modeles non-lineaires changements de regime modelisation
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Modeles non-lineaires
Changements de Regime
Modelisation
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Probleme
• Les marches financiers peuvent se trouver dans des regimes differents:– Bull and bear markets– Volatilite forte ou faible– Changement dans les correlations
• Probleme de definition d’un regime• Spurious Regimes• Modelisation et test• Exemple: Contagion Financiere
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Modelisation
• Modele lineaire pour chaque regime • Les parametres varient entre regime 1 et 2
• Specifier les processus de changment de regime– Les regimes sont caracterises par variables
observables: SETAR, STAR– Regimes non observables: Modele de Markov
1,2ipour )N(0, avec
2 Regime
1 Regime
2
i
2
1
t
tt
tt
t
e
ex
exy
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SETAR
• Self-Exciting Threshold AutoRegressive Model
• Flexibilite: skewness, kurtosis,multi-modalite pour y 21
22
i
2
i
2
1
)()](1[
Si
1,2ipour )N(0, avec
si
si
tttttt
t
ttt
ttt
t
ecqIxcqIxy
e
cqex
cqexy
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STAR
• Smooth Threshold AutoRegressive Model• Transition graduelle entre plusieurs regimes
0,))(exp(1
1),;(
),;()],;(1[21
cqcqG
ecqGxcqGxy
t
t
tttttt
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Markov-Switching Model
• Regime non observe:
• Markov: Le regime en t est uniquement fonction du regime en t-1
• Transition:
• Probabilites inconditionelles:
2 si
1 si
2
1
ttt
ttt
t sex
sexy
221
211
121
111
)2|2(
)1|2(
)1|2(
)1|1(
pssP
pssP
pssP
pssP
tt
tt
tt
tt
2212
2111
pp
ppP
2211
11
2211
22
2
1)2(
2
1)1(
pp
psP
pp
psP
t
t
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Estimation
• Estimer: Phi, sigma, matrice de transition et estimation des probabilites a chaque periode
• Les probabilites de transition sont fixes• La probabilites des regime varient par periode• Algorithme EM (Hamilton 1994) • Methode de maximisation de la fonction de log-vraisemblance• Complique, recursif• Details dans Kim et Nelson (1999) “State Space Models with
Regime Switching”
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Illustration
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Danger
• Spurious Regime: Detection d’un changement de regime meme lorsqu’il n’y en a pas eu
• Correlation Breakdown: Les correlations sont plus fortes en periode de baisse de marches (bear markets)
• Implication: Les gains de diversification sont exageres si l’on ne prend pas en compte le fait que les correlations augmentent en periode de crise
• Longin et Solnik (2001) Journal of Finance• Ang et Chen (2002): les asymetries sont plus marquees
pour les petites firmes, “value” stocks, et les perdants• Forbes et Rigobon (1999)
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U shape
Boyer, Gibson, Loretan (1997)
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Volatilite
• Ensemble des mois tels que le ratio de la variance mensuelle
de x est superieure a la variance totale
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Exceedance Correlations
Longin et Solnik (2001) Ang et Chen (2002)
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A Retenir
• Dangereux de detecter des changements de regime uniquement sur la base d’une partition des rendements realises
• Necessaire d’avoir une idee de la distribution sous jacente des rendements pour tester si le changement observe > ce que l’on attend
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Methodes de Simulation
Bootstrap, Jacknife
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Introduction
• Econometrie: Un seul echantillon historique
• Impossible de repeter des donnees en construisant des experiences (physique)
• Efron (1979): considerer l’echantillon observe comme population
• Re-echantilloner l’echantillon
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The Central Limit Theorem
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Illustration CLT
• Choisir une distribution de probabilite
• Choisir nombre de groupes N
• Choisir R echantillons
• Histogramme des moyennes et ecarts type
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Exemple Matlabn=[3,10,100];mea=[];
for ni=1:1:3; si=n(ni); rn=[];for z=1:1:500; rn=[rn,chi2rnd(2,si,1)];end
mea=[mea;mean(rn)];end
for z=1:1:3; subplot(3,1,z); hist(mea(z,:),40); axis( [min(mea(1,:)) max(mea(1,:)) 0 50] )end
Boucle sur N
Boucle sur R
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Application
• Distribution: chi-deux[2]
• Somme au carre de deux variables N(0,1)
• Z=X12+X22
Vraie moyenne = 2,
Varie variance = 4
• Groupes: 3, 10, 100
• Echantillons: R = 500
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Moyenne
1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
50
1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
50
1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
50
N=3
N=10
N=100
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Variance
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
N=3
N=10
N=100
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-2 -1 0 1 2 3 4 5 60
20
40
60
-2 -1 0 1 2 3 4 50
20
40
60
-3 -2 -1 0 1 2 30
10
20
30
40
VVNr /)(
N=3
N=10
N=100
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Bootstrap – Efron (1979)
• Baron de Munchhausen: “Pulling oneself up by one’s bootstraps”
• Approche non-parametrique d’inference statistique
• Utiliser simulations plutot que des hypotheses sur la distribution sous-jacente
• Objctifs: Estimer les ecarts type, intervalle de confiance et formuler tests sur une distribution
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Avantages
• Large applicabilite
• Gain de precision
• Cout informatique reduit
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Objectifs
inconnueest F lorsque Meme
)F(.,G notee T de cumulativeon distributi laestimer d'permet Bootstrap
),....(TT :eStatistiqu
}....1,{X :Donnees
F cumulativeon distributi Vraie
0
0nn
1nn
i
0
nXX
ni
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Procedure Standard
• 1. Population=echantillon• 2. Tirer des echantillons aleatoires avec
remplacement: taille m<n
Pseudo echantillons bootstrap 1bootstrap 2etc…
},...1,{ niXXin
}7,9,2,4,5,3,3,1{
}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{
},...1,{ **
j
i
miXX in
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Suite
• 3. Pour chaque pseudo-echantillon, calculer la statistique d’interet
• 4. Utiliser la distribution empirique de la statistique T pour examiner les caracteristiques de la distribution
),....(TT *1
*n
*n
*nXX
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Exemple
• Taux de rendement CAN/USD dpuis 1986
• Quel est l’ecart type?
