mmpasve.pdf

7/21/2019 MMPAsve.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/mmpasvepdf 1/703

Matematicke metode

za poslovne analize

prof. dr. sc. Tihomir

Hunjak

Sadrzaj

Dio I

Dio II

Dio III

Dio IV

Dio V

Dio VI

Dio VII

Matematicke metode

za poslovne analize

prof. dr. sc. Tihomir Hunjak

FOI, Varazdin

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Sadrzaj

Dio I

Dio II

Dio III

Dio IV

Dio V

Dio VI

Dio VII

Matematicki modeli i struktura

matematike

Matematicki modeli i struktura matematike

Znanje

Model

Matematicki modeli

Matematicko modeliranje

Struktura matematike

Induktivno i deduktivno zakljucivanje

Aksiomi i teoremi

Principi aksiomatike

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Sadrzaj

Dio I

Dio II

Dio III

Dio IV

Dio V

Dio VI

Dio VII

Skupovi

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Relacije medu skupovimaPartitivni skup

Operacije sa skupovima

Svojstva skupovskih operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Sadrzaj

Dio I

Dio II

Dio III

Dio IV

Dio V

Dio VI

Dio VII

Matrice i determinante


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice

Operacije s matricama

Determinante

Svojstva determinanti

Minore i kofaktoriLaplaceov razvoj determinante

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Sadrzaj

Dio I

Dio II

Dio III

Dio IV

Dio V

Dio VI

Dio VII

Sustavi linearnih jednadzbi

Sustavi lin. jednadzbi

Linearna jednadzba

Sustav linearnih jednadzbi

Rjesavanje sustava pomocu inverzne matrice

Rjesavanje sustava pomocu determinanti

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Sadrzaj

Dio I

Dio II

Dio III

Dio IV

Dio V

Dio VI

Dio VII

Realne funkcije realne varijable


Definicija funkcije

Klasifikacija realnih funkcija realne varijable

Kompozicija funkcija

Inverzna funkcija

Svojstva realnih funkcija realne varijable

Eksponencijalna funkcija

Logaritamska funkcijaDomene realnih funkcija realne varijable

Transformacija grafa funkcije

Funkcijski model

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

SadrzajDio I

Dio II

Dio III

Dio IV

Dio V

Dio VI

Dio VII

Derivacija funkcije

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

SadrzajDio I

Dio II

Dio III

Dio IV

Dio V

Dio VI

Dio VII

Funkcije u ekonomiji

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Mat. modeli i strukturaZnanje

Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje


Indukcija i dedukcija

Aksiomi i teoremiPrincipi aksiomatike

Dio I


”Inteligencija ne moze biti prisutna bez razumijevanja. Racunalo nema

svijesti o tome sto radi” Roger Penrose

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Sadrzaj


Znanje

Model

Matematicki modeli




Aksiomi i teoremi


http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Znanje

Osnova za razumijevanje svijeta – opazanje

(promatranje)

dobivanje informacija

Upotrebljivo znanje

Generalizacija temeljena na pojedinacnim

informacijama

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




jednostavneklasifikacije −−−−→ ZNANJE −−−−→ razumijevanje bazirano

na sistemu principa

PRINCIP – poopcenje ili apstraktna tvrdnja

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Model

Model predstavlja zamjenu za neki realni objekt ili

pojavu

Analogija s nekim objektom ili interesantnimmodelom

Koristi se za objasnjenje nekog procesa ili

predvidanje dogadaja

Pojednostavljuje i objasnjava kompleksnost onoga

sto se promatra (i modelira)

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Matematicki modeli

Matematika – dobro sredstvo (jezik) za izrazavanje

principa

Matematicki modeli

modeli bazirani na matematicki postavljenim

principima

matematicka karakterizacija ili opis nekog fenomena

ili procesa

Bitne komponente matematickog modela:

PROCES −−−−→ MATEMATICKASTRUKTURA KORESPODENCIJA

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Proces urealnom svijetu

Matematičkastruktura

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Svrha (matematickog) modela

Prezentacija informacija u lako prihvatljivom obliku

(autokarta)

Omogucavanje ”lakog” racunanja

Istrazivanje i predvidanje

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje





je proces matematicke reprezentacije nekog

fenomena s ciljem njegovog boljeg razumijevanja

Postupak apstrakcije – elementi bitni za

funkcioniranje sustava

M i k d

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Matematicko modeliranje – koraci

1 Pojednostavljivanje (apstrakcija)

2 Prikaz (reprezentacija)

matematicki simboli, jednadzbe

3 Transformacije – interpretacije

4 Verifikacija

usporedba s rezultatima opazanja

M t tiˇk t d

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Matematicki modeli – podjela

Obzirom na temelje:

Deterministicki – na temelju fizikalnih zakona

Stohasticki – na temelju empirijskih podataka

Obzirom na matematicku strukturu:

Linearni – sve jednadzbe i funkcije u modelu su

linearne

Nelinearni

Obzirom na odvijanje u vremenu:Modeli u kontinuiranom vremenu

Modeli s diskretnim vremenom – pogodniji za

racunarsku primjenu

Matematicke metode

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje





(Matematicki) pojam

Osnovni – ne definira se

Izvedeni (slozeni) – definira se pomocu osnovnih

pojmova

Definicija – sud pomocu kojeg se odreduje sadrzaj nekog

pojma

– definicija nekog pojma na vise ekvivalentnih nacina

Osnovni matematicki pojmovi

– apstrakcija predmeta stvarnog fizickog svijeta

Matematicke metode

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje





Zakljucivanje – nacin misljenja kojim se vise sudova

dovodi u vezu i izvodi novi sud

premise zakljucivanje−−−−−−−−−→ zakljucak (rezultat)

a) po analogiji

b) indukcijom

c) dedukcijomMatematicki oblici

Matematicke metode

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Indukcija nepotpuna

potpuna

Matematicka

indukcija

Deduktivna metoda karakterizira visi nivo razvoja neke

znanosti

Euklid – primjena deduktivnih metoda u geometriji

– aksiomatska metoda

– S. Mintakovic, Neeuklidska geometrija Lobacevskog ,

Skolska knjiga Zagreb, 1972.

Matematicke metode

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Bitni elementi matematicke teorije

(deduktivni prikaz)

1 Nabrajanje osnovnih pojmova

2 Definiranje slozenih pojmova

3 Postavljanje aksioma

4 Iznosenje teorema

5 Dokazi teorema

Matematicke metode

http://find/



t t c to

za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Aksiomi i teoremi

Aksiomi i teoremi (poucci, stavci) – izricu

ekvivalentne tvrdnje i iznose zakljucke o

matematickim pojmovima i njihovim medusobnimodnosima i vezama

Aksiomi – tvrdnje koje smatramo istinitima bez

posebnog dokaza

Teoremi – tvrdnje koje logicki izviru iz aksioma

Matematicke metode

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Teoremi i dokazi

Svaki teorem treba izvesti (deducirati, dokazati) iz

jednog ili vise aksioma u konacno mnogo koraka.

Dokaz – zakljucivanje kojim se pokazuje da je neki

teorem logicka posljedica nekih aksioma ili vec

dokazanih teorema

Dokaz

indirektan

direktan

Matematicke metode

P i i i k i ik

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje





1 Princip nezavisnosti – zahtjev

ekonomicnosti

2 Princip potpunosti

3

Princip neproturjecnosti

Matematicke metode

D d k i d i k i ik

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Model

Matematicki modeli

Mat. modeliranje




Deduktivna metoda i aksiomatika

Z. Dadic, Povijest ideja i metoda u matematici i fizici

– aksiomatizacija geometrije

Tales, Pitagora, Hipokrat iz Hiosa, Aristotel

Euklid (roden oko 365.P.K.) – ElementiArhimed

Z. Sikic, Kako je stvarana novovjekovna matematika,

Skolska knjiga, Zagreb, 1989.

Aksiomatizacija aritmetike – druga polovica 19.

stoljeca

Peanova aksiomatizacija prirodnih brojeva 1889.

Matematicke metode

http://find/



za poslovne analize


Hunjak

Skupovi i relacijeZadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Dio II

Skupovi i relacije

”Umijece postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba

vrednovati vise nego njihovo rjesavanje” Georg Cantor

Matematicke metode

S d ˇ j

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Sadrzaj

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Relacije medu skupovimaPartitivni skup



Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Matematicke metode

Zada anje sk pa

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Zadavanje skupa

Georg Cantor – utemeljitelj teorije skupova

Skup je osnovni matematicki pojam pa se ne definira.

Skup cine elementi koji su po nekom kriteriju povezani u

cjelinu.Prazan skup je skup koji nema niti jedan element.

Oznaka za prazan skup je ∅.

Skup je zadan ako su poznati svi njegovi elementi.

Ako skup A sadrzi element a, to zapisujemo u obliku

a ∈ A. Ako b nije element skupa A, to zapisujemo u

obliku b /

∈ A.

Matematicke metode

l liSkup se moze zadati na dva nacina:

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Skup se moze zadati na dva nacina:

1 Nabrajanjem elemenata skupa – ovaj nacin je

pogodan samo kada se radi o skupovima koji nemaju

veliki broj elemenata ili ako se radi o skupovima kod

kojih je jasno od kojih se elemenata sastoje ako se

navede nekoliko njihovih elemenata

A = {3, 8, 12, −4}B = {♣, ♥, 1}N = {1, 2, 3, . . .}

Evo nekoliko istinitih relacija:

8 ∈ A, 1 /∈ A, ♣ ∈ B, 5 ∈ N, 1

2 /∈ N

Matematicke metode

l li

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

2 Definiranjem karakteristicnog svojstva koji moraju

elementi zadovoljavati da bi pripadali skupu.

Opci oblik ovako zadanog skupa je S = {x | P (x)},

sto znaci da skupu S pripadaju samo oni elementi

koji zadovoljavaju predikat P (x).

C = {x ∈ N | 3 x < 6}

Q =m

n

m ∈ Z, n ∈ N

Naravno, skup C mozemo napisati i na prvi nacin

tako da nabrojimo sve njegove elemente

C = {3, 4, 5}.

Matematicke metode

a poslo ne anali e

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Sa zadavanjem skupa bilo je dosta problema. Fregeov

pristup je bio da svako svojstvo definira neki skup.

Medutim, neki matematicari su uocili da takav pristup

dovodi do paradoksa, tj. da se moze opisati skup i

specificirati objekt za koji se ne moze utvrditi da li

pripada ili ne pripada tom skupu.

Cantor – ne postoji skup svih skupova

Russellov paradoks o brijacu

U nekom selu postoji brijac koji brije sve one i samo onesuseljane koji ne briju sami sebe. Pitanje je tko brije

brijaca?

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Ako brijac brije sam sebe, onda on radi ono sto ne bi

smio jer mu u opisu radnog mjesta stoji da brije samo one

koji se sami ne briju.Ako pak brijac ne brije sam sebe, morao bi to uraditi jer

on brije one koji se sami ne briju.

Fregeov princip da svako svojstvo definira skup ne vrijedi.Zermelo je utvrdio da kod zadavanja skupa treba uvaziti

dodatan zahtjev da se elementi koji odreduju skup

uzimaju iz nekog univerzalnog skupa U na kojemu je

definirano svojstvo P (x). Najcesce je jasno o kojem se

univerzalnom skupu radi pa se on ne spominje eksplicitno.

Skupove brojeva cesto koristimo kao univerzalne skupove.

Matematicke metode

za poslovne analizeSkupovi brojeva

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Skupovi brojeva

Skup prirodnih brojeva

N = {1, 2, 3, . . .}

Skup cijelih brojeva

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}Skup racionalnih brojeva

Q = m

n m ∈ Z, n ∈ NSkup realnih brojeva: R

Skup kompleksnih brojeva

C=

{x + yi

| x, y

∈ R, i2 =

−1}

Matematicke metode

za poslovne analizeKardinalni broj konacnog skupa

http://find/



za poslovne analize


Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Kardinalni broj konacnog skupa

Neka je A skup koji ima konacno mnogo elemenata.

Kardinalni broj skupa A je broj elemenata koje taj skup

sadrzi.

Oznake za kardinalni broj skupa A su

k(A), card A, |A|

Mi cemo najcesce koristiti oznaku k(A).

Pojam kardinalnog broja za bilo koji skup se strogo

matematicki definira i za beskonacne skupove.

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/



za poslovne analize


Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Primjer 1.

Odredite kardinalne brojeve skupova A = {1, 2, 5, 8} i

B = {a,b,c,d}.

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/



p


Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Primjer 1.

Odredite kardinalne brojeve skupova A = {1, 2, 5, 8} i

B = {a,b,c,d}.

Rjesenje.

Skup A ima cetiri elementa i skup B ima cetiri elementa,

pa je k(A) = 4 i k(B) = 4. Ovdje odmah mozemo

primijetiti da ako dva skupa imaju isti kardinalni broj to

ne povlaci da oni moraju biti jednaki, tj. da moraju imati

iste elemente.

Matematicke metode

za poslovne analizeRelacije medu skupovima

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Relacije medu skupovimaRelacija sadrzavanja

Skup A je podskup skupa B ukoliko su svi elementiskupa A ujedno i elementi skupa B.

A ⊆ B ⇔ ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A B

Matematicke metode

za poslovne analizeJednakost skupova

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Je ost s po

Za dva skupa kazemo da su jednaka ukoliko sadrze iste

elemente.

A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)

Primjer 2.

Da li su skupovi A = {a,b,c} i B = {c,c,a,b,b,b} jednaki?

Matematicke metode

za poslovne analizeJednakost skupova

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

p

Za dva skupa kazemo da su jednaka ukoliko sadrze iste

elemente.

A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)

Primjer 2.

Da li su skupovi A = {a,b,c} i B = {c,c,a,b,b,b} jednaki?

Rjesenje.

A = B zato jer oni sadrze iste elemente. Nije vazno ako

je neki element napisan vise puta i nije vazan redoslijed

kojim su elementi napisani.

Matematicke metode

za poslovne analizePravi podskup

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

p p

Skup A je pravi podskup skupa B ako je A podskup od

B i B sadrzi barem jedan element koji nije sadrzan u A.

A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B ∧ A = B)

Vrijedi takoder

A ⊂ B ⇔ A ⊆ B ∧ ∃x(x ∈ B ∧ x /∈ A)

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Neka je X = {1, 2, 3}, Y = {a, 1, b, 3, 2, 2}. Tada je

X ⊆ Y jer je svaki element skupa X ujedno i element

skupa Y . Medutim, vrijedi i X ⊂ Y jer je X ⊆ Y i

X = Y .

Za skupove brojeva vrijede sljedece inkluzije

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Ocito je da vrijedi

Propozicija 1.

Za svaki skup A vrijedi A ⊆ A i ∅ ⊆ A.

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

∅ → Ovo je prazan skup i on nema niti jedan e-

lement.

{∅} → Ovo nije prazan skup. To je skup koji sadrzi

jedan element i taj element je bas prazan

skup. Kratko receno, ovo je skup koji sadrzi

prazan skup, tj. ∅ ∈ {∅}.{{∅}} → Ovo je skup koji sadrzi jedan element i taj

element je skup koji ima jedan element i taj

element je bas prazan skup. Kratko receno,

to je skup koji sadrzi skup koji sadrzi prazan

skup, tj. {∅} ∈ {{∅}}, ali ∅ /∈ {{∅}}.

Matematicke metode

za poslovne analize{∅, {∅}} → Ovo je skup koji ima dva elementa ∅ i {∅}.

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

{{∅, {∅}}} → Ovo je skup koji ima samo jedan element

{∅, {∅}}.

Matematicke metode


http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt


{∅, {∅}}.

Primjer 3.

Objasnite zasto vrijede sljedece relacije: ∅ ⊆ {{∅}} i

{∅} {{∅}}.

Matematicke metode


http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt


{∅, {∅}}.

Primjer 3.

Objasnite zasto vrijede sljedece relacije: ∅ ⊆ {{∅}} i

{∅} {{∅}}.

Rjesenje.

∅ ⊆ {{∅}} vrijedi zbog toga jer je prazan skup podskup

svakog skupa.Sto se tice druge relacije, s lijeve strane imamo skup koji

ima jedan element i to bas prazan skup, tj. ∅ ∈ {∅}, ali

∅ /∈ {{∅}} iz cega slijedi {∅} {{∅}}.

Matematicke metode

za poslovne analizePartitivni skup

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Partitivni skup skupa A je skup svih podskupova od A.

Partitivni skup skupa A oznacavamo sa

P (A).

P (A) = {X : X ⊆ A}

Kako je ∅ ⊆ A i A ⊆ A, slijedi da je partitivni skup uvijek

neprazan skup.

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Primjer 4.

Odredite partitivni skup skupa A = {a,b,c}.

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Primjer 4.


Rjesenje.

P (A) = ∅,

{a

},

{b

},

{c

},

{a, b

},

{a, c

},

{b, c

}, A.

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Primjer 4.


Rjesenje.

P (A) = ∅,

{a

},

{b

},

{c

},

{a, b

},

{a, c

},

{b, c

}, A.

Uocimo da je u prethodnom primjeru bilo k(A) = 3, a

k(P (A)) = 8 = 23

= 2k(A)

. To vrijedi i opcenito za bilokoji konacan skup A.

Matematicke metode

za poslovne analize

Propozicija 2.

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

p j

Neka je A konacan skup i k(A) = n. Tada je

k(P

(A)) = 2n.

Dokaz.

Trebamo prebrojiti sve podskupove skupa A. Preciznije,

trebamo vidjeti koliko k-clanih podskupova ima skup A,pri cemu je k ∈ {0, 1, 2, . . . , n}. Broj k-clanih

podskupova u n-clanom skupu jednak jen

k

. Stoga je

ukupni broj podskupova skupa A jednak

k(P (A)) =n

k=0

n

k

Matematicke metode

za poslovne analize

f

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Uvrstimo li x = y = 1 u binomnu formulu

(x + y)n =n

k=1

n

k

xn−kyk

dobivamo

2n =n

k=0

n

k

,

pa je zaista

k(P (A)) = 2n

.

♥

Matematicke metode

za poslovne analize

f d Tih i

Operacije sa skupovimaU ij

http://find/

http://goback/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Unija

Unija dva skupa A i B je skup A ∪ B koji se sastoji odelemenata skupa A i elemenata skupa B.

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

A

B

A B

Matematicke metode

za poslovne analize

of d sc Tihomi

Presjek

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Presjek dva skupa A i B je skup A ∩ B koji se sastoji od

elemenata koji pripadaju skupu A i skupu B.

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

A

B

A B

Za skupove A i B kazemo da su disjunktni ako nemaju

zajednickih elemenata, tj. ako je A∩

B = ∅

.

Matematicke metode

za poslovne analize

prof dr sc TihomirD fi i ij ij i j k ˇ i iti iˇ d d

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Definicija unije i presjeka se moze prosiriti na vise od dva

skupa.

Unija n skupova A1, A2, . . . , An je skup

n

i=1

Ai = A1∪A2∪···∪An = {x : x ∈ A1 ∨ x ∈ A2 ∨···∨ x ∈ An}

Presjek n skupova A1, A2, . . . , An je skup

ni=1

Ai = A1∩A2∩···∩An = {x : x ∈ A1 ∧ x ∈ A2 ∧···∧ x ∈ An}

Matematicke metode

za poslovne analize

prof dr sc Tihomir

Razlika

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Razlika dva skupa A i B je skup A \ B koji se sastoji od

elemenata koji pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu

B.

A \ B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}

A B

A B\

Matematicke metode

za poslovne analize


Komplement

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Komplement skupa A je skup Ac koji se sastoji od svih

elemenata iz univerzalnog skupa U koji nisu elementi

skupa A. Ponekad komplement od A oznacavamo s CA

ili kada zelimo naglasiti univerzalni skup s C U A.

Ac

= U \ A = {x : x ∈ U ∧ x /∈ A}

A

U

AC

Matematicke metode

za poslovne analize


Primjer 5.

http://find/




Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Neka je U = {x ∈ N : 1 x 10} univerzalni skup i

neka je A =

{1, 2, 5, 6, 7, 8

} i B =

{3, 4, 8, 1

}. Odredite

A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A i Ac.

Matematicke metode

za poslovne analize


Primjer 5.

http://find/



p

Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Neka je U = {x ∈ N : 1 x 10} univerzalni skup i

neka je A =

{1, 2, 5, 6, 7, 8

} i B =

{3, 4, 8, 1

}. Odredite

A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A i Ac.

Rjesenje.

A ∪ B = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 4}A ∩ B = {1, 8}A \ B = {2, 5, 6, 7}

B \ A = {3, 4}Ac = {3, 4, 9, 10}

Matematicke metode

za poslovne analize



http://find/

http://goback/



Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Idempotentnost

A ∪ A = A, A ∩ A = A

Komutativnost

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A

Asocijativnost

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

Matematicke metode

za poslovne analize


Di ib i

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Distributivnost

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

De Morganovi zakoni

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

Zakon involucije(Ac)c = A

Matematicke metode

za poslovne analize


Zakon identitete

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅A ∪ U = U, A ∩ U = A

Primjer 6.

Dokazite da je (A

∪B)c = Ac

∩Bc.

Matematicke metode

za poslovne analize


Zakon identitete

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije

Zadavanje skupaSkupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅A ∪ U = U, A ∩ U = A

Primjer 6.

Dokazite da je (A

∪B)c = Ac

∩Bc.

Rjesenje.

Dokazat cemo ovu jednakost na dva nacina. Prvi nacin je

pomocu tablice pripadnosti koji se ne moze uvijek

primijeniti, a drugi nacin je direktan koji se bazira na

definiciji jednakosti dva skupa. Drugi nacin je zapravo

pravi matematicki dokaz.

Matematicke metode

za poslovne analize


Pomocu tablice pripadnosti

Ako izaberemo neki element x iz univerzalnog skupa U ,

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

tada u slucaju dva skupa A i B imamo samo 4 moguca

slucaja:

(1) x ∈ A, x ∈ B (2) x ∈ A, x /∈ B

(3) x /∈ A, x ∈ B (4) x /∈ A, x /∈ B

Na temelju toga radimo tablicu pripadnosti koja se radina slican nacin kao i semanticka tablica za formulu

algebre sudova.

A B A

∪B (A

∪B)c Ac Bc Ac

∩Bc

∈ ∈ ∈ /∈ /∈ /∈ /∈∈ /∈ ∈ /∈ /∈ ∈ /∈/∈ ∈ ∈ /∈ ∈ /∈ /∈/

∈ /

∈ /

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

Matematicke metode

za poslovne analize

prof. dr. sc. TihomirDirektan dokaz preko definicije jednakosti skupova

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Relacija (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc je zapravo jednakost dva

skupa, a iz definicije jednakosti skupova slijedi damoramo dokazati da vrijede sljedece inkluzije:

(A ∪ B)c ⊆ Ac ∩ Bc i Ac ∩ Bc ⊆ (A ∪ B)c.

Matematicke metode

za poslovne analize


H j k

Direktan dokaz preko definicije jednakosti skupova

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Relacija (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc je zapravo jednakost dva

skupa, a iz definicije jednakosti skupova slijedi damoramo dokazati da vrijede sljedece inkluzije:

(A ∪ B)c ⊆ Ac ∩ Bc i Ac ∩ Bc ⊆ (A ∪ B)c.

Dokazimo prvo da je (A ∪ B)c ⊆ Ac ∩ Bc. Moramo

zapravo dokazati da je svaki element skupa (A ∪ B)c

ujedno i element skupa Ac ∩ Bc. Uzmimo stoga bilo koji

x ∈ (A ∪ B)c

. To znaci da x /∈ A ∪ B. Ako neki elementne pripadi uniji dva skupa, tada on ne pripada niti jednom

od ta dva skupa. Dakle, x /∈ A i x /∈ B .

Matematicke metode

za poslovne analize


H j kNo, tada je x ∈ Ac i x ∈ B c. Stoga je x ∈ Ac ∩ Bc (ako

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

(

neki element pripada nekim dvama skupovima, tada on

pripada i njihovom presjeku).Sjetimo se sada od cega smo krenuli. Uzeli smo bilo koji

x ∈ (A ∪ B)c i dokazali da je tada x ∈ Ac ∩ Bc, tj.

dokazali smo

∀x

x ∈ (A ∪ B)c ⇒ x ∈ Ac ∩ Bc

,

a to znaci da je

(A ∪ B)c ⊆ Ac ∩ Bc.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Na slican nacin dokazujemo da je Ac ∩ Bc ⊆ (A ∪ B)c.

U i bil k ji Ac Bc I d fi i ij j k d

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Uzmimo bilo koji y ∈ Ac ∩ Bc. Iz definicije presjeka dva

skupa slijedi da je tada y ∈

Ac i y ∈

B c. Iz definicije

komplementa skupa slijedi y /∈ A i y /∈ B . Iz ovoga slijedi

y /∈ A ∪ B (ako neki element ne pripada nekim dvama

skupovima, tada on ne pripada niti njihovoj uniji). No,

tada je y ∈ (A ∪ B)c. Dakle, dokazali smo da vrijedi

∀y

y ∈ Ac ∩ Bc ⇒ y ∈ (A ∪ B)c

,

odnosno da je

Ac ∩ Bc ⊆ (A ∪ B)c.

Matematicke metode

za poslovne analize


HunjakDakle, dokazali smo da je

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

(A∪

B)c

⊆ Ac

∩Bc i Ac

∩Bc

⊆ (A

∪B)c,

a po definiciji jednakosti dva skupa to znaci da je

(A

∪B)c = Ac

∩Bc.

Zadatak 1.

Dokazite preostala navedena svojstva skupovskih

operacija na dva nacina, preko tablice pripadnosti i direktno preko definicije jednakosti skupova.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Napomena.

Uocite da u slucaju da se u nekoj skupovnoj jednakosti

http://find/



Hunjak

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

javlja n skupova, tada tablica pripadnosti ima 2n redaka

pa je u tom slucaju nezgodno dokazivati tu jednakost na

taj nacin zbog prevelikog broja mogucih slucajeva.

Kompliciranije relacije izmedu skupova je nemoguce

dokazivati na taj nacin, cak ako je i broj skupova koji se

javljaju u tim relacijama malen.

Najbolji, odnosno pravi nacin dokazivanja relacija medu

skupovima provodi se uz koristenje definicija skupovskih

operacija, definicije jednakosti skupova i definicijepodskupa. Za takav dokaz potrebno je razumjeti te

definicije i primijeniti ih na pravi nacin kako smo

pokazali u primjeru 6.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Teorem 1.

Za sve skupove A i B vrijedi

http://find/

http://goback/



Hunjak

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

a A ⊆ B ⇔ P (A) ⊆ P (B)

b P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B)

c P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Teorem 1.


http://find/



j

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

a A ⊆ B ⇔ P (A) ⊆ P (B)

b P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B)

c P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B)

Dokaz.

Za dokaz tvrdnje (a) imamo dva smjera. Dokazimo prvo

da A ⊆ B ⇒ P (A) ⊆ P (B).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Teorem 1.


http://find/



j

Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

a A ⊆ B ⇔ P (A) ⊆ P (B)

b P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B)

c P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B)

Dokaz.


da A ⊆ B ⇒ P (A) ⊆ P (B).

Pretpostavimo da je A ⊆ B. Tvrdimo da je tada

P (A) ⊆ P (B).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Teorem 1.


http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

a A ⊆ B ⇔ P (A) ⊆ P (B)

b P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B)

c P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B)

Dokaz.


da A ⊆ B ⇒ P (A) ⊆ P (B).

Pretpostavimo da je A ⊆ B. Tvrdimo da je tada

P (A) ⊆ P (B).Neka je X ∈ P (A). To znaci da je X ⊆ A. Kako je po

pretpostavci A ⊆ B , slijedi da je tada i X ⊆ B , odnosno

X

∈ P(B). Dakle, zaista je

P(A)

⊆ P(B).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Dokazimo da vrijedi i P (A) ⊆ P (B) ⇒ A ⊆ B .

Pretpostavimo da je P(A) ⊆ P(B) Kako je uvijek

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Pretpostavimo da je P (A) ⊆ P (B). Kako je uvijek

A ∈ P

(A), tada zbog pretpostavke da je P

(A) ⊆ P

(B)

slijedi A ∈ P (B), a to znaci da je A ⊆ B .

Matematicke metodeza poslovne analize


Hunjak


Pretpostavimo da je P(A) ⊆ P(B) Kako je uvijek

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt


A

∈ P (A), tada zbog pretpostavke da je

P (A)

⊆ P (B)


Dokazimo sada tvrdnju (b). U toj tvrdnji imamo

jednakost dva skupa pa treba dokazati da je

P (A) ∩ P (B) ⊆ P (A ∩ B) i P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B).



Hunjak


Pretpostavimo da je P(A) ⊆ P(B). Kako je uvijek

http://find/

http://goback/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt


A


P (A)

⊆ P (B)





Dokazimo prvo da je P (A) ∩ P (B) ⊆ P (A ∩ B).



Hunjak



http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

p j P( ) ⊆ P( ) j j

A


P (A)

⊆ P (B)





Dokazimo prvo da je P (A) ∩ P (B) ⊆ P (A ∩ B).

Neka je X ∈ P (A) ∩ P (B) proizvoljan. To znaci da je

X ∈ P (A) i X ∈ P (B), odnosno X ⊆ A i X ⊆ B. No,tada je i X ⊆ A ∩ B, odnosno X ∈ P (A ∩ B). Dakle,

zaista je P (A) ∩ P (B) ⊆ P (A ∩ B).



HunjakDokazimo da je takoder P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B).

N k j Y P(A ∩ B) T i d j Y ⊆ A ∩ B N

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Neka je Y ∈ P (A ∩ B). To znaci da je Y ⊆ A ∩ B. No,

tada je Y ⊆ A i Y ⊆ B. Dakle, Y ∈ P (A) i Y ∈ P (B)pa je Y ∈ P (A) ∩ P (B). Dakle, zaista je

P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B).




N k j Y ∈ P(A ∩ B) T i d j Y ⊆ A ∩ B N

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt



P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B).

Dokazimo jos tvrdnju (c). Tu treba dokazati inkluziju

P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B).




Neka je Y ∈ P(A ∩ B) To aci da je Y ⊆ A ∩ B No

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt



P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B).


P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B).

Neka je X ∈ P (A) ∪ P (B). Tada je X ∈ P (A) ili

X ∈ P (B), odnosno X ⊆ A ili X ⊆ B . No, tada je

sigurno X ⊆ A ∪ B pa je X ∈ P (A ∪ B).




Neka je Y ∈ P(A ∩ B) To znaci da je Y ⊆ A ∩ B No

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt



P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B).


P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B).

Neka je X ∈ P (A) ∪ P (B). Tada je X ∈ P (A) ili

X ∈ P (B), odnosno X ⊆ A ili X ⊆ B . No, tada je

sigurno X ⊆ A ∪ B pa je X ∈ P (A ∪ B).

Pogledajmo zasto ne vrijedi obrnuta inkluzija.



Hunjak

Neka je A {1 2} a B {1 3} Tada je

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Neka je A = {1, 2}, a B = {1, 3}. Tada je

P (A) =∅, {1}, {2}, {1, 2}

P (B) =∅, {1}, {3}, {1, 3}

P (A ∪ B) =

∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

P (A) ∪ P (B) = ∅, {1}, {2}, {1, 2}, {3}, {1, 3}Vidimo da je P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B), ali

P (A)

∪ P (B)

=

P (A

∪B).

♥



Hunjak

Simetricna razlika

Simetricnu razliku dva skupa definiramo na dva nacina

http://find/

http://goback/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Simetricnu razliku dva skupa definiramo na dva nacina.

A B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

A B = (A \ B) ∪ (B \ A)

A B

A B



Hunjak

Zadatak 2.

Dokazite da su navedene definicije simetricne razlike

ekvivalentne. Dokaz provedite na dva nacina, preko

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

p , p

tablice pripadnosti i direktno.

Zadatak 3.

Dokazite da je simetricna razlika komutativna i

asocijativna operacija. Dokaz provedite na dva nacina,

preko tablice pripadnosti i direktno.

