modèle de young tension interfaciale Équation de gibbs

1

1

tension interfaciale

Physique thermique et statistique (PHY2215)treizième cours

François SchiettekatteUniversité de Montréal

Hiver 2009 2

Surfaces

Modèle de YoungFormation des gouttesÉquation de Gibbs-DuhemRelation pression ↔ courbureÉquation de Gibbs-Duhem

Influence de la courbure sur la pression de vapeurnanocalorimétrienanobulles

3

tension interfaciale

tension interfacialeforce présente à l'interface entre deux phasesCausée par l’énergie nécessaire pour briser des liens ou former des liens avec une autre substance

dans les systèmes en séparation de phasele système tente de minimiser cette énergie

interface avec phase "vapeur": tension de surfaceModèle de Young

on considère l’interface comme une membrane élastique d'épaisseur infinitésimale entre les deux phasesvalide pour les liquides, mais pas pour les solides

4

Modèle de Young

on coupe une surface en deux (ex: bulle de savon)

pour chaque élément dl de la coupure, il faudra exercer une force σ par unité de longueur pour maintenir l'équilibre

dl σ

2

5

Modèle de Young

la tension de surface représente la force nécessaire à équilibrer les pressions entre les deux phases

interface réelle d'épaisseur δ

réalité modèle de Young

σ

pa

pb

pa

pb

6

Modèle de Young

critère d'équilibresupposons qu’on sectionne par un plan arbitraire une interface entre phases a et b

l’interface possède une courbure quelconque supposons la sphérique pour l'instant

Examinons le bilan des forces au niveau du plan de section (en gris sur le schéma de la page suivante)

les forces doivent s'équilibrerla différence de pression projetée sur le plan équivaut à une force vers le hautavant de sectionner le plan, le reste de l'interface maintenait l'interface en place grâce à une tension σ vers le bas

7

Modèle de Young

critère d'équilibrebilan des forces sur la section

pa

pb

r

ρ

dl

{ ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−− ∫ r

πρσ=πρrρσ=dlφσ=F'

πρ 2 2

0bas le vers

composantebas le

vers force

2 2cos321

φσcos

( ) abab ppπρpp=F >− ,2

σφ

φ

8

Modèle de Youngcritère d'équilibre

plus généralement, la surface peut être décrite par deux rayons de courbure et

relation de Laplaceen quelque sorte, la "tension" dans la "membrane" que constitue la surface fait que la pression àl'intérieur est plus élevée

( )

rσ=pp

rπρσπρppF'FF'F

ab

ab

2

20 2

2

−⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⇔−=⇔=+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

2 1

1 1rr

σ=pp ab

3

9

Modèle de Young

interface avec une phase solidele solide peut opposer une forcesi on considère un solide rigidel'équilibre des forces impose

équation de Youngrelation entre les différentes tensions

on doit avoirsans quoi le liquide:

ne mouillera pas la surfacemouillera complètement la surface

slσ

sgσ

lgσ

gaz

liquide

solide

slsglg σσ=φσ −cos

lgslsglg σσσσ <−<−

φ

10

force capillairesoit un tube de rayon a plongé dans un liquide

si r: rayon du ménisque

gravité:

Young:

mesure de È

sl

gaz

liquide

solide

( )gllgl

glgl

ρρhgρppρρhgp=p

>>≈−⇒

−+

si

h

a

r

r=pp lg

gl

σ2−

a=φrra cos,<

φahgρ=σ lgl cos/2 1

aagρφσ

hl

gl 1~cos2

≈

φ

φ

glσ

11

travail exercé par la tension de surface

travail exercé par la tension de surfaceon sépare un liquide d'un solide

par Young

solide

liquide

slσ

solide

liquidelgσ

sgσ

slsglgs σσσ=W −+

( )φσ=W lgs cos1+

12

travail exercé par la tension de surface

on sépare ou "clive" un solide

ce travail correspondà couper des liensatomiques d'énergieΦ en deux

pour un réseau cubique,b étant le paramètre de réseau

solide

solide

sgσ

sgσ

sgs σ=W 2

ν2Φ=σ sg

2/1 b=ν

4

13

travail exercé par la tension de surfaceLorsqu'on exerce un tel travail, ce travail correspond à l'énergie fournie aux atomes, plus le travail exercé sur l'environnement, moins l'énergie associée à l'entropie gagnée dans le processus, i.e. l'énergie libre de Gibbs

