Rapport de Groupe de Travail

Papa Gora NdaoMouhammed Marianne

Antoine de Milleville

30 mai 2007

LES OPTIONS ASIATIQUES

encadre par Georges Nemes (SGCIB)

2

Table des matieres

Introduction 1

1 Presentation du marche du change 21.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Principales caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Un marche domine par quelques places financieres . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Un marche domine par quelques monnaies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Un marche domine par les operations a terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Modele de Garman et Kohlhagen 32.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Modelisation financiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Hypotheses classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Absence d’opportunite d’arbitrage et changement de probabilite . . . . . . . . . 4

3 Methode de Monte Carlo 73.1 Principe de la resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Application au pricing d’une option asiatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.1 Simulation de la partie stochastique du taux de change . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Simulation d’une loi uniforme U(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Simulation de la loi normale N (0, 1) : Methode d’inversion . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Monte Carlo et Techniques de Reduction de Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.1 utilisation de variables antithetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.2 Resultats Numeriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Reconstitution de la densite de la moyenne a partir de simulations de Monte Carlo . . . 14

4 Turnbull et Wakeman 144.1 le principe de l’algorithme de Turnbull et Wakeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Approximation de la densite de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2.1 Calcul des deux premiers moments de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.2 Determination de la loi de Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Resolution par equations aux derivees partielles 165.1 EDP en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.1.1 etablissement de l’equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.1.2 commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2 EDP en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Discretisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.4 Discretisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.5 Algorithme de calcul de la fonction valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.6 Interpolation et interpretation des resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.6.1 Interpolation des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.6.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Introduction d’un modele avec taux stochastiques 246.1 Modelisation financiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.1.1 Dynamiques des processus de prix en absence d’arbitrage . . . . . . . . . . . . . 256.1.2 Lien entre primes de risque λd et λf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.1.3 Construction de la probabilite de Pricing : Probabilite Forward Neutre . . . . . . 266.1.4 Application au Pricing d’Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Analyse des resultats 30

Conclusion 32

A ANNEXES 33A.1 Graphes de Prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.2 Graphes de densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.3 Turnbull et Wakeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

A.3.1 demonstration du cacul des deux premiers moments de S . . . . . . . . . . . . . 39A.4 Evaluation par equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.4.1 Algorithme de calculde la fonction valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

INTRODUCTION 1

Introduction

Avec la croissance des marches financiers, des produits de plus en plus sophistiques sont maintenantofferts. La complexite de ces instruments ne cesse de croıtre pour repondre aux besoins pressants desentreprises qui cherchent a se couvrir contre des risques de plus en plus nombreux. Ces innovationsfinancieres, connues sous le nom d’options exotiques, se caracterisent par des paiements beaucoup pluscompliques que les options standards. Echangees sur le marche hors bourse, ou de gre a gre, elles sontfaites sur mesure pour, d’une part, repondre aux besoins specifiques des investisseurs, d’autre part,fournir de nouveaux instruments de couverture.

En utilisant ou en creant de tels produits, les professionnels de la finance se voient confrontes auprobleme de leur evaluation ou pricing. En effet la complexite des payoffs relatifs a ces produits rendimpossible l’utilisation de formules fermees simples comme la formule de Black-Scholes pour les optionsvanille. Le but de ce projet est alors d’etudier et de comparer differentes methodes de pricing pour unproduit particulier : les options asiatiques. La particularite de ces options est que le paiement terminaldepend d’une moyenne (arithmetique le plus souvent, parfois ponderee ou encore geometrique) calculeesur les cours du sous-jacent des options, observes a differentes dates etablies a la signature du contrat.Nous etudierons plus precisement ces produits financiers sur le marche du change, et nous restreindronsaux options sur moyenne arithmetique.

Dans un premier temps, nous presenterons les principales caracteristiques du marche du changeavant de nous attarder sur le modele de base utilise dans notre etude, a savoir le modele de Garman etKohlhagen, application du modele de Black et Scholes pour les options de change. Puis, nous insisteronssur les methodes numeriques developpees dans notre programme, implemente en JAVA, pour evaluerces options, a savoir la methode de Monte Carlo, l’algorithme de Turnbull et Wakeman et la resolutiond’equations aux derivees partielles. Enfin, nous proposerons une alternative au modele de Garman etKohlhagen en introduisant un modele de taux stochastiques.

PRESENTATION DU MARCHE DU CHANGE 2

1 Presentation du marche du change

1.1 Definitions

Le change est l’acte par lequel on echange les monnaies des differents pays. La majeure partiedes actifs monetaires echanges sur le marche du change sont des depots a vue dans les banques. Letaux de change est le prix de la monnaie d’un pays en terme de la monnaie d’un autre. Un taux dechange peut etre exprime de deux manieres : la cotation au ”certain” consiste a donner le nombred’unites monetaires etrangeres equivalent a une unite de monnaie locale ; la cotation a ”l’incertain”indique le nombre d’unites monetaires locales correspondant a une unite de monnaie etrangere. Ainsi,lorsque l’euro s’apprecie contre les autres devises, sa cotation au certain s’eleve tandis que sa cotationa l’incertain diminue.

1.2 Principales caracteristiques

1.2.1 Un marche domine par quelques places financieres

Le marche du change ne connaıt pas de frontiere : il y a un seul marche du change dans le monde.Les transactions sur devises se font aussi bien a Paris, Londres, Tokyo ou New York. Le marche duchange est donc une organisation economique sans veritable reglementation ; elle est auto-organiseepar les instances publiques et privees qui y interviennent. Il est geographiquement tres concentre surles places financieres de quelques pays. En 1998, le Royaume-Uni representait 32% des operations, lesEtats-Unis, 18%, le Japon, 8%, l’Allemagne, 5%, et la France 4%.

1.2.2 Un marche domine par quelques monnaies

Les operations sur le marche du change, representant plus de 3 milliards de dollars d ’echangequotidien, sont concentrees sur un petit nombre de monnaies, et tres majoritairement sur le dollar. En1998, le dollar americain intervenait en moyenne dans 87% des transactions identifiees, soit du cote del’offre, soit du cote de la demande. Aujourd’hui, les monnaies de la zone euro apparaissent dans 52%des transactions. Le yen et la livre sont plus en retrait puisqu’ils interviennent respectivement dans21% et 11% des transactions.

1.2.3 Un marche domine par les operations a terme

Le risque de change est le risque de perte en capital lie aux variations futures du taux de change.Depuis les annees soixante-dix, ce risque s’est fortement accru avec le flottement generalise des mon-naies et le developpement des transactions commerciales et financieres internationales. L’existence devariations des taux de change entraıne deux types d’attitude de la part des intervenants sur le marche :certains groupes ne souhaitent pas ou n’ont pas le droit de parier sur ce que seront les taux de changedans le futur. Ils sont exposes a un risque de change dans le cours de leurs activites ordinaires et

MODELE DE GARMAN ET KOHLHAGEN 3

recherchent une couverture a leur position creditrice ou debitrice. D’autres groupes estiment pouvoirprendre une position exposee a un risque de change pour realiser un gain. Il y a alors speculation surl’evolution future des taux au moyen d’operations d’arbitrage.

Le contrat de change a terme est le principal moyen de se couvrir ou de speculer sur le marchedu change. Ce qui explique pourquoi il domine le contrat de change au comptant . Il existe differentscontrats de change a terme : les contrats fondes sur les operations traditionnelles, terme bancaire et”swap”cambiste, sont les plus repandus (57% des operations des marches du change ) ; ceux fondessur les autres produits derives, ”futures” et options sur devises restent encore marginaux (6% desoperations ).

2 Modele de Garman et Kohlhagen

2.1 Quelques notations

Nous avons etudie le modele de Garman et Kohlhagen en nous inspirant de l’article ”ForeignCurrency Option Values”.(cf Annexes)

Puisque nous travaillons sur le marche du change, nous allons considerer un univers compose dedeux devises : la devise etrangere, indicee par f et la devise domestique, indicee par d. Dans chacunedes deux economies (domestique (d) et etrangere (f)), la devise crrespondante constitue un actif sansrisque, dont la dynamique entre t et t+ dt depend du taux sans risque (rd pour l’economie domestiqueet rf pour l’economie etrangere).

Par contre, vue de l’economie domestique(d), la devise (f) est un actif risque dont la valeur a chaqueinstant est donnee par le taux de change Sf→d. Pour alleger les equations, nous noterons Sf→d ≡ S. Lapremiere devise indiquee en denommant l’option sera toujours la devise etrangere, et la seconde devisesera la devise domestique. Par exemple une option EuroDollar, representera une option sur le taux dechange Euro (etranger) vers Dollar (domestique) et son prix sera exprime en Dollar. De plus, on noterd le taux sans risque de l’economie domestique, rf le taux sans risque de l’economie etrangere.

2.2 Modelisation financiere

2.2.1 Hypotheses classiques

Avant de pricer les options asiatiques de change, il est imperatif de supposer quelques hypotheses surles marches financiers puis de modeliser l’evolution des taux de change dans cet univers. La modelisationfinanciere couramment retenue pour ces actifs est celle de Garman et Kohlhagen, qui est analogue aumodele de Black et Scholes, utilise pour caracteriser l’evolution du cours des actions et ainsi pricer lesoptions vanille sur ces derniers sous-jacents.

Les hypotheses que nous avons retenues sont les suivantes :– Il est possible de vendre et d’acheter le sous-jacent a tout moment sans cout de transaction.– Les ventes a decouvert sont autorisees.

MODELE DE GARMAN ET KOHLHAGEN 4

– On supposera enfin que les taux de change sont des variables aleatoires suivant une loi lognormaleet leur evolution est donc modelisee par l’equation de diffusion suivante :

dS = µSdt + σSdWP

ou WP est un mouvement brownien, sous la probabilite historique propre a l’agent, µ est unparametre de drift, ou rendement moyen et σ represente la volatilite de l’actif sous-jacent.

On notera (Ft)(t≥0) la filtration engendree par le mouvement brownien et Ω l’ensemble des etatspossibles du monde.

