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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA

VICERRECTORADO ACADÉMICO

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

AREA DE MATEMÁTICA

MODELO MATEMÁTICO PARA UN ROTOR SIMPLE SOPORTADO

POR UN COJINETE MAGNÉTICO

Presentado ante la Ilustre Universidad Nacional Experimental de Guayana

como requisito parcial para optar a la categoría de Profesor Asistente

Autor:

Ing. Raúl Iván Alvarez Campero

Tutor:

Lic. Rógel Rojas Bello

Ciudad Guayana, Noviembre de 2007

ÍNDICE GENERAL

Pp.

LISTA DE FIGURAS iii

LISTA DE CUADROS v

INTRODUCCIÓN 1

CAPÍTULO I 3

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 3

Objetivos 6

Objetivo general 6

Objetivos específicos 7

Justificación 7

Alcance y limitaciones 7

CAPÍTULO II 9

MARCO TEÓRICO 9

Conceptos básicos 10

Características de un controlador PID 11

Los modelos en Ingeniería 11

Simulación dinámica de máquinas rotativas 13

La suspensión de las máquinas rotativas 18

Los cojinetes magnéticos 19

Componentes de un cojinete magnético 21

Vibraciones mecánicas 23

Vibraciones libres con amortiguación viscosa 24

Vibraciones forzadas con amortiguación viscosa 30

El fenómeno de resonancia 34

Medición de vibraciones 35

CAPÍTULO III 37

MARCO METODOLÓGICO 37

Tipo de investigación 37

Técnicas e Instrumentos de recolección de información 38

Hipótesis del estudio 38

Descripción del banco de ensayos 39

Fundación y montaje 44

Montaje experimental 44

Instrumentación utilizada 44

Selección de las configuraciones del controlador PID para las pruebas 45

Determinación de las frecuencias críticas del sistema 46

Obtención de la data en regímenes transitorio y permanente 47

CAPÍTULO IV 48

RESULTADOS EXPERIMENTALES 48

Configuraciones del controlador PID seleccionadas 48

Análisis de la respuesta del sistema ante vibraciones libres 49

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje V y midiendo en el eje V 49

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje W y midiendo en el eje V 51

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje W y midiendo en el eje W 52

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje V y midiendo en el eje W 53

Determinación de las frecuencias críticas amortiguadas y los factores de amortiguación 55

Cálculo de las frecuencias de resonancia para cada PID ensayado 56

Gráficos de la amplitud de vibración del sistema 59

Gráficos de la amplitud de vibración para la configuración Kp=95 Kd= 0,10 60



Gráficos de la velocidad del sistema 69

Amplitudes máximas de vibración 74

Amplitudes de vibración para régimen permanente 75

Análisis de Resultados 76

CAPÍTULO V 80

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 80

Recomendaciones 81

REFERENCIAS 83

BIBLIOGRAFÍA 85

ÍNDICE GENERAL

Pp.

LISTA DE FIGURAS iii

LISTA DE CUADROS v

INTRODUCCIÓN 1

CAPÍTULO I 3

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 3

Objetivos 6

Objetivo general 6

Objetivos específicos 7

Justificación 7

Alcance y limitaciones 7

CAPÍTULO II 9

MARCO TEÓRICO 9

Conceptos básicos 10

Características de un controlador PID 11

Los modelos en Ingeniería 11

Simulación dinámica de máquinas rotativas 13

La suspensión de las máquinas rotativas 18

Los cojinetes magnéticos 19

Componentes de un cojinete magnético 21

Vibraciones mecánicas 23

Vibraciones libres con amortiguación viscosa 24

Vibraciones forzadas con amortiguación viscosa 30

El fenómeno de resonancia 34

Medición de vibraciones 35

CAPÍTULO III 37

MARCO METODOLÓGICO 37

Tipo de investigación 37

Técnicas e Instrumentos de recolección de información 38

ii

Hipótesis del estudio 38

Descripción del banco de ensayos 39

Fundación y montaje 44

Montaje experimental 44

Instrumentación utilizada 44

Selección de las configuraciones del controlador PID para las pruebas 45

Determinación de las frecuencias críticas del sistema 46

Obtención de la data en regímenes transitorio y permanente 47

CAPÍTULO IV 48

RESULTADOS EXPERIMENTALES 48

Configuraciones del controlador PID seleccionadas 48

Análisis de la respuesta del sistema ante vibraciones libres 49

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje V y midiendo en el eje V 49

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje W y midiendo en el eje V 51

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje W y midiendo en el eje W 52

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje V y midiendo en el eje W 53

Determinación de las frecuencias críticas amortiguadas y los factores de amortiguación 55

Cálculo de las frecuencias de resonancia para cada PID ensayado 56

Gráficos de la amplitud de vibración del sistema 59




Gráficos de la velocidad del sistema 69

Amplitudes máximas de vibración 74

Amplitudes de vibración para régimen permanente 75

Análisis de Resultados 76

CAPÍTULO V 80

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 80

Recomendaciones 81

REFERENCIAS 83

BIBLIOGRAFÍA 85

iii

LISTA DE FIGURAS

Pp.

Fig. 1 Modelo masa resorte con un grado de libertad 14

Fig. 2 Esquema de un sistema masa resorte amortiguador 16

Fig. 3 Principio básico de un cojinete magnético 23

Fig. 4 Respuesta de un sistema subamortiguado 25

Fig. 5 Respuesta de un sistema sobre amortiguado

28

Fig. 6 Sistema críticamente amortiguado 28

Fig. 7 Respuesta de un sistema en régimen permanente 31

Fig. 8 Respuesta de un sistema en régimen transitorio 31

Fig. 9 Amplitud de vibración y fase en resonancia 34

Fig. 10 Vista general del equipo 40

Fig. 11 Detalle de un cojinete magnético 41

Fig. 12 Ejes V y W 41

Fig. 13 Controlador y tarjeta de adquisición de datos 42

Fig. 14 Anclajes y fundación de concreto 44

Fig. 15 Instrumentación utilizada 45

Fig. 16 Vibraciones libres para Kp=95 Kd= 0,10 excitando en V y midiendo en V 50

Fig. 17 Vibraciones libres para Kp=95 Kd= 0,11 excitando en V y midiendo en V 50

Fig. 18 Vibraciones libres para Kp=95 Kd=0,12 excitando en V y midiendo en V 50

Fig. 19 Vibraciones libres para Kp=95 Kd=0,10 excitando en W y midiendo en V 51



Fig. 22 Vibraciones libres para Kp=95 Kd=0,10 excitando en W y midiendo en W 52






Fig. 28 Amplitud de vibración en V vs. Tiempo para la rampa de 10 s y el PID señalado 60

iv



Fig. 31 Amplitud de vibración. en W vs. Tiempo para rampa de 10 s y el PID señalado 61

Fig. 32 Amplitud de vib. en W vs. Tiempo para la rampa de 15 s y el PID señalado 62

Fig. 33 Amplitud de vibración en W vs. Tiempo para rampa de 20 s y el PID señalado 62



Fig. 36 Amplitud de vibración en V vs. Tiempo para rampa de 20 s y el PID señalado 64





Fig. 41 Amplitud de vibración en V vs. Tiempo para rampa de 15s y el PID señalado 66





Fig. 46: Velocidad vs. Tiempo para la rampa de 10 s, Kp = 95, Kd = 0,10 69









v

LISTA DE CUADROS

Pp.

Cuadro 1: Valores de las ganancias Kp y Kd para el controlador PID 48

Cuadro 2: Valores de ωd y ξ para Kp = 95 55



Cuadro 5: Valores de ωn para Kp = 95 57

Cuadro 6: Valores de ωn para K p = 125 57

Cuadro 7: Valores de ωn para K p = 155 57

Cuadro 8: Valores promediados ωn, ωd y ξ para Kp = 95 58



Cuadro 11: comparación entre frecuencias naturales 74

Cuadro 12: Amplitudes de vibración máximas 75

Cuadro 13: Amplitudes de vibración constantes y ángulos de fase 75

Cuadro 14: Amplitudes de vibración constantes y ángulos de fase 76

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo tiene por finalidad proponer un modelo matemático para

un rotor simple soportado por un cojinete magnético. Este modelo surgió de la

realización de pruebas experimentales realizadas en un banco de ensayos instalado

para tal fin en el laboratorio de Dinámica de Máquinas de la Universidad Simón

Bolívar. Paralelamente se analizaron los principales conceptos de Vibraciones

Mecánicas, Rotodinámica y Ecuaciones Diferenciales que permitieron darle sustento

teórico al modelo.

El Capítulo I discute directamente el planteamiento del problema que se

quiere investigar, señalando los objetivos, la justificación de la investigación y sus

limitaciones. Su fundamento va dirigido al uso pragmático que pueda hacerse del

modelo planteado para futuras investigaciones en esta área del saber, así como en las

aplicaciones industriales relacionadas con la medición de vibraciones en equipos

incorporados con dicha tecnología.

El Capítulo II intenta definir con la mayor amplitud posible las bases teóricas

para sustentar el modelo propuesto y su relevancia. Estas bases surgieron de la

revisión de la literatura nacional, e internacional vinculada con el tema.

El Capítulo III define el marco metodológico que sustenta la investigación, el

tipo de estudio realizado, el método de investigación propuesto, las técnicas de

recolección de la data, la descripción del banco de ensayos utilizado, así como el

planteamiento de las hipótesis del estudio.

El Capítulo IV presenta los resultados obtenidos en los experimentos

realizados, y define el modelo matemático que resulta para los casos estudiados

2

(régimen permanente y reposo del rotor), y propone un modelo matemático para la

estimación de las vibraciones del sistema en régimen transitorio.

En el Capítulo V se presentan las conclusiones y recomendaciones obtenidas

de la investigación.

3

CAPITULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En el ejercicio profesional de la Ingeniería, cuando se trabaja con sistemas de

producción, se presentan tres aspectos fundamentales que los ingenieros deben tomar en

cuenta. El primero de ellos es mantener los sistemas, requisito indispensable para

garantizar el buen funcionamiento y la duración estimada para los mismos. El segundo de

ellos es mejorar el desempeño o funcionamiento de dichos sistemas, con miras a

incrementar el valor de la eficiencia, y por ende reducir costos y aumentar la productividad;

y el tercer aspecto es innovar bien sea para resolver nuevos requerimientos que se

presenten u ofrecer soluciones más efectivas para antiguos problemas.

Con miras a mejorar e innovar se han producido notables avances en el diseño y la

fabricación de máquinas rotativas a lo largo de las últimas décadas. En particular, se han

logrado importantes avances en el área de las turbomáquinas, con el fin de mejorar la

eficiencia de las mismas. Sin embargo, tales mejoras en la eficiencia han venido

acompañadas de incrementos en las velocidades de operación, comparadas con las

velocidades alcanzadas por otras máquinas rotativas precedentes. Estos incrementos en las

velocidades de operación han provocado una serie de inconvenientes que no se presentaban

cuando las máquinas operaban a velocidades menores. Dentro de dichos inconvenientes se

puede citar los aumentos de las amplitudes de vibración, así como problemas de

inestabilidad rotodinámica, que han representado nuevos retos para los ingenieros. En

particular, la literatura especializada reporta que las máximas amplitudes de vibración

surgen en las inmediaciones de las velocidades críticas, o velocidades de resonancia, que

pueden tener tanto las estructuras soporte como los rotores de las máquinas. La función de

las estructuras soporte es servir de sustento a las máquinas rotativas, pero como tienen

asociada una frecuencia natural de vibración, introducen efectos rotodinámicos en el

funcionamiento de las mismas.

4

Para resolver el problema de los aumentos en las amplitudes de vibración que

ocurren cundo la velocidad o frecuencia de giro alcanza la velocidad de resonancia, se

pueden operar las máquinas rotativas en un rango de frecuencias por debajo de las críticas

o suficientemente alejado de las mismas. Antiguamente, las máquinas rotativas operaban a

velocidades inferiores a la primera velocidad crítica. Sin embargo, en la actualidad

requisitos de eficiencia imponen que, en la mayoría de los equipos rotativos, las

velocidades de operación sean superiores a la primera frecuencia crítica. Es por ello que se

hace imprescindible establecer la forma óptima de alcanzar la velocidad de régimen para

una máquina específica. Entre el arranque de la máquina y su funcionamiento en ré gimen

permanente transcurre un lapso conocido como régimen transitorio y es de gran

importancia para la caracterización dinámica de las máquinas rotativas puesto que durante

su duración la velocidad de giro de la máquina alcanza una o varias velocidades críticas o

de resonancia, y por ende se registran las mayores amplitudes de vibración.

Las estructuras básicas de soporte usadas en máquinas rotativas son

fundamentalmente de dos tipos: los rodamientos y los cojinetes hidrodinámicos cada uno de

ellos con características bien definidas. Por un lado los rodamientos proveen una

suspensión de tipo rígida, en la cual sucede contacto entre el eje y el rodamiento; mientras

que los cojinetes hidrodinámicos aportan amortiguación al sistema, dado que la suspensión

proviene del perfil de presión que genera una película de lubricante, como consecuencia de

la rotación del rotor de la máquina.

