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m CEA-n-4G59

I COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE - . ; ;; ^ a , • - . < , . ; •

A.13

ETUDE EXPERIMENTALE PAR ANNIHILATION DU POSITON

DE LA DISTRIBUTION EN MOMENT DES ELECTRONS

DANS L'OXYDE DE MAGNESIUM ET LE SILICIUM ET COMPARAISON

A LA DIFFUSION COMPTON

par

Alain HAULBERT

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay

Rapport CEA-R-4659

t~\>

1975 SERVICE DE DOCUMENTATION Ka

C.E.N • SACLAY B.P. n' 2, 91 190 - GIF-sur-YVETTE • France

PLAN DE CLASSIFICATION DES RAPPORTS ET BIBLIOGRAPHIES CEA

(Classification du système international de documentation nucléaire SIDON/INIS)

A 11 Physique théorique A 12 Physique atomique et moléculaire A 13 Physique de l'état condensé A 14 Physique des plasmas et réactions Ihcrmonucléaires A 15 Astrophysique, cosmologie et rayonnements cosmiques A U) Conversion directe d'énergie A 17 Physique des basses températures A 20 Physique des hautes éneigios A 30 Physique ncu Ironique et physique nucléaire

If 1 i Analyse chimique et isotopique U 12 Chimie minérale, chimie organique et physico-chimie B 13 Radiochimic et chimie nucléaire l) 14 Chimie sous rayonnement 13 15 Corrosion B 16 Traitement du combustible B 21 Métaux et alliages (production et fabrication) B 22 Métaux et alliages (structure et propriétés physiques) B 23 Céramiques et cermets B 24 Matières plastiques et autres matériaux B 25 Effets des rayonnements sur les propriétés physiques

des matériaux B 30 Sciences de la terre

C 10 Action de l'irradiation externe en biologie C 20 Action des radioisotopes et leur cinétique

C 30 Utilisation des traceurs dans les sciences de la vie C 40 Sciences de la vie : autres études C 50 Radioprotectlon et environnement

1) 10 Isotopes et sources de rayonnements

D 20 Applications des isotopes cl des rayonnements

Thermodynamique et mécanique des fluides Cryogénie

Installations pilotes et laboratoires Explosions nucléaires Installations pour manipulation de matériaux radioactifs Accélérateurs Essais des matériaux Réacteurs nucléaires (en général) Réacteurs nucléaires (types) Instrumentation Effluents et déchets radioactifs

Economie Législation nucléaire Documentation nucléaire Sauvegarde et contrôle Méthodes mathématiques et codes de calcul Divers

E E E E E

E E E E

U 12 13 14 15

16 17 20 30

E 40 E

F F F

50

10 20 30

F 40 F 50 F 60

Rapport CEA-R-4659

Cote-matière de ce rapport : A. 13

DESCRIPTION-MATIERE (mots clefs extraits du thesaurus SIDON/INIS)

en français

100] OXYDES DE MAGNESIUM SILICIUM STRUCTURE ELECTRONIQUE MONOCRISTAUX

[01] ANNIHILATION POSITONS ETAT LIE POS1TONIUM FONCTIONS D'ONDE CORRELATION ANGULAIRE DISTRIBUTION ANGULAIRE RAYONNEMENT GAMMA SPECTRES GAMMA

[02] RAYONNEMENT X EFFET COMPTON

en anglais

[00] MAGNESIUM OXIDES SILICON ELECTRONIC STRUCTURE MONOCRYSTALS

[01] ANNIHILATION POSITRONS BOUND STATE POSITRON1UM WAVE FUNCTIONS ANGULAR CORRELATION ANGULAR DISTRIBUTION GAMMA RADIATION GAMMA SPECTRA

[02] X RADIATION COMPTON EFFECT

- Rapport CEA-R-4659 -

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay Institut National des Sciences et Techniques Nucléaires

ETUDE EXPERIMENTALE PAR ANNIHILATION DU POSITON DE LA DISTRIBUTION EN MOMENT DES ELECTRONS DANS L'OXYDE DE MAGNESIUM ET LE SILICIUM

ET COMPARAISON A LA DIFFUSION COMPTON

par

Alain HAULBERT

Thèse présentée à l'Université de Paris, pour obtenir le Titre de Docteur 3ème Cycle

Soutenue le 28 novembre 1974

- Avril 1975 -

•:r.i'-R-.1GS0 - HAUMIERT Alain

ETUDE EXPP.RIMENTALE PAR ANNIHILATION DU POSITON DE LA DISTRIBUTION EN MOMENT DUS ELECTRONS DANS L'OXYDE DE MAGNESIUM ET LE SILICIUM ET COM­PARAISON A LA DIFFUSION COMPTON

Sommaire.- Les distributions en moment linéaires des électrons mesurées par corrélation angulaire des gnmmns d'nnnihllation du positon dani des monocristaux d'oxyde do magnésium et de silicium sont comparées a des profils Compton do valence expérimentaux. Ces comparaisons montrent que, jusqu'à la limite de la zone de Brillouin pour MgO et la limite de Jones pour Si, le positon, qui s'annihile essentiellement avec les électrons do valence perturbe peu les distributions en moment des électrons. Par contre, malgré les incertitudes sur les queues des profils Compton do valence, comme nois le vérifions pour MgO, la prohabilité d'annihiln-tiondu positon au-delà des limites de zone, est nettement réduite. Dans le silicium, une normalisation correcte, obtenue par mesure du temps de vie, des courbes do corrélation angulaire indique une décroissance du renforcement do densité en moment au-delà de la limite do zono par un facteur 3.

1975 123 n.

Commissariat à l'Energie Atomique - France

CEA-R-4659 - HAULBERT Alain

EXPERIMENTAL INVESTIGATION BY POSITRON ANNIHILATION OF ELECTRON MOMEN­TUM DISTRIBUTIONS IN MAGNESIUM OXIDE AND SILICIUM AND COMPARISON WITH COMPTON SCATTERING

Summary.- The linear momentum distribution of electrons as measured by the angular correlation of annihilation quanta in magnesium oxide and silicium monocrystals are compared with experimental valence Comp­ton profiles. These comparisons show that over the first Brillouin zone for MgO and over the Jones zone for Si, the positron, which mainly annihilates with valence electrons, not much disturbs electron momentum distributions. On the other hand, despite the incertc.inties on tails of valence Compton profile's, as we verify in MgO, the annihilation pro­bability of positron beyond these limits is clearly dehanced. In Si, a correct normalisation of angular correlation curves from lifetime mea­surements indicates a decrease of the momentum density enhancement by a factor 3 beyond the zone boundary.

1975 123 o.

Commissariat a l'Energie Atomique - France

Ce travail a été effectué â l'Institut National des Sciences

et Techniques Nucléaires.

Je tiens â exprimer ici ma reconnaissance à

Monsieur le Professeur BERGERARD, Directeur de l'Institut National des

Sciences et Techniques Nucléaires

et à

Monsieur BAUER, Adjoint au Directeur de m'avoir accueil l i dans leur

établissement et de m'avoir donné la possibilité de mener à bien ce

travail.

Je tiens à remercier Monsieur le Professeur CURIIEN qui me

fait l'honneur de présider le jury pour les encouragements qu'il m'a

prodigués au cours de la collaboration dans son laboratoire.

Je remercie Monsieur le Professeur FRIEDEL de l'intérêt

qu'il a porté à cette thèse et de ses suggestions.

Je remercie Monsieur le Professeur VALENTIN qui a Dien voulu

diriger cette thèse et m'a prodigué ses conseils.

Je tiens à exprimer ma gratitude à Monsieur PAULIN qui,

tout au long de ce travail, m'a aidé au laboratoire et au cours de la

rédaction.

Je remercie Madame LOUPIAS, du Laboratoire de Minéralogie

et de Cristallographie de PARIS VI, qui m'a fourni les spectres Ccmpton

de l'oxyde de magnésium grâce auxquels j'ai pu faire une partie de cette

étude.

Je tiens également à remercier le Professeur BRANDT pour

les fructueuses discussions que j'ai eues avec lui.

- INTRODUCTION

I - A N N I H I L A T I O N DU POSITON

1 - 1 . Processus d 'annih i la t ion

1 - 1 . 1 . Annih i la t ion libre

1-1.2. Etats liés

1 - 1 . 2 . 1 . Positonium (Ps)

1-1 , 2 . 2 . Autres états liés

I - 2 . Caractéristiques de l 'annih i la t ion

1-2. 1 . Temps de vie du positon

1-2,2. Distributions angu'aire et énergétique des deux

gammas d 'annih i la t ion

1 - 3 . Nature de l ' information obtenue par annihi lat ion du positon

1 - 3 . 1 . Corrélat ion angulaire

1-3.2. Temps de vie

Il - DIFFUSION DES RAYONS X

11 - 1 . Diffusion des rayons X par des électrons libres

II - 2. Diffusion des rayons X sur des électrons liés

11-2 .1 . Diffusion Compton

11-2. 1 . 1 . Profi l Compton

11-2.1 .2 . Sections efficaces

11-2.2. Informations données par la mesure du prof i l Compton

III - DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX

III - 1. Apparei l lage de corrélat ion angulaire

111-1.1. Description générale

111-1.2. SourceR +

111-1.3. Positionnement de la source et de l 'échant i l lon

111-1.4. Résolution angulaire

l l l - l . 4 . I . Résolution angulaire suivant Oz

I l l - l . 4 . 2 . Résolution angulaire suivant Oy

l l l - l . 5 . Système de détection - Electronique associée

II I — 7. 6. Bruit de fond - Di f f ract ion - Absorption - Or ig ine des

abcisses

l l l - l . 6 . 1 . Bruit de fond

111-1.6.2. Di f f ract ion - Absorption

l l l - l . 6 . 3 . Zéro de l 'échel le des abcisses

III - 2. Spectres de diffusion Compton

111-2.1. Diffusion Y

111-2.2. Diffusion X

IV - DISTRIBUTIONS EN MOMENT LINEAIRES DES ELECTRONS DANS L'OXYDE

DE MAGNESIUM ET DANS LE SILICIUM

IV - 1 . Distributions en moment linéaires des électrons dans l 'oxyde

de magnésium

IV-1 .1 . Comparaison des spectres de diffusion Compton expérimental

et théorique

I V - 1 . 2 . Distr ibut ion angulaire des d 'ann ih i la t ion

I V - 1 . 3 . Normalisat ion des courbes de corrélat ion angulaire

IV-1 . 3 . 1 . Temps de v ie du positon dans MgO

I V - 1 . 3 . 2 . Densité moyenne des électrons au site du

positon

IV—1 . 4 . Comparaison relat ive de la distr ibut ion angulaire des

d 'annih i la t ion et du prof i l Compton

IV - 2. Distributions en moment linéaires des électrons dans le Si l ic ium

1V-2.1 . Comparaison des profi ls Compton mesurés par diffusion

de rayonnements X et y

1V -2 .2 . Distr ibut ion angulaire des vd ' ann ih i l a t i on

I V - 2 . 3 . Comparaison relat ive des distributions en moment

l inéaires, théoriques et expérimentales, par annih i la t ion

du positon et diffusion Compton

I V - 2 . 3 . 1 . Comparaison avec le gaz d'électrons libres

des distributions en moment l inéaires

I V - 2 . 3 . 2 . Comparaison des densités moyennes mesurées

dans l'espace des moments

I V - 2 . 3 . 3 . Comparaison avec les distributions en moment

l inéaires calculées dans le réseau cr is ta l l in

a) Or ig ine de la discontinuité observée

b) Inf luence de l 'anisotropie de la fonct ion

d'onde du positon

c) Composantes de grands moments

I V - 2 . 4 . Comparaison absolue des distributions en moment linéaires

1V-2 .4 .1 . Densité électronique moyenne au site du positon

I V - 2 . 4 . 2 . Comparaison absolue

- C O N C L U S I O N

- BIBLIOGRAPHIE

- ANNEXE : ANALYSE DES SPECTRES DENSlTOMETRES DE DIFFUSION X

A - l Paramètres expérimentaux

A - l l Etapes du traitement numérique

A - I l . 1 . Erreur statistique - Pas d ' his to graphie

A - l l . 2 . Echelle des abcïsses

A - l 1.3. Soustraction du fond

A - U . 4 . Corrections dépendant de la longueur d'onde

A - l l . 4 . 1 . Absorption dans l 'échant i l lon

A - l l . 4 . 2 . Corrections dépendant de la longueur

d'onde dans l 'analyseur

A - l l . 4 . 3 . Intensité - Section eff icace d i f férent ie l le

A - l 1.5. Séparation des spectres dûs à la raie K& . et à

la raie Kc<7

A - l l . 5 . 1 . Généralités

A - l l . 5 . 2 . Déconvolut ion - Bande de confiance

A - l l . 5 . 2 . 1 . Décon/o lut îon

A - l l . 5 . 2 . 2 . Coupure des séries de Fourier

Bande de confiance

A - l l . 6 . Spectre théorique

- 1 -

INTRODUCTION :

La corrélat ion angulaire des gammas d 'annih i lat ion du positon ou le

prof i l Compton obtenu par diffusion des rayons X ou Y , mesurés dans les

solides donnent en principe une information sur la distr ibut ion en moment des

électrons. Cette information est essentielle car e l le permet de testei les

fonctions d'onde électroniques calculées théoriquement pour prévoir les

propriétés d'un système physique.

Si dans le cas de la diffusion Compton on peut obtenir directement

des renseignements sur la distr ibut ion en moment, dans le cas de l 'ann ih i la ­

t ion du positon, part icule chargée posit ivement, l ' in teract ion de ce dernier

avec le mi l ieu modif ie la densité électronique comme l ' indique parallèlement

la mesure de temps de vie du positon qui est inversement proportionnel à la

densité électronique totale vue par le positon. Heureusement, l 'expérience

et la théorie montrent que dans les métaux, l ' in teract ion du positon avec le

mi l ieu est peu dépendante du moment. D'où le succès de la technique de

corrélat ion angulaire en positon , pour laquelle la finesse et la s impl ic i té

d'analyse des mesures constituent des avantages non négligeables sur la

technique Compton.

L' interprétat ion des courbes de corrélat ion angulaire n'est cepen­

dant jamais sans une certaine ambiguïté, car dans l ' ignorance d'une fonct ion

d'onde précise du positon, i l est toujours d i f f i c i l e d'estimer dans quelle

mesure certaines informations sont le ref let de la fonction d'onde du positon

ou de ce l le de l 'é lec t ron. Il est donc part icul ièrement intéressant de com­

parer les distr ibutions en moment obtenues expérimentalement sur le même

élément par ces deux méthodes af in d'essayer d'apprécier l ' inf luence de la

fonct ion d'onde du positon.

Nous avons choisi d 'é tud ie r , hors du cadre des métaux, deux mono­

cr istaux, l'un isolant, l 'oxyde de magnésium, l 'autre semi-conducteur, le

s i l i c i um, car ceux -c i présentent suivant l 'or ientat ion cristal lographïque une

- 2 -

structure part icul ière sur les courbes de corrélat ion angula i re, et qu'en outre

i l existe dos calculs théoriquos de distr ibution do moment pour ces deux

corps.

Cotto étudo nous pormot donc, aprbs uno rovuo sommaire sur

l 'annihi lat ion du position et la diffusion dos rayons X , d'aborder los problèmes

d'analyse dos résultais expérimentaux, de comparer les courbe* expérimentales

analysées avec les courbes théoriquos existantes, et d'apprécier f inalement dans

ces cas part icul iers la pertubatîon résultant de la présence du positon dans le

m i l i eu .

- 3 -

ANNIHILATION DU POSITON

L'annihilation d'une paire électron-positon respectivement particule

ot antiparticulo donne naissance a l'émission de quanta électromagnétiques. '

Le bilan d'ônergie-impulsion ne rend possible l'émission d'un seul gamma

qu'en présence d'un troisième corps tel que noyau ou électron. La paire

électron-positon peut former un état singulet (spins "parallèles") ou triplet

(spins "antîparallôles"). Par conservation du produit CP (opérateur de

conjugaison de charge par opérateur de parité), dans le cas de particules

lentes (moment orbital nul),la paire dans son état singulet s'annihile en un

nombre pair de photons et dans son état triplet en un nombre impair.

1-1. Processus d'annihilation

1-1. I . Annihilation libre

Lorsque les particules de la paire sont libres, les sections efficaces

d'annihilation, dites alors libres, en n + 1 photons et n photons, sont dans 2

un rapport de l'ordre de la constante de structure fine,G. =e / - t f c , soit

n, ,\ /a -OC. Ceci n'est pas vrai, dans le cas de l'émission d'un In+Uy n^ 3

seul photon où la présence d'un troisième corps donne O „y / a Y ~ a .

Par conséquent les émissions de deux ou trois gammas d'annihilation sont

les plus probables.

3 Pour un positon et un électron de vitesse relative v « c , Dirac ,né

gltgeant l'attraction coulombienne des deux particules, donne l'expression

suivante de la section efficace d'annihilation en deux gammas :

G 2Y = * ' o c / v ( 1 )

- 4 -

où r est le rayon classique d< l 'électron et o

° 3 Y / 0 2 Y = 1 / 3 7 2 ( 2 > '

De l'expression (1) la section eff icace a deux y est inversement

proport ionnelle à la vitesse v ; par suite l 'ann ih i la t ion en vol est moins p ro ­

bable que cel le d'un positon au repos ou du moins "thermalisé" dans le sens

de la thermodynamique statist ique.

De (1) et (2) nous concluons donc, que l 'annih i la t ion l ibre la plus

probable est cel le d'un positon lent avec un électron en deux gammas.

1-1 . 2 . Etats liés

1 - 1 . 2 . 1 . Positonium (Ps)

4 L 'état l ié électron-positon postulé par Mohorovicîc et mis en

5 évidence par Deutsch , a une structure tout à fai t analogue à cel le de

l'atome d'hydrogène, mais avec une masse réduite moi t ié . Par conséquent,

cet "atome" appelé positonium ( Ps ) a une énergie de liaison ED de D

6.8 eV et un rayon orbital double de celui de Bohr. Il existe deux états

fondamentaux, l 'orthopositonium (état t r ip let) et le parapositonîum (état

singulet). Comme pour l 'annih i la t ion l ibre ces deux états s 'annihi lent respectivement en 3 et 2 gammas. Dans la mat ière, les conditions

6 7 énergétiques de formation de Ps caractéristiques du mi l ieu '

( interval le de Ore) ne sont rencontrées que dans des cas part icul iers.

1 -1 .2 .2 . Autres états liés

Le positon peut, théoriquement, former, avant de s'annihi ler des

états liés avec des ions négatifs ou des atomes. Ces composés dits de g

Wheeler , ont une énergie de liaison (~ 0.5 à 1 eV) plus pet i te que cel le du

positonium ; leur existence n'a pas cependant été révélée expérimentalement.

Dans un solide le positon peut également être piégé par des lacunes d'ions

posit i fs, ou d'autres défauts cristal l ins tels que dislocations. Ce processus

- 5 -

est mis en é v i d e n c e e x p é r i m e n t a l e m e n t ; les mesures fa i tes mont rent une

sec t ion e f f i c a c e d ' a n n i h i l a t i o n comparab le aux snct ions e f f i caces d ' a n n i h i -9

lo i on par l e . autres mécanismes. Brandt a éga lement proposé le p i égeage de

la p a i r e é l e j t r o n - p o s i t o n dans des vacances de charge p o s i t i v e ou n é g a t i v e .

Dans le domaine des techn iques qu i u t i l i sen t l ' a n n i h i l a t i o n du

p o s i t o n , l ' é tude des défauts t i e n t a c t u e l l e m e n t une p l a c e très impor tan te

1-2. Carac té r i s t i ques de l ' a n n i h i l a t i o n

Un événement d ' a n n i h i l a t i o n peut êt re d é f i n i e x p é r i m e n t a l e m e n t

par le temps que v î t un pos i ton avan t de s ' a n n i h i l e r ou par les c a r a c t é r i s ­

t iques énergé t iques ou de c o r r é l a t i o n des deux rayons gammas émis à la su i te

de c e t t e a n n i h i l a t i o n .

Dans le p remie r cas le temps de v i e est o b t e n u s imp lemen t en

mesurant d i r e c t e m e n t le temps qu i sépare l 'émiss ion du pos i ton de son

a n n i h i l a t i o n . Dans le d e u x i è m e cas on mesure soit la d i s t r i b u t i o n en éne rg ie

des gammas d ' a n n i h i l a t i o n soi t leur d i s t r i b u t i o n a n g u l a i r e .

I - 2 . 1 . Temps de v i e du pos i ton

-12 Dans un so l ide après une t h e r m a l i s a t i o n rap ide ( s 10 s) un pos i ton

qu i s ' a n n i h i l e l i b remen t v i t en moyenne T_ = 1 0 s . Sa p r o b a b i l i t é t o t a l e

d ' a n n i h i l a t i o n par un i t é de temps ou taux d ' a n n i h i l a t i o n X „ Y est d i r e c t e m e n t

p r o p o r t i o n n e l l e à la dens i té é l e c t r o n i q u e moyenne n 'ex i s tan t l oca lemen t à

la pos i t i on du p o s i t o n . Ce taux d ' a n n i h i l a t i o n est i n d é p e n d a n t de la vi tesse

r e l a t i v e des deux pa r t i cu l es ( f a i t e x p é r i m e n t a l ) . M o y e n n é e sur les spins des

deux p a r t i c u l e s , on a a l o r s , la p r o b a b i l i t é t o t a l e :

= X = tt r 2 c n (3) T 2 y 2 Y o

où r est le rayon c lass ique de l ' é l e c t r o n , c la vi tesse de la l um iè re e t

n la dens i té moyenne é l e c t r o n i q u e au s i te du p o s i t o n .

- 6 -

Le taux d 'annih i la t ion en 3^ / A o e s f négligeable devant ce lu i

à 2-j- , car

A / A = 1 / 3 o / o = 1 / 1 1 1 6 (4)

où le facteur 1/3 provient de la moyenne sur les spins (les 3f sont issus d'un

état t r ip le t ) .

Lorsqu'il y a formation de positonium, la vie moyenne du paraposi-

tonium est Tp-Ps = 1 .25 10 s et ce l le de l 'orthopositonium e s t ! „ = _ r r o-Ps

1 .4 10 s dans le v ide . Cependant la vie dans un solide de ce dernier est

fortement abrégée (c^) nsec) par " p î c k - o f f " , c 'est -à-d i re annih i la t ion du

positon avec un électron autre que ce lu i auquel i l est l i é .

La mesure du temps de vie du positon doit donc nous permettre d'ob­

tenir des informations sur la densité totale d'électrons n vue par le positon

dans un mil ieu donné. S' i l y a d'autres mécanismes d 'annih i la t ion tels que

annih i la t ion dans des lacunes, dislocations e tc . . . , on peut également en

pr incipe par analyse du spectre de temps de vie obtenir des renseignements

sur ces types de défauts.