Pour modeliser les taux d’interet, on utilise une courbe de taux zero-coupon, a partir de laquelleon calcule les facteurs d’actualisation B(t, T ) selon l’equation suivante :

B(t, T ) = exp(−

∫ T

tr(s)ds

)=

1(1 + R(t, T ))T−t

ou R(t, T ) designe le taux zero-coupon entre t et T, recupere a partir des donnees de marche.

2.2.2 Absence d’opportunite d’arbitrage et changement de probabilite

Le principe de non arbitrage est une hypothese fondamentale sur le marche. Nous allons donnerci-dessous sa traduction mathematique dans deux situations : d’abord dans le cas d’un actif ne versantpas de dividendes, puis dans le cas d’un actif versant une remuneration avec un taux de dividendecontinu note c(t). Notons que si c(t) est le dividende continu, cela traduit qu’entre t et t+dt, l’actifverse un montant c(t)S(t)dt.

Sous la probabilite historique P, le processus de prix de l’actif suit la dynamique suivante :

dS(t)S(t)

= µ(t)dt + σ(t)dWP (t)

ou WP (t) est un P-mouvement brownien. En l’absence d’opportunite d’arbitrage, il existe un vecteurλ(t), denomme prime de risque tel que µ(t) = r(t) + σ(t)λ(t). Dans le cas ou l’actif verse un dividendeavec un taux continu c(t), il existe un vecteur de prime de risque λ(t) tel que µ(t)+c(t) = r(t)+σ(t)λ(t)

Remarque :D’un point de vue financier, ce resultat exprime le fait que le rendement instantane de n’importe

quel portefeuille sans risque ( σ(t) = 0) est exactement egal au taux sans risque. Dans le cas ou l’actifverse un dividende, le rendement instantane global est λ(t) + c(t).

Applications :Nous nous placons maintenant dans l’economie domestique, dans laquelle la devise domestique (d)

constitue l’actif sans risque avec une dynamique :

dSd(t) = Sd(t)rd(t)dt

La devise etrangere est un actif risque , qui, avec les notations adoptees a une dynamique qui s’ecrit :

dS(t) = µ(t)S(t)dt + σ(t)S(t)dWP

MODELE DE GARMAN ET KOHLHAGEN 5

D’autre part il est clair que la devise etrangere peut etre vue comme un titre versant un dividendecontinu rf (t), rf (t) etant le taux sans risque etranger. En effet, la possession d’une unite de deviseetrangere entre t et t+dt donne droit a une remuneration egale a rf (t)dt. On peut donc en se placantdans l’economie (d) appliquer la deuxieme assertion du theoreme precedent et ainsi conclure en l’exis-tence d’une prime de risque notee λd(t) telle que

µ(t) + rf (t) = rd(t) + σ(t)λd(t)

L’equation (1) de la diffusion du taux de change peut donc se reecrire sous la forme (2) suivante :

dS(t) = (rd − rf)S(t)dt + σ(t)S(t)(dWP + λd(t)dt)

D’apres le theoreme de Girsanov, il existe une probabilite Qd equivalente a P sous laquelle WP (t)+ λd(t)treste un mouvement brownien. Cette mesure Qd est la probabilite risque neutre de la devise domestique.

On peut a present reecrire la dynamique du taux de change sous la probabilite Qd. En exprimantdans l’equation (2) le fait que sous Qd, WQ

d (t) = WP (t) + λd(t)t est un mouvement brownien, on endeduit que sous Qd la diffusion du taux de change satisfait l’equation (3) suivante :

dS(t)S(t)

= (rd(t)− rf (t))dt + σ(t)(dWQd (t))

Nous savons de plus que sous la mesure Qd, la valeur actualisee de toute strategie autofinancee estmartingale. Pour pricer notre option de change, il suffit alors de calculer l’esperance du payoff actualisede notre actif.

Application au Pricing d’options de Change :Nous avons donc d’apres ce qui precede une mesure Qd qui rend martingale toute strategie auto-

financee actualisee, et par consequent le processus de prix actualise de n’importe quelle option sur letaux de change. Considerons une option de change livrant un payoff quelconque Φ a la date T. On endeduit une formule generale donnant son prix a la date t :

Pt = EQdt

[Φexp

(−

∫ T

trd(s)ds

)]

.Quelques Exemples :

– Pour un Call de strike K : Pt = exp(− ∫ T

t rd(s)ds)

EQdt [max(ST −K, 0)]

– Pour une option asiatique sur moyenne discrete avec constatations aux dates (t1, t2, ..., tN ), on

definit la moyenne discrete S = 1N

N∑

i=1

Sti, alors

Pt = exp(−

∫ T

trd(s)ds

)EQd

[max(S −K, 0)

]

MODELE DE GARMAN ET KOHLHAGEN 6

Pour les calls, une formule fermee d’evaluation existe et le pricing ne pose aucune difficulte par-ticuliere. La formule d’evaluation repose sur le resultat suivant, connu sous le nom de formule deBlack-Scholes.

Si X est une variable aleatoire suivant une loi lognormale, telle que ln(X) a une variance σ2. Alors

E [max(X −K), 0] = E(X)N (d1)−KN (d2)

avec N la fonction de repartition de la loi normale centree reduite.

d1 =ln

(E(X)

K

)+ 1

2σ2

σet d2 = d1 − σ.

Cas d’un Call de Change :

L’equation de diffusion sous la probabilite risque neutre est

dSt

St= [rd(t)− rf (t)]dt + σtdWQ

d (t)

et donne par integration

ST = St exp[−

∫ T

trd(s)− rf (s)ds +

12

∫ T

tσ2(s)ds +

∫ T

tσ(s)dWs

]

La formule de Black-Scholes donne alors le prix par formule fermee d’un call de change :

Ct = exp(−

∫ T

trd(s)ds

)StN(d1)−K exp

(−

∫ T

trf (s)ds

)N(d2)

Avec d1 =lnSt

K +∫ Tt rd(s)− rf (s)ds +

∫ Tt σ2(s)ds√∫ T

t σ2(s)ds

et

d2 = d1−√∫ T

tσ2(s)ds

Conclusion :

Le modele de Garman et Kohlhagen donne donc dans le cas d’un call et d’un put vanilles, uneformule fermee, tout comme celui de Black-Scholes. Par contre, on voit que pour une option asiatique,on ne peut pas effectuer un calcul analogue a celui que l’on vient de faire. En effet, la moyenne du tauxde change apparaıt comme une somme de variables aleatoires lognormales correlees, et sa distributionn’est donc pas lognormale. Ainsi, les sections suivantes vont traiter de methodes de resolution du modele

METHODE DE MONTE CARLO 7

de Garman et Kohlhagen dans le cas d’une option asiatique (Methode de Monte-Carlo, Algorithme deTurnbull et Wakeman, approche par EDP).

3 Methode de Monte Carlo

3.1 Principe de la resolution

Nous commencons par rappeler brievement les arguments theoriques qui justifient la methode deMonte-Carlo ainsi que les moyens d’evaluer numeriquement sa precision.

Theoreme1 : Loi Forte des Grands Nombres

Soit X1, .., Xn, une suite de variables aleatoires iid (independantes, identiquement distribuees demoyenne m et de variance σ2), telles que ∀i, E(|Xi|) < ∞, et definies sur un meme espace de probabilite.

Alors la suite 1N

N∑

i=1

Xi converge presque surement vers la valeur m = E(Xi).

Ce theoreme assure la convergence presque-sure vers la valeur E(Xi). L’estimateur X = 1N

N∑

i=1

Xi

est donc convergent. D’autre part, il est facile de voir qu’il est sans biais, par linearite et independancedes Xi. Le controle de l’erreur est donne par le theoreme suivant.

Theoreme2 : Theoreme Central Limite

Sous les memes hypotheses que le theoreme precedent, on peut conclure que :

√n

[1n

n∑

i=1

Xi −m

]Ã N(0, σ2)

la convergence etant une convergence en loi.

Commentaires :

On peut deduire de cette convergence en loi que pour tout couple de reels a et b

limn→∞P

[σ

a√n

<n∑

i=1

Xi

n−m < σ

b√n

]=

1√2Π

∫ b

aexp

(−1

2x2

)dx

METHODE DE MONTE CARLO 8

D’autre part, si X suit une loi normale N (0, 1), on sait que P (| X |< 1.96) = 95%. On en deduit queP

[| Xi

n −m |) < 1.96 σ√n

]→ 95%. Ainsi, on obtient a l’aide de ce theoreme, un intervalle de confiance a

95%. Mais on voit qu’il reste a pouvoir estimer le parametre inconnu, pour pouvoir achever l’evaluationde l’erreur effectuee dans la methode de MonteCarlo. Le dernier resultat rappele ci-dessous donne unestimateur du parametre, a partir de la variance empirique de l’echantillon iid.

Theoreme3 : Estimation du parametre :

Sous les memes hypotheses que les deux theoremes precedents, la variance empirique

σ2n =

1n− 1

[n∑

i=1

(Xi −

∑ni=1 Xi

n

)2]

est un estimateur sans biais et convergent de σ2(convergence presque sure).

Commentaires : Ce dernier resultat permet donc de calculer l’erreur MonteCarlo. En pratique, onconsiderera que l’erreur a 95% est 1.96

σn√n

.

3.2 Application au pricing d’une option asiatique

Nous considerons une option asiatique sur taux de change qui livre a la date T le payoff :

Φ =

[1N

N∑

i=1

Sti −K

]+

Le prix de non arbitrage de cette option a la date t s’ecrit :

Pt(Φ) = E

[exp

(−

∫ T

trd(s)ds

)Φ

]

L’application de la methode de MonteCarlo va consister d’abord a simuler N variables aleatoiresΦ1, ...,ΦN de meme loi que Φ. En vertu de la loi forte des grands nombres, on pourra utiliser commeestimateur du prix :

Pt(φ) = exp(−

∫ T

trd(s)ds

)1N

N∑

h=1

Φh

Ensuite, on estime l’erreur en utilisant les deux derniers resultats de la section precedente. Oncommence par estimer la volatilite de l’estimateur du prix a l’aide de l’echantillon tire.