autrement dit, la tension interfaciale est l'énergie libre de Gibbs par unité de surfacesi aucun changement ne se produit au niveau de la surface, on pourrait recoller les surface, et regagner le travail

cette énergie est donc "libre"c'est un travail réversible (comme pV)en réalité, c'est un peu plus compliqué

pVTSEG +−≡

AG σ=

14

travail exercé par la tension de surfacepetit ajout à la relation thermodynamique fondamentale

au dernier cours, nous avions défini

comme nous venons de le voir, la tension de surface ajoute l'énergie σ par unité de surface dAnotre relation fondamentale deviendra donc

dAµdNpdVTdSdE σ++−=

µdNpdVTdSdE +−=

15

forme d'un petit cristal à l'équilibre

Si nous avons affaire à un cristal et que la surface est vicinale, pour un réseau cubique

( ) ( )ϕϕϕ sincos 2 2 +bΦ=σ sg

ϕ

( )ϕϕν sincos 12 +

b=

( )ϕsgσ

16


forme d'un petit cristal à l'équilibreun petit cristal tentera de minimiser son énergie libre:

dans le cas d'un liquide, et on minimise la quantité de surface, ce qui donne?pour un cristal, σ n'est pas isotropeconsidérons un prisme rectangulaire de dimension x, y, z, on voudra minimiser

au minimum

dAσ=Gs ∫∫∫ dAσ=dAσ=Gs

( ) ( ) ( )2xyσ2xzσ2yzσ=Aσ=G zyxs ++∑[ ] 0222 =xyσxzσyzσd=dG zyxs ++

( ) ( ) ( ) 0222 =dxydyxσdxzdzxσdyzdzyσ zyx +++++⇒

5

17

forme d'un petit cristal à l'équilibrepar ailleurs, V = xyz est constant, donc

on introduit le multiplicateur de Lagrange

on additionne avec l'expression pour dG

comme dx, dy et dz sont indépendants, chaque terme = 0

mais λ est le même

0=xzdyzydxxydz=dV ++

0=λxzdyλzydxλxydz ++

( ) ( ) ( ) 022 2 2 2 2 =dxλyzzσyσdyλxzxσzσdzλxyxσyσ yzzxyx ++++++++

( )

( ) ( ) ( ) cterrσ

zσ=

yσ

=xσ

yσ

xσ=λ=λxyxσyσ

zyx

yxyx

==⇒

+−⇒++

)(2/2/2/

20 2 2

r

zy

x r

18


cette équation est connue comme la relation de Wulffelle implique de la dimension d'un petit cristal à partir du centre sera inversement proportionnelle à la tension de surface dans cette direction (pas uniquement dans les directions x, y, z)

( )ϕsgσ

100 nmSi/AsInSource: Anna Tchebotareva, UdeM

19

formation des gouttes dans les nuages

un exemple: soit un nuage saturé de vapeur d'eauon cherche comment la variation d'énergie de Gibbs associée à la condensation est influencée en par la taille des gouttes d'eau qui se formenten termes de taille,

ρl la concentration de molécules dans la phase liquidesi on ajoute le terme de tension interfaciale

dans une situation où l'énergie de Gibbs est favorable pour la formation d’une phase liquide (condensation),

3 3

34

34 rΔµΔGrN ll

πρπρ =⇒=

232 43

4 rσrΔµ=ΔGrdA l ππρ +⇒∝∫

0<Δµ20

rayon

éner

gie

libre

de

Gib

bs


traçons l'énergie de Gibbs vs rrayon critiqueles gouttelettes plus petitess'évaporerontles gouttelettes plus grossecroîtront

mais alors, comment les goûtes arrivent-elle à se former?

rayon critique ~μm

6

21


mais alors, comment les gouttes arrivent-elle à se former?

en pratique, on a besoin de sites de germinationpoussière apportée par les courants ascendantsvrai aussi pour le CO2 dans le champagne (chaînons de bulles)vrai également pour la solidification des matériaux cristallins

grains dans les métauxcroissance Czochralski des semiconducteurs

Éventuellement, Δμ devient énorme loin de l’équilibre et la moindre perturbation induira une transition de phase homogène

Réponse:

