsep pada pembagian bilangan bulat, pernyataan yang dapat
dibuat dari 4
2÷
1
2 adalah ...
b. Jadi nilai dari 4
2÷
1
2= ⋯.
2. Menemukan fakta hasil dari 9
4÷
3
4
4
2
9
4
Satu lingkaran merepresentasikan satu keseluruhan yang
disimbolkan dengan 1
57
Pembagian Pecahan UNIT 4
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
a. Berdasarkan konsep pada pembagian bilangan bulat, pernyataan yang dapat
dibuat dari 9
4÷
3
4 adalah ...
b. Jadi nilai dari 9
4÷
3
4= ⋯
3. Menemukan fakta hasil dari 12
3÷
2
3=
c. Berdasarkan konsep pada pembagian bilangan bulat, pernyataan yang dapat
dibuat dari
d. 12
3÷
2
3= adalah ...
e. Jadi nilai dari 12
3÷
2
3= ⋯
Dari fakta –fakta pada poin 1), 2), dan 3) tersebut dapat dituliskan sebagai berikut
Fakta Pembagian Fakta Perkalian
4
2÷
1
2= ... 4
2×
2
1= ⋯
9
4÷
3
4= ⋯
9
4×
4
3= ⋯
12
3÷
2
3=
12
3×
3
2= ⋯
12
3
58 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Pembagian Pecahan UNIT 4
Lihat hasil dari kolom fakta pembagian dan perkalian tersebut, dapat disimpulkan bahwa
Jika 𝑎
𝑏, dan
𝑐
𝑑 adalah suatu pecahan maka
𝑎
𝑏÷
𝑐
𝑑= ⋯ .× …
59
Pembagian Pecahan UNIT 4
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Lembar Kerja Peserta 4.2
Representasi Pembagian Pecahan
Representasi Pembagian Pecahan dengan Himpunan
Misalkan disajikan suatu permasalahan pembagian pecahan sebagai berikut.
2
5÷
1
2= ⋯
Permasalahan tersebut dicoba diselesaikan sebagai berikut.
Pilih himpunan yang beranggotakan 10
Sekarang problem tersebut dapat dinyatakan “Berapa banyak himpunan 5
10 an di dalam
4
10?
Berapa banyak himpunan 5-an dari 4 ?
Jadi
2
5÷
1
2=
4
5
Representasi Pecahan dengan Luasan Lingkaran
Misalkan disajikan suatu permasalahan pembagian pecahan sebagai berikut.
11
4÷
2
3
4
5 dari himpunan
5
2
5 adalah 4 kancing, jadi
4
10
1
2 adalah 5 kancing, jadi
5
10
60 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Pembagian Pecahan UNIT 4
persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai “Berapa banyak 2
3-an yang dapat di buat dari
11
4?”
Mengubah semuanya
dalam bentuk 12 an
2
3 𝑑𝑎𝑟𝑖 1 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑢𝑡𝑢ℎ
2
3 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 8 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛
𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑚𝑎
Berapa banyak 8
perduabelasan di dalam
15 perduabelasan
11
4 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 15
perduabelan
2
3 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 8 per
duabelan
1 set 7
8 set
Terdapat 17
8 bagian dari
8
12 di dalam
15
12
61
Pembagian Pecahan UNIT 4
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Representasi Pecahan dengan Luasan Persegi
Misalkan disajikan suatu permasalahan pembagian pecahan sebagai berikut.
5
3÷
1
2
5
3÷
1
2 artinya “berapa banyak
1
2 –an di dalam
5
3?
Penyataan tersebut dapat dirubah dengan penyebut yang berbeda:
“Berapa banyak 3
6 –an di dalam
10
6?”
Ingat bahwa 5
3=
10
6
buat himpunan 3
6 𝑑𝑎𝑟𝑖
10
6
Pikirkan “ berapa 3-an di dalam 10?”
31
3 𝑑𝑎𝑟𝑖
3
6
5
3 ÷
1
2=
10
6 ÷
3
6= 10 ÷ 3 = 3
1
3
Baca dan pahami ketiga jenis representasi pembagian pecahan di atas.
Dari representasi 3 bentuk yang telah disajikan, manakah yang diperkirakan lebih
efektif? Mengapa?
62 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Pembagian Pecahan UNIT 4
MATERI PRESENTASI UNIT 4
63
Pembagian Pecahan UNIT 4
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
64 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Pembagian Pecahan UNIT 4
UNIT 5
PENYAJIAN DATA DALAM
STATISTIKA
66
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
67
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
UNIT 5
PENYAJIAN DATA DALAM STATISTIKA
Pendahuluan
Untuk memahami data yang sudah
dikumpulkan agar mudah dibaca dan
lebih informatif bagi pengguna data,
maka diperlukan penyajian data yang
tepat. Penyajian data dapat
menggunakan tabel, diagram (batang,
lingkaran), dan grafik (diagram garis).
Penyajian data juga sebaiknya
disesuaikan dengan jenis/ karakteristik
data tersebut. Jika pemahaman konsep
penyajian data ini kurang dikuasai oleh
guru akan berdampak kepada
penyampaian di kelas, sehingga penanaman konsep bagi siswa kurang bermakna. Namun,
dalam pembelajaran statistika di sekolah masih dijumpai ketidaksesuaian antara diagram
dengan jenis/ karakteristik data. Misalnya data tentang suhu tubuh manusia disajikan
dengan menggunakan diagram
batang, padahal lebih tepat
menggunakan diagram garis,
karena suhu bersifat kontinyu,
tidak diskrit.
Permasalahan lain yang sering
dijumpai adalah bahan ajar yang
ada hanya menyajikan data
tunggal seperti yang disajikan
dalam cuplikan buku di bawah
ini. Padahal data yang ada dalam
keseharian guru/ siswa tidak
hanya univariat/tunggal tetapi
juga bivariat/jamak.
Dalam unit ini akan dibahas mengenai menentukan penyajian data dalam bentuk diagram/
grafik yang tepat serta memahami penyajian data dalam bentuk tabel kontingensi.