On a :

σ2 (Pt(Φ)) = exp(−2

∫ T

trd(s)ds

)1

N − 1

N∑

h=1

(Gh −

N∑

h=1

(Gh

N

)2)

METHODE DE MONTE CARLO 9

Le resultat precedent permet de conclure que l’erreur MonteCarlo avec une probabilite de 95% estla suivante :

ErreurMC =1.96√

nexp

(−

∫ T

trd(s)ds

)σ (Pt(Φ))

Chaque variable aleatoire Φh a simuler s’ecrit :

Φh =

(1N

N∑

i=1

Shti −K

)

.On voit donc que la simulation d’une variable aleatoire Φi necessite donc de savoir tirer une trajec-

toire de N points du taux de change. La diffusion du taux de change sous la probabilite risque neutrea deja ete etablie dans les sections precedentes et s’ecrit de la maniere suivante :

dSt

St= (rd(t)− rf (t)) dt + σdWQ

t

En notant S0, la valeur initiale du taux de change, on montre en utilisant le lemme d’Ito que lasolution de cette equation stochastique est :

St = S0 exp[∫ t

0rd(s)− rf (s)ds− 1

2

∫ t

0σ2(s)ds +

∫ t

0σ(s)dWs

]

Tout d’abord, on peut constater que St s’ecrit comme produit d’un facteur deterministe que nous

noterons Ft = S0 exp[∫ t

0rd(s)− rf (s)ds− 1

2

∫ t

0σ2(s)ds

]et d’un facteur stochastique note exp(Yt)

avec Yt =∫ t0 σ(s)dWs. Le facteur Ft se calcule aisement avec les donnees de marche. Nous presentons

ci-dessous la methode de simulation d’une trajectoire du processus Gt = exp(Yt) avec Yt =∫ t0 σ(s)dWs.

3.2.1 Simulation de la partie stochastique du taux de change

Le processus Yt =∫ t0 σ(s)dWs est une integrale de Wiener dans la mesure ou on suppose que σ(s)

est deterministe. On a donc les deux proprietes suivantes qui serviront a effectuer la simulation de Yt.– Yt suit une loi normale

(N(0,

∫ t0 σ2(s)ds)

)

– Le processus est a accroissements independants (si t > s, alors Yt − Ys est independant de Fs ouFs designe la filtration engendree jusqu’a la date s par le processus Y).

En subdivisant l’intervalle [0, T] avec un pas de temps h, on peut donc ecrire que :– Y0 = 0– Y(k+1)h − Ykh suit une loi N

(0,

∫ (k+1)hkh σ2(s)ds

).

Ainsi la recurrence ci-dessous permet de simuler une trajectoire du processus Yt.– Y0 = 0

– Y(k+1)h = Ykh +√∫ (k+1)h

kh σ2(s)dsZk

METHODE DE MONTE CARLO 10

ou les Zk sont des tirages independants suivant une loi normale N (0, 1). La simulation de Gt = exp(Yt)en decoule en prenant a chaque date kh, Gkh = exp(Ykh).

Remarque : La simulation de trajectoires necessite donc d’effectuer des tirages independants selonune loi normale N (0, 1). Ceci est un point crucial dans la simulation de Monte Carlo ; il est doncnecessaire d’obtenir un generateur de nombres aleatoires performant (avec de bonnes proprietes statis-tiques) et disposant d’une periode suffisante pour les calculs que l’on souhaite mener. Nous presentonsci-dessous la demarche que nous avons adoptee dans le cadre de notre projet qui consiste a commencerpar simuler une loi uniforme sur [0,1], puis utiliser la methode d’inversion de la fonction de repartition.

3.2.2 Simulation d’une loi uniforme U(0,1)

Des generateurs de nombres quasi-aleatoires sont disponibles dans la plupart des systemes. D’unemaniere generale, ces generateurs sont des generateurs congruentiels, c’est-a-dire qu’ils forunissentune suite d’entiers (xn)n≥0 donnes par la relation de recurrence suivante : xn+1 = axn + b (modulom). La valeur x0 est appelee la graine, a est le multiplicateur et la periode maximale d’une tellesequence est de m. Des exemples de generateurs integres aux systemes sont par exemple les fonctionsRANDOM de Pascal et Java, ou encore le RAND (ecrit par les auteurs du systeme Unix). La qualitede ces generateurs est evaluee a l’aide de tests statistiques d’uniformite, d’independance, mais aussi del’evaluation de leur periode. On peut par exemple citer le test de Kolmogorov-Smirnov qui compare

la fonction de repartition empirique calculee a la suite de nombres Fn(t) = 1n

n∑

i=1

χ[Ui<t], (ou χ designe

la fonction indicatrice), a la vraie fonction de repartition F (t) = P (U < t) = t quelque soit t dans[0,1]. La plupart de ces generateurs predefinis n’ont pas de tres bonnes proprietes statistiques. Nousnous sommes donc fondes sur la litterature existant sur ce sujet et les conclusions des nombreux testsdeja effectues dans ce domaine. L’un des meilleurs generateurs disponibles a l’heure actuelle est celuide Mersenne Twister developpe par Makoto Matsumoto et Takuji Nishimura en 1997 (entierementdisponible sur le site Internet des auteurs : http ://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/). Notre projetutilise une implementation de cet algorithme en JAVA.

3.2.3 Simulation de la loi normale N (0, 1) : Methode d’inversion

Le resultat utilise est le suivant. On suppose que U suit une loi uniforme U[0,1]. Alors, si on poseY = F−1(U), avec F−1 inverse de la fonction de repartition de la loi normale N (0, 1), la variablealeatoire Y suit une loi normale N (0, 1).

Demonstration : La preuve vient du fait que P (Y < t) = P [F−1(U) < t] = P [U < F (t)] = F (t)avec F fonction repartition de la loi normale N (0, 1). On en deduit que Y suit une loi normale N (0, 1).

D’un point de vue numerique, nous avons implemente sous Java l’algorithme d’inversion de Morod’une tres grande precision . (Ref Moro ” The Full Monte ” , Risk, Vol 8 No2, Fevrier 95-P57-58).

Description de l’Algorithme d’inversion de Moro :En supposant connue la valeur de N(x), l’algorithme ci-dessous permet de retrouver x.

METHODE DE MONTE CARLO 11

L’approximation est faite en fonction de la valeur de N(x). Soit y = N(x)− 0, 5Si|y| ≤ 0, 42, alors l’approximation faite est :

x = y

3∑

i=0

aiy2i

4∑

j=0

bjy2j

Si en revanche |y| > 0, 42, alors l’approximation est faite a l’aide des polynomes de Tchebychev :

x = ε

[8∑

i=0

ciTi(t)

]− ε

c0

2

ou ε est le signe de y et :

t = k1

[2ln

(−ln(

12− |y|)

)− k2

]

En resume, nous avons donc presente les methodes utilisees pour pouvoir generer une trajectoire

du taux de change et evaluer le payoff associe a chaque trajectoire (h) : Φh =

(1N

N∑

i=1

Shti −K

)+

. Les

calculs de prix et d’erreurs s’en deduisent en utilisant les formules etablies un peu plus haut, a savoir

que l’estimateur du prix est Pt(Φ) = exp(− ∫ T

t rd(s)ds)

1N

N∑

h=1

Φh. L’erreur a 95% s’ecrit :

ErreurMC =(

1.96√N

exp(−

∫ T

trd(s)ds

)σ(Pt(Φ))

)

3.3 Monte Carlo et Techniques de Reduction de Variance

3.3.1 utilisation de variables antithetiques

La precision de la methode de MonteCarlo peut etre amelioree par des techniques de reduction dela variance de l’estimateur. Aussi, allons-nous utiliser ici la technique des variables antithetiques.

Rappelons cependant le theoreme suivant, necessaire a la mise en oeuvre de cette technique :Theoreme :Soit X une variable aleatoire, T une transformation decroissante de < telle que T(X) a la meme loi

que X et Φ une fonction monotone. Alors

COV (Φ(X), T (Φ(T (X)) ≤ 0

.

METHODE DE MONTE CARLO 12

Pour pricer l’option de payoff Φ =

(1N

N∑

i=1

Shti −K

)+

, la methode de Monte Carlo classique a

consiste a approximer E(Φ) par (Φ1+Φ2+...+ΦN )N . On va utiliser une propriete de symetrie en loi dans l’ex-

pression de Φ. Comme indique dans la section precedente Sti = Fti exp(∫ ti

0 σ(s)ds)

ou Fti est le facteur

deterministe vu a la section precedente (evalue a la date ti). Posons S∗ti = Fti∗ exp(− ∫ ti

0 σ(s)dWs).

Par symetrie, Sti* garde la meme loi que Sti . Ainsi, si on pose Φ∗ =

(1N

N∑

i=1

S∗ti −K

)+

, §∗ti est appelee

la variable antithetique associee a §ti . Dans la mesure ou E(Φ) = E(Φ∗), on en deduit que pour calculerE(Φ), on peut effectuer N tirages independants de Φ et Φ∗ et utiliser l’estimateur suivant :

E∗ =1

2N(Φ1 + Φ∗1 + ... + ΦN + Φ∗N )

a la place de l’estimateur classique

E =1

2N(Φ1 + ... + Φ2N )

. Ces deux estimateurs de l’esperance sont tous les deux convergents et sans biais, mais l’interetd’utiliser le premier resulte du fait que sa variance est plus faible. En effet , en utilisant l’hypothesed’independance et de distribution identique des tirages, on montre que

V ar(Φ∗) = V ar(Φ) + cov(Φ, Φ∗).

Le gain de variance resulte du theoreme precedent qui permet d’etablir que cov(Φ, Φ∗) ≤ 0. En effet,

en l’appliquant a la variable aleatoire X = 1N

N∑

i=1

Sti, et pour la fonction Φ(x) = (x−K)+.

3.3.2 Resultats Numeriques :

Les graphes ci-dessous permettent de comparer la convergence des prix et les erreurs Monte carloobtenues avec et sans reduction de variance en faisant varier le nombre de trajectoires.

METHODE DE MONTE CARLO 13

Fig. 1 – Comparaison des erreurs Monte Carlo avec et sans reduction de va-riance

Fig. 2 – Convergence des prix Monte Carlo avec et sans reduction de variance

Nous constatons que la variance obtenue avec la methode antithetique est plus faible. On remarqueegalement que la courbe des prix de Monte Carlo antithetique a moins de fluctuations que dans le casd’un Monte Carlo sans reduction de variance, donc que le prix converge effectivement plus rapidementdans le premier cas.

