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Model CreditRisk+:The Economic Perspective of Portfolio Credit RiskPart I

Seminar: Portfolio Credit RiskInstructor: Rafael WeißbachSpeaker: Pablo Kimmig

1. Ansatz und Ziele

• Was ist CreditRisk+

• Konzept

• Modellierung

Agenda

• Modellierung

2. Verteilung der Ausfälle

3. Verlustverteilung

4. Modellerweiterungen

5. Anwendung

6. Zusammenfassung

• Entwickelt von Credit Suisse Financial Products im Jahre 1997

• Aktuarisches Modell

• Intensity Based Model (vs. Strukturelle Modelle)

• Analytisches Modell

Was ist CreditRisk +?

Ansatz und Ziele

• Analytisches Modell

Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung potentiellerer Verlustausfälle

� Bildung von Rückstellungen (Economic Capital)

� Steuerungsinformationen für Portfoliomanagement

Konzept

Ansatz und Ziele

Quelle: CreditRisk+; Credit Suisse

1. Credit Exposures

• Severity: Schaden im Fall von Ausfällen

• Deterministisch

• Problem der Scheingenauigketi

Data Input

Ansatz und Ziele

• Problem der Scheingenauigketi

2. Default Rates

• Kalibrierung durch die beobachtete Kreditspanne der gehandelten Kreditderivate oder mittels Ratings

• Starke jährliche Schwankungen

3. Default Rate Volatilities

• Standartabweichung

Beispiel

• Exposure von Schuldner A: LA = 1000 €

• Ausfallwahrscheinlichkeit: pA = 5%

• Kreditausfall als diskretes Ereignis („Ausfall“, „kein Ausfall“)

Warum analytisches Modell?

Ansatz und Ziele

• Kreditausfall als diskretes Ereignis („Ausfall“, „kein Ausfall“)

95%

95%

95%

5%

5%

5%

Kredit 1

Kredit 2

Kredit 2

λ=0€ (90,25%)

λ=1000€ (4,75%)

λ=1000€ (4,75%)

λ=2000€ (0,25%)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90,25% wird ein Verlust von 0€ nicht überschritten

2n Möglichkeiten(2100= 1.2676506 × 1030)

Vereinfachte Berechnung durch Verteilungs-funktionen (“closed form“)

• Portfolio mit N Kreditnehmern

• Zuvallsvariablen (“Ausfall“): Vektor (L1,...,LN)

• L ~ B(1,pA)

• Annahme: LA unabhängig

Modellierung

Ansatz und Ziele

• Annahme: LA unabhängig

Bedingungen

Das Bernoulli-Modell

Ansatz und Ziele

nNnNp pp

n

NnB −−

= )1()(,

Bedingungen

• Identische Ausfallwahrscheinlichkeiten

Relevanz

• Retail Portfolios

• UntypischProblem: Binomialverteilung ist nicht reproduktiv

1. Ansatz und Ziele


• Exkurs: WEF

• Herleitung der Verteilung

Agenda

• Herleitung der Verteilung



5. Anwendungen

6. Zusammenfassung

• Zentrales Mittel zur Analyse der Ausfallverteilung

• Die WEF G einer Zufallsvariable X ist definiert durch

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (WEF)

Exkurs

∑∞

=

==0

)()(x

nnx pzzEzG on INnnXPp ∈== ),(:

• Besondere Eigenschaften:

• Bei Kenntnis der WEF kann man also die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Verteilungsfunktion herleiten

=0x

⊥=+ YXzGzGzG YXYX ,;)()()(

0)(

!

1)(

=∂∂===

zz

zG

nnXPp

n

n

n

Poissonapproximation (1/2)

Verteilung der Ausfälle

• WEF:

• Für A gilt:

∑∞

=

=0n

ndefaults)zp(nF(z)

)1(1)( −+= zpzF AA

• Für das Portfolio:

• Durch Logarithmieren

• und die Annahme

∏ ∏ −+==A A

AA zpzFzF ))1(1()()(

∑ −+=A

A zpzF ))1(1log()(log

)1())1(1log( −≈−+ zpzp AA

�erhält man

Für e gilt:


Poissonapproximation (2/2)

)1()(

)1()(ln

−=

−=∑z

AA

ezF

zpzF

µ

∑∞

=+++++= ......²

1nn

x xxxxeFür e gilt:

Durch die Taylorreihenapproximation erhält man

n!

µe ts) (n defaul

nµ−

=Prn

n

nµ

)µ(z zn!

µeeF(z) ∑

∞

=

−− ==

0

1

∑=

=+++++=0 !

...!

...!2!1

1n

x

nne

0

)(

!

1

=∂∂=

zz

zG

np

n

n

n

• Spezialfall der Binomialverteilung

• n > 50; p<0,1

Ausfälle sind poissonverteilt


n!