22

équation de Gibbs-Duhem

Équation de Gibbs-Duhemau dernier cours, nous avons vu que

considérons quecomme E, S, V et N sont toutes des variables extensives, si S, V et N augmentent par un facteur α, E doit également augmenter par un facteur α

en particulier, choisissons

µdNpdVTdS=dE +−

( )NVSE=E ,,

( ) ( )NVSαE=αNαVαSE ,,,,

1 ,1 <<+ γγ=α

23

équation de Gibbs-Duhemon peut donc faire une expansion en série de E autour de γ = 0:

les s‘annulent, et

et ainsi

… sous une forme non différentielle

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) γNNEγV

VEγS

SENVSE

NγVγSγE=NVSγENVSE=NVSEγ

VSNSNV ,,,

,,

1,1,1,,,,,,1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+≈

+++++

γ

( ) NNEV

VES

SE=NVSE

VSNSNV ,,,

,, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µNpVTS=E +−

24

équation de Gibbs-Duhemil s'en suit deux choses:

l'énergie de Gibbs i.e. le potentiel chimique représente l'énergie libre par particule pour une substance homogènela différentielle totale de l'énergie est

or

donc, la somme des autres termes doit être égal à 0

c'est l'équation de Gibbs-Duhem

NdµµdNVdppdVSdTTdS=dE ++−−+

NG=µµN=pVTSEG /⇒+−≡

µdNpdVTdS=dE +−

0=NdµVdpSdT +−

µNpVTS=E +−

7

25

pression de vapeur à l'équilibre

pression de vapeur à l'équilibresoit une goutte liquide en équilibre à T constant dans un environnement saturé de sa phase vapeur, pour chaque phase:puisque

doncv est le volume molaire

de l'équation de Laplace

lvlv dµ=dµµ=µ ⇒00,0 =dµdpv=dµdpv;=dT lllvvv +−+−

vl

vlllvv dp

vv=dpdpv=dpv ⇒

vl

lvvv

l

vvl dp

vvv=dpdp

vv=dpdp=

rσd ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

26


or, vl << vv; de plus, si on considère la vapeur comme un gaz parfait, vv = kT/pv, donc

on intègre l'équation d'un rayon infini à r et de p0 àpv, où p0 est la pression de vapeur pour une surface plane

kTv

rσ=

pp

rσ=

pp

vkT

pdp

vkT=

rσd lvv

l

p

p v

v

l

r v 2ln 2ln 2 0 00

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫∫

∞

v

v

l pdp

vkT=

rσd ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

27


Donc

Pression de vapeur énorme pour r petit

les petites gouttes s’évaporent très viteÀ l’inverse, les bulles tendent à se remplir d’autant plus qu’elles sont petites

difficulté de former une bulle spontanémentbesoin d’un site de germination (champagne)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

kTv

rσp=p l

v 2exp0

-2 -1 0 1 20

2

4

6

8

p v / p

0

bulles gouttes

1/r

28

nanocalorimétrie

François Schiettekatte

UIUC: Mike Efremov, Ming Zhang, Eric Olson, Alex Kwan, Les Allen

8

29

Calorimétrie

Mesure de la chaleur générée ou absorbé par une réaction ou un changement d’étatCalorimétrie différentielle à balayage: DSC

On chauffe à vitesse égale (dT/dt) deux cellules (échantillon et référence)On mesure la différence de puissance (ΔP) nécessaire à faire chauffer la cellule contenant l'échantillon p/r à la référencecapacité calorifiquechaleur latenteil s'agit d'une mesure de volume

30

nanocalorimétrie: principe de base

Tech=f(R=V/I)

ΔP=(VI)ech- (VI)ref

temps T

point de fusion

Cap

acité

calo

rifiq

ue

Tem

péra

ture

, Pui

ssan

ce

Iref Iech

VechVref

membrane de Si3Nx

métallisation Ni ou Pt

104-106 K/s

31

fabrication

Si

SiN

photorésine

métallisation

échantillon déposé

(LPCVD)

(RIE)

(gravure KOH)

32

Survol: du plus gros au plus petit

cristaux de polymèresdécroissance du point de fusionnombres magiques?

9

33

cristaux de polymères: AFM

34

cristaux de polymères: TEM

35

cristaux de polymères: calorimétrie

0.3 ng1.5 ng5.0 ng

1 cristal !