TURNBULL ET WAKEMAN 14

3.4 Reconstitution de la densite de la moyenne a partir de simulations de Monte

Carlo

Notons qT (x) la densite de la moyenne arithmetique sur l’horizon T. Le prix d’un Call asiatique surmoyenne (de strike K) calcule a l’aide de la simulation de Monte Carlo s’exprime aussi par l’integralesuivante :

C0(K) = exp(−

∫ T

0rd(s)ds

)∫ ∞

KqT (x)(x−K)dx

On deduit de cette relation que

∂2C0(K)∂K2

= exp(−

∫ T

0rd(s)ds

)qT (K)

Ainsi qT (K) est lie a la derivee seconde du prix par rapport au strike.

qT (K) = exp(∫ T

0rd(s)ds

)∂2C(K)

∂K2

Cette relation est connue sous le nom de formule de Breeden Litzenberger. L’approximation numeriqueque nous avons effectuee consiste a evaluer le prix du call pour une serie de valeurs discretes de strikeK1,K2, ..., KN . (On suppose que Ki−Ki−1 = δ constant). La derivee seconde de C est alors approximeepar (

∂2C(K)∂K2

)

K=Ki

=C(Ki−1)C(Ki+1)− 2C(Ki)

δ2

On pourra se reporter aux annexes pour les graphes de densite obtenue a l’aide de cette methode.qui sont par ailleurs commentes dans la section 7 ”Analyse des resultats”.

Conclusion : Finalement le pricing des options par les simulations de Monte Carlo donne desresultats relativement precis. On peut de plus ameliorer la performance de cette methode par unetechnique de reduction de variance. Neanmoins, cette technique de pricing est couteuse en temps decalcul puisque pour obtenir des resultats de densite satisfaisants, il est necessaire de simuler au moinsun million de trajectoires de prix. Nous allons donc dans la partie suivante etudier un procede beaucoupplus rapide :l’algorithme de Turnbull et Wakeman.

4 Turnbull et Wakeman

4.1 le principe de l’algorithme de Turnbull et Wakeman

Pour developper cette partie, nous avons etudie l’article de Turnbull et Wakeman, ”A Quick Algo-rithm for pricing european Asian Options”, dont les references sont notees en annexes.

Soit Ct le prix du call europeen considere, ou K est le prix d’exercice de l’option et n le nombred’observations du prix de l’actif sous-jacent.

TURNBULL ET WAKEMAN 15

Ct = Et

[exp(−

∫ T

0rddt)S −K/S ≥ K

]

ou Et est l’esperance conditionnelle sachant le prix de l’actif en t et S = 1N

N∑

i=1

Sti

Pour evaluer cette option, il faut donc connaıtre la fonction de densite de la moyenne S. Or S

etant une somme de lognormales correlees, il est en general difficile d’evaluer sa densite ; neanmoins,on peut plus facilement calculer ses moments. L’algorithme de Turnbull et Wakeman repose alors surune approximation de la distribution de S par une distribution lognormale dont les deux premiersmoments sont cales sur ceux de S. Cette approche nous permet par la suite d’evaluer notre option parla formule fermee de Black-Scholes.

4.2 Approximation de la densite de S

On suppose que S est egale en loi a une variable aleatoire lognormale qu’on notera Y = µ exp(σX − σ2

2

),

ouX Ã N (0, 1). De cette condition d’egalite en loi, les deux premiers moments de S sont egaux a ceuxde Y. Nous sommes donc amenes a calculer les deux premiers moments de S pour determiner lesparametres µ et σ.

En utilisant la transformee de Laplace,on trouve les deux premiers moments de Y et on a :

E(Y ) = µ (1)

E(Y 2) = µ2 exp(−σ2)E[exp(2σX)] = µ2 exp(σ2) (2)

car E [exp(2σX)] = exp(2σ2)

4.2.1 Calcul des deux premiers moments de S

On se referera aux annexes pour la demonstration de ces resultats. On a, apres calcul :

E(S) =S0

N

N−1∑

i=0

exp[∫ ti

0(rd(s)− rf (s))ds

]

E(S2) =S2

0

n

n−1∑

i=0

n−1∑

j=0

exp(∫ ti

0(rd(s)− rf (s))ds +

∫ tj

0(rd(s)− rf (s))ds

∫ ti∧tj

0σ2(s)ds

]

4.2.2 Determination de la loi de Y

Nous avons choisi d’approcher la densite de S par une loi lognormale de la forme Y = µ exp(σX−σ2

2 )ou X Ã N (0, 1) (cf ci-dessus). Les parametres µ et σ2, qui caracterisent ainsi exactement la loi de

RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 16

Y, sont alors determines de telle sorte que les deux premiers moments de Y coıncident avec les deuxmoments que nous venons de calculer. Nous devons donc avoir :

E(Y ) = µ = E(S) (3)

V (Y ) = E(Y 2)− E(Y )2 = µ2 exp(σ2)− µ2 = V (S) (4)

ce qui nous donne µ2 exp(σ2) = E(S2) soit

σ2 = ln

(E(S2)

µ2

)

µ = E(S)

La loi de Y est alors completement caracterisee, ce qui va nous permettre de pricer notre call encalculant l’esperance de son payoff actualise ; on obtient ainsi :

Ct = exp(−

∫ T

0rd(s)ds

)[µN (d1)−KN (d2)]

avec d1 = ln( µK

)+ 12σ2

σ et d2 = d1− σ

Conclusion : L’avantage de cette methode par rapport a la methode probabiliste de Monte Carloest qu’elle est beaucoup plus rapide car ne suppose que deux calculs, a savoir les deux premiersmoments de S. En contrepartie, elle repose sur une approximation fausse considerant la densite de S

lognormale. En effet, meme si on constate pour certains couples, par exemple dans le cas du coupleEUR/USD, que ne tenir compte que des deux premiers moments de la loi de S conduit a des resultatstres satisfaisants, nous obtenons parfois (comme dans le cas du couple EUR/JPY) des prix differents deceux donnes par la premiere methode. (L’analyse de ces resultats est presentee dans la section 7.) Dansla partie suivante, nous allons alors envisager une nouvelle approche qui assimile la moyenne discretea une moyenne continue. Cette technique consiste a evaluer les options par resolution d’equations auxderivees partielles.

5 Resolution par equations aux derivees partielles

5.1 EDP en dimension 2

5.1.1 etablissement de l’equation

En conservant les memes notations que precedemment, rappelons les dynamiques des actifs sansrisque Sd(actif domestique), Sf (actif etranger) et de l’actif risque S.

RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 17

dSd

Sd= rddt

dSf

Sf= rfdt

dS

S= (rd − rf )dt + σdWQ

t

ou (WQt )(t≥0) est un mouvement brownien sous la probabilite risque neutre Q, probabilite sous

laquelle les actifs actualises sont martingales.Soient ρ0

t et ρt, les quantites respectives de l’actif sans risque domestique et de l’actif risque, detenuspar un investisseur sur le marche.

Notons par ailleurs Φ[(St)0≤t≤T ] le payoff d’un call asiatique sur l’actif St, evalue sur la moyennede la periode [0, T ] :

Φ[(St)0≤t≤T ] =

(∫ T0 Sudu

T−K

)+

En absence d’opportunite d’arbitrage, le prix de ce call s’ecrit :

Pt = exp(−rd(T − t))EQt

[(∫ T0 Sudu

T−K

)+]

En supposant que notre marche est complet, on peut repliquer tout actif contingent par une strategied’investissement autofinancee fondee sur les actifs risque et sans risque :

∃(ρ0t , ρt) ∈ <2\Pt = ρ0

t S0t + ρtSt

Mais etant donne que le payoff n’est pas markovien(il depend de la moyenne sur la periode), onintroduit la variable It =

∫ t0 Sudu qui va permettre de le rendre markovien.

Par application du lemme d’Ito, on trouve :

dPt =[∂P

∂t+

∂P

∂SS(rd − rf ) +

12

∂2P

∂S2S2σ2 +

∂P

∂Is

]dt +

[∂P

∂SSσ

]dWQ

t

Par ailleurs, en utilisant le caractere autofinance de la strategie de replication, on trouve :

dPt = (ρ0t S

0t rddt + ρtStrf + ρtStrf )dt + ρtσStdWQ

t

et en identifiant les termes des equations precedentes, on tire l’equation deterministe de Pt quis’ecrit sous la forme du probleme suivant de Cauchy sur ([0, T ] ∗ <2) :

∂tPt + =S,IP = rdΠ, 0 ≤ t < T (5)

P (T, S, I) = Φ(I) (6)

RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 18

avec=S,I =

12σ2S2∂2

S2 + (rd − rf )S∂S + S∂I

5.1.2 commentaires

– On constate que l’EDP de dimension 2 satisfaite par le prix du call asiatique fait apparaıtre unterme supplementaire qui traduit la dependance du payoff en la valeur moyenne de l’actif.

– Notons que la presence de ce terme supplementaire fait sortir l’approximation du prix de l’optionasiatique du cadre standard de resolution des EDP, ce qui necessite un cadre de traitementspecifique comme celui propose par ”Zvan et Al” et qui permet de tenir compte de la naturedegeneree de I dans l’operateur =S,I .

