model dinamik pertumbuhan ekonomi waktu … · bapak donny citra lesmana, s.si, m.fin.math. yang...

MODEL DINAMIK PERTUMBUHAN EKONOMI WAKTU DISKRETDENGAN VARIABEL KEBIJAKAN FISKAL DAN MONETER

FREDERICK F. JEBADA

DEPARTEMEN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR2009

ABSTRACT

FREDERICK FREINADEMETZ JEBADA. Dynamic model of Economic Growth with Variable Time Diskret Fiscal and Monetary Policy. Supervised by RETNO BUDIARTI and DONNY CITRA LESMANA.

This paper is a scientific analysis on how fiscal and monetary policies affect economic growth (related to the amount of money and consumption). Model is essentially a budget constraint the household sector for the period of time. Budget constraints that made equality of conditions that describes the ability of households and the government to pay for the expenses / pay off debts.

Objective function that optimized is a function which is the utility function of consumption and real money. Then conducted a qualitative analysis on the optimal trajectory for the influence of nominal interest rates and inflation on the dynamics of consumption and real money demand (the case of Bernoulli type utility function).

Finally, I analyze the influence of several fiscal and monetary decisions on the optimal trajectory. The results form an objective function that is affected by the level of inflation.

Keywords: Economic Growth, Fiscal Policy, Monetary Policy, Maximum Principles.

RINGKASAN

FREDERICK FREINADEMETZ JEBADA. Model Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Waktu Diskret dengan Variabel Kebijakan Fiskal dan Moneter. Di bawah bimbingan RETNO BUDIARTI dan DONNY CITRA LESMANA.

Karya ilmiah ini merupakan analisis mengenai cara bagaimana kebijakan fiskal dan moneter mempengaruhi pertumbuhan ekonomi (terkait jumlah uang dan konsumsi). Dasarnya adalah sebuah model kendala anggaran sektor rumah tangga untuk periode waktu tertentu. Kendala anggaran itu dijadikan persamaan yang menggambarkan kondisi kesanggupan rumah tangga dan pemerintah untuk membiayai pengeluaran atau melunasi hutangnya.

Fungsi obyektif yang dimaksimumkan adalah sebuah fungsi utilitas yang merupakan fungsi dari konsumsi dan uang real. Kemudian dilakukan analisis secara kualitatif pada lintasan optimal untuk mengetahui pengaruh suku bunga nominal dan tingkat inflasi terhadap dinamika konsumsi dan permintaan uang real (kasus fungsi utilitas tipe Bernoulli).

Akhirnya dianalisis mengenai pengaruh beberapa keputusan fiskal dan moneter pada lintasan optimal. Hasilnya berupa sebuah fungsi objektif yang dipengaruhi oleh tingkat inflasi.

Kata kunci: Pertumbuhan Ekonomi, Kebijakan Fiskal, Kebijakan Moneter, Prinsip Maksimum.

MODEL DINAMIK PERTUMBUHAN EKONOMI WAKTU DISKRETDENGAN VARIABEL KEBIJAKAN FISKAL DAN MONETER

SkripsiSebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Pertanian Bogor

Oleh :

FREDERICK F. JEBADAG54104069

DEPARTEMEN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR2009

Judul : Model Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Waktu Diskret dengan Variabel Kebijakan Fiskal dan Moneter

Nama : Frederick F. Jebada

NIM : G54104069

Disetujui,

Mengetahui,

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA.NIP 19610328 198601 1 002

Tanggal Lulus :

Pembimbing I

Ir. Retno Budiarti, MS.NIP 19610729 198903 2 001

Pembimbing II

Donny Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.MathNIP 19790227 200501 1 001

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan yang Mahakuasa atas segala rahmat, berkat dan pertolongan-NYA sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Skripsi ini berjudul “Model Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Waktu Diskret dengan Variabel Kebijakan Fiskal dan Moneter”. Pertumbuhan ekonomi terkait erat dengan tingkat konsumsi secara agregat. Memaksimumkan konsumsi dengan kendala jumlah uang yang dimiliki menjadi fokus pembahasan dalam skripsi ini. Terkait jumlah uang yang beredar, pemerintah dapat melakukan intervensi dalam bentuk penetapan suku bunga acuan (bank sentral), tingkat inflasi, dan besaran pajak yang harus dibayar.

Skripsi ini menjadi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor (IPB).

Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang secara langsung dan tak langsung membantu penulis dalam penyelesaian skripsi ini.

1. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. yang telah dengan sabar membimbing penulis sejak awal pengerjaan skripsi ini. Terimakasih telah menjadi ”IBU” yang luar biasa ketika penulismenghadapi sedikit tantangan di saat-saat akhir. Semoga Ibu selalu mendapatkan yang terbaik dari-NYA.

2. Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.Math. yang telah memperkaya wawasan penulis melalui masukan dan kritik-kritik berharganya. Terimakasih juga untuk istri beliau, yang rela waktu istirahatnya diganggu, untuk makanan dan minuman yang telah penulis nikmati selama bimbingan di rumah. Semoga sukses untuk kuliah doktornya nanti.

3. Ibu Dr. Endar Hasafah Nugrahani, MS. yang telah bersedia menjadi moderator seminar dan dosen penguji disidang akhir. Terimakasih untuk pengertian dan segala budi baiknya.

4. Mahnuri, Ricken Rora, dan Novita Handayani yang telah berkenan menjadi pembahas dalam seminar skripsi ini. Sukses selalu buat kalian.

5. Bapak Karolus Jebada dan Ibunda Dortea Maria Fatima yang telah menjadi orang tua ”juara satu” bagi penulis. Terimakasih atas doa, dorongan, pengertian, juga materi yang memperlancar penulisan skripsi ini. Juga untuk Cicik sek., Kendit, Awoh, Suleng, dan Utung yang telah dengan caranya masing-masing selalu menyemangati penulis.

6. Teman-teman MatematikaAngkatan 41: Oezhank, Gretho, Didot dan Cochom (untuk semua dukungan yang tak ternilai), Racil, Idris, Mahnur, Zali, Mazid, Iboy, Triyadi, Ibra, Dika, Yaya, Mimin, Jengez, Denol, Cumi, Chubby, Yos, Hendri, Fitrie, Endhit, Sithul, Rite, Dee, Dian, Liay, Sifa, Mukti, Penoy, Uwie, Ani, Liam, Darwisah, Jannah, Ami, Intan, Enyon, Echi, Ria, Enny, Roma, Tities, Tia, Febrina, Ayu, Ika, Mahar, Eli, Rina Z, Eva, Roro, Nidia, atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB.

7. Teman-teman di FUTSAL IPB (Mas Hary, Mas Marno, Pace Kukuh, Aconk, Bere, Galuh, Neswari, Huda, Agus, Bedul, dll.), KORAN KAMPUS IPB (Iqbal, Fahmul, Palestin, dll.), BEM KM, GUMATIKA, GAMANUSRATIM BOGOR (Ka Adi, Dony, Rian, Bala, Gonzie, Ocin, Yuni, Mirna, Ayu, Risna, dll.), Pengurus MASTRANS JAKARTA,PRODUTA SA. BANDUNG, dan GOLDEN WATER JAKARTA, yang telah menginspirasi penulis dan rela melihat penulis membawa draft skripsi ini ke mana-mana.

8. Teman-teman di Wisma ASRI: Ka Thellin, Obie, Oenald, Ewad, Mas Rony, Ian (my manager), Ucok, Rizky, Thommai, Hangga, Ade, Dicky, Abang, Teteh, Uwo, Adella, Diana, dan Hestiny. Terimakasih atas dukungan dan kekeluargaan yang telah terjalin.

9. Para pegawai di lingkungan Departemen Matematika IPB: Bu Susi, Bu Ade, Mas Yono, dan Mas Hery yang telah banyak membantu penulis. Terimakasih untuk semua yang saya dapatkan di sini.

Penulis menyadari adanya ketidaksempurnaan dalam skripsi ini. Karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.

Bogor, Agustus 2009

Frederick F. Jebada

RIWAYAT HIDUP

Frederick F. Jebada lahir di Ranggu, Flores, pada 16 Januari 1986. Penulis adalah anak kedua dari enam bersaudara, dari pasangan Karolus Jebada dan Dortea Maria Fatima. Jenjang pendidikan dasar dan menengah penulis lalui tanpa halangan berarti. Setelah menamatkan pendidikan dasar pada SD Ranggu I, penulis menempuh sekolah menengah pada SMP dan SMA St. Pius XII Kisol, Ruteng. Pada Agustus 2004, penulis lulus Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (UMPTN), dan diterima sebagai mahasiswa pada Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor (IPB).