1 -2 .2 . Distributions angulaire et énergétique des deux gammas

d 'annih i la t ion

Lorsqu'un positon thermalîsé s'annihi le avec un électron au repos,

les deux gammas résultant sont émis à 180° par conservation des quantités de 2

mouvement et emportent une énergie me =511 keV par conservation de

l 'énerg ie. Si la paire électron-positon possède une certaine quantité de

mouvement "p, les directions des deux gammas pour compenser p, s'écartent

d'un angle par rapport è 180° , et leurs énergies di f fèrent d'une quantité

AE. En effet , le bilan d 'énergie- impulsïon, nous donne :

2 2 p / 2 m + 2m c = + f U , + - k u 2 (5)

P =-h" kj +-h-iT2 (6)

- 7 -

où h (k. , U . ) et h" ( k „ , (J «) sont les quadrivecteurs impulsion-énergie des

deux gammas.

De l'expression (6), les trois vecteurs impulsion sont coplanaires.

Prenons ce p lan, comme plan d'observat ion, que nous orientons avec un

axe O x , co l inéai re à k. et un axe Oz perpendiculaire à Ox dans ce plan

(Fig. 1) .

Fig. 1

Dans ce système d'axes, en remarquant qu'en général p « me et donc 2

+ru . _ = m c et e pe t i t , i l vient :

p / m c =e r z

(7)

p c / 2^-rrco. -4r u - = AE (8)

La mesure de ©ou A E donne donc une information sur les composan­

tes de p dans le plan d'observation (Ox z ) . En fa i t les paires é lect ron-pos i ­

ton ont une distr ibution en quantité de mouvement. Si P (p) est la densité de

paires électron-positon dans l'espace des moments, la probabi l i té d ' a n n i h i -

lafrîon en deux gammas par unité de volume v (p) dans cet espace est ;

Y(p) = K rQ2 c p (p)

- 8 -

En corrélation angulaire convent ionnel le , on observe dans un plan

Ox z les Y d 'annihi lat ion avec un système do fontes très longues suivant O y

et étroites suivant O z , ceci revient à faire une moyenne de Y (p) dans le

plan perpendiculaire à p . Le nombre de paires gamma N ( Q ) détectées par

coincidence a un angle G donne reflète alors le nombre de paires é lec t ron-

positon ^'annihilant avec une composante de moment p ,

-4- r>o •J>oa

N ( e ) o c N ( p z / m c ) = | d p x J d p .j(p) (9)

Nous mettons ic i le symbole porport ionnel , car pratiquement, le

comptage dépendra de quantités constantes intrinsèques a l 'expérience, tel les

que, par exemple, le taux de positons qui pénètrent la c ib le étudiée, qui

sont mal connues.

De même, dans le cas d'une analyse en énergie de l 'effet Doppler

on mesure

N ( A E)ooN ( c p / 2 ) = j dp y dp z v (p ) (10)

N (p Jest la distr ibut ion en moment l inéaire des deux gammas z,x d 'annih i la t ion de la paire é lect ron-posi ton.

D'autres dispositifs expérimentaux, sont possibles, l 'emploi de

pupil les (géométrie po int ) , au l ieu de fentes, donne une distr ibution b i d i -

mensionnelle, puisque l'on fa i t une moyenne dey (p) sur une seule d i rec t ion .

Enf in , par combinaison de la géométrie point et de la mesure d'effet Deppler ,

on peut obtenir directement la probabi l i té tr idimensionnelle y (p).

A partir des mesures de distr ibut ion l inéaire dans plusieurs d i rec ­

tions obtenues à l 'aide de géométrie fentes ou par effet DOppler i l est possi­

ble de remonter à la probabi l i té trimensionnelle en inversant deux fois la

relat ion intégrale (9) ou (10). Il est aussi possible d 'obtenir une valeur

- 9 -

loyenne <-^ (p) > par la relation ,

<Y(P»_ ° C J_ dN (pz) pz dpz

o C < p ( p ) >

ux

qui est identique 6 -y (p) et donc p (p) lorsquo ces distributions sont isotropes.

Remarquons ic i l 'avantage de la géométrie point qui ne nécessite

qu'une seule inversion pour obtenir une distr ibution tr idimensionnelle ; quant

à la combinaison géométrie point et de la mesure d 'ef fet DOppler, e l le est

une solution idéale puisqu'el le ne nécessite aucune inversion. Toutes ces

méthodes sont actuel lement ut i l isées, cependant les impératifs expérimenta

de statistique de comptage et de résolution l imitent certaines d'entre el les.

La méthode de corrélat ion angulaire (fentes ou géométrie point) est

la plus employée. En effet la résolution angulaire donnée par une fente (une

pupi l le) de 1 mm de largeur à 2 m du lieu d 'ann ih i la t ion , soit un -3

Ae= Ap / mc2 0.5 10 , est bien meil leure que la résolution équivalente ~ 1 -3

d'une diode détectr îce en énergie qui donne Ap /mc~ cTT — 4. 10 , que l'on peut comparer par exemple au moment de Fermi de l 'Aluminium

_3

p_ / mc^ 7.10 . L 'ut i l isat ion des fentes a l 'avantage d'une meil leure stat is­

tique de comptage sur l 'u t i l isat ion de pupil les de même largeur (même réso­

lution) puisque l 'angle solide de détection est plus grand.

—̂ L'information de corrélat ion angulaire sur P (p) n'est que re lat ive

et ne suffit pas à e l le seule pour déterminer de manière absolue la d is t r ibu­

t ion de moment l inéa i re . La mesure absolue de cette distr ibut ion implique en

effet une correcte normalisation en surface de la courbe de corrélat ion angu­

laire qui nécessite une information supplémentaire. Cette information peut dans

le cas d 'annih i la t ion l ibre être en général fournie par la mesure indépendante

du temps de vie étant donné que

- = A = j i r c n = 7 t r c 2y o o / ( j f ^ p f ) oc|dpz N(pz) (11)

- 10 -

En comb inan t les in fo rmat ions de temps de v i e et de c o r r é l a t i o n

a n g u l a i r e la méthode du posi ton perme'r donc d ' a c c é d e r à la d i s t r i b u t i o n de

moment l i n é a i r e en v a l e u r absolue

1-3. N a t u r e de l ' i n f o r m a t i o n ob tenue par a n n i h i l a t i o n du pos i ton

Si comme nous venons de vo i r l ' a n n i h i l a t i o n du pos i ton est en p r i n ­

c ipe capab le de f ou rn i r des i n fo rma t ions sur les propr ié tés é l ec t r on i ques des so l i ­

des, i l reste à examiner plus en dé ta i l s q u e l l e est la nature exac te et la q u a ­

l i t é des in fo rmat ions a ins i obtenues à la lumiè re des nombreux t ravaux dé jà

réal isés pa r la méthode du pos i ton p r i n c i p a l e m e n t dans les m é t a u x .

1-3. 1 . C o r r é l a t i o n a n g u l a i r e

Les d is t r i bu t ions de moments l inéa i res observées e x p é r i m e n t a l e m e n t

dans les métaux simples te ls que les a l c a l i n s ou l ' a l u m i n i u m fon t apparafTre

l ' e x i s t ence de deux composantes . La plus in tense de ces composantes de

forme p a r a b o l i q u e correspond à l ' a n n i h i l a t i o n a v e c les é lec t rons l ibres et

s 'annu le pour p = + k p comme le p r é d i t la théo r ie de Sommer fe ld ( c f . F i g . 2).

i 1 1 1 1 1 r N ( 9 )

ALUMINIUM

«L e(mrad)

6 8 10 12 H 16 16 20

F ig . 2

- n -

Cette composante parabolique se superpose à une distr ibut ion plus

Inrge dont l ' intensité pour ce type de métaux ne dépasse pas 10%. Ces résul­

tats prouvent que le positon s 'annihi le préférentiel lement avec les électrons

de va lence , (c 'es t -à -d i re les électrons de conduction dans les métaux) ,qu ' î I

s 'annihi le thermalisé (pn a« o) puisque l'on obtient le moment de Fermi de:

électrons et quesa présence ne perturbe pas visiblement la dépendance en

moment de la densité des électrons libres p (p) = qjp) pour p < k . A con ­

d i t ion de soustraire correctement la composante large, la corrélat ion angu la i ­

re constitue donc une méthode convenable pour étudier les surfaces de Fermi

et en part icul ier leurs anisotropîes. Cette estimation de la composante large

qui implique son extrapolat ion pour p < k p peut être fa i te avec une bonne

précision dans les métaux simples où la discontinuité au niveau de Fermi est

nettement marquée. Il n'en est pas de même dans des métaux plus complexes

tels que les métaux de transition et métaux nobles où son intensité peut

atteindre 60 % et où la discont inuité à p = k_ est d i f f i c i l e a observer z F

(cf. F ig .3 ) .

12

9 ( m rad )

10 12 14 16 18

Fig. 3

20 22

Dans ce cas cette estimation s'avère très hasardeuse en raison de la

complexité de cette composante dont la nature n'a jusqu'alors jamais pu être

complètement analysée quant i tat ivement.

- 12 -

Diverses causes peuvent être en effet à l 'or ig ine des "queues"

observées à p > k- en corrélat ion angulaire.

Les contributions aux grands moments données par les électrons de

conduction peuvent provenir de la distortion de leur fonct ion d'onde au

voisinage d'un i on , de leur interact ion avec le réseau,de l ' in teract ion

électron-électron (effets à plusieurs corps).

Le positon de par sa charge positive est repoussé par les ions. Sa

probabi l i té d 'annih i la t ion au voisinage du noyau avec les électrons liés du

"coeur" est donc en pr incipe plus faible que son annih i la t ion avec les é lec ­

trons de valence dont i l n'explorera vraisemblablement que très mal la d is­

tort ion de la fonction d'onde signalée précédemment. On doit donc en p r i n ­

cipe s'attendre à ce que le positon révèle mal la contr ibut ion des électrons

de valence aux grands moments. Par contre, du fa i t de la répulsion du

coeur, le positon, confiné dans un volume direct plus restreint, aura une

fonction d'onde dans l'espace des moments plus étendue (théorie du volume 12

exclu) , d'où un apport aux grands moments. Par a i l leurs, Berko et Plaskett ,

ont souligné pour expl iquer les distributions aux grands angles des métaux de

transition et métaux nobles, la possibil i té d 'ann ih i la t ion du positon avec une

partie des électrons du coeur. Ils ont ainsi calculé que dans le cu iv re ,

environ 60% des événements détectés sont attrïbuables à l 'annih i la t ion du

positon avec les électrons de la couche M . Cependant ce pourcentage ne

rend pas compte du temps de vie du positon mesuré dans le cu iv re .

- 13 -

Ces propriétés caractéristiques du positon tendent à masquer les

contributions des électrons presque libres à p >̂ k_ et l ' informat ion sur

(p) a p >̂ kp contenue dans les courbes de corrélat ion angulaire est d i f ­

f ic i lement exp lo i tab le . La technique du prof i l Compton qu i , comme nous

le verrons, donne une information directe sur la densité é lectronique, ne

présente pas cet inconvénient. D'où l ' in térêt de comparer "Compton" et

positon pour voir dans quel le mesure les informations surp(p) à p y kp

contenues dans les nombreux travaux déjà publiés sur l 'annih i la t ion du

positon sont susceptibles d'être exploi tés.

Dans les semi conducteurs tels que le s i l ic ium ou germanium les

13

distributions angulaires observées des gammas d 'annih i la t ion sont carac tér i ­

sées comme dans les métaux simples par une contr ibut ion dominante des é lec­

trons de valence et une composante large dont l ' intensité ne dépasse pas 10%.

La composante de valence n'est plus parabolique et les structures observées

sont caractéristiques de l 'or ientat ion crîstallographique de l ' échan t i l l on .

Des structures sont également observées sur les courbes de corré la-14

t ion angulaire de certains isolants . Ces structures sont étroitement liées aux

propriétés du réseau réciproque de ces cristaux mais on ignore encore quel est

le rôle exact joué par la fonct ion d'onde du positon dans l 'appar i t ion de ces

structures.

1-3.2. Temps de vie

Lorsque dans les métaux "normaux" on appl ique, comme en corré la­

t ion angula i re , la théorie des électrons libres deSommerfeld pour expl iquer

les temps de v ie , on obt ient un désaccord complet avec l 'expér ience. En

effet suivant cette théor ie , nous devons avoir :

-1

l = À = 7 t r 2C n avec n = ( ~ a 3 r 3 ) = N . c/ïfp/A (12)

X o \ 3 o s ' val

- 1 4 -

N v a l

P

A

Jlf

= nombre d'électrons de valence (conduction) par atome

= poids spécif ique

= masse atomique

= nombre d'Avogadro

= rayon de Bohr

- paramètre sans dimension caractéristique de la densité d'é­

lectrons libres par unité de volume atomique

Pour l 'aluminium^- £-2)et le sodium(r - 4)qui sont aux extrémités

de l ' in terva l le recouvrant les densités usuelles des métaux, on a respect ive-9 - 1 9 - 1

m e n t ^ S 1 . 5 x 1 0 s e t X l ~ 0 . 2 10 s , alors que les valeurs expérimen-9 - 1 9 - 1

taies sont de 5 .8 x 10 s e t 3 . x l 0 s '

Donc la théorie de Sommerfeld, n 'expl ique ni les valeurs expér i ­

mentales proprement dites ni la var iat ion beaucoup plus lente des temps de

vie en fonction de la densité moyenne des électrons libres dans les métaux

(«g. 4).

B.D -

2 5.0

I t.O a

| 3.0

-o X

2.0

1.0

T i — n 1 1 1 1 i — X EXPERIENCE 72

o KAHANA

• CARBOTTE

SOMMERFELD

*K xCs X POS. -

rs (u.a. l

6.0 7.0

- )5 -

I l faut remarquer que le taux d 'annih i la t ion du parapositonium libre 9 -1

de 2 . 10 s semble correspondre expérimentalement à une l imi te inférieure

du taux d 'ann ih i la t ion . Les mesures de temps de vie révèlent une forte i n t e ­

raction du positon avec le m i l i eu , mais qu i , au vu des courbes de corrélat ion

angula i re, est peu dépendante du moment dans le cas des métaux normaux,

tout au moins pour la part ie parabol ique.

L 'expl icat ion de ce désaccord est en grande part ie donnée par l ' i n ­

teract ion coulombienne du positon avec le mi l ieu é lect ron ique. Dans un 15 16

modèle de gaz d'électrons l ibres, Daniel et Friedel , Kahana et

Carbotte , ont calculé le renforcement de la densité électronique au v o i ­

sinage du positon. Sur la f igure 4 sont portés les résultats obtenus par

Carbotte et Kahana. La dif férence restante peut être expl iquée par la p ré­

sence de la composante large peu intense sur les courbes de distr ibut ion

angulaire et ne t donc en bon accord théorie et expérience pour les métaux

normaux. 18

C . K . Majumdar a établ i théoriquement pour un gaz d'électrons

libres en interact ion que la présence du positon ne modif ie pas la présence

d'une cassure au moment de Fermi calculé pour le gaz d'électrons libres

non interagissant. Stewart cependant a observé dans le sodium une mo­

d i f i ca t ion de cette cassure due à la non thermalisation du positon et mesure 20

ainsi une masse ef fect ive du positon m = (1,9 + 0,3) m . Bergersen a

toutefois calculé que la seule interact ion électron-posi ton ne pouvait e x p l i ­

quer une masse ef fect ive supérieure à 1,1 m . Pour obtenir une masse

ef fect ive voisine de la valeur mesurée, i l faut en effet estimer, comme l'a 21

fa i t Mikeska , l ' in f luence de l ' in teract ion positon-phonon qui s'avère

l 'ef fet prépondérant.

En conclusion, pour les métaux la technique d 'ann ih i la t ion du

positon semble susceptible d'apporter des informations sur la densité é lec -

troniqueo(p) pour les électrons de conduction qui ont un moment p ^ P p /

compte tenu d'une interact ion électron-posi ton qui dans ce domaine semble

peu dépendante de moment.

- lé -

Cependant la composante largo qui est d i f f i c i l e à Interprétât' quan t i ­

tativement sur tout le domaine do moment p peut l imiter la précision do l ' i n ­

formation obtonuo *ur la composante dominante aux faibles rnomonts dos ô loc -

trons de conduct ion.

Dans le cas de semi-conducteur» ou d'Isolants, I l est intéressant

d'obsorvor s i , do façon analoguo au cas dos métaux, la corrélat ion angulaire

tiit caractéristique des électrons de valence. Les spectres de diffusion Compron

mesurés permettent d'obtenir la distr ibut ion en moment l inéaire dos électrons.

La comparaison dos courbas do corrélat ion angulaire et dos prof i ls Compton

de valence mesurés sur le même élément peut donc permettre d'apprécier

an pr incipe les modifications apportées par la fonct ion d'onde du positon

aux distributions en moment dos électrons do va lence.

- 17 »

1 ' - DIFFUSION PES RAYONS X 2 2 à H

Los profils Compton sont obtenus à part ir do la diffusion des rayons

X ou dos rayonsv sur lo corps étudié. Bien quo sur le plan do principe les

deux rayonnements donnent la mômo informat ion, des différences surviennent

en raison du domaine d'ônorgîo qui est do l'ordre d'une dizaine de KeV pour

lo SûUrfcO X , et d'une centaine de keV pour la source Y , En Y y les formules

do section eff icace sont nécessairement relativistes et la diffusion mult ip le

(double Compton) n'est pas négl igeable. Les détecteurs sont des

sernl -conducteurs , le rayonnement incident est monochromatique. En X ,

l 'énergie du rayonnement incident est très inférieure à la masse au repos de

l ' é lec t ron , on se place donc dans un domaine non relat ivîste ou semi - re la t i -

v iste. L'emploi d'analyseurs monocristall ins est général . Le rayonnement

incident est un doublet , généralement les raies K a i - K _ données par

l 'antîcathode d'un tube a rayons X .

Notre t rava i ld 'ana lyseayanté té effectuésur des résultats expérimentaux obtenus

à l 'aide de ce type de rayonnement,ce sont ses propriétés de diffusion que nous allons

détai l ler.Examinons toutd 'abord la diffusion sur les électrons libres puisque les diver­

ses approximations utilisées pour t ra i ter la diffusion sur des électrons liés

font intervenir des relations trouvées dans le cas des électrons l ibres.

Il - 1 . Diffusion des rayons X par des électrons libres

Lorsqu'un électron l ibre reçoit un faisceau de rayons X parallèles

non polarisés d' intensité I , i l est soumis à une accélérat ion al ternat ive due au

champ électr ique du rayonnement. Selon la théorie classique de l 'é lect roma-

gnétisme, une part icu le chargée accélérée émet un rayonnement polarisé de

même fréquence que le rayonnement inc ident . Si I est l 'énergie diffusée par

unité d'angle solide dfî dans la direct ion d'observation d'angle *P avec la d i ­

rection inc idente, on a :

I = 1 r 2 (1 + cos2 Y ) / 2 = I ( 4 S - ) T . (13) e o o ' o a i ! Th.

- 18-

2

„ . r _ e . ,_ , . ./do ou r

m< eff icace Thompson.

—x— est le rayon classique de l 'é lectron etf-j-^ J , est la section

Le même calcul appliqué au proton, donnerait une section eff icace

de diffusion dans le rapport inverse de la masse du proton a cel le de l ' é lec -2

Iron au carré, soit (1840) fois plus fa ib le . En conséquence seuls les é lec­trons interviennent dans la diffusion des rayons X par la matière.

Les expériences de diffusion réalisées dans les éléments légers où les

électrons sont quasi- l ibres, ont fait découvrir un effet non prévu,

l 'ef fet Compton

Si une part ie du rayonnement a la même longueur d'onde que le

rayonnement inc ident , l 'autre part ie a une longueur d'onde un peu supérieure

qui dépend de l 'angle de di f fusion. Ce transfert d 'énergie, s 'expl ique en

considérant la col l is ion du photon incident-K (k , to ) avec un électron l ibre

in i t ia lement au repos. Le bi lan d'énergie-împulsion d'une te l le colission

s'écri t

-H w = * to + p ' 2 / 2m ( U )

M~k} = - ^ ^ 2 + P' (15)

où p' est la quantité de mouvement de l 'é lectron après co l l is ion et

-h" (k „ , to „) le quadrivecteur impulsion-énergie du photon diffusé ( l ' i nd ice

o rappelle que l 'électron est in i t ia lement au repos).

Le transfert d'énergie-împulsion étant pet i t devant les caractéristiques

du photon incident (domaine non relat iWste), on a :

2 2 AX = A - A = h° O-cosip ) QUMu s * k o ( 1 6 )

o2 1 ^ o 2m me

avec <J = to - u et k = k „ - k. o 1 o2 o I o2 11

- 19 -

L'écart de longueur d'onde entre le rayonnement diffusé a l 'ang le^

et le rayonnement incident ne dépend que de l 'angle de di f fusion. La quan-hc ° i

t i té =— = 0.024 A = A est appelée longueur d'onde Compton. /L C

me

Considérons maintenant, le cas d'un électron l ibre in i t ia lement non

stattonnairû, avec la quanti té de mouvement p (cf. F ig . 5 ) , le bi lan d'éner­

gie impulsion s'écrit alors

2 ,2

l 2m 2 2m (17)

•h-k. + p = - r f k 2 + p ' (18)

où p' est la quantité de mouvement de l 'é lectron après co l l i s ion , et-h ( k „ ,

U„) la quadrivecteur impulsion-énergie du photon diffusé à l 'angle 9 .

k, / s

/ <p - k

/

k l

Fig. 5

- 2 0 -

Soi t k = k« - k . le vec teu r de d i f f u s i o n e t ' K u =M ( u . - CJ ) la per te  ' _» -*. -J l

d ' é n e r g i e du photon par c o l l i s i o n . L ' é l i m i n a t i o n de p' = p - " h k ent re les

deux équat ions précédentes c o n d u i t à la r e l a t i o n :

, 2 , 2 - -r . ku = ^ ~ - - £ - l j L (19)

2m m

o u , en prenant k comme axe O z ,

[ 2 , 2 p k J f u = * = - £ - - - L - (20)

Zm m

Pour CJ « W . , k ~ k ~ 2 k . s in 9 / 2 , d ' o ù :

* u * * k s L - p JS2 (21) 2m r z m

Nous voyons donc que la per te d ' éne rg ie -hu est cons t i t uée essen--rrk2

t i e l l e m e n t d 'une q u a n t i t é sens ib lement cons tan te - - = — éga le à la pe r te 2m

d ' é n e r g i e lorsque l ' é l e c t r o n est i n i t i a l e m e n t au repos p lus une q u a n t i t é sens i ­

b l emen t p r o p o r t i o n n e l l e à la composante du moment de l ' é l e c t r o n sur le

v e c t e u r de d i f f us i on k (e f fe t D o p p l e r ) . La mesure, à + îu 1 et 9 f i x é s , de "r iu„

d'ob+îu) =-H (co . - 0)„) donne donc une i n f o r m a t i o n sur la composante p du

moment i n i t i a l de l ' é l e c t r o n , par la r e l a t i o n :

La sec t i on e f f i c a c e d i f f é r e n t i e l l e d e J î f f u s i o n C o m p t o n

pour un é l e c t r o n l i b re i n i t i a l e m e n t au repos et pour un f a i sceau de rayons X

i n i t i a l e m e n t non polar isés est donnée par la fo rmu le r e l a t i v i s t e de K l e i n -

N î s h i n a :

- 2 1 -

2 Dans le cas non re la t iv is te , à l'ordre zéro en+10)./me on retrouve

7 s - j T , , et à l'ordre un, on

obt ient

àQ ~ \dQ / T h . \. ^ / ( 2 4 )

2 Le facteur (w ^/u , ) est connu sous le nom de facteur de B re i t -D i -

rac,

Jusqu'à présent nous avons supposé les électrons l ibres, or dans la

mat ière, l 'é lectron est toujours plus ou moins l i é . Que devient la diffusion

des photons sur ces électrons ?