Tablica pripadnosti za simetricnu razliku:

A B A B

∈ ∈ /∈∈ /∈ ∈/∈ ∈ ∈/∈ /∈ /∈



Hunjak

Kartezijev produkt skupova

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Dvoclani skup {

a, b}

zove se par. Kako se radi o skupu,

vrijedi {a, b} = {b, a}. Ovakav skup moze se urediti tako

da razlikujemo njegovu prvu i drugu komponentu i u tom

slucaju ga zovemo uredenim parom i za njega koristimo

oznaku (a, b).Opcenito je (a, b) = (b, a), a jednakost vrijedi jedino u

slucaju a = b.

Definicija uredenog para (K. Kuratowski)

(a, b) =

a, {a, b}



Hunjak

Zadatak 4.

Koristeci definiciju Kuratowskog dokazite da vrijedi:

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

j g j

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c i b = d

Neka su A i B neprazni skupovi. Kartezijev produkt

skupova A i B je skup A × B koji se sastoji od svih

uredenih parova cija prva komponenta pripada skupu A, a

druga skupu B.

A × B = (x, y) : x ∈ A, y ∈ BU slucaju da je A = ∅ ili B = ∅, tada je A × B = ∅.



Hunjak

Kartezijev produkt A × A zapisujemo kratko A2 i zovemo

ga Kartezijevim kvadratom skupa A.

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

A

2

= A × A

Kartezijev produkt skupova moze se prosiriti i na konacno

mnogo skupova.

Neka su A1, A2, . . . , An neprazni skupovi. Kartezijevprodukt skupova A1, A2, . . . , An je skup

A1×A2×···×An =

(a1, a2, . . . , an) : ai ∈ Ai, i = 1, . . . , n

(a1, a2, . . . , an) zovemo uredenom n-torkom i kod nje je

vazan poredak elemenata. Element ai zove se i-ta

komponenta n-torke.



HunjakU slucaju da je za neki i ∈ {1, 2, . . . , n} Ai = ∅, tada je

http://find/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

A1

×A2

× · · · ×An =

∅.

An = A × A × · · · × A n

Napomena.

Definicija Kartezijevog produkta skupova moze se prosiriti

i na beskonacno mnogo skupova. Medutim, mi ovdje

necemo toliko duboko ulaziti u tu teoriju.



Hunjak

Primjer 7.

Neka je A = {1, 2, 3} i B = {a, b}. Odredite A × B,

B × A i A2.

http://find/

http://goback/



Skupovi i relacije


Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt



Hunjak

Primjer 7.


B × A i A2.

http://find/



Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Rjesenje.A × B =

(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)

B × A =

(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)

A2 = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)



Hunjak

Primjer 7.


B × A i A2.

http://find/

http://goback/



Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Rjesenje.A × B =

(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)

B × A =

(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)

A2 = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)Odmah ovdje jedna napomena. Nije A2 = {1, 4, 9} jer

smo se dogovorili da kada se radi o skupovima, tada je

A2 = A

×A.

Takoder, uocavamo da je

A × B = B × A



Hunjak

S

Primjer 8.

Prikazite graficki A × B ako je

(a) A {1 2 3} B {1 3 5} (b) A [1 3] B 2 5]

http://find/

http://goback/



Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

(a) A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5} (b) A = [1, 3], B = 2, 5]

Rjesenje.



Hunjak

Sk i i l ij

Primjer 8.


(a) A = {1 2 3} B = {1 3 5} (b) A = [1 3] B = 2 5]

http://find/



Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

(a) A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5} (b) A = [1, 3], B = 2, 5]

Rjesenje.

(a)

1 2 3 4 x

1

2

3

4

5

y



Hunjak

Sk i i l ij

Primjer 8.


(a) A = {1 2 3} B = {1 3 5} (b) A = [1 3] B = 2 5]

http://find/



Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

(a) A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5} (b) A = [1, 3], B = 2, 5]

Rjesenje.

(a)

1 2 3 4 x

1

2

3

4

5

y(b)

1 2 3 4 x

1

2

3

4

5

y

1 2 3 4 x

1

2

3

4

5

y



Hunjak

Skupovi i relacijePrimjer 9.

http://find/



Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Primjer 9.

ˇ Sto predstavljaju sljedeci Kartezijevi produkti:

(a) pravac × pravac (b) pravac × kruznica



Hunjak

Skupovi i relacijePrimjer 9.

http://find/



Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Primjer 9.

ˇ Sto predstavljaju sljedeci Kartezijevi produkti:

(a) pravac × pravac (b) pravac × kruznica

Rjesenje.

pravac × pravac = ravnina

pravac × kruznica = cilindar



Hunjak

Skupovi i relacije

Primjer 10.

Dokazite da vrijedi A × (B ∪ C ) = (A × B) ∪ (A × C ).

http://find/



Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt



Hunjak

Skupovi i relacije

Primjer 10.


http://find/



Skupovi i relacije

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Rjesenje.Treba dokazati jednakost dva skupa, a to znaci da treba

dokazati da je A × (B ∪ C ) ⊆ (A × B) ∪ (A × C ) i

(A

×B)

∪(A

×C )

⊆ A

×(B

∪C ).



Hunjak

Skupovi i relacije

Primjer 10.


http://find/



p j

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

Rjesenje.Treba dokazati jednakost dva skupa, a to znaci da treba

dokazati da je A × (B ∪ C ) ⊆ (A × B) ∪ (A × C ) i

(A

×B)

∪(A

×C )

⊆ A

×(B

∪C ).

Dokazimo prvo da je A × (B ∪ C ) ⊆ (A × B) ∪ (A × C ).

Neka je x ∈ A × (B ∪ C ) proizvoljan. To znaci da je

x = (x1, x2) pri cemu je (x1 ∈ A) ∧ (x2 ∈ B ∪ C ),

odnosno (x1 ∈ A) ∧ (x2 ∈ B) ∨ (x2 ∈ C ). Koristecidistributivnost konjunkcije prema disjunkciji, slijedi da je

(x1 ∈ A) ∧ (x2 ∈ B) ∨ (x1 ∈ A) ∧ (x2 ∈ C )

.



Hunjak

Skupovi i relacije

Kako je x = (x1, x2), slijedi da je

(x ∈ A × B) ∨ (x ∈ A × C ),

http://find/



p j

Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

odnosnox ∈ (A × B) ∪ (A × C ).

Dakle, zaista je A × (B ∪ C ) ⊆ (A × B) ∪ (A × C ).



Hunjak

Skupovi i relacije

Kako je x = (x1, x2), slijedi da je

(x ∈ A × B) ∨ (x ∈ A × C ),

http://find/



Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

odnosnox ∈ (A × B) ∪ (A × C ).

Dakle, zaista je A × (B ∪ C ) ⊆ (A × B) ∪ (A × C ).

Dokazimo jos da je i (A × B) ∪ (A × C ) ⊆ A × (B ∪ C ).

Neka je y ∈ (A × B) ∪ (A × C ) proizvoljan. To znaci

da je (y ∈ A × B) ∨ (y ∈ A × C ) . Slijedi da je

y = (y1, y2) pri cemu vrijedi

(y1 ∈ A

) ∧ (y2 ∈ B) ∨

(y1 ∈ A

) ∧ (y2 ∈ C )

.



Hunjak

Skupovi i relacijeKoristeci distributivnost konjunkcije prema disjunkciji,

http://find/



Zadavanje skupa

Skupovske relacije

Partitivni skup


Svojstva operacija

Simetricna razlika

Kartezijev produkt

slijedi da je

(y1 ∈ A) ∧ (y2 ∈ B) ∨ (y2 ∈ C )

,

odnosno

(y1 ∈ A) ∧ (y2 ∈ B ∪ C ).

Kako je y = (y1, y2), slijedi da je y ∈ A × (B ∪ C ), pa je

stvarno (A

×B)

∪(A

×C )

⊆ A

×(B

∪C ).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


http://find/



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Dio III


”Ekspert je netko tko poznaje najgore greske koje se mogu napraviti u

njegovom podrucju i zna kako ih treba izbjeci” Werner Heisenberg

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Sadrzaj

http://find/

http://goback/



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj determinante

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

http://find/



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Matrice su jedan od najvaznijih matematickih objekata

koje imaju siroku primjenu u raznim podrucjima ljudske

djelatnosti, a pogotovo u informatici.

Matrice se koriste:

za zapisivanje i obradu podataka

za razlicita modeliranja u ekonomici

u kompjutorskoj grafici

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


U d

Definicija matrice

Neka su M = {1, 2, . . . , m} i N = {1, 2, . . . , n}.

Realna matrica A tipa (formata) (m, n) je funkcija

http://find/



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Realna matrica A tipa (formata) (m, n) je funkcija

A : M × N → R

pri cemu se funkcijska vrijednost A(i, j) oznacava s aij i

smjesta u i-ti redak i j-ti stupac tablice s m redova i nstupaca.

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22

· · · a2n

... ...

...

am1 am2 · · · amn

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


U d

Neka su M = {1, 2, . . . , m} i N = {1, 2, . . . , n}.

Kompleksna matrica A tipa (formata) (m, n) je

http://find/



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

funkcijaA : M × N → C

pri cemu se funkcijska vrijednost A(i, j) oznacava s aij i

smjesta u i-ti redak i j-ti stupac tablice s m redova i n

stupaca.

Skup svih realnih matrica tipa (m, n) oznacavamo s

M mn(R), a skup svih kompleksnih matrica tipa (m, n)

oznacavamo s M mn(C).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Ponekad se kratko skup svih matrica tipa (m, n)

oznacava s M mn pri cemu je iz konteksta jasno da li se

radi o realnim ili kompleksnim matricama ili pak nam je

http://find/



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

p p j

svejedno. Naime, uglavnom cemo se baviti realnim

matricama, ali sve definicije i operacije koje cemo imati

na realnim matricama, analogno se prenose i na

kompleksne matrice, tim vise sto je

M mn(R) ⊂ M mn(C).

Za element aij matrice A koristi se i oznaka [A]ij. S

druge strane, za matricu ciji su elementi aij koristi se i

oznaka [aij ].

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Primjer 11.

Napisite matricu A tipa (2, 3) ako je aij = |i − j| + |i + j|.

http://find/



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Primjer 11.

Napisite matricu A tipa (2, 3) ako je aij = |i − j| + |i + j|.

Rjesenje.

http://find/



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

a11 = |1 − 1| + |1 + 1| = 2

a12 = |1 − 2| + |1 + 2| = 4

a13 =

|1

−3

|+

|1 + 3

| = 6

a21 = |2 − 1| + |2 + 1| = 4

a22 = |2 − 2| + |2 + 2| = 4

a23 =

|2

−3

|+

|2 + 3

| = 6

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

=

2 4 6

4 4 6

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Jednakost matrica

http://find/



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Za matrice A = [aij] tipa (m, n) i B = [bij] tipa ( p, q )

kazemo da su jednake i pisemo A = B ako vrijedi

a m = p, n = q

b aij = bij ∀i, j

Jednostavnije receno, dvije matrice su jednake ako su

istog tipa i ako su im odgovarajuci elementi jednaki.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


UvodPrimjer 12.

http://find/

http://goback/



Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Da li su matrice A =

1 2 3

4 5 6

i B =

1 2

3 4

5 6

jednake?

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


UvodPrimjer 12.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Da li su matrice A =

1 2 3

4 5 6

i B =

1 2

3 4

5 6

jednake?

Rjesenje.Matrica A je tipa (2, 3), a matrica B je tipa (3, 2) pa one

nisu jednake jer nisu istog tipa.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Primjer 13.Odredite vrijednosti realnih parametara a i b tako da

matrice A i B budu jednake, ako je

a2 b2 (a + b)2 9 1

http://find/



Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

A = −( )

(a − b)2 a2 + b2 , B = −81 41

.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Primjer 13.Odredite vrijednosti realnih parametara a i b tako da

matrice A i B budu jednake, ako je

a2 b2 (a + b)2 9 1

http://find/

http://goback/



Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

A = −( )

(a − b)2 a2 + b2 , B = −81 41

.

Rjesenje.

Matrice A i B su tipa (2, 2) pa da bi bile jednake moraju

im odgovarajuci elementi biti jednaki.

a2 − b2 = −9

(a + b)2 = 1

(a − b)2 = 81

a2 + b2 = 41

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Iz prve i cetvrte jednadzbe dobivamo da je a2=16 i2

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

b = 25, odnosno a = ±4 i b = ±5.Iz druge i trece jednadzbe slijedi da mora biti

a + b = ±1, a − b = ±9.

To je moguce jedino u dva slucaja:

a a = −4, b = 5

b a = 4, b = −5

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Specijalne matrice

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matricaMatricne jednadzbe

Kvadratna matrica reda n je matrica tipa (n, n). Dakle,

to je matrica koja ima jednak broj redaka i stupaca.

Primjer kvadratne matrice reda 3:

A =

2 4 −3

0 2 1

−3 4 2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Neka je A = [aij] kvadratna matrica reda n.

Glavna dijagonala matrice A je uredena n-torka

(a11, a22, . . . , ann).

http://find/



Definicija matriceSpecijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


Sporedna dijagonala matrice A je uredena n-torka

(a1n, a2 n−1, . . . , an1).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod



(a11, a22, . . . , ann).

http://find/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj



(a1n, a2 n−1, . . . , an1).

Glavna dijagonala

A =

2 4

−3

0 2 1

−3 4 2

B =

3 4 6 −2

−8 5 1 017 1 −3 2

9 8 −4 3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod



(a11, a22, . . . , ann).

http://find/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj



(a1n, a2 n−1, . . . , an1).

Sporedna dijagonala

A =

2 4

−3

0 2 1

−3 4 2

B =

3 4 6 −2

−8 5 1 017 1 −3 2

9 8 −4 3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica ciji su

elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0, tj.

aij = 0 za i = j.

http://find/

http://goback/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


A = 2 0 0

0 −3 00 0 8

B =

3 0 0 0

0 0 0 0

0 0 5 0

0 0 0 −2

Jednostavniji zapis dijagonalnih matrica:

A = diag

2, −3, 8

, B = diag

3, 0, 5, −2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

D fi i ij i

Gornje trokutasta matrica je kvadratna matrica kojoj

su elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0, tj.

http://find/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


aij = 0 za i > j.

A =

0 3 5

0 −3 2

0 0 9

B =

3 4 0 10 −5 9 3

0 0 5 4

0 0 0 7

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

D fi i ij t i

Donje trokutasta matrica je kvadratna matrica kojoj su

elementi iznad glavne dijagonale jednaki 0, tj.

http://find/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


aij = 0 za i < j.

A =

3 0 0

−4 0 0

1 −8 9

B =

3 0 0 0

5 0 0 0

4 −3 9 0

3 0 −

9 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

D fi i ij t i

Jedinicna matrica je dijagonalna matrica kojoj su

elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1, tj.

ij δij

1, i = j

K k i b l

http://find/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


aij = δ ij = 0, i = j ← Kroneckerov simbol

Jedinicne matrice treceg i cetvrtog reda:

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I =

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Standardna oznaka za jedinicnu matricu je I bez obzira

na red koji ce iz konteksta biti jasan.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Jednoredna matrica je matrica tipa (1, n), tj. to je

matrica koja ima samo jedan redak.

A 1 4 5 9

http://find/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


A = 1 −4 5 9Jednostupcana matrica je matrica tipa (m, 1), tj. to je

matrica koja ima samo jedan stupac.

A =

−3

4

−2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Nulmatrica je matrica ciji su svi elementi jednaki 0, tj.

ij 0 ∀i j

http://find/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


aij = 0, ∀i,j.

Nulmatrice tipa (2, 3) i (2, 2):

O = 0 0 0

0 0 0 O = 0 0

0 0

Standardna oznaka za nulmatricu je O bez obzira kojeg je

tipa koji ce iz konteksta biti jasan.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Za kvadratnu matricu A = [aij] kazemo da je simetricna

ako vrijedi

aij

= aji

,∀

i,j.

http://find/

http://goback/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


ij ji ∀Drugim rijecima, takva matrica je simetricna s obzirom

na svoju glavnu dijagonalu.

A =

1 4 −3 2

4 0 8 −1

−3 8 9 10

2 −1 10 6

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Za kvadratnu matricu A = [aij] kazemo da je

antisimetricna ako vrijedi

aij

= aji

,∀

i,j.

http://find/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


ij − ji ∀U slucaju da je i = j dobivamo da je aii = −aii, odnosno

aii = 0 za svaki i. Dakle, antisimetricne matrice na

glavnoj dijagonali imaju nule.

A =

0 4 −3 2

−4 0 8 −1

3 −

8 0 −

10

−2 1 10 0

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Operacije s matricamaTransponiranje matrica

Transponirana matrica matrice A tipa (m n) je matrica

http://find/





Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


Transponirana matrica matrice A tipa (m, n) je matricaAT tipa (n, m) za koju vrijedi

AT

ij

= [A] ji.

Transponirana matrica zadane matrice dobije se tako da

se svi njezini redovi napisu u stupce.

Transponiranje matrica je unarna operacija na

matricama. AT

T = A

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Primjer 14.

Transponirajte matricu A =

2 − 3 1 4

π − 9 1 0

2 1 1 7

.

http://find/



jSpecijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


−2 1 1 7

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Primjer 14.

Transponirajte matricu A =

2 − 3 1 4

π − 9 1 0

2 1 1 7

.

http://find/



jSpecijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


−2 1 1 7Rjesenje.

Matrica A je tipa (3, 4). Transponirana matrica AT ce

biti tipa (4, 3).

AT =

2 π −2

−3 −9 1

1 1 14 0 7

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matriceS ij l i

Zbrajanje matrica

Zbrajati se mogu samo matrice istog tipa i kao rezultat

opet dobijemo matricu istog tipa kojeg su bile i pocetne

http://find/



Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


opet dobijemo matricu istog tipa kojeg su bile i pocetne

matrice. Preciznije, neka su A, B ∈ M mn dane sa

A = [aij], B = [bij]. Zbroj matrica A i B je matrica

C = [cij] ∈ M mn za koju vrijedi

cij = aij + bij, ∀i,j.

Pisemo: C = A + B.

Dakle, dvije matrice istog tipa zbrajamo tako da im

zbrojimo odgovarajuce elemente.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matriceS ij l t i

Primjer 15.

Odredite zbroj matrica A =

−1 4

2 3

8

−3

i B =

−3 7

12 6

0 5

.

http://find/



Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


Primjer 15.

Odredite zbroj matrica A =

−1 4

2 3

8

−3

i B =

−3 7

12 6

0 5

.

http://find/

http://goback/



Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


Rjesenje.

A + B = −1 4

2 3

8 −3

+ −3 7

12 6

0 5

=

= −1 + (−3) 4 + 7

2 + 12 3 + 6

8 + 0 −3 + 5

= −4 11

14 9

8 2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


Kako se zbrajanje matrica svodi na zbrajanje realnihbrojeva po komponentama, vrijede sljedeca svojstva

zbrajanja matrica.

Za matrice A, B i C tipa (m, n) vrijedi:

http://find/



Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


1 Komutativnost zbrajanja matrica:

A + B = B + A

2 Asocijativnost zbrajanja matrica:

(A + B) + C = A + (B + C )

3 Postoji neutralni element: nulmatrica tipa (m, n)

A + O = O + A = A

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


Mnozenje matrice skalarom (brojem)

Matricu mnozimo brojem tako da svaki element matrice

http://find/



Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


Matricu mnozimo brojem tako da svaki element matrice

pomnozimo tim brojem i dobivamo matricu istog tipa

kojeg je bila i pocetna matrica.

Preciznije, neka je A = [aij ] ∈ M mn i k ∈ R. Produktmatrice A i realnog broja k je matrica C = [cij] ∈ M mn

takva da je

cij = kaij,

∀i,j.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


Primjer 16.

Odredite produkt matrice A = −1 4

2 3 i broja

3

2 .

http://find/



Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


p 8 −3

j

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


Primjer 16.

Odredite produkt matrice A = −1 4

2 3 i broja

3

2 .

http://find/



Sp j


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


p 8 −3

j

Rjesenje.

3

2A =

3

2

−1 4

2 3

8 −3

=

32 · (−1) 3

2 · 4

32 · 2 3

2 · 3

32 · 8 3

2 · (−3)

=

−32 6

3 92

12 −92

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


Propozicija 3.Neka su k, l ∈ R, a A, B ∈ M mn. Tada vrijedi:

1 kvaziasocijativnost

k(lA) = (kl)A

http://find/



p j


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


( ) ( )

2 posjedovanje jedinice

1

·A = A

3 distributivnost u odnosu na zbrajanje skalara

(k + l)A = kA + lA

4 distributivnost u odnosu na zbrajanje matrica

k(A + B) = kA + kB

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


Dokaz.

Sva nabrojena svojstva mnozenja matrice skalarom slijede

iz svojstava mnozenja i zbrajanja realnih brojeva.

1 Neka je A [a ] Tada je

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


1 Neka je A = [aij ]. Tada je

k(lA) = k

laij

=

k(laij)

=

(kl)aij

= kl

aij

= (kl)A↓

asocijativnost mnozenja realnih brojeva

2 Neka je A = [aij ]. Tada je

1 · A = [1 · aij] = [aij] = A

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


3

Neka je A = [aij ]. Tada je(k + l)A = (k + l)

aij

=

(k + l)aij

=

kaij + laij

=

distributivnost mnozenja prema zbrajanju realnih brojeva

= kaij + laij

= kaij + laij

=

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


ij

ij

ij

ij

= kA + lA

4 Neka je A = [aij ] i B = [bij]. Tada je

k(A + B) = k

[aij] + [bij]

= k

aij + bij

=

=

k(aij + bij)

=

kaij + kbij

=

distributivnost mnozenja prema zbrajanju realnih brojeva

=

kaij

+

kbij

= k

aij

+ k

bij

= kA + kB

♥

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


Oduzimanje matricaA − B = A + (−1)B

Jednostavnije receno, dvije matrice istog tipa oduzimamo

tako da im oduzmemo odgovarajuce elemente i kao

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


rezultat dobijemo opet matricu istog tipa kojeg su bile i

pocetne matrice.

Dakle, ako je A = [aij ] i B = [bij ], tada je

A − B = [aij − bij].

Primijetimo da za svaku matricu A = [aij]

∈ M mn postoji

tzv. suprotna matrica oblika −A = [−aij] za koju vrijedi

A + (−A) = −A + A = O.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


Binarna operacija. Grupoid

Neka je S neprazan skup. Binarna operacija na skupu S

je preslikavanje

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


je preslikavanje

⊕ : S × S → S.

Dakle, to je preslikavanje koje dvama elementima skupa

S pridruzuje opet neki element skupa S .

Grupoid je ureden par (S, ⊕) koji se sastoji od nepraznog

skupa S i binarne operacije na tom skupu.

Umjesto da pisemo ⊕(a, b) = c, kratko pisemo a ⊕ b = c.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


GrupaGrupoid (G, ⊕) je grupa ako vrijedi sljedece:

G1 Binarna operacija je asocijativna, tj.

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c), ∀a,b,c ∈ G

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


( ⊕ ) ⊕ ⊕ ( ⊕ ), , ,

G2 Binarna operacija ima neutralni element, tj. postoji

e

∈ G takav da je

a ⊕ e = e ⊕ a = a, ∀a ∈ G

G3 svaki element ima suprotni (inverzni) element, tj.

∀a ∈ G, ∃b ∈ G, a + b = b + a = e

Suprotni element elementa a oznacavamo sa −a.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


O ij i

Ako jos vrijedi i

G4 Binarna operacija je komutativna, tj.

a + b = b + a ∀a b ∈ G

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

a + b = b + a, ∀a, b ∈ G,

tada (G, ⊕) zovemo komutativna ili Abelova grupa.

Propozicija 4.

(M mn, +) je Abelova grupa, gdje je + zbrajanje matrica.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod


O ij t i

Realni vektorski (linearni) prostor

Uredena trojka (V, ⊕, ) je realni vektorski prostor ako

je (V,

⊕) Abelova grupa, a

R V V

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

: R× V → V

je preslikavanje koje kratko zapisujemo (α, v) = α v

za α ∈ R, v ∈ V i koje ima sljedeca svojstva:V1 Kvaziasocijativnost

α (β v) = (αβ ) v, ∀α, β ∈ R, ∀v ∈ V

V2 Posjedovanje jedinice

1 v = v, ∀v ∈ V

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


V3 Distributivnost u odnosu na zbrajanje skalara

(α + β )v = (α v) + (β v), ∀α, β ∈ R, ∀v ∈ V

V4 Distributivnost u odnosu na zbrajanje u V

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Distributivnost u odnosu na zbrajanje u V

α(v +w) = (αv)+(αw), ∀α ∈ R, ∀v, w ∈ V

Propozicija 5.

(M mn, +,·) je realni vektorski prostor, gdje je +

zbrajanje matrica, a · mnozenje matrica realnim brojem.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Mnozenje matrica

Mnozenje matrica se ne definira na nacin slican zbrajanju.

Za to postoje dublji razlozi u koje ovdje necemo ulaziti,ali cemo dati jedan primjer koji bi nam trebao opravdati

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

ali cemo dati jedan primjer koji bi nam trebao opravdati

tu definiciju u smislu da ona ima primjene na stvarne

probleme.

Neka su a =

a1, a2, . . . , an

i b =

b1, b2, . . . , bn

dvije

uredene n-torke realnih brojeva. Skalarni produkt tih

uredenih n-torki je

ab = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn =n

i=1

aibi.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Primjer 17.Nadite skalarni produkt uredenih cetvorki (1, 3, −2, 0) i

(9, 8, −3, −7).

http://find/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



(9, 8, −3, −7).

Rjesenje.

http://find/

http://goback/




Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

(1, 3, −2, 0) · (9, 8, −3, −7) =

= 1 · 9 + 3 · 8 + (−2) · (−3) + 0 · (−7) = 39

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



(9, 8, −3, −7).

Rjesenje.

http://find/



Op c j s t c

Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

(1, 3, −2, 0) · (9, 8, −3, −7) =

= 1 · 9 + 3 · 8 + (−2) · (−3) + 0 · (−7) = 39

Kazemo da je matrica A ulancana s matricom B ako

matrica B ima onoliko redaka koliko matrica A ima

stupaca, tj. ako je A tipa (m, n), a B tipa (n, p). U tom

slucaju matrica B ne mora biti ulancana s matricom A

(to ce biti jedino u slucaju p = m). Dakle, za ulancanost

je bitan poredak matrica.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Mnoziti se mogu jedino ulancane matrice.

Neka su dane matrice

A = [aij]

∈ M mn i B = [bij ]

∈ M n p.

P d k i A i B j i C [ ] i ( )

http://find/



p j

Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Produkt matrica A i B je matrica C = [cij ] tipa (m, p)

za cije elemente vrijedi

cij =n

k=1

aikbkj .

Pisemo: C = AB.

Pogledamo li malo bolje, u i-tom retku i j-tom stupcu uAB se nalazi skalarni produkt i-tog retka matrice A sa

j-tim stupcem matrice B.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Dakle,

cij =

i-ti redak matrice A · j-ti stupac matrice B

↓

skalarni produkt

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Dakle,

cij =

i-ti redak matrice A · j-ti stupac matrice B

↓

skalarni produkt

Primjer 18.

http://find/

http://goback/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

j

Odredite AB i BA ako je

a A = 3 4 0

5 1 2

−1 2 0

, B = 0 1 1−5 −1 2

1 2 1

b A =

0 12 1

2 3

, B =

1 2

2 3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Rjesenje.

a A je tipa (3, 3), B je tipa (3, 3) ⇒ AB je tipa (3, 3).

AB

3 4 0 0 1 1 c11 c12 c13

http://find/

http://goback/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB =

5 1 2

−1 2 0

·−5 −1 2

1 2 1

=

c21 c22 c23

c31 c32 c33

Konacno rjesenje

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Rjesenje.


AB

3 4 0

5 1 2

0 1 1

5 1 2

c11 c12 c13

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB =

5 1 2

−1 2 0

·−5 −1 2

1 2 1

=

c21 c22 c23

c31 c32 c33

c11 = (3, 4, 0) · (0, −5, 1) = 3 · 0 + 4 · (−5) + 0 · 1 = −20

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Rjesenje.


AB

3 4 0

5 1 2

0 1 1

5 1 2

−20 c12 c13

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB =

5 1 2

−1 2 0

·−5 −1 2

1 2 1

=

c21 c22 c23

c31 c32 c33

c11 = (3, 4, 0) · (0, −5, 1) = 3 · 0 + 4 · (−5) + 0 · 1 = −20

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


i

Rjesenje.


AB

3 4 0

5 1 2

0 1 1

5 1 2

−20 c12 c13

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB =

5 1 2

−1 2 0

·−5 −1 2

1 2 1

=

c21 c22 c23

c31 c32 c33

c12 = (3, 4, 0) · (1, −1, 2) = 3 · 1 + 4 · (−1) + 0 · 2 = −1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


D t i t

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

0 1 1

5 1 2

=

−20 −1 c13

c c c

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB =

5 1 2

−1 2 0

·−5 −1 2

1 2 1

=

c21 c22 c23

c31 c32 c33

c12 = (3, 4, 0) · (1, −1, 2) = 3 · 1 + 4 · (−1) + 0 · 2 = −1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

5 1 2

=

−20 −1 c13

c c c

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB =

5 1 2

−1 2 0

·−5 −1 2

1 2 1

=

c21 c22 c23

c31 c32 c33

c13 = (3, 4, 0) · (1, 2, 1) = 3 · 1 + 4 · 2 + 0 · 1 = 11

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

5 1 2

=

−20 −1 11

c21 c22 c23

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB =

5 1 2

−1 2 0

·−5 −1 2

1 2 1

=

c21 c22 c23

c31 c32 c33

c13 = (3, 4, 0) · (1, 2, 1) = 3 · 1 + 4 · 2 + 0 · 1 = 11

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

c21 c22 c23

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB =

5 1 2

−1 2 0

−5 −1 2

1 2 1

=

c21 c22 c23

c31 c32 c33

c21 = (5, 1, 2) · (0, −5, 1) = 5 · 0 + 1 · (−5) + 2 · 1 = −3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 c22 c23

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB

5 1 2

−1 2 0

5 1 2

1 2 1

3 c22 c23

c31 c32 c33

c21 = (5, 1, 2) · (0, −5, 1) = 5 · 0 + 1 · (−5) + 2 · 1 = −3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 c22 c23

http://find/



Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AB

5 1 2

−1 2 0

5 1 2

1 2 1

3 c22 c23

c31 c32 c33

c22 = (5, 1, 2) · (1, −1, 2) = 5 · 1 + 1 · (−1) + 2 · 2 = 8

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 c23

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

5 1 2

−1 2 0

5 1 2

1 2 1

3 8 c23

c31 c32 c33

c22 = (5, 1, 2) · (1, −1, 2) = 5 · 1 + 1 · (−1) + 2 · 2 = 8

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 c23

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

5

−1 2 0

5

1 2 1

3 8 23

c31 c32 c33

c23 = (5, 1, 2) · (1, 2, 1) = 5 · 1 + 1 · 2 + 2 · 1 = 9

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 9

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

−1 2 0

1 2 1

c31 c32 c33

c23 = (5, 1, 2) · (1, 2, 1) = 5 · 1 + 1 · 2 + 2 · 1 = 9

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 9

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

−1 2 0

1 2 1

c31 c32 c33

c31 = (−1, 2, 0) ·(0, −5, 1) = −1 ·0+ 2 ·(−5)+0 ·1 = −10

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 9

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

−1 2 0

1 2 1

−10 c32 c33

c31 = (−1, 2, 0) ·(0, −5, 1) = −1 ·0+ 2 ·(−5)+0 ·1 = −10

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 9

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

−1 2 0

1 2 1

−10 c32 c33

c32 = (−1, 2, 0) · (1, −1, 2) = −1 · 1 + 2 · (−1)+0 · 2 = −3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

S

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

·

0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 9

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

−1 2 0

1 2 1

−10 −3 c33

c32 = (−1, 2, 0) · (1, −1, 2) = −1 · 1 + 2 · (−1)+0 · 2 = −3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

S j D

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 9

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

−1 2 0

1 2 1

−10 −3 c33

c33 = (−1, 2, 0) · (1, 2, 1) = −1 · 1 + 2 · 2 + 0 · 1 = 3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

S j t D t

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 9

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

−1 2 0

1 2 1

−10 −3 3

c33 = (−1, 2, 0) · (1, 2, 1) = −1 · 1 + 2 · 2 + 0 · 1 = 3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matriceOperacije s matricama

Determinante

Svojstva Det

Rjesenje.