Ringkasan hasil wawancara kelompok siswa.
68
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Tujuan
Setelah mengikuti sesi ini, para peserta mampu:
1. menentukan penyajian data dalam bentuk diagram/ grafik yang tepat sesuai
karakteristik jenis data. 2. memahami penyajian data dalam bentuk tabel kontingensi.
Sumber dan Bahan
1. Materi Presentasi Unit 5
2. Bahan Bacaan Unit 5
3. Lembar Kerja Peserta 5.1 4. Lembar Kerja Peserta 5.2
Waktu – 120 menit
Garis Besar Kegiatan
Introduction
5 menit
Fasilitator
menjelaskan: Latar
belakang
pembahasan
topik, tujuan
pembelajaran dan garis
besar
kegiatan
Connection
10 menit
Urun
gagasan : jenis data
dan bentuk
penyajiannya
Application
90 menit
Kegiatan 1.
Menentukan
Penyajian Data
(60’)
Kegiatan 2.
Diskusi Tabel
Kontingensi
Dua Dimensi
(30’)
Reflection
10 menit
Peserta
menyampaikan
proses
berdasarkan
kegiatan pada
application
Extension/
Penguatan 5 menit
• Bentuk penyajian data yang dipilih
bergantung pada
jenis data
• Tindak lanjut
menyusun tabel
kontingensi tiga dimensi
69
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Rincian Langkah Kegiatan
Introduction (5 menit)
Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu
(1) Penyajian data khususnya dalam bentuk diagram/grafik masih belum tepat
(2) Data yang ada dalam keseharian guru/siswa tidak hanya univariat/tunggal tetapi juga
bivariat/jamak
(3) Bahan ajar yang ada hanya menyajikan data tunggal
Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran dari sesi ini, yaitu peserta mampu:
(1) Menentukan penyajian data dalam bentuk diagram/grafik yang tepat sesuai
karakteristik jenis data.
(2) Memahami penyajian data dalam bentuk tabel kontingensi
Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan dalam sesi ini.
Connection (10 menit)
Kegiatan : Curah pendapat
(1) Fasilitator menyajikan data dan bentuk penyajiannya.
(2) Fasilitator mengajak peserta untuk urun pendapat mengenai 2 data dan bentuk
penyajiannya masing-masing, dengan menanyakan kepada peserta : “Bagaimana
pendapat Bapak/ Ibu tentang bentuk penyajian dari 2 data pada tabel tersebut ?”
Catatan untuk Fasilitator
Kegiatan urun pendapat ini menunjukkan kepada peserta bahwa memungkinkan
terjadi kesalahan antara jenis data dan cara penyajiannya. Data yang disajikan di sini berupa data diskrit, sehingga seharusnya tidak disajikan dalam bentuk diagram
garis. seperti pada data kedua
Application (90 menit)
Kegiatan 1: Menentukan penyajian data (60’)
(1) Fasilitator meminta peserta untuk mempelajari bahan bacaan tentang penyajian data,
secara perseorangan;
A
C
I
70
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
(2) Secara berkelompok peserta menyelesaikan tugas pada LKP 5.1.
(3) Peserta diminta menuliskan hasil kerja pada kerta plano.
(4) Peserta diminta melakukan kunjung karya dan memberikan tanggapan terhadap
bentuk penyajian data yang diperoleh.
(5) Salah satu kelompok mempresentasikan dan kelompok lain dapat memberikan
tanggapan.
Kegiatan 2: Menyajikan Data dalam Tabel Kontingensi (30’)
(1) Fasilitator meminta peserta secara berpasangan untuk menyelesaikan tugas pada LKP
5.2.
(2) Peserta saling menukarkan hasil kerja setiap pasangan dengan pasangan lain dalam
kelompok.
(3) Peserta diminta mendiskusikan dan menyamakan hasil diskusi kelompok, serta
menuliskan pada kertas plano.
(4) Salah satu kelompok diminta mempresentasikan dan kelompok lain dapat
memberikan tanggapan.
Reflection (10 menit)
Peserta diminta untuk mengungkapkan hal-hal yang dipelajari :
Hal-hal yang dapat dipelajari dalam menyajikan data dalam bentuk grafik/diagram yang
sesuai dengan jenis data.
Hal-hal yang masih perlu diperjelas dan dipahami dalam menyajikan data dalam bentuk
tabel kontigensi dua dimensi.
Penguatan
Fasilitator memberikan penguatan sebagai berikut.
Bentuk penyajian data yang dipilih bergantung pada jenis data.
Penyajian data dapat dilakukan dalam bentuk tabel kontingensi Tiga Dimensi.
Extension (5 menit)
Fasilitator memberikan saran agar, sepulang dari pelatihan, peserta mengdentifikasi
kesalahan-kesalahan lain yang mungkin terjadi berkaitan dengan jenis data dan bentuk
penyajiannya.
E
R
71
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Lembar Kerja Peserta 5.1
Menentukan Penyajian Data
Lakukan pencarian data nomor sepatu dan tinggi badan seluruh peserta pelatihan dengan
cara menugaskan perwakilan setiap kelompok untuk mendapatkan data dari kelompok
lain, kemudian sajikan pada tabel di bawah ini.
a. Data Nomor Sepatu
Tabel 5.1.a
Data Nomor Sepatu Seluruh Peserta Pelatihan
No. Nama Peserta Nomor sepatu
Diskusikanlah apa bentuk penyajian data nomor sepatu tersebut dan tuliskan hasilnya
pada kertas plano.
72
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
b. Data Tinggi Badan
Tabel 5.1.b
Data Tinggi Badan Seluruh Peserta Pelatihan
No. Nama Peserta Tinggi Badan
Diskusikanlah apa bentuk penyajian data tinggi badan tersebut dan tuliskan hasilnya
pada kertas plano.
73
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Lembar Kerja Peserta 5.2
Menyajikan Data dalam Tabel Kontingensi Dua Dimensi
Cermati data banyak siswa di tingkat sekolah berdasarkan jenis kelamin, seperti pada
tabel berikut.