5.2 EDP en dimension 1

En operant le changement de variables suivant :

IT0 =

∫ T

0Sudu−KT (7)

xt = − ITt

TSt(8)

et par application du lemme d’Ito, on trouve que

dxt = −xtσdWQt −

[(rd − rf − σ2

2)xt +

1T

]dt

On peut donc montrer que :

Pt = Stu(t, xt) exp(−rf t)

ou u est solution de l’equation differentielle suivante :

∂u

∂t+

((rd − rf )x +

1T

)∂u

∂x− 1

2σ2x2 ∂2u

∂x2= 0, x > 0, t > 0 (9)

u(0, x) = 0, x ≥ 0 (10)

u(t, 0) =1

(rd − rf )T(1− exp(−(rd − rf )T )), t ≥ 0 (11)

Comme le montre le travail de Lelievre, le probleme (9, 10, 11) donne des resultats instables lorsquela diffusion (la volatilite) est petite. Une methode pour contourner ce probleme consiste a transformerl’equation d’advection-diffusion en une pure diffusion, c’est a dire de faire disparaıtre le terme convectif

RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 19

lie a la premiere derivee grace a un changement de variable approprie. Pour cela on doit simplementintegrer l’equation suivante :

(rd − rf )x +1T

=y

Texp((rd − rf )t), y > 0 (12)

On constate que :– lorsque t = 0, la relation (12)s’ecrit pour x > 0 et y > 1 :

(rd − rf )x =1T

(y − 1)

– lorsque x = 0, on a simplement pour t > 0 et y < 1 :

y = exp(−(rd − rf )T )

Ces considerations conduisent aux changements de variable suivants :

(t, x) 7→ (Θ ≡ t, y ≡ ((rd − rf )Tx + 1) exp(−(rd − rf )t))

avec la condition supplementaire

Θ >1

(rd − rf )log(

1y)

ainsi que le changement de la fonction inconnue u(.,.) :

u(t, x) ≡ v(τ, y)

Suite a ces transformations, les derivees partielles dans l’equation (9) deviennent :

∂u

∂t=

∂v

∂τ− (rd − rf )y

∂v

∂y

∂u

∂x= (rd − rf )T exp(−(rd − rf )τ)

∂v

∂y

∂2u

∂x2= ((rd − rf )T )2 exp(−2(rd − rf )τ)

∂2v

∂y2

compte tenu de la relation (9), on a

12σ2x2 ∂2u

∂x2=

12σ2((rd − rf )xT exp(−(rd − rf )τ))2

∂2v

∂y2=

12σ2(y − exp(−(rd − rf )τ))2

∂2v

∂y2,

et l’equation d’evolution de la nouvelle fonction inconnue s’ecrit :

∂v

∂τ− 1

2σ2(y − exp(−rτ))2

∂2v

∂y2= 0, τ > 0, y > 0, τ >

1(rd − rf )

log(1y) (13)

Dans cette nouvelle equation, les conditions au bord deviennent :

RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 20

– pour τ = 0 et y > 1, la condition initiale prend maintenant 10 la forme

v(0, y) = 0

– pour y < 1 et τ = 1(rd−rf ) log( 1

y ), la condition a la limite devient :

v

(1

(rd − rf )log(

1y), y

)= g(y) =

1(rd − rf )T

(1− y), 0 < y ≤ 1

.On constate alors que le probleme aux limites (9, 10, 11) est pose sur un domaine non rectangulaire :

ΩT =

(τ, y), 0 ≤ τ ≤ T, τ ≥ 1(rd − rf )

log(1y)

dont la frontiere contient la courbe definie par :

Γ =(

τ =1

(rd − rf )log(

1y), y

), 0 < y ≤ 1

La discretisation de ce probleme demande de reflechir sur un maillage en espace-temps qui contientexplicitement la courbe de frontiere. On suggere le schema de precision d’ordre deux obtenu grace aun θ-schema en temps a pas constant et a pas non uniforme pour la variable y.

5.3 Discretisation en temps

Nous ecrivons l’equation (13) sous la forme

∂v

∂τ= A(τ) · (v(τ)) (14)

avec τ qui varie au cours du temps et y ≥ exp(−rτ). L’operateur A(τ) est donne par :

A(τ) = µ(τ, y)∂2

∂y2≡ σ2

2(y − exp(−rτ))2

∂2

∂y2(15)

A present, on introduit un pas de temps subdivisant notre intervalle [0 ;T] en N intervalles egaux[τk; τk+1[ associes aux instants intermediaires τk :

∆t =T

N, τk ≡ k∆t, 0 ≤ k ≤ N (16)

Pour trouver des solutions approchees, nous utilisons des θ-schemas :

1∆t

(vk+1 − vk) =12[A(τk+1) · (vk)

](17)

qu’on peut ecrire autrement sous la forme suivante :

(1− (1− θ)∆tAk+1) · (vk+1) = (1 + θ∆tA

k)vk, O ≤ θ ≤ 1 (18)

RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 21

et la condition initiale (10) peut s’ecrire sous la forme suivante :

v0 = 0

5.4 Discretisation en espace

Les temps intermediaires θk definissent naturellement pour 0 ≤ k ≤ N , des points yN−k sur lacourbe limite et l’on pose :

yj ≡ exp(−rτN−j), 0 ≤ j ≤ N.

On remarque egalement que y0 = exp(−rT ) et yN = 1. On etablit par ailleurs la relation suivante :

yj+1 = exp (r∆t) yj (19)

Les donnees geometriques introduites ci-dessus conduisent a une grille cartesienne (τk, yj) a pasconstant en temps et a pas geometrique en espace, en suivant la relation 19. La condition pour unpoint discret d’appartenir au domaine s’exprime, compte tenu de la relation precedente, sous la forme :

(τk, yj) ∈ ΩT ⇔ j ≥ N − k (20)

Les conditions aux limites sur la grille discrete sont :– d’une part a l’instant initial :

v0j = 0, j ≥ 0

– d’autre part sur la courbe limite :

vkN−k =

1(rd − rf )T

(1− yN−k), 0 ≤ k ≤ N

5.5 Algorithme de calcul de la fonction valeur

On doit dans un premier temps borner l’ensemble des valeurs ponctuelles en espace, de maniere adefinir un ensemble fini de variables. On le fait en fixant un entier J qui indique le nombre de points dediscretisation a l’instant initial. L’ensemble des points admissibles en espace au pas de temps numerok est parametre par des entiers j qui verifient la condition :

N − k ≤ j ≤ N + J

Par ailleurs, dans un souci de simplicite de la mise en oeuvre, on garde ici une progressiongeometrique pour l’ensemble des points de la suite (yj), qui verifient donc la relation (19) pour tousles indices j tels que 0 ≤ j ≤ N + J .

RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 22

Par consequent, l’ordre du systeme lineaire a resoudre est variable en fonction de l’indice du pasde temps. Au fur et a mesure que le temps discret avance, l’ordre du systeme lineaire a resoudre passeprogressivement de J(a l’instant initial), a N + J (a l’instant final) ; a l’instant k, on a un systemelineaire d’ordre J + k a resoudre.

Compte tenu de la relation (14) valable dans le cas d’un espace continu, l’operateur discret Ak agitsur les fonctions valeur a l’aide d’un operateur aux differences finies :

(∂2ω

∂y2)kj '

N−k+J∑

m=N−k

ωm∆kj,m

qui doit etre compatible avec les points existants sur la grille a l’instant k.En pratique, pour un indice j, on choisit un operateur aux difference finies centre a cinq points(voir

Annexes ”Evaluation par equations aux derivees partielles” pour le calcul des coefficiants ∆j,m).

5.6 Interpolation et interpretation des resultats numeriques

5.6.1 Interpolation des resultats

Cherchons par exemple a calculer le prix d’un call asiatique a la monnaie (x = 1) a maturite T.Une premiere difficulte consiste a situer la position x = 1 entre deux points yj de la grille. En vertude la relation (15), nous procedons de la maniere suivante : nous placons d’abord le point x = 1 entredeux points xj et xj+1 tels que :

xj =1rT

(yj exp(rT )− 1) ≤ x = 1 ≤ xj+1 =1rT

(yj+1 exp(rT )− 1)

Puis nous evaluons la valeur de u(T, x = 1) a partir des valeurs calculees uj avec la methodedes differences finies. Dans le cas d’interpolation affine, nous utilisons les valeurs uj et uj+1 ainsi quele coefficient d’interpolation naturel associe a la relation precedente. Dans le cas d’une interpolationparabolique, nous utilisons le triplet (j-1, j, j+1) ou le triplet (j, j+1, j+2). La derniere approximationque nous avons employee prend la forme d’un polynome de degre 3 ; trois quadruplets sont donc utilises :”a gauche”, (j− 2, j− 1, j, j +1), au ”centre”, (j− 1, j, j +1, j +2), et ”a droite” (j, j +1, j +2, j +3).

Pour evaluer UN (T, x = 1), nous disposons donc de six methodes d’approximation sur la grillequ’on peut combiner par les trois θ-schemas les plus utilises dans la discretisation des EDP (implicite,Crank-Nicholson, explicite).

5.6.2 Interpretation

Dans le cas particulier d’une option asiatique sur le taux de change EUR/USD (reuro = 3.151%, rdollar =5.531%, σ = 6.850%) en utilisant un maillage de points compose de N=250 pas de temps et J=250points de discretisation a la date initiale, les prix obtenus par les differentes approximations sontexposes dans le tableau suivant.

RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 23

Fig. 3 – Comparaison des prix pour differentes methodes d’interpolation

Dans ce cas, on constate l’apparition d’une incertitude sur les resultats numeriques qui s’accentueparticulierement en utilisant l’approximation lineaire des prix. En effet, pour un θ-schema donne, lecalcul predit une valeur du prix avec 4 chiffres significatifs qui correspondent au nombre de chiffresidentiques pour les 6 methodes d’approximation. Si on ne prend pas en compte l’interpolation affine,(qui utilise peu d’informations pour approximer le prix), les valeurs predites ont une significativite quis’eleve au sixieme chiffre apres la virgule. Cette remarque etant faite, nous avons choisi l’approxima-tion cubique centree pour comparer les resultats donnes par les EDP avec ceux obtenus par d’autresapproches.

Pour choisir le θ-schema a utiliser dans l’approximation des prix, nous avons trace le graphe deconvergence des prix dans les trois situations.

--E.D.P-- Convergence vers le prix de l'option par raffinement du maillage de

points

0,0249

0,0254

0,0259

0,0264

0,0269

0,0274

25 50 75 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600Nombre de discrétisations

Prix Explicite Crank-Nicholson Implicite

Fig. 4 – Convergence vers le prix de l’option

INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES 24

On observe que la methode de resolution par un schema implicite donne des resultats moins sa-tisfaisants puisque la convergence vers le prix de l’option est plus lente que dans le cas du schema deCrank-Nicholson ou dans le cas du schema explicite, qui donne les resultats les plus performants.