AB =

3 4 0

5 1 2

· 0 1 1

−5 −1 2

=

−20 −1 11

−3 8 9

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

−1 2 0

1 2 1

−10 −3 3

Cijeli postupak mnozenja

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Rjesenje.

a B je tipa (3, 3), A je tipa (3, 3) ⇒ BA je tipa (3, 3).

BA =

0 1 1

−5 −1 2

· 3 4 0

5 1 2

=

c11 c12 c13

c21 c22 c23

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

Konacno rjesenje

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Rjesenje.


BA =

0 1 1

−5 −1 2

· 3 4 0

5 1 2

=

c11 c12 c13

c21 c22 c23

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

c11 = (0, 1, 1) · (3, 5, −1) = 0 · 3 + 1 · 5 + 1 · (−1) = 4

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Rjesenje.


BA =

0 1 1

−5 −1 2

· 3 4 0

5 1 2

=

4 c12 c13

c21 c22 c23

http://find/



Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

c11 = (0, 1, 1) · (3, 5, −1) = 0 · 3 + 1 · 5 + 1 · (−1) = 4

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Rjesenje.


BA =

0 1 1−5 −1 2

· 3 4 0

5 1 2

=

4 c12 c13

c21 c22 c23

http://find/



j

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

c12 = (0, 1, 1) · (4, 1, 2) = 0 · 4 + 1 · 1 + 1 · 2 = 3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Rjesenje.


BA =

0 1 1−5 −1 2

· 3 4 0

5 1 2

=

4 3 c13

c21 c22 c23

http://find/



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

c13 = (0, 1, 1) · (0, 2, 0) = 0 · 0 + 1 · 2 + 1 · 0 = 2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Rjesenje.


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

1 2 0

=

4 3 2c21 c22 c23

http://find/



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

c21 = (−5, −1, 2) · (3, 5, −1) = −5 · 3 − 1 · 5 − 2 · 1 = −22

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Rjesenje.


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

1 2 0

=

4 3 2−22 c22 c23

http://find/



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

c22 = (−5, −1, 2) ·(4, 1, 2) = −5 ·4+ (−1) ·1 + 2 ·2 = −17

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Mi i k f k i

Rjesenje.


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

1 2 0

=

4 3 2−22 −17 c23

c c c

http://find/



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

c22 = (−5, −1, 2) ·(4, 1, 2) = −5 ·4+ (−1) ·1 + 2 ·2 = −17

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Mi i k f kt i

Rjesenje.


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

1 2 0

=

4 3 2−22 −17 c23

c31 c32 c33

http://find/

http://goback/



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

c23 = (−5, −1, 2) · (0, 2, 0) = −5 · 0 + (−1) · 2 + 2 · 0 = −2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Rjesenje.


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

1 2 0

=

4 3 2−22 −17 −2

c31 c32 c33

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

−1 2 0

c31 c32 c33

c23 = (−5, −1, 2) · (0, 2, 0) = −5 · 0 + (−1) · 2 + 2 · 0 = −2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Rjesenje.


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

−1 2 0

=

4 3 2−22 −17 −2

c31 c32 c33

http://find/



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

1 2 0

c31 c32 c33

c31 = (1, 2, 1) · (3, 5, −1) = 1 · 3 + 2 · 5 + 1 · (−1) = 12

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Rjesenje.a B je tipa (3, 3), A je tipa (3, 3) ⇒ BA je tipa (3, 3).

BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

−1 2 0

=

4 3 2−22 −17 −2

12 c32 c33

http://find/



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

1 2 0

12 c32 c33

c31 = (1, 2, 1) · (3, 5, −1) = 1 · 3 + 2 · 5 + 1 · (−1) = 12

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

−1 2 0

=

4 3 2−22 −17 −2

12 c32 c33

http://find/



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

1 2 0

12 c32 c33

c32 = (1, 2, 1) · (4, 1, 2) = 1 · 4 + 2 · 1 + 1 · 2 = 8

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

−1 2 0

=

4 3 2−22 −17 −2

12 8 c33

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 2 1

1 2 0

12 8 c33

c32 = (1, 2, 1) · (4, 1, 2) = 1 · 4 + 2 · 1 + 1 · 2 = 8

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

−1 2 0

=

4 3 2−22 −17 −2

12 8 c33

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

33

c33 = (1, 2, 1) · (0, 2, 0) = 1 · 0 + 2 · 2 + 1 · 0 = 4

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

−1 2 0

=

4 3 2−22 −17 −2

12 8 4

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

c33 = (1, 2, 1) · (0, 2, 0) = 1 · 0 + 2 · 2 + 1 · 0 = 4

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori


BA =

0 1 1−5 −1 2

1 2 1

· 3 4 0

5 1 2

−1 2 0

=

4 3 2−22 −17 −2

12 8 4

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

b A je tipa (3, 2), B je tipa (2, 2) ⇒ AB je tipa (3, 2).

AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

c11 c12

c21 c22

c31 c32

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Konacno rjesenje

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori


AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

c11 c12

c21 c22

c31 c32

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbec11 = (0, 1) · (1, 2) = 0 · 1 + 1 · 2 = 2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori


AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

2 c12

c21 c22

c31 c32

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica


Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

L l j


AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

2 c12

c21 c22

c31 c32

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica


Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

L l j


AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

2 3

c21 c22

c31 c32

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica


Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

2 3

c21 c22

c31 c32

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica


Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

2 3

4 c22

c31 c32

http://find/



Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

c22 = (2, 1) · (2, 3) = 2 · 2 + 1 · 3 = 7

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

2 3

4 7c31 c32

http://find/



p j

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

c31 = (2, 3) · (1, 2) = 2 · 1 + 3 · 2 = 8

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

2 3

4 78 c32

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

c32 = (2, 3) · (2, 3) = 2 · 2 + 3 · 3 = 13

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj


AB = 0 1

2 12 3

· 1 2

2 3 =

2 3

4 78 13

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

b B je tipa (2, 2), A je tipa (3, 2) ⇒ BA nije definirano.

BA =

1 2

2 3

·

0 1

2 1

2 3

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbe2 3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

b B je tipa (2, 2), A je tipa (3, 2) ⇒ BA nije definirano.

BA =

1 2

2 3

·

0 1

2 1

2 3

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbe2 3(1, 2) · (0, 2, 2) ne mozemo izracunati.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

I i

Iz prethodnog primjera uocavamo da mnozenje matrica

nije komutativno, tj. opcenito je

AB

= BA.

Moze se dogoditi da AB jest definirano, a da BA nije

definirano.

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbeNadalje, dijeljenje matrica nije definirano.

Pogledajmo sada jedan primjer koji ce nam pokazati da

ovakvo ”cudno” mnozenje matrica ima primjenu na

realne probleme.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

I t i

Primjer 19.Proizvode N 1, N 2, N 3 moguce je kupiti u trgovinama T 1 i

T 2 po sljedecim cijenama:

u T 1 po 20, 13, 10 kuna redom,

u T 2 po 21, 12, 11 kuna redom.

Sastavite matricu A tipa (2, 3) tako da sadrzi dane

d tk ij K ji b j l i j t ?

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbepodatke o cijenama. Koji se broj nalazi na mjestu a21?

Nadalje, zelimo li kupiti

5 komada N 1, 3 komada N 2, 4 komada N 3,

izracunajte koliko bi to ukupno doslo u trgovini T 1

, a

koliko u trgovini T 2.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Rjesenje.

A =

20 13 10

21 12 11

N 1↓

N 2↓

N 3↓

T 1←T 2←

Na mjestu a21 nalazi se cijena proizvoda N 1 u trgovini T 2.

Pitamo se sada koliko bismo platili u trgovini T 1, a koliko

i i T k k i 5 k d i d N 3

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbeu trgovini T 2 ako kupimo 5 komada proizvoda N 1, 3

komada proizvoda N 2 i 4 komada proizvoda N 3. Jasno je

da to mozemo jednostavno izracunati i bez upotrebe

matrica.

5 · 20 + 3 · 13 + 4 · 10 = 179 → u trgovini T 1

5 · 21 + 3 · 12 + 4 · 11 = 185 → u trgovini T 2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Medutim, mozemo definirati jednostupcanu matricu X u

kojoj ce se nalaziti broj pojedinih proizvoda koje zelimokupiti. Dakle,

X = 5

34

broj proizvoda N 1←broj proizvoda N 2←broj proizvoda N 3←

Sada je

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AX =

20 13 10

21 12 11

·

5

3

4

=

179

185

Vidimo da su elementi matrice AX upravo trazene cijene

koje bismo platili u pojedinim trgovinama za navedenu

kolicinu pojedinih proizvoda.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Svojstva mnozenja matrica

Iako ne vrijedi komutativnost mnozenja matrica, mnoga

lijepa svojstva mnozenja koja vrijede za brojeve ostaju

sacuvana i kod matrica.

Propozicija 6.

Neka su A, B, C matrice, a k ∈ R. Tada vrijedi

1 A(BC ) = (AB)C

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbe2

(A + B)C = AC + BC 3 A(B + C ) = AB + AC

4 k(AB) = (kA)B = A(kB)

5 AI = IA = A, gdje je A kvadratna matrica

6 (AB)T = BT AT

kada god su navedeni produkti definirani.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Determinante

Grubo receno, determinanta je broj koji se pridruzuje

kvadratnoj matrici. Ako se radi o kvadratnoj matrici A,

tada taj broj oznacavamo sa det A ili

|A

|.

Preciznije, determinanta kvadratne matrice A reda n je

broj

http://find/



Inverzna matrica

Matricne jednadzbedet A = p

(−

1)I ( p)a1 p(1)

a2 p(2) · · ·

anp(n)

gdje p prolazi kroz sve permutacije skupa {1, 2, . . . , n}, a

I ( p) je broj inverzija permutacije p.

Uocimo da se u produktima koji se zbrajaju javljaju po

jedan element iz svakog retka i svakog stupca matrice.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Neka je

A = [a11]

kvadratna matrica reda 1. Determinanta te matrice jetada

det A = |a11| = a11.

D kl b j k ji id ˇ j k d j i i d 1 j

http://find/



Matricne jednadzbeDakle, broj koji pridruzujemo kvadratnoj matrici reda 1 je

bas broj koji pise u toj matrici. Napomenimo samo ovdje,

da ne dode do zabune, |a11| je ovdje oznaka za

determinantu, a ne za apsolutnu vrijednost broja a11.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Neka je

A =

a11 a12

a21 a22

kvadratna matrica reda 2. Determinanta te matrice je

det A =

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21

http://find/



Matricne jednadzbe

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Neka je

A =

a11 a12

a21 a22


det A =

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21

http://find/



Matricne jednadzbe 3 − 2

4 8

=

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Neka je

A =

a11 a12

a21 a22


det A =

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21

http://find/

http://goback/




4 8

= 3 · 8

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Neka je

A =

a11 a12

a21 a22


det A =

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21

http://find/




4 8

= 3 · 8 − (−2) · 4

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Neka je

A =

a11 a12

a21 a22


det A =

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21

http://find/




4 8

= 3 · 8 − (−2) · 4 = 32

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Neka je

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

kvadratna matrica reda 3. Determinanta te matrice jea11 a12 a13

a21 a22 a23

= a11a22a33 − a11a23a32 − a21a12a33 +

http://find/



Matricne jednadzbea31 a32 a33 + a21a13a32 + a31a12a23 − a31a13a22

Zadatak 5.

Upotrebom definicije determinante provjerite da vrijedi gornja formula za racunanje determinante 3. reda.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

M i j d d b

Sarrusovo pravilo

Formula za racunanje determinante 3. reda je malo

nezgodna za pamtiti. Medutim, za determinante 3. reda

postoji jednostavna shema po kojoj se formiraju sviprodukti koji su nam potrebni za racunanje njezine

vrijednosti. To je tzv. Sarrusovo pravilo i ono vrijedi

samo za determinante treceg reda.

http://find/



Matricne jednadzbesamo za determinante treceg reda.

Potrebno je prvo nadopisati prva dva stupca desno od

determinante i zatim formirati produkte elemenata u

smjeru glavne dijagonale, te oduzeti produkte elemenata

u smjeru sporedne dijagonale.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

M t i j d dˇb

Na pocetku

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31

a32

a33

http://find/



Matricne jednadzbe

Preskoci objasnjavanje Sarrusa

Matematicke metode

za poslovne analize

prof. dr. sc. TihomirHunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Nadopisemo prvi stupac

a11 a12 a13 a11

a21 a22 a23 a21

a31

a32

a33

a31

http://find/



Matricne jednadzbe

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Nadopisemo drugi stupac

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31

a32

a33

a31

a32

http://find/



Matricne jednadzbe

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Napisemo jednako

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31

a32

a33

a31

a32

=

http://find/

http://goback/



Matricne jednadzbe

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

U smjeru glavne dijagonale

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31

a32

a33

a31

a32

=

= a11a22a33 +

http://find/



Matricne jednadzbe

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

=

= a11a22a33 + a12a23a31

http://find/



Matricne jednad be

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice

Operacije s matricamaDeterminante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

=

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

http://find/



j

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

U smjeru sporedne dijagonale

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

=

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a31a22a13

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

=

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a31a22a13 −− a32a23a11

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

=

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a31a22a13 −− a32a23a11 − a33a21a12

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Gotovo je!

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

=

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a31a22a13 −− a32a23a11 − a33a21a12

http://find/

http://goback/



Vrati se na objasnjavanje Sarrusa

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −21 2 8

−3 7 9

http://find/



Konacno rjesenje

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 31 2 8 1

−3 7 9 −3

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 3 41 2 8 1 2

−3 7 9 −3 7

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 3 41 2 8 1 2

−3 7 9 −3 7

=

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 3 41 2 8 1 2

−3 7 9 −3 7

=

= 3 · 2 · 9 +

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 3 41 2 8 1 2

−3 7 9 −3 7

=

= 3 · 2 · 9 + 4 · 8 · (−3)

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 3 41 2 8 1 2

−3 7 9 −3 7

=

= 3 · 2 · 9 + 4 · 8 · (−3) + (−2) · 1 · 7

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 3 41 2 8 1 2

−3 7 9 −3 7

=

= 3 · 2 · 9 + 4 · 8 · (−3) + (−2) · 1 · 7 − (−2) · 2 · (−3)

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 3 41 2 8 1 2

−3 7 9 −3 7

=

= 3 · 2 · 9 + 4 · 8 · (−3) + (−2) · 1 · 7 − (−2) · 2 · (−3) −− 3 · 8 · 7

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 3 41 2 8 1 2

−3 7 9 −3 7

=

= 3 · 2 · 9 + 4 · 8 · (−3) + (−2) · 1 · 7 − (−2) · 2 · (−3) −− 3 · 8 · 7 − 4 · 1 · 9

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 4 −2 3 41 2 8 1 2

−3 7 9 −3 7

=

= 3 · 2 · 9 + 4 · 8 · (−3) + (−2) · 1 · 7 − (−2) · 2 · (−3) −− 3 · 8 · 7 − 4 · 1 · 9 = −272

http://find/



Objasnjavanje citavog postupka

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Uocimo da smo kod racunanja determinanti drugog reda

imali dva sumanda od kojih je svaki bio produkt od dva

elementa. Kod determinanti treceg reda imali smo sest

sumanada od kojih je svaki bio produkt od tri elementa.

Opcenito, kod determinanti n-tog reda imat cemo n!sumanada od kojih je svaki produkt od n elemenata.

Dakle, racunanje determinati viseg reda po definiciji je

d t j i t k i i di k

http://find/



dugotrajno i takoreci neizvedivo u nekom razumnomvremenu. Vec kod determinanti petog reda imali bismo

120 sumanada koji su produkti od pet elemenata.

Stoga nam trebaju neka svojstva determinanti koja ce

nam olaksati njihovo racunanje.

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


U ovom dijelu pretpostavljamo da su A i B kvadratne

matrice n-tog reda. Ilustraciju svojstava determinanti

pokazivat cemo na determinantama cetvrtog reda.

1 det A = det AT

http://find/



1 3 −2 7

3 2 0 −8

4 −6 −7 1

2 7 2 1

=

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe





1 det A = det AT

http://find/



1 3 −2 7

3 2 0 −8

4 −6 −7 1

2 7 2 1

=

1

3

−2

7

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe





1 det A = det AT

http://find/



1 3 −2 7

3 2 0 −8

4 −6 −7 1

2 7 2 1

=

1 3

3 2

−2 0

7 −8

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe





1 det A = det AT

http://find/



1 3 −2 7

3 2 0 −8

4 −6 −7 1

2 7 2 1

=

1 3 4

3 2 −6

−2 0 −7

7 −8 1

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe





1 det A = det AT

http://find/



1 3 −2 7

3 2 0 −8

4 −6 −7 1

2 7 2 1

=

1 3 4 2

3 2 −6 7

−2 0 −7 2

7 −8 1 1

Matematicke metode

za poslovne analize



Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe





1 det A = det AT

http://find/



1 3 −2 7

3 2 0 −8

4 −6 −7 1

2 7 2 1

=

1 3 4 2

3 2 −6 7

−2 0 −7 2

7 −8 1 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

2 Ako su svi elementi jednog reda u determinanti jednaki

nula, tada je ta determinanta jednaka nula. Analogno

vrijedi i za stupce.

1 3 −2 7

3 2 0

−8

0 0 0 0

= 0

1 0 −2 7

3 0 0

−8

2 0 5 3

= 0

http://find/



0 0 0 0

2 7 2 1

= 0

−2 0 5 3

2 0 2 1

= 0

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3 Ako determinanta ima dva jednaka reda, tada je ona

jednaka nula. Analogno vrijedi i za stupce.

7 3 2 −9

3 2 0 −8

7 3 2 −9

= 0

4 4 −2 7

−2 −2 0 −8

−3 −3 5 3

= 0

http://find/



7 3 2 92 7 2 1

3 3 5 38 8 2 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

4 Determinanta jedinicne matrice I jednaka je 1.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

= 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= 1

http://find/



0 0 0 1 0 0 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

5 Determinanta gornjetrokutaste ili donjetrokutaste

matrice jednaka je produktu elemenata na glavnoj

dijagonali.

7 3 2 −

9

0 2 0 −8

0 0 2 −9

0 0 0 1

= 7 · 2 · 2 · 1 = 28

http://find/



7 0 0 0

2 3 0 0

5 4 0 0

−9 8 1 4

= 7 · 3 · 0 · 4 = 0

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

6 Zamijenimo li mjesta bilo kojim dvama retcima u

determinanti, determinanta mijenja predznak.

Analogno vrijedi i za stupce.

1 3

−2 7

3 2 0 − 8

4 − 6 − 7 1

2 7 2 1

←−←− = −

4

−6

−7 1

3 2 0 −8

1 3 −2 7

2 7 2 1

http://find/



1 3 − 2 7

3 2 0 − 8

4

−6

−7 1

2 7 2 1

= −

1 −2 3 7

3 0 2 −8

4 −

7 −

6 1

2 2 7 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

7 Ako bilo koji redak u matrici A pomnozimo realnim

brojem k, determinanta rezultirajuce matrice jednaka je

k det A. Analogno vrijedi i za stupce.

1 3 − 2 7

3 2 0 − 84 − 6 − 7 1

2 7 2 1

/·5 = 5 ·

1 3 −2 7

3 2 0 −84 −6 −7 1

2 7 2 1

/·3

http://find/



/1 3 − 2 7

3 2 0 − 8

4

−6

−7 1

2 7 2 1

= 3 ·

1 3 −2 7

3 2 0 −8

4

−6

−7 1

2 7 2 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

8 Zajednicki faktor svih elemenata nekog retka moze se

izluciti izvan determinante. Analogno vrijedi i za

stupce.

12 8 16 20

3 2 0 −8

4 −6 −7 1

2 7 2 1

= 4 ·

3 2 4 5

3 2 0 −8

4 −6 −7 1

2 7 2 1

http://find/



3 6 −5 1

3 12 0 −8

4 21

−7 1

2 −15 2 1

= 3 ·

3 2 −5 1

3 4 0 −8

4 7

−7 1

2 −5 2 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

9 det(kA) = kn det A, gdje je n red matrice A

A =

3 4 −2 1

0

−1 5 7

−2 −3 4 8

−3 6 −1 9

2A =

6 8 −4 2

0

−2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12 −2 18

6 8 −4 2

http://find/



0 −2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12

−2 18

=

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


A =

3 4 −2 1

0

−1 5 7

−2 −3 4 8

−3 6 −1 9

2A =

6 8 −4 2

0

−2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12 −2 18

6 8 −4 2 3 4 −2 1

http://find/



0 −2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12

−2 18

= 2 ·

0 −2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12

−2 18

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


A =

3 4 −2 1

0

−1 5 7

−2 −3 4 8

−3 6 −1 9

2A =

6 8 −4 2

0

−2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12 −2 18

6 8 −4 2 3 4 −2 1

http://find/



0 −2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12

−2 18

= 2 · 2 ·

0 −1 5 7

−4 −6 8 16

−6 12

−2 18

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


A =

3 4 −2 1

0

−1 5 7

−2 −3 4 8

−3 6 −1 9

2A =

6 8 −4 2

0

−2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12 −2 18

6 8 −4 2 3 4 −2 1

http://find/



0 −2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12

−2 18

= 2 · 2 · 2 ·

0 −1 5 7

−2 −3 4 8

−6 12

−2 18

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


A =

3 4 −2 1

0

−1 5 7

−2 −3 4 8

−3 6 −1 9

2A =

6 8 −4 2

0

−2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12 −2 18

6 8 −4 2 3 4 −2 1

http://find/



0 −2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12

−2 18

= 2 · 2 · 2 · 2 ·

0 −1 5 7

−2 −3 4 8

−3 6

−1 9

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


A =

3 4 −2 1

0

−1 5 7

−2 −3 4 8

−3 6 −1 9

2A =

6 8 −4 2

0

−2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12 −2 18

6 8 −4 20 2 10 14

3 4 −2 10 1 5 7

http://find/



0 −2 10 14

−4 −6 8 16

−6 12

−2 18

= 24 ·

0 −1 5 7

−2 −3 4 8

−3 6

−1 9

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

10 Ako neki redak u determinanti dodamo nekom drugom

retku, vrijednost determinante se nece promijeniti.

Analogno vrijedi za stupce.

1 3 − 2 7

3 2 0 − 84 − 6 − 7 1

2 7 2 1

←−+=

1 3 −2 7

3 2 0 −87 −4 −7 −7

2 7 2 1

+

http://find/



1 3 − 2 7

3 2 0 − 8

4 −

6 −

7 1

2 7 2 1

=

8 3 − 2 7

− 5 2 0 − 8

5 −

6 −

7 1

3 7 2 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

11 Ako umnozak nekog retka s nekim brojem dodamo

nekom drugom retku, vrijednost determinante se necepromijeniti. Analogno vrijedi za stupce.

1 3 − 2 7

3 2 0

−8

4 − 6 − 7 1

2 7 2 1

/

·4

←−−+

=

1 3 −2 7

3 2 0

−8

7 −4 −7 −7

14 15 2 −31

/·( 5)

+

http://find/

http://goback/



/·(−5) 1 3 − 2 7

3 2 0 − 8

4 − 6 − 7 12 7 2 1

=

8 3 − 7 7

− 5 2 − 15 − 8

5 − 6 − 27 13 7 − 8 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

12 Binet-Cauchyjev teorem. Ako su A i B kvadratne

matrice istog reda, tada je

det(AB) = det A det B.

13 det(Ak) = (det A)k, k ∈ Z \ {0}

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

14 Neka se A i B razlikuju samo u elementima i-tog

retka. Tada je det A + det B jednaka determinanti

matrice ciji je i-ti redak suma odgovarajucih clanova

i-tih redova iz A i B, a ostali elementi su jednaki

odgovarajucim elementima iz A odnosno B. Analogno

vrijedi za stupce.

Napomena.

http://find/



det(A + B) = det A + det B

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

a b c d

e f g h

a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3 a4 + b4

k l m n

=

=

a b c d

e f g h

+

a b c d

e f g h

http://find/



=a1 a2 a3 a4

k l m n

+b1 b2 b3 b4

k l m n

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

a1 + b1 a e ka2 + b2 b f l

a3 + b3 c g m

a4 + b4 d h n

=

a1 a e ka2 b f l

a3 c g m

a4 d h n

+

b1 a e kb2 b f l

b3 c g m

b4 d h n

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Sada kada smo se upoznali sa nekim svojstvima

determinanti, pitamo se kako primijeniti ta svojstva naracunanje determinanti reda veceg od tri. Vidjeli smo da

se lako racunaju determinante gornjetrokutastih i

donjetrokutastih matrica kao produkt elemenata na

glavnoj dijagonali. Isto tako smo vidjeli da se vrijednost

determinante ne mijenja ako neki njezin redak (stupac)

pomnozimo nekim brojem i dodamo nekom drugom retku

(stupcu) te da pri zamjeni dvaju redaka (stupaca)

determinanta samo mijenja predznak. Stoga je ideja da

http://find/



determinantu koju trebamo izracunati pomocu ovih

svojstava svedemo na gornjetrokutastu ili

donjetrokutastu, tj. da u toj determinanti ispod ili iznadglavne dijagonale napravimo nule.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 − 2 1 − 3

3 2 1 0

←−

+

/·(−3)

←−−−−−−−−+

=

=

1 0 2 00 4 5 6

0 − 2 1 − 3

0 2 − 5 0

←−←− =

1 0 2 0

http://find/



= −

1 0 2 0

0 − 2 1 − 3

0 4 5 6

0 2 − 5 0

/·2

←−−+

←−−−−−+

=

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

= −

1 0 2 0

0 − 2 1 − 3

0 0 7 0

0 0 − 4 − 3

=

1 0 0 2

0 − 2 − 3 1

0 0 0 7

0 0 − 3 − 4

←−←−

=

= −

1 0 0 2

0

−2

−3 1

0 0 − 3 − 4

= −1 · (−2) · (−3) · 7 = −42

http://find/

http://goback/



0 0 0 7

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Minore i kofaktori

Neka je A matrica tipa (m, n). Ako se iz matrice A ukloni

m − k redaka i n − k stupaca, preostali elementi cine

jednu submatricu ili podmatricu matrice A, k-tog reda.

A =

2 3 4 6 7

8 1 0 2 1

5 4 3 2 11 0 5 6 7

http://find/



1 0 5 6 7

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Minore i kofaktori

Neka je A matrica tipa (m, n). Ako se iz matrice A ukloni

m − k redaka i n − k stupaca, preostali elementi cine

jednu submatricu ili podmatricu matrice A, k-tog reda.

A =

2 3 4 6 7

8 1 0 2 1

5 4 3 2 11 0 5 6 7

B = 3 4 7

4 3 1

http://find/



1 0 5 6 7

B je submatrica reda 2 matrice A

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Neka je A kvadratna matrica n-tog reda. Minora M ij

elementa aij je determinanta submatrice matrice A koja

sadrzi elemente koji preostanu nakon sto se uklone i-ti

redak i j-ti stupac matrice A.

Kofaktor ili algebarski komplement elementa aij je broj

Aij = (−1)i+ jM ij

Uocimo da je kofaktor do na predznak jednak minori, sto

http://goforward/

http://find/

http://goback/



j p j

ovisi o parnosti sume njihovih indeksa.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.

Odredite minore i kofaktore matrice A = 2 1 −13 0 23 1 2 .

Rjesenje.

A =

2 1

−1

3 0 2

3 1 2

http://find/



Preskoci postupak

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A =

2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 11 = 0 2

1 2 = −2

A11 = (−1)1+1M 11 = −2

M 11 = −2, A11 = −2

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A =

2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 12 = 3 2

3 2 = 0

A12 = (−1)1+2M 12 = 0

M 11 = −2, A11 = −2, M 12 = 0, A12 = 0

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A =

2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 13 = 3 0

3 1 = 3

A13 = (−1)1+3M 13 = 3

M 11 = −2, A11 = −2, M 12 = 0, A12 = 0, M 13 = 3,

A13 = 3

http://find/



A13 = 3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A =

2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 21 = 1 −1

1 2 = 3

A21 = (−1)2+1M 21 = −3

M 11 = −2, A11 = −2, M 12 = 0, A12 = 0, M 13 = 3,

A13 = 3 M21 = 3 A21 = −3

http://find/



A13 3, M 21 3, A21 3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A =

2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 22 = 2 −1

3 2 = 7

A22 = (−1)2+2M 22 = 7

M 11 = −2, A11 = −2, M 12 = 0, A12 = 0, M 13 = 3,

A13 = 3, M21 = 3, A21 = −3, M22 = 7, A22 = 7

http://find/



A13 3, M 21 3, A21 3, M 22 7, A22 7

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A =

2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 23 = 2 1

3 1 = −1

A23 = (−1)2+3M 23 = 1

M 11 = −2, A11 = −2, M 12 = 0, A12 = 0, M 13 = 3,

A13 = 3, M 21 = 3, A21 = −3, M 22 = 7, A22 = 7,

http://find/



13 , 21 , 21 , 22 , 22 ,

M 23 = −1, A23 = 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A = 2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 31 = 1 −1

0 2 = 2

A31 = (−1)3+1M 31 = 2

M 11 = −2, A11 = −2, M 12 = 0, A12 = 0, M 13 = 3,

A13 = 3, M 21 = 3, A21 = −3, M 22 = 7, A22 = 7,

http://find/



13 , 21 , 21 , 22 , 22 ,

M 23 = −1, A23 = 1, M 31 = 2, A31 = 2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


DeterminanteSvojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A = 2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 32 = 2 −1

3 2 = 7

A32 = (−1)3+2M 32 = −7

M 11 = −2, A11 = −2, M 12 = 0, A12 = 0, M 13 = 3,

A13 = 3, M 21 = 3, A21 = −3, M 22 = 7, A22 = 7,

http://find/



3

M 23 = −1, A23 = 1, M 31 = 2, A31 = 2, M 32 = 7,

A32 =

−7

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A = 2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 33 = 2 1

3 0 = −3

A33 = (−1)3+3M 33 = −3

M 11 = −2, A11 = −2, M 12 = 0, A12 = 0, M 13 = 3,

A13 = 3, M 21 = 3, A21 = −3, M 22 = 7, A22 = 7,

http://find/

http://goback/



M 23 = −1, A23 = 1, M 31 = 2, A31 = 2, M 32 = 7,

A32 =

−7, M 33 =

−3, A33 =

−3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 20.


Rjesenje.

A = 2 1

−1

3 0 2

3 1 2

M 11 = −2, A11 = −2, M 12 = 0, A12 = 0, M 13 = 3,

A13 = 3, M 21 = 3, A21 = −3, M 22 = 7, A22 = 7,

http://find/



M 23 = −1, A23 = 1, M 31 = 2, A31 = 2, M 32 = 7,

A32 =

−7, M 33 =

−3, A33 =

−3

Pokazi postupak

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Laplaceov razvoj determinante

Do sada smo se upoznali s mnogim lijepim svojstvima

determinanti koja nam olaksavaju racunanje njihovih

vrijednosti. Jedan od najvaznijih postupaka koji smo dosada upoznali bio je svodenje determinante na

gornjetrokutastu ili donjetrokutastu cija se vrijednost lako

izracuna, tj. jednaka je produktu elemenata na glavnoj

dijagonali.

U dij l ´ k ti k k ˇ j

http://find/



U ovom dijelu cemo pokazati kako se racunanje

determinante n-tog reda moze svesti na racunanje n

determinanti (n − 1)-og reda.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 21.

Zadana je matrica A =

2 1 −13 0 23 1 2

. Izracunajte:

a det A preko Sarrusovog pravila

b a11A11 + a12A12 + a13A13

c a12A12 + a22A22 + a32A32

d a11A21 + a12A22 + a13A23

e a12A13 + a22A23 + a32A33

http://find/



12 13 + 22 23 + 32 33

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Rjesenje.