Selama menjalani masa perkuliahan, penulis aktif dalam berbagai organisasi internal dan eksternal kampus.1. Penulis terlibat dalam kepengurusan organisasi kemahasiswaan dan umum sejak awal masuk

kuliah. Tahun 2004 penulis bergabung dalam kepengurusan Himpunan Profesi Mahasiswa Matematika IPB (GUMATIKA), yakni Departemen Kesekretariatan dan Kajian Strategis. Selain itu, penulis menjadi pengurus organisasi mahasiswa daerah NTT (GAMANUSRATIM Bogor), dan terakhir menjadi wakil ketua organisasi tersebut. Penulis adalah salah satu perintis Dewan Legislatif GUMATIKA. Masuk dalam Dewan Direksi KORAN KAMPUS IPB pada 2006-2008. Juga menjadi staf pada Kementrian Infokom BEM KM IPB periode 2006/2007. Selain itu, penulis aktif dalam berbagai diskusi bersama organisasi ekstrakampus seperti: GMNI, PMKRI, HMI, dan KAMMI di Kota Bogor. Unit Kegiatan mahasiswa (UKM) Sepak bola juga menjadi tempat penulis belajar berorganisasi, dengan menjadi ketua Divisi Eksternal UKM Sepak bola periode 2005/2006. Kemudian menjadi salah satu pendiri UKM Futsal dan menjadi Sekjen pada periode kepengurusan 2006/2007. Penulis juga sempat menjadi ketua sementara di masa peralihan tahun 2008. Di tahun 2006, penulis menjadi sekretaris wilayah Bogor untuk Forum Pemuda NTT Jakarta-Bogor dan di tahun berikutnya penulis menjadi koordinator wilayah Bogor. Penulis terpilih menjadi Ketua Angkatan Keluarga Mahasiswa Katolik IPB (KEMAKI) Angkatan 41. Sempat menjadi staf di Biro Pendidikan dan Pembinaan KEMAKI periode kepengurusan 2006/2007.

2. Penulis juga mengembangkan hobi menulis dan belajar manajemen media (jurnalistik) dengan bergabung dengan KORAN KAMPUS IPB, media jurnalistik terbesar di kampus IPB. Aktif di KORAN KAMPUS IPB dengan amanah terakhir sebagai redaktur senior pada 2007-2008. Penulis menjadi reporter aktif dan menjadi penanggung jawab berita berat dari 2005-2007. Merintis dan menjadi penanggung jawab KORAN KAMPUS IPB Edisi Pamflet pada 2006-2007. Pada periode ini, penulis menjadi Redaktur Pelaksana KORAN KAMPUS IPB. Selain itu, penulis juga menjadi pemimpin redaksi dan penanggung jawab buletin GAMANEWS (buletin mahasiswa NTT Bogor). Menjadi editor BUKTI ’41 (Buletin Ukhuwah Keluarga Matematika Angkatan 41). Pada 2004/2005 menjadi editor majalah dinding GUMATIKA.

3. Dalam bidang olah raga, penulis turut serta mengharumkan nama almamater di tingkat nasional. Penulis menjadi pemain tim nasional Futsal IPB pada 2005-2009. Sejak awal 2007 menjadi kapten tim nasional Futsal IPB. Pada musim kompetisi 2006/2007, penulis dikontrak klub futsal profesional, PRODUTA SA. BANDUNG, dalam kompetisi Indonesian Futsal League (IFL) – Liga profesional futsal tertinggi di tanah air. Di musim kompetisi berikutnya, penulis pindah ke klub MASTRANS JAKARTA hingga sekarang. Di kedua klub tersebut, penulis sekaligus mengemban amanah sebagai kapten tim. Untuk tingkat kampus, penulis menjadi kapten tim futsal Fakultas MIPA, pada Olimpiade Mahasiswa IPB tahun 2005, 2006, 2007, 2008, 2009. Menjadi juara dan memperoleh gelar pemain terbaik sekaligus top scorerpada Olimpiade Mahasiswa IPB tahun 2005. Selain itu, penulis juga sering bermain untuk beberapa klub untuk kompetisi tak resmi (“tarkam”) di Bogor, Jakarta, dan Bandung.

4. Penulis aktif dalam berbagai kepanitian penting, di tingkat kampus hingga nasional, diantaranya sebagai koordinator futsal pada Olimpiade Mahasiswa IPB 2007 dan 2008. Juga menjadi koordinator Humas dan Media Massa pada Futsal Nasional 2007.

Semasa kuliah, penulis menjadi guru privat Matematika dan Bahasa Inggris untuk siswa SD, SMP, dan SMA di Bogor. Di akhir masa kuliah, penulis menjadi tenaga entry data Bank Dunia untuk penggunaan Dana BOS tingkat SD dan SMP di Indonesia (Tahun Anggaran 2008/2009).

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI .............................................................................................................................. viiDAFTAR LAMPIRAN...............................................................................................................

I PENDAHULUAN ............................................................................................................. 11.1 Latar Belakang ......................................................................................................... 11.2 Tujuan ...................................................................................................................... 1

II LANDASAN TEORI ........................................................................................................ 22.1 Pertumbuhan Ekonomi ............................................................................................. 22.2 Pembangunan Ekonomi............................................................................................. 22.3 Kebijakan Fiskal ....................................................................................................... 22.4 Kebijakan Moneter ................................................................................................... 22.5 Inflasi dan Tingkat Inflasi ........................................................................................ 22.6 Seigniorage ............................................................................................................... 22.7 Tingkat Bunga Nominal Bebas Risiko ...................................................................... 22.8 Tingkat Bunga Real Bebas Risiko............................................................................. 32.9 Lump-Sum Tax .......................................................................................................... 32.10 Persamaan Fisher (Fisher Equation) ......................................................................... 32.11 Persamaan Beda ....................................................................................................... 32.12 Turunan ..................................................................................................................... 32.13 Prinsip Maksimum: Maksimisasi dan Minimisasi Fungsi......................................... 42.14 Turunan Parsial ......................................................................................................... 42.15 Pengali Lagrange ...................................................................................................... 42.16 Determinan Hess ....................................................................................................... 42.17 Varabel Slack ............................................................................................................ 42.18 Fungsi Utilitas (Utility Function) .............................................................................. 52.19 Persamaan Hamilton ................................................................................................. 5

III PEMBAHASAN ............................................................................................................... 53.1 Model Perilaku Ekonomi Sektor Rumah Tangga dan Pemerintah ........................... 53.2 Model Masalah Optimasi ......................................................................................... 63.3 Analisis Kualitatif Lintasan Optimal ........................................................................ 83.4 Kondisi Transversalitas ............................................................................................ 93.5 Kasus Fungsi Utilitas Tipe Bernoulli ....................................................................... 93.6 Kesesuaian antara Kebijakan Fiskal dan Moneter .................................................... 11

IV KESIMPULAN DAN SARAN ......................................................................................... 134.1 Kesimpulan .............................................................................................................. 134.2 Saran.......................................................................................................................... 13

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 14

LAMPIRAN ............................................................................................................................... 15

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Penurunan Persamaan (6b) menjadi Persamaan (7) ................................................................... 16Penurunan Persamaan (22) menjadi Persamaan (24) .................................................................. 17Bukti Persamaan (29) ................................................................................................................. 18Bukti Persamaan (30) ................................................................................................................. 18Bukti Persamaan (37) ................................................................................................................. 19Bukti Persamaan (39) ................................................................................................................. 19Bukti Persamaan (40) dan Persamaan (41) ................................................................................ 20Bukti Persamaan (48) ................................................................................................................. 20Bukti Persamaan (51a) ............................................................................................................... 21Bukti Persamaan (51b) ............................................................................................................... 22Bukti Persamaan (52) ................................................................................................................. 23Bukti Persamaan (54) ................................................................................................................. 23Bukti Persamaan (67) ................................................................................................................. 24Bukti Persamaan (74) ................................................................................................................. 25Bukti Persamaan (84) ................................................................................................................. 26Bukti Persamaan (88) ................................................................................................................. 27

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangSetiap negara di dunia mempunyai instansi

tertentu yang mengatur kemajuan ekonomi bangsanya. Adapun tugas negara melalui instansi bersangkutan yakni memastikankontinuitas pembangunan ekonomi demi kesejahteraan kehidupan bangsa dan negaranya. Pertumbuhan ekonomi (economic growth) menjadi salah satu indikator dari pembangunan ekonomi.

Pertumbuhan ekonomi suatu negara merupakan parameter, sejauh mana instrumen negara memanfaatkan semua potensi dan kekayaan negara itu demi membangun ekonomi makro. Hal ini menjadi penting sebab kondisi ekonomi menjadi faktor urgendalam menjaga stabilitas suatu negara.

Ciri penting perkembangan sistem perekonomian negara-negara dunia dewasa ini adalah tidak ada negara yang benar-benar menganut sosialis murni (kiri) atau liberal (kanan). Yang ada, yakni, terdapat peranpemerintah dalam mengontrol pasar. Tiap negara berbeda ukuran dan ciri peranan pemerintahnya. Hal ini dilakukan agar saatmekanisme pasar berjalan, negara (pemerintah) memastikan adanya manfaat terhadap pertumbuhan ekonomi bangsanya.

Salah satu peran negara dalam mengontrol pasar dan memacu pertumbuhan ekonomi suatu negara adalah melalui implementasi kebijakan fiskal dan moneter yang efektif. Dalam beberapa tahun terakhir, berkembang perdebatan soal efektifitas dari implementasi kebijakan fiskal dan moneter suatu negara dalam mendukung tercapainya pertumbuhan ekonomi yang optimal, terutama dalam jangka panjang, misalnya studi teoritis maupun empiris yang menganalisis hubungan antara inflasi dengan pertumbuhan ekonomi jangka panjang. (Altar, 2003)

Studi-studi yang dilakukan sejak dua dekade terakhir makin memperluas wawasan kita tentang pengaruh kebijakan-kebijakan publik terhadap pertumbuhan ekonomi. Barro (1990) secara khusus mempelajari pengaruh kebijakan-kebijakan fiskal, seperti perpajakan dan belanja pemerintah, terhadap pertumbuhan ekonomi. Van der Ploeg &

Alogoskoufis (1994) dan Chari, Jones, &Manuelli (1995) menguji pengaruh kebijakan moneter, seperti perubahan pada tingkat persediaan nominal mata uang terhadap aktifitas real jangka panjang.