36

cristaux de polymères: calorimétrie

50 75 100 125 1500

10

20

30

40

Cha

leur

spé

cifiq

ue[ J

/g K

]

Température [°C]

première mesuresubséquentes

10

37

décroissance du point de fusion

équation de Laplace:

σσ

pj

pi

équation de Gibbs-Duhem(phase i):

21

11

,2

21

rrrr

ddpdp

pp

ijji

rrijji

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⇒

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=−

σ

σ

μμμρ

ddddpdTs

i

iiii

=

=+− 0

38


coquille liquide

solide

Hypothèse: coquille liquide (LSM)

r0

Chaleur latente:

( )0)(

00

=+−−=+−−=+−

ssllsl

ssss

llll

dpdpdTssddpdTsddpdTs

ρρμρμρ

( ){

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

−+−=−=⇒−=∴

−≈

0

soustraiton et ajouteon

2121

11111

)(

rrd

rd

dpdpdpdpdpdp

dpdpdpdpdpdpdTTlssTl

sl

l

slv

s

lsl

s

dpdpl

sls

slsl

s

l

s

l

s

s

l

l

s

s

l

l

fslf

vl

σρρσ

ρ

ρρ

ρρρρ

ρρρρρρ

48476

39


Décroissance du point de fusion:

( ) 3/2'

11

'0

lslvsvHGM

l

slv

rr

slLSM

ρρσσσ

ρρσσσ

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=

∫∫=

∞=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

'

0

' 2121rr

r

sl

l

slv

s

fT

T rrd

rd

lT

dTf

σρρσ

ρ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−

'/1212

''21

'2'

00 rrrlT

rrrlT

TT sl

l

slv

s

fsl

l

slv

s

ff

σρρσ

ρσ

ρρσ

ρ

rlT

rTTTs

ff ρ

σ '2)( =−=Δ

40


100 110 120 130 140 150 160Temperature [oC]

0

1

2

3

4

5

Cap

acte

cao

que

[J/g

]

Tm,bulk

CP,bulk

1.3 nm

2.3 nm

3.2 nm

5.6 nm

0 1 2 3 4 5 6 7Epaisseur deposee [nm]

100

110

120

130

140

150

Tem

pera

ture

dum

axim

um[o C

]

0

5

10

15

20

25

30

PLM

H[o C

]

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

4πr3 h(

r)/3

0 5 10 15 20 25 30rayon [nm]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

4πr3 h(

r)/3

a) 1.3 nm

b) 5.6 nm

M. Zhang, M. Yu. Efremov, F. Schiettekatte, E. A. Olson, A. T. Kwan, S. L. Lai, T. Wisleder, J. E. Greene, and L. H. Allen Size-dependent melting point depression of nanostructures: Nanocalorimetric measurements Phys. Rev. B 62, 10548 (2000)

11

41

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.00

0.05

0.10

0.15

4πr3 h(

r)/3

0.0 1.0 2.0 3.0radius [nm]

0.0

0.1

0.2

0.3

RL

0

50

100

150

200

0

50

100

150

CP(

T)/S

[nJ/

cm2 K

]

50 100 150Temperature [oC]

0

50

100

150

Tm

TL


10 nm

a)

b)

c)

0.1 nm In

0.2 nm In

0.4 nm In

42

r'


T (r’)

RL TTL

Mêmesuperficie

( )rhπrH TEM 3

34

CP

ž T Ÿ

bulkPC ,

43


● bon regroupement

● moyenne linéaire

● expérimental σ´=(53±3)×10-7 J/cm2

● littérature

– HGM

σ´=(43±10)×10-7 J/cm2

– LSM:

• limite sur r0

• r0 < 0.5 nm

50

100

150

Poin

tde

fusi

on[0 C

]

2468ayo [ ]

0.2 nm0.3 nm0.4 nm0.6 nm0.8 nm1 nm2 nm3 nm5 nm10 nm

Tm,bulk

a)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6inverse du rayon 1/r [nm-1]

50

100

150

Poin

tde

fusi

on[0 C

]

T(r) moyenHGMLSMLNG

b)

rHT

Tsf

m

ρσ '2

=Δ

( ) 3/2' lslvsv ρρσσσ −=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=

l

slv

rr

slρρ

σσ

σ 11

'0

44

décroissance de la chaleur latente

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6inverse du radius 1/r [nm-1]

0

5

10

15

20

25

30

35

Ca

euat

ete

[J/g

]

2468ayo [ ]

Hm pour chaque experienceC

regression lineaireHm(r) selon le cycle thermochimique

Hf,bulk

0.2 nm0.4 nm

0.6 nm

0.8 nm1 nm

2 nm

3 nm5 nm

10 nm

rayon (nm)

Cha

leur

late

nte

[J/g

]

12

45

nombres magiquesa) b) c)

20 nm

50 100 150Temperature [oC]

0

100

200

300

400

500

600

Cha

leur

spec

ifiqu

e[n

J/cm

2 ]/K

0.8 nm

0.6 nm

0.4 nm

d)