Kofaktore matrice A smo izracunali u Primjeru 20. .

A11 = −2, A12 = 0, A13 = 3, A21 = −3, A22 = 7,

A23 = 1, A31 = 2, A32 = −7, A33 = −3

det A =

2 1 −13 0 2

3 1 2

= −7

a11A11 + a12A12 + a13A13 = 2 · (−2) + 1 · 0 + (−1) · 3 = −7

a12A12 + a22A22 + a32A32 = 1 · 0 + 0 · 7 + 1 · (−7) = −7

http://find/



12 12 + 22 22 + 32 32 + + ( )

a11A21 + a12A22 + a13A23 = 2 · (−3) + 1 · 7 + (−1) · 1 = 0

a12A13 + a22A23 + a32A33 = 1 · 3 + 0 · 1 + 1 · (−3) = 0

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Iz prethodnog primjera uocavamo da je

a11A11 + a12A12 + a13A13 = det A.

Pomocu skalarnog produkta to mozemo zapisati

a11, a12, a13

· A11, A12, A13

= det A.

Dakle, skalarni produkt prvog retka matrice A s

kofaktorima odgovarajucih elemenata tog retka jednak jedeterminanti matrice A.

http://find/



Izraz a11A11 + a12A12 + a13A13 zovemo Laplaceov

razvoj determinante po prvom retku matrice A.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Isto tako, uocavamo da je

a12A12 + a22A22 + a32A32 = det A.

Pomocu skalarnog produkta to mozemo zapisati

a12, a22, a32

· A12, A22, A32

= det A.

Dakle, skalarni produkt drugog stupca matrice A s

kofaktorima odgovarajucih elemenata tog stupca jednak je determinanti matrice A.

http://find/

http://goback/



Izraz a12A12 + a22A22 + a32A32 zovemo Laplaceov

razvoj determinante po drugom stupcu matrice A.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Nadalje, vidjeli smo da je

a11A21 + a12A22 + a13A23 = 0

a12A13 + a22A23 + a32A33 = 0

odnosno

a11, a12, a13

· A21, A22, A23

= 0

a12, a22, a32

·

A13, A23, A33

= 0

Dakle, skalarni produkt nekog retka matrice A s

kofaktorima odgovarajucih elemenata nekog drugog retka

http://find/



jednak je 0. Isto tako, skalarni produkt nekog stupca

matrice A s kofaktorima odgovarajucih elemenata nekog

drugog stupca jednak je 0.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Cinjenice koje smo uocili na prethodnom primjeru vrijede

i opcenito za bilo koju kvadratnu matricu.


Laplaceov razvoj determinante po i-tom retku

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin =n

k=1

aikAik

Laplaceov razvoj determinante po j-tom stupcu

det A = a1 A1 + a2 A2 + + a A =n

ak Ak

http://find/



det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + · · · + anjAnj =k=1

akj Akj

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Laplaceov razvoj po drugom retku

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

= a21A21 + a22A22 + a23A23 + a24A24

= −a21

a12 a13 a14

a32 a33 a34

a42 a43 a44

+ a22

a11 a13 a14

a31 a33 a34

a41 a43 a44

−

http://find/



− a23

a11 a12 a14

a31 a32 a34

a41 a42 a44

+ a24

a11 a12 a13

a31 a32 a33

a41 a42 a43

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Laplaceov razvoj po trecem stupcu

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

= a13A13 + a23A23 + a33A33 + a43A43

= a13

a21 a22 a24

a31 a32 a34

a41 a42 a44

− a23

a11 a12 a14

a31 a32 a34

a41 a42 a44

+

a a a

a a a

http://find/



+ a33

a11 a12 a14

a21 a22 a24

a41 a42 a44

− a43

a11 a12 a14

a21 a22 a24

a31 a32 a34

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Pogledajmo opet determinantu

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 −2 1 −3

3 2 1 0

.

Nju smo vec prije izracunali svodenjem na trokutastu.

svodenje na trokutastu

Izracunajmo ju sada pomocu Laplaceovog razvoja.Moramo odabrati neki redak ili stupac u toj determinanti.

Kako mozemo birati uzimamo onaj redak ili stupac u

http://find/



Kako mozemo birati, uzimamo onaj redak ili stupac u

kojemu ima puno nula tako da neke kofaktore necemo

morati racunati. Uzmimo, npr. prvi redak.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 0 2 0

−1 4 3 60 −2 1 −3

3 2 1 0

= 1 · A11 + 0 · A12 + 2 · A13 + 0 · A14

Sada kofaktore A12 i A14 ne treba racunati jer ih

mnozimo s nulom, a preostala dva kofaktora izracunamo

pomocu Sarrusovog pravila.

A11 = (−1)1+1 4 3 6

−2 1 −32 1 0

= −30

http://find/



A13 = (−

1)1+3

−1 4 6

0 −

2 −

3

3 2 0

=

−6

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Stoga je

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 −2 1 −3

3 2 1 0

= 1 · (−30) + 2 · (−6) = −42

Mogli smo odabrati, npr. cetvrti stupac pa bismo imali

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 2 1 3

= 0 · A14 + 6 · A24 + (−3) · A34 + 0 · A44

http://find/



0 −2 1 −3

3 2 1 0

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

U tom slucaju treba isto izracunati samo dva kofaktora

A24 i A34.

A24 = (−1)2+4

1 0 2

0 −2 1

3 2 1

= 8

A34 = (−1)3+4

1 0 2−1 4 3

3 2 1

= 30

Stoga je 1 0 2 0

1 4 3 6

http://find/



−1 4 3 6

0

−2 1

−3

3 2 1 0

= 6 · 8 + (−3) · 30 = −42

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Ako odaberemo drugi redak, tada trebamo izracunati sva

cetiri kofaktora.

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 −2 1 −3

3 2 1 0

= −1 · A21 + 4 · A22 + 3 · A23 + 6 · A24

A21 = (−

1)2+1

0 2 0

−2 1

−3

2 1 0

= 12

1 2 0

http://find/



A22 = (−1)2+2

1 2 0

0 1 −3

3 1 0

= −15

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

A23 = (−1)2+31 0 0

0 −2 −3

3 2 0

= −6

A24 = (−1)2+4 1 0 2

0 −2 1

3 2 1

= 8

Stoga je

1 0 2 0

−1 4 3 6

= 1 12+4 ( 15)+3 ( 6)+6 8 = 42

http://find/



0 −2 1 −3

3 2 1 0

= −1·12+4·(−15)+3·(−6)+6·8 = −42

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Napomena.

Vidjeli smo da se racunanje determinanti cetvrtog reda

pomocu Laplaceovog razvoja svodi na racunanje najvise

cetiri determinante treceg reda (sto ovisi o tome da li u

toj determinanti ima neki redak ili stupac koji sadrzi i

nule) koje onda mozemo dalje izracunati Sarrusovimpravilom.

Racunanje determinante petog reda pomocu Laplaceovog

razvoja svodi se na racunanje najvise pet determinanti

cetvrtog reda. No, na te determinante ne mozemo

primijeniti Sarrusovo pravilo pa ako bismo na svaku od

http://find/



njih primijenili Laplaceov razvoj, dobili bismo najvise 20

determinanti treceg reda koje bismo onda izracunaliSarrusovim pravilom.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Medutim, 20 determinanti treceg reda i nije tako mali

broj za racunanje. A sto ako bismo imali determinantu

reda veceg od pet? Tada bi taj broj determinanti treceg

reda na koje bi se svela ta determinanta bio znatno veci.

Dakle, samo primjenjivanje Laplaceovog razvoja i nijetako efikasan nacin za racunanje determinanti. To ima

smisla do determinanti reda 4. Isto tako ima smisla

primjenivati taj postupak ako imamo determinantu u kojoj

neki redak ili stupac ima ”puno” nula i ako sve ostale

determinante na koje se svodi ta determinanta takoder

http://find/



imaju neki redak ili stupac koji ima ”puno” nula jer u tom

slucaju treba izracunati samo maleni broj kofaktora.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

No, sto ako imamo determinantu reda n koja u sebi nema

niti jednu nulu ili ih ima jako malo? U tom slucaju

odaberemo neki redak ili stupac u toj determinanti.

Zatim u odabranom retku ili stupcu odaberemo neki

element razlicit od nule. Sada je ideja da, prije negoprimijenimo Laplaceov razvoj, u odabranom retku ili

stupcu napravimo same nule, a onaj odabrani element

”ostavimo na miru”. Nule cemo napraviti koristeci se

cinjenicom da determinanta ne mijenja vrijednost ako

neki redak ili stupac pomnozimo nekim brojem i dodamo

http://find/



nekom drugom retku, odnosno stupcu.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Ako nakon toga napravimo Laplaceov razvoj po takotransformiranom retku ili stupcu, tada ce se determinanta

n-tog reda svesti na samo jednu determinantu (n − 1)-og

reda. Ako isti postupak primijenimo na dobivenu

determinantu (n − 1)-og reda, ona ce se svesti na samo

jednu determinantu (n − 2)-og reda itd. Dakle, pomocu

ovog postupka moguce je svaku determinantu reda n 3

svesti na samo jednu determinantu reda 3 koju ondamozemo izracunati Sarrusovim pravilom ili ju svesti na

determinantu reda 2 pa onda nju izracunati.

http://find/



determinantu reda 2 pa onda nju izracunati.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Pogledajmo opet determinantu

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 −2 1 −3

3 2 1 0

.

Odaberemo li prvi redak i element a11 = 1, tada u tom

retku na preostalim mjestima zelimo napraviti nule. No

na dva mjesta vec imamo nule, jedino jos treba element

a13 = 2 pretvoriti u nulu. To cemo postici tako da prvi

stupac pomnozimo s −2 i dodamo ga trecem stupcu.

http://find/



Nakon toga cemo primijeniti Laplaceov razvoj po prvom

retku i dobit cemo samo jednu determinantu treceg reda.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

/·(−2)

+1 0 2 0

−1 4 3 6

0 − 2 1 − 3

3 2 1 0

=

1 0 0 0

−1 4 5 6

0 − 2 1 − 3

3 2 − 5 0

=

= (−1)1+1 · 1 ·

4 5 6

− 2 1 − 3

= −42

http://find/



2 − 5 0

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Odaberemo li drugi redak u determinanti

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 −2 1 −3

3 2 1 0

i element a21 = −1, tada na preostalim mjestima u

drugom retku trebamo napraviti nule. Ovaj put imamo

vise posla jer smo odabrali redak u kojemu nema niti

jedne nule. Dakle, prvi stupac mnozimo sa 4 i dodajemo

ga drugom, zatim ga mnozimo s 3 i dodajemo trecem i

http://find/



na kraju ga mnozimo sa 6 i dodajemo cetvrtom. Nakon

toga napravimo Laplaceov razvoj po drugom retku.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

/·4 +

/·3 +

/

·6 +

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 − 2 1 − 3

3 2 1 0

=

1 4 5 6

− 1 0 0 0

0 − 2 1 − 3

3 14 10 18

=

= (−1)2+1 · (−1) ·

4 5 6

− 2 1 − 3

= −42

http://find/



( ) ( )

14 10 18

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Odaberemo li opet drugi redak u determinanti

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 −2 1 −3

3 2 1 0

i element a23 = 3, tada na preostalim mjestima u drugom

retku trebamo napraviti nule. Ovaj put ce biti jos teze jer

ce nam se pojaviti razlomci. Dakle, bitno je pametnoodabrati redak ili stupac, ali isto tako je bitno pametno

odabrati element u odabranom retku ili stupcu.

http://find/



odabrati element u odabranom retku ili stupcu.

Pametnim odabirom si olaksavamo kasnije racunanje.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

/· 1

3+

/·−43+

/·(−2) +

1 0 2 0

− 1 4 3 6

0 − 2 1 − 3

3 2 1 0

=

53 − 8

3 2 − 4

0 0 3 0

13 − 10

3 1 − 5

103

23 1 − 2

=

( 1)2+3 3

53 −8

3 −4

1 10 5

42

http://find/



= (−1)2+3 · 3 ·

13 −10

3 −5

103

23 −2

= −42

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice



Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Odaberemo li cetvrti stupac u determinanti

1 0 2 0

−1 4 3 6

0 −2 1 −3

3 2 1 0

i element a34 = −3, tada na preostalim mjestima u

cetvrtom stupcu trebamo napraviti nule. No, na dvama

mjestima vec imamo nule tako da samo element a24 = 6treba pretvoriti u nulu. To cemo napraviti tako da treci

redak pomnozimo sa 2 i dodamo ga drugom retku. Nakon

http://find/



p g g

toga napravimo Laplaceov razvoj po cetvrtom stupcu.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

1 0 2 0

− 1 4 3 6

0 − 2 1 −33 2 1 0

/·2

←−−+

=

1 0 2 0

− 1 0 5 0

0 − 2 1 − 33 2 1 0

=

= (−1)3+4 · (−3) · 1 0 2

− 1 0 5

3 2 1

= −42

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 22.

Izracunajte determinantu petog reda

3 4 5 −1 2

8 0 2 1 5

3 4 2 6 81 5 1 0 3

−8 −9 4 6 7

.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 22.

Izracunajte determinantu petog reda

3 4 5 −1 2

8 0 2 1 5

3 4 2 6 81 5 1 0 3

−8 −9 4 6 7

.

Rjesenje.

Odabrat cemo, npr. cetvrti redak i element a41 = 1. Na

preostalim mjestima u cetvrtom retku cemo napraviti nule

http://find/



preostalim mjestima u cetvrtom retku cemo napraviti nule

i zatim primijeniti Laplaceov razvoj po cetvrtom retku.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

/·(−5) +

/

·(

−1) +

/·(−3) +

3 4 5 − 1 2

8 0 2 1 5

3 4 2 6 8

1 5 1 0 3

− 8 − 9 4 6 7

=

3 − 11 2 − 1 − 7

8 − 40 − 6 1 − 19

3 − 11 − 1 6 − 1

1 0 0 0 0

− 8 31 12 6 31

−11 2 −1 −7

−40 −6 1 −19

http://find/



= (−1)4+1 · 1 · −40 −6 1 −19

−11

−1 6

−1

31 12 6 31

=

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

= −

− 11 2 −1 − 7

− 40 − 6 1 − 19

− 11 − 1 6 − 1

31 12 6 31

←−+

←−−−

/·6

+

←−−−−−−−

/·6

+

=

= −− 11 2 − 1 − 7

− 51 − 4 0 − 26

− 77 11 0 − 43

− 35 24 0 − 11

=

http://find/



− 35 24 0 − 11

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

= −(−1)1+3 · (−1) ·

− 51 − 4 − 26

− 77 11 − 43

−35 24

−11

=

=

− 51 − 4 − 26

− 77 11 − 43

−35 24

−11

= −11055

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Propozicija 7.

Neka je A = [aij] kvadratna matrica.

a Skalarni produkt nekog retka s odgovarajucim

kofaktorima tog retka jednak je det A.

b Skalarni produkt nekog stupca s odgovarajucim

kofaktorima tog stupca jednak je det A.

c Skalarni produkt nekog retka s odgovarajucim

kofaktorima nekog drugog retka jednak je 0.d Skalarni produkt nekog stupca s odgovarajucim

kofaktorima nekog drugog stupca jednak je 0.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

n j=1

aijAkj = δ ik det A

n

i=1 aijAik = δ jk det A

Kroneckerov simbol

δ pq =

1, p = q

0, p = q

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Inverzna matrica

Poznato nam je da ako je a ∈ R, tada njega moramo

pomnoziti s 1a da bismo dobili 1 (neutralni element za

mnozenje). Znamo da to mozemo napraviti za svakirealni broj a razlicit od nule i u tom slucaju broj a−1 = 1

a

zovemo inverzni broj broja a.

Dakle, kod brojeva je

aa−1 = a−1a = 1, ∀a ∈ R \ {0}.

Z li ij i i i

http://find/



Zelimo ovo prenijeti i na matrice.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Neka je A kvadratna matrica. Inverzna matrica matrice

A je matrica A−1 za koju vrijedi

AA−1 = A−1A = I .

Dakle, inverzna matrica kvadratne matrice je matrica skojom ju moramo pomnoziti da bismo dobili jedinicnu

matricu (neutralni element za mnozenje).

Napomena.

Znamo da mnozenje matrica nije komutativno, ali u

definiciji zahtijevamo da matrica komutira sa svojom

inverznom matricom

http://find/



inverznom matricom.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Znamo da svaki realni broj razlicit od nule ima inverz.

Pitamo se da li svaka kvadratna matrica ima inverznumatricu.

Odgovor je negativan. Nema svaka kvadratna matrica

inverznu matricu. Naime, iz

AA−1 = I

slijedi

det AA−1 = det I.

Zbog Binet-Cauchyjevog teorema je

http://find/



det A det A−1 = 1.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Stoga je

det A−1 = 1

det A.

Vidimo da ako inverzna matrica A−1

postoji, tada jenjezina determinanta jednaka reciprocnoj vrijednosti

determinante matrice A. Drugim rijecima, kvadratna

matrica cija je determinanta jednaka nula nema inverznu

matricu.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Neka je A = [aij] kvadratna matrica.

Kvadratna matrica A je regularna ako je det A = 0.

Kvadratna matrica A je singularna ako je det A = 0.

Adjunkta matrice A je matrica

A∗ = [Aij ]T

tj., to je transponirana matrica matrice kofaktoraelemenata matrice A.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

A∗ =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

T

Aij = (−1)i+ jM ij

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Teorem 2.

Svaka regularna matrica A ima inverznu matricu i vrijedi

A−1 = 1

det AA∗.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Teorem 2.

Svaka regularna matrica A ima inverznu matricu i vrijedi

A−1 = 1

det AA∗.

Dokaz. A

1

det AA∗

ij

= 1

det A

nk=1

aikAkj = δ ij

1det A

A∗A

ij

= 1det A

nk=1

Aikakj = δ ij

Stoga je zaista A 1d A A∗ = 1

d A A∗A = I odnosno

http://find/



Stoga je zaista A det A A det A A A I , odnosno

A−1 = 1det A A∗. ♥

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 23.

Odredite inverznu matricu matrice A = a b

c d uz uvjet da

je det A = 0.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 23.

Odredite inverznu matricu matrice A = a b

c d uz uvjet da

je det A = 0.

Rjesenje.

Izracunajmo kofaktore matrice A.

A11 = (−1)1+1|d| = d

A12 = (−1)1+2|c| = −c

A21 = (−1)2+1|b| = −b

A22 = (−1)2+2|a| = a

http://find/



Sada mozemo izracunati adjunktu matrice A.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

A∗ =

A11 A12

A21 A22

T

=

d −c

−b a

T

=

d −b

−c a

Stoga je

A−1 = 1

det AA∗ =

1

ad−

bc d −b

−c a

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Inverz regularne matrice reda 2 se lagano racuna.

A = a b

c d A−1

=

1

det A d

−b

−c a

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


A = a b

c d A−1

=

1

det A d

−b

−c a

Na glavnoj dijagonali elementi zamijene mjesta.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe


A = a b

c d A−1

=

1

det A d

−b

−c a

Na sporednoj dijagonali elementi ostaju na svome mjestu,

ali promijene predznak.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 24.

Odredite inverz matrice A = 2 3

1 5

.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 24.

Odredite inverz matrice A = 2 3

1 5

.

Rjesenje.

det A =

2 3

1 5

= 2 · 5 − 1 · 3 = 7

A−1 = 1

7

5 −3

−1 2

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 25.

Odredite inverz matrice A = 2 1 −13 0 23 1 2 .

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 25.

Odredite inverz matrice A =

2 1 −13 0 23 1 2

.

Rjesenje.

Najprije izracunamo determinantu matrice A.

det A = −7

Kako je det A = 0, matrica A ima inverznu matricu.

Zatim izracunamo kofaktore matrice A.

A11 = −2, A12 = 0, A13 = 3

A21 = −3, A22 = 7, A23 = 1

A31 = 2, A32 = −7, A33 = −3

http://find/



Ponovi postupak racunanja kofaktora

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Na kraju odredimo adjunktu matrice A.

A∗ =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

T

=−

2 0 3

−3 7 1

2 −7 −3

T

A∗ =

−2 −3 20 7 −7

3 1 −3

Stoga je

A−1 = 1

det AA∗ =

−1

7

−2 −3 2

0 7 −7

http://find/



3 1 −3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva Det

Minore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Napomena.

Racunanje inverza regularne matrice A po formuliA−1 = 1

det A A∗ je komplicirano ako je red matrice veci od

3. Naime, ako je A regularna matrica reda 4, tada bi za

racunanje inverza trebalo izracunati 16 determinanti

treceg reda, a ako bi A bila reda 5, tada bi trebalo

izracunati 25 determinanti cetvrtog reda, itd. Dakle,

gornja formula je korisna za teoretska razmatranja, ali za

prakticne svrhe je neupotrebljiva za matrice velikog reda

(cak vec za matrice reda 4).

Kasnije cemo vidjeti kako se efikasno racuna inverz

matrice reda veceg od 3 pomocu Gaussovog postupka

http://find/



matrice reda veceg od 3 pomocu Gaussovog postupka.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante

Svojstva DetMinore i kofaktori

Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Zadatak 6.

Neka je D = diag d1

, . . . , dn dijagonalna matrica reda

n.

a Uz koji uvjet je D regularna matrica?

b Dokazite da je D−1 = diag 1d1

, . . . , 1dn u slucaju da

je D regularna matrica.

Propozicija 8.

Za regularne matrice A i B istog reda vrijedi:

a

A−1−1

= A

b

AT −1

=

A−1T

c (AB)−1 = B−1A−1

http://find/



c (AB) = B A

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Dokaz.

a A−1A = AA−1 = I pa je A−1

−1

= A jer je inverzna

matrica jedinstvena.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Dokaz.


−1

= A jer je inverzna


b AA−1 = A−1A = I ⇒ AA−1

T =

A−1AT

= I T

⇒

A−1

T

AT = AT

A−1

T

= I

Zbog jedinstvenosti inverzne matrice slijedi da jeAT

−1=

A−1T

.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Dokaz.


−1

= A jer je inverzna


b AA−1 = A−1A = I ⇒ AA−1

T =

A−1AT

= I T

⇒

A−1

T

AT = AT

A−1

T

= I

Zbog jedinstvenosti inverzne matrice slijedi da jeAT

−1=

A−1T

.

c (AB) ·

B−1A−1

= A

BB−1

=I

A−1 = AA−1 = I

B−1A−1

· (AB) = B−1

A−1A

=I

B = B−1B = I

1 1 1

http://find/



Dakle, (AB)−1

= B−1

A−1

.♥

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Matricne jednadzbe

Matricne jednadzbe su jednadzbe u kojima se javljaju

poznate i nepoznate matrice. Rijesiti matricnu jednadzbu

znaci odrediti sve matrice koje ju zadovoljavaju.

Sjetimo se linearne jednadzbe ax = b s jednom

nepoznanicom x, gdje su a, b ∈ R.

a a = 0. Jednadzba ima jedinstveno rjesenje x = ba .

b a = 0, b = 0. Jednadzbu zadovoljavaju svi realni

brojevi.

c a = 0, b = 0. Jednadzba nema rjesenja.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Analogno mozemo promatrati i osnovne matricne

jednadzbe

AX = B i XA = B.

One nisu ekvivalentne jer mnozenje matrica nijekomutativno.

Ako je B nulmatrica, onda gornje jednadzbe zovemo

homogenim, a ako je B razlicita od nulmatrice, onda ih

zovemo nehomogenim jednadzbama.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Pretpostavimo da je A regularna matrica. Tada imamo

A−1 ·AX = B mnozenje slijeva s A−1A−1

AX

= A−1B

A−1AX = A−1B asocijativnostIX = A−1B

X = A−1B

Propozicija 9.

Ako je A regularna matrica, tada jednadzba AX = B

ima jedinstveno rjesenje X = A−1B.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Pretpostavimo da je A regularna matrica. Tada imamo

XA = B · A−1 mnozenje zdesna s A−1

XA

A−1 = BA−1

X AA−1 = BA−1 asocijativnostXI = BA−1

X = BA−1

Propozicija 10.

Ako je A regularna matrica, tada jednadzba XA = B

ima jedinstveno rjesenje X = BA−1.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

AX = B, det A = 0 ⇒ X = A−1B

XA = B, det A = 0 ⇒ X = BA−1

Vidimo da se u slucaju da je A regularna matrica

jednadzbe AX = B i BX = A ponasaju analogno kao ilinearna jednadzba ax = b u slucaju da je a = 0. Naime,

rjesenje te jednadzbe dobijemo tako da tu jednadzbu

podijelimo s a, odnosno pomnozimo s a−1. Kod

matricnih jednadzbi radimo istu stvar, samo sto je bitno s

koje strane mnozimo s A−1 zbog toga jer mnozenje

matrica nije komutativno. Oprez, ne dijelimo s A, nego

mnozimo s A−1 jer dijeljenje matrica nije definirano

http://find/



mnozimo s A jer dijeljenje matrica nije definirano.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Naravno, postavlja se pitanje rjesivosti jednadzbi

AX = B i XA = B

u slucaju da A nije regularna matrica ili jos opcenitije,

ako je A bilo koja matrica (ne nuzno kvadratna).

Specijalni slucaj tog problema obradit cemo u sljedecem

poglavlju o sustavima linearnih jednadzbi, gdje ce B biti

jednostupcana matrica (a onda mora biti i X

jednostupcana matrica).

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 26.

Rijesite matricnu jednadzbu AX + B = A2X + I ako je

A = 1 2

3 4

i B =

3 0−1 5

.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Primjer 26.

Rijesite matricnu jednadzbu AX + B = A2X + I ako je

A = 1 2

3 4

i B =

3 0−1 5

.

Rjesenje.

AX + B = A2X + I

AX − A2X = −B + I

A − A2

−1 ·A − A2

X = I − B

X =

A − A2−1(I − B)

X =

A − A2−1

(I − B) je rjesenje zadane matricne

jednadzbe jedino uz uvjet da je A A2 regularna

http://find/



−matrica.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

A

2

= 7 10

15 22 A − A

2

= −6

−8

−12 −18

I − B = −2 0

1 −4 A − A2

−1

= 1

12 −18 8

12 −6

X = A − A2−1

(I − B) =

1

12 −18 8

12 −6−2 0

1 −4

X = 1

12

44 −32

30 24

http://find/



−

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Jednadzba AX + XB = C

Jednadzba

AX + XB = C

ne moze se rijesiti pomocu inverzne matrice. Oprez, ne

mozemo izluciti X jer se uz matricu A nalazi s desne

strane, a uz matricu B s lijeve strane, a ne smijemo

mijenjati redoslijed jer mnozenje matrica nije

komutativno. Dakle,

(A + B)X = AX + BX = AX + XB

X (A + B) = XA + XB = AX + XB

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Takva jednadzba se rjesava tako da se odredi format

matrice X i u zadanu jednadzbu uvrsti matrica tog

formata s nepoznatim elementima. Izracuna se matrica

na lijevoj strani pa se nakon toga izjednace odgovarajuci

elementi matrice s lijeve i desne strane. Dobije se sustav

linearnih jednadzbi koji se rijesi.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Takva jednadzba se rjesava tako da se odredi format

matrice X i u zadanu jednadzbu uvrsti matrica tog

formata s nepoznatim elementima. Izracuna se matrica

na lijevoj strani pa se nakon toga izjednace odgovarajuci

elementi matrice s lijeve i desne strane. Dobije se sustav

linearnih jednadzbi koji se rijesi.

Primjer 27.

Rijesite matricnu jednadzbu 2 1

−3 4

X + X

1 0

−1 2

=

5 6

7 −3

.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

Rjesenje.

Matrica X mora biti tipa (2, 2), tj.

X =

a b

c d

,

gdje su a, b, c, d ∈ R nepoznati brojevi koje treba odrediti.

Uvrstimo to u jednadzbu i dobivamo

2 1

−3 4a b

c d + a b

c d 1 0

−1 2 = 5 6

7 −3 .

Mnozenjem matrica na lijevoj strani i zbrajanjem njihovih

produkata dobivamo

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Uvod

Definicija matrice

Specijalne matrice


Determinante


Laplaceov razvoj

Inverzna matrica

Matricne jednadzbe

3a − b + c 4b + d

−3a + 5c

−d

−3b + 6d

=

5 6

7

−3

Iz definicije jednakosti dvije matrice slijedi da mora biti

3a − b + c = 5

4b + d = 6

−3a + 5c − d = 7

−3b + 6d = −3

Rjesenje ovog sustava je a = 2518 , b = 139 , c = 4118 , d = 29 ,

pa je rjesenje zadane matricne jednadzbe matrica

X =

2518

139

http://find/



4118 29

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba

Sustav lin. jednadzbi

Rjesavanje – inv. matr.

Rjesavanje – DetDio IV

Sustavi linearnih jednadzbi

http://find/

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Sadrzaj

Sustavi lin. jednadzbiLinearna jednadzba


Rjesavanje sustava pomocu inverzne matrice


http://find/

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Linearna jednadzba

Znamo da jednadzba

ax = b

ima jedinstveno rjesenje x = ba uz uvjet da je a = 0.

Takvu jednadzbu zovemo linearna jednadzba s jednom

nepoznanicom.

U slucaju da je a = 0 i b = 0 ta jednadzba nema rjesenja,

a ako je a = b = 0, tada ima beskonacno mnogo rjesenja,

odnosno preciznije, svaki realni broj zadovoljava tu

jednadzbu.

http://find/

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Linearna jednadzba s dvije nepoznanice je jednadzba

oblika

ax + by = c,

gdje su a, b, c

∈R, a x, y su nepoznanice.

Rjesenje takve jednadzbe je svaki uredeni par (x0, y0)

realnih brojeva koji zadovoljava tu jednadzbu.

U slucaju da je a2 + b2

= 0 jednadzba ima beskonacno

mnogo rjesenja i sva ta rjesenja leze na pravcu

ax + by − c = 0.

http://find/

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 28.

Rijesite jednadzbu 2x + y = 3.

http://find/

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 28.

Rijesite jednadzbu 2x + y = 3.

Rjesenje.

Jednadzba ima beskonacno mnogo rjesenja koja leze na

pravcu 2x + y − 3 = 0. Za odabrani x, y = 3 − 2x.

Neka specijalna rjesenja: (1, 1), (2, −1), (−1, 5)

Drugim rijecima,

za x = 1 je y = 1

za x = 2 je y = −1za x = −1 je y = 5

Dakle, ovdje imamo jedan stupanj slobode, x biramo, ali

d i bi j j j 3 2

http://find/

http://find/



za y onda nema vise biranja jer je y = 3 − 2x.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

1 2 3 4−

1−

2−

3−

4

1

2

3

4

5

−1

−2

3

x

y

(1, 1)

(2,−1)

(−1, 5)

http://find/

http://find/



−3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Linearna jednadzba s tri nepoznanice je jednadzba

oblika

ax + by + cz = d,

gdje su a, b, c, d

∈R, a x, y, z su nepoznanice.

Rjesenje takve jednadzbe je svaka uredena trojka

(x0, y0, z0) realnih brojeva koja zadovoljava tu jednadzbu.

U slucaju da je a2 + b2 + c2 = 0 jednadzba ima

beskonacno mnogo rjesenja i sva ta rjesenja leze u ravnini

ax + by + cz − d = 0.

http://find/

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Napomena.

Kako sto jednadzba

Ax + By + C = 0, A2 + B2 = 0

predstavlja jednadzbu pravca u ravnini, tako i jednadzba

Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C 2 = 0

predstavlja jednadzbu ravnine u prostoru.

http://find/

http://goback/

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 29.

Rijesite jednadzbu 2x + 3y − z = −5.

http://find/

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 29.

Rijesite jednadzbu 2x + 3y − z = −5.

Rjesenje.