Los avances tecnológicos recientes en el campo de la suspensión de rotores han

proporcionado una alternativa ante los soportes convencionales. Dichos soportes son

conocidos como cojinetes magnéticos y tienen la particularidad de que la suspensión es

realizada a través de una fuerza electromagnética, la cual es ejercida por actuadores

electromagnéticos dispuestos alrededor de un muñón ferromagnético solidario al eje del

rotor. Si bien es cierto que estos cojinetes son más costosos que los convencionales puesto

que requieren suministro de energía eléctrica en los actuadores electromagnéticos,

amplificadores de potencia para comandar dicha corriente, y sensores para detectar la

5

posición del rotor, la cual es usada para controlar la fuerza electromagnética generada,

mediante una estrategia de control, también poseen la peculiaridad de no necesitar

lubricantes, lo cual los hace idóneos en ambientes muy limpios tales como equipos

médicos. Adicionalmente el uso de las estrategias de control activo, que se han desarrollado

en los últimos años, permite mantener las amplitudes de vibración dentro de límites

aceptables. Todas estas ventajas, y otras más, han propiciado una corriente de investigación

en el campo de la suspensión magnética.

Como se señaló anteriormente, el régimen transitorio tiene gran importancia para la

caracterización dinámica de las máquinas rotativas, sin embar go se han realizado muy

pocas investigaciones al respecto. Uno de los primeros estudios de los efectos de la

aceleración en rotores fue realizado por Lewis (1.932). En dicho trabajo se realizó un

modelo teórico el cual fue resuelto a través de un método matemático conocido como

“método de la integral de convolución”. Sin embargo, dado que su modelo requirió muchas

simplificaciones, las ecuaciones propuestas presentan un amplio margen de error cuando

son aplicadas. Por otra parte, este trabajo fue enfocado hacia la amplitud de la respuesta

del sistema, sin establecer relaciones entre el desbalance del rotor y su respuesta.

Posteriormente, Baker (1.939) analizó la aceleración de un rotor usando un modelo

mecánico equivalente en la solución de las ecuaciones, sin embargo las tasas de aceleración

seleccionadas no tenían aplicación práctica, tal como señalan, en un estudio posterior,

Hassenpflug, Flack y Gunter (1.981). En dicho trabajo estos autores establecen que las

amplitudes de vibración se reducen con los incrementos en las tasas de aceleración y

desaceleración, observándose menores amplitudes de vibración en los sistemas con poca

amortiguación, es decir la amplitud de vibración depende principalmente de la aceleración

del sistema y en menor grado de la amortiguación.

Con respecto al estudio de la dinámica en régimen transitorio para máquinas

rotativas soportadas por cojinetes convencionales, Ellyn y Wolansky (1.986) estudiaron la

respuesta transitoria de los soportes de un rotor desbalanceado en régimen de aceleración.

Dichos autores concluyen que las características de los cojinetes influyen

significativamente en la respuesta dinámica del sistema. Adicionalmente, este estudio

6

establece que dicha respuesta depende de la velocidad y la tasa de aceleración,

obteniéndose la máxima amplitud de vibración durante el régimen transitorio. Finalmente,

se reporta que la dinámica del régimen transitorio no puede predecirse con el análisis

clásico que se realiza en rotodinámica. Conclusiones similares obtuvieron Casanova y

Medina (1.998) al reportar que la respuesta transitoria de un rotor flexible depende

simultáneamente de las tasas de aceleración y desaceleración utilizadas, y del tipo de

soporte. También concluyen que mientras mayor es la tasa de aceleración o desaceleración

usada se inducen reducciones en las máximas amplitudes de vibración del rotor.

En el campo de los cojinetes magnéticos, un estudio realizado por Chiba y su grupo

(2.000) señala que un rotor levitado magnéticamente se comporta estable en condiciones

estacionarias, cuando se produce un pequeño incremento en la resistencia eléctrica de

referencia del rotor; sin embargo estos autores señalan que en condiciones transitorias este

incremento en la resistencia no es efectivo por lo que el sistema se vuelve inestable.

Dado que existen pocos trabajos enfocados hacia la formulación de modelos

matemáticos para rotores soportados mediante suspensión magnética, el presente trabajo

concentra su atención en la formulación de modelos matemáticos para un rotor simple

soportado por un cojinete magnético, y controlado mediante una estrategia clásica de

control PID (proporcional, integrativo y derivativo) considerando para ellos tres casos

posibles, el caso de vibraciones libres, el caso en régimen permanente y el caso transitorio.

Objetivos

Objetivo General:

Proponer un modelo matemático discreto para un rotor simple soportado por un cojinete

magnético, basado en modelos clásicos usados para máquinas rotativas soportadas por

cojinetes hidrodinámicos o cojinetes convencionales (rodamientos).

7

Objetivos Específicos:

1.- Obtener configuraciones del controlador PID que permitan la operación del rotor

suspendido magnéticamente, sin que el rotor caiga sobre el rodamiento de respaldo.

2.- Analizar la respuesta libre del sistema (rotor en reposo, pero suspendido

magnéticamente) ante una excitación puntual.

3.- Estudiar el comportamiento del sistema en las adyacencias de las velocidades de

resonancia.

4.- Determinar la relación existente entre la aceleración del sistema y las amplitudes de

vibración ocurridas a las velocidades de resonancia.

5.- Obtener y analizar experimentalmente las amplitudes de vibración del sistema durante el

régimen transitorio (lapso que tarda un equipo rotativo en alcanzar una velocidad de

operación constante partiendo del reposo )

Justificación

Desde el punto de vista académico es una contribución al mundo de la ciencia pues

el trabajo a desarrollar engloba diversas áreas de conocimiento tales como Mecánica

Racional, Vibraciones Mecánicas, Ro todinámica, Ecuaciones Diferenciales ordinarias,

Instrumentación y Control, entre otras.

Desde el punto de vista práctico la suspensión magnética es una tecnología de punta

en lo que se refiere a la suspensión de rotores, y puede ofrecer grandes oportunidades de

mejora en eficiencias y costos de mantenimiento y operación en la suspensión de equipos

rotativos tales como compresores centrífugos, bombas centrífugas, turbinas y otros. Dado

que Venezuela, y en particular Ciudad Guayana, cuenta con un parque industrial de gran

magnitud, la aplicación de esta tecnolo gía tiene un mercado potencial de dimensiones

considerables.

Alcance y Limitaciones

Dado que esta tecnología es reciente, existen muy pocos antecedentes al respecto en

el país. Adicionalmente la mayor parte de las investigaciones realizadas en el campo de la

8

suspensión magnética de rotores se enfocan hacia el diseño de estrategias de control,

obviando el comportamiento dinámico de los mismos, y mucho menos proponiendo

modelos matemáticos para dichos sistemas. Por último se tiene como principal limitante la

disponibilidad del banco de ensayos, pues existe solamente uno en el país, instalado en el

Laboratorio de Dinámica de Máquinas de la Universidad Simón Bolívar.

El alcance del trabajó contempló el desarrollo de un modelo matemático para un rotor

simple soportado por un cojinete magnético, basado en dos grados de libertad, que

coinciden con la posición de los actuadores electromagnéticos del cojinete, con una

velocidad de régimen de 6500 RPM, seleccionando configuraciones del controlador que

permitieron la operación del rotor suspendido magnéticamente, sin que el mismo se

apoyara sobre el rodamiento de respaldo.

9

CAPITULO II

MARCO TEÓRICO

La idea de suspender un eje en un campo magnético no es reciente. En el año

1842 Samuel Earnshaw publicó un trabajo teórico en el cual señala que la levitación

magnética pasiva, es decir sin ningún tipo de control resulta inestable. Hubo que

esperar los avances logrados en el campo de la electrónica durante la primera mitad

del siglo XX para que se despertara nuevamente el interés hacia el estudio de la

suspensión magnética en el área de las máquinas rotativas.

La mayoría de los sistemas de suspensión magnética usados actualmente están

provistos de sistemas de control activo para su funcionamiento. En este tipo de

sistemas se usa un sensor para detectar el movimiento relativo del rotor con respecto

a una posición de referencia previamente establecida. Este sensor emite una señal que

es captada y analizada por un controlador, el cual a su vez la transforma en una señal

de control que posteriormente es transferida a un amplificador de corriente,

dispositivo cuya función es suministrar la corriente necesaria al actuador para que

éste genere la fuerza magnética que permite la suspensión del rotor. (Medina, 2000)

Actualmente existen distintos tipos de estrategias de control, puesto que la

mayor parte de las investigaciones y trabajos publicados hasta la fecha referidos a

cojinetes magnéticos, se concentran en el estudio e implantación de diferentes

sistemas de control. Una amplia gama de estrategias de control han sido propuestas y

evaluadas para la compensación en sistemas de suspensión magnética activa. Tales

estrategias comprenden desde algoritmos de control clásico, por ejemplo PD

(proporcional y derivativo), PDD (proporcional, derivativo, derivativo) y PID

(proporcional, integrativo, derivativo), hasta la propuesta de esquemas de control

modernos como la lógica difusa.

10

Conceptos básicos

A continuación se enuncia una serie de conceptos a los cuales se hace

referencia en el desarrollo del trabajo:

- Amortiguación: Es una fuerza de disipación de energía que es proporcional a la

velocidad. En los modelos mecánicos se supone que la amortiguación es viscosa.

- Corrientes parásitas: Son corrientes que surgen de un campo magnético, y que se

oponen a las corrientes que generan dicho campo magnético. Según la Ley de Lenz,

estas corrientes reaccionan contra el flujo que las crea reduciendo la inducción

magnética, además, ocasionan pérdidas y, por tanto, calor.

- Cuerpo rígido: Es un sistema de partículas en el cual la distancia entre dos puntos

cualesquiera permanece constante.

- Deflexión: Es una deformación sufrida por un eje, en la cual se genera una

curvatura cuando el mismo es soportado por dos apoyos.

- Dinámica: Es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos,

considerando las causas que lo originan.

- Grados de libertad: Los grados de libertad son el número mínimo de velocidades

generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemático de un

mecanismo o sistema mecánico. También puede definirse grado de libertad como el

número de parámetros que deben darse para definir la posición de un cuerpo en

cualquier instante.

- Partícula: Desde el punto de vista físico una partícula es un cuerpo dotado de masa,

y del cual se hace abstracción del tamaño y de la forma, pudiéndose considerar como

un Punto, de acuerdo con el enfoque geométrico.

- Rotodinámica: Es la parte de la mecánica que se encarga de estudiar la dinámica de

las máquinas rotativas.

- Rotor flexible: Es aquél que presenta deformaciones (deflexiones) del eje a su

velocidad de operación.

- Rotor de Jeffcott: Modelo mecánico de rotores usado en Rotodinámica.

11

- Rotor rígido: Un rotor rígido es aquél que no presenta deformaciones significativas

a su velocidad de operación, es decir la distancia entre dos puntos cualesquiera

permanece constante a su velocidad de operación.

- Velocidades de resonancia: La velocidad de resonancia ocurre cuando la velocidad

de giro de un equipo rotativo iguala a la frecuencia natural de las estructuras soporte

de dicho equipo.

Características de un controlador PID

Un sistema de control PID es aquel cuya función de transferencia esta

compuesta por tres términos llamados proporcional, integrativo y derivativo. El

término proporcional es una ganancia pura sin ningún efecto sobre la fase, es decir la

ganancia y la fase son independientes de la frecuencia. En el caso de un cojinete

magnético, el cambio de la corriente está relacionado directamente con el

desplazamiento del rotor, por lo que con este término se establece una analogía

mecánica con un resorte. El término derivativo produce una fuerza proporcional a la

velocidad del rotor, por lo que tiene como equivalente mecánico un amortiguador.

Por último el término integrativo emite una señal proporcional a la integral de la señal

de entrada. Su función es compensar el error estacionario cuando se requiere que la

señal de control sea igual a una señal de referencia. No se le conoce ningún

equivalente mecánico. La suma de estos tres términos permite mantener el rotor en la

posición de referencia previamente definida, minimizando la desviación de cada

posición instantánea con respecto a la posición de referencia. (Alvarez, 2001)

Los modelos en Ingeniería

Los modelos son abstracciones de la realidad con la cual se pretende describir

la misma. De esta manera el hombre ha desarrollado diferentes modelos a lo largo de

la historia. Se tienen modelos económicos, modelos gerenciales, modelos de estado,

modelos de producción, modelos de ingeniería, modelos físicos y modelos

12

matemáticos. Estos tres últimos guardan estrecha relac ión, debido a que en Ingeniería

es práctica común la construcción de modelos de sistemas, luego se construyen

modelos físicos y por último modelos matemáticos.

Los modelos matemáticos se usan con el objeto de poder estudiar los

fenómenos que ocurren en la realidad. El proceso de construcción de modelos

matemáticos comienza a partir de la situación real, la cual puede ser un sistema

termodinámico, un sistema mecánico, una red de tuberías, un sistema de generación

de electricidad, entre otros. Posteriormente se construye un modelo físico en el cual

los elementos que componen el sistema son simplificados. En mecánica clásica o

mecánica newtoniana, los cuerpos son modelados como partículas o como cuerpos

rígidos. Una partícula es un cuerpo dotado de masa, considerado como un punto

desde el enfoque geométrico. De esta manera para el estudio de los movimientos de

rotación y traslación del planeta, los físicos consideran a la tierra como una partícula.