Tabel 5.2
Data Banyaknya Siswa di Tingkat Sekolah Berdasarkan Jenis Kelamin
1. Sajikan data pada tabel di atas dalam bentuk persentase.
2. Hitunglah persentase perempuan di SD.
3. Hitunglah persentase laki-laki di SMA dan SMK.
Tuliskan hasilnya pada kertas plano.
74
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
BBaahhaann BBaaccaaaann
Statistika : Penyajian Data
Penyajian Data merupakan salah satu materi penting dari Statistika. Penyajian data,
data dibagi menjadi dua bagian yaitu penyajian data tunggal/univariat dan data
jamak/multivariat. Dalam penyajian data juga yang perlu diperhatikan adalah
pengelompokan data yaitu data farik (diskret) dan data malar (kontinu).
Penyajian Data Tunggal/Univariat
Data tunggal dapat disajikan dalam beberapa bentuk seperti: tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang daun.
Tabel
Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan tabel distribusi frekuensi tunggal.
Nilai Tally (Turus) Frekuensi
5 /// 3
6 //// //// 10
7 //// //// // 12
8 //// 5
Jumlah 30
Diagram Batang
Diagram batang adalah diagram penyajian data dalam bentuk batang atau kotak yang digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data kategori = data cacahan). Data
diskrit diperoleh dengan cara membilang.
Contoh: Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2000 sampai tahun 2000 adalah sebagai
berikut.
Tahun Jumlah Lulusan
2001 20
2002 40
2003 50
2004 70
2005 100
75
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.
Penyelesaian :
Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.
c). Diagram Garis
Diagram garis disajikan dalam bentuk garis yang digunakan untuk menggambarkan data
tentang keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu/malar). Data kontinu diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya, perkembangan berat badan bayi
setiap bulan, suhu badan pasien setiap 10 menit atau pemakaian listrik (KWH) setiap
bulan.
Contoh :
Dalam enam bulan pertama tahun 2016, pemakaian daya listrik dari koperasi ABC seperti
tertuang pada tabel berikut.
Sajikan data diatas ke dalam diagram garis.
76
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Penyelesaian :
d). Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah diagram penyajian data dalam bentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran (juring) menunjukkan bagian bagian atau persen dari
keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor
lingkaran.
Contoh :
Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupaten menurut tingkat sekolah
pada tahun 2016.
Tingkat Pendidikan Banyaknya Siswa Persen (%)
SD 175 17,5
SMP 600 60
SMA 225 22,5
Jumlah 1000 100
Berikut diagram lingkarannya :
77
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
e). Diagram Batang Daun
Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan terlebih dulu dari data ukuran terkecil sampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram batang daun terdiri dari dua
bagian yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.
Dari pengertian ini, berarti diagram batang daun cocok digunakan untuk data yang besarnya sampai puluhan saja.
Contoh :
Buatlah diagaram batang daun dari data berikut.
45, 10, 20, 31, 48, 20, 29, 27, 11, 8, 25, 21, 42, 24, 22, 36, 33, 22, 23, 13,
34, 29, 25, 39, 32, 38, 50, 5
Penyelesaian :
Diagram batang daunnya adalah
78
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Penyajian Data Jamak/Bivariat
Tabel Kontingensi merupakan tabel yang digunakan untuk mengukur hubungan (asosiasi) antara dua variabel kategorik dimana tabel tersebut merangkum frekuensi
bersama dari observasi pada setiap kategori variabel.
Dalam proses analisis statistika Tabel Kontingensi merupakan tabel yang digunakan untuk
mengukur hubungan (asosiasi) antara dua variabel kategorik dimana tabel tersebut
merangkum frekuensi bersama dari observasi pada setiap kategori variabel.
Berikut ini adalah Tabel Kontingensi frekuensi bersama tentang kehadiran siswa pada
upacara bendera 17 Agustus 2016 untuk masing-masing kelas di SMP X
Kelas Status Kehadiran
Total Hadir Tidak Hadir
VII A 37 3 40
V II B 39 1 40
VIII A 31 4 35
VIII B 30 5 35
IX A 32 1 33
IX B 33 1 34
79
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
MATERI PRESENTASI UNIT 5
80
Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
1
Pembelajaran Aktif – SD/SMP UNIT 1
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
UNIT 6
BENTUK ALJABAR:
VARIABEL, KOEFISIEN, DAN
KONSTANTA
UNIT C
82 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
UNIT C
83
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
UNIT 6
BENTUK ALJABAR:
Variabel, Konstanta, dan Koefisien
Pendahuluan
Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-
jabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau "penyelesaian. Aljabar
(Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan
dan kuantitas.
Di dalam aljabar, kita tidak bekerja
secara langsung dengan bilangan
melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan
elemen-elemen himpunan. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam
aljabar digunakan simbol (biasanya
berupa huruf) untuk
merepresentasikan bilangan secara
umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah.
Salah satu materi dalam aljabar yang sebagian besar siswa masih mengalami miskonsepsi
adalah “Bentuk Aljabar”. Khususnya konsep variabel, konstanta, dan koefisien yang berdampak pada kesulitan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika terkait bentuk
aljabar. Ada beberapa faktor penyebab kondisi ini antara lain: 1) Penyajian Kebanyakan
buku sumber/buku bacaan siswa masih berfokus pada contoh-contoh bentuk aljabar yang
menggiring siswa menghafal tanpa memahami makna dari bentuk aljabar tersebut, 2) Beberapa guru dalam mengajarkan bentuk aljabar belum memberi ruang kepada siswa
untuk mengalami dan berbuat.
Dengan berdasar pada faktor penyebab tersebut di atas, maka dalam unit ini akan
diuraikan cara menemukan konsep variabel,konstanta, dan koefisien, serta cara
mengkonstruk masalah matematika terkait bentuk aljabar.
Tujuan
Setelah mengikuti pelatihan ini peserta diharapkan dapat: 1. memahami konsep variabel, konstanta dan koefisien
2. mengaplikasikan bentuk aljabar dalam menyelesaikan masalah nyata.