Akhir-akhir ini para ekonom meningkatkan perhatiannya pada interaksi antara kebijakan makro melalui teori tingkat harga, yang dikenal dengan sebutan Teori Fiskal (Fiscal Theory/FT). FT menyoroti bahwa kemampuan membayar pemerintah harus dijamin, sehingga kebijakan moneter akan dapat mengontrol tingkat harga. Saat otoritas fiskal mengalami defisit pada anggaran, otoritas moneter harus menjamin kemampuan membayar pemerintah melalui kebijakan seigniorage. Selain itu, pengeluaran (belanja pemerintah) juga akan berakibat pada perubahan harga (inflasi). Karena itu, perlu disadari pentingnya keseimbangan anggaran melalui penyusunan anggaran yang ‘bijak’ sehingga tidak menghambat stabilisasi fiskal.

Pertumbuhan ekonomi suatu negara pada dasarnya tidak hanya tergantung pada kebijakan fiskal saja, atau kebijakan moneter saja, tetapi lebih pada gabungan kedua kebijakan makroekonomi ini. Interaksi kebijakan fiskal dan moneter penting dalam mendukung pertumbuhan dan menstabilkan perekonomian suatu negara. Karena itu, kajian ilmiah sangat diperlukan untuk mempelajari masalah interaksi kebijakan fiskal dan moneter; pengaruhnya terhadap pertumbuhan ekonomi jangka panjang.

1.2 TujuanTujuan dari karya ilmiah ini adalah

menganalisis sebuah model dinamik pertumbuhan ekonomi waktu diskret, dengan variabel berupa kebijakan fiskal dan moneter.

2

II LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini.

2.1 Pertumbuhan Ekonomi Pertumbuhan ekonomi (economic growth)

adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksikan dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional real pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional real pada tahun sebelumnya.

(Sukirno 2004)

2.2 Pembangunan Ekonomi Pembangunan ekonomi (economic

development) adalah pertumbuhan ekonomi yang diikuti oleh perubahan dalam struktur dan corak kegiatan ekonomi. Dalam konsep pembangunan ekonomi, yang dilihat tidak saja perkembangan pendapatan nasional real, tetapi juga pada pergeseran struktur pendukung, misalnya modernisasi kegiatan ekonomi. Pembangunan ekonomi juga ditandai dengan pendapatan per kapita yang terus-menerus meningkat.

(Lancaster & Dulaney 1979)

2.3 Kebijakan FiskalKebijakan fiskal merupakan kebijakan

yang dibuat pemerintah (otoritas fiskal) dalam mengelola pendapatan (perpajakan) dan pengeluaran pemerintah untuk mengarahkan perekonomian suatu negara. Instrumen utama kebijakan fiskal adalah pengeluaran dan pajak. Perubahan dalam tingkat dan komposisi pajak; dan pengeluaran pemerintah yang dapat mempengaruhi variabel-variabel seperti: permintaan agregat dan tingkat aktivitas ekonomi, pola persebaran sumber daya, dan distribusi pendapatan.

Yang disebut otoritas fiskal adalah badan pemerintah yang bertanggung jawab terhadap penerimaan dan anggaran pemerintah, dalam hal ini menteri keuangan.

(Sukirno 2004)

2.4 Kebijakan MoneterKebijakan moneter merupakan kebijakan

yang meliputi langkah-langkah pemerintah (otoritas moneter) dalam mengatur/mempengaruhi jumlah uang yang beredar dalam perekonomian suatu negara. Langkah-

langkah yang dilakukan bertujuan menstabilkan perekonomian. Tujuan yang dicapai misalnya pengendalian terhadap inflasi dengan mengatur keseimbangan antara persediaan uang dan barang. Hal ini dilakukan dengan menentukan standar bunga pinjaman (suku bunga), intervensi di pasar valuta asing, dan menjadi tempat terakhir bagi bank-bank untuk meminjam uang apabila mengalami kesulitan likuiditas.

Adapun otoritas moneter suatu negara adalah bank sentral, yang di Indonesia adalah Bank Indonesia.

(Sukirno 2004)

2.5 Inflasi dan Tingkat InflasiInflasi adalah suatu proses kenaikan harga-

harga yang berlaku dalam suatu perekonomian. Sementara tingkat inflasi (presentasi pertambahan kenaikan harga) menggambarkan perubahan harga-harga yang berlaku dari satu tahun ke satu tahun lainnya.

(Sukirno 2004)

2.6 SeigniorageSeigniorage berasal dari kata dalam

bahasa Perancis, seigneur, yang merupakan sebutan orang perancis untuk “tuan tanah”. Di abad pertengahan, tuan tanah memiliki hak eksklusif untuk mencetak uang. Sekarang, hak ini dimiliki oleh pemerintah pusat (bank sentral), dan merupakan salah satu sumber penerimaan. Jadi, penerimaan (negara) yang ditingkatkan melalui percetakan uang baru disebut seigniorage.

(Mankiw 2003)

2.7 Tingkat Bunga Nominal Bebas Risiko Tingkat bunga nominal bebas risiko (risk-

free nominal interest rate) adalah tingkat bunga pasti yang ditentukan bank terhadap nominal uang (dengan tidak memperhitungkan inflasi). Tingkat bunga nominal berkaitan dengan pertumbuhan uang berdasarkan suku bunga. Misalnya, tepat setahun lalu Anda mendepositokan Rp 1.000.000,- ke dalam deposito satu tahun yang menjamin suku bunga 10%. Anda akan segera memperoleh Rp 1.100.000, sekarang.

(Bodie et al 2005)

3

2.8 Tingkat Bunga Real Bebas Risiko Tingkat bunga real/efektif bebas risiko

(risk-free real interest rate) adalah tingkatbunga nominal pasti (risk-free rate) yang dikoreksi dengan cara mengurangi laju inflasi, untuk menyesuaikan perubahan dalam daya beli uang. Jadi, suku bunga real berkaitan dengan pertumbuhan daya beli. Dalam contoh di atas, apakah imbal hasil sebesar Rp 100.000,- itu real? Bergantung pada apa yang bisa dibeli uang sekarang, yang sangat dipengaruhi oleh tingkat inflasi dalam setahun terakhir.

(Kunarjo 2003)

2.9 Lump-Sum TaxLump-sum tax adalah pajak yang

penghitungannya mengabaikan variabel apapun, seperti pendapatan atau pengeluaran. Pajak dibebankan pada besarnya kapasitas pendapatan tetapi tidak bergantung pada jumlah keseluruhan pendapatan. Sebagai contoh, pajak barang pribadi. Seorang pemilik rumah membayar pajak yang sama, apakah ia memperoleh pendapatan dari rumahnya atau tidak. Penaksiran lump-sum tax terhadap kapasitas pendapatan individu cukup sulit terutama jika tetap berpegang pada prinsip pajak harus sesuai dengan “kapasitas untuk membayar” dari tiap pembayar pajak. Karena itu, lump-sum tax dikontrol oleh pembayar pajak.

(Boulding 1958)

2.10 Persamaan Fisher (Fisher Equation)Persamaan dengan bentuki r

merupakan sebuah bentuk pendekatan yang mengaitkan tingkat suku bunga real ( )r ,

tingkat suku bunga nominal ( )i , dan tingkat

inflasi ( ) . Persamaan ini menunjukkan

tingkat suku bunga nominal bisa berubah karena dua alasan: karena tingkat bunga realberubah atau karena tingkat inflasi berubah. Nama persamaannya sendiri diambil dari nama belakang ekonom Irving Fisher (1867-1947). Pendekatan di atas akurat selama r , i , dan cukup kecil (kurang dari 20 persen per tahun). Di luar itu, formula eksak untuk persamaan di atas sebenarnya sebagai berikut

11

1

ir

.

Teori kuantitas uang menunjukkan bahwa tingkat pertumbuhan uang menentukan tingkat inflasi. Dalam persamaan Fisher, tingkat

bunga real ditambah tingkat inflasi untuk menentukan tingkat bunga nominal.

(Mankiw 2003)

2.11 Persamaan Beda Konsep persamaan beda (difference

equation) digunakan dalam analisis sistem dinamik dengan variabel diskret untuk menunjukkan dinamika/perubahan suatu variabel pada periode tertentu. Untuk fungsi

y t , nilai y berubah bila nilai t berubah

dari integer yang satu ke integer berikutnya, mis. 1t , 2t , 3t , dan seterusnya. Pola perubahan y digambarkan dengan istilah

‘beda’ (difference). Misalkan y menunjukan besar

perubahan y pada dua periode berurutan,

sehingga dapat ditulis

1t ty y y .

Dengan ty adalah nilai y pada periode ke-

t . Sedangkan 1ty menunjukan nilai y pada

satu periode setelah periode ke- t . Bentuk di atas dapat ditulis

1t ty y y

2 1t ty y y

3 2t ty y y ........................... .

Misalkan 0 t T , maka kita dapat menyatakan Ty dalam 1Ty hingga 0y .

Hal yang sama berlaku juga sebaliknya, dalam hal ini jika persamaan berbentuk

1t ty y y .

(Chiang & Wainwright 2005)

2.12 TurunanTurunan digunakan untuk mengukur

tingkat perubahan sesaat variabel tak bebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas.