• Std(Returns)*sqrt(48)=4.43%
• Obtenir intervalle de confiance?
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Matlabretu=diff(log(cana));stat_boot=[];
boot=5000;nb=size(retu,1);Lo=5/100;Up=95/100;
for b=1:1:boot; R = UNIDRND(nb,nb,1); boot_sample=retu(R,1); stat_boot=[stat_boot; std(boot_sample)*sqrt(48)];end
hist(stat_boot,40);sam_sort=sort(stat_boot);ind_conf=ceil([Lo; Up]*boot);Conf_int=sam_sort(ind_conf);
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Histogramme
0.038 0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.0520
50
100
150
200
250
300
350
400
Ecart Type des Rendements Annualises Intervalle de Confiance
std(5%)=4.22%std(95%)=4.64%
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Block Bootstrap
• Si dependence dans le temps entre observations
• Tirer des echantillons individuels avec remplacement detruit la structure temporelle
• Solution: Block Bootstrap de Kunsch
• Tirer des echantillons de taille k
• {1,2,3}, {6,7,8}, {3,4,5}
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Sieve Bootstrap
• Si le modele statistique sous-jacent est connu: X=ARMA(p,q)
• Estimer le modele pour obtenir residus
• Re-echantilloner les residus
• Generer pseudo-donnees X* recursivement
• Re-estimer le modele
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Simulation AR(1)
%--------------------------------------------------------% Generer une serie AR(1)
n=500;y(1,1)=0;
for i=2:1:n; y(i,1)=-0.2+0.6*y(i-1,1)+normrnd(0,1);endplot(y);%--------------------------------------------------------
% Premiere etape: Estimation du coefficient xx=[ones(500,1), lag(y)];
y_reg=ols(y,xx);prt(y_reg);
Reg_prem=y_reg.beta; % CoefficientReg_resid=y_reg.resid; % Residus
Simulation de la serie
Estimation sur l’echantillonentier
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Simulation AR(1)% Simulations
nboot=1000;
ar_coff=[];
for nb=1:1:nboot;
nb
new_samp=y(1,1);
R=unidrnd(n,n,1);
resid_resamp=Reg_resid(R,1);
for ii=2:1:n;
new_samp(ii)=Reg_prem(1)+Reg_prem(2)*new_samp(ii-1)+resid_resamp(ii,1);
end;
new_samp1=new_samp';
xx1=[ones(500,1), lag(new_samp1)];
boot_reg=ols(new_samp1,xx1);
Boot_coeff=boot_reg.beta; % Coefficient
ar_coff=[ar_coff; Boot_coeff(2)];
end
Boucle Bootstrap
Pseudo-echantillon
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Resultats
0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80
10
20
30
40
50
60
70
Coefficient AR(1)
Moyenne=0.655Ecart Type=+-0.0322
Coefficient Observe0.66
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Stationary Bootstrap
• Les donnees re-echantillonnees ne sont pas stationaires
• Solution: Politis et Romano (1994): Stationary bootstrap
• Block bootstrap avec des blocs de taille aleatoire
• Donnees resultantes sont stationaires
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Probleme 4
• Quelle taille?
• La taille de l’echantillon doit augmenter avec n pour rendre l’estimation fiable
• Hall (1995)
g)|TP(| doubleon distributiestimer pour 1/5r
g)P(T simpleon distributiestimer pour 1/4r
eou varianc biaisestimer pour 1/3r avec
~
rnl
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Cas Pratique
• Modelisation ECM de AUD/EUR• 200 observations seulement
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Exemple - Suite
• Objectifs: Comparer performance du modele ECM avec modele monetaires
• Meese et Rogoff (1983): Les modeles monetaires n’arrivent pas a battre le modele Random Walk
• Statistique d’interetMesure de predictabilite relative
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Application
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Application
• Predictabilite des Taux de Change
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Intervalles de Confiance
• Distribution Normale
• DecilesExemple– Intervalle a 95% : trier les donnees par ordre
croissant– Bas = 0.025 x statistiques bootstrapees– Haut = 0.975 x statistiques bootstrapees
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Variations
• Modele de Regression Lineaire: • Statistique d’interet beta1• 1) Premiere Regression pour obtenir residus • 2A) BOOTSTRAP NON-PARAMETRIQUE• Re-Echantilloner les residus
– Fixer les X, Y*=Y+U** est la nouvelle variable dependente – Regresser Y* et X– Sauver le coefficient
• 2B) BOOTSTRAP PARAMETRIQUE• Tirage de U** a partir de la distribution Normale
– Meme procedure
)N(0, Uavec 2
10 UXY
*U
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Autres Methodes
• Jackknife (take one out)
• S={X1,X2,...Xn}
• Tirer un echantillon de taille n-1
• S(i)=S-{Xi}
• Estimer
• Calculer ))(( iS
i
n
iin 1
1