Guru matematika sedang mendampingi kelompok siswa yang berdiskusi.
UNIT C
84 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Sumber dan Bahan 1. Materi Presentasi Unit 6
2. Lembar Kerja Peserta 6.1
3. Lembar Kerja Peserta 6.2
4. Lembar Kerja Peserta 6.3
5. Informasi Tambahan
6. ATK: (lihat Pengantar modul)
Waktu – 120 menit (2x60’)
Garis Besar Kegiatan
Introduction
5 menit
Fasilitator menyampaikan:
Latar
Belakang
• Tujuan
• Garis Besar Kegiatan
Connection
25 menit
Ungkap
gagasan dan
urun
pengalaman
Guru terkait
bentuk aljabar
baik kesulitan
siswa maupun
kesulitan
dalam
mengajarkan
Application 70 menit
Kegiatan 1.
Mendefinisikan
variabel
Kegiatan 2.
Mendefinisikan
konstanta
Kegiatan 3.
Mendefinisikan
koefisien
Kegiatan 4.
Membuat soal
cerita terkait
bentuk aljabar
Reflection 15 menit
Mengajukan
pertanyaan menggali dengan
mengacu pada
kondisi yang
diberikan
Extension/
Penguatan
5 menit
Memberikan
penguatan
dengan memberikan
tugas
lanjutan.
UNIT C
85
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Rincian Langkah Kegiatan
Introduction (5 menit)
(1) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu:
a. Kebanyakan siswa masih kesulitan menyelesaikan masalah matematika terkait
bentuk aljabar karena pemahaman konsep yang masih kurang
b. Penyajian beberapa sumber belajar/ buku pegangan siswa berfokus pada bentuk
aljabarnya tanpa ada penjelasan lebih rinci terkait variabel, koefisien dan konstanta.
c. Beberapa Guru dalam mengajarkan bentuk aljabar belum memberi ruang kepada
siswa untuk mengalami atau berbuat.
(2) Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran, yaitu peserta mampu:
1. Memahami konsep variabel, konstanta dan koefisien
2. Mengaplikasikan bentuk aljabar dalam menyelesaikan masalah nyata
(3) Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan dalam sesi ini (Lihat Garis Besar
Kegiatan di Atas)
Connection (25 menit)
Curah pendapat
(1). Fasilitator bertanya pada peserta tentang kesulitan siswa dalam memahami terkait konsep variable, konstanta dan koefisien
(2). Fasilitator menggali informasi dari peserta tentang pengalamannya dalam mengajarkan konsep variabel, konstanta dan koefisien
(3). Fasilitator menanyakan pada pesrrta mengenai kesulitan-kesulitan dalam mengajarkan konsep variable, konstanta dan koefisien
Catatan: Fasilitator mencatat gagasan peserta
Application (70 menit)
Peserta duduk dalam kelompok 4-6 orang
Kegiatan1: Mendefinisikan Variabel (15’)
1. Fasilitator meminta peserta untuk mengerjakan LKP 6.1 secara berpasangan di
dalam kelompoknya.
A
C
I
UNIT C
86 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
2. Fasilitator meminta peserta untuk menukarkan hasil kerja dengan pasangan lain
dalam kelompoknya dan meminta untuk memberikan komentar atau saran-saran.
3. Fasilitator meminta peserta, sebagai kelompok, menuliskan hasil kerja yang sudah
ada masukan-masukan dari pasangan lainnya dan telah diperbaiki untuk dituliskan
pada kertas plano.
4. Fasilitator meminta peserta masing-masing kelompok untuk mempresentasikan
hasil kerja kelompoknya secara klasikal.
Kegiatan 2: Mendefinisikan Konstanta (15’)
1. Fasilitator meminta peserta untuk mengerjakan LKP 6.2 secara berpasangan di
dalam kelompoknya.
2. Fasilitator meminta peserta untuk menukarkan hasil kerja dengan pasangan lain
dalam kelompoknya dan meminta untuk memberikan komentar atau saran-saran.
3. Fasilitator meminta peserta, sebagai kelompok, menuliskan hasil kerja yang sudah
ada masukan-masukan dari pasangan lainnya dan telah direfisi untuk dituliskan
pada kertas plano.
4. Fasilitator meminta peserta masing-masing kelompok untuk mempresentasikan
hasil kerja kelompoknya secara klasikal.
Kegiatan 3: Mendefinisikan Koefisien (15’)
1. Fasilitator meminta peserta untuk mengerjakan LKP 6.3 secara berpasangan di
dalam kelompoknya.
2. Fasilitator meminta peserta untuk menukarkan hasil kerja nya dengan dengan
pasangan lain dalam kelompoknya dan meminta untuk memberikan komentar atau
saran-saran.
3. Fasilitator meminta peserta, sebagai kelompok, menuliskan hasil kerja yang sudah
ada masukan-masukan dari pasangan lainnya dan telah direfisi untuk dituliskan
pada kertas plano.
4. Fasilitator meminta peserta masing-masing kelompok untuk mempresentasikan
hasil kerja kelompoknya secara klasikal.
Kegiatan 4: Membuat Soal Cerita terkait Bentuk Aljabar (15’)
1. Fasilitator membagikan Informasi Tambahan: Aljabar, dan meminta peserta untuk
membacanya;
2. Fasilitator meminta peserta, secara individual, untuk membuat soal cerita yang
dapat dimodelkan dalam bentuk ax + b , a dan b ≠ 0 dan x adalah variabel;
3. Fasilitator meminta peserta untuk mendiskusikan hasil kerja individual dalam
kelompok;
4. Fasilitator meminta peserta untuk menuliskan hasil diskusi kelompok pada kertas
plano
5. Fasilitator meminta peserta mempresentasikan hasil kerja kelompok secara
klasikal.
UNIT C
87
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Reflection (10 menit)
(1) Fasilitator memberikan situasi sebagai berikut: .