1 1 - 2 , Diffusion des rayons X sur des électrons liés

Avant de parler de diffusion proprement d i t e / i l faut signaler le

processus d'absorption photoélectr ique qui n'est possible en considérant le

b i lan d'énergie- impulsion qu'avec des électrons l iés. Ce processus, qui com­

porte l'absorption d'un photon, est compét i t i f de la d i f fusion. Il est important,

expérimentalement, car i l a f fa ib l î t fortement l ' intensité des faisceaux, l i m i ­

tant ainsi l 'emploi des rayons X pour l 'étude de la diffusion à des éléments

légers. Nous supposerons que nous sommes en dehors des discontinuités d 'ab-

sbrptîon du système d'électrons l iés.

Lorsqu'un faisceau de rayons X diffuse sur un tel système, on obser­

ve un rayonnement de diffusion élastique appelée diffusion Rayleigh de même

énerg ie , que le rayonnement incident et un rayonnement de diffusion inélas­

t ique et incohérente dont l 'énergie est inférieure à l 'énergie inc idente.

Dans ce dernier cas, si l 'é lectron l ié qui a subi la col l is ion va occuper des

états d'énergie positive (électron l ib re) , le processus de diffusion est un effet

Compton sur des électrons l iés. I l correspond & la l imi te dans le continuum

de l 'ef fet Raman - Compton ou l 'é lectron après col l is ion va occuper un état

discret d'énergie négative dif férent de Hétat i n i t i a l . D'autre part dans un

réseau d'atomes organisés le rayonnement cohérent peut , sous formes d'ondes

- 2 2 -

planes, interférer en phase et donner l ieu au phénomène de di f f ract ion de

Bragg.

11-2.1. Diffusion Compton

1 1 - 2 . 1 . 1 . Profil Compton 2 5 , 2 6

Typiquement l 'énergie des rayons X incidents est de l'ordre de 2 2

20 keV (Mo K a ) , et la perte d'énergie par diffusion Compton-H k / 2 de

l 'ordre de 1 keV. Ces valeurs sont notablement plus grandes que les énergies

caractéristiques du système d'électrons dans les éléments légers ; en par t i cu ­

l ier les énergies de l iaison des électrons de valence (quelques eV) . Les

électrons de valence peuvent être considérés comme quasi- l ibres, avec une

quantité de mouvement in i t i a le p. Dans cette hypothèse, les relations (22) et

(24) établies pour les électrons libres restent valables. Si des électrons ont

une certaine distr ibution en quanti té de mouvement P (p), la mesure, pour

-ffOJ. et 9 f ixés, du nombre de photons ayant l 'énergie -rfto» ou ayant perdu

l 'énergie-ffu est proport ionnelle a la quantité :

J (Pz) = / d P x / + d P y P" (?) (25)

où p satisfait la relat ion (22) p = - y - —r—. La courbe J (p ), appelée

prof i l Compton, est la distr ibut ion de moment l inéaire é lectronique.

Les intensités mesurées sont proportionnelles aux sections efficaces

de di f fusion. Nous allons donc formuler ces sections efficaces et les rel ier

plus précisément au prof i l Compton af in de normaliser correctement les

courbes expérimentales obtenues.

- 2 3 -

11-2.1 . 2 . Sections efficaces 27

Considérons l 'harni l tonien H non perturbé d'un électron dans le

champ coulombien V (r)

H = p / 2m + V (r) (26)

Dans un champ électromagnét ique, l 'harni l tonien de couplage H

est :

2 A 2

w - e A

2mc ( p . A + A . p ) (27)

où Â est le potent ie l vecteur du champ.

Dans le domaine d'énergie des rayons X où nous nous sommes placés,

les termes en p. A sont 10 fois plus faibles que H tandis que le terme en A 32 °

est Î0 fois plus pet i t . D 'OÙ la just i f icat ion de l 'emploi d'une méthode

de perturbation pour ca lcu ler la section ef f icace de d i f fus ion. Les termes en

p .A au premier ordre correspondent en effet à l 'absorption et â l 'émission, 2 — —

alors que les termes en A et en p .A au deuxième ordre correspondent à la di f fusion. Comme nous avons supposé que l 'énergie des rayons X est bien supé-

2 rîeure aux énergies de liaison des électrons du système, le terme en A est

dominant dans le processus de d i f fus ion. Dans ces conditions pour un système

de Z électrons, in i t ia lement dans son état fondamental , la section ef f icace

de dif fusion deux fois d i f f é ren t ie l l e , s'écrit :

avec S (k,(J ) = I f

i >

S (k ,u )

2 ô'(u - (E f-E.) ) (28)

où , f et i se réfèrent à l 'état f ina l et in i t ia l et 6((J - (E. - E.) ) exprime la

conservation de l 'énergie. Pour ca lcu ler , le facteur de forme S ( k , u ) ,

- 2 4 -

les approximations suivantes peuvent être ut i l isées. L'approximation de

"temps de col l ision court" ou "stat ique" , mène à la section ef f icace une 29 30

fois d i f férent ie l le do Wal le r -Har t ree . L'approximation d' impulsion ' ,

où le potentiel V ( r ) est négligé et où i l est pris donc comme états finals

des ondes planes , mène à la section eff icace de diffusion Compton deux

fois d i f fé rent ie l le . Cette dernière approximation est d'ai l leurs équivalente 6 la 30 première . Puisque l'on est dans l'hypothèse d'un transfert d'énergie plus

grand que les énergies du système, le temps de col l is ion T - — est court par

rapport aux temps caractéristiques du système. En par t icu l ier on peut supposer

que l 'énergie potent ie l le reste la même immédiatement après la co l l i s ion ,

et donc disparaît dans le bi lan d'énergie de la co l l i s ion . Le fa i t de négl iger

l 'énergie potent ie l le permet de déf in i r le prof i l Compton comme la somme

directe des profi ls Compton dûs à chaque é lec t ron.

La première approximation donne, dans un modèle de particules

indépendantes, la formule de Wal ler -Har t ree

2 o Z do _ / do dft Vdfl / T l

1=1

f. E

i * î = l

f.2

•I , (29 )

où les f.. sont les facteurs de dif fusion atomique définis par : M

fij = h* ( r ) e ' k ° , r * | ( T ) dT (30)

*P. est la fonction d'onde orbi ta le de l 'é lectron i .

I l est à remarquer que f.. est une fonct ion de k soit de k, et *P . i[ o î

A f i n d'être cohérent avec la formulation (24) dans la l imi te où les

f.. tendent vers zéro (électrons l ibres), i l faut corriger la formule d'un fac -1 ' 2

teur (U » / (O ) , ainsi :

- 25 -

où f est mis pour abréviat ion des sommes sur les Z électrons des facteurs de

diffusion atomique.

Dans le cadre de l 'approximation impulsion, on obtient la section

eff icace d i f férent ie l le suivante :

da . (àa \ " 2 m ,

drar -\dirJTh. ^ r J V (32)

où J (p ) déf in i par (25) est le prof i l Compton et p satisfait â la relat ion z z

(24) calculée pour un électron l ibre non stat ionnaire.

Remarquons que si la section eff icace (32) est intégrée sur l 'énergie

diffusée, on obt ien t , compte tenu de (25) et (24) :

w'(w)n Of-)2 z - »» soit une section ef f icace dif férente de cel le de Wal le r -Har t ree , ce qui est

attendu puisque dans l 'approximation impulsion, le potent iel V ( r ) a été

négl igé. Cependant nous allons voir que la formule de Wal ler -Har t ree va

nous se rv i ra normaliser les profils Compton.

A la di f férence du positon, les rayons X "vo ien t " tous les électrons

de la même façon,car i ls rentrenten col l is ion indifféremment avec les électrons

du coeur ou de va lence . Si donc l 'approximation impulsion semble just i f iée

pour les électrons de valence qui ont une fa ib le énergie de l ia ison, e l le ne

le semble pas pour les électrons du coeur qui peuvent avoir une énergie de

l iaison comparable â l 'énergie de transfert.Cependant pour les éléments légers

l 'expérience montre que hormis aux seuils où l 'énergie de transfert est égale à l 'énergie

de l ia ison, l 'approximation impulsion donnetencore une bonne description de la

contr ibut ion du coeur qui est large et varié doucement. Quant â la norma l i ­

sation des profi ls on peut la décomposer en deux, la contr ibut ion des N

électrons de va lence , et cel le des N électrons du coeur qui rendent compte

du facteur de diffusion atomique f, soit :

-26 -

d o \ / d o d Q / W . H . \dQ / T h «.(S?) •k(£&; - f (34)

coeur/

avec N + N = Z v c

11-2.2. Informations données par la mesure du prof i l Compton

La mesure des intensités diffusées du rayonnement X dans les c o n d i ­

tions exposées précédemment est donc une mesure de la distr ibution l inéaire

en moment des électrons. Les résultats expérimentaux montrent que le prof i l

Compton est un test sensible du comportement des électrons de valence. On

observe en ef fet , la discontinuité au moment de Fermi de la distr ibution des

électrons libres d'un métalet la variat ion de paramètres tels que la largeur à

mi-hauteur deux fois plus grande pour le sol ide que pour l 'atome l ibre. Les

corrélations é lect ron-é lect ron sont un autre aspect de la distr ibut ion de mo-31 32

ment, a laquel le le pro f i l Compton est sensible. Daniel et Vosko , Lam ,

ont montré que l 'ef fet de ces corrélations sur les distributions de Fermi, est

d'ajouter une "queue" aux grands moments sans modif ier la position de la d is­

continuité à la surface de Fermi. Le prof i l Compton est probablement un

moyen unique de mesurer directement l 'e f fet de ces corrélat ions.

A noter qu ' i l est possible d ' ob ten i r par effet Compton ,

la densité électronique bidimensionnelle (moyenne sur une direct ion) ou

tr idimensionnelle en mesurant simultanément l 'énergie du photon diffusé et

la dîrect ion,et déplus l 'énergie de l 'é lectron éjecté dans le cas t r id imen­

sionnel. Mais ces mesures ne paraissent pas expérimentalement réalisables

actuel lement, pour des raisons de statistique de comptage.

- 2 7 -

En conc lus i on des chap i t res 1 et 11, les courbes de c o r r é l a t i o n a n g u ­

l a i r e nous donnent une i n f o r m a t i o n d i r e c t e sur la dens i té de paires é l e c t r o n -

pos i ton p (p) dans l 'espace des moments

N (6)o=:N (p / me) o c /p(J) dp dp (35) ^ J X Z.

que nous pouvons normal iser par la mesure du temps de v î e T .

A X | N (0) de = z e f f

où Z rr est ' a charge e f f e c t i v e par a tome au s i te du pos i ton donnée par :

2 Z e f f = v / T x T C r c

a o

La mesure du p r o f i l Compton nous donne une i n f o r m a t i o n d i r e c t e sur la d e n -_ —»>

s i te é l e c t r o n i q u e p (p) dans l ' espace des momsnrs .

J ( P z ) = / P " ( p ) d p x d p y (36)

que l ' on peu t normal iser dans le cadre de l ' a p p r o x i m a t i o n d ' i m p u l s i o n à

Z é l e c t r o n s .

mm

MISE EN

PORME

AMPLI.

CHRONOMETRE

2m

DISCRI.

ECHELLE

PRECOMPTE

ECHANTILLON

COÏNCIDENCE RAPIDE

TRIPLE COI*NCIDENCE

ECHELLE

IMPRIMANTE

DISCRI.

ECHELLE

MISE EN

FORME

AMPLI.

CIRCUIT DE COMMANDE

DEPLACEMENT

on LU

ë

to 00

Fig. 6 _ Schéma du banc de corrélation et dispositif de principe de l'électroniaue

- 29 -

I I I - DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX

I I I - 1. Apparei l lage de corré lat ion angulaire

l l l - l . 1 . Descript ion générale

Le banc de corrélat ion angulaire (cf. F ig . 6) comporte un bloc 4-

central source (3 - échant i l lon ceint d'une couronne de plomb munie de deux

fentes de sortie a 180°, suivie de deux fentes co l l imatr ices. A 2m de part et

d 'autre de ce bloc cent ra l , deux scîntî i lateurs détectent a travers deux fentes

détectr ices les Y d 'ann ih i la t ion issus de l 'échant i l lon . D'un côté, l'ensemble

de fentes verticales co l l îmatr ice et de détect ion est f i x e , de l 'autre cet

ensemble peut tourner dans le plan horizontal autour de l 'axe centra] v e r t i ­

ca l O y .

L'ensemble mobile peut explorer,par pas de 0 .25 , 0.5 ou 1 mra-

dïan , 25mradians de part et d'autre de la position à 180°. Les fentes

détectrices de section rectangulaire ont une largeur suivant Gz de 0 . 5 , 1 ou

2 mm suivant la résolution angulaire voulue. Leur longueur suivant O y

in i t ia lement de 6 cm a pu être portée a 10.5 cm pour ce t ravai l à la suite de

l 'acquis i t ion de nouveaux scîntî i lateurs de forme adaptée.

V u l 'ordre de grandeur des angles à mesurer (mradïans), l ' a l i gne ­

ment e t le calage des fentes doit être part icul ièrement précis. Pour cela

l'ensemble mobile est sol idaire de la part ie centrale au moyen d'un bras

rigide f ixé sur une couronne dont l 'axe coïncide avec O y sur le bloc

cent ra l .

l l i - 1 . 2 . Source (3*

Le pet i t angle sol ide de détect ion nécessaire pour obtenir une

bonne résolution angulaire exige l 'emploi d'une source très ac t ive pour ob ­

tenir une bonne statistique de comptage dans des temps raisonnables. Le 64

choix s'est f i xé sur une source de Cu act ivée en réacteur (f lux de neutrons 13 2

thermiques»2.10 neutrons / s / c m ) pendant 48 heures ; son ac t iv i té

-30 -

totale est olors do 1 Curlo soir on p" da l 'ordro do 200 mCI pour 0.1 g do

cu iv re .

6£ Fig.7- Schéma de désintégration du Cu

64 Comme le montre le schéma de désintégration (Fig. 7 ) , le Cu

est un émetteur P ce qui présente l 'avantage pour étudier les isolants de

neutraliser les charges électrostatiques créées par le positon à la surface de

l 'échant i l lon .

La feu i l le de cuivre act ivée de 10 x 5 x 0 .2 mm est sertie dans un

support d'aluminium dont l 'ac t iv i té 1 heure après le défournement de pîle

est négl igeable.

L 'act iv i té importante de cette source nécessite un bl indage en plomb

important (10 cm) autant pour la protect ion que pour les rayonnements

parasites qui ne proviennent pas d 'annih i la t ion dans l 'échant i l lon.

64 La période du Cu est de l'ordre de 13 heures, mais on obtient une

courbe de corrélat ion angulaire avec une statistique de comptage suffisante

en 24 heures.

- 31 -

111-1,3. Positionnornont do la source et de l 'échant i l lon

La source est positionnée do te l le façon qu 'e l le ne soit pas "vue"

par les détecteurs, mais suffisamment près pour obtenir un faisceau de 3

d' intensité maximum dans la direct ion moyenne O z .

Les échanti l lons dont les dimensions jouent en général à l'ordre

suivant de la largeur des fentes sur la valeur de la résolution angulaire

comiiie nous le verrons, ont tous une face p lane. Ils sont montés sur une Ieto

de goniomètre et un système à crémail lère amène la face plane dans le plan

x O y , Le positionnement est vér i f ié au moyen d'une lunette à rét icu le mise à

la place de la fente co l l imatr ice f ixe ; la coincidence face p lane, plan

x Oy est fai te alors au 1/10 mm.

1.11-1.4. Résolution angulaire

111-1.4.1, Résolution angulaire suivant Oz

Si l 'on considère une source ponctuel le O et une fente F1 de lar ­

geur a, la fonct ion de résolution est un tr iangle isocèle de base2a (cf. F ig .8 ) .

En effet avec une deuxième fente F_ opposée à F. par le point O ,

on détecte des Yen coïncidence à 180° par un déplacement maximum + a de

la fente F „ . Le nombre de Y détectés en coïncidence est alors proportionnel

au déplacement de la fente. Si le volume où s'effectue l 'ann ih i la t ion a une

Fig.8

- 32 -

certaine extension suivant O z , égale a e, la valeur de la fonct ion de réso-e e

lutîon à l'abcisse z est la somme de —r à +•= des contributions en z. des tr ian­

gles isocèles de sommet en z ' et de base 2a.

L'équation de ces triangles isocèles, de hauteur unité est

si z - zM < a R ( z , z ' ) = 1 + , £ ~ ' si|z - z ' |

= 0 si|z - z ' | > a

et la fonction de résolution est donnée alors par

+ e 2

(37)

(z) - f R ( z , z ' ) d z (38) R . . e

" 2 En coordonnées sans dimensions ou encore en mradîan, © = Z / L / on obtient

la résolution angulaire R ( e ).

La fonct ion de résolution R ( Q ) pour a = 1 mm et e = 0.2 mm est

tracée sur la f igure 9. Elle est proche d'une gaussienne, sa largeur & mi-hau­

teur est donnée par

Ri/2-f + i r <39>

soit Rj /? = 0.55 mradîan. Pour e = 1 mm R ^ ^ ^ O . 7 5 mradîan

L'épaisseur e donnée i c i , n'est pas l'épaisseur réel le de l 'échant i l lon , mais

l'épaisseur u t i le prise comme le parcours moyen I du (3 dans ce cristal.e est

en général d'un ordre de grandeur plus pet i t que la largeur des fentes.

Selon la formule empirique de Katz et Penfold, é tab l ie pour les 33

électrons , le parcours maximum des électrons est donné par

I (mg/cm ) = 412 En (40) max a / v '

0 .01 MeV<E<3 MeV et n = 1.265 - 0.0954 Log E

- 33 -

- Fonction de résolution

Fonction gaussienne

e.io"1 (mr)

10 - i

Fig. 9 Fonction de résolution angulaire calculée pour

d = 1mm et e = 0,2 mm

- 34 -

E éne rg ie max imum du spoctre fj , dans I G cas de C u est é g a l e a 656 k e V , 2

soi t un parcours maximum I - 0 . 2 3 7 g / c m . Pour une lo i e x p o n e n t i e l l e de r max ___ _ i

p é n é t r a t i o n , l e parcours moyen I est donné par 1^1 / e = 0 . 2 3 7 / 2 . 7 1 8 -2 f i a x g

0 . 0 8 7 g / c m . C e c i cor respond dans le cas du s i l i c i u m de dens i té 2 . 3 3 g / c m ,

à une péné t ra t i on e = 0 . 0 8 7 / 2 . 3 3 = 0 . 0 4 c m , so i t R1 , = 0 . 6 mrad pour

a = 1 mm ; dans le cas du Bismuth ou du p lomb de densités vois ines de 10 g / c m ' - 3

e=^ 9 .1 0 c m , R, ,_ est donné p ra t i quemen t par la la rgeur des f en tes . \ /1

La longueur de l ' é c h a n t i l l o n su ivant O x amène une c e r t a i n e i n d é ­

t e rm ina t i on sur ce t te r é s o l u t i o n . Si 2 I dés igne la longueur de c e t é c h a n t i l l o n

la d i ve rgence en ©(cf. F i g . 1 0)peut s ' exp r imer comme

6e=,Le ( [ - ^ y (41)

F ig . 10

Pour 1 = 0 . 7 5 c m , L = 2 m q u i cons t i t uen t les cond i t i ons expé r imen ta les la d î -

s i l i c i u m - 2

ve rgence max imum à © = 20 mrad est de ô Q =75 10 mrad . Pour du si I

la réso lu t ion sera donc R. ,,=0.600 + 0 . 0 7 5 mrad .

I l l - l . 4 . 2 . Réso lu t ion su i van t O y

La réso lu t i on angu la i r e v e r t i c a l e se c a l c u l e e x a c t e m e n t de

f açon que la réso lu t ion a n g u l a i r e h o r i z o n t a l e .

la même

Si h est la hau teur de l ' é c h a n t i l l o n e t H c e l l e de la fen te on aura

K l / 2 L ~ + 2 T (42)

- 35 -

Dans notre montage où H = 10,5 cm at h = 1 cm la résolution angulaire

suivant O y est donc R. , „ = 55 mrad.

Cotto valeur est nettement supérieure â la largeur totale des courbes

de corrélat ion angulaires mesurées. Il est donc parfaitement jus t i f ié de consi­

dérer les fentes comme inf in iment longues.

34 I I I — 1,5. Système de détect ion - Electronique associée

Les gammas d 'ann ih i la t ion sont détectées par des scint i l lateurs Na l

(Tl) couplés a des photomult ipl icateurs 56 AVP . Sur chaque pho tomu l t ip l i ­

cateur sont prélevées une impulsion lente analyséee en énergie et une

impulsion rapide.

La coïncidence des impulsions lentes commande une porte 6 travers

laquel le doivent passer les impulsions de coincidence rapides avant d'être

détectées.

Le temps de résolution T obtenu avec ce c i rcu i t de coincidence

lent- rapide est de 4 ns . Lorsque seules sont utilisées les voies lentes, le

temps de résolution est dess20 ns.

Le taux de comptage pour chaque voie est de l 'ordre de 50 000

coups/mn pour des fentes de 1 mm de largeur avec une source de 1 C i . Le

nombre de coi'ncidences fortuites N f / si N et N_ sont les comptages sur

chaque détecteur et r le temps de comptage, est

N 2 T N 1 N 2

Dans le cas du c i rcu i t de coïncidences len t - rap ide , N f = 0.1 Coup/mn

est négl igeable pour une certaine de coups en coïnc idence. Lorsque seules

- 3 6 -

les voies lentes sont util isées N f = 0.5 coup/mm et une peti te correction est

& faire sur le nombre de coïncidences. Quatre échelles enregistrent les comp­

tages du P.M mobi le , du P. M f i x e , du nombre de coïncidences, et le temps

d'enregistrement. Le précompte aff iché pour le P.M f ixe qui sert de moniteur

est respectivement de 50 .000 , 100.000, 200.000 coups, suivant les valeurs

croissantes de largeur de fente ut i l isées. Ce précompte permet de corriger

automatiquement la décroissance radioact ive de la source.