Luego de construido el modelo físico se necesita la elaboració n de modelos

matemáticos. Un modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un

conjunto de ellas con base en las cuales se puede conocer el comportamiento del

sistema. Es necesario señalar que en esa transición de un modelo físico a un modelo

matemático se imponen condiciones que permitan la simplificación del mismo, y por

ende faciliten su estudio.

En el caso de la Ingeniería mecánica se han desarrollado diferentes modelos

para tratar de dar explicación a problemas prácticos. La literatura especializada cita

que Fourier desarrolló la Transformada que lleva su nombre para dar respuesta al

problema de transferencia de calor de una placa plana. El modelo matemático que

describe la transferencia de calor es una ecuación diferencial en derivadas parciales,

la cual puede ser resuelta en forma analítica mediante ciertas consideraciones y

simplificaciones. Estas simplificaciones del modelo ocasionan que la solución

analítica de la ecuación diferencial tenga muy pocas aplicaciones prácticas. Para

solventar dicha situación los especialistas de transferencia de calor han desarrollado

13

métodos numéricos, conocidos como métodos energéticos para resolver problemas en

los cuales la ecuación analítica no es aplicable.

Otro modelo matemático aplicado ampliamente en ingeniería mecánica son las

ecuaciones de Navier Stokes, las cuales se usan para estudiar y analizar el flujo a

través de una tubería. Este modelo también usa ecuaciones diferenciales en derivadas

parciales. Por último se tienen los modelos matemáticos para sistemas dinámicos y

rotodinámicos. Los sistemas rotodinámicos son de gran importancia y aplicación en

plantas industriales pues comprenden equipos rotativos como bombas, compresores,

agitadores, turbinas, ventiladores, entre otros.

Simulación dinámica de máquinas rotativas

Los sistemas mecánicos conocidos como máquinas o equipos rotativos

presentan un comportamiento dinámico que solamente se puede analizar mediante la

formulación de modelos matemáticos capaces de manejar, en forma simultánea,

múltiples grados de libertad. Dentro del campo de la dinámica se han presentado dos

tendencias claramente diferentes: la formulación de modelos basándose en la

hipótesis del medio continuo, o la formulación de modelos discretos. (Oliveras, 1995)

Un modelo continuo es aquél que considera un sistema real como un medio

conformado por un número infinito de partículas interrelacionadas entre sí, y por ende

con múltiples grados de libertad. Los modelos descritos mediante esta metodología

generalmente son muy complejos y difíciles de manejar, razones por las cuales han

sido descartados de los análisis en Rotodinámica.

Un modelo discreto es aquél que considera que un sistema real está compuesto

por un número finito de elementos básicos tales como masas, inercias, elementos

elásticos o acumuladores de energía y mecanismos de disipación de energía, con lo

cual se reducen notablemente los grados de libertad de los sistemas, y por ende se

14

m

L

k

hace más fácil su manejo. Esta metodología es la que predomina en el estudio de los

sistemas dinámicos y rotodinámicos.

El modelo discreto más simple que se usa en el análisis de vibraciones está

compuesto por una masa rígida instalada sobre un resorte lineal (de masa

despreciable), con un solo grado de libertad. Se pueden analizar dos casos. El primero

es el caso de sistemas horizontales, y el segundo de sistemas verticales, es decir los

que actúan bajo la fuerza de gravedad. La Segunda Ley de Newton establece:

F = m a (1)

Donde

F: sumatoria de fuerzas que actúan sobre el cuerpo (fuerza resultante)

m: masa del sistema

a: aceleración sufrida por el sistema

Se muestra un diagrama (figura 1) para ilustrar la situación, donde se supondrá que el

cuerpo está solidario (fijo) al resorte, que éste último está solidario a una pared, y

fricción nula entre el cuerpo y el plano de movimiento. Dada la suposición de que el

resorte es lineal, entonces obedece la ley de Hooke, la cual establece:

F = - k x (2)

Donde:

Fr: fuerza recuperadora

K: constante del resorte

x: elongación del resorte

Fig. 1: Modelo masa resorte con un grado de libertad

15

Ahora supóngase que se aplica una fuerza externa Fe hacia la derecha para

sacar al sistema del equilibrio inicial (resorte en su elongación natural “L”) y

desplazarlo una distancia “x”, la fuerza recuperadora del resorte se opone a esta

fuerza por tanto se tiene que el modelo matemático para el sistema es:

F – Fr = m a (3)

Pero como la aceleración es la segunda derivada de la distancia con respecto al

tiempo, y F – Fr = F la ecuación se transforma en:

2

2

dtxd

mF ⋅= (4)

De tal manera que una situación tan sencilla como la descrita anteriormente es

modelada mediante una ecuación diferencial de segundo orden.

El caso de sistemas masa resorte bajo el efecto de la gravedad produce una

ecuación diferencial análo ga, la única diferencia radica en que debe considerare el

efecto de la fuerza gravitatoria en la sumatoria de fuerzas resultantes. En ambos casos

la primera frecuencia crítica de estos sistemas es aproximada por la relación:

mk

=nω (5)

Donde k es la constante de rigidez equivalente y m la masa equivalente. El parámetro

calculado corresponde a la frecuencia natural del sistema. En el caso de rotores

rígidos, comparados con sus estructuras soporte, la masa equivalente es la masa del

rotor, es decir los soportes se consideran de masa despreciable, mientras que la

rigidez está dada por la rigidez de los resortes considerados en paralelo. Para los

casos de rotores flexibles se considera la rigidez equivalente o efectiva como la

deflexión del eje.

16

De la ecuación anterior se puede ver que si la rigidez aumenta, la frecuencia

natural también aumentará, y si la masa aumenta, la frecuencia natural disminuye.

Ahora bien el modelo masa – resorte descrito anteriormente tiene muchas

limitaciones en el ámbito de la Rotodinámica, por ello se han realizado

modificaciones ha dicho modelo. Una de ellas consiste en agregar resortes de dos

grados de libertad y permitir vibraciones en dos direcciones a la vez. Otra

modificación consiste en la adición de elementos de disipación de energía conocidos

como amortiguadores, permitiendo vibraciones en dos o más direcciones

simultáneamente. Al reunir estos tres elementos se obtiene un sistema masa – resorte

– amortiguador, uno de los modelos más usados en el análisis de vibraciones

mecánicas y en Rotodinámica. La figura 2 muestra un esquema de este modelo:

Fig. 2: Esquema de un sistema masa resorte amortiguador

Al aceptar que el elemento de disipación de energía es un amortiguador

viscoso, la fuerza de disipación es proporcional a la velocidad, la cual es la derivada

de la distancia con respecto al tiempo. Dicha fuerza está dada por la expresión:

dtdx

cFd = (6)

La ecuación diferencial que rige el movimiento de estos sistemas es la siguiente:

)(2

2

tFkxdtdxc

dtxdm =++ (7)

17

Si se define:

xdt

xd &&=2

2

, xdtdx &= como se hace en el argot de la Mecánica, la ecuación (7) se escribe

de la forma:

)(tFkxxcxm =++ &&& (8)

Donde c corresponde a la constante de amortiguación viscosa equivalente. Es

importante señalar que en estos modelos m, c y k son constantes equivalentes, lo cual

quiere decir que no es necesaria la existencia de estos elementos en físico. La masa

equivalente puede representar una inercia, puede ser la masa de un motor. La

constante c puede corresponder a un medio de disipación de energía distinto a un

amortiguador. Inclusive esta ecuación planteada para un solo eje puede ser

generalizada en forma matricial (Oliveras, 1995).

La primera frecuencia natural amortiguada de estos sistemas se denomina ωd y está

dada por la expresión:

21 ξω −=d (9)

Donde es ξ el factor de amortiguación adimensional, definido por la expresión:

km

c

2=ξ (10)

Aplicando las definiciones de nω y ξ es conveniente escribir la ecuación (8) en forma

adimensional, pues experimentalmente es muy difícil obtener los valores de las

constantes m, c y k. Realizando manipulaciones algebraicas se divide la ecuación (8)

entre m, y se obtiene lo siguiente:

mtF

xmk

xmc

x)(

=++ &&& (11)

18

Al multiplicar y dividir el término de amortiguación (término de primer orden) por

k2 , la ecuación (11) equivale a:

mtF

xmk

xkmm

kcx

)(

2

2=++ &&& (12)

Aplicando las definiciones (5) y (10) entonces la ecuación (12) se convierte en:

mtF

xxx nn)(

2 2 =++ ωξω &&& (13)

De la teoría de Vibraciones Mecánicas (Campbell. S. y Haberman, R.; 1998) se tiene

que si la fuerza externa que genera el movimiento es periódica entonces la respuesta

es de la misma forma. Bajo esta premisa, la ecuación anterior se convierte en:

tFoxxx nn ωωξω cos2 2 =++ &&& (14)

Donde ω es la frecuencia de la fuerza externa que provoca el movimiento, por

ejemplo la velocidad de giro de un motor que está instalado sobre una estructura

soporte.

La ecuación (14) puede ser considerada como la ecuación fundamental de las

vibraciones mecánicas para máquinas rotativas.

La suspensión de las máquinas rotativas

Las máquinas rotativas son de diversa índole, forma y funcionamiento, pero

tienen en común el hecho de poseer un eje rotativo colocado entre dos soportes o

cojinetes, los cuales pueden ser de distintos tipos, pero permiten a un eje girar

libremente y soportar carga simultáneamente. En función de la máquina y la

19

aplicación, los cojinetes tienen formas y diseños muy variados. Los más utilizados

son, básicamente, los rodamientos y los cojinetes hidrodinámicos.

Los rodamientos son elementos mecánicos que reducen la fricción entre un eje

y las piezas conectadas a éste, sirviéndole de apoyo y facilitando su desplazamiento

en una pista. Es importante resaltar que la carga principal se transmite a través de

elementos que están en contacto rodante y no deslizante. Los rodamientos aportan un

tipo de suspensión rígida, y requieren la adición de grasa y lubricantes para garantizar

su confiabilidad y durabilidad. (Medina, ob. cit)

Los cojinetes hidrodinámicos presentan la particularidad de que, en

funcionamiento normal, evitan el contacto entre las superficies sólidas en movimiento

relativo interponiendo una capa de fluido entre ellas sin necesidad de equipos o

bombas auxiliares. Así, en teoría, tienen una vida útil infinita. Por otro lado presentan

dos cualidades igualmente importantes, una es que la capacidad de soportar carga la

logran produciendo una resistencia pequeña al movimiento relativo de las superficies

y la otra es que tienen la capacidad de amortiguar cargas dinámicas en una amplia

gama de condiciones. Adicionalmente a esto los cojinetes hidrodinámicos aportan

amortiguación al sistema, dado que la suspensión proviene del perfil de presión

generado por la capa de lubricante como consecuencia de la rotación del muñón del

rotor.

Los cojinetes magnéticos

Los avances tecnológicos recientes han aportado nuevos tipos de soporte,

conocidos como cojinetes magnéticos, en los cuales la suspensión es realizada por

una fuerza electromagnética, la cual es ejercida por actuadores electromagnéticos

dispuestos alrededor de un muñón ferromagnético solidario al eje del rotor. Estos

cojinetes son más costosos que los convencionales debido a la instrumentación y

20

componentes que requieren pero tienen diversas ventajas sobre los sistemas

convencionales. Cuesta, Rastelli y Díaz (2004) señalan algunas de dichas ventajas:

- Eliminación de la fricción producida por el contacto entre las partes rotativas y

partes elásticas, lo que contribuye a la reducción de costos de mantenimiento.

- La opción de implementar un control activo de vibraciones, lo que puede disminuir

enormemente las vibraciones no deseadas en el sistema.

- Reducción de pérdidas de energía por disipación al no existir fricción.

- La ausencia de agentes lubricantes, y por ende la necesidad de se llos, por lo cual,

este tipo de suspensión es ideal para aplicaciones con sustancias corrosivas,

aplicaciones donde la limpieza es importante como equipos médicos.

- Son capaces de posicionar un eje que gira a velocidades extremadamente altas

(hasta 100.000 RPM) en micras de movimiento y compensar las vibraciones

mecánicas inherentes en los equipos dinámicos.

Sin embargo, existen muchas limitaciones que pueden impedir su aplicación.

Entre estas se tienen:

- El espacio ocupado por los sistemas de suspensión magnética es mucho mayor al

utilizado por los sistemas convencionales.

- Los cojinetes magnéticos poseen serias limitaciones en su capacidad de carga.

- El uso de sistemas de instrumentación electrónicos necesarios para el control del

sistema encarece el costo inicial del cojinete magnético frente a sistemas

convencionales.

- El cojinete magnético requiere de un flujo constante de energía eléctrica para

mantener la suspensión.

Esta última desventaja es quizás la más importante, motivado a la geometría

propia de los cojinetes magnéticos. Estos sistemas constan de un estator fijo, donde se

encuentran los actuadotes electromagnéticos, y de un rotor, ambos elaborados con

material ferromagnético. Para obtener la mayor eficiencia en la sustentación, y a

efectos de evitar fenómenos de corrientes parásitas, tanto la superficie del rotor como

21

la de los actuadores electromagnéticos son laminadas. Por esa razón, todo posible

contacto entre el rotor y el estator debe ser evitado, para así prevenir posibles daños

en los acabados superficiales de los componentes.