(2) Fasilitator mengajukan pertanyaan bersifat menggali dengan memilih beberapa
pertanyaan yang disediakan sesuai kondisi
(3) Fasilitator memilih salah seorang peserta untuk mengemukakan jawabannya terkait
pertanyaan yang diajukan
(4) Fasilitator memberikan kesempatan pada peserta lain untuk mengomentari jawaban
dari peserta terpilih.
Penguatan
Fasilitator memberi penguatan yaitu bahwa:
• Variabel adalah suatu lambang dalam aljabar yang mempunyai variasi nilai.
• Buku = X ------- salah, karena buku tidak punya variasi nilai
• Banyaknya buku = X--- benar, karena banyak mempunyai variasi nilai
• Konstanta adalah sebuah simbol atau gabungan simbol yang mewakili atau menunjuk
anggota tertentu pada suatu semesta pembicaraan
• Koefisien variabel adalah konstanta dari suku-suku yang memuat variabel
Extension (5 menit)
Fasilitator memberikan saran kepada peserta, agar sepulang dari pelatihan, peserta:
1. mengidentifikasi masalah sehari-hari yang alami peserta dan menuliskannya dalam
bentuk aljabar.
2. Berlatihlah membuat soal cerita terkait bentuk-bentuk aljabar
E
R
Sebuah Kontainer memuat sejumlah kardus dan setiap Kardus memuat sejumlah apel
Misalkan,
x = banyaknya apel dalam kardus
y = banyaknya kardus dalam kontainer
1. Apa makna dari yx……..*
2. Apakah y bisa dikatakan koefisien pada simbol xy
3. Apakah simbol xy mempunyai koefisien? Tuliskan.
UNIT C
88 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Lembar Kerja Peserta – 6.1
Banyaknya pohon jati milik Pak Makmur 10 batang lebihnya dari banyak pohon jati milik Pak Budi.
1. Jika banyak pohon milik Pak Makmur adalah p
a. Berapa banyak pohon milik Pak Budi?
b. Apakah mungkin P mewakili bilangan 9? c. Apakah mungkin P mewakili bilangan satu juta? Jelaskan
jawabanmu d. Tuliskan himpunan semesta Bilangan yang dapat mewakili P?
2. Jika banyak pohon milik Pak Budi adalah k, a. berapa banyak pohon milik Pak Makmur?
b. Apakah k dapat diwakili sembarang bilangan? Beri alasan
c. Tuliskan himpunan bilangan yang dapat mewakili k
Bila p, k, merupakan simbol aljabar yang disebut variabel. Nyatakan dengan
bahasamu sendiri, apa yang dimaksud variabel?
UNIT C
89
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Lembar Kerja Peserta – 6.2
Pak Rahmat memiliki 3 anak berturut-turut Arman, Iwan, dan Susi. Umur Iwan lima tahun
kurangnya dari umur Arman. Umur Susi dua tahun kurangnya dari umur Iwan. Umur mereka antara 5 dan 15 tahun.
a. Berapa umur Arman dan Iwan jika umur Susi p tahun?
b. Apakah jawaban Anda dapat dikatakan sebagaii variabel aljabar? Mengapa?
c. Apakah jawaban anda memuat simbol lain selain variabel? Tuliskan simbol lain
tersebut? d. Dapatkan simbol lain tersebut diwakili oleh sembarang anggota pada semesta
pembicaraan ?Mengapa? e. Apakah simbol lain tersebut menyatakan anggota tertentu pada semesta
pembicaraan?
f. Jika simbol lain tersebut adalah konstanta. Nyatakan dengan bahasa sendiri apa yang dimaksud KONSTANTA
UNIT C
90 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Lembar Kerja Peserta – 6.3
Tiga diantara puluhan buku milik pak guru mempunyai banyak halaman yang unik. Banyak halaman buku II adalah 5 kali banyak halaman buku 1, sedangkan banyakya halaman buku III
adalah 2 kali banyaknya halaman buku 1. Jika banyak halaman buku 1 adalah h, maka:
a. Berapa banyak halaman buku II dan III?
b. Apakah jawaban anda termasuk variabel? mengapa
c. Apakah jawaban anda memuat konstanta?. Tuliskan
d. Apa makna konstanta tersebut terhadap variabel
e. Jika konstanta pada jawaban anda disebut
koefisien. Nyatakan dengan bahasa sendiri,
Pengertian Koefisien.
UNIT C
91
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Informasi Tambahan
ALJABAR
Aljabar: Aljabar adalah cabang dari matematika yang mempelajari
penyederhanaan dan pemecahan masalah dengan menggunakan “simbol”.
Simbol adalah huruf atau tanda yang digunakan untuk menyatakan unsur, senyawa,
sifat, atau satuan matematika (KBBI). Simbol bilangan disebut angka. Angka 5
merupakan simbol untuk menyatakan hasil dari mencacah benda sebanyak 5 buah atau
hasil menghitung frekuensi kemunculan suatu peristiwa sebanyak 5 kali.
Simbol Aljabar adalah simbol yang mewakili (menunjuk) sebarang bilangan. Simbol
Aljabar dapat terdiri dari huruf, tanda tertentu, atau bilangan. Pada sebarang
simbol Aljabar dapat diberikan nilai (bilangan) tertentu sesuai persyaratan yang
dikehendaki.
Contoh-1:
”Banyaknya pohon jati milik Pak Amir 10 batang kurangnya dari pohon milik Pak Budi.
Berapakah kemungkinan pohon Pak Amir dan Pak Budi?”. Pembahasan:
a. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dimisalkan banyak pohon Pak Amir
diwakilkan kepada simbol Aljabar p, sehingga p ini adalah banyak pohon milik Pak
Amir. Dengan demikian berarti banyak pohon Pak Budi p + 10 batang.
b. Karena tidak ada petunjuk berapa banyak pohon Pak Amir atau Pak Budi,
maka p dapat diganti dengan sebarang bilangan yang menunjukkan banyak pohon.