Turunan fungsi f pada bilangan

a dinyatakan dengan 'f a adalah

0

' limh

f a h f af a

h

, jika limit

ini ada. Jika x a h , maka h x a dan h

mendekati 0 jika dan hanya jika xmendekati a . Sehingga dapat ditulis

' lim

x a

f x f af a

x a

.

(Stewart 1998)

4

2.13 Prinsip Maksimum: Maksimisasi dan Minimisasi Fungsi

Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah menguji nilai maksimum dan minimum (terkait kecekungan). Dalamkalkulus dikenal dengan sebutan Uji Turunan Kedua. Andaikan ''f kontinu di sekitar c ,

a) Jika ' 0cf dan '' 0cf , maka

f mempunyai minimum lokal pada c .

b) Jika ' 0cf dan '' 0cf , maka f

mempunyai maksimum lokal pada c .(Stewart 1998)

2.14 Turunan Parsial Jika f adalah fungsi dua variabel, maka

turunan parsialnya adalah fungsi xf dan yf

yang didefinisikan oleh

0

, ,, lim

hx

f x h y f x yf x y

h

0

, ,, lim

hy

f x y h f x yf x y

h

.

Untuk mencari xf , pandang y sebagai

konstanta dan diferensialkan ,f x y

terhadap x . Sementara untuk yf , pandang x

sebagai konstanta lalu diferensialkan ,f x y

terhadap y .

Jika f adalah fungsi dua variabel, maka

turunan parsial (pertama) xf dan yf juga

fungsi dua variabel, sehingga kita dapat meninjau turunan parsial kedua,

x xf , x y

f , y xf , y y

f . Notasi x yf

atau xyf atau 2 f

y x

bermakna bahwa pertama

kita mendiferensialkan terhadap x , kemudian terhadap y .

(Stewart 2003)

2.15 Pengali Lagrange ( )Untuk mencari nilai ekstrem ( , )f x y

terhadap kendala ,g x y k (dengan

anggapan bahwa nilai ekstrem ini ada), kita mencari semua nilai x , y , dan sedemikian

sehingga , ,f x y g x y , dan ,g x y k .

(Stewart 2003)

2.16 Determinan HessUntuk mengoptimumkan suatu fungsi dua

variabel ,z f x y dengan anggapan syarat

turunan pertama telah dipenuhi, syarat selanjutnya harus dipenuhi:

1) , 0xx yyz z untuk minimum

, 0xx yyz z untuk maksimum, dan

2) 2

xx yy xyz z z .

Suatu pengujian yang mudah untuk syarat ordo kedua ini adalah determinan Hess, ditulis:

xx xy

yx yy

z zH

z z

dengan xy yxz z .

Jika 1 0H , dan

2

2 0xx xy

xx yy xyyx yy

z zH z z z

z z ,

syarat ordo kedua untuk suatu minimum dipenuhi. Hal tersebut dikatakan Hess definit positif.

Jika 1 0H dan,

2 0xx xy

yx yy

z zH

z z

syarat ordo kedua untuk suatu maksimum dipenuhi. Hal tersebut dikatakan Hess definit negatif.

(Dowling 1980)

2.17 Variabel SlackMencari solusi (penyelesaian) dari sebuah

fungsi obyektif dengan lebih dari dua variabel pada pemrograman linear dapat menggunakan metode penyelesaian tertentu, misalnya metode simpleks. Misalkan:

1

n

ij j ij

a x b

(1)

adalah sebuah kendala pertaksamaan. Dimisalkan sebuah variabel baru, s . Persamaan (1) dapat ditulis kembali sebagai berikut:

1

n

ij j ij

a x s b

, atau

1

n

i ij jj

s b a x

(2)

0s . (3)

5

Variabel s disebut variabel slack. Penambahan variabel slack bertujuan untuk mengubah pertaksamaan yang mengandung tanda “ ” menjadi sebuah persamaan. Pertaksamaan (1) benar jika dan hanya jika persamaan (2) dan pertaksamaan (3) benar. Penulisan variabel s biasanya disesuaikan dengan variabel yang digunakan dalam fungsi,

misalnya: xn i untuk variabel slack pada

pertaksamaan ke- i . Sehingga kendala ke- imenjadi:

1

n

n i i ij jj

x b a x

, dengan 0n ix .

(Cormen 2002)

2.18 Persamaan HamiltonPersamaan Hamilton didefinisikan sebagai

berikut:

, , ,

, , , ,

H x t y t t t

f x t y t t t g x t y t t

dengan t disebut costate variable.

Costate variable t menaksir nilai

marginal atau mengikuti perubahan dari

variabel state x t .

(Dowling 2001)

2.19 Fungsi Utilitas (Utility Function)Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang

menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut:

1 2, , ...,t nU U x x x

dengan tU adalah kegunaan/utilitas total, dan

1 2, , ..., nx x x merupakan banyaknya produk

yang dikonsumsi.Kegunaan total barang yang dikonsumsi

seorang individu biasanya makin meningkat pada saat dia mengonsumsi suatu produk. Hingga pada tingkat tertentu, kegunaan marginalnya menjadi lebih kecil dibandingkan dengan sebelumnya. Hal ini terjadi sejalan dengan kejenuhan individu bersangkutan akan produk itu.

(Pass et al 1994)

III PEMBAHASAN

Analisis mengenai pengaruh kebijakan moneter dan fiskal terhadap pertumbuhan ekonomi dibuat atas dasar sebuah model dinamik dengan variabel-variabel tertentu dari tipe Sidrauski-Brock (Obsfeld & Rogoff, 1983).

3.1 Model Perilaku Ekonomi Sektor Rumah Tangga dan PemerintahPada bagian ini akan dibahas sebuah

model dinamik, dengan asumsi:1. Rumah tangga dengan waktu hidup tanpa

batas dan memperoleh pendapatan konstan tiap periode.

2. Rumah tangga membayar pajak konstan dan konsumsi tiap periode konstan.

3. Ada agen swasta yang representatif dan sektor pemerintah yang terdiri atas gabungan otoritas fiskal dan moneter (bank sentral).

4. Tidak ada ketidakpastian dan pasar dalam kondisi sempurna.Variabel-variabel yang digunakan sebagai

berikut:t : periode waktu.

Pada model diskret, interval antar satuan waktu adalah sama.

ty : pendapatan rumah tangga pada periode

t , dengan 0ty .

tc :konsumsi pada periode t , dengan

0tc .

th : pengeluaran untuk pembayaran lump-

sum tax pada periode t .

tP : nilai uang dari output pada periode t .

tM : jumlah uang pada awal periode t (atau

di akhir periode -1t ).

tB : obligasi nominal yang belum dilunasi

pada awal periode t (atau di akhir periode -1t ).

ti : suku bunga nominal bebas risiko untuk

satu periode t .

tr : suku bunga real bebas risiko untuk satu

periode t .

t : tingkat inflasi.

tx : variabel slack.

tg : belanja/pengeluaran real pemerintah

pada periode t .

6

Diketahui Persamaan Fisher:

11

1t

t

t

ir

(1)

dengan, 11 tt

t

P

P .

Kendala anggaran rumah tangga untuk suatu periode:

11 ,

1t

t t t t t t t t tt

BPc M M B P y Ph

i

0t (2)Dengan kata lain, jumlah pengeluaran lebih kecil atau sama dengan pendapatan setelah dikurangi pajak.

Didefinisikan kekayaan real, tW , sebagai

berikut:

t t tW B M . (3)

Untuk mengubah pertaksamaan (2) menjadi sebuah persamaan, diberikan variabel slack

tx , 0

tx , 0t .

Persamaan (2) dapat disederhanakan menjadi:

11

1t

t t t t t t t t t

t

BPc M M B P y Ph

i

11

1t

t t t t t t t t

t

BM W P y Ph Pc

i

1 1 1

1t t t t

t t t t t

t

M M i BW P y h c

i

1 111 1t t t t t

t t tt

t t

M B iW P y h c M

i i

Karena 1 1 1t t tW B M , maka dengan

menambahkan variabel slack, diperoleh persamaan berikut

1111 1

t tt t t t t

t

tt

t t

W ixW P y h c M

ii i

.

Atau dapat ditulis

11

1 1t t

t t t t t t

t t

W iW P y h c M

i i

.1

t

t

x

i

(4)

Pada kondisi kesetimbangan, saat pengeluaran yang direncanakan sama dengan pendapatan, persamaan di atas mengikuti kaidah umum dalam ilmu ekonomi, yakni

, 0t t tc g y t . (5)

Dengan demikian persamaan (4) menjadi

11

1 1 1t t t

t t t t t

t t t

W i xW P g h M

i i i

(6a)

Untuk mendapatkan tW , persamaan di atas

dapat dituliskan sebagai berikut:

11 .

1 1 1t t t

t t t t t

t t t

W i xW P h g M

i i i

(6b)Dengan Persamaan Beda, persamaan (6b)

dapat dipecahkan untuk mendapatkan hasil berikut:

t t tW B M

1 11

00 0

1 1

=1 1

1 1

[ ].1

T kT

t jkj j

t j t j

t kt t k t k t k t k

t k

Wi i

iP h g M x

i

(7)(Bukti lihat Lampiran 1)

Jika kondisi transversalitas:

1

0

1lim 0

1T j

T

T

jt j

Wi

(8)

dipenuhi, maka persamaan (7) menjadi:

1

0 0

1

1[

1

]1

k

t t t k t k t kk j

t j

t kt k t k

t k

B M P h gi

iM x

i

(9)

Persamaan (9) menggambarkan kondisi kesanggupan pemerintah untuk membiayai pengeluaran, termasuk melunasi hutangnya.