D’ailleurs, le graphe ci-dessous confirme ce constat :

--E.D.P--Gain de précision par raffinement du maillage de points

0,00E+001,00E-032,00E-033,00E-034,00E-035,00E-03

Préc

ision

Explicite Crank-Nicholson Implicite

Explicite 1,64E-03 7,90E-04 9,73E-05 4,07E-05 6,31E-05 6,65E-05 5,98E-05 5,31E-05 4,66E-05 8,43E-10Crank-Nicholson 2,88E-03 2,01E-03 7,06E-04 3,24E-04 1,80E-04 1,07E-04 7,04E-05 4,82E-05 3,45E-05 1,04E-08Implicite 4,12E-03 3,24E-03 1,32E-03 6,91E-04 4,75E-04 2,73E-04 1,96E-04 1,24E-04 3,45E-05 2,74E-07

75 --> 100

100 --> 150

150 --> 200

200 --> 250

250 --> 300

300 --> 350

350 --> 400

400 --> 450

450 --> 500

550 --> 600

Fig. 5 – Gain de precision par raffinement du maillage de points

Nous avons represente le gain de precision apporte par une augmentation du nombre de pointsde discretisation. Par exemple, dans le cas du schema explicite, lorsque l’on passe de 75 a 100 pointsde discretisation, nous ameliorons la precision de notre prix de 1, 64.10−3. Cela signifie que si pourdeux points consecutifs d’une des courbes, l’amelioration de la precision evolue peu, nous sommes dejaproches du prix de convergence. Nous remarquons alors que c’est effectivement le schema explicite quiconverge le plus rapidement.

6 Introduction d’un modele avec taux stochastiques

L’objectif de cette section est de proposer une alternative au modele de Garman et Kohlhagen qu’ona etudie jusque-la. Il s’agit notamment d’introduire des taux stochastiques, et d’observer l’impact decette modelisation sur les prix . De facon empirique, on constate que sur le marche, on peut avoir desmouvements de translation, pivotement de la courbe des taux. Le prix d’un zero-coupon peut doncvarier suite a un mouvement de la courbe des taux et doit donc en realite etre modelise par un processusstochastique. Ce ” risque de taux ” ne peut a priori pas etre neglige, surtout sur des maturites longues.Nous allons presenter la modelisation utilisee pour prendre en compte ce phenomene et analyser lesresultats numeriques en comparaison avec ceux des sections precedentes. Pour developper cette section,nous nous sommes inspires des articles ref 8 et ref 9 de la bibliographie)

6.1 Modelisation financiere

Differentes approches ont ete developpees. Par exemple, le modele de Vasicek consiste a considererla courbe des taux comme fonction d’une variable d’etat qui est le taux court et a le modeliser par un

INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES 25

processus de retour a la moyenne. D’autres approches comme celle presentee dans l’aricle de Geman El-karaoui, (Rochet 95) consistent a partir des processus de prix des zero-coupon B(t,T) et a les modeliserpar des processus d’Ito avec un drif µ(t, T ) et un vecteur de risque ou de volatilite σ(t, T ). Nous allonsnous placer dans ce cadre et modeliser respectivement les deux processus de prix de zero-coupon dansles deux economies.

Les prix a la date t des zero-coupon de maturite T dans les deux economies sont notes respec-tivement Bd(t, T ) et Bf (t, T ). Les taux courts instantanes sont notes rd(t) et rf (t), et le taux dechange de (f) vers (d) est note S(t) . On suppose que dans les deux economies, n sources de bruitsindependantes(n ≥ 3) expliquent les perturbations aleatoires de tous les produits financiers. On noteraWP (t) ce brownien multidimensionnel sous la probabilite historique P propre a l’agent et (Ft)(t≥0), lafiltration qu’il engendre.

6.1.1 Dynamiques des processus de prix en absence d’arbitrage

On note : λd(t) et λf (t), les primes de risque dans chaque economie,σd(t, T ) et σf (t, T ) les vecteursde volatilite des deux zero-coupon.

En l’absence d’opportunite d’arbitrage, dans chacune des deux economies, on peut ecrire les rela-tions suivantes.

dBd(t, T )Bd(t, T )

= rd(t)dt+ < σd(t, T ), dW p(t) + λddt >

dBf (t, T )Bf (t, T )

= rf (t)dt+ < σf (t, T ), dW p(t) + λfdt >

dS(t)S(t)

= (rd − rf )dt+ < σs(t, T ), dW p(t) + λddt >

Le lien entre les deux primes de risques λd et λf s’obtient en traduisant le non arbitrage entre lesdeux economies (d) et (f).

6.1.2 Lien entre primes de risque λd et λf

Bf (t, T ) est le prix du zero coupon etranger exprime en monnaie etrangere. On exprime que ladynamique du processus Zt = Bf (t, T )S(t) qui correspond au prix exprime en devise (d) satisfait auprincipe de non arbitrage enonce dans l’economie (d). Sa dynamique est donc de la forme :

rd(t)dt+ < σZ , dWP (t) + λddt >

. Par application du lemme d’Ito, on a

dZ

Z=

dS

S+

dBf

Bf+ <

dS

S,dBf

Bf>

INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES 26

avec < dSS ,

dBf

Bf>=< σs(t), σf (t, T ) > dt ce qui apres calcul nous donne le lien entre les deux primes

de risque suivant : λf = λd − σsdt

D’autre part, comme on l’a deja effectue precedemment, on peut definir une probabilite Qd,equivalente a P sous laquelle WQd = WP +

∫ T0 λd(s)ds est un mouvement brownien. Sous la pro-

babilite Qd(risque neutre domestique), les dynamiques des trois processus s’ecrivent donc de la faconsuivante :

dBd(t)Bd(t)

= rd(t)dt+ < σd(t, T ),WQd(t) >

dBf (t, T )Bf (t, T )

= [rf (t)− < σf (t), σs(t) >]dt+ < σf (t, T ),WQd(t) >

dS(t)S(t)

= (rd − rf )dt+ < σs(t),WQd(t) >

Sous la probabilite Qd(domestique), on a deja vu que le prix en t d’un actif contingent versant Φa la date T s’ecrit :

Pt = EQd

[Φexp

(−

∫ T

trd(s)ds

)]

Il est clair que dans le cas de taux stochastiques, le facteur d’actualisation ne peut etre sorti del’esperance permettant de calculer le prix d’un actif contingent comme dans les section precedentes et iln’est plus tres commode de se placer sous la probabilite Qd. Nous allons donc effectuer un changementde numeraire.

6.1.3 Construction de la probabilite de Pricing : Probabilite Forward Neutre

La technique du changement de numeraire que nous allons utiliser ici est developpee dans l’articled’El Karaoui, Geman et Rochet (95). On note Ft, le prix a la date t du forward de change d’echeance T :Ft = St

Bf (t,T )Bd(t,T ) . En utilisant les equations de diffusion du paragraphe precedent, ainsi que les formules

d’Ito, on montre que,

dFt

Ft=< σs(t) + σf (t)− σd(t, T ), dWQd(t)− σd(t, T )dt >

. Nous voyons donc que si on arrive a definir une probabilite QT telle que dWQd(t)−σd(t, T )dt est unQT mouvement brownien, le forward sera martingale sous QT .

Une telle probabilite QT existe d’apres le theoreme de Girsanov, et on a

(dQT

dQd)\FT

= ZT = exp(−

∫ T

0σ2

d(s, T )ds +∫ T

0σd(s, T )dWs

)

La probabilite ainsi definie est la probabilite forward neutre, qui rend martingale les processus deprix forward de n’importe quel actif contingent. Ainsi, si on note Pt, le prix a la date t d’un actifcontingent versant Φ a la date T dans l’economie domestique (d), la formule de pricing devient

Pt = Bd(t, T )EQT (Φ)

INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES 27

.

6.1.4 Application au Pricing d’Options

Application au Pricing d’OptionsNous allons d’abord (pour des objectifs de calibration du modele), calculer le prix d’un Call de

Change.Prix d’un call de changeOn a deja etabli

dFt

Ft=< σs(t) + σf (t, T )− σd(t, T ), dWQT

>

et on note le vecteur des volatilites du forward d’echeance T :

σGK(t, T ) = σs(t) + σf (t, T )− σd(t, T )

. En integrant cette equation entre les dates t et T , on obtient :

ST = StBf (t, T )Bd(t, T )

exp

[−1

2

∫ T

tσ2

GK(s, T )ds−∫ T

tσGK(s, T )dWs

]

.En supposant la volatilite du forward deterministe, on conclut que XT suit une loi lognormale et

on peut calculer le prix d’un Call de Change dans ce modele, en utilisant la formule de Black Scholes.

Ct = StBf (t, T )N (d1)−KBd(t, T )N (d2)

avec

d1 =ln

StBf (t,T )KBd(t,T ) + 1

2

∫ Tt σ2

GK(s, T )ds√∫ T

t σ2GK(s, T )ds

et

d2 = d1−√∫ T

tσ2

GK(s, T )ds

Remarques sur la calibration du modele : On note de facon generale ρxy, le coefficient decorrelation instantane entre les prix de deux processus de prix X et Y (ρxy = <σX ,σY >

‖σX‖‖σY). Le prix de

marche a la date 0 d’un Call de change de maturite T permet donc de calibrer le modele. La volatilitemoyenne implicite qui en est deduite est la quantite :

∫ t

0σ2

GK(u, t)du =∫ t

0σ2

s(u, t) + σ2f (u, t) + σ2

d(u, t)

+ 2ρsf‖σs(u))‖‖(σf (u, t))‖ − 2ρsd‖(σs(u))‖‖(σd(u, t))‖+ 2ρfd‖(σf (u, t))‖‖(σd(u, t))‖du

INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES 28

Cette equation donne le lien entre la volatilite implicite(observee) et la volatilite du spot qui serviranotamment dans le calcul du prix de l’option asiatique par la methode de MonteCarlo. Il est a noterque la volatilite implicite inclut la volatilite des trois processus de prix ainsi que leur correlation.