Jednadzba ima beskonacno mnogo rjesenja koja leze u

ravnini 2x + 3y − z + 5 = 0. Za odabrane x, y je

z = 2x + 3y + 5.Neka specijalna rjesenja: (0, 0, 5), (1, 0, 7), (2, −2, 3)

Drugim rijecima,

za x = 0 i y = 0 je z = 5

za x = 1 i y = 0 je z = 7

za x = 2 i y = −2 je z = 3

Dakle, ovdje imamo dva stupnja slobode, x i y biramo,

ali za z onda nema vise biranja jer je z 2x + 3y + 5

http://find/

http://find/



ali za z onda nema vise biranja jer je z = 2x + 3y + 5.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

-2

0

2x

-4

-2

0

2

y

-10

0

10

20

z

-2

0

http://find/

http://find/



x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Linearna jednadzba s n nepoznanica je izraz oblika

a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b

pri cemu su ai, i = 1, 2, . . . , n realni brojevi koji se zovu

koeficijenti varijabli, b ∈ R zovemo slobodni

koeficijent, a xi, i = 1, 2, . . . , n su nepoznanice.

Rjesenje ove jednadzbe je svaka uredena n-torka realnih

brojeva koja ju zadovoljava.

U slucaju da je a21 + a22 + · · · + a2n = 0 jednadzba imabeskonacno mnogo rjesenja i sva rjesenja leze u

hiperravnini a1x1 + a2x2 + · · · + anxn − b = 0 koja se

nalazi u Rn.

http://find/

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det


Na linearnu jednadzbu s dvije nepoznanice

ax + by = c

mozemo gledati kao na sustav od jedne linearne jednadzbe s dvije nepoznanice. Taj sustav ili uopce nema

rjesenja ili pak ima beskonacno mnogo rjesenja koja leze

na pravcu ax + by

−c = 0. Dakle, nemamo jedinstveno

rjesenje. Zasto? Intuitivno to mozemo objasniti na

sljedeci nacin: imamo dvije nepoznanice, a premalo

uvjeta da bismo imali i jedinstvenost rjesenja, tj. imamo

previse slobode u biranju

http://find/

http://find/



previse slobode u biranju.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Sto ako bismo imali da je broj jednadzbi jednak broju

nepoznanica. Onda na neki nacin mozemo ocekivati da

cemo mozda imati jedinstveno rjesenje jer je brojnepoznanica jednak broju jednadzbi pa nemamo neku

slobodu u biranju.

Pogledajmo sustav dvije linearne jednadzbe s dvije

nepoznanice

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Rjesenje tog sustava je svaki uredeni par realnih brojeva

koji zadovoljava obje jednadzbe. Sto mozemo reci o

rjesenjima tog sustava? Pogledajmo na primjerima sto se

sve moze dogoditi

http://find/

http://find/



sve moze dogoditi.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 30.

Rijesite sustav

x + y = 3

2x − y = 9

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 30.

Rijesite sustav

x + y = 3

2x − y = 9

Rjesenje.

Rjesenje tog sustava je x = 4, y = −1, tj. uredeni par

(4, −1). Dakle, ovaj sustav ima jedinstveno rjesenje.

Kako to mozemo geometrijski objasniti? Svaka od gornjih

jednadzbi predstavlja jednadzbu pravca, a ti pravci nisu

paralelni pa se sijeku, a to sjeciste je upravo rjesenje

naseg sustava.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

1 2 3 4 5 6−1−2

1

2

3

4

−

1

−2

x

y

(4,−

1)

x +

y = 3

2 x − y = 9

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Pridruzimo nasem sustavu

x + y = 3

2x − y = 9

tri determinante koje cemo oznaciti sa D, D1 i D2.

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det


1x + 1y = 3

2x − 1y = 9


D =

1 1

2 −1

Determinantu D zovemo determinanta sustava i u nju

pisemo brojeve koji stoje uz nepoznanice.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det


x + y = 3

2x − y = 9


D =

1 1

2 −1

D1 =

3 1

9 −1

Determinantu D1 dobijemo tako da prvi stupac u determi-

nanti D zamijenimo sa stupcem slobodnih clanova.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det


x + y = 3

2x − y = 9


D =

1 1

2 −1

D1 =

3 1

9 −1

D2 =

1 3

2 9

Determinantu D2 dobijemo tako da drugi stupac u deter-

minanti D zamijenimo sa stupcem slobodnih clanova.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det


x + y = 3

2x − y = 9


D =

1 1

2 −1

D1 =

3 1

9 −1

D2 =

1 3

2 9

Interesantno je da vrijedi

x = D1

D =

−12

−3 = 4, y =

D2

D =

3

−3 = −1

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 31.

Rijesite sustav

x + 2y = 2

3x + 6y = 18

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 31.

Rijesite sustav

x + 2y = 2

3x + 6y = 18

Rjesenje.

Ovaj sustav nema rjesenja. Kako to mozemo geometrijski

objasniti? Svaka od gornjih jednadzbi predstavlja

jednadzbu pravca, a ti pravci su paralelni pa nemaju

zajednickih tocaka pa zbog toga gornji sustav nema

rjesenja.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

1 2 3 4 5 6 7−1−2

1

2

3

4

−1

−2

x

y

x + 2 y =

2

3 x + 6 y =

1 8

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Pridruzimo li sustavu

x + 2y = 2

3x + 6y = 18

njegove tri determinante D, D1 i D2, dobivamo

D =

1 2

3 6

= 0 D1 =

2 2

18 6

= −24 D2 =

1 2

3 18

= 12

Ovdje nam D = 0 sugerira da nemamo jedinstveno

rjesenje (zapravo uopce nema rjesenja) jer sada ne

mozemo pisati x = D1D i y = D2

D jer u nazivniku ne smije

biti 0.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 32.

Rijesite sustav

x + 2y = 2

3x + 6y = 6

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 32.

Rijesite sustav

x + 2y = 2

3x + 6y = 6

Rjesenje.

Ovaj sustav ima beskonacno mnogo rjesenja koja leze na

pravcu x + 2y − 2 = 0. Kako to mozemo geometrijski

objasniti? Svaka od gornjih jednadzbi predstavlja

jednadzbu istog pravca jer se druga jednadzba dobije takoda se prva pomnozi sa 3. Dakle, zapravo imamo samo

jednu jednadzbu jer druga nam ne daje nikakve nove

informacije koje ne bismo mogli dobiti i iz prve

jednadzbe.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

1 2 3 4 5 6 7−1−2

1

2

3

4

−1

−2

x

y

x + 2 y =

2

3 x + 6 y =

6

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Pridruzimo li sustavu

x + 2y = 2

3x + 6y = 6

njegove tri determinante D, D1 i D2, dobivamo

D =

1 2

3 6

= 0 D1 =

2 2

6 6

= 0 D2 =

1 2

3 6

= 0

D = 0 nam sugerira da nemamo jedinstvenost rjesenja, a

D1 = D2 = 0 nam bi trebalo sugerirati da imamo

beskonacno mnogo rjesenja. Oprez: To nije opcenito

tako.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Primjer 33.

Rijesite sustav

0 · x + 0 · y = 0

0 · x + 0 · y = 7

Rjesenje.

Sustav je ocito kontradiktoran i vrijedi da je

D = 0 0

0 0 = 0 D1 = 0 0

7 0 = 0 D2 = 0 0

0 7 = 0

I u ovom je slucaju D = D1 = D2 = 0, ali je sustav

kontradiktoran.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Sada mozemo opcenito reci sve o rjesenjima sustava

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Na vec prije opisani nacin sustavu pridruzimo trideterminante

D = a1 b1

a2 b2 D1 = c1 b1

c2 b2 D2 = a1 c1

a2 c2Razlikujemo tri slucaja.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

a D = 0. U tom slucaju sustav ima jedinstveno rjesenje

x = D1

D , y = D2

D .

To se lagano provjeri uvrstavanjem u jednadzbe

sustava.

b D = 0 i barem jedan od brojeva D1 i D2 je razlicit od

nule. U tom slucaju sustav nema rjesenja.

c D = D1 = D2 = 0. U tom slucaju sustav ili ima

beskonacno mnogo rjesenja ili nema uopce rjesenja.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Vidjeli smo na jednostavnim primjerima da u slucaju da je

broj jednadzbi jednak broju nepoznanica ne moramo imati

jedinstveno rjesenje. Dapace, rjesenje ne mora uopce

postojati.

Mogli bismo sada na slican nacin promatrati sustav tri

linearne jednadzbe s tri nepoznanice.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2 (♣)

a3x + b3y + c3z = d3

Medutim, diskusija bi ovdje bila kompliciranija pa cemo

samo pogledati dva interesantna slucaja koja cemo

geometrijski interpretirati. Opcenitu diskusiju cemo

provesti kasnije.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Sto bi geometrijski znacilo da sustav (

♣) ima jedinstveno

rjesenje? Svaka od jednadzbi u (♣) predstavlja jednadzbu

ravnine u prostoru pa ako (♣) ima jedinstveno rjesenje to

znaci da tri ravnine imaju samo jednu zajednicku tocku.

Za takve ravnine kazemo da cine snop ravnina u prostoru.

Moze se dogoditi da (♣) ima beskonacno mnogo rjesenja

koja pripadaju istom pravcu u prostoru, tj. zadane

ravnine bi se sjekle po nekom pravcu. Za takve ravninekazemo da pripadaju istom pramenu ravnina u prostoru.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Snop ravnina

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Pramen ravnina

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Linearna jednadzba



Rjesavanje – Det

Zadatak 7.

Komentirajte geometrijski sve moguce slucajeve koji se

mogu dogoditi kod (♣) na slican nacin kao sto smo

komentirali kod sustava dvije linearne jednadzbe s dvije

nepoznanice. Tamo smo promatrali sve moguce polozaje

dvaju pravaca u ravnini, a ovdje treba promatrati sve

moguce polozaje triju ravnina u prostoru. Dva polozaja

smo vec komentirali, snop i pramen ravnina. Promotrite

preostale polozaje i komentirajte kako to utjece narjesenje sustava (♣).

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Sustav m linearnih jednadzbi s n

nepoznanica

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2(♠

)...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

Koeficijenti aij, bi su realni brojevi za i = 1, 2, . . . , m,

j = 1, 2, . . . , n. Koeficijent aij pripada j-toj varijabli u

i-toj jednadzbi, a bi je slobodni koeficijent u i-toj

jednadzbi.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Rjesenje sustava m linearnih jednadzbi s n nepoznanica

je svaka uredena n-torka realnih brojeva (r1, r2, . . . , rn)

koja uvrstavanjem u sustav tako da je xi = ri,

i = 1, 2, . . . , n zadovoljava sve jednadzbe sustava.

S obzirom na rjesivost sustav (♠) moze biti:

a Odreden – ima jedinstveno rjesenje

b Neodreden – ima beskonacno mnogo rjesenja

c Kontradiktoran – nema rjesenja

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Sustavu (

♠) pridruzit cemo tri matrice:

Matrica sustava – to je matrica tipa (m, n) u kojoj

se nalaze koeficijenti uz nepoznanice

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

... ...

... ...

am1

am2 · · ·

amn

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Matrica nepoznanica – to je matrica tipa (n, 1) u

kojoj se nalaze nepoznanice

X =

x1

x2

...

xn

Matrica slobodnih koeficijenata – to je matrica

tipa (m, 1) u kojoj se nalaze slobodni koeficijenti

B =

b1

b2

...

bm

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Uz ovakve oznake sustav (♠) mozemo napisati u

matricnom obliku

AX = B.

Radi jednostavnosti, uvjerimo se na jednom konkretnom

primjeru da je to zaista istina.

Primjer 34.

Zapisite u matricnom obliku sustav

2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = 7

−9x1 + x2 + 6x3 + 8x4 = −3

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Rjesenje.

Ovo je sustav od dvije linearne jednadzbe s cetiri

nepoznanice.

A =

2 4 −1 5

−9 1 6 8

X =

x1

x2

x3

x4

B =

7

−3

Uvrstimo ove matrice u matricnu jednadzbu AX = B.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

AX = B

2 4 −1 5

−9 1 6 8

x1

x2

x3

x4

= 7

−3

2x1 + 4x2 − x3 + 5x4

−9x1 + x2 + 6x3 + 8x4

= 7

−3

Iz jednakosti dviju matrica slijedi da mora biti

2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = 7

−9x1 + x2 + 6x3 + 8x4 = −3,

a to je zapravo zadani sustav.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Rjesavanje sustava pomocu inverzne

matrice

U ovom cemo dijelu pokazati kako se rjesava sustav od n

linearnih jednadzbi sa n nepoznanica (broj jednadzbi je

jednak broju nepoznanica) pomocu inverzne matrice.

Znamo da taj sustav mozemo zapisati u matricnom obliku

AX = B.

Kako je broj jednadzbi jednak broju nepoznanica, matrica

sustava A je kvadratna i reda je n.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

U slucaju da je matrica A regularna, sustav ima

jedinstveno rjesenje

X = A−1B.

U slucaju da je matrica A singularna, tada sustav ima

beskonacno mnogo rjesenja ili nema uopce rjesenja. Sto

se tocno dogada u tom slucaju reci cemo kasnije.

Pomocu inverzne matrice mogu se rjesavati samo sustavi

u kojima je broj jednadzbi jednak broju nepoznanica i cija

je matrica sustava regularna.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Primjer 35.

Pomocu inverzne matrice rijesite sustav

2u + 3v = 5−5u + v = 7

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Primjer 35.


2u + 3v = 5−5u + v = 7

Rjesenje.

A =

2 3

−5 1

X =

u

v

B =

5

7

X = A−1B = 117

1 −35 2

57

=−

1617

3917

Dakle, u = −1617 , v = 39

17

M i k d

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Primjer 36.


2a + b − c = 0

3a + 2c = 12

3a + b + 2c = 11

M t tiˇk t d

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Primjer 36.


2a + b − c = 0

3a + 2c = 12

3a + b + 2c = 11

Rjesenje.

A =

2 1 −13 0 2

3 1 2

X =

ab

c

B =

012

11

Matematicke metode

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

X = A−1B = 1

−7

−2 −3 2

0 7 −7

3 1 −3

0

12

11

=

2

−1

3

Dakle,

a = 2, b = −1, c = 3

Matematicke metode

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det


U ovom dijelu cemo pokazati kako se rjesava sustav od n

linearnih jednadzbi sa n nepoznanica pomocu

determinanti.

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 · A11

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

· A21

...

an1

x1

+ an2

x2

+· · ·

+ ann

xn

= bn ·

An1

Pomnozimo redom pripadne jednadzbe s kofaktorima

prvog stupca pripadne matrice sustava A. Zbrajanjem

dobivamo

Matematicke metode

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

a11A11 + a21A21 +

· · ·+ an1An1 x1 +

a12A11 + a22A21 + · · · + an2An1

x2 + · · · +

+ a1nA11 + a2nA21 + · · · + annAn1 xn =

= b1A11 + b2A21 + · · · + bnAn1

Matematicke metode

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

a11A11 + a21A21 +

· · ·+ an1An1

=det Ax1 +

a12A11 + a22A21 + · · · + an2An1

=0

x2 + · · · +

+ a1nA11 + a2nA21 + · · · + annAn1 =0

xn =

= b1A11 + b2A21 + · · · + bnAn1

Oznacimo li sa D = det A determinantu matrice sustava,a sa D1 determinantu matrice koju dobijemo iz matrice

A tako da prvi stupac zamijenimo s elementima jednos-

tupcane matrice slobodnih koeficijenata B, tj.

Matematicke metode

http://find/



t t c to

za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

D1 =

b1

a12 · · ·

a1n

b2 a22 · · · a2n

... ...

...

bn a2n · · · ann

dobivamo da je

Dx1 = D1.

Opcenito, ako pomnozimo sve jednadzbe zadanog sustava

s kofaktorima elemenata i-tog stupca matrice sustava A i

zatim ih zbrojimo, dobit cemo

Matematicke metode

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Dxi = Di, ()

gdje je Di determinanta matrice koju dobijemo tako da se

i-ti stupac matrice A zamijeni s jednostupcanom

matricom B.

Pravilo () zovemo Cramerovim pravilom i ono semoze koristiti da bi se rijesio sustav linearnih jednadzbi u

kojemu je broj jednadzbi jednak broju nepoznanica i

D = 0.

Slucajevi koji mogu nastupiti kod rjesavanja sustava n

linearnih jednadzbi s n nepoznanica pomocu determinanti

su:

Matematicke metode

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

1 D = 0. Tada je sustav odreden i vrijedi

xi = DiD

, i = 1, 2, . . . , n

2 D = 0. Tada postoje sljedece mogucnosti:

a ∃i, i ∈ {1, 2, . . . , n}, Di = 0. Sustav je kontradiktoran.

b Di = 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}. Tada vrijedi jedno od

sljedeceg:

i Sustav je neodreden

ii Sustav je kontradiktoran

Matematicke metode

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Dakle, u slucaju da je

D = D1 = D2 =

· · · = Dn = 0

samo Cramerovo pravilo nije dovoljno da bismo mogli

zakljuciti da li je sustav neodreden ili kontradiktoran.

Odgovor na to pitanje u potpunosti daje

Kronecker-Capellijev teorem kojeg cemo kasnije obraditi.

Cramerovo pravilo

1

D = 0. Sustav ima jedinstveno rjesenje xi =

Di

D2 D = 0

a ∃i, Di = 0. Sustav je kontradiktoran.

b Di = 0, ∀i. Sustav je ili neodreden ili kontradiktoran

Matematicke metode

C il ( 3)

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Cramerovo pravilo (n=3)

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Matematicke metode

C il ( 3)

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det


a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

D = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Matematicke metode

Cramero o pra ilo (n 3)

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det


a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

D = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

D1 = b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

Matematicke metode

l liCramerovo pravilo (n 3)

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det


a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

D = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

D1 = b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

D2 = a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

Matematicke metode

l liCramerovo pravilo (n=3)

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det


a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

D = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

D1 = b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

D2 = a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

D3 = a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

Matematicke metode

a poslo ne anali eCramerovo pravilo (n=3)

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det


a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

D = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

D1 = b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

D2 = a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

D3 = a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

x1 =

D1

D , x2 =

D2

D , x3 =

D3

D

Matematicke metode

za poslovne analize

Primjer 37.

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Pomocu determinanti rijesite sustav

8x1 + x2 + x3 = 1

−2x1 + 4x2 + 6x3 = 23x1 + 6x2 + 9x3 = 5

Matematicke metode

za poslovne analize

Primjer 37.

http://find/



za poslovne analize


Hunjak




Rjesavanje – Det

Pomocu determinanti rijesite sustav

8x1 + x2 + x3 = 1

−2x1 + 4x2 + 6x3 = 23x1 + 6x2 + 9x3 = 5

Rjesenje.

D =

8 1 1−2 4 6

3 6 9

= 12 D1 =1 1 12 4 6

5 6 9

= 4

D2 =

8 1 1−2 2 6

3 5 9

= −76 D3 =

8 1 1−2 4 2

3 6 5

= 56

x1

= D1

D =

1

3, x

2 =

D2

D =

−19

3 , x

3 =

D3

D =

14

3

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/

http://goback/



za poslovne analize


Hunjak

Realne funkc. realne var

Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Eksponencijalna funkc.

Logaritamska funkc.

Domene

Transformacija grafa

Funkcijski model

Dio V


Matematicke metode

za poslovne analizeSadrzaj

http://find/



za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Sadrzaj


Definicija funkcije

Klasifikacija realnih funkcija realne varijable


Inverzna funkcija



Logaritamska funkcija

Domene realnih funkcija realne varijableTransformacija grafa funkcije

Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analizeDefinicija funkcije

http://find/



p


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Definicija funkcije

Neka su A i B neprazni skupovi. Neka je svakom

elementu a ∈ A pridruzen jedan i samo jedan element

b ∈ B. Kaze se da je tim pridruzivanjem definiranafunkcija f : A → B i pisemo f (a) = b.

Skup A zove se domena ili podrucje definicije funkcije

f , a skup B kodomena funkcije f .

Domenu funkcije f cemo cesto oznacavati sa Df .

Matematicke metode

za poslovne analizeDefinicija funkcije

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Funkcija je preslikavanje izmedu dva skupa (domene i

kodomene) koje svakom elementu prvog skupa (domene)

pridruzuje jedan i samo jedan element drugog skupa

(kodomene).

Napomena.

Funkcija je specijalni pojam relacije. Kod relacije je bilo

dozvoljeno da se neki a ”preslika” u vise razlicitih b-ova,

npr. kod relacije ”biti prijatelj” moguce je da neki a ima

vise prijatelja. Kod funkcije to nije dozvoljeno, npr.

sjetimo se kvadriranja, broju 3 se pridruzuje broj 9, tj.

32 = 9 i ne moze biti nista drugo, tj. ne moze 32 biti

jednak jos nekom drugom broju razlicitom od 9.

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/

http://goback/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

A Bf

a

b

c

1

2

3

4

f je relacija koju mozemo zapisati kao

f = (a, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 4), f

⊆ A

×B

f nije funkcija jer se elementu a iz domene pridruzuju dva

elementa (1 i 2) iz kodomene, a to se kod funkcije ne

smije dogoditi

Matematicke metode

za poslovne analizeA Bf

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

A Bf

a

b

c

1

2

3

4

f : A → B je funkcija

f (a) = 1, f (b) = 1, f (c) = 3

Dakle, kod funkcije je dozvoljeno da se dva razlicita

elementa preslikaju u isti (npr., kod kvadriranja −3 i 3 se

preslikaju u 9), samo se ne smije jedan element preslikati

u dva razlicita.

Matematicke metode

za poslovne analize

Napomena

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Napomena.

Ako je ρ ⊆ A × B neka binarna relacija, tada nam oznaka

a ρ b oznacava da je element a ∈ A u relaciji ρ selementom b ∈ B . Kako je funkcija specijalni slucaj

relacije, mogli bismo u slucaju da je f ⊆ A × B funkcija

pisati a f b, sto bi nam znacilo da se a preslikava u b.

Medutim, kod funkcije je za svaki a ∈ A, element b ∈ B jedinstveno odreden pa taj jedinstveno odredeni element

oznacavamo s f (a), tj. umjesto a f b pisemo f (a) = b.

Kod relacije taj zapis nije moguc jer iz a ρ b ne slijedi da je b jedinstven, moze biti vise b-ova s kojima je a u

relaciji, pa onda ρ(a) nema smisla jer ne znamo koji od

tih b-ova on oznacava.

Matematicke metode

za poslovne analize

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Ponekad umjesto

f (a) = b

pisemo

a f −→ b

ili samo

a → b

kada je iz konteksta jasno o kojoj se funkciji radi ili ako

promatranoj funkciji nismo dali nikakvo ime.

Matematicke metode

za poslovne analizeSlika funkcije

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

j

Neka je f : A

→ B funkcija. Slika funkcije f je skup

Im f =

f (x) : x ∈ A ⊆ B.

Jednostavno receno, slika funkcije f su svi elementi iz

kodomene koji su ”pogodeni”, tj. u koje se netko

preslikao iz domene.

A Bf

a

b

c

1

2

3

4

Im f =1, 3

Matematicke metode

za poslovne analizeZadavanje funkcije

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Funkcija je zadana ako je zadana njezina domena,

kodomena i pravilo pridruzivanja (postupak pomocu kojeg

se svakom elementu domene pridruzuje jedan i samo

jedan element kodomene).

Funkcije se mogu zadati:

numericki (pomocu tablice)

graficki (pomocu grafa)

algebarski (pomocu formule)

Matematicke metode

za poslovne analizeAlgebarski zadanu funkciju ponekad pisemo i u obliku

http://find/

http://goback/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

jednadzbe, npr. funkciju f (x) = x2 pisemo i kao y = x2.

U tom slucaju varijablu x zovemo nezavisnom

varijablom (nju biramo kako hocemo u domeni), a y

zovemo zavisnom varijablom (nju vise ne mozemo

birati, nego ju moramo izracunati prema navedenom

pravilu na temelju odabranog x).

Napomena.

Razlikujte f od f (x). Naime, f je ime funkcije, a f (x) je

element iz kodomene u kojeg se preslikao element x iz

domene preko pravila f .

Npr., sin je ime funkcije sinus, a sin x je realni broj, tj.

vrijednost sinusa na realnom broju x.

Matematicke metode

za poslovne analize

N

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Napomena.

Najcesce pisemo, npr. sin x, a preciznije bi bilo da pisemo

sin(x) (kao opcenito f (x)), medutim iz estetskih razlogazagrade ispustamo. Ista stvar je i kod drugih

elementarnih funkcija koje znamo.

Naravno, kod sin (x + 2) ne smijemo ispustiti zagrade jer

opcenito su sin (x + 2) i sin x + 2 razliciti brojevi, tj.

sin(x + 2) = sin x + 2.

U prvom slucaju se uzima sinus od broja x + 2, a u

drugom se uzima sinus broja x, a zatim se tako

dobivenom broju dodaje broj 2.

Matematicke metode

za poslovne analizeNapomena.

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Nezavisnu varijablu mozemo nazvati kako hocemo, tj.

f (x) = x2, f (u) = u2, f (t) = t2, . . .

oznacavaju jedno te isto pravilo pridruzivanja, samo sto

su nezavisne varijable oznacene razlicitim slovima, ali to

nista ne utjece na samo pravilo, odnosno funkciju.

Isto tako, ime pravila (funkcije) ne utjece na samo

pravilo, tj.

f (x) = x

2

, g(x) = x

2

, kvadrat(x) = x

2

oznacavaju jedno te isto pravilo pridruzivanja, samo sto

su ta pravila (funkcije) nazvane razlicitim imenima jer

npr., f (3) = 9, g(3) = 9, kvadrat(3) = 9.

Matematicke metode

za poslovne analizeJednakost funkcija

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Najcesce funkciju poistovjecujemo s njezinim pravilom

pridruzivanja, ali treba uvijek imati na umu da je funkcija

zadana ako je zadana njezina domena, kodomena i pravilo

pridruzivanja.

Jednakost funkcija

Dvije funkcije su jednake ako imaju jednake domene, jed-

nake kodomene i jednako pravilo pridruzivanja.

Matematicke metode

za poslovne analize

Funkcije

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Funkcije

f : R → R, f (x) = x2

i

g : [0, 20] → R, g(x) = x2

nisu jednake jer nemaju jednake domene, iako imaju

jednako pravilo pridruzivanja (sto bi nas moglo navesti nazakljucak da su to iste funkcije).

Intuitivno si razliku izmedu ovih dviju funkcija mozemo

tumaciti na nacin da funkcija f zna kvadrirati svaki realni

broj, a funkcija g zna kvadrirati samo one realne brojeve

koji se nalaze izmedu 0 i 20, a preostale brojeve ne zna

kvadrirati jer to nije jos ”naucila”.

Matematicke metode

za poslovne analize

F k ij

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Funkcije

f : R → R, f (x) = sin x

i

g : R → R, g(x) = sin (x + 2π)

su jednake jer imaju jednake domene, kodomene, ali i

pravilo pridruzivanja jer je sin (x + 2π) = sin x.

Dakle, opcenito treba biti oprezan. Mozda pravila

pridruzivanja na prvi pogled mogu izgledati razlicito, a da

su zapravo jednaka kao sto je to slucaj ovdje (samo sto toovdje nije bilo tesko otkriti, a opcenito to ne mora biti

tako lagano).

Matematicke metode

za poslovne analizeRealne funkcije realne varijable

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Realna funkcija realne varijable je funkcija cija su

domena i kodomena podskupovi skupa realnih brojeva, tj.

f : A →

B, A, B ⊆

R.

Naravno, mi cemo promatrati realne funkcije na nekom

intervalu od R (domena nece biti bilo kakvi podskup od

R) zato da bismo mogli definirati sve one lijepe stvari

vezane za funkcije (limes, derivaciju, odredeni i

neodredeni integral).

Matematicke metode

za poslovne analize

f

Graf funkcije

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Graf realne funkcije realne varijable je skup tocaka

ravnine

Γf =

(x, f (x)) : x ∈ Df

gdje je sa Df oznacena domena funkcije f .

x

y

x

f (x)

Γf

Matematicke metode

za poslovne analize

f d Tih i

Klasifikacija realnih funkcija realne

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

varijable

realne funkcije realne varijable

algebarske

racionalne iracionalne

transcedentne

eksponencijalne

logaritamske

trigonometrijske

ciklometrijske...

Matematicke metode

za poslovne analize

of d sc Tihomi

Realnu funkciju zovemo algebarskom ako je argument x

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

podvrgnut konacnom broju algebarskih operacija

(zbrajanje, oduzimanje, mnozenje, dijeljenje, potenciranje

racionalnim brojem).

Realne funkcije koje nisu algebarske zovemo

transcedentnima.

Funkcija

f (x) =3√

x − 2 + 5x

2x8 − 4

je algebarska, dok je funkcija

g(x) = cos√

x + 2

transcedentna.

Matematicke metode

za poslovne analize

prof dr sc TihomirRacionalna funkcija je algebarska funkcija u kojoj se

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

j j g j j j

javlja potenciranje samo sa cijelim brojem (nema

korijena).Algebarske funkcije koje nisu racionalne zovemo

iracionalnima.

Funkcija

f (x) =3√

x − 2 + 5x

2x8 − 4

je iracionalna, dok je funkcija

g(x) = x3 − 7x2 + 3x − 2

racionalna.

Matematicke metode

za poslovne analize

prof dr sc TihomirPolinom n-tog stupnja je funkcija oblika

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

g p j j j

f (x) = anxn + an

−1xn−1 +

· · ·+ a2x2 + a1x + a0

gdje su a0, a1, . . . , an−1, an ∈ R, n ∈ N, an = 0.

Dobro su nam poznati polinomi prvog stupnja

f (x) = ax + b

i polinomi drugog stupnja

f (x) = ax2 + bx + c

ciji grafovi su pravci, odnosno parabole.

Matematicke metode

za poslovne analize


http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Sada kada smo definirali polinome, slijedi da je

racionalna funkcija kvocijent dva polinoma, tj. to je

funkcija oblika

f (x) = P (x)

Q(x)

gdje su P i Q polinomi i Q = 0 (Q nije nulpolinom).

Ako je stupanj polinoma u brojniku strogo manji od

stupnja polinoma u nazivniku, tada takvu racionalnu

funkciju zovemo prava racionalna funkcija.

Matematicke metode

za poslovne analize


Specijalni slucaj racionalne funkcije je homografska

funkcija koja je oblika

http://find/




Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

f (x) = ax + b

cx + d

gdje se u brojniku i nazivniku nalaze polinomi prvog

stupnja. Njezin graf je oblika

x

y

−d

c

a

c

Matematicke metode

za poslovne analize


http://find/



p

Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Graf homografske funkcije se nalazi u prvom i trecem

”crtkanom” kvadrantu, odnosno u drugom i cetvrtom

”crtkanom” kvadrantu, ovisno o tome da li homografska

funkcija pada ili raste. Detalje o tome zasto graf izgleda

tako kako je nacrtan vidjet cemo kada naucimo derivacije.

Matematicke metode

za poslovne analize



http://find/



Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Neka su f : A → B i g : B → C dvije funkcije.

Kompozicija funkcija f i g je funkcija

g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g

f (x)

.

AB

C

x

f (x)g(f (x))

f g

g ◦ f

Matematicke metode

za poslovne analize

prof. dr. sc. TihomirDakle, kompozicija se sastoji od dva preslikavanja:

http://find/



Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

DomeneTransformacija grafa

Funkcijski model

Dakle, kompozicija se sastoji od dva preslikavanja:

x →

f (x)

i

f (x) → g

f (x)

Da bismo dosli od elementa x do elementa gf (x)trebale su nam dvije funkcije. Prvo funkcija f preslikava

x u f (x), a zatim taj dobiveni f (x) funkcija g preslikava

u gf (x). Medutim, mi zelimo direktno doci od

elementa x do elementa g

f (x)

, a to mozemo upravo

preko funkcije g ◦ f koja element x preslikava u g

f (x)

.

Matematicke metode

za poslovne analize

prof. dr. sc. TihomirIdentiteta na skupu A je preslikavanje

http://find/



Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

id

A

: A

→ A, id

A

(x) = x.

Za sve funkcije f : C → A i g : A → B vrijedi

idA

◦f = f, g ◦ idA

= g.