Dengan menyubstitusi kembali

t t tg y c pada persamaan (9), maka akan

diperoleh persamaan (10) yang menggambarkan kondisi kesanggupan rumah tangga untuk membiayai pengeluarannya:

1

10 0

1[

1 1

- - - ].

kt k

t t t kk j

t j t k

t k t k t k t k t k

iB M M

i i

P y h c x

(10)

3.2 Model Masalah OptimasiMisalkan kita notasikan:

1t tZ M (11)

dan faktor diskon nilainya sama dengan:

1, 0

1

(12)

7

dengan >0 adalah suku bunga subjektif.Konsumen memaksimumkan fungsi

J yang diberikan oleh persamaan:

0,t t

tt

t

ZJ U c

P

(13)

dengan ., .U adalah fungsi utilitas. Fungsi

tersebut merupakan fungsi naik, konkaf dan terturunkan dua kali:

., . 0, ., . 0c zU U (14)

dan Matriks Hess-nya:

cc cz

zc zz

U U

U U

(15)

adalah definit negatif, dengan

cU

Uc

; zU

Uz

;

2

2ccU

Uc

; 2

2zzU

Uz

; 2

czU

Uz c

;

dan2

zcU

Uc z

.

Lebih jauh lagi,

0 0lim , lim ,c zc z

Z ZU c U c

P P

(16)

lim , 0cc

ZU c

P

. (17)

Agen memaksimumkan (13) terhadapkendala berikut:

1 1 [ ( )]t t t t t t t t t tW i W P y h c i Z x (18)

1t tW Z (dengan 0W ditentukan) (19)

0tx (20)

1

0

1lim 0

1

T

T jT j

i j

Wi

. (21)

Kendala (19) dapat dituliskan sebagai berikut:

1 1 1t t tB M M atau 1 0tB . (19’)

Untuk memperoleh kondisi yang optimal, digunakan Prinsip Maksimum untuk sistem dinamik dengan variabel diskret.

Persamaan Hamilton-nya: (Altar, 2003)

, {(1 )[ (

)] } {(1 )[

( )] (1 ) }

t tt t t

t

t

t t

t t t t

t t t t t t t

t t t t t t t

ZH U c i W P y

P

h c i Z x i W

P y h c i Z x x

(22)

dengan t melambangkan variabel dual; t

dan t adalah pengali Lagrange (Lagrange

multiplier) yang sesuai dengan kendala (19) dan (20).

Syarat perlu untuk kondisi optimalnyaadalah sebagai berikut:

0tH

c

0tH

Z

0tH

x

.

(23) Sehingga diperoleh

, 1t tc t t t t t

t

ZU c i P

P

1, . 1t t

z t t t t t

t t

ZU c i i

P P

t t t


Persamaan dinamik dari variabel dual tadalah sebagai berikut: (Altar, 2003)

1t

t

t

H

W

(25)

sehingga

1 1 1t t t t ti i . (26)

Untuk pengali Lagrange (berdasarkan Prinsip Maksimum), diperoleh (Altar, 2003):

10 ; 0t t t tW Z

0 ; . 0t t tx . (27a)

8

Dari persamaan 0 ; . 0t t tx , dapat

dilihat bahwa jika 0tx maka 0t .

Dalam hal ini, persamaan ketiga pada persamaan (24) menjadi t t , sehingga

membuat kondisi di atas tidak optimal.

Sementara itu, jika 0, 0tx t , maka

kendala anggaran konsumen (2) pada kurva/lintasan optimal dipenuhi sebagai sebuah persamaan, yaitu

11 ,

1

0

tt t t t t t t t t

t

BPc M M B P y Ph

i

t

(27b)

Dari persamaan pertama (27a), bila 0t

maka 1 0t tW Z ,

1 1 0t t tB M Z Karena 1t tM Z , maka dapat ditulis

1 0tB .

Dengan kata lain, jika 0t , maka agen

tidak akan membeli obligasi pada periode bersangkutan.

Didefinisikan:

; t tt tt t

q

, (28)

maka kondisi optimal (24) menjadi:

, 1tc t t t t t

t

ZU c i P q

P

, 1tz t t t t t t t

t

ZU c Pi q P i

P

(29)(Bukti lihat Lampiran 3).Persamaan dinamiknya sebagai berikut:

1 1t t t tq i q atau

1

1

1t t t

t

q qi

. (30)

(Bukti lihat Lampiran 4)

3.3 Analisis Kualitatif Lintasan OptimalUntuk mempermudah analisis ini,

diasumsikan bahwa fungsi utilitas dapat dipisahkan dalam dua argumen berikut:

( , ) ( ) ( )t tt t

t t

Z ZU c V c

P P . (31)

Dalam kasus ini, kondisi optimal (29) menjadi:

'( ) (1 ) ( )t t t t tV c i P q (32)

' (1 )t t t t t t

ZtPt

i Pq P i

. (33)

Berdasarkan persamaan (27a), jika

1 0tB (agen membeli obligasi) maka nilai

0t , sehingga 0t . Persamaan (30),

(32), (33) menjadi:

1

1

1t t

t

q qi

(34)

' 1t t t tV c i Pq (35)

' tt t t

t

ZPi q

P

. (36)

Penulisan kondisi optimal (35) untuk dua periode berurutan adalah sebagai berikut:

' 1t t t tV c i Pq

1 1 1 1' 1t t t tV c i P q .

Dengan mengambil rasio kedua persamaan tersebut dan menggunakan persamaan (34), diperoleh

1 11

' 1 1

' 1t

t t

t

t

V c P

V c i P

. (37)

(Bukti: lihat Lampiran 5)Diketahui

1

1

1 tt

t

P

P

, (38)

dengan 1t menunjukkan tingkat inflasi pada

periode 1t , persamaan (37) menjadi:

11

' 1

' 1 t

t

t

V c

V c r

. (39)

(Bukti: lihat Lampiran 6) Dengan asumsi bahwa fungsi dari

konsumsi di atas adalah fungsi satu-satu, maka persamaan (39) berimplikasi pada situasi berikut:

a) Jika 1tr , maka 1t tc c .

b) Jika 1tr , maka 1t tc c .

c) Jika 1tr , maka 1t tc c .Oleh karena itu, perkembangan inflasi dan

suku bunga nominal bebas risiko menyebabkan konsumsi dapat menjadi konstan, naik ataupun turun.

Selanjutnya, dengan mengambil rasio persamaan (36) untuk dua periode berurutan

9

dan menggunakan persamaan (34), diperoleh

1 11

1

'1

1'

t

t t t

t tt

t

t

Z

P P i

P i iZ

P

(40)

atau

1 11

1

'1

1'

t

t t t

t t tt

t

Z

P P i

P i iZ

P

. (41)

(Bukti lihat Lampiran 7)Jika diasumsikan bahwa:

a) Inflasi konstan, yaitu1

1t

t

P

P

.

b) 1t ti i .

c)1

1 11

ir r

.

Maka, dari (41) diperoleh:

1

1

'

1

'

t

t

t

t

Z

P

Z

P

atau

1

1

t t

t t

Z Z

P P

. (42)

Karena 1t tZ M , maka

1

1

1 .t t

t t

M P

M P

Jadi, dengan persamaan (13), asumsi (b), dan asumsi (c), diketahui bahwa permintaan terhadap uang tumbuh dengan laju yang sama dengan pertumbuhan inflasi.

1 1 .t tM M . (43)

3.4 Kondisi TransversalitasUntuk lintasan optimal, Prinsip

Maksimum menyediakan kondisi transversalitas atau syarat batas:

lim 0T TT

W

. (44)

Substitusikan menggunakan persamaan (28), maka persamaan (44) menjadi:

lim 0T T TT

q W

. (45)

Karena T T TW B M dengan 0 TB dan

0TM , kondisi transversalitas (45)

menjadi:

lim 0T T TT

q B

(46a)

lim 0T T TT

q M

. (47a)

Dari persamaan dinamik (34) diperoleh:

01

1 1

1

T

Tk

T k

q qi

(48)

(Bukti lihat Lampiran 8)Dengan menyubstitusi (48) ke persamaan (46a) dan (47a), diperoleh:

0

1lim 0

1

T

TT k

k

Bi

(46b)

0

1lim 0

1

T

TT k

k

Mi

. (47b)

Jika tingkat bunga nominal bebas risiko konstan, yaitu

1 , 0k ki i i k (49)

maka kondisi transversalitas menjadi:

1lim 0

1

T

TT

Bi

(46c)

1lim 0

1

T

TT

Mi

. (47c)

Ini berarti bahwa barisan TB t N dan

TM t N harus naik lebih lambat dari pada

barisan1

1

t

i t N

.

3.5 Kasus Fungsi Utilitas Tipe BernoulliDiasumsikan bahwa fungsi utilitas (.)V

dan (.) pada persamaan (31) merupakan tipe

Bernoulli.Misalkan:

11

1-V c c

1

1

1t t

t t

Z Z

P P

(50)dengan (0,1)

Dengan mengetahui konsumsi pada dua periode berurutan di persamaan (39), diperoleh persamaan konsumsi pada kondisi optimal sebagai berikut:

10

1

11

1

1t

t t

rc c

. (51a)

(Bukti lihat Lampiran 9)Persamaan (51a) menggambarkan sebuah

persamaan dinamik dengan variabel kontrol

tc .