50 100 150Ti [oC]

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δri[Å

]

c/2

a/√2

Tme)

� séparation en rayon:

� équivaut à 1 monocouche d’Indium

� effet de couches atomiques� T(r) ∝1/r

M. Yu. Efremov, F. Schiettekatte, M. Zhang, E. A. Olson, A. T. Kwan, R. S. Berry, and L. H. Allen Discrete Periodic Melting Point Observations for Nanostructure Ensembles Phys. Rev. Lett. 85, 3560 (2000)

))(('2

1

1

+

+

−−−

=imim

ii

sf

mii TTTT

TTH

Tr

ρσ

δ

isf

mim rH

TTT

ρσ '2

=−

46

nombres magiques

Pourquoi de tels maxima? Deux avenues:� distribution non-uniforme de la taille des particules

� l’énergie des particules oscille entre r and r+δr� nombres magiques:

� atomiques: Na = (10 i3 - 15 i2 + 11 i - 3)/3

� électroniques: Ne ≈ i(i+1)(i+2)/3

� ~50 eV/particule pour des amas de 1500 atomes

� observés sur une surface� jusqu’à 10000 atomes� énergie mesurée

0

5

10

15

20

25

raci

ne c

ubiq

ue d

u no

mbr

e d'

atom

es, N1/

3

Schmidtet al.

electronique atomique

ce travail

47

conclusions (nanocalorimétrie)

La physique du XIXe siècle peut expliquer des expériences du XXIe siècleeffets discrets dus aux couches atomiquesmesure sur des monocristaux de polymèressensibilité < monocouche @ 30 meV/at(i.e. fusion)la nanocalorimétrie est aux surfaces ce que la DSC est au volumes

48

Nanobulles

MotivationImpuretés métalliques

néfastes pour les dispositifs semi-conducteurs

Nanobulles: excellent pour le piégeage interne de telles impuretésplus efficaces que la simple surface du silicium

Les effets de capillarité pourraient-ils en être responsables

13

49

Procédure expérimentale

surface

2e couche

1e couche

50

Procédure expérimentale

1017 He/cm2

100 keV1000°C

1h

Création de la 1e couche de nanobulles (33 nm)

1014 Au/cm2

300 keV800°C

1h

Contamination

3•1016 He/cm2

30 keV

He pour la 2e couche

Création de la deuxième couche (10 nm) et mesure du transport de Au

800°C0.5 h

RBS4He 2 MeV

800°C1 h

RBS4He 2 MeV

800°C30 h

RBS4He 2 MeV

•••

51

Résultats

constant

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1depth (µm)

Con

cent

ratio

n (%

Au/

Si)

0 h1 h30 h

52

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 10 20 30

temps de recuit de la 2e couche (h)C

once

ntra

tion

(1014

Au/

cm2 )

1e couche2e couchetotalsurface

Au_vs_t_serie_E.xls

Évolution de la concentration dans les différente couches

Les petites nanobulles (12 nm) sont 4x plus efficaces que les grandes (34 nm)La quantité de Au perdu correspond à sa solubilité dans le Si

x4

2.5 eV

14

53

Thermodynamique

Potentiel chimiqueéquilibre des bulles avec l'environnement:

vr

kTikT σββθ

θμ 2,1

ln][ln0 =−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=+

kTv

rσ=

pp lv 2ln

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Le signe "-" vient de la courbure négative

54

Thermodynamique

Potentiel chimique:calculé

mesuré

reconstruction de surface? (k1/k2 ~ 50%)Efficacité des petites nanobulles due à la fois à leur courbure plus prononcée et àdes effets de reconstruction

meV1643,32 12 ±=−= ββφβ

Raf

meV130)1(lnln22

11

1

212 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

AkAkkTkT

αα

θθββ

55

À retenir (mais pas pour l'examen!)

pour les petites particules, les effets de surface deviennent importants (et même dominants)

Équation de Youngcapillarité, forme des cristaux, germination

pression/concentration

point de fusion

-2 -1 0 1 20

2

4

6

8

p v / p

0

bulles gouttesrH

TT

sf

m

ρσ '2

=Δ

kTv

rσ=

pp lv 2ln

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1/r 56

Semaine prochaine

Intra mardi 12h30-14h20Vous avez droit à une feuille 8.5"x11" recto-verso

Pas de cours jeudiJe serai absent à partir de samedi

Écrivez-moiAllez voir Matthieu

modèle de young tension interfaciale Équation de gibbs

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