Lorsque le précompte est a t te in t , i l y a impression des valeurs

affichées sur les 4 échelles puis envoi d'une impulsion qui commande un mo­

teur pour déplacer le P .M . mobile du pas cho is i . A la f in de ce déplacement,

une autre impulsion remet en route les échelles et le cyc le recommence. Un

compteur numérique f ixe le nombre de pas donc le nombre de points au bout

duquel le mouvement du P . M . mobile s' inverse. On obt ient ainsi un

balayage qui préserve des dérives lentes de l 'é lect ronique. Nous prendrons

comme erreur statistique d'un nombre N de paires comptées en coincidence

+ 2 y N , Cet interval le correspond à une probabi l i té de 95% de contenir

la valeur moyenne de la distr ibution statistique gaussienne d'écart t y p e y N .

111 -1 .6 . Bruit de fond - Di f f ract ion - Absorption - Or ig ine des

abcisses

111-1.6 .1 . Bruit de fond

Le bruit de fond parasite enregistré par chaque détecteur provient

essentiellement du bruit propre des photo-mul t ip l icateurs, d 'annihi lat ions

dans le bloc cen t ra l , les supports d 'échan t i l l on , le bl indage de p lomb, les

fentes de col l imat ion et de détect ion et de la diffusion f sur ces mêmes é l é ­

ments. L 'échant i l lon étant pet i t par rapport & tout cet ensemble, on peut

estimer le bruit de fond par suppression de l ' échan t i l l on . En coïnc idence, le

nombre de coups par unité de temps mesuré est très infér ieur au nombre de

coincidences fortuites par unité de temps calculées lorsque la c ib le est* présente.

- 37 -

Par conséquent, nous négligeons ce bruit de fond parasite.

111-1.6.2. Absorption - Di f f ract ion

Deux phénomènes peuvent modif ier les courbes de corrélat ion angu­

la i re , la d i f f ract ion et l 'absorpt ion, que nous regroupons i c i , car ils sont

éliminés par le même procédé expér imental .

Les gammas d 'annih i la t ion peuvent di f f racter selon la loi de Bragg

sur les plans monocrîstallins des échanti l lons étudiés. Ces# de très grande

énergie par rapport à des rayons X , dîffractent à des angles du même ordre de

grandeur que ceux util isés en corrélat ion angula i re. Puisque le plan cr ista l l in

étudié est dans le plan x O y , a un angle u> près d' indéterminat ion expérimen­

ta le , on peut détecter en coincidence soit deux gammas diffractés soit un seul

des deux gammas qui a i t d i f f racté du coté du détecteur mobile ou f i xe . On

observe alors sur les courbes expérimentales, des pics et des creux satell i tes 35

de très fa ib le intensité à des valeurs remarquables du réseau réciproque

de l 'échant i l lon plus ou moins l 'angle ip et une dissymétrie globale de la

courbe par rapport à l 'axe p = 0 . 1 1 suffi1- alors de tourner l 'échant i l lon su i ­

vant l 'axe Oy de quelques minutes d'arc pour él iminer cette d i f f ract ion non

désirée, sans pour cela commettre une grande erreur sur la d i rect ion c r is ta l -

iographique étudiée (l'.2t 0 .3 mrad). Lorsque le cristal est parfaitement posi ­

t ionné (if =0), les effets observés se compensent entre eux par symétrie et la

d i f f ract ion n'est plus observable.

La var iat ion d' intensité du faisceau y en fonct ion de l ' impulsion due

à la var iat ion du coef f ic ient d'absorption dans l 'échant i l lon en fonction de

l 'énergie des y est sensiblement nul le avec un système de fentes. Car en chaque

point d'abcisse p , on a une moyenne de la distr ibut ion sur les directions p Z A,

et p , soit une moyenne sur les énergies E possibles de x . Par contre, l ' échan­

t i l l o n , tangent au plan x O y , a toute son épaisseur d'un seul côté de ce plan

et l'épaisseur de matière traversée par les f. varie continuement lorsque le

détecteur se déplace sur l 'axe O z . I l en résulte une dissymétrie des courbes

de corrélat ion angulaire qui est fa ib le pour les éléments légers ( ^ 1%), mais

- 3 8 -

peut atteindre 10% pour des éléments lourds tel que le bismuth ou l 'oxyde d 'ura­

nium. I l suffit pour corriger cette dîssymétrie, de tourner l 'échant i l lon autour

de l 'axe Q y , comme i l a été fa i t pour la d i f f ract ion ; l'épaisseur de matière

traversée est alors sensiblement la même quelque soit l 'angle d'observat ion.

Cette manière de procéder est surtout valable dans le cas d'éléments lourds ;

dans le cas d'éléments légers lorsqu'une dissymétrie inférieure à 1 % apparaît,

i l est possible de moyenner les deux côtés de la courbe po; symétrie.

Ill - 2 . Spectres de diffusion Compton

Nous ne disposons pas d'apparei l lage pour mesurer les spectres de

diffusion Compton. Ainsi avons-nous ut i l isé les profi ls Compton publiés dans

la l i t térature pour le si l ic ium et le spectre de dif fusion Compton prél iminaire

obtenu par Madame G . Loupias au Laboratoire de Minéralogie et de Cr is ta l ­

lographie a l 'Université de Paris V I pour M g O . Ce dernier obtenu avec une

source de rayons X nous a permis d'accéder aux paramètres expérimentaux

rel iant un spectre de diffusion X et un prof i l Compton.

Sur le plan de pr inc ipe, en X ou en -jr, i l s'agit de mesurer l ' i n ten ­

sité du rayonnement diffusé en fonct ion de l 'énergie. Cependant l 'u t i l isat ion

de rayons-jf plus énergétiques que les X , paral lèlement a l 'emploi de sections

efficaces di f férent iel les nécessairement relat ivïstes, fai t intervenir un appa­

rei l lage et une méthode d'analyse des résultats différents de ceux mis en

oeuvre dans le cas des X .

111-2.1. Diffusion -j

241 Le rayonnements uti l isé est ce lu i de sources Am (60 keV) ou

150 m

Te (160 keV) , c'est un rayonnement monochromatique. Le rayonnement

diffusé est analysé en énergie au moyen d'une diode semi-conductr ice Ge (Li)

dont l 'e f f icaci té de détection dépend de l 'énerg ie. La résolution en énergie

de cette diode correspond à une résolution en moment de l 'ordre de 0 .2 à

0.3 u . a . , soit environ trois à quatre fois cel le obtenue en corrélat ion angulai re.

La fonct ion de résolution esf dissymétrique et présente vers les faibles énergies

- 3 9 -

une queue peu intense mais qui s'étale sur un domaine de l'ordre de 80 u . a .

l iée aux phénomènes de perte d'énergie des -gdans le détecteur. Il est possible

d'obtenir une bonne précision statistique en raison d'une fa ib le absorption •%

a cette énergie qui améliore le rapport signal sur bruit comparativement aux X .

La diffusion mul t ip le (double Compton) qui croît avec le volume de l ' échan t i l ­

lon et l 'énergie incidente n'est pas négl igeable à ces énergies là (cr 5% dans

le s i l ic ium avec une source \ d e 160 keV) . Pour diminuer Ja diffusion mul t ip le

et augmenter le rapport signal sur brui t qui varient dans le même sens avec

l'épaisseur de l ' échan t i l l on , i l est nécessaire de faire un compromis ou de

mesurer des specties à des épaisseurs variables et d'extrapoler à épaisseur nu l l e ,

ce qui minimise la dif fusion mul t ip le . Le grand transfert d'énergie d'environ

60 keV au pic Compton pour des de î60 keV permet d'explorer un vaste

domaine de quantités de mouvement de l 'ordre de + 40 u .a . . Ce transfert

d'énergie est par ai l leurs très supérieur aux énergies de l iaison des électrons

(hormis ceux des couches 1 s d'éléments de Z ) 30). Par conséquent tous les

électrons contribuent au spectre de diffusion Compton et ce lu i - c i peut être

rel ié au pro f i l Compton déf in i en (25), en pr incipe dans le cadre de l 'appro­

ximat ion impulsion. Cependant les effets relativistes rendent plus complexes

la relat ion entre section ef f icace de diffusion et prof i l Compton dont l 'appro­

ximation peut apporter des l imites plus restrictives que cel le de l 'approximation

impulsion. D'autre par t , la grande var iat ion de l 'énergie dif fusée, entraine pour

des angles de diffusion différents de 180° ou 0 ° , une var iat ion d 'or ientat ion

du vecteur de diffusion k d'une dizaine de degrés d'une extrémité à l 'autre

du spectre mesuré. Ceci ajoute donc une incert i tude à l 'étude de d i rect ion

cristal log raphîqu es.

111-2.2. Dif fusion X

Le rayonnement est fourni par un tube générateur de rayons X très

souvent a ant icathode de molybdène. Nous avons mesuré le spectre d'émission

d'un tel tube, analysé en transmission par le plan 1340 d'un cristal de quartz

plan de 0 . 1 mm d'épaisseur et détecté par un compteur proportionnel ( f ig . 11).

La tension de fonctionnement du tube est de 50 kV . Nous y observons des

o

0.25 0.7 0.9

Rg. 1V_ Spectre d'émission d'un tube ù anticathode Mo analyse' en transmission par le plan ( 310 ) d'un cristal de quartz

- 4 1 -

raies superposées à un fond cont inu. Le rayonnement continu a pour or igine

pr inc ipale le rayonnement de freinage des électrons brutalement arrêtés dans

le métal de l 'ant icathode. Ce rayonnement possède un seuil d'énergie maximum o

de 50 keV (0.25 A ) , correspondant à la tension d 'accélérat ion de 50 kV. Les

raies, caractéristiques de l 'ant icathode du tube ont une origine quant ique. Elles

correspondent aux énergies de transit ion des électrons vers les couches vacantes

lorsque les atomes de l 'ant icathode sont ionisés sous l ' impact des électrons

accélérés. Les raies de lasérie K, ic i observées, sont celles des transitions

M-*K (raies Ko, ) et L-* K (raies Ku ) . Compte tenu des règles de sélection

quantiques pour les transitions permises, i l y a trois raies Ko, et deux raies K^ .

Le doublet K * . - K K « , mal résolu sur la figure I I , est généralement ut i l isé

comme rayonnement inc ident . La dispersion en longueur d'onde, nécessaire

à l 'analyse du rayonnement diffusé à l 'angle u> f i xé , se fai t avec un monocristal

qui peut être plan ou courbe dans les spectrographes à focal isat ion. L'enre­

gistrement des spectres se fa i t généralement à l 'a ide d'un compteur déplacé

angulairement avec le système dîspersif. La résolution résultante en moment

est environ deux fois meil leure que cel le obtenue avec l 'apparei l lage

L'absorption dans l 'échant i l lon et l 'analyseur joue un rôle plus important qu'en

v , en raison de pertes notables d' intensité à cette énergie, l imi tant en pratique

l'étude de diffusion X à des éléments légers ( Z ^ . 1 4 ) . Le domaine de moment

exploré est plus étroi t qu'en v de l 'urdre de + 5 u . a . , du fai t d 'un transfert

d'énergie de l 'ordre de 1 keV au p ic Compton pour Mo (K a ). Ce transfert

d'énergie par contre assure une or ientat ion du vecteur de diffusion k sur tout

le spectre bien mieux déf in ie (+ 30') qu'en v . Par conséquent, compte tenu

d'une mei l leure résolut ion, les appareil lages de diffusion X sont plus précis

pour l 'étude de directions crîstal lographïques.

En vue d'une détermination séparée de la contr ibut ion des électrons

du coeur et de ceux de va lence, l 'u t i l i sa t ion de l 'approximation impulsion

semble moins just i f iée pour les électrons des couches profondes qui ont une

énergie de l iaison de l'ordre ou supérieure au transfert d'énergie de 1 keV

au p ic Compton. S i , par exemple, les électrons des couches 1 s du magnésium

ou du s i l ic ium avec des énergies de l iaison supérieures â 1 keV ne contribuent

pas ou très peu aux spectres mesurés, ce qui pose tout de même un problème

- 4 2 -

de normalisation des spectres totaux, par contre les électrons de la couche

1 s de l'oxygène avec une énergie de l iaison de l 'ordre de 0.5 keV forment

un spectre dont la dépendance en moment part icul ièrement au seuil d ' e x c i ­

tat ion n'est pas obtenue par l 'approximation impulsion.

Hormis les facteurs dépendant de longueur d'onde qui rel ient l ' i n ­

tensité et la section eff icace d i f férent ie l le av prof i l Compton dans le cadre

de l 'approximation impulsion, i l faut pour analyser des spectres Compton en

diffusion X , tenir compte des paramètres expérimentaux qui sont le fond

cont inu, la nature de doublet du rayonnement inc ident , les facteurs dépendant

de la longueur d'onde tels que l'absorption et le pouvoir réf lecteur de l ' ana­

lyseur.

36 Le dispositif expérimental de Madame G . LOUPIAS est un

spectrographs à focal isat ion de rayons X (Mo K^ ), muni d'un analyseur 37 38

de quartz du type Cauchois ' . L'enregistrement est intégralement fa i t

sur f i lm photographique. Le densitométrage de ces films est fa i t en continu

( f ig . 12). La différence de géométrie entre l 'apparei l lage Compton et celui

de corrélat ion angulaire ne nous a pas permis d'étudier la même di rect ion

cristal lographique sur le même échant i l lon . Nous avons, selon la tendance

actue l le , comparé le spectre de diffusion expérimental aux spectres de d i f ­

fusion obtenus à part i r de profils Compton théoriques sur lesquels sont a p p l i ­

qués les paramètres expérimentaux. Cependant, parce que le rayonnement

incident X est un doublet et parce que seul le prof i l Compton de valence est

comparable a la distr ibution angulaire des v d 'ann ih i la t ion , nous avons

paral lèlement au type d'analyse précédent, corrigé le spectre mesuré des

paramètres expérimentaux et soustrait un prof i l Compton du coeur théorique.

Cette façon de procéder contribue à une perte d' information de nature

statistique en raison de l 'évolut ion au cours du traitement de l'erreur expé­

rimentale in i t ia le de même nature mais aussi de nature systématique dans la

mesure où le prof i l de valence obtenu dépend du type de coeur théorique

soustrait.

1

200 300 400

Fig . 12 _ Courbe expérimentale

- 4 4 -

En annoxo, nous faisons figurer lo. traltomant nécessaire a l 'analyse

du spectre do diffusion Compton expérimental . Sur lo plan de la méthode et

de l'analysa expérimentale, nous devons constater qu'on raison du nombre

do pammôtros oxpérîmontaux qui întorvionnonf dans la mosuro do la diffusion

Compton, la relat ion entre intensité mesurée ot distr ibut ion on moment l inéaire

est plus complexe qu'on corrélat ion angulaire.

IV - DISTRIBUTIONS EN MOMENT LINEAIRES DES ELECTRONS DANS

L'OXYDE DE MAGNESIUM ET DANS LE SILICIUM

Les distributions en moment linéaires mesurées par corrélat ion

angulaire des gammas d 'annih i la t ion du positon dans l 'oxyde de magnésium

(MgO) et le s i l ic ium (Si) sont comparées respectivement aux prof i ls Compton

expérimentaux de valence. Ces distributions sont paral lèlement comparées

aux prédictions théoriquos af in de mieux corner les causes des différences

observées.

IV - 1. Distributions en moment linéaires des électrons dans l 'oxyde de

magnésium

Les profils Compton de MgO publiés dans la l i t térature résultent

soit de spectres obtenus dans des poudres soit d'une moyenne do courbes 46

obtenues par Weiss dans plusieurs directions cristal lographiques. Aussi

avons nous ut i l isé le spectre Compton prél iminaire obtenu par Mme LOUPIAS

sur un monocristal MgO dans la direct ion [ l 10] . Ce spectre est comparé â

un spectre total théorique dont la contr ibut ion de valence est ce l le calculée

dansl'approxîmatîon d'impulsion pour un ion O par Fukamachi et Hosoya. 2+

La contr ibut ion du coeur donnée par l ' ion Mg et la couche 1 s de l 'oxygène

a été construit à part i r de deux modèles dif férents. Dans un cas nous util isons

les profils Compton calculés par Weiss et a l . dans l 'approximation d' impulsion

a part ir de fonctions d'onde Hartree Fock moyennées sphériquement. Dans

l 'autre cas nous utilisons les expressions analytiques de B. J . Bloch et

L.B. Mendelsohn obtenues dans l 'approximation de Born a part ir de fonctions

d'onde hydrogénoîdes. Cette comparaison montre dans que l le mesure un prof i l

-45 -

do valonco expérimental peut dépendre du type de coeur théorique soustrait.

Nous observons ensuite sur les courbes de corrélations angulaires

mesurées dans les directions [ l O O ] , [ i l O j , [ l 1 ]~\ l ' Isotropie des distributions

en moment.

Le spectre de temps de vie mesuré du positon dans un monocristal

d'oxyde de magnésium révèle deux processus d 'annih i la t ion dont l 'un très intense

pourrait être attr ibué à l 'ann ih i la t ion l ibre du positon, mais n'est pas e x p l i ­

qué quant i tat ivement. Cette incert i tude sur l ' interprétat ion de la mesure

de temps de vie ne permet de faire qu'une comparaison re lat ive de la courbe

de corrélat ion angulaire mesurée et du pro f i l Compton de va lence. Cette

comparaison semble montrer que le positon s 'annihi le l ibrement avec les 2 -

électrons de valence de l ' ion O électronique aux grands moments.

2 -électrons de valence de l ' ion O , mais qu ' i l perturbe la distr ibut ion

I V - 1 . 1 . Comparaison des spectres de diffusion expérimental

et théorique

L'obtention d'un spectre de diffusion Compton théorique est réalisée

à part ir de profi ls Compton théoriques sur lesquels sont appliqués les divers

paramètres expérimentaux comme décrit en annexe.

2+ 2 -Pour la valence nous utilisons le prof i l Compton Mg O calculé

58 dans l 'approximation impulsion par Fukamachi et Hosoya à part i r de fonctions

59 d'ondes déterminées par Yamashita et Asano dans un calcul de bandes.

Pour le coeur nous avons uti l isé deux calculs différents.

Le premier type de prof i l Compton du coeur (noté HF) est obtenu

à part i r des prof i ls J • (p ) calculés dans l 'approximation impulsion par 45 n , l z

Weiss et a l . au moyen des fonctions d'onde radiales Hartree -Fock évaluées

par Clementi et moyennées sphérîquement. Ces valeurs sont calculées pour

chaque électron de moment orb i ta l I dans la couche n.

- 4 6 -

Physiquement i l existe un seuil d'énergie de diffusion E =hu».- E.

dû à l 'énergie de liaison E. des électrons. Plus part icul ièrement, les énergies

de liaison des électrons des couches I s de l 'oxygène et du magnésium de res­

pectivement "X500 eV et 1300 eV sont du même ordre de grandeur que le

transfert d'énergie au pic Compton de—800 eV. Ces électrons ne contribuent

donc que très part iel lement au spectre Compton mesuré.Aussi avons nous

ar t i f ic ie l lement annulé les contributions théoriques au dessus de l 'énergie E s

pour pal l ier en part ie au défaut de l 'approximation d' impulsion qui néglige

les énergies de liaison pour ces électrons.

Le deuxième type de prof i l Compton du coeur (noté EH) est obtenu

à partir des expressions analytiques de B .J . Bloch et L.B. Mendelsohn

calculées dans l 'approximation de Born au moyen de fonctions d'onde hydro-

génoides non relativîstes pour les couches K et L. Les seuils de diffusion dues

aux énergies de liaison des électrons et la valeur de l 'énergie incidente

entrent naturellement dans ce modèle. Les charges effectives ou facteurs

d'écran Z sont choisis dans les fonctions d'onde 1s, 2s et 2p tels que l 'énergie

de liaison calculée soit égale à l 'énergie de l iaison mesurée.

Après passage aux sections efficaces d i f férent ie l les, la normalisation O O A

de la contr ibut ion de valence O [2 s , 2 p J est, d'après l 'équation (34)

du 11 -2 .1 .2 . ,

n = 7 . 3 1 5 v

Pour le coeur HF de configurat ion Mg [ l s , 2 s , 2 p ] , O Q s ]} la

normalisation de Wal ler-Hart ree donne (équ. (34) )

n = 8.296 avec f 2 = 2.677 5 8 .

c coeur

Il faut remarquer que les électrons 1 s du magnésium ne contribuent que très peu

au spectre mesuré, mais que le prof i l part icul ièrement large dû a ces électrons

s'étend jusqu'à p = 3 0 u .a . et joue donc un role dans la normalisat ion. D'autre

part, pour des profils Compton J . in i t ia lement normalisés à 1 é lec t ron, la nor­

malisation obtenue après passage à la section eff icace d i f férent ie l le et coupure

des spectres aux seuils de diffusion est de 8 .550, soit une valeur proche de la

I

Fig. 13

Section efficace

m Points expérimentaux

Théorie ( coeur E - H )

Cœur E-H

Ko<,

0,02

0,00

15.5

SPECTRE de DIFFUSION COMPTON

' ^ ; ; v m v * U M M ' f

16.5 17 Fig. H

Energie { keV ) J 17.5 18

- 4 9 -

normalisation de Wal ler -Har t ree (^ 3%). Pour le coeur EH la normalisation sur

l 'énergie de la section ef f icace d i f férent ie l le donne

n = 8 . 6 7 1 c

soit 4 . 4 % plus grande que cel le du coeur HF normalisé. Mais la largeur à

mi-hauteur d 'environ 490 eV est beaucoup plus pet i te que ce l le du coeur HF

d'environ 630 eV (cf. annexe A - V i ) .

Sur les figures 13 et 14 sont comparés le spectre expérimental et le

spectre Compton total théorique obtenu respectivement avec le coeur HF et

EH après ajustement comme décr i t en annexe ( A - I l . 3 . ) . Du côté grandes

énergies vers 17.1 keV, le spectre EH est en mei l leur accord avec le spectre

expérimental que le spectre HF qui n'a pas du tout la même forme dans cette

région. Du côté faibles énergies, l 'accord avec la courbe expérimentale est

légèrement meil leur pour le spectre HF. Enf in, au pic la courbe expérimentale

est au-dessous de la courbe théorique EH et le contraire dans le cas HF.

Ces différences montrent que le prof i l de valence expérimental

dépend assez sensiblement du type de coeur théorique soustrait. Dans le cas

présent, nous pensons que l 'accord numérique avec le spectre expérimental

est mei l leur dans le cas EH, pour les raisons suivantes : la dépendance en

énergie au seuil de diffusion vers les hautes énergies parait nettement mieux

reproduite avec le coeur EH ; de plus les courbes théoriques ainsi construites

négligent les corrélations é lect ron-é lect ron pour le coeur et la valence, or les

contributions aux grands moments de ces corrélations ne peuvent avec la même

normalisation qu'accentuer le désaccord au pic obtenu pour le coeur HF alors

qu'au contraire l 'accord au pic peut être amélioré pour EH.

Pour obtenir donc un prof i l Compton de valence expér imental , â com­

parer avec la distr ibut ion angulaire des ^ d 'ann ih i la t ion , nous avons choisi de

soustraire le spectre du coeur théorique EH calculé a part ir de fonctions

d'onde hydrogènoides.