Persamaan (51a) menunjukkan bahwa, untuk tujuan mengetahui dinamika konsumsi yang optimal, cukup dengan mengetahui perubahan dari tingkat suku bunga real bebas

risiko dan nilai awal 0c untuk konsumsi.

Dengan Persamaan Beda, persamaan (51a) dapat dipecahkan untuk mendapatkan hasil berikut:

1

1

00

1

1

tk

tk

rc c

(51b)

(Bukti lihat Lampiran 10)Dengan substitusi maju, diperoleh

1

0

1

1

Tt k

t T tk

rc c

. (52)

(Bukti lihat Lampiran 11)Terkait permintaan terhadap uang, kita

bagi persamaan (35) dengan persamaan (36), sehingga diperoleh persamaan berikut:

'

' 1

t

t t

tt

Z

P i

V c i

. (53)

Dengan menyubstitusikan bentukturunannya diperoleh:

1

1t t

t

t t

Z ic

P i

. (54)

(Bukti lihat Lampiran 12)

Karena 1t tZ M , maka persamaan (54)

dapat ditulis sebagai berikut:1

11

tt t t

t

iM P c

i

. (55)

Dari persamaan (55) dapat disimpulkan

bahwa permintaan terhadap uang, 1tM ,

meningkat selama tP dan tc naik.

Diketahui: 11 tt

t

P

P .

Misalkan:

11

1

tt

t

Mm

P

(56)

Karena 1

1t

tt

PP

, maka persamaan (55)

dapat ditulis sebagai berikut:1

11

1

1t t

t t

t t

P iM c

i

1

1

1

11

1t t

t

t t t

M ic

P i

.

Berdasarkan persamaan (56), diperolehpersamaan berikut:

1

1

11

1t

t tt t

im c

i

. (57)

Dapat disimpulkan bahwa 1tm akan turun

mengikuti kenaikan tingkat inflasi, t .

Jika tingkat suku bunga nominal dan tingkat inflasi konstan:

11 1

1

ir

(58)

maka, berdasarkan persamaan (51a), dapat dikatakan bahwa konsumsi konstan.

1 , t tc c t (59)

Dalam kasus ini, permintaan real terhadap uang juga akan menjadi konstan:

1

1 1

1

im c

i

. (60)

Dari persamaan (58) kita memperoleh persamaan tingkat suku bunga nominal:

(1 )(1 ) 1i . (61)

Sehingga persamaan permintaan real terhadap uang pada persamaan (60) di atas akan menjadi:

1

1 1

111

(1 )(1 )

m c

.

(62)Karena itu, dengan asumsi di atas, jika

bank sentral membuat keputusan seputarbesarnya tingkat inflasi, , (konstan), maka besarnya tingkat suku bunga diberikan olehpersamaan (61) dan permintaan real terhadap uang diberikan oleh persamaan (62).

11

3.6 Kesesuaian antara Kebijakan Fiskal dan Moneter

Interaksi antara kebijakan fiskal dan moneter tetap menjadi topik yang menarik untuk dibahas oleh para ahli makroekonomi.

Pada bagian ini, diambil beberapa asumsi mengenai kebijakan fiskal dan moneter, untuk melihat bagaimana kondisi kesanggupan membayar fiskal terpenuhi (juga kondisi transversalitas (46b) dan (47b)).

Dalam kaitannya dengan kebijakan moneter oleh bank sentral, diasumsikan bahwa kondisi-kondisi berikut terpenuhi:1. Tingkat inflasi konstan.2. Tingkat suku bunga nominal konstan.

Selanjutnya, diasumsikan juga bahwa tingkat suku bunga nominal telah diberikan pada persamaan (61), yang menyebabkan konsumsi konstan.

Untuk penyederhanaan, diasumsikan juga pendapatan, y , sama untuk tiap periode:

1 , 0t ty y y t . (63)

Belanja real pemerintah tiap periode adalah

t t tg y c .

Karena ty dan tc tetap, maka tg juga tetap.

Sehingga dapat ditulis:

1 , 0t tg g g t . (64)

Jika kita membagi persamaan anggaran

rumah tangga (27b) dengan tP , maka

diperoleh:

1 1 1 1

1 1

1

1

-

t t t tt

t t t t

t tt

t t

M P B Pc

P P P P i

M By h

P P

(65)

Misalkan

; t tt t

t t

B Mb m

P P . (66)

Karena -y c g , maka persamaan (66)

dapat ditulis sebagai berikut:

11- 1

1t

t t t t

bb g h m m

r

.


Berdasarkan asumsi mengenai tingkat inflasi dan tingkat suku bunga nominal di atas, dapat disimpulkan bahwa permintaan realterhadap uang juga konstan:

1 , 0t tm m m t (68)

yang besarnya diberikan pada persamaan (62).Persamaan (67) dapat ditulis sebagai

berikut:

1 - -1

tt t

bb g h m

r

(69a)

atau

1 -1

tt t

bb S

r

(69b)

dengan tS menunjukkan surplus termasuk

seignorage.

t tS h m g . (70)

Dalam kaitannya dengan kebijakan fiskal, diasumsikan lump-sum tax-nya konstan:

, 0th h t . (71)

Dalam kasus ini, surplus termasuk seignorage adalah konstan:

, 0tS S t (72)

dan persamaan (69b) menjadi:

1

1t

t

bb S

r

(73a)

atau

1 1 1t tb r b r S . (73b)

Dengan persamaan beda, persamaan (73b)dapat dipecahkan untuk memperoleh hasil berikut:

0

11 1 1

T T

T Sr

b r b rr

.


Jika kedua ruas dibagi dengan 1T

r :

0

1 11

1 1

TT T

b rb S

rr r

(75)Diketahui bahwa,

TT

T

Bb

P

01T

TP P , (76)

maka dari persamaan (75), diperoleh persamaan berikut:

0

00

1 11

11

T

TT

BB rS

P r ri P

(77)dan

0

0

1lim

1T

TT

B rb S

ri P

. (78)

12

Kondisi transversalitas akan dipenuhi hanya jika:

01

rS b

r

. (79)

Sehingga besarnya jumlah lump-sum taxadalah

0-1

rh g m b

r

(80)

Jika nilai pajak diberikan oleh persamaan (80), maka dari persamaan dinamik (73a), diperoleh

0 1 2 ... , tb b b b t N (81)

Kewajiban real pemerintah bernilai konstan dan kewajiban nominal naik berdasarkan tingkat inflasi:

01T

TB B . (82)

Dari persamaan kendala anggaran, untuk 0t , maka:

0m m (83)

dengan 00

0

Mm

P diberikan.

Dengan menggunakan persamaan (62), diperoleh

1

0

1 1 11

1 1c m

.


Dari hipotesis-hipotesis sebelumnya, solusi yang optimal adalah

0 1 2 ... , 0tc c c c c t

(85)dengan c diberikan pada persamaan (84).

0 1 2 ... , 0tm m m m m t .

(86)Sehingga permintaan uang nominal

diberikan oleh:

01 , 0t

tM M t . (87)

Dengan menggunakan persamaan (31) dan (50), persamaan (13) dapat ditulis sebagai berikut:

1

1 1

0

1 1

1- 1-t

tt

t

MJ c

P

.


Berdasarkan solusi optimal pada persamaan (85) dan (86), diperoleh

0

0

1 1

-

MJ c

P

. (89)

Dari persamaan (84), persamaan (89)menjadi:

1

0

0

1 1 111

1 1

1

-

J m

m

(90)Dapat dilihat bahwa fungsi utilitas optimal bergantung pada tingkat inflasi. Karena itu bank sentral berperan penting dalam proses optimasi fungsi utilitas, melalui pengaturan tingkat inflasi, yang berdampak pada maksimalnya konsumsi sesuai dengan jumlah uang real.

IV KESIMPULAN

4.1 KesimpulanPada karya ilmiah ini, diberikan sebuah

model pertumbuhan ekonomi waktu diskret dengan variabel kebijakan fiskal dan moneter. Dasarnya adalah model kendala anggaran sektor rumah tangga. Dalam kasus dengan fungsi utilitas diasumsikan memiliki tipe Bernoulli, maka diperoleh sebuah persamaan dinamik optimal dari konsumsi. Dinamikanya tergantung pada tingkat suku bunga nominal dan tingkat inflasi. Jika tingkat suku bunga real sama dengan tingkat bunga subjektif, maka konsumsi optimal konstan untuk seluruh waktu. Permintaan terhadap uang juga berubah sesuai perubahan tingkat inflasi. Saat inflasi konstan, maka permintaan uang real akan konstan.

Dari asumsi tingkat suku bunga nominal dan tingkat inflasi yang konstan oleh banksentral, diperoleh persamaan besarnya pajak

yang sesuai dengan asumsi moneter tersebut. Kewajiban nominal (obligasi/surat utang) pemerintah akan naik berdasarkan tingkat inflasi.

Dengan memanfaatkan solusi optimal, diperoleh persamaan fungsi utilitas baru yang tergantung pada tingkat inflasi.

4.2 SaranMengingat model dalam karya ilmiah ini

menggunakan waktu diskret, maka untuk penelitian lanjutan, perlu dipelajari model pertumbuhan ekonomi dengan waktu kontinu dan jangka waktu hidup yang terbatas.