Pokazimo da je idA ◦f = f . Zapravo treba dokazati

jednakost dvije funkcije. Po definiciji dvije su funkcije

jednake ako imaju jednake domene, jednake kodomene i

jednaka pravila pridruzivanja. Iz definicije kompozicijeslijedi da je idA ◦f : C → A, pa funkcije idA ◦f i f imaju

jednake domene i kodomene.

Matematicke metode

za poslovne analize


http://find/



Hunjak


Definicija funkcijeKlasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

S druge strane, iz definicije funkcije idA i definicije

kompozicije slijedi

(idA

◦f )(x) = idA

(f (x)) = f (x), ∀x ∈ C

pa funkcije idA ◦f i f imaju i jednaka pravila

pridruzivanja. Stoga je zaista idA ◦f = f .

Matematicke metode

za poslovne analize


http://find/



Hunjak




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

Napomena.

Ne mozemo komponirati bilo koje dvije funkcije. Da bi

kompozicija g ◦ f bila moguca mora vrijediti da je

Im f ⊆ Dg, gdje je sa Dg oznacena domena funkcije g.

Naime, u g

◦f prvo djeluje funkcija f i ona neki element

x iz svoje domene preslika u element f (x) koji se naravno

nalazi u Im f . Medutim, ako taj f (x) nije u domeni

funkcije g, tada funkcija g nece znati djelovati na njega

pa kompozicija g ◦ f nece biti moguca.

Matematicke metode

za poslovne analize


Primjer 38.

Zadane su funkcije

http://find/



Hunjak




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

f : R

→R, f (x) =

−x2

g : [0, ∞ → R, g(x) = √ x.

Da li je definirana kompozicija g ◦ f ?

Matematicke metode

za poslovne analize


H j k

Primjer 38.

Zadane su funkcije

http://find/



Hunjak




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

f : R

→R, f (x) =

−x2

g : [0, ∞ → R, g(x) = √ x.


Rjesenje.

(g ◦ f )(x) = g

f (x)

Funkcija f realni broj x preslikava u broj

−x2. No, broj

−x2 je manji od nule pa funkcija g ne zna na njega

djelovati jer on nije u njezinoj domeni (imali bismo korijen

iz negativnog broja). Stoga kompozicija g ◦ f nije

definirana

Matematicke metode

za poslovne analize


H j k

Primjer 39.

Zadane su funkcije

http://find/



Hunjak




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

f : [3, 5] → R, f (x) = x2

g : [0, 1] → R, g(x) = x2.


Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Primjer 39.

Zadane su funkcije

http://find/



Hunjak




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

f : [3, 5] → R, f (x) = x2

g : [0, 1] → R, g(x) = x2.


Rjesenje.

(g ◦ f )(x) = g

f (x)

Funkcija f realni broj x ∈ [3, 5] preslikava u broj

x2 ∈ [9, 25]. Sada bi na taj broj x2 morala djelovati

funkcija g koja bi ga jos jednom morala kvadrirati.

Medutim, kako je x2 ∈ [9, 25], funkcija g ga ne zna

kvadrirati jer ona zna samo kvadrirati brojeve izmedu

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

0 i 1. Stoga kompozicija g ◦ f nije definirana.

http://find/



Hunjak




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

Za razliku od prethodnog slucaja kada smo imali korijen

iz negativnog broja i nismo mogli nista napraviti dalje,ovdje bismo mogli formalno broj x2 jos jednom kvadrirati

jer mi znamo kvadrirati svaki realni broj. Medutim, iako

mi to znamo, funkcija g to ne zna (ona zna samo

kvadrirati brojeve izmedu 0 i 1). Njezina ”domena

znanja” je samo kvadriranje brojeva izmedu 0 i 1 pa

moramo imati odredenog respekta prema ”njezinom

znanju” i ne mozemo ju onda tjerati da radi nesto sto ne

zna, usprkos tome sto se to mozda moze i sto mi znamo

kako to napraviti.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Primjer 40.

Zadane su funkcije

http://find/

http://goback/



Hunjak




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

Zadane su funkcije

f : [3, 5] → R, f (x) = x2

g : [0, 24] → R, g(x) = x2.


Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Primjer 40.

Zadane su funkcije

http://find/



Hunjak




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

j

f : [3, 5] → R, f (x) = x2

g : [0, 24] → R, g(x) = x2.


Rjesenje.

(g ◦ f )(x) = gf (x)Funkcija f realni broj x ∈ [3, 5] preslikava u broj

x2 ∈ [9, 25]. Sada bi na taj broj x2 morala djelovati

funkcija g koja bi ga jos jednom morala kvadrirati.

Matematicke metode

za poslovne analize


HunjakSada razlikujemo dva slucaja:

http://find/



j




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

Sada razlikujemo dva slucaja:

Ako je x ∈ 3,

√ 24 , tada je x2

∈ [9, 24] pa ce

funkcija g znati kvadrirati broj x2

Ako je x ∈ √ 24, 5

, tada je x2 ∈ 24, 25] pa

funkcija g nece znati kvadrirati broj x2 jer ona zna

kvadrirati samo brojeve izmedu 0 i 24

Dakle, u ovom slucaju kompozicija g ◦ f nece biti

definirana na citavoj domeni [3, 5] funkcije f , nego samo

na jednom njezinom dijelu, tocnije na [3, 4] jer samo za

takve x, funkcija g zna djelovati na f (x).

Matematicke metode

za poslovne analize


HunjakNapomena.

http://find/



j




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

p

Prethodna tri primjera su nam pokazala koliko je bitna

domena kod kompozicije funkcija i koliko je bitno na

funkciju gledati u cijelosti, tj. uvazavati njezinu domenu i

kodomenu, a ne samo gledati pravilo pridruzivanja.

Najcesce kod rjesavanja zadataka to zanemarujemo, tj.

ne obracamo posebnu paznju na to (pretpostavljamo da

su domena i kodomena takve da na njima kompozicija

postoji), nego nam je samo bitno da pronademo pravilo

pridruzivanja kompozicije, ali pritom treba imati na umunavedene stvari iz prethodnih primjera.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Primjer 41.

Za funkcije f (x) =√

x + 1 i g(x) = 1x+2 nadite

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

j f ( ) g( ) x+2

(a) (g ◦ f )(x), (b) (f ◦ g)(x),

(c) (f ◦ f )(x), (d) (g ◦ g)(x).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Primjer 41.



http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

( ) ( ) x+2

(a) (g ◦ f )(x), (b) (f ◦ g)(x),(c) (f ◦ f )(x), (d) (g ◦ g)(x).

Rjesenje.(g ◦ f )(x) = g

f (x)

= g

√ x + 1

= 1√

x+1+2



Hunjak

Primjer 41.



http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

x+2



f (x)

= g

√ x + 1

= 1√

x+1+2

(f ◦ g)(x) = f

g(x)

= f

1x+2

=

1x+2 + 1 =

x+3x+2



Hunjak

Primjer 41.



http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

+



f (x)

= g

√ x + 1

= 1√

x+1+2

(f ◦ g)(x) = f

g(x)

= f

1x+2

=

1x+2 + 1 =

x+3x+2

(f ◦ f )(x) = f

f (x)

= f √ x + 1

= √ x + 1 + 1



Hunjak

Primjer 41.



http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model



f (x)

= g

√ x + 1

= 1√

x+1+2

(f ◦ g)(x) = f

g(x)

= f

1x+2

=

1x+2 + 1 =

x+3x+2

(f ◦ f )(x) = f

f (x)

= f √ x + 1

= √ x + 1 + 1

(g ◦ g)(x) = g

g(x)

= g

1x+2

= 1

1x+2

+2 = x+2

2x+5



Hunjak

Iz prethodnog primjera primijecujemo da opcenito ne

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

Iz prethodnog primjera primijecujemo da opcenito ne

vrijedi komutativnost kompozicije funkcija, tj.

f ◦ g = g ◦ f.

Medutim, asocijativnost kompozicije funkcija vrijedi, tj.

(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)

naravno uz pretpostavku da su odgovarajuce kompozicije

definirane.



Hunjak

Inverzna funkcija

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

Kao sto smo vec spomenuli, funkciju cestopoistovjecujemo s njezinim pravilom koje nam govori na

koji nacin varijabli x pridruzujemo varijablu y. Pitamo se

da li u tom slucaju postoji pravilo koje nam govori na koji

nacin varijabli y natrag pridruziti varijablu x. To nas

dovodi do pojma inverzne funkcije.

y = f (x) ? x = g(y)

Da bismo precizno definirali taj pojam potrebni su nam

prije toga jos neki pojmovi vezani uz funkcije.



HunjakD K

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

f

g

x = g(y) y = f (x)

y = f (x) ? x = g(y)

Pogledajmo najprije jedan primjer da nam bude jasnije o

cemu se radi. Promotrimo funkciju f (x) = 3x. Ona

realnom broju x pridruzuje realni broj 3x. Pitamo se da li

postoji funkcija g koja ce tom realnom broju 3x pridruziti

natrag realni broj x.



Hunjak

Oznacimo y = f (x). U nasem slucaju je y = 3x. Dakle,

funkcija f realnom broju x pridruzuje realni broj y na

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

gore opisani nacin. Mi se zapravo pitamo da li postoji

funkcija g koja ce raditi ”obrnuto”, tj. koja ce realnom

broju y pridruziti natrag realni broj x.

x f −→ y y

g−→ x

Pogledamo li jednakost y = 3x, ona nam zapravo govori

na koji nacin funkcija f realnom broju x pridruzuje realni

broj y (dakle, x biramo, a y racunamo na temelju

odabranog x). Mi bismo htjeli iz te jednakosti saznati na

koji nacin izracunati x ako biramo y pa bismo na taj

nacin dobili funkciju g.



HunjakZapravo iz jednakosti y = 3x treba izraziti x pomocu y,

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

sto ovdje nije tesko (opcenito to ne mora biti tako

lagano). Dobivamo da je x = 13 y, pa je g(y) = 1

3 y.

Naravno, mozemo sve ovo zaboraviti i pisati g(x) = 13 x

(nezavisnu varijablu mozemo nazvati kako hocemo).

f : R → R, f (x) = 3x

g : R → R, g(x) = 1

3x

Funkcije f i g su medusobno inverzne jer npr., ako je

f (1) = 3, tada je g(3) = 1 i obrnuto.



Hunjak

f R R f ( ) 3

http://goforward/

http://find/

http://goback/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

f : R → R, f (x) = 3x

g : R → R, g(x) = 13

x

(f

◦g)(x) = f g(x) = f 1

3 x = 3

· 13 x = x = id

R

(x)

(g ◦ f )(x) = g

f (x)

= g(3x) = 13 · 3x = x = id

R

(x)

f

◦g = id

R

g ◦ f = idR



HunjakFunkcija f : D → K je injekcija ako razlicite elemente

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

domene preslikava u razlicite elemente kodomene, tj. ako

vrijedi

∀x1, x2 ∈ D, x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2)

Napravimo li kontrapoziciju, dobivamo analognu definicijuinjektivnosti funkcije f

∀x1, x2 ∈ D, f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

koju cesce koristimo kod dokazivanja injektivnosti.



HunjakFunkcija f : D → K je surjekcija ako je Im f = K , tj.

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

ako su svi elementi u kodomeni ”pogodeni”.

Drugim rijecima, ako uzmemo bilo koji element y ∈ K iz

kodomene, postoji barem jedan element x ∈ D iz domene

koji se u njega preslikao. Matematicki zapisano

∀y ∈ K, ∃x ∈ D, f (x) = y

Funkcija f : D

→ K je bijekcija ako je injekcija i

surjekcija.



Hunjak

D K f

a 1

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

a

b

c

2

3

4

Funkcija f nije injekcija jer je f (a) = f (b) = 1 (razlicite

elemente nije preslikala u razlicite elemente).

Funkcija f nije surjekcija jer je Im f =

{1, 3

} = K (nisu

svi elementi u kodomeni ”pogodeni”).

Jasno, funkcija f nije ni bijekcija.



Hunjak

D K f

a 1

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

b

c

2

3

4

Funkcija f je injekcija (razlicite elemente domene

preslikava u razlicite elemente kodomene).

Funkcija f nije surjekcija jer je Im f =

{1, 2, 3

} = K

(nisu svi elementi u kodomeni ”pogodeni”).

Jasno, funkcija f nije bijekcija jer nije surjekcija.



Hunjak

D K f

a 1

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Funkcijski model

b

c

2

Funkcija f nije injekcija jer je f (a) = f (b) = 1 (razlicite

elemente nije preslikala u razlicite elemente).

Funkcija f je surjekcija jer je Im f = K (svi elementi u

kodomeni su ”pogodeni”).

Jasno, funkcija f nije bijekcija jer nije injekcija.



Hunjak

D K f

a 1

http://find/






Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

b

c

2

3

Funkcija f je injekcija (razlicite elemente domene

preslikava u razlicite elemente kodomene).

Funkcija f je surjekcija jer je Im f = K (svi elementi u

kodomeni su ”pogodeni”).

Jasno, funkcija f je bijekcija jer je injekcija i surjekcija.



HunjakO postojanju inverzne funkcije govori sljedeci teorem.

http://find/




Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Teorem 3.Za funkciju f : D → K koja je bijekcija postoji inverzna

funkcija f −1 : K → D za koju vrijedi

f ◦ f −1

= idK , f −1

◦ f = idD .

Dakle, funkcija f : D → K ima inverznu funkciju jedino u

slucaju da je bijekcija. U tom slucaju njezinu inverznu

funkciju oznacavamo s f −1.



HunjakD K

http://find/




Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

f

f −1

x y

f : D → K, f −1 : K → D

f (x) = y ⇔ f −1(y) = x



Hunjak

D K f

a 1

http://find/




Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

b

c

2

Zasto funkcija koja je surjekcija, a nije injekcija nema

inverznu funkciju? Pogledamo li gornji primjer, vidimo da

je f (a) = f (b) = 1. Sada je problem odluciti se koliko je

f −1

(1). Vracamo li se natrag, bilo f −1

(1) = a if −1(1) = b, tj. broj 1 bi se preslikao u dva razlicita

elementa pa f −1 nije funkcija.



Hunjak

R l f k l

D K f

a 1

http://find/




Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

b

c

2

3

4

Zasto funkcija koja je injekcija, a nije surjekcija nema

inverznu funkciju? Pogledamo li gornji primjer vidimo da

se problem javlja kod elemenata u kodomeni koji nisu

”pogodeni” pa ih f −1

nema kome pridruziti. Konkretno,u gornjem primjeru je problem koliko je f −1(4) jer se u 4

nitko nije preslikao pa ga f −1 nema kome vratiti natrag.



Hunjak

R l f k l

Drugi korijen

f : R → R, f (x) = x2

f k ( )2 2

http://find/




Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

f nije injekcija jer npr. (

−3)2 = 32

f nije surjekcija jer nisu svi brojevi u kodomeni

pogodeni. Negativni brojevi nisu ”pogodeni” jer je

x2 0

f nije bijekcija pa nema inverznu funkciju

-3 -2 -1 1 2 3x

2

4

6

8

y



Hunjak

Realne funkc realne var

g : R → [0, ∞, g(x) = x2

g nije injekcija jer npr. (−3)2 = 32

http://find/




Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

g je surjekcija jer su svi brojevi u kodomeni”pogodeni” (uocite da je sada kodomena skup

[0, ∞).

g nije bijekcija pa nema inverznu funkciju

-3 -2 -1 1 2 3x

2

4

6

8

y



Hunjak


h : [0, ∞ → R, h(x) = x2

h je injekcija (uocite da su iz domene izbaceni

)

http://find/




Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

negativni brojevi)

h nije surjekcija jer nisu svi brojevi u kodomeni

pogodeni. Negativni brojevi nisu ”pogodeni” jer je

x2 0

h nije bijekcija pa nema inverznu funkciju

-1 1 2 3x

2

4

6

8

y



Hunjak


k : [0, ∞ → [0, ∞, k(x) = x2

http://find/




Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

k je injekcija (uocite da su iz domene izbaceninegativni brojevi)

k je surjekcija (uocite da su iz kodomene izbaceni

negativni brojevi)

k je bijekcija pa ima inverznu funkciju

Inverznu funkciju funkcije k zovemo drugi korijen i

oznacavamo s√

.

k−1 : [0, ∞ → [0, ∞, k−1(x) =√

x



Hunjak


4

y

f (x) = x2

http://find/




Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x

-1

1

2

3

f −1(x) =√

x



Hunjak


Napomena.

Mozemo si postaviti sljedece pitanje. Znamo da je

32 = 9, ali isto tako je i (−3)2 = 9. Ako je drugi korijen

inverzna funkcija od kvadriranja, zasto je onda√

9 = 3, a

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

j j j

zasto nije √ 9 = −3? To je upravo malo prije bila stvarnaseg dogovora. Kvadriranje nije bijekcija na citavoj

svojoj domeni, ali ako uzmemo za domenu samo

nenegativne brojeve (desnu granu parabole), tada je

kvadriranje bijekcija i ima inverznu funkciju. To je bila

ona nasa funkcija

k : [0, ∞ → [0, ∞, k(x) = x2

Naravno da je onda

k−1 : [0, ∞ → [0, ∞, k−1(x) =√

x

pa je drugi korijen iz pozitivnog broja pozitivan broj.



Hunjak


Naravno, nitko nam nije branio da uzmemo lijevu granu

parabole, tj. da za domenu kvadriranja uzmemo

negativne brojeve pa bismo promatrali funkciju

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

k1 : −∞, 0] → [0, ∞, k1(x) = x2

I ova funkcija je bijekcija pa ima inverznu funkciju

k1 : [0, ∞ → −∞, 0], k−1

1 (x) = √ xkoju smo mogli nazvati drugim korijenom i u tom bi

slucaju bilo√

9 = −3.

Medutim, mi smo odabrali onu prvu opciju (vjerojatno jersvi vise volimo plus, nego minus) pa se onda moramo od

sada pa na dalje drzati tog dogovora. Dakle, drugi korijen

iz pozitivnog broja je pozitivan broj.



Hunjak


Inverzna funkcija

Ako je funkcija f bijekcija, tada ona ima inverznu funkciju

f−1 Grafovi od f i f−1 simetricni su s obzirom na pravac

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

f . Grafovi od f i f simetricni su s obzirom na pravac

y = x.

Primjer 42.

Dokazite da je funkcija f : R→R, f (x) = 2 3

√ x + 1

bijekcija i odredite joj inverznu funkciju.



Hunjak


Inverzna funkcija

Ako je funkcija f bijekcija, tada ona ima inverznu funkciju

f−1 Grafovi od f i f−1 simetricni su s obzirom na pravac

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

f . Grafovi od f i f simetricni su s obzirom na pravac

y = x.

Primjer 42.

Dokazite da je funkcija f : R→R, f (x) = 2 3

√ x + 1

bijekcija i odredite joj inverznu funkciju.

Rjesenje.

Da bismo dokazali da je f bijekcija, trebamo dokazati da

je injekcija i surjekcija.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


injektivnost

f (x1) = f (x2)

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

2 3

√ x1 + 1 = 2 3

√ x2 + 1 · 12

3√

x1 + 1 = 3√

x2 + 1 3

x1

+ 1 = x2

+ 1

x1 = x2

Dakle, dobili smo da

∀x1, x2 ∈ R, f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

iz cega slijedi da je f injekcija.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


surjektivnost

http://find/

http://goback/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Treba dokazati da je Im f = R, tj. da su svi elementi ukodomeni ”pogodeni”. Neka je y ∈ R proizvoljan element

iz kodomene. Pitamo se da li postoji x ∈ R iz domene

takav da je f (x) = y, odnosno da je 2 3√

x + 1 = y. U

biti, y smo izabrali, a trebamo pronaci x koji ce se

preslikati u odabrani y. Zapravo trebamo na neki nacin x

izraziti pomocu odabranog y.

Krecemo od toga da mora vrijediti f (x) = y, tj.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


f (x) = y

2 3√

x + 1 = y3

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

2√

x + 1 y 8(x + 1) = y3

x = 18 y3 − 1

Sada imamo

f (x) = f

18 y3 − 1

= 2 3

18 y3 − 1 + 1 = 2 3

18 y3 = y.

Dakle, za odabrani y ∈ R iz kodomene, broj 18 y3 − 1 iz

domene ce se preslikati u broj y. Dakle, f je zaista

surjekcija.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


D fi i ij f k ij

inverzna funkcija

Zapravo smo vec inverznu funkciju pronasli u toku dokaza

surjektivnosti funkcije f . Zbog preglednosti ipak cemo

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

postupak opet ponoviti. Dakle, pokazali smo da je f bijekcija pa ima inverznu funkciju f −1 koju cemo pronaci

tako da iz jednadzbe y = f (x) izrazimo x pomocu y pa

cemo onda dobiti x = f −1(y).

f (x) = y

2 3√

x + 1 = y

3

8(x + 1) = y3

x = 18 y3 − 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


D fi i ij f k ij

Stoga je f −1(y) = 18 y3 − 1. Naravno, mozemo nezavisnu

varijablu nazvati sa x, pa je f −1(x) = 18 x3 − 1.

Napomena.

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Za svaki k ∈ Z \ {0} vrijedi

x2k = y2k ⇔ x = ±y

x

2k+1

= y

2k+1

⇔ x = y

Treba biti oprezan s parnim potencijama. Specijalno iz

x2 = y2 ne slijedi da su brojevi x i y jednaki, nego da su

do na predznak jednaki. S neparnim potencijama nematih problema jer iz npr., x3 = y3 slijedi da mora biti

x = y.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Od ovog trenutka promatramo samo realne funkcije

realne varijable pa to vise necemo posebno naglasavati

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

realne varijable pa to vise necemo posebno naglasavati.

Nultocka funkcije f je svaki broj x0 ∈ R za koji je

f (x0) = 0.

x

y

x0

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Za funkciju f kazemo da je omedena odozgo akopostoji M ∈ R takav da je f (x) M za svako x ∈ Df .

To zapravo znaci da se graf funkcije f nalazi ispod pravca

y = M .

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

y

x

y

M

Najmanja gornja meda funkcije f je najmanji realni broj

M koji je gornja meda funkcije f .

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Za funkciju f kazemo da je omedena odozdo akopostoji m ∈ R takav da je f (x) m za svako x ∈ Df .

To zapravo znaci da se graf funkcije f nalazi iznad pravca

y = m.

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

y

x

y

m

Najveca donja meda funkcije f je najveci realni broj m

koji je donja meda funkcije f .

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Za funkciju f kazemo da je omedena ako je omedena

odozgo i odozdo, tj. postoje m, M ∈ R takvi da je

m f (x) M za svako x ∈ Df . To zapravo znaci da se

http://find/



Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

graf funkcije f nalazi izmedu pravaca y = m i y = M .

x

y

m

M

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Za funkciju f kazemo da raste na intervalu I ⊆ Df ako

vrijedi

http://find/



j j

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

∀x1, x2 ∈ I x1 < x2 ⇒ f (x1)

f (x2)Za funkciju f kazemo da strogo raste na intervalu

I ⊆ Df ako vrijedi

∀x1, x2 ∈ I

x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

Jednostavno receno, rastuce funkcije cuvaju znak

nejednakosti.

Uglavnom cemo za strogo rastuce funkcije govoriti kratko

da su rastuce jer cemo najvise samo takve i gledati.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

y

http://find/



j j

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

x

x2

f (x2)

x1

f (x1)

f strogo raste

x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

y

http://find/



Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

xx2x1

f (x1) = f (x2)

f raste, ali ne raste strogo

x1 < x2 ⇒ f (x1) f (x2)

ne mozemo uvijek postici strogu nejednakost kao sto se

vidi sa slike

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Za funkciju f kazemo da pada na intervalu I ⊆ Df ako

vrijedi

x1, x2 I x1 < x2 f (x1) f (x2)

http://find/



Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

∀ ∈ ⇒ Za funkciju f kazemo da strogo pada na intervalu

I ⊆ Df ako vrijedi

∀x1, x2 ∈ I x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)Jednostavno receno, padajuce funkcije preokrecu znak

nejednakosti.

Uglavnom cemo za strogo padajuce funkcije govoriti

kratko da su padajuce jer cemo najvise samo takve i

gledati.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

y

http://find/



Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

x

x1

f (x1)

x2

f (x2)

f strogo pada

x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

y

http://find/



Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene

Transformacija grafaFunkcijski model

xx1 x2

f (x1) = f (x2)

f pada, ali ne pada strogo

x1 < x2 ⇒ f (x1) f (x2)

ne mozemo uvijek postici strogu nejednakost kao sto se

vidi sa slike

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Monotona funkcija

Funkciju koja raste, odnosno pada, na cijelom podrucju

definicije zovemo monotonom funkcijom.

http://find/



KlasifikacijaKompozicija funkcija

Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Okolina realnog broja x0 je svaki otvoreni interval koji

sadrzi realni broj x0.

ε-okolina realnog broja x0 je interval x0 − ε, x0 + ε.

x0 x0

_ x0 +

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Kazemo da funkcija f ima lokalni maksimum u tocki

xM

ako unutar domene funkcije f postoji okolina O tocke

xM

takva da je na toj okolini f (xM

) najveca vrijednost

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


funkcije f , tj.

f (x) f (xM

), ∀x ∈ O.

Kazemo da funkcija f ima strogi lokalni maksimum utocki x

M ako unutar domene funkcije f postoji okolina O

tocke xM

takva da je na toj okolini f (xM

) strogo najveca

vrijednost funkcije f , tj.

f (x) < f (xM

), ∀x ∈ O \ {xM

}.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Kazemo da funkcija f ima lokalni minimum u tocki xm

ako unutar domene funkcije f postoji okolina O tocke xm

takva da je na toj okolini f (xm) najmanja vrijednost

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


funkcije f , tj.

f (x) f (xm), ∀x ∈ O.

Kazemo da funkcija f ima strogi lokalni minimum utocki xm ako unutar domene funkcije f postoji okolina O

tocke xm takva da je na toj okolini f (xm) strogo

najmanja vrijednost funkcije f , tj.

f (x) > f (xm), ∀x ∈ O \ {xm}.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Strogi lokalni minimum i maksimum

y

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


x

xm

f (xm)

xM

f (xM

)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Kl ifik ij

Lokalni maksimum koji nije strogi

y

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


x

xM

f (xM )

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Kl ifik ij

Lokalni minimum koji nije strogi

y

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


x

xm

f (xm)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Kl sifik ij

Lokalni ekstremiJednom rijecju lokalne minimume i lokalne maksimume

funkcije f zovemo lokalnim ekstremima funkcije f .

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Napomena.

Ako u nekoj tocki funkcija ima lokalni maksimum, to ne

znaci da u toj tocki funkcija poprima najvecu vrijednost

globalno, moze se dogoditi da u nekim drugim tockama

poprima vece vrijednosti, ali na nekoj dovoljno maloj

okolini te tocke to je najveca vrijednost. Dakle, rijec

”lokalni” je ovdje jako bitna. Ista stvar je i za lokalniminimum. Intuitivno si to mozemo tumaciti na sljedeci

nacin.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija

Ako je netko najbolji nogometas u Hrvatskoj, to ne mora

znaciti da je on najbolji nogometas na svijetu, nego da je

on samo lokalno najbolji (tj. najbolji u svojoj zemlji

( k li i))

http://find/

http://goback/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


(okolini)).

Za funkciju f kazemo da je periodicna ako

∃ T ∈ R \ {0}, f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ Df

Za realni broj T kazemo da je period funkcije f .

Najmanji pozitivni realni broj T 0 za kojeg to vrijedizovemo osnovnim periodom funkcije f .

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija

Osnovni period funkcije f (x) = sin x je 2π. Brojevi

. . . , −4π, −2π, 4π, 6π , . . . su takoder periodi funkcije

sinus, samo nisu osnovni.

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


3 Π 2 Π

3 Π

2

Π

Π

2

Π

2Π 3 Π

2

2Π 3 Π

x

-1

-0.5

0.5

1

y

sin(x + 2kπ) = sin x, k ∈ Z

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija

Za funkciju f kazemo da je parna ako vrijedi

x ∈ Df ⇒ −x ∈ Df

f ( ) f ( ) ∀ ∈ Df

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


f (−x) = f (x), ∀x ∈ Df

Graf parne funkcije je osno simetrican s obzirom na y-os.

Za funkciju f kazemo da je neparna ako vrijedi

x ∈ Df ⇒ −x ∈ Df

f (−x) = −f (x), ∀x ∈ Df

Graf neparne funkcije je centralno simetrican s obziromna ishodiste.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija

Najpoznatiji primjeri parnih funkcija su:

potencije s parnim eksponentima:

f (x) = x2k, k ∈ Z

trigonometrijska funkcija kosinus: f (x) cos x

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


trigonometrijska funkcija kosinus: f (x) = cos x

apsolutna vrijednost: f (x) = |x|

Najpoznatiji primjeri neparnih funkcija su:potencije s neparnim eksponentima:

f (x) = x2k+1, k ∈ Z

trigonometrijska funkcija sinus: f (x) = sin x

trigonometrijska funkcija tangens: f (x) = tg x

trigonometrijska funkcija kotangens: f (x) = ctg x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija4

5

y

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


-3 -2 -1 1 2 3 x

1

2

3

4

x8

x6

x4

x2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija

5

y

x4

x2

http://find/

http://goback/



jKompozicija funkcija

Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


-3 -2 -1 1 2 3x

1

2

3

4

x8

x6

x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija

f (x) = |x|

4

y

http://find/



jKompozicija funkcija

Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


-3 -2 -1 1 2 3x

1

2

3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

KlasifikacijaK i ij f k ij

4

5

y

x3

x

http://find/

http://goback/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


-3 -2 -1 1 2 3 x

-3

-2

-1

1

2

3

x7

x5

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

KlasifikacijaK i ij f k ij

4

5

y

x

3

x1

4

5

y

x

3

x1

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


-3 -2 -1 1 2 3 x

-3

-2

-1

1

2

3

x7

x5

-3 -2 -1 1 2 3 x

-3

-2

-1

1

2

3

x7

x5

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije



Funkciju f : R → 0, ∞ oblika

f (x) = ax

a > 0 a = 1

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


f (x) a , a > 0, a 1

zovemo eksponencijalnom funkcijom s bazom a.

Svojstva eksponencijalne funkcije

a0 = 1, tj. graf svake eksponencijalne funkcije

prolazi kroz tocku (0, 1)

ax > 0, tj. graf eksponencijalne funkcije uvijek je

iznad x-osi

x-os je horizontalna asimptota eksponencijalne

funkcije

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Ako je a > 1, tada eksponencijalna funkcija f (x) = ax

raste na citavoj domeni.

4

5

y

2x

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


-3 -2 -1 1 2 3 x

-3

-2

-1

1

2

3

4

10x

5x

ex

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Ako je 0 < a < 1, tada eksponencijalna funkcija

f (x) = ax pada na citavoj domeni.

4

5

y

2

3 x

http://find/

http://goback/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


-3 -2 -1 1 2 3 x

-3

-2

-1

1

2

3

4

1

5 x

1

3

x

1

2

x

3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


a > 1, f (x) = ax strogo raste

ax ay ⇔ x y

0 1 f ( ) x d

http://find/




Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


0 < a < 1, f (x) = ax strogo pada

ax ay ⇔ x y

Jos neka svojstva eksponencijalne funkcije

ax · ay = ax+y

ax

ay = ax−yaxy

= axy

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Kazemo da velicina y(x) eksponencijalno raste ako

vrijedi

y(x) = y0ekx

gdje je k pozitivna realna konstanta i y(0) = y0 pocetna

vrijednost.

http://find/



p j j

Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


j

Kazemo da velicina y(x) eksponencijalno pada ako

vrijedi

y(x) = y0e−kx

gdje je k pozitivna realna konstanta i y(0) = y0 pocetna

vrijednost.

Baza prirodnog logaritma

e ≈ 2.71828 · · ·

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Krivulja ucenja je dana jednadzbom

q (t) = B − Ae−kt

gdje su A, B, k pozitivne realne konstante. Ime krivulje

dolazi iz psihologije, a posljedica je zapazanja da ovakva

krivulja dobro opisuje ovisnost efikasnosti izvodenja

http://find/



p j j

Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


krivulja dobro opisuje ovisnost efikasnosti izvodenja

zadataka o kolicini poduke ili iskustva koje osoba

posjeduje.