- 5 o -

N(0) (u .a . )

+ p+ MgO [ 100]

o p+ MgO [110 ]

a P* MgO [ III ]

9=pz/mc (mrad) 10

Fig. 15

15

- 5 1 -

1 N ( 6 ) HJnités arbi

§^x

t ra i res )

o P + h Aq 0 [ 100 ]

6 (mrad)

10 15

Fig. 16

- 52 -

I V - 1 . 2 . Distr ibut ion angulaire des d 'annih i la t ion dans MgO

En corrélat ion angula i re, nous avons remesuré les distributions

dans les directions cristal lographiques [100] , [ l lOJ et [ l 11J (Figure 15)

avec des fentes de 1 mm. La mesure dans la direct ion [100] est fa i te sur le

même échant i l lon que celui ut i l isé pour l'étude de la direct ion [ l l O ] en

Compton ; nous avons en effet signalé que la géométrie des deux dispositifs

expérimentaux ne permet pas l'étude d'une même direct ion sur le même

échant i l lon . Nous n'observons pas, dans la l imi te de l 'erreur expérimentale,

d'anisotropie pour ces trois direct ions, ni de singularités à la l imi te de la 47

zone de Br i l lou in . Ces singularités ont été observées par Berko , sur 15

l 'échant i l lon ut i l isé dans la référence , mais non sur d'autres échanti l lons ;

cet échant i l lon est par ai l leurs trop pet i t pour être ut i l isé en Compton. Sur

la courbe [ lOOj obtenue avec la mei l leure statistique (Figure 16 (23000

coups au p ic ) , la demie largeur à mi-hauteur mesurée est de (0 .88 + 0.02)

u .a . soit légèrement Inférieure à cel le mesurée sur un prof i l Compton moyenne 46

par Weiss (0.99 u .a . ) qui n'observe également pas d'anisotropie. La courbe

obtenue a la forme caractéristique en c loche, très proche d'une gaussienne,

obtenue dans la plupart des oxydes, mais différente de cel le des halogénures

alcal ins qui affectent une forme t r iangula i re .

V - l . 3 . Normal isat ion des courbes de corrélat ion angulaire

La surface sous le prof i l Compton des électrons de valence est

égale dans le cadre de l 'approximation impulsion au nombre N d'électrons

de valence ou encore proportionnelle à la densité électronique moyenne

n = N / v dans le volume atomique ou la ce l lu le un i té . Pour v ' a ^

M g O , n = 8/v = 8pJi/A oùoest la densité, A la masse atomique de MgO

etciPle nombre d'Arogadro. Avec P = 3 .58 g/cm et A = 4 0 . 3 1 g on obt ient

en unités atomiques -2

n = 6.3 x 10 u .a .

La surface sous la courbe de corrélat ion angulaire des jf d 'annih i la t ion

- 5 3 -

est proport ionnel le à la densité moyenne n des électrons réellement vue par

le positon au site de son ann ih i la t ion . Dans le cas d 'annih i la t ion l ibre (pas

d'état lié du positon) nous avons indiqué au 5 1 - 3 . 2 . que cette densité n

est généralement supérieure à n . Pour comparer de manière absolue une

courbe de corrélat ion angulaire à un prof i l Compton, i l faut normaliser

les surfaces sous ces courbes a n . et n respectivement. Il est donc nécessaire

+ — de connaître n qui peut être obtenue à part i r du taux d 'annih i la t ion du

+ 2 positon par la relat ion A =TCr e n . Ce taux d 'annih i la t ion , est lui-même

o + obtenu par la mesure du spectre de temps de vie du posi ton.

I V - 1 . 3 . 1 . Temps de vie du positon dans MgO

N'ayant pas trouvé dans la l i t térature de spectre de temps de v ie

de MgO mesuré sur un monocristal nous avons effectué cette mesure au moyen 48

du convertisseur temps-amplitude réalisé au laboratoire par R.Rïpon

La résolution en temps de ce convertisseur mesurée dans les conditions expé­

rimentales sur la courbe prompte du Co est de 400 ps. Le spectre de temps

de vie ainsi obtenu est représenté sur la f igure 17, en portant en ordonnées

l°9 (—JT~/# O 0 —,. est le taux de positons s 'annihi lant au temps t porté at at

en abcîsses. Sur ce spectre deux composantes de temps de vie sont clairement

résolues, après soustraction d'une composante due aux annihi lat ions dans la

source.

Le nombre N(t ) de positons qui ne se sont pas annihi lés au temps t

est donné par

N (t) = N(o) [ l j e x p H / T j H l j exp ( - t / r 2 ) ] ,

avec I . + L = 1 . I. est l ' intensité relat ive de la ième composante qui décroit

avec le taux i/o". ( i = l , 2 ) . Le taux de positons s 'annihi lant au temps t est alors

^ ! = -N (o ) [ l / I T , exp (- t / f r , ) + l 2 / r 2 exp ( - t / ^ ) ] .

-SA

-55 -

L'analyse par la méthode de la pente en coordonnées semi- loga­

rithmiques donne les résultats suivants

T 1 = (2.0 + 0 . 1) x 1 0 " 1 0 s I = (98.8 + 0.2) %

* 2 - (T .25 + 0.10) x 10 " 9 s l 2 = (1 .2 + 0.2) %

La présence de cette deuxième composante dans un cristal ion ique,

n'est pas part icul ièrement surprenante. Dans les halogénures alcal ins par exem­

p le , une composante {Z-, 1 ) à vie longue est aussi observée dont l ' intensité 49 l A

peut atteindre 50% . L'existence d'une te l le composante révèle l 'existence

d'un autre processus d 'ann ih i la t ion . Ce second processus d 'ann ih i la t ion est

généralement attr ibué à la formation d'un état l ié pour lequel différents mo-Ç . CfA * PO

dèles ont été proposés .Quelque soit le modèle envisagé, i l est

important de remarquer que la courbe de corrélat ion angulaire caractéristique

de cet état l ié , va se superposer à cel le de l 'annih i la t ion l ibre des positons,

qu ' i l devient impossible de déterminer avec précision quand près de la moit ié

des positons s 'annihi lent à travers cet état l i é . De ce point de vue MgO

constitue un cas favorable puisque la deuxième composante a une intensité

inférieure à 2%.

Un deuxième problème posé par la présence de cette deuxième compo­

sante concerne la relat ion entre la vie moyenne c. mesurée et le taux d 'ann i ­

h i la t ion l ibre A du positon.

On peut supposer qu'un pourcentage I. de positons thermalisés

s 'annihi lent avec le tauxA = \/z , et qu'un pourcentage L de positons s 'an­

nih i lent avec le tauxA = l / ^ 9 . Mais on peut également supposer qu ' i l

existe de manière générale un taux de t r a n s i t i o n s (dû à la diffusion par

exemple) entre l 'état 1 où le positon est déjà susceptible de s'annihi ler

librement avec le taux A et celui 2 où i l s 'annihi le dans un état l ié avec le

taux V

-56-

Le spectre de temps de vie a alors la forme

^- exp - (A. +>>.) t + -'1 ' Z2

^ ± 1 = N Q [ -L exp - (\ +*)*+£ exP - V ] (45)

ce qui par comparaison avec (44) donne

i/ri = X + x ] / r 2 = X 2 (46)

La relat ion entre A1 et c , n'est plus A = ]/Z

De l 'équation (44) , au temps t = o où N (o) = N (o) et N_ (o) = o ,

on obtient avec les quantités mesurées

V i , / * , * ^ (47> Même dans cette hypothèse, pour Mg O où l_ est pet i t par rapport

â 1. , on a À. = l / t , a moins de 1 % ce qui est inférieur â l 'erreur expér i ­

mentale de 5 % sur i : . .

Avec la réserve que la vie ~C mesurée révèle bien le seul processus d 'ann ih i ­

lat ion l ibre du positon dans Mg O , i l est donc possible de déterminer la densité

effect ive n .

I V - 1 . 3 . 2 . Densité moyenne des électrons au site du positon.

Dans l'hypothèse donc d 'annih i la t ion l ib re , la densité moyenne

électronique au site du positon n = A / r t r c mesurée expérimentalement est

égale à : „ n + = (9.95 + 0.50) x \0~ u .a .

dans Mg O , alors que cel le correspondant au prof i l Compton est :

-2 n = 6 . 3 10 u.a. . I I y a donc un renforcement moyen de

densité au site du positon de n / n = 1.58 .

La normalisation expérimentale n , n'a une s igni f icat ion que si e l le

peut être expl iquée en termes d 'annih i la t ion l ibre . De façon générale, on peut

- 57 -

écrire la densité ef fect ive n, sous la forme

n = n (1 + A n / n) (48)-

où n est la densité en l'absence d ' in teract ion électron-positon etAn l 'augmen­

tation de la densité due à cette interact ion qui est en moyenne a t t rac t i ve ,

n dépend du recouvrement de la fonct ion d'onde du positon avec ce l le des

électrons. En l'absence d'effets à plusieurs corps, dans un cristal diafomique 2+ 2 -

tel que Mg O , on peut supposer que le positon est " e x c l u " d'un domaine 2+

de l 'ordre du volume ionique de l ' ion posit i f Mg qui exerce une act ion

répulsive. Avec l'hypothèse d'une densité constante de positons dans le volume

v - v. , on a alors une densité électronique ef fect ive a i

V n = n 2 . (49)

V - V . a i

Ceci bien sûr ne donne qu'un ordre de grandeur ; pour Mg O , le rayon ionique

2+ ° Mg est égal à 0 .66 A soit 1.25 u . a . , d ' o ù

n = 0.063 x 1.06 = 0.067 u . a . (50)

Cette va leur , bien que supérieure à n ,n'en dif fère que de 6% et ne rend pas

compte à e l le seule de la valeur expérimentale n .

Le facteur de renforcement de densité S = 1 + A n / n n'a été évalué,

à une exception près, que pour un gaz d'électrons par les méthodes du problème

à plusieurs corps ; i l s'applique donc part icul ièrement aux électrons de conduction 55

des métaux. Dans le cas d'électrons plus liés Carbotte et Salvadori ont

évalué , au delà de l 'approximation de Born, ce facteur pour les électrons du

coeur de l 'a luminium à 2 .8 et pour ceux du sodium à 3 . 6 ce qui reste non

négl igeable vis à vis des facteurs de 3 .7 et de 13 calculés pour les électrons de

conduction de ces mêmes éléments.

Pour un isolant, dont la bande de valence est complète, le positon

doi t , pour polariser le mi l ieu é lect ron ique, exci ter des électrons vers la bande

de conduction en raison du pr incipe de Pauli . La bande d'énergie interd i te

(gap) Eg , comme pour les électrons du coeur précédemment, va jouer dans le

sens d'une réduction du facteur de renforcement moyen par rapport aux gaz

- 5 6 -

'36 e/Vîlecfrons, Brandt of Kalhalmor ' ont calcula Ici réponse (fonction diélectr ique)

d'un au/, d'électrons uniforme avec un gap d'énarçjio Ccj à un champ électronique

externe clans l 'approximation do la phase alâatolro (R .P .A . ) . Appl iquant ce

résultat du positon un Interaction dons co gaz d'électrons, ils obtiennent un

facteur do correction f ( r , Eg ) du facteur da renforcement £<.rV) calculé

pour le gu* d'élections libres .

Ç ( r s , Eg ) - 1 + f ( r s , Eg ) ( ^ C r $ * > - l ) (51)

Co facteur do correction s'appliquo p i fs part icul ièrement aux semi-

conducteurs pour lesquels Eg est faible devant l 'énergie do Fermî Ep .

Cependant ce facteur a été calculé Jusqu'à Eg = Ep et nous pouvons .umyet de

l 'appliquer au cas de Mg O ,

Dans le cas présent, la densité de co "gaz " a huit électrons est

n - 0,067 u .a , (équ, 50) soit r — 1 J53 u .a . Eg est en fait ic i un paramètre s 2

calculé a part ir de la constante diéloctr lquo statique L = 1 + 4 r t n / E g 57 °

déterminée expérimentalement . De t ~ 3 ,01 , on tîre Eg = 0.647 u .a . =17.6 e R Â. 1 *7

D'où d'après les valours tabulée» de f ( r , Eg ) et celles àe £,(r) , 9 S

on obtient avec l'expression (51)

% ( r , Eg ) = 2 . 7 5 .

Ce facteur donne une densité ef fect ive calculée n , , = 0 . 1 8 u . a . + ca le

soit une valeur plus grande d'un facteur 2 . que ce l le de la valeur expér imentale.

I l n'est donc pas possible d'expl iquer correctement la densité ef fect ive mesurée sur

Mg O dans ces hypothèses simples. Si ce désaccord peut provenir d'hypothèses

sans doute insuffisantes sur la fonction d'onde du positon en présence d'effets à

plusieurs corps dans un isolant, i l peut également provenir du fai t que la vie T..

ne révèle pas le seul processus d 'annih i la t ion l ibre .

Cette ambiguïté ne nous permet pas de faire une comparaison en

normalisation absolue entre corrélation angulaire et p ro f i l Compton qui n'a de

s igni f icat ion qu'en termes d 'annih i la t ion l i b re . I l apparaft néanmoins intéressant

J ( p 2 i . N ( p 2 )

\

•A v

•

1

""X * ••

•

2

J(p2 ) o

-HP2) 1 t r. \ J (P2) N(p2 )

*

i

MgO

Profil compton H - L

. Théorie Mg° 0°

• Théorie Mq2+02"(Y-A)F-H \

(3* MgO 1 i

i

•

•

Moment p2 (u.a)

j i 5 Fig. 18

- 60 -

de faire une comparaison re la t ive , car des distributions en moment de forme

similaire en compton et positon constitueraient en effet une forte présomption

en faveur de l 'annih i la t ion l ibre du positon avec les électrons de valence .

1V-1 .4 . Comparaison relat ive de la distr ibut ion angulaire des

d 'annih i la t ion et du prof i l Compton.

Sur la figure 18 sont tracés le prof i l Compton expérimental analysé

par nous, noté H-L, la courbe de corrélat ion angulaire expérimentale notée

ft , le prof i l Comr théorique de valence calculé à part i r de fonctions

d'ondes atomiques '"*', noté Mg O , le prof i l Compton théorique de valence 58

calculé par Fukamachi et Hosoya a part ir de fonctions d'onde obtenues par 59

Yamashîta et Asamo dans un calcul de bandes, noté (Y-A) F-H. Les quatres

demies courbes sont normalisées en surface a 4 électrons de valence.

Nous constatons tout d'abord la grande var iat ion (50 %) de la largeur à m i -o o

hauteur entre le prof i l Mg O et les autres courbes qui présentent des

largeurs à mi-hauteur voisines (0.96 + 0.04) x 2 u.a. pour H-L, (0.88 + 0.02) x 2 u.a -f. ~ ~

pour ft et 0.92 x 2 u.a. pour ( -A) F. H courbe sur laquel le se trouve appliquée

la résolution expérimentale Compton de 0. 12 u.a. . Ceci montre une sensibi l i té

comparable des deux méthodes à la contraction des fonctions d'onde des électrons

de valence lorsque ceux-c i sont dans un potentiel c r is ta l l in .

Nous remarquons qu'après soustraction du coeur EH ( c F . I V - 1 . 1.) , le 2+ 2 -

prof i l de valence obtenu est en assez bon accord avec le prof i l théorique Mg O

( Y -A ) F -H, la différence à p = o de sensiblement 6 % supérieure à l 'erreur

expérimentale de 3 % peut provenir des corrélations électron - électron peut être

plus importantes que pour la valence , ce qui rendrait cette dif férence non

s ign i f i ca t ive .

Malgré les di f f icul tés à expl iquer les temps de vie du positon dans Mg O ,

nous constatons que la différence entre le prof i l Compton, et la courbe de corré­

lat ion angulaire n'est pas v io lente, en raison de largeurs à mi-hauteur voisines.

On peut donc penser que le positon s'annihi le essentiellement avec les électrons

de valence, La largeur à mi-hauteur du prof i l Compton H-L est cependant supé-

rieure a cel le de la courbe (b de 8 % . Cette dif férence peut être en part ie

-61 -

Fig. 19

- 62 -

expliquée par (a valeur de la résolution en Compton 1.7 fois supérieure à cel le

réalisée en corrélation angulaire mais résulte surtout d'une contr ibut ion aux grands

moments plus faible en corrélation angulaire . En ef fet , la dif férence à p = o

de 18 % semble provenir d'une absence de contr ibut ion aux grands moments sur

la courbe de corrélat ion angulaire qui s'annule pour p 2 .7 u. a. , alors que

le prof i l Compton est négligeable vers 5 u.a. . Cette différence est plus c l a i ­

rement mise on évidence par normalisation au pic sur la figure l û . Si l 'accord

entre la courbeft et le prof i l (Y-A) F-H sans résolution est très bon jusqu'à

environ pz = 0.85 u .a , au delà la décroissance est nettement plus rapide sur la

courbeA . Remarquons que cette valeur p n'est pas très éloignée de la valeur

0.77 u .a . du rayon de la sphère de même volume dans l'espace réciproque de la o

première zone de Bri l louin du cristal d'oxyde de magnésium ( f . c . c , a = 4.21 A ) .

Le positon semble donc perturber la distr ibution électonique aux grands moments.

La fonction d'onde du positon dans Mg O en l'absence d ' in teract ion

électron-positon ou plus généralement en l'absence d'effets à plusieurs corps

peut être évaluée dans le réseau par diverses méthodes ' ' . Par contre,

en présence de ces effets / part icul ièrement dans un isolant, la fonct ion d'onde

du positon s'avère très complexe à calculer et n'a jamais été déterminée. Seul

ce calcul permettrait d'accorder la distr ibut ion en moment observée et le temps

de vie mesuré. Fujiwara et a l . , cependant, dans un espace des moments à une

dimension avec un modèle de réseau à deux bandes, ont montré la possibi l i té

d'une décroissance relat ive de la densité <P ( b ) après la première zone plus

rapide que cel le du prof i l Compton et d'autre part obtenir un facteur de renfor­

cement moyen inférieur à celui calculé précédemment dans l'hypothèse d'un gaz

d'électrons.

En conclusion, le spectre expérimental de diffusion Compton de l 'oxyde

de magnésium semble présenter un meil leur accord avec le spectre total théorique 2+ 2 -

construit avec un prof i l de valence Mg O et un prof i l du coeur calculé

exactement a part i r de fonctions d'onde hydrogénol'des, que celui constru.it avec

le même prof i l de valence mais avec un prof i l du coeur calculé a part i r de fonc­

tions d'onde Hartree-Fock dans l 'approximation impulsion.

- 63 -

Los courbes de corrélat ion angulaire mesurées dans les directions

cristallographiques (_ 100 J , [ l l O j , [ l HJ ne présentent pas d'anisolropies,

comme déjà observé en Compton.

Le temps de vie mesuré dans un monocristal ne conduit pas à un taux

d 'annih i la t ion simplement expl iqué par l 'annih i la t ion libre du posiron dans un

gaz d'électrons possédant un gap.

Si ce résultat ne permet pas d'obtenir en positon une information

absolue, la comparaison re lat ive des profi ls Compton expérimental ou théorique

avec la courbe de corrélat ion angulaire donne les résultats suivants.

La courbe de corrélat ion angulaire cont ient la même information

essentielle caractéristique des électrons de valence dans un solide qu'est la

largeur à mi-hauteur. Cette largeur mesurée de (1 .76 + 0.04) u.a. , en accord 2 + 2 -avec cel le du prof i l Compton théorique Mg O de 1 . 84 u .a . et cel le mesurée

sur le pro f i l Compton expérimental de (1.92 + 0.08) u .a . est très supérieure à la

largeur a mi-hauteur du prof i l Compton donné par des fonct ions d'onde atomiques

de l 'état Mg ° O ° égale à 0 . 88 u. a.

Dans la dépendance en moment, la courbe de corrélat ion angulaire 2+ 2 -

présente une forme similaire avec la courbe théorique Mg O jusqu'à environ

la l imi te de la première zone de Br i l l ou in , mais au-delà sa décroissance plus

rapide révèle une contr ibut ion aux grands moments inférieure à cel le des profi ls

Compton.

Cette comparaison relat ive ne permet cependant pas de conclure sur la

nature exacte du taux d 'annih i la t ion mesuré de la première composante

X ] = ( 5 . 0 0 + 0.25) ns"1 .

I V - 2 . Distributions en moment linéaires des électrons de valence dans le s i l i c ium.

Nous utilisons pour la comparaison avec la courbe de corrélat ion

angulaire mesurée sur un monocristal de s i l ic ium dans la d i rect ion [ l l O J , le

prof i l Compton de valence obtenu avec un rayonnement "X par Reed et Eisenberger

pour le même élément dans la même di rect ion cr istal lographique.

- 64 -

Ce prof i l Compton -* présente avec le prof i l Compton X mesuré par

Schuike et Lucht des différences caractéristiques du type de rayonnement que

nous évoquons au début de ce chapi t re.

Sur les deux courbes expérimentales normalisées en surface puis au pic ,

parallèlement comparées & des courbes théoriques, nous observons les largeurs a

mi-hauteur des distributions , leur discontinuité a la l imi te de la zone de Jones,

('anisotropic de la fonction d'onde du positon et la faiblesse relat ive des composantes

de grands moments en corrélat ion angulaire.

La mesure du temps de vie du positon dans le s i l ic ium qui montre un

renforcement de densité presque comparable à celui d'un gaz d'électrons permet

de normaliser la courbe de corrélat ion angulai re, La comparaison absolue des

distributions mesurées en positon et compton semble montrer que ce renforcement

de densité dépend du moment .

I V - 2 . 1 . Comparaison des prof i ls Compton mesurés par di f fusion de

rayonnements X et

Sur la f igure 20 sont comparés les profi ls Compton récemment mesurés

suivant la même direct ion 11 10J du s i l ic ium par Schuike et Lucht (courbe

notée S-L) à l 'aide de rayons X (Mo K^ ) d'une part et par Reed et Eisenberger

(courbe notée R-E) à l 'aide de rayons v d'autre part ,

SchUlke et Lucht analysent par réf lexion sur un cristal courbe de quartz

le rayonnement diffusé à M ~ 9 0 ° qui est détecté par un compteur ; la composante 41 4

K r t j est séparée par la méthode de Rachinger . 10 coups sont accumulés au p i c , la résolution on moment est de l 'ordre de 0.3 u .a .

123 m Reed et Eisenberger analysent les rayons ~< de 160 KeV du Te

° 4 diffusés à ip~l30 dans une diode Ge (Li) , 5 x 10 coups sont accumulés au p i c .

Des différences doivent être constatées entre ces deux courbes.

La courbe R-E seule présente visiblement une décroissance plus rapide au niveau

de la l imi te de la zone de Jones p . = 0 . 8 5 u .a . repérée par une f lèche

vert icale sur la figure ; d'autre part R et E mesurent une contr ibut ion très peu

J ( P z >

0 \ •

0 *'. • »

• •

o\ * •

•

• •

i • • •

K •

(

PL.zf

...

o '*.

