mnu- tagung am 09.10.2007 an der universität in dortmundklaus gerber, leichlingen

Related-Rates-Problems– Aufgaben mit verketteten Änderungsraten –

Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht

MNU- Tagung am 09.10.2007 an der Universität in Dortmund Klaus Gerber, Leichlingen

Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen


1. Geometrisch orientierte Strategien

2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI

3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen

4. Experimentelle Untersuchungen


In ein trichterförmiges Gefäß läuftWasser ein. Es hat die Form einesauf der Spitze stehenden Kegels mitdem Radius r = 5 cm und der Höheh = 10 cm. Die Zuflussgeschwindig-keit beträgt 9 cm3/min.

Mit welcher Geschwindigkeit steigtder Wasserpegel, wenn dieFüllhöhe gerade 6 cm beträgt?

Pólyas Kegel


Pólyas Kegel

1. Zeichnung:

2. Gegebene Änderungsrate:

Gesuchte Änderungsrate:

3. Kettenregel:

4. Es gilt:

Mit der Ähnlichkeitsbeziehung erhält man:

Ableiten ergibt:

mincm39

dtdV

dtdy

yx)y,x(V 231

hr

yx

32

2

31)( y

hryV

2412

2

2

yyhr

dydV

241

min3

9ydt

dy cm

dydVdtdV

mincm

mincm 32,01

dtdy

5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel:

Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:

Gesucht!

Lösung:

dtdy

dydV

dtdV


1. Fertige eine Zeichnung mit den relevanten geometrischen Größen an.

2. Notiere die gegebenen und die gesuchten Änderungsraten.

3. Formuliere die Kettenregel, die die Änderungsraten verknüpft.

4. Finde die unbekannte Änderungsrate in der Kettenregel mit geometrischen Hilfsmitteln (Ähnlichkeit, Pythagoras, Koordinatengeometrie).

5. Setze die gefundene Änderungsrate in die Kettenregel ein, und berechne die gesuchten Größen.

Die Lösungsschritte lassen sich zusammenfassen:


Verwandte Aufgaben:


Ein Glas entsteht durch die Rotationdes Graphen zu f(x) = 0,5 x im Intervall [0; 10].Nun wird das Glas mit der Spitzenach unten aufrecht gestellt und mitWein gefüllt. Die Zufluss-geschwindigkeit beträgt 9 cm3/min.

Berechne die momentanePegelgeschwindigkeit, wenn dieFüllhöhe 6 cm beträgt?

Pólyas Kegel mit dem HDI

4. Berandungsfunktion f mit . f und f2 sind stetig. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die

Integralfunktion mit dem Term differenzierbar und es gilt:


Pólyas Kegel mit dem HDI

1. Zeichnung:

2. Gegebene Änderungsrate:

Gesuchte Änderungsrate:

3. Kettenregel:

mincm39

dtdV

dtdx

241

mincm

dxdVdtdV

x9

dtdx

3

mincm

mincm 32,01

dtdx

5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel:

Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:

Gesucht!

Lösung:

xxf 21

x

0

2 dttfxV

2412')( xxfxV

dxxdV

dtdx

dxdV

dtdV

Allgemein gilt:

2.fktBerandungs.chwZuflussges.eschwlgPege


Verwandte Aufgaben:

Vasen, Silos, Sektschalen, Weinkelche ......


In das trichterförmiges Gefäß läuftWasser ein. (Radius r = 5cm undder Höhe h = 10cm.) Wasser läuft nun mit derveränderlichen Zuflussgeschwindig-keit dV/dt = t zu.

Berechne die momentanePegelgeschwindigkeit 3s nach demStart des Zuflusses in das leereGlas?

Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss


Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss

Einsetzen in die umgeformte Kettenregel:

Separation der Variablen:

Integration:

Wenn für t=0 die Füllhöhe 0cm beträgt, ist die Integrationskonstante c=0 und wir können die Lösungsfunktion der Differentialgleichung durch Auflösen nach y bestimmen:

Ihre Ableitungsfunktion beschreibt die Pegelgeschwindigkeit:

3s nach dem Start des Zuflusses beträgt die gesuchte Pegelgeschwindigkeit :

tyy 4'2

ctycdttdtyy

23

312 24'

32

332 66 ttty

241

dydVdtdV

yt

dtdy

3323

32 66' 3

1

ttty

dtdy

cm cm2 33 s s

2y ' 3s 0,57


1. Aufzeichnung des Füllvorgangs mit einer Videokamera und Auswertung mit einer Videoanalyse-Software (z.B.: VIANA)

Befüllung einer Glaskaraffe

y = -1,0155E-05x4 + 2,8438E-04x3 - 1,1964E-02x2 + 4,7493E-01x - 3,9873E+00

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 5 10 15 20 25 30

Füllhöhe y in cm

Pege

lges

chw

indi

gkei

t dy/

dt in

cm

/s

2. Entwicklung eines mathematischen Modells mit einer ganzrationalen Berandungsfunktion und Lösung als Related-Rates-Problem.

3. Vergleich der Modelle.


Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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