Expectativas racionales

John Muth, 1961, “Rational Expectations and the Theory of Price Movements”, Econometrica

“To make dynamic economic models complete, various expectations formulas have been used”

“we advance the hypothesis that [expectations] are essentially the same that as the predictions of the relevant economic theory”

“The hypothesis asserts that economy generally does not waste information, and that expectations depend specifically on the structure of the entire system”

Supuestos “operacionales” para modelar “expectativas racionales”

Los shocks tienen distribución normal

Existen “equivalentes ciertos” para las variables a predecir

Las ecuaciones del sistema, incluyendo las fórmulas de las expectativas, son lineales

El ejemplo de Muth: un modelo simple para explicar la fluctuación de precios en un mercado aislado

Modelo 1. Expectativas racionales suponiendo shocks serialmente incorrelacionados

El modelo consiste en dos ecuaciones de comportamiento para un productor y un consumidor representativos y una condición de equilibrio temporal del mercado, y todas las variables representan desvíos respecto de sus niveles de equilibrio:

(1) Demanda:

(2) Oferta:

(3) Equilibrio:

es la cantidad de unidades producidas (hay un lag de un período en la producción) es la cantidad consumida es el precio de mercado en el período t

1

es el “precio de mercado esperado” por el productor para el período t, basado en la información disponible por el hasta el período t-1, . Todavía no se dice nada acerca de cómo se forma esta expectativa.

es un término de error (por ejemplo un shock de productividad). La realización de es desconocida al momento en que el productor decide cuánto producir, pero es conocida por el consumidor cuando determina su demanda: no influye sobre la producción planeada pero sí sobre la demanda y por lo tanto sobre el precio de mercado. Se supone que:

(4) , si

Equilibrios del modelo y proceso de ajuste

Todas las variables del modelo de Muth representan desvíos respecto de los valores de equilibrio del modelo si no hubiera shock, es decir, si . Esto es lo mismo que resolver el equilibrio del modelo sin incertidumbre. Los niveles de las variables determinados por esta condición de certeza son los que Muth llama valores de equilibrio, y define a sus variables como desvíos respecto de ellos.

Pero también Muth supone que luego de realizado el shock en cada período t, el precio de mercado en t ajusta de forma tal que la demanda iguale a la oferta y el mercado “se limpie”.

Por lo tanto hay dos nociones de equilibrio en el modelo, que es necesario diferenciar para entender su funcionamiento: un equilibrio del modelo sin incertidumbre, dado por las condiciones y (y respecto del cual se establecen los desvíos de las variables), y un equilibrio temporal para cada período t luego de realizado el shock, dado por la condición: , dado .

El timing del proceso de ajuste del modelo es el siguiente. En el período los productores establecen sus expectativas acerca del precio de equilibrio que estará vigente durante el período t, y en base a esta expectativa o forecast deciden su nivel de producción. Pero el nivel de producción no sólo depende de la decisión de los productores, sino también del nivel del shock que se realiza a principios del período t. Por lo tanto, los productores no saben con certeza cual será su nivel de oferta en t, dado por . Una vez realizado el shock y determinado el nivel de la oferta en t, , el precio de mercado ajusta hasta que se cumple la condición de equilibrio dada por . Obviamente, este precio de equilibrio en t dependerá del nivel del shock y del precio esperado por los productores .

El modelo re-expresado como niveles absolutos y no desvíos del equilibrio

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Hipótesis de expectativas racionales

Sustituyendo la demanda y la oferta en la condición de equilibrio se obtiene la ecuación de movimiento para el precio de mercado que implica el modelo:

(5)

La predicción del modelo para el precio es la esperanza condicional: ,

Es decir:

Hipótesis de expectativas racionales: el conjunto de información del productor es equivalente al conjunto de información del modelo, es decir, el modeler supone que:

para todo t.

¿Qué contiene el conjunto ?

La hipótesis de expectativas racionales es un supuesto de:

Equilibrio: ausencia de posibilidades de arbitraje,

Optimalidad: los agentes del modelo usan toda la información que el modeler introduce en el modelo.

Si los productores tienen expectativas racionales, entonces su expectativa es la misma que la expectativa del modelo, es decir:

Por lo tanto, de esta igualdad se deduce que:

Si entonces

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Es decir, la desviación del precio esperado por los productores respecto del precio de equilibrio es cero (recordemos que las variables miden desvíos respecto de las cantidades de equilibrio), o lo que es lo mismo, el precio esperado por los productores del modelo es igual al precio de equilibrio del modelo.

En este caso, la ecuación del movimiento para toma la forma:

Es decir, esta es la consecuencia observacional del modelo o predicción del modelo respecto de la variable observable (en el “mercado real”) .

Esta predicción empírica depende (aparte del supuesto de expectativas racionales) del proceso estocástico supuesto para el shock. En este caso, se supuso que el shock es completamente impredecible.