En el caso de una pérdida repentina de la alimentación eléctrica, los cojinetes

magnéticos quedan impedidos de ejercer algún tipo de efecto sobre el rotor. Por esta

razón, y para suprimir posibilidad alguna de contacto entre las partes, son utilizados

rodamientos de respaldo, es decir, elementos de suspensión tradicionales. Estos

rodamientos de respaldo son diseñados para que presenten una holgura con el eje,

para evitar la interferencia con el rotor que se encuentra suspendido magnéticamente

en el régimen normal de operación. Sin embargo, esta holgura es menor a la holgura

existente entre los actuadotes electromagnéticos y el muñón. Esta holgura menor

garantiza que no exista contacto alguno entre el eje del rotor y los cojinetes

magnéticos.

Componentes de un cojinete magnético

En algunos aspectos, el sistema básico de un cojinete magnético radial es

similar al de un motor eléctrico. Un cojinete magnético radial está conformado

fundamentalmente por tres partes: (Alvarez. Ob. cit.)

- Actuadores: Los cuales consisten en un núcleo de material considerado como

ferromagnético sobre el cual se enrolla un conductor eléctrico con un número de

espiras determinado. El actuador genera la fuerza magnética que provee la levitación.

El campo magnético es inducido por la corriente que circula a través de las espiras

del arrollado cuando se aplica una diferencia de potencial entre los extremos de éste.

Un material ferromagnético es aquel que tiene la propiedad de orientar sus moléculas

en la dirección del campo magnético actuante. Tienen valores altos de permeabilidad

magnética. Dentro de este grupo de materiales se encuentran el hierro, níquel acero,

cobre, cobalto entre otros.

22

- Sensores: Cuya función es detectar la posición del rotor, la cual es usada para

controlar la fuerza magnética generada.

- Controlador y algoritmos de control.

Los actuadores electromagnéticos están orientados alrededor de un muñón

ferromagnético. El muñón ferromagnético consiste en un disco de material

ferromagnético solidario al eje. Entre este elemento y los actuadores se produce la

fuerza magnética que realiza la suspensión. Entre ambos elementos existe un espacio

comúnmente llamado holgura o entrehierro. En virtud de que un cojinete radial

restringe el movimiento en los ejes horizontal y vertical, debe disponerse de dos pares

de actuadores, de tal manera que cada par actuando en forma conjunta genere la

fuerza requerida en cada eje para regular la posición del rotor. Adicionalmente el

sistema debe incluir una etapa amplificadora de corriente que aporte la energía

requerida por los actuadores, y que además permita el cambio súbito de la corriente

suministrada según establezca el sistema de control empleado.

A diferencia de un motor eléctrico, en el cual se genera un par motor, los

cojinetes magnéticos radiales generan una fuerza magnética para hacer levitar un eje.

Un estator radial típico consiste en un núcleo de hierro laminado con bobinas de

cobre, creando una serie de polos norte y sur alrededor del eje. Cuando se imanan

(activan) las bobinas se transforman en electroimanes que producen una fuerza

magnética que actúa sobre un eje ferromagnético (laminado o macizo). El intersticio

de aire radial entre el estator y el eje suele ser de 0,5 mm a 2 mm. A diferencia de los

cojinetes radiales descritos anteriormente, un cojinete axial magnético tiene un disco

ferromagnético sólido fijado al eje, con un electroimán en uno o ambos lados.

Una tercera disposición es el cojinete magnético cónico. Éste combina las

características de un cojinete radial y un cojinete axial. Los cojinetes cónicos

controlan satisfactoriamente tanto el movimiento radial como el axial en máquinas

23

que cuentan sólo con una carga axial modesta. Al eliminar la necesidad de cojinetes

axiales individuales, se puede reducir la longitud global de la máquina.

Las señales de los sensores pasan al controlador que mide las posiciones del

eje y regula la corriente enviada a los actuadores del cojinete mediante avanzados

algoritmos de control. La figura 3 muestra el principio básico de funcionamiento de

un cojinete magnético.

Fig. 3: Principio básico de un cojinete magnético.

Vibraciones mecánicas

El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de las

vibraciones, es una rama de la mecánica que estudia los movimientos oscilatorios de

los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella. Las vibraciones mecánicas

pueden ser deseadas o no. En el caso de las primeras son consecuencia de

requerimientos de procesos industriales. Las vibraciones no deseadas pueden surgir

como consecuencia de desbalanceo de ejes, diseño inadecuado de estructuras soporte,

vibraciones producidas por motores, falta de alineación, excentricidades de ejes,

defectos en rodamientos o elementos de soporte, entre otras. El estudio de vibraciones

24

mecánicas es importante porque constituye uno de los principales problemas que

afectan a las máquinas rotativas. En lo que respecta al Mantenimiento Industrial el

interés radica en la detección y prevención de posibles fallas a corto y mediano plazo.

Una vibración mecánica se puede definir como el movimiento de vaivén de las

moléculas de u cuerpo o sistema debido a que posee características energéticas

cinéticas y potenciales. Los principales tipos de vibraciones mecánicas son: Vibración

libre, en la cual un sistema vibra debido a una excitación instantánea, y las

Vibraciones forzadas en las cuales un sistema vibra debida a una excitación

constante.

Vibraciones libres con amortiguación viscosa

Una vibración libre es aquella mediante la cual un sistema sufre una

excitación que lo saca de su estado de reposo, pero al ser transitoria, el sistema vuelve

al reposo (Thompson, 1982). Cuando se produce una excitación, sobre un sistema

lineal con un grado de libertad, su respuesta dependerá del tipo de excitación y del

grado de amortiguamiento que presente. La ecuación de movimiento de estos

sistemas (14) fue desarrollada con antelación:


Donde tFotF ωcos)( = es la excitación producida, la cual es función del tiempo, y

ω es la frecuencia de la fuerza externa, la cual puede ser, por ejemplo la velocidad de

giro de un motor que está instalado sobre una estructura soporte.

La solución de esta ecuación diferencial tiene dos partes. Para F (t) = 0 se

tiene una ecuación homogénea, cuya solución corresponde físicamente la vibración

libre amortiguada. Para F (t) ≠ 0 se tiene la solución particular de esa ecuación

diferencial, correspondiente al tipo de excitación producida. Si la excitación es

periódica, entonces la respuesta del sistema también lo es. La solución homogénea de

25

la ecuación diferencial permite apreciar el comportamiento de la amortiguación

dinámica del sistema, de allí su importancia. Existen tres casos posibles para la

respuesta del sistema. El primero es el caso subamortiguado, en el cual ξ < 1, el

sistema presenta oscilaciones cuyas amplitudes decrecen hasta que el sistema vuelve

al equilibrio; en este caso la frecuencia de resonancia del sistema decrece a medida

que se incrementa la amortiguación del mismo. La figura 4 ilustra el comportamiento

de los sistemas de este tipo ante una excitación arbitraria.

Fig. 4: Respuesta de un sistema subamortiguado

La solución matemática de la ecuación homogénea asociada a la ecuación (8) es de la

forma:

)cos()( 21 tsenctcetx t ββα += − (15)

Donde: c1 y c2 son constantes, t es el tiempo,

mc

2=α (16)

2

2

4mc

mk

−=β (17)

Usando la identidad del coseno de la resta: senysenxyxyx ⋅+⋅=− coscos)cos( se

tiene que (10) es equivalente a:

)cos(cos)( φβφβα tsensentAetx t += − (18)

26

Lo cual es válido siempre que se definan φcos1 Ac = (19)

φAsenc =2

Lo cual no es más que usar coordenadas polares para definir al punto de coordenadas

c1 y c2. Ahora aplicando el teorema de Pitágoras:

22

21 ccA += (20)

Por trigonometría

= −

1

21tancc

φ (21).

Si c1 < o se suma π a este resultado.

Con estas transformaciones (15) se convierte en:

)cos()( φβα −= − tAetx t (22),

la cual es conocida en el argot de las vibraciones mecánicas como forma “amplitud

fase” pues A corresponde a la amplitud de vibración y φ es el ángulo de fase, el cual

mide el adelantamiento o retraso que hay entre dos señales. La forma amplitud-fase

es muy práctica en el análisis experimental de las vibraciones, pues mediante el uso

de instrumentos como osciloscopios, analizadores de espectro o programas

computacionales es posible ver la fase existente entre las dos señales y la amplitud de

vibración (A) puede determinarse de forma sencilla mediante un procedimiento

matemático.

Ahora se realizan manipulaciones algebraicas para transformar a y β en

expresiones que tengan significados diferentes desde el punto de vista de

Vibraciones. La ecuación (15) es multiplicada y dividida por k de tal manera que se

transforma en:

mkck

2=α Pero 2)( kmmk = por tanto

( ) kmkmck

km

ck22

2 ==α

27

Usando la definición de coeficiente de amortiguación adimensional kmc

2=ξ se

obtiene mk

km

kξ

ξα =

⋅= pero

mk

es la frecuencia natural de un sistema no

amortiguado, definido anteriormente. Por tanto nξωα = (23).

Realizando manipulaciones similares con se tiene:

222222

2

4 nnnmc

mk ωξωαωβ −=−=−= ,

sacando factor común 2nω equivale a:

21 ξω −n , expresión que define la frecuencia natural de un sistema con

amortiguación.

Aplicando las expresiones resultantes de las transformaciones sufridas por α y β la

ecuación (22) se convierte en:

)cos()( φωξω −= − tAetx dtn (24)

La cual describe la respuesta de un sistema amortiguado ante vibraciones libres

El segundo caso corresponde al movimiento sobre-amortiguado, el cual ocurre

cuando ξ > 1, el sistema no oscila y el movimiento es descrito por una función

exponencial decreciente no periódica. La figura 5 muestra la respuesta transitoria ante

una excitación arbitraria de estos sistemas.

28

Fig. 5: Respuesta de un sistema sobreamortiguado

Finalmente el último caso corresponde a un movimiento críticamente

amortiguado con un valor de ξ = 1, en el cual se llega al límite de movimiento no

oscilatorio. La figura 6 muestra este caso.

Fig. 6: Sistema críticamente amortiguado

El coeficiente de amortiguación adimensional ξ , y la frecuencia natural del

sistema amortiguado ωd pueden obtenerse experimentalmente a través de análisis de

las gráficas de respuesta temporal del sistema. Para calcular la frecuencia se

determina el período de oscilación del sistema Td. El período de oscilación se define

29

como el tiempo en el cual el sistema tarda en alcanzar dos crestas. La frecuencia

natural medida en Hertz se puede calcular mediante la relación:

dd T

1=ω (25)

Con Td medido en segundos.

Para calcular el coeficiente de amortiguación ξ adimensional se emplea una

técnica conocida como decremento logarítmico, el cual consiste en tomar el logaritmo

natural del cociente de dos amplitudes de vibración cualesquiera, las cuales pueden

ser sucesivas o no. El procedimiento aplicado es de la siguiente manera:

Se usa (19) para obtener la amplitud de vibración para un instante t1:

)cos( 111 φωξω −= − tAex d

tn (26)

Por otra parte transcurridos “n” períodos después de esta primera amplitud de

vibración se tiene otra amplitud de vibración, la cual es menor que la primera:

)cos( φωξω −= −nd

tn tAex nn (27)

Pero tn = t1 + nTd

Por tanto ))(cos( 1)( 1 φωξω −+= +−

ddnTt

n nTtAex dn (28)

Dividiendo 28 entre 26 se obtiene:

))(cos())(cos(

1)(

1)(

11

1

φωφω

ξω

ξω

−+−+= +−

+−

ddnTt

ddnTt

n

nTtAenTtAe

xx

dn

dn

(29)

Pero como el coseno es una función periódica su comportamiento n períodos

después es el mismo que en el instante t1, por lo que los cosenos se simplifican, A por

ser un aconstante se simplifica, y la expresión se convierte en:

30

)()(

1

11 dndn nTtnTtn eexx ξωξω −−+− == (30)

Sustituyendo (25) y (9) en (30 ) se obtiene :

−−

−

==21

22

1

ξω

πξω

ωπ

ξωn

n

dn

nn

n eexx

Realizando las simplificaciones de rigor y aplicando logaritmo natural en ambos

términos se obtiene:

21 1

2

ξ

πξ

−

−=

nxx

Ln n

Definiendo δ=

1xx

Ln n quedaría 21

2

ξ

πξδ

−

−=

n

Ahora se procede a despejar ξ :

22)2( δπ

δξ

+=

n (31)

En la práctica se toman dos amplitudes sucesivas de vibración por lo que n=1 y la

ecuación se convierte en:

22)2( δπ

δξ

+= (32)

Vibraciones forzadas con amortiguación viscosa

Una vibración forzada es aquella en la cual el sistema recibe un fuerza externa

o de forzamiento constante, como por ejemplo el desbalanceo de un rotor. De aquí se

pueden desprender dos casos. El régimen transitorio, el cual se define como el tiempo

que tarda el sistema en ir desde el reposo hasta su velocidad de operación, y el

31

régimen permanente, en el cual el sistema gira a velocidad constante. La figura 7

muestra la respuesta en vibraciones forzadas con amortiguación viscosa en régimen

transitorio, mientras que la figura 8 muestra el comportamiento en régimen transitorio

de un sistema sin amortiguación. El régimen transitorio también es conocido como

régimen de aceleración.