Boleh jadi p mewakili bilangan 10, sehingga banyak pohon Pak Amir ada 10 batang
dan pohon Pak Budi ada 10+10 atau 20 batang. Boleh jadi p mewakili 15, sehingga
banyak pohon Pak Amir ada 15 batang dan pohon Pak Budi ada 15+10 atau 25
batang.
c. Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili oleh p, dengan syarat p dan p+10
mewakili bilangan banyak pohon yang mungkin dimiliki oleh seseorang. Dalam hal
ini tidak mungkin seseorang sampai memiliki satu triliun pohon.
d. Kesimpulan: p dapat mewakili bilangan tertentu dengan persyaratan bahwa p dan
UNIT C
92 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
p+10 adalah banyak pohon yang memungkinkan untuk dimiliki oleh Pak Amir dan
Pak Budi. Semesta pembicaraan adalah banyak pohon yang memungkinkan dimiliki
oleh Pak Amir dan Pak Budi.
Contoh-2:
”Tahun ini umur Dika dua kali umur Syauki, sedangkan umur Santi 1 tahun lebih tua dari
Dika. Berapakah kemungkinan umur Dika, Syauki, dan Santi tahun ini?”. Pembahasan:
a. Umur seseorang dalam tahun menunjukkan hasil mencacah satu kali dalam
setahun secara berurutan sejak lahir sampai tahun terakhir kehidupan orang
tersebut. Dengan demikian umur menunjukkan bilangan.
b. Untuk menjawab pertanyaan tersebut maka umur Syauki tahun ini dapat
diwakilkan kepada simbol Aljabar U, sehingga U ini mewakili bilangan umur Syauki.
Ini berarti tahun ini umur Syauki U tahun, umur Dika 2×U atau 2U tahun, sedangkan
umur Santi (2U+1) tahun.
c. Karena tidak ada petunjuk berapa umur Syauki, Dika dan Santi pada tahun ini maka
U dapat diganti dengan sebarang bilangan yang menunjukkan umur manusia. Boleh
jadi U mewakili bilangan 1, sehingga tahun ini umur Syauki 1 tahun, umur Dika 2×1
atau 2 tahun, dan umur Santi 2+1 atau 3 tahun. Boleh jadi U mewakili 5, sehingga
tahun ini umur Syauki 5 tahun, umur Dika 2×5 atau 10 tahun dan umur Santi
10+1atau 11 tahun. Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili oleh U, dengan
syarat U mewakili bilangan umur manusia dan mengakibatkan U, 2U dan 2U + 1 juga
mewakili bilangan umur manusia.
d. Kesimpulan: U dapat mewakili sebarang bilangan dengan persyaratan bahwa U,
2U, 2U+1 adalah bilangan umur manusia yang memungkinkan saat ini Semesta
pembicaraan kejadian tesebut adalah bilangan umur manusia yang memungkinkan
saat ini.
Contoh-3:
Toko buah KURNIA milik Pak Arif mengemas apel dalam kotak-kotak. Setiap kotak berisi
beberapa biji apel yang sama banyak. Beberapa kotak apel dikemas dalam satu dos
besar. Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam satu kotak ? Berapa banyak butir apel
UNIT C
93
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
yang mungkin dalam satu dos besar? Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam dua
dos besar? Pembahasan:
a. Misalkan banyak apel dalam satu kotak ada a apel, maka dalam dua kotak ada a +
a atau 2a
apel, dalam 3 kotak ada a+a+a atau 3a apel. Jika satu kotak berisi 10 apel, dua kotak berisi 20 apel, dan 3 kotak berisi 30 apel. Ini berarti a mewakili 10 apel.
b. Bila ada a2 apel, berarti ada a kotak apel yang masing-masing kotak berisi a apel.
Alasan: a2
berarti a×a atau (a+a+a+a+...+a) sebanyak a. Jika tiap satu kotak berisi 10 apel, berarti ada
10 kotak apel, sehingga banyaknya apel dalam a2 apel ada 10×10 apel atau ada 100
apel.
c. Misalkan satu dos besar dapat memuat n kotak apel, berarti n mewakili banyak
kotak apel dalam dos besar. Jika ada 2 dos besar berarti dalam 2 dos besar tersebut
ada 2×n kotak apel.
d. Karena dalam satu kotak apel ada a butir apel, dan dalam satu dos besar ada n
kotak apel, maka dalam satu dos besar ada n×a butir apel dan dalam 2 dos besar
ada 2×n×a.
Kesepakatan:
a. Tanda operasi kali tidak ditulis. Contoh: 3×d atau 3.d dan ditulis 3d , A + A =
2. A = 2A
b. Simbol Aljabar yang berdekatan diartikan sebagai perkalian. Contoh: pq berarti
p×q atau berarti p.q
c. p2 berarti p×p atau berarti p.p, dan dapat ditulis pp, dengan p adalah simbol Aljabar.
d. p2p4 berarti p2×p4 atau berarti p2.p4, atau berarti (p.p).(p.p.p.p) atau berarti
(p×p)×(p×p×p×p), dan dapat ditulis (pp)(pppp)dengan p adalah simbol Aljabar.
e. Istilah-istilah yang tergolong simbol Aljabar antara lain adalah variabel (peubah),
konstanta, suku, koefisien, dan bentuk Aljabar. Dalam matematika, istilah-istilah
tersebut selanjutnya disebut variabel (peubah), kontanta, bentuk Aljabar, suku,
koefisien.
UNIT C
94 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
3. Variabel (Peubah)
Variabel (peubah) adalah suatu lambang dalam aljabar yang mewakili anggota suatu
himpunan tertentu (mempunyai variasi nilai).
a. Simbol Aljabar p pada contoh-1, U pada contoh-2, dan a pada contoh-3 di atas
adalah contoh variabel karena p mewakili banyak pohon yang mungkin dimiliki Pak
Amir, U mewakili sebarang bilangan umur manusia dan a mewakili banyak butir apel
dalam satu kotak.
b. Variabel (peubah) umumnya disimbolkan dengan huruf kecil atau huruf besar.