0 tf-D...O.eO o o

Si [110]

/alence X S~ L

o Profil compton de valence Y R-E

0 0 I

Moment p, (u.a ) n (

0 1 2 3 4 Fig. 20

- 66 -

intense jusque vers 8 u . a . , à la différence de la courbe 5-L qui s'annule vers

1 .8 u.a. . Ces différences peuvent avoir une expl icat ion à la fois expérimentale

et théorique.

Expérimentalement, nous devons remarquer tout d'abord que R-E ont

une meil leure statist ique. Ensuite, la d i la t ion des abcisses en moment est très

dif férente dans les deux méthodes, d'une part en raison d'un angle de diffusion

plus pet i t chez S-L, et d'autre part en raison de la valeur de l 'énergie inc idente.

Ainsi la distance K& - J (o) est de l 'ordre de 3.3 u .a . chez S-L, tandis qu 'e l le

at teint 40 u.a. environ chez R-E . Les queues des spectres décroissent si lentement

et sont si peu intenses de l 'ordre de l 'erreur statistique qu ' i l n'est pas étonnant

alors de trouver de telles variations sur l'abcisse de coupure des spectres au

moment de la soustraction du coeur. I l faut enfin remarquer qu'en Y , les correc­

tions de diffusion mult ip le sont mal connues et d'autre part la résolution dissy­

métrique d'une diode, caractérisée par une queue du côté des faibles énergies

dont l ' intensité variable avec l 'énergie est d i f f i c i l e a estimer avec précision,

peut entraîner des erreurs non négligeables lors du traitement de déconvolut ion.

Théoriquement, dans la mesure où i l est besoin de soustraire un coeur

théorique des spectres expérimentaux pour obtenir un prof i l Compton de valence,

l 'approximation impulsion avec un rayonnement X n'est peut être plus pleinement

justi f iée pour le Si où les électrons des couches 2s, 2p dont l 'énergie de liaison

de l'ordre de 80 eV( la couche ïs ne contribue pas en X sous le prof i l mesuré),

n'est plus réellement négligeable devant le trcnsfert d'énergie de =:580 eV au pic

Compton.

Sans nier donc l 'existence de ces "queues" , i l faut donc remarquer

qu ' i l existe une incert i tude sur leur intensité qui se reflète dans la normalisation

des courbes.

Malgré ces dif férences, les deux profi ls Compton ont des largeurs à

mi-hauteur très voisines : 1.37 u.a. (S-L) et 1.40 u.a. (R-E).

- 6 7 -

I V - 2 . 2 . Distr ibut ion angulaire des •£ d 'ann ih i la t ion .

La résolution en moment des prof i ls Compton étant équivalente à une

résolution angulaire À 6 = D / m e de l'ordre de 2 mradians, nous avons mesuré

la distr ibut ion angulaire des •y d 'ann ih i la t ion avec une résolution de l 'ordre

de 1 mradian , ce qui n'est pas l 'optimum de l 'apparei l lage, mais présente

l 'avantage d'obtenir une meil leure précision stat ist ique.

A l 'a ide de fentes de 2 mm qui donnent une résolution angulaire de

1.2. mradian, nous avons effectué cette mesure dans un monocristal de s i l ic ium

de type p ( Q ?L 2000-2.crn ) avec une grande précision statistique ( 240.000

coïncidences vraies au p i c ) . La demie-courbe de corrélat ion angulaire notée

fty est représentée sur la f i g .21 normalisée à 2 électrons de va lence.

I V - 2 . 3 . Comparaisons relatives des distributions en moment théoriques

et expérimentales par ann ih i la t ion du positon et diffusion

Compton.

1 V - 2 . 3 . 1 . Distributions en moments l inéaires mesurées comparées

au gaz d'électrons l ibres.

Sur la f igure 2 1 , nous pouvons comparer en valeur re la t i ve , c 'es t -à-d i re

après normalisation en surface dans leur moit ié à deux électrons de va lence, les

courbes expérimentales et la distr ibut ion parabolique inversée d'un gaz de 4 électrons 2 1/3

libres qui s'annule au moment de Fermi p p = ( 3 K. n ) = 0 .96 u .a . (modèle

de Sommerfeld) . Sur cette f igure nous avons également tracé la distr ibut ion en

moment l inéaire d'un gaz d 'é lectron en interact ion de densité très voisine d'après 31

les calculs de Daniel et Vosko sur les corrélations électron - électron dans

l 'approximation de la phase aléatoire (R .P .A . ) .

La largeur a mi-hauteur de la courbe de corrélat ion angulaire expér i ­

mentale (notée fe ) de (1.36 + 0.02) u . a . est très proche de cel le du prof i l

Compton (noté R - E) de 1.40 u .a . . Les deux courbes expérimentales présentent

également une chute de la distr ibut ion au voisinage de p = 0.86 u .a . qui est la

l imite de la zone de Jones du s i l ic ium dans la d i rect ion [ 110 J . Cette concor­

dance permet de supposer que le positon s'annihi le essentiellement avec les

J(Pz) N(p2) Si [110]

J( pz) o Y R-E

N(p z ) + P

Gaz d'électrons libres

Gaz en interaction

«= Tl^Pe

0.1

Gaz en interaction

Distribution de Fermi T= 0

64 - D après Danie) et Vos ko -

*<+J> +0f £ + 0 + 0 +0+%

Moment p ( u.a. )

_* * » * 4 fc-

ON Où

2

Fig. 21

- 69 -

électrons de valence du si l ic ium et montre que l 'effet de la l iaison cr istal l ine

reste sensiblement le même dans les deux cas.

O n observe cependant une contr ibut ion plus forte aux petits moments

dans le cas de la corrélat ion angulaire (ou relativement une contr ibut ion plus

faible aux grands moments sur des courbes normalisées en surface) qui se manifeste

par une di f férence des valeurs au pic de 9 % .

Même en tenant compte de corrélations électron - électron qui restent

faibles à cette densité, tout du moins dans le cadre de l 'approximation prise par

Daniel et Vosko, on peut observer que le prof i l Compton qui ref lète la vraie

densité électronique est très di f férent d'un modèle de gaz d'électrons.

Par contre on peut remarquerque la courbe de corrélat ion angulaire

semble manifester un accord avec la distr ibut ion do gaz d'électrons en interact ion

de façon analogue à la distr ibut ion d'un méta l . Cet accord numérique est l ié à la

faiblesse des contributions de grands moments en corrélat ion angulaire et à la

chute de la distr ibut ion à 0 .86 u .a . l imi te de la zone de Jones dans la d i rect ion

[ i l O ] proche de la valeur du moment de Fermi de 0 .96 u .a . du gaz d'électrons.

Nous pouvons observer sur les courbes expérimentales dérivées de façon

plus s ign i f icat ive les singularités des distributions en moment l inéaires.

1 V - 2 . 3 . 2 . Comparaison des densités moyennes mesurées dans

l'espace des moments.

A part i r des distributions en moment l inéaires, i l est possible de calculer

numériquement une densité dans l'espace des moments qui négligeant l 'anisotropîe

est i c i une moyenne dans la direct ion U 10J par

I i N ( P r ?<p2> - T j ^

1 z r z

ît la distr ibut ion équivalente avec J (p ) . Plus que nous renseigner exactement sur la

densité électronique dans l'espace des moments, les courbes ainsi obtenues (f îg.22)

à part i r de la distr ibut ion angulaî ref t et du prof i l Compton R-E permettent d'une

part d'apprécier le degré de précision de mesure que l 'on peut atteindre sur la

densité électronique et d'autre part de mettre plus en évidence les singularités des

courbes.

I

o I

Rg.22

- 7 1 -

O n peut remarquer a ins i , que vers l ' o r ig ine , la précision n'est pas de

bonne qua l i té , l 'erreur sur la courbe R-E étant comparable à ce l le portée sur la

distr ibut ion £b+ . Ceci est l ié a l ' indéterminat ion du rapport Pz "z

lorsque p tend vers zéro ( l im p —* o °£>et l im -r- - o ) z z p p —?o a p

z z z

O n obs3rve également la chute des deux distributions dérivées au

voisinage de 0 .9 u . a . , mais de façon plus prononcée sur la courbe & où le maximum

à 0 .86 u. a. est s ign i f icat i f de la dérivée d'une discont inui té, compte tenu de la

résolution expérimentale. O n remarque toujours cependant que la proximité de la

l imite de la zone de Jones P , et du moment de Fermi P- peut prêter a I. z . F

confusion sur la valeur P a laquel le chutent les distr ibutions. z

1 V - 2 . 3 . 3 . Comparaisons avec les distributions en moment

linéaires calculées dans le réseau cr is ta l l in .

13 Les calculs théoriques faits d'une part par Erskine et Me Gervey

( E - M G ) d'autre part par Stroud et Ehrenreich révèle l 'anisotropîe de la fonct ion

du positon. La comparaison relat ive des courbes expérimentales avec ces courbes

théoriques semble concluante pour les faibles moments mais montre au delà des

différences non expliquées en raison de l 'or ig ine diverse des composantes de grand

moment .

a)* Or ig ine de la discontinuité observée.

E-MG ut i l isent un modèle d'électrons presque libres ; pour rendre compte des

propriétés semi-conductrices du s i l i c ium, ils assurent que tous les états occupés

dans l'espace des moments se trouvent dans la zone de Jones ( f i g . 23) .

100 Fig. 23

- 7 2 -

si les 6\t)G)rom oi lo positon étaient das ondes piano*/ alors avec le système d©

feule* d'ôbsfeivalîon, pour Une direct ion donnée, on obtiendrait un comptage do

paires do / d 'annl l l lal lons proportionnel a la surface de la section do la zono

do Jones par un plan perpendiculaire a la direct ion étud iée. En par t icu l ier pour

la direction- f l 10] , lo plan do joetfon est paral lè le à la face l im i te de la zone

àtj Jonos n) pur conséquent 11 exista ona discontinuité de lo valeur clo la surface

de la section a p_ - p>i - 0 .86 o .a . poor lo s i l ic ium , L'origine rie la discon­

t inuité observée sur les courbes< o ( p ) S ( f ig .22) résulte donc bien de la

chute do la distr ibution à la l imi te de zone . 12 Berko et Plaskatf ont calculé avec une fonction d'onde du positon "constante"

la distr ibution électronique o(p) dans lo modèle d'électrons presque libres.

Cotte distr ibution ( f ig .24) , obtenue pour un gap d'énergie 4 V^ dans le cas d'un

solide a bande complète, ce qui est lo cas du s i l i c ium, ne présente aucune s ingu­

larité a la l imi te de zone oi/2 ,

2.0

1.0 -

P(P) 1 ' '

a ) Bande complète

1 1 l "

-

-

a T

Fig . 24

2IV0

a

E - M G , avec les rrêmes hypothèses que Berko et Plaskett sur la densité électronique

calculent ainsi une distr ibution en moment l inéaire suivant la d i rect ion M 10J du

si l ic ium qui présente une discontinuité à pi . Mais i l faut remarquer que \ 4 £. 4

puisqu'i ls prennent une fonct ion d'onde du positon "constante" , la courbe obtenue

est en fai t un prof i l Compton. 64

Stroud et Ehrenreich ( S-E ) , dans l 'approximation d'une seule

part icule indépendante, ont calculé la fonct ion d'onde du positon ayant la pleine

symétrie du réseau, au moyen des densités de charge électronique déduites des

mesures d' intensité des raies de diffusion X dans le s i l ic ium . Les fonctions d'onde

- 7 3 -

dos électrons de valence sont calculées au moyen d'un pseudo-potentiel ut i l isé

dans los calculs de bande.

La densité do paires électron-positon £>(p) déduite ne possède pas de 12

discont inui té, de façon analogue au résultat obtenu par Berko et Plaskett

avec le modèle d'électrons presque libres. La discontinuité observée en corré­

lation angulaire ou en compton est donc bien do môme or ig ine.

Le calcul de S-E révèle également que la fonction d'onde du positon

est anisotrope,

b) Inf luence de l 'anîsotropie de la fonction d'onde du positon.

Sur la f igure 25, nous comparons les courbes expérimentales ft et

Compton R-E et les courbes théoriques E-MG (prof i l Compton) et SE (fonct ion

d'onde du positon) obtenues dans la d i rect ion [ l lOj . Les quatre courbes sont

normalisées au p i c .

Nous observons le très bon accord de l 'or igine jusqu'à environ 0.6 u .a .

de la courbe ô avec la courbe de corrélat ion angulaire théorique S-E d'une part

et du prof i l Compton R-E avec celui théorique E-MG d'autre part. La dif férence

quanl i ta t ive entre ces deux groupes qui at te int 4 , 5 % est bien inférieure à l 'erreur

statistique relat ive ^ 0 , 8 % dans cette région. Cette dif férence de forme à l 'o r ig ine ,

compte tenu de l 'accord avec les courbes théoriques est vraisemblablement une

manifestation de l 'anîsotropie de la fonction d'onde du positon.

Au delà de 0 . 6 u. a. , i l existe des différences signif icat ives entre

théorie et expérience plus complexes à analyser, du fait qu'el les peuvent être

en part ie dépendantes des modèles utilisés dans les théories et que d'autre part

on peut prévoir qual i tat ivement des composantes de grands moments d'origines

diverses.

c) Composantes de grands moments

Dans l'hypothèse d'un positon part icu le indépendante, on peut distinguer

les effets propres aux électrons qui contribuent aux grands moments de ceux propres

au positon.

- g

- 7 5 -

Pour les électrons on peut noter l 'anisotropie de leur fonct ion d'onde, le

processus Umklapp et les corrélations électron-électron. L'addit ion de ce dernier

effet au prof i l Compton théorique E-MG pourrait mener à un accord puisque

le prof i l est au dessous du prof i l expérimental dans les queues.

Pour le positon, on peut noter outre les effets analogues à ceux des

électrons tels qu'anisotropie déjà signalée Q\ processus Umklapp, des effets plus

spécifiques.

L'effet de volume exclu évoqué précédemment au § 1 - 3 . 1 . de l 'ordre

de v . / v ,où v. est le volume ionique de l ' ion Si et v le volume atomique, i a ' i a '

a t te indrai t i c i 1.5%.

Le positon peut également s 'annihi ler avec les électrons du coeur qui

d'après Stroud et Ehrenreîch donne une contr ibut ion du même ordre de grandeur

que cel le de l 'aluminium soit de l 'ordre de 10%.

I l faut signaler l 'ef fet de température, l ié à la distr ibut ion maxwe l l îenne

du positon en fonct ion de la température T d ' équi l ibre avec le réseau. Il résulte

de ce modèle que l 'étalement thermique des distributions en moment électronique

est pr incipalement du au positon. Dans l'hypothèse d'un gaz d'électrons libres

de même densité moyenne que le s i l i c i um, 3% de la contr ibut ion aux faibles mo~ 54

ments seraient redistribués aux grands moments

I l faut enfin remarquer que le positon repoussé du voisinage du noyau

du fa i t de sa charge posit ive " v o i t " mal la distorsion des fonctions d'onde dos

électrons de valence a proximité du noyau. Ce défaut de contr ibut ion aux grands

moments (déviat ion de l 'onde plane) reste cependant négligeable puisqueStroud

et Ehrenreîch l 'est imentâ l % d e l a contr ibut ion du coeur.

L'effet de température et plus part icul ièrement l 'ann ih i la t ion du positon

avec les électrons du coeur, tend â augmenter le désaccord aux grands moments

entre la courbe 6 et la courbe théorique de corrélat ion angulaire S-E ( f i g . 25)

qui n ' inclue pas ces effets et se trouve au-dessus de la courbe expérimentale.

- 76 -

Nous pouvons maintenant observer l 'ef fet de l ' in teract ion électron

positon par mesure de temps de vie du positon dans le s i l i c ium. Cotte mesure va

permettre de normaliser la courbe de corrélat ion angulaire et donc de faire une

comparaison absolue avec le prof i l Compton.

1V-2. 4. Comparaisons absolues des densités de moments linéaires

mesurées par annihi lat ion du positon ci diffusion Compton

La première étape de cette analyse nécessite la mesure de la densité

électronique moyenne au site d 'annih i la t ion du positon.

IV -2 . 4 . 1 . Densité électronique moyenne au site d 'ann ih i l a ­

t ion du positon

Cette information est en principe obtenue par la mesure du temps de vie

d 'annih i la t ion l ibre du positon dans le S i l i c ium. Les différentes valeurs que l 'on

peut relever dans la l i t térature pour des monocristaux de Si l ic ium sont rassemblées

dans le tableau ci-dessous

(psec.)

260 + 3

260

222 + 5

250 + 6

Réf.

71

13

72

73

Résolution (psec. )

850

600

300

350

Si l 'on écarte les deux prem)ères valeurs mesurées avec les moins bonnes

72 73

résolutions, i l reste un désaccord entre les va\eurs ' données avec des réso­

lutions comparables. Nous avons donc mesuré avec l 'apparei l lage déjà ut i l isé

pour M g O , le temps de v ie du positon dans notre échant i l lon . Nous obtenons

• £ = ( 2 . 1 + 0 . 1 ) 1 0 S avec une résolution de 4 x 10 S. Dans la l imi te de

l 'erreur, cette valeur est en accord avec cel le de Weisberg et Berko.

La mesure du temps de v ie dans des cristaux de si l ic ium dopés n ou p 72

montrent que la vie T. est invariante et que par conséquent le positon insen­sible aux états de conduction s 'annihi le principalement avec les électrons de valence.

- 7 7 -

De la valeur de t , i nous obtenons

\ } = 1 / t = (4.5 + 0. 1) ns"1

soit une densité électronique moyenne au site du positon

c = (0.089 + 0.002) u .a . \ ! 2

n. - A , / xc r + T

Le renforcement moyen de densité est donc

S = n, / n = 3.00 + 0.09 + - -

Nous pouvons comparer ce facteur expérimental au facteur de renforcement s. 17

théorique c^(r ) calculé par Carbotte pour un gaz d'électrons l ibres. Pour

r = 2, qui correspond a la densité électronique moyenne de valence n du s i l i ­

c ium, la valeur extrapolée est

% ( r s = 2) = 3.59

Si nous corrigeons cette valeur du facteur F(r , Eg) tenant compte d'un gap

Eg pour le gaz d'électrons tel que nous l'avons proposé a u o l V - I . 3 . 2 . pour M g O ,

nous obtenons avec la valeur expérimentale de la constante d ié lectr ique statique

du si l ic ium d = 12 le paramètre Eg égal à 0 . 1 85 u .a . (5.0 eV) et avec l 'expres­

sion (51)

%( r s , Eg) = 3.35

Cette valeur ne diffère que de 10% de la valeur expérimentale. Le renforcement

de densité moyen expérimental par conséquent est comparable à celui calculé

pour un métal comme l 'aluminium de densité électronique moyenne très voisine.

Les profils Compton étant normalisés à 4 électrons de valence, nous

normalisons donc la courbe de corré lat ion angulaire 5 4 x 3 = 12 électrons effecti fs

pour comparer les courbes en valeur absolue.

- 7 f i ~

J(Pz) N(p z )

h +

4

+

+

+

0 \

o \

0

+

+

\ +

\ c

Si [110]

N ( p z ) + p +

N( pz } Théorie S-E

J(Pz> ° Y R-E

Moment p2 (u.a.)

2 3 Fig.26

- 79 -

I V - 2 . 4 . 2 . Comparaison absolue

Sur la f igure 26, nous comparons la courbe expér imenta lep , nor­

malisée a 12/2 électrons au prof i l Compton expérimental R-E et a la courbe

théorique positon S-E normalisés à 4 /2 électrons de valence. Les queues de la

courbe h se trouvent maintenant au-dessus de celles des deux autres courbes.

courbes. Mais nous remarquons que si le rapport N (p ) a. / N (p )_ c reste 7. \J r Z o - 1

de l'ordre de 3 pour O <^p <C p. -, = 0 , 8 6 u . a . , ce rapport décroit après

la l imite de zone et est compris entre 1 et 2 pour les queues. Cette "ar ia t ion

semble indiquer un renforcement de densité plus important pour les faibles

moments et donc une dépendance en moment du facteur de renforcement. Cette

différence peut être encore plus importante q u ' i l est observé ic i puisque la

courbe expérimentale cont ient en pr incipe une contr ibut ion supplémentaire due

a l 'ann ih i la t ion du positon avec les électrons du coeur.

Les facteurs de renforce. .*• oe densité dépendant de moment n'ont

été calculés que pour le gaz d'élect. "i l 'except ion des calculs de Carbotte et . 5 5

Salvador! pour les électrons du ce • l 'aluminium et du sodium et du t ravai l

de Fujiwara et a i . pour un isolant (cf. MgO I V - 1 . 3 . ) . Carbotte et Kahana

considérant l 'ann ih i la t ion d'un positon dans un gaz d'électrons en interact ion

uti l isent un potent ie l dynamique. Ils montrent a tous les ordres de perturbation

que les contributions é lect ron- t rou et positon-trou s'annulent presque et que la

contr ibut ion pou rp^>p F due à l 'emploi d'un potent ie l dynamique annule presque

complètement les queues attendues des contributions d'énergie propres du positon

et de l 'é lec t ron . Malgré donc un facteur de renforcement pour p<C PF du même

ordre de grandeur que celui pour p> p F , l 'annulat ion ou presque de ces diverses

contr ibutions, donne une queue tout à fa i t négligeable par rapport à cel le prove­

nant de l 'énergie propre des électrons. Ces résultats semblent confirmer qu'en

annih i la t ion du posi ton, les corrélations é lect ron-é lect ron ne sont pas décelées 26 7

selon les arguments semi-quant i tat i fs plus généraux de Weiss ou Ferrel

L'absence d'une te l le contr ibut ion en corrélat ion angulaire pourrait donc expl iquer

une composante aux grands moments moins intense relativement au compton, et un

facteur de renforcement aux grands moments également apparemment plus fa ib le

en comparaison absolue.

- 8 0 -

Fujïwara et a l . dans un modèle d'isolant a deux bandes à une dimension

montrent la possibilité de transitions électroniques de la bande inférieure à la

bande supérieure en présence d'interaction électron-positon qui diminuent la

densité dans la deuxième zone excepté au voisinage de la limite de la première

zone. Ce résultat qui est le seul obtenu pour un isolant est comparé relativement 12

sur la figure 27 à la distribution obtenue par Berko et Plaskett dans le modèle

d'électrons presque libres déjà examiné.

1.0

0.5

0 0 0.5 <x CK

P fig. 27

Ce modèle peut concorder non seulement avec la faiblesse de contribution

aux grands moments en corrélation angulaire, relativement au compton,maîs

également avec le fait que sur les courbes dérivées de la figure 22 nous

observons un maximum plus prononcé à la limite de la zone de Jones et une chute

plus rapide de la distribution de corrélation angulaire ; l'effet de la fonction

d'onde du positon en interaction étant alors d'amplifier la discontinuité observée

sur la distribution en moment linéaire.

En conclusion de cette étude comparative sur le silicium dans la direc­

tion [ l 10 J , nous avons mesuré sur la courbe de corrélation angulaire des d'anni­

hilation du positon une largeur à mi-hauteur de (1 .36 + 0.02) u.a. proche de celle

obtenue par Reed et Eisenberger de 1.4 u.a. sur un profil Compton de diffusion

Les deux courbes expérimentales présentent une chute de la distribution en moment

â la limite de la zone de Jones, plus rapide cependant en corrélation angulaire.