Fig. 7: Respuesta de un sistema con excitación periódica en régimen permanente

Fig. 8: Régimen transitorio para un sistema sin amortiguación

Tiempo

32

La ecuación diferencial que rige el movimiento de estos sistemas es la (14 )

pero su respuesta es diferente. En el caso transitorio no existe una solución teórica a

la ecuación diferencial, mientras que en régimen permanente la respuesta depende

fundamentalmente de la función de forzamiento o fuerza externa presente. Partiendo

de (14):


Se supone que la respuesta o solución particular de la ecuación diferencial es de la

forma:

tsenctctx ωω 21 cos)( +=

Se calculan la primera y segunda derivada respectivamente:

)cos(cos)( 1221 tsenctctctsenctx ωωωωωωω −=+−=&

)cos(cos)( 2122

22

1 tsenctctsenctctx ωωωωωωω +−=−−=&&

Sustituyendo en (14) se obtiene:

tFtsenctctsenctctsenctc

o

nn

ωωωωωωξωωωω

cos)cos()cos(2)cos( 21

21221

2

=++−++−

Luego se reducen términos semejantes y se igualan en ambos miembros de la

ecuación:

0)2( 221

22 =+−− nn ccctsen ωωξωωω (33)

tFccct onn ωωωξωωω cos)2(cos 12

212 =++− (34)

De (33) se despeja la constante c2

)(2

221

2 ωωωξω

−=

n

ncc (35)

33

Se sustituye (35) en (34), con lo cual:

onn

nn Fccc =+−

+− 211221

2

)()2(2

ωωωωξωωξω

ω

Se procede a despejar la constante c1 y se obtiene:

−+

−=

222222

22

1 )(4)(

ωωωξωωω

nn

noFc (36)

Se sustituye (36) en (35) para expresar c2 en función de Fo

−+−

−=

222222

22

222 )(4)(

)(2

ωωωξωωω

ωωωξω

nn

no

n

n Fc

De tal manera que:

onn

n Fc

−+

=2222222 )(4

2ωωωξω

ωξω (37)

Para expresar la respuesta en la forma )cos( φω −tA (amplitud – fase) como es usual

en Vibraciones Mecánicas se define la amplitud de vibración “A” como en (20) y el

ángulo de fase φ como en (21), se obtiene:

222222 )(4 ωωωξω −+=

nn

oFA (38)

)(2

tan 22 ωωωξω

φ−

=n

n (39)

Donde: Fo es la fuerza externa o función de forzamiento, ω es la velocidad angular a

la cual se hace el forzamiento (velocidad de giro del sistema) y φ el ángulo de fase. Es

notorio resaltar que a medida que el coeficiente ξ es mayor la amplitud de la

respuesta es menor.

34

El fenómeno de resonancia

La resonancia es un estado de operación en el que una frecuencia de

excitación iguala una frecuencia natural de la estructura de una máquina. (Thompson,

ob. cit) A medida que la velocidad de giro de una máquina rotativa se acerca a una

frecuencia natural, se tienen amplitudes de vibración mayores. Una frecuencia natural

es la frecuencia propia de un cuerpo o sistema al poseer elementos elásticos e

inerciales. Es la frecuencia resultante de la vibración libre. Una estructura típica

tendrá muchas frecuencias naturales. Cuando ocurre la resonancia, los niveles de

vibración que resultan pueden ser muy altos y pueden causar daños muy rápidamente.

En una máquina que produce un espectro ancho de energía de vibración, la

resonancia se podrá ver en el espectro, como un pico constante aunque varié la

velocidad de la máquina. El pico puede ser agudo o puede ser ancho, dependiendo de

la cantidad de amortiguación que tenga la estructura en la frecuencia en cuestión.

La figura 9 muestra una curva de respuesta idealizada de resonancia mecánica.

Debe resaltarse que la máxima amplitud de vibración ocurre cuando la velocidad de

giro es igual a la frecuencia natural o frecuencia de resonancia.

Fig. 9: Amplitud de vibración y ángulo de fase en la frecuencia de resonancia

35

El ángulo de fase entre la vibración de la fuente de excitación y la respuesta de

la estructura siempre es de 90 grados a la frecuencia natural.

En el caso de rotores largos, como en turbinas, las frecuencias naturales se

llaman "frecuencias críticas" o "velocidades críticas" y se debe cuidar que estas

máquinas no operen a velocidades donde 1x o 2x corresponde a esas frecuencias

críticas.

Medición de Vibraciones

La medición de las Vibraciones se puede definir como el estudio de las

oscilaciones mecánicas de un sistema dinámico. (Pernia, 2005). Las mediciones de

vibración deben ser hechas con la finalidad de producir los datos necesarios, para

realizar significativas conclusiones del sistema bajo prueba. Estos datos pueden ser

usados para minimizar o eliminar la vibración, y por tanto eliminar el ruido

resultante. En algunas aplicaciones, el ruido no es el parámetro a controlar, sino la

calidad del producto obtenido por el sistema.

Un sistema típico de medición y procesamiento de señales de vibración por

computadora, está formado por:

a. Los transductores de vibraciones (Acelerómetros, vibrómetros, y sensores de

proximidad) los cuales son los encargados de transformar las vibraciones en señales

eléctricas.

b. Un sistema de acondicionamiento de señal, el cual se encarga de recoger las

diferentes señales, amplificarlas y llevarlas a los niveles de tensión aceptados por el

sistema de adquisición de datos.

c. La tarjeta de adquisición de datos, la cual se encarga de digitalizar la señal,

realizando para ello, un muestreo discreto de la señal analógica proveniente del

acondicionamiento de señal, y de introducirla a la computadora donde se realizan

36

diferentes tipos de procesamiento para obtener toda la información que se requiere

para el análisis y monitoreo de las vibraciones de las máquinas.

Los acelerómetros son dispositivos usados para medir aceleración de un

sistema. Luego a través de factores de conversión esa aceleración es convertida en

desplazamiento. Los vibrómetros son instrumentos que miden amplitudes de

vibración, mientras que los sensores de proximidad miden la posición de un elemento

y la comparan con una posición de referencia.

Los dos primeros dispositivos deben instalarse directamente sobre el sistema,

por lo que se descartan en las mediciones sobre ejes de equipos rotativos. Para éstos

se usan sensores de proximidad los cuales se instalan en una posición fija y

determinan la distancia existente entre un eje y dicha posición fija o referencial. El

cambio en la posición de un eje provee una indicación directa de la vibración.

Para todos los instrumentos descritos, la medición tomada (bien sea

aceleración, amplitud de vibración o posición del eje) es convertida en señales

electromagnéticas que pueden ser visualizadas mediante osciloscopios, analizadores

de espectro o sistema computacionales.

37

CAPÍTULO III

MARCO METODOLÓGICO

La investigación se centró en un enfoque bidimensional. La primera

dimensión consistió en la revisión bibliográfica de las teorías de control, vibraciones,

dinámicas de máquinas, Rotodinámica, Ecuaciones Diferenciales, y sus aplicaciones

a la suspensión de rotores. Adicionalmente se revisaron artículos publicados sobre

suspensión magnética, tesis de grado, memorias de Jornadas de Ingeniería,

ASOVAC, entre otras fuentes. La segunda dimensión consistió en una serie de

pruebas experimentales realizadas en un banco de ensayos constituido por un “Rotor

Kit”, controlado a través de un algoritmo clásico de control PID (proporcional,

integrativo y derivativo) instalado sobre una fundación de concreto.

Tipo de investigación

De acuerdo a los objetivos planteados y las hipótesis formuladas la

investigación es de tipo experimental pues se manipulan intencionalmente una o más

variables independientes para analizar sus consecuencias sobre una variable

dependiente (Hernández Sampieri, 2004, p.188).

Por otro lado la investigación es de tipo documental, de conformidad con El

Manual de Trabajos de Grado de Especialización y Maestría y Tesis Doctorales de la

Universidad Pedagógica Experimental Libertador, el cual define a la investigación

Documental como “el estudio de problemas con el propósito de ampliar y

profundizar el conocimiento de su naturaleza, con apoyo, principalmente, en trabajos

previos, información y datos divulgados por medios impresos, audiovisuales o

electrónicos”, (p.15).

38

Técnicas e Instrumentos de Recolección de Información

En la investigación se utilizaron las siguientes técnicas e instrumentos:

Fuentes Primarias, “ Estos datos, obtenidos directamente de la experiencia empírica,

son llamados primarios, denominación que alude al hecho de que son datos de

primera mano, originales, producto de la investigación en curso sin intermediación

de ninguna naturaleza” (Sabino, 2002. p.64).

Fuentes Secundarias, las fuentes secundarias son aquellas en las cuales “los datos a

emplear han sido ya recolectados en otras investigaciones y son conocidos mediante

los informes correspondientes nos referimos a datos secundarios, porque han sido

obtenidos por otros y nos llegan elaborados y procesados de acuerdo con los fines de

quienes inicialmente los obtuvieron y manipularon” (Sabino ,2002 p.64).

Hipótesis del estudio

La hipótesis de la investigación, según Balestrini (2002) “la hipótesis de

investigación denominada también generales o fundamentales, son proposiciones

planteadas en forma amplia y abstracta, que expresan de manera tentativa los

factores causantes del problema en estudio” (p.120).

Las hipótesis medias, “se constituyen en proposiciones que se derivan de las

hipótesis de investigación. Estas hipótesis se sitúan en un nivel intermedio entre las

hipótesis generales o de investigación y las hipótesis operacionales” (ob.cit. p.120).

Las hipótesis operacionales, se “derivan de las hipótesis de investigación o

generales, son proposiciones relacionadas de manera sistemática, que permiten

poner a prueba a las primeras” (ob. cit p.121). A continuación se formulan las

hipótesis del estudio.

39

Hipótesis de investigación

- Los rotores suspendidos magnéticamente pueden ser modelados en forma discreta a

través de un modelo clásico (masa, resorte y amortiguador) usado para máquinas

rotativas soportadas por cojinetes hidrodinámicos o cojinetes convencionales

(rodamientos). La respuesta dinámica de estos rotores suspendidos magnéticamente

es similar a la de los suspendidos convencionalmente. Este modelo plantea que el

sistema tiene dos grados de libertad, los cuales coinciden con la dirección de los

actuadores electromagnéticos del cojinete magnético.

Hipótesis medias

- Existe una tasa óptima de aceleración con la cual se pueden atravesar la s

velocidades críticas de operación o resonancia. Esta tasa permite minimizar las

amplitudes de vibración mientras se pasa por dichas velocidades.

- La capacidad de carga de un sistema de levitación magnética es inferior a la

capacidad de carga de un sistema de suspensión convencional.

Hipótesis operacionales

- Las mayores amplitudes de vibración se alcanzan mientras el equipo pasa por sus

velocidades de resonancia.

- La amplitud de vibración en régimen transitorio es inversamente proporcional a la

aceleración angular del sistema.

Descripción del banco de ensayos

El banco de ensayos utilizado consiste en un Rotor Kit, equipo fabricado por

la empresa Revolve Magnetic Bearings Inc., y perteneciente al Laboratorio de

Dinámica de Máquinas de la Universidad Simón Bolívar. Dicho equipo permite una

amplia gama de configuraciones con el objetivo de simular experimentalmente

40

distintos tipos de rotores sencillos suspendidos magnéticamente. La velocidad del

rotor y los parámetros de la suspensión magnética, se pueden ajustar a través de un

controlador. El equipo está conformado por los componentes mostrados en la figura

10.

Fig. 10: Vista general del equipo

De la figura 8 se identifican algunos de los componentes principales, los

cuales de describen a continuación:

1. Base: Consiste en un placa metálica provista de tres canales equidistant es entre si y

agujeros roscados. Dichos canales permiten un montaje fácil y rápido de los soportes

utilizados en las diferentes configuraciones posibles. Esta placa base está anclada

sobre una fundación de concreto.

2. Motor de corriente continua (DC): cuya velocidad de rotación máxima es de

15000 RPM, el cual acciona al rotor mediante un acople elástico que presenta

flexibilidad en dirección axial y radial respecto al eje.

3. Estructuras soporte: El equipo cuenta con tres soportes en los cuales se alojan los

tres cojinetes magnéticos que dispone el equipo: dos radiales y uno axial. Estos

soportes vienen incluidos en el Rotor Kit. En su parte inferior cada soporte está

provisto de un guía que permite compensar desalineación vertical con respecto a la

base metálica.

4. Dos cojinetes radiales: los cuales son utilizados para producir la levitación

magnética del eje, y garantizar la capacidad de carga en dirección radial. Cada

41

Y

W

X

cojinete radial está conformado por un estator, un rotor radial (muñón

ferromagnético) y dos sensores de posición. El estator está compuesto por cuatro

actuadores electromagnéticos, orientados a 45° con respecto a los ejes horizontal y

vertical. La figura 11 muestra un detalle de los actuadores electromagnéticos y los

rodamientos de emergencia, la figura 12 ilustra la orientación de los ejes V y W.

Fig. 11: Detalle de un cojinete magnético Fig. 12: Ejes V y W

5. Dos cojinetes de respaldo o emergencia: Estos consisten en rodamientos rígidos

de bolas, alojados cada uno en la misma estructura soporte de los cojinetes

magnéticos radiales. El eje del rotor hace contacto con la pista interna del rodamiento

sólo en condiciones irregulares de operación, esto es durante una falla repentina o

supresión de la suspensión magnética. Adicionalmente, estos rodamientos protegen a

los cojinetes magnéticos en caso de que se supere la capacidad de carga de los

mismos.