4. Konstanta Aljabar:
Konstanta adalah sebuah simbol atau gabungan simbol yang mewakili atau
menunjuk anggota tertentu pada suatu semesta pembicaraan.
a. Dalam contoh-1 uraian di atas, p adalah variabel dengan p mewakili
bilangan yang menunjukkan banyak pohon Pak Amir. p+10 adalah simbol aljabar
untuk mewakili bilangan yang menunjukkan banyak pohon milik Pak Budi. Dalam
hal ini 10 disebut konstanta karena
10 tersebut menunjuk banyak pohon tertentu, yaitu
10 pohon.
b. Dalam contoh-2 uraian di atas, U adalah variabel dengan U mewakili bilangan yang
menunjukkan umur Syauki. 2U adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang
menunjukkan umur Dika. 2U+1 adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang
menunjukkan umur Santi. Dalam hal ini 1 disebut konstanta karena 1 tersebut
menunjuk umur tertentu, yaitu 1 tahun.
c. Catatan: Bila dijumpai konstanta negatif, misalnya dalam bentuk x 100, dengan konstanta
100, maka konstanta negatif tersebut tidak perlu dikongkretkan. Dalam proses
pembelajaran, konstanta negatif tersebut sudah menjadi ranah pembahasan yaitu
pembahasan tentang konsep matematika secara abstrak.
5. Suku Aljabar:
a. Suku dapat berupa sebuah konstanta atau sebuah variabel. Suku dapat pula berupa
hasil kali atau hasil pangkat atau hasil pernarikan akar konstanta atau variabel,
tetapi bukan penjumlahan dari konstanta atau variabel.
UNIT C
95
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
b. Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang variabelnya menggunakan simbol yang
sama, baik dalam huruf maupun pangkatnya. Bila a dan b adalah variabel, maka a,
2a, 10a adalah suku- suku sejenis, a dan 2b suku-suku tidak sejenis.
c. Pada contoh-1 uraian di atas, p dan 10 masing-masing disebut suku. Pada contoh-
2 di atas U,
2U, 1 disebut suku, dengan U dan 2U disebut suku sejenis. Pada contoh-3 di atas,
a, 2a, 3a, an, 2an disebut suku. a, 2a, 3a adalah suku-suku sejenis. an dan 2an juga
suku-suku sejenis.
6. Koefisien Aljabar
Koefisien adalah bagian konstanta dari suku-suku yang memuat atau menyatakan
banyaknya variabel yang bersangkutan. Pada contoh-1 uraian di atas, koefisien dari p
adalah 1 (satu). Pada contoh-2, koefisien dari U adalah 1, koefisien dari 2U adalah 2
dan koefisien 3U adalah 3. Pada contoh-3, koefisien dari 3 adalah 3.
7. Bentuk Aljabar
a. Bentuk aljabar adalah semua huruf dan angka atau gabungannya yang
merupakan simbol aljabar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,
perpangkatan atau penarikan akar dari satu atau lebih simbol aljabar juga
merupakan bentuk aljabar.
b. Bentuk Aljabar dalam x berarti bentuk Aljabar dengan variabel x, sehingga
simbol lainnya (huruf atau angka) bukan merupakan variabel. Contoh:
1) 3x +5 adalah bentuk aljabar dalam x. 2) 5 − y adalah bentuk aljabar dalam y. 3) ax +bx +c adalah bentuk Aljabar dalam x, dengan a, b, c bukan variabel, tetapi
konstanta.
Dalam hal ini konstanta a dan b disebut koefisien, sedang c disebut konstanta.
4) p2 adalah bentuk aljabar dalam p.
c. Pada contoh-1 uraian di atas, p dan p+10 masing-masing merupakan bentuk
aljabar. Pada contoh-2 di atas, U, 2U, dan 2U+1 masing-masing merupakan bentuk
aljabar. Pada contoh-3, a, 2a, 3a juga merupakan bentuk aljabar.
d. Bentuk Aljabar terdiri satu suku disebut suku satu. Contoh: 3y, x2, - 4x. Bentuk Aljabar terdiri dua suku disebut suku dua (binom). Contoh: x2− 4, 5y+6.
UNIT C
96 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Kepingan Aljabar
Tujuan: Menyederhanakan bentuk Aljabar
Siapkan kepingan yang dapat terbuat dari logam atau karton dengan berbagai bentuk, misalnya persegi, segitiga, lingkaran, dan sebagainya. Pilihlah kepingan yang berbentuk
lingkaran dengan satu warna, misalnya putih. Pilihlah 2 bentuk kepingan lain, persegi dan segitiga masing-masing dengan dua warna berbeda, misalnya merah dan biru.
Andaikan kita akan menyederhanakan bentuk aljabar yang melibatkan 2 variabel, katakan 𝑥
dan 𝑦, maka dapat disediakan kepingan sebagaimana gambar di bawah ini.
Merepresentasikan konstanta bertanda positif
Merepresentasikan konstanta bertanda negatif
Merepresentasikan variable 𝑥 bertanda positif
Merepresentasikan variable 𝑥 bertanda negatif
Mepresentasikan variable 𝑦 bertanda positif
Merepresentasikan variable 𝑦 bertanda negatif
Selanjutnya dapat dibuat kesepakatan tentang penggunaan operasi aljabar bahwa operasi
penjumlahan bentanda “+” merepresentasikan penambahan kepingan dan operasi
pengurangan bertanda “ – “ merepresentasikan pengurangan kepingan dari yang tersedia. Serta penggabungan kepingan dalam bentuk yang sama dengan warna yang berbeda
merepresentasikan “nol” (saling mengeliminasi).
Selanjutnya pada saat hendak memulai bermain kepingan aljabar untuk menyederhanakan bentuk
aljabar, berikan persediaan kepingan sesuai bentuk yang diperlukan secara berpasangan
warna, merah dan biru.