µe ts) (n defaul

nµ−

=Pr

• n > 50; p<0,1

Relevanz

• Verteilung ist ausschließlich von der erwarteten Verlustanzahl µ abhängig

• Die Poisson Verteilung ist ein geeignetes Mittel zur Berechnung seltener Ereignisse

• Keine empirische Evidenz für die Standardabweichung (= √µ)

• Keine Aussage über die Höhe der Ausfälle

1. Ansatz und Ziele



• Benutzung von Exposure-Bänder

Agenda

• Benutzung von Exposure-Bänder

• Rekursionsformel zur Berechnung der Verteilung

• Beispiel


5. Anwendungen

6. Zusammenfassung

• Zweites Zufallselement

• Neben der Unsicherheit aus dem Auftreten des Ausfalls nun auch dessen Höhe

• Lösung der Größenrestriktion:

Konzept

Verlustverteilung

1. Zusammenfassen von Krediten mit ähnlicher Verlusterwartung (Exposure-Bänder)

• Dazu wird ein Verlustkoeffizient L festgelegt, auf dessen ganzzahlige Vielfache die erwarteten Verluste gerundet werden

• Trade-off zwischen der Anzahl der Exposure-Bänder (Rechenaufwand) und Genauigkeit

2. Rekursionsbeziehung

1. Wahl der Grundeinheit L

2. Normierung des Verlustes und des erwarteten Verlustes

νA=LA/L, εA=λA/L

3. Aufrunden von νA auf νj und Zusammenfassen gleicher Bänder

Vorgehen bei der Verwendung von Exposure-Bändern

Verlustverteilung

3. Aufrunden von νA auf νj und Zusammenfassen gleicher Bänder

4. Berechnung des erwarteten Verlustes εj für jedes Band

5. Berechnung der erwarteten Anzahl der Ausfälle für jedes Band

Problem: Genauigkeit?

j

jjν

εµ =

• WEF:

Herleitung der Verlustverteilung

Verlustverteilung

∑∞

=

==0n

nnL)zlossesep(aggregatG(z)

∑∑=

+−m

jvj

m

j z

ezG )(µµ

• Zwei Zufallselemente:

F � Ausfall

P� Variabilität des Exposurebetrages

F(P(z))eG(z) )µ(P(z) == −1

∑

∑∑

=

==

==m

j j

j

vm

j j

jm

j

vj

jj zz

zP

1

11)(

νε

νε

µ

µ

∑∑= == jjezG 11)(

Zwei Möglichkeiten

1. Manuelle Faltung

• Aufgrund Reproduktivität der Poisson Verteilung:

Die Faltung unabhängiger Poisson-Variablen ist wieder

Lösung der Größenrestriktion

Verlustverteilung

Die Faltung unabhängiger Poisson-Variablen ist wieder poissonverteilt

• Problem: Rechenzeit

2. Rekursionsformel

(k)P)(k)P...P(P n

iiµ

µnµµ

∑=⊗⊗⊗

=1

21

• Mittels der Leibnitz-Formel lässt sich folgende Rekursionsbeziehung herleiten:

Panjer Rekursion

Verlustverteilung

∑≤

−=nj

nj

n

j

jA

nA

νν

ε:

An:Wahrscheinlichkeit von nL

• Anfangswert:

• Vorteile

• Geeignet für Tabellenkalkulation

• Keine Fakultät zu berechnen

≤nj jnν:

∑==== =

−−

m

j j

j

eePFGA 1))0(()0(0

νε

µ

Verwendung von Exposure-Bändern

L = 500 000

Beispiel (1/2)

Verlustverteilung

Name LA Rating pA λ νA=LA/L round νA: νj εA =λ/L εj =∑εA μj=εj/νj

1 358,475 H 30.00% 107,543 0.7169 1 0.2150 0.2151 0.2151

∑∑==

==m

j j

jm

jj

ν

εµµ

11

2 1,089,819 H 30.00% 326,946 2.1796 3 0.6538 0.6539 0.2180

3 1,799,710 F 10.00% 179,971 3.5994 4 0.3599 0.9399 0.2350

4 1,933,116 G 15.00% 289,967 3.8662 0.5799

5 2,317,327 G 15.00% 347,599 4.6346 5 0.6951 1.4185 0.2837

6 2,410,929 G 15.00% 361,639 4.8218 0.7232

7 2,652,184 H 30.00% 795,655 5.3043 6 1.5913 2.4786 0.4131

8 2,957,685 G 15.00% 443,653 5.9153 0.8873

∑ 5.7059 1.3648

n An νj =1 νj =2 νj =3 νj =4 νj =5 νj =6

0 25.54% EXP(-1.364816)

Beispiel (2/2)