6. Cojinete axial (no mostrado en la figura): el cojinete axial es un elemento

adicional que incluye el equipo y se usa para controlar el desplazamiento axial del

eje. Al igual que los cojinetes radiales está compuesto por estator, rotor y sensor, sin

incluir el rodamiento de respaldo.

7. Ejes: El equipo cuenta con tres ejes de diámetros 3/8” con longitudes de 12”, 18”

V

45°

42

y 25”.

8. Tacómetro: Cuya función es emitir una señal de retroalimentación para el

dispositivo de control, a lazo cerrado, de la velocidad de giro del motor.

9. Discos portamasas: El equipo cuenta con dos discos portamasas de espesores ½”

y ¼”. Estos discos poseen 16 agujeros roscados de 5 mm de diámetro, equidistantes

entre si, en los cuales se pueden colocar una serie de contrapesos, incluidos en el

equipo, bien sea para balancear el rotor usando los métodos de coeficientes de

influencia y Siebert, o para introducir desbalances conocidos. El diámetro exterior de

los discos es de 2,56” y la distancia entre centros de los agujeros es de 2,13”. La

sujeción de los discos se realiza mediante el ajuste de dos tornillos prisioneros,

diametralmente opuestos en cada disco portamasas.

10. Controlador: El equipo incluye un controlador electrónico para la suspensión

magnética (modelo MB350BT). Dentro del controlador se encuentran las fuentes de

corriente que comandan a cada actuador electromagnético. Adicionalmente, el

controlador está provisto de una interfase, la cual permite comunicación con una

computadora personal, para el monitoreo y modificación de la estrategia de control

(típicamente un algoritmo tipo Proporcional, Integrativo y Derivativo o PID) a través

del Software MBScope proporcionado por el fabricante del banco de ensayos. La

figura 13 ofrece una vista general del dispositivo.

Fig. 13. Controlador MB350 y tarjeta de adquisición de datos

43

Fundación y montaje

Con la finalidad de asegurar un aislamiento del equipo contra fuentes de

vibración externas, la placa base del equipo está anclada a un hito de concreto que le

sirve de fundación. Para la instalación y fijación de la placa se utilizaron 8 anclajes

expansivos tipo “rowl plug” (con sus respectivos vástagos de acero) con rosca interna

de 3/16”. Dichos anclajes fueron recubiertos con resinas epóxicas antes de ser

introducidos en cada agujero. Es de hacer notar que las resinas epóxicas se agregan

debido a que en la fundación se tienen varias piezas metálicas que están en contacto

entre si, y a la vez con el concreto. Dichas piezas se mantienen unidas únicamente por

la acción de la fuerza de roce; lo cual ocasiona que cuando el sistema vibre exista una

tendencia al movimiento relativo entre ellas. En virtud de que el roce entre los

elementos es seco, se producen fuerzas no lineales que complican el movimiento del

sistema. Ahora bien como las juntas están rellenas con la resina, éstas se adhieren por

fuerzas intermoleculares, de tal forma que se atenúa la posibilidad de movimiento

relativo entre superficies en contacto directo, y por consiguiente se reduce la

contribución de la fuerza de roce sobre el comportamiento dinámico del conjunto

rotor – estructura – soporte.

En virtud de que las resinas son viscoelásticas, es decir sus fuerzas son como

un resorte y un amortiguador en paralelo, más un amortiguador en serie que solo

afecta las cargas estáticas y representa la deformación permanente resultante cuando

un material viscoelástico es sometido a carga constante durante largos períodos de

tiempo. Por tanto los efectos introducidos por las resinas se superponen con el

amortiguador viscoso y el resorte que modela el sistema. La figura 14 muestra los

anclajes y fundación de concreto.

44

Fig. 14: Anclajes y fundación de concreto

Montaje experimental

El rotor ensayado experimentalmente consta de un eje flexible de diámetro

3/8” y longitud 12”. Sobre el eje se montó un disco portamasas de espesor ¼”. En

esta configuración se utilizó un cojinete magnético radial, con el objeto de reducir la

instrumentación requerida, disminuir la data experimental y por ende simplificar el

análisis. Se espera que los resultados obtenidos usando un solo cojinete radial puedan

ser extrapolados al caso de dos cojinetes radiales. Para soportar el otro extremo del

rotor se usó un cojinete tipo buje, adicionalmente se incluyeron en el montaje dos

soportes para la colocación de los sensores de proximidad, (proximitores). Estos

soportes y los sensores de proximidad forman parte de otro banco de ensayos

existente en el laboratorio. En la figura 3.4 se detalla la configuración adoptada para

el estudio experimental. El montaje incluye el uso del tacómetro del controlador

MB350, cuya señal se emplea como retroalimentación por el controlador electrónico.

Instrumentación utilizada

Para recabar la data experimental en los regímenes transitorio y permanente se

utilizó una tarjeta de adquisición de datos perteneciente al equipo. Esta tarjeta se

conectó a una computadora, y mediante el software MBScope, se procesaron las

señales recabadas. Las señales de desplazamiento en cada eje se obtuvieron con los

45

sensores de desplazamiento ubicados en los ejes V y W del cojinete radial, tal como

se ilustró en la figura 9 mientras que la señal de velocidad se obtuvo mediante el

tacómetro del controlador. Para las pruebas estáticas (rotor levitado en reposo) se

utilizó un analizador de espectros marca Agilent Technologies. Las señales de

desplazamiento se obtuvieron con los sensores del cojinete. Adicionalmente para las

pruebas estáticas se utilizó un martillo calibrador de impacto, de puntas variables, y

una barra de cera. La figura 15 muestra la instrumentación descrita anteriormente.

Fig. 15: Instrumentación utilizada

Selección de las configuraciones del controlador PID para las pruebas.

Dado que las ganancias (adimensionales) del controlador PID oscilan entre

75 y 175 para las ganancias proporcionales, 0,10 y 0,20 para las ganancias

derivativas, y las ganancias integrativas oscilan entre 100 y 200 fue necesario acotar

estos intervalos, así como la velocidad de giro para la realización de las pruebas. La

46

velocidad de operación se fijó en 6500 RPM, considerando a esta como una velocidad

aplicable en la práctica pues para muchos equipos rotativos usados en aplicaciones

industriales la velocidad de giro no excede 3600 RPM. Mediante procesos de ensayo

y error se delimitaron los siguientes intervalos para las diferentes ganancias:

Gana ncias Proporcionales: entre 95 y 155

Ganancias Derivativas: entre 0,10 y 0,12

Ganancia Integrativa: Se fijó en 110

Finalmente con este rango de ganancias se seleccionaron nueve

configuraciones distintas del controlador PID, lo cual fue equivalente a estud iar 9

sistemas diferentes, con tres tasas de aceleración diferentes.

Determinación de las frecuencias críticas del sistema

En virtud de que el objetivo de esta investigación es proponer un modelo

matemático clásico usado para máquinas rotativas soportadas por cojinetes

hidrodinámicos o cojinetes convencionales (rodamientos), fue necesario analizar el

comportamiento dinámico del sistema (comportamiento de las vibraciones) en los tres

regímenes que afronta un equipo rotativo.

En el caso del régimen transitorio del sistema, el mismo pasa por una

velocidad de resonancia, por tanto fue necesario determinar los valores de dichas

velocidades. Para la determinación de estas velocidades críticas se requiere el estudio

de las vibraciones libres del sistema (estudio del comportamiento dinámico del rotor

en reposo, bajo el efecto de una excitación temporal). Para ello se usaron el martillo

de puntas variables, acelerómetros y el analizador de espectros. La prueba consistió

en instalar con el uso de cera, el acelerómetro en una posición a lo largo del eje, en

este caso se instaló cercano al disco portamasas, y provocarle una peq ueña excitación

con el martillo, manteniendo el rotor en reposo y la suspensión magnética activa. Este

procedimiento fue repetido varias veces. Posteriormente se analizaron los gráficos de

47

vibraciones libres obtenidos mediante el analizador de espectros, y aplicando

decremento logarítmico en dos amplitudes de vibración, sucesivas o no, se calculó el

coeficiente de amortiguación adimensional ξ . El período de vibración se obtuvo de la

gráfica, y con éste se calculó la primera frecuencia crítica del sistema. Todas estas

pruebas se realizaron para rangos de ganancias derivativas y proporcionales

previamente fijados, con la ganancia integrativa fija.

Obtención de la data en regímenes transitorio y permanente

Usando la instrumentación mencionada con antelación, y los resultados

experimentales obtenidos mediante el análisis de las vibraciones libres en las pruebas

estáticas, se procedió a realizar las pruebas en régimen transitorio , y luego en régimen

permanente. Se seleccionaron nueve configuraciones del controlador PID que

permitiesen obtener un conjunto de velocidades críticas dentro del rango de variables

disponibles. Para la primera prueba se fijó la ganancia derivativa en el valor Kd = 0,1

mientras que la proporcional se fijó en Kp = 95. La ganancia integrativa se mantuvo

constante en todos los casos, dado que no tiene equivalente mecánico.

Mediante el uso de las nueves configuraciones seleccionadas del controlador

PID para el funcionamiento del sistema, se registraron las amplitudes de vibración del

sistema en los ejes V, W del cojinete radial y las amplitudes de vibración en los ejes

X, Y del buje; mientras el sistema operaba en régimen de desaceleración. Para la

primera prueba se fijó la ganancia integrativa en 0,1 mientras que la proporcional se

fijó en 95. Para este caso la velocidad crítica reportada por el análisis de frecuencias

críticas fue de 64 Hz, esto es 3840 RPM. Para recoger la data, se llevó el motor hasta

6500RPM utilizando tres tipos de rampas de aceleración para cada caso. Los valores

de dichas rampas fueron 10 s, 15 s y 20 s; y representan el tiempo que toma el

sistema en alcanzar la velocidad de régimen seleccionada partiendo del reposo. En

forma análoga se realizaron las pruebas restantes para las demás configuraciones

seleccionadas.

48

CAPÍTULO IV

RESULTADOS EXPERIMENTALES

Configuraciones del controlador PID seleccionadas

Como se describió anteriormente, el sistema de control de la suspensión

magnética se basa en un controlador PID, cuyas ganancias son ajustadas a través del

software MBScope el cual se encuentra instalado en la computadora. En el cuadro 1

se muestran los valores de las ganancias derivativa y proporcional para cada

configuración seleccionada del PID, mientras que la ganancia integrativa se

mantuvo constante en el valor KI=110. Con dichos valores se realizaron las pruebas

estáticas (rotor levitado sin giro) y dinámicas (rotor en régimen de aceleración).

Configuración Ganancia proporcional Kp Ganancia derivativa Kd

1 155 0,10

2 155 0,11

3 155 0,12

4 125 0,10

5 125 0,11

6 125 0,12

7 95 0,10

8 95 0,11

9 95 0,12

Cuadro 1: Valores de las ganancias Kp y Kd para el controlador PID

49

Análisis de la respuesta del sistema ante vibraciones libres

La importancia de las vibraciones libres radica en que facilitan el cálculo de

las velocidades críticas y los coeficientes ξ de amortiguación adimensionales Para la

determinación de las velocidades críticas del sistema se analizaron las gráficas de la

respuesta temporal ante una excitación, mediante decremento logarítmico. Se

presentaron cuatro casos posibles. En el primero de estos casos, la excitación se

produjo en el eje V y la medición en V. Para el segundo caso se produjo la excitación

en el eje W y la medición en V. El tercer caso consistió en producir la excitación en

W, realizando la medición en W. Por último se realizó la excitación en V y la

medición en W. A continuación se muestran estos gráficos, para cada uno de los

casos mencionados. Es necesario señalar que no se ilustran los gráficos para todas las

configuraciones del PID, puesto que las seis primeras configuraciones seleccionadas

no pudieron usarse en las pruebas dinámicas porque se excedía la capacidad de carga

del cojinete magnético, por lo que el rotor caía en el rodamiento de emergencia y el

controlador emitía señales de falla, con las cuales el rotor se detenía. Las gráficas y

resultados que se analizan tanto para las respuestas estática y dinámica corresponden

a las configuraciones 7, 8 y 9 señaladas en el cuadro 1, pues con las seis

configuraciones restantes la capacidad de carga del cojinete magnético era excedida,

por lo que el eje caía sobre el rodamiento de emergencia, el controlador emitía una

señal de falla y por ende el rotor se detenía.

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje V y midiendo en el eje V

Las figuras 16, 17 y 18 muestran las vibraciones libres del sistema obtenidas

excitando el sistema en el eje V y realizando la medición en el eje V, manteniendo la

ganancia proporcional fija en el valor Kp = 95, variando la ganancia proporcional en

tres valores diferentes: 0,10; 0,11 y 0,12. Debe recordarse que los ejes V y W

corresponden a la dirección de los actuadores electromagnéticos que hacen posible la

suspensión.