B

B −A

t

q (t)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Logisticka krivulja je dana jednadzbom

q (t) = B1 + A Bkt

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


q( )1 + Ae−Bkt

gdje su A, B, k pozitivne realne konstante. Kad se

populacija nalazi u uvjetima u kojima postoji gornja

granica do koje populacija moze rasti, ona raste u skladu

s logistickom krivuljom. Sirenje epidemija (ili ogovaranja)

u drustvu se isto opisuju logistickom krivuljom.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Logisticka krivulja

B

q (t)

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


B

1+A

t

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Logaritamska funkcija

Inverznu funkciju eksponencijalne funkcije

g : R → 0, ∞, g(x) = ax

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


nazivamo logaritamskom funkcijom

f : 0, ∞ → R, f (x) = loga x

gdje je a > 0 i a = 1.

loga b = c ⇔ ac

= baloga x = x

loga ax = x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Svojstva logaritama

loga 1 = 0

loga a = 1

log x

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


aloga x = x

loga ax = x

loga (xy) = loga x + loga y, x, y > 0

logaxy = loga x − loga y, x, y > 0

loga x p = p loga x, p

∈R, x > 0

loga x = logb xlogb a

loga b = 1logb a

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


Napomena.U svojstvu

loga (xy) = loga x + loga y

bitno je da su brojevi x i y veci od nule. Na primjer,

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


log3

− 2 · (−5)

= log3 10

i on se moze izracunati, no primijenimo li gornje svojstvo

dobivamo

log3

− 2 · (−5)

= log3 (−2) + log3 (−5),

a brojevi na desnoj strani ne postoje jer logaritam nije

definiran za negativne brojeve. Dakle, zato je vazno da su

brojevi x i y veci od nule jer u protivnom to svojstvo ne

vrijedi. Slicna su objasnjenja za preostala svojstva.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


I f k ij

Ako je a > 1, tada logaritamska funkcija f (x) = loga x

raste na citavoj domeni.

8

y

l

log2x

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

2 4 6 8 10

x

-2

2

4

6

logx

log5x

lnx

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije


I f k ij

Ako je 0 < a < 1, tada logaritamska funkcija

f (x) = loga x pada na citavoj domeni.

6

y

log x

log 2 3x

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

2 4 6 8 10x

-4

-2

2

4

log 1 5x

log 1 3x

log 1 2x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

a > 1, f (x) = loga x strogo raste

loga x loga y ⇔ x y

0 1 f ( ) l d

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

0 < a < 1, f (x) = loga x strogo pada

loga x loga y ⇔ x y

Standardne oznake za dvije baze logaritma

ln x = loge x

log x = log10 x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Domene realnih funkcija realne varijableIako smo do sada cijelo vrijeme govorili kako je domena

funkcija jako bitna, u vecini situacija domenu eksplicitno

ne navodimo i tada se podrazumijeva da je domena

najveci skup realnih brojeva x za koje f (x) ima smisla (u

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

j p j j f ( ) (

slucaju realnih funkcija realne varijable). Takva se

domena naziva i prirodnom domenom.

Na primjer, ako samo kazemo

”zadana je funkcija f (x) = x2”,

tada se podrazumijeva da je njezina domena skup R, tj.

njezina prirodna domena. Kada se kod rjesavanja

zadataka trazi da se nade domena neke funkcije, zapravo

se misli da se odredi njezina prirodna domena.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Domena racionalne funkcije f (x) = P (x)Q(x)

Df =

x ∈ R : Q(x) = 0

Domena iracionalne funkcije f (x) =

2k g(x), k ∈ N

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Df =

x ∈ R : g(x) 0

Domena logaritamske funkcije f (x) = loga g(x)

Df =

x ∈ R : g(x) > 0

Domena ciklometrijskih funkcija f (x) = arcsin g(x) i

f (x) = arccos g(x)

Df =

x ∈ R : −1 g(x) 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Primjer 43.Odredite domene sljedecih funkcija:

a) f (x) = 3x−12x+1 b) g(x) =

√ x − 3

c) h(x) = log x2

−x

−2 d) k(x) = arccos x−1

2

http://find/



Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija


a) f (x) = 3x−12x+1 b) g(x) =

√ x − 3

c) h(x) = log x2

−x


2

Rjesenje

http://find/



c j

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Rjesenje.

a) Nazivnik mora biti razliciti od nule, tj. 2x + 1 = 0,

odnosno x

= −1

2 . Stoga je domena jednaka

Df = R \ −12

.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija


a) f (x) = 3x−12x+1 b) g(x) =

√ x − 3

c) h(x) = log x2

−x


2

Rjesenje

http://find/



j

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Rjesenje.

a) Nazivnik mora biti razliciti od nule, tj. 2x + 1 = 0,

odnosno x

= −1

2 . Stoga je domena jednaka

Df = R \ −12

.

b) Pod korijenom mora biti broj veci ili jednak od nule, tj.

x−

3 0, odnosno x 3. Stoga je domena jednaka

Dg = [3, ∞.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

c) Izraz u logaritmu mora biti strogo veci od nule, tj.

x2 − x − 2 > 0. Treba rijesiti kvadratnu nejednadzbu koja

se rjesava tako da se prvo rijesi kvadratna jednadzba da bi

se nasle nultocke kvadratnog polinoma p(x) = x2

−x

−2

ciji graf je parabola koja je okrenuta prema gore.

http://find/

http://goback/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

5

10

15

y

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Sa slike vidimo da je parabola iznad x-osi, tj.

x2 − x − 2 > 0

kada jex ∈ −∞ −1 ∪ 2 ∞

http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

x ∈ ∞, 1 ∪ 2, ∞.

Stoga je domena jednaka

Dh = −∞, −1 ∪ 2, ∞.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Sa slike vidimo da je parabola iznad x-osi, tj.

x2 − x − 2 > 0

kada jex ∈ −∞, −1 ∪ 2, ∞.

http://find/

http://goback/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

x ∈ ∞, 1 ∪ 2, ∞.


Dh = −∞, −1 ∪ 2, ∞.

d) Domena arkus kosinusa je segment [−1, 1] pa mora biti

−1 x

−1

2 1.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

U biti treba rijesiti dvije nejednadzbe x−12 −1 i

x−12 1. Rjesenje prve je x −1, a rjesenje druge je

x 3. Kako moraju vrijediti oba uvjeta, treba nacipresjek tih rjesenja pa se dobiva da je

http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

presjek tih rjesenja pa se dobiva da je

x ∈ [−1, 3].


Dk = [−1, 3].

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Primjer 44.

Odredite domenu funkcije

f (x) =

x2 − 9 + 3√

x − 1 − 2

x2 − x − 2.

http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

S j f k ij

Primjer 44.


f (x) =

x2 − 9 + 3√

x − 1 − 2

x2 − x − 2.

Rjesenje.Imamo dva uvjeta

http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

j

x2 − 9 0

x2

−x

−2

= 0

Treci korijen je definiran za svaki realni broj pa na njega

nemamo nikakve uvjete. Rjesenje prvog uvjeta je

x ∈ −∞, −3] ∪ [3, ∞,

a rjesenje drugog x = −1 i x = 2. Stoga je domena

Df = −∞, −3] ∪ [3, ∞.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

S j t f k ij

Primjer 45.


f (x) = 4

log 1

8(x2 − x − 2).

http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

S ojst a f nkcija

Primjer 45.


f (x) = 4

log 1

8(x2 − x − 2).

Rjesenje.

http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Imamo dva uvjeta

x2 − x − 2 > 0 (zbog logaritma)

log 18 (x2 − x − 2) 0 (zbog cetvrtog korijena)

Moraju vrijediti oba uvjeta pa svaki uvjet rijesimo

posebno i na kraju nademo presjek njihovih rjesenja. Prvi

uvjet smo vec prije rijesili i njegovo rjesenje je

x ∈ −∞, −1 ∪ 2, ∞. (∗)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Sada rjesavamo drugi uvjet.

log 18

x2 − x − 2

0

log 1

8 x2

−x

−2 log 1

8

1

x2 − x − 2 1

http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

x2 − x − 3 0

Kad smo logaritam ispustili promijenili smo znak

nejednakosti jer je baza logaritma manja od jedan, a

znamo da je onda u tom slucaju logaritamska funkcija

padajuca (padajuce funkcije preokrecu znaknejednakosti). Preostaje nam jos rijesiti kvadratnu

nejednadzbu x2 − x − 3 0.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

-4 -3 -2 1 3 4x

-10

-5

5

10

15

y

1

13

2

1

13

2

http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Sa slike vidimo da je rjesenje te nejednadzbe

x ∈

1−√ 132 , 1+

√ 13

2

(∗∗)

Da bi oba uvjeta bila zadovoljena, treba naci presjek

rjesenja (∗) i (∗∗). Dobivamo

x ∈

1−√ 132 , −1

∪

2, 1+√

132

.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Stoga je domena funkcije f jednaka

Df =

1−√ 132 , −1

∪

2, 1+√ 132

.

http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Df =

1−√ 132 , −1

∪

2, 1+√ 132

.

Primjer 46.


http://find/



Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

g(x) = 7

sin(x2 + 3) − 5

√ arctg x.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Df =

1−√ 132 , −1

∪

2, 1+√ 132

.

Primjer 46.


http://find/



j j


Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

g(x) = 7

sin(x2 + 3) − 5

√ arctg x.

Rjesenje.Kako su funkcije peti korijen, sedmi korijen, sinus i arkus

tangens definirane za svaki realni broj i izrazi koji se

javljaju u njima su takoder definirani za svaki realni broj

slijedi da je domena funkcije g jednaka

Dg = R.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Primjer 47.

Ispitajte parnost sljedecih funkcija:

a) f (x) = x2

|x

| b) g(x) = x−1

x+1

c) h(x) = sin x + cos x d) k(x) = ln x−1x+1

http://find/

http://goback/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Primjer 47.


a) f (x) = x2

|x

| b) g(x) = x−1

x+1


http://find/

http://goback/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Rjesenje.

a) f (−

x) = (−x)2

| − x| =

x2

|x| = f (x)

Funkcija f je parna funkcija.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Primjer 47.


a) f (x) = x2

|x

| b) g(x) = x−1

x+1


http://find/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Rjesenje.

a) f (−

x) = (−x)2

| − x| =

x2

|x| = f (x)

Funkcija f je parna funkcija.

b) g(−x) = −x − 1

−x + 1

= −(x + 1)

−(x

−1)

= x + 1

x−

1 =

1

g(x)

Funkcija g nije niti parna, niti neparna.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

c) h(−x) = sin (−x) + cos (−x) = − sin x + cos x

Funkcija h nije niti parna, niti neparna.

http://find/

http://goback/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

c) h(−x) = sin (−x) + cos (−x) = − sin x + cos x

Funkcija h nije niti parna, niti neparna.

d) k(−x) = ln −x

−1

−x + 1 = ln −(x + 1)

−(x − 1) = ln x + 1

x − 1 =

1

http://find/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

= ln

x − 1

x + 1

−1

= − ln x − 1

x + 1 = −k(x)

Domena funkcije k jednaka je

Dk = −∞, −1 ∪ 1, ∞

pa ako je x ∈ Dk, tada je i −x ∈ Dk. Stoga je funkcija kneparna funkcija.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Primjer 48.

Odredite nultocke sljedecih funkcija:

a) f (x) = 10x2−x b) g(x) = (x + 1) log x

c) h(x) = sin x2

http://find/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Ek ij l f k

Primjer 48.


a) f (x) = 10x2−x b) g(x) = (x + 1) log x

c) h(x) = sin x2

Rjesenje.

http://find/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

a) f (x) = 0 ⇔ 10x2−x = 0

Kako 10

x2

−x

nije nikad jednako nula, funkcija f nema niti jednu nultocku.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Ek ij l f k

Primjer 48.


a) f (x) = 10x2−x b) g(x) = (x + 1) log x

c) h(x) = sin x2

Rjesenje.

http://find/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

a) f (x) = 0 ⇔ 10x2−x = 0

Kako 10

x2

−x

nije nikad jednako nula, funkcija f nema niti jednu nultocku.

b) g(x) = 0 ⇔ (x + 1) log x = 0

Produkt dva realna broja jednak je nula ako je barem

jedan od njih jednak nula. Dakle, mora biti x + 1 = 0 ili

log x = 0. Rjesenja tih jednadzbi su x1 = −1 i x2 = 1.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija

Kompozicija funkcijaInverzna funkcija

Svojstva funkcija

Eksponencijalna funkc

Medutim, −1 nije u domeni funkcije g (zbog logaritma)

pa funkcija g ima samo jednu nultocku x0 = 1.

c) h(x) = 0 ⇔ sin x2 = 0

Sinus nekog broja jednak je nula jedino ako je taj broj

http://find/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Sinus nekog broja jednak je nula jedino ako je taj broj

oblika kπ za neki k ∈ Z. Stoga mora biti x2 = kπ,

odnosno x = 2kπ pri cemu je k ∈ Z. Dakle, funkcija hima beskonacno mnogo nultocki koje su oblika

x = 2kπ, k ∈ Z.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Napomena.

sin2x = sin (2x)

sin2 x =

sin x2

i 2 i

2

http://find/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

sin x2 = sin

x2

cos kπ = (−1)k =1, ako je k paran cijeli broj

−1, ako je k neparan cijeli broj

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Primjer 49.

Dokazite da je funkcija f (x) = sin2 x periodicna i

odredite njezin osnovni period.

http://find/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Primjer 49.

Dokazite da je funkcija f (x) = sin2 x periodicna i


Dokaz.

Ako je f periodicna funkcija, tada postoji T = 0 takav da

je

http://find/




Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

je

f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R

odnosno u nasem slucaju

sin2 (x + T ) = sin2 x, ∀x ∈ R. (∗)

Kako gornja jednakost mora vrijediti za svaki realni brojx, specijalno mora vrijediti i za x = 0. Uvrstimo li x = 0

u gornju jednakost, dobivamo

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


sin2 T = 0.

Iz toga slijedi da mora biti

T = kπ, k ∈ Z.

http://find/



p j

Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Dakle, T mora biti oblika kπ da bi (

∗) vrijedila za x = 0.

No, (∗) mora vrijediti za svaki realni broj pa treba sada

T = kπ uvrstiti u (∗) da bismo dobili eventualno jos neke

uvjete na broj k ∈ Z (jer pitanje je da li za takve T -ove

(∗) vrijedi za svaki x).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Uvrstimo li T = kπ u (∗), dobivamo

sin2 x + kπ = sin2 xsin x cos kπ + cos x sin kπ

2= sin2 x

http://find/



p j

Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski modelsin x · (−1)k + cos x · 0

2

= sin2 x

sin2 x = sin2 x

Dakle, svaki kπ je period funkcije f pa je osnovni period

funkcije f jednak T 0 = π.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


f (x) = sin

2

x, T 0 = π

3 Π 2 Π

3 Π

2

Π

Π

2

Π

2Π 3 Π

2

2Π 3 Π

x

-0.5

0.5

1

y

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski modelf (x) = sin x, T 0 = 2π

3 Π 2 Π

3 Π

2

Π

Π

2

Π

2Π 3 Π

2

2Π 3 Πx

-1

-0.5

0.5

1

y

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Primjer 50.

Dokazite da je funkcija f (x) = | sin x| periodicna i


http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Primjer 50.

Dokazite da je funkcija f (x) = | sin x| periodicna i


Dokaz.

Ako je f periodicna funkcija, tada postoji T = 0 takav da

je

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

j

f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R


sin(x + T ) = | sin x|, ∀x ∈ R. ()

Kako gornja jednakost mora vrijediti za svaki realni brojx, specijalno mora vrijediti i za x = 0. Uvrstimo li x = 0

u gornju jednakost, dobivamo

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


| sin T | = 0.

Iz toga slijedi da mora biti

T = kπ, k ∈ Z.

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Dakle, T mora biti oblika kπ da bi () vrijedila za x = 0.

No, () mora vrijediti za svaki realni broj pa treba sada

T = kπ uvrstiti u () da bismo dobili eventualno jos neke

uvjete na broj k ∈ Z (jer pitanje je da li za takve T -ove

() vrijedi za svaki x).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Uvrstimo li T = kπ u (), dobivamo

sin x + kπ = |sin x

| sin x cos kπ + cos x sin kπ = | sin x|

k

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski modelsin x · (−1)k + cos x · 0

= | sin x|

| sin x| = | sin x|

Dakle, svaki kπ je period funkcije f pa je osnovni period

funkcije f jednak T 0 = π.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


L i k f k

f (x) = | sin x|, T 0 = π

3 Π 2 Π

3 Π

2

Π

Π

2

Π

2Π 3 Π

2

2Π 3 Π

x

-0.5

0.5

1

y

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski modelf (x) = sin x, T 0 = 2π

3 Π 2 Π

3 Π

2

Π

Π

2

Π

2Π 3 Π

2

2Π 3 Π

x

-1

-0.5

0.5

1

y

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


L it k f k

f (x) = sin

2

x, T 0 = π

3 Π 2 Π

3 Π

2

Π

Π

2

Π

2Π 3 Π

2

2Π 3 Π

x

-0.5

0.5

1

y

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski modelf (x) = | sin x|, T 0 = π

3 Π 2 Π

3 Π

2

Π

Π

2

Π

2Π 3 Π

2

2Π 3 Π

x

-0.5

0.5

1

y

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc

xx

1

1

s i n

x

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

sin x = sin y ⇔ y = x + 2lπ ili y = π − x + 2lπ, l ∈ Z

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc

Primjer 51.

Dokazite da funkcija f (x) = sin x2 nije periodicna.

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc

Primjer 51.

Dokazite da funkcija f (x) = sin x2 nije periodicna.

Dokaz.Ako je f periodicna funkcija, tada postoji T = 0 takav da

je

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski model

f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R


sin(x + T )2 = sin x2, ∀x ∈ R.

Uvedimo supstituciju x = y − T 2 . Dobivamo da je

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

sin

y +

T

2

2

= sin

y − T

2

2

(♠)

i gornja jednakost mora vrijediti za svaki realni broj y.

Sada koristimo kada su sinusi dva realna broja jednaki.

Imamo dva slucaja.

T 2 T 2

http://find/



Logaritamska funkc.

Domene


Funkcijski modely + T

2

2

=

y − T

2

2

+ 2kπ, k ∈ Zy + T 2

2 = π − y − T 22 + 2kπ, k ∈ Z

Sredivanjem svakog slucaja posebno dobivamo

yT = kπ, k ∈ Z

4y2 = (4k + 2)π − T 2, k ∈ Z

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Za T = 0 u oba slucaja dobivamo da samo prebrojivomnogo realnih brojeva y zadovoljava (♠). Stoga, da bi

(♠) bila zadovoljena za svaki realni broj y moralo bi biti

T = 0, a to znaci da funkcija f (x) = sin x2 nije

periodicna.

y

http://find/

http://goback/



g

Domene


Funkcijski model

3 Π 2 Π

3 Π

2

Π

Π

2

Π

2Π 3 Π

2

2Π 3 Π

x

-1

-0.5

0.5

1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Transformacija grafa funkcije

Pitamo se kako se iz grafa funkcije f mogu dobiti grafovi

funkcija

g(x) = f (x) + c

g(x) = f (x) − c

g(x) = f (x + c)

http://find/



g

Domene


Funkcijski model

g(x) = f (x

−c)

g(x) = f (−x)

g(x) = −f (x)

gdje je c pozitivni realni broj. Pogledajmo na primjeru

funkcije f (x) = 2x kako se dobiju grafovi odgovarajucih

funkcija za konkretno zadani realni broj c. Jasno je da

analogne situacije vrijede opcenito.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

f (x) = 2x

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1314

y

http://find/



Domene


Funkcijski model

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-8

-7

-6-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

f (x) = 2x g(x) = 2x + 4

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

y

http://find/



Domene


Funkcijski model

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-8

-7

-6-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

f (x) = 2x g(x) = 2x − 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

y

http://find/

http://goback/



Domene


Funkcijski model

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-8

-7

-6-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

f (x) = 2x g(x) = 2x+4

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

y

http://find/



Domene


Funkcijski model

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-8

-7

-6-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

f (x) = 2x g(x) = 2x−3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

y

http://find/



Domene


Funkcijski model

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-8

-7

-6-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

D

f (x) = 2x g(x) = 2−x

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

y

http://find/



Domene


Funkcijski model

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-8

-7

-6-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

D

f (x) = 2x g(x) = −2x

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

y

http://find/



Domene


Funkcijski model

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-8

-7

-6-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene

Funkcijski model

Matematicki prikaz prakticnog problema zovemo

matematickim modelom.

Primjer 52.

Proizvodac namjestaja prodaje mjesecno 1 000 stolaca po

http://find/



Domene


Funkcijski model

cijeni od 120 kn po komadu. Troskovi proizvodnje su

70 kn po komadu. Proizvodac namjerava povecati cijenu

stolaca i pri tom prognozira da ce se za svaku 1 kn

povisenja cijene prodati 5 stolaca mjesecno manje.

Izrazite mjesecni profit proizvodaca kao funkciju prodajne cijene i odredite cijenu uz koju je profit maksimalan.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene

Rjesenje.

profit = (broj stolaca) · (profit po 1 stolcu)

Uz sljedece oznake

n - broj prodanih stolaca

x - prodajna cijena stolca

http://find/



Domene


Funkcijski model

p j j

p - profit po jednom stolcu

P - ukupni profit

imamo da je P = n · p. Mi zelimo ukupni profit izraziti

samo pomocu prodajne cijene stolca, tj. zelimo P izraziti

kao funkciju od x.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene

Kako su troskovi proizvodnje 70 kn po komadu, slijedi da je profit po jednom stolcu jednak

p = x − 70

jer ako prodajemo po cijeni x kuna, necemo zaraditi x

kuna jer za svaki stolac potrosimo 70 kn da bismo ga

proizveli

http://find/



Domene


Funkcijski model

proizveli.

Nadalje, po cijeni od 120 kn po komadu mjesecno se

proda 1 000 stolaca, a za svaku jednu kunu povisenja

cijene prodaje se 5 stolaca mjesecno manje pa je

n = 1 000 − 5(x − 120).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene

Stoga je

P (x) = 1000 − 5(x − 120)(x − 70),

odnosno

P (x) = −5(x − 320)(x − 70).

78125

Px

http://find/



Domene


Funkcijski model

70 150 195 250 320 400

x

-100000

-50000

50000

78125

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene

Dobili smo kvadratnu funkciju koja ima tjeme u tocki

(195, 78 125). Dakle, maksimalni profit ce biti ako se

jedan stolac prodaje po 195 kn. Sto jos mozemo saznati

iz dobivenog funkcijskog modela? Vidimo da ne smijemonikako prodavati jedan stolac po cijeni manjoj od 70 kn

jer cemo tada biti u gubitku, sto je i jasno jer troskovi

http://find/




Funkcijski modelproizvodnje jednog stolca su 70 kn. Medutim, ne smijemo

niti pretjerati sa cijenom, tj. ne smijemo prodavati jedan

stolac po cijeni vecoj od 320 kn jer cemo opet biti na

gubitku (stolci ce biti preskupi i ljudi ih nece kupovati, a

mi ih proizvodimo i za svaki stolac trosimo 70 kn).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene

Primjer 53.

Istrazivanjem je utvrdeno da je kod odredenih viroza broj

oboljelih u tisucama, t tjedana nakon izbijanja bolesti,

priblizno jednak

Q(t) = 25

1 + 24e−1.2t.

http://find/




Funkcijski modela

Koliko je ljudi oboljelo kad je viroza izbila? b Koliko je ljudi oboljelo nakon treceg tjedna?

c Koliko ce ljudi ukupno biti zarazeno?

d Skicirajte graf funkcije Q(t).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene

Rjesenje.

a Kako je Q(0) = 1, nakon izbijanja viroze oboljelo je

1 000 ljudi (jer se Q(t) mjeri u tisucama).b Kako je Q(3) = 15.0987214, nakon tri tjedna oboljelo

je oko 15 099 ljudi.

http://find/




Funkcijski modelc Zanima nas zapravo ”Q(

∞)”. Kada je t jako veliki

broj, tada je 24e−1.2t blizu nule pa je ”Q(∞) = 25”,

odnosno ukupno ce biti zarazeno 25 000 ljudi.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.

Domene

d

15

20

25

Qt

http://find/




Funkcijski model

-4 -2 2 4 6 8t0

5

10

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacijaDio VI

Derivacija funkcije

http://find/

http://goback/



”Ako sam ja mogao vidjeti dalje, to je bilo samo zato jer sam stajao na

ramenima velikana (divova)” Isaac Newton

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Intuitivni pristup limesu funkcije

Limes funkcije je jedan od fundamentalnih pojmova

matematicke analize jer se na njemu temelji pojamderivacije i integrala. U pocetku cemo ovdje pristupiti

tom pojmu na intuitivni nacin bez strogih matematickih

definicija i sa puno konkretnih primjera da bi se sto bolje

http://find/

http://goback/



definicija i sa puno konkretnih primjera da bi se sto bolje

shvatio taj pojam koji je neophodan za definiciju

derivacije kasnije.

Nakon sto se taj pojam intuitivno dobro shvati lakse ce se

shvatiti stroge matematicke definicije tog tako vaznogpojma.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Pogledajmo funkciju f (x) = x2. Uzmimo broj c = 3 iz

domene te funkcije. Pitamo se sto se dogada sa tom

funkcijom kada smo jako blizu broja 3 (dakle, ne kada

smo u broju 3, nego kada smo jako blizu tog broja),odnosno sto se dogada sa funkcijom kada se priblizavamo

broju 3.

http://find/



Ono sto bi intuitivno trebalo biti jasno je sljedece: ako je

x jako blizu broja 3, tada je f (x) jako blizu broja 9.

Jako blizu broja 3 mozemo biti s njegove lijeve strane

(npr., 2.9999) i s njegove desne strane (npr., 3.0001), ali

u oba slucaja cemo biti jako blizu broja 9.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

12

15

18

21

24

fx

http://find/



-5 -3 -1 1 3 5x

3

6

9

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

12

15

18

21

24

fx

http://find/

http://goback/



-5 -3 -1 1 3 5x

3

6

9

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

12

15

18

21

24

fx

http://find/



-5 -3 -1 1 3 5x

3

6

9

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

12

15

18

21

24

fx

http://find/

http://goback/



-5 -3 -1 1 3 5x

3

6

9

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

12

15

18

21

24

fx

http://find/



-5 -3 -1 1 3 5x

3

6

9

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Recenicu

”kada je x jako blizu broja 3, tada je x2 jako blizu broja 9”

kratko zapisujemo

limx→3

x2 = 9

koju jos citamo

http://find/



”kada x tezi prema 3, tada x2

tezi prema 9”

ili

”limes od x2 kada x tezi prema 3 jednak je 9”.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Opcenito, neka je f : a, b → R realna funkcija i neka je

c ∈ a, b (moguce je da funkcija f nije definirana u tocki

c). Kazemo da je broj L limes funkcije f u tocki x = c

ako je broj f (x) jako blizu broja L kada je x jako blizu

broja c. Drugim rijecima, kada se x priblizava broju c,

tada se f (x) priblizava broju L, odnosno ako x dobro

aproksimira broj c, tada f (x) dobro aproksimira broj L.

http://find/



U tom slucaju kratko pisemo

limx→c

f (x) = L.

”kada je x jako blizu c, tada je f (x) jako blizu L”

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Pogledajmo sljedeci primjer.

limx→1

x2 − 2x + 3

(x − 4)2

ˇSto se ovdje zapravo pitamo. Pitamo se sljedece: ako je je x jako blizu broja 1, blizu kojeg broja je onda broj

x2−2x+3(x−4)2 ? Kako to otkriti? Pa ako je x jako blizu 1, mogli

bismo uvrstiti x = 1 u zadani razlomak i vidjeti sto cemo

http://find/



dobiti jer ako je x jako blizu 1, tada je broj 1 dobra

aproksimacija broja x. Dobivamo

limx→

1

x2 − 2x + 3

(x − 4)2

= 12 − 2 · 1 + 3

(1 − 4)2

= 2

9

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Dakle, dobili smo da je

limx→1 x

2

− 2x + 3(x − 4)2 = 29 ,

tj. ako je x jako blizu broja 1, tada je x2−2x+3(x−4)2 jako blizu

broja 29 , odnosno kada se x priblizava broju 1, tada se

http://find/

http://goback/



j 9 , p j ,

x2−2x+3(x−4)2 priblizava broju 2

9 .

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Pogledajmo sljedeci primjer.

limx→3

1

(x − 3)2.

Sto se ovdje zapravo pitamo. Pitamo se sljedece: ako je

je x jako blizu broja 3, blizu kojeg broja je onda broj1

(x−3)2 ? Kako to otkriti? Pa ako je x jako blizu 3, mogli

bismo uvrstiti x = 3 u zadani razlomak i vidjeti sto cemo


http://find/




aproksimacija broja x. Dobivamo

limx→3

1

(x − 3)2 =

1

(3 − 3)2 =

1

0

Dobili smo nesto sto nas u ovom trenutku zabrinjava, a

to je nula u nazivniku.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Medutim, ne treba se previse uzbudivati zbog toga.Naime, nas x je jako blizu broja 3, on nikada nije jednak

broju 3, ali je uvijek po volji blizu broju 3 pa smo mi

stoga nas x aproksimirali brojem 3 i zato smo dobili nulu

u nazivniku, a u stvarnosti je zapravo u nazivniku brojkoji je jako blizu broja 0 i to s pozitivne (desne) strane.

Stoga na 10 u ovom slucaju gledamo kao na dijeljenje

broja 1 sa pozitivnim brojem koji je jako blizu nule, a to

http://find/



j p j j j j ,

ce biti jako veliki pozitivni broj. Sto je on blize nuli, to je

taj broj sve veci i veci, pa je stoga

limx→3

1

(x − 3)2

= 1

(3 − 3)2

= 1

0

= +

∞

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija


limx→3

1

(x − 3)2 = +∞,

tj., kada je x jako blizu broja 3, tada je 1(x−3)2 jako veliki

pozitivni broj (beskonacni limes).

80

100

fx

http://find/



1 2 3 4x

20

40

60

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Pogledajmo primjer

limx→−1

x2 − 1

x + 1

Pitamo se sljedece: ako je je x jako blizu broja −1, blizukojeg broja je onda broj x2−1

x+1 ? Kako to otkriti? Pa ako je

x jako blizu −1, mogli bismo uvrstiti x = −1 u zadani

razlomak i vidjeti sto cemo dobiti jer ako je x jako blizu

http://find/



−1, tada je broj −1 dobra aproksimacija broja x.

Dobivamo

limx

→−1

x2 − 1

x + 1 =

(−1)2 − 1

−1 + 1

= 0

0

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

No, pitanje je cemu je jednako 00 . Vidjet cemo da je to

neodredeni oblik. Zapravo se radi o tome da se u brojniku

i nazivniku nalaze brojevi jako blizu nule i pitanje je sto

cemo dobiti ako ih podijelimo. Vidjet cemo uskoro da se

moze svasta dobiti. Vratimo se nasem primjeru. To sto

smo dobili 00 nakon sto smo uvrstili x = −1, znaci da je

broj 1 zajednicka nultocka brojnika i nazivnika pa je

http://find/



j

−j j p j

ideja da ju nekako skratimo i onda nakon toga opet

probamo uvrstiti x = 1. To ovdje nije problem ako na

brojnik primijenimo razliku kvadrata pa dobivamo

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

limx→−1

x2

− 1x + 1

= limx→−1

(x − 1)(x + 1)x + 1

=

= limx→−1

(x − 1) = −1 − 1 = −2


limx→−1

x2 − 1

x + 1 = −2,

2

http://find/



tj. kada je x jako blizu broja −1, tada je x2

−1x+1 jako blizubroja −2.