Ces résultats montrent que le positon s'annihile essentiellement avec les électrons

de valence et les deux méthodes reflètent globalement la même sensibilité a

l'effet de la liaison cristalline. La courbe de corrélation angulaire présente

relativement une absence de contribution aux grands moments par rapport au

compton. Ce défaut de contribution et la proximité de la limite de la zone

- 81 -

de Jones de la surface de Fermi du gaz d'électrons de même densité moyenne

amène un accord numérique part ie l avec la distr ibut ion en moment l inéaire

d'un gaz d'électrons en in teract ion.

Le prof i l Compton théorique d'Erskine Me Gervey (modèle d'électrons

presque libres) et la courbe de corrélat ion angulaire théorique de Stroud et

Ehrenreich ut i l isant une fonct ion d'onde du positon ayant la pleine symétrie du

réseau (pseudo potent ie l pour les électrons de valence) présentent une d iscont i ­

nuité attr ibuée à la géométrie de la zone de Jones observée par des fentes dans

la direct ion [_110^ . L'accord de ces courbes théoriques respectivement avec les

courbes expérimentales pour les faibles moments semble mettre en évidence

l 'anisotropie de la fonct ion d'onde du positon. Les différences observées aux grands

moments entre (es courbes positon et compton ne sont pas dans cette comparaison

relat ive expliquées en raison de la diversité des contributions dans ce domaine.

Le temps de vie du positon mesuré dans le monocristal de si l ic ium de

(2. 1 + 0. 1) x 10 s montre un renforcement moyen de la densité électronique

au site du positon due à l ' in teract ion électron-positon d'un cocteur 3 . Ce facteur

est proche (10%) de celui ca lculé pour un gaz d'électrons libres avec une bande

d'énergie in terd i te .

La normalisation de la courbe de corrélat ion angulaire obtenue par mesure

de temps de vie permet de faire une comparaison absolue avec le prof i l Compton

et la courbe théorique de Stroud et Ehrenreich. Cette comparaison semble montrer

un renforcement de densité plus important pour les faibles moments que pour les

grands moments.

Dans l'hypothèse où le positon révèle mal les corrélations é lect ron-é lect ron

ce qui pourrait expl iquer un défaut de contributions aux grands moments, la

méthode Compton serait seule apte a mesurer des corrélations é lect ron-é lect ron

si certaines incertitudes sur la mesure des queues peuvent être levées.

Dans l'hypothèse selon Fujiwara et a l . d'un renforcement de densité

électronique a la l imi te de la zone de Jones et d'une diminut ion relat ive de cette

densité au-delà de cette l im i te , cette comparaison montre la propriété du positon

d 'ampl i f ier la discont inui té a la l imi te de zone de la distr ibut ion en moment l inéa i re .

- 82 -

- CONCLUSION

Nous avons comparé dans cette étude les distributions en moment

linéaires obtenues en corrélat ion angulaire des -fl d 'ann ih i la t ion du positon et

en diffusion Compton dans des monocristaux d'oxyde de magnésium et de s i l i c ium.

L'obtention du prof i l Compton de valence du MgO avec une bande de

confiance de 95% a nécessité l 'adaptation de méthodes numériques au traitement

du spectre de diffusion de rayons X enregistré sur f i lm photographique et densî-

tométré qui nous a été fourn i . Ce programme de calcul nécessaire à l 'analyse

Compton contraste avec la rapidité d'acquisi t ion des courbes de corrélat ion angu­

la i re . Cette analyse permet également de montrer un mei l leur accord numérique

avec le spectre expérimental d'un spectre théorique construit avec un prof i l

des électrons du coeur obtenu exactement pas des fonctions d'ondes hydrogénoides

que celui construit avec un prof i l du coeur obtenu dans l 'approximation impulsion

avec des fonctions d'onde Hartree-Fockl

Les courbes de corrélat ion angulaire mesurées dans MgO suivant les

directions [100] , [110] et [ i l l ] ne présentent pas de structure a la l imi te de la

première zone de Br i l lou in et confirme l ' isotropîe des distributions observées par

Weiss en Compton. La courbe de corrélat ion angulaire présente une dépendance

en moment similaire a cel le du prof i l Compton avant la l imite de la zone de

Br i l lou in , mais décroit plus rapidement après cette l im i te . Les largeurs à m i -

hauteur des deux types de courbes expérimentales sont proches de la largeur à 2+ 2 -

mi-hauteur théorique d'un prof i l Compton de valence Mg O obtenu par un

calcul de bandes et révèlent la même sensibi l i té des deux méthodes a la nature

de la liaison cr is ta l l ine. Cette simil i tude de la corrélat ion angulaire avec la

vraie densité électronique reflétée par le prof i l Compton, ne semble pas contenu

dans la mesure du spectre de temps de vie du positon pour lequel l 'éventual i té

d'un état l ié n'est pas écarté.

Comme pour M g O , dans le s i l ic ium suivant la direct ion [ n O j , nous

mesurons en corrélat ion angulaire une largeur à mi-hauteur très proche de cel le

observée sur les profils Compton publiés. La chute de la distr ibut ion en moment

- 8 3 -

clairement observée en positon à la l imi te de la zone de Jones, non résolue sur

un prof i l Compton en X , l'est sur un prof i l -£ . L'origine de cette discontinuité

est en positon et compton attr ibuée à la géométrie de la zone de Jones observée

par un système de fentes suivant la d i rect ion [ H O ] .

Le temps de vie du positon mesuré dans le s i l i c ium, comparable avec

celui calculé dans un modèle de gaz d'électrons libres en interact ion avec le

positon en présence d'une bande d'énergie in terd i te . Cette mesure permet de

faire une comparaison absolue, sur les distributions en moment l inéaires. Cette

comparaison permet d'observer un plus grand renforcement apparent de densité

de la distr ibut ion centrale de la corrélation angulaire que celui des grands mo­

ments.

Cette observation pourrait être interprétée comme un défaut de con t r i ­

butions des corrélations é lectron-électron ou comme une diminut ion relat ive de

densité électronique due aux transitions interbandes électroniques en présence

d ' interact ion é lect ron-posi ton.

En positon nous observons pour les corps étudiés, après une acquisi t ion

rapide et précise des données, les caractères essentiels de la distr ibut ion é lec ­

tronique mesurée en Compton pour les faibles moments, mais une distr ibut ion

caractéristique des paires électron-positon pour les grands moments.

Dans l'hypothèse où le positon révèle mal les corrélations é lec t ron-é lec ­

t ron, la diffusion compton constitue un moyen unique de les mesurer. Dans cette

opt ique, la détermination expérimentale de la contr ibution du coeur en X ou en

par mesure en coincidence des X de réarrangement des couches internes devraient

permettre de dégager les vraies contributions de corrélat ion des électrons de

valence.

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A l

A N N E X E

ANALYSE DES SPECTRES DENSITOMETRES DE DIFFUSION X

Avant d'aborder le traitement numérique proprement d i t , nous devons

déf in i r certaines conditions expérimentales dont dépend l 'analyse des spectres.

A .I - Paramètres expérimentaux .

- Fond cont inu :

Le fond cont inu quo nous observons sous le spectre Compton MgO

expérimental ( f ïg . 12) est complexe. Il comprend le fond cont inu de longueur

d'onde A (0.7 à 0.9 A ) du spectre d'émission du tube observé au paragraphe

111-2 . 2 . , mais aussi pour une tension de fonctionnement du *ube de 35 l(eV

le fond cont inu harmonique -^- (0.35 à 0 .45 A) qu i satisfait à la relat ion de Bragg

n À= 2 d sîn 0 pour les mêmes angles d'analyse ôque le rayonnement A dans le

domaine mesuré. Il comprend également le bruit de fond dû a la diffusion des rayons

X sur l 'air et sur les parois de plomb nécessaires pour la protect ion, la d é l i m i ­

tat ion des faisceaux et pour former la chambre d'analyse dans laquel le est p lacé

le f i l m . Les composantes de ce fond continu ne sont pas évaluables à p r i o r i , en

par t icu l ie r i l n'est pas possib le de distinguer la diffusion avant ou après l 'analyseur.

I l faut enfin remarquer que les prof i ls Compton dus aux raies K „ et Kp<

contr ibuent sous les raies K^ du fa i t de la résolution . Cependant l'on peut estimer

que ce fond cont inu var ie lentement en fonction de la longueur d'onde et que sa

variat ion peut être approximée l inéairement dans le domaine de mesure.

- Résolution :

Ou t re la largeur naturel le de \n raie K^ , les autres cauifl jd'élar­

gissement de cet te raie essentiellement expérimentales sont les divergences

vert icale et horîzositale de l 'angle de diffusion w, et les défauts de focal isation

AI

tels que l 'ut i l isat ion d'un échant i l lon plan et d'un cr istal analyseur^onctîonnant

en transmîssionjd'épaîsseur f i n i e . Ces effets sont en pr incipe calculables géomé­

tr iquement, mais i l est plus réaliste de prendre comme fonct ion de résolution la

raie K ex, mesurée dont la largeur a mi-hauteur somme ces informations. La

largeur à mi-hauteur de la raie K « , mesurée en fluorescence est 21 = 27 eV .

Cette valeur correspond pour un angle de diffusion i f de î ?0° à une résolution

en moment A p , ca lcu lée à part i r de la relation ( I l . 1 (22 ) de 0 . 13 u .a . ~ _ 1 _ _ , me

soir une résolution angulaire équivalente de 1 mrad en corrélat ion angulaire avec

le positon. Nous avons donné une forme analytique au p ro f i l de la raie K ^ . ,

par commodité de c a l c u l , pour convoluer de la résolution les profi ls Compton théo­

riques .Les raies naturelles ayant une forme lorentzïenne et la chaîne de mesure

étant constituée essentiellement de fentes, nous avons choisi la fonct ion de

résolution comme la convolut ion d'une lorentzïenne avec une fen te .

Soit r'(x) = — — « Ô une lorentzïenne normalisée à l 'uni té de I + X

largeur à mi-hauteur 2 1 ' , et une fente r" (x) déf inie par

r" (x) = l /2a -a < x < a

et r" (x) = 0 x < -a e t x ) a .

La convolut ion de r" (x) et r' (x) donne la fonct ion de résolution

normalisée à l 'uni té

r (x) = ( 7 M x " - X ' ) r " (x ' ) d x ' = 5 ^ 0 " x

[Arc tg ( ^ E ) - A r c t g ( * ^ ) ] A - 1

dont la largeur à mi-hauteur est :

21 = 2 \ ( a 2 + I ' 2 A - 2

Par ajustement sur la raie expérimentale K^ , nous déterminons les paramètres

a et I' et donc la fonction analyt ique r (x) ( F ig . 28 ) .

- Erreur statistique :

Sur un spectre densitométré point par po in t , on peut noter une

importante dispersion des points, indépendante de l ' in tensi té qui ref lète l'aspect

A 3

M*

granulaire du f i lm . Si l 'on trace les enveloppes supérieure et inférieure de

ces points, on obtient une bande de largeur constante b. Dans l'hypothèse

d'une distr ibution aléatoire normale centrée des points à l ' intér ieur de cette

bande, on peut estimer que b est sensiblement quatre fois l 'écart quadratique

moyen par rapport à la valeur moyenne inconnue, ce qui correspond à une

probabi l i té d'environ 95% de trouver la valeur moyenne dans cet in terval le .

Dans le cas d'une statistique de comptage de photons, les signaux aléatoires

générés ont un spectre d'autocorrélat ion constant (bruit blanc) et d ' intercorré-39

lat ion avec le signal nul (pas de diaphonie) . Dans le cas de noircissements

de films ceci semble plus approximatif . Lorsque le photon est absorbé dans la

couche du f i l m , toute une région est no i rc ie , d'autre part même dans des con­

ditions de développement soigné, les grains ont tendance à s'agglomérer,

l ' indépendance des écarts ne semble pas vér i f iée (bruit non b lanc) . Cependant

lorsque nous prenons une fente d'analyse, très f ine sur le microdensitomètre de

l'ordre de la ta i l le des grains du f i lm , nous tendons vers un brui t blanc (corré­

lat ion microscopique). Des expériences ont montré que pour les noirciscements 40

ces écarts suivaient une loi gaussienne . Par ai l leurs pour une photographie

où les contrastes sont fa ibles, ce qui est le cas pour la dif fusion des X , le bruit

dépend de la densité photographique moyenne, donc l 'écart quadratique moyen

est sensiblement constant, ce que nous avons observé.

Donc nous définissons, l 'erreur statistique de noircissement, comme

suivant une loi gaussienne dont l 'écart quadratique moyen est le quart de la

largeur de la bande constante contenant les points expérimentaux de densito-

métr ie. Il est suffisant de prendre un pas d'histographie sensiblement la moit ié

de la valeur de la résolution pour ne pas perdre d ' in format ion. Cependant pour

déf in i r une bande de confiance à part ir de la dispersion des points, nous avons

pris plus de points expérimentaux que nécessaires sur le spectre densitométré

en continu avec une fente f ine.

- Densité photographique ou noircissement

Si I est l ' intensité incidente d'un faisceau de lumière tombant sur le o f i lm et I l ' intensité transmise par la plage exposée, la densité photographique de

AS

cette plage est :

D = log I / I A o ' o

En prat ique, i l existe un vo i le systématique du f i lm d'or igine chimique, dont on

peut mesurer le noircissement D' = log l ' / l dans la part ie non exposée du f i lm .

Le noircissement e f fect i f est donc D = D - D' = log l / l 1 . Les noircissements sont

en général fa ib les, Ici inférieurs a 0 . 6 . Dans ces condit ions, la densité photo­

graphique du f i lm est proport ionnel le à l 'exposi t ion, c 'est -à-d i re au produit

de l 'énergie reçue par unité de surface (intensité du faisceau X) par le temps

d 'exposi t ion. Le densitométrage des films est donc une mesure d' intensité

relat ive des spectres enregistrés.

A . 2 - Etapes du traitement numérique .

Nous étalonnons les abcisses l inéairement en variable angulaire © d ' a ­

nalyse, et calculons les valeurs correspondantes en longueur d 'onde, énergie

et quanti té de mouvement. La complexité du fond cont inu, nous amène a le

soustraire globalement par comparaison avec le spectre Compton obtenu théo­

riquement. Nous corrigeons ensuite des facteurs dépendant de la longueur d'onde

qui sont l 'absorption dans l 'échant i l lon et dans le cristal analyseur, la po la r i ­

sation et la ré f lec t iv i té de l 'analyseur. Du fa i t de la nature du doublet K ^ . -

K^ „ , i l faut séparer une des composantes Compton. Enf in, nous devons changer

d 'échel le en ordonnées, passer des intensités aux sections efficaces af in de

normaliser les courbes pour soustraire le coeur et obtenir enfin un pro f i l Compton

de valence après mul t ip l i ca t ion d'un facteur dépendant de l 'énergie qui le

rel îe à la section e f f i cace .

A f i n de contrôler les diverses erreurs amenées inévitablement" par

ce t ra i tement, nous calculerons l 'évo lu t ion de l 'erreur statistique pa r t i cu l i è ­

rement au cours de la phase de déconvolut ion du doublet.

A 6

A . 2 . 1 . Erreur statistique - Pas d'histographie

La courbe densitomôtrée on continu constitue la moyenne de densito-

métrages effectués à des hauteurs différentes de to t^gion impressionnée du f i lm

enregistreur.

L'erreur statistique sur le tracé moyenne, est estimé selon le critère

exposé précédemment. L'erreur relat ive au pic obtenue ainsi est de 0 .85%.

Pour la suite de l 'analyse, un nombre minimum de points est ut i l isé.

L ' interval le entre deux points est de l'ordro de la demie largeur 6 mi-hauteur de

la raie K&,, c 'est-a-d i re de la moit ié de la valeur de la résolution (cf. A - l . ) .

A . 2 . 2 . Echelle des obéisses

La focal isat ion des rayons X après passage dans l 'analyseur se fa i t sur

un cercle ; la distance l inéaire mesurée sur le f i lm enroulé sur ce cercle ou

sur la courbe densitométrée entre deux points quelconques est proport ionnel le

à la différence des angles d'analyse des rayons convergents en ces points. En

par t icu l ier , les raies K^ . et K&~ ont une longueur d'onde connue ; par la re­

lat ion de Bragg nous calculons les angles 8,, et 0 „ d'analyse de ces l o n -

gueurs d'onde, la distance l inéaire D mesurée entre les pics des deux raies est

proport ionnelle à (EL - 6 „ ) , d'où l 'échel le

A -(6 -6 ) / D

Si la raie K^ est prise comme or ig ine, l 'écart l inéaire x d'un point avec le

pic de la raie K j * . , donne l 'angle d'analyse :

K„( A - 4

La pr incipale erreur fai te a ins i , réside dans le pointé des raies K ^ .

La distance l inéaire D mesurée est par exemple sur la courbe M g O , compte tenu

des f luctuations de 24.50 + 0.25 mm soit une erreur re lat ive sur D de l 'ordre de 1 % .

A?

I l y a avantage/ d'ajuster, dans la l imite de l 'erreur, P é c h e l l e A d e te l le façon

qu'en fin de traitement le zéro de moment coincide avec le maximum e x p é r i ­

mental du profi l Compton en exploi tant sa symétrie. Lorsque l ' éche l le A est f i x é e ,

i l vient alors immédiatement ,

\ 2 = 2 d sin Ô

où d = d „ . n est l 'espacement entre les plans réticulaires (310) d'analyse du * lu o o

quartz de type hexagonal . Avec a = 4 . 9 0 2 7 A on a 2 x d „ l n = 2 . 3 5 5 1 8 A .

Connaissant A.- , la va leur de ficu^ est ca lcu lée au moyen de

-f\u)2 = W \ 2 où hc = 12 .3985 k e V . Â .

Enfin p est obtenu par la relat ion ( 1 1 . 1 . 2 . 2 . )

n -mfi (u)2-ajp *k A = PZ - —fâ " T A "b

a v e c k = | ( u ) * + U>* - 2W t J 2 cosif) 1 / / 2

A . 2 . 3 . Soustraction du fond

Nous avons déjà souligné la complexité du fond continu sur les spectres

obtenus en rayons X . Nous savons cependant qu' i l var ie doucement en fonction

de la longueur d 'onde, et dans cette bande de longueur d'onde de façon l inéa i re .

Une première approximation est d 'extrapoler l inéairement ce fond aux entremîtes

du spectre, où l'on suppose que le profi l Compton ne contribue plus, et de le

soustraire. Nous obtenons ainsi un spectre e (X). Ce t te approximation est r e l a ­

t ivement grossière car & l 'extrémité du spectre côté petites longueurs d'onde,

le profi l Compton dû aux raies K* peut apporter une certaine contr ibut ion.

Côté grandes longueurs d 'onde, l 'extrémité du spectre mesuré, l imité par la

divergence en f et les effets de bord du cristal étudié correspond a un moment

de l'ordre de 5 à 6 u. a . . Les calculs théoriques de profi l Compton montrent que

la contribution du coeur â p = 5 u .a . , n'est pas nég l igeab le . El le est de l 'ordre

de 1.5 6 2 % du maximum du profi l total pour M g O ; a cette contribution du coeur

A 6

s'ajoute également une faible contr ibut ion de valence inférieure a 1 % du max i ­

mum du prof i l t o ta l .

Pour défermi ter ÏJ fond continu en deuxième approximat ion, nous

comparons le spectre expérimental e (X) au prof i l Compton total (coeur +

valence) t (A.) calculé théoriquement auquel nous avons fa i t subir â rebours

tout le traitement à effectuer sur la courbe expérimentale. La construction de

ce prof i l théorique est détai l lé au par. I V - 1 . 1 . . La courbe expérimentale

e (X) est ajustée s.ur m points choisis à ses extrémités au spectre théorique t (A)/ o

dans l'hypothèse d'un fond continu r( / \ ) l inéaire de la forme a A + b. Imposant

au spectre expérimental ajusté d'être normalisé en surface à t (A) dans le do­

maine mesuré, moyennant un facteur d 'échel le k, nous déterminons par appro­

ximations successives sur le système des m équations

e (À) = k * (X) + a\+b A

les paramètres k, a, b, au moyen du cri tér ium des moindres carrés. Après douze

i térat ions, la var iat ion relat ive de la différence quadratique moyenne entre le

spectre corrigé et le spectre théorique sur les m points des extrémités est i n fé ­

rieure & 10

Du côté grandes longueurs d 'onde, les courbes expérimentale et théo­

rique sont ajustées sur 20 points environ ce qui correspond à un moment p >̂ 3 .5 u

Du côté petites longueurs d'onde où les raies K^ se superposent en part ie au

spectre Compton ( f ig . 12), nous avons choisi seulement cinq points, juste après

les raies du côté du pic Compton, ce qui correspond à un moment p <^2.5 u .a . .

Nous avons également extrai t les raies K^ , par commodité de trai tement, en

posant que sous ces raies, après soustraction du fond cont inu, le pro f i l expér i ­

mental est égal au prof i l théorique.

Sur les figures 13 et ?4, nous pouvons observer les spectres ajustés

pour deux types de coeur théorique. Nous observons que le fond continu rési­

duel à droite des raies Kp< est important dans le cas HF ; ceci est dû â la d i f ­

f icu l té d'ajuster les courbes théorique HF et expérimentale autour de 17.1 keV.

Aâ

Dans le cas EH, nous pouvons observer que la contr ibut ion du prof i l Compton

des raier Kg, est vraisemblablement nu l le .

A . 2 . 4 . Corrections dépendant de la longueur d'onde

A , 2 . 4 , 1 , Absorption dans l 'échant i l lon

Il y a absorption (effet photoélectr ique) du rayonnement dans l ' é ­

chant i l lon . L'angleu) de diffusion du rayonnement incident avec le rayonnement

diffusé est le même, a la divergence en wprès, pour les rayons analysés.

Considérons un échant i l lon de surface irradiée S, d'épaisseur t .

( f i g . 29 ) . Ne tenant compte que de l 'absorpt ion, l ' intensité diffusée d L

par le volume S dx est proport ionnel le à l 'élément de volume S dx et a

exp-/•*- (A . ) x A M , exp-(f*- (A) x MB), où u(A) est le coef f ic ient d'absorption

l inéaire et AMB la longueur du chemin parcouru par le rayonnement dans

l ' échan t i l l on , lorsqu' i l est diffusé a l'abcisse x .

A M = x / sînu/ = ax

MB = x / sin ( i f - ^ ) = bx

A 40

L'intensité totale diffusée est alors avoc K (X . ) =K et U (A) = |*-

l 2 = j d l 2 = ^ S J exp - (U j a + u. b) x

se t

, = i c T - exp - (/M m /*h) t *2 1 jU-1 a +L tb

A - 7

Dans les conditions expérimentales, VjJ -̂ 1 1 ° , u>~ '10° / t = 0.5 cm et o „ ] ' ' _ ]5

U. (0.7 A) n î i 1 I cm , soit exp - ( r i a +M- b) t * 10 ce qui est pa r fa i ­

tement négligeable devant l 'un i té . La seule dépendance en longueur d'onde

de L , est donc

l 2 o C 1 / ( ^ - 1 a + ^ b ) A - 8

La var iat ion de uen fonction de la longueur d'onde est ce l le donnée par

" Internat ional X - Ray Tables"(Vol. 3 , p : ).