50

Fig. 16: Vibraciones libres para Kp = 95 y Kd = 0,10 excitando en V y midiendo en V



0.845

2.318

A7

0.2480.25 t

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.252.5

2

1.5

1

0.5

Tiempo ( s )

Am

plitu

d ( m

V )

0.79

2.452

A8

0.2480.25 t

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.253

2

1

0

Tiempo ( s )

Am

plitu

d ( m

V )

0.777

2.208

A9

0.2480.25 t

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.252.5

2

1.5

1

0.5

Tiempo ( s )

Am

plitu

d ( m

V )

51

Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje W y midiendo en el eje V


excitando el sistema en el eje W y realizando la medición en el eje V, manteniendo la


tres valores diferentes: 0,10; 0,11 y 0,12.

Fig. 19: Vibraciones libres para Kp = 95 y Kd = 0,10 excitando en W y midiendo en V


0.989

1.148

Aw7

0.2480.25 t

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.251.15

1.1

1.05

1

Tiempo ( s )

Am

plit

ud (

mV

)

0.994

1.138

Aw8

0.2480.25 t

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.251.15

1.1

1.05

1

Tiempo ( s )

Am

plitu

d ( m

V )

52


Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje W y midiendo en el eje W





Fig. 22: Vibraciones libres para Kp = 95 y Kd = 0,10 excitando en W y midiendo en W

53



Gráficas obtenidas realizando la excitación en el eje W y midiendo en el eje V





54




55

Determinación de las frecuencias críticas amortiguadas y los factores de

amortiguación ξ

Del análisis de las gráficas mostradas anteriormente se pudo obtener los

valores de las primeras frecuencias críticas de sistemas amortiguados para cada una

de las configuraciones del controlador PID que se seleccionaron anteriormente. Estas

gráficas muestran la amplitud de vibración como función de tiempo, por tanto se

conoce el valor de la amplitud de vibración y el tiempo. Tomando los valores

correspondientes al tiempo para cada amplitud y el número de ciclos “n”

transcurridos entre cada pico, se procedió a calcular el período de vibración Td, y

aplicando la ecuación 25, la cual relaciona el período y la frecuencia (en Hertz), se

calcularon los valores de ωd para cada uno de los casos. El cálculo de los coeficientes

ξ se realizó usando decremento logarítmico (ecuación 26) entre dos amplitudes de

vibración, conocidos los valores de tiempo correspondientes, amplitudes y el número

de ciclos “n” transcurridos. En el cuadro 2 se muestran los valores obtenidos para ωd

(expresados en Hertz) y ξ (adimensional) en cada caso, con Kp = 95, KI = 110 y Kd

variando en 0,10; 0,11 y 0,12

Kd ωd v-v ωd w-v ωd w-w ωd v-w ξv-v ξw-v ξw-w ξw-v

0,10 68,266 73,142 68,264 73,141 0,197 0,115 0,213 0,122

0,11 68,27 73,129 68,264 73,050 0,223 0,198 0,250 0,177

0,12 64 73,142 64 72,010 0,284 0,172 0,247 0,129

Cuadro 2: Valores de ωd y ξ para Kp = 95

Para el caso de las ωd se han colocado dos subíndices adicionales. El primero

de estos identifica el eje en el cual se realizó la excitación, mientras que el segundo

corresponde al eje donde se realizó la medición de la vibración. Por ejemplo ωd v-w

indica que la excitación que la excitación se produjo en el eje V y la respuesta

56

temporal fue medida en el eje W. En el caso de los valores de ξ los subíndices tienen

el mismo significado.

De forma análoga y analizando las respuestas temporales del sistema para las

configuraciones restantes del controlador, se calcularon el resto de las frecuencias

críticas amortiguadas y los factores de amortiguación. El cuadro 3 muestra las

frecuencias críticas ωd y los coeficientes ξ para Kp = 125, con las mismas variaciones

en los coeficientes Kd y KI fijo. El cuadro 4 muestra las frecuencias críticas

amortiguadas ωd y coeficientes para Kp = 155 y las mismas variaciones anteriores.


0,10 85,332 85,332 85,332 85,333 0,122 0,028 0,135 0,181

0,11 85,332 85,332 85,551 85,339 0,155 0,096 0,156 0,122

0,12 85,332 85,332 85,338 85,337 0,190 0,128 0,169 0,124



0,10 93,093 85,332 93,091 85,332 0,109 0,118 0,084 0,115

0,11 85,332 90,769 85,332 93,091 0,146 0,129 0,123 0,083

0,12 85,332 85,334 85,339 95,999 0,150 0,128 0,160 0,048


Cálculo de las frecuencias de resonancia para cada PID ensayado

Debido a que la frecuencia de resonancia es aquella en la cual el valor de la

frecuencia de giro del sistema iguala el valor de la frecuencia natural del sistema no

amortiguado ωn, se usó la ecuación (9) para calcularla. Por otra parte se tiene que este

57

es un parámetro de gran importancia en la ecuación que describe el movimiento de

estos sistemas.

En los cuadros 5, 6 y 7 se muestran los valores de las frecuencias de

resonancia, expresadas en RPM para las configuraciones del controlador PID

mostradas en el cuadro 1.

Kd ωn v-v ωn w-v ωn w-w ωn v-w

0,10 4177,50 4417,98 4192,45 4389,66

0,11 4201,71 4475,43 4230,66 4395,72

0,12 4005,29 4454,56 3962,84 4356,64

Cuadro 5: Valores de ωn para Kp = 95


0,10 5158,15 5121,87 5167,27 5206,16

0,11 5182,47 5143,70 5158,88 5158,58

0,12 5178,91 5162,50 5194,86 5159,96



0,10 5619,08 5155,68 5605,31 5153,44

0,11 5177,55 5491,93 5158,88 5604,65

0,12 5178,29 5162,11 5187,05 5766,63


Con los valores obtenidos para ωn, ωd y ξ se plantean las ecuaciones

diferenciales que rigen las vibraciones libres del sistema para cada una de las

configuraciones del PID señaladas. De los cuadros anteriores se observa que hay dos

58

valores diferentes de ωn, ωd y ξ por tanto para tomar el valor de cada uno de ellos se

puede tomar el valor promedio obtenido, es decir si se desea calcular el valor de ωd

para el eje V, se toma el promedio de los dos valores ωd v-v y ωd w-v. Análogamente

para calcular el valor de ωd para el eje W, se toma el promedio de los dos valores ωd

w-w y ωd v-w. Con las demás constantes se procedió de igual manera. Los cuadros 8, 9

y 10 muestran los valores promediados de ωn, ωd (expresados en Hertz) y ξ para cada

eje.

Kd ωd v ωd w ωn v ωn w ξv ξw

0,10 70,704 70,704 71,629 71,517 0,156 0,118

0,11 70,693 70,656 72,309 71,886 0,210 0,214

0,12 68,571 63,999 70,499 65,037 0,228 0,188

Cuadro 8: Valores promediados ωn, ωd y ξ para Kp = 95


0,10 85,332 85,333 85,667 85,734 0,075 0,077

0,11 85,332 85,445 86,051 85,987 0,126 0,139

0,12 85,332 85,333 86,475 85,968 0,159 0,147



0,10 89,212 89,211 89,790 89,381 0,113 0,049

0,11 88,050 89,211 88,896 89,538 0,138 0,065

0,12 85,333 86,174 86,174 91,226 0,139 0,082


Las ecuacio nes diferenciales para la respuesta del sistema ante vibraciones

libres son de la forma:

0VV2V 2 =++ nn ωξω &&&

(34): Ecuación diferencial de movimiento en el eje V

59

0WW2W 2 =++ nn ωξω &&&

(35): Ecuación diferencial de movimiento en el eje W

Y representan que hay respuesta ante las vibraciones libres para cada eje, es decir

para cada uno de los ejes V y W donde están ubicados los actuadores

electromagnéticos existe una respuesta del sistema ante las vibraciones producidas en

dichos ejes. Basta sustituir cada uno de los valores mostrados en los cuadros 8, 9 y 10

(previa multiplicación de las frecuencias por 2π para expresarlas en rad/s) para

obtener las ecuaciones de movimiento según cada eje y cada configuración del

controlador PID. Por ejemplo sustituyendo valores para Kp= 95 y Kd = 0,10 se

obtienen las ecuaciones siguientes:

0v427,202552v138,538v =++ &&& (37)

0w624,315391w903,105w =++ &&& (38)

Gráficos de la amplitud de vibración del sistema

Como se explicó en secciones anteriores, la data en régimen transitorio se

graficó en función del tiempo con el objeto de analizar el comportamiento del sistema

en su paso por las frecuencias críticas, usando diferentes tasas de aceleración. Los

gráficos mostrados en las tres secciones siguientes corresponden a las amplitudes de

vibración en el dominio temporal para los ejes V y W, para cada configuración del

PID y las tres rampas (tasas) de aceleración seleccionadas. Debe destacarse que sólo

se pudieron ensayar tres configuraciones del PID puesto que para las otras

configuraciones seleccionadas se excedía la capacidad de carga del cojinete

magnético. Esto fue evidenciado porque el rotor se apoyaba sobre el rodamiento de

emergencia, con lo cual se perdía la trayectoria descrita inicialmente por el rotor, y

por ende se perdían las posiciones de referencia que utiliza el sistema de control, de

manera que el sistema emitía una señal de error, con la cual se ordenaba detener el

equipo.

60

Gráficos de amplitud de vibración para la configuración Kp= 95, Kd=0,10

Las figuras enumeradas entre 28 y 33 muestran las amplitudes de vibración

desde que el sistema parte del reposo hasta que alcanza velocidad de régimen a 6500

RPM, usando tres rampas de aceleración distintas, y la configuración Kp= 95, Kd =

0,10; con KI = 110, constante siempre. La primera parte de la gráfica muestra el

momento del arranque del motor, luego se observa que la amplitud de vibración crece

a medida que avanza el tiempo, alcanza un máximo (donde la velocidad de giro

iguala la velocidad de resonancia) y finalmente se convierte en cíclica cuando el

sistema alcanza el régimen permanente (ver figura 30). Esto se repite para todas las

gráficas siguientes.

Fig. 28: A mplitud de vibración en V vs. Tiempo para la rampa de 10 s y el PID señalado


61


Fig. 31: Amplitud de vibración en W vs. Tiempo para la rampa de 10 s y el PID señalado

Amplitud Máxima

Amplitud en régimen permanente

Arranque del rotor

Régimen transitorio

Régimen permanente

62



63


Análogamente las figuras 34 a la 39 muestran las amplitudes de vibración para

la configuración Kp= 95, Kd=0,10; KI = 110 y las mismas tres rampas de aceleración

anteriores.



64



65



66


Como en las secciones anteriores las figuras 40 a la 45 muestran las

amplitudes de vibración para la configuración Kp= 95, Kd=0,10; KI = 110 y las

mismas tres rampas de aceleración anteriores.



67



68



69

Gráficos de la velocidad del sistema

Con el fin de obtener experimentalmente las velocidades del rotor durante su

régimen transitorio, y conocer los valores de las mismas en los puntos de máxima

amplitud de vibración; se elaboraron las gráficas mostrada en las figuras 46 a la 54,

para las configuraciones 7, 8 y 9 del controlador PID mostradas en el cuadro 1, con

sus respectivas rampas de aceleración. Dichas gráficas fueron obtenidas analizando

las señales tipo pulso emitidas por el tacómetro del equipo. El tacómetro registra el

tiempo en el cual el sistema da una vuelta completa, y emite una señal de pulso. Dado

que el período de los pulsos es variable porque el sistema está en régimen de

aceleración, se utilizó un algoritmo disponible en el laboratorio, elaborado en el

programa Matlab para calcular el período de cada pulso. Para calcular el período se

tomaron dos puntos A1 y A2 tales que entre ellos dos transcurra un período.

Posteriormente se restaron los períodos asociados a cada punto, y el período Td está

dado por la diferencia A12Ad ttT −= . Como el período es el inverso de la frecuencia,

entonces la velocidad de giro en RPM está dada por dT

60=ω .

Fig. 46: Velocidad vs. Tiempo para la rampa de 10 s (α = 68 rad/s2), Kp = 95, Kd = 0,10

0 5 10 15 Tiempo (s)

RPM 7000

6000

5000

4000

3000

2000 1000

70

Fig. 47: Velocidad vs. Tiempo para la rampa de 15 s, Kp = 95, Kd = 0,10


RPM 7000

6000

5000

4000

3000

2000 1000

0 5 10 20 Tiempo (s)

RPM 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

0 5 10 15 20 25 Tiempo (s)

Régimen Permanente

Régimen Transitorio

71



0 5 10 15 Tiempo (s)

0 5 10 15 20 Tiempo (s)

RPM 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

RPM 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

72



0 5 10 15 20 25 Tiempo (s)

RPM 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

0 5 10 15 Tiempo (s)

RPM 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

73



0 5 10 15 20 Tiempo (s)

0 5 10 15 20 25 Tiemp o (s)

RPM 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

RPM 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

74

El análisis de estas gráficas permitió calcular la velocidad en la cual se

alcanzaba la máxima amplitud de vibración, es decir como la máxima amplitud de

vibración y la velocidad de resonancia ocurren para un mismo tiempo, leyendo en las

gráficas de velocidad y amplitud de vibración los valores asociados se tienen la

máxima amplitud de vibración y la velocidad para la cual ocurre esa máxima

amplitud. Esto permitió contrastar las velocidades de resonancia obtenidas mediante

el análisis de vibraciones libres contra las velocidades de resonancia obtenidas

mediante el análisis del régimen transitorio. Estos resultados se muestran en el cuadro

11.