Verlustverteilung

Berechnung der Verlustverteilung anhand der Rekursi onsgleichung

1 5.49% (0.21/1)*25.54

%

3 5.56% (0.65/3)*25.54%

4 7.20% (0.21/4)*5.56% (0.65/4)*5.49% (0.93/4)*25.54%

5 8.59% (0.21/5)*7.2% (0.93/5)*5.49% (1.41/5)*25.54%

6 12.76% (0.21/6)*8.59% (0.65/6)*5.56% (1.41/6)*5.49% (2.47/6)*25.54%

∑== =

−−

m

j j

j

eeA 1

0

νε

µ ∑≤

−=nj

nj

n

j

jA

nA

νν

ε:

1. Ansatz und Ziele




Agenda


• Mehrperiodige Betrachtung

• Variable Ausfallraten (Part II)

5. Anwendungen

6. Zusammenfassung

• Die Rekursionsformel gilt auch bei mehrperiodiger Betrachtung:

• Exposures können unterschiedliche Laufzeiten haben

Mehrperiodige Betrachtung

Modellerweiterungen

∑≤

−=

ntjn

tj

n

j

tj

An

A)(:

)(

)(

νν

ε

• Exposures können unterschiedliche Laufzeiten haben

• Jedes Exposure kann maximal einmal ausfallen

Konstanter- vs. Hold-to-Maturity / Run-off Zeithoriz ont:

Konstanter Zeithorizont Hold-to-Maturity Zeithorizont

• Normalerweise ein Jahr

• Geeignet für traded bond portfolios

• Vergleichbarkeit von Exposures mitunterschiedlichen Laufzeiten / Qualität

• Geeignet für Portfoliomanagement

Auswirkung auf die Verlustverteilung

Variable Ausfallraten

Modellerweiterungen

Bis jetzt wurde von Unabhängigkeit zwischen den Kreditnehmern ausgegangen, was nicht der

• EL unverändert

• “ Fat tail“

Quelle: CreditRisk+; Credit Suisse

ausgegangen, was nicht der Realität entspricht

Nun: Implizite Berücksichtigung der Korrelation durch die Einbeziehung der Volatilität der Ausfallraten

Mixture Model Approach

Modellerweiterungen

Modellierung mit variablen

Ausfallraten

Sektoranalyse

• Kreditnehmer werden in unabhängige

Modell-Input

• Exposures (Rückgewinnungs


Verlustverteilung

unabhängige Sektoren aufgeteilt

• Jeder Sektor wird von einem Hintergrundfaktor beeinflusst

• Annahme: durchschnittliche Ausfallraten sind gammaverteilt

(Rückgewinnungsraten)

• Ausfallraten• Ausfallraten

volatilität

1. Ansatz und Ziele




Agenda


5. Anwendungen

• Szenario Analysen

• Portfoliomanagement

6. Zusammenfassung

Zur Bestimmung von Risiken mit extremen Verlusten

• Schwierig zu bestimmen, da die Eintrittswahrscheinlichkeiten gegen Null gehen

Stress Test

Szenario Analyse

Anwendungen

• Extremer Anstieg der PD

• Vergrößerung der Volatilität der PD

• [Veringerung der Anzahl der Sektoren]

• [Einführung von Konzentrationslimits]

Maßgröße: Risikobeitrag (= Effekt des Exposures eines Kreditnehmers auf das Risiko des unerwarteten Verlustes eines Portfolios)

• Einführung eines Limitierungssystems

• Begrenzung der Exposures

Portfoliomanagement

Anwendungen

• Laufzeitbegrenzung der Exposures

• Rating Limits

• Konzentrationslimits

1. Ansatz und Ziele




Agenda


5. Anwendungen

6. Zusammenfassung

• Was haben wir gemacht?

• Pro und Contra

Vorgehen bei festen Ausfallraten

Zusammenfassung

Modellierung mit festen Ausfallraten

Verteilung der AusfälleAnnahmen

• Unabhängige Schuldner

Modell-Input

Verlustverteilung

WEF

Rekursionsgleichung

Schuldner

• Ausfallraten hinreichen klein

• Ausfälle Poissonverteilt

• Exposures (Rückgewinnungsra-ten)

• Ausfallraten

Pro & Contra

Zusammenfassung

Pro

• Geringe Datenanforderung

• Keine Ausfallkorrelationen nötig

• Exposurebänder reduzieren die Anzahl der zu betrachtenden Kredite • Exposurebänder reduzieren die Anzahl der zu betrachtenden Kredite (Arbeitsaufwand)

Contra

• Modell ist faktisch nur ein Konzept zu Generierung einer Verlustverteilung: Problemstellung ist auf die Ebene der Eingangsparameter verlagert

• Mögliche Wertminderungen, resultierend aus Bonitätsschwankungen, werden nicht berücksichtigt

• [Sektorzuordnung ohne Konzept und Unabhängigkeit der Sektoren]

Fragen?

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