Sebagai contoh: Penyederhanaan bentuk aljabar dengan dua variabel:
2𝑥 + 𝑦 + 4 + (−3𝑥) − 2𝑦 − (−2) dapat diselesaikan dengan bermain kepingan aljabar sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
(Persediaan 𝑥) (Penambahan: 2𝑥) (Penambahan: −3𝑥) Hasil: −𝑥
Saling mengeliminasi
UNIT C
97
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
(Persediaan 𝑦: bernilai 0) (Penambahan: 𝑦) Hasil: −𝑦
Saling
Mengeliminasi Saling
mengeliminasi
Pengambilan +2𝑦
(Persediaan konstanta) (Penambahan: 4) (Hasil: +6)
Pengambilan -2
Berdasarkan permainan kepingan aljabar yang ditunjukkan pada gambar di atas, maka
bentuk sederhana dari 2𝑥 + 𝑦 + 4 + (−3𝑥) − 2𝑦 − (−2) adalah −𝑥 − 𝑦 + 6.
Daftar Bacaan
Krismanto.Al. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Di Kelas VII SMP. Modul Matematika SMP Program BERMUTU. Yogyakarta: PPPPTK Matematika.
Sri Wardhani.2004. Permasalahan Kontekstual Mengenalkan Bentuk Aljabar di SMP. Paket
Pembinaan Penataran Bagi Alumni Diklat Guru Matematika SMP oleh PPPPG
Matematika Tahun 2004. Yogyakarta: PPPPG Matematika
Saling
mengeliminasi
Gambar. Representasi penyederhanaan bentuk aljabar dengan bermain kepingan.
UNIT C
98 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
LAMPIRAN
JAWABAN LKP 1
Banyaknya pohon jati milik Pak Makmur 10 batang lebihnya dari banyak pohon jati milik Pak Budi.
1. Jika banyak pohon milik Pak Makmur adalah p a. Berapa banyak pohon milik Pak Budi?
Jawab: p - 10
b. Apakah mungkin P mewakili bilangan 9?
Jawab: Tidak, karena kalau mewakili bilangan 9 berarti banyaknya pohon pak budi jadi -1
c. Apakah mungkin P mewakili bilangan satu juta? Jelaskan jawabanmu
Jawab: mungkin saja. d. Tuliskan himpunan semesta Bilangan yang dapat mewakili P?
Jawab: 11 dst
2. Jika banyak pohon milik Pak Budi adalah k, a. Berapa banyak pohon milik Pak Makmur?
Jawab: k + 10
b. Apakah k dapat diwakili sembarang bilangan? Beri alasan
Jawab: Tidak, misal -12, tidak mungkin pohon jatinya -2
c. Tuliskan himpunan bilangan yang dapat mewakili k
Jawab: Bilangan bulat positif atau bilangan asli
Bila p, k, merupakan simbol aljabar yang disebut variabel. Nyatakan dengan bahasamu sendiri, apa yang dimaksud variabel?
Jawab: Variabel (peubah) adalah suatu lambang dalam aljabar yang mewakili anggota suatu himpunan tertentu (mempunyai variasi nilai).
UNIT C
99
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
JAWABAN LKP 2
JAWABAN LKP 3
Pak Rahmat memiliki 3 anak berturut-turut Arman, Iwan, dan Susi. Umur Iwan lima tahun
kurangnya dari umur Arman. Umur Susi dua tahun kurangnya dari umur Iwan. Umur mereka antara 5 dan 15 tahun.
a. Berapa umur Arman dan Iwan jika umur Susi p tahun? Jawab: iwan p+2, arman p +7.
b. Apakah jawaban Anda dapat dikatakan sebagai variabel aljabar? Mengapa? Jawab: bukan, karena p +2 adalah simbol yang mewakili umur iwan, sedangkan p +
7 suatu simbol yang mewakili umur arman.
c. Apakah jawaban anda memuat simbol lain selain variabel? Tuliskan simbol lain tersebut?
Jawab: iya, 2 dan 7 d. Dapatkan simbol lain tersebut diwakili oleh sembarang anggota pada semesta
pembicaraan ?Mengapa?
Jawab: tidak, karena 2 dan 7 menunjuk pada bilangan tertentu. e. Apakah simbol lain tersebut menyatakan anggota tertentu pada semesta
pembicaraan?
Jawab: iya
Tiga diantara puluhan buku milik pak guru mempunyai banyak halaman yang unik. Banyak
halaman buku II adalah 5 kali banyak halaman buku 1, sedangkan banyakya halaman buku III adalah 2 kali banyaknya halaman buku 1. Jika banyak halaman buku 1 adalah H, maka:
a. Berapa banyak halaman buku II dan III?
Jawab: buku 2 5H, buku 3 2H b. Apakah jawaban anda termasuk variabel? Mengapa
Jawab: Bukan, karena memuat simbol lain.
c. Apakah jawaban anda memuat konstanta?Tuliskan
Jawab: iya, 5 dan 2 d. Apa makna konstanta tersebut terhadap variabel
Jawab: sebagai faktor
e. Jika konstanta pada jawaban anda disebut koefisien. Nyatakan dengan bahasa sendiri, Pengertian Koefisien.
Jawab:
Ciri-ciri koefisien 1 adalah konstanta dan menyatakan banyaknya variabel
UNIT C
100 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
JAWABAN REFLECTION
1. Apa makna dari yx……..?
Jawab: Makna dari xy adalah: y+y+……..+y sebanyak x faktor atau x+x+…..+x
sebanyak y faktor.
2. Apakah y bisa dikatakan koefisien pada simbol xy?
Jawab: Tidak, karena y menunjuk pada anggota tertentu
3. Apakah simbol xy mempunyai koefisien? Tuliskan.
Jawab: ya, yaitu 1 dan 1 adalah koefisien dari simbol xy
UNIT C
101
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
MATERI PRESENTASI UNIT 6
UNIT C
102 Modul Pelatihan Praktik Pembelajaran yang Baik di SMP/MTs. IV: Matematika
Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta
UNIT 6
USAID PRIORITAS: Prioritizing Reform, Innovation, and Opportunities for Reaching Indonesia’s Teachers, Administrators, and Students
Modul Pela�han
Prak�k yang Baik di Sekolah Menengah PertamaMadrasah Tsanawiah (SMP/MTs)
Pembelajaran Matema�ka
IV