Pogledajmo malo bolje funkciju f (x) = x2−1x+1 . Broj −1

nije u domeni te funkcije, ali ona ipak ima limes u tojtocki i to je ona jako bitna cinjenica kod limesa funkcije.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Naime, kod limesa

limx→c

f (x)

nas uopce ne interesira tocka c koja je najvise istaknuta,

nego nas zanima sto se dogada sa funkcijom u okolini te

tocke, tj. kako se ponasa f (x) kada je x jako blizu c.Zbog toga ispod limesa ne pisemo x = c, nego x → c jer

zapravo x nikada nije jednak c, nego je uvijek po volji

blizu broja c (tj. tezi prema c, ali nikada ne poprima tu

http://find/



vrijednost).

Druga je stvar sto kod efektivnog racunanja limesa mi

uvrstavamo x = c u izraz, ali o tome vise mozemo

razmisljati kao o tehnici racunanja limesa koju cemokasnije opravdati. Za sada to mozemo intuitivno

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

opravdati na sljedeci nacin: kod racunanja limesa

limx→c

f (x)

pitamo se sto se dogada sa f (x) kada je x jako blizu c.

Ako je x jako blizu c, znaci da je on dobra aproksimacija

broja c pa je razumno uvrstiti x = c u f (x) da bismo

izracunali taj limes.

http://find/



Naravno, to nas moze dovesti i do nekih za sada josnerazrjesenih problema tipa 0

0 kao sto smo maloprije

dobili pa se onda u takvim situacijama moramo domisljati

nekim trikovima da bismo uspjeli izracunati limes u tom

slucaju.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Konkretno, kod funkcije f (x) = x2−1x+1 smo brojnik i

nazivnik kratili sa x + 1, tj. uz uvjet da je x = −1 vrijedi

da jex2

−1

x + 1 = x − 1

jer u protivnom bismo kratili sa nulom, a to se ne smije.

Kod limesa

limx2 − 1

http://find/



x→−1 x + 1x je jako blizu −1, ali nikada ne poprima tu vrijednost pa

je x = −1 i zato smo smjeli kratiti sa x + 1 da bismo si

olaksali racunanje limesa.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Dakle, funkcija f (x) = x2−1x+1 nije definirana u tocki −1,

ali ona ipak ima limes u toj tocki i vrijedi

limx→−1

f (x) = −2.

Graf te funkcije je pravac y = x − 1 bez tocke (−1, −2).

2

fx

http://find/



-3 -2 -1 1 2 3x

-4

-2

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Motivirani prethodnim primjerom mogli bismo reci da je00 = −2. Medutim, to nije tako. Pogledajmo jos jedan

primjer koji ce nas od toga razuvjeriti. Sljedeci limes je

opet oblika 00 , ali

limx→−1

x2 − 1

2x + 2 = lim

x→−1

(x − 1)(x + 1)

2(x + 1) = lim

x→−1

x − 1

2 = −1

Stoga bismo u ovom slucaju rekli da je 00 = −1, a prije je

http://find/



bilo 00 = −2. Zbog toga je 00 neodreden oblik i nemozemo reci cemu je on jednak kad moze biti ”jednak”

svacemu, a na konkretnom primjeru to moramo otkriti

raznim dosjetkama (konkretno, gore nam je pomogla

razlika kvadrata).

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Pogledajmo sada funkciju najvece cijelo, tj. g(x) = x.

-2 -1 22 3 x

1

2

y

1

-1

http://find/



-2

Zanima nas sljedeci limes

limx→2

g(x)

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Pogledamo li graf funkcije g, uocavamo da ako je x jako

blizu broja 2 s lijeve strane, tada je g(x) jako blizu broja

1. Medutim, ako je x jako blizu broja 2 s desne strane,

tada je g(x) jako blizu broja 2. Sto biste sada rekli da vas

netko pita, cemu je onda jednak limx→2

g(x). Pa ne biste

znali sto reci. Da li je on jednak 1, ili mozda 2? Naravno,

to ovisi o tome s koje ste strane jako blizu broja 2. U tom

http://find/



slucaju kazemo da limes

limx→2

g(x)

ne postoji.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Medutim, postoji limes slijeva

limx→2−

g(x) = 1

i postoji limes zdesna

limx→2+

g(x) = 2

http://find/



Kako su ova dva limesa razlicita, ne postoji limes

limx→2

g(x)

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Nemojte doci u zabludu i reci sljedece: funkcija

g(x) = x je definirana u tocki 2 pa je onda

limx→2

g(x) = limx→2

x = 2 = 2

Sada nas ovaj trenutak moze malo zbuniti. Pa dobro,sada to ne smijemo raditi, a prije smo to radili, npr. kod

funkcije f (x) = x2 i rekli da se to na taj nacin racuna. U

cemu je problem? Dakle, malo smijemo na taj nacin

http://find/

http://goback/



racunati, malo ne smijemo. Kako cemo mi znati kada to

smijemo, a kada ne smijemo? Naime, ovakve stvari

smijemo raditi kod neprekidnih funkcija, a funkcija g ima

prekid u tocki 2 pa kod nje ne smijemo samo olako uvrstitix = 2 i izracunati limes jer necemo dobiti dobar rezultat.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

U ovom trenutku, neprekidnu funkciju intuitivno mozemo

zamisljati kao funkciju ciji graf mozemo nacrtati bez da

podizemo olovku sa papira. Graf funkcije g(x) = x ne

mozemo nacrtati bez podizanja olovke sa papira i kljucna

je stvar da olovku sa papira bas moramo podici u tocki 2

pa zato ta funkcija u toj tocki ima prekid i ne smijemo

racunati limes u toj tocki tako da samo uvrstimo x = 2

b d j i li lij i d ˇki 2

http://find/



bez da provjerimo limese slijeva i zdesna u tocki 2.

Ovo je primjer funkcije koja je definirana u tocki 2, a ona

nema limes u toj tocki zato jer su limesi slijeva i zdesna u

toj tocki razliciti.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Ovo je jedna situacija koja nam pokazuje koliko je tocka c

nebitna kod limesa

limx→c

f (x)

cak ako je i funkcija definirana u toj tocki. Dakle, ta

tocka c uopce ne utjece na postojanje limesa funkcije, ali

ce ona utjecati na neprekidnost funkcije sto cemo kasnije

sve precizno objasniti i definirati. Na postojanje gornjeg

http://find/



limesa utjecu samo tocke koje su jako blizu tocke c slijeve

i zdesne strane. Sama tocka c je nebitna cak i u slucaju

da je f definirana u toj tocki.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Za sada mozemo reci da se vecina limesa

limx→c

f (x)

racuna na nacin da se uvrsti x = c u f (x) ili se prethodnonaprave jos neke transformacije ako f (c) nije moguce

odmah izracunati (npr., ako dobijemo da je f (c) = 00 ).

Nadalje, takav postupak smijemo primjenjivati jedino u

l ˇ j k j f kid f k ij t ˇki ili t j

http://find/



slucaju ako je f neprekidna funkcija u tocki c ili ona u toj

tocki ima uklonjiv prekid. Kasnije cemo sve to objasniti.

Ne trebate se za sada oko toga opterecivati, samo budite

svega toga svjesni.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

U slucaju bilo kakve sumnje da se funkcija mozda

”cudno” ponasa u okolini tocke c, treba izracunati

najprije limese slijeva i zdesna i na temalju toga donijeti

neki zakljucak. Vidjet cemo neke takve cudne situacije

kasnije na primjerima.Vecina zadataka u kojima se racunaju limesi funkcija je

takva da se radi o funkcijama koje su u tocki c neprekidne

ili pak imaju uklonjiv prekid pa se limesi onda racunaju na

i i i b d b ˇ j li i lij i

http://find/



opisani nacin bez da se posebno racunaju limesi slijeva i

zdesna i bez da se to posebno naglasava. Medutim, treba

imati na umu i ove druge ”cudne” situacije tako da se

onda u njima mozete snaci jer cemo se i s njima baviti, alimozda malo manje, nego s ovim prvima.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Opcenito, kod racunanja limesa

limx→c− f (x)

pitamo se sljedece: ako je x jako blizu broja c s lijevestrane, blizu kojeg broja je onda f (x).

Isto tako, kod racunanja limesa

li f ( )

http://find/



limx→c+

f (x)

pitamo se sljedece: ako je x jako blizu broja c s desne

strane, blizu kojeg broja je onda f (x).

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Kod racunanja limesa

limx→c

f (x)

pitamo se sljedece: ako je x jako blizu broja c (svejedno skoje strane, moze i s jedne i s druge strane), blizu kojeg

broja je onda f (x). Da bi taj limes postojao, moraju

postojati limesi slijeva i zdesna, i ne samo to, oni moraju

biti jednaki Pa to je i na neki nacin jasno jer mora se s

http://find/



biti jednaki. Pa to je i na neki nacin jasno jer mora se s

lijeve i s desne strane dogadati ista stvar da bi limes

postojao, tj. da bismo mogli dati jednoznacan odgovor na

gornje pitanje.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Pogledajmo jos jedan primjer. Promotrimo funkciju

f (x) = 1x . Zanima nas limes limx→0

f (x).

-3 -2 -1 1 2 3 x

5

10

y

http://find/



3 2 1 1 2 3 x

-10

-5

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Ako je x jako blizu broja 0 s desne strane, tada je

1

x jakoveliki pozitivni broj, tj.

limx→0+

1

x = +∞

Ako je x jako blizu broja 0 s lijeve strane, tada je 1x jako

veliki negativni broj, tj.

limx→0−

1

x

=

∞

http://find/



x→0 x −∞Stoga ne postoji limes

limx

→0

1

x

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Napomena.

Kada kazemo da je neki broj jako veliki, mislimo na to da

je on jako veliki po apsolutnoj vrijednosti. Stoga jako

veliki negativni broj ne znaci da je on blizu nule (u smislu

standardnog uredaja) pa u tom smislu broj −2 nije jako

veliki negativni broj, dok bismo za broj −84 563 245 rekli

da je jako veliki negativni broj.

Isto tako kada kazemo da je neki broj jako mali mislimo

http://find/



Isto tako, kada kazemo da je neki broj jako mali, mislimo

na to da je on jako blizu nule (s lijeve ili desne strane).

Stoga bismo, npr. za brojeve 0.000001 i −0.000001 rekli

da su jako mali.

Matematicke metode

za poslovne analize


Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Evo jos jednog primjera. Kako bismo intuitivnoprotumacili sljedeci limes:

limx→+∞ f (x) = +∞

Ako je x jako veliki pozitivni broj, tada je f (x) isto jako

veliki pozitivni broj. Da li znate primjer takve funkcije?

Na primjer, eksponencijalne funkcije s bazom vecom od

jedan su takve

http://find/



jedan su takve.lim

x→+∞ 2x = +∞

Ako je x jako veliki pozitivni broj, tada je i 2x jako veliki

pozitivni broj.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

limx→−∞

2x = 0

Ako je x jako veliki negativni broj, tada je 2x jako mali

broj.

2

3

4

y

http://find/



-3 -2 -1 1 2x

1

2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

limx→

0+ ln x = −∞

Ako je x jako blizu nule s desne strane, tada je ln x jako

veliki negativni broj. Limes s lijeve strane od nule nema

smisla gledati jer na negativnom dijelu nema funkcije ln.

1

2

y

http://find/

http://goback/



2 4 6 8 10x

-2

-1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Intuitivno poimanje limesa funkcije

Ako f (x) ide sve blize i blize broju L, kada x ide sve blize

i blize broju c na bilo koji nacin (broj x se moze na razne

nacine priblizavati broju c), tada kazemo da je L limes

funkcije f kada x tezi prema c i to kratko zapisujemo

limx→c

f (x) = L.

S time bismo zavrsili ovaj uvodni dio o limesu funkcije. U

sljedecem dijelu prelazimo na stroge definicije limesa

http://find/



sljedecem dijelu prelazimo na stroge definicije limesafunkcije i navest cemo njihova osnovna svojstva. Ako

imate bilo kakvih nejasnoca iz ovog uvodnog dijela,

vratite se opet na pocetak i prodite taj uvodni dio jos

jednom jer ce vam u protivnom biti tesko pratiti sljedece

stroge definicije limesa.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Problem tangente

Do pojma derivacije nezavisno jedan od drugog su dosla

dva znanstvenika Newton i Leibniz. Newton

proucavajuci problem trenutacne brzine, a Leibniz baveci

se pitanjem tangente funkcije.

Derivacija je jedan od najvaznijih pojmova matematicke

analize i matematike uopce a ima vrlo siroke primjene u

http://find/



analize i matematike uopce, a ima vrlo siroke primjene u

raznim podrucjima ljudskog djelovanja. Ovdje cemo se

baviti problemom tangente na nacin koji je Leibniza

doveo do pojma derivacije.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Imamo sljedeci problem. Zelimo u nekoj tocki

x0, f (x0)

grafa funkcije f pronaci jednadzbu tangente, tj. pravac

koji ”dira” graf funkcije f u toj tocki (intuitivno je jasno

sto ovdje rijec ”diranje” znaci, sjetite se samo tangentekruznice, elipse. . . ).

Dakle, tangenta je pravac, a da bismo nasli jednadzbu

pravca u ravnini treba nam jedna tocka kojom taj pravac

prolazi i njegov koeficijent smjera No tocka

x0 f (x0)

http://find/

http://goback/



prolazi i njegov koeficijent smjera. No, tocka

x0, f (x0)

je vec zadana, tako da se citav problem svodi na

pronalazenje koeficijenta smjera tangente.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Naci koeficijent smjera tangente? Tezak problem. Leibnizse odlucio da pogleda prvo jednostavniji problem pa da

pokusa onda taj jednostavniji problem povezati sa

kompliciranijim. Stoga on uzima jos jednu tockux1, f (x1) na grafu funkcije f i gleda pravac s kroz

tocke

x0, f (x0)

i

x1, f (x1)

. Pravac s zovemo

sekanta grafa funkcije f kroz zadane tocke. Koeficijent

smjera ks sekante s nije tesko naci jer to je koeficijent

smjera pravca kroz zadane dvije tocke pa je

http://find/



smjera pravca kroz zadane dvije tocke pa je

ks = f (x1) − f (x0)

x1 − x0.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

x1

−x0 oznacava prirast varijable i on se obicno oznacava

sa ∆x. Ako smo se pomaknuli udesno od x0, tj. ako je

x1 > x0, tada je ∆x > 0, a u suprotnom je ∆x < 0.

f (x1) − f (x0) oznacava promjenu funkcijske vrijednosti

(prirast funkcije f ) i oznacava se sa ∆f .

Prirast nezavisne varijable x

∆x = x1 − x0

http://find/



Prirast funkcije f

∆f = f (x1)

−f (x0)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

x

y

x0 x1

fx0

fx1

x

f

t

s

http://find/



ks = f (x1) − f (x0)

x1 − x0=

∆f

∆x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Sve je to lijepo, ali mi jos uvijek nismo dobili koeficijent

smjera tangente u tocki

x0, f (x0)

. Kakve veze sad ima

koeficijent smjera sekante sa trazenom tangentom?

Ovo je sada trenutak u kojemu treba napraviti jedan

veliki misaoni korak kojeg je Leibniz napravio. Evo tog

koraka. Pretpostavimo sada da se tocka

x1, f (x1)

priblizava tocki

x0, f (x0)

po grafu funkcije f . Sto se

onda dogada sa sekantom?

P l d j lj d ´ lik ( i ij ) i b tit t

http://find/



Pogledajmo sljedecu sliku (animaciju) i obratite pozornost

sto se dogada sa sekantom i sa ∆x kada se tocka

x1, f (x1) priblizava tocki x0, f (x0) po grafu funkcije

f .

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

T 0

y

T 1

∆x

http://find/



xx0 x1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

T 0

y

T 1

∆x

http://find/



xx0 x1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

T 0

x

y

T 1

∆x

http://find/



x0 x1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

T 0

x

y

T 1

∆x

http://find/

http://goback/



x0x1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

T 0

x

y

http://find/

http://goback/



x0

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Sto uocavate? Nesto fantasticno. Kako se tocka

x1, f (x1) priblizava po grafu funkcije f tockix0, f (x0)

, za to vrijeme se sekanta sve vise i vise

priblizava tangenti, a ∆x se sve vise i vise smanjuje.

U trenutku kada je ∆x = 0 sekanta prelazi u tangentu. U

svakom trenutku koeficijent smjera sekante znamo

izracunati po formuli

ks = f (x1) − f (x0)

x1 − x0

= f (x0 + ∆x) − f (x0)

∆x

= ∆f

∆x

.

Dakle koeficijent smjera tangente kt bismo dobili za

http://find/

http://goback/



Dakle, koeficijent smjera tangente kt bismo dobili za

x1 = x0, tj. za ∆x = 0. Tada je i ∆f = 0 pa imamo

kt = ∆f

∆x = 0

0 .

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Dobivamo 00 , ali to je neodredeni oblik (ne znamo sto je

to). Pa zar je tangenta neodredena? Pa vidimo sa slike

da tangenta postoji. U cemu je problem? Naime, u

svakom trenutku nije problem izracunati koeficijent

smjera sekante po formuli

ks = f (x0 + ∆x) − f (x0)

∆x .

Tangentu dobivamo kada je ∆x = 0, no u tom su slucaju

brojnik i nazivnik jednaki nula. Medutim, da li tangentu

stvarno dobivamo za ∆x = 0? Sjetimo se jos jednom

http://find/

http://goback/



postupka. Odabrali smo neku drugu tocku na grafu

funkcije i pustili ju da se ona po tom grafu priblizava

tocki x0, f (x0). Dakle, mi smo se postupno priblizavalitocki

x0, f (x0)

, a nismo odmah na nju skocili.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Ako bi stavili ∆x = 0, to bi znacilo da smo mi odmah iz

tocke x1, f (x1) skocili na tocku x0, f (x0), sto nije

istina. Mi smo se polako i sigurno priblizavali toj tocki,

sto znaci da se ∆x polako i sigurno smanjivao, tj.

priblizavao nuli, tj. on je tezio u nulu, a nije odmah

skocio u nulu. Dakle, koeficijent smjera kt tangente

necemo dobiti tako da stavimo ∆x = 0 u

ks = f (x0 + ∆x) − f (x0)

∆x ,

nego u toj formuli moramo pustiti da ∆x tezi u nulu, tj.

http://find/



kt = lim∆x→0

ks

odnosno

kt = lim∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0)

∆x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Geometrijska interpretacija derivacije

Derivacija funkcije f u tocki x0 predstavlja koeficijent

smjera tangente na graf te funkcije u tocki

x0, f (x0)

koji se racuna po formuli

kt = lim

∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0)

∆x

Primjer 54.

Zadana je funkcija f (x) = 1x . Odredite:

1 sekantu grafa funkcije koja prolazi tockama grafa s

http://find/



apscisama x0 = 1 i x1 = 2

2 tangentu na graf funkcije f u tocki s apscisom

x0 = 1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Rjesenje.

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

http://find/

http://goback/



1 2 3 4x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

x0 = 1, x1 = 2 ⇒ y0 = f (1) = 1, y1 = f (2) = 12

Dakle, T 0(1, 1) i T 1

2, 12

. Stoga sekantu kroz tocke T 0 i

T 1 mozemo dobiti kao jednadzbu pravca kroz dvije tocke

s . . . y − y0 = y1 − y0

x1 − x0

x − x0

pa dobivamo

s . . . y = −

1

2x +

3

2.

Koeficijent smjera tangente kt u tocki T 0 racunamo

http://find/

http://goback/



j j g t 0

pomocu limesa (za sada; uskoro cemo razviti tehniku

deriviranja tako da necemo morati racunati preko limesa).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Dakle,

kt = lim∆x→0

f (1 + ∆x) − f (1)

∆x = lim

∆x→0

11+∆x − 1

∆x =

= lim

∆x→0

−∆x

(1 + ∆x)∆x

= lim

∆x→0

−1

1 + ∆x

= −1

1 + 0

=

−1

Sada jednadzbu tangente t mozemo naci kao jednadzbu

pravca kroz tocku T 0(1, 1) sa zadanim koeficijentom

smjera kt =

−1, tj.

t . . . y − y0 = kt

x − x0

http://find/



y y0 t

0

odnosno

t . . . y = −x + 2.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Motivirani prethodnim razmatranjima definiramo

derivaciju funkcije f u tocki na sljedeci nacin.

Definicija derivacije funkcijeDerivacija funkcije f u tocki x0 je broj

f (x0) = lim∆x

→0

f (x0 + ∆x) − f (x0)

∆x

ukoliko naznaceni limes postoji.

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Primijetimo da derivacija funkcije u tocki postoji u

slucaju da graf funkcije u toj tocki ima tangentu i da ta

tangenta nije okomita na x-os. U slucaju da je tangenta

okomita na x-os dobili bismo da je limes jednak ∞

jer

derivacija geometrijski predstavlja koeficijent smjera

tangente, a taj koeficijent jednak je tangensu kuta koji taj

pravac zatvara s pozitivnim dijelom x-osi pa u slucaju

okomitosti pravca na x-os imamo da je derivacija jednakatg90◦ = ∞. U tom slucaju jednadzba tangente u tocki

http://find/



x0, f (x0)

jednaka je x = x0.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Propozicija 11.

Ako funkcija f ima derivaciju u tocki x0, tada je funkcija

f neprekidna u tocki x0.

Dokaz.

Ako funkcija ima derivaciju u tocki x0, tada postoji limes

lim∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0)

∆x .

Kako ∆x → 0, slijedi da je

lim∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0) = 0,

d

http://find/



odnosno

lim∆x→0

∆f (x0) = 0,

a to upravo znaci da je funkcja f neprekidna u tocki

x0. ♥

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Napomena.

Prethodnom propozicijom dan je samo nuzan, ali ne i

dovoljan uvjet za postojanje derivacije u tocki. Naime,

svaka funkcija koja ima derivaciju u nekoj tocki sigurno je

neprekidna u toj tocki. Obrat nazalost ne vrijedi, tj.

funkcija koja je neprekidna u tocki ne mora imati

derivaciju u toj tocki (tj. u toj tocki ne mora postojati

tangenta na graf te funkcije). Cudno na prvi pogled, ali

ipak istinito. Primjer takve funkcije je apsolutnavrijednost, tj. funkcija f (x) = |x| koja nema derivaciju u

http://find/



tocki 0 jer ona u toj tocki ima ”spicu” (takve su tocke

opasne za derivaciju jer su tangente u takvim tockama

neodredene, tj. ne postoje).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Naime, ako bi htjeli izracunati derivaciju funkcije

f (x) = |x| u tocki 0, imali bi

f (0) = lim∆x→0

|0 + ∆x| − |0|∆x

= lim∆x→0

|∆x|∆x

Medutim, limes zdesna jednak je

lim∆x→0+

|∆x|∆x

= lim∆x→0+

∆x

∆x = lim

∆x→0+1 = 1,

a limes slijeva je

lim|∆x|

= lim−∆x

= lim (−1) = −1

http://find/



lim∆x→0− ∆x

= lim∆x→0− ∆x

= lim∆x→0−

( 1) = 1,

pa lim∆x→0

|∆x|∆x

ne postoji, tj. ne postoji f (0).

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivabilna funkcija

Za funkciju f kazemo da je derivabilna (diferencijabilna)

na otvorenom intervalu a, b ako ona ima derivaciju u

svakoj tocki tog intervala. Funkciju f definiranu na

a, b

zovemo derivacijom funkcije f .

U literaturi se mogu naci razlicite oznake za derivaciju:

f (x) = df (x)

dx =

dy

dx = Dxf

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Pravila deriviranja

Postupak odredivanja derivacije zovemo deriviranjem.

Umjesto da derivacije funkcija odredujemo po definiciji

racunanjem limesa, ovdje cemo dokazati osnovna pravila

deriviranja i izvest cemo po definiciji derivacije

elementarnih funkcija koje cemo onda zapamtiti i koristiti

u trazenju derivacija kompliciranijih funkcija. Dakle,

dj j ilj i i i l d i h ik d i i j

http://find/



ovdje nam je cilj razviti i svladati tehniku deriviranja.

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija zbroja funkcija

(u + v)(x) = u(x) + v(x)

(u + v)(x) = lim∆x→0

(u + v)(x + ∆x) − (u + v)(x)∆x

=

= lim∆x→0

u(x + ∆x) + v(x + ∆x) − u(x) − v(x)

∆x =

= lim∆x→0

u(x + ∆x) − u(x)∆x

+ lim∆x→0

v(x + ∆x) − v(x)∆x

=

http://find/



= u(x) + v(x)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija razlike funkcija

(u − v)(x) = u(x) − v(x)

(u − v)(x) = lim∆x→0

(u − v)(x + ∆x) − (u − v)(x)∆x

=

= lim∆x→0

u(x + ∆x) − v(x + ∆x) − u(x) + v(x)

∆x =

= lim∆x→0

u(x + ∆x) − u(x)∆x

− lim∆x→0

v(x + ∆x) − v(x)∆x

=

http://find/



= u(x) − v(x)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija produkta funkcija

(uv)(x) = u(x)·

v(x) + u(x)·

v(x)

(uv)(x) = lim∆x→0

(uv)(x + ∆x) − (uv)(x)

∆x =

= lim∆x→0

u(x + ∆x)v(x + ∆x) − u(x)v(x)

∆x =

= lim∆x→0

u(x + ∆x)v(x + ∆x) − u(x)v(x) + u(x + ∆x)v(x) − u(x + ∆x)v(x)

∆x =

= lim∆x→0

u(x + ∆x)v(x + ∆x) − v(x) + u(x + ∆x) − u(x)v(x)

∆x =

liu(x + ∆x)

v(x + ∆x) − v(x)

+ li

u(x + ∆x) − u(x)

v(x)

http://find/



= lim∆x→0

( )

( ) ( )

∆x + lim

∆x→0

( ) ( )

( )

∆x =

= u(x) lim∆x→0

v(x + ∆x)

− v(x)

∆x + v(x) lim∆x→0

u(x + ∆x)

− u(x)

∆x =

= u(x)v(x) + v(x)u(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x)

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija produkta konstante c i funkcije

(cu)(x) = c · u(x)

Izracunajmo prvo derivaciju konstantne funkcije f (x) = c.

f (x) = lim∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x = lim

∆x→0

c − c

∆x = lim

∆x→00 = 0

Sada je prema pravilu produkta

(cu)(x) = c · u(x) + c · u(x) = 0 · u(x) + c u(x) = c u(x)

http://find/



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija kvocijenta funkcija

u

v

(x) =

u(x)

·v(x)

−u(x)

·v(x)

v(x)2

u

v

(x) = lim∆x→0

uv

(x + ∆x) −

uv

(x)

∆x =

= lim∆x→0

u(x

+∆x

)v(x+∆x) − u

(x

)v(x)

∆x = lim

∆x→0

u(x + ∆x)v(x) − v(x + ∆x)u(x)

∆x · v(x + ∆x)v(x) =

= lim∆x→0

u(x + ∆x)v(x) − v(x + ∆x)u(x) + u(x)v(x) − u(x)v(x)

∆x · v(x + ∆x)v(x) =

= lim∆x→0

v(x)

u(x + ∆x) − u(x) − u(x)

v(x + ∆x) − v(x)

∆x · v(x + ∆x)v(x)

=

http://find/



=v(x) lim

∆x→0

u(x+∆x)−u(x)∆x

− u(x) lim∆x→0

v(x+∆x)−v(x)∆x

lim∆x→0

v(x + ∆x)v(x) =

= u(x) · v(x) − u(x) · v(x)

v(x)2

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Tablica derivacija

Izracunajmo sada derivacije osnovnih elementarnih

funkcija koje cemo koristiti za racunanje derivacija

slozenijih funkcija.

Derivacija identitete

(x) = 1

(x) = lim∆x→0

x + ∆x

− x

∆x = lim

∆x→01 = 1

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija kvadratne funkcijex2

= 2x

Prvi nacin je po definiciji:

x2

= lim∆x→0

x + ∆x

2 − x2

∆x = lim

∆x→0

2x∆x + (∆x)2

∆x =

= lim∆x→0

2x + ∆x

= 2x

Drugi nacin je da iskoristimo dokazano pravilo produkta:

http://find/



x2

=

x · x = (x) · x + x · (x) = x + x = 2x

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija prirodne potencije

xn = nxn−1, n ∈ N

Koristimo binomni poucak.

xn

= lim∆x→0

x + ∆x

n − xn

∆x =

= lim∆x→0

n0

xn +

n1

xn−1∆x +

n2

xn−2(∆x)2 + · · · +

nn

(∆x)n − xn

∆x =

= lim∆x→0

n1

xn−1∆x +

n2

xn−2(∆x)2 + · · · +

nn

(∆x)n

∆x =

http://find/



= lim∆x→0

n

1

xn−1 +

n

2

xn−2∆x + · · · +

n

n

(∆x)n−1

= nxn−1

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija drugog korijena√ x

= 1

2√

x

√ x

= lim∆x→0

√ x + ∆x − √ x

∆x = lim

∆x→0

√ x + ∆x − √ x

∆x ·

√ x + ∆x +

√ x√

x + ∆x + √

x=

= lim∆x→0

x + ∆x − x∆x · √ x + ∆x +

√ x = lim

∆x→0

1√ x + ∆x +

√ x

= 12√

x

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija eksponencijalne funkcije s prirodnom bazom

ex = e

x

Koristimo limes limt→0

et−1t

= 1

ex

= lim∆x→0

ex+∆x

− ex

∆x = ex

lim∆x→0

e∆x

− 1

∆x = ex

· 1 = ex

Derivacija eksponencijalne funkcije s bazom a

ax = a

x

ln a

http://find/




at−1t

= ln a

ax

= lim∆x→0

ax+∆x

− ax

∆x = ax lim

∆x→0a

∆x

− 1∆x

= ax ln a

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija prirodnog logaritmaln x

=

1

x


ln (1+t)t

= 1

ln x

= lim∆x→0

ln (x + ∆x) − ln x

∆x = lim

∆x→0

ln x+∆xx

∆x =

= lim∆x→0

ln

1 + ∆xx

∆x

= 1

x lim∆x→0

ln

1 + ∆xx

∆xx

= 1

x · 1 =

1

x

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija logaritamske funkcije

loga x = 1

x ln a


loga

(1+t)t

= loga e

loga x

= lim∆x→0

loga (x + ∆x) − loga x

∆x = lim

∆x→0

logax+∆xx

∆x =

= lim∆x→0

loga

1 + ∆xx

∆x

= 1

x lim∆x→0

loga

1 + ∆xx

∆xx

= 1

x loga e =

1

x ln a

Drugi nacin:

http://find/

http://goback/



Drugi nacin:

loga x

= ln x

ln a

= 1

ln a ln x

= 1

x ln a

Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija funkcije sinussin x

= cos x


sin tt

= 1 i formulu sin u − sin v = 2cos u+v2

sin u−v2

sin x

= lim∆x→0

sin(x + ∆x) − sin x

∆x = lim

∆x→0

2sin ∆x2

cos

x + ∆x2

∆x

=

= lim∆x→0

sin ∆x2

∆x2

· lim∆x→0

cos

x +

∆x

2

= 1 · cos x = cos x

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija funkcije kosinuscos x

= − sin x


sin tt

= 1 i formulu cos u − cos v = −2sin u−v2

sin u+v2

cos x

= lim∆x→0

cos(x + ∆x) − cos x

∆x = lim

∆x→0

−2sin ∆x2

sin

x + ∆x2

∆x

=

= − lim∆x→0

sin ∆x2

∆x2

· lim∆x→0

sin

x +

∆x

2

= −1 · sin x = − sin x

http://find/

http://goback/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija funkcije tangenstg x

=

1

cos2 x

tg x

=

sin x

cos x

= (sin x) cos x − sin x(cos x)

cos2 x =

= cos x cos x − sin x(− sin x)

cos2 x =

cos2 x + sin2 x

cos2 x =

1

cos2 x

http://find/



Matematicke metode

za poslovne analize


Hunjak

Limes funkcije

Problem tangente

Pravila deriviranja

Tablica derivacija

Derivacija funkcije kotangensctg x

= − 1

sin2 x

ctg x

= cos x

sin x

= (cos x) sin x − cos x(sin x)

sin2 x=

= − sin x sin x − cos x cos xsin2 x

= − sin2 x − cos2 xsin2 x

= − 1sin2 x

http://find/



http://find/

mmpasve.pdf

Documents