Selain itu, dapat dianalisis model dengan asumsi moneter yang berbeda, variabelkebijakan yang lebih kompleks, dan asumsi pajak yang tidak konstan.

DAFTAR PUSTAKA

Altar M. 2003. Fiscal and Monetary Policies and Economic Growth. Academy of Economic Studies-Bucharest.

Barro RJ. 1990. Government Spending in a Simple Model of Endogenous Growth. Journal of Political Economy 98: S103-S125.

Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2006. Investasi Edisi ke-6. Z Dalimunthe dan B Wibowo, penerjemah. Jakarta: Salemba Empat. Terjemahan dari:

Investments 6th ed.

Chari, Jones, Manuelli. 1995. The Growth Effects and of Monetary Policy.Quarterly Review, Federal Reserve Bank of Minneapolis, Fall: 18-32.

Chiang CA, Wainwright K. 2005. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Fourth Edition. New York: McGraw-Hill Companies inc..

Cormen HT. 2002. Introduction to Algorithms. Massachusetts: The MIT Press.

Dowling ET. 1980. Matematika untuk Ekonomi. B Sugiharto, penerjemah; V Sihagian, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Mathematics for Economists (Schaum Series).

Dowling ET. 2001. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Intoduction to Mathematical Economics. New York: McGraw-Hill Company.

Kenneth BE. 1958. Principles of Economic Policy. New York: Prentice-Hall inc.-Englewood Cliffs.

Kunarjo. 2003. Glosarium: Ekonomi, Keuangan, dan Pembangunan. Jakarta. Penerbit Universitas Indonesia (UI-Press).

Lancaster K. and Ronald A. Dulaney. 1979. Modern Economics. Principles and Policy. Chicago: Rand McNally College Publishing Company.

Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Edisi Kelima. I Nurmawan, penerjemah; CW Kristiaji, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:

Macroeconomics 5th Edition.

Obstfeld M, Rogoff K. 1983. Speculative Hyperinflations in MaximizingModels: Can We Rule Them Out? Journal of Monetary Economics91,4:675-687.

Pass C, Lowes B, Davies L. 1994. Kamus Lengkap Ekonomi. Edisi Kedua. T Rumapea dan P Haloho, penerjemah; Damos OVY Sihombing, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Dictionary of Economics Second Edition.

Ploeg VDF, Alogoskofis G. 1994. Money and Endogenous Growth. Journal of Money, Credit and Banking 26: 771-791.

Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1. Edisi Keempat. IN Susila dan H Gunawan, penerjemah; N Mahanani dan W Hardani, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.

Stewart J. 2003. Kalkulus Jilid 2. Edisi Keempat. IN Susila dan H Gunawan, penerjemah; N Mahanani dan A Safitri, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.

Sukirno S. 2004. Makroekonomi Teori Pengantar. Jakarta: PT RajaGrafindo Persada.

Woodford M. 1995. Price Level Determinacy Without Control of a MonetaryAggregate. Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy 43:1-46.

15

LAMPIRAN

16

Lampiran 1Penurunan Persamaan (6b) menjadi Persamaan (7) dengan Menggunakan

Persamaan Beda

Diketahui kondisi awal:

11 .

1 1 1t t t

t t t t tt t t

W i xW P h g M

i i i

……… (Persamaan (6b))

Misalkan untuk nilai t selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut:

2 1 11 1 1 1 2

1 1 11 1 1t t t

t t t t tt t t

W i xW P h g M

i i i

, ……… (i)

3 2 22 2 2 2 3

2 2 21 1 1t t t

t t t t tt t t

W i xW P h g M

i i i

, ……… (ii)

4 3 33 3 3 3 4

3 3 31 1 1t t t

t t t t tt t t

W i xW P h g M

i i i

, ……… (iii)

dan seterusnya.

Dilakukan substitusi persamaan (i) ke persamaan (6b), sebagai berikut:

2 1 1

1 1 1 21 1 1

1

( )1 1 1

1 1 1

t t tt t t t

t t t t tt t t t t

t t t

W i xP h g M

i i i i xW P h g M

i i i

1 12 1 1 1 2

1 1 1

1 1 1. ( )

1 1 1 1 1t t

t t t t t tt t t t t

i xW W P h g M

i i i i i

1 .1 1

t tt t t t

t t

i xP h g M

i i

Kemudian, kita subsitusi dengan persamaan (ii):

3 2 22 2 2 3

1 2 2 2

1 1

1 1 1 1 1t t t

t t t t tt t t t t

W i xW P h g M

i i i i i

1 11 1 1 2 1

1 1

1

1 1 1 1 1t t t t

t t t t t t t tt t t t t

i x i xP h g M P h g M

i i i i i

2 23 2 2 2 3

1 2 1 2 2

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1t t

t t t t t tt t t t t t t

i xW W P h g M

i i i i i i i

1 1

1 1 1 2 11 1

1.

1 1 1 1 1t t t t



i i i i i

Substitusi dengan persamaan (iii), menjadi:

4 3 33 3 3 4

1 2 3 3 3

1 1 1

1 1 1 1 1 1t t t

t t t t tt t t t t t

W i xW P h g M

i i i i i i

2 22 2 2 3

1 2 2

1 1

1 1 1 1t t

t t t tt t t t

i xP h g M

i i i i

1 11 1 1 2 1

1 1

1.

1 1 1 1 1t t t t



i i i i i

17

Sehingga diperoleh

41 2 3

1 1 1 1

1 1 1 1t tt t t t

W Wi i i i

3 33 3 3 4

1 2 3 3 3

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1t t

t t t tt t t t t t

i xP h g M

i i i i i i

2 22 2 2 3

1 2 2

1 1

1 1 1 1t t

t t t tt t t t

i xP h g M

i i i i

1 11 1 1 2 1

1 1

1

1 1 1 1 1t t t t



i i i i i

.

Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi

1 11

100 0

1 1 1. .

1 1 1 1

T kTt k

t t j t k t k t k t k t kt j t j t k t kkj j

iW W P h g M x

i i i i

.

Lampiran 2Penurunan Persamaan (22) menjadi Persamaan (24)

Diketahui

, 1

1 1 .

t tt t t t t t t t t t t t

t

t t t t t t t t t t t t

ZH U c i W P y h c i Z x

P

i W P y h c i Z x x

……… (Persamaan (22))

Atau dapat ditulis

, 1

+ 1 1 .

t tt t t t t t t t t t t t t t t t

t

t t t t t t t t t t t t t t t t

ZH U c i W P y Ph Pc i Z x

P

i W P y Ph Pc Z i x x

Persamaan di atas diturunkan terhadap , ,c Z dan x sebagai berikut:

0tH

c

, 1 1 0t tc t t t t t t t

t

ZU c P i P i

P

, 1 1t tc t t t t t t t

t

ZU c P i P i

P

, 1t tc t t t t t

t

ZU c i P

P

0tH

Z

1, . 1 0t t

z t t t t tt t

ZU c i i

P P

1, . 1t t

z t t t t tt t

ZU c i i

P P

0tH

x

0t t t

t t t

18

Lampiran 3Bukti Persamaan (29)

Diketahui:

; t tt tt t

q

......... (Persamaan (28))

Dari persamaan (24):

, 1t tc t t t t t

t

ZU c i P

P

, 1 . t tt

c t t t tt

ZU c i P

P

, 1 .t t tc t t t t t

t

ZU c i P

P

, 1 .tc t t t t t

t

ZU c i P q

P

, 1t tz t t t t t

t

ZU c i i

P

, 1t tz t t t t t t t

t

ZU c Pi i P

P

, . 1 .t t tz t t t t tt t

t

ZU c Pi i P

P

, 1 .tz t t t t t t t

t

ZU c Pi q i P

P

Lampiran 4 Bukti Persamaan Dinamik (30)

Diketahui:

; t tt tt t

q

atau . tt t ……… (Persamaan (28))

11 1

tt t

q

……… (dari Persamaan (28))

1

(1 ) (1 )t t t tt

i i


1

(1 ) (1 ) . tt t t t

t

i i


1

(1 ) . tt t t

t

i

1

(1 ) . .t tt t t

t

i q


19

1

(1 ) tt t t

t

i q

(1 )t t ti q .

Atau,

1 (1 )t t t tq i q

1

(1 )t

t tt

qq

i

1

(1 )t

t tt

qq

i

11

. .(1 )t t t

t

q qi

Lampiran 5 Bukti Persamaan (37)

Diketahui:

1

1

(1 )t t

t

q qi


Persamaan (35) dapat ditulis sebagai berikut:'( ) (1 )t t t tV c i Pq

1

(1 ). .

(1 ) tt

tt

qi

Pi

1

1tt qP

Persamaan (35) untuk periode sebelum t adalah

11 1 1'( ) (1 ) tt t t qV c i P Dilakukan perbandingan untuk periode t dan periode sebelum t , sebagai berikut:

111 1 1

'( ) 1 1

'( ) (1 )tt

tt

t t t

qq

V cP

V c i P

1 1

1 1.

(1 )t

t t

P

i P

Lampiran 6 Bukti Persamaan (39)

Diketahui:

1 1 1

'( ) 1 1

'( ) (1 )t t

t t t

V c P

V c i P


-1-1

1 tt

t

P

P . ……… (Persamaan (38))

Substitusi persamaan (38) ke persamaan (37), diperoleh

-11 1

1'( ) 1 1

.'( ) (1 ) t

t

t t

V c

V c i

Berdasarkan definisi pada persamaan (12), maka persamaan di atas menjadi:

20

-11 1

1'( ) 1

'( ) (1 ) tt

t t

V c

V c i

-1

1

11

(1 )t

ti

1

1.