Prix de l’Option AsiatiqueIl reste donc a preciser la dynamique de St sous la probabilite Forward neutre, pour pouvoir

appliquer la methode de MonteCarlo. En partant de la relation

dFt

Ft=< σGK(t, T )dWQT >=< σs(t) + σf (t, T )− σd(t, T )dWQT ,

on deduit que

St = S0Bf (0, T )Bf (t, T )

Bd(t, T )Bd(0, T )

exp[−1

2

∫ T

tσ2

GK(s, T )ds−∫ T

tσGK(s, T )dWs

]

Il faut maintenant pouvoir exprimer les ratio Bd(t,T )Bd(0,T ) et Bf (t,T )

Bf (0,T ) , autrement dit les dynamiques deszero-coupon sous la probabilite QT . Pour etablir ces equations, on utilise Bd(t, T ) et Bf (t, T ) commenumeraires et on montre par application du lemme d’Ito qu’a t’ fixe, les zero-coupon domestique etetranger d’echeance t’ ont pour dynamique dans ces numeraires :

dBd(t, t′)Bd(t, T )

=Bd(t, t′)Bd(t, T )

< σd(t, t′)− σd(t, T ), dWQT >

dBf (t, t′)Bf (t, T )

= < σf (t, T )− σf (t, t′), σGK(t, T ) > dt+ < σf (t, T )− σf (t, t′), dWQT >

On integre ensuite ces equations entre les dates 0 et t , puis on pose t’=t, ce qui permet d’exprimerBd(t, T ) et Bf (t, T ) en fonction de Bf (0, t) et Bd(0, t). L’avantage est que ces quantites sont connuesa partir de la courbe des taux initiale. La dynamique du spot sous la probabilite forward neutre s’ecritfinalement :

St = S0Bf (0, t)Bd(0, t)

exp[−1

2

∫ t

0(σs(u) + σf (u, T )− σd(u, T ))2du

]

exp[−1

2

∫ t

0< (σs(u) + σf (u, T )− σd(u, T )), σd(u, t)− σd(u, T ) > du

]

exp[∫ t

0< (σs(u) + σf (u, T )− σd(u, T )), dWQt(u) > du

]

Remarque : Cette equation de diffuson du spot permettra d’effectuer l epricing par simulationsMonte Carlo. Notons egalement que lorsque σd(u, t) = 0 et σf (u, t) = 0, on retrouve la dynamiqueetablie dans le cadre du modele de Garman Kohlhagen avec taux deterministes.

Simulation de MonteCarlo : La simulation necessite de pouvoir generer de nouvelles trajectoires despot avec taux stochastiques, l’equation de diffusion du spot etant celle obtenue ci-dessus. La structurede volatilite prise pour les zero-coupon est la suivante :

σd(t, T ) = [1− exp(−αd(T − t))]Ud

INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES 29

ou Ud est un vecteur de <3

σf (t, T ) = [1− exp(−αf (T − t))]Uf

ou Uf est un vecteur de <3. Les normes de Ud et Uf , ainsi que les valeurs de αd et αf sont interpreteescomme des facteurs permettant de modeliser les deformations de la courbe de taux en niveau et enpente. D’autre part, les produits scalaires entre vecteurs de volatilite intervenant dans la dynamique deSt, sont interpretes a l’aide de la correlation. Les correlations entre les differents processus ρfd, ρfs, ρsd

, ainsi que les normes des vecteurs Ud et Uf sont donc les parametres variables de la simulation.Enfin, σS(t) qui est la derniere grandeur non encore specifiee, est calculee en utilisant l’equation

etablie dans la section precedente donnant le lien entre volatilite implicite σGK(t, T ) observable sur lemarche (celle du forward de change) , les autres volatilites σd(t, T ), σf (t, T ), et les termes de correlation.Les simulations ont ete effectuees pour certains jeux de parametres et sont presentes dans la sectionsuivante.

Analyse des resultats 30

7 Analyse des resultats

Nous nou ssomes d’abord places dans le cadre du modele de Garman et Kohlhagen et avonsimplemente trois methodes de pricing (pricing par formule fermee derivant de l’algorithme de Turnbullet Wakeman, methode de Monte Carlo et resolution par equations aux derivees partielles). Ensuitenous avons prolonge notre etude en ajoutant un un modele de taux stochastiques.

Notre objectif etait alors de comparer l’efficacite et le temps de calcul de ces differentes methodes.Ainsi, pour rendre compte de leur performance , nous avons trace les graphes de densite et de prixobtenus. On se referera aux annexes pour l’observation de ces graphes. Leur etude nous permet decomparer d’une part, les resultats d’une methode selon les parametres choisis (comme le nombre detrajectoires pour les simulations Monte Carlo, le nombre de dates servant a calculer la moyenne descours de change ou encore le nombre de points de discretisation pour la resolution par EDP), d’autrepart, l’efficience des unes par rapport aux autres, compte tenu de leurs contraintes (hypotheses de baseou temps de calcul).

Interessons-nous dans un premier temps aux graphes de prix (figures 6, 7, 8, 9 en annexes).– Les graphes 6 et 7 comparent les prix obtenus par EDP et par simulations de Monte Carlo

pour des nombres de dates (pour le calcul de la moyenne) differents ( respectivement 12 dateset 50 dates) : on constate que plus le nombre de dates augmente, plus les prix Monte Carlose rapprochent des prix EDP. Cette remarque va dans le sens de l’hypothese de resolution parEDP qui consiste a assimiler moyenne discrete te moyenne continue. D’ailleurs, nous pouvonsconstater qu’avec seulement 50 dates l’ecart de prix entre les deux methodes est de l’ordre de10−4.

– En realisant les graphes 8 et 9, nous avons tente de comparer l’approche de Monte Carlo avec50 dates, aux deux autres approches. On remarque alors qu’a l’instar de la methode par EDP,l’evaluation d’options par le modele de Turnbull et Wakeman donne les memes prix (ou du moinsdes ecarts du meme ordre de grandeur) que la methode de Monte Carlo pour le couple de devisesEURO/USD.

Cette observation aurait pu nous amener a retenir la methode d’evaluation par formule fermee deTurnbull et Wakeman qui est beaucoup plus rapide que les deux autres (elle est presque instantaneealors que les autres demandent plusieurs heures de temps de calcul, a savoir a peu pres 6 heures pourdes simulations Monte Carlo a un million de trajectoires antithetiques et 3h30 pour la resolution parEDP avec 600 points de discretisation du temps et de l’espace). Cependant, on a par ailleurs constateque pour certains couples de devises (comme le couple EURO/JPY cf figure 10 en annexes), les prixdonnes par cette approximation n’etaient pas exacts.

D’autre part, dans la mesure ou c’est la densite de notre moyenne qui est a la base de tout calculde prix d’options, nous avons etudie les differenes fonctions de densite obtenues par chaque approche.La figure 11 des annexes donne trois courbes de densites Monte Carlo (12 dates, 24 dates et 50 dates)et une courbe de densite EDP. Comme on avait pu le constater pour les prix, on observe qu’avec

Analyse des resultats 31

l’accroissement du nombre de dates servant a calculer la moyenne du cours de change, la densiteMonte Carlo se rapproche de la densite EDP. Cette remarque tend donc a legitimer les resultatsobtenus puisque la resolution par EDP utilise une moyenne continue. Sur le graphe de la figure 14,on constate aussi que les densites Monte Carlo 50 dates et EDP sont relativement proches. De meme(cf FIG 15), les densites obtenues par l’algorithme de Turnbull et Wakeman et Monte Carlo avec tauxstochastiques sont tres proches.

Enfin, nous avons egalement etudie l’impact de la volatilite des taux d’interet sur les prix encomparant les prix Monte Carlo ou Turnbull et Wakman avec taux deterministes et les prix MonteCarlo avec taux stochastiques. Pour cette etude, nous avons considere deux maturites : une maturitecourte de 6 mois et une maturite longue de 6 ans. On constate alors (cf figures 11 et12 ) que pourdes options de maturite courte, l’introduction d’aleas sur les taux d’interet influence peu les prixd’options. A l’inverse, dans le cas des maturites longues, les prix sont beaucoup plus eleves. Ce resultatnous semble coherent dans la mesure ou on introduit un alea supplementaire lie aux taux qui peutaussi bien faire augmenter le cours de l’actif sous-jacent, que le faire fortement diminuer. Mais alorsque dans le premier cas, le gain peut etre tres eleve dans le cas d’un call), dans le second cas, la pertese limite a la prime. Par ailleurs, cet alea sur les taux a beaucoup plus de chances d’influer sur le coursdes actifs, donc sur le prix des options, si la maturite de l’option est elevee.

CONCLUSION 32

Conclusion

En conclusion, nous avons implemente trois methodes de pricing des options asitiques de change ennous fondant sur le modele de Garman et Kohlhagen. La premiere approche, l’algorithme de Turnbullet Wakeman, a l’avantage d’etre extremement rapide, mais repose sur une hypothese fausse puisque cemodele suppose lognormale la densite d’une moyenne de varibles lognormales correlees. Meme si ellenous a fourni des resultats satisfaisants pour certains prix d’options, elle donne parfois des resultats peufiables. Nous avons alors implemente une technique plus robuste mais beaucoup plus longue en tempsde calcul, a savoir la technique des simulations de Monte Carlo. Ce procede apporte effectivement desresultats coherents mais pour cela, il suppose la simulation d’un million de trajectoires de cours duspot, soit pres de 6 heures de temps de calcul. Enfin, la derniere approche est une methode de pricing deresolution par equations aux derivees partielles ; elle est fondee sur une hypothese moins contraignanteque le modele de Turnbull et Wakeman : elle consiste a assimiler la moyenne discrete pour le calcul dupayoff a une moyenne continue. Dans une derniere partie, nous avons finalement introduit un modelede taux stochastiques pour tenir compte du risque de taux et nous avons alors mis en evidence l’impactde cet alea sur les taux pour les options a maturite longue uniquement.