Proyección de en base a información disponible

Si el proceso estocástico para fuera tal que parte del shock pudiera ser pronosticado en base a la información disponible en t-1 (por ejemplo a partir de observaciones pasadas del shock si este fuera observable o a partir de conocer la correlación de shock con otras variables que sí fueran observadas, por ejemplo, precios), entonces tendríamos que:

Y entonces

Usando nuevamente la hipótesis de expectativas racionales, tenemos que

Y entonces la ecuación empírica del movimiento de es:

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Supongamos en particular que la información relevante para pronosticar toma la forma de una variable observable que tiene covarianza con distinta de cero,

y que se conoce su varianza, es decir, , y aparte tiene distribución normal conjunta, entonces:

Donde: y

Es decir, observando el valor realizado x de la variable aleatoria X, el pronóstico sobre el error que hará el productor será de:

Y por lo tanto:

y

En el caso en que y :

y el proceso para que se deriva del modelo es:

Modelo 2. Expectativas racionales suponiendo shocks serialmente correlacionados

Ahora se supone que el shock es en parte predecible en base a información del pasado, en particular:

5

Donde: , ,

Como el es una función lineal de , y a su vez, es una función lineal de los , entonces, es una función lineal de los , es decir:

(7)

El precio esperado dada la información hasta t-1, tiene la misma forma que , con la única diferencia que para , se reemplaza por su esperanza condicional o

valor pronosticado :

(8)

Sustituyendo estas expresiones para y en la estructura de mercado dada por las ecuaciones (1)-(3), o directamente en (5) se obtiene:

Que es una identidad1 en las variables , es decir, debe valer para todos los valores de , por lo tanto, los coeficientes para cada una de las con , de ambos

lados de la equivalencia deben ser iguales:

De igualar los coeficientes a ambos lados (“método de los coeficientes indeterminados”) obtenemos los valores para los términos W como función de los w:

A partir de estas expresiones podemos definir como los las funciones de y en términos de la historia de los shocks , pero estos shocks no son observables, por lo que tenemos que conseguir expresiones para y en términos de la historia de variables observables.

1 Es una equivalencia porque la expresión es la definición de la ecuación en

diferencias para .

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Queremos encontrar una relación del tipo:

Sustituyendo en esta expresión las fórmulas (7) y (8) obtenemos:

Nuevamente empleando el método de los coeficientes indeterminados, tenemos que los coeficientes deben satisfacer las ecuaciones:

(9)

Supongamos en un extremo que los shocks son independientes, entonces vale que

, y todos los demas son cero. Las ecuaciones (9) entonces implican:

Que es el mismo resultado obtenido en el modelo 1.

Supongamos en el otro extremos que cada shock afecta a la oferta en todos los períodos posteriores, en lugar de sólo al período corriente. En este caso, es la suma de todos los anteriores y , entonces ahora se verifica que:

Entonces puede verse que el precio esperado ahora es la media móvil de los precios históricos con ponderadores geométricos:

7

8

Apéndice

Proyección, esperanza condicional y regresión lineal

Consideremos dos variables aleatorias (o vectores) x e y; se define la proyección de y sobre el espacio , a la variable aleatoria (o vector) :

Donde los coeficientes y se determinan a partir de minimizar la esperanza de la diferencia entre el vector y y el vector elevada al cuadrado, es decir:

Las condiciones de primer orden de esta maximización son:

que dan lugar al sistema de ecuaciones normales dado por:

De donde obtenemos que:

Si definimos la relación entre las variables x e y como , donde u es una variable aleatoria independiente de x que cumple que y , entonces

vale que y también que (por ser

). También vale (por ser independientes) que . Por lo tanto, vale que:

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Vemos entonces que la proyección es igual a la esperanza condicional cuando la relación entre x e y es de la forma .

El problema de la “extracción de señal”

Supongamos que queremos estimar una variable aleatoria s (señal) que no observamos directamente o que se nos revela junto a un “ruido” o “error de medición” n, en base a la observación de otra variable aleatoria x. Es decir, la variable x que observamos está definida como:

Donde , , , , y suponemos que la señal y el

ruido son variables aleatorias independientes, lo que implica que . Estos

supuestos a su vez implican que , pues .

En base a la observación de x, la mejor estimación que podemos tener de s es la proyección de s en x (la proyección minimiza la “distancia” entre s y x, es decir, es el mejor estimador de s en base a la información de x):

Donde y

Demostración:

Si conocemos los valores de los parámetros , y entonces a partir de observaciones de x podemos proyectar (o estimar) los valores de s, a partir de la fórmula

.

El ejemplo de Lucas (en versión estática, es decir, sin la dinámica temporal) es el siguiente: supongamos que cada productor sólo observa el precio de su producto en base al cual quiere estimar el nivel general de precios (que no observa) dado por . La relación entre y es la siguiente:

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Donde es el nivel general de precios y es un “ruido” específico al sector i (un “error de medición”, por parte del productor del sector i, del nivel general de precios), con , y independiente de p. De esta manera, la esperanza y la varianza de son:

La justificación para suponer es el Teorema Central del Límite. Por definición p es el nivel general de precios, es decir el promedio de los precios de todos

los sectores, . Por el Teorema Central del Límite, una suma grande de

variables aleatorias independientes, en este caso los , tiende a distribuirse de forma

normal; y en este caso su esperanza es .

Como p y son independientes, vale que . Por lo tanto, en base a la información de , la mejor estimación que el productor del sector i puede hacer sobre el nivel general de precios es la proyección de p en :

Por lo tanto, la proyección sobre del nivel general de precios que tiene el productor del sector i es:

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