A . 2 . 4 . 2 . Corrections dépendant de la longueur d'onde dans

l'analyseur

Au niveau de l 'analyseur, le faisceau transmis di f f racté subit une

certaine absorption.

a) Absorption

II

Fig. 30

A 11

Soit un cristal analyseur d'épaisseur t , de surface irradiée S, dont le

plan cr is ta l l in d'analyse fait un angle ex avec la normale à la surface du cristal

(Fig. 30), Soient I . l ' intensité incidente et 0 (A.) l 'angle de réf lexion sur le

plan cr is ta l l in rel ié à la longueur d'onde par la relation de Bragg.

L' intensité d L di f f ractée par l 'élément de volume Sdx, en ne tenant

compte que de l 'absorption est

d L = l j S dx exp - M A ) [ x / c o s (c( + 0(A.) +

( t -x) (cos (oc+6(X) ) ]

où U (A) est le coef f ic ient d'absorption l inéaire du cristal analyseur. L ' in ten­

sité di f f ractée L à l 'angle 2 par rapport à la direct ion incidente est

-f - v ^ <.-'•'-.-^> '2 ) o "-2 juu(b-a)

avec a = 1 / cos ( * + 9 (A) ) , b = 1 / Cos (<* - 9(A) ) .

Le facteur de correct ion d'absorption dépendant de la longueur

d'onde pour l 'analyseur est donc

* /-U - exp-GMA) t / cos (« + 6(A) ) ) - exp - ( j i (>) t / cos (<X+8(A) ) ) A A (A) u (X ) [ 1 / c o s (<X+6 (A) ) - 1 / cos ( * - 9 ( A ) )

Comme dans le cas de l ' échant i l l on , nous posons que le coeff ic ient

d'absorption p (A) dans l'analyseur varie avec la longueur d'onde selon la

formule donnée par International Tables.

b) Polarisation

Le faisceau diffusé par l 'échant i l lon est polarisé. D'après la formule

de section eff icace Thompson, le facteur de polarisation est = + , dans

le cas où le faisceau incident issu du tube à rayons X n'est pas polarisé. Après

A l l

di f f ract ion a l 'angle Q ( A ) sur l 'analyseur, le facteur de polarisation devient 22

dépendant de la longueur d'onde par la relat ion classique

2 2 p (X) - 1 + cos ip cos 20(A) V ( ' 1 + cos * Vf

c) Facteur de Lorentz 22

Le facteur de Lorentz égal a

x w

si n 26 o £

sîn 3 0 o C

• 2 û sin o

2 s in0 cosO cos 6

est introduit dans le calcul du pouvoir réf lecteur d'un cristal par l ' in tégrat ion

de l ' intensité dans le domaine très étroi t de la réf lexion sélective de Bragg.

Nous posons

L (X) = sin 2 0 ( A ) / c o s 0 (A )

Ces corrections théoriques sont faites dans l'hypothèse d'un cristal

" idéalement impar fa i t " .

En échel le d'intensité re la t ive, l ' intensité diffusée l_ doi t donc être

corrigée d'un facteur dépendant de la longueur d'onde C (À) égal à

C a ) = ( H ( A 1 ) a + M (\) b ) / A ( A ) P ( A ) L(À)

Numériquement, nous avons pour MgO C(\ ) / C ( A , ) o i l . l 6 4 où

A et A sont les longueurs d'onde respectivement à la f in et au début du

spectre (À > A J .

A 1 5

A. 2 . 4 . 3. Intensité - Section eff icace d i f férent ie l le de

diffusion Compton

L'intensité diffusée par l 'échant i l lon et la section eff icace d i f fé ren­

t ie l l e de diffusion Compton, ne sont pas reliées par un simple facteur d 'échel le

du fai t du changement de longueur d'onde du rayonnement dif fusé.

Soit$>le flux de photons incidents d'énergie u), (fi = 1), c 'est -à-d i re

le nombre de photons par unité de surface et de temps qui arr ivent sur l 'échan­

t i l l o n . Le nombre total N_ de photons diffusés à l'angleU) dans l 'angle solide

dn _ et comptés à une distance r de l 'échant i l lon est alors :

do-N 2 = * ^ T ( < V f dn2' ^ 5) 2

d rr où -j (w / U> ) est la section ef f icace de diffusion par unité d'angle sol ide.

d n 2 1 T

Le nombre n„ de photons par seconde et unité d'énergie ayant une

énergie comprise entreW- etU). + du) est

d N , d2<r n . = - i = -: - j - — (w,,u>) dn _ A

2 dw_ dn - dw l ' T ' 2

L'énergie e„ recue i l l ie par seconde dans dn„ pour des photons d'énergie

UJ- est e„ = n„W_, et l ' intensité diffusée correspondante i_ = e_ / dS~. Si nous

supposons le flux incident homogène, soit d' intensité L = x W , l ' intensité d i f ­

fusée i „ est donc :

. 'l '2 - r 02

t.

W2 W l

dV dn 2 du>2

Pour obtenir la section eff icace d i f férent ie l le de diffusion Compton,

nous devons donc corriger l ' intensité d'un facteur—— = ~Trk~ dépendant de

la longueur d 'onde.

Am

A. 2 . 5 . Séparation des spectres dûs a la raie K&/ . et à la raie K^ _

A . 2 . 5 . 1. Généralités

Les raies K & et K ̂ donnent chacune un prof i l Compton. Ces deux

profils Compton sont superposés l 'un â l 'autre. Les méthodes de séparation de

ces deux composantes sont basées sur le fai t que l'on connaît d'une part la va--3 °

leur de l ' in terval le en longueur d'onde qui sépare les doux raies (4.28 10 A)

et d'autre part le rapport de leurs intensités

r l , = ,K / ' K = 0 - 5 2 5 . k tv^ 1 ^«.2

On a en effet l ' intensité totale

I (À) = i ] (A) + i2(X) = i ] &) + rk i ] a-t*) ,

où i (X) est le spectre donné par la raie K^ 1 et i_ (X) celui donné par la

raie K^ - , qui a la même forme que i . (À)/ mais décalé de +(X et réduit dans

le rapport r, .

La méthode de séparation la plus employée parce que la plus simple

est cel le de Rachinger

Si l'on se place du côté des petites longueurs d'onde vers A i où

est nu l , on a :

I ( \ ) = 't} &})

I (A, + * ) = ?, ( A ] +«) - r k î 1 (\)

I (X j + n«) - i ] (A ] + n*) - rk i {\ + ( n - l ) < * )

De la valeur expérimentale 1 (À . ) = i (X ) , on peut déterminer

de proche en proche i . (A, +<*), , i . (A . + n U), soit le prof i l

Compton dû à la raie K,x,.

A-15-

La méthode bien que fac i le à ut i l iser à des inconvénients. L ' incer­

titude relat ive est grande sur les premiers points utilisés à l 'extrémité du spec­

tre où l ' intensité est fa ib le . Toutes les erreurs de calcul d'arrondi et expérimen­

tales sont cumulées sur le côté grande longueur d'onde du prof i l qui est le plus

intéressant a exploi ter car i l n'est pas l imité comme le côté peti te longueur

d'onde par le seuil de la raie K^. . Nous avons préféré uti l iser une méthode 42

de déconvolution par transformée de Fourier (Stokes ) qui permet en même

temps de déconvoluer de la résolution expérimentale, s ' i l y a l i eu .

Le doublet K^ 1 - K^ est assimilé â la distr ibut ion, normalisée

5 l 'unité suivante

où o(À.) est la mesure de Dirac.

Si r (x) est la fonction instrumentale, te l le que cel le dornée précé­

demment (A. 1) et f (x) la fonction "v ra ie " qui décrit le phénomène physique,

la fonct ion expérimentale h (x) est le produit de convolut ion suivant

r + OO /*<*>

h (x) = J dx' dx" r (x-x ' ) d ( x ' - x " ) f (x")

Suivant la méthode de Stokes, nous prenons les transformations de Fourier des

deux membres et nous obtenons le produit simple

H(X) = R(X) . D(X) . F(X)

où H, R, D, F sont les transformées de Fourier de h, r, d , f , respectivement.

I l v ient immédiatement

F(X) = H ( X ) / R ( X ) . D(X)

et par transformation de Fourier réciproque f (x ) .

A 16

Pratiquement, i l faut remarquer que nous allons appl iquer ces re la ­

tions à des histogrammes limités dans l'espace direct et l'espace réciproque, et

effectuer donc des transformations de Fourier f in ies. D'autre part , les données

expérimentales sont entachées d'erreur de nature stat ist ique. Nous devons

donc considérer qu'on n'observe pas h (x) mais une réalisation part icul ière

égale égale a h (x) + s (x) où s (x) est le tirage d'un signal aléatoire que l'on

peur appeler bruit de fond, et h (x) la valeur probable.

Par contre puisque r (x) ef d (x) sont des formes analyt iques, i l n'y

a pas d'erreurs de cette nature sur ces fonctions.

L'expression (A-22) , montre que pour les grandes fréquences X , où

P ou D ont des valeurs notablement pet i tes, les incertitudes sur F deviennent très

grandes ; on obtient alors pour F des valeurs très erronnées ou même aberran­

tes si H a des valeurs voisines de zéro . Il en résulte sur f une dispersion des

points comparable aux valeurs mesurées et donc des courbes inexploi tables.

Pour évi ter cet effet nous devons couper les spectres dans l'espace réciproque.

A . 2 . 5 . 2 . Déconvolut ion - Bande de conf iance

A . 2 . 5 . 2 . 1 . Déconvolut ion

Nous rappelons que la transformée de Fourier du prof i l " v r a i " F(X)

est donnée par F(X) = H(X) / R(X) D(X) , où H, R et D sont les transformées

de Fourier du prof i l expérimental h(x) de la fonction de résolution r(x), et

de la distr ibut ion du doublet K ^ K ^ . d(x).

Le prof i l expérimental h(x) est en fai t un histogramme de N points

( 0 , 1 , . . . , N - 1). Considéré comme une fonct ion périodique de période N - l ,

le signal h (x) est décomposé en série du type Fourier suivant ,

. _ H ? a x 2 kl . . . 2 kl °o

K = l

A t7

Les coefficients de cette série sont donnés par :

a, = 2- h. cos -^—- k=o, . . . , kmax, A - 2 4 l=o

S-"1 2«.kl

b, = 2- h. sin —:—— k=l , . . . , kmax . A - 25 k |=o ' N _ 1

h', en (A-23) est la valeur estimée et h. en (A-24) et (A-23) est celle des points

expérimentaux, kmax, nombre de termes de la série, est à déterminer ; son esti­

mation est faite au paragraphe suivant.

1 C rk La transformée de Fourier de d(x) = T. ° (x+ -r~.— °0 +

rk 1 + rk 1 + r k

-r- o (x - -r-; ) est complexe. Celle de la fonction de résolution 1 rk 1 r k , convolution d'Une lorentzienne de largeur à mi-hauteur 21' et d'une fer largeur 2a est réelle et est égale à

R, = e x P - 2 j L l ' k s i n 2 J t a k A _ 2 6

k 2jt a k

Les paramètres I' et a sont déduits par ajustement de la forme analy­

tique r(x) sur le profil de la raie K^ extraite de la courbe expérimentale. \l 2 2

Nous obtenons pour MgO, la résolution en moment 21 = 2 V I' + a égale à

0. 119 u. a. soit une résolution angulaire équivalente en corrélation angulaire

à 0.87 mrad.

Le profil déconvolué fi s'écrit

, kmax r _ ° L T i 2itkl , , , . 2ji.kl A „_ fr-T-+Z. akcoS T T r r +b ks,n-R - r , A -27

k=l

A -18

A - 29

avec

b ' r b k u k + a k vk A - 2 8

i rk \ i uk= ïï^ cos (2 j t«T^~ k ) + ï + ^ c o s ( 2 ^ i T T k

k> / \ * k

v k = ^ s i n ( 2 T ^ k ) - A ; sin ( 2 * * ^ k) A f c w k k k k

, 2 r, 2 r w. = T ~ + -r~ + 2 r - ^ - 2 cos (2:n:<xk)

k 1+r. 1+r, 1 + r, k k k

L'origine des abcisses de la distribution d(x) est prise au centre de

gravité du doublet ; pour obtenir alors le profil dû à la raie K^ , il suffit de

décaler la courbe de -~— vers les petites longueurs d'onde en ajoutant une ( y

phase de •=- aux arguments des fonctions circulaires dans le développement 1 + r k

en série de f,. Par ailleurs la distribution d(x) et la fonction de résolution r(x)

étant normalisées à l'unité, le profil déconvolué obtenu est normalisé au pro­

f i l total in i t ia l , i l suffit de multiplier le profil obtenu par — — pour obtenir la k

normalisation de la composante due a la raie K,^, .

A .2 .5 .2 .2 . Coupures des séries de Fourier -

Bande de confiance

44 Cheng et a l . ont exposé dans le cas précisément de profils Compton,

les critères permettant de limiter les séries de Fourier et la détermination d'une

bande de confiance.

Soit h, = £~ a, y, . le développement de la valeur moyenne inconnue

en série de fonctions orthogonales y, . du type sinus et cosinus utilisées précédem­

ment et soit d. l'écart h'. - h . entre la valeur estimée h'. = ^ -a , y, • et cette

i k valeur moyenne.

A 4 9

La covariance des écarts d, est donnée par

= a2£. cov (d., d.) = û" ô . . A - 30 ' I 'I

2 où est la variance estimée précédemment (cf. A.1).

La covariance de (a, -a, ) est alors donnée par

c o v ( a k - a k , a r a - p = ^ k | = = B k | A - 3 1

où C est le facteur de normalisation des y, . . Les différences (ai -o.) sont donc

distribuées avec la valeur moyenne zéro et la variance C /C définissant ainsi la

matrice de covariance B = B,. des coefficients a, .

- Coupure des séries de Fourier

Pour déterminer le nombre de termes k à inclure dans la série, nous max

utilisons le critère basé sur la différence entre la valeur estimée et la valeur

moyenne inconnue.

Le paramètre utilisé est

2 £ - -s- 2

1=1 k

Pour k = k qui minimise cette quantité, on a max

2 N 2 kmax A _ 3 3

k =h » " r , ( a i"a i )

max 1=1 k=l

2 Pour un nombre suffisamment grand de points, la valeur moyenne de

S , est donc<v(N (kmax) û~ et sa variance ~2 (N-kmax)cr . Le processus KiTlQX r\

consiste donc a tester pour des valeurs succesiîves de k, l'appartenance de S, à

cette distribution normale. La limite de confiance de 97.5% pour cette distri­

bution correspond à

2 -2 + 2 \ [ - -4 S k <(N-kmax) o- + 2 V 2 (N-kmax)C A - 34

A 2.0

Avoc i'orrour «tntlstlquo déterminé» nn A,\, pour la série on sinus ot cos

(A-S'l ot A -25 ) , nous obtenons kmax - 0.

- Banda do confiance

L' lntorval le clo confiance do 95% chercha est donna par

o

( A h ' , ) : ' - X (kmax)Z X (ZH,, y,.)2 A - 3 5 1 0,05 I ' | ' I M

oùÀ, et Y,, sont respectivement les valeurs propres et les vecteurs propres do la i 0 ij

mofrlc© do covarianco B des coofflclonts a, qui mise sous forme diagonale ot

canonique V = { v . } do distr ibution statistique N (0 ,1 ) (I matrice un i té) , satisfait h

2

Probabilité [ I v f £ Xo.05 (kma*>] = 0 ' 9 5 A " 3 6

Dans notre cas, la matrice de covarlanco B = ~ = - o , . est déjà diagonale ;

pour la série on sinus ot cosinus, le factour do normalisation est C = N , on a

donc

\IY2 •" u> = + rr Y A O . 0 5 (kmqx) • kmax A - 37

I - N

Pour obtenir une bande de confiance de 95% sur les valeurs déconvoluôes f i ,

i l suffit de remarquer que les coefficients A ' , - (a', , b', ) du développement

de f. sont reliés l inéairement aux coeff icients A, = a, , k, ) par la matrice de

transformation (cf. A-28)

"Vk

V

A - 38

t t

Si B' est la matrice de covarîance des coeff icients A ' , , B' = M BM où M est la

matrice transposée de M . B' est ic i obtenu sous forme diagonale ; de (A-35) , on

obtient la bande de confiance de 95%

f| = t a / X (kmax> 21 (°2L + v2. ) / N A - 39 0.05 k=1

A l l

Pour M g O , la bande de confiance obtenue sur lo prof i l Compton do

valonco correspond 6 3% do la valeur au p i c , b comparer b la valeur initiales

do 0 .85%.

A , 2 . 6. Spectre théorique

Le prof i l compton théorique de valence est traité séparément de celui

du coeur, puisqu'i ls ont une normalisation différente et que nous soustrayons

le spectre dû au coeur sur la courbe expérimentale.

Pour chaque longueur d'onde du doublet incident A ^ et A v

nous calculons la section eff icace d i f férent ie l le relat ive par (cf. équ.32 11-2. 1.2

der aV\ I lu,

d n d u > j ( K * ) A d n J T 27.212 U>1 (K* ) k (K* ) J ( P Z ) A - 40

où l ' ind ice (KK ) indique que les quantités correspondantes dépendent de la

longueur d'onde inc idente. Le prof i l Compton J (p ) est normalisé sur des mo­

ments exprimés en u . a . , le vecteur de diffusion k est exprimé en u .a . et la

section eff icace d i f férent ie l le relat ive est alors exprimée en (eV)

en eV.

Ces sections efficaces sont ensuite normalisées sur l 'énergie exprimée

L'intensité relat ive I,.. , reliée à la section eff icace par (cf. équ. A-17)

Ui> fûcr (K . ) o 1 ( M V d n du)

f(*JLS A - 4 1

à la même dimension que ce l l e - c i soit en (eV)

Après convolut ion de la résolution expérimentale (cf. A - l ) , les

spectres obtenus subissent les facteurs dépendant de longueur d'onde ( c f . A . 2 . 4 . ) .

Les spectres de valence et du coeur dûs à la raie K ^ sont mult ipl iés

par r , = 0.525 (cf. A . 2 . 5 . 1), rapport en intensité des raies du doublet , et

ajoutés à ceux dûs à la raie K ^ . .

>

Fig. 31

0,012 h

0,008

0,004

0.000 l

2

Couche 1 s oxygène

Couche 1 s2 magnésium

Couche 2 s2

Couche 2p2(0) •*

Couche 2p 4 ( t î ) "

Total cœur EH p &

Perte d'énergie (keV)

3 Fig. 32

A 2^

Pour l'ajustement et la détermination du fond continu expérimental

(cf. A . 2 . 3 ) , le spectre théorique total et celui du coeur sont interpolés para-

boliquement suivant les valeurs des abcisses des points expérimentaux.

Nous avons ut i l isé deux modèles pour construire lespectredû aux

électrons du coeur. L'un (noté HF) est obtenu à part i r de profi ls Compton 45

calculés par Weiss et a l . dans l 'approximation impulsion au moyen de

fonctions d'onde radiales Hartree-Fock évaluées par d é m e n t i et moyennées

sphériquement. L'autre (noté EH) est obtenu à part ir d'expressions analytiques c a l ­

culées par B. J . B l o c h e t L . B . Mendelsohn avec des fonctions d'onde hydro-

génoides . Sur les figures 31 et 32 , sont tracées les sections efficaces

de diffusion Compton dues aux différentes couches électroniques du coeur de M g O ,

avec le modèle HF et EH.

Dans le cas EH, on trouve une dist inct ion entre les sous-couches 2P-.

et 2P+ 1 , dues aux valeurs du nombre quantique azimutal m = 0 , + I , qui n'est

pas fai te dans le cas HF où les fonctions d'onde sont moyennées sphériquement.

On remarque que le prof i l total du coeur EH est beaucoup plus étroi t

que celui HF. Malgré une normalisation de seulement 4 . 4 % plus grande pour la

section eff icace EH, le maximum de ce l l e - c i est environ 39% plus important.

En raison du volume de ca lcu l amené par cette analyse des résultats,

ce traitement a fa i t l 'objet d'un programme de calcul en double précision passé

sur l 'ordinateur IBM 360 du centre de calcul de Saclay. L'organigramme

( f i g . 33) retrace i c i les étapes de l 'analyse.

Manuscrit reçu le 20 janvier 1975

CALCUL SPECTRE THEORIQUE A B S ­

TRAITEMENT SPECTRE EXPERIMENTAL

SECTION t m i A i t Coeur X | , X z

• NORMALISATION

+ SECTION EFFICACE

NORMALISEE Valence X 1 A 2

t IHIEHSIIE

i ' APPLICATION des FACTEURS

OEPEHDANT de X

* SOMME DOUBLET

' '

Rg

Couche 1 s

Couche 2 s , 2 p

CONVOLUTION de la RESOLUTION

FACTEURS DEPENDANT de X

INTERPOLATION

AJUSTEMENT du FOND CONTINU

DECOMPOSITION en SERIE de FOURIER VALEHCE EXPERIM.

OECONVOLUTIONdu DOUBLET BANDE de CONFIANCE

FACTEURS DEPENDANT de X

. 33

*"

OETERMINAIIUN du FOND CONTINU

* ETALONNAOE

des ABCISSES

t REDUCTION du

NOMBRE de POINTS

* CALCUL des ABCISSES E X P E R I M . e , X . O ) , p z

n

< ' SOUSTRACTIOH du COEUR THEORIQUE

• COUPURE de la

SERIE de FOURIER

* BANDE de CONFIANCE

' ' CORRECTIONS des FACTEURS

DEPENDANT de X

• INTENSITE — f

SECTION EFFICACE —*• PROFIL COMPTON

• MOYEHHE

COTE GRANDES ENERGIES et CÔTÉ PETITES ENERGIES

• PROFIL de VALENCE EXPER.

NORMALISATION BANDE de CONFIANCE

*

Achevé d'imprimer

par

le CEA, Service de Documentation, Snclay

Avril 1975

DEPOT LEGAL

2ème trimestre 1975

La diffusion, à titre d'échange, des rapports et bibliographies du Commissariat à l'Energie Atomique est assurée par le Service de Documentation, CEN-Saclay, B.P. n° 2, 91 190 • Gif-sur- Yvette (France).

Ces rapports et bibliographies sont également en vente à l'unité auprès de la Documentation Française, 31, quai Voltaire, 75007- PARIS.

Reports and bibliographies of the Commissariat à l'Energie Atomique are available, on an exchange basis, from the Service de Documentation, CEN-Saclay, B.P. n° 2, 91 190 - G if-sur-Yvette (France).

Individual reports and bibliographies are sold by the Documentation Française, 31, quai Voltaire, 75007 - PARIS.

Edité par

le Service de Documentation

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay

Botte Postale n° 2