1 tr

Lampiran 7Bukti Persamaan (40) dan Persamaan (41)

Diketahui:

1

1

(1 )t t

t

q qi


1, 0

1


' tt t t

t

ZPi q

P


Untuk periode sebelum t , persamaan (36) dapat ditulis:

11 1 1

1

' .tt t t

t

ZP i q

P

Dilakukan perbandingan untuk periode t dan periode sebelum t , sebagai berikut:

1 1 11

1

'

'

t

t t t t

t t tt

t

Z

P P i q

P i qZ

P

1

1 1 1

1

(1 )t t t

t t t t

P i q

P i i q

1 1

1.

(1 )t t

t t t

P i

P i i

Berdasarkan definisi pada persamaan (12), maka persamaan di atas menjadi:

1 11

1

'1

.1

'

t

t t t

t t tt

t

Z

P P i

P i iZ

P

Lampiran 8Bukti Persamaan (48) dengan Menggunakan Persamaan Beda

Diketahui:

1

1

1t t

t

q qi


1.t T Misalkan untuk 4T atau 3t , persamaan (34) dapat ditulis sebagai berikut:

21

4 3

4

1

1q q

i

……… (i)

3 2

3

1

1q q

i

……… (ii)

2 1

2

1

1q q

i

……… (iii)

1 0

1

.1

1q q

i

……… (iv)

Dilakukan substitusi maju dari persamaan (i):

4 3

4

.1

1q q

i

Substitusi 3q dengan persamaan (ii):

4 2

4 3

.1 1

1 1q q

i i

Substitusi 2q dengan persamaan (iii):

4 1

4 3 2

.1 1 1

1 1 1q q

i i i

Substitusi 1q dengan persamaan (iv):

4 0

4 3 2 1

.1 1 1 1

1 1 1 1q q

i i i i

Atau dapat ditulis:

04 0

4

4

1 1.

1 kki

q q

Bentuk di atas dapat ditulis sebagai berikut:

01

.1 1

1

T

Tk

T k

q qi

Lampiran 9Bukti Persamaan (51a)

Diketahui:

11

' 1

' 1 t

t

t

V c

V c r


1-1( )

1-V c c


Turunkan persamaan (50):

-1

1-'( ) 1- .t tcV c

- .tc Untuk periode sebelum t , persamaan di atas dapat ditulis:

22

1 1'( ) ( ) .t tV c c

Dilakukan perbandingan untuk periode t dan periode sebelum t , sebagai berikut: -

1 1 1

'( ) 1

'( ) 1 ( )t t

t t t

cV c

V c r c

1

1

( )1

1t

t tc

c

r

11

1.( ) .

1t

t tr

c c

Sehingga diperoleh persamaan dinamik berikut:1

11

1.

1t

t tr

c c

Lampiran 10Bukti Persamaan (51b) dengan Menggunakan Persamaan Beda

Diketahui: 1

11

1

1t

t t

rc c

……… (Persamaan (51a))

Untuk periode sebelum t , persamaan di atas dapat ditulis:1

21 2

1

1t

t t

rc c

……… (i)

1

32 3

1

1t

t t

rc c

……… (ii)

1

43 4

1

1t

t t

rc c

……… (iii)

dan seterusnya.Substitusi persamaan (i) ke persamaan (51a):

1 1

1 22 .

1 1

1 1t t

t t

r rc c

Subsitusi 2tc dengan persamaan (ii):1 1 1

1 2 33 .

1 1 1

1 1 1t t t

t t

r r rc c

Substitusi 3tc dengan persamaan (iii):1 1 1 1

1 2 3 44 .

1 1 1 1

1 1 1 1t t t t

t t

r r r rc c

Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi:1

1

00

.1

1

tk

tk

rc c

23


Diketahui: 1

11

1

1t

t t

rc c

……… (Persamaan (51a))

1.t T Misalkan untuk 4T , persamaan (51a) dapat ditulis sebagai berikut:

1

34 3

1

1t

t t

rc c

……… (i)

1

23 2

1

1t

t t

rc c

……… (ii)

1

12 1

1

1t

t t

rc c

……… (iii)

1

1 .1

1t

t t

rc c

……… (iv)

Dilakukan substitusi maju dari persamaan (i):1

34 3 .

1

1t

t t

rc c

Substitusi 3tc dengan persamaan (ii):1 1

3 24 2 .

1 1

1 1t t

t t

r rc c

Substitusi 2tc dengan persamaan (iii):1 1 1

3 2 14 1.

1 1 1

1 1 1t t t

t t

r r rc c

Substitusi 1tc dengan persamaan (iv):1 1 1 1

3 2 14 .

1 1 1 1

1 1 1 1t t t t

t t

r r r rc c

Bentuk diatas dapat disederhanakan menjadi:1

0.

1

1

Tt k

t T tk

rc c


Diketahui:

11

1-V c c

24

1

1

1t t

t t

Z Z

P P

dengan (0,1) ……… (Persamaan (50))

'

' 1

t

t t

tt

Z

P i

V c i

. ……… (Persamaan (53))

Turunkan persamaan (50), sehingga diperoleh:

-1

1-'( ) 1- .t tcV c

-tc ……… (i)

1 1

11

'1

t t

t t

Z Z

P P

.t

t

Z

P

……… (ii)

Substitusikan persamaan (i) dan (ii) ke persamaan (53):

-

'

' 1

t

t t

tt

ZtPt

ct

Z

P i

V c i

- 1t

t

ZtPt

ct

i

i

-.1

t

t

tt

t

Z ic

iP

-.1

t

t

tt

t

Z ic

iP

1

.1

t

t

tt

t

Z ic

iP


Diketahui:

1 1 1 1

1 1

1

1t t t t t t

t t

t t t t t t

M P B P M Bc y h

P P P P i P P


; t tt t

t t

B Mb m

P P ; y c g ……… (Persamaan (66))

11 t

t

P

P ;

11

1

ir

atau 1 (1 ).(1 )i r

25

Persamaan (65) dapat ditulis:

1 11

(1 )(1 )(1 ) (1 ) .t tt t t t tc m b m b y h

r

Dengan menempatkan 1

(1 )tb

r

pada ruas kiri, persamaan di atas menjadi:

11((

(1 )) ) ( .(1 ) ).t

tt t t t tb

b y h m mr

c

Karena y c g , maka:

11(

(1 )) ( .(1 ) ).t

tt t t tb

b g h m mr


Diketahui:

1 1 1t tb r b r S ……… (Persamaan (73b))

1t T Misalkan untuk 4T atau 3t , persamaan (73b) dapat ditulis sebagai berikut:

4 31 1b r b r S ……… (i)

3 21 1b r b r S ……… (ii)

2 11 1b r b r S ……… (iii)

1 01 1 .b r b r S ……… (iv)

Dilakukan substitusi maju dari persamaan (i):

4 31 1 .b r b r S

Substitusikan 3b dengan persamaan (ii):

4 21 1 1 1b r r b r S r S

2 2

4 21 1 1 .bb r r S r S

Substitusikan 2b dengan persamaan (iii):

4 12 2

1 11 1 1r b r Sb r r S r S

4

3 3 2

11 1 1 1 .b Sb r r r S r S

Substitusikan 1b dengan persamaan (iv):

043 3 2

1 1 1 1 1 1Sb r r b r S r r S r S

4 04 4 3 2

1 1 1 1 1 .b S Sb r r r r S r S

Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

44 4 3 21 1 1 1 .01 b r r r r Sb r

Pengurang pada barisan di atas berupa jumlah deret geometri dengan suku pertama adalah 1 r

dan pengali/rasionya 1 r , sehingga bisa di tulis sebagai berikut:

4

1 1 140 1 1

1Tr r

b Sr

b r

26

4

1 1 14.01

Tr rb S

rb r

Atau dapat ditulis:

414

1 1 .01 Trb r S

rb r


Diketahui: 1

1 1

11 1(1 )(1 )

m c


Dengan menempatkan c

di ruas kiri persamaan (62) menjadi:

1

1 1

11 1(1 )(1 )

cm

1

1 1

(1 )(1 ) 11

(1 )(1 )

m

1

1 (1 )(1 )

1 (1 )(1 ) 1

m

1

1 (1 )(1 )

(1 )(1 ) 11

m

1

(1 )(1 ) 1

(1 )(1 )1m

1

0(1 )(1 ) 1

(1 )(1 )1c m

1

0(1 )(1 ) 1

1 .(1 )(1 )

m

27


Diketahui:

0

,t tt

t t

ZJ U c

P


( , ) ( )t tt t

t t

Z ZU c V c

P P


1-1( )

1-V c c

11

1t t

t t

Z Z

P P


Substitusikan persamaan (13) ke persamaan (31):

0

( )t tt

tt

ZJ V c

P

.

Substitusikan persamaan (50):1

1-

0

1 1

1- 1.t

t

tt

t

Zc

PJ

Berdasarkan persamaan (13), persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:1

1- 1

0

1 1

1- 1.t t

ttt

cM

JP

model dinamik pertumbuhan ekonomi waktu … · bapak donny citra lesmana, s.si, m.fin.math. yang...

Documents