ANNEXES 33

A ANNEXES

A.1 Graphes de Prix

Fig. 6 – Comparaison des prix Monte Carlo avec 12 dates et prix EDP

Fig. 7 – Comparaison des prix Monte Carlo avec 50 dates et prix EDP

ANNEXES 34

Fig. 8 – Comparaison des prix Monte Carlo et des prix par EDP

Fig. 9 – Comparaison des prix Monte Carlo et des prix Turnbull et Wakeman

ANNEXES 35

Fig. 10 – Comparaison des prix Monte Carlo et des prix Turnbull et Wakemanpour le couple EURO/JPY

ANNEXES 36

Fig. 11 – Comparaison des prix Monte Carlo avec taux deterministes et tauxstochastiques a maturite courte

Fig. 12 – Comparaison des prix Monte Carlo avec taux deterministes et tauxstochastiques a maturite longue

ANNEXES 37

A.2 Graphes de densite

Fig. 13 – Comparaison des densites EDP et Monte Carlo

ANNEXES 38

Fig. 14 – Comparaison des densites Monte Carlo 50 dates et EDP

ANNEXES 39

Fig. 15 – Comparaison des densites Turnbull et Wakeman et Monte Carlo avectaux stochastiques a maturite courte

A.3 Turnbull et Wakeman

A.3.1 demonstration du cacul des deux premiers moments de S

On rappelle l’equation de St etablie precedemment :

St = S0 exp[∫ t

0(rd(s)− rf (s))ds− 1

2

∫ t

0σ2(s)ds +

∫ t

0σ(s)dWs

]

Posons :

Ft = exp[∫ t

0(rd(s)− rf (s))ds− 1

2

∫ t

0σ2(s)ds

]

Alors on a :

St = S0Ft exp[∫ t

0σ(s)dWs

]

On sait de plus que : ∫ t

0σ(s)dWs à N

(0,

∫ t

0σ2(s)ds

)

Or si X Ã N (0, v2), la transformee de Laplace nous permet de determiner les moments d’ordre kde Y = exp(X) ; en effet, on a :

E(Y k) = exp[km +

k2v2

2

]

ANNEXES 40

Donc

E

[exp

(∫ t

0σ(s)dWs

)]= exp

[12

∫ t

0σ2(s)ds

]

et finalement

E(St) = S0 exp[∫ t

0(rd(s)− rf (s))ds)

]

Nous pouvons desormais calculer l’esperance de la moyenne du prix de notre sous-jacent. En effet,puisque

S =1N

N−1∑

i=0

Sti

on a

E(S) =1N

N−1∑

i=0

E(Sti)

soit

E(S) =S0

N

N−1∑

i=0

exp[∫ ti

0(rd(s)− rf (s))ds

]

Nous devons a present calculer le moment d’ordre 2 de S, E[S2]

En developpant S2, sachant que S = 1

N

N−1∑

i=0

Sti, on obtient :

S2 =

1N2

N−1∑

i=0

St2i + 2N−1∑

i=0

j≤N−1∑

j>i

StiStj

On a d’apres les calculs precedents :

E(St2i ) = S20 exp

[2

∫ ti

0rd(s)− rf (s)ds

]exp

[−

∫ ti

0θ2(s)ds

]E

(exp

[2

∫ ti

0θ(s)dWs

])

soit

E(St2i ) = S20 exp

[2

∫ ti

0rd(s)− rf (s)ds

]exp

[−

∫ ti

0θ2(s)ds

]exp

[2

∫ ti

0θ2(s)ds

]

E(St2i ) = S20 exp

[2

∫ ti

0rd(s)− rf (s)ds

]exp

[∫ ti

0θ2(s)ds

]

De plus,

E(StiStj) = S20 exp

[2

∫ ti

0r2(d)− rf (s)ds

]exp

[2

∫ tj

0rd(s)− rf (s)ds

]

ANNEXES 41

exp[−1

2

∫ ti

0θ2(s)ds

]exp

[−1

2

∫ tj

0θ2(s)ds

]

E

[exp

[2

∫ ti

0θ(s)dWs +

∫ tj

ti

θ(s)dWs

]]

Or les variables aleatoires∫ tj

ti

θ(s)dWs et∫ ti

0θ(s)dWs sont independantes, donc la variable

aleatoire Y =∫ tj

ti

θ(s)dWs + 2∫ ti

0θ(s)dWs est normale.

Ses deux premiers moments sont :

– E(Y ) = 0

– V (Y ) = 4∫ ti

0θ2(s)ds +

∫ tj

ti

θ2(s)ds

Par la transformee de Laplace, on en deduit

E(exp(Y )) = exp[2

∫ ti

0θ2(s)ds +

12

∫ tj

ti

θ2(s)ds

]

d’ou l’on tire, apres calcul :

E(StiStj) = S20 exp

[∫ ti

0rd(s)− rf (s)ds

]exp

[∫ tj

0rd(s)− rf (s)ds

]exp

[∫ ti

0θ2(s)ds

]

Donc :

E(S) =S0

N

N−1∑

i=0

exp[∫ ti

0(rd(s)− rf (s))ds

]

E(S2) =S2

0

n

n−1∑

i=0

n−1∑

j=0

exp(∫ ti

0(rd(s)− rf (s))ds +

∫ tj

0(rd(s)− rf (s))ds

∫ ti∧tj

0σ2(s)ds

]

A.4 Evaluation par equations aux derivees partielles

A.4.1 Algorithme de calculde la fonction valeur

On designe par j le numero du point courant et on suppose que les points yn utilises pour l’ap-proximation de la derivee seconde sont bien definis, ainsi que les valeurs un du champ U. On pose

yk,l = yl − yk

L’approximation centree a cinq points se presente sous la forme d’un schema numerique du type :

ANNEXES 42

∂2u

∂y2(yj) ≈

j+2∑

m=j−2

∆j,mum

Apres un calcul elementaire, on obtient :

∆j,j−2 = 2yj,j+1yj,j+2 + yj,j+2yj,j−1 + yj,j−1yj,j+1

yj−2,j−1yj−2,jyj−2,j+1yj−2,j+2

∆j,j−1 = −2yj,j+1yj,j+2 + yj,j+2yj,j−2 + yj,j−2yj,j+1

yj−2,j−1yj−1,jyj−1,j+1yj−1,j+2

∆j,j = 2yj,j−2yj,j−1 + yj,j+1yj,j+2 + (yj,j−2 + yj,j−1)(yj,j+1 + yj,j+2)

yj−2,jyj−1,jyj,j+1yj,j+2

∆j,j+1 = −2yj,j−1yj,j+2 + yj,j+2yj,j−2 + yj,j−2yj,j−1

(yj−2,j+1yj−1,j+1)yj,j+1yj+1,j+2

∆j,j+2 = 2yj,j−1yj,j+1 + yj,j+1yj,j−2 + (yj,j−2yj,j−1)

(yj−2,j+2yj−1,j+2)yj,j+2yj+1,j+2

L’approximation decentree a droite a cinq points que nous avons utilisee s’ecrit :

∂2u

∂y2(yj) ≈

j+3∑

m=j−1

∆j,mum

Le calcul des coefficiants ∆ conduit aux valeurs suivantes :

∆j,j−1 = 2yj,j+1yj,j+2 + yj,j+2yj,j+3 + yj,j+3yj,j+1

yj−1,jyj−1,j+1yj−1,j+2yj−1,j+3

∆j,j = −2yj,j−1yj,j+3 + yj,j+3yj,j+1 + (yj,j−1 + yj,j+3)(yj,j+3 + yj,j+2)

yj−1,jyj,j+1yj,j+2yj,j+3

∆j,j+1 = 2yj,j−1yj,j+2 + yj,j+2yj,j+3 + yj,j+3yj,j−1

(yj−1,j+2yj,j+2)yj+1,j+2yj+2,j+3

∆j,j+2 = −2yj,j−1yj,j+1 + yj,j+1yj,j+3 + (yj,j+3yj,j−1)

(yj−1,j+2yj,j+2)yj+1,j+2yj+2,j+3

∆j,j+3 = 2yj,j−1yj,j+1 + yj,j+1yj,j+2 + (yj,j+2yj,j−1)

(yj−1,j+3yj,j+3)yj+1,j+3yj+2,j+3

L’approximation des points a droite du domaine d’etude utilisee se fonde sur une approximation aquatre points et s’ecrit sous la forme :

∂2u

∂y2(yj) ≈

j∑

m=j−3

∆j,mum

ANNEXES 43

avec

∆j,j−3 = 2yj−2,jyj−1,j

yj−3,j−2yj−3,j−1(yj−3,j)2

∆j,j−2 = −2yj−3,jyj−1,j

yj−3,j−2yj−2,j−1(yj−3,j)2

∆j,j−1 = 2yj−3,jyj−2,j

yj−3,j−1yj−2,j−1(yj−1,j)2

∆j,j = −2y2

j−3,jy2j−2,j + y2

j−2,jy2j−1,j + y2

j−1,jy2j−3,j + yj−3,jyj−2,jyj−1,j(yj−3,j + yj−2,j + yj−1,j)

y2j−2,jy

2j−3,jy

2j−1,j

La derniere deriver a approximer concerne les avant-derniers points du domaine d’etude. la aussi,on utilise une approximation a quatre points :

∂2u

∂y2(yj) ≈

j+1∑

m=j−2

∆j,mum

avec

∆j,j−2 = −2yj,j+1(3yj+1,j − 2yj+1,j−1)yj−2,j−1yj−2,j(yj−2,j+1)2

∆j,j−1 = −2yj,j+1(3yj+1,j − 2yj+1,j−2)

yj−2,j−1yj−1,j(yj,j+1)2

∆j,j = −26y2

j+1,j − 3(yj+1,j−2 + yj+1,j−1)yj+1,j + yj+1,j−2yj+1,j−1

yj−2,jyj−1,jy2j,j+1

∆j,j+1 = −23(yj+1,j−2 + yj+1,j−1)y3

j+1,j + (yj+1,j−2yj+1,j−1)2

y2j−2,j+1y

2j−1,j+1y

2j,j+1

+yj+1,j−2yj+1,j−1 − 2(y2

j+1,j−2 + y2j+1,j)(y

2j+1,j)

y2j−2,j+1y

2j−1,j+1y

2j,j+1

− 2yj+1,j−2yj+1,j−1yj+1,j(yj+1,j−2 + yj+1,j−1)y2

j−2,j+1y2j−1,j+1y

2j,j+1

REFERENCES 44

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