Valores de vibraciones libres (RPM) Kp

Eje V Eje W Promedio

Valores transitorios

(RPM)

0,10 4297,74 4307,10 4302,42 4342

0,11 4338,57 4341,78 4340,17 4365

012 4229,92 4159,74 4194,83 4218

Cuadro 11: comparación entre frecuencias naturales

Al contrastar los valores promedios obtenidos mediante el análisis de

vibraciones libres y los valores obtenidos del análisis transitorio se observa n

diferencias despreciables (el error relativo es del orden de 1 %), por tanto se

evidencia que el análisis de vibraciones libres es una excelente herramienta para

predecir los valores de las velocidades críticas de estos sistemas rotodinámicos.

Amplitudes máximas de vibración

El cuadro 12 muestra los valores máximos (valores registrados cuando la

velocidad de giro igualó la velocidad de resonancia) de las amplitudes de vibración

75

del sistema, (en milivoltios) para cada una de las configuraciones del controlador PID

ensayadas, en los ejes V y W, y con las tres rampas (tasas) de aceleración ensayadas.

Rampa 10 s 15 s 20 s

Kd Av Aw Av Aw Av Aw

0,10 65,64 58,10 67,92 58,46 70,12 59,13

0,11 59,23 52,85 60,32 54,07 55,82 60,49

0,12 54,38 48,65 55,49 49 56,27 49,34

Cuadro 12: Amplitudes de vibración máximas

Amplitudes de vibración para régimen permanente

El cuadro 13 muestra los valores de las amplitudes de vibración (en

milivoltios) en régimen permanente (constantes), y los valores del ángulo de fase (en

radianes) para las tres configuraciones ensayadas y para cada una de las rampas de

aceleración. Estos valores corresponden a la constante A, expresada mediante (38).

Los ángulos de fase se calcularon usando (39).

Rampa 10 s 15 s 20 s Fase (Rad)

Kd Av Aw Av Aw Av Aw φv φw

0,10 58,36 54,74 59,13 55,38 59,95 57,14 2,790 2,763

0,11 54,63 52,86 55,28 53,94 56,41 55,29 2,673 2,666

0,12 51,93 46,25 52,31 48,13 53,08 48,89 2,666 2,754

Cuadro 13: Amplitudes de vibración constantes y ángulos de fase

A partir de la ecuación (38) se procedió a calcular el valor de la excitación Fo,

(expresada en voltios/s2) pues se conocen todos los valores correspondientes al

denominador de la expresión. El valor de las amplitudes de vibración fue obtenido

76

experimentalmente, por tanto se procedió a calcular el valor de Fo para todos los

casos estudiados. Estos resultados son mostrados en el cuadro 14.

Rampa 10 s 15 s 20 s

Kd Fov Fow Fov Fow Fov Fow

0,10 141,31 142,97 143,17 154,43 145,16 149,23

0,11 180,01 177,05 182,15 185,15 185,87 185,18

0,12 180.84 136,49 182,17 147,98 184,85 138,30

Cuadro 14: Amplitudes de vibración constantes y ángulos de fase

Se observa que la excitación no es constante pero tiene órdenes de magnitudes

similares, de tal manera que si se puede medir el valor de la excitación que genera el

giro del motor sobre el sistema, y se conocen los valores de ω, ξ y ωn, mediante el

análisis de las vibraciones libres, es posible estimar la magnitud de las amplitudes de

vibración que tendría el sistema en régimen permanente. Basado en lo anterior podría

plantearse la extrapolación del modelo para un rotor simple soportado por dos

cojinetes magnéticos. Con dos cojinetes magnéticos la capacidad de carga del sistema

debería ser mayor, y por ende podría operarse el equipo para otras configuraciones

del controlador PID, prohibidas para el sistema soportado por un solo cojinete.

Análisis de Resultados

De los gráficos de vibraciones libres presentados con anterioridad para las

pruebas estáticas se observa que para valores fijos de Kp y KI el sistema disminuye

sus oscilaciones a medida que se incrementan los valores de Kd. Este hecho

corresponde a lo establecido en la Teoría de Vibraciones con Amortiguamiento

subcrítico, y permite comprobar que la ganancia derivativa es equivalente a un

77

amortiguador. A medida que se incrementan los valores de Kd el sistema demora

menos tiempo en regresar a su condición de equilibrio estático.

Para valores fijos de Kd se observó que las amplitudes de vibración crecen al

aumentar los valores de Kp, esto ocurre porque mientras mayor sea la rigidez

equivalente de un sistema, éste tiene mayor capacidad de acumulación de energía, por

lo que aumenta el número de oscilaciones previas a la recuperación del equilibrio

estático. Adicionalmente se observó que los valores de ξ crecen a medida que se

incrementa la ganancia derivativa Kd, y disminuyen con los incrementos de Kp.

La frecuencia de oscilación ωd aumenta a medida que se incrementa Kp y

disminuye al incrementar Kd. En algunos casos los valores de ωd permanecían

constantes porque las variaciones de Kd estudiadas resultaron ser muy cercanas entre

sí. Estas variaciones poco significativas de las ganancias proporcionales Kd para Kp

fijo, se deben a que variaciones mayores implicaban inestabilidad Rotodinámica,

dentro del rango de velocidades disponibles. Con las ganancias proporcionales Kp se

tomaron variaciones más significativas, sin embargo sólo se pudo usar una de ellas

por razones de estabilidad del sistema. La ganancia KI se mantuvo constante siempre

por lo que no se analizó su efecto sobre el sistema.

Los valores de ξv-v y ξw-w difieren entre sí, pero están en el mismo orden de

magnitud. Por otra parte se observa que los valores de ξw-v y ξv-w también difieren

entre sí. Adicionalmente los valores de las frecuencias en los ejes V y W son

diferentes entre sí, aunque presentan valores del mismo orden de magnitud. Estos

hechos indican que el sistema no es isotrópico, lo cual valida el hecho de haber

propuesto un modelo matemático basado en dos grados de libertad, conforme a las

direcciones de los actuadores electromagnéticos. Además permiten concluir que las

respuestas a las excitaciones producidas en una dirección afectan otras direcciones.

De las gráficas mostradas para las pruebas dinámicas, se observa que durante

los primeros segundos del tiempo de muestreo, el sistema presentó amplitudes de

78

vibración constantes, en este lapso el rotor se encontraba levitado pero en reposo.

Posteriormente se observan saltos bruscos en las amplitudes, los cuales indican el

arranque del motor. Luego se producían aumentos progresivos de dichas amplitudes,

registrando los valores máximos durante la resonancia, disminuyendo a medida que la

velocidad de giro se alejaba de la resonancia. Finalmente al llegar a régimen

permanente las vibraciones se estabilizaban y se convertían en cíclicas.

Las amplitudes de vibración registradas en el eje V son mayores que las

registradas en el eje W. este fenómeno se observó para todos los casos estudiados.

Pero a pesar de estas diferencias, los órdenes de magnitudes son semejantes, pues el

controlador PID evita que las amplitudes de vibración muestren valores más altos.

Con respecto al efecto de las ganancias derivativas sobre las amplitudes de

vibración se observa que a medida que se incrementa el valor de la ganancia

derivativa, se obtienen menores amplitudes de vibración. Esto ocurre porque se

aumenta el efecto de la velocidad instantánea de giro del rotor sobre el sistema de

control.

Con respecto al comportamiento del ángulo de fase se tiene que para todos los

casos estudiados el valor estuvo en el mismo orden de magnitud, reportando un valor

máximo de 152,75° (2,666 radianes) y un valor máximo de 159,86° (2,79 radianes).

Las gráficas muestran un comportamiento periódico para el régimen

permanente, de tal manera que este sistema puede ser modelado con base en

ecuaciones diferenciales, con una respuesta periódica, para una excitación periódica.

En este caso particular las excitaciones pueden ser consideradas como periódicas pues

son producidas por un motor que gira a una velocidad angular prácticamente

constante. Del análisis de las gráficas también se concluye que si el comportamiento

del sistema es similar en los dos ejes, entonces el modelo clásico basado en dos

grados de libertad es aplicable.

79

Con respecto al régimen transitorio, para todos los casos estudiados se

observó que a medida que se incrementa el valor de la rampa de aceleración (es decir

a medida que el sistema demora más en alcanzar la velocidad de régimen), se

obtienen valores más grandes de amplitud de vibración en resonancia. Esto se debe a

que mientras más rápido pase un equipo rotativo por la velocidad crítica, menores son

los efectos de la resonancia; es decir los efectos se sienten menos sobre el sistema.

Por tanto durante el régimen transitorio de un equipo rotativo, debe procurarse hallar

una tasa de aceleración óptima, tal que minimice los efectos de las amplitudes de

vibración durante el paso por la velocidad crítica, y pueda ser aplicada en forma

confiable.

Basado en esto último, y en el hecho de que las amplitudes de vibración en

resonancia son menores a medida que se incrementa el coeficiente ξ, cabría la

posibilidad de proponer un modelo matemático para tratar de predecir el

comportamiento de las amplitudes de vibración durante el régimen transitorio. El

modelo hipotético sería de la forma:

)cos((t)v φωαξω

−

= tAfA v

v

nv

)cos((t)w φωαξω

−

= tAfA w

w

nw

Donde vf y wf serían factores de amplificación de la amplitud que tendría el sistema

en régimen permanente ( vA y wA ), y serían válidos únicamente para el régimen

transitorio. Los coeficientes ωn corresponden a las frecuencias naturales de cada eje,

α sería la aceleración angular del sistema en rad/s2, y ω la velocidad instantánea, la

cual puede medirse a través de un tacómetro o calcularse multiplicando el tiempo por

la aceleración angular α , y φ sería el ángulo de fase en régimen permanente. La

validación de este último modelo propuesto quedaría para futuras investigaciones en

el área.

80

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

De los resultados obtenidos a partir de la realización del presente trabajo se

derivan las siguientes conclusiones:

- Se obtuvo un modelo matemático discreto en dos grados de libertad basado en

modelos clásicos usados para máquinas rotativas soportadas por cojinetes

hidrodinámicos o cojinetes convencionales (rodamientos).

- Se obtuvieron configuraciones del controlador PID que permiten la operación

segura del sistema de suspensión magnética del rotor. Estas configuraciones están

distinguidas con los números 7, 8 y 9, en el cuadro 1 del capítulo de resultados.

- El comportamiento dinámico del rotor tanto en regímenes permanente como en

reposo concuerda con lo establecido en la teoría de Vibraciones Mecánicas y

Rotodinámica.

- Este tipo de sistemas alcanza sus mayores amplitudes de vibración durante el paso

del rotor por una velocidad crítica.

- Para el equipo ensayado, existe una tasa de aceleración óptima (la mayor entre las

ensayadas) con la cual se atraviesan las velocidades críticas, y permite minimizar los

valores de las amplitudes de resonancia.

- La ganancia derivativa tiene como equivalente mecánico a un amortiguador,

mientras que para la ganancia proporcional se establece el equivalente mecánico con

81

un resorte. Pequeñas variaciones en los valores de estas ganancias ocasionan

pequeñas variaciones en los parámetros característicos del sistema.

- El valor aceptable de las ganancias del sistema de control está acotado, es decir:

aumentos apreciables para tales ganancias pueden afectar la estabilidad del sistema.

En términos prácticos, la pérdida de estabilidad se refiere a que un incremento

apreciable de una o varias ganancias de control ocasiona que el rotor pierda su órbita

de referencia, para caer en la pista interna del rodamiento.

- Se corrobora que la capacidad de carga de los cojinetes magnéticos es inferior a la

que ofrecen los cojinetes convencionales.

Recomendaciones

El presente trabajo representa una primera etapa en una línea de investigación

tecnológica con inmenso potencial. Para la continuación de trabajos orientados al

estudio de rotores suspendidos magnéticamente empleando los resultados derivados

de este trabajo se sugiere considerar los siguientes aspectos:

- Estudiar con detalle el problema del régimen transitorio en sistemas suspendidos por

uno o dos cojinetes magnéticos, con el objeto de obtener un modelo matemático que

permita la estimación de las amplitudes de vibración en dicho régimen.

- Extender el estudio para obtener modelos matemáticos para sistemas suspendidos

magnéticamente mediante dos cojinetes radiales.

- Tomar variaciones significativas en estos valores y analizar sus influencias sobre el

sistema. Paralelamente en esa misma tendencia, se sugiere analizar los efectos

producidos por variaciones poco significativas en las ganancias proporcionales del

82

sistema, es decir se sugiere analizar lo que sucede entre los valores intermedios de las

ganancias proporcionales ensayadas.

- Analizar los efectos de las ganancias integrativas del sistema de control. Esto es,

tomar las configuraciones del PID que resultaron ser inestables para este trabajo, y

tratar de hallar un conjunto de valores de las ganancias integrativas que logren la

estabilidad del sistema.

- Aplicar técnicas modernas como la de los elementos finitos para obtener modelos

matemáticos más completos para este tipo de sistemas. Dichos modelos estarían

basados en las mismas ecuaciones diferenciales usadas en este trabajo pero las

constantes equivalentes serían diferentes.

Queda así abierta la posibilidad de desarrollar líneas adicionales de

investigación en el área de la levitación magnética activa, apoyadas con la validación

experimental y que involucren e integren áreas como mecánica, electrónica,

Ecuaciones Diferenciales y teoría de control.

83

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